第三章 导数与微分第二节 求导法则第三节 微分及其在近似计算中的应用第一节 导数的概念一,两个实例二,导数的概念三,可导与连续第一节 导数的概念四,求导举例第一节 导数的概念
1,变速直线运动的瞬时速度设一物体作变速直线运动，其路程函数为 s = s ( t ),
求该物体在
0
t 时刻的瞬时速度,设在
0
t 时刻物体的位置为 s (
0
t ),当经过
0
t + tΔ 时刻获得增量 tΔ 时，物体的位置函数 s 相应地有增量 ),()(
00
tsttss （如下图）
于是比值
,00 t tsttsts
O )( 0ts )( 0 tts s
一、两个实例就是物体在 0t 到 0t + tΔ 这段时间内的平均速度,记作 v,
,00
t
tstts
t
sv
即当 tΔ 很小时,v 可作为物体在
0
t 时刻的瞬时速度的近似值,且 tΔ 越小,v 就越接近物体在
0
t 时刻的瞬时速度,即
,limlimlim)( 00
0000 t
tstts
t
svtv
ttt?
就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限,
2,平面曲线的切线斜率设函数 )( xfy? 的图像为曲线 L （如上图）,
0 0 0
(,( ) )M x f x 和 (,( ) )M x f x 为曲线 L 上的两点，它们到 x
轴的垂足分别为 A 和 B,作 0MN 垂直 BM 并交 BM 于 N,
则
00 Δ xxxNM,
)()(Δ 0xfxfyNM,
A B
T
N L
M
o
y
x
) ( x f y?
0 M
在曲线 L 上点
0
M 附近，再取一点 M,作割线
0
MM,当点 M 沿曲线 L 移动而趋向于
0
M 时，割线
0
MM 的极限位置
0
MT 就定义为曲线 L 在点
0
M 处的切线,
平面曲线的切线几何演示便是割线
0
MM 的斜率?tan,当 0Δ?x 时,M 沿曲线
L 趋于
0
M,从而我们得到切线的斜率
00
Δ 0 Δ 0 Δ 0
Δ ( )Δ
t an l i m t an l i m l i m
ΔΔx x x
f x x f xy
xx
,
由此可见，曲线 )( xfy? 在点
0
M 处的纵坐标 y 的增量
yΔ 与横坐标 x 的增量 xΔ 之比，当 0 x 时的极限即为曲线在
0
M 点处的切线斜率,
0 0 0
0
ΔΔ,
ΔΔ
f x f x f x x f xy
x x x x
而比值设函数 )( xfy? 在点
0
x 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在
0
x 处有增量
0
Δ ( Δ 0,Δx x x x 仍在该邻域内 ) 时,
相应地函数有增量
00
Δ ( Δ ) ( )y f x x f x,如果 Δ y 与
Δ x 之比
Δ
Δ
y
x
当 Δ0x? 时，极限
1.导数的定义
Δ 0 Δ 0
( Δ ) ( )Δ
l im l im
ΔΔxx
f x x f xy
xx
存在，那么这个极限值称为函数 )( xfy? 在点
0
x 的导数,
并且说，函数 )( xfy? 在点
0
x 处可导，记作 )(
0
xf?,
二、导数的概念也记为
0
' xxy?,
0
d
)(d
xxx
xf
或
0
d
d
xxx
y
,
即
00
0
00
( Δ ) ( )Δ
( ) l im l im
ΔΔxx
f x x f xy
fx
xx
,
如果极限不存在，我们说函数 )( xfy? 在点
0
x 处不可导,
如果固定
0
x,令
0
Δxx? = x,则当 Δ0x? 时,
有
0
xx?,故函数在
0
x 处的导数 )(
0
xf? 也可表为
0
0
0
)()(
lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx?
,
极限
00
Δ 0 Δ 0
( Δ ) ( )Δ
l im l im
ΔΔxx
f x x f xy
xx
；
00
Δ 0 Δ 0
( Δ ) ( )Δ
l im l im
ΔΔxx
f x x f xy
xx
,
分别叫做函数 )( xf 在点
0
x 处的左导数和右导数,
且分别记为 )(
0
xf
和 )(
0
xf
,
定理 函数 )( xfy? 在点
0
x 的左、右导数存在且相等是 )( xf 在点
0
x 处可导的充分必要条件,
2．左、右导数如果函数 )( xfy? 在区间 )b,( a 内每一点都可导,
称 )( xfy? 在区间 )b,( a 内可导,
如果 )( xf 在 )b,( a 内可导，那么对应于 )b,( a 中的每一个确定的 x 值，对应着一个确定的导数值 )( xf?,
这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数
)( xfy? 的导函数,
记作 )( xf?,y?,
x
y
d
d
,
x
xf
d
)(d
,在不致发生混淆的情况下，导函数也简称为导数,
显然，函数 )( xfy? 在点
0
x 处的导数 )(
0
xf?,就是导函数 )( xf? 在点
0
xx? 处的函数值，即
0
)()(
0 xx
xfxf
,
例 1 求函数 2xy? 在任意点 x 处的导数,
解 在 x 处给自变量一个增量 Δ x,相应的函数增量为
22
Δ ( Δ ) ( ) ( Δ )y f x x f x x x x
2
2 Δ ( Δ )x x x,
于是
Δ
2 Δ
Δ
y
xx
x
,
则
Δ 0 Δ 0
Δ
l i m l i m ( 2 Δ ) 2
Δxx
y
x x x
x
,即 xx 2)(
2
,
曲线切线方程：曲线 L 上点 ),( 00 yxM 处的切线方程就是
))(( 000 xxxfyy,特别地，若 )( 0xf,则切线垂直于 x
轴，切线方程就是 x 轴的垂线 0xx?,
解 因为 xxy 2)(
2
,由导数的几何意义又知,
曲线
2
xy?,在点 (1,1) 处的切线斜率为 22
11
xx
xy,
所以，所求的切线方程为 )1(21 xy,即 12 xy,
法线方程为 )1(
2
1
1 xy 即
2
3
2
1
xy,
导数的几何意义：函数 )( xfy? 在点 0x 处的导数等于函数所表示的曲线 L 在相应点 ),( 00 yx 处的切线斜率,
例 2 求抛物线 2xy? 在点 (1,1 ) 处的切线方程和法线方程,
3.导数的几何意义对于函数 )( xfy?,比值
00
ΔΔ
ΔΔ
f x x f xy
xx
,
表示自变量 x 在以
0
x 与
0
Δxx? 为端点的区间中每改变一个单位时,函数 y 的平均变化量,所以把
Δ
Δ
y
x
称为函数 )( xfy? 在该区间中的平均变化率；把平均变化率当 Δ0x? 时的极限 )(
0
xf? 或
0
d
d
xx
x
y
称为函数在
0
x 处的变化率,变化率反映了函数 y 随着自变量 x 在
0
x 处的变化而变化的快慢程度,
4.变化率模型几个常见变化率模型问题 平均变化率 变化率模型电流模型电荷
)( tQQ?
00
( Δ ) ( )Δ
ΔΔ
Q t t Q tQ
i
tt
00
0
Δ0
( Δ ) ( )
( ) l i m
Δ
t
Q t t Q t
it
t
细杆的线密度质量
)( xmm?
00
( Δ ) ( )Δ
ΔΔ
m x x m xm
xx
00
0
Δ0
( Δ ) ( )
( ) l i m
Δ
x
m x x m x
x
x
边际成本模型总成本
)( xCC?
Δ ( Δ ) ( )
ΔΔ
C C x x C x
xx
Δ 0 Δ 0
Δ ( Δ ) ( )
( ) l i m l i m
ΔΔ
xx
C C x x C x
Cx
xx
化学反应速度浓度
)( tNN?
Δ ( Δ ) ( )
ΔΔ
N N t t N t
tt
Δ0
( Δ ) ( )
( ) l i m
Δ
x
N t t N t
Nt
t
关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物繁殖率等等，在这里就不再一一列举了,
设函数 )( xfy? 在点 x 处可导,有 )(lim
0
xf
x
y
x
根据函数的极限与无穷小的关系,可得 )()( xxf
x
y
,
其中 )( x 是 0 x 的无穷小，两端各乘以 x?,即得
xxxxfy )(α)(,由此可见 0lim
0
y
x
,
这就是说 )( xfy? 在点 x 处连续,也即，如果函数 )( xfy?
在 x 处可导，那么在 x 处必连续,但反过来不一定成立,
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导,
例如，函数
0,
,0,
xx
xx
xy 显然在?x 0 处连续,
但是在该点不可导,
三、可导与连续因为 xxfxfy )()0(,
所以在 0?x 点的 右导数,
1limlimlim)0(
000
x
x
x
x
x
y
f
xxx
,
而左导数是,1limlimlim)0(
000
x
x
x
x
x
y
f
xxx
,
左右导数不相等，故函数在该点不可导,所以，函数连续是可导的必要条件而不是充分条件,
求函数 )( xfy? 的导数 y? 的步骤,
（ 1 ）求增 )()( xfxxfy,
（ 2 ）算比值：
x
xfxxf
x
y
)()(
,
（ 3 ）取极限：
x
y
y
x?
0
l i m,
四、求导举例解 (1) 求增量：因为 Cy?,即不论 x 取什么值，
y 的值总等于 C,所以 0y ；
(2) 算比值：
x
y
0? ；
(3) 取极限,00l i ml i m
00
xx x
y
y,
即常数函数的导数等于零,
解 （ 1 ）求增量,
xxxxfxxfy s i n)s i n ()()(,
由和差化积公式有,
2
)(
s i n
2
)(
c o s2
xxxxxx
y
.
2
s i n)
2
co s (2
xx
x
例 7 求函数 Cy? （ C 是常数）的导数,
例 8 求函数 xy s i n? 的导数,
（ 2 ）算比值,
2
2
s i n
)
2
c o s (
2
s i n)
2
c o s (2
x
x
x
x
x
xx
x
x
y
,
（ 3 ）取极限,
2
2
sin
)
2
cos (limlim
d
d
00 x
x
x
x
x
y
x
y
xx?
00
si n
2
l im c os( ) l im c os
2
2
xx
x
x
xx
x
,
即 ( si n ) c osxx,用类似的方法，可求得余弦函数 y =cos x
的导数为,( c o s ) s inxx,
解 （ 1 ）求增量,
x
xx
xxxy
aaa
l o gl o g)(l o g
x
x
a
1l o g
,
（ 2 ） 算比值,
x
x
a
a
x
x
xx
x
x
x
y
1lo g
1
1lo g
,
（ 3 ） 取极限,
x
x
a
xx
x
x
xx
y
x
y
1l o g
1
limlim
d
d
00
axx
a
ln
1
elog
1
,
即
ax
x
a
ln
1
)( l o g
,特别地，当 e?a 时，得自然对数的导数
x
x
1
)( l n
,
例 9 求对数函数 )0,0,0(l o g xaaxy a 的导数,
解 (1) 求增量：由二项式定理有
nn
xxxy )(
nnn
xxx
nn
xnx )()(
!2
)1(
221
,
(2) 算比值：
121
)(
!2
)1(
nnn
xxx
nn
nx
x
y
,
(3) 取极限,
1 2 1
00
d ( 1 )
l i m l i m ( )
d 2 !
n n n
xx
y y n n
nx x x x
xx
1n
nx
,
即
1?
nn
nxx,（ n 为正整数）
一般地，对
xy （? 是实数），也有
1
xx,这个公式在后面将给出证明,例如,
x
xx
2
1
2
1
,
2
1
11
x
x
x
,
例 10 求函数 nxy? （ n 为正整数）的导数,
1,思考下列命题是否正确？如不正确举出反例,
(1 ) 若函数 )( xfy? 在点
0
x 处不可导，则 )( xf 在点
0
x
一定不连续；
(2 ) 若曲线 )( xfy? 处处有切线，则 )( xfy? 必处处可导,
2,若 A
ax
afxf
ax
)()(
l i m （ A 为常数），试判断下列命题是否正确,
（ 1 ） )( xf 在点 x=a 处可导；
（ 2 ） )( xf 在点 x=a 处连续；
（ 3 ）
)()()()( axoaxAafxf
,
思考题,
第二节 求导法则一,函数的和、差、积、商的求导法则二,复合函数的求导法则四,初等函数的求导公式三,反函数的求导法则五,三个求导方法六,高阶导数定理 1 设函数 ）（ xuu? 与 ）（ xvv? 在点 x 处 可导,
则函数 ）（）（ xvxu?,）（）（ xvxu,））（（
）（
）（
0?xv
xv
xu
也在点 x 处可导,且有以下法则,
(1)
）（）（）（）（ xvxuxvxu ][;
(2) )()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu,
特别地
）（）（ xuCxCu][
(C 为常数 );
(3 )
）（
）（）（）（）（
）（
）（
x
xxuxxu
x
xu
2
)0)((?xv
,
特别地,当
Cxu?）（
(
C
为常数 ) 时,有
）（
）（
）（ xv
xvC
xv
C
2
第二节 求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则下面我们给出法则（ 2 ）的证明，法则（ 1 ），（ 3 ）的证略,
证 令 ）（）（ xvxuy?,
(1) 求函数 y 的增量,给 x 以增量 x?,相应地函数 ）（ xu,
）（ xv 各有增量 u? 与 v?,从而 y 有增量
,
][][
vxuxxuv
xvxxvxuxxvxuxxu
xvxuxxvxxuy
）（）（
）（）（）（）（）（）（
）（）（）（）（
(2) 算比值,
x
u
xuxxv
x
u
x
y
）（）（,
(3) 取极限,由于
）（ xu
与
）（ xv
均在 x 处可导,所以
）（），（ xv
x
v
xu
x
u
xx
00
limlim,
又,函数 ）（ xv 在 x 处可导,就必在 x 处连续,因此
)()(lim
0
xvxxv
x
,
从而根据和与乘积的极限运算法则有
.
limlimlimlim
'
0000
）（）（）（）（
）（）（
xvxuxvxu
x
v
xuxxv
x
u
x
y
xxxx
这就是说,）（）（ xvxuy? 也在 x 处可导且有
）（）（）（）（）（）（ xvxuxvxuxvxu][,
例 1 设
7
π
s i nln4co s xxxy,求 y?,
解
.
4
s in
2
c os
ln4c osc os
7
π
s inln4c os
x
xx
x
x
xxxxx
xxxy
）（）（）（
）（）（）（
解
,s e c
c os
1
c os
s i nc os
c os
c oss i nc oss i n
c os
s i n
t a n
2
22
22
2
x
xx
xx
x
xxxx
x
x
xy
）（）（
）（）（
即 xx
2
s e ct a n）（,
用类似的方法可得
xx
2
c s cc ot）（,
例 2 求 xy ta n? 的导数,
例 3 设 xy s e c?,求 y?,
解
2
2
1 c os
s e c
c os c os
s i n
s e c t a n
c os
x
yx
xx
x
xx
x
（）
（）
,
用类似的方法可求得 xxx co tcs ccs c）（,
证 当自变量 x 的改变量为 x? 时,对应的函数 ()ux 与
)( ufy? 的改变量分别为 u? 和 y?,
由于函数 )( ufy? 可导,即
u
y
u
y
u
d
d
lim
0
存在,于是由无穷小与函数极限的关系,有
d
()
d
yy
u
uu
,
其中 () u 是 0 u 时的无穷小,以 u? 乘以上式两边得
d
()
d
y
y u u u
u
,
定理 2 如果函数 ()ux 在点 x 处可导,而函数 )( ufy?
对应的点 u 处可导,那么复合函数 [ ( ) ]y f x 也在点 x 处可导,且有
x
u
u
y
x
y
d
d
d
d
d
d
或fx?
=f u x,
二、复合函数的求导法则于是
d
()
d
y y u u
u
x u x x
,
因为 ()ux 在点 x 处可导,又根据函数在某点可导必在该点连续,可知 ()ux 在点 x 处也是连续的,故有
0
d
l im
d
x
uu
xx
,
且当 0 x 时 0 u,从而
00
l i m ( ) l i m ( ) 0
x
uu
,
所以
00
0 0 0
d
l im l im [ ( ) ]
d
d d d
l im l im ( ) l im,
d d d
xx
x x x
y y u u
u
x u x x
y u u y u
u
u x x u x
即
d d d
d d d
y y u
x u x
,
或记为 { [ ( ) ] } ( ) ( )f x f u x,
上式说明复合函数 [ ( ) ]y f x 对 x 的导数时,可先求出
)( ufy? 对 u 的导数和 ()ux 对 x 的导数,然后相乘即得,
显然,以上法则也 可用于多次复合的情形,
例如,设 )( ufy?,()uv,()vx 都可导,
则
x
v
v
u
u
y
x
y
d
d
d
d
d
d
d
d
,
或记为 { [ ( ( ) ) ] } ( ) ( ) ( )f x f u v x,
解 函数 xy s i n? 可以看作由函数 uy s i n? 与 xu? 复合而成,因此
x
x
x
uxuy
2
c o s
2
1
c o s)()( s i n,
例 5 求 xy s in? 的导数,
解
.c s c
s i n
1
2
1
.
2
c os
1
.
2
s i n
2
c os
)
2
(s e c
2
ta n
1
2
ta n
2
ta n
1
)
2
ta n( l n
2
'2
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
y
例 7 求函数
2
t a nln
x
y? 的导数,
对于复合函数的分解比较熟悉后,就不必再写出中 间变量,而可以采用下列例题的方式来计算,
解 因为
x
xy
s i n
e
可以看作由指数函数
u
e 与对数函数 xu ln 复合而成,由复合函数求导法则有
1ln
'
11
eln)e(
x
x
x
x
xy
xu
,
即
1
)(
xx,
解 分两种情况来考虑,
当 0)(?xf 时,
)(
)(
)(
)(
1
])([ ln),(ln
xf
xf
xf
xf
xfyxfy
,
当 0)(?xf 时,
)(
)(
])([
)(
1
)),(ln (
xf
xf
xf
xf
yxfy
,例 9 设 )( xf? 存在,求 |)(|ln xfy? 的导数 ( 0)(?xf ),
例 8 设 xy (? 为实数 ),求 y?,
解 设在时刻 t 时,气球的体积与半径分别为 v 和 r,
显然 )(,
3
4
3
trrrV,
所以 V 通过中间变量 r 与时间 t 发生联系,是一个复合函数
3
)]([
3
4
trV,
所以
)(
)(
]|)(|[ l n
xf
xf
xf
,
复合函数求导法则熟练后,可以按照复合的前后次序,层层求导直接得出最后结果,
解
12
12lncos
2
122
1
12
1
12lncos
x
x
xx
xy,
例 10 求函数 12lns in xy 的导数,
例 11 设气体以
3
100c m / s 的常速注入球状的气球,假定气体的压力不变,那么当半径为 10 cm 时,气球半径增加的速率是多少?
按题意,已知
3
d
100 c m / s
d
V
t
,要求当 1 0 cmr? 时
t
r
d
d
的值,
根据复合函数求导法则,得
t
r
tr
t
V
d
d
)]([3π
3
4
d
d
2
,将已知数据代入上式,得
t
r
d
d
10π4100
2
,所以
d1
c m / s
d4 π
r
t
,即在
1 0 cmr? 瞬间,半径以
1
c m / s
4 π
的速率增加,
定理 3 如果单调连续函数 ()xy 在点 y 处可导,而且
( ) 0y 那么它的反函数 )( xfy? 在对应的点 x 处可导,
且有
' 1 d 1
()
d( ) d
d
y
fx
xyx
y
或,三、反函数的求导法则证 由于 ()xy 单调连续,所以它的反函数
)( xfy? 也单调连续,给 x 以增量 0 x,从 )( xfy? 的单调性可知 0)()( xfxxfy,
因而有
y
x
x
y
1
,
根据 )( xfy? 的连续性，当 0 x 时，必有 0 y,
而 ()xy 可导，于是
0
l i m ( ) 0
y
y
y
x
,
所以
00
0
1 1 1
li m li m
()
li m
yy
y
y
xx
xy
yy
,
这就是说,)( xfy? 在点 x 处可导,
且有
1
()
()
fx
y?
,
解
x
ay? 是 yx
a
log? 的反函数，且 yx
a
log? 在
),0( 内单调、可导，又 0
ln
1
d
d
ayy
x
,
所以
aaay
y
x
y
x
lnln
d
d
1
,
即 aaa
xx
ln)(,
特别地,有
xx
e)e(,
解 xy a r c s i n? 是 yx s i n? 的反函数,yx s i n? 在区间?
2
,
2
内单调、可导，且 0c os
d
d
y
y
x
,
例 1 3 求 xy ar cs i n? 的导数,
例 1 2 求 )1,0( aaay x 的导数,
所以
22
1
1
s i n1
1
c os
1
d
d
1
xyy
y
x
y
,
即
2
1
1
)( a r c s i n
x
x
,
类似地，有
2
1
1
)( a r c c os
x
x
,
解 xy ar ct a n? 是 yx t an? 的反函数,yx t an? 在区间
2
,
2
内单调、可导，且 0s ec
d
d
2
y
y
x
,
所以
222
1
1
t a n1
1
s e c
1
d
d
1
xyy
y
x
y
,
例 1 4 求 xy a r c t a n? 的导数,
即 2
1
1
)( a r c ta n
x
x
,
类似地，有 2
1
1
)c ota r c(
x
x
,
解
)1(2
e
2
1
)(1
1e ar ctan
2
ar ctan
xxxx
y
x
x
,
解
22
1 1 1
a r c sin
2 21 ( )
yx
x xxx
,例 1 5 xy a r c s in? 求 y?,
例 1 6 设 xy a r c t a ne? 求 y?,
2
2
2
2
0(
1
log ) ;
ln
( ) ln ;
( sin ) c os ;
1
( t an ) se c ;
c os
( se c ) se c t an ;
1
( ar c sin ) ;
1
1
( ar c t an ) ;
1
a
xx
CC
x
xa
a a a
xx
xx
x
x x x
x
x
x
x
为常数）；
（
1
2
2
2
2
( ) (
1
ln | |) ;
( e ) e ;
( c os ) si n ;
1
( c ot ) c sc ;
si n
( c sc ) c sc c ot ;
1
( ar c c os ) ;
1
1
( ar c c ot ) ;
1
xx
xx
x
x
xx
xx
x
x x x
x
x
x
x
为实数）；
（
1.基本初等函数的导数公式四、初等函数的求导公式
）（）（）（）（ xvxuxvxu ][,
）（）（）（）（）（）（ xvxuxvxuxvxu][,
）（）（ xuCxCu][ ( C 是常数 ),
））（（
）（
）（）（）（）（
）（
）（
0
2
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
,
）（
）（
）（ xv
xvC
xv
C
2
（
0)(?xv
,C 是常数）,
设 )( ufy?,()ux,则复合函数 [ ( ) ]y f x 的导数为
d d d
d d d
y y u
x u x
或 { [ ( ) ] } ( ) ( )f x f u x,
3．复合函数的求导法则
2．函数的和、差、积、商的求导法则设方程 0),(?yxF 所确定的隐函数为 )( xfy?,求导数
x
y
d
d
,
解法：把方程 0),(?yxF 所确定的隐函数 )( xfy? 代入原方程得恒等式 0)](,[?xfxF,把这个恒等式的两端对 x 求导,所得的结果也必然相等,但应注意,左端 )](,[ xfxF 是将 )( xfy? 代入
),( yxF 后所得的结果,所以,当方程 0),(?yxF 的两端对 x 求导时,要记住 y 是 x 的函数,然后用复合函数求导法则去求导,这样,
便可得到欲求的导数,下面举例说明这种方法,
4,反函数的求导法则设 )( xfy? 是 ()xy 的反函数，则
1
()
()
fx
y?
( ( ) 0y ),
1．隐函数求导法五、三个求导方法解 方程两边对 x 求导,可得 xxyy 236
2
,
于是得 )0(
6
23
2
y
y
xx
y,所以
3
4
|
)2,2(
y,
因而所求切线方程为 )2(
3
4
2 xy,
即 0234 yx,
解 把方程 0ee
yx
xy 的两端对 x 求导,记住 y 是 x 的函数,得 0ee yyxy
xx
,
由上式解出 y?,便得隐函数的导数为 )0e(
e
e
y
y
x
x
x
y
y,
例 1 7 求由方程 0ee yxxy 所确定的隐函数的导数
x
y
d
d,
例 1 8 求曲线 )1(3 22 xxy 在点 (2,2) 处的切线方程,
解 先在等式两边取绝对值,再取对数,得
|2|ln
3
1
|13|ln
3
2
|1|ln||ln xxxy,
两边对 x 求导,得
2
1
3
1
13
3
3
2
1
11
xxx
y
y
,
所以 y? =
3
2
)2()13()1( xxx ]
2
1
3
1
13
3
3
2
1
1
[
xxx
,
以后解题时,为了方便起见,取绝对值可以略去,
例 19 设 3 2 )2()13()1( xxxy,求 y?,
对数求导法：适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数），对数求导法过程是先取对数,化乘、除、乘方、开方为乘积,然后利用隐函 数求导法求导．
2．对数求导法解 对于 )0(
si n
xxy
x
两边取对数,
得 xxy lns i nln?,
两边求导,得 xx
x
x
y
y
lnc o s
s i n1
,
所以y
y )lnco s
s i n
( xx
x
x
=
x
x
s i n
)lnco s
s i n
( xx
x
x
,
设参数方程
()
()
xt
yt
确定 y 与 x 之间的函数关系,
则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数,
3．由参数方程所确定的函数求导法例 2 0 求 )0(si n xxy x 的导数,
对于参数方程所确定的函数的求导,通常也并不需要首先由参数方程消去参数 t 化为 y 与 x 之间的直接函数关系后再求导,
如果函数 x = () t?,()yt 都可导,且 ( ) 0t,又
x = () t? 具有单调连续的反函数
1
()tx?
,则参数方程确定的函数可以看成 ()yt 与
1
()tx?
复合而成的函数,
根据复合函数与反函数的求导法则,有
d d d d 1 1 ( )( ),
dd d d d ( ) ( )
d
y y t y tt
xx t x t t t
t
解 (1) 摆线在任意点的切线斜率为
d s i n
c ot
d ( c os )12
y a t t
x a t
,
( 2 ) 当
2
π
t 时,摆线上对应点为
aa,1
2
π
,在此点的切线斜率为
1
2
cot
d
d
2
π
2
π
tt
t
x
y
,
例 2 1 求摆线
( sin ),
( 1 c o s )
x a t t
y a t
( 0 ≤ t ≤ 2? )
(1) 在任何点的切线斜率 ;(2) 在
2
π
t 处的切线方程,
如果函数 )( xfy? 的导数 )( xfy 仍是 x 的可导函数,就称 )( xfy 的导数为函数 )( xfy? 的二阶导数,记作 y,f 或
2
2
d
d
x
y
,即 )()( xfyy 或
x
y
xx
y
d
d
d
d
d
d
2
2
,
类似地,二 阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,……,一般地,函数
)( xf
的 1?n 阶导数的导数叫做 n 阶导数,
于是,切线方程为
1
2
π
axay,
即?
2
π
2axy,
六、高阶导数分别记作 )(),.,,,(),.,,,(;,.,,,,
)()4()()4(
xfxfxfyyy
nn
,
或
n
n
x
y
x
y
x
y
d
d
,.,,,
d
d
,
d
d
4
4
3
3
,
且有 ][
)1()(
nn
yy,或
()
d d d
d d d
1
1
nn
nn
yy
x x x
,
解 e (c o s ) e ( s i n ) e (c o s s i n ),
x x x
y x x x x
e ( c os s i n ) e ( s i n c os ) e s i n,
e s i n e c os e ( c os s i n ),
2
2 2 2
x x x
x x x
y x x x x x
y x x x x
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．虽然,求高阶导数并不需要更新的方法,只要逐阶求导,直到所要求的阶数即可,所以仍可用前面学过的求导方法来计算高阶导数．例 2 2 求函数 xy x c o se 的二阶及三阶导数,
解
1
2
1
1
0
)1(
n
nn
axanxnay?,
2
3
1
2
0
2)2)(1()1(
n
nn
axannxanny?,
可见每经过一次求导运算,多项式的次数就降低一次,继续求导得
0
)(
! any
n
,这是一个常数,
因而 0
)2()1(
nn
yy,
这就是说,n 次多项式的一切高于 n 阶的导数都是零,解
ax
y e?,
ax
ay e,
ax
ay e
2
,
ax
ay e
3
,
依此类推,可得
axnn
ay e
)(
,即
axnnax
a e)e(
)(
,
特别地
xnx
e)e(
)(
,
对
x
ay?,ln
x
y a a,ln
2x
y a a,aay
x 3
ln,
依此类推,aay
nxn
ln
)(
,即
()
( ) l n
x n x n
a a a?,
例 2 4 求指数函数 axy e? 与 xay? 的 n 阶导数,
例 2 3 求 n 次多项式 nnn axaxay110 的各阶导数,
解 xy s i n?,
,
2
π
3s i n
2
π
2c os
,
2
π
2s i n
2
π
2
π
s i n
2
π
c os
,
2
π
s i nc os
xxy
xxxy
xxy
依此类推,可得?
2
π
s i n
)(
nxy
n
,
即?
2
π
s i n)( s i n
)(
nxx
n
,
用类似的方法,可得?
2
π
cos)( c o s
)(
nxx
n
,
例 2 5 求 xy s i n? 与 xy c os? 的 n 阶导数,
解
,
)1(
21
,
)1(
1
,
1
1
),1l n (
32
x
y
x
y
x
yxy
4
)4(
)1(
321
x
y
,
依此类推,可得
n
n
x
n
y
n
)1(
)!1(
)1(
1
)(
,
即
n
n
x
n
x
n
)1(
)!1(
)1()]1[ ln (
1
)(
,
通常我们规定
1!0?
,所以这个公式当
1?n
时也成立,
例 2 6 求对数函数 )1ln ( xy 的 n 阶导数,
解 将方程两边对 x 求导,得
0
d
d
c os
2
1
d
d
1
x
y
y
x
y
①,
① 式两边再对 x 求导,得
0
d
d
c os
2
1
d
d
s i n
2
1
d
d
2
2
2
2
2
x
y
y
x
y
y
x
y
,
于是
2c os
d
d
s in
d
d
2
2
2
y
x
y
y
x
y
,
由 ① 式可得
yx
y
c os2
2
d
d
,
例 2 7 求由方程 0s i n
2
1
yyx 所确定的隐函数 y 的二阶导数
2
2
d
d
x
y
,
从而
32
2
)2( c o s
s i n4
d
d
y
y
x
y
,此式右端分式中的 y 是由方程
0s i n
2
1
yyx 所确定的隐函数,
解
d c os
c ot
d si n
y b t b
t
x a t a
,
c sc
d d d d
/
d d d d si n si n
2
2
2 2 3
b
t
y y x ba
x t x t a t a t
,
例 2 8 求方程?
c os,
sin
x a t
y b t
（ 0 ≤ t ≤ 2? ）所确定的函数的一阶导数
x
y
d
d
及二阶导数
2
2
d
d
x
y
,
1,思考下列命题是否成立?
(1 ) 若 )( xf,)( xg 在点
0
x 处都不可导,则
)()( xgxf? 在点
0
x 处也一定不可导,
(2 ) 若 )( xf 在点 0x 处可导,)( xg 在点 0x
处不可导,则 )()( xgxf? 在点 0x 处一定不可导,
2,)( 0xf
与 ])([ 0
xf
有无区别? 为什么?
思考题第三节 微分及其在近似计算中的应用一,两个实例二,微分的概念三,微分的几何意义四,微分的运算法则五,微分在近似计算中的应用解,设此薄片的边长为 x,面积为 A,则 A 是 x 的函数,
2
xA?,薄片受温度变化影响时，面积的改变量可以看成是当自变量 x 自
0
x 取得增量 x? 时，函数 A 相应的增量 A?,即
2
0
2
0
2
0
)(2)( xxxxxxA,
从上式可以看出,A? 可分成两部分：一部分是 xx?
0
2,它是 x? 的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积 之和；另一部分是
2
)( x?,在图中是带有交叉线的小正方形的面积．显然，
如图所示,xx?
0
2 是面积增量 A? 的主要部分，而
2
)( x? 是次要部分，当 || x? 很小时
2
)( x? 部分比 xx?
0
2 要小得多．也就是说，当
|| x? 很小时，面积增量 A? 可以近似地用 xx?
0
2 表示,
例 1,一块正方形金属薄片受温度变化影响时，其边长由
0x 变到 xx0 （如下页图），问此薄片的面积改变了多少？
第三节 微分及其在近似计算中的应用一、两个实例即 xxA
0
2,
有此式作为 A? 的近似值，略去的部分
2
)( x? 是比 x? 高阶的无穷小，即
0l i m
)(
l i m
0
2
0
x
x
x
xx
,
又因为
0
2
0
2)()(
0
xxxA
xx
,
所以有
0
()A A x x,
解 自由落体的路程 s 与时间 t 的关系是
2
2
1
gts?,当时间从 t 变到 tt 时，路程 s 有相应的改变量
222
)(
2
1
2
1
)(
2
1
ttgtgtttgs,
2
0 x A?
0
x
x?
x?
0
x
x?
0
x
2
x?
例２ 求自由落体由时刻 t 到 tt 所经过路程的近似值,
上式右边第一部分是 t? 的线性函数，第二部分当 0 t
时是一个比 t? 高阶的无穷小量，因此，当 || t? 很小时，我们可以把第二部分忽略，而得到路程改变量的近似值 tgts,
又因为 gtgts?
2
2
1
,所以 ttss?
)(
,
事实上，上式表明当
|| t?
很小时，从 t 到 tt 这段时间内物体运动的速度的变化也很小,因此，在这段时间内，物体的运动可以近似地看作速度为
)( ts?
的匀速运动，于是路程改变量的近似值为
ttss )(
,
一般地，设函数
)( xfy?
在点 x 处可导，对于 x 处的改变量
x?
，相应地有改变量
y?
,
由
)(l i m
0
xf
x
y
x
，根据极限与无穷小的 关系，我们有
()
y
fx
x
（其中? 为无穷小），
0
l i m 0
x
,
于是 ()y f x x x,
而上式右端的第一部分 xxf )( 是 x? 的线性函数；第二部分，
因为 0l i m
0
x
xa
x
，所以第二部分是比 x? 高阶的无穷小，因此当 || x? 很小时，第二部分可以忽略，于是第一部分就成了 y? 的主要部分，从而有近似公式 xxfy )(,通常称 xxf )( 为
y? 的线性主部．反之，如果函数的改变量 y? 可以表示成
)( xoxAy （其中 0
)(
lim
0
x
xo
x
）,
则有
x
xo
A
x
y
）（
,
这样
A
x
xo
A
x
y
xx
）（
00
limlim
,
即 )()( xoxxfy,
其中 )( xo? 为比 )0( xx 高阶的无穷小，则称函数
)( xf 在点 x 处可微，并称其线性主部 xA? 为函数 )( xfy?
在点 x 处的微分，记为 yd 或 )(d xf,即 xAyd 且有
)( xfA,这样 xxfy )(d,
由上面的讨论和微分定义可知：一元函数的可导与可微是等价的，且其关系为 xxfy )(d,当函数 xxf?)( 时，
函数的微分 xxxxxxxf dd)(d 即,因此 我们规定自变量的微分等于自变量的增量，这样函数 )( xfy? 的微分可以写成 xxfxxfy d)()(d,或上式两边同除以
xd,有 )(
d
d
xf
x
y
,
定义 若函数 )( xfy? 在点 x 处的改变量
)()( xfxxfy 可以表示成 )( xoxAy,
二、微分的概念由此可见，导数等于函数的微分与自变量的微分 之 商,
即
x
y
xf
d
d
)(,正因为这样，导数也称为＂微商＂，而微分的分式
x
y
d
d
也常常被用作导数的符号,
解 21.011.1)(
2222
xxxy,
在点 1?x 处,22
11
xx
xy,
所以 2.01.02d xyy,
说明：微分与导数虽然有着密切的联系，但它们是有区别的：导数是函数在一点处的变化率，而微分是函数在一点处由变量增量所引起的函数变化量的主要部分；导数的值只与 x 有关，而微分的值与 x 和 x? 都有关,
例３ 求函数 2xy? 在 1.0,1 xx 时的改变量及微分,
解 体积的改变量
32233
)(π
3
4
)(π4π4π
3
4
)(π
3
4
rrrrrrrrV,
显然有 )(π4
2
rorrV,
体积微分为 rrV
2
π4d,
设数 )( xfy? 的图形（如下页图所示）,MP 是曲线上点
),( 00 yxM 处的切线，设 MP 的倾角为?,当自变量 x 有改变量 x? 时，得到曲线上另一点 ),( 00 yyxxN,
例４ 半径为 r 的球，其体积为 3π
3
4
rV?,当半径增大 r? 时，求体积的改变量及微分,
三、微分的几何意义微分 xxfy )(d
0
,
是当自变量 x 有改变量 x? 时,曲线 )( xfy? 在点
),(
00
yx 处的切线的纵坐标的改变量．用 yd 近似代替 y? 就是用点 ),(
00
yxM 处的切线纵坐标的改变量
PQ 来 近似代替曲线 )( xfy? 的纵坐标的改变量
NQ,并且有 PNyy |d|,
y?
d y
y
x
y
o
M
N
P
Q
x
) ( x f y?
x 0 x 0 +? x
从右图可知,
,M x N yQQ,
则 xxfMP )(t a n 0QQ,
即 d yP? Q,
由此可知,
.d
1
1
)c o td ( a r c;d
1
1
)( a r c c o sd;dc o tc sc)( c scd;dc sc)( c o td;dsi n)( c o sd;de)d ( e;d
1
)( l nd;d)(d;(0)(d
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
xxxx
xxx
xxx
x
x
x
x
xxx
CC
xx
为常数）
,d
1
1
)( a r c t a nd;d
1
1
)( a r c si nd;dt a nse c)( se cd;dse c)( t a nd;dc o s)( si nd;dln)d(;d
ln
1
)( l o gd
d)(d
2
2
2
x
x
x
x
x
x
xxxx
xxx
xxx
xaaa
x
ax
x
xx
xx
a
；
因为函数 )( xfy? 的微分等于导数 )( xf? 乘以 xd,
所以根据导数公式和导数运算法则，就能得到相应的微分公式和微分运算法则,
1.微分基本公式四、微分的运算法则设函数 )( ufy?,根据微分的定义，当 u 是自变量时,函数 )( ufy? 的微分是
uufy d)(d,
如果 u 不是自变量，而是 x 的导函数 ()ux
则复合函数 [ ( ) ]y f x 的导数为
( ) ( )y f u x,
2
d ( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) ;
d ( ( ) ( ) ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ;
d ( ( ) ) d ( ) ( ;
( ) ( ) d ( ) ( ) d ( )
d ( ( ) 0)
( ) ( )
u x v x u x v x
u x v x v x u x u x v x
C u x C u x C
u x v x u x u x v x
vx
v x v x
为常数）
2.函数的和、差、积、商的微分运算法则
3.复合函数的微分法则于是,复合函数 [ ( ) ]y f x 的微分为
d ( ) ( ) dy f u x x,
由于 ( ) d dx x u,
所以 uufy d)(d,
由此可见，不论 u 是自变量还是函数（中间变量）,
函数 )( ufy? 的微分总保持同一形式 uufy d)(d,这一性质称为一阶微分形式不变性．有时，利用一阶微分形式不变性求复合函数的微 分比较方便,
解 （１）用公式 xxfy d)(d,得
xx
x
xxy ds i n
2
1
d)(c o sd,
例５ 设 xy c o s?,求 yd,
解 (1) 用公式 xxfy d)(d,得
,dco sed)e(d
s i ns i n
xxxy
xx
(2) 用一阶微分形式不变性，得
xxxy
xxx
dco ses i ndeded
s i ns i ns i n
,
(2) 用一阶微分形式不变性，得
.ds in
2
1
d
2
1
s in
ds in)( c osdd
xx
x
x
x
x
xxxy
例６ 设 xy s i ne?,求 yd,
解 对方程两边求微分，得
0d2)dd(2d2 yyyxxyxx,
即
yxyxyx d)(d)(
,
所以 x
xy
xy
y dd
,
xy
xy
x
y
d
d
,
例７ 求方程
222 2 ayxyx
确定的隐函数 )( xfy? 的微分 yd 及导数
x
y
d
d
,
解 因为 tttax ds inc os3d
2
,tttay dco ss i n3d
2
,
所以利用导数为微分之商得
.
c o ss i n3
1
ds i nc o s3
ds e c
d
t a n )(d
d
d
d
d
d
d
,t a n
ds i nc o s3
dc o ss i n3
d
d
4
2
2
2
2
2
2
tta
ttta
tt
xx
y
xx
y
t
ttta
ttta
x
y
例８ 求方程
3
3
cos,
s i n
x a t
y a t
（ 0 ≤ t ≤ 2 π ）确定的函数的一阶导数
x
y
d
d
及二阶导数
2
2
d
d
x
y
,
设函数 )( xfy? 在
0
x 处的导数 0)(
0
xf,且 || x?
很小时，我们有近似公式
xxfxfxxfy )()()(
000
（ 1 ）
或
xxfxfxxf )()()(
000 （ 2 ）
上式中令 xxx,
则
))(()()(
000
xxxfxfxf
（ 3 ）
特别地，当
0
0
x
，
|| x
很小时，有
xffxf )0()0()(
（ 4 ）
这里，式（ 1 ）可以用于求函数增量的近似值，而式（ 2 ），（ 3 ），（４）可用来求函数的近似值,五、微分在近似计算中的应用应用式（４）可以推得一些常用的近似公式,
当 || x 很小时，有,
1
11
e1
l n( 1 )
si n (
t a n (,
n
x
xx
n
x
xx
x x x
x x x
；
用弧度作单位）；
用弧度作单位）
证 （１）取
n
xxf 1)(,于是 1)0(?f,
n
x
n
f
x
n
1
|)1(
1
)0(
0
1
1
,代入（４）式得
x
n
x
n
1
11,
解 设 xxf a r c ta n)(?,由近似公式（ 2 ）,
有 x
x
xxx?
2
0
00
1
1
a r c t a n)a r c t a n (,
取 1
0
x,05.0 x 有
05.1ar ct an = )05.01a r c ta n (?
= 05.0
11
1
1a r c ta n
2
= 810.0
2
05.0
4
π
,
(2) 取
x
xf e)(?,于是 1)0(?f,
1|)e()0(
0
x
x
f,代入 (4) 式得 x
x
1e,
其他几个公式也可用类似的方法证明,
例９ 计算 05.1ar ct an)(?xf 的近似值,
解 设球的半径为 r,体积
3
π
3
4
rV?,
则
3
π4
3 V
r?,V
V
rr d
3
1
π4
3
d
3 2
3
V
V
d
1
π36
1
3 2
3
,
现
3
972 π c mV?,
3
973 π 9 7 2 π π ( c m )V
．所以
3
2
3
2
1
d π
36 π ( 972 π )
1
0.003 ( c m ),
36 972
rr
即半径约增加
0,0 0 3 c m
,
例 10 某球体的体积从 3972 π c m 增加到 3973 π c m,
试求其半径的改变量的近似值,
解 因为 3333
64
1
14)
64
1
1(6416465,
由近似公式
1
11
n
xx
n
得
02 1.4
48
1
4)
64
1
3
1
1(4
64
1
1465 3
3
,
例 11 计算 3 65 的近似值,
1,设 )( xfy? 在点
0
x 的某邻域有定义，且
2
00
)()()( xbxaxfxxf,其中 a,b 为常数，下列命题哪个正确？
(1) )( xf 在点
0
x 处可导，且 axf )(
0；
(2) )( xf 在点
0
x 处可微，且 xaxf
xx
d|)(d
0
；
(3) xaxfxxf )()(
00
（ x? 很小时）,
2,可导与可微有何关系？其几何意义分别表示什么？有何区别？
思考题
1,变速直线运动的瞬时速度设一物体作变速直线运动，其路程函数为 s = s ( t ),
求该物体在
0
t 时刻的瞬时速度,设在
0
t 时刻物体的位置为 s (
0
t ),当经过
0
t + tΔ 时刻获得增量 tΔ 时，物体的位置函数 s 相应地有增量 ),()(
00
tsttss （如下图）
于是比值
,00 t tsttsts
O )( 0ts )( 0 tts s
一、两个实例就是物体在 0t 到 0t + tΔ 这段时间内的平均速度,记作 v,
,00
t
tstts
t
sv
即当 tΔ 很小时,v 可作为物体在
0
t 时刻的瞬时速度的近似值,且 tΔ 越小,v 就越接近物体在
0
t 时刻的瞬时速度,即
,limlimlim)( 00
0000 t
tstts
t
svtv
ttt?
就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限,
2,平面曲线的切线斜率设函数 )( xfy? 的图像为曲线 L （如上图）,
0 0 0
(,( ) )M x f x 和 (,( ) )M x f x 为曲线 L 上的两点，它们到 x
轴的垂足分别为 A 和 B,作 0MN 垂直 BM 并交 BM 于 N,
则
00 Δ xxxNM,
)()(Δ 0xfxfyNM,
A B
T
N L
M
o
y
x
) ( x f y?
0 M
在曲线 L 上点
0
M 附近，再取一点 M,作割线
0
MM,当点 M 沿曲线 L 移动而趋向于
0
M 时，割线
0
MM 的极限位置
0
MT 就定义为曲线 L 在点
0
M 处的切线,
平面曲线的切线几何演示便是割线
0
MM 的斜率?tan,当 0Δ?x 时,M 沿曲线
L 趋于
0
M,从而我们得到切线的斜率
00
Δ 0 Δ 0 Δ 0
Δ ( )Δ
t an l i m t an l i m l i m
ΔΔx x x
f x x f xy
xx
,
由此可见，曲线 )( xfy? 在点
0
M 处的纵坐标 y 的增量
yΔ 与横坐标 x 的增量 xΔ 之比，当 0 x 时的极限即为曲线在
0
M 点处的切线斜率,
0 0 0
0
ΔΔ,
ΔΔ
f x f x f x x f xy
x x x x
而比值设函数 )( xfy? 在点
0
x 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在
0
x 处有增量
0
Δ ( Δ 0,Δx x x x 仍在该邻域内 ) 时,
相应地函数有增量
00
Δ ( Δ ) ( )y f x x f x,如果 Δ y 与
Δ x 之比
Δ
Δ
y
x
当 Δ0x? 时，极限
1.导数的定义
Δ 0 Δ 0
( Δ ) ( )Δ
l im l im
ΔΔxx
f x x f xy
xx
存在，那么这个极限值称为函数 )( xfy? 在点
0
x 的导数,
并且说，函数 )( xfy? 在点
0
x 处可导，记作 )(
0
xf?,
二、导数的概念也记为
0
' xxy?,
0
d
)(d
xxx
xf
或
0
d
d
xxx
y
,
即
00
0
00
( Δ ) ( )Δ
( ) l im l im
ΔΔxx
f x x f xy
fx
xx
,
如果极限不存在，我们说函数 )( xfy? 在点
0
x 处不可导,
如果固定
0
x,令
0
Δxx? = x,则当 Δ0x? 时,
有
0
xx?,故函数在
0
x 处的导数 )(
0
xf? 也可表为
0
0
0
)()(
lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx?
,
极限
00
Δ 0 Δ 0
( Δ ) ( )Δ
l im l im
ΔΔxx
f x x f xy
xx
；
00
Δ 0 Δ 0
( Δ ) ( )Δ
l im l im
ΔΔxx
f x x f xy
xx
,
分别叫做函数 )( xf 在点
0
x 处的左导数和右导数,
且分别记为 )(
0
xf
和 )(
0
xf
,
定理 函数 )( xfy? 在点
0
x 的左、右导数存在且相等是 )( xf 在点
0
x 处可导的充分必要条件,
2．左、右导数如果函数 )( xfy? 在区间 )b,( a 内每一点都可导,
称 )( xfy? 在区间 )b,( a 内可导,
如果 )( xf 在 )b,( a 内可导，那么对应于 )b,( a 中的每一个确定的 x 值，对应着一个确定的导数值 )( xf?,
这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数
)( xfy? 的导函数,
记作 )( xf?,y?,
x
y
d
d
,
x
xf
d
)(d
,在不致发生混淆的情况下，导函数也简称为导数,
显然，函数 )( xfy? 在点
0
x 处的导数 )(
0
xf?,就是导函数 )( xf? 在点
0
xx? 处的函数值，即
0
)()(
0 xx
xfxf
,
例 1 求函数 2xy? 在任意点 x 处的导数,
解 在 x 处给自变量一个增量 Δ x,相应的函数增量为
22
Δ ( Δ ) ( ) ( Δ )y f x x f x x x x
2
2 Δ ( Δ )x x x,
于是
Δ
2 Δ
Δ
y
xx
x
,
则
Δ 0 Δ 0
Δ
l i m l i m ( 2 Δ ) 2
Δxx
y
x x x
x
,即 xx 2)(
2
,
曲线切线方程：曲线 L 上点 ),( 00 yxM 处的切线方程就是
))(( 000 xxxfyy,特别地，若 )( 0xf,则切线垂直于 x
轴，切线方程就是 x 轴的垂线 0xx?,
解 因为 xxy 2)(
2
,由导数的几何意义又知,
曲线
2
xy?,在点 (1,1) 处的切线斜率为 22
11
xx
xy,
所以，所求的切线方程为 )1(21 xy,即 12 xy,
法线方程为 )1(
2
1
1 xy 即
2
3
2
1
xy,
导数的几何意义：函数 )( xfy? 在点 0x 处的导数等于函数所表示的曲线 L 在相应点 ),( 00 yx 处的切线斜率,
例 2 求抛物线 2xy? 在点 (1,1 ) 处的切线方程和法线方程,
3.导数的几何意义对于函数 )( xfy?,比值
00
ΔΔ
ΔΔ
f x x f xy
xx
,
表示自变量 x 在以
0
x 与
0
Δxx? 为端点的区间中每改变一个单位时,函数 y 的平均变化量,所以把
Δ
Δ
y
x
称为函数 )( xfy? 在该区间中的平均变化率；把平均变化率当 Δ0x? 时的极限 )(
0
xf? 或
0
d
d
xx
x
y
称为函数在
0
x 处的变化率,变化率反映了函数 y 随着自变量 x 在
0
x 处的变化而变化的快慢程度,
4.变化率模型几个常见变化率模型问题 平均变化率 变化率模型电流模型电荷
)( tQQ?
00
( Δ ) ( )Δ
ΔΔ
Q t t Q tQ
i
tt
00
0
Δ0
( Δ ) ( )
( ) l i m
Δ
t
Q t t Q t
it
t
细杆的线密度质量
)( xmm?
00
( Δ ) ( )Δ
ΔΔ
m x x m xm
xx
00
0
Δ0
( Δ ) ( )
( ) l i m
Δ
x
m x x m x
x
x
边际成本模型总成本
)( xCC?
Δ ( Δ ) ( )
ΔΔ
C C x x C x
xx
Δ 0 Δ 0
Δ ( Δ ) ( )
( ) l i m l i m
ΔΔ
xx
C C x x C x
Cx
xx
化学反应速度浓度
)( tNN?
Δ ( Δ ) ( )
ΔΔ
N N t t N t
tt
Δ0
( Δ ) ( )
( ) l i m
Δ
x
N t t N t
Nt
t
关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物繁殖率等等，在这里就不再一一列举了,
设函数 )( xfy? 在点 x 处可导,有 )(lim
0
xf
x
y
x
根据函数的极限与无穷小的关系,可得 )()( xxf
x
y
,
其中 )( x 是 0 x 的无穷小，两端各乘以 x?,即得
xxxxfy )(α)(,由此可见 0lim
0
y
x
,
这就是说 )( xfy? 在点 x 处连续,也即，如果函数 )( xfy?
在 x 处可导，那么在 x 处必连续,但反过来不一定成立,
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导,
例如，函数
0,
,0,
xx
xx
xy 显然在?x 0 处连续,
但是在该点不可导,
三、可导与连续因为 xxfxfy )()0(,
所以在 0?x 点的 右导数,
1limlimlim)0(
000
x
x
x
x
x
y
f
xxx
,
而左导数是,1limlimlim)0(
000
x
x
x
x
x
y
f
xxx
,
左右导数不相等，故函数在该点不可导,所以，函数连续是可导的必要条件而不是充分条件,
求函数 )( xfy? 的导数 y? 的步骤,
（ 1 ）求增 )()( xfxxfy,
（ 2 ）算比值：
x
xfxxf
x
y
)()(
,
（ 3 ）取极限：
x
y
y
x?
0
l i m,
四、求导举例解 (1) 求增量：因为 Cy?,即不论 x 取什么值，
y 的值总等于 C,所以 0y ；
(2) 算比值：
x
y
0? ；
(3) 取极限,00l i ml i m
00
xx x
y
y,
即常数函数的导数等于零,
解 （ 1 ）求增量,
xxxxfxxfy s i n)s i n ()()(,
由和差化积公式有,
2
)(
s i n
2
)(
c o s2
xxxxxx
y
.
2
s i n)
2
co s (2
xx
x
例 7 求函数 Cy? （ C 是常数）的导数,
例 8 求函数 xy s i n? 的导数,
（ 2 ）算比值,
2
2
s i n
)
2
c o s (
2
s i n)
2
c o s (2
x
x
x
x
x
xx
x
x
y
,
（ 3 ）取极限,
2
2
sin
)
2
cos (limlim
d
d
00 x
x
x
x
x
y
x
y
xx?
00
si n
2
l im c os( ) l im c os
2
2
xx
x
x
xx
x
,
即 ( si n ) c osxx,用类似的方法，可求得余弦函数 y =cos x
的导数为,( c o s ) s inxx,
解 （ 1 ）求增量,
x
xx
xxxy
aaa
l o gl o g)(l o g
x
x
a
1l o g
,
（ 2 ） 算比值,
x
x
a
a
x
x
xx
x
x
x
y
1lo g
1
1lo g
,
（ 3 ） 取极限,
x
x
a
xx
x
x
xx
y
x
y
1l o g
1
limlim
d
d
00
axx
a
ln
1
elog
1
,
即
ax
x
a
ln
1
)( l o g
,特别地，当 e?a 时，得自然对数的导数
x
x
1
)( l n
,
例 9 求对数函数 )0,0,0(l o g xaaxy a 的导数,
解 (1) 求增量：由二项式定理有
nn
xxxy )(
nnn
xxx
nn
xnx )()(
!2
)1(
221
,
(2) 算比值：
121
)(
!2
)1(
nnn
xxx
nn
nx
x
y
,
(3) 取极限,
1 2 1
00
d ( 1 )
l i m l i m ( )
d 2 !
n n n
xx
y y n n
nx x x x
xx
1n
nx
,
即
1?
nn
nxx,（ n 为正整数）
一般地，对
xy （? 是实数），也有
1
xx,这个公式在后面将给出证明,例如,
x
xx
2
1
2
1
,
2
1
11
x
x
x
,
例 10 求函数 nxy? （ n 为正整数）的导数,
1,思考下列命题是否正确？如不正确举出反例,
(1 ) 若函数 )( xfy? 在点
0
x 处不可导，则 )( xf 在点
0
x
一定不连续；
(2 ) 若曲线 )( xfy? 处处有切线，则 )( xfy? 必处处可导,
2,若 A
ax
afxf
ax
)()(
l i m （ A 为常数），试判断下列命题是否正确,
（ 1 ） )( xf 在点 x=a 处可导；
（ 2 ） )( xf 在点 x=a 处连续；
（ 3 ）
)()()()( axoaxAafxf
,
思考题,
第二节 求导法则一,函数的和、差、积、商的求导法则二,复合函数的求导法则四,初等函数的求导公式三,反函数的求导法则五,三个求导方法六,高阶导数定理 1 设函数 ）（ xuu? 与 ）（ xvv? 在点 x 处 可导,
则函数 ）（）（ xvxu?,）（）（ xvxu,））（（
）（
）（
0?xv
xv
xu
也在点 x 处可导,且有以下法则,
(1)
）（）（）（）（ xvxuxvxu ][;
(2) )()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu,
特别地
）（）（ xuCxCu][
(C 为常数 );
(3 )
）（
）（）（）（）（
）（
）（
x
xxuxxu
x
xu
2
)0)((?xv
,
特别地,当
Cxu?）（
(
C
为常数 ) 时,有
）（
）（
）（ xv
xvC
xv
C
2
第二节 求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则下面我们给出法则（ 2 ）的证明，法则（ 1 ），（ 3 ）的证略,
证 令 ）（）（ xvxuy?,
(1) 求函数 y 的增量,给 x 以增量 x?,相应地函数 ）（ xu,
）（ xv 各有增量 u? 与 v?,从而 y 有增量
,
][][
vxuxxuv
xvxxvxuxxvxuxxu
xvxuxxvxxuy
）（）（
）（）（）（）（）（）（
）（）（）（）（
(2) 算比值,
x
u
xuxxv
x
u
x
y
）（）（,
(3) 取极限,由于
）（ xu
与
）（ xv
均在 x 处可导,所以
）（），（ xv
x
v
xu
x
u
xx
00
limlim,
又,函数 ）（ xv 在 x 处可导,就必在 x 处连续,因此
)()(lim
0
xvxxv
x
,
从而根据和与乘积的极限运算法则有
.
limlimlimlim
'
0000
）（）（）（）（
）（）（
xvxuxvxu
x
v
xuxxv
x
u
x
y
xxxx
这就是说,）（）（ xvxuy? 也在 x 处可导且有
）（）（）（）（）（）（ xvxuxvxuxvxu][,
例 1 设
7
π
s i nln4co s xxxy,求 y?,
解
.
4
s in
2
c os
ln4c osc os
7
π
s inln4c os
x
xx
x
x
xxxxx
xxxy
）（）（）（
）（）（）（
解
,s e c
c os
1
c os
s i nc os
c os
c oss i nc oss i n
c os
s i n
t a n
2
22
22
2
x
xx
xx
x
xxxx
x
x
xy
）（）（
）（）（
即 xx
2
s e ct a n）（,
用类似的方法可得
xx
2
c s cc ot）（,
例 2 求 xy ta n? 的导数,
例 3 设 xy s e c?,求 y?,
解
2
2
1 c os
s e c
c os c os
s i n
s e c t a n
c os
x
yx
xx
x
xx
x
（）
（）
,
用类似的方法可求得 xxx co tcs ccs c）（,
证 当自变量 x 的改变量为 x? 时,对应的函数 ()ux 与
)( ufy? 的改变量分别为 u? 和 y?,
由于函数 )( ufy? 可导,即
u
y
u
y
u
d
d
lim
0
存在,于是由无穷小与函数极限的关系,有
d
()
d
yy
u
uu
,
其中 () u 是 0 u 时的无穷小,以 u? 乘以上式两边得
d
()
d
y
y u u u
u
,
定理 2 如果函数 ()ux 在点 x 处可导,而函数 )( ufy?
对应的点 u 处可导,那么复合函数 [ ( ) ]y f x 也在点 x 处可导,且有
x
u
u
y
x
y
d
d
d
d
d
d
或fx?
=f u x,
二、复合函数的求导法则于是
d
()
d
y y u u
u
x u x x
,
因为 ()ux 在点 x 处可导,又根据函数在某点可导必在该点连续,可知 ()ux 在点 x 处也是连续的,故有
0
d
l im
d
x
uu
xx
,
且当 0 x 时 0 u,从而
00
l i m ( ) l i m ( ) 0
x
uu
,
所以
00
0 0 0
d
l im l im [ ( ) ]
d
d d d
l im l im ( ) l im,
d d d
xx
x x x
y y u u
u
x u x x
y u u y u
u
u x x u x
即
d d d
d d d
y y u
x u x
,
或记为 { [ ( ) ] } ( ) ( )f x f u x,
上式说明复合函数 [ ( ) ]y f x 对 x 的导数时,可先求出
)( ufy? 对 u 的导数和 ()ux 对 x 的导数,然后相乘即得,
显然,以上法则也 可用于多次复合的情形,
例如,设 )( ufy?,()uv,()vx 都可导,
则
x
v
v
u
u
y
x
y
d
d
d
d
d
d
d
d
,
或记为 { [ ( ( ) ) ] } ( ) ( ) ( )f x f u v x,
解 函数 xy s i n? 可以看作由函数 uy s i n? 与 xu? 复合而成,因此
x
x
x
uxuy
2
c o s
2
1
c o s)()( s i n,
例 5 求 xy s in? 的导数,
解
.c s c
s i n
1
2
1
.
2
c os
1
.
2
s i n
2
c os
)
2
(s e c
2
ta n
1
2
ta n
2
ta n
1
)
2
ta n( l n
2
'2
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
y
例 7 求函数
2
t a nln
x
y? 的导数,
对于复合函数的分解比较熟悉后,就不必再写出中 间变量,而可以采用下列例题的方式来计算,
解 因为
x
xy
s i n
e
可以看作由指数函数
u
e 与对数函数 xu ln 复合而成,由复合函数求导法则有
1ln
'
11
eln)e(
x
x
x
x
xy
xu
,
即
1
)(
xx,
解 分两种情况来考虑,
当 0)(?xf 时,
)(
)(
)(
)(
1
])([ ln),(ln
xf
xf
xf
xf
xfyxfy
,
当 0)(?xf 时,
)(
)(
])([
)(
1
)),(ln (
xf
xf
xf
xf
yxfy
,例 9 设 )( xf? 存在,求 |)(|ln xfy? 的导数 ( 0)(?xf ),
例 8 设 xy (? 为实数 ),求 y?,
解 设在时刻 t 时,气球的体积与半径分别为 v 和 r,
显然 )(,
3
4
3
trrrV,
所以 V 通过中间变量 r 与时间 t 发生联系,是一个复合函数
3
)]([
3
4
trV,
所以
)(
)(
]|)(|[ l n
xf
xf
xf
,
复合函数求导法则熟练后,可以按照复合的前后次序,层层求导直接得出最后结果,
解
12
12lncos
2
122
1
12
1
12lncos
x
x
xx
xy,
例 10 求函数 12lns in xy 的导数,
例 11 设气体以
3
100c m / s 的常速注入球状的气球,假定气体的压力不变,那么当半径为 10 cm 时,气球半径增加的速率是多少?
按题意,已知
3
d
100 c m / s
d
V
t
,要求当 1 0 cmr? 时
t
r
d
d
的值,
根据复合函数求导法则,得
t
r
tr
t
V
d
d
)]([3π
3
4
d
d
2
,将已知数据代入上式,得
t
r
d
d
10π4100
2
,所以
d1
c m / s
d4 π
r
t
,即在
1 0 cmr? 瞬间,半径以
1
c m / s
4 π
的速率增加,
定理 3 如果单调连续函数 ()xy 在点 y 处可导,而且
( ) 0y 那么它的反函数 )( xfy? 在对应的点 x 处可导,
且有
' 1 d 1
()
d( ) d
d
y
fx
xyx
y
或,三、反函数的求导法则证 由于 ()xy 单调连续,所以它的反函数
)( xfy? 也单调连续,给 x 以增量 0 x,从 )( xfy? 的单调性可知 0)()( xfxxfy,
因而有
y
x
x
y
1
,
根据 )( xfy? 的连续性，当 0 x 时，必有 0 y,
而 ()xy 可导，于是
0
l i m ( ) 0
y
y
y
x
,
所以
00
0
1 1 1
li m li m
()
li m
yy
y
y
xx
xy
yy
,
这就是说,)( xfy? 在点 x 处可导,
且有
1
()
()
fx
y?
,
解
x
ay? 是 yx
a
log? 的反函数，且 yx
a
log? 在
),0( 内单调、可导，又 0
ln
1
d
d
ayy
x
,
所以
aaay
y
x
y
x
lnln
d
d
1
,
即 aaa
xx
ln)(,
特别地,有
xx
e)e(,
解 xy a r c s i n? 是 yx s i n? 的反函数,yx s i n? 在区间?
2
,
2
内单调、可导，且 0c os
d
d
y
y
x
,
例 1 3 求 xy ar cs i n? 的导数,
例 1 2 求 )1,0( aaay x 的导数,
所以
22
1
1
s i n1
1
c os
1
d
d
1
xyy
y
x
y
,
即
2
1
1
)( a r c s i n
x
x
,
类似地，有
2
1
1
)( a r c c os
x
x
,
解 xy ar ct a n? 是 yx t an? 的反函数,yx t an? 在区间
2
,
2
内单调、可导，且 0s ec
d
d
2
y
y
x
,
所以
222
1
1
t a n1
1
s e c
1
d
d
1
xyy
y
x
y
,
例 1 4 求 xy a r c t a n? 的导数,
即 2
1
1
)( a r c ta n
x
x
,
类似地，有 2
1
1
)c ota r c(
x
x
,
解
)1(2
e
2
1
)(1
1e ar ctan
2
ar ctan
xxxx
y
x
x
,
解
22
1 1 1
a r c sin
2 21 ( )
yx
x xxx
,例 1 5 xy a r c s in? 求 y?,
例 1 6 设 xy a r c t a ne? 求 y?,
2
2
2
2
0(
1
log ) ;
ln
( ) ln ;
( sin ) c os ;
1
( t an ) se c ;
c os
( se c ) se c t an ;
1
( ar c sin ) ;
1
1
( ar c t an ) ;
1
a
xx
CC
x
xa
a a a
xx
xx
x
x x x
x
x
x
x
为常数）；
（
1
2
2
2
2
( ) (
1
ln | |) ;
( e ) e ;
( c os ) si n ;
1
( c ot ) c sc ;
si n
( c sc ) c sc c ot ;
1
( ar c c os ) ;
1
1
( ar c c ot ) ;
1
xx
xx
x
x
xx
xx
x
x x x
x
x
x
x
为实数）；
（
1.基本初等函数的导数公式四、初等函数的求导公式
）（）（）（）（ xvxuxvxu ][,
）（）（）（）（）（）（ xvxuxvxuxvxu][,
）（）（ xuCxCu][ ( C 是常数 ),
））（（
）（
）（）（）（）（
）（
）（
0
2
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
,
）（
）（
）（ xv
xvC
xv
C
2
（
0)(?xv
,C 是常数）,
设 )( ufy?,()ux,则复合函数 [ ( ) ]y f x 的导数为
d d d
d d d
y y u
x u x
或 { [ ( ) ] } ( ) ( )f x f u x,
3．复合函数的求导法则
2．函数的和、差、积、商的求导法则设方程 0),(?yxF 所确定的隐函数为 )( xfy?,求导数
x
y
d
d
,
解法：把方程 0),(?yxF 所确定的隐函数 )( xfy? 代入原方程得恒等式 0)](,[?xfxF,把这个恒等式的两端对 x 求导,所得的结果也必然相等,但应注意,左端 )](,[ xfxF 是将 )( xfy? 代入
),( yxF 后所得的结果,所以,当方程 0),(?yxF 的两端对 x 求导时,要记住 y 是 x 的函数,然后用复合函数求导法则去求导,这样,
便可得到欲求的导数,下面举例说明这种方法,
4,反函数的求导法则设 )( xfy? 是 ()xy 的反函数，则
1
()
()
fx
y?
( ( ) 0y ),
1．隐函数求导法五、三个求导方法解 方程两边对 x 求导,可得 xxyy 236
2
,
于是得 )0(
6
23
2
y
y
xx
y,所以
3
4
|
)2,2(
y,
因而所求切线方程为 )2(
3
4
2 xy,
即 0234 yx,
解 把方程 0ee
yx
xy 的两端对 x 求导,记住 y 是 x 的函数,得 0ee yyxy
xx
,
由上式解出 y?,便得隐函数的导数为 )0e(
e
e
y
y
x
x
x
y
y,
例 1 7 求由方程 0ee yxxy 所确定的隐函数的导数
x
y
d
d,
例 1 8 求曲线 )1(3 22 xxy 在点 (2,2) 处的切线方程,
解 先在等式两边取绝对值,再取对数,得
|2|ln
3
1
|13|ln
3
2
|1|ln||ln xxxy,
两边对 x 求导,得
2
1
3
1
13
3
3
2
1
11
xxx
y
y
,
所以 y? =
3
2
)2()13()1( xxx ]
2
1
3
1
13
3
3
2
1
1
[
xxx
,
以后解题时,为了方便起见,取绝对值可以略去,
例 19 设 3 2 )2()13()1( xxxy,求 y?,
对数求导法：适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数），对数求导法过程是先取对数,化乘、除、乘方、开方为乘积,然后利用隐函 数求导法求导．
2．对数求导法解 对于 )0(
si n
xxy
x
两边取对数,
得 xxy lns i nln?,
两边求导,得 xx
x
x
y
y
lnc o s
s i n1
,
所以y
y )lnco s
s i n
( xx
x
x
=
x
x
s i n
)lnco s
s i n
( xx
x
x
,
设参数方程
()
()
xt
yt
确定 y 与 x 之间的函数关系,
则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数,
3．由参数方程所确定的函数求导法例 2 0 求 )0(si n xxy x 的导数,
对于参数方程所确定的函数的求导,通常也并不需要首先由参数方程消去参数 t 化为 y 与 x 之间的直接函数关系后再求导,
如果函数 x = () t?,()yt 都可导,且 ( ) 0t,又
x = () t? 具有单调连续的反函数
1
()tx?
,则参数方程确定的函数可以看成 ()yt 与
1
()tx?
复合而成的函数,
根据复合函数与反函数的求导法则,有
d d d d 1 1 ( )( ),
dd d d d ( ) ( )
d
y y t y tt
xx t x t t t
t
解 (1) 摆线在任意点的切线斜率为
d s i n
c ot
d ( c os )12
y a t t
x a t
,
( 2 ) 当
2
π
t 时,摆线上对应点为
aa,1
2
π
,在此点的切线斜率为
1
2
cot
d
d
2
π
2
π
tt
t
x
y
,
例 2 1 求摆线
( sin ),
( 1 c o s )
x a t t
y a t
( 0 ≤ t ≤ 2? )
(1) 在任何点的切线斜率 ;(2) 在
2
π
t 处的切线方程,
如果函数 )( xfy? 的导数 )( xfy 仍是 x 的可导函数,就称 )( xfy 的导数为函数 )( xfy? 的二阶导数,记作 y,f 或
2
2
d
d
x
y
,即 )()( xfyy 或
x
y
xx
y
d
d
d
d
d
d
2
2
,
类似地,二 阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,……,一般地,函数
)( xf
的 1?n 阶导数的导数叫做 n 阶导数,
于是,切线方程为
1
2
π
axay,
即?
2
π
2axy,
六、高阶导数分别记作 )(),.,,,(),.,,,(;,.,,,,
)()4()()4(
xfxfxfyyy
nn
,
或
n
n
x
y
x
y
x
y
d
d
,.,,,
d
d
,
d
d
4
4
3
3
,
且有 ][
)1()(
nn
yy,或
()
d d d
d d d
1
1
nn
nn
yy
x x x
,
解 e (c o s ) e ( s i n ) e (c o s s i n ),
x x x
y x x x x
e ( c os s i n ) e ( s i n c os ) e s i n,
e s i n e c os e ( c os s i n ),
2
2 2 2
x x x
x x x
y x x x x x
y x x x x
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．虽然,求高阶导数并不需要更新的方法,只要逐阶求导,直到所要求的阶数即可,所以仍可用前面学过的求导方法来计算高阶导数．例 2 2 求函数 xy x c o se 的二阶及三阶导数,
解
1
2
1
1
0
)1(
n
nn
axanxnay?,
2
3
1
2
0
2)2)(1()1(
n
nn
axannxanny?,
可见每经过一次求导运算,多项式的次数就降低一次,继续求导得
0
)(
! any
n
,这是一个常数,
因而 0
)2()1(
nn
yy,
这就是说,n 次多项式的一切高于 n 阶的导数都是零,解
ax
y e?,
ax
ay e,
ax
ay e
2
,
ax
ay e
3
,
依此类推,可得
axnn
ay e
)(
,即
axnnax
a e)e(
)(
,
特别地
xnx
e)e(
)(
,
对
x
ay?,ln
x
y a a,ln
2x
y a a,aay
x 3
ln,
依此类推,aay
nxn
ln
)(
,即
()
( ) l n
x n x n
a a a?,
例 2 4 求指数函数 axy e? 与 xay? 的 n 阶导数,
例 2 3 求 n 次多项式 nnn axaxay110 的各阶导数,
解 xy s i n?,
,
2
π
3s i n
2
π
2c os
,
2
π
2s i n
2
π
2
π
s i n
2
π
c os
,
2
π
s i nc os
xxy
xxxy
xxy
依此类推,可得?
2
π
s i n
)(
nxy
n
,
即?
2
π
s i n)( s i n
)(
nxx
n
,
用类似的方法,可得?
2
π
cos)( c o s
)(
nxx
n
,
例 2 5 求 xy s i n? 与 xy c os? 的 n 阶导数,
解
,
)1(
21
,
)1(
1
,
1
1
),1l n (
32
x
y
x
y
x
yxy
4
)4(
)1(
321
x
y
,
依此类推,可得
n
n
x
n
y
n
)1(
)!1(
)1(
1
)(
,
即
n
n
x
n
x
n
)1(
)!1(
)1()]1[ ln (
1
)(
,
通常我们规定
1!0?
,所以这个公式当
1?n
时也成立,
例 2 6 求对数函数 )1ln ( xy 的 n 阶导数,
解 将方程两边对 x 求导,得
0
d
d
c os
2
1
d
d
1
x
y
y
x
y
①,
① 式两边再对 x 求导,得
0
d
d
c os
2
1
d
d
s i n
2
1
d
d
2
2
2
2
2
x
y
y
x
y
y
x
y
,
于是
2c os
d
d
s in
d
d
2
2
2
y
x
y
y
x
y
,
由 ① 式可得
yx
y
c os2
2
d
d
,
例 2 7 求由方程 0s i n
2
1
yyx 所确定的隐函数 y 的二阶导数
2
2
d
d
x
y
,
从而
32
2
)2( c o s
s i n4
d
d
y
y
x
y
,此式右端分式中的 y 是由方程
0s i n
2
1
yyx 所确定的隐函数,
解
d c os
c ot
d si n
y b t b
t
x a t a
,
c sc
d d d d
/
d d d d si n si n
2
2
2 2 3
b
t
y y x ba
x t x t a t a t
,
例 2 8 求方程?
c os,
sin
x a t
y b t
（ 0 ≤ t ≤ 2? ）所确定的函数的一阶导数
x
y
d
d
及二阶导数
2
2
d
d
x
y
,
1,思考下列命题是否成立?
(1 ) 若 )( xf,)( xg 在点
0
x 处都不可导,则
)()( xgxf? 在点
0
x 处也一定不可导,
(2 ) 若 )( xf 在点 0x 处可导,)( xg 在点 0x
处不可导,则 )()( xgxf? 在点 0x 处一定不可导,
2,)( 0xf
与 ])([ 0
xf
有无区别? 为什么?
思考题第三节 微分及其在近似计算中的应用一,两个实例二,微分的概念三,微分的几何意义四,微分的运算法则五,微分在近似计算中的应用解,设此薄片的边长为 x,面积为 A,则 A 是 x 的函数,
2
xA?,薄片受温度变化影响时，面积的改变量可以看成是当自变量 x 自
0
x 取得增量 x? 时，函数 A 相应的增量 A?,即
2
0
2
0
2
0
)(2)( xxxxxxA,
从上式可以看出,A? 可分成两部分：一部分是 xx?
0
2,它是 x? 的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积 之和；另一部分是
2
)( x?,在图中是带有交叉线的小正方形的面积．显然，
如图所示,xx?
0
2 是面积增量 A? 的主要部分，而
2
)( x? 是次要部分，当 || x? 很小时
2
)( x? 部分比 xx?
0
2 要小得多．也就是说，当
|| x? 很小时，面积增量 A? 可以近似地用 xx?
0
2 表示,
例 1,一块正方形金属薄片受温度变化影响时，其边长由
0x 变到 xx0 （如下页图），问此薄片的面积改变了多少？
第三节 微分及其在近似计算中的应用一、两个实例即 xxA
0
2,
有此式作为 A? 的近似值，略去的部分
2
)( x? 是比 x? 高阶的无穷小，即
0l i m
)(
l i m
0
2
0
x
x
x
xx
,
又因为
0
2
0
2)()(
0
xxxA
xx
,
所以有
0
()A A x x,
解 自由落体的路程 s 与时间 t 的关系是
2
2
1
gts?,当时间从 t 变到 tt 时，路程 s 有相应的改变量
222
)(
2
1
2
1
)(
2
1
ttgtgtttgs,
2
0 x A?
0
x
x?
x?
0
x
x?
0
x
2
x?
例２ 求自由落体由时刻 t 到 tt 所经过路程的近似值,
上式右边第一部分是 t? 的线性函数，第二部分当 0 t
时是一个比 t? 高阶的无穷小量，因此，当 || t? 很小时，我们可以把第二部分忽略，而得到路程改变量的近似值 tgts,
又因为 gtgts?
2
2
1
,所以 ttss?
)(
,
事实上，上式表明当
|| t?
很小时，从 t 到 tt 这段时间内物体运动的速度的变化也很小,因此，在这段时间内，物体的运动可以近似地看作速度为
)( ts?
的匀速运动，于是路程改变量的近似值为
ttss )(
,
一般地，设函数
)( xfy?
在点 x 处可导，对于 x 处的改变量
x?
，相应地有改变量
y?
,
由
)(l i m
0
xf
x
y
x
，根据极限与无穷小的 关系，我们有
()
y
fx
x
（其中? 为无穷小），
0
l i m 0
x
,
于是 ()y f x x x,
而上式右端的第一部分 xxf )( 是 x? 的线性函数；第二部分，
因为 0l i m
0
x
xa
x
，所以第二部分是比 x? 高阶的无穷小，因此当 || x? 很小时，第二部分可以忽略，于是第一部分就成了 y? 的主要部分，从而有近似公式 xxfy )(,通常称 xxf )( 为
y? 的线性主部．反之，如果函数的改变量 y? 可以表示成
)( xoxAy （其中 0
)(
lim
0
x
xo
x
）,
则有
x
xo
A
x
y
）（
,
这样
A
x
xo
A
x
y
xx
）（
00
limlim
,
即 )()( xoxxfy,
其中 )( xo? 为比 )0( xx 高阶的无穷小，则称函数
)( xf 在点 x 处可微，并称其线性主部 xA? 为函数 )( xfy?
在点 x 处的微分，记为 yd 或 )(d xf,即 xAyd 且有
)( xfA,这样 xxfy )(d,
由上面的讨论和微分定义可知：一元函数的可导与可微是等价的，且其关系为 xxfy )(d,当函数 xxf?)( 时，
函数的微分 xxxxxxxf dd)(d 即,因此 我们规定自变量的微分等于自变量的增量，这样函数 )( xfy? 的微分可以写成 xxfxxfy d)()(d,或上式两边同除以
xd,有 )(
d
d
xf
x
y
,
定义 若函数 )( xfy? 在点 x 处的改变量
)()( xfxxfy 可以表示成 )( xoxAy,
二、微分的概念由此可见，导数等于函数的微分与自变量的微分 之 商,
即
x
y
xf
d
d
)(,正因为这样，导数也称为＂微商＂，而微分的分式
x
y
d
d
也常常被用作导数的符号,
解 21.011.1)(
2222
xxxy,
在点 1?x 处,22
11
xx
xy,
所以 2.01.02d xyy,
说明：微分与导数虽然有着密切的联系，但它们是有区别的：导数是函数在一点处的变化率，而微分是函数在一点处由变量增量所引起的函数变化量的主要部分；导数的值只与 x 有关，而微分的值与 x 和 x? 都有关,
例３ 求函数 2xy? 在 1.0,1 xx 时的改变量及微分,
解 体积的改变量
32233
)(π
3
4
)(π4π4π
3
4
)(π
3
4
rrrrrrrrV,
显然有 )(π4
2
rorrV,
体积微分为 rrV
2
π4d,
设数 )( xfy? 的图形（如下页图所示）,MP 是曲线上点
),( 00 yxM 处的切线，设 MP 的倾角为?,当自变量 x 有改变量 x? 时，得到曲线上另一点 ),( 00 yyxxN,
例４ 半径为 r 的球，其体积为 3π
3
4
rV?,当半径增大 r? 时，求体积的改变量及微分,
三、微分的几何意义微分 xxfy )(d
0
,
是当自变量 x 有改变量 x? 时,曲线 )( xfy? 在点
),(
00
yx 处的切线的纵坐标的改变量．用 yd 近似代替 y? 就是用点 ),(
00
yxM 处的切线纵坐标的改变量
PQ 来 近似代替曲线 )( xfy? 的纵坐标的改变量
NQ,并且有 PNyy |d|,
y?
d y
y
x
y
o
M
N
P
Q
x
) ( x f y?
x 0 x 0 +? x
从右图可知,
,M x N yQQ,
则 xxfMP )(t a n 0QQ,
即 d yP? Q,
由此可知,
.d
1
1
)c o td ( a r c;d
1
1
)( a r c c o sd;dc o tc sc)( c scd;dc sc)( c o td;dsi n)( c o sd;de)d ( e;d
1
)( l nd;d)(d;(0)(d
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
xxxx
xxx
xxx
x
x
x
x
xxx
CC
xx
为常数）
,d
1
1
)( a r c t a nd;d
1
1
)( a r c si nd;dt a nse c)( se cd;dse c)( t a nd;dc o s)( si nd;dln)d(;d
ln
1
)( l o gd
d)(d
2
2
2
x
x
x
x
x
x
xxxx
xxx
xxx
xaaa
x
ax
x
xx
xx
a
；
因为函数 )( xfy? 的微分等于导数 )( xf? 乘以 xd,
所以根据导数公式和导数运算法则，就能得到相应的微分公式和微分运算法则,
1.微分基本公式四、微分的运算法则设函数 )( ufy?,根据微分的定义，当 u 是自变量时,函数 )( ufy? 的微分是
uufy d)(d,
如果 u 不是自变量，而是 x 的导函数 ()ux
则复合函数 [ ( ) ]y f x 的导数为
( ) ( )y f u x,
2
d ( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) ;
d ( ( ) ( ) ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ;
d ( ( ) ) d ( ) ( ;
( ) ( ) d ( ) ( ) d ( )
d ( ( ) 0)
( ) ( )
u x v x u x v x
u x v x v x u x u x v x
C u x C u x C
u x v x u x u x v x
vx
v x v x
为常数）
2.函数的和、差、积、商的微分运算法则
3.复合函数的微分法则于是,复合函数 [ ( ) ]y f x 的微分为
d ( ) ( ) dy f u x x,
由于 ( ) d dx x u,
所以 uufy d)(d,
由此可见，不论 u 是自变量还是函数（中间变量）,
函数 )( ufy? 的微分总保持同一形式 uufy d)(d,这一性质称为一阶微分形式不变性．有时，利用一阶微分形式不变性求复合函数的微 分比较方便,
解 （１）用公式 xxfy d)(d,得
xx
x
xxy ds i n
2
1
d)(c o sd,
例５ 设 xy c o s?,求 yd,
解 (1) 用公式 xxfy d)(d,得
,dco sed)e(d
s i ns i n
xxxy
xx
(2) 用一阶微分形式不变性，得
xxxy
xxx
dco ses i ndeded
s i ns i ns i n
,
(2) 用一阶微分形式不变性，得
.ds in
2
1
d
2
1
s in
ds in)( c osdd
xx
x
x
x
x
xxxy
例６ 设 xy s i ne?,求 yd,
解 对方程两边求微分，得
0d2)dd(2d2 yyyxxyxx,
即
yxyxyx d)(d)(
,
所以 x
xy
xy
y dd
,
xy
xy
x
y
d
d
,
例７ 求方程
222 2 ayxyx
确定的隐函数 )( xfy? 的微分 yd 及导数
x
y
d
d
,
解 因为 tttax ds inc os3d
2
,tttay dco ss i n3d
2
,
所以利用导数为微分之商得
.
c o ss i n3
1
ds i nc o s3
ds e c
d
t a n )(d
d
d
d
d
d
d
,t a n
ds i nc o s3
dc o ss i n3
d
d
4
2
2
2
2
2
2
tta
ttta
tt
xx
y
xx
y
t
ttta
ttta
x
y
例８ 求方程
3
3
cos,
s i n
x a t
y a t
（ 0 ≤ t ≤ 2 π ）确定的函数的一阶导数
x
y
d
d
及二阶导数
2
2
d
d
x
y
,
设函数 )( xfy? 在
0
x 处的导数 0)(
0
xf,且 || x?
很小时，我们有近似公式
xxfxfxxfy )()()(
000
（ 1 ）
或
xxfxfxxf )()()(
000 （ 2 ）
上式中令 xxx,
则
))(()()(
000
xxxfxfxf
（ 3 ）
特别地，当
0
0
x
，
|| x
很小时，有
xffxf )0()0()(
（ 4 ）
这里，式（ 1 ）可以用于求函数增量的近似值，而式（ 2 ），（ 3 ），（４）可用来求函数的近似值,五、微分在近似计算中的应用应用式（４）可以推得一些常用的近似公式,
当 || x 很小时，有,
1
11
e1
l n( 1 )
si n (
t a n (,
n
x
xx
n
x
xx
x x x
x x x
；
用弧度作单位）；
用弧度作单位）
证 （１）取
n
xxf 1)(,于是 1)0(?f,
n
x
n
f
x
n
1
|)1(
1
)0(
0
1
1
,代入（４）式得
x
n
x
n
1
11,
解 设 xxf a r c ta n)(?,由近似公式（ 2 ）,
有 x
x
xxx?
2
0
00
1
1
a r c t a n)a r c t a n (,
取 1
0
x,05.0 x 有
05.1ar ct an = )05.01a r c ta n (?
= 05.0
11
1
1a r c ta n
2
= 810.0
2
05.0
4
π
,
(2) 取
x
xf e)(?,于是 1)0(?f,
1|)e()0(
0
x
x
f,代入 (4) 式得 x
x
1e,
其他几个公式也可用类似的方法证明,
例９ 计算 05.1ar ct an)(?xf 的近似值,
解 设球的半径为 r,体积
3
π
3
4
rV?,
则
3
π4
3 V
r?,V
V
rr d
3
1
π4
3
d
3 2
3
V
V
d
1
π36
1
3 2
3
,
现
3
972 π c mV?,
3
973 π 9 7 2 π π ( c m )V
．所以
3
2
3
2
1
d π
36 π ( 972 π )
1
0.003 ( c m ),
36 972
rr
即半径约增加
0,0 0 3 c m
,
例 10 某球体的体积从 3972 π c m 增加到 3973 π c m,
试求其半径的改变量的近似值,
解 因为 3333
64
1
14)
64
1
1(6416465,
由近似公式
1
11
n
xx
n
得
02 1.4
48
1
4)
64
1
3
1
1(4
64
1
1465 3
3
,
例 11 计算 3 65 的近似值,
1,设 )( xfy? 在点
0
x 的某邻域有定义，且
2
00
)()()( xbxaxfxxf,其中 a,b 为常数，下列命题哪个正确？
(1) )( xf 在点
0
x 处可导，且 axf )(
0；
(2) )( xf 在点
0
x 处可微，且 xaxf
xx
d|)(d
0
；
(3) xaxfxxf )()(
00
（ x? 很小时）,
2,可导与可微有何关系？其几何意义分别表示什么？有何区别？
思考题
