第八章 库存决策绪论生产和消费是关系国计民生的两件大事，存贮是其间的一个重要环节。即生产 → 存贮 → 消费存贮是解决供求间不协调的矛盾的一种手段，其必要性是显然的。
“存贮得越多越好”的思想，不是绝对的。存贮过程中要有一定的损失和消耗，经济上要付出代价。存贮论就是要研究如何合理的进行库存，以使总的费用最小。
第一节 基本概念一,ABC分类法一个企业或商店为了进行正常的生产或经营，往往要储存很多不同特性、不同价格的物资。为了简化对其存储问题的研究，常采用按 物品价格 分类的方法。
A类,库存物资品种累积数约占总品种数的 5～ 10%，
而累积资金约占库存资金总额的 50%。
C类,库存物资品种累积数约占总品种数的 50%，而累积资金约占库存资金总额的 5%。
B类,介于 A,C二类之间的物资。
其中 A类物品虽数量不到 10%，但占用的资金却达 50%。故应重点加强对 A类的库存管理。同时对 B类和 C类也可分别订出库存管理措施。
以下我们仅就单一种类的物品来讨论。
100
物品数量百分比
10 50
50
10
80
90
金资占
100
数量
A B C
二、存贮所包含的基本要素
1、需求量：
(1)确定的，需求率（单位时间需求量） R
注：可以为常数，也可以为函数 R(t)
(2)随机的,r分布为 P(r) 注,r分布为 P(x)
例如粮店每月从粮库进粮，其中计划供应的品种如富面强粉的需求量是确定的，计划外品种的需求是随机的，当然可能有统计规律。
2、（订货）批量 —— 每次订货数量 Q
3,订货周期 —— 两次订货的时间间隔 t
4、（ 订货）提前期 —— 从提出订货到收到订货的时间间隔 L（ 也可以是随机的）
三、与存贮有关的费用
1、订货费用 —— 用于订货的固定费用（与批量无关），
（如手续、电信往来、差旅等费）。设每次订货费 C1
2,存贮费 —— 包括使用仓库，保管货物及存贮中货物损坏变质的损失等费用，设单位物品存贮单位时间所需费用为 C2。
3,缺货费 —— 当存贮供不应求时引起的损失（如销售机会损失、赔偿罚款），设单位物品每缺货 1单位时间的损失费用为 C3。
不允许缺货时 C3=∞；允许缺货时 C3＜ ∞
四、存贮策略决定订货周期 t及订货量 Q的办法，衡量其优劣的标准是某时期 T内的总费用。
第二节 确定性存贮模型确定性 —— 需求率 R和提前期 L均为确定的，且需求率为均匀连续的。我们只讨论 R为常数,L=0。
短。允许缺货，生产时间极到齐。边生产边供应一订就到货，但要陆续需一定时间进货生产齐一订就到货，且一次到时间极短进货生产不允许缺货主要讨论三类
)(
)(
)(
)(
模型一：经济批量 EOQ模型
（不允许缺货，生产时间极短）
设,C3=∞,L=0,R,C1,C2
均为常数。 (如图 )
求,最佳批量 Q*及最佳周期 t*
解,(目标是使总费用最小。什么总费用？多长时间的？
一个周期的？不行,t还未定。可考虑一年的、五年的，一般为时期 T内的。我们将看到，结果与 T无关。 )
Q
t
T
R?斜率
Rt?
间时存量
)12/(
)(
22
11
//
0
111
tQtt
Q
RtR u d u
t
Q
TR
C
t
T
CnC
CT
RQnTt
RtQntTnT
t
，即面积。单位时间时总存量：
三角形高的一半单位时间存量：
订货费存贮费订货费时期内总费用
，，又次，则内订货设时期公式。或批量公式经济这即著名的最佳得故可令无关可见与令存贮费：
E O Q
C
RC
Q
TT
C
Q
RC
T
dQ
dC
QC
T
Q
RC
TQC
TC
Q
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2
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2
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2
1
2
2
1
21
2
21
21
2
1
2
2*
2
*
CRC
CRCTC
RC
C
t
最小单时费用：
这时的最小费用：
最佳周期：
例１：印刷厂每周需要用纸 32卷，每次订货费 (包括运费等 )为 250元；存贮费为每周每卷 10元。问每次订货多少卷可使总费用为最小？
解：由设,R=32卷 /周,C1=250元,C2=10元 /卷、周。
由 EOQ公式，最佳批量注：
（ 1）费用曲线如下图。 Q*即订货费曲线（双曲线）与存贮费用曲线（直线）之交点。故 Q*也可由图示法得到。
C
Q
2
2QC
Q
RC1
*Q
(3)若提前期 L≠0,则为保证不缺货，需提前 L订货
（如图），
这时的存量 LR称为订货点。
的精确度。时常不追求各参数过高倍）故在求的仅是原来。这时实际值为的误差，有中，例的误差也很小。（如在响到影参数即使有较大误差，公式的稳健性：各给定
*11.4
*402
10
325002
*500
%1001*
)2(
1
Q
QQ
CQ
E O Q
RL
存量时间
Q
L
模型二：在制批量存贮模型
（不允许缺货，生产需一定时间）
设,C3=∞,L=0,R,C1,C2均为常数，生产速率 P>R
求,Q*与 t*
A
1t
t
R? RP?
)(
2
)(
)(
)(
2
1
)(
2
1
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2
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11
T
P
CRPQ
T
Q
RC
TQC
TC
P
Q
RP
P
Q
RPPtQtRP
A
T
Q
R
CnC
T
去掉总费用存贮费单位时间存量订货费存贮费订货费总费用时解：
，从而化为模型一。时，当
，与模型一仅差一个因子注：模型二的
，得：
令
1
*
2*
2
*
2
*
,0
2
)(
21
2
1
2
1
2
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1
RP
P
RP
RP
P
Q
P
RP
CRCC
RP
P
RC
C
t
RP
P
C
RC
Q
P
CRP
Q
RC
dQ
dC
模型三：允许缺货的存贮模型
(允许缺货，缺货要补，生产时间极短 )
设,C3<∞,L=0,R,C1,C2均为常数，最大允许缺货量为 S。（ 如图）
求,Q*,S*,t*
t
SQ?
Q
1t 2t
S
0
t
t
S
Q
SQ
t
t
C
Q
SQSQ
C
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t
t
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1
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2
2
2
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2
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1
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1
121
2
1
1
2
单位时间缺货量（
）（由相似三角形性质，
存贮费平均）的量用单位时间存量：
订货费仍为缺货费存贮费订货费总费用
，，，解：如图，
32
3
2
1
3
32
2
1
211
3
2
21
2
1
3
2
2
2
1
33
2
2
*
2
*
0)(
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0
0
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22
CC
C
C
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S
C
CC
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SCCQC
RCSCCQC
S
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Q
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Q
S
C
Q
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Q
RC
SQC
C
Q
SS
C
t
tS
由此得：
，得：令：
总费用：
缺货费：
时，化为模型一。当大得越多越明显。比这种区别当故总费用减少了，多了一个因子而订量增加，周期变长。
，即允许缺货时的都多了一个因子与一：注：比较模型三与模型
，于是：
3
32
32
3
3
32
32
3
21
3
32
2
1
)2(
,1*
1**)1(
2*
2
*
C
CC
CC
C
C
C
CC
tQ
CC
C
CRCTC
C
CC
RC
C
t
例 2：某电子设备厂对一种元件的需求为每年 2000件，不需要提前订货，每次订货费为 25元。该元件每件成本为 50
元，年存贮费为成本的 20%。如发生供应短缺，可在下批货到时补上，但缺货损失为每件每年 30元。
(1)求经济订货批量及全年的总费用：
(2)如不允许发生供应短缺，重新求经济订货批量，并与 (1)
中的结果比较。
解,
。中的中的，中的中的比较：
年）（元次）（件年）（元次）（件
CCQQ
C
Q
C
Q
)1()2(*)1(*)2(
/1000102520002
/1001000 0
10
2000252
*)2(
/86603.8667500 00
3010
30
102520002
/1153.11533.11000 0
30
3010
10
2000252
*)1(
第三节 随机性存贮模型
)(
)(
)(
)(
)(
xf
Ss
xP
r
连续：密度型存贮策略，
主要讨论此例一次性订货报童模型离散：分布是随机变量求率与确定型主要区别：需
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10
1
0
rPQrkrPrQhQz
rPQrkrQ
rPrQhrQ
Q
h
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r
Qr
Q
Qr
Q
r
总的期望损失为：
的期望损失为：供不应求时的期望损失为：供过于求时纸数量为解：设报童每日订购报损失为最小？
期望购报纸多少份，使总的元。问：报童每日应订每份赔
，元，若报纸当天未售出，报童每售出一份报赚分布为是随机变量，其概率每日的售报量一、报童模型：设报童现要求 z(Q)的最小值，但 Q与 r皆为离散的，故不能用求导法。可采用边际分析法。
设 Q*是 z(Q)的极小点，则它应该满足：
Qr
Q
r
Qr
Q
r
Qr
Q
r
QrrPkrQrPh
QrrPkrQrPh
QrrPkrQrPh
Q
QzQz
QzQz
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**)1(
)2()1*(*)(
)1()1*(*)(
1
0
1
0
10
左边可写为
）的式，即（略去先分析
。均已知，故可求得，，因为于是得可得：，用类似方法分析即整理化简后得
*)(
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k
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Q
r
Q
r
Q
r
Q
r
Qr
Q
r
例 3：设有某商品的需求量 r分布如下表：
已知该商品的购进单价为 1.25元，出售单价为 15元，若当天未能售出，第二天的处理价格为 11.25元。试求合理的进货数量。
r 10 11 12 13 14 15
P(r) 0.15 0.20 0.19 0.18 0.17 0.11
13*
666.072.018.054.0)13()12()11()10(
666.054.019.020.015.0)12()11()10(
666.0
3
2
75.3
5.2
25.125.115.125.25.1215
Q
PPPP
PPP
kh
k
hk
而
，，解：
例 4：商店经销某种食品，每周进货一次，无需订货费。
该食品为每箱 30袋包装，每箱进价 21元，每袋售 1元。
食品保存期为一周，到周末未售出的只能按每袋 0.5元削价处理，这时一定可售完。据历年经验，每周市场对该食品的需求如下：
问商店对该食品每周进货多少最佳？
需求 100 200 300 400 500 600 700
概率 0.10 0.15 0.20 0.20 0.15 0.12 0.08
箱为最佳。应进货
，，解：
400
6.065.020.020.015.010.0
6.045.020.015.010.0
6.0
5.0
3.0
2.03.0
hk
k
hk
注,一、连续型报童模型：设每日需求量 r概率密度为 f(r)，
其 余条件同离散型报童模型。则最佳批发量 Q*由下式确定：
kh
kdrrfQ
*
0
)(
二、对于提前期 L为随机的或提前期与需求均为随机的情形，
可考虑用随机模拟的方法解决。
三,(s,S)型存贮策略设需求量 r为随机离散的，其分布为 P(r)。 存贮物单价为 k
订货费 C1,存贮费 C2,缺货费 C3。 (s,S)型存贮策略即当存贮量下降至 ≤s时订货，将存量补充至 S。
可证 s*与 S*由下式给出：
)(*
)(*)()()*(*
)()()()(
*)2(
*)(*)1(
*
3
*
21
32
32
3
rSsss
rPSrCrPrSCkSC
rPsrCrPrsCks
s
SS
CC
kC
rPS
SrSr
srsr
sr
的最佳范围同与。为成立的最小
：使求
。即成立的最小：使求
“存贮得越多越好”的思想，不是绝对的。存贮过程中要有一定的损失和消耗，经济上要付出代价。存贮论就是要研究如何合理的进行库存，以使总的费用最小。
第一节 基本概念一,ABC分类法一个企业或商店为了进行正常的生产或经营，往往要储存很多不同特性、不同价格的物资。为了简化对其存储问题的研究，常采用按 物品价格 分类的方法。
A类,库存物资品种累积数约占总品种数的 5～ 10%，
而累积资金约占库存资金总额的 50%。
C类,库存物资品种累积数约占总品种数的 50%，而累积资金约占库存资金总额的 5%。
B类,介于 A,C二类之间的物资。
其中 A类物品虽数量不到 10%，但占用的资金却达 50%。故应重点加强对 A类的库存管理。同时对 B类和 C类也可分别订出库存管理措施。
以下我们仅就单一种类的物品来讨论。
100
物品数量百分比
10 50
50
10
80
90
金资占
100
数量
A B C
二、存贮所包含的基本要素
1、需求量：
(1)确定的，需求率（单位时间需求量） R
注：可以为常数，也可以为函数 R(t)
(2)随机的,r分布为 P(r) 注,r分布为 P(x)
例如粮店每月从粮库进粮，其中计划供应的品种如富面强粉的需求量是确定的，计划外品种的需求是随机的，当然可能有统计规律。
2、（订货）批量 —— 每次订货数量 Q
3,订货周期 —— 两次订货的时间间隔 t
4、（ 订货）提前期 —— 从提出订货到收到订货的时间间隔 L（ 也可以是随机的）
三、与存贮有关的费用
1、订货费用 —— 用于订货的固定费用（与批量无关），
（如手续、电信往来、差旅等费）。设每次订货费 C1
2,存贮费 —— 包括使用仓库，保管货物及存贮中货物损坏变质的损失等费用，设单位物品存贮单位时间所需费用为 C2。
3,缺货费 —— 当存贮供不应求时引起的损失（如销售机会损失、赔偿罚款），设单位物品每缺货 1单位时间的损失费用为 C3。
不允许缺货时 C3=∞；允许缺货时 C3＜ ∞
四、存贮策略决定订货周期 t及订货量 Q的办法，衡量其优劣的标准是某时期 T内的总费用。
第二节 确定性存贮模型确定性 —— 需求率 R和提前期 L均为确定的，且需求率为均匀连续的。我们只讨论 R为常数,L=0。
短。允许缺货，生产时间极到齐。边生产边供应一订就到货，但要陆续需一定时间进货生产齐一订就到货，且一次到时间极短进货生产不允许缺货主要讨论三类
)(
)(
)(
)(
模型一：经济批量 EOQ模型
（不允许缺货，生产时间极短）
设,C3=∞,L=0,R,C1,C2
均为常数。 (如图 )
求,最佳批量 Q*及最佳周期 t*
解,(目标是使总费用最小。什么总费用？多长时间的？
一个周期的？不行,t还未定。可考虑一年的、五年的，一般为时期 T内的。我们将看到，结果与 T无关。 )
Q
t
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，即面积。单位时间时总存量：
三角形高的一半单位时间存量：
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，，又次，则内订货设时期公式。或批量公式经济这即著名的最佳得故可令无关可见与令存贮费：
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最小单时费用：
这时的最小费用：
最佳周期：
例１：印刷厂每周需要用纸 32卷，每次订货费 (包括运费等 )为 250元；存贮费为每周每卷 10元。问每次订货多少卷可使总费用为最小？
解：由设,R=32卷 /周,C1=250元,C2=10元 /卷、周。
由 EOQ公式，最佳批量注：
（ 1）费用曲线如下图。 Q*即订货费曲线（双曲线）与存贮费用曲线（直线）之交点。故 Q*也可由图示法得到。
C
Q
2
2QC
Q
RC1
*Q
(3)若提前期 L≠0,则为保证不缺货，需提前 L订货
（如图），
这时的存量 LR称为订货点。
的精确度。时常不追求各参数过高倍）故在求的仅是原来。这时实际值为的误差，有中，例的误差也很小。（如在响到影参数即使有较大误差，公式的稳健性：各给定
*11.4
*402
10
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*500
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1
Q
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存量时间
Q
L
模型二：在制批量存贮模型
（不允许缺货，生产需一定时间）
设,C3=∞,L=0,R,C1,C2均为常数，生产速率 P>R
求,Q*与 t*
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，从而化为模型一。时，当
，与模型一仅差一个因子注：模型二的
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模型三：允许缺货的存贮模型
(允许缺货，缺货要补，生产时间极短 )
设,C3<∞,L=0,R,C1,C2均为常数，最大允许缺货量为 S。（ 如图）
求,Q*,S*,t*
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单位时间缺货量（
）（由相似三角形性质，
存贮费平均）的量用单位时间存量：
订货费仍为缺货费存贮费订货费总费用
，，，解：如图，
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由此得：
，得：令：
总费用：
缺货费：
时，化为模型一。当大得越多越明显。比这种区别当故总费用减少了，多了一个因子而订量增加，周期变长。
，即允许缺货时的都多了一个因子与一：注：比较模型三与模型
，于是：
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32
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例 2：某电子设备厂对一种元件的需求为每年 2000件，不需要提前订货，每次订货费为 25元。该元件每件成本为 50
元，年存贮费为成本的 20%。如发生供应短缺，可在下批货到时补上，但缺货损失为每件每年 30元。
(1)求经济订货批量及全年的总费用：
(2)如不允许发生供应短缺，重新求经济订货批量，并与 (1)
中的结果比较。
解,
。中的中的，中的中的比较：
年）（元次）（件年）（元次）（件
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第三节 随机性存贮模型
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连续：密度型存贮策略，
主要讨论此例一次性订货报童模型离散：分布是随机变量求率与确定型主要区别：需
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r
Qr
Q
Qr
Q
r
总的期望损失为：
的期望损失为：供不应求时的期望损失为：供过于求时纸数量为解：设报童每日订购报损失为最小？
期望购报纸多少份，使总的元。问：报童每日应订每份赔
，元，若报纸当天未售出，报童每售出一份报赚分布为是随机变量，其概率每日的售报量一、报童模型：设报童现要求 z(Q)的最小值，但 Q与 r皆为离散的，故不能用求导法。可采用边际分析法。
设 Q*是 z(Q)的极小点，则它应该满足：
Qr
Q
r
Qr
Q
r
Qr
Q
r
QrrPkrQrPh
QrrPkrQrPh
QrrPkrQrPh
Q
QzQz
QzQz
))(())((
)1)(()1)((
))(())((
**)1(
)2()1*(*)(
)1()1*(*)(
1
0
1
0
10
左边可写为
）的式，即（略去先分析
。均已知，故可求得，，因为于是得可得：，用类似方法分析即整理化简后得
*)(
)()(
)()2()(
0)()(
0
1
0
0
1
0
1
0
QrPhk
rP
kh
k
rP
kh
k
rP
kh
k
rP
rPkrPh
Q
r
Q
r
Q
r
Q
r
Qr
Q
r
例 3：设有某商品的需求量 r分布如下表：
已知该商品的购进单价为 1.25元，出售单价为 15元，若当天未能售出，第二天的处理价格为 11.25元。试求合理的进货数量。
r 10 11 12 13 14 15
P(r) 0.15 0.20 0.19 0.18 0.17 0.11
13*
666.072.018.054.0)13()12()11()10(
666.054.019.020.015.0)12()11()10(
666.0
3
2
75.3
5.2
25.125.115.125.25.1215
Q
PPPP
PPP
kh
k
hk
而
，，解：
例 4：商店经销某种食品，每周进货一次，无需订货费。
该食品为每箱 30袋包装，每箱进价 21元，每袋售 1元。
食品保存期为一周，到周末未售出的只能按每袋 0.5元削价处理，这时一定可售完。据历年经验，每周市场对该食品的需求如下：
问商店对该食品每周进货多少最佳？
需求 100 200 300 400 500 600 700
概率 0.10 0.15 0.20 0.20 0.15 0.12 0.08
箱为最佳。应进货
，，解：
400
6.065.020.020.015.010.0
6.045.020.015.010.0
6.0
5.0
3.0
2.03.0
hk
k
hk
注,一、连续型报童模型：设每日需求量 r概率密度为 f(r)，
其 余条件同离散型报童模型。则最佳批发量 Q*由下式确定：
kh
kdrrfQ
*
0
)(
二、对于提前期 L为随机的或提前期与需求均为随机的情形，
可考虑用随机模拟的方法解决。
三,(s,S)型存贮策略设需求量 r为随机离散的，其分布为 P(r)。 存贮物单价为 k
订货费 C1,存贮费 C2,缺货费 C3。 (s,S)型存贮策略即当存贮量下降至 ≤s时订货，将存量补充至 S。
可证 s*与 S*由下式给出：
)(*
)(*)()()*(*
)()()()(
*)2(
*)(*)1(
*
3
*
21
32
32
3
rSsss
rPSrCrPrSCkSC
rPsrCrPrsCks
s
SS
CC
kC
rPS
SrSr
srsr
sr
的最佳范围同与。为成立的最小
：使求
。即成立的最小：使求
