第一节 极限的定义第二节 极限的运算第三节 函数的连续性第二章 极限与连续一,函数的极限二,数列的极限三,极限的性质四,极限分析定义五,无穷小量六,无穷大量第一节 极限的定义第一节 极限的定义
１,0xx? 时函数 ()fx 的极限引例 从函数图形特征观察函数的极限如图１：当 1x? 时,( ) 1f x x 无限接近２；
如图２：当 1x? 时，
2
1
()
1
x
gx
x
无限接近于２,
O 1 - 1 x
1
1
) (
2
x
x
x g
y
图２图１
O 1-1
(1,2)
x
y
f(x)=x+1
一、函数的极限邻域的 概念：开区间（ x,x ）称为以 x 为中心，以? （? ＞０）为半径 的邻域,简称为点 x 的邻域,
记为 N （ x,? ）．用 0?(,)Nx? 表示
0
x 的 空心邻域,即
0 0 0 0
(,) (,) ( 0 )x x x x,
函数 ( ) 1f x x 与
2
1
()
1
x
gx
x
是两个不同的函数，前者在 1x? 处有定义，后者在 1x? 处无定义．这就是说，当
1x? 时,()fx,()gx 的极限是否存在与其在 1x? 处是否有定义无关,
定义１ 设函数 ()fx 在
0
x 的某一 空心邻域 0?(,)Nx?
内有定义，如果当自变量 x 在
0
(,)Nx? 内无限接近于
0
x
时，相应的函数值无限接近于常数 A,则 A 为 0xx? 时函数 ()fx 的极限，记作
0
l i m ( )
xx
f x A
或
0
( ) ( )f x A x x,
２,0xx 时函数 ()fx 的极限定义２ 设函数 ()fx 在 0x 的右半邻域 00(,)xx 内有定义，当自变量 x 在此半邻域内无限接近于 0x 时，相应的函数值 ()fx 无限接近于常数 A,则称 A 为函数 ()fx 在
0
x 处的右极限，记为由该定义可知,讨论函数 ()fx 在 0x 处的右极限
0
l i m ( )
xx
f x A
时，在自变量 x 无限接近于 0x 的过程中，恒有 0xx?,于是有
00
l i m ( ) l i m ( )
x x x x
f x f x A
,
0 00
l i m ( ) ( ) ( ) ( ),xx f x A f x A f x A x x，或定义 3 设函数 )( xf 在
0
x 的左半邻域 ),(
00
xx 内有定义，当自变量 x 在此半邻域内无限接近于
0
x 时，
相应的函数值 )( xf 无限接近于常数 A,则称 A 为函数
)( xf 在
0
x 处的左极限，记为,Axf
xx
)(li m
0
或 Axf?
)(
0
或
).()(
0
xxAxf
3, 0xx 时函数 )( xf 的极限由 该 定 义 知,讨 论 函 数 )( xf 在 0x 处的 左 极 限
Axf
xx
)(lim
0
时，在自变量 x 无限接近于 0x 的过程中，恒有 0xx?,于是有 Axfxf
xxxx
)(lim)(lim
00
,
定理 1 Axfxx )(li m
0
的充要条件是
.)(lim)(lim
00
Axfxf xxxx
例 1 设
,0
( ) 1,0
,0
xx
f x x
xx
，
，
，
画出该函数的图形，
并讨论 )(li m
0
xf
x
,)(lim
0
xf
x?
,)(li m
0
xf
x
是否存在,解 )( xf 的图形如图 3 ( 见下页 ) 所示，由该图不难看出,
0)(l i m
0
xf
x； 0)(l i m
0
xf
x； 0)(lim
0
xf
x
,
例 2 设
1,0
sgn 0,0
1,0
x
xx
x
，
，
，
( 通常称 xs g n 为符号函数 ),画图讨论,s g nlim
0
x
x
,s g nlim
0
x
x?
x
x
s g nlim
0
是否存在,
解 函数 xs g n 的图形如图 4 ( 见 右 上图 ) 所示，不难看出 ； 1s g nlim
0
x
x； 1s g nl i m
0
x
x； x
x
s g nl i m
0?
不存在,
y
O 1 - 1 x
1
图 3
O
- 1
x
1
y
图 4
4,x 时函数 )( xf 的极限定义 4 设函数 )( xf 在 ax?|| 时有定义 ( a 为某个正实数 ),如果当自变量 x 的绝对值无限增大时，相应的函数值
)( xf 无限接近于常数 A,则称 A 为x 时函数 )( xf 的极限，记为 Axf
x
)(l i m 或 )()( xAxf,
5,x 时函数 )( xf 的极限定义 5 设函数 )( xf 在 ),(a 内有定义 ( a 为某个正实数 ),当自变量 x 无限增大时，相应的函数值 )( xf 无限接近于常数 A,则称 A 为x 时函数 )( xf 的极限，记为
Axf
x
)(lim 或 )()( xAxf,
定义 6 设函数 )( xf 在 ),( a 内有定义 ( a 为某个实数 ),当自变量无限变小 ( 或 x? 无限变大 ) 时，相应的函数值 )( xf 无限接近于常数 A,则称 A 为x 时函数 )( xf 的极限，记 Axf
x
)(lim 或 )()( xAxf,
定理 2 l i m ( )
x
f x A
的充要条件 是
)(lim xfx = Axfx )(lim,
6,x 时函数 )( xf 的极限例 3 由图 5 可知,0
1
l i m?
xx； 0
1
lim?
xx
,
图 5
O x
y
x
e y
O x
y
x
y
1
图 6
由图 6 可知 0eli m xx,
1,数列的概念设自变量为正整数的函数 ),2,1)(( nnfu
n
，其函 数 值 按 自 变 量 n 由 小 到 大 排 列 成 一 列 数
,,,,,
321 n
uuuu 称为数列，将其简记为
n
u,其中
n
u
为数列
n
u 的通项或一般项,
例如 nnu
2
1
,相应的数列为,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
32 n
2,数列的极限定义 7 对于数列
n
u,如果当 n 无限增大时，通项
n
u 无限接近于某个确定的常数 A,则称 A 为数列
n
u
的极限，或称数列
n
u 收敛于 A,记为 Au
n
n
}{lim 或
)( nAu
n
,若数列
n
u 没有极限，则称该数列发散,
二、数列的极限例 3 观察下列数列的极限,
(1)
1?
n
n
u
n,(2) nn
u
2
1
,
(3) 12 nu n,(4)
1
)1(
n
n
u,
解 观察数列在n 时的发展趋势，得
（ 1 ） 对于数列
1?
n
n
u
n
，即,...
1
,...,
4
3
,
3
2
,
2
1
n
n
极限
1
1
li m?
n
n
n；
（ 2 ） 对于数列
nn
u
2
1
,即,...
2
1
,...,
2
1
,
2
1
,
2
1
32 n
极限 0
2
1
li m?
n
n；
（ 3 ） 对 于 数 列 12 nu
n
，即,.,.12,.,.,7,5,3?n 极限
)12(lim?
n
n
不存在 ；
（ 4 ）对于数列
1
)1(
n
n
u,即,.,.)1(,.,.,1,1,1
1?
n
极限
1
)1(lim
n
n
不存在,
3.数列极限存在定理单调数列 如果数列 }{ nu 对于每一个正整数 n,都有 1 nn uu,则称数列 }{ nu 为单调递增数列；类似地，如果数列 }{ nu 对于每一个正整数 n,都有 1 nn uu,则称数列 }{ nu 为单调递减数列,
有界数列 如果对于数列 }{ nu,存在一个正常数
M,使得对于每一项 nu,都有 || nu ≤ M,则称数列 }{ nu
为有界数列,
定理 3 ( 单调有界原理 ) 单 调有界数列 必有极限,
性质 性质 1 ( 惟一性 ) 若 Axf
xx
)(lim
0
,Bxf
xx
)(lim
0
，
则 BA?,性质 2 ( 有界性 ) 若 Axf
xx
)(l i m
0
，则存在 0x 的某一 空心邻域 ),?( 0?xN,在 ),?( 0?xN 内函数 )( xf 有界,
三、极限的性质性质 3 ( 保号性 ) 若 Axf
xx
)(lim
0
且 0?A ( 或
0?A ),则存在某个 空心邻域 ),?( 0?xN,在 ),?( 0?xN 内
0)(?xf ( 或 0)(?xf ),
推论 若在某个 空心邻域 ),?( 0?xN 内,)( xf ≥ 0 ( 或
)( xf ≤ 0 ),且 Axf
xx
)(lim
0
,则 A ≥ 0( 或 A ≤ 0),
性质 4 ( 夹逼准则 ) 若?x ),?(
0
xN ( 其中? 为某 个 正 常 数 ) 时,有 )( xg ≤ )( xf ≤ )( xh,
Axhxg
xxxx
)(lim)(lim
00
,则 Axf
xx
)(lim
0
,
上述性质，若把 0xx? 换成自变量 x 的其他变化过程，有类似的结论成立,
定义 1? ( 极限的 定义 ) 设 )( xf 在
0
x 的 某个邻域 ),(
0
xN 中有定义，若对任意给定的正数?,存在
0,使得当
0
0 xx 时，总有 Axf )( 成 立，
则称
0
xx? 时,)( xf 以 A 为极限，记为 Axf
xx
)(lim
0
,
五、无穷小量
1,无穷小量的定义定义 8 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小,
说明 （ 1 ）数零是惟一可作为无穷小的常数,
（ 2 ）无穷小表达的是量的变化状态，而不是量的大小．一个量不管多么小，都不能是无穷小量，零是惟一例外的．即无穷小量是绝对值无限变小且趋于零的量,
四、极限分析定义例 4 自变量 x 在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小：
1
1
)1(
x
y ； 12)2( xy ；
x
y 2)3(? ；
x
y?
4
1
)4(,
解 (1) 因为 0
1
1
l im?
x
x
，所以当x 时,
1
1
x
为无穷小；
(2) 因为 0)12(lim
2
1
x
x
，所以当
2
1
x 时,12?x
为无穷小；
(3) 因为 02lim?
x
x
，所以当x 时,
x
2 为无穷小；
(4) 因为 0
4
1
lim
x
x
，所以当x 时,
x
4
1
为无穷小,
2,极限与无穷小量之间的关系设 Axf
xx
)(lim
0
，即
0
xx? 时，函数值 )( xf 无限接近于常数 A,也就是说 Axf?)( 无限接近于常数零，即
0
xx? 时,Axf?)( 以零为极限，也就是说
0
xx? 时,
Axf?)( 为无穷小量，若记 Axfx )()(?,则有
)()( xAxf,于是有 定理 4 ( 极 限 与 无 穷 小 量 之 间 的 关 系 )
Axf
xx
)(lim
0
的充要条件是 )()( xAxf,其中 )( x?
是 0xx? 时的无穷小量,
定理 4 中自变量 x 的变化过程换成其他任何一种情形,,,( 00 xxxxx ), xx 后仍然成立,
解 因为 1)
1
1(lim
1
lim)(lim
xx
x
xf
xxx
，而
xx
x
xf
1
1
1
)(
中的
x
1
为x 时的无穷小量，所以，
x
xf
1
1)( 为所求极限值与一个无穷小量之和的形式,
3,无穷小量的运算性质定理 5 有限个无穷小的代数和是无穷小量,
说明：无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量,如
n 时，,
2
,
1
22
nn
2
n
n
均 为 无 穷 小 量,但
2
1
)
2
1
2
1
(lim
2
)1(
lim)
21
(lim
2222
nn
nn
n
n
nn nnn
,
例 5 当x 时，将函数 xxxf 1)( 写成其极限值与一个无穷小量之和的形式,
定理 6 无穷小与有界量的积是无穷小,
推论 1 常数与无穷小的积是无穷小,
推论 2 有限个无穷小的积仍是无穷小,
说明：两个无穷小之商未必是无穷小,如 0?x 时，
x 与 2 x 皆为无穷小，但由 2
2
li m
0
x
x
x
知
x
x2
当 0?x 时不是无穷小,
例 6 求 xxx 1s inlim 20?,
解 因为 0lim
2
0
x
x
，所以
2
x 为x 时的无穷小量，又因为
x
1
s in ≤ 1,所以
x
x
1
s in
2
仍为 0?x 时的无穷小量，所以 0
1
s inlim
2
0
x
x
x
,
1,无穷大量的定义定义 9 在自变量 x 的某个变化过程中，若相应的函数值的绝对值 )( xf 无限增大，则称 )( xf 为该自变量变化过程中的无穷大量 ( 简称为无穷大 ) ；如果相应的函数值 )( xf ( 或 )( xf? ) 无限增大，则称 )( xf 为该自变量变化过程中的正 ( 或负 ) 无穷大,
如果函数 )( xf 是
0
xx? 时的无穷大，记作
)(lim
0
xf
xx；如果 )( xf 是
0
xx? 时的正无穷大，记作
)(lim
0
xf
xx；如果 )( xf 是
0
xx? 时的负无穷大，记作
)(lim
0
xf
xx
,对于自变量 x 的其 他变换过程中的无穷大量，正无穷大量，负无穷大量 可用类似的方法描六、无穷大量述,值得注意的是，无穷大量是极限不存在的一种情形，这里借用极限的记号，但并不表示极限存在,
例
x
1
是
0x 时的负无穷大量；用记号表示为
,
1
lim
0
xx
2
x 是x 时的正无穷大量，用记号表示为
2
l i m x
x
,
2,无穷大与无穷小的关系定理 7 ( 无穷大与无穷小的关系 ) 在自变量的变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
例 7 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大,
(1)
1
1
x
y ； (2) 12 xy ； (3) xy ln? ； (4)
x
y 2?,
解 (1) 因为 0)1(lim
1
x
x
，即 1?x 时 1?x 为无穷小量，所以
1
1
x
为 1?x 时的无穷大量；
(2) 因为 0)12 1(lim
xx
，所以x 时 12 1?x 为无穷小量，所以 12?x 为x 时的无穷大量；
(3) 由右图知，
0x 时，
xln,
x
x
lnlim
0
,
x 时,xln,即
x
x
lnlim,所以,
0x
及x 时,xln 都是无穷大量；
O
y
x 1
x y ln?
思考题
１在 Axf
xx
)(lim
0
的定义中，为何只要求 )( xf 在的
0
x 的某个空心邻域 ),?(
0
xN 内有定义？
２．
x
x
x
s in
lim
是否存在，为什么？
( 4 ) 因为 02l i m?
x
x
，即x 时
x?
2 为无穷小量，因此
x
x
2
2
1
为x 时的无穷大量；
一,极限运算法则二,两个重要极限三,无穷小的比较第二节 极限的运算设 )(lim xf 及 )(lim xg 都存在（假定 x 在同一变化过程中），则有下列运算法则,
法则１ )(lim)(lim)]()(lim [ xgxfxgxf,
法则２ )(lim)(lim)]()(lim [ xgxfxgxf,
法则３ )(lim )(lim)( )(lim xg xfxg xf? ).0)(( lim?xg
下面我们来证明法则２，其他证法类同,
一、极限运算法则证 设 BxgAxf )(lim,)(lim,则知
BxgAxf )(,)( （?,? 都是无穷小量）
于是 )())(()()( BAABBAxgxf,
由无穷小的性质知 BA 仍为无穷小，再由极限与无穷小的关系，得
)]()(li m [ xgxf AB = )(l im)(l im xgxf?,
例１ 求 )143(l im 22 xxx,
解 514lim3lim)143(lim
2
2
2
2
2
xxxx
xxx
,
例２ 求 23 42lim 221 x xxx,
解 因为 05)23(lim
2
1
x
x
,所以
.
5
3
)23(lim
)42(lim
23
42
lim
2
1
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
例３ 求 45 127lim 224 xx xxx,
解 当 4?x 时，分子分母都为０，故可约去公因式
（ 4?x ）．,3113lim)4)(1( )4)(3(lim45 127lim 442
2
4
x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
例 4 求 23 32lim 22 xx xxx,
解
3
2
21
3
31
2
lim
23
32
lim
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
,
一般地
.,0
,,
,,
lim
0
0
1
10
1
10
nm
nm
b
a
nm
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
当当当
例 5 求下列函数极限,
(1) )
1
1
1
3
(lim
3
1 xxx?
； (2)
x
x
x
11
lim
0
；
(3)
31
c o s
l i m
x
xx
x
,
解 (1) 当 1?x 时,上式两项极限均为不存在 ( 呈现
形式 ),我们可以先通分,再求极限,
.1
1
2
lim
)1)(1(
)1)(2(
lim
)1)(1(
)1(3
lim)
1
1
1
3
(lim
2121
2
2
131
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
.
2
1
11
1
lim
)11(
lim
)11(
)11)(11(
lim
11
lim
00
00
xxx
x
xx
xx
x
x
xx
xx
(3) 因为当x 时,xx c o s 极限不存在,也不能直接用极限法则,注意到 xc o s 有界 ( 因为 |c o s| x ≤ 1 ),又
,0
1
lim
1
lim
2
3?
x
x
x
x
x
x
xx
(2) 当 0?x 时,分子分母极限均为零 ( 呈现
0
0
形式 ),不能直接用商的极限法则,这时,可先对分子有理化,然后再求极限,
根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质,得
.01c o slim1c o slim 33 xxxxxx xx
小结,(1 ) 运用极限法则时,必须注意只有各项极限存在 ( 除式,还要分母极限不为零 ) 才能适用；
(2) 如果所求极限呈现
0
0
,
等形式不能直接用极限法则,必须先对原式进行恒等变形 ( 约分,通分,有理化，变量代换等 ),然后再求极限,
(3) 利用无穷小的运算性质求极限,
1,1s inlim 0 x xx,
证明 作单位圆如下图所示,取 xA O B ( rad),于是有,?BC,s i n x AB x?,xAD t an?,由 图 得
O A DO A BO A B
SSS
扇形
,
即 xxx t a n
2
1
2
1
s i n
2
1
得 xxx t ans i n,从 而有 1
s i n
co s
x
x
x,
D
A
B
C O
x
二、两个重要极限上述不等式是当
2
π
0 x 时得到的,但因当 x 用
x? 代换时 xc o s,
x
xs in
都不变号,所以 x 为负时,关系式也成立,因为 1c o slim
0
x
x
,又 11lim
0
x
,由极限的夹逼准则知介于它们之间的函数
x
xs in 当 0?x 时,极限也是 1,
这样就证明了 1s inlim 0 x xx,
说明：（ 1 ）这个重要极限主要解决含有三角函数的
0
0
型极限,
（ 2 ）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成
1
s i n
lim
0
口口口
( 方框□代表同一变量 ),
例 6 求 xxx 4s i n 3s i nl i m 0?,
00
3 0 4 0
s i n 3 s i n 3 4 3
l i m l i m ( )
s i n 4 3 s i n 4 4
3 s i n 3 4 3
l i m l i m,
4 3 s i n 4 4
xx
xx
x x x x
x x x x
xx
xx
例 7 求 20 c o s1lim x xx,
解
2
1
2
2
s i n
l i m
2
12
s i n2
l i m
c o s1
l i m
2
0
2
2
0
2
0
x
x
x
x
x
x
xxx
,
解例 8 求 30 s i nt a nlim x xxx,
2
0
3
0
3
0
c o s1s i n
c o s
1
l i m
)c o s1(t a n
l i m
s i nt a n
l i m
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
由例 7 知 )0(
2
1c os1
2
x
x
x
,
故
2
1s i nt a n
lim
3
0
x
xx
x
,
解
2,e11lim
x
x x,解释说明：列出
x
x
11 的数值表 ( 如 下 表 ),观察其变化趋势,
1 2 3 4 5 10 100 1000 10000 ……,
2 2.250 2.370 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718 ……
x
x
11
x
从 上 表 可看出,当 x 无限增大时,函数
x
x
1
1 变化的大致趋势,可以证明当x 时,
x
x
1
1 的极限确实存在,并且是一个无理数,其值为?718282828.2e?,即
e11lim
x
x x
说明：（ 1 ）此极限主要解决
1 型幂指函数的极限,
（ 2 ）它可形象地表示为 e
1
1l i m
口口
）
口
（ ( 方框□代表同一变量 ),
例 9 求
x
x x
31lim
,
解 所 求 极 限 类 型 是
1 型,令 u
x
3
,则 ux 3?,
3
3
33 1 1
l im 1 l im 1 l im 1 e
x u u
x u ux u u
,
例 10 求 2l im 1
x
x x
,
解 所求极限类型是
1 型,
2
2
221
l im 1 l im 1 e,
2
x
x
xx xx
例 11 求 2l im 3
x
x
x
x
,
解 所求极限类型是?1 型,令
ux
x 1
1
3
2
,解得
3 ux,当x 时,u,于是
332 1 1 1
l i m l i m 1 l i m 1 l i m 1 e,
3
x u u
x u u u
x
x u u u
定义 设某一极限过程中,? 与? 都是无穷小,且
C?
lim （ C 为常数）,
(1) 若 0?C,则称? 是比? 高阶的无穷小，记成
)( ao ( 此时，也称? 是比? 低阶的无穷小 ),
(2) 若 0?C,则称? 与? 是同阶无穷小，特别地，
若 1?C,则称? 与? 是等价无穷小，记为 ~,例如,1
s in
lim
0
x
x
x
即 )0(~s in?xxx ；
1
2
c o s1
lim
2
0
x
x
x
即 )0(
2
~c os1
2
x
x
x,
三、无穷小的比较定理 设 ~,~)1( aa ；
),(li m)2(
或A
a
则 )(limlim
或A
aa
,
).(lim
limlimlim
limlim
或A
a
a
a
a
a
a
aa
证例 12 求 xxx 5s i n 2t a nl i m 0?,
解 当 0?x 时,xx 2~2t a n,xx 5~5s i n,所以
.5252lim5s in 2ta nlim 00 xxxx xx
例 13 求 30 s i nta nl i m x xxx,
解 因为当 0?x 时,xx ~s i n,221~c os1 xx?,所以
3 3 3
0 0 0
2
3
0
1
si n 1
ta n si n si n ( 1 c os )c os
l im l im l im
c os
1
12
l im,
c os 2
x x x
x
x
x x x xx
x x x x
xx
xx
常用的几个等价无穷小代换当 0?x 时,有
2
si n ~,t a n ~,a r c si n ~,a r c t a n ~
1
1 c os ~,l n( 1 ) ~,e 1 ~,
2
1
1 1 ~,
2
x
x x x x x x x x
x x x x x
xx
思考题
1,下列运算错在何处,;01c o slim01c o slims inlim1c o ss inlim)1(
0000
xx
x
x
x
xxxx
22
2
2
2
l im
( 2) l im,2 l im ( 2 )x
x
x
xx
xx
2,两个无穷大的和仍为无穷大吗? 试举例说明,
一,函数的连续性定义二,初等函数的连续性三,闭区间上连续函数的性质第三节 函数的连续性连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现,
这方面实例可以举出很多,如水的连续流动,身高的连续增长等,
函数的增量 设函数 )( xfy? 在点 0x 的某邻域上有定义，当自变量 x 由 0x 变到 xx0 时，函数 y 相应由 )( 0xf
变到 )( 0 xxf,函数相应的增量为
)()(
00
xfxxfy,
O x
y
x f y?
0 x x x 0
x?
y?
( )
其几何意义如右图所示,
第三节 函数的连续性一、函数的连续性定义定义 1 设函数 )( xfy? 在点
0
x 的某邻域内有定义，
如果自变量的增量
0
xxx 趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即
0)()(limlim
00
00
xfxxfy
xx
则称函数 )( xf 在点
0
x 是连续的,
由于 y? 也写成 )()(
0
xfxfy,所以上述定义 1
中表达式也写为 0)()(l i m
0
0
xfxf
xx
,
即 )()(lim
0
0
xfxf
xx
,
于是有说明：函数 )( xf 在点 0x 连续，必须同时满足以下三个条件,
(1) )( xf 在点 0x 的一个邻域内有定义；
(2) )(lim
0
xf
xx?
存在；
(3) 上述极限值等于函数值 )( 0xf,
如果上述条件中至少有一个不满足，则点 0x 就是函数 )( xf 的间断点,
定义 2 设函数 )( xfy? 在点 0x 的某邻域内有定义，若 )()(lim 0
0
xfxf
xx
，则称函数 )( xf 在点 0x 处连续,
定义 3 ( 间断点的分类 ) 设 0x 为 )( xf 的一个间断点，如果当 0xx? 时,)( xf 的左、右极限都存在，
则称 0x 为 )( xf 的第一类间断点；否则，称 0x 为 )( xf 的第二类间断点,对第一类间断点 还有
(1) 当 )(lim
0
xf
xx
与 )(lim
0
xf
xx
均存在，但不相等时，称
0x 为 )( xf 的跳跃间断点；
(2) 当 )(lim
0
xf
xx?
存在，但不等于 )( xf 在 0x 处的函数值时，称 0x 为 )( xf 的可去间断点,
若
)(lim
0
xf
xx
，则称 0x 为 )( xf 的无穷间断点，
无穷间断点属第二类间断点,
例 1 设
2 1,
1,1
xx
fx x
x
，
，
讨论 )( xf 在 1?x 处的连续性,
解 因为 1li m)(li m
2
11
xxf
xx
,
2)1(lim)(lim
11
xxf
xx
,即 )(l i m
1
xf
x?
不存在．所以 1?x 是第一类间断点，且为跳跃间断点．（如下页图 7 ）,
例 2 设
4
,0
1,0
x
x
fx x
x
，
，
讨论 )( xf 在 0?x 处的连续性,
解 因 为 0lim)(lim
4
00
x
x
xf
xx； 1)0(?f 即
)0()(lim
0
fxf
x
,所以 0?x 是 )( xf 的第一类间断点，且为可去间断点．（如下页图 8 ）,
O x
y
2
1
1
图 7
O x
1
y
图 8
例 3
2)1(
1
)(
x
xf 在 1?x 处 没 有 定 义,且
21 )1(
1
lim
xx
，则称 1?x 为 )( xf 的无穷间断点,
如果 )( xf 在区间 ),( ba 内每一点都是连续的，就称
)( xf 在区间 ),( ba 内连续．若 )( xf 在 ),( ba 内连续，在
ax? 处右连续，在 bx? 处左连续，则称 )( xf 在 ],[ ba 上连续,连续函数的图形是一条连续不断的曲线,
若
0
0l im ( ) ( )xx f x f x,则称函数在 0x 处右连续,
若
0
0l im ( ) ( )xx f x f x,则称函数在 0x 处左连续,
1,初等函数的连续性定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的．
求初等函数的连续区间就是求其定义区间,关于分段函数的连续性,除按上述结论考虑每一段函数的连续性外,还必须讨论分界点处的连续性,
2,利用函数的连续性求极限若 )( xf 在 0x 处连续，则 )()(l i m 0
0
xfxf
xx
,即求连续函数的极限，可归结为计算函数值,
二、初等函数的连续性例 3 求极限 )][ ln ( s inlim
2
π xx?,
解 因为 )ln ( s in x 在
2
π
x 处 连 续,故 有
01ln)
2
π
l n ( s i n)][ l n ( s i nl i m
2
π
x
x
,
3,复合函数求极限的方法 定理 1 设 有 复 合 函 数 )]([ xfy,若
0
l i m ( )
xx
xa?
,而函数 )( uf 在 ua? 点连续，则
.(lim[[lim
00
a)fxfxf xxxx
例 4 求极限 0 l n ( 1 )l i mx xx,
解
1
l n ( 1 )
l n ( 1 )
x
x
x
x
,
1
l n( 1 )
x
x? 是由
1
l n,( 1 )
x
y u u x 复合而成的，而
1
0
l i m ( 1 ) e
x
x
x
,在 e?u
点 uln 连续，故
1
00
l n ( 1 )
l i m l i m l n ( 1 )
x
xx
x
x
x
1
0
l n[ l im ( 1 ) ] l n e 1
x
x
x
,
例 5 求 )a r c c o s (lim 2 xxxx,
解 )a r c c o s(lim
2
xxx
x
)](lima r c c o s [
2
xxx
x
]
)(
))((
lima r c c os [
2
22
xxx
xxxxxx
x
2
a r c c os l im
x
x
x x x
3
π
2
1
a r c c os
1
1
1
1
lima r c c os
x
x
,
定理 2 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值,定理 3 若函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，且 )( af 与
)( bf 异号，则至少存在一点 ),( ba,使得 0)(f,定理 4 若函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，且
)()( bfaf?,? 为介于 )( af 与 )( bf 之间的任意一个数，则至少存在一点 (,)ab,使得 ()f,
定理 3 称为根的存在定理．从几何上看，如下页左图所示，连续曲线 )( xfy? 从 x 轴下侧的点 A ( 纵坐标
0)(?af ) 笔不离纸地画到 x 轴上侧的点 B ( 纵坐标
0)(?bf 时，比与 x 轴至少相交于一点 (,0)C?,这表明若方程 0)(?xf,左端的函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 两个端点处的函数值异号，则该方程在 开区间 ),( ba 内至少存在一个根,
三、闭区间上连续函数的性质定理 4 称为介值定理,从几何上看，如 右 上 图所示，
闭区间 ],[ ba 上的连续函数 )( xfy? 的图象从 A 连续画到 B
时，至少要与直线y 相交一次,
O
y
B
b
A
a C
) ( x f y?
( ) b f
a f ( )
x
B
b
A
a O x
y
1? 2? 3?
) ( a f
) ( b f
例 6 证明方程 01s i n xx 在 0 与 π 之间有实根,
证 设 1s i n)( xxxf,因为 )( xf 在 ),( 内连续，
所以,)( xf 在 ]π,0[ 上也连续，而 01π)π(,01)0( ff,
所以，据定理 3( 根的存在定理 ) 知，至少有一个 ( 0,π),
使得 ( ) 0f,即方程 01s i n xx 在 0 与 π 之间至少有一个实根,
思考题
1,如果 )( xf 在 0x 处连续，问 )( xf 在 0x 处是否连续？ 2,区间 ba,上的连续函数一定存在着最大值与最小值吗？
１,0xx? 时函数 ()fx 的极限引例 从函数图形特征观察函数的极限如图１：当 1x? 时,( ) 1f x x 无限接近２；
如图２：当 1x? 时，
2
1
()
1
x
gx
x
无限接近于２,
O 1 - 1 x
1
1
) (
2
x
x
x g
y
图２图１
O 1-1
(1,2)
x
y
f(x)=x+1
一、函数的极限邻域的 概念：开区间（ x,x ）称为以 x 为中心，以? （? ＞０）为半径 的邻域,简称为点 x 的邻域,
记为 N （ x,? ）．用 0?(,)Nx? 表示
0
x 的 空心邻域,即
0 0 0 0
(,) (,) ( 0 )x x x x,
函数 ( ) 1f x x 与
2
1
()
1
x
gx
x
是两个不同的函数，前者在 1x? 处有定义，后者在 1x? 处无定义．这就是说，当
1x? 时,()fx,()gx 的极限是否存在与其在 1x? 处是否有定义无关,
定义１ 设函数 ()fx 在
0
x 的某一 空心邻域 0?(,)Nx?
内有定义，如果当自变量 x 在
0
(,)Nx? 内无限接近于
0
x
时，相应的函数值无限接近于常数 A,则 A 为 0xx? 时函数 ()fx 的极限，记作
0
l i m ( )
xx
f x A
或
0
( ) ( )f x A x x,
２,0xx 时函数 ()fx 的极限定义２ 设函数 ()fx 在 0x 的右半邻域 00(,)xx 内有定义，当自变量 x 在此半邻域内无限接近于 0x 时，相应的函数值 ()fx 无限接近于常数 A,则称 A 为函数 ()fx 在
0
x 处的右极限，记为由该定义可知,讨论函数 ()fx 在 0x 处的右极限
0
l i m ( )
xx
f x A
时，在自变量 x 无限接近于 0x 的过程中，恒有 0xx?,于是有
00
l i m ( ) l i m ( )
x x x x
f x f x A
,
0 00
l i m ( ) ( ) ( ) ( ),xx f x A f x A f x A x x，或定义 3 设函数 )( xf 在
0
x 的左半邻域 ),(
00
xx 内有定义，当自变量 x 在此半邻域内无限接近于
0
x 时，
相应的函数值 )( xf 无限接近于常数 A,则称 A 为函数
)( xf 在
0
x 处的左极限，记为,Axf
xx
)(li m
0
或 Axf?
)(
0
或
).()(
0
xxAxf
3, 0xx 时函数 )( xf 的极限由 该 定 义 知,讨 论 函 数 )( xf 在 0x 处的 左 极 限
Axf
xx
)(lim
0
时，在自变量 x 无限接近于 0x 的过程中，恒有 0xx?,于是有 Axfxf
xxxx
)(lim)(lim
00
,
定理 1 Axfxx )(li m
0
的充要条件是
.)(lim)(lim
00
Axfxf xxxx
例 1 设
,0
( ) 1,0
,0
xx
f x x
xx
，
，
，
画出该函数的图形，
并讨论 )(li m
0
xf
x
,)(lim
0
xf
x?
,)(li m
0
xf
x
是否存在,解 )( xf 的图形如图 3 ( 见下页 ) 所示，由该图不难看出,
0)(l i m
0
xf
x； 0)(l i m
0
xf
x； 0)(lim
0
xf
x
,
例 2 设
1,0
sgn 0,0
1,0
x
xx
x
，
，
，
( 通常称 xs g n 为符号函数 ),画图讨论,s g nlim
0
x
x
,s g nlim
0
x
x?
x
x
s g nlim
0
是否存在,
解 函数 xs g n 的图形如图 4 ( 见 右 上图 ) 所示，不难看出 ； 1s g nlim
0
x
x； 1s g nl i m
0
x
x； x
x
s g nl i m
0?
不存在,
y
O 1 - 1 x
1
图 3
O
- 1
x
1
y
图 4
4,x 时函数 )( xf 的极限定义 4 设函数 )( xf 在 ax?|| 时有定义 ( a 为某个正实数 ),如果当自变量 x 的绝对值无限增大时，相应的函数值
)( xf 无限接近于常数 A,则称 A 为x 时函数 )( xf 的极限，记为 Axf
x
)(l i m 或 )()( xAxf,
5,x 时函数 )( xf 的极限定义 5 设函数 )( xf 在 ),(a 内有定义 ( a 为某个正实数 ),当自变量 x 无限增大时，相应的函数值 )( xf 无限接近于常数 A,则称 A 为x 时函数 )( xf 的极限，记为
Axf
x
)(lim 或 )()( xAxf,
定义 6 设函数 )( xf 在 ),( a 内有定义 ( a 为某个实数 ),当自变量无限变小 ( 或 x? 无限变大 ) 时，相应的函数值 )( xf 无限接近于常数 A,则称 A 为x 时函数 )( xf 的极限，记 Axf
x
)(lim 或 )()( xAxf,
定理 2 l i m ( )
x
f x A
的充要条件 是
)(lim xfx = Axfx )(lim,
6,x 时函数 )( xf 的极限例 3 由图 5 可知,0
1
l i m?
xx； 0
1
lim?
xx
,
图 5
O x
y
x
e y
O x
y
x
y
1
图 6
由图 6 可知 0eli m xx,
1,数列的概念设自变量为正整数的函数 ),2,1)(( nnfu
n
，其函 数 值 按 自 变 量 n 由 小 到 大 排 列 成 一 列 数
,,,,,
321 n
uuuu 称为数列，将其简记为
n
u,其中
n
u
为数列
n
u 的通项或一般项,
例如 nnu
2
1
,相应的数列为,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
32 n
2,数列的极限定义 7 对于数列
n
u,如果当 n 无限增大时，通项
n
u 无限接近于某个确定的常数 A,则称 A 为数列
n
u
的极限，或称数列
n
u 收敛于 A,记为 Au
n
n
}{lim 或
)( nAu
n
,若数列
n
u 没有极限，则称该数列发散,
二、数列的极限例 3 观察下列数列的极限,
(1)
1?
n
n
u
n,(2) nn
u
2
1
,
(3) 12 nu n,(4)
1
)1(
n
n
u,
解 观察数列在n 时的发展趋势，得
（ 1 ） 对于数列
1?
n
n
u
n
，即,...
1
,...,
4
3
,
3
2
,
2
1
n
n
极限
1
1
li m?
n
n
n；
（ 2 ） 对于数列
nn
u
2
1
,即,...
2
1
,...,
2
1
,
2
1
,
2
1
32 n
极限 0
2
1
li m?
n
n；
（ 3 ） 对 于 数 列 12 nu
n
，即,.,.12,.,.,7,5,3?n 极限
)12(lim?
n
n
不存在 ；
（ 4 ）对于数列
1
)1(
n
n
u,即,.,.)1(,.,.,1,1,1
1?
n
极限
1
)1(lim
n
n
不存在,
3.数列极限存在定理单调数列 如果数列 }{ nu 对于每一个正整数 n,都有 1 nn uu,则称数列 }{ nu 为单调递增数列；类似地，如果数列 }{ nu 对于每一个正整数 n,都有 1 nn uu,则称数列 }{ nu 为单调递减数列,
有界数列 如果对于数列 }{ nu,存在一个正常数
M,使得对于每一项 nu,都有 || nu ≤ M,则称数列 }{ nu
为有界数列,
定理 3 ( 单调有界原理 ) 单 调有界数列 必有极限,
性质 性质 1 ( 惟一性 ) 若 Axf
xx
)(lim
0
,Bxf
xx
)(lim
0
，
则 BA?,性质 2 ( 有界性 ) 若 Axf
xx
)(l i m
0
，则存在 0x 的某一 空心邻域 ),?( 0?xN,在 ),?( 0?xN 内函数 )( xf 有界,
三、极限的性质性质 3 ( 保号性 ) 若 Axf
xx
)(lim
0
且 0?A ( 或
0?A ),则存在某个 空心邻域 ),?( 0?xN,在 ),?( 0?xN 内
0)(?xf ( 或 0)(?xf ),
推论 若在某个 空心邻域 ),?( 0?xN 内,)( xf ≥ 0 ( 或
)( xf ≤ 0 ),且 Axf
xx
)(lim
0
,则 A ≥ 0( 或 A ≤ 0),
性质 4 ( 夹逼准则 ) 若?x ),?(
0
xN ( 其中? 为某 个 正 常 数 ) 时,有 )( xg ≤ )( xf ≤ )( xh,
Axhxg
xxxx
)(lim)(lim
00
,则 Axf
xx
)(lim
0
,
上述性质，若把 0xx? 换成自变量 x 的其他变化过程，有类似的结论成立,
定义 1? ( 极限的 定义 ) 设 )( xf 在
0
x 的 某个邻域 ),(
0
xN 中有定义，若对任意给定的正数?,存在
0,使得当
0
0 xx 时，总有 Axf )( 成 立，
则称
0
xx? 时,)( xf 以 A 为极限，记为 Axf
xx
)(lim
0
,
五、无穷小量
1,无穷小量的定义定义 8 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小,
说明 （ 1 ）数零是惟一可作为无穷小的常数,
（ 2 ）无穷小表达的是量的变化状态，而不是量的大小．一个量不管多么小，都不能是无穷小量，零是惟一例外的．即无穷小量是绝对值无限变小且趋于零的量,
四、极限分析定义例 4 自变量 x 在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小：
1
1
)1(
x
y ； 12)2( xy ；
x
y 2)3(? ；
x
y?
4
1
)4(,
解 (1) 因为 0
1
1
l im?
x
x
，所以当x 时,
1
1
x
为无穷小；
(2) 因为 0)12(lim
2
1
x
x
，所以当
2
1
x 时,12?x
为无穷小；
(3) 因为 02lim?
x
x
，所以当x 时,
x
2 为无穷小；
(4) 因为 0
4
1
lim
x
x
，所以当x 时,
x
4
1
为无穷小,
2,极限与无穷小量之间的关系设 Axf
xx
)(lim
0
，即
0
xx? 时，函数值 )( xf 无限接近于常数 A,也就是说 Axf?)( 无限接近于常数零，即
0
xx? 时,Axf?)( 以零为极限，也就是说
0
xx? 时,
Axf?)( 为无穷小量，若记 Axfx )()(?,则有
)()( xAxf,于是有 定理 4 ( 极 限 与 无 穷 小 量 之 间 的 关 系 )
Axf
xx
)(lim
0
的充要条件是 )()( xAxf,其中 )( x?
是 0xx? 时的无穷小量,
定理 4 中自变量 x 的变化过程换成其他任何一种情形,,,( 00 xxxxx ), xx 后仍然成立,
解 因为 1)
1
1(lim
1
lim)(lim
xx
x
xf
xxx
，而
xx
x
xf
1
1
1
)(
中的
x
1
为x 时的无穷小量，所以，
x
xf
1
1)( 为所求极限值与一个无穷小量之和的形式,
3,无穷小量的运算性质定理 5 有限个无穷小的代数和是无穷小量,
说明：无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量,如
n 时，,
2
,
1
22
nn
2
n
n
均 为 无 穷 小 量,但
2
1
)
2
1
2
1
(lim
2
)1(
lim)
21
(lim
2222
nn
nn
n
n
nn nnn
,
例 5 当x 时，将函数 xxxf 1)( 写成其极限值与一个无穷小量之和的形式,
定理 6 无穷小与有界量的积是无穷小,
推论 1 常数与无穷小的积是无穷小,
推论 2 有限个无穷小的积仍是无穷小,
说明：两个无穷小之商未必是无穷小,如 0?x 时，
x 与 2 x 皆为无穷小，但由 2
2
li m
0
x
x
x
知
x
x2
当 0?x 时不是无穷小,
例 6 求 xxx 1s inlim 20?,
解 因为 0lim
2
0
x
x
，所以
2
x 为x 时的无穷小量，又因为
x
1
s in ≤ 1,所以
x
x
1
s in
2
仍为 0?x 时的无穷小量，所以 0
1
s inlim
2
0
x
x
x
,
1,无穷大量的定义定义 9 在自变量 x 的某个变化过程中，若相应的函数值的绝对值 )( xf 无限增大，则称 )( xf 为该自变量变化过程中的无穷大量 ( 简称为无穷大 ) ；如果相应的函数值 )( xf ( 或 )( xf? ) 无限增大，则称 )( xf 为该自变量变化过程中的正 ( 或负 ) 无穷大,
如果函数 )( xf 是
0
xx? 时的无穷大，记作
)(lim
0
xf
xx；如果 )( xf 是
0
xx? 时的正无穷大，记作
)(lim
0
xf
xx；如果 )( xf 是
0
xx? 时的负无穷大，记作
)(lim
0
xf
xx
,对于自变量 x 的其 他变换过程中的无穷大量，正无穷大量，负无穷大量 可用类似的方法描六、无穷大量述,值得注意的是，无穷大量是极限不存在的一种情形，这里借用极限的记号，但并不表示极限存在,
例
x
1
是
0x 时的负无穷大量；用记号表示为
,
1
lim
0
xx
2
x 是x 时的正无穷大量，用记号表示为
2
l i m x
x
,
2,无穷大与无穷小的关系定理 7 ( 无穷大与无穷小的关系 ) 在自变量的变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
例 7 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大,
(1)
1
1
x
y ； (2) 12 xy ； (3) xy ln? ； (4)
x
y 2?,
解 (1) 因为 0)1(lim
1
x
x
，即 1?x 时 1?x 为无穷小量，所以
1
1
x
为 1?x 时的无穷大量；
(2) 因为 0)12 1(lim
xx
，所以x 时 12 1?x 为无穷小量，所以 12?x 为x 时的无穷大量；
(3) 由右图知，
0x 时，
xln,
x
x
lnlim
0
,
x 时,xln,即
x
x
lnlim,所以,
0x
及x 时,xln 都是无穷大量；
O
y
x 1
x y ln?
思考题
１在 Axf
xx
)(lim
0
的定义中，为何只要求 )( xf 在的
0
x 的某个空心邻域 ),?(
0
xN 内有定义？
２．
x
x
x
s in
lim
是否存在，为什么？
( 4 ) 因为 02l i m?
x
x
，即x 时
x?
2 为无穷小量，因此
x
x
2
2
1
为x 时的无穷大量；
一,极限运算法则二,两个重要极限三,无穷小的比较第二节 极限的运算设 )(lim xf 及 )(lim xg 都存在（假定 x 在同一变化过程中），则有下列运算法则,
法则１ )(lim)(lim)]()(lim [ xgxfxgxf,
法则２ )(lim)(lim)]()(lim [ xgxfxgxf,
法则３ )(lim )(lim)( )(lim xg xfxg xf? ).0)(( lim?xg
下面我们来证明法则２，其他证法类同,
一、极限运算法则证 设 BxgAxf )(lim,)(lim,则知
BxgAxf )(,)( （?,? 都是无穷小量）
于是 )())(()()( BAABBAxgxf,
由无穷小的性质知 BA 仍为无穷小，再由极限与无穷小的关系，得
)]()(li m [ xgxf AB = )(l im)(l im xgxf?,
例１ 求 )143(l im 22 xxx,
解 514lim3lim)143(lim
2
2
2
2
2
xxxx
xxx
,
例２ 求 23 42lim 221 x xxx,
解 因为 05)23(lim
2
1
x
x
,所以
.
5
3
)23(lim
)42(lim
23
42
lim
2
1
2
1
2
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
例３ 求 45 127lim 224 xx xxx,
解 当 4?x 时，分子分母都为０，故可约去公因式
（ 4?x ）．,3113lim)4)(1( )4)(3(lim45 127lim 442
2
4
x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
例 4 求 23 32lim 22 xx xxx,
解
3
2
21
3
31
2
lim
23
32
lim
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
,
一般地
.,0
,,
,,
lim
0
0
1
10
1
10
nm
nm
b
a
nm
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
当当当
例 5 求下列函数极限,
(1) )
1
1
1
3
(lim
3
1 xxx?
； (2)
x
x
x
11
lim
0
；
(3)
31
c o s
l i m
x
xx
x
,
解 (1) 当 1?x 时,上式两项极限均为不存在 ( 呈现
形式 ),我们可以先通分,再求极限,
.1
1
2
lim
)1)(1(
)1)(2(
lim
)1)(1(
)1(3
lim)
1
1
1
3
(lim
2121
2
2
131
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
.
2
1
11
1
lim
)11(
lim
)11(
)11)(11(
lim
11
lim
00
00
xxx
x
xx
xx
x
x
xx
xx
(3) 因为当x 时,xx c o s 极限不存在,也不能直接用极限法则,注意到 xc o s 有界 ( 因为 |c o s| x ≤ 1 ),又
,0
1
lim
1
lim
2
3?
x
x
x
x
x
x
xx
(2) 当 0?x 时,分子分母极限均为零 ( 呈现
0
0
形式 ),不能直接用商的极限法则,这时,可先对分子有理化,然后再求极限,
根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质,得
.01c o slim1c o slim 33 xxxxxx xx
小结,(1 ) 运用极限法则时,必须注意只有各项极限存在 ( 除式,还要分母极限不为零 ) 才能适用；
(2) 如果所求极限呈现
0
0
,
等形式不能直接用极限法则,必须先对原式进行恒等变形 ( 约分,通分,有理化，变量代换等 ),然后再求极限,
(3) 利用无穷小的运算性质求极限,
1,1s inlim 0 x xx,
证明 作单位圆如下图所示,取 xA O B ( rad),于是有,?BC,s i n x AB x?,xAD t an?,由 图 得
O A DO A BO A B
SSS
扇形
,
即 xxx t a n
2
1
2
1
s i n
2
1
得 xxx t ans i n,从 而有 1
s i n
co s
x
x
x,
D
A
B
C O
x
二、两个重要极限上述不等式是当
2
π
0 x 时得到的,但因当 x 用
x? 代换时 xc o s,
x
xs in
都不变号,所以 x 为负时,关系式也成立,因为 1c o slim
0
x
x
,又 11lim
0
x
,由极限的夹逼准则知介于它们之间的函数
x
xs in 当 0?x 时,极限也是 1,
这样就证明了 1s inlim 0 x xx,
说明：（ 1 ）这个重要极限主要解决含有三角函数的
0
0
型极限,
（ 2 ）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成
1
s i n
lim
0
口口口
( 方框□代表同一变量 ),
例 6 求 xxx 4s i n 3s i nl i m 0?,
00
3 0 4 0
s i n 3 s i n 3 4 3
l i m l i m ( )
s i n 4 3 s i n 4 4
3 s i n 3 4 3
l i m l i m,
4 3 s i n 4 4
xx
xx
x x x x
x x x x
xx
xx
例 7 求 20 c o s1lim x xx,
解
2
1
2
2
s i n
l i m
2
12
s i n2
l i m
c o s1
l i m
2
0
2
2
0
2
0
x
x
x
x
x
x
xxx
,
解例 8 求 30 s i nt a nlim x xxx,
2
0
3
0
3
0
c o s1s i n
c o s
1
l i m
)c o s1(t a n
l i m
s i nt a n
l i m
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
由例 7 知 )0(
2
1c os1
2
x
x
x
,
故
2
1s i nt a n
lim
3
0
x
xx
x
,
解
2,e11lim
x
x x,解释说明：列出
x
x
11 的数值表 ( 如 下 表 ),观察其变化趋势,
1 2 3 4 5 10 100 1000 10000 ……,
2 2.250 2.370 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718 ……
x
x
11
x
从 上 表 可看出,当 x 无限增大时,函数
x
x
1
1 变化的大致趋势,可以证明当x 时,
x
x
1
1 的极限确实存在,并且是一个无理数,其值为?718282828.2e?,即
e11lim
x
x x
说明：（ 1 ）此极限主要解决
1 型幂指函数的极限,
（ 2 ）它可形象地表示为 e
1
1l i m
口口
）
口
（ ( 方框□代表同一变量 ),
例 9 求
x
x x
31lim
,
解 所 求 极 限 类 型 是
1 型,令 u
x
3
,则 ux 3?,
3
3
33 1 1
l im 1 l im 1 l im 1 e
x u u
x u ux u u
,
例 10 求 2l im 1
x
x x
,
解 所求极限类型是
1 型,
2
2
221
l im 1 l im 1 e,
2
x
x
xx xx
例 11 求 2l im 3
x
x
x
x
,
解 所求极限类型是?1 型,令
ux
x 1
1
3
2
,解得
3 ux,当x 时,u,于是
332 1 1 1
l i m l i m 1 l i m 1 l i m 1 e,
3
x u u
x u u u
x
x u u u
定义 设某一极限过程中,? 与? 都是无穷小,且
C?
lim （ C 为常数）,
(1) 若 0?C,则称? 是比? 高阶的无穷小，记成
)( ao ( 此时，也称? 是比? 低阶的无穷小 ),
(2) 若 0?C,则称? 与? 是同阶无穷小，特别地，
若 1?C,则称? 与? 是等价无穷小，记为 ~,例如,1
s in
lim
0
x
x
x
即 )0(~s in?xxx ；
1
2
c o s1
lim
2
0
x
x
x
即 )0(
2
~c os1
2
x
x
x,
三、无穷小的比较定理 设 ~,~)1( aa ；
),(li m)2(
或A
a
则 )(limlim
或A
aa
,
).(lim
limlimlim
limlim
或A
a
a
a
a
a
a
aa
证例 12 求 xxx 5s i n 2t a nl i m 0?,
解 当 0?x 时,xx 2~2t a n,xx 5~5s i n,所以
.5252lim5s in 2ta nlim 00 xxxx xx
例 13 求 30 s i nta nl i m x xxx,
解 因为当 0?x 时,xx ~s i n,221~c os1 xx?,所以
3 3 3
0 0 0
2
3
0
1
si n 1
ta n si n si n ( 1 c os )c os
l im l im l im
c os
1
12
l im,
c os 2
x x x
x
x
x x x xx
x x x x
xx
xx
常用的几个等价无穷小代换当 0?x 时,有
2
si n ~,t a n ~,a r c si n ~,a r c t a n ~
1
1 c os ~,l n( 1 ) ~,e 1 ~,
2
1
1 1 ~,
2
x
x x x x x x x x
x x x x x
xx
思考题
1,下列运算错在何处,;01c o slim01c o slims inlim1c o ss inlim)1(
0000
xx
x
x
x
xxxx
22
2
2
2
l im
( 2) l im,2 l im ( 2 )x
x
x
xx
xx
2,两个无穷大的和仍为无穷大吗? 试举例说明,
一,函数的连续性定义二,初等函数的连续性三,闭区间上连续函数的性质第三节 函数的连续性连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现,
这方面实例可以举出很多,如水的连续流动,身高的连续增长等,
函数的增量 设函数 )( xfy? 在点 0x 的某邻域上有定义，当自变量 x 由 0x 变到 xx0 时，函数 y 相应由 )( 0xf
变到 )( 0 xxf,函数相应的增量为
)()(
00
xfxxfy,
O x
y
x f y?
0 x x x 0
x?
y?
( )
其几何意义如右图所示,
第三节 函数的连续性一、函数的连续性定义定义 1 设函数 )( xfy? 在点
0
x 的某邻域内有定义，
如果自变量的增量
0
xxx 趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即
0)()(limlim
00
00
xfxxfy
xx
则称函数 )( xf 在点
0
x 是连续的,
由于 y? 也写成 )()(
0
xfxfy,所以上述定义 1
中表达式也写为 0)()(l i m
0
0
xfxf
xx
,
即 )()(lim
0
0
xfxf
xx
,
于是有说明：函数 )( xf 在点 0x 连续，必须同时满足以下三个条件,
(1) )( xf 在点 0x 的一个邻域内有定义；
(2) )(lim
0
xf
xx?
存在；
(3) 上述极限值等于函数值 )( 0xf,
如果上述条件中至少有一个不满足，则点 0x 就是函数 )( xf 的间断点,
定义 2 设函数 )( xfy? 在点 0x 的某邻域内有定义，若 )()(lim 0
0
xfxf
xx
，则称函数 )( xf 在点 0x 处连续,
定义 3 ( 间断点的分类 ) 设 0x 为 )( xf 的一个间断点，如果当 0xx? 时,)( xf 的左、右极限都存在，
则称 0x 为 )( xf 的第一类间断点；否则，称 0x 为 )( xf 的第二类间断点,对第一类间断点 还有
(1) 当 )(lim
0
xf
xx
与 )(lim
0
xf
xx
均存在，但不相等时，称
0x 为 )( xf 的跳跃间断点；
(2) 当 )(lim
0
xf
xx?
存在，但不等于 )( xf 在 0x 处的函数值时，称 0x 为 )( xf 的可去间断点,
若
)(lim
0
xf
xx
，则称 0x 为 )( xf 的无穷间断点，
无穷间断点属第二类间断点,
例 1 设
2 1,
1,1
xx
fx x
x
，
，
讨论 )( xf 在 1?x 处的连续性,
解 因为 1li m)(li m
2
11
xxf
xx
,
2)1(lim)(lim
11
xxf
xx
,即 )(l i m
1
xf
x?
不存在．所以 1?x 是第一类间断点，且为跳跃间断点．（如下页图 7 ）,
例 2 设
4
,0
1,0
x
x
fx x
x
，
，
讨论 )( xf 在 0?x 处的连续性,
解 因 为 0lim)(lim
4
00
x
x
xf
xx； 1)0(?f 即
)0()(lim
0
fxf
x
,所以 0?x 是 )( xf 的第一类间断点，且为可去间断点．（如下页图 8 ）,
O x
y
2
1
1
图 7
O x
1
y
图 8
例 3
2)1(
1
)(
x
xf 在 1?x 处 没 有 定 义,且
21 )1(
1
lim
xx
，则称 1?x 为 )( xf 的无穷间断点,
如果 )( xf 在区间 ),( ba 内每一点都是连续的，就称
)( xf 在区间 ),( ba 内连续．若 )( xf 在 ),( ba 内连续，在
ax? 处右连续，在 bx? 处左连续，则称 )( xf 在 ],[ ba 上连续,连续函数的图形是一条连续不断的曲线,
若
0
0l im ( ) ( )xx f x f x,则称函数在 0x 处右连续,
若
0
0l im ( ) ( )xx f x f x,则称函数在 0x 处左连续,
1,初等函数的连续性定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的．
求初等函数的连续区间就是求其定义区间,关于分段函数的连续性,除按上述结论考虑每一段函数的连续性外,还必须讨论分界点处的连续性,
2,利用函数的连续性求极限若 )( xf 在 0x 处连续，则 )()(l i m 0
0
xfxf
xx
,即求连续函数的极限，可归结为计算函数值,
二、初等函数的连续性例 3 求极限 )][ ln ( s inlim
2
π xx?,
解 因为 )ln ( s in x 在
2
π
x 处 连 续,故 有
01ln)
2
π
l n ( s i n)][ l n ( s i nl i m
2
π
x
x
,
3,复合函数求极限的方法 定理 1 设 有 复 合 函 数 )]([ xfy,若
0
l i m ( )
xx
xa?
,而函数 )( uf 在 ua? 点连续，则
.(lim[[lim
00
a)fxfxf xxxx
例 4 求极限 0 l n ( 1 )l i mx xx,
解
1
l n ( 1 )
l n ( 1 )
x
x
x
x
,
1
l n( 1 )
x
x? 是由
1
l n,( 1 )
x
y u u x 复合而成的，而
1
0
l i m ( 1 ) e
x
x
x
,在 e?u
点 uln 连续，故
1
00
l n ( 1 )
l i m l i m l n ( 1 )
x
xx
x
x
x
1
0
l n[ l im ( 1 ) ] l n e 1
x
x
x
,
例 5 求 )a r c c o s (lim 2 xxxx,
解 )a r c c o s(lim
2
xxx
x
)](lima r c c o s [
2
xxx
x
]
)(
))((
lima r c c os [
2
22
xxx
xxxxxx
x
2
a r c c os l im
x
x
x x x
3
π
2
1
a r c c os
1
1
1
1
lima r c c os
x
x
,
定理 2 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值,定理 3 若函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，且 )( af 与
)( bf 异号，则至少存在一点 ),( ba,使得 0)(f,定理 4 若函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，且
)()( bfaf?,? 为介于 )( af 与 )( bf 之间的任意一个数，则至少存在一点 (,)ab,使得 ()f,
定理 3 称为根的存在定理．从几何上看，如下页左图所示，连续曲线 )( xfy? 从 x 轴下侧的点 A ( 纵坐标
0)(?af ) 笔不离纸地画到 x 轴上侧的点 B ( 纵坐标
0)(?bf 时，比与 x 轴至少相交于一点 (,0)C?,这表明若方程 0)(?xf,左端的函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 两个端点处的函数值异号，则该方程在 开区间 ),( ba 内至少存在一个根,
三、闭区间上连续函数的性质定理 4 称为介值定理,从几何上看，如 右 上 图所示，
闭区间 ],[ ba 上的连续函数 )( xfy? 的图象从 A 连续画到 B
时，至少要与直线y 相交一次,
O
y
B
b
A
a C
) ( x f y?
( ) b f
a f ( )
x
B
b
A
a O x
y
1? 2? 3?
) ( a f
) ( b f
例 6 证明方程 01s i n xx 在 0 与 π 之间有实根,
证 设 1s i n)( xxxf,因为 )( xf 在 ),( 内连续，
所以,)( xf 在 ]π,0[ 上也连续，而 01π)π(,01)0( ff,
所以，据定理 3( 根的存在定理 ) 知，至少有一个 ( 0,π),
使得 ( ) 0f,即方程 01s i n xx 在 0 与 π 之间至少有一个实根,
思考题
1,如果 )( xf 在 0x 处连续，问 )( xf 在 0x 处是否连续？ 2,区间 ba,上的连续函数一定存在着最大值与最小值吗？
