谐振电路
1 串联电路的谐振
2 并联电路的谐振谐振 (resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象,作为电路计算没有新内容,主要分析谐振电路的特点 。
1 串联电路的谐振当满足一定条件 (对 RLC串联电路,使? L=1/? C),电路中电压,电流同相,电路的这种状态称为谐振 。
||)(j)1(j ZXXRω Cω LRZ CL
感性即当,1 CL XXCωLω
I R
j? L
+
_
Cωj
1
U
容性即当,1 CL XXω Cω L
谐振：
一,谐振的定义串联谐振：
二、使 RLC串联电路发生谐振的条件
1,L C 不变，改变?。
2,电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C )。
谐振角频率 (resonant angular frequency)
LCω
1
0?
0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一个对应的?0,当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。
谐振频率 (resonant frequency)
LCf π2
1
0?
谐振周期 (resonant period)LCfT π2/1
00
通常收音机选台,即选择不同频率的信号,就采用改变 C
使电路达到谐振 。
CLω 00 1
三,RLC串联电路谐振时的特点
1,,与 同 相UI
根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振。
2,入端阻抗 Z为 纯电阻，即 Z=R。电路中阻抗值 |Z|最小。
|Z|
0O
R
3,电流 I达到最大值 I0=U/R (U一定 )。 I R
j? L
+
_ Cωj 1
U
+ +
+
_
_
_
RU
LU
CU
0, CLR UUUU
4,电阻上的电压等于电源电压,
LC上串联总电压为零,即串联谐振时,电感上的电压和电容上的电压大小相等,方向相反,
相互抵消,因此串联谐振又称 电压谐振 。
LU
CU
RU
I
谐振时的相量图
5,功率
P=RI02=U2/R,电阻功率最大。
即 L与 C交换能量，与电源间无能量交换。
2
0
0
2
00
1,,0 I
CωQLIωQQQQ CLCL
例,一接收器的电路参数为：
L=250mH,R=20W,C=150pF(调好 ),U1=U2= U3 =10mV,?0=5.5?106
rad/s,f0=820 kHz.
+
_
+
_
+
L
C
R
u1
u2
u3
_
f (kHz)
北京台 中央台 北京经济台
L
820 640 1026
X
1290 –1660 1034
0 – 660 577
1290 1000 1612
I0=0.5 I1=0.015 I2=0.017I=U/|Z| (mA)
ωC
1
从多频率的信号中取出?0 的那个信号，即 选择性 。
选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，愈尖选择性愈好。
若 LC不变,R大,曲线平坦，选择性差。
I0=0.5 I1=0.015 I2=0.017I=U/|Z| (mA)
%3
0
1?
I
I 小得多
∴ 收到台 820kHz的节目。
Q 对选择性的影响,R 变化对选择性的影响就是 Q对选择性的影响。
820640 1200
I(f )
f (kHz)0
%3
0
2?
I
I
一、简单 G,C,L 并联电路对偶,R L C 串联 G C L 并联
LCω
1
0?
)1(j ω Cω LRZ )1(j ω Lω CGY
2 并联电路的谐振
+
_S
I G C L?U
LCω
1
0?
R L C 串联 G C L 并联
|Z|
0O
R
0?O
I(? )
U/R
0?O
U(? )
IS/G
LU
CU
UU
R
I
CI?
LI?

SG II
U
|Y|
0O
G
R L C 串联 G C L 并联电压谐振 电流谐振
UL(? 0)=UC (? 0)=QU IL(? 0) =IC(? 0) =QIS
L
C
GGLωG
CωQ 11
0
0 CLRRCωR LωQ 11
0
0
推导过程如下：由定义得
G
Cω0?
2
2
2
1
π2
GUT
CU
Q
Cm

G
Cf
0π2?
二,电感线圈与电容并联上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现象也就较为复杂。
BG j
LωRCωY j
1j

))((j)( 2222 LωR LωCωLωR R
谐振时 B=0，即
0)( 2
0
2
0
0 LωR
LωCω
由电路参数决定。求得 2
0 )(
1
L
R
LCω
C
L
R
此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不会发生谐振。
在电路参数一定时，改变电源频率是否能达到谐振，
要由下列条件决定：
当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：
RC
L
R
LωRRωZ 202
00
)()(
可以发生谐振时即当,,)(1 2 CLRLRLC
.,,0 是虚数因不会发生谐振时当 ωCLR?
1 三相电源
2 对称三相电路三相制电力系统：由三个频率相同,相位互差 120° 的正弦交流电源供电的系统 。
1 三相电源对称三相电源：三个频率相同,相位互差 120° 的正弦交流电源按一定方式联接而成 。
一、对称三相电源的产生通常由三相同步发电机产生,三相绕组在空间互差
120°,当转子转动时,在三相绕组中产生感应电压,从而形成对称三相电源 。
N
S
o
o
I?
A
Z
B
X
C
Y
三相同步发电机示意图
1,瞬时值表达式
)120s i n (2)(
)120s i n (2)(
)s i n (2)(
o
C
o
B
A



ψtωUtu
ψtωUtu
ψtωUtu
A
+
–
X
uA
B
+
–
Y
uB
C
+
–
Z
uC
2,波形图
tO
uA uBu uC
3,相量表示
)0(
1 2 0
1 2 0
0
o
C
o
B
o
A



ψ
UU
UU
UU
A
U
B
U
C
U
120°
120°
120°
4,对称三相电源的特点
0
0
CBA
CBA



UUU
uuu
三相制相对于单相制在发电、输电、用电方面有很多优点，
主要有：
(1) 三相发电机比单相发电机输出功率高。
(3) 性能好：三相电路的瞬时功率是一个常数，对三相电动机来说，意味着产生机接转矩均匀，电机振动小。
(2) 经济：在相同条件下 (输电距离,功率,电压和损失 )
三相供电比单相供电省铜 。
(4) 三相制设备 (三相异步电动机，三相变压器 )简单，易于制造，工作经济、可靠。
由于上述的优点，三相制得到广泛的应用。
5,三相制的优点二、对称三相电源的联接星形联接 (Y接 )：把三个绕组的末端 X,Y,Z 接在一起，把始端 A,B,C 引出来。
+–
A
N
X
+–
BY
+–
CZ
A
U
B
U
C
U
A
+
–X
B
C
Y
Z
A
B
C
N
A
U
B
U
C
U
BA
U
BC
U
CA
U
A
I
B
I
C
I
星形对称三相电源线电压与相电压的关系
A
+
–X
B
C
Y
Z
A
B
C
N
A
U
B
U
C
U
BA
U
BC
U
CA
U
A
I
B
I
C
I
o
CCN
o
BBN
o
ANA
1 2 0
1 2 0
0






UUU
UUU
UUU设
ooo
NACNCA
ooo
CNNBCB
ooo
BNNABA
15030120
903120120
3031200






UUUUUU
UUUUUU
UUUUUU
利用相量图得到相电压和线电压之间的关系：
线电压对称 (大小相等，
相位互差 120o)
一般表示为：
30o
30o
30o
NA
U
BN
U
CN
U
BA
U
BC
U
CA
U
NA
U
BN
U
CN
U
BA
U
BC
U
CA
U
o
CNCA
o
NBCB
o
NABA
303
303
303






UU
UU
UU
结论,对 Y接法的 对称三相电源
(1) 相电压对称，则线电压也对称。
(3) 线电压相位领先对应相电压 30o。
.3,3 )2( pl UU?即倍的线电压大小等于相电压
CNCA
NBCB
NABA



UU
UU
UU
连 接
o
C
o
B
o
A
120
120
0



UU
UU
UU设
o
CCA
o
BCB
o
ABA
120
120
0






UUU
UUU
UUU
A
X
+– B
C
Y
Z A
B
CB
U
C
U
A
U
BA
U
BC
U
A
I
B
I
C
I
CA
U
即线电压等于对应的相电压。
2 对称三相电路一、对称三相负载及其联接
1,对称三相负载 (均衡三相负载 )：三个相同负载 (负载阻抗模相等,阻抗角相同 )以一定方式联接起来 。
2,对称三相负载的联接：两种基本联接方式
A'
B'
C'
N'
A
I
B
I
C
I
N
I
Z
Z
Z
A'
B'
C'
A
I
B
I
C
I
Z
Z
Z
B'A'
I
C'B'
I
A'C'
I
3,对称三相电路：由对称三相电源和对称三相负载联接而成 。
按电源和负载的不同联接方式可分为 Y–Y,Y0 –Y0,Y –?，
–Y,? –?等 。
二、对称三相电路的计算对称三相电路的计算方法是一相计算法。
1,Y–Y接 (三相三线制 ),Y0 –Y0(三相四线制 )
+
_
+ +
N n
Z
Z
Z
A
U
B
UC?U
A?I
B?I
C?I
A
BC
a
b
c
φZZ
ψUU
ψUU
ψUU




||
120
120
o
C
o
B
A设
+
_
+ +
N n
Z
Z
Z
A?U
B?UC?U
A?I
B?I
C?I
A
BC
a
bc
以 N点为参考点，对 n点列写节点方程：
CBAnN
111)111( U
ZUZUZUZZZ
0 0)(13 nNCBAnN UUUUZUZ
电源侧线电压对称，负载侧线电压也对称。
负载侧相电压：
o
CnNCNcn
o
BnNBNbn
AnNANan
120
120






ψUUUUU
ψUUUUU
ψUUUUU
计算电流：
φψ
Z
U
Z
U
Z
U
I
φψ
Z
U
Z
U
Z
U
I
φψ
Z
U
Z
U
Z
U
I






oCcn
C
oBbn
B
Aan
A
120
||
120
||
||
流过每相负载的电流与流过相应火线的线电流是同一电流，且三相电流也是对称的。
因 N,n两点等电位，可将其短路，且其中电流为零。
这样便可将三相电路的计算化为一相电路的计算。当求出相应的电压、电流后，再由对称性，可以直接写出其它两相的结果。
+
_
+ +
N n
Z
Z
Z
A
U
B
UC?U
A?I
B?I
C?I
A
BC
a
b
c
一相计算电路：
+
–A
U
A?IA
N n
a
Z
φψZUZUZUI

||
Aan
A
由一相计算电路可得：
由对称性可写出,φψZUIφψZUI oCoB 1 2 0||,1 2 0||
结论：
有无中线对电路情况没有影响 。 没有中线 (Y–Y接,
三相三线制 ),可将中线连上 。 因此,Y–Y接电路与 Y0–
Y0接 (有中线 )电路计算方法相同 。 且中线有阻抗时可短路掉 。
② 对称情况下,各相电压,电流都是对称的,只要算出某一相的电压,电流,则其他两相的电压,电流可直接写出 。
① UnN=0，中线电流为零。
2,Y–?接
+
_
+ +
N
Z
ZZA
U
B
UC?U
A?I
B?I
C?I
A
BC
a
bc
ab?I
bc?I
ca?I
o
CAca
o
BCbc
o
ABab
150
90
30






ψUUU
ψUUU
ψUUU
负载上相电压与线电压相等：
φZZ
ψUU
ψUU
ψUU




||
120
120
o
C
o
B
A设
+
_
+ +
N ZZZ
A?U
B?UC?U
A?I
B?I
C?I
A
BC
a
bc
ab?I
bc?I
ca?I
φψ
Z
U
Z
U
I
φψ
Z
U
Z
U
I
φψ
Z
U
Z
U
I



oca
ca
obc
bc
oab
ab
1 5 0
||
3
90
||
3
30
||
3
计算相电流：
线电流：
o
cabccaC
o
bcabbcB
o
abcaabA
30
30
30






IIII
IIII
IIII 30o
30o A?U
ab
I
ab
U
A
I
bc
I
ca
I
B
I
C
I
结论：
(1) 负载上相电压与线电压相等,且对称 。
(2) 线电流与相电流也是对称的 。 线电流大小是相电流的 倍,相位落后相应相电流 30° 。3
故上述电路也可只计算一相，根据对称性即可得到其余两相结果。
+
–A
U
A?IA
N n
a
Z/3
+
_
+ +
N
Z
ZZ
A
U
B
UC?U
A?I
B?I
C?I
A
BC
a
bc
ab?I
bc?I
ca?I
n