第二节 幂 级 数
*第三节 傅里叶级数第一节 数项级数及其敛散性第十二章 级 数一,数项级数及其性质二,正项级数及其敛散性三,交错级数及其敛散性四,绝对收敛与条件收敛第一节 数项级数及其敛散性
1,数项级数的概念定义 1 设给定一个数列,
2,1
uu?,
n
u,?，则式子
3
1
21
uuuu
n
n
＝? +
n
u +?
称为常数项无穷级数，简称数项级数，其中第 n 项
n
u 称为一般项或通项,
例 ① 算术级数
)2()( 121 dadaa?＋（ ))1(1 dna?
② 等比级数（几何级数）
2111 qaqaa? +
1
1
nqa
+?,
一、数项级数及其性质
③ p - 级数?
1
1
3
1
2
111
n
pppp nn,
定义２ 设级 数?
1n
n
u 的前 n 项之和为
12
1
n
n n k
k
S u u u u
称
n
S 为级数?
1n
n
u 的前 n 项部分和,当 n 依次取,3,2,1 时，得到一个新的数列
11
uS?,
212
uuS,,,
21 nn
uuuS
数列
n
S 称为级数?
1n
n
u 的部分和数列,
若此数列的极限存在，即 SS
n
n
lim ( 常数 ),则称
S 为级数?
1n
n
u 的和，记作?
1n
n
Su 此时称级数?
1n
n
u 收敛,如果数列 { nS } 没有极限，则称级数?
1n
n
u 发散，这时级数没有和,
当级数收敛时，其部分和 nS 是级数 S 的近似值，
称 n
SS? 为级数的余项，记作
n
r,即
21 nnnn uuSSr,
)1l n ()ln)1( l n (
)2ln3( l n)1ln2( l n
21
nnn
uuuS
nn
,
所以
)1l n (limlim nS
n
n
n
,
由定义级数?
1
1
ln
n
n
n
是发散的,
解 注意到 nn
n
n
u n ln)1l n (
1
ln
例 1 考察级数
1
1ln
n n
n 的敛散性,
所以
)12(limlim n
nnn
S,级数是发散的,
例 3 考察级数?
1
1)1(
n
n 的敛散性,
解 这是公比为 - 1 的几何级数，即
11111
它的部分和数列是 1,0,1,0,?，显然 n
n
S
l i m 不存在,所以级数是发散的,
例 2 考察级数
128421 n
的敛散性,
解 这是公比为 2 的几何级数，
12
12
n
nS,
63.0
n
1 0 0
36
1 0 0
36
1 0 0
36
1 0 0
36
32
,
这是公比为
100
1
的几何级数,由等比数列求和公式
1 0 0
1
1
)
1 0 0
1
1(
1 0 0
36
n
n
S
所以
11
4
99
36
1 0 0
1
1
1 0 0
36
1 0 0
1
1
)
1 0 0
1
1(
1 0 0
36
l i ml i m
n
n
n
n
S ,
这个无穷级数的和为
11
4
,即
63.0
11
4
,
解 把 63.0 化为无穷级数例 4 把循环小数 63.0 化为分数,
2,数项级数的基本性质性质 1 级数?
1n
n
u 与级数?
1n
n
ku ( 常数 0?k )
敛散性相同,且若?
1n
n
u 收敛于 S,则?
1n
n
ku 收敛于 kS,性质 2 若级数?
1n
nu 与?
1n
nv 分别收敛于 β
与 α,则级数?
1
)(
n
nn vu 收敛于 αβ?,
性质 3 添加、去掉或改变级数的有限项,级数的敛散性不变,
性质 4 ( 两边夹定理 ) 如果 nu ≤ nv ≤ nw,且
1n
nu 和?
1n
nw 都收敛,则?
1n
nv 也收敛,
性质 5 ( 级数收敛的必要条件 ) 若级数?
1n
nu 收敛,则,0lim?
nn
u
证 设 Su n
n
lim,由于 1 nnn SSu,所以
0limlim)(limlim 11
SSSSSSu n
n
n
n
nn
n
n
n
,
例 6 判别级数?
1 12
)1(
n
n
n
n 的敛散性,
解 由于
12
)1(lim
n
nn
n
不存在,由性质 5 可知此级数是发散的,
例 7 证明：调和级数?
1
1
n n
虽有 0
1
li m?
nn
，但是它是发散的,
证 我们利用定积分的几何意义加以证明,
调和级数部分和?
n
k
n
k
S
1
1
，如图所示,考察曲线
1,1,
1
nxx
x
y 和 0?y 所围成的 曲边梯形的面积 S
与阴影表示的 阶梯形面积
n
A
之间的关系,
O
1 / 2
y
1
1 2 3 4 n n+1 x
可以看到阴影部分的 第一个矩形面积
1
A =1,第二个矩形面积 21
2
A,第三个矩形面积 31
3
A,，第 n
个矩形面积 1
n
An?,所以阴影部分的总面积为
n
k
n
k
nn
k
nAA
1 1
1
131211?,
它显然大于曲边梯形的面积 S,即有
)1l n (ln
1 1
1
1
1
1
nxdx
x
AA
n
n
n
k
kn
,
而
)1(lim n
n
，表明 nA 的极限不存在，所以该级数发散,
正项级数：若 nu ≥ 0,则级数?
1n
nu 称为正项级数,
定理 1 正项级数?
1n
nu 收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界,
证 对于正项级数?
1n
n
u,由于
n
u ≥ 0,
因而
11
nnn
uSS ≥
n
S,
所以正项级数?
1n
nu 收敛的充分必要条件是，它的部分和二,正项级数及其敛散性数列 { nS } 有界，显然 n
n
S
lim 存在，从而级数?
1n
nu 收敛；
若 { nS } 无界，则
n
n
Slim,从而级数?
1n
nu 发散,
例 8 证明正项级数?
0 !
1
!2
1
!1
11
!
1
n nn
＋
是收敛的,
证 因为
nn
321
1
!
1
≤ ),4,3,2(
2
1
2221
1
1
n
n
,
于是对于任意的 n,有
.3
2
1
3
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
11
)!1(
1
!2
1
!1
1
1
2
1
22
n
n
nn
n
S
即正项级数的部分和数列有界，故级数?
0 !
1
n n
收敛,
定理 2 （比较判别法） 设?
1n
nu 和?
1n
nv 是两个正项级数，且 nu ≤ nv,
（ 1 ）若级数?
1n
nv 收敛,则级数?
1n
nu 也收敛 ;
（ 2 ）若级数?
1n
nu 发散，则级数?
1n
nv 也发散,例 9 讨论?p 级数
)0(
1
3
1
2
1
1
1
1
p
nn pppn p
的敛散性,
解 当 p ≤ 1 时，
p
n
1
≥
n
1
，因为?
1
1
n n
发散，所以由比较判别法知,p ≤ 1 时,?
1
1
n
p
n
发散,
当 1?p 时,顺次把?p 级数的第 1 项,第 2 项到第 3
项,4 到 7 项,8 到 15 项, 括在一起,得
)
15
1
8
1()
7
1
6
1
5
1
4
1()
3
1
2
1(1
pppppppp ,
它的各项显然小于级数
3
1
2
11
)
2
1
()
2
1
(
2
1
1
)
8
1
8
1
()
4
1
4
1
()
2
1
2
1
(1
ppp
pppppp
对应的各项,而所得级数是等比级数,其公比为
,1
2
1
1pq 故收敛,于是当 1?p 时,级数?
1
1
n
pn 收敛,
例 10 判定级数
)4)(1(
1
63
1
52
1
nn
的敛散性,
解 因为级数的一般项
)4)(1(
1
nn
u n 满足而级数?
1
2
1
n n
是 2?p 的?p 级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的,
2
1
)4)(1(
10
nnn ,
（ 1 ） 当 q < 1 时，级数收敛；
（ 2 ） 当 q > 1 时，级数发散；
（ 3 ） 当 q =1 时级数可能收敛，也可能发散,
例 11 判别下列级数的敛散性,
（ 1 ）?
1
2 2
3
n
n
n
n ; （ 2 ）?
1 )!1(
1
n n
设?
1n
nu 是一个正项级数，并且 q
u
u
n
n
n
1lim,则 定理 3 (达朗贝尔 比值判别法 )
12
1
21
32
l im l im
( 1 ) 2 3
nn
n
nnnn
n
u n
un
解,
,1
2
3
1
1
1
2
3
lim
)1(2
3
lim
2
2
2
n
n
n
nn
所以级数?
1
2
2
3
n
n
n
n
发散,
解
1
( 1 ) ! 1
l i m l i m l i m 0 1.
!
n
n n n
n
u n
u n n
所以级数?
1 )!1(
1
n n
收敛,（ 2 ）?
1 )!1(
1
n n
交错级数：设 0?nu,则级数 n
n
n u?
1
1)1( 称为交错级数,定理 4 （莱布尼茨判别法） 如果交错级数
n
n
n u?
1
1)1( ( ),2,1,0 nu
n 满足莱布尼茨
（ Leibnizi ）的条件,（ 1 ） nu ≥ 1?nu （ n =1,2,?）,
（ 2 ）,0lim?
nn
u
则交错级数 n
n
n u
1
1)1( 收敛,
三,交错级数及其敛散性例 12 判定交错级数 nn 1)1(4131211 1
的敛散性,
解 此交错级数,
1
1
,
1
1
n
u
n
u
nn
满足,
（ 1 ） ;
1
11
nn
（ 2 ） 0
1
limlim
n
u
n
n
n
,
由定理 4 知它是收敛的,
定义 3 若?
1n
n
u 收敛，则称?
1n
n
u 是绝对收敛的，若只是?
1n
n
u 收敛而?
1n
n
u 发散，则称?
1n
n
u 是条件收敛的,
定理 5 绝对收敛的级数必是收敛的,证 如果?
1n
nu 收敛，由于 nu? ≤ nu ≤ nu,
故从性质 1 及性质 4 知?
1n
nu 也是收敛的,
四、绝对收敛与条件收敛例 13 判定级数?
1 2
s in
n
n
na 的敛散性,
解 考虑级数?
1
2
s i n
n
n
na
,
由于 0 ≤
n
na
2
s in
≤
n
2
1
而级数?
1
2
1
n
n
收敛，由两边夹定理知级数?
1
2
s i n
n
n
na
是收敛的,根据定义 3,?
1
2
s in
n
n
na
是绝对收敛的,由定理 5 知它也是收敛的,
1,级数收敛的必要条件所起的作用是什么?
2,判定一个级数是否收敛，有哪几种方法?
思考题一,幂级数的概念二,幂级数的性质三,将函数展开成幂级数四,幂级数应用第二节 幂 级 数
1,函数项级数函数项级数,如果级数
1
)(
n
n xu
= )()()( 21 xuxuxu n
的各项都是定义在某个区间上的函数，则称为函数项级数,)( xu n 称为一般项,
收敛点与收敛域：当 x 在区间 I 中取某个特定值
0
x 时,级数
1
)(
n
n
xu 就是一个数项级数,如果这个数项级数收敛，则称 0x 为级数的一个收敛点；如果发散，
则称 0x 为这个级数的发散点,一个级数的收敛点的全体称为它的收敛域,
一,幂级数的概念和函数：对于收敛域内的任意一个数 x,函数项级数成为一个收敛域内的数项级数,因此有一个确定的和
S,这样，在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数
)( xS,通常称 )( xS 为函数项级数的和函数,即
)( xS = )()()( 21 xuxuxu n,其中 x 是收敛域内的任意一点,
将函数项级数的前 n 项和记作 )( xS n 则在收敛域上有 )()(lim xSxS n
n
,
形如
0
0
()
n
n
a x x
2
0 1 0 2 0 0
( ) ( ) ( )
n
n
a a x x a x x a x x ①
的函数项级数,称为
0
xx? 的幂级数,其中常数
0
a,,,,,
21 n
aaa 称为幂级数的系数,
当 0
x
=0 时，上式变为
n
n
n
xa
0
n
n
xaxaxaa
2
210
②
称为 x 的幂级数,如果作变换 0
xxy
,则级数 ① 就变为②,因此,下面只讨论形如②的幂级数,
2,幂级数的概念
（ 1 ） 幂级数的收敛半径由于 级数 ② 各项可能符号不同，将级数 ② 的各项取绝对值,则得到正项级数
n
n
n
n
n xaxaxaaxa
2
210
0
,
设当 n 充分大时,na ≠ 0,且
ρa
a
n
n
n
1lim,则,limlimlim
1
1
11 ρxx
a
a
xa
xa
u
u
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
于是,由比值判别法，可知,
当? ≠ 0 时，若 x < 1,即
1
xR
,则级数②收敛；
若 1x,即
1
xR
,则级数②发散,
这个结果表明，只要 0,就会有一个对称开区间 ),( RR? 在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂级数发散,Rx 时，级数可能收敛可能发散,称
1
R
为幂级数②的收敛半径,当? =0 时,01x,级数②对一切 x 都绝对收敛，这时规定收敛半径R,
如果幂级数仅在 0?x 一点处收敛，则规定收敛半径
0?R,由此可得定理 1 如果以上幂级数 ② 的系数满足
ρa
a
n
n
n
1lim,
则
① 当 ρ0 时，
ρ
R
1；
② 当 0?ρ 时,R =+ ∞ ；
③ 当ρ,0?R,
（ 2 ）幂级数的收敛区间若幂级数的收敛半径为 R,则 ),( RR? 称为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛,我们把收敛区间的端点 Rx 代入级数中，判定数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域,
例 1 求幂级数?
0 !n
n
n
x 的收敛半径 与收敛域,
解 因为
0
1
1
l i m
)!1(
!
l i ml i m
1
nn
n
a
a
nn
n
n
n
,
所以所给幂级数的收敛半径 R
收敛域为（ －∞，＋∞ ）,
例 2 求幂级数?
1n
n
n
x 的收敛半径 与收敛域,
解 因为
1
1
1
1
lim
1
limlim 1?
n
n
n
a
a
nn
n
n
n
,
所以所给幂级数的收敛半径 1?R,
当 1?x 时，级数为调和级数?
0
1
n
n
发散,
当 1x 时，级数为交错级数?
0
)1(
n
n
n
，收敛,
所以该级数的收敛域为 )1,1[? ；
例 3 求幂级数?
1n
nn xn 的收敛半径,
解 因为
)1()
1
1(lim
)1(
limlim
1
1 n
nn
n
a
a n
n
n
n
n
n
n
n
,
所以所给幂级数的收敛半径 0?R,
解 所给幂级数缺少偶数次幂的项，不属于级数的标准形式，因此不能直接应用定理 1,这时可以根据比值法求其收敛半径,
22
12
121
1 22lim
2
2limlim xx
x
x
u
u
nnn
nn
n
n
n
n
,
当 12
2
x,即
2
2
x 时，所给级数绝对收敛；
当,12
2
x 即
2
2
x 时，所给级数发散,
因此所给幂级数的收敛半径 R =
2
2
,
例 4 求幂级数?
0
122
n
nn x 的收敛半径,
性质 1 幂级数的和函数在收敛区间内连续,即若 )(
0
xfxa n
n
n
，则 )( xf 在收敛区间内连续,
11
0
22
0
( ),(,),
( ),(,),
n
n
n
n
n
n
a x f x x R R
b x g x x R R
若记 ),m i n ( 21 RRR?,则在 ),( RR? 内有如下运算法则,
二,幂级数的性质加法 运算
0 0 0
)()()(
n n n
n
nn
n
n
n
n xgxfxbaxbxa,
乘法运算
00 n
n
n
n
n
n
xbxa
n
nnn
xbababa
xbababaxbababa
)(
)()(
0110
2
021120011000
)()( xgxf
微分运算
0 0
1
0
)()(
n n
n
n
n
n
n
n
n
xSxnaxaxa,
且收敛半径仍为 R,
积分运算
1
0 0 0
0 0 0
d d ( ) d
1
x x x
n n nn
nn
n n n
a
a x x a x x x S x x
n
且收敛半径仍为 R,
设?
0
)(
n
n
n xSxa,收敛半径为 R,则 ),( RR? 内有如下运算法则,
例 5 求级数?
0
)1(
n
nn x,?
0
2
n
nx,?
0
1
1n
n
n
x
，
0
1
1
)1(
n
nn
n
x
,?
0
12
12n
n
n
x
,?
0
1
n
nnx 的和函数,
解 对于级数?
0
2
1
n
nn
xxxx,
当 1?x 时，看成公比为 x 的收敛等比级数，则得
0 1
1
n
n
x
x,)1,1(x,
因为收敛区间是关于原点对称的区间,所以 – x
也在收敛区间内,用 - x 代换级数中的 x,
显然?
0 1
1
)1(
n
nn
x
x,)1,1(x,
上面两个级数相加可得?
0
2
2
1
2
2
n
n
x
x,)1,1(x,
即
0
2
2
1
1
n
n
x
x,)1,1(x,
利用解析运算可得
0
1
,
1
1
ln
1
1
n
n
x
x
n
)1,1(x,
0
1
)1ln (
1
1
)1(
n
nn
xx
n
,]1,1(x,
0
12
1
1
ln
2
1
12
1
n
n
x
x
x
n
,)1,1(x,
设?
0
1
)(
n
n
nxxS,)1,1(x,
两端积分
x
n n
nn
x
xxdxxS
0
1 0
1
1
1
1)(,)1,1(x,
两端求导
0
2
1
)1(
1
)(
n
n
x
nxxS,)1,1(x,
例 6 求?
0
12
12
1)1(
n
nn x
n 的和函数,
解 设
0
12
12
1)1()(
n
nn x
nxS,
两端求导得
0 0
2
22
1
1
)()1()(
n n
nnn
x
xxxS,)1,1(x,
两端积分得
2
0
1
( ) d a r c t a n
1
x
S x x x
x
,
即?
0
12 a r c ta n
12
1
)1(
n
nn xx
n
,)1,1(x,
当 1x 时,?
0
12
12
1)1(
n
n
n 收敛 ;
当 1?x 时,?
0
12
12
1
)1(
n
n
n
收敛,所以
0
12
a r c ta n
12
1
)1(
n
nn
xx
n
,]1,1[x,
例 7 求幂级数?
0 !n
n
n
x 的和函数,
解 由例 4 知此级数的收敛域是 ),(,设其和函数为 )( xfy?,即?
0
!
n
n
n
x
y,
1
00( 1 ) ! !
nn
nn
xx
yy
nn
,
解此微分方程得
x
Cy e?,再注意到 1)0(?f 即得 C =1,
所以和函数
x
y e?,即
),(,
!!2
1e
2
x
n
xx
x
n
x
,
定理 2 ( 泰勒中值定理 ) 如果函数 )( xf 在 0x 的某邻域内有 1?n 阶导数，则对此邻域内任意点 x,有
)( xf 的 n 阶泰勒公式其中 )( xR n 为 n 的阶泰勒公式的余项,
200
0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 ! 2 !
f x f xf x f x x x x x
0
0
() ( ) ( )
!
n
n
n
fx x x R x
n
1.泰勒 (Taylor)公式与 麦克劳林 (Machaurin)公式三,将函数展开成幂级数当
0
xx? 时,它是比
n
xx )(
0
高阶的无穷小,故一般将其写成为 )(
0
n
xxo?,余项 )( xR
n
有多种形式,一般常用的形式为拉格朗日型余项，其余表达式为
1
0
)1(
)(
)!1(
)(
)(
n
n
n
xx
n
ξf
xR ( ξ 在 0 与 x 之间 ),
在泰勒公式中,当 00?x 则有麦克劳林公式
)(
!
)0(
!2
)0(
!1
)0(
)0()( xRx
n
f
x
f
x
f
fxf nn
n
,
其中余项 )()( nn xoxR?
或 )(
)!1(
)( )1(
1
ξf
n
xxR nn
n
（ ξ 在 0 与 x 之间）,
例 8 写出 xxf e)(? 的 n 阶麦克劳林公式,
解 因为
x
xf e)(?,
所以
xnn
xfxfxfxfxf e)()()()()(
1
,
ξ
nn
x
n
x
n
xx
x e
)!1(!!2
1e
12
（ ξ 在 0 与 x 之间）,2,泰勒级数与麦克劳林级数由泰勒中值定理知道,若函数 )( xf 在点 0xx? 的某一领域内具有直至 1?n 阶的导数 )(,),(),(
1
xfxfxf
n
,则
)( xf 的 n 阶泰勒公式为,
若记则有 )()()( 1 xRxSxf nn,
于是 )()( 1 xSxf n,误差 )()()( 1 xRxSxf nn,如果 )( xR
n 随着 n 的增大而减小,那么,我们可以用泰勒多项式 )(1 xS n? 项数的办法来提高用多项式
,)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
2
0
0
0001
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxS
)(
1
xS
n?
代替 )( xf 的精度,如果 n 无限制地增大,那么这时 n 阶泰勒多项式
1?n
S 就成为一个幂级数了,我们把
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()(
0
0
2
0
0
000
称为 )( xf 在
0
xx? 处的泰勒级数,下面我们分析 )( xf
的泰勒级数在什么样的条件下才收敛于 )( xf,
首先，我们注意到：如果当n 时，有 0
n
R?,
则对
)()()(
1
xRxSxf
nn
式令
n 取极限得，
)()(l i m
1
xfxS
n
n
，即
,)(
!
)(
)(
!2
)(
)()()(
0
0
)(
2
0
0
00
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf
反之，若上式成立，则必有,0)(l i m?
xR
n
n
另外，还需要注意，为使上式成立,)( xf 在 0xx? 的某邻域内必须有任意阶导数,
定理 3 如果在 0xx? 的某邻域，函数 )( xf 具有任意阶导数，则函数 )( xf 的泰勒级数收敛于
)( xf 的充要条件是：当n 时 泰 勒 余 项
0)(?xR n,
如果 )( xf 在 0xx? 处的泰勒级数收敛于 )( xf,就是说 )( xf 在
0
xx? 处可展开成泰勒级数，则称上式为 )( xf 在
0
xx? 处的泰勒展开式，也称 )( xf 关于
0
xx? 的幂级数，
也记为
n
n
n
xx
n
xf
xf?
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(,
当 0
0
x 时，上式成为
()
2( 0) ( 0)
( ) ( 0) ( 0)
!!
n
nff
f x f f x x x
nn
,
称为函数 )( xf 的麦克劳林展开式，也记为
1 !
)0(
n
n
n
xnfxf,如果函数能展开成关于 x 的幂级数，则这个幂级数一定就是函数麦克劳林级数，即函数的幂级数是惟一的,
事实上，如果函数 )( xf 可展开为 x 的幂级数，即
n
n
xaxaxaaxf
2
210
)(,
将其在收敛区间内逐项求导，得
1
21
2)(
n
n
xnaxaaxf,
2
32
)1(2312)(
n
n
xannxaaxf,
xannnanxf
nn
n
1
)(
2)1()1(!)(,
!
)0(
,,
!3
)0(
,
!2
)0(
),0(),0(
)(
3210
n
f
a
f
a
f
afafa
n
n
这就是说
n
n xaxaxaaxf
2
210)( 式中幂级数的系数恰是 )( xf 的麦克劳林的系数，这就证明了 )( xf 关于 x 的幂级数展开式的惟 一 性,
3,将函数展开 成 幂级数的方法
⑴ 直接展开法 直接展开法是指先利用公式
)(
!
)0(
!2
)0(
!1
)0()0()( xRx
n
fxfxffxf
n
n
n
来讨论是否有 l i m ( ) 0n
n
Rx
,再用公式
() ( 0)
!
k
k
f
a
k
),2,1(k 求出幂级数系数的方法,
例 9 用直接展开法求 xxf s in)(? 的幂级数展开式,
解 因为 xxf s in)(?,所以
2
π
s inc os)( xxxf,
2
π2
s in)
2
π
c os ()( xxxf,
2
π3
s in)
2
π2
c o s ()( xxxf,
2
π
s i n)(
)(
n
xxf
n
故 0)0(?f,1)0(f,0)0(f,1)0(f,?,
顺次循环取得四个数,1,0,1,0? 写出级数
!5!3
53
xx
x
它的收敛半径
R
,
对于任何有限的数 x,ξ （ ξ 在
0
与 x 之间）
余项的 绝对值
)!1(2
π)1(
s i n)(
12
n
xn
xR
n
n
≤ 0
)!1(
1
n
x
n
(
n
时 )
于是得展开式
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
12
1
53
x
n
xxx
xx
n
n
,
⑵ 间接展开法间接展开法是指从已知函数的展开式出发，利用幂级数的运算法则得到所求函数的展开式的方法,
例 10 用间接展开法求 xc o s 的幂级数展开式,
解 对 si n x 展开式逐项微分便得
)(
)!2(
)1(
!4!2
1c o s
242
x
n
xxx
x
n
n
1,函数值的近似计算例 1 1 计算 e 的近似值,
解 e 的值就是函数 xe 的展开式在 1?x 时的函数值，即
0
1 1 1
e 1 1
! 2 ! !n nn
,
取
0
1 1 1e 1 1
! 2 ! !n nn
,
四,幂级数应用则误差
1 1 1
( 1 ) ! ( 2 ) ! ( ) !
n
R
n n n k
1
)1()!1(
1
)1()!1(
1
)!1(
1
k
nnnnn
12
)1(
1
)1(
1
)1(
1
1[
)!1(
1
k
nnnn
]
nn
n
n !
1
1
1
1
1
)!1(
1
,
故若要求精确到
k?
10,则只须
k
nn
10
!
1
，即
k
nn
10! 即可,例如要精确到
10
10
，由于
1010
1010813!13,所以取 13?n 即
!13
1
!3
1
!2
1
11e,可以在计算机上求此值（ 045 982 828 171 8,2e ）,
2．求极限例 1 2 求 4
2
0
2
ec osli m
x
x
x
x
,
解 把 xc o s 和 2
2
e
x?
的幂级数展开式代入上式，有
4
2
4242
0
4
2
0
222
1
242
1
lim
ec os
lim
2
x
xxxx
x
x
x
x
x
12
112
1
lim
4
4
0
x
x
x
,
3,计算不出来的不定积分例 1 3 求 xx de 2,
解 由于
2
e x? 的原函数不是初等函数，所以这一积分“积不出来”，但如果用幂级数表示函数，就能“积出来”,
把 2e x? 的幂级数展开式代入到积分式中,
x
n
xxx
xx
n
nx
d
!
)1(
!3!2
1de
264
2
2
!)12(
)1(
!37!253
12753
nn
xxxx
xC
n
n
这里我们把积分常数 C 写在了最前面,
4,解微分方程例 1 4 求微分方程 0 yyxy 满足初值条件 1|,| 00 xx yy 的特解,
解 设所求解为
n
n
xaxaxaay
2
210
，
则
12
321
32
n
n
xnaxaxaay,
22
432
)1(34232
n
n
xannxaxaay,
把这三个级数代入方程，并合并同次项，得
,0))1()1((
)334()223()2(
2
2
2
241302
n
nn
xanann
xaaxaaaa
所以这一级数的各次项系数均应为 0,即
,4,3,2,0)1()1(
2
nanann
nn
,
解得系数间递推关系式
n
a
a
n
n
2?
或
2
2
n
a
a
n
n
,
另由初值条件可得 1,0
10
aa,
把 0
0
a 代入递推式就得,0,,0,0
242
n
aaa,
把 1
1
a 代入递推式就得
,
!)!12(
1
,,
53
1
,
3
1
1253
n
aaa
n
,
于是方程的解为
!)!12(753153131
12753
n
xxxx
xy
n
,
1,在收敛区间内幂级数有哪些性质？
2,如何将一个函数展开成幂级数？间接展开法有哪些优点？
思考题一,以 2π 为周期的函数展开成傅里叶级数二,以 2l为周期的函数展开成傅里叶级数
*第三节 傅里叶级数三角级数：级数 )s i ncos(
2
1
0
n
nn
nxbnxa
a
称为三角级数也称为傅里叶 ( Fourier) 级数,其中
0
a,
n
a,
n
b )1,2,(n 都是常数，称为系数,特别 的 当
0?na )1,2,(n 时,级数只含正弦项,称为正弦级 数,
当 ),2,1(0nb 时，级数只含常数项和余弦项，称为余弦级数,
三角函数系 },2s i n,2c ox,s i n,c os,1{?xxxx ①
定理 1 ( 三角函数系的正交性 ) 三角函数系
① 中任意两个不同函数的乘积在 [ π,π? ] 上的积分等于 0,具体地说就是有
π
π
π
π
0ds in,0dc o s xnxxnx )3,2,1(n,?
π
π
0dc o ss in xnxkx )3,2,1,(nk,
π
π
0dc o sc o s xnxkx ),3,2,1,( knnk,
π π 0dc o ss in xnxkx ),3,2,1,( knnk,
1,三角函数系的正交性一、以 2π 为周期的函数展开成 傅里叶 级数
2,f ( x ) 的傅里叶级数设 )( xf 能展开成三角级数,也就是说能把 )( xf 表示成?
1
0 )s i nc os(
2
)(
k
kk kxbkxa
a
xf ②
求 )( xf 的三角级数展开式,也就是② 式中的系数?,,,,,22110 babaa 为了求式②中的系数,我们利用三角函数系的正交性,假设②式是可逐项积分的,把它从 π? 积到 π 逐项积分,),ds indc o s(d
2
d)(
1
π
π
π
π
π
π
0
π
π
k
kk xkxbxkxax
a
xxf
由定理 1,右端除第一项外均为 0,所以
xxf d)(π
π
=
xa d2π
π
0 π
0a,
于是得,d)(π1 π π0 xxfa
为求
n
a,先用 nxc o s 乘以②两端,再从 π? 到 π 逐项积分,得
xnxxf dc o s)(
π
π
=
xnx
a
dc os
2
π
π
0
)dc oss indc osc os(
1
π
π
π
π
k
kk
xnxkxbxnxkxa,
由定理 1,右端除 nk? 的一项外均为 0,所以
π,dc o sdc o s)(
2
π
π
π
π
nn axnxaxx n xxf
于是得
),3,2,1(dc os)(
π
1 π
π
nxnxxfa
n,
类似地，用 nxs i n 乘 ② 式两端，再从 π? 到 π 逐项积分，可得
xnxxfb n ds in)(
π
1 π
π
),3,2,1(n,用这种办法求得的系数称为 )( xf 的傅里叶系数,
定理 2 求 )( xf 的傅里叶系数的公式是
π
π
π
π
1
( ) c os d ( 0,1,2,),
π
1
( ) si n d ( 1,2,3,),
π
n
n
a f x nx x n
b f x nx x n
由 )( xf 的傅里叶系数所确定的三角级数
)s inc o s(2
1
0 nxbnxaa
nn
n
,称为 )( xf 的傅里叶级数,
推论 当 )( xf 是周期为 π2 的奇函数时，它的傅里叶级数为正弦级数 nxb
n
n
s i n
1
，其中系数
),3,2,1(ds in)(
π
2 π
0
nxnxxfb n,
当 )( xf 是周期为 π2 的偶函数时，它的傅里叶级数为余弦级数 nxa
a
n
n
c os
2 1
0
,其中系数
),2,1,0(dc os)(
π
2 π
0
nxnxxfa n,
3,傅里叶级数的收敛性
(1) 没有间断点或仅有有限个间断点而且这些间断点全为第一类间断点 ;
(2) 至多只有有限个极值点,则 )( xf 的傅里叶级数收敛,且有,
(1) 当 x 是 )( xf 的连续点时,级数收敛于 )( xf ; (2) 当 x 是 )( xf 的 间 断 点 时,级 数 收 敛 于 这一点左右极限的算术平均数
2
)()( xfxf
,
定理 3 （收敛定理） 设以 π2 为周期的函数 )( xf
在 ]π,π[? 上满足 狄利克雷（ Dirichlet） 条件：
例 1 正弦交流电 xxI s in)(? 经二极管整流后 ( 右图 ) 变为
0,( 2 - 1 ) π 2 π,
()
sin,2 π ( 2 1 ) π,
k x k
fx
x k x k
k 为整数,把 )( xf 展开为傅里叶级数,
解 由 收 敛 定理 可 知,
)( xf 的傅里叶级数处处收敛于
)( xf,计算傅里叶系数,
π
2ds in
π
1d)(
π
1 π
0
π
π0 xxxxfa
xnxxfa n dc o s)(π1 π
π
1
O
x
I
2 2? 3
π
0
2
0,
1 si n c os d
2π,
1
n
x nx x
n
n
为奇数,
为偶数,
（）
xnxxfb n ds in)(
π
1 π
π
π
0
0,1,
1
sin sin d 1
π,1,
2
n
x n x x
n
所以,)( xf 的傅里叶展开式为
14
2c os
35
6c os
15
4c os
3
2c os
π
2
s in
2
1
π
1
)(
2
k
kxxxx
xxf
)( x,
例 2 一矩形波的表达式为
1,( 2 1 ) π 2 π,
()
1,2 π ( 2 1 ) π,
k x k
fx
k x k
k 为整数,
求 )( xf 的傅里叶级数展开式,
解 由收敛定理知,当 πkx? ( k 为整数 ) 时,)( xf
的傅里叶级数收敛于 )( xf,当 πkx? 时,级数收敛于
0
2
)1(1
,又因为 )( xf 为奇函数,由定理 2 的推论可知展开式必为正弦级数,只需按推论的公式求 nb 即可,
π
0
π
0
2
( ) si n d
π
4
,(2
1 si n d π
π
0
n
b f x nx x
n
nx x n
n
当 为奇数)
，(当 为偶数)
所以,)( xf 的傅里叶展开式为
12
)12s in (
5
5s in
3
3s in
s in
π
4
)(
k
xkxx
xxf
π( kx?,k 为整数 ),
4,[ ππ,? ] 或 [ π,0 ] 上的函数展开成傅里叶级数
（ 1 ） [ ππ,? ] 上的函数展开成傅里叶级数由于求 )( xf 的傅里叶系数只用到 )( xf 在 [ ππ,? ] 上的部分,由此可知,即使 )( xf 只在 [ ππ,? ] 上有定义或虽在 [ ππ,? ] 外也有定义但不是周期函数,我们仍可用公式
③ 求 )( xf 的傅里叶系数,而且如果 )( xf 在 [ ππ,? ]
上满足收敛定理条件,至少 )( xf 在 [
ππ,?
] 内的连续点上傅里叶级数是收敛于 )( xf 的,而在
πx
处,级数收敛于
2
)π()π(
ff
,
（ 2 ） [ π,0 ] 上的函数展开成傅里叶级数如果 )( xf 只在 ]π,0[ 上有定义且满足收敛定理条件,
要得到 )( xf 在 ]π0,[ 上的傅里叶系数展开式,可以任意补充 )( xf 在 π][ 0,上的定义 ( 只要公式 ③ 中的积分可行 ),称为函数的延拓,便可得到相应的傅里叶级数展开式,常用的两种延拓办法是把 )( xf 延拓成偶函数或奇函数,这样做的好处是可以利用推论的傅里叶系数公式把
)( xf
展成正弦级数或余弦级数,
例 3 将函数 ]π[ 0,,)( xxxf 分别展开成正弦级数和余弦级数,
解 为把 )( xf 展开成正弦级数,把 )( xf 延拓为奇函数 π]π,[,)(
*
xxxf,再用推论的公式计算
,2)1(ds inπ2ds in)(π2 1π0π0 nxnxxxnxxfb nn由此得 )(* xf 在（ ππ,? ）上的展开式也即 )( xf 在 [ 0,]?
上的展 开式为?
n
nxxx
xx n
s i n
)1(
3
3s i n
2
2s i n
s i n2 1
0( ≤ x ≤ π),
在 π?x 处，上述正弦级数收敛于
0
2
ππ
2
)π()π(
ff
,
为把 )( xf 展开成余弦级数，把 )( xf 延拓为偶函数
π]π,[|,|)(
*
xxxf,然后用推论的公式求出
xxfa d)(π2 π00 πdπ2 π0 xx,
ππ
00
2
22
( ) c os d c os d
ππ
4
,
π
0,
n
a f x nx x x nx x
n
n
n
为奇数时,
为偶数时,
于是得到 )( xf 在 [ π,0 ] 上的余弦级数展开式
222
)12(
)12c os (
5
5c os
3
3c os
c os
π
4
2
π
k
xkxx
xx
（ 0 πx ）,
由此例也可见到 )( xf 在 [ π0,] 上的傅里叶级数展开式不是惟一的,
设 )( xf 是以 l2 为周期的函数，且在ll,? 上满足收敛定理的条件，作代换 t
l
x
π
即 )()
π
()( tFt
l
fxf,则 )( tF
是以
2 π 为周期的函数且在ππ,? 上满足收敛定理条件,
于是可用前面的办法得到 )( tF 的傅里叶级数展开式
1
0 )s inc o s(
2
)(
n
nn
ntbnta
a
tF,
然后再把 t 换回 x 就得到 )( xf 的傅里叶级数展开式
1
0 )πs inπc o s(
2)( n nn xl
nbx
l
naaxf,
二、以 2l为周期的函数展开成傅里叶级数例 4 如右图所示的三角波的波形函数是以 2 π 为周期的函数 )( xf,)( xf 在 [ - 1,1 ] 上的表达式是
)( xf = xx,≤ 1,求 )( xf 的傅里叶级数展开式,解 作变换 tx π
1
,
则得 )( tF 在ππ,? 上的表达式为 tttF
π
1
π
1)(,t ≤ π,
利用例 3 的后半部分可直接写出系数
10?a ; 22
4
,
π
0,
n
n
a n
n
为 奇 数 时,
为 偶 数 时,
I
- 4 x O - 3 - 2 - 1 1 2 3 4
I
于是得 )( tF 的展开式
,)(
)
5
5c o s
3
3c o s( c o s
π
4
2
1)(
222
t
ttttF?
把 t 换回,π( ）xtx? 即得
.)(
)
5
π5c os
3
π3c os
π( c o s
π
4
2
1
)(
222
x
tt
ttf?
思考题
1,)( xf 是定义在 ],[ ba 上的函数，且满足收敛定理的条件，如何将其展开成以 ab? 为周期的傅里叶级数？
2,函数 )( xf 的傅里叶展开式是否惟一？设以 l2 为周期的函数 )( xf 将它在 ],[ ll? 展开和在 ]2,0[ l 上展开的以 l2 为周期的傅里叶级数是否相同？为什么？
*第三节 傅里叶级数第一节 数项级数及其敛散性第十二章 级 数一,数项级数及其性质二,正项级数及其敛散性三,交错级数及其敛散性四,绝对收敛与条件收敛第一节 数项级数及其敛散性
1,数项级数的概念定义 1 设给定一个数列,
2,1
uu?,
n
u,?，则式子
3
1
21
uuuu
n
n
＝? +
n
u +?
称为常数项无穷级数，简称数项级数，其中第 n 项
n
u 称为一般项或通项,
例 ① 算术级数
)2()( 121 dadaa?＋（ ))1(1 dna?
② 等比级数（几何级数）
2111 qaqaa? +
1
1
nqa
+?,
一、数项级数及其性质
③ p - 级数?
1
1
3
1
2
111
n
pppp nn,
定义２ 设级 数?
1n
n
u 的前 n 项之和为
12
1
n
n n k
k
S u u u u
称
n
S 为级数?
1n
n
u 的前 n 项部分和,当 n 依次取,3,2,1 时，得到一个新的数列
11
uS?,
212
uuS,,,
21 nn
uuuS
数列
n
S 称为级数?
1n
n
u 的部分和数列,
若此数列的极限存在，即 SS
n
n
lim ( 常数 ),则称
S 为级数?
1n
n
u 的和，记作?
1n
n
Su 此时称级数?
1n
n
u 收敛,如果数列 { nS } 没有极限，则称级数?
1n
n
u 发散，这时级数没有和,
当级数收敛时，其部分和 nS 是级数 S 的近似值，
称 n
SS? 为级数的余项，记作
n
r,即
21 nnnn uuSSr,
)1l n ()ln)1( l n (
)2ln3( l n)1ln2( l n
21
nnn
uuuS
nn
,
所以
)1l n (limlim nS
n
n
n
,
由定义级数?
1
1
ln
n
n
n
是发散的,
解 注意到 nn
n
n
u n ln)1l n (
1
ln
例 1 考察级数
1
1ln
n n
n 的敛散性,
所以
)12(limlim n
nnn
S,级数是发散的,
例 3 考察级数?
1
1)1(
n
n 的敛散性,
解 这是公比为 - 1 的几何级数，即
11111
它的部分和数列是 1,0,1,0,?，显然 n
n
S
l i m 不存在,所以级数是发散的,
例 2 考察级数
128421 n
的敛散性,
解 这是公比为 2 的几何级数，
12
12
n
nS,
63.0
n
1 0 0
36
1 0 0
36
1 0 0
36
1 0 0
36
32
,
这是公比为
100
1
的几何级数,由等比数列求和公式
1 0 0
1
1
)
1 0 0
1
1(
1 0 0
36
n
n
S
所以
11
4
99
36
1 0 0
1
1
1 0 0
36
1 0 0
1
1
)
1 0 0
1
1(
1 0 0
36
l i ml i m
n
n
n
n
S ,
这个无穷级数的和为
11
4
,即
63.0
11
4
,
解 把 63.0 化为无穷级数例 4 把循环小数 63.0 化为分数,
2,数项级数的基本性质性质 1 级数?
1n
n
u 与级数?
1n
n
ku ( 常数 0?k )
敛散性相同,且若?
1n
n
u 收敛于 S,则?
1n
n
ku 收敛于 kS,性质 2 若级数?
1n
nu 与?
1n
nv 分别收敛于 β
与 α,则级数?
1
)(
n
nn vu 收敛于 αβ?,
性质 3 添加、去掉或改变级数的有限项,级数的敛散性不变,
性质 4 ( 两边夹定理 ) 如果 nu ≤ nv ≤ nw,且
1n
nu 和?
1n
nw 都收敛,则?
1n
nv 也收敛,
性质 5 ( 级数收敛的必要条件 ) 若级数?
1n
nu 收敛,则,0lim?
nn
u
证 设 Su n
n
lim,由于 1 nnn SSu,所以
0limlim)(limlim 11
SSSSSSu n
n
n
n
nn
n
n
n
,
例 6 判别级数?
1 12
)1(
n
n
n
n 的敛散性,
解 由于
12
)1(lim
n
nn
n
不存在,由性质 5 可知此级数是发散的,
例 7 证明：调和级数?
1
1
n n
虽有 0
1
li m?
nn
，但是它是发散的,
证 我们利用定积分的几何意义加以证明,
调和级数部分和?
n
k
n
k
S
1
1
，如图所示,考察曲线
1,1,
1
nxx
x
y 和 0?y 所围成的 曲边梯形的面积 S
与阴影表示的 阶梯形面积
n
A
之间的关系,
O
1 / 2
y
1
1 2 3 4 n n+1 x
可以看到阴影部分的 第一个矩形面积
1
A =1,第二个矩形面积 21
2
A,第三个矩形面积 31
3
A,，第 n
个矩形面积 1
n
An?,所以阴影部分的总面积为
n
k
n
k
nn
k
nAA
1 1
1
131211?,
它显然大于曲边梯形的面积 S,即有
)1l n (ln
1 1
1
1
1
1
nxdx
x
AA
n
n
n
k
kn
,
而
)1(lim n
n
，表明 nA 的极限不存在，所以该级数发散,
正项级数：若 nu ≥ 0,则级数?
1n
nu 称为正项级数,
定理 1 正项级数?
1n
nu 收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界,
证 对于正项级数?
1n
n
u,由于
n
u ≥ 0,
因而
11
nnn
uSS ≥
n
S,
所以正项级数?
1n
nu 收敛的充分必要条件是，它的部分和二,正项级数及其敛散性数列 { nS } 有界，显然 n
n
S
lim 存在，从而级数?
1n
nu 收敛；
若 { nS } 无界，则
n
n
Slim,从而级数?
1n
nu 发散,
例 8 证明正项级数?
0 !
1
!2
1
!1
11
!
1
n nn
＋
是收敛的,
证 因为
nn
321
1
!
1
≤ ),4,3,2(
2
1
2221
1
1
n
n
,
于是对于任意的 n,有
.3
2
1
3
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
11
)!1(
1
!2
1
!1
1
1
2
1
22
n
n
nn
n
S
即正项级数的部分和数列有界，故级数?
0 !
1
n n
收敛,
定理 2 （比较判别法） 设?
1n
nu 和?
1n
nv 是两个正项级数，且 nu ≤ nv,
（ 1 ）若级数?
1n
nv 收敛,则级数?
1n
nu 也收敛 ;
（ 2 ）若级数?
1n
nu 发散，则级数?
1n
nv 也发散,例 9 讨论?p 级数
)0(
1
3
1
2
1
1
1
1
p
nn pppn p
的敛散性,
解 当 p ≤ 1 时，
p
n
1
≥
n
1
，因为?
1
1
n n
发散，所以由比较判别法知,p ≤ 1 时,?
1
1
n
p
n
发散,
当 1?p 时,顺次把?p 级数的第 1 项,第 2 项到第 3
项,4 到 7 项,8 到 15 项, 括在一起,得
)
15
1
8
1()
7
1
6
1
5
1
4
1()
3
1
2
1(1
pppppppp ,
它的各项显然小于级数
3
1
2
11
)
2
1
()
2
1
(
2
1
1
)
8
1
8
1
()
4
1
4
1
()
2
1
2
1
(1
ppp
pppppp
对应的各项,而所得级数是等比级数,其公比为
,1
2
1
1pq 故收敛,于是当 1?p 时,级数?
1
1
n
pn 收敛,
例 10 判定级数
)4)(1(
1
63
1
52
1
nn
的敛散性,
解 因为级数的一般项
)4)(1(
1
nn
u n 满足而级数?
1
2
1
n n
是 2?p 的?p 级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的,
2
1
)4)(1(
10
nnn ,
（ 1 ） 当 q < 1 时，级数收敛；
（ 2 ） 当 q > 1 时，级数发散；
（ 3 ） 当 q =1 时级数可能收敛，也可能发散,
例 11 判别下列级数的敛散性,
（ 1 ）?
1
2 2
3
n
n
n
n ; （ 2 ）?
1 )!1(
1
n n
设?
1n
nu 是一个正项级数，并且 q
u
u
n
n
n
1lim,则 定理 3 (达朗贝尔 比值判别法 )
12
1
21
32
l im l im
( 1 ) 2 3
nn
n
nnnn
n
u n
un
解,
,1
2
3
1
1
1
2
3
lim
)1(2
3
lim
2
2
2
n
n
n
nn
所以级数?
1
2
2
3
n
n
n
n
发散,
解
1
( 1 ) ! 1
l i m l i m l i m 0 1.
!
n
n n n
n
u n
u n n
所以级数?
1 )!1(
1
n n
收敛,（ 2 ）?
1 )!1(
1
n n
交错级数：设 0?nu,则级数 n
n
n u?
1
1)1( 称为交错级数,定理 4 （莱布尼茨判别法） 如果交错级数
n
n
n u?
1
1)1( ( ),2,1,0 nu
n 满足莱布尼茨
（ Leibnizi ）的条件,（ 1 ） nu ≥ 1?nu （ n =1,2,?）,
（ 2 ）,0lim?
nn
u
则交错级数 n
n
n u
1
1)1( 收敛,
三,交错级数及其敛散性例 12 判定交错级数 nn 1)1(4131211 1
的敛散性,
解 此交错级数,
1
1
,
1
1
n
u
n
u
nn
满足,
（ 1 ） ;
1
11
nn
（ 2 ） 0
1
limlim
n
u
n
n
n
,
由定理 4 知它是收敛的,
定义 3 若?
1n
n
u 收敛，则称?
1n
n
u 是绝对收敛的，若只是?
1n
n
u 收敛而?
1n
n
u 发散，则称?
1n
n
u 是条件收敛的,
定理 5 绝对收敛的级数必是收敛的,证 如果?
1n
nu 收敛，由于 nu? ≤ nu ≤ nu,
故从性质 1 及性质 4 知?
1n
nu 也是收敛的,
四、绝对收敛与条件收敛例 13 判定级数?
1 2
s in
n
n
na 的敛散性,
解 考虑级数?
1
2
s i n
n
n
na
,
由于 0 ≤
n
na
2
s in
≤
n
2
1
而级数?
1
2
1
n
n
收敛，由两边夹定理知级数?
1
2
s i n
n
n
na
是收敛的,根据定义 3,?
1
2
s in
n
n
na
是绝对收敛的,由定理 5 知它也是收敛的,
1,级数收敛的必要条件所起的作用是什么?
2,判定一个级数是否收敛，有哪几种方法?
思考题一,幂级数的概念二,幂级数的性质三,将函数展开成幂级数四,幂级数应用第二节 幂 级 数
1,函数项级数函数项级数,如果级数
1
)(
n
n xu
= )()()( 21 xuxuxu n
的各项都是定义在某个区间上的函数，则称为函数项级数,)( xu n 称为一般项,
收敛点与收敛域：当 x 在区间 I 中取某个特定值
0
x 时,级数
1
)(
n
n
xu 就是一个数项级数,如果这个数项级数收敛，则称 0x 为级数的一个收敛点；如果发散，
则称 0x 为这个级数的发散点,一个级数的收敛点的全体称为它的收敛域,
一,幂级数的概念和函数：对于收敛域内的任意一个数 x,函数项级数成为一个收敛域内的数项级数,因此有一个确定的和
S,这样，在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数
)( xS,通常称 )( xS 为函数项级数的和函数,即
)( xS = )()()( 21 xuxuxu n,其中 x 是收敛域内的任意一点,
将函数项级数的前 n 项和记作 )( xS n 则在收敛域上有 )()(lim xSxS n
n
,
形如
0
0
()
n
n
a x x
2
0 1 0 2 0 0
( ) ( ) ( )
n
n
a a x x a x x a x x ①
的函数项级数,称为
0
xx? 的幂级数,其中常数
0
a,,,,,
21 n
aaa 称为幂级数的系数,
当 0
x
=0 时，上式变为
n
n
n
xa
0
n
n
xaxaxaa
2
210
②
称为 x 的幂级数,如果作变换 0
xxy
,则级数 ① 就变为②,因此,下面只讨论形如②的幂级数,
2,幂级数的概念
（ 1 ） 幂级数的收敛半径由于 级数 ② 各项可能符号不同，将级数 ② 的各项取绝对值,则得到正项级数
n
n
n
n
n xaxaxaaxa
2
210
0
,
设当 n 充分大时,na ≠ 0,且
ρa
a
n
n
n
1lim,则,limlimlim
1
1
11 ρxx
a
a
xa
xa
u
u
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
于是,由比值判别法，可知,
当? ≠ 0 时，若 x < 1,即
1
xR
,则级数②收敛；
若 1x,即
1
xR
,则级数②发散,
这个结果表明，只要 0,就会有一个对称开区间 ),( RR? 在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂级数发散,Rx 时，级数可能收敛可能发散,称
1
R
为幂级数②的收敛半径,当? =0 时,01x,级数②对一切 x 都绝对收敛，这时规定收敛半径R,
如果幂级数仅在 0?x 一点处收敛，则规定收敛半径
0?R,由此可得定理 1 如果以上幂级数 ② 的系数满足
ρa
a
n
n
n
1lim,
则
① 当 ρ0 时，
ρ
R
1；
② 当 0?ρ 时,R =+ ∞ ；
③ 当ρ,0?R,
（ 2 ）幂级数的收敛区间若幂级数的收敛半径为 R,则 ),( RR? 称为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛,我们把收敛区间的端点 Rx 代入级数中，判定数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域,
例 1 求幂级数?
0 !n
n
n
x 的收敛半径 与收敛域,
解 因为
0
1
1
l i m
)!1(
!
l i ml i m
1
nn
n
a
a
nn
n
n
n
,
所以所给幂级数的收敛半径 R
收敛域为（ －∞，＋∞ ）,
例 2 求幂级数?
1n
n
n
x 的收敛半径 与收敛域,
解 因为
1
1
1
1
lim
1
limlim 1?
n
n
n
a
a
nn
n
n
n
,
所以所给幂级数的收敛半径 1?R,
当 1?x 时，级数为调和级数?
0
1
n
n
发散,
当 1x 时，级数为交错级数?
0
)1(
n
n
n
，收敛,
所以该级数的收敛域为 )1,1[? ；
例 3 求幂级数?
1n
nn xn 的收敛半径,
解 因为
)1()
1
1(lim
)1(
limlim
1
1 n
nn
n
a
a n
n
n
n
n
n
n
n
,
所以所给幂级数的收敛半径 0?R,
解 所给幂级数缺少偶数次幂的项，不属于级数的标准形式，因此不能直接应用定理 1,这时可以根据比值法求其收敛半径,
22
12
121
1 22lim
2
2limlim xx
x
x
u
u
nnn
nn
n
n
n
n
,
当 12
2
x,即
2
2
x 时，所给级数绝对收敛；
当,12
2
x 即
2
2
x 时，所给级数发散,
因此所给幂级数的收敛半径 R =
2
2
,
例 4 求幂级数?
0
122
n
nn x 的收敛半径,
性质 1 幂级数的和函数在收敛区间内连续,即若 )(
0
xfxa n
n
n
，则 )( xf 在收敛区间内连续,
11
0
22
0
( ),(,),
( ),(,),
n
n
n
n
n
n
a x f x x R R
b x g x x R R
若记 ),m i n ( 21 RRR?,则在 ),( RR? 内有如下运算法则,
二,幂级数的性质加法 运算
0 0 0
)()()(
n n n
n
nn
n
n
n
n xgxfxbaxbxa,
乘法运算
00 n
n
n
n
n
n
xbxa
n
nnn
xbababa
xbababaxbababa
)(
)()(
0110
2
021120011000
)()( xgxf
微分运算
0 0
1
0
)()(
n n
n
n
n
n
n
n
n
xSxnaxaxa,
且收敛半径仍为 R,
积分运算
1
0 0 0
0 0 0
d d ( ) d
1
x x x
n n nn
nn
n n n
a
a x x a x x x S x x
n
且收敛半径仍为 R,
设?
0
)(
n
n
n xSxa,收敛半径为 R,则 ),( RR? 内有如下运算法则,
例 5 求级数?
0
)1(
n
nn x,?
0
2
n
nx,?
0
1
1n
n
n
x
，
0
1
1
)1(
n
nn
n
x
,?
0
12
12n
n
n
x
,?
0
1
n
nnx 的和函数,
解 对于级数?
0
2
1
n
nn
xxxx,
当 1?x 时，看成公比为 x 的收敛等比级数，则得
0 1
1
n
n
x
x,)1,1(x,
因为收敛区间是关于原点对称的区间,所以 – x
也在收敛区间内,用 - x 代换级数中的 x,
显然?
0 1
1
)1(
n
nn
x
x,)1,1(x,
上面两个级数相加可得?
0
2
2
1
2
2
n
n
x
x,)1,1(x,
即
0
2
2
1
1
n
n
x
x,)1,1(x,
利用解析运算可得
0
1
,
1
1
ln
1
1
n
n
x
x
n
)1,1(x,
0
1
)1ln (
1
1
)1(
n
nn
xx
n
,]1,1(x,
0
12
1
1
ln
2
1
12
1
n
n
x
x
x
n
,)1,1(x,
设?
0
1
)(
n
n
nxxS,)1,1(x,
两端积分
x
n n
nn
x
xxdxxS
0
1 0
1
1
1
1)(,)1,1(x,
两端求导
0
2
1
)1(
1
)(
n
n
x
nxxS,)1,1(x,
例 6 求?
0
12
12
1)1(
n
nn x
n 的和函数,
解 设
0
12
12
1)1()(
n
nn x
nxS,
两端求导得
0 0
2
22
1
1
)()1()(
n n
nnn
x
xxxS,)1,1(x,
两端积分得
2
0
1
( ) d a r c t a n
1
x
S x x x
x
,
即?
0
12 a r c ta n
12
1
)1(
n
nn xx
n
,)1,1(x,
当 1x 时,?
0
12
12
1)1(
n
n
n 收敛 ;
当 1?x 时,?
0
12
12
1
)1(
n
n
n
收敛,所以
0
12
a r c ta n
12
1
)1(
n
nn
xx
n
,]1,1[x,
例 7 求幂级数?
0 !n
n
n
x 的和函数,
解 由例 4 知此级数的收敛域是 ),(,设其和函数为 )( xfy?,即?
0
!
n
n
n
x
y,
1
00( 1 ) ! !
nn
nn
xx
yy
nn
,
解此微分方程得
x
Cy e?,再注意到 1)0(?f 即得 C =1,
所以和函数
x
y e?,即
),(,
!!2
1e
2
x
n
xx
x
n
x
,
定理 2 ( 泰勒中值定理 ) 如果函数 )( xf 在 0x 的某邻域内有 1?n 阶导数，则对此邻域内任意点 x,有
)( xf 的 n 阶泰勒公式其中 )( xR n 为 n 的阶泰勒公式的余项,
200
0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 ! 2 !
f x f xf x f x x x x x
0
0
() ( ) ( )
!
n
n
n
fx x x R x
n
1.泰勒 (Taylor)公式与 麦克劳林 (Machaurin)公式三,将函数展开成幂级数当
0
xx? 时,它是比
n
xx )(
0
高阶的无穷小,故一般将其写成为 )(
0
n
xxo?,余项 )( xR
n
有多种形式,一般常用的形式为拉格朗日型余项，其余表达式为
1
0
)1(
)(
)!1(
)(
)(
n
n
n
xx
n
ξf
xR ( ξ 在 0 与 x 之间 ),
在泰勒公式中,当 00?x 则有麦克劳林公式
)(
!
)0(
!2
)0(
!1
)0(
)0()( xRx
n
f
x
f
x
f
fxf nn
n
,
其中余项 )()( nn xoxR?
或 )(
)!1(
)( )1(
1
ξf
n
xxR nn
n
（ ξ 在 0 与 x 之间）,
例 8 写出 xxf e)(? 的 n 阶麦克劳林公式,
解 因为
x
xf e)(?,
所以
xnn
xfxfxfxfxf e)()()()()(
1
,
ξ
nn
x
n
x
n
xx
x e
)!1(!!2
1e
12
（ ξ 在 0 与 x 之间）,2,泰勒级数与麦克劳林级数由泰勒中值定理知道,若函数 )( xf 在点 0xx? 的某一领域内具有直至 1?n 阶的导数 )(,),(),(
1
xfxfxf
n
,则
)( xf 的 n 阶泰勒公式为,
若记则有 )()()( 1 xRxSxf nn,
于是 )()( 1 xSxf n,误差 )()()( 1 xRxSxf nn,如果 )( xR
n 随着 n 的增大而减小,那么,我们可以用泰勒多项式 )(1 xS n? 项数的办法来提高用多项式
,)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
2
0
0
0001
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxS
)(
1
xS
n?
代替 )( xf 的精度,如果 n 无限制地增大,那么这时 n 阶泰勒多项式
1?n
S 就成为一个幂级数了,我们把
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()(
0
0
2
0
0
000
称为 )( xf 在
0
xx? 处的泰勒级数,下面我们分析 )( xf
的泰勒级数在什么样的条件下才收敛于 )( xf,
首先，我们注意到：如果当n 时，有 0
n
R?,
则对
)()()(
1
xRxSxf
nn
式令
n 取极限得，
)()(l i m
1
xfxS
n
n
，即
,)(
!
)(
)(
!2
)(
)()()(
0
0
)(
2
0
0
00
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf
反之，若上式成立，则必有,0)(l i m?
xR
n
n
另外，还需要注意，为使上式成立,)( xf 在 0xx? 的某邻域内必须有任意阶导数,
定理 3 如果在 0xx? 的某邻域，函数 )( xf 具有任意阶导数，则函数 )( xf 的泰勒级数收敛于
)( xf 的充要条件是：当n 时 泰 勒 余 项
0)(?xR n,
如果 )( xf 在 0xx? 处的泰勒级数收敛于 )( xf,就是说 )( xf 在
0
xx? 处可展开成泰勒级数，则称上式为 )( xf 在
0
xx? 处的泰勒展开式，也称 )( xf 关于
0
xx? 的幂级数，
也记为
n
n
n
xx
n
xf
xf?
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(,
当 0
0
x 时，上式成为
()
2( 0) ( 0)
( ) ( 0) ( 0)
!!
n
nff
f x f f x x x
nn
,
称为函数 )( xf 的麦克劳林展开式，也记为
1 !
)0(
n
n
n
xnfxf,如果函数能展开成关于 x 的幂级数，则这个幂级数一定就是函数麦克劳林级数，即函数的幂级数是惟一的,
事实上，如果函数 )( xf 可展开为 x 的幂级数，即
n
n
xaxaxaaxf
2
210
)(,
将其在收敛区间内逐项求导，得
1
21
2)(
n
n
xnaxaaxf,
2
32
)1(2312)(
n
n
xannxaaxf,
xannnanxf
nn
n
1
)(
2)1()1(!)(,
!
)0(
,,
!3
)0(
,
!2
)0(
),0(),0(
)(
3210
n
f
a
f
a
f
afafa
n
n
这就是说
n
n xaxaxaaxf
2
210)( 式中幂级数的系数恰是 )( xf 的麦克劳林的系数，这就证明了 )( xf 关于 x 的幂级数展开式的惟 一 性,
3,将函数展开 成 幂级数的方法
⑴ 直接展开法 直接展开法是指先利用公式
)(
!
)0(
!2
)0(
!1
)0()0()( xRx
n
fxfxffxf
n
n
n
来讨论是否有 l i m ( ) 0n
n
Rx
,再用公式
() ( 0)
!
k
k
f
a
k
),2,1(k 求出幂级数系数的方法,
例 9 用直接展开法求 xxf s in)(? 的幂级数展开式,
解 因为 xxf s in)(?,所以
2
π
s inc os)( xxxf,
2
π2
s in)
2
π
c os ()( xxxf,
2
π3
s in)
2
π2
c o s ()( xxxf,
2
π
s i n)(
)(
n
xxf
n
故 0)0(?f,1)0(f,0)0(f,1)0(f,?,
顺次循环取得四个数,1,0,1,0? 写出级数
!5!3
53
xx
x
它的收敛半径
R
,
对于任何有限的数 x,ξ （ ξ 在
0
与 x 之间）
余项的 绝对值
)!1(2
π)1(
s i n)(
12
n
xn
xR
n
n
≤ 0
)!1(
1
n
x
n
(
n
时 )
于是得展开式
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
12
1
53
x
n
xxx
xx
n
n
,
⑵ 间接展开法间接展开法是指从已知函数的展开式出发，利用幂级数的运算法则得到所求函数的展开式的方法,
例 10 用间接展开法求 xc o s 的幂级数展开式,
解 对 si n x 展开式逐项微分便得
)(
)!2(
)1(
!4!2
1c o s
242
x
n
xxx
x
n
n
1,函数值的近似计算例 1 1 计算 e 的近似值,
解 e 的值就是函数 xe 的展开式在 1?x 时的函数值，即
0
1 1 1
e 1 1
! 2 ! !n nn
,
取
0
1 1 1e 1 1
! 2 ! !n nn
,
四,幂级数应用则误差
1 1 1
( 1 ) ! ( 2 ) ! ( ) !
n
R
n n n k
1
)1()!1(
1
)1()!1(
1
)!1(
1
k
nnnnn
12
)1(
1
)1(
1
)1(
1
1[
)!1(
1
k
nnnn
]
nn
n
n !
1
1
1
1
1
)!1(
1
,
故若要求精确到
k?
10,则只须
k
nn
10
!
1
，即
k
nn
10! 即可,例如要精确到
10
10
，由于
1010
1010813!13,所以取 13?n 即
!13
1
!3
1
!2
1
11e,可以在计算机上求此值（ 045 982 828 171 8,2e ）,
2．求极限例 1 2 求 4
2
0
2
ec osli m
x
x
x
x
,
解 把 xc o s 和 2
2
e
x?
的幂级数展开式代入上式，有
4
2
4242
0
4
2
0
222
1
242
1
lim
ec os
lim
2
x
xxxx
x
x
x
x
x
12
112
1
lim
4
4
0
x
x
x
,
3,计算不出来的不定积分例 1 3 求 xx de 2,
解 由于
2
e x? 的原函数不是初等函数，所以这一积分“积不出来”，但如果用幂级数表示函数，就能“积出来”,
把 2e x? 的幂级数展开式代入到积分式中,
x
n
xxx
xx
n
nx
d
!
)1(
!3!2
1de
264
2
2
!)12(
)1(
!37!253
12753
nn
xxxx
xC
n
n
这里我们把积分常数 C 写在了最前面,
4,解微分方程例 1 4 求微分方程 0 yyxy 满足初值条件 1|,| 00 xx yy 的特解,
解 设所求解为
n
n
xaxaxaay
2
210
，
则
12
321
32
n
n
xnaxaxaay,
22
432
)1(34232
n
n
xannxaxaay,
把这三个级数代入方程，并合并同次项，得
,0))1()1((
)334()223()2(
2
2
2
241302
n
nn
xanann
xaaxaaaa
所以这一级数的各次项系数均应为 0,即
,4,3,2,0)1()1(
2
nanann
nn
,
解得系数间递推关系式
n
a
a
n
n
2?
或
2
2
n
a
a
n
n
,
另由初值条件可得 1,0
10
aa,
把 0
0
a 代入递推式就得,0,,0,0
242
n
aaa,
把 1
1
a 代入递推式就得
,
!)!12(
1
,,
53
1
,
3
1
1253
n
aaa
n
,
于是方程的解为
!)!12(753153131
12753
n
xxxx
xy
n
,
1,在收敛区间内幂级数有哪些性质？
2,如何将一个函数展开成幂级数？间接展开法有哪些优点？
思考题一,以 2π 为周期的函数展开成傅里叶级数二,以 2l为周期的函数展开成傅里叶级数
*第三节 傅里叶级数三角级数：级数 )s i ncos(
2
1
0
n
nn
nxbnxa
a
称为三角级数也称为傅里叶 ( Fourier) 级数,其中
0
a,
n
a,
n
b )1,2,(n 都是常数，称为系数,特别 的 当
0?na )1,2,(n 时,级数只含正弦项,称为正弦级 数,
当 ),2,1(0nb 时，级数只含常数项和余弦项，称为余弦级数,
三角函数系 },2s i n,2c ox,s i n,c os,1{?xxxx ①
定理 1 ( 三角函数系的正交性 ) 三角函数系
① 中任意两个不同函数的乘积在 [ π,π? ] 上的积分等于 0,具体地说就是有
π
π
π
π
0ds in,0dc o s xnxxnx )3,2,1(n,?
π
π
0dc o ss in xnxkx )3,2,1,(nk,
π
π
0dc o sc o s xnxkx ),3,2,1,( knnk,
π π 0dc o ss in xnxkx ),3,2,1,( knnk,
1,三角函数系的正交性一、以 2π 为周期的函数展开成 傅里叶 级数
2,f ( x ) 的傅里叶级数设 )( xf 能展开成三角级数,也就是说能把 )( xf 表示成?
1
0 )s i nc os(
2
)(
k
kk kxbkxa
a
xf ②
求 )( xf 的三角级数展开式,也就是② 式中的系数?,,,,,22110 babaa 为了求式②中的系数,我们利用三角函数系的正交性,假设②式是可逐项积分的,把它从 π? 积到 π 逐项积分,),ds indc o s(d
2
d)(
1
π
π
π
π
π
π
0
π
π
k
kk xkxbxkxax
a
xxf
由定理 1,右端除第一项外均为 0,所以
xxf d)(π
π
=
xa d2π
π
0 π
0a,
于是得,d)(π1 π π0 xxfa
为求
n
a,先用 nxc o s 乘以②两端,再从 π? 到 π 逐项积分,得
xnxxf dc o s)(
π
π
=
xnx
a
dc os
2
π
π
0
)dc oss indc osc os(
1
π
π
π
π
k
kk
xnxkxbxnxkxa,
由定理 1,右端除 nk? 的一项外均为 0,所以
π,dc o sdc o s)(
2
π
π
π
π
nn axnxaxx n xxf
于是得
),3,2,1(dc os)(
π
1 π
π
nxnxxfa
n,
类似地，用 nxs i n 乘 ② 式两端，再从 π? 到 π 逐项积分，可得
xnxxfb n ds in)(
π
1 π
π
),3,2,1(n,用这种办法求得的系数称为 )( xf 的傅里叶系数,
定理 2 求 )( xf 的傅里叶系数的公式是
π
π
π
π
1
( ) c os d ( 0,1,2,),
π
1
( ) si n d ( 1,2,3,),
π
n
n
a f x nx x n
b f x nx x n
由 )( xf 的傅里叶系数所确定的三角级数
)s inc o s(2
1
0 nxbnxaa
nn
n
,称为 )( xf 的傅里叶级数,
推论 当 )( xf 是周期为 π2 的奇函数时，它的傅里叶级数为正弦级数 nxb
n
n
s i n
1
，其中系数
),3,2,1(ds in)(
π
2 π
0
nxnxxfb n,
当 )( xf 是周期为 π2 的偶函数时，它的傅里叶级数为余弦级数 nxa
a
n
n
c os
2 1
0
,其中系数
),2,1,0(dc os)(
π
2 π
0
nxnxxfa n,
3,傅里叶级数的收敛性
(1) 没有间断点或仅有有限个间断点而且这些间断点全为第一类间断点 ;
(2) 至多只有有限个极值点,则 )( xf 的傅里叶级数收敛,且有,
(1) 当 x 是 )( xf 的连续点时,级数收敛于 )( xf ; (2) 当 x 是 )( xf 的 间 断 点 时,级 数 收 敛 于 这一点左右极限的算术平均数
2
)()( xfxf
,
定理 3 （收敛定理） 设以 π2 为周期的函数 )( xf
在 ]π,π[? 上满足 狄利克雷（ Dirichlet） 条件：
例 1 正弦交流电 xxI s in)(? 经二极管整流后 ( 右图 ) 变为
0,( 2 - 1 ) π 2 π,
()
sin,2 π ( 2 1 ) π,
k x k
fx
x k x k
k 为整数,把 )( xf 展开为傅里叶级数,
解 由 收 敛 定理 可 知,
)( xf 的傅里叶级数处处收敛于
)( xf,计算傅里叶系数,
π
2ds in
π
1d)(
π
1 π
0
π
π0 xxxxfa
xnxxfa n dc o s)(π1 π
π
1
O
x
I
2 2? 3
π
0
2
0,
1 si n c os d
2π,
1
n
x nx x
n
n
为奇数,
为偶数,
（）
xnxxfb n ds in)(
π
1 π
π
π
0
0,1,
1
sin sin d 1
π,1,
2
n
x n x x
n
所以,)( xf 的傅里叶展开式为
14
2c os
35
6c os
15
4c os
3
2c os
π
2
s in
2
1
π
1
)(
2
k
kxxxx
xxf
)( x,
例 2 一矩形波的表达式为
1,( 2 1 ) π 2 π,
()
1,2 π ( 2 1 ) π,
k x k
fx
k x k
k 为整数,
求 )( xf 的傅里叶级数展开式,
解 由收敛定理知,当 πkx? ( k 为整数 ) 时,)( xf
的傅里叶级数收敛于 )( xf,当 πkx? 时,级数收敛于
0
2
)1(1
,又因为 )( xf 为奇函数,由定理 2 的推论可知展开式必为正弦级数,只需按推论的公式求 nb 即可,
π
0
π
0
2
( ) si n d
π
4
,(2
1 si n d π
π
0
n
b f x nx x
n
nx x n
n
当 为奇数)
，(当 为偶数)
所以,)( xf 的傅里叶展开式为
12
)12s in (
5
5s in
3
3s in
s in
π
4
)(
k
xkxx
xxf
π( kx?,k 为整数 ),
4,[ ππ,? ] 或 [ π,0 ] 上的函数展开成傅里叶级数
（ 1 ） [ ππ,? ] 上的函数展开成傅里叶级数由于求 )( xf 的傅里叶系数只用到 )( xf 在 [ ππ,? ] 上的部分,由此可知,即使 )( xf 只在 [ ππ,? ] 上有定义或虽在 [ ππ,? ] 外也有定义但不是周期函数,我们仍可用公式
③ 求 )( xf 的傅里叶系数,而且如果 )( xf 在 [ ππ,? ]
上满足收敛定理条件,至少 )( xf 在 [
ππ,?
] 内的连续点上傅里叶级数是收敛于 )( xf 的,而在
πx
处,级数收敛于
2
)π()π(
ff
,
（ 2 ） [ π,0 ] 上的函数展开成傅里叶级数如果 )( xf 只在 ]π,0[ 上有定义且满足收敛定理条件,
要得到 )( xf 在 ]π0,[ 上的傅里叶系数展开式,可以任意补充 )( xf 在 π][ 0,上的定义 ( 只要公式 ③ 中的积分可行 ),称为函数的延拓,便可得到相应的傅里叶级数展开式,常用的两种延拓办法是把 )( xf 延拓成偶函数或奇函数,这样做的好处是可以利用推论的傅里叶系数公式把
)( xf
展成正弦级数或余弦级数,
例 3 将函数 ]π[ 0,,)( xxxf 分别展开成正弦级数和余弦级数,
解 为把 )( xf 展开成正弦级数,把 )( xf 延拓为奇函数 π]π,[,)(
*
xxxf,再用推论的公式计算
,2)1(ds inπ2ds in)(π2 1π0π0 nxnxxxnxxfb nn由此得 )(* xf 在（ ππ,? ）上的展开式也即 )( xf 在 [ 0,]?
上的展 开式为?
n
nxxx
xx n
s i n
)1(
3
3s i n
2
2s i n
s i n2 1
0( ≤ x ≤ π),
在 π?x 处，上述正弦级数收敛于
0
2
ππ
2
)π()π(
ff
,
为把 )( xf 展开成余弦级数，把 )( xf 延拓为偶函数
π]π,[|,|)(
*
xxxf,然后用推论的公式求出
xxfa d)(π2 π00 πdπ2 π0 xx,
ππ
00
2
22
( ) c os d c os d
ππ
4
,
π
0,
n
a f x nx x x nx x
n
n
n
为奇数时,
为偶数时,
于是得到 )( xf 在 [ π,0 ] 上的余弦级数展开式
222
)12(
)12c os (
5
5c os
3
3c os
c os
π
4
2
π
k
xkxx
xx
（ 0 πx ）,
由此例也可见到 )( xf 在 [ π0,] 上的傅里叶级数展开式不是惟一的,
设 )( xf 是以 l2 为周期的函数，且在ll,? 上满足收敛定理的条件，作代换 t
l
x
π
即 )()
π
()( tFt
l
fxf,则 )( tF
是以
2 π 为周期的函数且在ππ,? 上满足收敛定理条件,
于是可用前面的办法得到 )( tF 的傅里叶级数展开式
1
0 )s inc o s(
2
)(
n
nn
ntbnta
a
tF,
然后再把 t 换回 x 就得到 )( xf 的傅里叶级数展开式
1
0 )πs inπc o s(
2)( n nn xl
nbx
l
naaxf,
二、以 2l为周期的函数展开成傅里叶级数例 4 如右图所示的三角波的波形函数是以 2 π 为周期的函数 )( xf,)( xf 在 [ - 1,1 ] 上的表达式是
)( xf = xx,≤ 1,求 )( xf 的傅里叶级数展开式,解 作变换 tx π
1
,
则得 )( tF 在ππ,? 上的表达式为 tttF
π
1
π
1)(,t ≤ π,
利用例 3 的后半部分可直接写出系数
10?a ; 22
4
,
π
0,
n
n
a n
n
为 奇 数 时,
为 偶 数 时,
I
- 4 x O - 3 - 2 - 1 1 2 3 4
I
于是得 )( tF 的展开式
,)(
)
5
5c o s
3
3c o s( c o s
π
4
2
1)(
222
t
ttttF?
把 t 换回,π( ）xtx? 即得
.)(
)
5
π5c os
3
π3c os
π( c o s
π
4
2
1
)(
222
x
tt
ttf?
思考题
1,)( xf 是定义在 ],[ ba 上的函数，且满足收敛定理的条件，如何将其展开成以 ab? 为周期的傅里叶级数？
2,函数 )( xf 的傅里叶展开式是否惟一？设以 l2 为周期的函数 )( xf 将它在 ],[ ll? 展开和在 ]2,0[ l 上展开的以 l2 为周期的傅里叶级数是否相同？为什么？
