第十章 多元函数微分学第一节 多元函数的极限及连续性第二节 偏导数第三节 全微分第四节 多元复合函数微分法及偏导数的几何应用第五节 多元函数的极值第一节 多元函数的极限及连续性一,多元函数二,二元函数的极限与连续性
1.实例分析例 1 设矩形的边长分别 x 和 y,则矩形的面积 S 为 xyS?,
在此，当 x 和 y 每取定一组值时，就有一确定的面积值 S,即 S 依赖于 x 和 y 的变化而变化,
例 2 具有一定质量的理想气体，其体积为 V,压强为 P,热力学温度 T 之间具有下面依赖关系
V
RT
P? （ R
是常数）,在这一问题中有三个变量 P,V,T,当 V 和 T 每取定为一组值时，按照上面的关系，就有一确定的压强 P,
第一节 多元函数的极限及连续性一、多元函数
１,二元函数的定义定义 1 ( 二元函数 ) 设有三个变量,xy 和,z 如果当变量,xy 在它们的变化范围 D 中任意取定一对值时，
变量 z 按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们对应，则称 z 为变量,xy 的二元函数，记为 ),( yxfz?,
其中 x 与 y 称为自变量，函数 z 也叫因变量．自变量
x 与 y 的变化范围 D 称为函数 z 的定义域,
区域的概念：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连通性 ( 如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部分平面的折线连结起来，这样的部分平面称为具有连通性 )
的部分平面，这样的部分平面称为区域．围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域,
如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一常数 M,则称 D 为有界区域，否则称 D 为无界区域,
常见区域有矩形域,dycbxa,,
圆域,).0()()(
22
0
2
0
yyxx
圆域
22
0
2
0
)()(|),( yyxxyx 一般称为平面上点 ),( 000 yxP 的? 邻域，而称不包含点 0P 的邻域为无心邻域,
二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线所围成平面区域,二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义域的图形一般由平面曲线围成,
例 4 求二元函数 222 yxaz 的定义域,
解 由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域为满足
222
ayx 的,,yx 即定义域为
222
|),( ayxyxD,
这里 D 在 x O y 面上表示一个以原点为圆心,a 为半径的圆域．它为有界闭区域（如下图所示）,O
2 2 2
a y x
y
x
a
a
例 5 求二元函数 )ln ( yxz 的定义域,
解 自变量 yx,所取的值必须满足不等式 0 yx,
即定义域为
0|),( yxyxD,
点集 D 在 x O y 面上表示一个在直线上方的半平面 ( 不包含边界 0 yx ),如下图所示，此时 D 为无界开区域,
O
y
x
例 6 求二元函数 1)9l n ( 2222 yxyxz 的定义域,
解 这个函数是由 )9l n (
22
yx 和 1
22
yx 两部分构成，所以要使函数 z 有意义,yx,必须同时满足
,01
,09
22
22
yx
yx
即 91
22
yx,函数定义域为
,91|),(
22
yxyxD 点集 D
在 x O y 平面上表示以原点为 圆心，半径为 3 的圆与以原 点为圆心的单位圆所围成的 圆环域 ( 包含边界曲线内圆
1
22
yx
,
但不包含边界曲线外圆
9
22
yx
)
( 如右图所示 ),
x O 1 3
y
2.二元函数的几何表示把自变量 yx,及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在
x O y 平面内作出函数 ),( yxfz? 的定义域 D ( 如下图 ),再过 D 域中的任一点 ),( yxM 作垂直于 x O y 平面的有向线段
MP,使 P 点的竖坐标为与 ),( yx 对应的函数值 z,当 M 点在
D 中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数 ),( yxfz? 的几何图形，它通常是一张曲面，而其定义域 D 就是此曲面在
x O y 平面上的投影,
y
x
z
O
X
Y
M D
P
例 7 作二元函数 yxz 1 的图形,
解 二元函数 yxz 1 的图形是空间一平面，其图形如 下 图 所示,
x
y
z
O
z =1 - x - y
例 8 作二元函数 22 yxz 的图形,解 此函数的定义域为 x O y 面上任意点且 0?z,即曲面上的点都在 x O y 面上方．其图形为旋转抛物面，如下图所示,
z
2 2
y x z
x
y O
例 9 作二元函数 222 yxRz )0(?R 的图形,
解 此二元函数的定义域为 222 Ryx,即 x O y 坐标面上的以 O 为圆心,R 为半径的圆，且 Rz0,其图形为上半圆周，如下图所示,y
x
z
R
R
R
O
1,二元函数的极限定义 2 设二元函数 ),( yxfz?,如果当点 ),( yx 以任意方式趋向点 ),(
00
yx 时,),( yxf 总趋向于一个确定的常数
A,那么就称 A 是二元函数 ),( yxf 当 ),( yx? ),(
00
yx 时的极限，记为
Ayxf
yxyx
),(l i m
),(),(
00
或 Ayxf
yy
xx
),(l i m
0
0
,
同一元函数的极限一样，二元函数的极限也有类似的四则运算法则,
二、二元函数的极限与连续性
2,二元函数的连续性定义 3 设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
000
yxP 的某邻域内有定义，如果
),(),(l i m
00
0
0
yxfyxf
yy
xx
则称二元函数 ),( yxfz? 在点 ),( 000 yxP 处连续．如果
),( yxf 在区域 D 内的每一点都连续,则称 ),( yxf 在区域 D
上连续,
若令 yyyxxx 00,，则式
),(),(l i m 00
0
0
yxfyxf
yy
xx
,
可写成 0),(),(l i m 0000
0
0
yxfyyxxf
y
x
,
即 0lim
00
z
yx
,
这里 z? 为函数 ),( yxf 在点 ),( 00 yx 处的全增量，即
),(),( 0000 yxfyyxxfz,
如果函数 ),( yxfz? 在点 0P ),( 00 yx 处不连续，则称点
0P ),( 00 yx 为函数 ),( yxf 的不连续点或间断点,
同一元函数一样，二元连续函数的和、差、积、商 ( 分母不等于零 ) 及复合函数仍是连续函数,
由此还可得“多元初等函数在其定义域内连续”,
思考题
1,将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比较，说明二者之间的区别,
2,若二元函数 ),( yxfz? 在区域 D 内分别对 yx,
都连续，试问 ),( yxfz? 在区域 D 上是否必定连续?
第二节 偏导数一,偏导数二,高阶偏导数引例 一定量的理想气体的压强 P,体积 V,热力学温度 T 三者之间的关系为
V
RT
P? ( R 为常量 ),
当温度不变时（等温过程），压强 P 关于体积 V 的变变 化率就是
2
d
d
V
RT
V
P
T
常数
,
这种形式的变化率称为二元函数的偏导数,
第二节 偏导数一,偏导数
1,偏导数的定义定义 设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内有定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有改变量 x? 时相应地函数有改变量 ),(),(
0000
yxfyxxf 如果极限
x
yxfyxxf
x?
),(),(
lim
0000
0
存在，则称此极限为函数 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 处对 x 的偏导数，记为
),(,,
00
0
0
0
0
0
0
yxfz
x
f
x
z
x
yy
xxx
yy
xx
yy
xx
或
,
类似地，当 x 固定在
0
x,而 y 在
0
y 处有改变量 y?,
如果极限
y
yxfyyxf
y?
),(),(
lim
0000
0
存在，则称此极限为函数 ),( yxfz? 在点（ x 0,y 0 ）处对 y 的偏导数，记为
),(,,
00
0
0
0
0
0
0
yxfz
y
f
y
z
y
yy
xxy
yy
xx
yy
xx
或
,
如果函数 ),( yxfz? 在区域 D 内每一点 ),( yx 处对 x
的偏导数都存在，且这个偏导数仍是,xy 的函数，称
),(,,yxfz
x
f
x
z
xx 或
为函数 ),( yxfz? 对自变量 x 的偏导数,
类似地，可以定义函数 ),( yxfz? 对自变量 y 的偏导数，记为
),(,,yxfz
y
f
y
z
yy 或?
,
偏导数的求法,
从偏导数的定义可以看到，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数 ),( yxfz? 看成是另一个自变量的一元函数的导数．因此，求二元函数的偏导数,
只须用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量，
而对另一个自变量进行一元函数求导即可,
例 1 求 yxz s in2? 的偏导数,
解 把 y 看作常量对 x 求导数,得 yx
x
z
s in2?
,
把 x 看作常量对 y 求导数，得 yx
y
z
c os2?
,
例 2 求 yzxzxz y,的偏导数,
解 对 x 求导时，把 y 看作常量对 x 求导，得
1?
y
yx
x
z
,
对 y 求导时，把 x 看作常量对 y 求导，得
xx
y
z y
ln?
,
例 3 求 )1l n ( 22 yxz 在点 (1,2) 处的偏导数,
解 偏导数
22
1
2
yx
x
x
z
，
22
1
2
yx
y
y
z
,
在 (1,2) 处的偏导数就是偏导数在 (1,2) 处的值，
所以
3
1
)2,1(
x
z
,.
3
2
)2,1(
y
z
例 4 设 ),( yxf = )l n (e 22a r c t a n yxxy?,求 )0,1(xf,
解 如果先求偏导数 ),( yxf x,运算是比较繁杂的，
但是若先把函数中的 y 固定在 0?y,则有
xxf ln2)0,(?,从而 )0,( xf x =
x
2
,)0,1(xf 2?,
例 5 求 22 yxu zxy? 的偏导数,
解 把 y 和 z 暂时看作常量对 x 求导，得
x
u
=
22
yx
x
z
y
,把 z 和 x 暂时看作常量对 y 求导，得
y
u
22
yx
y
z
x
,把 x 和 y 暂时看作常量对 z 求导，得
z
u
2
z
xy
,
例 6 设理想气体状态方程为 RRTPV (? 为常数 ),
证明,
V
P
T
V
P
T 1,
证 因为?P
V
RT
，所以
V
P
2
V
RT
,
又?V
P
RT
，所以
T
V
P
R
,
同样由?T
R
PV
，所以
P
T
R
V
,
因此,
V
P
T
V
P
T
)(
2
V
RT
P
R
R
V
1
PV
RT
,
2,偏导数的几何意义从偏导数的定义可知，二元函数 ),( yxfz? 在点
),(
00
yx 处对 x 的偏导数
x
f ),(
00
yx,就是一元函数
),(
0
yxfz? 在
0
x 处的导数
xd
d
),(
0
yxf
0
xx?
．设
0
M )),(,,(
0000
yxfyx 为曲面 ),( yxfz? 上的一点，过
0
M 作平面
0
yy?,这 个 平 面 在 曲 面 上 截 得 一 曲 线
0
),,(
yy
yxfz
,由 一 元 函 数 的 导 数 的 几 何 意 义 可 知
0
d
),(d
0
xx
x
yxf
,即 ),(
00
yxf
x
就是这条曲线
x
C 在 点
0
M 处的切线
0
M
x
T 对 x 轴的斜率，即
00
(,) t a n
x
f x y,
同理,),( 00 yxf y 是曲面 ),( yxfz? 与平面 0xx? 的交线 yC 在点 0M 处的切线 0M yT 对 y 轴的斜率，即
ta n),( 00?yxf y,
x
y
z
0
M
x
C
y
T
x
T
y
C
0
x
0
y O
图形如下所示,
对于二元函数 ),( yxfz? 的两个偏导数
x
z
，
y
z
，
一般说来，它们仍然是自变量,xy 的函数．如果
x
z
，
y
z
的偏导数存在，可以继续对 x 或
y
求偏导数，则称这两个偏导数的偏导数为函数 ),( yxfz? 的二阶偏数．这样的二阶偏导数共有四个，分别表示为
),()(
2
2
yxf
x
z
x
z
x
xx
,
),()(
2
yxf
yx
z
x
z
y
xy
,
),()(
2
yxf
xy
z
y
z
x
yx
,
),()(
2
2
yxf
y
z
y
z
y
yy
,
二,高阶偏导数其中第二,第三两个偏导数称为混合偏导数．它们求偏导数的先后次序不同，前者是先对 x 后对 y 求导，后者是先对 y 后对 x 求导．类似地可以定义三阶、四阶、?,n 阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数都称为高阶偏导数,
例 8 设函数,3 323 yxyxz 求它的二阶偏导数,解 函数的一阶偏导数为
32 63 xyyx
x
z
,223 9 yxx
y
z
,
二阶偏导数为
2
2
x
z
)(
x
z
x?
)63(
32
xyyx
x
3
66 yxy,
yx
z
2
)(
x
z
y?
)63(
32
xyyx
y
=
22
183 xyx?,
xy
z
2
)(
y
z
x?
)9(
223
yxx
x
=
22
183 xyx?,
2
2
y
z
)(
y
z
y?
)9(
223
yxx
y
2
18 xy,
从上例看到,333 3 yxyxz 的两个二阶偏导数是相等的，但这个结论并不是对任意可求二阶偏导数的二元函数都成立，不过当两个二阶混合偏导数满足如下条件时，结论就成立,
定理 若 ),( yxfz? 的两个二阶混合偏导数在点
),( yx 连续，则在该点有
yx
z2
xy
z
2
,
对于三元以上函数也可以类似地定义高阶偏导数，
而且在偏导数连续时，混合偏导数也与求偏导的次序无关,
例 9 证明?),( txT bxtab s i ne
2?
满足热传导方程
2
2
x
T
a
t
T
，其中 a 为正常数,b 为任意常数,
证明 因为
t
T
bxab
tab
s i ne
2
2?
,
x
T
bxb
tab
c ose
2
,
2
2
x
T
bxb
tab
s ine
2
2?
,
所以?
2
2
x
T
a bxab
tab
s i ne
2
2?
t
T
,
思考题
1,与一元函数比较，说明二元函数连续、偏导之间的关系,
2,若 22 yxz,试求 xz
1
1
y
x,且说明其几何意义,
第三节 全微分一,全微分的定义二,全微分在近似计算中的应用一元函数的微分概念回顾如 果 一 元 函 数 )( xfy? 在点 x 处 的 改 变 量
)()( xfxxfy,可以表示为关于 x? 的线性函数与一个比 x? 的高阶无穷小之和，即
)()( xfxxfy A? )( xox,
其中 A 与 x? 无关，仅与 x 有关,)( xo? 是当 x? 0?
时比 x? 高阶的无穷小，则称一元函数 )( xfy? 在 x 可微，并称 xA? 是 )( xfy? 在点 x 处的微分，记为
yd xA?
,且有若
)( xf
可导则 )( xfA,
第三节 全微分一、全微分的定义定 义 设有二元函数 ),( yxfz?,如果在点 ),( yx
处，函数的全增量 ),(),( yxfyyxxfz 可以表示为关于 x?,y? 的线性函数与一个比
22
)()( yx
高阶的无穷小之和，即
)(),(),( oyBxAyxfyyxxfz,
其中,BA,与 x?,y? 无关，只与 yx,有关,)(?o 是当 0 时比? 高阶的无穷小，则称二元函数 ),( yxfz?
在点 ),( yx 处可微，并称 yBxA 是 ),( yxfz? 在点
),( yx 处的全微分，记作
yBxAzd,
定理 1 若 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微，则它在该点一定连续,
证 因为 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微，即
)(),(),( oyBxAyxfyyxxfz,
所以当 0 x,0 y 时，有 0 z,即 ),( yxfz?
在该点连续,
定理 2 若 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处 可 微,则
),( yxfz? 在点 ),( yx 处的两个偏导数存在，且?A
x
z
，
B
y
z
,
证 因为 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微，有
),(),( yxfyyxxfz
)( oyBxA,
若令上式中的 y? 0?,则
)(),(),( xoxAyxfyxxfz,
所以
x
yxfyxxf
x?
),(),(
lim
0
A
x
xoxA
x
)(
l i m
0
,
即
x
z
A?,类似地可证 B
y
z
,
一般地，记 xx d,yy d,则函数 ),( yxfz? 的全微分可写成
y
y
z
x
x
z
z ddd
,
定理 3 ( 可微的充分条件 ) 若 ),( yxfz? 在点
),( yx 处的两个偏导数连续，则 ),( yxfz? 在该点一定可微,
全微分的概念也可以推广到三元或更多元的函数．例如若三元函数 ),,( zyxfu? 具有连续偏导数，则其全微分的表达式为
z
z
u
y
y
u
x
x
u
u dddd
,
例 1 求函数 22 yxz? 在点 (2,- 1) 处，当 02.0 x,
01.0 y 时的全增量与全微分,
解 由定义知，全增量
1624.0)1(2)01.01()02.02(
2222
z,
函数
22
yxz? 的两个偏导数
2
2 xy
x
z
,yx
y
z
2
2?
,
因为它们都是连续的，所以全微分是存在的,
于是所求在点 (2,- 1) 处的全微分为
0.16( - 0.01)( - 8) 02.04dz,
例 2 求 )s i n (e yxz x 全微分,
解 因为 )co s (e)s i n (e yxyx
x
z xx
e c os ( )
x
z
xy
y
所以 y
y
z
x
x
z
z ddd
yyxxyxyx
xx
d)co s (ed)co s ()s i n (e
设函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微，则函数的全增量与全微分之差是一 个比? 高阶的无穷小，因此当
x? 与 y? 都较小时，全增量可以近似地用全微分代替，
即
yyxfxyxfzz
yx
),(),(d,
又因为 ),(),( yxfyyxxfz,所以有
(,) (,) (,) (,)
xy
f x x y y f x y f x y x f x y y,
二、全微分在近似计算中的应用例 3 一圆柱形的铁罐，内半径为 cm5,内高为
cm12,壁厚均为 cm2.0,估计制作这个铁罐所需材料的体积大约是多少 ( 包括上、下底 )?
解 圆柱体体积,π
2
hrV? 这个铁罐所需材料的体是
hrhhrrV
22
π)()(π,
因为 r cm2.0, h cm4.0 都比较小，所以可用全微分近似代替全增量，即
2
d d d 2 π d π d
VV
V V r h rh r r h
rh
)dd2(π hrrhr
所以
)4.052.024(π5
4.02,0
12,5
hr
hr
V )cm(8.1 0 6π34
3
故所需材料的体积大约是 8.1 0 6
)cm(
3
,
例 4 利用全微分近似计算 03.2)98.0( 的值,
解 设函数 ),( yxfz?
y
x?,则要计算的数值就是函数在,98.0 xx yy 03.2? 的函数值 )03.2,98.0(f,
取 2,1 yx,x? = - 0,02,y? =0,03,由公式
yyxfxyxfyxfyyxxf
yx
),(),(),(),(,
得 )03.02,02.01()03.2,98.0( ff
)03.0)(2,1()02.0)(2,1()2,1(
yx
fff,
因为 2)2,1(,),(,1)2,1(
1
x
y
x
fyxyxff,
0)2,1(,ln),(
y
y
y
fxxyxf,
所以 96.003.00)02.0(21)98.0(
03.2
,
思考题
1,偏导数、全微分与连续偏导数三者之间关系如何?
2,举例说明如何利用微分形式不变性求全微分,
一,复合函数微分法二,隐函数的微分法三,偏导数的几何应用第四节 多元复合函数微分法及偏导数的几何应用第四节 多元复合函数微分法及偏导数的几何应用设函数 ),( vufz?,而 vu,都是 yx,的函数
),,( yxu ),( yxv,于是),(),,( yxyxfz 是 yx,的函 数,称 函 数),(),,( yxyxfz 为 ),( vufz? 与
),,( yxu ),( yxv 的复合函数,
为了更清楚地表示这些变量之间的关系，可用图表示，见右图,
其中线段表示所连 的两个变量有关系．其中 yx,是自变量，而 vu,
是中间变量,
z
u
x
y y
一、复合函数微分法定理 1 设 ),,( yxu ),( yxv 在点 ),( yx 处有偏导数,),( vufz? 在相应,( u )v 有连续偏导数，则复合函数
),(),,( yxyxfz 在点 ),( yx 处有偏导数，且
x
z
u
z
x
u
v
z
x
v
,?
y
z
u
z
y
u
v
z
y
v
,
证 证第一个等式如下,
设自变量 x 有一个改变量 x?,则 vu,有改变量
),(),( yxyxxu,),(),( yxyxxv,
函数 ),( vufz? 在相应点 ),( vu 的全增量（它也是关于变量 x 的改变量）是 ufz ( ),(),vufvvu,已知
),( vufz? 在点 ),( vu 有连续的偏导数，根据上节定理 3 知,
),( vufz? 在点 ),( vu 处可微，即
)(),(),(?ov
v
z
u
u
z
vufvvuufz
,
其中 22 )()( vu,上式两边同除以 x?,得
x
z
x
u
u
z
v
z
x
v
x
o
)(?,①
当 0 x 时，
x
u
x
u
,?
x
v
x
v
( 因为 vu,在点 ),( yx
的偏导数存在 ),而
x
vuo
x
o
x
o
22
)()()()()(
,
其中
22
22
( ) ( )uv uv
x x x
( 0 x ),
于是 0
)()()()(
22
x
vuo
x
o
( 0 x ),
所以，当 0 x 时,0
)(
x
o?
,
因此，当 0 x 时,① 式的两边取极限，即得
x
z
x
u
u
z
x
v
v
z
,
同理可证
y
z
y
u
u
z
y
v
v
z
,
例 1 求函数 vuz c o se?,xyu?,)ln ( yxv 的偏导数
x
z
，
y
z
,
解 因为 uz vu c o se? vco s, vz )s i n(e c o s vuvu?,
x
u
y,,x
y
u
yxx
v
1
，
yxy
v
1
,
所以?
x
z
x
u
u
z
x
v
v
z
co s
=e
uv
yx
vu
vy
s i n
cos
))co s (l n (
e
yxxy?
yx
yxxy
yxy
))s i n ( l n (
))co s ( l n (,
y
z
y
u
u
z
y
v
v
z
))co s (l n (
e
yxxy?
yx
yxxy
yxx
))s i n ( l n (
))co s ( l n (,
几种类型复合函数求导公式,
)1( 设 )( u,v,wfz? 而 )u( x,yu?,),( yxvv?,
),( yxww? ( 见下图 ) 在 ),( yx 有偏导数,)( u,v,wfz? 在相应的 )( u,v,w 处有连续偏导数，则复合函数
( (,) ( ) ( ) )z f u x y,v x,y,w x,y? 在 ),( yx 处有偏导数，且
x
z
x
u
u
z
x
v
v
z
x
w
w
z
,
y
z
y
u
u
z
y
v
v
z
y
w
w
z
,
z
u
v
w
x
y
)2( 设 )( xu,)( xv,)( xww? 在点 x 处可导,
),,( wvufy? 在相应点 ),,( wvu 处有连续偏导数，则复合函数)(),(),( xwxxy ( 见下图 ) 在点 x 处可导，且
x
w
w
y
x
v
v
y
x
u
u
y
x
y
d
d
d
d
d
d
d
d
,
此公式的左端也称为全导数,
x y
u
v
w
（ 3 ）设 ),( yxu 在点 ),( yx 处 有 偏 导 数,
(,)z f u x? 在相应点 ),( xu 处有连续偏导数，则复合函数
xyxfz ),,( ( 见下图 ) 在点 ),( yx 处有偏导数，且
y
u
u
f
y
z
x
f
x
u
u
f
x
z
,,
z
u
x x
y
例 2 设 ),( 22 xyyxfz,求 xz,yz,
解 令
22
yxu,xyv?,则 ),( vufz?,所以
x
z
x
v
v
z
x
u
u
z
v
z
y
u
z
x
2,
y
z
y
v
v
z
y
u
u
z
v
z
x
u
z
y
2,
z
u
v
x?
x
z dd
dd
z u z v
u x v x
xxxxuxuv co ss i n2co sco s)s i n(2 232,
解 见右 图例 3 设 2
d
,c os,si n,
d
z
z u v u x v x
x
求,
例 4 设 xyyxxyfz,，求 xz,yz,
解
x
z
x
y
y
x
xyf
x
,
x
y
y
x
yf,?
x
y
y
x
f
x
xy,
x
y
y
x
yf,
221
,
1
,
x
y
x
y
y
x
f
yx
y
y
x
fxy
x
y
y
x
yf,?
x
y
y
x
f
x
y
x
y
y
x
xf,,
2
2
1
,
上式中的 1
f
,2
f
分别表示?
x
y
y
x
f,对第一、第二个中间变量，即
y
x
和
x
y
的偏导数,
定理 2 （隐函数存在定理） 设函数 ),,( zyxF 在点
0
P ),,(
000
zyx 的某个邻域内连续且有连续的偏导数
),,( zyxF
x
,),,( zyxF
y
,),,( zyxF
z
，又 0),,(
000
zyxF,
0),,(
000
zyxF
z
，则存在惟一的函数 ),( yxfz? 在 ),(
00
yx
的某个邻域内是单值连续的，并满足方程 0),,(?zyxF,
即
0)),(,,(?yxfyxF,
而且 ),(
000
yxfz?,同时 ),( yxfz? 在此邻域内有连续的偏导数,
二、隐函数的微分法隐函数的微分法例 1 设 0),(?yxF 确定了 y 是 x 的函数 )( xyy?,
且 ),( yxF x,),( yxF y 存在及 0),( 00?yxF y,试求
x
y
d
d
,
解 因为 0))(,(?xyxF,所以，此式两端对 x 求导得
0
d
d
x
y
y
F
x
x
x
F
,即
0
d
d
x
y
FF
yx
,
所以
),(
),(
d
d
yxF
yxF
x
y
y
x
,此式称为一元隐函数的求导公式,
例 2,设函数二元函数 ),( yxzz? 为方程 0),,(?zyxF
所确定的隐函数，且有连续的偏导数 ),,( zyxF x,
),,( zyxF y,),,( zyxF
z,试求
x
z
及
y
z
,
解 因为 0)),(,,(?yxzyxF,所以此式两端对 x 求导得 0?
x
z
z
F
x
F
,
所以
z
F
x
F
x
z
,
同理可得
z
F
x
F
y
z
,
更一般地，若已知由方程,,(
21
xxF 0),,?ux
n
确定了 u 是,,
21
xx
n
x,? 的函数，且
k
x
F
(,2,1?k ),,n?
u
F
存在且 0?
u
F
，则 有
k
u
x
u
F
x
F
k
(,,2,1k )n,
例 3 求由方程 e0z xyz 所确定的隐函数
),( yxzz? 的两个偏导数
x
z
,
y
z
,
解一 因为 e0
z
xyz 确定了函数 ),( yxzz?,所以方程两边对 x 求导得
e0
z
zz
y z x y
xx
,
所以?
x
z
e
z
yz
xy?
,
类似可得?
y
z
xy
xz
z
e
,
解二 令?),,( zyxF xyz
z
e,
因为 yzF
x
,xzF
y
,xyF
z
z
e,
于是由例 2 得
x
z
z
x
F
F
e
z
yz
xy?
,
y
z
z
y
F
F
e
z
xz
xy?
,
空间曲线的切线,如果点
0
P ),,(
000
zyx,P ),,( zyx
为曲线 )( trr? )( t 上的两个点，则割线 PP
0
的极限 0PP? 即称为该曲线在 0P 点的切线,
设空间曲线 的参数方程为
)(
),(
),(
tzz
tyy
txx
t,①
1,空间曲线的切线及法平面割线 0PP 的方向向量0 0 0 0,,P P x x y y z z,
割线 0PP 的方程为 0 0 0
0 0 0
X x Y y Z z
x x y y z z
,
三、偏导数的几何应用各分母除以
0
tt? 得
0
0
0
0
0
0
0
0
0
tt
zz
zZ
tt
yy
yY
tt
xx
xX
,
这里
0
t 和 t 分别是
0
P 点 P 和所对应的参数值．若函数①在点
0
t 的导数 )(
0
tx?,)(
0
ty?,)(
0
tz? 均不为零，则当
0
tt? 时，
割线 PP
0
的极限 ( 即曲线①在点 0P 的切线 ) 方程为
)(')(')('
0
0
0
0
0
0
tz
zZ
ty
yY
tx
xX?
,②
式②为曲线①也就是曲线 )( trr? 在点 0P 处的切线方程．其方向向量 { )(),(),( 000 tztytx } 也就是该曲线在点
0M { )(),(),( 000 tztytx } 处的切向量,
曲线的法平面：通过切点
0
P 垂直于切线的每一条直线都叫做曲线在点
0
P 处的法线，这些法线所在的平面称为曲线在点
0
P 处的法平面．曲线①在点
0
P 处的切向量即为该点法平面的法向量．因此，曲线①在该点的法平面方程为
0))(())(())((
000000
zztzyytyxxtx,
例 1 1 求螺旋线 tztytx,s in,c o s 在点 )0,0,1(
的切线及法平面的方程,
解 曲线
tz
ty
tx
,s i n
,c os
的向量形式为
kjir ttt s inc os,
其切向量为
kjir ttt c o ss i n)(,
又因为对应于曲线上的点 )0,0,1(
0
M,所以
kjir 0)0(,
因此，在点 (1,0,0) 处的切线方程为
,
1
0
1
0
,01
zy
x
即
.
,1
zy
x
在点 (1,0,0) 处的法平面方程为
0)0(1)0(1)1(0 zyx,
即 0 zy,
2,曲面的切平面与法线曲面的切平面,通过曲面 Σ 上一点 ),,(
0000
zyxM,
在曲面上可以作无穷多条曲线，若每条曲线在点
),,(
0000
zyxM 处都有一条切线，且可证明这些切线都在同一平面上，称该平面为曲面 Σ 在点 ),,(
0000
zyxM 处的切平面,
曲面的切平面方程,
设曲面 Σ 的方程为 0),,,(?zyxF,),,(
0000
zyxM 是曲面 Σ 上的一点，曲线 L 是曲面 Σ 上通过点
0
M 的一条曲线．假设曲线 L 的参数方程为
).(
),(
),(
tzz
tyy
txx
且设
0
tt? 对应于点 ),,(
0000
zyxM,并设曲线 L 在点
0
M 处的切向量
)}(),(),({
000
tztytxs,
不为零向量．由于曲线
L
在曲面 Σ 上，所以，有
0))(),(),((?tztytxF,
上式两边对
t
求导，得 0
d
d
0
tt
t
F
,
即
)(),,(
0000
txzyxF
x
)(),,(
0000
tyzyxF
y
0)(),,(
0000
tzzyxF
z
,
将上式写成向量的点积形式为
),,(
000
zyxF
x,),,(
000
zyxF
y
，
),,(
000
zyxF
z
0 s
,
这说明向量 n ={
),,(
000
zyxF
x,),,(
000
zyxF
y
，
),,(
000
zyxF
z }
是与曲面 Σ 上过点
),,(
0000
zyxM
的曲线 L 的切线垂直的向量,
由于 L 为曲面 Σ 上过点 ),,(
0000
zyxM 的任一条曲线．所以，向量 n 与曲面 Σ 上过点 0M 的所有曲线的切线均垂直．这说明 n 为曲面 Σ 在点 0M 处的切平面的法向量
( 见下图 ),以后把
n =? ),,( 000 zyxF x,),,( 000 zyxF y,)},,( 000 zyxF z
称为曲面 Σ,),,( zyxF 在点 ),,( 0000 zyxM 处的法向量,
L
O
x
y
z
0
M
n
Σ
根据以上讨论，曲面 Σ 在点
0
M 处的切平面，就是过点
0
M 且与法向量 n 垂直的平面．因此，切平面方程为
))(,,(
0000
xxzyxF
x
))(,,(
0000
yyzyxF
y
0))(,,(
0000
zzzyxF
z
,
曲面的法线：过点 ),,(
0000
zyxM 与切平面垂直的直线称为曲面 Σ 在点
0
M 处的法线,
曲面的 法线方程,
),,(
000
0
zyxF
xx
x
),,(
000
0
zyxF
yy
y
),,(
000
0
zyxF
zz
z
,
例 12 球面 222 zyx = 14 在点 ( 1,2,3 ) 处的切平面及法线方程,
解 令?),,( zyxF 14
222
zyx,则
xF
x
2?,yF
y
2?,zF
z
2?,
于是，该球面在点 )3,2,1( 处的法向量为
6,4,22,2,2
)3,2,1(
zyxn,
所以在点 )3,2,1( 处，此球面的切平面方程为
0)3(6)2(4)1(2 zyx,
即 01432 zyx,
法线方程为
6
3
4
2
2
1?
zyx
,
即
3
3
2
2
1
1?
zyx
,
思考题 1,在求复合函数的偏导数时，需要注意什么？求由可微函数 ),( uxfz?,),( yxu 而 得 的 复 合 函 数
)),(,( yxxfz 的偏导数，并说明其符号的含义,
2,求隐函数偏导数常用方法有几种? 举例说明,
一,多元函数的极值二,二元函数的最大值与最小值三,条件极值第五节 多元函数的极值第五节 多元函数的极值定义 设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
000
yxP 的某个邻域内有定义，如果对于此邻域内任何异于 ),(
000
yxP 的点
),(
0
yxP,都有?),( yxf ),(
00
yxf ( 或?),( yxf ),(
00
yxf 成立，则称函数 ),( yxf 在点 ),(
00
yxP 取得极大值 ( 或极小值 )
),(
00
yxf,极大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 ),(
00
yxP 称为极值点,
例 1 函数 ),( yxf 1
22
yx 在点 )0,0( 取得极小值
1?,因为当 0,0 yx,时
),( yxf 1
22
yx > 1? = )0,0(f,
这一函数的图形就是下页左图中 的曲面，在此曲面上
)1,0,0(? 点低于周围的点,
一、多元函数的极值
O
x
y
z
x
y
z
1
1
O
例 2 函数
22
1 yxz 在点 )0,0( 处取得极大值
)0,0(f = 1,因为在点 )0,0( 附近任意 ),( yx,有
),( yxf 11
22
yx )0,0(f
其函数图形为上半球面（ 见 右上 图 ），显然 )1,0,0(? 点高于周围点,
定理 1 ( 极值存在的必要条件 ) 若函数 ),( yxfz?
在点 0P ),( 00 yx 达到极值，且函数在该点一阶偏导数存在，
则有
0),( 00?yxf x,0),( 00?yxf y,
证 因为点 ),(
00
yx 是函数 ),( yxf 的极值点，若固定
),( yxf 中的变量
0
yy?,则 ),(
0
yxfz? 是一个一元函数，
且在 0xx? 处取得极值．由一元函数极值的必要条件知
0),(
00
yxf
x,
同理可证 0),( 00?yxf y,
使 0),( 00?yxf x,0),( 00?yxf y 同时成立的点称为函数的驻点．由定理 1 可知，可导函数的极值点必为驻点，
但是函数的驻点却不一定是极值点,
例 3 函数
22
yxz 有偏导数
,2 x
x
z
y
y
z
2
,
两者在 )0,0( 点均为零，所以点 )0,0( 是此函数的驻点．因为 0
)0,0(
z,而在 )0,0( 点的任意一个邻域内函数既可取正值，也可取负值，所以 )0,0( 点不是
22
yxz 的极值点．函数
22
yxz 的图形是双曲抛物面 ( 如下 图 ),
y
x
z
O
定理 2 ( 极值存在的充分条件 ) 设函数 ),( yxfz?
在点
0
P ),(
00
yx 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且点
0
P ),(
00
yx 是函数的驻点，即?),(
00
yxf
x
),(
00
yxf
y
0?,若记 A = ),(
00
yxf
xx
,B ),(
00
yxf
xy
,
yy
fC? ),(
00
yx,则
( 1 ) 当 0
2
ACB 时，点
0
P ),(
00
yx 是极值点，且若
(0?A 或 )0?C,点 0
P ),(
00
yx
为极大值点 ; 若 (0?A 或
)0?C,点 0
P ),(
00
yx
为极小值点；
( 2 ) 当
0
2
ACB
时，点 0
P ),(
00
yx
非极值点 ;
( 3 ) 当
0
2
ACB
时，点 0
P ),(
00
yx
可能是极值点也可能不是极值点,
例 4 求函数 xyyxz 333 的极值,
解 设 ),( yxf xyyx 3
33
,
),( yxf 的偏导数
yxyxf
x
33),(
2
,
xyyxf
y
33),(
2
,
xyxf
xx
6),(?,
3),(yxf
xy
,
yyxf
yy
6),(?,
求函数
),( yxf
的驻点，即解方程组
,033
,033
2
2
xy
yx
得驻点分别为 )0,0(,)1,1(,
关于驻点 )1,1(,
有 6)1,1(?
xx
f,3)1,1(
xy
f,6)1,1(?
yy
f,
所以 ACB
2 2
)3(? 02766 且 06A,
因此,),( yxf 在点 )1,1( 取得极小值,1)1,1(f
关于驻点 )0,0(,
有 0)0,0(?xxf,3)0,0(
xy
f,0)0,0(?
yy
f,
所以 ACB
2
0900)3(
2
,因此,),( yxf
在点
)0,0(
不取得极值,
二元函数最值的存在性：对于有界闭区域上连续的二元函数，一定能在该区域上取得最大值和最小值．对于二元可微函数，如果该函数的最大值 ( 最小值 ) 在区域内部取得，这个最大值 ( 最小值 ) 点必在函数的驻点之中 ;
若函数的最大值（最小值）在区域的边界上取得，那么它也一定是函数在边界上的最大值 ( 最小值 ),
求函数的最大值和最小值的方法是：将函数在所讨论区域内的所有驻点处的函数值与函数在区域的边界上的最大值和最小值相比较，其中最大者就是函数在闭区域上的最大值，最小者就是函数在闭区域上的最小值,
二、二元函数的最大值与最小值例 5 求函数 )5(2 yxyxz 在 闭 区 域
4,0,0, yxyxD 上的最大值与最小值,
解 函数在 D 内处处可导，且
)2310(2310
22
yxxyxyyxxy
x
z
,
)25(25
2232
yxxyxxx
y
z
,
解方程组 0?
x
z
,0?
y
z
，得 D 内驻点?
4
5
,
2
5
及对应的函数值
64
625
z,
考虑函数在区域 D 边界上的情况
（见右图），在边界 0?x 及 0?y 上的函数 z 的值恒为零．在边界 4 yx 上,
函数 z 成为 x 的一元函数
40),4(
2
xxxz,
此函数求导有
)38(
d
d
xx
x
z
,
所以 )4(
2
xxz 在 4],[0 上的驻点为
3
8
x,相应的函数值为
27
256
z,所以函数在闭域 D 上的最大值为
64
625
z,它在点?
4
5
,
2
5
处取得；最小值为 0z?,它在
D 的边界 0x? 及 y= 0 上取得,
O
y
x 4
4
4 y x
对于实际问题中的最值问题，往往从问题本身能断定它的最大值或最小值 一定存在，且在定义区域的内部取得，这时，如果函数在定义区域内有 惟 一的驻点，则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值,
求实际问题中的最值问题的步骤是,
(1) 根据实际问题建立函数关系，确定其定义域 ;
(2) 求出驻点 ;
(3) 结合实际意义判定最大、最小值,
例 6 某工厂要用钢板制作一个容积为 33 ma 的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省?
解 从这个实际问题知材料最省的长方体容器一定存在，设容器的长为 x m,宽为 y m,高为
z m ( 见下图 ),则无盖容器所需钢板的面积为
xzyzxyA 22,
又已知
3
axyzV,
于是把
xy
a
z
3
代入 A 中，得
)0,0(
)(2
3
yx
xy
yxa
xyA,
x
y
z
求 A 的偏导数
2
3
2
x
a
y
x
A
,
2
3
2
y
a
x
y
A
,
求驻点，即解方程组
,0
2
,0
2
2
3
2
3
y
a
x
x
a
y
因为
0,0 yx
，解方程组，得 ayx
3
2,
代入
xy
a
z
3
中，得 az
2
2
3
,于是驻点 惟 一，所以当长方体容器的长与宽取
m2
3
a
，高取
m
2
2
3
a
时，
所需的材料最省,
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为
10 元与 9 元，生产 x 单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用是 )33(01.032400
22 yxyxyx
元,求取得最大利润时，两种产品的产量各多少?
解 设 ),( yxL 表示产品甲与乙分别生产 x 与 y 单位时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，
所以
)910(),( yxyxL
)]33(01.032400[
22
yxyxyx
4 0 0)33(01.068
22
yxyxyx,
再由
06.0,01.0,006.0
yyxyxx
LLL,
得 0105.3)06.0()01.0(
3222
ACB
所以，当 1 2 0?x 与 80?y 时,320)80,120(?L
是极大值．由题意知，生产 120 单位产品甲与 80
单位产品乙设所得利润最大,
由 0)6(01.08),( yxyxL x,
0)6(01.06),( yxyxL y,
得驻点 ( 120,80 ),
考虑函数 ),( yxfz? 在满足约束条件 0),(?yx? 时的条件极值问题，求解这一条件极值问题的常用方法是拉格朗日乘数法．拉格朗日乘数法的具体求解步骤如下,
( 1 ) 构造辅助函数 ( 称为拉格朗日函数 )
),(),(),,( yxyxfyxLL
其中? 为待定常数，称为拉格朗日乘数，将原条件极值问题化为求三元函数
),,(?yxL
的无条件极值问题 ;
( 2 ) 由无条件极值问题必要 条件有
0,
0,
(,) 0,
xx
yy
L
f
x
L
f
y
L
xy
三、条件极值联立求解这三个方程，解出可能的极值点 ),( yx 和乘数? ；判别求出的 ),( yx 是否为极值点，通常由实际问题的实际意义判定,
对于多于两个自变量的函数或多于一个约束条件的情形也有类似的结果,例 6 某工厂要用钢板制作一个容积为 33 ma 的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省? 解 设拉格朗日函数为
)(22),,,( 3axyzyzxzxyzyxL,
由
,0
,022
,02
,02
3
ax y z
L
xyyx
z
L
xzzx
y
L
yzzy
x
L
将上述方程组的第一个方程乘 x,第二个方程乘以 y,第三个方程乘以 z,再两两相减得
,02
,022
xzxy
yzxz
因为
0,0 zx
，所以有 zyx 2,代入第四个方程得惟一的可能极值点 ayx
3
2,az
2
2
3
,
由 问 题 本 身 可 知 最 小 值 一 定 存 在,因 此 当
ayx
3
2
m,
m
2
2
3
az?
时，容器所需材料最省,
例 8 某工厂生产两种商品的日 产量分别为 x 和
y ( 单位：件 ),总成本函数 ),( yxC 22 128 yxyx ( 单位：
元 ),商品的限额为 42 yx,求最小成本,
解 约束条件为 042),( yxyx?,
设拉格朗日函数
)42(128),(
22
yxyxyxyxF?,
求其中对 x,y,?,的一阶偏导数，并使之为零，
得方程组
,042
,024
,016
yxF
yxF
yxF
y
x
解得 25x? 件,17?y 件，故惟一驻点 ( 2 5,1 7 )
也是最小值点，它使成本为最小，最小成本为
8 0 4 317121725258)17,25(
22
C
( 元 ),
例 9 销售某产品需作两种方式的广告宣传，当宣传费用分别为 x 和 y ( 单位：千元 ) 时，销售量 S （单位：件）是 x 和 y 的函数
y
y
x
x
S
10
1 00
5
2 00
,
若销售产品所得的利润是销售量的
5
1
减去总的广告费，两种广告费共 25 （单位：千元）．应怎样分配两种方式的广告费，能使利润最大，最大利润是多少?
解 根据题意，利润函数为
25
5
1
),( SyxL 25
10
20
5
40
y
y
x
x
,
约束条件为?x 025y,
设拉格朗日函数
)25(25
10
20
5
40
),(
yx
y
y
x
x
yxF?,
求其对 x,y,? 的一阶偏导数，并使之为零，得方程组
,025
,0
)10(
200
,0
)5(
200
2
2
yx
y
F
x
F
y
x
解得 10,15 yx,故点 ( 15,10) 是惟一的驻点，也是最大值点．于是，当两种宣传方式的广告费分别为 15
和 10 ( 单位：千元 ) 时，其利润最大、最大利润是
1525
1010
1020
155
1540
)10,15(
L ( 千元 ),
思考题
1,二元函数在哪些点可能是极值点？举例说明驻点不一定为极值点．反之，若 ),( 00 yx 为极值点是否一定是驻点? 2,二元函数的极值 与条件极 值的几何 意义是什么？若二元函数无极值，是否一定无条件极值，举例说明,
1.实例分析例 1 设矩形的边长分别 x 和 y,则矩形的面积 S 为 xyS?,
在此，当 x 和 y 每取定一组值时，就有一确定的面积值 S,即 S 依赖于 x 和 y 的变化而变化,
例 2 具有一定质量的理想气体，其体积为 V,压强为 P,热力学温度 T 之间具有下面依赖关系
V
RT
P? （ R
是常数）,在这一问题中有三个变量 P,V,T,当 V 和 T 每取定为一组值时，按照上面的关系，就有一确定的压强 P,
第一节 多元函数的极限及连续性一、多元函数
１,二元函数的定义定义 1 ( 二元函数 ) 设有三个变量,xy 和,z 如果当变量,xy 在它们的变化范围 D 中任意取定一对值时，
变量 z 按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们对应，则称 z 为变量,xy 的二元函数，记为 ),( yxfz?,
其中 x 与 y 称为自变量，函数 z 也叫因变量．自变量
x 与 y 的变化范围 D 称为函数 z 的定义域,
区域的概念：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连通性 ( 如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部分平面的折线连结起来，这样的部分平面称为具有连通性 )
的部分平面，这样的部分平面称为区域．围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域,
如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一常数 M,则称 D 为有界区域，否则称 D 为无界区域,
常见区域有矩形域,dycbxa,,
圆域,).0()()(
22
0
2
0
yyxx
圆域
22
0
2
0
)()(|),( yyxxyx 一般称为平面上点 ),( 000 yxP 的? 邻域，而称不包含点 0P 的邻域为无心邻域,
二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线所围成平面区域,二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义域的图形一般由平面曲线围成,
例 4 求二元函数 222 yxaz 的定义域,
解 由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域为满足
222
ayx 的,,yx 即定义域为
222
|),( ayxyxD,
这里 D 在 x O y 面上表示一个以原点为圆心,a 为半径的圆域．它为有界闭区域（如下图所示）,O
2 2 2
a y x
y
x
a
a
例 5 求二元函数 )ln ( yxz 的定义域,
解 自变量 yx,所取的值必须满足不等式 0 yx,
即定义域为
0|),( yxyxD,
点集 D 在 x O y 面上表示一个在直线上方的半平面 ( 不包含边界 0 yx ),如下图所示，此时 D 为无界开区域,
O
y
x
例 6 求二元函数 1)9l n ( 2222 yxyxz 的定义域,
解 这个函数是由 )9l n (
22
yx 和 1
22
yx 两部分构成，所以要使函数 z 有意义,yx,必须同时满足
,01
,09
22
22
yx
yx
即 91
22
yx,函数定义域为
,91|),(
22
yxyxD 点集 D
在 x O y 平面上表示以原点为 圆心，半径为 3 的圆与以原 点为圆心的单位圆所围成的 圆环域 ( 包含边界曲线内圆
1
22
yx
,
但不包含边界曲线外圆
9
22
yx
)
( 如右图所示 ),
x O 1 3
y
2.二元函数的几何表示把自变量 yx,及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在
x O y 平面内作出函数 ),( yxfz? 的定义域 D ( 如下图 ),再过 D 域中的任一点 ),( yxM 作垂直于 x O y 平面的有向线段
MP,使 P 点的竖坐标为与 ),( yx 对应的函数值 z,当 M 点在
D 中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数 ),( yxfz? 的几何图形，它通常是一张曲面，而其定义域 D 就是此曲面在
x O y 平面上的投影,
y
x
z
O
X
Y
M D
P
例 7 作二元函数 yxz 1 的图形,
解 二元函数 yxz 1 的图形是空间一平面，其图形如 下 图 所示,
x
y
z
O
z =1 - x - y
例 8 作二元函数 22 yxz 的图形,解 此函数的定义域为 x O y 面上任意点且 0?z,即曲面上的点都在 x O y 面上方．其图形为旋转抛物面，如下图所示,
z
2 2
y x z
x
y O
例 9 作二元函数 222 yxRz )0(?R 的图形,
解 此二元函数的定义域为 222 Ryx,即 x O y 坐标面上的以 O 为圆心,R 为半径的圆，且 Rz0,其图形为上半圆周，如下图所示,y
x
z
R
R
R
O
1,二元函数的极限定义 2 设二元函数 ),( yxfz?,如果当点 ),( yx 以任意方式趋向点 ),(
00
yx 时,),( yxf 总趋向于一个确定的常数
A,那么就称 A 是二元函数 ),( yxf 当 ),( yx? ),(
00
yx 时的极限，记为
Ayxf
yxyx
),(l i m
),(),(
00
或 Ayxf
yy
xx
),(l i m
0
0
,
同一元函数的极限一样，二元函数的极限也有类似的四则运算法则,
二、二元函数的极限与连续性
2,二元函数的连续性定义 3 设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
000
yxP 的某邻域内有定义，如果
),(),(l i m
00
0
0
yxfyxf
yy
xx
则称二元函数 ),( yxfz? 在点 ),( 000 yxP 处连续．如果
),( yxf 在区域 D 内的每一点都连续,则称 ),( yxf 在区域 D
上连续,
若令 yyyxxx 00,，则式
),(),(l i m 00
0
0
yxfyxf
yy
xx
,
可写成 0),(),(l i m 0000
0
0
yxfyyxxf
y
x
,
即 0lim
00
z
yx
,
这里 z? 为函数 ),( yxf 在点 ),( 00 yx 处的全增量，即
),(),( 0000 yxfyyxxfz,
如果函数 ),( yxfz? 在点 0P ),( 00 yx 处不连续，则称点
0P ),( 00 yx 为函数 ),( yxf 的不连续点或间断点,
同一元函数一样，二元连续函数的和、差、积、商 ( 分母不等于零 ) 及复合函数仍是连续函数,
由此还可得“多元初等函数在其定义域内连续”,
思考题
1,将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比较，说明二者之间的区别,
2,若二元函数 ),( yxfz? 在区域 D 内分别对 yx,
都连续，试问 ),( yxfz? 在区域 D 上是否必定连续?
第二节 偏导数一,偏导数二,高阶偏导数引例 一定量的理想气体的压强 P,体积 V,热力学温度 T 三者之间的关系为
V
RT
P? ( R 为常量 ),
当温度不变时（等温过程），压强 P 关于体积 V 的变变 化率就是
2
d
d
V
RT
V
P
T
常数
,
这种形式的变化率称为二元函数的偏导数,
第二节 偏导数一,偏导数
1,偏导数的定义定义 设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内有定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有改变量 x? 时相应地函数有改变量 ),(),(
0000
yxfyxxf 如果极限
x
yxfyxxf
x?
),(),(
lim
0000
0
存在，则称此极限为函数 ),( yxfz? 在点 ),( 00 yx 处对 x 的偏导数，记为
),(,,
00
0
0
0
0
0
0
yxfz
x
f
x
z
x
yy
xxx
yy
xx
yy
xx
或
,
类似地，当 x 固定在
0
x,而 y 在
0
y 处有改变量 y?,
如果极限
y
yxfyyxf
y?
),(),(
lim
0000
0
存在，则称此极限为函数 ),( yxfz? 在点（ x 0,y 0 ）处对 y 的偏导数，记为
),(,,
00
0
0
0
0
0
0
yxfz
y
f
y
z
y
yy
xxy
yy
xx
yy
xx
或
,
如果函数 ),( yxfz? 在区域 D 内每一点 ),( yx 处对 x
的偏导数都存在，且这个偏导数仍是,xy 的函数，称
),(,,yxfz
x
f
x
z
xx 或
为函数 ),( yxfz? 对自变量 x 的偏导数,
类似地，可以定义函数 ),( yxfz? 对自变量 y 的偏导数，记为
),(,,yxfz
y
f
y
z
yy 或?
,
偏导数的求法,
从偏导数的定义可以看到，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数 ),( yxfz? 看成是另一个自变量的一元函数的导数．因此，求二元函数的偏导数,
只须用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量，
而对另一个自变量进行一元函数求导即可,
例 1 求 yxz s in2? 的偏导数,
解 把 y 看作常量对 x 求导数,得 yx
x
z
s in2?
,
把 x 看作常量对 y 求导数，得 yx
y
z
c os2?
,
例 2 求 yzxzxz y,的偏导数,
解 对 x 求导时，把 y 看作常量对 x 求导，得
1?
y
yx
x
z
,
对 y 求导时，把 x 看作常量对 y 求导，得
xx
y
z y
ln?
,
例 3 求 )1l n ( 22 yxz 在点 (1,2) 处的偏导数,
解 偏导数
22
1
2
yx
x
x
z
，
22
1
2
yx
y
y
z
,
在 (1,2) 处的偏导数就是偏导数在 (1,2) 处的值，
所以
3
1
)2,1(
x
z
,.
3
2
)2,1(
y
z
例 4 设 ),( yxf = )l n (e 22a r c t a n yxxy?,求 )0,1(xf,
解 如果先求偏导数 ),( yxf x,运算是比较繁杂的，
但是若先把函数中的 y 固定在 0?y,则有
xxf ln2)0,(?,从而 )0,( xf x =
x
2
,)0,1(xf 2?,
例 5 求 22 yxu zxy? 的偏导数,
解 把 y 和 z 暂时看作常量对 x 求导，得
x
u
=
22
yx
x
z
y
,把 z 和 x 暂时看作常量对 y 求导，得
y
u
22
yx
y
z
x
,把 x 和 y 暂时看作常量对 z 求导，得
z
u
2
z
xy
,
例 6 设理想气体状态方程为 RRTPV (? 为常数 ),
证明,
V
P
T
V
P
T 1,
证 因为?P
V
RT
，所以
V
P
2
V
RT
,
又?V
P
RT
，所以
T
V
P
R
,
同样由?T
R
PV
，所以
P
T
R
V
,
因此,
V
P
T
V
P
T
)(
2
V
RT
P
R
R
V
1
PV
RT
,
2,偏导数的几何意义从偏导数的定义可知，二元函数 ),( yxfz? 在点
),(
00
yx 处对 x 的偏导数
x
f ),(
00
yx,就是一元函数
),(
0
yxfz? 在
0
x 处的导数
xd
d
),(
0
yxf
0
xx?
．设
0
M )),(,,(
0000
yxfyx 为曲面 ),( yxfz? 上的一点，过
0
M 作平面
0
yy?,这 个 平 面 在 曲 面 上 截 得 一 曲 线
0
),,(
yy
yxfz
,由 一 元 函 数 的 导 数 的 几 何 意 义 可 知
0
d
),(d
0
xx
x
yxf
,即 ),(
00
yxf
x
就是这条曲线
x
C 在 点
0
M 处的切线
0
M
x
T 对 x 轴的斜率，即
00
(,) t a n
x
f x y,
同理,),( 00 yxf y 是曲面 ),( yxfz? 与平面 0xx? 的交线 yC 在点 0M 处的切线 0M yT 对 y 轴的斜率，即
ta n),( 00?yxf y,
x
y
z
0
M
x
C
y
T
x
T
y
C
0
x
0
y O
图形如下所示,
对于二元函数 ),( yxfz? 的两个偏导数
x
z
，
y
z
，
一般说来，它们仍然是自变量,xy 的函数．如果
x
z
，
y
z
的偏导数存在，可以继续对 x 或
y
求偏导数，则称这两个偏导数的偏导数为函数 ),( yxfz? 的二阶偏数．这样的二阶偏导数共有四个，分别表示为
),()(
2
2
yxf
x
z
x
z
x
xx
,
),()(
2
yxf
yx
z
x
z
y
xy
,
),()(
2
yxf
xy
z
y
z
x
yx
,
),()(
2
2
yxf
y
z
y
z
y
yy
,
二,高阶偏导数其中第二,第三两个偏导数称为混合偏导数．它们求偏导数的先后次序不同，前者是先对 x 后对 y 求导，后者是先对 y 后对 x 求导．类似地可以定义三阶、四阶、?,n 阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数都称为高阶偏导数,
例 8 设函数,3 323 yxyxz 求它的二阶偏导数,解 函数的一阶偏导数为
32 63 xyyx
x
z
,223 9 yxx
y
z
,
二阶偏导数为
2
2
x
z
)(
x
z
x?
)63(
32
xyyx
x
3
66 yxy,
yx
z
2
)(
x
z
y?
)63(
32
xyyx
y
=
22
183 xyx?,
xy
z
2
)(
y
z
x?
)9(
223
yxx
x
=
22
183 xyx?,
2
2
y
z
)(
y
z
y?
)9(
223
yxx
y
2
18 xy,
从上例看到,333 3 yxyxz 的两个二阶偏导数是相等的，但这个结论并不是对任意可求二阶偏导数的二元函数都成立，不过当两个二阶混合偏导数满足如下条件时，结论就成立,
定理 若 ),( yxfz? 的两个二阶混合偏导数在点
),( yx 连续，则在该点有
yx
z2
xy
z
2
,
对于三元以上函数也可以类似地定义高阶偏导数，
而且在偏导数连续时，混合偏导数也与求偏导的次序无关,
例 9 证明?),( txT bxtab s i ne
2?
满足热传导方程
2
2
x
T
a
t
T
，其中 a 为正常数,b 为任意常数,
证明 因为
t
T
bxab
tab
s i ne
2
2?
,
x
T
bxb
tab
c ose
2
,
2
2
x
T
bxb
tab
s ine
2
2?
,
所以?
2
2
x
T
a bxab
tab
s i ne
2
2?
t
T
,
思考题
1,与一元函数比较，说明二元函数连续、偏导之间的关系,
2,若 22 yxz,试求 xz
1
1
y
x,且说明其几何意义,
第三节 全微分一,全微分的定义二,全微分在近似计算中的应用一元函数的微分概念回顾如 果 一 元 函 数 )( xfy? 在点 x 处 的 改 变 量
)()( xfxxfy,可以表示为关于 x? 的线性函数与一个比 x? 的高阶无穷小之和，即
)()( xfxxfy A? )( xox,
其中 A 与 x? 无关，仅与 x 有关,)( xo? 是当 x? 0?
时比 x? 高阶的无穷小，则称一元函数 )( xfy? 在 x 可微，并称 xA? 是 )( xfy? 在点 x 处的微分，记为
yd xA?
,且有若
)( xf
可导则 )( xfA,
第三节 全微分一、全微分的定义定 义 设有二元函数 ),( yxfz?,如果在点 ),( yx
处，函数的全增量 ),(),( yxfyyxxfz 可以表示为关于 x?,y? 的线性函数与一个比
22
)()( yx
高阶的无穷小之和，即
)(),(),( oyBxAyxfyyxxfz,
其中,BA,与 x?,y? 无关，只与 yx,有关,)(?o 是当 0 时比? 高阶的无穷小，则称二元函数 ),( yxfz?
在点 ),( yx 处可微，并称 yBxA 是 ),( yxfz? 在点
),( yx 处的全微分，记作
yBxAzd,
定理 1 若 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微，则它在该点一定连续,
证 因为 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微，即
)(),(),( oyBxAyxfyyxxfz,
所以当 0 x,0 y 时，有 0 z,即 ),( yxfz?
在该点连续,
定理 2 若 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处 可 微,则
),( yxfz? 在点 ),( yx 处的两个偏导数存在，且?A
x
z
，
B
y
z
,
证 因为 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微，有
),(),( yxfyyxxfz
)( oyBxA,
若令上式中的 y? 0?,则
)(),(),( xoxAyxfyxxfz,
所以
x
yxfyxxf
x?
),(),(
lim
0
A
x
xoxA
x
)(
l i m
0
,
即
x
z
A?,类似地可证 B
y
z
,
一般地，记 xx d,yy d,则函数 ),( yxfz? 的全微分可写成
y
y
z
x
x
z
z ddd
,
定理 3 ( 可微的充分条件 ) 若 ),( yxfz? 在点
),( yx 处的两个偏导数连续，则 ),( yxfz? 在该点一定可微,
全微分的概念也可以推广到三元或更多元的函数．例如若三元函数 ),,( zyxfu? 具有连续偏导数，则其全微分的表达式为
z
z
u
y
y
u
x
x
u
u dddd
,
例 1 求函数 22 yxz? 在点 (2,- 1) 处，当 02.0 x,
01.0 y 时的全增量与全微分,
解 由定义知，全增量
1624.0)1(2)01.01()02.02(
2222
z,
函数
22
yxz? 的两个偏导数
2
2 xy
x
z
,yx
y
z
2
2?
,
因为它们都是连续的，所以全微分是存在的,
于是所求在点 (2,- 1) 处的全微分为
0.16( - 0.01)( - 8) 02.04dz,
例 2 求 )s i n (e yxz x 全微分,
解 因为 )co s (e)s i n (e yxyx
x
z xx
e c os ( )
x
z
xy
y
所以 y
y
z
x
x
z
z ddd
yyxxyxyx
xx
d)co s (ed)co s ()s i n (e
设函数 ),( yxfz? 在点 ),( yx 处可微，则函数的全增量与全微分之差是一 个比? 高阶的无穷小，因此当
x? 与 y? 都较小时，全增量可以近似地用全微分代替，
即
yyxfxyxfzz
yx
),(),(d,
又因为 ),(),( yxfyyxxfz,所以有
(,) (,) (,) (,)
xy
f x x y y f x y f x y x f x y y,
二、全微分在近似计算中的应用例 3 一圆柱形的铁罐，内半径为 cm5,内高为
cm12,壁厚均为 cm2.0,估计制作这个铁罐所需材料的体积大约是多少 ( 包括上、下底 )?
解 圆柱体体积,π
2
hrV? 这个铁罐所需材料的体是
hrhhrrV
22
π)()(π,
因为 r cm2.0, h cm4.0 都比较小，所以可用全微分近似代替全增量，即
2
d d d 2 π d π d
VV
V V r h rh r r h
rh
)dd2(π hrrhr
所以
)4.052.024(π5
4.02,0
12,5
hr
hr
V )cm(8.1 0 6π34
3
故所需材料的体积大约是 8.1 0 6
)cm(
3
,
例 4 利用全微分近似计算 03.2)98.0( 的值,
解 设函数 ),( yxfz?
y
x?,则要计算的数值就是函数在,98.0 xx yy 03.2? 的函数值 )03.2,98.0(f,
取 2,1 yx,x? = - 0,02,y? =0,03,由公式
yyxfxyxfyxfyyxxf
yx
),(),(),(),(,
得 )03.02,02.01()03.2,98.0( ff
)03.0)(2,1()02.0)(2,1()2,1(
yx
fff,
因为 2)2,1(,),(,1)2,1(
1
x
y
x
fyxyxff,
0)2,1(,ln),(
y
y
y
fxxyxf,
所以 96.003.00)02.0(21)98.0(
03.2
,
思考题
1,偏导数、全微分与连续偏导数三者之间关系如何?
2,举例说明如何利用微分形式不变性求全微分,
一,复合函数微分法二,隐函数的微分法三,偏导数的几何应用第四节 多元复合函数微分法及偏导数的几何应用第四节 多元复合函数微分法及偏导数的几何应用设函数 ),( vufz?,而 vu,都是 yx,的函数
),,( yxu ),( yxv,于是),(),,( yxyxfz 是 yx,的函 数,称 函 数),(),,( yxyxfz 为 ),( vufz? 与
),,( yxu ),( yxv 的复合函数,
为了更清楚地表示这些变量之间的关系，可用图表示，见右图,
其中线段表示所连 的两个变量有关系．其中 yx,是自变量，而 vu,
是中间变量,
z
u
x
y y
一、复合函数微分法定理 1 设 ),,( yxu ),( yxv 在点 ),( yx 处有偏导数,),( vufz? 在相应,( u )v 有连续偏导数，则复合函数
),(),,( yxyxfz 在点 ),( yx 处有偏导数，且
x
z
u
z
x
u
v
z
x
v
,?
y
z
u
z
y
u
v
z
y
v
,
证 证第一个等式如下,
设自变量 x 有一个改变量 x?,则 vu,有改变量
),(),( yxyxxu,),(),( yxyxxv,
函数 ),( vufz? 在相应点 ),( vu 的全增量（它也是关于变量 x 的改变量）是 ufz ( ),(),vufvvu,已知
),( vufz? 在点 ),( vu 有连续的偏导数，根据上节定理 3 知,
),( vufz? 在点 ),( vu 处可微，即
)(),(),(?ov
v
z
u
u
z
vufvvuufz
,
其中 22 )()( vu,上式两边同除以 x?,得
x
z
x
u
u
z
v
z
x
v
x
o
)(?,①
当 0 x 时，
x
u
x
u
,?
x
v
x
v
( 因为 vu,在点 ),( yx
的偏导数存在 ),而
x
vuo
x
o
x
o
22
)()()()()(
,
其中
22
22
( ) ( )uv uv
x x x
( 0 x ),
于是 0
)()()()(
22
x
vuo
x
o
( 0 x ),
所以，当 0 x 时,0
)(
x
o?
,
因此，当 0 x 时,① 式的两边取极限，即得
x
z
x
u
u
z
x
v
v
z
,
同理可证
y
z
y
u
u
z
y
v
v
z
,
例 1 求函数 vuz c o se?,xyu?,)ln ( yxv 的偏导数
x
z
，
y
z
,
解 因为 uz vu c o se? vco s, vz )s i n(e c o s vuvu?,
x
u
y,,x
y
u
yxx
v
1
，
yxy
v
1
,
所以?
x
z
x
u
u
z
x
v
v
z
co s
=e
uv
yx
vu
vy
s i n
cos
))co s (l n (
e
yxxy?
yx
yxxy
yxy
))s i n ( l n (
))co s ( l n (,
y
z
y
u
u
z
y
v
v
z
))co s (l n (
e
yxxy?
yx
yxxy
yxx
))s i n ( l n (
))co s ( l n (,
几种类型复合函数求导公式,
)1( 设 )( u,v,wfz? 而 )u( x,yu?,),( yxvv?,
),( yxww? ( 见下图 ) 在 ),( yx 有偏导数,)( u,v,wfz? 在相应的 )( u,v,w 处有连续偏导数，则复合函数
( (,) ( ) ( ) )z f u x y,v x,y,w x,y? 在 ),( yx 处有偏导数，且
x
z
x
u
u
z
x
v
v
z
x
w
w
z
,
y
z
y
u
u
z
y
v
v
z
y
w
w
z
,
z
u
v
w
x
y
)2( 设 )( xu,)( xv,)( xww? 在点 x 处可导,
),,( wvufy? 在相应点 ),,( wvu 处有连续偏导数，则复合函数)(),(),( xwxxy ( 见下图 ) 在点 x 处可导，且
x
w
w
y
x
v
v
y
x
u
u
y
x
y
d
d
d
d
d
d
d
d
,
此公式的左端也称为全导数,
x y
u
v
w
（ 3 ）设 ),( yxu 在点 ),( yx 处 有 偏 导 数,
(,)z f u x? 在相应点 ),( xu 处有连续偏导数，则复合函数
xyxfz ),,( ( 见下图 ) 在点 ),( yx 处有偏导数，且
y
u
u
f
y
z
x
f
x
u
u
f
x
z
,,
z
u
x x
y
例 2 设 ),( 22 xyyxfz,求 xz,yz,
解 令
22
yxu,xyv?,则 ),( vufz?,所以
x
z
x
v
v
z
x
u
u
z
v
z
y
u
z
x
2,
y
z
y
v
v
z
y
u
u
z
v
z
x
u
z
y
2,
z
u
v
x?
x
z dd
dd
z u z v
u x v x
xxxxuxuv co ss i n2co sco s)s i n(2 232,
解 见右 图例 3 设 2
d
,c os,si n,
d
z
z u v u x v x
x
求,
例 4 设 xyyxxyfz,，求 xz,yz,
解
x
z
x
y
y
x
xyf
x
,
x
y
y
x
yf,?
x
y
y
x
f
x
xy,
x
y
y
x
yf,
221
,
1
,
x
y
x
y
y
x
f
yx
y
y
x
fxy
x
y
y
x
yf,?
x
y
y
x
f
x
y
x
y
y
x
xf,,
2
2
1
,
上式中的 1
f
,2
f
分别表示?
x
y
y
x
f,对第一、第二个中间变量，即
y
x
和
x
y
的偏导数,
定理 2 （隐函数存在定理） 设函数 ),,( zyxF 在点
0
P ),,(
000
zyx 的某个邻域内连续且有连续的偏导数
),,( zyxF
x
,),,( zyxF
y
,),,( zyxF
z
，又 0),,(
000
zyxF,
0),,(
000
zyxF
z
，则存在惟一的函数 ),( yxfz? 在 ),(
00
yx
的某个邻域内是单值连续的，并满足方程 0),,(?zyxF,
即
0)),(,,(?yxfyxF,
而且 ),(
000
yxfz?,同时 ),( yxfz? 在此邻域内有连续的偏导数,
二、隐函数的微分法隐函数的微分法例 1 设 0),(?yxF 确定了 y 是 x 的函数 )( xyy?,
且 ),( yxF x,),( yxF y 存在及 0),( 00?yxF y,试求
x
y
d
d
,
解 因为 0))(,(?xyxF,所以，此式两端对 x 求导得
0
d
d
x
y
y
F
x
x
x
F
,即
0
d
d
x
y
FF
yx
,
所以
),(
),(
d
d
yxF
yxF
x
y
y
x
,此式称为一元隐函数的求导公式,
例 2,设函数二元函数 ),( yxzz? 为方程 0),,(?zyxF
所确定的隐函数，且有连续的偏导数 ),,( zyxF x,
),,( zyxF y,),,( zyxF
z,试求
x
z
及
y
z
,
解 因为 0)),(,,(?yxzyxF,所以此式两端对 x 求导得 0?
x
z
z
F
x
F
,
所以
z
F
x
F
x
z
,
同理可得
z
F
x
F
y
z
,
更一般地，若已知由方程,,(
21
xxF 0),,?ux
n
确定了 u 是,,
21
xx
n
x,? 的函数，且
k
x
F
(,2,1?k ),,n?
u
F
存在且 0?
u
F
，则 有
k
u
x
u
F
x
F
k
(,,2,1k )n,
例 3 求由方程 e0z xyz 所确定的隐函数
),( yxzz? 的两个偏导数
x
z
,
y
z
,
解一 因为 e0
z
xyz 确定了函数 ),( yxzz?,所以方程两边对 x 求导得
e0
z
zz
y z x y
xx
,
所以?
x
z
e
z
yz
xy?
,
类似可得?
y
z
xy
xz
z
e
,
解二 令?),,( zyxF xyz
z
e,
因为 yzF
x
,xzF
y
,xyF
z
z
e,
于是由例 2 得
x
z
z
x
F
F
e
z
yz
xy?
,
y
z
z
y
F
F
e
z
xz
xy?
,
空间曲线的切线,如果点
0
P ),,(
000
zyx,P ),,( zyx
为曲线 )( trr? )( t 上的两个点，则割线 PP
0
的极限 0PP? 即称为该曲线在 0P 点的切线,
设空间曲线 的参数方程为
)(
),(
),(
tzz
tyy
txx
t,①
1,空间曲线的切线及法平面割线 0PP 的方向向量0 0 0 0,,P P x x y y z z,
割线 0PP 的方程为 0 0 0
0 0 0
X x Y y Z z
x x y y z z
,
三、偏导数的几何应用各分母除以
0
tt? 得
0
0
0
0
0
0
0
0
0
tt
zz
zZ
tt
yy
yY
tt
xx
xX
,
这里
0
t 和 t 分别是
0
P 点 P 和所对应的参数值．若函数①在点
0
t 的导数 )(
0
tx?,)(
0
ty?,)(
0
tz? 均不为零，则当
0
tt? 时，
割线 PP
0
的极限 ( 即曲线①在点 0P 的切线 ) 方程为
)(')(')('
0
0
0
0
0
0
tz
zZ
ty
yY
tx
xX?
,②
式②为曲线①也就是曲线 )( trr? 在点 0P 处的切线方程．其方向向量 { )(),(),( 000 tztytx } 也就是该曲线在点
0M { )(),(),( 000 tztytx } 处的切向量,
曲线的法平面：通过切点
0
P 垂直于切线的每一条直线都叫做曲线在点
0
P 处的法线，这些法线所在的平面称为曲线在点
0
P 处的法平面．曲线①在点
0
P 处的切向量即为该点法平面的法向量．因此，曲线①在该点的法平面方程为
0))(())(())((
000000
zztzyytyxxtx,
例 1 1 求螺旋线 tztytx,s in,c o s 在点 )0,0,1(
的切线及法平面的方程,
解 曲线
tz
ty
tx
,s i n
,c os
的向量形式为
kjir ttt s inc os,
其切向量为
kjir ttt c o ss i n)(,
又因为对应于曲线上的点 )0,0,1(
0
M,所以
kjir 0)0(,
因此，在点 (1,0,0) 处的切线方程为
,
1
0
1
0
,01
zy
x
即
.
,1
zy
x
在点 (1,0,0) 处的法平面方程为
0)0(1)0(1)1(0 zyx,
即 0 zy,
2,曲面的切平面与法线曲面的切平面,通过曲面 Σ 上一点 ),,(
0000
zyxM,
在曲面上可以作无穷多条曲线，若每条曲线在点
),,(
0000
zyxM 处都有一条切线，且可证明这些切线都在同一平面上，称该平面为曲面 Σ 在点 ),,(
0000
zyxM 处的切平面,
曲面的切平面方程,
设曲面 Σ 的方程为 0),,,(?zyxF,),,(
0000
zyxM 是曲面 Σ 上的一点，曲线 L 是曲面 Σ 上通过点
0
M 的一条曲线．假设曲线 L 的参数方程为
).(
),(
),(
tzz
tyy
txx
且设
0
tt? 对应于点 ),,(
0000
zyxM,并设曲线 L 在点
0
M 处的切向量
)}(),(),({
000
tztytxs,
不为零向量．由于曲线
L
在曲面 Σ 上，所以，有
0))(),(),((?tztytxF,
上式两边对
t
求导，得 0
d
d
0
tt
t
F
,
即
)(),,(
0000
txzyxF
x
)(),,(
0000
tyzyxF
y
0)(),,(
0000
tzzyxF
z
,
将上式写成向量的点积形式为
),,(
000
zyxF
x,),,(
000
zyxF
y
，
),,(
000
zyxF
z
0 s
,
这说明向量 n ={
),,(
000
zyxF
x,),,(
000
zyxF
y
，
),,(
000
zyxF
z }
是与曲面 Σ 上过点
),,(
0000
zyxM
的曲线 L 的切线垂直的向量,
由于 L 为曲面 Σ 上过点 ),,(
0000
zyxM 的任一条曲线．所以，向量 n 与曲面 Σ 上过点 0M 的所有曲线的切线均垂直．这说明 n 为曲面 Σ 在点 0M 处的切平面的法向量
( 见下图 ),以后把
n =? ),,( 000 zyxF x,),,( 000 zyxF y,)},,( 000 zyxF z
称为曲面 Σ,),,( zyxF 在点 ),,( 0000 zyxM 处的法向量,
L
O
x
y
z
0
M
n
Σ
根据以上讨论，曲面 Σ 在点
0
M 处的切平面，就是过点
0
M 且与法向量 n 垂直的平面．因此，切平面方程为
))(,,(
0000
xxzyxF
x
))(,,(
0000
yyzyxF
y
0))(,,(
0000
zzzyxF
z
,
曲面的法线：过点 ),,(
0000
zyxM 与切平面垂直的直线称为曲面 Σ 在点
0
M 处的法线,
曲面的 法线方程,
),,(
000
0
zyxF
xx
x
),,(
000
0
zyxF
yy
y
),,(
000
0
zyxF
zz
z
,
例 12 球面 222 zyx = 14 在点 ( 1,2,3 ) 处的切平面及法线方程,
解 令?),,( zyxF 14
222
zyx,则
xF
x
2?,yF
y
2?,zF
z
2?,
于是，该球面在点 )3,2,1( 处的法向量为
6,4,22,2,2
)3,2,1(
zyxn,
所以在点 )3,2,1( 处，此球面的切平面方程为
0)3(6)2(4)1(2 zyx,
即 01432 zyx,
法线方程为
6
3
4
2
2
1?
zyx
,
即
3
3
2
2
1
1?
zyx
,
思考题 1,在求复合函数的偏导数时，需要注意什么？求由可微函数 ),( uxfz?,),( yxu 而 得 的 复 合 函 数
)),(,( yxxfz 的偏导数，并说明其符号的含义,
2,求隐函数偏导数常用方法有几种? 举例说明,
一,多元函数的极值二,二元函数的最大值与最小值三,条件极值第五节 多元函数的极值第五节 多元函数的极值定义 设函数 ),( yxfz? 在点 ),(
000
yxP 的某个邻域内有定义，如果对于此邻域内任何异于 ),(
000
yxP 的点
),(
0
yxP,都有?),( yxf ),(
00
yxf ( 或?),( yxf ),(
00
yxf 成立，则称函数 ),( yxf 在点 ),(
00
yxP 取得极大值 ( 或极小值 )
),(
00
yxf,极大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 ),(
00
yxP 称为极值点,
例 1 函数 ),( yxf 1
22
yx 在点 )0,0( 取得极小值
1?,因为当 0,0 yx,时
),( yxf 1
22
yx > 1? = )0,0(f,
这一函数的图形就是下页左图中 的曲面，在此曲面上
)1,0,0(? 点低于周围的点,
一、多元函数的极值
O
x
y
z
x
y
z
1
1
O
例 2 函数
22
1 yxz 在点 )0,0( 处取得极大值
)0,0(f = 1,因为在点 )0,0( 附近任意 ),( yx,有
),( yxf 11
22
yx )0,0(f
其函数图形为上半球面（ 见 右上 图 ），显然 )1,0,0(? 点高于周围点,
定理 1 ( 极值存在的必要条件 ) 若函数 ),( yxfz?
在点 0P ),( 00 yx 达到极值，且函数在该点一阶偏导数存在，
则有
0),( 00?yxf x,0),( 00?yxf y,
证 因为点 ),(
00
yx 是函数 ),( yxf 的极值点，若固定
),( yxf 中的变量
0
yy?,则 ),(
0
yxfz? 是一个一元函数，
且在 0xx? 处取得极值．由一元函数极值的必要条件知
0),(
00
yxf
x,
同理可证 0),( 00?yxf y,
使 0),( 00?yxf x,0),( 00?yxf y 同时成立的点称为函数的驻点．由定理 1 可知，可导函数的极值点必为驻点，
但是函数的驻点却不一定是极值点,
例 3 函数
22
yxz 有偏导数
,2 x
x
z
y
y
z
2
,
两者在 )0,0( 点均为零，所以点 )0,0( 是此函数的驻点．因为 0
)0,0(
z,而在 )0,0( 点的任意一个邻域内函数既可取正值，也可取负值，所以 )0,0( 点不是
22
yxz 的极值点．函数
22
yxz 的图形是双曲抛物面 ( 如下 图 ),
y
x
z
O
定理 2 ( 极值存在的充分条件 ) 设函数 ),( yxfz?
在点
0
P ),(
00
yx 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且点
0
P ),(
00
yx 是函数的驻点，即?),(
00
yxf
x
),(
00
yxf
y
0?,若记 A = ),(
00
yxf
xx
,B ),(
00
yxf
xy
,
yy
fC? ),(
00
yx,则
( 1 ) 当 0
2
ACB 时，点
0
P ),(
00
yx 是极值点，且若
(0?A 或 )0?C,点 0
P ),(
00
yx
为极大值点 ; 若 (0?A 或
)0?C,点 0
P ),(
00
yx
为极小值点；
( 2 ) 当
0
2
ACB
时，点 0
P ),(
00
yx
非极值点 ;
( 3 ) 当
0
2
ACB
时，点 0
P ),(
00
yx
可能是极值点也可能不是极值点,
例 4 求函数 xyyxz 333 的极值,
解 设 ),( yxf xyyx 3
33
,
),( yxf 的偏导数
yxyxf
x
33),(
2
,
xyyxf
y
33),(
2
,
xyxf
xx
6),(?,
3),(yxf
xy
,
yyxf
yy
6),(?,
求函数
),( yxf
的驻点，即解方程组
,033
,033
2
2
xy
yx
得驻点分别为 )0,0(,)1,1(,
关于驻点 )1,1(,
有 6)1,1(?
xx
f,3)1,1(
xy
f,6)1,1(?
yy
f,
所以 ACB
2 2
)3(? 02766 且 06A,
因此,),( yxf 在点 )1,1( 取得极小值,1)1,1(f
关于驻点 )0,0(,
有 0)0,0(?xxf,3)0,0(
xy
f,0)0,0(?
yy
f,
所以 ACB
2
0900)3(
2
,因此,),( yxf
在点
)0,0(
不取得极值,
二元函数最值的存在性：对于有界闭区域上连续的二元函数，一定能在该区域上取得最大值和最小值．对于二元可微函数，如果该函数的最大值 ( 最小值 ) 在区域内部取得，这个最大值 ( 最小值 ) 点必在函数的驻点之中 ;
若函数的最大值（最小值）在区域的边界上取得，那么它也一定是函数在边界上的最大值 ( 最小值 ),
求函数的最大值和最小值的方法是：将函数在所讨论区域内的所有驻点处的函数值与函数在区域的边界上的最大值和最小值相比较，其中最大者就是函数在闭区域上的最大值，最小者就是函数在闭区域上的最小值,
二、二元函数的最大值与最小值例 5 求函数 )5(2 yxyxz 在 闭 区 域
4,0,0, yxyxD 上的最大值与最小值,
解 函数在 D 内处处可导，且
)2310(2310
22
yxxyxyyxxy
x
z
,
)25(25
2232
yxxyxxx
y
z
,
解方程组 0?
x
z
,0?
y
z
，得 D 内驻点?
4
5
,
2
5
及对应的函数值
64
625
z,
考虑函数在区域 D 边界上的情况
（见右图），在边界 0?x 及 0?y 上的函数 z 的值恒为零．在边界 4 yx 上,
函数 z 成为 x 的一元函数
40),4(
2
xxxz,
此函数求导有
)38(
d
d
xx
x
z
,
所以 )4(
2
xxz 在 4],[0 上的驻点为
3
8
x,相应的函数值为
27
256
z,所以函数在闭域 D 上的最大值为
64
625
z,它在点?
4
5
,
2
5
处取得；最小值为 0z?,它在
D 的边界 0x? 及 y= 0 上取得,
O
y
x 4
4
4 y x
对于实际问题中的最值问题，往往从问题本身能断定它的最大值或最小值 一定存在，且在定义区域的内部取得，这时，如果函数在定义区域内有 惟 一的驻点，则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值,
求实际问题中的最值问题的步骤是,
(1) 根据实际问题建立函数关系，确定其定义域 ;
(2) 求出驻点 ;
(3) 结合实际意义判定最大、最小值,
例 6 某工厂要用钢板制作一个容积为 33 ma 的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省?
解 从这个实际问题知材料最省的长方体容器一定存在，设容器的长为 x m,宽为 y m,高为
z m ( 见下图 ),则无盖容器所需钢板的面积为
xzyzxyA 22,
又已知
3
axyzV,
于是把
xy
a
z
3
代入 A 中，得
)0,0(
)(2
3
yx
xy
yxa
xyA,
x
y
z
求 A 的偏导数
2
3
2
x
a
y
x
A
,
2
3
2
y
a
x
y
A
,
求驻点，即解方程组
,0
2
,0
2
2
3
2
3
y
a
x
x
a
y
因为
0,0 yx
，解方程组，得 ayx
3
2,
代入
xy
a
z
3
中，得 az
2
2
3
,于是驻点 惟 一，所以当长方体容器的长与宽取
m2
3
a
，高取
m
2
2
3
a
时，
所需的材料最省,
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为
10 元与 9 元，生产 x 单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用是 )33(01.032400
22 yxyxyx
元,求取得最大利润时，两种产品的产量各多少?
解 设 ),( yxL 表示产品甲与乙分别生产 x 与 y 单位时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，
所以
)910(),( yxyxL
)]33(01.032400[
22
yxyxyx
4 0 0)33(01.068
22
yxyxyx,
再由
06.0,01.0,006.0
yyxyxx
LLL,
得 0105.3)06.0()01.0(
3222
ACB
所以，当 1 2 0?x 与 80?y 时,320)80,120(?L
是极大值．由题意知，生产 120 单位产品甲与 80
单位产品乙设所得利润最大,
由 0)6(01.08),( yxyxL x,
0)6(01.06),( yxyxL y,
得驻点 ( 120,80 ),
考虑函数 ),( yxfz? 在满足约束条件 0),(?yx? 时的条件极值问题，求解这一条件极值问题的常用方法是拉格朗日乘数法．拉格朗日乘数法的具体求解步骤如下,
( 1 ) 构造辅助函数 ( 称为拉格朗日函数 )
),(),(),,( yxyxfyxLL
其中? 为待定常数，称为拉格朗日乘数，将原条件极值问题化为求三元函数
),,(?yxL
的无条件极值问题 ;
( 2 ) 由无条件极值问题必要 条件有
0,
0,
(,) 0,
xx
yy
L
f
x
L
f
y
L
xy
三、条件极值联立求解这三个方程，解出可能的极值点 ),( yx 和乘数? ；判别求出的 ),( yx 是否为极值点，通常由实际问题的实际意义判定,
对于多于两个自变量的函数或多于一个约束条件的情形也有类似的结果,例 6 某工厂要用钢板制作一个容积为 33 ma 的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省? 解 设拉格朗日函数为
)(22),,,( 3axyzyzxzxyzyxL,
由
,0
,022
,02
,02
3
ax y z
L
xyyx
z
L
xzzx
y
L
yzzy
x
L
将上述方程组的第一个方程乘 x,第二个方程乘以 y,第三个方程乘以 z,再两两相减得
,02
,022
xzxy
yzxz
因为
0,0 zx
，所以有 zyx 2,代入第四个方程得惟一的可能极值点 ayx
3
2,az
2
2
3
,
由 问 题 本 身 可 知 最 小 值 一 定 存 在,因 此 当
ayx
3
2
m,
m
2
2
3
az?
时，容器所需材料最省,
例 8 某工厂生产两种商品的日 产量分别为 x 和
y ( 单位：件 ),总成本函数 ),( yxC 22 128 yxyx ( 单位：
元 ),商品的限额为 42 yx,求最小成本,
解 约束条件为 042),( yxyx?,
设拉格朗日函数
)42(128),(
22
yxyxyxyxF?,
求其中对 x,y,?,的一阶偏导数，并使之为零，
得方程组
,042
,024
,016
yxF
yxF
yxF
y
x
解得 25x? 件,17?y 件，故惟一驻点 ( 2 5,1 7 )
也是最小值点，它使成本为最小，最小成本为
8 0 4 317121725258)17,25(
22
C
( 元 ),
例 9 销售某产品需作两种方式的广告宣传，当宣传费用分别为 x 和 y ( 单位：千元 ) 时，销售量 S （单位：件）是 x 和 y 的函数
y
y
x
x
S
10
1 00
5
2 00
,
若销售产品所得的利润是销售量的
5
1
减去总的广告费，两种广告费共 25 （单位：千元）．应怎样分配两种方式的广告费，能使利润最大，最大利润是多少?
解 根据题意，利润函数为
25
5
1
),( SyxL 25
10
20
5
40
y
y
x
x
,
约束条件为?x 025y,
设拉格朗日函数
)25(25
10
20
5
40
),(
yx
y
y
x
x
yxF?,
求其对 x,y,? 的一阶偏导数，并使之为零，得方程组
,025
,0
)10(
200
,0
)5(
200
2
2
yx
y
F
x
F
y
x
解得 10,15 yx,故点 ( 15,10) 是惟一的驻点，也是最大值点．于是，当两种宣传方式的广告费分别为 15
和 10 ( 单位：千元 ) 时，其利润最大、最大利润是
1525
1010
1020
155
1540
)10,15(
L ( 千元 ),
思考题
1,二元函数在哪些点可能是极值点？举例说明驻点不一定为极值点．反之，若 ),( 00 yx 为极值点是否一定是驻点? 2,二元函数的极值 与条件极 值的几何 意义是什么？若二元函数无极值，是否一定无条件极值，举例说明,
