通信系统原理：通信系统原理

第 1 章 通信系统概述
本章不是一般,概述,,拟概括介绍一些与本书相关而又不为各章节能全部包括的一般通信知识，这对学习通信系统原理将打下一个有力的基础。
知识点
(1) 信息、信息技术信号及其分类；
(2) 通信、通信系统构成及各部分功能；
(3) 信道分类及几种常用信道特征；
(4) 无线传播特点与信道特征；
(5) 通信系统质量指标与改进质量的关键技术；
(6) 通信频段划分及各频段的基本特点。
要求
(1) 本章作为初学者的通读材料，以了解本书基本要点及通信系统实质性概念；
(2) 对已学习过或正在学习通信系统原理课程的读者，再学习本章内容，也可温故而知新。
1.1 通信与通信系统
1.1.1 通信
通信的含义无论从中文“通信”（或通讯）或英文“Communication”讲，是信息从一个地方通过传输信道传送到另一个地方的对话过程。拟为现代通信给出一个完善而简捷的定义：通信是信息或其表示方式（表示媒体）的时/空转移。
这一定义远远超出了对话的业务范围，同时通信过程中，除了有很小的传输延时外，尚需要进行处理、转发，也会发生一定的时延，以及可能缓存、显示或存储再现，因此，这一定义不但包括了空间，也包括时间在内的信息转移。
1.1.2 通信系统
通信系统具有很广泛的内涵，并有多个层次，一般地，利用传输信道或通信网，将具有收、
发信息功能的终端设备由信道或链路有机连接（永久或暂时的）起来，这些实施信息传输的设备集合，称为通信系统。通信系统按工作方式分，可分为单工（ Simplex）、半双工（ Half-duplex）
和全双工（Duplex）。这三种方式的例子如单向广播、步话机和固定电话与移动电话等。
一个基本通信系统包括的设备环节是发送设备、接收设备与传输信道和传输设备，可实现单向/双向或单/双工通信功能。图1-2 示出了一个较为完善的数字通信系统。它的发送与接收端各包括9 个功能单元，还有传输信道以及收发同步系统等组成。
现分别介绍各部分的功能与作用。
1,源信息格式（Format）
是信息采集后的源信息最初表示方式，如模拟电信号的限带波形，图像信号的扫描象素集合或其红绿蓝三个基本分量的PCM编码。 信源格式为信源编码作好了基本格式的准备，
其中还包括信源编码前去噪、限带等的预处理。
2,信源编码
为了提高信息的有效性，在源信息中可能存在某种程度的冗余“信息”以及根据需要的质量标准，可以去除其中次要信息，因此提高有效性的措施采用去相关及压缩编码，即用更少的编码位数来表示符合一定接收质量的更多源符号。其基本理论是仙农率失真理论，其基本技术如无失真预测编码和有损正交变换编码等。对于多媒体通信中的视频图像编码因具有更大冗余度和视觉特性的掩盖效用，可以提供名目繁多的压缩技术，有损压缩往往到几十倍上百倍以上压缩倍数。总之，信源编码是按一定精度为信息提供一种编码格式或数据结构，即构成有效的“表示媒体”形式。
3,信道编码
经过信源编码的码字序列，均应认为是重要信息，因此如果在传输与接收判决中发生错误或超出限定的符号误差概率，则会不满足接收者的质量要求。如果信源码字之间互为正交或不相关，则有一定的抗干扰能力，或者基带码流的码符号选用某些合适的码型，
也有一定抗干扰性。最好的方法是根据信道环境的特性，将信源码字中按一定规则适当加入冗余码元（监督元），构成差错控制码，可以根据不同的结构和冗余位多少，提供
1 位或多位自动纠错或通过反馈重发纠错能力。对于信道带宽无限制而传送信号功率受限（如卫星）的通信系统，在保持所需的误差率时，利用差错控制编码能降低所需的信号功率或信噪比。
4,信道复用
信道复用（Multiplexing）是通信系统中很为重要的组成部分。其基本功能是使多种信息流共享同一信道,提高通信资源利用率。 如目前无线正在使用整个频段跨越 10
5
~10
12
Hz
的频率资源，各个不同频段和频点用于各种类型的无线信号传输，必须采用频分复用
（FDM）。基于有线信道的基带传输，多采用时分复用（TDM）。还有基于特殊媒体分离和空间分离的空分复用（SDM），现代无线扩频通信的码分复用（CDM），以及水平和垂直激化的电磁波传输提供激化复用（PDM）。近几年的发展已大量推广利用光密集波分复用（DWDM），可以使一条光纤容纳几亿个数字电话的点对点间传输。
无线和移动通信采用的复用方式为“多址”（Multi-access），有频分多址（FDMA），
时分多址（TDMA）、空分多址（SDMA）和码分多址（CDMA）。以及可用双极性频率重用的极分多址（PDMA）。
各种复用/多址，在基本原理上的共同点是复用信号集的各信号间或多址系统各用户地址码之间是正交关系。空分复用/多址，即 SDM/SDMA是从物理通道隔离保证这种正交关系的。
5,调制
调制是信号的一种变换过程，通常是将不便于信道直接传输的基带模拟信号或编码符号序列，或其波形序列作为调制信号，去控制一个适于信道传输性能的“载波”，使其某一、二个参量正比地受控于调制信号。
载波为正弦信号时的调制方式称为连续波调制。此时若调制信号为模拟信号，可提供模拟（线性）调幅和模拟调角（又分调频与调相）；若调制信号为数字代码，相应的调制方式分为数字调幅、调频、调相，均称为数字信号的载波传输或频带传输，仍为模拟传输方式。
基带数字信号作调制信号时，宜以脉冲序列作为载波，通称为脉冲编码调制（如：PCM
数字电话）。
6,扩频
扩频（Spread Spectrum）是一种特殊的现代无线通信调制技术。就数字扩频系统来说，
可以把周期很长、码元（称为码片 Chip）持续时间 远小于信息码之间隔 的伪噪声码（PN）序列作为“载波”，于是载荷信息的PN 码带宽较信息码展宽几十倍到上万倍。
由扩频实现的码分复用或多址构成的无线移动通信系统，各用户采用不同的互为正交的
PN 序列作为地址码，可使大量用户正交复用数兆赫以上的扩频带宽，且具有极强的抗各类干扰的能力。本书第7 章简单介绍扩频调制原理。传统的通信系统原理教材一般不设此章节。
7,同步
在数字信号传输和采用相干接收或最佳接收方式的模拟调制系统中，尚有一个非常重要的控制单元，即同步系统。它可以使通信系统的收、发两端或整个通信网络，以精度很高的时钟提供定时，以便系统、网络的数据流能与发信端同步地、有序而准确地接收与恢复原信息。同步准确性对通信质量有很大影响。多媒体信息传输对同步有更进一步的要求，应达到各信息媒体之间的同步显示。
从功能和实现环境的方法不同，同步可分为4 种方式，详细情况可参考教材,
（ 1） 载波同步 （ 2）码元或位同步 （ 3）帧同步 （ 4）网同步
1.2 信道和噪声
各种发送信息欲传送到既定的信宿（Destination），可选用适于传输的物理媒体，完成通信功能，这些连接发信与收信设备而适于不同类型通信业务的各种物理媒体通称为信道。
1.2.1 信道分类
信道可分为有界与无界两大类，即通常所说的有线信道和无线信道。前者如双绞线、电缆、
光纤、波导等。后者为自由空间提供的各种频段或波长的电磁波传播通道。
根据各种信道不同的特征和参量及其变化情况，又将它们分为恒参信道和随参（变参）信道。
前者如有线信道、微波与卫星信道等；后者如无线系统的短波）和超短波（300MHz~3GHz）散射信道。
一般地，若单指传输媒体而言称为狭义信道。在具体通信系统构成中，往往把信源发出的模拟信号和数字编码基带信号视为信息部分，从调制器到接收端解调这一中间变换历程中，经过了包括物理媒体在内的线路设备（如交换、放大、中继等中间件）传输路径，因此将图 1-3 所示的调制信道与编码信道称为广义信道。
将信道分类归纳为下表所示,
有线（有界）信道,如明线、电缆、光纤等狭义信道
无线（无界）信道,如短波、微波等
恒参信道
调制信道
随参信道
无记忆
信道
广义信道
编码信道
有记忆
从分析信道的特征角度，又可将上表所提到各类不同层次的信道，大体分为三种特征,
1,线性与非线性信道特征；
2,时不变与时变信道特征；
3,带宽或功率受限信道特征。
1.2.2 信道的干扰
除了上述因狭义信道本身特征影响通信质量外,信道内尚可能受到外部干扰和广义信道中各种设备带来的内部噪声干扰。
信道内干扰源很多，并有多种形式，兹大体归纳为四类,
1,无线电干扰：它来自各种无线发射机。其特点是频率范围宽，几乎覆盖全部使用频段。
但对于特定电台的频率一般是固定的，因此可以进行防护。另外由于无线电频率管理较为完善，可以将此种干扰限制在最小限度。
2,工业干扰：它来源于各种电气设备，如电机、电力线，电源开关、电点火（如汽车点火）
装置等。此类干扰一般在较低频率范围，如汽车点火干扰在几十兆赫范围内。采用屏蔽与考究的滤波措施，在很大程度上可避开工业干扰。
3,天电干扰：来自于雷电、磁暴、太阳黑子以及宇宙射线等，它们与季节、气候变化关系较大。不同地区也有很大不同，如赤道附近及两极地区严重。太阳黑子发生变动（约 11
年一个周期）的年份，天电干扰加大，有时长时间中断短波通信。
4,内部干扰：来自信道内部各种电子器件电阻、天线以及传输线等。在这些电子设备中的分子或电子的随机热运动，形成所谓起伏噪声，对于通信信号产生加性干扰。在下一章将详细介绍它的机理与影响。本书涉及的各类通信系统，主要是这种噪声，称为热噪声，
从机理上它是高斯型统计特征，是通信系统干扰的重要因素。
1.2.3 几种常用信道特征
通信常用的信道类型主要有4 类,
1,电话信道
电话信道一般是指庞大的公用交换电话网（PSTN）所提供的基于传统模拟电话或低速数据传输的信道。通信信道的构成多半通过用户终端到本地交换机（节点），再到另一个用户建立的呼叫链路，一旦通话（即呼叫）结束，便及时拆断该链路。电话信道一般属于限带为 300~3400Hz 的线性系统。当用 于数据传输时，需在用 户端均加入调制/解调器
（Modem），并利用600~30 00Hz 频响较平坦的频段传输已调波。
目前从用户到节点（交换机）的用户线，可以增设宽带 Modem（如ADSL），可在数公里内通信带宽扩展到2~6MHz，支持宽带上网和多媒体业务。近几年PSTN已更新为数字化网络，在网上的各交换节点间中继全部数字化传输。通过用户线以2B+D或更高速率，
可传输话音与综合业务。
2,光纤
光纤是将电信号变为光信号（电/光转换）后进行光信号传输的物理媒体。光缆是由包层覆盖光纤芯线而构成。光信号是以电磁场形式在光纤芯中传播。光纤自70 年代投用后，很快显示出很多突出的优点，诸如，它带宽极宽（2×10
14
Hz 以上），通过目前可达到的技术，密集波分复用（DWDM），一条光纤中可以支持 1600Gb/s的传输速率；实验表明，基于单波 160Gb/s 速率的1024 个波，可 达约160Tb/s的点到点传输流量（1Tb/s
＝10
12
b/s）；光纤传输损耗极低，小于0.2dB/km，不受电磁干扰，重量极轻（一条光纤芯 27g/km），抗弯曲，耐湿热和腐蚀，敷设方便、灵活，可架设到电杆上，光纤价格极低，目前国内生产供大于求。
3,移动无线信道
无线移动通信起初是为了延伸电信网的覆盖范围和通信能力而逐步发展起来的。迄今，
移动网的发展令人惊异，已从城市扩展到乡村与边远地区。我国移动用户已达 1.5亿以上，很快就与传统的固定电话（PSTN）相匹敌。下一代的移动通信将以宽带方式接入，
并与现行 GSM系统相比，传输速率增加10 倍、上百倍，可支持多媒体业务，并广泛实施个人通信系统（PCS）。
移动通信以蜂窝方式组网,信道具有多径衰落与时变特征。 目前GSM移动通信利用900MHz
频段，双向频谱为2×25MHz，各提供125 个 载波，每载波包括8 个 时分多址（TDMA）信道。于是各载波 200kHz 带宽，包含8 个 25k Hz 信道，用户数字电话速率为 13kb/s，具有高纠错能力的差错保护位时，净速率高达 9.8kb/s。移动网在每个蜂窝小区设有一个基站，转发小区内多达上千个用户同时通信。移动通信每个信道的辐射功率应控制在它的 25kHz带宽内，带外辐射衰减应至少为-40dB，优质系统应达-70dB，才不至于明显干扰相邻话路。隔离1至2 个小区可以重复利用频率，因此整个移动网可支持极大量用户相互通信。通过越区切换和跨网漫游可以实现全国性、世界范围内的移动通信。
4,卫星信道
卫星信道是一种特殊的无线 信道。在地球赤道上空 35978km（近似称 3.6 万公里）均匀分布着三个同步卫星，就可以通过它们的转发器（Transponders）地球上任两处的地球站间可进行通信。自 60年代初（1962年）问 世以来，至今稳定使用的上行 6GHz、下行
4GHz 频点的系统，总带宽 500MHz，并提供带宽各为 36MHz的12 个转发器，各又能容纳
1200路数字电话或25~150个窄带会议电视。 一个转发器可支持五,六个行将推广的HDTV
（高清晰度数字电视）。由于跨洋卫星通信（如中美两国间）需经由两个卫星的转发器与双方地球站沟通信息，因此远达15万km 的距离，通信延迟则高达将近0.5 秒，双方对话均有明显延时的感觉。目前国内卫星通信已开办大量业务，如，卫星电视节目，远程教育等。
1.3 通信频段的划分
上面介绍了通信信道分类与特征，并例举了几种常用信道基本性能及适用情况。各种通信系统对使用信道的频段还有一个选择性与合理性分配问题，以便合理利用并尽量节省频谱资源，满足有效与可靠传输的要求。
对于有线信道，重要的是选择不同的传输媒体和宽带媒体的信道频率复用。一般根据信道业务要求，考虑它们各所要求的前述有线信道（恒参）的性能特征，如损耗、延时与相移特性，以及最低与最高截频等，来确定频段。
海底通信适于极低频段，则有很好的传输性能；任何基带信号传输采用基带信号带宽为截频的全部低频段，模拟话音的低频传输 只利用 300~3400Hz 或优质声音 （音乐）从50Hz至15kHz
带宽。
比较复杂的问题是，各种无线通信要根据空间电磁波传播特点，来选择与适当分配工作频段。
ITU-R 对频谱分配进行了具体规则,各国各部门均科学 而严格控制频点使用。
电磁波由发射到接收的途径大体分为三种：一是靠地面传播的称为“地波”；二是靠空间两点间直线传播的称为“空间波”；三是靠地球上空的电离层反射到地面的单跳或多跳方式传播，
称为“天波”。
沿地表传播的地波，因沿地面电磁波跳跃性传播产生感应电流，会受到地面这种非良导体衰减,且频率越高集肤效应越大,损耗就越大。 因此地波适于中长波和中波 （即几百千赫到数兆赫）,
如民用广播从 535kHz 至1605kHz 频段（每10kHz 一个节目）就是一例。
数兆赫到数十兆赫的短波（高频段）适于天波传播，收发间距离远大于地波，可达数百公里到上千公里，这决定于天线入射角大小。上面已经提到，电离层会对反射的电磁波进行吸收、衰减，电离浓度越大则损耗越大，而这种因电离层随机变化导致的电磁波起伏衰减就是衰落现象。
如果波长更短，即更高频段，如数百兆赫到数个吉赫（10
9
Hz）以上，则进入微波波段。这一频段的电磁波，电离层的吸收很少，且不再被反射回地面。如卫星通信，电磁波可穿透电离层传播到卫星。这种空间波传播与光有类似性，不但直线传播，而且电磁波也有绕射（衍射）作用，
可以绕过一些局部障碍物。例如，微波接力属地面点与点之间直线传播，除了要受地面环境（沼泽、山、林等）一定影响外，天线不便架设过高，因此接力（中继）段不过四、五十公里，通常称为“视距”通信。
无线通信均需收发天线长度与波长 匹配的天线尺寸为,因此利用全向天线的民用广播的电台天线不可能稳定架设 100 多米。利用900MHz频段的GSM 手机天线，可以短至几厘米长，
为移动手机小型化便携带来很大方便。
全部无线通信均通过自由空间传播，为了合理使用频段，各地区各种通信又不致互相干扰，
ITU科学地分配了各种通信系统所适用的频段，各频段频率与其波长对应值及其名称，由国际电信联盟无线委员会（ITU-R）颁布，各国、各地区、城市均设有相应无线电管理委员会，负责本国、本地区无线频点的合理协调。
1.4 通信系统质量指标
1.4.1 通信质量概述
影响通信质量的因素可分为两个方面。 一是前面已经介绍过的广义信道的特征及种种限制因素，二是表示信息本身的信号或编码方式和传输（调制解调）方式。
有效性与可靠性是相辅相承的两个质量指标体系，模拟与数字通信又有所不同。
1.4.2 通信系统有效性技术
模拟通信系统中，每一路模拟信号需占用一定信道带宽，如何在信道具有一定带宽时充分利用它的传输能力，可有几个方面的措施，一是多路信号通过频率分割复用，即频分复用（FDM），
以复用路数多少来体现其有效性，如同轴电缆最高可容纳 10800路4kHz模拟话音信号。目前使用的无线频段从 10
5
~10
12
Hz范围的自由空间，更是利用多种频分复用方式实现各种无线通信。
另一方面提高模拟通信有效性是根据业务性质减少信号带宽，如话音信号的调幅单边带
（SSB）为4kHz，就比调频信号带宽小数倍，但可靠性较差。
数字通信的有效性主要体现在一个信道通过的信息速率。 对于基带数字信号可以采用时分复用 （TDM） 以充分利用信道带宽。 其它复用方式还有前面提到的空分复用 （SDM）,码分复用 （CDM）,
极化复用（PDM）和波分复用（WDM）以及相应的“多址”方式。数字信号频带传输，可以采用多元调制提高有效性。如 进制信号是二进制信号信息量的（ ）倍，它们的信息量单位分别为波特（Baud－Bd）和比特（bit），因此
另外，为了利用有限的信道带宽支持信源信息量大的通信业务传输，根据信息理论可以采用信源压缩编码，即消除源信息中冗余部分，如电视信号中只含有大约 4%的有效信息，采用无失真压缩编码，可能达到 30多倍的压缩率。更进一步，根据不同应用要求的精度，由仙农率失真理论，还可以去掉一些次要信息，这种有损压缩编码，往往可以压缩上百倍以上，如多媒体会议电视及可视电话可以分别利用 2Mb/s 速率及 PCM 系统和 3kHz 带宽的 PSTN（公用交换电话网）进行传输，便满足一般需要。
1.4.3 通信系统可靠性技术
对于模拟通信系统，可靠性通常以整个系统的输出信噪比来衡量。一般通信系统特别是卫星通信，发送信号功率总是有一定限量，而信道噪声（主要是热噪声）则随传输距离而增长，其功率不断累积，并以相加的形式来干扰信号，这种干扰称为加性干扰。信号加噪声的混合波形与原信号相比则具有一定程度失真。模拟通信的输出信噪比越高，通信质量就越好。诸如，公共电话（商用）以40dB 为优良质量，电视节目信噪比至少应为50dB，优质电视接收应在60dB 以上，
公务通信可以降低质量要求，也需20dB以上。当然，信噪比并非唯一的衡量质量的指标。
在实际中，常用折衷办法来改善可靠性，即以带宽（有效性）为代价换取可靠性，可提高输出信噪比涉及信号的调制方式。例如，宽带调频（FM）比调幅多占几倍或更大带宽，解调输出信噪比改善量与带宽增加倍数的平方成正比。如民用调幅广播，每台节目 10kHz带宽，而调频台节目带宽为 180kHz，但信噪 比增大十几倍，因此音质极好。
首先，数字通信可靠性因素就主要地、本质地说，主要还是信噪比问题，另一因素是设计的信号本身抗扰能力。但数字信号传输最终反映在判决输出的码元符号是否正确，因此其可靠性指标均为码元或码字的差错概率,即一定时间内的平均差错率。一般通信系统，差错率主要决定于信噪比输出大小。
提高数字系统的可靠性,减少误差率的措施,首先从仙农信道容量公式来奠定一个基本思路，
该著名的公式为
上列公式的概念表明，当通过信道传输的信息总量 不超过信道容量 时，信号本身的带宽,传输时间 和信号动态范围 三者的量值可以互换,则信号可以无失真通过该信道。
例如，,倍，而信号参量为,倍，则信道容量
即信号信息量等于信道容量，满足无失真传输条件。这时，通过信号带宽 与信号动态范围 互换为 及,则无问题。
总结提高数字通信可靠性的技术可有,
1,以付出带宽换取可靠性如无线扩频调制 CDMA，以扩展带宽成百上千倍，甚至当信噪比小于 1，即 0dB 以下时，仍可有较强抗干扰性，正确接收信号。
2,降低传输速率，即在同样信息量，延长传输时间可以提高可靠性。如一幅信息量很大的精细画面，利用了 3kHz 带宽电话信道，几分钟可以无失真传输完毕。
3,采用适当的信号波形及均衡措施，可消除信号码元波形间干扰，提高正确判决概率。第五章基带数字信号传输理论的奈奎斯特三个准则,有效地解决了消除,符号间干扰” (ISI)
问题。
4,选用调制与解调方式提高可靠性。如采用数字调频较调幅有较好的接收质量。最佳接收的解调方式优于包络解调效果。
5,优良的信号设计可提高抗干扰能力。第 6 章将重点介绍，发送信号序列中表示不同信号的码字或波形函数之间相关性的情况。
6,提高抗干扰能力，减少差错最有效、也最常用的方法是利用差错控制编码。前面已经提到，它是以增加冗余而实施自动纠错或检错重发的技术措施，或者在要求的误码率不变时，采用纠错码可以降低对信噪比的要求。本书第 9 章将具体讨论各种差错控制原理与编码方法。
第 2 章 信号与噪声分析
知识点及层次
1,确知信号时－频域分析
(1) 现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。
(2) 几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。
(3) 信号与系统特征－卷积相关－维钠－辛钦定理。
2,随机过程统计特征
(1) 二维随机变量统计特征。
(2) 广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。
(3) 高斯过程的统计特征。
3,高斯型白噪声统计特征
(1) 理想白噪声及限带高斯白噪声特征。
(2) 窄带高斯白噪声主要统计特征。
以上三个层次是一个层层深入的数学系统，最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各章的基本理论基础，也是系统分析的最主要的数学方法。
2.1 信号与系统表示法
2.1.1通信系统常用信号类型
通信系统所指的信号在不加声明时，一般指随时间变化的信号。通常主要涉及以下几种不同类型的信号,
1.周期与非周期信号
周期信号 满足下列条件,
全部时域
(2-1)
—— 的周期，是满足（2-1）式条件的最小时段。
因此，该 也可表示为,
(2-2)
——是 在一个周期 内的波形（形状）。
若对于某一信号,不存在能满足式（2-1）的任何大小的 值，则不为周期信号（如随机信号）。从确知信号的角度出发，非周期信号一般多为有限持续时间的特定时间波形。
2．确知和随机信号
确知信号的特征是：无论是过去、现在和未来的任何时间,其取值总是唯一确定的。如一个正弦波形，当幅度、角频和初相均为确定值时，它就属于确知信号，因此它是一个完全确定的时间函数。
随机信号是指其全部或一个参量具有随机性的时间信号，亦即信号的某一个或更多参量具有不确定取值，因此在它未发生之前或未对它具体测量之前，这种取值是不可预测的。如上述正弦波中某一参量（比如相位）在其可能取值范围内没有固定值的情况，可将其表示为,
(2-3)
其中 和 为确定值,可能是在（0，2π）内的随机取值。
3．能量与功率信号
在我们常用的电子通信系统中，信号以电压或电流（变化）值表示，它在电阻 上的瞬时功率为,
或
(2-4)
功率 正比于信号幅度的平方。其归一化瞬时功率或能量（ =1Ω）表示式为,
(2-5)
在 =1Ω负载上的电压或者电流信号的（归一化）能量为,
(2-6)
单位时段 2 内的平均能量等于该被截短时段内信号平均功率。而信号 的总平均功率则为,
(2-7)
一般地，能量有限的信号称为能量信号，即 0< <∞；而平均功率有限的信号称为功率信号，即 0< <∞。
能量信号与功率信号是不相容的——能量信号的总平均功率（在全时轴上时间平均）等于
0，而功率信号的能量等于无限大。通常，周期信号和随机信号是功率信号；确知而非周期信号为能量信号。
从理论上，表示信号的方法很多，但实际上傅立叶分析在信号处理与通信中沿用至今，它将任何函数波形 均正交分解为一系列正弦波之和表示，在应用上具有很大的广泛性。在通信系统中，利用变换域，如频域分析，可更方便地揭示信号本质性特点。
4．基带与频带信号
从信源发出的信号，最初的表示方法，大都为基带信号形式（模拟或数字、数据形式），
它们的主要能量在低频段，如语音、视频等。它们均可以由低通滤波器取出或限定，因此又称为低通信号。为了传输的需要，特别是长途通信与无线通信，需将源信息基带信号以特定调制方式
“载荷”到某一指定的高频载波，以载波的某一、二个参量变化受控于基带信号或数字码流，后者称为调制信号，受控后的载波称为已调信号或已调载波，属于频带信号。它限制在以载频为中心的一定带宽范围内，因此又称为带通信号。
2.1.2系统表示法
通信系统或信号系统涉及线性时不变系统和非线性的、时变系统。在先行课信号与系统分析中已对线性时不变系统进行过充分研究；一个复杂的通信系统，特别是无线通信系统（如短波信道），需以非线性时变系统分析方法来处理。
根据傅立叶分析方法，一个正弦波输入到系统，响应结果等于相同频率的另一正弦波的条件有两个,
1,系统是线性的——遵循迭加原理和比例倍增。如系统输入为 和,响应各为和,如果存在 的响应为 （可迭加性）及
作为激励，其响应为,
（比例倍增）
(2-8)
其中a 1、a 2为任意常数。则该系统为线性系统。
2,系统是时不变的——如果系统激励为,响应为,当输入信号 延 <时,
即,而响应 也产生同样延时,即,则该系统为时不变系统。
2.1.3通信系统中的统计分析方法
从通信系统的通信过程而言，是具有基于概率统计特征的。从信源到信号表示，有噪信道传输和接收,各个环节均需利用统计分析方法来处理通信信号及通信系统问题。 对于接收者来说，
关于信源随机发送的信息序列是不确定的，不可预测的，因此属于一定特征的随机信号。在传输过程中，由于信道介入各种干扰、噪声，受到污染的信号到达接收端，使接收者更增大了不确定程度。因此，基于统计理论的随机过程和信息论是分析与解决信息传输和最佳接收问题的重要理论基础，这正是本章第4 节开始重点讨论的问题。
2.2 信号频谱分析概述
为了知识的连续性，同时作为随机信号分析的基础，兹概要回顾确知信号傅立叶分析方法。
2.2.1傅立叶级数
任何一个周期为 的周期信号,,只要满足狄里赫利条件，
就可以展开为正交序列之和——傅立叶级数,
(2-9)
式中系数
(2-10)
—— 的均值，即直流分量。
式（2-9）中，由
则得,
(2-11)
式中：
，
，
。
又由,则 可表示为指数形式,
(2-12)
式中：
，
,,
以上三种级数表示方式实质相同。各项之间均为正交，这样当有限项来逼近 时，在同样项数时，以正交项之和精度最高。
2.2.2傅立叶变换
非周期信号，即能量信号，其时域表示式通过傅立叶（积分）变换，映射到频域也可表示信号的全部信息特征——频谱函数，更便于信号和系统的分析。信号的傅立叶变换对为
频谱函数,
反演式,
(2-13)
表示该傅立叶变换对的缩写符号为,
变换对的存在，具有数学上严格的充要条件，这里不再列出。
2.2.3卷积与相关
1.卷积
卷积是当系统冲激响应 确定后，已知系统的激励信号 而求响应 的运算过程。
这一运算模式也可推广到任何两个时间函数 与 或这两个频域函数 与的卷积,
时域函数卷积,
(交换律)
(2-14)
频域函数卷积,
(2-15)
关系式,
（卷积定理）
(2-16)
（调制定理）
(2-17)
2,相关
一个函数 可求其自相关函数 。两个函数 与,可求它们之间的互相关函数 及,
自相关函数,
(2-18)
互相关函数,
(2-19)
(2-20)
则有,
或 （偶对称性）
(2-21)
若 及,为周期信号，上列各式利用 格式运算。
2.2.4能量谱、功率谱及帕氏定理
1.能量谱密度
若存在傅立叶变换对 能量信号 的能量谱与其自相关函数也是一对傅立叶变换，即,
简明表示为,
(2-22)
这里 ——能量谱函数，或称能量谱密度。
2.功率谱密度
若存在傅立叶变换对,且 为功率信号，其自相关函数与其功率谱也是一对傅立叶变换，即,
(2-23)
上式可表示周期信号和随机信号两种情况。 周期为 的信号在一个周期的时间平均自相关函数，随机信号截短信号的时间自相关函数，两者都对应着单位时段能量谱，当时间无限扩展时的时间平均能量谱，等于它们的功率谱，只是当周期信号时，式（2-23）不必用极限运算。
因为 为随机信号时不存在周期，以 表示该 的截短段为 的能量谱,为此段时间平均功率谱，取时间极限后才为该信号准确功率谱。这一计算方式，
到后面随机信号分析将要用到。
3．帕氏定理（Parseval）——信号能量与功率的计算
帕氏定理：能量谱或功率谱在其频率范围内，对频率的积分等于信号的能量或功率，并且在时域、频域积分，以及自相关函数 =0 时，三者计算结果是一致的。
2.3 希尔伯特变换
2.3.1希氏变换
希氏变换是完全在时域中进行的一种特殊的正交变换。也可以看成它是由一种特殊的滤波器完成的。
为了便于理解变换特点，我们首先讨论这种变换在频域中的规律（规则），然后再返回到时域来进一步认识它，并且变换后信号以 表示，相应频谱以 表示。
1．希氏（频域）变换定义
若信号存在傅立叶变换对,则其希氏变换的频谱等于该信号频谱 的负频域全部频率成分相移,而正频域相移 ——完成这种变换的传递函数称为希氏滤波器传递函数，即有,
(2-25)
则希氏变换频谱为
(2-26)
2．希氏（时域）变换定义
为了得出时域中进行希氏变换的规则，可以很简单地由上述希氏滤波器传递函数,
求出其冲激响应
：
(2-27a)
利用傅立叶变换的互易定理，可由 反演出,
(2-27b)
因此希氏变换的时域表示式为,
(2-28)
由希式变换的定义,
（ 1） 余弦信号的希式变换等于正弦信号；
（ 2） 正弦信号的希式变换等于余弦信号。
希氏变换在本章最后窄带噪声统计特征分析中，以及线性调制单边带生成过程中，均有非常重要的作用。
2.3.2希氏变换的主要性质
1．信号 与其希氏变换 的幅度频谱、功率（能量）谱以及自相关函数和功率（能量）
均相等。这是由于功率谱、能量谱不反映信号相位特征。相应的，自相关函数也不反映信号的时间位置。
2,希氏变换 再进行希氏变换表示为 。则有,
(2-29)
3,与 互为正交。
为证明最后一个性质的正确性，可通过互相关与能量谱进行计算,
式中右边,
(2-30)
由上式最后一个积分式可以看出,被积函数为奇函数与偶函数之乘积,因此该项积分等于0。
于是，可得正交关系，即,
(能量信号)
(2-31)
或
(功率信号 )
(2-32)
2.4 随机变量统计特征
在数学课中，已经涉及到基于概率论的随机变量及其统计平均的计算，随机变量是建立随机过程和随机信号分析方法的基础。这里从公理化概率概念出发，阐明随机变量的形成及主要统计平均的运算方法。
2.4.1 概率的公理概念
关于概率概念，在工科数学中曾从古典概率、几何概率等，对随机事件做了描述性说明。
这里拟从概率空间角度，对随机事件及其概率建立数学模型。
一个随机实验，严格来说主要应满足下列三个基本特点,
（ 1） 实验（Experiment）在相同条件下是可重复的；
（ 2） 每次重复称作试验（Trial），其可能结果（Outcomes）是不可预测的；
（ 3） 一个随机实验中的大量试验，其结果会呈现一定统计规律。
我们利用统计概率概念来描述概率的定义,
一个随机实验，所有试验可能结果（Outcomes）称为样本（Samples）。其全部样本集合构成样本空间 （整集）,其中一个样本或多个有关样本集合构成的子集称为 的事件域,中的每一集合（或样本）称为事件。这样若事件,则 称为事件 的概率。于是以上三个要素实体的结合，构成一个概率空间，表示为,。
2.4.2 随机变量
上面以概率空间 表示了随机实验及其可能结果的概率模型。在实际应用中，
我们希望以更明确的数学表示，来阐明样本空间诸事件（集）的统计特性及其相互关系,兹介入
“随机变量”概念。
现将样本空间 中所有事件（样本）均以某种指定的规则映射 （Mapping）到数轴上，并以指定的实数来表示它们。
如掷硬币，两种可能结果的样本空间为,（,分别表示硬币出现正、反面），映射到数轴上，可由任意指定两个实数作为你的映射规则（称,……）——来表示两个试验结果。为方便计，可用0、1 来表示，即构成一维随机变量,此时它以 =0 及 =1
两种可能的数值表示，即,
=1 （ ）及 =0 （ ）。
如图2-8（a）所示。
它包括了随机变量的2个“取值” （ =0）及 （ =1）；
由此看来，上述,表面上写法类似于“函数”，但它们确不是一个函数，而是变量或变量取值集合。于是，可将随机变量直接用,……来表示，以免与函数混淆。
其实，随机变量在数轴上所表示样本映射的点（可能的取值），仍与样本的概率相对应，
它们都要附带其在样本空间的概率特征,因此赋予一定规则的映射所指的随机变量,……，
尚必须对所有样本映射点（取值）的概率给予明确表示。后面将具体说明。
2.4.3随机变量的统计特征
在数轴的实数值代表的样本空间的样本或实体，它们并非确定数，它们只是 中样本的“数字符号”形式的代表，因此必须与其概率相对应才有真实意义。 全部样本的累积概率——整集的概率为1，即,而随机变量中的部分事件 的概率 是一切不大于某特定取值 的随机变量 的累积概率，其大小随 取值变化，因此称其为概率累积函数或概率分布函数（cdf）可表示为,
且有,
(2-43)
式中,的含义是不包含所有随机变量取值（ 任何取值均有是不存在的）的累积概率为 0；而 则包含 的全部取值所对应的概率之和，即累积之和当然为 1（随机变量完备群概率）。一般地，随机变量值如有,则有,
,
接着的问题是，我们尚需了解随机变量 各取值 的概率质量（离散时）或概率密度（
为连续时），即随机变量 的概率密度（函数）pdf，并以 或 表示。
与 是互为微积分关系,
或
(2-44)
这里 作为“虚假”变量。当具体取值为及 x
1
,x
2
,且,则,
(2-45)
若上式中 =–∞,可设为 的任意值,则,
(2-46)
且有,
(2-47)
2.4.4常用的随机变量类型
1.均匀分布
前面例子已涉及到均匀分布随机变量，即它们的pdf 具有均匀分布特征。
又如，产生一个幅度为,角频为 的正弦波，
<>
，其中若初相非为某种强制设定的量,可看做 是在（0，2π）内均匀分布的随机变量。
2.高斯型分布
在自然界中，很多现象符合“中心极限定理”，它与高斯（正态）分布特征有着密切关系。
一维高斯变量 的pdf 为,
(2-48)
由上式看出,对于一个高斯随机变量,只要已知均值 及方差,就能唯一确定其pdf，
且可简写为,其中当 =0,时的高斯分布，其 pdf为,称其为归一化高斯分布，即,
(2-49)
图 2-11 示出了一维高斯随机变量pdf 和 cdf 曲线。
本章附录中列出了该归一化分布和概率积分函数,
,
在实际应用中，经常需要计算高斯随机变量 在 处的累积概率值，即,
(2-50)
为了查表方便，先进行归一化，即设 可得,
(2-51)
于是通过查阅本章附录的高斯变量概率积分表，可得准确结果。
概率积分函数有以下性质,
(2-52)
在通信系统设计与数字信号误码率分析中，经常利用“误差函数”或“互补误差函数”。
误差函数,
(2-53)
互补误差函数,
(2-54)
且有,
(2-55)
本章附录中列出了误差函数表。同时还列出了当 >>1 时近似式——
的数值。
3.其它类型的概率分布
在通信系统窄带噪声分析中 （本章最后部分）,要用到瑞利 （Rayleigh） 分布和莱斯 （Rice）
分布，以及其它类型如波松（Poison）分布，后者用于信号交换排队分析。
2.5 随机过程
在通信与信息领域中，存在大量的随机信号。例如语声、音乐信号、电视信号，在通信系统中传输的数字码流和介入到系统中的干扰和噪声，均具有各种随机性特点。要分析此类信号与噪声和干扰的内在规律性，只有找出它们的统计特征；另一方面，它们均为时间函数，即它们随机性变化是表现在时间进程中的，可把它们统称为随机过程。
2.5.1 随机过程的概念和定义
定义1,随机过程是同一个实验的随机样本函数的集合,表示为
，其中每个样本函数 均为随机过程 的一个成员，也称为随机过程的一次（试验）实现。
定义2,随机过程是随机变量在时间轴上的拓展。此时可表示为 或者与随机变量表示一样，为避免误视为 的“函数”,而以 表示随机过程。
随机过程是含有随机变量的时间函数。同时，由定义 2，我们也可以说随机过程是在时间进程中处于不同时刻的（多维）随机变量集合。
2.5.2 随机信号的统计特征和平稳随机过程
研究随机过程的统计特征，为便于理解，我们由定义2及上列两个图示，抽出位于不同时间截口的随机变量，它们为,
其中若,即当 0就更为典型。此时由多个时间截口的随机变量构成的随机过程,其分布函数可写为,
或
(2-74)
——表示随机过程 的分布函数，各 与 对应，表示在各不同时间截口 处的随机变量取值为,于是,
(2-75)
其中 为随机过程 的概率密度。
由此看来，像随机变量那样，若利用 的pdf来求解各阶多维统计平均是极为复杂的。
幸好，在通信及日常应用中，解决一、二维统计特征或统计平均就可满足一般要求。并且还常常遇到统计特征可以简化的“平稳随机过程”或“遍历性”平稳过程。
1.一维统计特征
首先我们可在随机过程 任意指定时间截口 来看该随机过程——它将成为该时刻 处的一维随机过程,
它与前面介绍的一维随机变量并无本质区别，只是表明了它处于某具体时刻,由于 是任意给定的，也可以去掉下标 。此时,为参变量，可以说一维随机过程是随机过程在某一时刻的一维随机变量，其分布函数为,
(2-76)
相应的概率密度函数为,
(2-77)
(2-78)
由 可以计算出一维随机过程各统计平均,
（ 1） 均值函数
(2-79)
（ 2） 方差函数
(2-80)
（ 3） 均方值（函数）
由
(2-81)
因此,随机过程 的均方值为,
(2-82)
此结果在数学上的意义：表明随机过程在时刻 的二阶原点距等于二阶中心距与一阶原点距平方之和；在物理方面（电学）来说，随机过程的瞬时统计平均总功率等于该瞬时交流功率与直流功率之和。
2.二维统计平均特征
上述一维统计平均反映随机过程的统计特征是很不充分的，二维统计平均更显得重要。
我们可以在随机过程 中任选两个时间截口 和,将 截取为相距
的两个随机变量,
相应变量取值为
相应变量取值为
这两个不同时刻的联合随机变量，此时就是二维随机过程。其二维统计特征为,
(2-83)
(2-84)
利用在时间截口 和 时的二维pdf，可以求出随机过程 的二维统计平均，诸如自相关函数，自协方差函数，以及归一化协方差函数——自相关系数 。
（ 1） 自相关函数
(2-85)
式中,由于 可作为参变量选值，因此以 来取代 。
（ 2） 自协方差函数
(2-86)
（ 3） 自相关系数
(2-87)
3.平稳随机过程与广义平稳随机过程
定义1,若随机过程 的统计特征与时间原点无关，即,
则称该随机过程为严平稳或狭义平稳随机过程。如此，图2-15及图2-16 的时间原点可以任意移动，其pdf 结果不变。
定义2,若随机过程 能满足一维和二维平稳条件，即,
(2-88)
及
(2-89)
则称该随机过程为宽平稳或广义平稳随机过程。
对于通信系统与其它很多自然现象,往往使用一,二维统计特征足以表明随机过程主要实质，
或能满足基本分析需求，故必须掌握好广义平稳的概念。
在广义平稳条件下，上述诸多统计平均计算可以得到简化,
由一维平稳,
（平稳时）
（常数）
(2-90)
同时有 或 。
由二维平稳,
（平稳时）设
(2-91)
结论,广义平稳的条件是，均值为常数，自相关函数与所选两个时间截口的间隔 有关，而与具体时间位置 无关。这是广义平稳的简单而明确的定义。
同理可得,
是 最大值
(2-92)
(2-93)
取值范围,
(2-94)
4.自相关函数的性质
（1）下面公式,
(2-95)
在电学上的物理意义为：随机信号的总平均功率等于自相关函数当 时的值，即最大自相关值，它等于交流功率与直流功率之和。
（2）下面公式,
，它是偶函数。
(2-96)
2.5.3关于不相关、正交和统计独立的讨论
在随机信号分析中，不相关、正交、统计独立等是非常重要的，这里进一步讨论各自的严格概念和相互关系。
当两个随机过程保持统计独立时，它们必然是不相关的，即,但反过来则不一定成立,即不相关的两个随机过程不一定能保持统计独立,唯有在高斯随机过程中才是例外。
这就是说，从统计角度看，保持统计独立的条件要比不相关还要严格。
另外，在确知信号分析中已知，内积为零可作为两个信号之间正交的定义。对于随机过程来说，除了互协方差函数外，还要求至少其中有一个随机过程的均值等于零，这时两个随机过程才互相正交。因此正交的条件满足了，不相关的条件就自然满足，但是反过来就未必然。可见正交条件要比不相关条件严格些。如果统计独立的条件能满足，则正交条件也自然满足，但反过来也不一定成立。因此统计独立的条件最严格。
1.统计独立必不相关
两随机变量或者两个随机过程，若它们的互相关或互相关函数等于两者均值之积；或者协方差和相关系数都等于 0，则它们之间不相关。三个条件实质相同。
统计独立比不相关含义更严格，前者表明一个随机变量的任一取值的变化都不会引起另一个变量的任何取值的变化；而不相关则是统计平均意义下相互无影响，即间或存在的相互影响，
经集合平均后显示不出来，宏观影响为0。
但是这一结论对于两个高斯变量或过程却是一例外。
2.不相关与正交关系
在通信系统中，总是力图按不相关或正交关系来设计在同一信道随机发送的二元或多元信号。
对于多数通信信号以及噪声来说，基本上均值都为 0，于是在实际应用中，不相关与正交没有本质区别。
第 3 章 模拟传输系统
知识点
(1) 调制的概念与分类；
(2) 以 DSB 与 SSB 为重点的线性调制系统数学模型；
(3) 线性调制解调信噪比与性能分析；
(4) 调频、调相及相互关系；
(5) 窄带调角和宽带 FM 的构成、参量与关系；
(6) 调角系统解调及抗噪声性能分析。
知识点层次
(1) 掌握线性调制定义和 AM、DSB、SSB 的系统模型，分析 VSB 实施方法；
(2) 掌握相干解调及性能分析方法，尤其是 DSB 与 SSB 性能比较；
(3) 掌握 FM 宽带、窄带表 示式与频谱特征、各种参量关系；
(4) 理解相干（窄带 FM）和非相干（WBFW）解调，掌握性能特征；
(5) 掌握典型例题与简答、填空内容。
虽然现在已经进入了数字通信时代，大部分模拟调制或模拟通信技术也已被淘汰，但是在学习数字通信之前，首先系统地了解模拟调制系统技术原理，可以在通信系统基本构成和分析方法上，为进一步学习现代通信原理奠定良好的理论基础。
3.1 调制的功能和分类
3.1.1 调制功能
调制之所以在通信中占据重要地位与作用，是由于在很多通信系统中，调制体现了不可替代的特殊功能。
1．频谱变换
为了信息有效与可靠传输，利用指定的信息类型，往往需要将低频信号的基带频谱搬移到适当的或指定的频段。例如，音频信号或基带数字代码进行直接传输，因较大的损耗不适于长距离传送，如果利用无线信道或分配的频段实施通信，都需要基带频谱通过某种调制方式搬移到高频波段。这样可以提高传输性能，以较小的发送功率与较短的天线来辐射电磁波。如果天线高度为辐射信号波长的四分之一，更便于发挥天线的辐射能力。于是分配民用广播的频段为 535~1605
KHz（中频段），对应波长为 187~560 m,天线需要几十米到上百米 ；而移动通信手机天线只不过 10cm，它使用了900 MHz 频段。这 些广播与移动通信都必须进行某种调 制，而将话音或编码基带频谱搬移到应用频段。
2．实现信道复用
为了使多个用户的信号共同利用同一个有较大带宽的信道，可以采用各种复用技术，在第1
章已作过初步介绍。如模拟电话长途传输是通过利用不同频率的载波进行调制。将各用户话音每隔 4 kHz 搬移到高频段进行传输，这种载波电话系统采用的是频率复用。如将基带话音进行数字化——脉冲编码调制（PCM），30个用户数字话音可由时间复用而利用同一条基带信道。
3,提高抗干扰能力
不同的调制方式，在提高传输的有效性和可靠性方面各有优势。如调频广播系统，它采用的频率调制技术，付出多倍带宽的代价，由于抗干扰性能强，其音质比只占10 kHz带宽的调幅广播要好得多。作为提高可靠性的一个典型系统是扩频通信，它是以大大扩展信号传输带宽，以达到有效抗拒外部干扰和短波信道多径衰落的特殊调制方式。
以上概括的几项调制功能，将在以下各章节中均要进行具体介绍与分析，更可加深对调制技术在通信中重要地位与作用的认识。
3.1.2 调制的分类
大部分调制系统，通常是将待发送的信号和某种载波信号进行有机结合，产生宜传送的已调信号，调制器可视为一个六端网络，其中一个端对，输入待传送的含有信息的信号——调制信号
)(tm
，另一端对输入载波
)(tc
，输出端对为已调波
)(ts
，使载波的某一、二个参量成比例地受控于调制信号的变化规律（图3-1）。
根据
)(tm
和
)(tc
的不同类型和完成调制功能的调制器传递函数不同，调制分为以下多种方式,
1．按调制信号
)(tm
的类型分为,
（1）模拟调制
调制信号
)(tm
是连续变化的模拟量，如话音与图像信号。
（2） 数字调制
调制信号是数字化编码符号或脉冲编码波形。
2．按载波信号
)(tc
的类型分,
（1）连续波调制
载波信号为连续波形，通常以正弦波作为载波。
（2）脉冲调制
载波信号是脉冲波形序列。
3,按调制器的不同功能分,
（1） 幅度调制
以调制信号去控制载波的幅度变化，如模拟调幅，脉冲幅度调制（PAM），幅移键控（ASK）。
（2） 频率调制
以调制信号去控制载波信号的频率变化，如模拟调频（FM），频移键控（FSK），脉宽调制
（PDM）。
（3）相位调制
以调制信号去控制载波信号的相位变化，如模拟调相（PM），相移键控（PSK），脉位调制
（PPM）。
4,按调制器的传输函数分,
（1）线性调制
已调信号的频谱与调制信号频谱是线性的频谱位移关系。 如各种幅度调制,幅移键控 （ASK） 。
（2）非线性调制
已调信号的频谱与调制信号频谱没有线性关系,即调制后派生出大量不同于调制信号的新的频率成份。如调频（FM），调相（PM），频移键控（FSK）。
以上复杂的分类，在实际调制系统中可能从不同角度，一种调制就涉及到以上几种分类。
本书下面各章节将系统介绍模拟调制（包括线性与非线性模拟调制）、脉冲编码调制（模拟信号数字化）、数字信号频带调制以及扩频调制等。
本章开始先介绍模拟调制，它是以正弦信号作为载波
)(tc
，由调制信号
)(tm
分别以正比关系控制其载波幅度和角度，来实现调幅（系列）、调频（ FM）和调相（ PM），即，载波
)cos()(cos)(
000
ω +=Ψ= tAtAtc
，当它的幅度、角度和相位分别受控于
)(tm
时，就产生不同调制方式的已调波
)(ts
。
3.2 调幅与双边带调制（AM,DSB）
在线性调制系列中，最先应用的一种幅度调制是全调幅或常规调幅，简称为调幅（AM）。不但在频域中已调波频谱是基带调制信号频谱的线性位移，而且在时域中，已调波包络与调制信号波形呈线性关系。
3.2.1 调幅波时域波形
调幅波的数学表达式为,
== )()()( tctmts
)cos()()cos(
00000
θωθω +++ ttftA
（3-1）
式中，
0
A
——调制信号
)(tm
的直流分量
)(tf
——调制信号的交流分量
这里利用的载波为单位幅度、角频为固定值
0
ω
，
0
θ
为载波
)(tc
的初相。
由式（3-1），调幅是对
)(tm
与
)(tc
进行乘法运算的结果，为了使图 3-3（a）所示交流信号
)(tf
实现线性地控制载波幅度，需加入直流分量而构成
)(tm
，以确保
0)( ≥tm
，即,
0
max
)( Atf ≤
(3-2)
于是，已调波
)(
AM
ts
的包络完全处于时轴上方，如图 3-3（b）所示。
为分析方便，我们先设交流调制信号
)(tf
为单音信号，即
)cos()(
mmm
θω += tAtf
,由式
（3-1）可得已调波为,
=+++= )cos()]cos([)(
00mmm0AM
θωθω ttAAts
（3-3）
)cos()cos()cos(
00mmm000
θωθωθω ++++ ttAtA
t
A
t
A
tAts )cos(
2
)cos(
2
)cos()(
m0
m
m0
m
00AM
ωωωωω?+++=
（3-4）
由式（3-2）的限制条件，为避免产生“过调幅”而导致严重失真，兹定义一个重要参数,
1
0
m
AM
≤=
A
A
β
（3-5）
称
AM
β
为调幅指数，或调幅深度。为了充分保证不过调，一般
AM
β
不超过 80%。
我们将
AM
β
代入到式（3-3）和（3-4），则有,
)cos()]cos(1[)(
00mmAM0AM
θωθωβ +++= ttAts
（3-6）
或,
t
A
t
A
tAts
m
AM
m
AM
AM
)cos(
2
)cos(
2
)cos()(
0
0
0
0
00
ωω
β
ωω
β
ω?+++=
（3-7）
3.2.2 调幅波的频谱
由公式,
)cos()()cos()(
00000AM
θωθω +++= ttftAts
可以直接进行傅立叶变换，得到它的频谱为,
2
e
)]()(π2[
2
e
)]()(π2[)(
00
j
000
j
000AM
θθ
ωωωωδωωωωδω?+?++++=
FAFAS
（3-8）
式中
)(ωF
为
)(tf
的频谱，即
)()( ωFtf?
，是任意调制信号的时－频变换对。
图3-5 示出了与图 3-3 AM时域波形相对应的 频谱（幅度谱）。
AM已调波频谱构成特征为,
（1）双边带——以载波角频
0
ω
为中心的上边带（USB）和下边带（LSB）。均含有调制信号
（交流）的信息，且在调制后将基带带宽
m
ω
扩展为
m
2ω
。
（2）载波频谱（谱线）——位于
0
ω
频点，是已调波式（3-3）中载波贡献的频谱。在单音
（余弦）调幅时，已调波式（3-6）或（3-7）的频谱，是由载频谱线及上下边频所构成，即,
]e)(e)([π)(
00
j
0
j
00AM
θθ
ωωδωωδω?++=
AS
0
jj
m0
j
m00AM
]e)(e)([
2
π
θθθ
ωωωδωωωδβ

+++++ eA
mm
0
jj
m0
j
m00AM
e]e)(e)([
2
π
θθθ
ωωωδωωωδβ
mm
A++?+
（3-9）
3.2.3 调幅信号的功率分配
调幅波的平均功率，可通过计算
)(
AM
ts
的均方值求得，为,
∫
∞→
==
2
2
2
AM
__________
2
AMAM
d)(
1
lim)(
T
T
T
tts
T
tsP
（3-10）
由式（3-1）可得,
2
)(
2
_______
2
2
0
AM
tfA
P +=
（3-11）
其中第一项是载波功率，第二项是双边带功率，即,
2
2
0
C
A
P =
,
2
)(
_______
2
tf
P
f
=
两项成份中，
f
P
是含有调制信号的功率，即传送的有效信息的功率，而
C
P
这一载波功率只是为了确保无过调失真，而付出的不含任何信息的功率。因此就存在一个发送信号功率利用率问题，以含有信息的双边带功率与总平均功率之比来表示，称为调制效率，即,
_______
22
0
_______
2
AM
AM
)(
)(
tfA
tf
P
P
f
+
==η
（3-12）
一般地，
AM
η
不会超过 30%，如上述单音调幅，在满足不过调条件下，则单音调制效率为,
AM
2
AM
2
22
0
2
m
2
m
2
0
2
m
AM
222
2
β
β
η
+
=
+
=
+
=
m
AA
A
AA
A
（3-13）
由此结果看,即使取最大调幅度,即令
1AM =β
,效率只有
31
,一般地
AMβ
取用0.3~0.8，
AM
η
只有不足 10%左右，至多25％。当然不含信息的载波消耗
32
以上的发送功率，是极不合理的。
但是，之所以付出这么大功率的载波与双边带一起发送，目的就在于实现调幅波包络与调制信号
)(tf
呈线性关系。若用于民用广播通信，一个电台由几十万、上百万瓦的功率发射，却可以使千千万万的收听者能用简单的包络检波收到广播信号,收音机成本降低的社会效益却是很可观的。
3.2.4 双边带调幅（DSB）
除上述民用广播利用AM 以外，多数线性调制的应用则可以抑制载波，此时，称为抑制载波双边带（SC-DSB），或称为双边带（DSB）。
可将 AM调幅波简单地使载波项为0，即
0
0
=A
就得到双边带信号,
)cos()()(
00DSB
θω += ttfts
（3-14）
式中
)(tf
为不含直流的调制信号（下同）。
DSB 波形的频谱为,
00
j
0
j
0DSB
e)(
2
1
e)(
2
1
)(
θθ
ωωωωω?++=
FFS
（3-15）
其中首末两项分别为负频域和正频域频谱构成的双边频谱，切莫误为各为上下边带。
显然，DSB 信号的功率利用率，即调制效率为100%，图3-7示出了DSB 时 －频域图形和数学模型。
利用平衡调制器（环路调制器）很易实现DSB。如图3-8所示的电路，采用了两对耦合线圈和4 只性能相同的二极管构成平衡桥电路。当有调制信号和载波同时输入后，则输出为不含载波的DSB信号。当电路平衡度不够理想时，会产生少量“载漏”，但可以利用接收 DSB 信号中的
“载漏”来提取相干接收的本地（相干）载波，后面将要讨论。
3.3 单边带（SSB）与残留边带调制（VSB）
3.3.1 SSB信号的产生
1,滤波法产生 SSB 信号
由于 DSB 信号的上下边带含有相同的传输信息，为了节省一倍带宽，即传输带宽由双边带的
m
2 f
而去掉一个边带，这就是单边带（SSB）。节省带宽与发送功率是 SSB 的一大优点。 SSB
调幅,可在双边带基础上利用边带滤波器实现。 利用低通滤波器 （ LPF） 可取用下边带 （ SSB-LSB）,
欲取用上边带（ SSB-USB），则需采用高通滤波器（ HPF）。但是实际滤波器都不是理想特性，
而具有一定的过渡带。幸好有些信号低频分量不多，如话音信号频谱范围在 300~3400Hz，如果载频
0
f
不太高，对话音 DSB 频谱要抑制掉一个边带，因上下边带距载频
0
f
各有 300Hz 空隙，
如图 3-9 所示，在 600Hz 过渡带与不太高的载频情况下，实际滤波器可以较为准确的实现 SSB
（图为 SSB-USB）。传统的载波电话就采用了这种实现 SSB 的方式。
2,相移法产生 SSB 信号
下面以取下边带来讨论 SSB 的形成过程，假定调制信号
)(tf
是视频信号，由于动态图像的直流与低频分量非常丰富，只能由理想低通滤波器可以得到无失真的下边带。
理想 LPF传递函数为,
=
0
1
)(
SSB
ωH
0
0
ωω
ωω
>
≤
（3-16）
下边带信号频谱是该LPF 传递函数与 DSB 频谱的乘积,
=?= )()()(
SSBDSBSSB
ωωω HSS
)()]()([
2
1
SSB00
ωωωωω HFF?++
（3-17）
为了方便起见，均设载波初相
0
0
=θ
。
然后，分析 SSB 时域特征。对式（3-17）频谱
)(
SSB
ωS
进行傅立叶反变换，可得,
=?= )(Sa
π
]cos)([)(
0
0
0SSB
tttfts ω
ω
ω
t
t
ttf
π
sin
cos)(
0
0
ω
ω?
（3-18）
式中傅立叶变换对
)()2/(rect)(Sa
π
SSB00
0
ωωωω
ω
Ht =?
是利用傅立叶变换的互易性质得出的。
我们将式（3-18）写为数学卷积表达式，即,
τ
τ
τω
τωτ d]
)(π
)(sin
[cos)()(
0
0SSB
=
∫
∞
∞?
t
t
fts
（3-19）
利用三角函数关系式,
)]sin()[sin(
2
1
cossin βαβαβα ++?=
βαβαβα sincoscossin)sin(?=?
上式可表示为,
]d2cos
)(
π
1
d
)(
π
1
[sin
2
1
)(
00SSB
ττω
τ
τ
τ
τ
τ
ω
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+
=
t
f
t
f
tts
]d2sin
)(
π
1
[cos
2
1
00
ττω
τ
τ
ω
∫
∞
∞?
t
f
t
（3-20）
式中,
)(
π
1
)(d
)(
π
1
tf
t
tf
t
f
=?=
∫
∞
∞?
τ
τ
τ
（3-21）
这是上一章信号分析中已经介绍过的希氏变换数学式。
同样，式中
t
ttf
t
f
π
1
]2cos)([d2cos
)(
π
1
00
=
∫
∞
∞?
ωττω
τ
τ
,
及
t
ttf
t
f
π
1
]2sin)([d2sin
)(
π
1
00
=
∫
∞
∞?
ωττω
τ
τ
。
可以证明，这两项的希氏变换结果为,
ttf
t
ttfttfH
000
2sin)(
π
1
2cos)(]2cos)([ ωωω =?=
ttf
t
ttfttfH
000
2cos)(
π
1
2sin)(]2sin)([ ωωω?=?=
将上关系式代入式（3-20），可得,
=++= ]2coscos2sin)[sin(
2
1
sin)(
2
1
)(
00000SSB
tttttfttfts ωωωωω
ttfttf
00
cos)(
2
1
sin)(
2
1
ωω +
或,
ttfttfts
00SSB
sin)(
2
1
cos)(
2
1
)( ωω +=
（3-22）
这就是理想单边带下边带的时域表示式。
同理，我们利用高通理想滤波器（HPF），可以得出理想上边带时域式为,
ttfttfts
00SSB
sin)(
2
1
cos)(
2
1
)( ωω?=
（3-23）
于是单边带通式为（为了与DSB比较，去掉上面推导中的
2
1
系数）,
ttfttfts
00SSB
sin)(
cos)()( ωω μ=
（3-24）
式中“＋”号——下边带；“－”号是上边带。
由SSB 时域式，可给出数学模型框图 3-10，图中
)(
h
ωH
为希氏滤波器传递函数。
利用上述理想数学模型产生的SSB 信号，包含了希氏变换过程。我们已经明确，希氏频谱是将原信号频谱每个频率成份一律相移
2π
的结果。因此称此种理想SSB 为相移法产生的 SSB 信号。
最后，我们再分析一下 SSB 表示式（3-26）和数学模型 图 3-10。表示式包括两项：第一项是 DSB 双边带，第二项中的两个因子均由第一项两个因子分别希氏变换得到的。而且第二项的作用是用于抵消掉 DSB 的一个边带。 下面 （例 3－1） 中图 3-11 给出了由这两项频谱的组合得到 SSB
频谱的过程。
按照相移法实现 SSB 调制，只是一种理想情况，其中理想低通与高通滤波器都是非因果、
不可实现的。对于多数信号，如图像一类信号，实现 SSB 只好采用折衷方法，由下面介绍的残留边带（ VSB）加以解决。
3.3.2 残留边带调幅（VSB）
由于对多数基带调制信号的 DSB 频谱，很难准确保留一个单边带来实现 SSB 传输。在实际应用中，往往利用折衷方案—— VSB（残留边带），其数学模型如图 3-12 所示。基本思想是为最大限度保留一个边带，但由于实际滤波器的过渡响应，只好或多或少地残留另一个边带。我们仍以较为典型的图像一类信号为例来讨论实现 VSB 的方法。为便于分析，假设基带调制信号频谱为矩形，由其 DSB 信号进行“残留”滤波后，所得的 VSB 下边带如图 3-13 所示。
其构成特点是以载波
0
ω
为中心，在频谱幅度
21
，即坐标为（
0
ω±
，
21
）处，使边带滤波器的过渡带呈,互补对称滚降” 特性。 这样可达到残留部分与保留边带中的损失部分对 （
0
ω±
，
21
）点是奇对称（中心对称）关系。具有互补对称滚降特性的残留边带滤波器传递函数如图
3-14 所示。它与理想低通边带滤波特性
)(
SSB
ωH
相比，其失真部分为
)(
d
ωH
。
即,
)()()(
dSSBVSB
ωωω HHH +=
（3-25）
从图中看到这种 VSB 滤波特性与理想边带滤波特性之差别
)(
d
ωH
，具有上述互补对称性，
横轴上部频谱部分为残留边带，横轴下部正是要取用的保留边带中的失真部分。二者的互补关系在下面相干解调时——将VSB 频谱向回搬移
0
ω
再取低通，其结果就是如图3-15 恢复（解调）的频谱。在（0，
21
）点下方的重叠部分，却能正好弥补了中点之上的对称欠缺部分，而毫无失真。这就是互补对称可实现无失真边带滤波特性的优势所在。不过由于残留滚降而超出单边带的部分
α
ω
，使信号带宽有所增加，这个量用滚降系数
α
表示，即滚降部分与基带信号相同的理想
SSB 带宽之比,
m
ω
ω
α
α
=
（3-26）
α
取值范围为
10 ≤<α
，一般不小于 0.2。
从数学分析证明VSB 的可实现性，以及如何推导出 VSB 信号准确表示式，这里不再列出（见本书参考资料 1）。现直接给出VSB 信号数学表示式,
ttfttfts
00VSB
sin)(
~
cos)()( ωω μ=
（3-27）
式中
)(
~
tf
——适于形成 VSB 调制信号
)(tf
的特殊正交变换，图 3-16 为 VSB 信号数学模型。图中
)(ω
α
H
表示这种正交滤波特性。
3.4 线性调制系统模型
上面介绍与分析了几种线性调制的构成及数学模型。 本节拟首先归纳出整个线性调制的通用模型，然后考虑它们的解调过程及数学模型。
3.4.1 线性调制的通用模型
从线性调制包括的4 种调幅方式来看，可以归纳出一个通用性数学模型。
首先从相移法产生 SSB的调制系统构成和数学模型看，式（3-24）SSB 信号表示式可写为,
ttsttsts
0Q0ISSB
sin)(cos)()( ωω μ=
（3-28）
式中,
设
)()(
I
tstf =
SSB信号同相分量
)()(
Q
tstf =
SSB 信号正交分量
SSB 是由调制信号的同相分量与正交分量分别提供互为正交的载波而构成，因此在数学模型中，它有同相与正交两个支路。
若为 DSB信号，则,
ttsts
0I
cos)()( ω=
相当于式（3-28）中的正交支路不存在。
如果是AM 信号，则在基本信号
)(tf
先增加一个直流量，即
0I
)()( Atfts +=
，它也没有正交项。
对于 VSB来说，虽然比 SSB 还要复杂，但只是正交分量
)(
~
)(
Q
tfts =
，是
)(tf
经过特殊的正交滤波器产生的，而 SSB信号中
)(
)(
Q
tfts =
，是
)(tf
通过希氏变换，即希氏（正交）滤波器产生的。因此式（3-28）是线性调制通用的信号表示式，为,
ttsttsts
0Q0I
sin)(cos)()( ωω μ=
（3-29）
图中同相滤波器实际不存在，即
1)(
I
=ωH
（全通）。
正交滤波特性为
)(
Q
ωH
只有SSB 与VSB 采用，而存在正交支路，两者的
)(
Q
ωH
本质皆为正交滤波。其中 SSB 信号用
)(
h
ωH
，只是宽带相移特性，幅度无变化，而VSB 的正交滤波特性
)(ω
α
H
，除了正交相移外，信号通过后的幅度也有一特定变化。
兹列出线性调制信号比较表，如表3-1 示。
表 3-1 线性调制系统中的信号
分类 时间表示式 频谱表示式 带 宽
AM
ttfA
00
cos)]([ ω+
)]()([
2
1
)]()([π
00
00
ωωωω
ωωδωωδ
++?+
++?
FF
m
2ω
DSB
ttf
0
cos)( ω
)]()([
2
1
00
ωωωω ++? FF
m
2ω
SSB
ttfttf
00
sin)(
cos)( ωω μ
)](
)(
[
2
1
j
)]()([
2
1
00
00
ωωωω
ωωωω
+
++?
FF
FF
μ
m
ω
VSB
ttfttf
00
sin)(
~
cos)( ωω μ
)](
~
)(
~
[
2
1
j
)]()([
2
1
00
00
ωωωω
ωωωω
+
++?
FF
FF
μ
mm
2ωω << B
一般
ttstts
Q 00I
sin)(cos)( ωω μ
)]()([
2
1
j
)]()([
2
1
0Q0Q
0I0I
ωωωω
ωωωω
+
++?
SS
SS
μ
mm
2ωω ≤≤ B
3.4.2 相干解调
由线性调制的通用性调制模型产生的信号，通过信道传输后进行接收解调，解调的方式分相干解调与非相干解调（包络检测）后者只适于AM 信号。并也存在通用解调模型。
1.相干解调通用模型
所谓相干解调是为了从接收的已调信号中，恢复出原发送的基带信号（即调制信号），需要通过传输系统的同步机制,由接收端提供一个与接收的已调载波严格同步,即同频,同相的,本地载波”，称为相干载波
)(
d
tc
，它与接收信号相乘后取低通分量，可以得到原始的调制信号，
如图3-19 所示的相干解调模型。相干解调步骤如下,
（1）
)sin()()cos()()(
0Q0I
θωθω ++= ttsttsts μ
(接收输入信号)
（2）
)cos()sin()()(cos)()()()(
00Q0
2
Idp
θωθωθω +++=?= tttsttstctsts μ
（3）
)(
2
1
|)()(
ILPFpd
tststs ==
（3-30）或
)(
2
1
)(
d
tfts =
（解调输出信号） （3-31）
式中
)(ts
与
)(
d
tc
含有相同的相位
θ
，发送信号
)(ts
经传输后到接收端时的相位为随机值，
θ
不可忽略；另外低通滤波器 LPF 截频应等于或稍大于调制信号
)(tf
。
由解调过程与结果示出，对于DSB，SSB和VSB相干解调得到相同结果，均准确恢复了原信号
)(tf
。
但对 AM信号相干解调结果似乎应为
)]([
2
1
)(
0d
tfAts +=
，即含有直流分量
0
A
，其实，在相干载波与接收信号相乘后的
)(
p
ts
经
过低通滤波器，加上一简单隔直电容，就自然隔去了无用的直流。所以式（3-30）、（3-31）是线性调制相干解调的通用结论。
通过上述相干解调，我们得到一个重要结论：线性调制信号的相干解调，皆从已调信号的同相分量提取（恢复）原信号。图3-20与 3-21分别示出了 DSB和 SSB信号相干解调的频谱搬移与所恢复的原信号频谱。图中虚线方框为LPF 理想传递特性，解调输出信号频谱。
即,
)(
2
1
)(
d
ωω FS =
（3-32）
2．相干解调的同步误差
在相干解调系统中，我们提出了对相干载波与接收已调载波严格同频、同相的前提条件。但是，由于系统同步不够准确，提供的“相干”载波可能与接收信号有一定误差，包括正负频率误差
ε
ωΔ±
和相位误差
ε
θΔ±
，这样“相干”结果就不再维持准确关系,
)(
2
1
)(
d
ωω FS =
假定同时存在
ε
ωΔ
与
ε
θΔ
两种误差，即本地载波为
)]()cos[()(
0d εε
θθωω Δ++Δ+= ttc
，与接收信号
)(ts
相乘后再取LPF，得到的结果为,
)]sin()()cos()([
2
1
)(
QId εεεε
θωθω Δ+Δ±Δ+Δ= ttsttsts
（3-33）
从结果看出，由于存在同步误差，不但应当恢复的同相分量信号在频率上与相位上均产生失真，而且尚包括正交项造成的正交失真。因此在实际线性调制系统中，应当将同步误差限制到最小，如长途电话载波系统，限制频率失步不大于20Hz，相位偏差不超过15
o
。
下面再例举一种极端的情况。
SSB 信号接收，假定
0=Δ
ε
ω
，但存在很大相位误差，如：
2π=
ε
θ
，则解调输出信号为,
]sin)(
cos)([
2
1
)(
d εε
θθ Δ±Δ= tftfts
即,
]
2
π
sin)(
2
π
cos)([
2
1
)(
d
tftfts ±=
)(
2
1
tf±=
式中“+”表示接收SSB 的上边带，“-”表示下边带。
3．非相干（包络）解调
既然 AM信号中含有一个大功率载波分量,而能使时间轴上方具有与调制信号
)(tf
成正比关系的完整包络，因此除了它可以利用相干解调外，更主要的几乎无例外地采用包络检测方式接收信号。
利用适当 RC时间常数的检波电路（LED）进行包络解调很容易，输出为,
0d
)()( Atfts +=
（3-34）
绝对值号表示包络的含义，如果 AM信号担保前提条件，即
max
0
)(tfA ≥
，则,
)()(
0d
tfAts +=
（3-35）
隔去直流后就得到原信号
)(tf
。
由于 DSB，SSB 与 VSB 的信号中均抑 制了载波，因此若利用包络解调就不 可能提取出原信号。
4．载波插入法包络解调
如果能用简单方法提供一个与接收已调信号同步的相干载波（如上面提到的环形平衡调幅器，当桥电路不够平衡时输出信号含有的载漏），不用与接收信号相乘，而是相加，则得,
=++= )cos()()(
0da
θω tAtsts
=+++ )sin()()cos(])([
0Q0dI
θωθω ttstAts μ
)](cos[)(
0
tttA?ω ±
（3-36）
此时相加结果
)(
a
ts
的包络为
)(tA
，即,
)(])([)(
2
Q
2
dI
tsAtstA ++=
（3-37）
若插入载波
)cos(
0d
θω +tA
的幅度
d
A
足够大，即
)(
Qd
tsA >>
。
则,
dI
)()( AtstA +≈
（3-38）
去掉直流
d
A
，可得,
)()()(
Id
tftsts =≈
（3-39）
这表明利用这种插入载波也可近似恢复各种线性调制的原信号。
3.5 线性调制系统的噪声性能分析
上面介绍调制原理时，我们只考虑了信号本身的变换过程与解调结果。在传输过程中，信号总会受到如上一章讨论的高斯热噪声加性影响。我们需要针对几种调制方式，来具体分析它们的抗噪声能力。它与调制方式和解调方式均有密切关系。
在解调器输入端的混合波形为,
)()()(
ii
tntstx +=
（3-40）
式（3-40）中的加性窄带噪声为,
=?= ttnttntn
0Q0Ii
sin)(cos)()( ωω
)](cos[)(
0
ttt?ωρ +
（3-41）
利用窄带高斯噪声的特征，输入噪声功率为,
________
2
Q
________
2
I
_______
2
i
)()()( tntntn ==
或
i
2
Q
2
I
2
n
N=== σσσ
我们所指的抗噪声性能分析，就是已调信号在信道中传输假定只有窄带噪声加性干扰，而无任何其它失真，可以计算出接收输入端的功率信噪比
ii
NS
及相应输出信噪比
oo
NS
，并计算信噪比得益
ii
oo
NS
NS
G =
，依此来评价线性调制系统各种调幅及解调方式的性
能，并进行比较。
1.输入信噪比
ii
NS
计算
])()([
2
1
)]sin()([)]cos()([)(
________
2
Q
________
2
I
___________________________
2
0Q
___________________________
2
0I
________
2
i
tststtsttstsS +=+++== θωθω
BntnN
0
_______
2
ii
)( ==
s
在同样信道噪声
0
n
条件下，
i
N
决定于传输带宽
B
。
其中
________
2
Q
________
2
I
)()( tsts =
，如
)(
)(
2
_______
2
tftf =
。
2
0
n
——高斯白（热）噪声在接收输入端的双边功率谱密度（
HzW
）。
在计算时，我们姑且将 VSB 近似等同于SSB。
B
——已调信号传输带宽，如
mAMDSB
2 fBB ==
，
mSSB
fB =
，
mVSB
_
~
fB
。
4 种线性调制的
ii
NS
分别为,
m0
_______
2
2
0
AM
i
i
4
)(
)(
fn
tfA
N
S +
=
（3-42）
m0
_______
2
DSB
i
i
4
)(
)(
fn
tf
N
S
=
（3-43）
m0
_______
2
VSB
SSB
i
i
)(
)(
fn
tf
N
S
=
（3-44）
2.输出信噪比
oo
NS
计算
由
)(
2
1
)(
2
1
)(
Id
tftsts ==
，输出信号功率通式为
_______
2
o
)(
4
1
tfS =
。
至于输出噪声功率
o
N
的计算，我们应先求输出噪声
)(
d
tn
。前面式（3-30）只考虑了信号的相干解调。现考虑（3-40）混合信号
)(tx
与本地相干载波相乘取低通的结果，可得,
=+= )()]()([)(
diip
tctntstx
)cos()sin()]()([)(cos)]()([
00QQ0
2
II
θωθωθω ++++++ tttntsttnts
（3-45）
输出混合信号
)(
d
ty
等于
)(
p
tx
通过基带滤波器LPF 的结果，即,
)(
2
1
)(
2
1
|)()(
IILPFpd
tntstxty +==
（3-46）
或,
)()()()()(
2
1
2
1
tntftntSty
Iddd
+=+=
（3-47）
因此在输出的混合信号中,
信号功率,
________
2
________
2
Io
)(
4
1
)(
4
1
tftsS ==
噪声功率,
i
________
2
Io
4
1
)(
4
1
NtnN ==
（3-48）
这表明
o
N
是相应输入噪声功率
i
N
的
4
1
，如
m0iDSBoDSB
2
1
4
1
fnNN ==
，
mSSB
fnN
0,o
4
1
=
。
于是，相干解调输出信噪比通式为,
i
_______
2
o
o
)(
N
tf
N
S
=
（3-49）
可计算出相干解调的各个输出信噪比
o
o
N
S
如下,
m0
2
DSB
AM
o
o
2
)(
)(
fn
tf
N
S
=
（3-50）
m0
2
VSB
SSB
o
o
)(
)(
fn
tf
N
S
=
（3-51）
3.信噪比得益 G 与比较
由上面分别计算出的
ii
NS
和
oo
NS
，可以得出相干解调时的各种调幅方式的信噪比得益。
1
)(
)(2
2
0
2
AM
<
+
=
tfA
tf
G
（3-52）
2
4)(
2)(
m0
2
m0
2
DSB
==
fntf
fntf
G
（3-53）
1
)(
)(
m0
2
m0
2
VSB
SSB
==
fntf
fntf
G
（3-54）
这里对AM 来说，虽然输出信噪比无得改善，反而恶化，即
1
AM
<G
。但是，实际上它是包括已调波中载波分量来计算的,在接收输出后,总是通过隔直而滤除直流
0
A
。 因此,以
1<
AM
G
的计算仅是逻辑上的形式。
以上各计算结果，均列于表3-2，以便比较。
表 3-2 线性调制系统性能表
调制类型
调制
方式
接收输入信噪比
i
i
N
S
解调输出信噪比
o
o
N
S
信噪比得益
G
AM
m0
_______
22
0
AM
i
i
4
)(
)(
fn
tfA
N
S +
=
3
2
)(
)(2
2
0
2
≤
+
=
tfA
tf
G
AM
（即小于
0dB）
DSB
m0
_______
2
DSB
i
i
4
)(
)(
fn
tf
N
S
=
m0
2
DSB
AM
o
o
2
)(
)(
fn
tf
N
S
=
2
4)(
2)(
m0
2
m0
2
DSB
==
fntf
fntf
G
（即 3 dB）
SSB
VSB
相干解调
m0
_______
2
VSB
SSB
i
i
)(
)(
fn
tf
N
S
=
m0
2
VSB
SSB
)(
)(
fn
tf
N
S
o
o
=
1
)(
)(
m0
2
m0
2
VSB
SSB
==
fntf
fntf
G
（即0 dB）
大信噪比输入
AM
o
o
)(
N
S
同上
同上
1
AM
<G
。
AM
包络解调
同上
AM
i
i
)(
N
S
小信噪比输入
AM
2
i
i
AM
o
o
)()(
N
S
N
S
无法正常工作。
0
n
相同条件下，若
DSB
o
o
SSB
o
o
)()(
N
S
N
S
=
，则需发送功率
DSBSSB
PP =
，即调制信号功率
SSB
_______
2
DSB
2
)(2)( tftf =
，因此 DSB 的调制信号功率应是 SSB2 倍。
从表 3-2看出，在同样条件下，SSB相干解调信噪比没有得益，
G
=1，即 0dB；而 DSB 却为
G
=2（倍），3dB 得益，那么如何比较二者的抗噪声性能呢？是否 DSB为优？尚不能下此结论。
通过比较 DSB与 SSB 各自输入、输出信噪比，看来，
G
的大小只是各自经过相干解调后的本身信噪比的改善程度，并不说明SSB与 DSB 谁为优或劣。由于SSB 信号功率计算上，因它有正交项，在同样调制信号时，
i
S
大一倍，同时 SSB 带宽少一倍，
i
N
又少一倍。于是二者
ii
NS
相差4 倍。只是 DSB 在相干解调后得到了优惠（
G
=2），但仍不抵 SSB的
oo
NS
大。
信噪比得益
G
的不同，可以从图（3-20）与（图3-21）解调时的频谱搬移结果来比较，DSB
的已调频谱式 （3-15）
)]()([
2
1
)(
00DSB
ωωωωω?++= FFS
,在相干解调后是两个
)(
4
1
ωF
的迭加后得
)(
2
1
)(
d
ωω FS =
，幅度频谱的迭加为2 倍关
系,则对应的解调信号功率则为优惠4倍。 而SSB则不然,由于是单边带,相干解调后是如图 （3-21）
中正负频域I和 II单边带解调后的拼合,因此没有任何优惠。 由图3-24 噪声功率谱的搬移,DSB
是2 倍优惠，SSB则拼合。
SSB与 DSB 性能比较的结论为,
（ 1） SSB节省1 倍带宽，同时介入的噪声功率
BnN
0i
=
，也比 DSB 小1 倍。
（ 2） 在相同解调信号
)(tf
时，已调信号功率,SSB 较 DSB 大 1 倍。
（ 3） 在上两条前提下，
ii
NS
两者有 4 倍之差，而输出信噪比 SSB 仍比 DSB 大 1 倍，
虽然相干解调带来了
G
=2 的优惠。
因此说,SSB 较 DSB 性能为佳,SSB 得到普遍应用。鉴于大多数应用只能以折衷方式——
VSB 来近似 SSB，在表 3-2 中把它列为与 SSB 近似相同的性能指标。
4.AM 信号包络解调性能
对于 AM 包络解调的性能分析，与相干解调分析一样，接收的也是混合波形，而前面在 AM
包络解调分析时的式（ 3-34）及（ 3-35）只考虑了信号本身。
接收输入混合波形为,
=+= )()()(
ii
tntstx
=+?++++ )sin()()cos()()cos()]([
0Q0I00
θωθωθω ttnttnttfA
)sin()()cos()]()([
0Q0I0
θωθω +?+++ ttnttntfA
（ 3-55）
现利用包络解调，可分两种情况,
（ 1） 大信噪比输入
式（ 3-55）的包络为,
21
2
Q
2
I0
)}()]()({[)( tntntfAtA +++=
（ 3-56）
由于其中,
)()()(
2
Q
2
I0
tntntfA +>>+
（ 3-57）
)()()(
I0
tntfAtA ++≈∴
（ 3-58）
其中，解调信号,
)()(
0d
tfAts +=
（ 3-59）
输出噪声,
)()(
Id
tntn =
（ 3-60）
滤去
0
A
直流后，信号功率为,
)(
2
o
tfS =
（ 3-61）
噪声功率为,
i
2
Io
)( NtnN ==
（ 3-62）
因此，信噪比得益
AM
G
与相干解调近似相等（表 3-2）。
1
)(
)(2
2
2
0
2
AM
<
+
=
tfA
tf
G
（ 3-63）
（ 2） 在小信噪比情况下，典型而言，正与式（ 3-57）相反，计算
oo
NS
及
AM
G
将相当烦琐，这里只给出近似结果。
AM
2
i
i
o
o
)()(
N
S
N
S
AM
≈
因此，即使是小信噪比输入，也应当至少有
1)(
AMii
>NS
，否则
AMoo
)( NS
更加恶化,甚至远小于 1，系统无法正常接收。
3.6 非线性调制
3.6.1 角度调制概念
如果由调制信号去控制载波
)(tc
的角度参量，正弦载波的角度将与调制信号具有固定的相应关系，于是已调载波以角度参量“载荷”要传送的有用信息，此种调制方式称为角度调制。由于它不像线性调制那样，调制后的频谱是基带信号频谱的线性位移。它的调角波频谱与调制信号毫无共点，即呈非线性特征。
由载波
== )(cos)(
0
tAtc ψ )](cos[
0
ttA?ω +
实施角度调制分两种具体方式——频率调制（FM）和相位调制（PM）。
1,调频信号的一般表达式
FM 方式是使载波在某一固定载频
0
f
条件下，以调制信号
)(tf
去控制载波频率，在
0
f
基础上的增减“频偏”与信号
)(tf
成正比变化。即,
)()( tft ∝ω
或
)()(
FM
tfkt =ω
（3-64）
式中
)(tω
——已调波瞬时角频；
FM
k
——FM 调制器设计的调频灵敏度。含义是由调制电路结构确定的每输入单位幅度信号所引起的已调波频率偏移量，单位为
VHz
。
若写出FM 信号表示式，则应将
)()(
FM
tfkt =ω
转换为正弦载波的角度变化，因此需进行积分,
)()(
FM
tdtt?ω =
∫
（3-65）
即,
∫
= ttfkt d)()(
FMFM
（3-66）
于是 FM一般表达式为,
]d)(cos[
FM00FM
∫
+= ttfktAs ω
（3-67）
式中,
0
A
——已调载波幅度，它是常数，因此已调波为等幅振荡。
0
ω
——设计系统所指定的固定载频。
式（3-67）表明，调频波的含义是：先将调制信号积分后，介入所设计的调频灵敏度
FM
k
，
转化为
)(tf
与
∫
= ttfkt d)()(
FMFM
为特定关系。
2,调相信号的一般表达式
如果实现调相（PM），则希望调制信号正比地控制载波相位，即,
)()( tft ∝θ
或
)()(
PMPM
tfkt =θ
（3-68）
式中
PM
k
——调相灵敏度，是单位调制信号幅度引起 PM信号的相位偏移量，单位弧度/V。
然后写出 PM已调信号表达式。PM 信号的
)(
PM
tθ
可直接放为载波的角度，则一般 PM表达式为,
)](cos[
PM00
tfktAs
PM
+= ω
（3-69）
3．FM 与 PM 的关系
由式（3-67）与（3-69）进行比较可知，FM 与PM 的不同仅在于，FM 是将信号先积分后作为载波的瞬时相位参量。于是二者互为微积分关系，即
)(tf
进行积分后进行调相相当于调频，
图 3-25 表明了 FM 与PM 的这种关系 。根据这种关系，我们可以 利用间接调频和间接调相。
3.6.2 单音调角
为了深入认识调角的概念与分析方法，我们着重讨论以单音（余弦）信号作为调制信号的调角过程。
1,单音调频
设调制信号为,
)cos()(
mm
tAtf ω=
（3-70）
首先，将它代入式（3-67），可得到单音调频的表达式为,
=+=
∫
]d)(cos[
FM00FM
ttfktAs ω
]sincos[
m
m
mFM
00
t
Ak
tA ω
ω
ω +
（3-71）
已设载波初相
0
0
=θ
。
式中
t
Ak
t
m
m
mFM
FM
sin)( ω
ω
=
——FM 信号瞬间相位。
为了明确概念，我们重点研究其中的
m
mFM
max
FM
)(
ω
Ak
t =
，并令其为
FM
β
，即,
m
mFM
FM
ω
β
Ak
=
（3-73）
显然
FM
β
量纲是角度（弧度），因此
FM
β
的物理意义是：受控于调制信号
)(tf
调频波产生的最大相位偏移。
现在单音 FM波可写为,
]sincos[)(
mFM00FM
ttAts ωβω +=
（3-74）
相偏为
FM
β
（弧度）。
为了应用方便，式（3-73）表示为,
m
mFM
FM
f
Ak
=β
（3-75）
它是无量纲值，因为
FM
k
单位为
VHz
，
m
f
为 Hz做单位。因此称
FM
β
为调频指数。
2,单音调相
若以
)cos()(
mm
tAtf ω=
去控制载波的相位，则得单音调相波,
=+= )](cos[)(
PM00PM
tfktAts ω
)]cos(cos[
mmPM00
tAktA ωω +
（3-76）
已设载波初相
0
0
=θ
。
式中,
PMmPM
θΔ=Ak
（3-77）
是PM 波的最大相位偏移（相偏）。
同样，可令,
mPMPM
Ak=β
（3-78）
因此
PMPM
θβ Δ=
，是（最大）相偏，而
PM
β
又当作无量纲调相指数。
于是单音 PM波，可写为,
)coscos()(
mPM00PM
ttAts ωβω +=
（3-79）
3,单音调角波的瞬时频率与相位
下面接着讨论两种单音调角波的瞬时角频与瞬时相位，以便了解 FM与 PM的区别。
由式（3-71）与（3-74），单音FM 信号包括载频
0
ω
在内的瞬时角频为,
tAkt
mmFM0FM
cos)( ωωω +=
（3-80）
式中
tAk
mmFM
cosω
——FM 信号中与
)(tf
成正比的瞬时角频变化。
且,
mFMFM
Ak=Δω
或
mFMmFMFM
fAkf?==Δ β
（3-81）
它是单音 FM波的（最大）频偏，这一关系式非常有用，后面还会具体讨论。
对于单音 PM波，由式（3-76）和（3-79），包括载频在内的瞬时角频为,
=+= ]cos[
dt
d
)(
mPM0PM
ttt ωβωω
t
mmPM0
sinωωβω?
（3-82）
我们根据式（3-80）和（ 3-82）两个瞬时角频，可以分别画出图 3-26 所示的 FM 及PM 调角波，均为等幅已调余弦波。它们的角频变化由振荡曲线的疏密变化来体现。且完全取决于图中的
)(
FM
tω
与
)(
PM
tω
。
3.7 窄带调角
上面列举了单音调频与调相波的构成特征及主要参量。虽然单音调制信号不能代表实际应用的其它含有多种频率成份的信号，但单音调角确对认识调角波特点将起有很大作用。从另一方面，利用 FM 信号传输，由式（ 3-81），随着设计的频偏
FM
fΔ
的增大，即在同样信号频率
m
f
时，
增大调制信号幅度
m
A
，以使信道带宽加大提高抗干扰性（后面将介绍），为此，如果直接进行较大频偏的调频，却很难稳定实现。在实际设计中，往往先利用频偏
FM
fΔ
很小的间接调频（图
3-25（ a））——实际上是窄带调相来实现窄带调频，然后通过倍频与变频，来最后适配所指定的载波频点
0
f
及所设计的较宽的传输带宽。
本节主要讨论窄带调频（ NBFM）。
3.7.1 窄带调角时域分析
1.窄带调频（NBFM）
由式（ 3-67） FM 信号通用时域表示式，可以展开为,
tttfkAtttfkAts
0FM00FM0FM
sin]d)(sin[cos]d)(cos[)( ωω=
∫∫
（3-83）
当式（ 3-67）中
∫
=Δ ttfkt d)()(
FMFM
，当位偏最大值即
max
FM
)d(
∫
ttfk
很小时，如,
5.0d)(
max
FM
≤
∫
ttfk
或
6π
（3-84）
则式（ 3-83）可以化简，由
1cos
0
≈
→
x
x
，及
xx
x
≈
→0
sin
两个关系式，可得,
tttfkAtAts
0FM000NBFM
sin]d)([cos)( ωω
∫
（3-85）
设调制信号
)(tf
及其积分的傅立叶变换对为：
)()( ωFtf?
，及
ω
ω
j
F
ttf
)(
d)(?
∫
。
式（ 3-85）第 2 项中
tttfkA
0FM0
sin]d)([ ω?
∫
的频谱是两时间函数相乘的频谱，它的频谱为,
=
+ )]()([jπ
)(
2π
1
00FM0
ωωδωωδ
ω
ω
j
F
kA
]
)()(
[
2
0
0
0
0FM0
ωω
ωω
ωω
ωω
+
+ FFkA
因此式（ 3-85）的频谱为,
]
)()(
[
2
)]()([π)(
0
0
0
0FM0
000NBFM
ωω
ωω
ωω
ωω
ωωδωωδω
+
+
+?++=
FFkA
AS
（3-86）
这一结果表明，它与前面式（ 3-8） AM 的频谱非常近似。这里已设
0
0
=θ
。
为了进一步比较 NBFM 与 AM 的相似处，兹设
tAtf
mm
cos)( ω=
，则由式（ 3-85）条件，
单音 NBFM 表示式为,
= ttAtAts
0mFM000NBFM
sinsincos)( ωωβω
t
A
t
A
tA )cos(
2
)cos(
2
cos
m
FM0
m
FM0
00
ωω
β
ωω
β
ω ++
（3-87）
显然,NBFM 与 AM 信号有很大共同之处,
（ 1） 由于
5.0
FM
≤β
或
6π
，
1
AM
≤β
，两者可有相比拟的值。
（ 2） 两者均有相同的载波分量。
（ 3） 均有上边频与下边频。
若调整为
AMFM
ββ =
，NBFM 与AM 唯一不同在于，下 边带（边频）为“负号,，这样却在它们的频谱结构和信号空间产生了明显差 别。如图3-27 与图 3-28 所示。
它们信号空间的不同在于,AM 信号上下边频在任何时间的合成量均与载频同相。而 NBFM
由于下边频为负值，因此两边频的合成矢量必然与参考矢量正交，这一对边频合成矢量与参考矢量的合成矢量产生变化着的夹角为
θΔ
，由于
θΔ
较小，也看作几近正交。
2.窄带调相（ NBPM）
至于窄带调相 NBPM，其条件是
5.0)(
max
PM
≤tfk
或
6π
，因此调相波式（ 3-69）可化简为,
ttfkAtAts
0PM000PM
sin)(cos)( ωω≈
（3-88）
在单音时,
=≈ ttAkAtAts
0mmPM000PM
sincoscos)( ωωω
t
A
t
A
tA )sin(
2
)sin(
2
cos
0
PM0
0
PM0
00
ωω
β
ωω
β
ω+?
（3-89）
NBPM 信号也包括载波和一对边频，且两个边频均为负值，其频谱与载波均差 90
o
，如图 3-29 所示。
3.8 宽带调角
本节主要介绍宽带调频（ WBFM），并以单音 FM 来阐明 WBFM 的原理与主要参量。由于上述 PM 与 FM 的密切关系，在本节最后再简单描绘 PM 信号的构成特点，不作详细分析。
3.8.1 WBFM时-频域特征
如果式（ 3-83）和（ 3-74）调频波表示式中，调频指数
FM
β
不受限于较小数值（如 NBFM），
而为任意较大的值时，单音 FM 表示式（ 3-74）可展开为下式,
]sin)sinsin(cos)sin[cos()(
0mFM0mFM0FM
ttttAts ωωβωωβ=
（3-90）
其中两项含有角度为三角函数的余弦和正弦波成份,均可进一步展开为幅度为各阶贝塞尔函数构成的傅立叶级数。其中同相分量展开为,
=+++=ΛtJtJJt
m4m20mFM
4cos)(22cos)(2)()sincos( ωβωββωβ
∑
∞
=
+
1
m20
2cos)(2)(
n
n
tnJJ ωββ
（3-91）
各项全部为偶数项。
正交分量开展开为,
=+++=ΛtJtJtJt
m5m3m1mFM
5sin)(23sin)(2sin)(2)sinsin( ωβωβωβωβ
∑
∞
=
1
m12
)12sin()(2
n
n
tnJ ωβ
（3-92）
各项全部为奇数项。
其中
)(β
n
J
是第一类
n
阶贝塞尔（ Bessel）函数，
)(β
n
J
是一个函数曲线簇。
n
有无限个正、
负整数取值，
β
为调频指数，即
FM
β
。图 3-30 绘出了
n
从 0 到 5 时的 Bessel 函数曲线簇。同时于表 3-3 给出了不同阶次（
n
阶）值时对应不同
β
变量的函数表。
再将式（ 3-91）与（ 3-92）代入到式（ 3-90），整理后可得,
∑
∞
∞=
+=
n
n
tnJAts )cos()()(
m00FM
ωωβ
（3-93）
式中
)(β
n
J
当
FM
β
一定时，对每一个
n
值，
)(β
n
J
为定值。
0.5 1 2 3 4 6 8 10 12
0 0.938
5
0.765
2
0.223
9
-0.260
1
-0.397
1
0.1506 0.1717 -0.245
9
0.0477
1 0.242
3
0.440
1
0.576
7
0.3391 -0.066
0
-0.276
7
0.2346 0.0435 -0.223
4
2 0.030
6
0.114
9
0.352
8
0.4861 0.3641 -0.242
9
-0.113
0
0.2546 -0.084
9
3 0.002
6
0.019
6
0.128
9
0.3091 0.4302 0.1148 -0.291
1
0.0584 0.1951
4 0.000
2
0.002
5
0.034
0
0.1320 0.2811 0.3576 -0.105
4
-0.219
6
0.1825
5 0.000
2
0.007
0
0.0430 0.1321 0.3621 0.1858 -0.234
1
-0.073
5
6 0.001
2
0.0114 0.0491 0.2458 0.3376 -0.014
5
-0.243
7
7 0.000
2
0.0025 0.0152 0.1296 0.3206 0.2167 -0.170
3
8 0.0005 0.0040 0.0565 0.2235 0.3179 0.0451
9 0.0001 0.0009 0.0212 0.1263 0.2919 0.2304
1
0
0.0002 0.0070 0.0608 0.2075 0.3005
1
1
0.0020 0.0256 0.1231 0.2704
1
2
0.0005 0.0096 0.0634 0.1953
1
3
0.0001 0.0033 0.0290 0.1201
1
4
0.0010 0.0120 0.0650
式（ 3-93）表明,FM 波是由载频和以载频为中心两边一系列边频所组成。其频谱为,
∑
∞
∞=
+++=
n
n
nnJAS )]()()[(π)(
m0m00FM
ωωωδωωωδβω
（3-94）
在 FM 频谱式中，决定各种频率成份及其幅度大小与极性的唯一因素是对应的
)(β
n
J
。
下面我们通过描述 Bessel 函数
)(β
n
J
的性质来对照认识 FM 频谱特征。
3.8.2
)(β
n
J
性质与FM信号频谱特征
1.贝塞尔函数的性质
（ 1） 由
)()1()( ββ
n
n
n
JJ?=
n
为奇数时，它为奇对称——
)()( ββ
nn
JJ?=
n
为偶数时，它为偶对称——
)()( ββ
nn
JJ =；
（ 2） 当
5.0<β
或更小：
1)(
0
≈βJ
,
25.02)(
1
<≈ ββJ
或更小，
0)(
2
≈
>
β
n
J；
（ 3）
0)()( =? ββ
mn
JJ
nm≠
各阶贝氏函数为正交关系；
（ 4）
1)(
2
=
∑
∞
∞=n
n
J β；
（ 5） 当
1+≤ βn
时，
1.0)( ≥β
n
J
，即
)(β
n
J
显著值为
1+β
对。
2.FM 信号频谱特征
由表 3-3，根据贝氏函数的性质，我们可明确 FM 信号的频谱特征。
（ 1）由式（ 3-94）与贝氏函数
)(β
n
J
级数,FM 信号为离散谱，频率成份包含载频及各次边频，即
0
f
及
m0
nff ±
，
Λ,2,1=n
（ 2）由
)(β
n
J
性质（ 1）、（ 3），载频谱线的正或负取决于
β
大小，而各次边频特征是奇次边频奇对称于载频，偶次边频偶对称。且边频数无限多，幅度均取决于
)(β
n
J
的大小。
（ 3）由
)(β
n
J
性质（ 2），
5.0<β
或更小,FM 频谱只有载频与一对奇对称于它的边频，
幅度分别为
000
)( AAJ ≈β
及
01
)( AJ β
±
。显然这是 NBFM 频谱。
（ 4）由
)(β
n
J
性质（ 4）,FM 波全部功率为
∑
∞
∞=
=?=
n
nFM
A
J
A
ts
2
)(
2
)(
2
02
2
0
2
β
。从物理意义看,FM 信号为等幅
0
A
的振荡，功率自然为
2
2
0
A
。
（ 5） 由
)(β
n
J
性质（ 5）,FM 谱线幅度
1.0)(
0
≥AJ
n
β
0
A
的边频对为
1+= βn
对边频。
如
3=β
则
)3( =β
n
J
,n 取到 4 为止，
)(β
n
J
均在 0.1 以上。即显著边频对为 4。
由上述特征，图 3-32 给出了 FM 波频谱。
3.8.3 调频信号有关参数分析
1．频偏
FM
fΔ
由调制指数的定义
m
mFM
FM
f
Ak
=β
或
FMmFMmFM
fAkf Δ=?=?β
（3-95）
FM 波的频偏决定于调制信号幅度
m
A
（
FM
k
已定），而在频率
m
f
不变情况下，
m
A
的增加就意味着
FM
β
的增大。因此当 FM 调制器设计完成后，通过调整信号
)(tf
的幅度，可以随之改变
fΔ
，亦即
FM
β
随之而变化。于是势必影响到 FM 信号显著边频对数目
1+=βn
的变化。
反过来，如果频偏
fΔ
不变，若频率
m
f
变化，则
FM
β
成反比变化，此时信号幅度是不变的。
图 3-33 表明当
m
f
一定时，通过不断增大
m
A
而使
FM
β
提高时,FM 频谱的显著边频对数目增加，使
FM
fΔ
增大。
图 3-34 的情况是保持
FM
fΔ
基本不变，即信号幅度
m
A
不变，
m
f
与
FM
β
成反比变化，即
m
f
越小，对应的
FM
β
越大,FM 谱线间隔缩小，而显著边频对数目增加。反之亦反。
这两种情况不同的主因在于
m
f
或
m
A
,而
FM
fΔ
的大小主要受制于
m
A
,而
m
f
的大小对
FM
fΔ
影响小得多。
2．FM 信号的传输带宽
对于一个通信系统，与信号有效带宽相适配来分配信道传输带宽是个重要环节。通过涉及频偏参量的讨论，我们很容易确定 FM 信号有效带宽。
由于 FM 调制的非线性，从理论上已调波有极宽的频带宽度。但由上面关于贝氏函数性质和 FM 频谱特征的分析，有效带宽近似值应以显著边频对数目来确定。由表 3-3 贝氏函数
)(β
n
J
表，当
1+> βn
时的
)(β
n
J
一般均在 0.1 以下取值，而
n
次谐波
m0
nff ±
的功率贡献值
2)(
0
2
AJ
n
β
小于 1％。因此大都按（
1+β
）对边频（有时也按
2+β
对）来取有效值带宽。
即
mFM
)1(2 fB +≈ β
（3-96）
或
mFMFM
22 ffB +Δ≈
当
FM
β
相当大时，（典型宽带 FM），带宽近似取 2 倍频偏，即
FMFM
2 fB Δ≈
（3-97）
如果
5.0
FM
<β
或更小，为 NBFM，则
mNBFM
2 fB ≈
（3-98）
3.8.4 宽带调相（WBPM）的特点
前面窄带调角一节，已简单介绍过 NBPM 信号特点，由于相位调制是以调制信号控制载波相位与之成正比的变化，其动态范围，即最大相偏
mPMPM
Ak?=Δω
不宜太大，因此多利用窄带调相（ NBPM）作为窄带调频的一个间接手段。
现在对 WBPM 信号构成予以简单分析，并且仍以单音调相为例。
式（ 3-69）已给出 PM 波表达式，当
tAtf
mm
cos)( ω=
时,
=?+= )](cos[)(
PM00PM
tfktAts ω
]coscos[
mPM00
ttA ωβω?+
（3-99）
式中
mPMPM
Ak?=β
,
将上式展开后得
]sin)cossin(cos)cos[cos()(
0mPM0mPM0PM
ttttAts ωωβωωβ=
其中，由于
)]
2
π
sin(cos[)coscos(
PMmPM
+= tt
m
ωβωβ
及
)]
2
π
sin(sin[)cossin(
PMmPM
+= tt
m
ωβωβ
,然后按照分析 WBFM时利用的式 （ 3-91） 与 （ 3-92）
展开式形式，代入式（ 3-99），可得
∑
∞
∞=
++=
n
n
n
tnJAts ]
2
π
)cos[()()(
m00PM
ωωβ
（3-100）
其频谱
∑
∞
∞=
+?
+++=
n
nn
n
nnJAS ]e)(e)()[(π)(
2
π
j
m0
2
π
j
m00PM
ωωωδωωωδβω
（3-101）
从时、频域 WBPM 表示式来看，每增加一对边频就增加
2π±
的 相移，即第
n
次边频，对载频
0
f
而言相移
2πn±
，而幅度谱
)(
PM
ωS
结构与 WBFM 频谱在表面上看没什么不同。
与 WBFM 同样道理，由 Bessel 函数
)(
PM
β
n
J
性质及频谱特征，可决定近似带宽，也必与
FM 有相同形式，即
mPMPM
)1(2 fB += β
（3-102）
当
PM
β
值较大时—— WBPM，近似带宽主要由频偏决定
PMWBPM
2 fB Δ≈
（3-103）
当
5.0
PM
<β
或更小—— NBPM，就只有一对边频
mNBPM
2 fB ≈
（3-104）
与 FM 不同的是,PM 信号的
mPMPM
Ak?=β
,因此
PM
β
与
m
f
无关,只决定于信号幅度
m
A
（
PM
k
已设计定）。因此在调制信号幅度
m
A
不变时，其
m
f
的增减而会显著影响
PM
fΔ
及
PM
B
。
图 3-36 是
2
PM
=β
，调制频率分别为
m
f
、
m
2 f
及
m
3f
的三种 WBPM 信号幅度谱，显然这与
WBFM 信号图 3-33,3-34 的情况大不相同。
3.9 调角波的解调及性能分析
调角波解调也分为相干与非相干解调，由于只有窄带调角具备像 AM 那样的“线性”特征，
故更适于相干解调，而宽带调角的非线性频谱，只能利用特殊形式的非相干解调。
3.9.1 窄带调角的相干解调及性能分析
我们仍着重 NBFM 信号解调
1,NBFM 信号相干解调
由于 NBFM 信号通用表达式（ 3-85），在传输中介入了加性高斯白噪声（ AWGN），成为混合波形，即在接收端的输入波形为
)()(sin]d)([)cos()()()(
i0FM000NBFM
tntttfkAtAtntstx
i
++?+=+=
∫
θωθω
(3-105）
其中窄带噪声
)sin()()cos()()(
0Q0Ii
θωθω +?+= ttnttntn
，为了从含有信号项中恢复原信号
)(tf
，因此接收宜提供相干载波，设为
)sin()(
0d
θω +?= ttc
(3-106）
与接收信号相乘后再通过低通滤波器 LPF，可得解调输出为
)(
2
1
d)(
2
)()(
Q
FM0
ddd
tnttf
kA
tnsty +=+=
∫
(3-107）
式中,
)(
Q
tn
——窄带噪声正交分量
然后进行微分，可得
)(
2
1
)(
2
)()(
Q
FM0
ooo
tntf
kA
tnsty
+=+=
(3-108）
)(
Q
tn
——
)(
Q
tn
的微分，即
)()(
d
d
Q
Q
tntn
t
=
(3-109）
上面式（ 3-108）相干解调结果是恢复的原信号
)(tf
加窄带噪声正交分量的微分形式。
2,NBFM 系统噪声性能分析
按照线性调制系统噪声性能分析步骤,NBFM 性能计算需分别求出相干解调器的输入信噪比
ii
NS
和输出信噪比
oo
NS
，来评价利用此种相干解调的信噪比是否得益，即
NBFM
G
的具体值。
接收输入信噪比计算,
2
)(
2
0
NBFM
2
i
A
tsS ==
(3-110）
m0n
2
iNBFM0i
2d)()( fnffStnBnN ===?=
∫
∞
∞?
(3-111）
因此输入信噪比为
m0
2
0
NBFM
i
i
4
)(
fn
A
N
S
=
(3-112）
再计算输出信噪比。输出信号功率为
)(
4
)(
2
FM
2
2
0
2
oo
tf
kA
tsS ==
(3-113）
)(
2
tf
——调制信号平均功率。
由式（ 3-108），输出噪声功率为
)(
4
1 2
Q
o
tnN
&
=
(3-114）
计算
)(
d
d
Q
tn
t
的平均功率可能要费一定周折，为此我们转向频域中加以分析。
如式（ 3-107），相干解调过程是从窄带噪声
)(
i
tn
中输出其正交分量为
)(
2
1
Q
tn
，其运算过程为
)(sin)()sin()cos()()]sin([)()(
0
2
Q00I0ip
θωθωθωθω ++++?=+= ttntttnttntn
(3-115）
对应于频域表示,如图 3-37 （ b）,它是式 （ 3-115） 的噪声功率谱。 然后对其取低通,可得
)(
2
1
Q
tn
对应的（低通）窄带噪声正交分量功率谱，
)(
4
1
)(
4
1
0Q0Q
ωωωω?++ SS
，即
)(
2
1
|)(
QLPFp
tntn =
的功率谱为
)(
4
1
)(
4
1
)(
4
1
0n0nQ
ωωωωω?++= SSS
(3-116）
式（ 3-116）结果正是图 3-37 b）滤除
0
2ω
成份后的低通（中间）部分。
然后求
)(
Q
tn?
的功率谱，则有
2
0Q
2
2
Q
Q
4
1
)()()( ωωωωωω nSjSS ==?=?
m
ωω ≤
(3-117）
式中，
ωj
是
td
d
的频谱，即变换对为
ωω j)(
d
d
)( =?= H
t
th
，对应的功率传递函数为
2
22
j)( ωωω ==H
。
由式（ 3-117）的结果就容易求得
o
N
，即
12π
d
4π
d)(
2π
1
3
m0
0
20
Q
o
mm
m
ω
ωωωω
ωω
ω
nn
SN
∫∫
===
或
0
3
m
20
o
6
1
d
4
m
m
nfff
n
N
f
f
∫
==
(3-118）
再与式（ 3-113）一起，可得输出信噪比，为
3
m0
22
FM
2
0
o
o
2
)(3
fn
tfkA
N
S
=
(3-119）
将上式
2
)(
2
m2
A
tf =
及
m
mFM
FM
f
Ak?
=β
代替有关部分。
最后得单音 NBFM 相干解调信噪比得益，为
2
FMNBFM
3β=G
(3-120）
从结果看，由于这是 NBFM，
5.0
FM
<β
或更小，因此
NBFM
G
一般也体现不出解调得益，即使
1
FM
=β
，也不过
G
=3，或 4.8dB，这与 AM 情况有相近性。
至于窄带调相的相干解调，这里不再重复上述步骤，它却不需要 NBFM 对式（ 3-107）进行微分的复杂性。相对简单，其结果为
2
PMNBPM
β=G
(3-121）
与 NBFM 具有类似形式的结果。
3.9.2 角度调制的非相干解调与性能分析
由于调角波为等幅已调波，直接用包络解调毫无意义。因此采用先微分然后取包络的非相干解调方法，来恢复原信号，这种做法就是我们已熟悉的鉴频技术。
1．FM 信号解调过程
经过传输后的调频波，我们可以不考虑接收与解调器件非线性影响，但加性高斯噪声通过对信号幅度的加性干扰，一方面使 FM 波等幅振荡产生一定包络起伏，另一方面这种影响将反映在已调振荡过零点随机蹿动。这就对“载荷”信息的已调波角度有所干扰。
解调的方法不像前面那样，针对混合波形
)()()(
ii
tntstx +=
，而将信号与噪声分别考虑，
即假定不存在
)(
i
tn
时来解调信号，然后再设发送调制信号为 0，只有未调载波，来单独计算噪声。
为此先对式（ 3-67） FM 信号进行微分
=++=
∫
])d)([cos(
d
d
)(
d
d
FM00FM
ttfkt
t
Ats
t
θω
]d)(sin[)]([
FM0FM00
∫
+++? ttfkttfkA θωω
(3-122）
由此看来，微分结果是一个反相正弦型调频-调幅波，并且含有直流分量
00
ωA?
。以上结果的包络却与信号
)(tf
正比波动。对这个信号可以直接进行包络检测，并去掉其中直流量。由此,如果不对接收波式 （ 3-67） 先进行限幅,则因
0
A
受到噪声干扰不再是常数,会影响式 （ 3-122）
的包络解调效果，因此，总是应先对接收波进行限幅，并以截频
FM0
2
1
Bf +
的低通保留接收信号,
对式（ 3-122）取包络后，得
)]([)(
FM00
tfkAtA += ω
(3-123）
隔去直流后得到原信号，为
)()(
FMdd
tfkkts =
(3-124）
式中,
d
k
——鉴频器跨导,含义是已调波单位频偏对应的恢复信号
)(tf
电压值,单位
HzV
，
它正与
FM
k
反配。
2,抗噪声性能分析
接着讨论解调输出噪声及性能分析。
在接收混合波形——信号加噪声
)()()(
ii
tntstx +=
后，为便于分析，我们设
)cos()(
00i
θω += tAts
，即调制信号
0)( =tf
，这样只有纯载频与加性噪声，解调结果应只有噪声干扰。
=+?++=+= )sin()()cos()]([)()()(
0Q0I0ii
θωθω ttnttnAtntstx
)](cos[)(
n0
tttA?θω ++
(3-125）
式中，随机包络
21
2
Q
2
I0
])[()( nnAtA ++=
(3-126）
< font>随机相位
I0
Q1
n
tan)(
nA
n
t
+
=
(3-127）
若接收输入为大信噪比，则上面两式分别简化为
I0
)( nAtA +≈
(3-128）
及
0
Q
0
Q1
n
tan)(
A
n
A
n
t ≈≈
(3-129）
于是，式（3-125）可写为
)
A
cos()(_
~
)(
Q
0I0
n
tnAtx +++ θω
(3-130）
进行限幅后，
)(tx
幅度仍为等幅，设为
'
0
A
，然后微分，得
)
d
d
(_
~
d
)(d
Q
0
'
0
tA
n
A
t
tx
+? ω
(3-131）
限直流后，只含有噪声影响成份的输出为
)()(
)(
)(
Q
0
d
0
dn
do
tn
A
k
tn
dt
d
A
k
dt
td
ktn
Q
===
(3-132）
由上面 NBFM 波相干解调时的分析，我们可参照式（ 3-117）与（ 3-118）结果，可得输出噪声功率为
2
0
3
m0
2
d2
0
2
0
2
d
o
m
m 3
2
d
A
fnk
ffn
A
k
N
f
f
∫
==
(3-133）
于是可计算输出信噪比，并由式（ 3-124），得
3
m0
2
2
FM
2
0
o
o
2
)(3
fn
tfkA
N
S
=
(3-134）
输入信噪比，为
FM0
2
0
FM0
2
FM
i
i
4
)(
fn
A
Bn
tS
N
S
Δ
==
(3-135）
这里，对 WBFM，因
FM
β
很大，带宽可取
FMFM
2 fB Δ=
。
最后，可得信噪比得益为
)(
6
2
3
m
FM
2
FM
ii
oo
FM
tf
f
fk
NS
NS
G
Δ
==
(3-136）
其中，
mFMFM
ff β=Δ
，
2
)(
2
m2
A
tf =
，并利用
m
mFM
f
Ak
=β
代入上式，可得单音 WBFM 非相干信噪比得益为
3
FMFM
3β=G
(3-137）
这里，调制指数
FM
β
，不像 NBFM 受限，可以取较大值，如
FM
β
可选用 2~20（如例 3-4 中调频广播
5
FM
=β
），于是通过鉴频后的信噪比以
FM
β
三次方改善，因此 FM 系统有很好质量。
但是从调频带宽
mFM
)1(2 fB += β
，它比一般 DSB 或 AM 信号，使信道付出了
1+β
倍传输带宽为代价，换取了这种高可靠性。
关于 PM 非相干解调，利用鉴相器完成，做法与鉴频没有本质差别，只是微分后的所谓“调幅－调相波” 进行包络检测后,结果是信号的微分结果,这与 FM 波在微分后就含有信号
)(tf
规律的包络不同。因此，需在包络解调后再进行一个简单积分。
PM 信号的非相干解调信噪比得益为
3
PMPM
β=G
(3-138）
它与 FM 系统比较,若假定
FMPM
ββ =
这一相同条件下,调频将比调相性能优越 3 倍,即 4.8dB。
但是总共 2
π
的载波相位，
PM
β
不宜过大，且常用作间接窄带调频。
3．FM 系统的预/去加重技术
在 FM 波相干和非相干解调的结果中，我们已经由式（ 3-108）与（ 3-132）注意到，信号传输介入的窄带噪声干扰，最终是以其正交分量的微分形式出现的，即输出噪声
)()(
d
d
)(
Q
Qo
tntn
t
tn
=∝
。由式（ 3-117），在基带中它的噪声功率谱密度
)(
Q
tS?
与频率
f
的平方成正比，如图 3-40 a）所示。这表明,FM 波解调恢复的信号
)(tf
，不同频率分量受到非均匀的干扰，特别是频率高的部分，噪声干扰更大，对解调信号质量会带来很大影响。
这一情况，其实从式（ 3-95 ）
FM
β
或频偏
FM
fΔ
的关系式也有充分体现。由
FMmFMmFM
fAkf Δ==β
，当调制信号是一个频率含量复杂的信号，（如例 3-4 的音乐信号，频率范围为 100Hz~15KHz），分配的信道带宽
FM
B
或频偏
FM
fΔ
已由系统设计确定，在多频信号中的高频成份对应有低的
FM
β
，低频部分对应更大
FM
β
值。
FMmFM
ff Δ=β
总是一个常数，
FM
β
与
m
f
的反比关系，映射到非相干解调信噪比得益，由
3
FMFM
3β=G
就体现出，解调后的
)(tf
中低频部分
FM
G
很大，而高频成份
FM
G
将很小。这种情况恰恰是输出噪声谱的不均匀性造成的。
矫正噪声非均匀干扰的方法常采用对调制前的输入信号
)(tf
进行“预加重”。解调之后再
“去加重”，统称为 FM 系统“预 /去加重”技术。如图 3-41 所示框图。
图3-40 中针对
)(
Q
tn?
的功率谱
)(
Q
fS
（图（a）），给出与之为倒量关系的预加重网络的频响
)(
pre
fH
（图b）和去加重网络的频响
)(
de
fH
（图 c）。当
=)()(
depre
fHfH
常数时，
才能使恢复的信号
)(tf
不致失真。
3.9.3 FM门限效应
由于在信道带宽不受限制条件下，为了进一步提高 FM 波抗噪声能力，通过加大调制指数而用更大传输带宽，于是在信号功率（即载波功率）一定时（无线信道往往功率受限），因噪声功率随带宽加大（等于
FM0
Bn
）而增强，则使接收输入信噪比下降，当它降到某一门限值
thii
)( NS
时，就可能无法正常接收。此时，我们说 FM 系统进入门限。发生的现象是出
现较强的“脉冲噪声” （Click）——“咔嚓”声，称此种现象 为门限效应（Threshold Effect）。
图 3-43 分别示出了大信噪比传输时正常 接收和进入门限时的噪声波形。
为了便于分析，我们仍设
ttnttnAtx
0Q0I0
sin)(cos)]([)( ωω?+=
(3-146）
已设
0=θ
。
1)(
ii
>>NS
时的大载-噪比情况下,FM 系统正常工作，这时信号与加性噪声矢量图如图
3-44a） 所示。
)(
I0
tnA >>
,即载波幅度远强于窄带噪声。 由于图中窄带噪声本身的随机相位
)(t?
的不断变化，
1
P
点将不断移动，它将以随机变化的包络 r 为半径，以
2
P
点为中心，其
1
P
点运动轨迹会是一个不规则封闭路径，（因为
)(t?
瞬间变化范围从
π2~0
）。但是由于载波幅度
rA >>
0
，故这一封闭轨迹，即
1
P
的任何瞬间落点，均会在原点 O 右边，于是由式（ 3-125）及式（ 3-127），引起输出噪声的
0
Q
I0
Q1
tan)(
A
n
nA
n
t ≈
+
=
就很小，即
)(
Q
tn
很小。亦即它的微分
)(
Q
tn?
功率谱很小。 此时解调输出可听到的是轻微,沙沙声” 。 图 3-45 示出了
ii
NS
与
oo
NS
在不同
β
时的非线性关系曲线簇。
若进入门限，是因载 -噪比，即
ii
NS
较小，或者
rA ≈
0
（也就是
)(
I0
tnA ≈
），甚至
0
A
更小，如图 3-44b）的情况。在窄带噪声
)(t?
随机变化时，变化
π2~0
范围的不规则轨迹就可能包容了图中原点 O，这时
0
A
与噪声合成矢量的夹角
)(
n
t?
就可能瞬时变化很大，甚至为
π2
。
图 3-46 示出了进入门限时
)(
n
t?
的变化大小，以及其微分
)()('
Q
n
tnt?=?
。
由于门限效应可能频繁出现，它等于强度为
π±
甚至
π2±
的强脉冲噪音。严重时，即
ii
NS
很小时，接收机输出信号将被这种脉冲噪声所淹没。
经理论分析与大量实践，当
20~2
FM
=β
范围内，只要输入信噪比
ii
NS
一般满足不低于
dB11~8
,FM 系统可以正常工作。如图 3-47 所示，在应用中多取门限信噪比为
)(10)(
thii
倍=NS
(3-147）
如果采取一定的有效措施——扩展门限解调，于是门限可以降低，照样正常工作。常用的模式是 FMFB（带有负反馈的 FM 解调器），称为环路解调器，它可以使门限信噪比
thii
)( NS
降为 3dB，这对于背景噪声大，长途传输，或功率受限的条件下，特别是空间通信（如卫星）显得非常有用。下面举例说明这一概念。
第 4 章 模拟信号数字化
知识点,
(1) 理想低通抽样定理；
(2) 线性量化及量化信噪比计算，有关参量；
(3) 基于语音的 PCM —— 非线性量化策略、优点；
(4) 预测编码 —— DPCM、DM、ADPCM 基本原理。
知识点层次,
(1) 掌握运用抽样定理和线性量化过程及一切有关术语、参数；
(2) 熟知量化信噪比计算方法；
(3) 掌握基于 A 律,μ 律的非线性量化策略，基本实施，如 13 折线；
(4) 对 PCM 基群有所了解；
(5) 理解预测编码的基本原理，熟悉 DPCM 基本构成、优点；掌握量化信噪比公式；
(6) 掌握全部例题和简答填空内容。
本章主要介绍模/数转换基本原理，以 PCM 为代表，并涉及相关技术，DPCM、DM、ADPCM 均属一条技术脉络，计为 PCM 系列。
本章基本内容属于,信息论,的信源编码部分,为了不同应用与传输要求,在信源编码的基础上，
尚含进行各种处理、信号设计，以及 PCM 系列的技术与理论，更具较大的深、广度。
4.1 模拟信号数字化传输
上一章较为系统地介绍了模拟信号连续波（ CW）调制，均以高频正弦信号作载波。其基本特点是，已调波的某一参量（幅度包络、角度）线性地受控于待传送的基带模拟信号，因此非但正弦载波本身为连续（模拟）波，而且已调波的这些参量也是模拟的，它们均称为模拟信号的模拟传输。若用数字信号去控制正弦载波某一、二个参量，则相应的受控参量也为数字量，此种传输方式称为数字信号的载波传输，或数字信号的模拟传输。因为它们仍利用模拟信道来实施数字信号的传输（第 6 章）。
本章讨论模拟信号的数字化，着重在模拟信号的信源编码，这是信息论的一大分支。信息是事物运动的状态和方式,因此客观世界大量存在模拟的信息形式。 通过采集处理 （如转为电的、
光的、甚至磁的形式），只有将模拟信息表示方式数字化（编码）才便于利用现代存储与传输手段，使这些信息更广泛地实现所需的时 /空转移，以达到广泛利用的目的。
就广义而言，模拟信号数字化就是 A/D 转换：首先时间离散，然后根据所需的精度，对其含有信息的模拟参量的样本进行量化（这就是数字量了）。至于用什么形式编码，则有多种类型。
一般量化与编码融合一体实现。这种过程称为无失真信源编码。为了节省存储空间与传输资源，还可以据情况去掉冗余“信息”，压缩次要信息，即在一定保真度下进行信源压缩编码或有损编码。
模拟信号数字化这一广泛技术课题，可统称脉冲编码调制—— PCM（ Pulse Code
Modulation）。由于 PCM 最先用于话音信号数字传输，因此往往将数字话音狭称 PCM。信息技术的发展已大大突破了这一局限。
PCM 中包含的“调制”，非同上一章的载波调制。由于数字化的编码格式多种多样，尚需用一定的时间或频域的码型、波形（脉冲）来完善地表示这些数字信息，这些波形序列就是载荷编码信息的“载波”。因此称这些过程为数字基带信号的编码调制。这些概念在下一章讨论中将更明确。
本章重点内容分为三部分：首先从原理与严格的数学分析过程，阐明抽样与量化原理以及定量关系，着重计算量化失真，并以语音信号的 PCM 实施过程为例，介绍其数字化编码策略和性能。同时部分地涉及目前数字话音传输的编码结构。
其次，介绍几种其他形式的 PCM 技术原理，以阐明 PCM 的广义性技术含义和应用原理。
4.2 抽样与脉冲幅度调制
4.2.1低通信号抽样定理
关于模拟信号的连续波形的时间离散化，早在 20 世纪初期到中期，已先后由著名的通信理论先驱奈奎斯特（ Nyquist，欧洲）、仙农（ Shannon，美国）和柯捷尔尼可夫（前苏联）进行了立论与研究，并形成低通信号与带通信号抽样定理。
低通抽样定理：限带为
m
f
的信号
)(tf
，若以速率
ms
2 ff ≥
进行均匀抽样，则可无失真恢复原信号
)(tf
。
抽样处理是 PCM 的第一步工作，即实现连续信号的时间离散化。抽样定理告诉我们，任何一个模拟信号
)(tf
，其限带（截频）为
m
f
，在抽样速率为
ms
2 ff ≥
(4-1)
或（均匀）抽样间隔为
s
s
1
f
T =
(4-2)
可得一个（模拟）样本序列，若再经过一个理想低通 LPF（截频
m
f
）可将抽样速率为
ms
2 ff ≥
的序列恢复原信号
)(tf
。实际 LPF 往往有一定滚降过渡带，则应当满足
ms
2 ff >
(4-3)
设信号傅立叶变换对
)()( ωFtf?
，
m
ωω ≤
，如图 4-1 所示。现在让我们从时域与频域分别证明抽样定理的正确性。
1.时频域数学分析
为进行抽样提供的单位强度的抽样脉冲序列为
∑
∞
∞=
=
k
T
kTtt )()(
s
δδ
(4-4)
其离散频谱为
∑
∞
∞=
=
n
T
n )()(
ss
ωωδωωδ
(4-5)
式中，
ss
2 fπω =
——抽样角速度；
s
s
1
f
T =
——均匀抽样间隔。
图 4-2 示出了以上冲激序列的傅立叶变换对的波形。
现进行抽样运算——冲激序列与信号相乘（图 4-3 数学模型），则得抽样序列为
==?=
∑
∞
∞=k
T
kTttfttftf )()()()()(
ss
δδ
∑
∞
∞=
k
kTtkTf )()(
ss
δ
(4-6)
抽样序列
)(
s
tf
的频谱为
=?= )()(
π2
1
)(
s
ωδωω
T
FF
=
∑
∞
∞=n
nTFf )()(
ss
ωδω
∑
∞
∞=
n
nFf )(
ss
ωω
(4-7)
图 4-4 示出了上列抽样的样本序列的傅立叶变换对波形。
从抽样序列的傅立叶变换对式（ 4-6）和（ 4-7）以及它们的时频域图形可以看出，抽样序列是以
ss
1 fT =
为间隔、与原信号
)(tf
在各
s
kT
时刻对应的一系列样本值
)(
s
kTf
，而对应的抽样后的频谱是以
s
f
加权的原信号频谱
)(ωF
在
ω
轴、以抽样速率为间隔的无穷拓展的序列，即频谱形状仍为信号
)(tf
的频谱
)(ωF
，并以
s
ω
为周期的周期性频谱序列。
若要从抽样后的波形恢复原模拟信号
)(tf
，从频谱图
)(
s
ωF
看，利用一个低通滤波器 LPF
（这里由于
ms
2 ff =
，必用理想低通 LPF），可轻易恢复
)(tf
。
设 LPF 传递函数为
)2/(rect)(
m
ωωω =H
，则恢复的信号傅立叶变换对为
∑
∞
∞=
=?=
n
nFHfHFF )()()()()(
sss
ωωωωωω
(4-8)
=?= )()()(
s
tfthtf
=
∑
∞
∞=k
kTtkTft )()()(Sa
π
ssm
m
δω
ω
=?
∑
∞
∞=
)(Sa)(2
ssm
kTtkTff
k
)(Sa)(
sss
kTtkTff
k
∑
∞
∞=
(4-9)
上式为从严格的数学关系上恢复的原模拟信号
)(tf
，看似有些复杂，兹描绘其波形，如图 4-5
所示，它是以
s
T
为间隔，由各抽样值
)(
s
kTf
作为峰值的
)(Sa?
形状波形序列的总和。
2.讨论
需要进一步讨论有关抽样速率的大小问题。
由抽样定理
ms
2 ff ≥
，上例中，我们采用的理想抽样：抽样速率为
ms
2 ff =
，是下限值，要恢复原信号的 LPF 必须为理想低通，其中抽样脉冲序列利用理想冲激序列。但是实际上均为不可实现的。在应用中，由于LPF 的过渡带，加之应保证抽样序列谱不出现混迭（Overlap）现象，
从这两点出发宜设抽样速率
ms
2 ff >
（图4-6（a））；另外抽样脉冲序列应是窄脉冲序列（图
4-6（b））。
4.2.2 模拟信号脉冲调制
除上一章利用正弦载波的模拟调制外，还可以利用脉冲序列作为载波，并与正弦波调幅、
调频、调相相对应，具有脉幅调制（ PAM）、脉宽调制（ PDM）和脉位调制（ PPM）。在数十年前的模拟通信时代，它们都有广泛的应用。由于已调序列是时间离散序列，便于进行时分复用
（ TDM）。三种脉冲调制都是基于抽样定理的应用。
1.PAM 信号
由满足抽样定理对模拟信号的抽样的样本序列，如式（ 4-6）的结果，就是 PAM 信号。在序列中各样本的幅值
)(
s
kTf
构成的包络与
)(tf
成正比。虽然 PAM 不是数字量的信号，但是可以实现多路信号的时间复用（ TDM）。
对于
N
路待同时传送的模拟话音信号，不仅采用每隔 4KHz 的正弦载波提供的 SSB 频分复用（ FDM）方式，也可采用 PAM 的时分复用，只要提供如图 4-7 所示的抽样开关，开关变动的步进速率为抽样定理规定的速率，即
N
路时，速率应为
)2(
ms
fNNf?≥
。因为如图 4-7a）所示，在原来 1 个信号的抽样间隔
s
T
内尚依次有其余
N
－ 1 路信号的抽样样本，这样才能使每个信号均满足抽样定理，以便传输之后恢复原信号。
2.PDM 信号
脉宽调制（ PDM 或 PWM）与 PAM 不同，它是等幅的脉冲序列以抽样时刻各
)(
s
kTf
的离散值与该载波脉冲序列对应位脉冲的宽窄成正比。于是宽窄不同的、间隔为
s
T
的已调序列就载荷了相应的抽样值
)(
s
kTf
信息。
产生 PDM 信号的方法其实很简单，步骤为,
（ 1） 产生均匀间隔为信号抽样间隔
s
T
的锯齿波或三角波脉冲序列作为载波序列，如图 4-8
所示；
（ 2） 待传输的模拟信号
)(tf
与脉冲序列相加；
（3）限幅-放大。
通过上述步骤得到了抽样时刻
s
kT
对应宽度不等的均匀脉冲序列即为 PDM 波形。由于锯齿波设计的形式,PDM 的前沿为固定点，而后沿移动量则表示
)(
s
kTf
的大小。因此 PDM 又称脉沿调制，本例为后沿。
同样，可以产生前沿调制或利用正三角形的双沿调制，中心位置在底宽不等的中心。
当接收解调时，并不难将各点的不同宽度简单地转为 PAM，然后进行低通滤波，恢复原信号。
3.PPM 信号
脉位调制机制是将提供的均匀间隔为
s
T
抽样间隔的等幅脉冲序列，使各脉冲位置在不同方向移位的大小与信号样本值
)(
s
kTf
各相对应成正比。在 60 年代尚盛行的微波通信（前苏联
PM
24
）就是采用 PPM 多路时分复用传输方式。
其实 PPM 信号实现方式与 PDM 没有本质差别。可以将图（ 4-8c）的不等宽度的已调锯齿波，经过一个门限检测器——过零检测，取其后沿位置并形成极窄的脉冲，就得到 PPM 信号（图
4-8e）。
PPM 模拟脉冲信号，目前在光调制和光信号处理技术中尚在广泛应用。不要以为凡是模拟形式均为传统的落后技术。
4.3 量化与编码
4.3.1 量化与编码概念
模拟信号数字化，量化是一个重要环节。针对不同信号类型及应用目标要求，有不同的量化策略和设计方法。本节先介绍一般的均匀量化方法，然后结合语音信号特点，介绍语音量化的设计策略，称为非均匀量化。量化的目的是将抽样后的离散样本序列，以所期望的精度进行数字化——而所谓数字或数字化信息，是指信息参量值的数目为有限个可能。
有限个可数量称为数字，因为它们完全可由有限长编码符号对应表示。
根据这一概念，对于抽样后的有限个样本，虽又可数（离散）又有限（如只取 100 个样本），
但是它们仍为模拟量，因为它们的信号参量（信息）是含在样本幅值上，虽然是有限个样本数，
但其样本幅度有无限个可能值。
为了编码，需将抽样后的样本首先量化。
量化过程与其结果就是将信号抽样序列的每个样本幅度
)(
s
kTf
按照要求的误差限度,变为近似的离散幅度值。本书尚假设这种量化处理是无记忆的、瞬时的，即各样本的量化过程与结果均与其相邻前后样本无关。图 4-9 给出的双极性信号抽样样本序列，以
Δ
为量化间距（台阶），
量化级数量为
M
个，并覆盖信号样本值的动态范围
max
2x
，如图 4-9 所示的双极性信号的样本序列，则量化间隔为
1
2
max
=Δ
M
x
(4-10)
式中,
max
x
——信号
)(tf
的幅度最大值；
max
2x
为信号峰峰值——动态范围。
一般地，
1>>M
，因此有
M
x
max
2
~
=Δ
(4-11)
由于量化间隔
Δ
已经确定了量化精度，因此落在两个量化级之间的样本点，应按“四舍五入”（ Trade-off）以最靠近它的量化级电平取其近似值——样本的量化值。
于是对于
M
个量化级可以由
kM =
2
log
位二进制码来表示，图中正极性部分 4 个电平由
101,101,110,110 表示，负极性部分 3 个电平由 001,011,001 表示。然后将已量化的样本量化值，按时序以它们所在的量化电平的代码符号表示，图 4-9 的二元编码序列为
{}
k
a
=（ 101,101,110,110,001,011,001）
(4-12)
量化电平数
M
与编码位数的关系为
Mk
2
log=
(4-13)
k
M 2=
(4-14)
式中，
k
——利用二元码表示
M
个（电平）——
M
进制符号的位数（比特数）。
若编码序列进入信道传输，则比特速率为
msb
2 fkkfR?≥?=
(b/s)
(4-15)
式中，
s
f
——抽样速率；
m
f
——信号限带值。
式（ 4-15）的含义是，每秒钟对信号抽样数为
s
f
个样点，经过
M
级电平量化后，每个样本量化值编为
k
比特二元码字。传入信道的二元码率，即比特率为每秒
kf?
s
比特，用
b
R
表示。
由式（ 4-15）速率表示的编码序列
{ }
k
a
称为 PCM 编码序列，即 PCM 码。当进行传输时，
下一章将要介绍，它需要的信道传输理想带宽在数值上为
bN
2
1
RB =
(HZ)
(4-16)
按式（ 4-15）的比特率，每个比特信息即码元间隔
b
T
是比特率
b
R
的倒数，即
b
b
1
R
T =
(s)
(4-17)
式（ 4-12）的 PCM 编码序列
{}
k
a
可表示为十进制数值
A
0
0
1
1
2
2
1
1
2222?+?++?+?=
aaaaA
k
k
k
k
Λ
(4-18)
式中，
ik
a
——序列的权系数，取 1,0。
ik?
2
——表示 PCM 每个码元所处的位置上的当量值。
二元码 PCM 序列可以由几种编码方式表示，如表 4-1。表中自然码是完全按自然顺序的编码方法，鉴于格雷（ Gray）码总平均差错率较低，因此在通信信号编码中常用格雷码；折叠码更适于交流（双极性）信号的数字化编码。当具有
2M±
个（共
M
个）量化电平时，各码字除了最高位各代表正负极性外，其余则以横轴为中心上下对应折叠相同，如 100 码字中的,1”表示正极性,000 中的首位 0 表示负极性，两个码字除最高位外相同，格雷码也是折叠码。
表 4-1 几种二元编码及关系
十进制数 自然二进制码
格雷码 折叠二进码
0 0000 0000 0111
1 0001 0001 0110
2 0010 0011 0101
3 0011 0010 0100
4 0100 0110 0011
5 0101 0111 0010
6 0110 0101 0001
7 0111 0100 0000
8 1000 1100 1000
9 1001 1101 1001
10 1010 1111 1010
11 1101 1110 1011
12 1100 1010 1100
13 1101 1011 1101
14 1110 1001 1110
15 1111 1000 1111
4.3.2 线性（均匀）量化与量化信噪比
1.量化特性
从上述量化编码原理，我们已了解到，量化单元实际上是模拟信号为输入，而输出为阶梯波信号的专用系统。虽然输出输入关系从局部看因舍入量化作用而呈非线性，但总的关系为线性特征，即量化间隔均等（为
Δ
），并决定于信号动态范围和量化级数目（式 4-10），故又称均匀量化。
图 4-11 示出了两种线性量化的关系曲线。其中（ a）为中平特性（ Midtread），（ b）为中升特性（ Midrise），并且均适于双极性（交流）信号量化。
图中横坐标为抽样样本序列
{}
k
x
的输入值（
k
x
就是上面的
)(
s
kTf
），
k
表示
s
kT
时刻进行抽样；
k
y
是相应于
k
x
输入模拟值的量化值。输出输入关系为
)(
kk
xQy =
(4-19)
式中，
)(?Q
——量化特性，在应用中，一般以“
Q
”表示量化单元。
图 4-11 中两类量化特性，并直观地各称“中平”（ Midtread）和“中升”（ Midrise）特性。
两者量化策略稍有不同：“中平”按“四舍五入”方式，“中升”是当输入样值所处的量化区间按足够整数个
Δ
时来决定量化值。我们这里着重利用“中平”特性，两者无本质区别。
图中（ c）、（ d）分别使出了它们的量化“颗粒”误差。一般应用中，量化器要适配输入信号的动态范围，或量化器动态范围稍大，以免对大的输入样本值造成“过载”量化而产生大的失真。（如图像信号量化，按标准规定，正负量化区域总是使量化器空闲两端量化电平各 15 或
20 个，以确保不过载量化。）
2.量化噪声与量化信噪比
由图 4-11c）,d）所示的量化误差曲线，量化误差
k
e
总是在
2Δ±
范围，它表示为
kkk
xye?=
(4-20)
是第
k
个样本值
k
x
的量化误差。显然
k
e
是在（
2Δ?
，
2Δ
）内均匀分布的随机变量，可以求其均值与方差，可得
=?=?==
∫∫
Δ
Δ?
Δ
Δ?
2/
2/
2/
2/
d)()(d)(][ eepxyeepeeeE
kk
0d
1
2/
2/
=
Δ
∫
Δ
Δ?
ee
(4-21)
式中，
Δ
=
2
1
)(ep
——
e
为均匀分布。
=?==
∫
Δ
Δ?
2/
2/
222
e
d)()(][ eepxyeEσ =
∫
Δ
Δ?
2/
2/
2
d)( eepe
12
d
1
2
2/
2/
2
Δ
=
Δ
∫
Δ
Δ?
ee
(4-22)
应当明确，上式（ 4-22）是假设大量的抽样值，即
{ }
k
x
序列落入各个小区段
1?
=Δ
kk
xx
或
1?
=Δ
kk
yy
的概率是均等的。若从数学的严格性来说，应当以如下数学表示式
=?==
∑
∫
=
M
i
x
x
kkk
k
k
xxpxyeE
1
22
e
2
1
d)()(][ σ
=
∑
∫
=
Δ
Δ?
eepe
M
i
d)(
1
2
2
2
12
d
1
2
1
2/
2/
2
Δ
=
Δ
∑
∫
=
Δ
Δ?
M
i
k
epe
(4-23)
且
∑
=
=
M
i
k
p
1
1
（完备性）
现在再来计算量化噪声功率和量化信噪比。
由式（ 4-10），当
M
>>1（一般均如此），
MM1
，因此利用式（ 4-11），将式（ 4-23）
代入到式（ 4-11），可得量化噪声功率
2
2
max2
q
3M
x
N
e
==σ
(4-24)
由于量化造成的误差，可以计算信号与量化噪声功率之比——量化信噪比。输入信号
{}
k
x
的平均功率，即方差，设为
2
x
S σ=
，则量化信噪比为
=== ][3
2
max
2
2
2
e
2
q
x
M
N
S
xx
σ
σ
σ
)(23
2
max
2
2
x
xk
σ
×
(4-25)
2
cr
22
cr
2
/3/23 KMK
k
=×=
Δ
(4-26)
或
2
crdB
q
lg1002.68.4)( Kk
N
S
+=
（
dB
）
(4-27)
式中，
2
max
cr
x
x
K
σ
=
——信号的波形因数，或峰值系数，它是输入信号的幅度与其有效值之比。
如，
)cos()(
00
tAtx ω=
正弦信号，它的
cr
K
系数为
2
2/
0
0
cr
==
A
A
K
即
2
2
cr
=K
(4-28)
即正弦型信号的功率为
2
2
0
A
，按最大值
2
0
2
max
Ax =
。
因此，正弦型信号量化时的量化信噪比为
kkk
N
S
2122
q
25.1232/23 ×=×=×=
(4-29)
或
8.1602.676.1)(
dB
q
+?+= kk
N
S
(dB)
(4-30)
由上列几个
q
NS
的表示式，均表明对于模拟信号总有其
cr
K
一定值，当选定
k
M 2=
参数后，
量化信噪比就被确定，即
q
NS
唯一地决定于
M
（或
k
），且样本编码位数
k
增加一位，量化信噪比就增高 6dB。
4.4 数字语音 PCM
本节以成熟应用的语音信号 PCM 传输为重点，阐明非均匀量化的基本原理，同时分析此种编码系统的噪声性能。
语音信号的幅度（发音强度）并非均匀分布，它的动态范围往往在 60dB 左右（即幅值大小变化为
1:1000
）。若为了使小信号幅度的样本量化噪声相对值较小，利用上述均匀量化需 12
比特的码字，即量化级
40962
12
==M
。不然的话，由于小信号比例比大信号大的多，它蒙受较大量化损失，语音质量将大为下降。因此需要非均匀量化——基本策略是，不论样本幅度大小，使它们量化失真的相对比例都差不多相等。
达到这一目标的基本做法是，对大信号使用大的量化间隔，而小信号则利用小的台阶。
4.4.1非均匀量化
现就数字电话 PCM 编码，按照国际电信联盟 ITU 规定的标准，介绍非均匀量化及其编码结构。
1.压缩－扩展（Companding）特性
实现非均匀量化利用“压缩－扩展”技术，如图 4-13 所示特性，在发送端采用图（ b）具有
“压缩”（ Compressor）的量化特性，兼有对大信号“压缩”（大的
Δ
）和对小信号的“扩展”
（用小的
Δ
）。在接收端解码后的受压缩影响的样本序列，再经过与图（ b）完全相反的特性，
即“扩展”（ Expander）特性（图（ c））。发收两种特性之和应为线性，才不致引起各样本的压-扩失真。
早在 20 世纪 20 年代，开始利用模拟长途载波电话通信之后不久，于 1937 年,PCM 电话原理已有文献可查。长期以来原 CCITT（国际电话电报咨询委员会）经过大量研究与实验，关于
PCM 数话，先后颁布了 G 系列多种标准（自 1993.3 鉴于电信业的发展,CCITT 易名 ITU-T），
其中,G.
711
建议，具体规定了基于单话路为
b
R
=64Kb/s 的 PCM 标准。在此标准中对压－扩特性进行了数学形式的规定。
2.两种制式压－扩特性标准
ITU-T G.
711
建议的 PCM 两个标准为
A 律,
+
=
+
+
=
Aln1
A
Aln1
Aln1
x
y
x
y
A
1
0
1
A
1
≤≤
<≤
x
x
(4-31)
式中，
x
——归一化输入信号电平；
抽 样 压缩均匀量化 编 码 译 码 扩 张 信 道
（ a） 具有压扩器的 PCM 系统
图 4-13 压-扩特性
输出
输入
均匀量化
输出
输入
扩张曲 线
（ b）
压缩曲线
（ c）
y
——归一化量化电平；
)ln(?
——自然对数；
A——确定常数,A=87.6。
上述 A 律压－扩特性主要用于欧洲和我国的 PCM 电话系统。
μ
律,
)1ln(
)1ln(
)sgn(
μ
μ
+
+
=
x
xy
(4-32)
式中，
)sgn(?
——正符号函数；
μ
——压缩量度。
μ
值的作用是，当
μ
值小时或归一化值
1<<xμ
时，几近于均匀量化特性，当
μ
值大时，
1>>xμ
有更强的压缩效果，在现用系统中，常取
μ
=100 或 255。
A 律与
μ
律公式也可以由十进对数表示,
+
+
+
=
Alog1
||A
Alog1
|)|Alog(1
x
x
y
A
1
0
1
A
1
≤≤
≤≤
x
x
(4-33)
及
)1log(
|)|1log(
||
μ
μ
+
+
=
x
y
(4-34)
其实两种表示是一样的。
A 律与
μ
律均含有对数运算，是由于人耳对声音的响应与幅度值对数成正比。
为了生产器件的方便，一般由分段折线方式来逼近 A 律或
μ
律特性曲线。现行标准中,A
律利用了,13 折线”近似关系。如图 4-14 所示。
由 G.
711
建议采用的 13 折线，对于 PCM 系统 8 比特码字的量化信噪比改善量为 26dB。由式
（ 4-27）的量化信噪比公式，相当于节省了 4 比特码元，即非线性量化的 A 律技术，使用均匀量化的 12bit/码字可由 8bit/码字完成，或 11bit/码字可由 7bit/码字（除极性码最高位外）完成。
*4.4.2 A律/13折线的PCM编码
在实施 A 律 /13 折线编码之前，先将式（ 4-31）的具体构成加以分析。在 A 律曲线图 4-15
中，
bc
段曲线表示式（ 4-31）中第一部分表示式，
bo
段是直线——由 b 点对弧线
bc
所作的切线，
bo
段表示式（ 4-31）第二部分。 b 点坐标（
11
,yx
）为
0114.0
6.87
1
A
1
1
===x
183.0
6.87ln1
1
Aln1
1
1
=
+
=
+
=y
13 折线的工作就是以分段方式来逼近图 4-15 已设计的 A 律曲线。
PCM 话音为每码字 8bit，
2562
8
==M
。每个 8bit 码字代表一个量化样本，左起首位最高位的 1,0 分别表示样本的极性，此外尚有 7bit 码元需按 13 折线编出。
1.实施 13 折线的步骤
（ 1） 设动态范围为归一化值，即
yx =
=1；
（ 2） 由于正域与负域对称，先不计极性位，各将±
y
=± 1 分为 8 段，则各段分别为
81
，
41
，
83
，…
87
,1；
（ 3） 相应的
x
值由 A 律公式也对应 8 段，最左段开始为
1281
，
6.601
，…
93.31
,
98.11
,1；
（ 4） 作出如图 4-16 所示的折线，将
x
各点值
i
21
（
=i
0,1,2，… 7）分别与
y
的
8 段值对应。
将以上步骤列表如表 4-2 所示。表中前 3 行均为 8 段的端点值（因图 4-15 中的正负域对称，
便于分析只考虑正域部分）。表中所标折线段落号 1,2…… 8 也为段落端点，共 7 段。如从原点开始到 2 点是第 1 段； 2~3 点为第 2 段…… 7~8 点为第 7 段。表中同时给出了各段折线斜率，如第 7~8 点的最大一段，斜率为
4
1
2/1
8/1
=
，第 6~7 点的一段斜率为
2
1
4/1
8/1
=
……。在 1 段中的两小段（原点 0 至 1 点到 2 间）利用同一个斜率，即
16
1281
8/1
=
。于是正负各 7 段中，不同斜率为 13 段。
表 4-2 13 折线分段
x
值及各段斜率
y
0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1
x
（ A 律的
x
准确值）
0 1/128 1/60.6 1/30.6 1/15.4 1/7.79 1/3.93 1/1.98 1
按折线近似
x
值 0 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1
2.按 13 折线的编码步骤
按上表 4-2 将量化动态范围正负域各等分 8 段。每码字 8bit 的布局如下,
（ 1） 极性码—— 8bit 中最高位
7
a
—— 1 或 0，表示信号极性；
（ 2） 段落码——除已表示了正负极性外，量化的± 8 段，需由（
456
aaa
） 3 位码元
表示，即 000,001… 111 表示量化值处于 8 段中的哪 1 段；
（ 3） 段内码——± 8 段中每段均有 16 个不同电平，由低 4 位（
0123
aaaa
）表示量化
值在某段中第几个电平。
通过以上布局，对任何在动态范围内的量化样本均由（
01234567
aaaaaaaa
）表示出它的准确量化电平，如表 4-3 所示。
表 4-3 PCM 语音 8bit 码字构成
极性码 段落码 段内码
a
7
a
6
a
5
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
3.段落与段内码的电平
在13折线中，
x
轴的归一化动态范围
1±
内,与
y
轴8段对应值从第1,2段起为
1281=x
，
641
，
321
，
161
，
81
，
41
，
21
，1。这里1、2段的
x
轴上
1281
映射到量化输出y轴的第1、2 段，均各为 16个不同电平，因此最小份额的电平应为归一化电平值的
20481)16128(1 =×
，设此最小电平为
δ
。
双极性量化信号动态范围归一化为
20482
11
=
个最小单位（设为
δ
），即正负域各
1024
δ
。根据表 4-2 中 13 折线实施方案及表 4-3 的码字结构，可得出正负各 8 段的电平分布，如表 4-4 所示，为正域 8 段电平分布，负域与其呈对称关系。
表 4-4 8bitPCM 各段电平分布表
段落 1 2 3 4 5 6 7 8
起点电平
0 16 32 64 128 256 512 1024
由表 4-4 看出，由于 13 折线算法及表 4-4 所示，从原点起第 1,2 段斜率相同。因此二者的段内码对应的电平相同（均为 8,4,2,1），段长均为 16。其余 6 段均以 2 倍递增各电平值。须明确，之所以给出± 1024
δ
共 2048
δ
电平种类，是由于 13 折线方式编 8bit 码字的最小精确到 1
δ
，如图 4-17 所示。
4.5 差分脉码调制（DPCM）
4.5.1预测编码概述
模拟信号数字化处理中，就语音信号来看，经常存在变化较为平缓的局部时段，而活动图像（ Video）的前后画面（帧）之间也有很大的相同性。在这些情况下的抽样样本序列的相邻样本间，显现出一定或较大相关性，也就是说，相邻样本间的变化比整个信号进程中的变化要小。
当利用 PCM 方式编码时，这些相邻样本很可能在一个量化级，或只差 1,2 个量化级，这样的
PCM 码序列，就产生了“冗余”信息。这意味着夹杂有重复信息传输而浪费传输能力。如果设法在编码前就去掉这些相关性很强的冗余，则可进行更为有效的信息传输。具有此种功能而普遍采用的编码机制，称为差分脉冲编码调制（ DPCM）。
为实现 DPCM 目标，应当具有一定的“预测”能力，或至少能在编码本位样本时能估计到下一样本是否与本位样值有所差别，或没有什么不同，如果能做到这种近似估计，就相当于在一个样本编码前就大体“知道”了该样本值。
设具有这种相关性的样本序列，在
s
kTt =
时的未量化值为
)(
s
kTx
，它的估值（预测）为
)(
~
s
kTx
，则可能存在的预测误差为
)(
~
)()( kxkxke?=
(4-35)
而预测值是由预测滤波器产生的，
)(ke
称作输入未量化样本值
)(kx
的预测误差。它是由于预测器给出的预测值不够准确而产生的信息损失，因此应当对这部分不可丢失的信息进行编码传输。
4.5.2 DPCM系统分析
图 4-22 给出了一个实现 DPCM 功能的系统框图。它实现预测编码的基本设计构思是，对预测误差
)(ke
进行量化后，编成 PCM 码传输。而不像 PCM 系统是对每个样本量化值编码。这一差值的动态范围应当说比 PCM 的绝大多数样本值小的多。 PAM 序列的
)(kx
所用的参考值
)(
~
kx
来自于带有预测器，而不断累积的阶梯波输出，
)(
~
kx
是在
s
kT
以前所有累积值与差值量化值
)(? ke
相加的结果。因此阶梯波
)(
~
kx
总是在不断近似追踪输入序列 PAM 信号的各
)(kx
值。
1.各量值之间关系
（ 1） 系统输入的瞬时样本值与累积阶梯波之差为误差值，即
)()(
~
)( kekxkx =?
(4-36)
（ 2） 比较器输出的误差值
)(ke
经
M
个量化电平的量化器量化后为
)(? ke
，它等于误差值与量化误差值之和，即
)()()(? kqkeke +=
(4-37)
式中，
)(kq
——差值
)(ke
的量化误差（量化噪声）。
（ 3） 预测器的输入值等于阶梯波累积值与差值的量化值之和
)(?)(
~
)(? kekxkx +=
(4-38)
（ 4） 通过系统中的预测处理后，
)(kx
的最终损失为量值不大的差值量化噪声
)(kq
,
则有
)()()(? kqkxkx +=
(4-39)
或
)()(?)( kqkxkx?=
(4-40)
（ 5） 由于预测输出通过分析阶梯波
)(
~
kx
是个累积过程，因此，式（ 4-37）可写为
∑
=

=?=
N
i
i
ikxakx
kxkxke
1
)(?)(
)(
~
)()(
(4-41)
式中，
i
a
=± 1——表示单位幅度的正负权值系数。
由式（ 4-39）和（ 4-41）看到，图 4-22（ a）中的虚线框功能实际上是一个累加器（积分作用），并且其输入
)(? kx
与输出
)(
~
kx
之间类似一个横向滤波器的关系，如图 4-23 所示。
2.
)(? ke
值的 PCM 编解码
由式（ 4-37）产生的预测误差
)(ke
虽然与样本值比较一般是不大的量，但由于信号
)(tx
某段中可能增、减斜率较大，因此阶梯波
)(
~
kx
追踪能力就显不足，会导致瞬时差值
)(ke
较大，
况且通过量化器得到的量化值
)(? ke
又有新的损失量
)(kq
。因此对于各
s
kT
时刻的正负不等的差值需进行编码。 分析证明,对于动态范围远小于原信号动态范围的量化差值
)(? ke
编制 PCM 码 （线性），要比直接利用 PCM 系统利用的编码位数
Mk
2
log=
要少。
由于利用 PCM 编码，比较简单，这里不再赘述。
DPCM 解码也非常简单，它与发送端的反馈支路完全相同。首先将差值 PCM 解码为差值序列
)(? ke
，然后经过与发送框图（ a）虚框中的累加器（积分）的运行过程相同的（ b）图，即可恢复原信号的近似值
)(
~
kx
——阶梯波，再由低通滤波器（ LPF）平滑后，可得原信号
)(kx
的估值信号。
3.性能评价
由上述分析与式（ 4-40）或（ 4-41）关系式,DPCM 量化噪声为
)(kq
，它的统计特性为
均值,
0)]([ =kqE
(4-42)
方差,
)]([
22
q
kqE=σ
(4-43)
输入信号均值设为 0，方差为
2
x
σ
。
于是量化信噪比为
2
q
2
2
2
2
q
2
q
σ
σ
σ
σ
σ
σ
e
e
xx
N
S
==
(4-44)
兹设
2
q
2
q
σ
σ
ee
N
S
=
——差值信号量化信噪比
(4-45)
及
2
2
p
e
x
G
σ
σ
=
—— DPCM 预测处理增益
(4-46)
因此得 DPCM 系统量化信噪比为
q
p
q
N
S
G
N
S
e
=
(4-47)
其中，
p
G
之所以认为是增益值,是由于信号功率
2
x
σ
总是大于差值信号的功率
2
e
σ
,应有
p
G
>1。
如果预测器设计的阶次较高，即预测精度高，则差值
)(ke
更小，
p
G
更大。图 4-24 示出了预测阶次
p
与预测增益
p
G
的关系曲线。表明当预测阶次达到 5 时，可有
p
G
=10dB 以上增益值，即使
p
=1，
p
G
=6dB，也体现了 DPCM 较好的效果。与利用线性 PCM 比较,6dB 相当于 1 比特码元的节省。应用实践表明，对于语音信号编码利用 DPCM 时，可以由
k
=7 比特相当于 PCM 系统的
k
=8bit 效果。即
kb/s56
b
=R
语音即可有 PCM 系统的 64kb/s 质量。
DPCM 利用预测编码，应用范围很广，除了语音以外，更多地用于图像无失真压缩编码，如目前流行的会议电视、可视电话等图像处理采用二维多阶 DPCM 处理。
4.6 增量调制（DM）
4.6.1 DM基本特点
增量调制（ DM 或△ M）是 DPCM 家族中的一个质量级别最低，而结构最为简单的一种预测编码方式。 DPCM 的瞬时误差信号
)(ke
尚经过量化后仍需编为
k
比特 PCM 的码字，而增量调制却以一个双向硬限幅器二电平“量化”，代替 DPCM 的多层电平量化，于是 DM 编码每码字只有
k
=1 比特。
当信号
)(tx
的 PAM 离散序列中的瞬时样本
)(kx
与累积阶梯波的相应瞬时值
)(
~
kx
进行比较后，输出的差值
)(ke
为
)(
~
)()( kxkxke?=
(4-48)
经过
Δ±
两电平量化器量化，亦即双向硬限幅量化值为
)(? ke
，对应每一样本“编出” 1 位码，
即
k
a
)](?sgn[ kea
k
Δ=
(4-49)
或
Δ?
Δ+
== )(? kea
k
(4-50)
图 4-26（ a）示出了 DM 频测器输出波形与输入信号的比较情况，（ b）图是量化器特性。
由上式（ 4-50），
)(ke
这一差值无论大小，只要为正误差，
)(ke
>0，则量化限幅器输出为
Δ+
，
只要为负误差，
)(ke
<0，则输出为
Δ?
。因此，编码 DM 序列是
Δ±
的双极性码。 1,0 码各表示误差值的正或负。为了保证限幅输出均达
Δ±
的值，在限幅量化前首先予以放大，然后硬限幅。
DM 预测器的功能虽仍与 DPCM 相同，但它的输入量为
=+= )(?)(
~
)(? kekxkx )()(
~
kkx Δ±
(4-51)
而阶梯波
)(
~
kx
也是
s
kT
以前所有时刻的不同极性的
Δ
值的计数累积值（代数和）。于是 DM 预测器可加以简化为一个“计数器”。
DM 编码器也不同于 DPCM,后者尚要实现
)(? ke
值的 PCM 编码功能,而
)(? ke
的
)(kΔ±
就是输出双极性码,DM“编码器”功能只不过是为了与信道相适配，将双极性
Δ±
序列以适当码型或波形表示。
4.6.2 过载特性
上面介绍的 DM 系统构成特点，主要指出了它与 DPCM 的 3 个小的差异，即量化、预测和编码的特点。更为突出的一点是 DM 预测（计数）输出对于输入信号瞬时变化的追踪能力问题，
从图 4-27（ a）和图（ b）比较，可以看出明显不同：一旦抽样速率
s
f
或抽样间隔
s
T
与量化限幅值
Δ
已定，则不论
)(kx
样点序列值变化幅度大小，阶梯波
)(
~
kx
总是“亦步亦趋”，每抽样间隔以
Δ±
的增减量“稳步”追踪
)(kx
瞬时变化。追踪不力的情况是
)(tx
瞬时变化率（斜率）大于阶梯波的固定升降速率
s
TΔ±
时，即
(4-52)
时，则产生所谓“斜率过载”，即产生更大误差为
Δ>? )()(
~
kxkx
(4-53)
上式（ 4-52）是 DM 产生“斜率过载”的条件，式（ 4-53）是斜率过载时产生的恶果——大的预测误差
)(ke
。而经过固有的所谓
Δ±
的量化，却一律抹煞了这一更大或更小
Δ
的误差，而一律按
Δ±=)(? ke
的差值变化作为输出。
通常称 DM 阶梯波与信号
)(tx
的每
s
T
间隔的差值为颗粒（量化）噪声（ Granular Noise），
而图 4-27（ a）中的过载区（阴影部分）为斜率过载噪声（ Overslope）。
再看图 4-27（ b）中的 DPCM 情况，它总是将前一个时刻
s
)1( Tk?
的阶梯波
)(
~
kx
的累积值作为当前样本值
)(kx
的预测值。而式（ 4-42）的差值
)(ke
无论大小都经过一个多量化电平量化器（稍有量化噪声）而将量化后的差值
)(? ke
再去编为 PCM 码。因此 DPCM 的追踪总是没有什么过载现象。至少具有相邻样本的“自适应”预测能力，因此编码性能好。
鉴于 DM 系统的固有缺欠，只好对它规定一个避免斜率过载的条件，即
max
max
s
d
)(d
)('
t
tx
tx
T
=≥
Δ
(4-54)
这一条件强调 DM 追踪斜率应不小于输入信号动态变化的最大斜率。
最后尚需明确的是,DM 系统由于 1 个样本只编 1 位码,因此抽样间隔
s
T
要比 PCM 或 DPCM
小得多，即需高抽样速率，但是 DM 的编码速率要低得多。系统结构简单和比特率低来胜任低质量要求的通信业务，是具有一定价值的数字通信方式。
至于它的应用，由于它的颗粒噪声明显，用于电话信号传输，总会使收听者能明显察觉到细微而使人厌烦的背景噪声，因此 ITU-T 不允许它进入公网使用。 DM 多用于军事通信，因其简单、耐用、轻便而为优势，另外在数字微波等信号处理环节，以及有些图像处理中间过程有时也采用 DM。
4.6.3 改进型DM
鉴于 DM 系统颗粒噪声过大和苛刻的斜率过载限制，曾相继提出了改进型 DM 技术。
1.总和增量调制（∑-DM）
由于式（ 4-55）的限制，斜率过载条件往往不切合实际，为此设法在信号进入 DM 系统前，
先将其动态变化的速率（即动态斜率）加以平缓处理，即先将信号积分，然后进行 DM 编码，
如图 4-28 所示。
我们会分析出，输入信号一经积分，会使其产生如下变化,
（ 1） 信号的低频分量被进行了如前提到的“预加重”。
（ 2） 相邻样本之间的相关性增强,即整个信号积分后因动态范围减小而误差的方差减小。
另外，从接收端来看，也无须使用预测器，因为已将输入信号积分后的∑ -DM 接收信号，
需要进行微分而恢复原信号。因此与原来 DM 接收系统中的预测器构成的积分单元相抵消。微积分相抵后，等效于只用低通 LPF 就可从∑ -DM 信号解码原信号
)(tx
的近似波形。
鉴于先对模拟信号
)(tx
积分及比较器输出
)(te
均为模拟时间连续量，相对应地将 DM 系统
（图 4-25）的虚框积分功能单元，用积分器 2 等效代替，并在模拟
)(te
量化限幅后再由冲激序列抽样，输出∑ -DM 型式下的
Δ±
电平二元码。
∑ -DM 通过事先对信号积分而使追踪性能得以改善，适当限制了斜率过载现象，但它的颗粒噪声依然较大。
2.自适应 DM（ADM）基本思想
为了效法 DPCM 的样本间差值不均按
Δ±
来对误差信号
)(ke
固定二电平限幅,而使
Δ±
固定值视信号变化速度而随时改变台阶值
Δ
的大小；产生出几种类型的自适应性的 DM 方式。但由于它与 DPCM 运行模式本质不同，若随时变化
Δ
，则需“告诉”接收端在某
s
kT
瞬时的台阶采用的规格，以便接收解调按同一规律操作。如若随时传输“边信息”，则必会增加附带的码率。
这有悖于 DM 系统的设计初衷。
我们可以试设计一个不需传输“边信息”，即后向估值方法，而作为一定自适应台阶变化的方案，如图 4-30 所示。
兹设计台阶值为两种，基本台阶
1
Δ
较小，大的台阶
12
2Δ=Δ
，当两次比较输出差值均为
)(kex+
时，则输出表示连续两个 1 码，这表明阶梯波追踪不上输入信号，那第 3 次台阶就增为
2
Δ
,若第 3次比较输出 1码后，
)(
~
kx
仍追踪不上
)(kx
,则第 4,5次仍用
1
Δ
,下次再为
2
Δ
……，
这样做为了不传输“边信息”，可在积分器输入端设一个计数逻辑，只要是连续两次
)(
~
kx
波上升（或下降），第 3 次一定为
12
2Δ=Δ
的台阶值，而这个大台阶值，是由“计数逻辑”控制预测器，即时增加输出增量为
2
Δ
。如图中 DM 编码凡连续 3 个 1 或 3 个 0 的情况，则第 3 位一定为
2
Δ
。接收解码逻辑也按此规律，使解码时这种第 3 位用
2
Δ
增量，可达到自适应发收的效果。
这里，只是一种简单思路，可以将预测控制的计数逻辑设计得更为复杂些，可以使自适应变化台阶的追踪能力加强，而又不致颗粒噪声过大。
3.数字音节压扩 DM
上述所谓 ADM 是一种简单思路，固然不付实用，但由这种思路却就容易理解自适应控制台阶量——即通过检测输入信号斜率大小而不需边信息,达到能避免过载失真或减少颗粒噪声的目的。一种用于语音的可行自适应 DM，称作数字音节压-扩 DM 系统。
经统计测试，语音音节的包络变化是有一定周期的，大约为 100ms。通过 DM 输出连 1 或 0
的个数，检测不同包络的不同斜率，而决定所用量化限幅
Δ
值的大小，可按一定规则进行压-扩，
类似于 PCM 的 A 律或
μ
律，可达到各不同音节（斜率）时的失真量相对均衡。
鉴于 DM 系统制式已不广泛应用,这里不再具体介绍权宜性改进方案。 ADM 无论何种策略，
其系统本身的 DM 实质未变，而只是减少斜率过载。
4.6.4 关于DM系统量化噪声
以简单 DM 系统图 4-25 来分析，由于预测误差由二电平限幅器完成所谓量化，加之可能出现的过载现象，因此其量化信噪比是很低的，在收端明显听到这种颗粒噪声导致的背景干扰就是自然的了。如图 4-26 中，基本上不过载情况下，其量化误差
)(kq
是在（
ΔΔ?,
）内均匀分布、
均值为 0 的随机变量，它的方差，即量化颗粒噪声功率为
===
∫
Δ
Δ?
qq
2
q
2
q
d)()]([ eepekqEN
∫
Δ
Δ?
Δ
=
Δ 3
d
2
1
2
q
2
q
ee
(4-55)
式中，
Δ
=
2
1
)(
q
ep
——量化噪声
)(kq
的 pdf；
式（ 4-55）的颗粒噪声功率
3
2
Δ
的噪声带宽为
s
sn
1
T
fB ==
，当 DM 编码解调后经限带为
)(tx
信号带宽
m
f
的 LPF 后，其输出的噪声功率为
s
m
2
s
m
qo
3 f
f
f
f
NN?
Δ
==
(4-56)
式中，
s
f
—— DM 系统抽样频率。应当明确，由于 DM 是以每样本二电平量化，要使 DM 有一定质量，则抽样间隔
s
T
很小，即抽样速率
s
f
远非
m
2 f
，而要
ms
)8~4( ff ≥
。
为了使
3
2
q
Δ=N
的结果确保是不过载条件下得到的，以正弦信号
tAtm
m0
cos)( ω=
为例，代入不过载条件来计算式（ 4-56）中的输出噪声功率
o
N
。
不过载条件为
s
m0
max
d
)(d
T
A
t
tm Δ
≤= ω
或
sm0
π2 TfA≥Δ
式中，
π2
m
m
ω
=f
——信号
)(tm
的频率。
而解调后输出噪声
o
N
为
s
m2
sm0o
)π(
3
4
f
f
TfAN?=
于是在单音信号不过载情况下，输出量化信噪比为
3
m
s
2
q
o
)(
π8
3
f
f
N
S
=
4.7 自适应差分脉码调制（ADPCM）
ADPCM是 PCM编码系列的新成员,也是继 DPCM之后充分利用线性预测的高效编码模式。
利用 ADPCM 的先进之处在于，它是自适应量化与自适应预测的智能化技术，用于语音编码在无明显质量降级前提下，轻易将 64kb/s 标准语音 PCM 压缩到 32kb/s，甚至可以低至 16kb/s，以及质量级别较低的 8kb/s,2.4 kb/s 的 ADPCM 已有应用,800b/s 的低质量语音压缩 ADPCM 也已成为可能。
由 ADPCM 提供的低比特率或极低比特率编码，特别是用于信道拥挤和昂贵传输费用的传输系统，如无线卫星、微波，尤其是 TDMA、蜂窝无线通信系统，若利用 8.5kb/sADPCM，再由
QPSK 进行 4 进制调相传输，一个 30kHz 的 TDMA 信道，可以为 3 个用户提供质量尚为满意的通信，或者在质量降级情况下，可以容纳 12 个用户（速率 2.5kb/s）。
4.7.1 ADPCM基本原理
ADPCM 充分利用了语音波形的统计特征和人耳听觉的特性,其设计思路主要瞄准了两个目标,
（ 1） 尽可能在语言信号中消除冗余；
（ 2） 对消除冗余后的信号，以明显而离散的方式，从适用角度进行最佳编码。
基于这些基本思想与目标，利用高新技术使标准 PCM64kb/s 依次压缩为 32kb/s,16kb/s,8
kb/s。其间为消除冗余与比特最佳分配的处理量，就计算复杂性而言，在基本确保语音质量前提下，每压缩 1 倍比特率所作的加法、乘法运算次数，增加 1 个数量级。
“自适应”在 ADPCM 技术中，是对输入信号电平和频谱的变化具有灵敏的决策反应，这种快速反应的决策，是由自适应量化与自适应预测相结合完成的。以这两种功能的含义命名
ADPCM。
1.自适应量化
ADPCM 采用的自适应量化模式，是针对被量化信号的变化状态，而随时调节台阶大小以匹配输入信号的时变方差。关系式为
)()(
s
2
s
nTnT
x
σλ=Δ
(4-57)
式中，
λ
——常系数。自适应量化单元的运行，连续不断地按照式（ 4-57）计算非平稳信号的方差（变化）。
自适应量化有两种实现方式,
（ 1） 具有前向估值的自适应量化（ AQF）
基本功能是对输入信号尚未量化的样本计算出其前向估值大小。图 4-32 示出了 AQF 的功能框图。
AQF 需要提供一定空间的缓存量，以便在“训练”期间暂存输入信号未量化样本。也就是说，通过“训练”来准确决定台阶规模的信息应发送多少比特（一般 5~6bit），并通知接收端，
作到双方认可。于是这些附加的“边信息”占用了一些传输容量，同时这种自适应量化处理也导致一定的编码延时，这在某些实用系统中是不便采用的。
（ 2） 具有后向估值的自适应量化（ AQB）
AQB 与 AQF 不同在于，它利用量化器的输出样本计算出输入信号的方差
)(
s
2
kT
x
σ
估值，
以便由式（ 4-57）来决定它采用多大的量化台阶
)(
s
kTΔ
。它的优点是完全避免了缓存、
)(
s
kTΔ
的边信息传输和延时问题。图 4-33 示出了 AQB 模式的框图，它是一个非线性反馈系统。它不需要提供未量化样本，系统稳定性好；但是利用量化的只能是瞬时或短时的输入信号方差的估值。
同时影响估值的追踪速度，量化级
M
小时，此缺点更显突出。
2.自适应预测
ADPCM 同时又采用了自适应预测策略，对于语音信号系统，由于它是非平稳随机信号，其自相关函数与相应的功率谱均为时变函数，采用自适应预测是最为有效的策略。
和自适应量化一样，自适应预测也有两种模式,
（ 1） 具有前向估值的自适应预测（ APF）
APF 是利用未量化的输入信号样本来计算预测器系数的估值，图 4-34 示出了 APF 框图。它与 AQF 一样，也有诸如边信息传输、缓存量和延时等缺点。因此在实际应用中，也被后向估值预测模式所取代。
（ 2） 具有后向估值的自适应预测（ APB）
APB 是利用量化样本和预测误差来计算预测系数的估值。图 4-35 所示是 APB 模式的框图。
图中的“自适应预测逻辑”是用于更新预测系数的模块。 APB 是利用已量化样本或发送数据，
可达到最佳化预测系数的估值效果，因此它逐一对样本进行频繁而满意的更新，是最适于
ADPCM 选择的预测方案。
自适应预测和量化，采用了信号处理中常用的最小均方误差（ LMS）算法，并以同步机制将二者有机结合在收发两端，并已为 ITU-T 定为 ADPCM 的标准。最广泛应用的数字化业务是
32Kb/s 语音传输。至于自适应 LMS 算法，将在本书下一章概括介绍。
第 5 章 数字信号基带传输
知识点,
(1) 信号设计 —— 码型、波形是数字编码传输的基础；
(2) 随机数字波形序列的功率谱特性；
(3) 数字基带信号传输系统构成及其主要知识；
(4) 消除符号间干扰理论 —— Nyquist 准则基本原理及实施技术；
(5) 均衡的基本概念。
知识点层次,
(1) 掌握主要码型如双极性不归零码,AMI、差分码等构成特点，理 解其他码型特征；
(2) 理解功率谱构成特征，掌握决定功率谱的主要参量；
(3) 掌握奈氏第一准则及有关参数、关系，理解第二准则基本思想；
(4) 了解均衡目的及主要做法；
(5) 掌握并理解各典型例题及简答填空内容。
5.1 数字基带信号的特点
由模拟信源转换而来的 PCM 信号,或离散信源产生的符号序列,以及数字数据源发出的代码，
从广义角度，我们均称其为 PCM 编码。这些序列的码组构成的码字各代表一个独立信息含义。为了匹配信道特性达到较佳传输效果，尚待选用适当码型和波形来表示，它们既是每个码元符号的逻辑结构，又体现码序列内部的相关性，除增强传输信号匹配信道特性的能力外，还包括其它因素的考虑。
5.1.1 码型选择
1,原始脉冲编码不适于信道传输
一般PCM波形编码因存在以下可能的缺点，不宜直接用于传输,
(1)含有丰富的直流分量或低频分量，信道难以满足传输要求；
(2)接收时不便于提取同步信号；
(3)由于限带和定时抖动，易产生码间干扰；
(4)信号码型选择与波形形状直接影响传输的可靠性与信道带宽利用率。
2.选择码型的考虑
发送信号设计中一个主要的问题是，确定信号的线路编码类型，基本考虑如下,
(1)对直流或低频受限信道，线路编码应不含直流；
(2)码型变换保证透明传输，唯一可译，可使两端用户方便发送并正确接收原编码序列，而无觉察中间环节的形式转换，即码型选择仅是传输的中间过程；
(3)便于从接收码流中提取定时信号；
(4)所选码型以及形成波形，应有较大能量，以提高自身抗噪声及干扰的能力；
(5)码型具有一定检错能力；能减少误码扩散；
(7)频谱收敛——功率谱主瓣窄，且滚降衰减速度快，以节省传输带宽，减少码间干扰；
3.波形成形
在选用了合适的码型之后，尚需考究用什么形状的波形来表示所选码型。如，单极性码，
是用方波还是半正弦形，还是其他形状波形，这叫做波形“成形”（ Shape）。不同波形占用带宽、频谱收敛快慢以及所持能量不同，将直接影响到传输效果。这里所指“成形”是狭义的，本章下面节次奈氏（ Nyquist）准则的思想是将发送、信道、接收三个环节视为一个广义信道，要求接收响应的波形有严格条件，旨在消除接收判决时的符号间干扰（ ISI）。
5.1.2 常用码型及其特点
1.几种基本的基带信号码型
（ 1）单极性不归零码（NRZ-L）
单极性不归零码（ Unipolar Nonreturn-to-zero）的 0,1 码与基带信号的 0 电位及正电位对应，
脉冲无间隔，只适于短距离传输。
缺点：含有直流( DC)分量；接收判决门限为接收电平一半，门限不稳，判决易错；不便直接从接收码序列中提取同步信号；传输时需信道一端接地（不平衡传输）。
（ 2）双极性码( Bi-NRZ)
双极性码的 0、1 码与基带信号的负、正电位对应。与单极性相比，双极性不归零码
（ Bipolar-NRZ）优点为：从统计平均看,1,0 各半，不含直流分量；两种码元极性相反，接收判决电平为 0，稳定性高；可在电缆等线路不接地传送（平衡传输）。
因此,Bi-NRZ 码比较常用，更适于速度不高的比特流传输，将单极性转换为双极性也较简单。
缺点：不易从中直接提取同步信息； 1,0 不等概时仍有直流分量。
（ 3）单极性归零码( RZ-L)
其脉冲宽度比码元宽度窄，每个脉冲都回到 0 电位。这种码型除仍有单极性 NRZ 码缺点外，
其优点是可直接提取同步信息，但由于存在直流分量，不宜直接传输，宜先将其转换为其它码型进行传输，接收时再转换为 RZ-L。
（ 4）双极性归零码( Bi-RZ)
这种码型的一个直观优点是当只要在接收码归零时,则认定传送完毕,便于经常维持位同步，
收发无须定时，故称其为自同步方式，它得到广泛应用。
（ 5）差分码
差分码也称为相对码，其 0,1 码反映相邻码元的相对变化。它又分传号差分码与空号差分码（见下一章 DPSK 一节介绍）。它利用码元间互相关，减少误码扩散，同时在连续多个误码时，接收误码反而减少。
2．传输码型
许多数字基带信号不易于在信道中传输，需编制成适用于基带传输系统的码型，现介绍常用的几种传输码型。
（ 1）交替传号极性码( AMI)
AMI 码（ Alternative Mark Inversed Encoding）又称双极方式码( Bipolar Encoding)、平衡对称码或传号交替反转码,它属于单极性码的变型,当遇 0 码时为 0 电平,当遇 1 码则交替转换极性，
这样成为确保正负极性个数相等的“伪三进制”码。
优点：确保无直流，零频附近低频分量小，便于变量器耦合匹配；有一定检错能力.当发生
１位误码时，可按 AMI 规则发现错误，以 ARQ 纠错；接收后只要全波整流，则变为单极性码，
如果它是 AMI－RZ 型，可直接提取同步。
缺点：码流中当连 0 过多时，同步不易提取。
（ 2）三阶高密度双极性码( HDB
3
)
这种码型属于伪三进制码。 HDB
3
中,3 阶”的含义是，这种码是限制“连 0”个数不超过 3
位。为减少连 0 数，有的做法采取“扰码”，按一定规则将多个连 0 分散，尽量使码序列随机化。
有效的办法是采用 HDB
n
(
n
=1,2,3)，一般多使用
n
=3。
HDB
3
的优点为：无直流；低频成份少；频带较窄；可打破长连 0，提取同步方便。
虽然 HDB
3
有些复杂,鉴于其明显优点,PCM 系统各次群,常采用其做接口码型标准 （ HDB
3
构成见下例）。
（ 3）分相码（曼彻斯特码－ Manchester）
分相码也称孪生二进制码，实现分相码很简单，可将宽度为
b
T
的码元按如下处理，当出现 1
码时用正负各占
2
b
T
双极性码表示，0 码用宽为
2
b
T
的负正极性代替，这样确保无直流。但实际频带却增大一倍，降低了传输频带利用率，适于信道带宽较大或码速低的应用。
（ 4）传号反转码(CMI)
这种码的规则是 1 码像 AMI 码一样轮流反转极性,0 码采用在
b
T
内各占
2
b
T
的负正极性双相码，因此又称其为“一组 2 位二元码( 1B2B)”。此种码型频带利用率低，现多用 5B6B 码，
5 位码加 1 位冗余后，含 3 个 1 者共 20 种，含 4 个 1 或 4 个 0 共 30 种。除了较优的 20 种外，
其余 30 种可选用。
其优点是：不含直流，有一定检错能力，也易实现。
（ 5）密勒码（ Miller）
又称延迟调制码，其规则是1 码按交替极性的双相码，而0 码却保持低电平，属于一种特殊的双极性码。
5.2 数字基带信号功率谱
对信号设计而言，在选配了合适的码型和波形之后，应了解不同码型及波形构成随机波形序列的功率谱特性——包括主瓣宽度和谱滚降衰减速度，尤其需考虑消除符号间干扰( ISI)。
5.2.1 数字基带信号分析
假设信源编码符号序列为{
k
a
}，以某一定码型和波形表示该序列。设 1,0 先验概率分别为
p
和1-
p
。为考虑分析具有代表性，在
)(tg
波形序列中由
)(
1
tg
表示 1 码，
)(
2
tg
表示 0 码，
为更一般化，
)(
1
tg
和
)(
2
tg
形状可以不同，如图 5-2 所示。设码元周期
b
T
，即比特率为
bb
1 TR =
。
信号波形序列可表示为
)()( tsts
k
k
∑
∞
∞=
=
(5-1)
式中,


=
)1)((
)(
)(
b2
b1
pkTtg
pkTtg
ts
k
(5-2)
现按照第二章随机信号分析方法,取2
T
时段截短的信号为
)(ts
T
,并包含(2
N
+1)个码元，
即2
T
=(2
N
+1)
b
T
。
则截短信号功率为
dffE
T
dtts
T
P
TT
T
T
T
2
2
)(
2
1
)(
2
1
∫∫
∞
∞
==
(5-3)
式中，
2
)( fE
T
为
)(ts
截短序列
)(ts
T
的能量谱。
因此，信号
)(ts
功率谱为
])([
2
1
lim)(lim)(
2
fEE
T
fSfS
T
T
T
T ∞→∞→
==
(5-4)
再将
)(ts
T
分解为稳态（平均）分量
)(tV
T
与交流分量
)(tU
T
则
[])()1()()(
b2b1
kTtgpkTtpgtV
N
Nk
T
+?=
∑
=
(5-5)
及
=?= )()()( tVtstU
TTT
[]
∑∑∑
=?=?=
=+
N
Nk
k
N
Nk
k
N
Nk
tUkTtgpkTtgpts )()()1()()(
b2b1
(5-6)
其中
)(tU
k
这个交变量应分别含有概率为
p
的 1 码分量及概率为（1-
p
）的 0 码分量
5.2.2 功率谱计算
1.交变部分功率谱
假设
)(tU
T
,存在”频谱，则傅立叶变换对为
)()( fFtU
UT
，对应功率谱为,
2
21
b
2
)()(
1
)1(])([
2
1
lim)( fGfG
T
ppfFE
T
fS
u
T
u
==
∞→
(5-9)
式中
)(
1
fG
与
)(
2
fG
分别为
)(
1
tg
与
)(
2
tg
频谱。
2.稳态部分功率谱
由截短式( 5-5)，取 T→∞,即k取值±∞,则
b
Tmtj
m
mk
CgppgtV
/2
21
e])1([)(
π
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
=?+=
(5-10)
最后可得数字基带信号功率谱（双边）,功率谱等于连续谱和冲激谱之和为
)()1(
1
)()(
1
)1(
)()()(
b
2
b
2
b
1
2
b
2
21
b
T
m
f
T
m
Gp
T
m
pG
T
fGfG
T
pp
fSfSfS
m
Vu
+
+

=+=
∑
∞
∞=
δ
(5-15)
5.2.3 基带功率谱特征
从式( 5-14)～( 5-16)可以得到如下结论,
（ 1）数字基带序列在这里指 1,0 码随机信号波形序列，从随机信号性质来看，它有确定的自相关函数，因此有确定的功率谱密度，可以写出两者确定的数学表达式；
（ 2）数字基带信号功率谱完全取决于表示比特码元的码型、波形[
)(
1
tg
与
)(
2
tg
]以及 1、
0 码先验概率和比特率
b
R；
（ 3）在功率谱中连续谱为交变量，这样就上列多数码型均为连续谱，谱形状取决于码型及波形和
bb
1 RT =
。
（ 4）在含有平均分量（直流分量）的码型中，功率谱中含有 0 频冲激谱。
（ 5）由于数字基带信号是以
bb
1 RT =
为码元持续时间的随机信号，因此其确定的功率谱以
bb
1 TR =
为周期滚降衰减，衰减速度与波形形状有关。功率谱主瓣一般含到信号全部能量的
90％以上，因此传输带宽大都取其主瓣，即
)Hz(
b
R
（双相码等除外）。
5.3 无失真数字基带传输——奈奎斯特第一准则
5.3.1 奈奎斯特准则的充要条件
由上述，在理想传输条件下，假设式（ 5-23）中，
λ
=1对接收滤波器的输出信号
)(ty
进行抽样，此时应有的准确值为
ikki
TkiPaty
=
= ])[()(
br ii
aPa == )0(
r
（不存在
ik =
以外其它任何串扰）。
从这一理想目标出发，我们需严密控制所有抽样时刻
)(
r
tp
的波形流散拖尾，并应达到
≠
=
=?
ki
ki
kTiTP
0
1
)(
bbr
(5-24)
分析式（ 5-24）成立的充要条件得（具体推导可见参考教材）
b
b
r
)( T
T
n
fP
n
=?
∑
∞
∞=
(5-35)
通过上面分析,我们可以得到奈奎斯特第一准则,
使广义信道成形滤波器的冲激响应（即接收输出波形
)(
r
tp
）满足式（ 5-24）无码间干扰的充要条件是，接收信号抽样频谱序列之和等于常数值
b
T
，即
b
b
r
)( T
T
n
fP
n
=?
∑
∞
∞=
奈奎斯特这一重要准则的针对性是解决限时限带数字信号基带传输消除符号间干扰。
设信号传输速率
bb
1 TR =
，传输带宽为
B
，并设传输信号脉冲限带条件为当
Bf >
，
0)(
r
=fP
当
b
R
≥
b
21 TB >
或
b
R
≥
2
b
RB >
时,
由于
BR 2
b
<
，以此速率抽样的频谱序列，必然具有重叠性。而式（ 5-35）则要求全部重叠谱之和等于常数
b
T
，就需对广义信道输出响应的频谱形状进行严格的考究设计。回顾第三章残留边带调制（ VSB）,VSB 滤波特性满足本情况下而达到式（ 5-36）的条件：采用“互补对称”
滚降特征的信号响应频谱，如图 5-5 所示。
我们将此种滚降特性的频谱特征称为“升余弦”频谱。
5.3.2 奈奎斯特理想信道传输
根据上面提到的第二种情况，即理想信道带宽
2/
b
RB =
N
B=
，由式（ 5-36）的方波形状的响应频谱可以消除ISI，即
>
=≤
=
N
Nb
r
0
2
1
)(
Bf
T
BfT
fP
b
)(rect
bb
fTT=
(5-37)
式中
bbN
212 TRB ==
，
NN
π2 B=ω
。
式 (5-36)的时域表达式为
)(Sa)π2(Sa)(
NNr
ttBtp ω==
(5-38)
式( 5-37)及( 5-38)所表示的时频域波形如图 5-6 所示，
Nb
2BR =
称为奈奎斯特速率，而
2/
bN
RB =
称为奈奎斯特带宽，以带宽为
N
B
理想传输
Nb
2BR =
的信道称为奈奎斯特信道。
根据奈奎斯特理想信道特性( 5-37)及( 5-38),我们给出当
{ }
k
a
=（ 1011010…）,接收信号
)(ty
波形如图 5-7 所示。 可以看出,在各对应抽样时刻,只存在唯一的属于对应发送信号的最大样值，
而无 ISI。
归纳理想信道传输特点,
(1) 利用理想低通信道，带宽为
2
bN
RB =
，可以完成速率为
Nb
2BR =
的数字传输而消除 ISI。此时达到二元传输频带利用率的极限，即
Hz2bit/s
Nb
== BRη
，因此称奈奎斯特带宽与速率均为极限值。
(2) 以 Sa(.)形状的接收信号波形以
1?
t
速度滚降衰减，速度慢，当接收定时抖动时，仍会产生较大的 ISI。
(3) 奈奎斯特信道是非因果的，不可实现，因此作为实用系统，需进行新的设计，来消除
ISI。
5.3.3 升余弦频谱
为了克服奈氏理想信道的不可实现性,我们拟将奈氏带宽
N
B
扩展到
NN
)1( BBB >+= α
，
并且满足无 ISI 条件（这里
α
取值范围为0<
1≤α
）,为此，可设计一个频谱函数
)(
r
fP
，按式
(5-35)奈氏准则，但只取其中 3 项之和，即
N
bbrbrr
2
1
)()()(
B
TRfPRfPfP ==++?+
Δ
(5-39)
当然，我们可以设计多种函数结构来满足式( 5-39)条件，而若选择“升余弦”形式，可以提供更多优点，这种函数形式可包括中部平坦部分和两侧滚降部分，表示为
()
+≥
+<≤?

<≤
=
N
NN
N
b
Nb
r
)1( 0
)1( )1(
2
π
sin1
2
)1(0
)(
Bf
BfB
B
Bf
T
BfT
fP
N
α
αα
α
α
(5-40)
式中
221
bbN
RTB ==
——奈氏带宽
N
Bf
α
α =
——滚降系数，
α
f
是式( 5-39)中两侧谱超出
N
B
的滚降宽度。
式(5-40)的时域表示为
=
22
N
2
N
br
161
)cos(
)(Sa)(
tB
t
tRtp
α
αω
(5-41)
图 5-8 分别给出了三种
α
值时式( 5-40)及( 5-41)的时频波形。
可以看出，式( 5-42)表示的是真正升余弦（全升余弦）频谱，是式( 5-40)中
α
=1 的情况，
而式（ 5-40）和式（ 5-41）包含了
α
=0～1的全部情况，均属于“升余弦”家族，因此泛称其为
“升余弦”。
升余弦频谱的特点如下,
(1) 全升余弦（
α
=1）时，占用信道带宽是奈氏带宽 2 倍，即
bN
2 RBB ==
，因此，它的带宽利用率低。
(2)不论
α
大小，共同特点均在抽样时刻不存在相邻码间串扰（无 ISI），而全滚降升余弦优点更为突出——冲激响应（接收输出信号波形）增加 1 倍过零点，且从式( 5-43)看出，其滚降衰减速率为
3?
t
，因此，接收定时抖动引起的误差很小。
(3)升余弦模式给设计带来灵活性，视信道与传输质量要求，滚降系数
α
取值可选，但
α
=0
属于奈氏理想信道特性，不可实现。一般
α
值不易太小，多数情况
α
>0.2。
5.4 相关电平编码－-奈奎斯特第二准则
奈奎斯特准则告诉我们的事实是，以比特率为
bb
/1 TR =
进行基带传输，最小极限的信道带宽为奈氏带宽，即
bbN
2/12/ TRB ==
，但这一高带宽利用率的优势，因理想信道的非因果性而不可实现。故在实际应用中,采用诸如“升余弦”频谱来扩展使用带宽，中心目标首先是消除
ISI。
现在问题是，尚有何种编码技术，既占用信道的传输带宽为奈氏带宽，又可以实现
Nb
2BR =
的传输技术而仍然消除 ISI。 为此采用了一种可行的新机制,称为,相关电平编码” (Correlative-level
Coding)或称“部分响应信号” (Partial-response Signaling)机制。设计此种机制的依据是：人为介入传输信号一个已知的码间干扰，此影响可以在接收端以一种确定方式判断出来。这样，部分响应可看作在理论上达到最大传输速率，占用最小带宽的“部分”方法。
5.4.1 双二进制信号——第Ⅰ类部分响应
假定输入源序列
}{
k
a
为二元码且符号之间均不相关（无记忆信源），码元间隔为
b
T
，以极窄脉冲双极性码型（
1±=
k
a
）表示该序列，将其加到“双二进制”编码器，则会输出含有除本位码抽样值以外的“伪电平”，即输出为“三电平”值，设其值为 -2,0,+2，如图 5-9 所示。“三电平”窄脉冲序列首先通过一个简单滤波器，这样每个输入窄脉冲，经滤波成为跨两个码元间隔的双脉冲
k
C
，则
1?
+=
kkk
aaC
(5-46)
式中,,+”——代数加法。
图 5-9 双二进制信号形成
图中，
)(
N
fH
为奈氏带宽低通滤波器传递函数。
这样以来，原
}{
k
a
码间不相关的情况就变为三电平脉冲之间相关序列
}{
k
C
，这种人为的相邻脉冲信号间的相关性，可以看作向信号有意介入的 ISI，而这种,ISI”确在我们的控制之下，
这就是相关编码的基本点。
由图 5-9我们可以求得双二进制码经过奈氏滤波器
)(
N
fH
的响应——第Ⅰ类部分响应频谱
)(
I
fH
为
[ ]
2
j
b
N
2
j
2
j
2
j
N
j
NI
b
bbb
b
e
2
cos)(2
eee)(
e1)()(
T
TTT
T
T
fH
fH
fHfH
ω
ωωω
ω
ω

=
+
=+=
(5-47)
式中，奈氏理想低通为
>
≤
=
b
b
N
2
1
0
2
1
1
)(
T
f
T
f
fH
(5-48)图 5-10 示出
)(
I
fH
的幅度谱与相位谱。
相应的冲激响应为
2
N
N
2
b
NN
bbbI
π
)sin(
)π(Sa)(Sa
]/)(π[Sa)π(Sa)(
tt
tT
tt
TTtTtth
=?+
=?+=
ω
ω
ωω
(5-50)
该时域波形如图 5-11 所示。
图中表明部分响应的特点,
（ 1）在相邻取样瞬时，出现两个同样大小抽样值，这就可以理解到，为什么这种相关性编码称作部分响应信号（即时的信号响应样本值只是一部分，另一部分在其后一个抽样时刻），如果进一步设计，尚可将其响应由几个相邻抽样时刻出现（下面将介绍的Ⅱ类、Ⅲ等部分响应的相关编码）。
（ 2）响应波形除在抽样相邻两个时刻取值外，其它各时刻均为 0，其滚降衰减速度为
2?
t
，这虽比不上全升余弦速度为
3?
t
衰减快,但比奈氏理想信道
1?
t
速度快,所以对定时抖动反映不敏感。
（ 3）最大特点是各种部分响应均只占用奈氏带宽，该带宽利用率与第一准则一样为 2bit/s.Hz。
对于上述双二进制信号输出部分响应信号的检测方法，是当抽样后先进行与式（ 5-46）相反的运算，即
1

=
kkk
aCa
(5-51)
式中
k
a?
——恢复信号的近似值。据此
k
a?
进行判决后，解码得
k
a
。如果接收的
k
C
无误差，且其前一个抽样时刻
b
)1( Tkt?=
的样本
1
k
a
也准确，那么
k
a?
也能准确认为原信息符号
k
a
。式
（ 5-51）利用了存储的前一个符号样本
k
a?
的技术，称为“判决反馈”。此种检测的主要缺点是：
一旦产生误判决，则其错码会向后扩散。
为了避免当位差错的扩散，在形成双二进制编码之前进行预编码。实用的部分响应编码，
一般均先进行预编码（ Precoding）。预编码的含义就是“有意”利用前后码元相关性，而在很大程度上避免误码扩散。图 5-12 表示实现此种功能的系统框架。图中，所谓预编码就是产生“差分码”（在第六章 DPSK 中还要用到），即
1?
⊕=
kkk
bab
(5-52)
式中，
⊕
——模 2 加法。
预编码后的双二进制码与式（ 5-46）相比，表示为
1?
+=
kkk
bbC
(5-53)
上式与式（ 5-52）不同，“＋”不是模 2 加，因此可以出现三种电平—— 2,0,-2。
现将上两式结合，并考虑
k
C
的三进制取值，则有
=±
=
=
码判极性相同与码判极性不同与
0),( 2
1),( 0
1
1
kkk
kkk
k
abb
abb
C
(5-54)
因此在判决器输出的
k
C
为三电平值，并且根据式 (5-54)的规则，直接获得
k
a
，即
0 1
1 1
=>
=<
kk
kk
aC
aC
判判
(5-55)
这里标准门限为
1=
k
C
，即将抽样值
k
C
经整流后的
k
C
为归一化值，相当于最佳判决门限
1V
0b
=
，如图 5-13。此种编码和判决机制，可以有效地避免误码传播。
5.5 信道均衡
5.5.1 均衡概念
在前几节关于消除数字基带传输的码间干扰的原理讨论中，除了假设是大信噪比而暂不考虑加性噪声等干扰外，对于信道本身的特性（除限定带宽外）也没有介入准确知识，而假设信道频响
)(
C
ωH
是完全“知道”的，就不会符合实际。在实际系统中，对于发送成形、接收滤波器等的设计也未必保证完善。对信道特性的欠完善了解或信道属于时变信道等，结果或多或少地还会有残留的不规则波形拖尾，而导致有 ISI 影响，如无线移动信道的多径衰落特性，加之非线性造成的信号幅度与相位非线性失真，也都是产生 ISI 的因素，因此需要对接收信号进行“均衡”处理。
均衡主要用于消除码间干扰，其机理是对信道或整个传输系统特性进行补偿，针对信道恒参或变参特性，数据速率大小不同，均衡有多种结构方式。大体上分为两大类：线性与非线性均衡。
对于带通信道的均衡较为困难，一般都是待接收端解调后在基带进行均衡，因此基带均衡技术有广泛应用。
实现均衡的方法是，针对如图 5-3 或图 5-18 基带传输系统在接收滤波器输出
)(ty
，在时域波形仍不符合奈奎斯特准则条件下，致使抽样后的响应频谱，也达不到式（ 5-35）所示的频谱为常数的结果，因此需在抽样判决前对
)(ty
的频谱“补偿”为理想谱——亦即将抽样前的不规则流散时间波形给予“迫零”——除待抽样信号以外，全部码脉冲波形拖尾的滚降零点都均匀准确落在定时抽样时刻。
5.5.2 抽头－延迟线均衡
出于上述目的，为消除因信道未知特性及收发端滤波特性欠佳等原因而残存的 ISI，一般信道常用抽头 -延迟线滤波器方式加以均衡。
图 5-21 为此种均衡系统框图，抽头数为（ 2
N
+1），抽头增益权值各为
N
W
，
1+?N
W
,……
1?
W
,
0
W
,
1
W
……
N
W
,图中
b
TT =
在求和之后的均衡器输出冲激响应为
)()(
beq
kTtWth
k
N
Nk
=
∑
=
δ
(5-74)
式中：
b
T
--延迟线各级延迟时间，这里等于码元间隔。
我们将均衡器级连至接收滤波器之后，由
)(
r
tP
表示级联的均衡器冲激响应，并等于
)()(
)()()(
b
eqr
kTtWty
thtytP
k
N
Nk

=?=
∑
=
δ
(5-75)
=
∑
=
)()(
b
kTttyW
k
N
Nk
δ
)(
b
kTtyW
k
N
Nk
∑
=
(5-76)
设接收抽样时刻为
b
mTt =
，则可得式（ 5-76）的离散卷积和为
)()(
bbbr
kTmTyWmTP
k
N
Nk
=
∑
=
(5-77)
应注意到，这里
)(
br
mTP
应比
)(
b
nTy
序列长度大。
为了消除 ISI，式（ 5-77）必须满足奈奎斯特的条件（式 5-24），即
≠
=
=?
ki
ki
kTiTP
0
1
)(
bbr
(5-78)
且应满足
1)0(
r
=P
，因此无 ISI 的条件为式（ 5-25）应为
≠
=
=
0 0
0 1
)(
br
m
m
mTP
(5-79)
但是，式（ 5-77）的均衡表示式中，只有（
12 +N
）个抽头，因此只是近似满足消除 ISI 的条件，即
±±±≠
=
=
Nm
m
mTP
ΛΛ,2,1 0
0 1
)(
br
(5-80)
为方便计，我们以
m
r
来代表接收滤波器输出响应
)(ty
的第
m
个抽样值
)(
b
mTy
，于是由式
（ 5-77）离散卷积和的近似条件式（ 5-80），可得到集合元素为（ 2
N
+1）的联立方程式，即将求和式
±±±≠
=
=
=
∑
Nm
rW
kmk
N
Nk
ΛΛ,2,1 0
0m 1
(5-81)
由上式描述的抽头延迟线均衡器也称为“迫零均衡器” (Zero-forcing)，因为它能够最大限度地消除 ISI 峰值干扰，且很容易实现，抽头数越大性能越佳，但延迟也越大。
第 6 章 数字信号频带传输
知识点
(1) 数字调幅、调频、调相 —— 二元与多元系统信号分析；
(2) 传输信道的利用 —— 正交复用、带宽、频带利用率；
(3) 解调方式 —— 相干与非相干；
(4) 各种系统噪声性能分析。
知识点层次
(1) 以二元调制系统为基础，掌握数字调制解调模型及信号特征；理解噪声性能分析方法。掌握基于信噪比的误比特率公式与比较分析；
(2) 掌握以 QPSK、QAM、MSK 为重点的基本原理与技术特征，并熟悉有关重要参量与技术措施；
掌握各种传输方式误码率表示式；
(3) 通过大体了解改进型调制技术特点，了解现代调制技术思路；
本章涉及的系统最佳化设计思想
信号设计 —— 基于已调波信号间正交的概念；
传输技术 —— 基于正交载波复用与多元调制技术；
接收技术 —— 基于相干接收与最佳接收的原理及发展。
6.1 数字频带调制概述
通过第3章模拟调制的讨论，我们已明确到，以调制信号去正比例控制正弦载波3个参量之一，可以产生载荷信息的已调波，并分为线性调制（幅度调制）和角度调制（调频与调相）。
现将模拟调制信号改换为数字信号，仍去控制正弦载波，就可以得到相应的数字调幅、数字调频与数字调相等已调波。
本章拟首先介绍二元数字信号作为调制信号的基本调制方式。它们已调波分别称为二元幅移键控——ASK（amplitude shift keying）、二元频移键控——FS K（frequency shift keying）
和二元相移键控——PSK（phase shift keying），并分别分析与计算它们在不同解调方式下的抗噪声性能。
然后介绍以多进制符号（M元）控制载波某1 个或 1、2 个参量构成的多元调制，以及常用的优质调制技术。
本章讨论问题的基本着眼点为,
（ 1） 各种数字调制方式的发送信号（已调波构成）的设计考虑及其时、频域表示方式。
（ 2） 针对已调波的时—频域特点，给出其传输有效带宽，讨论它们对于传输信道频带利用率。
（ 3） 相干与非相干解调方法与解调效果评价。
（ 4） 分析不同调制与不同解调方式的系统，在高斯信道环境下的抗噪声性能，同时计算它们的接收信号的比特或符号误差概率。
（ 5） 在此基础上，能使读者深入了解到如何进行信号与系统优化设计，能够达到既有效又可靠信息传输。
就本章内容而言，称为数字信号频带传输（或调制），也可称为数字信号的载波传输（或调制）。虽然调制信号为二元或多元数字信号，但已调波信号却是连续波，因此也可称为数字信号的模拟传输。
本章覆盖的内容与概念很多，设计的数字分析也往往比较繁杂，所设计的调制技术均有很大的实用意义，并在不断发展。
6.2 二元幅移键控（ASK）
6.2.1 ASK信号分析
以二元数字信号序列 或其波形序列去控制角频（载频）为,初相为 （可设为0）
的幅度，可产生 2ASK 信号 。首先应以基带数字序列来表示,即调制信号为
（6.2.1）
式中,——二元码符号，取1 或0；
——单极性不归零波形，归一化幅度；
——二元序列码元间隔。
ASK信号功率谱可由上一章式（5.2.16）与 频谱卷积而求得
（ 6.2.3）
ASK的信道频带利用率为
（
6.2.8）
6.2.2 ASK信号相干接收
ASK信号经过高斯信道传输，受到信道加性热噪声干扰的信号加噪声混合波形，在接收机进行相干或非相干解调。
1.ASK 信号相干解调抗噪声性能分析
接收端输入混合波形为
（6.2.9）
式中 ——窄带高斯噪声同相分量
——窄带高斯噪声正交分量
相干载波与 相乘并滤除 高频分量，得解调输出，并以速率为 的定时脉冲进行抽样判决。
ASK相干解调误比特率 为
（6.2.16）
式中,——功率信噪比。
6.2.3 非相干 ASK 解调抗噪声性能分析
ASK类似于模拟 AM调制方式，可方便地利用包络检测恢复原信号（图 6-5b）。
当接收传号时的混合波形为余弦信号加窄带高斯噪声形式，而空号时则输入为窄带噪声，
即
（ 6.2.17）
进行极值运算，即,可得到使 最小的条件为
（6.2.21）
表明图6-7 中两条曲线交点处为最佳门限值,将式(6.2.21)关系分别代入式（6.2.18）及
（6.2.19）,可得
（ 6.
2.22）
ASK非相干解调误比特率近似为
（6.2.26）
式中,——功率信噪比。
我们可以简单比较ASK信号两种解调误比特率结果。在同样大信噪比时，相干解调的性能较非相干解调优越，如 （非相干）,通过查本章附录互补误差函数表,。
但是相干解调需提供准确的相干载波，而非相干解调可用简单的包络检测。总的来说,ASK
是以控制载波幅度或是否发送载波来传送信息，对于较高速率的无线信道已不再使用，它的抗干扰能力远不如其他很多类型的调制方式，这里仅是作为一种类型进行简单介绍，但提供的性能分析方法却有理论意义。
6.3 二元频移键控（FSK）
以二元数字序列去控制载波频率的变化，利用各与载频
相差
的两个频率的正弦振荡，分别表示传号与空号，称为频移键控（FSK）。
6.3.1 相位不连续的频移键控信号
传号与空号分别利用不同频率的独立载波，那么在 1、0 码转换时就不能保证两个振荡的相位连续性，由于此时相位的跳变也会引起本来为等幅振荡的载波包络起伏，因而FSK 信号功率谱旁瓣衰减缓慢，而降低信道带宽利用率。
1,FSK信号特点
由式（6.3.1）传号与空号信号的频率均偏离载波为
，因此二者误差为
（6.3.2）
FSK信号是两个不同频率而持续时间为
的单音信号，因此它相当于两个不同载频的 ASK
传号，其功率谱也是两部分拼成。
（6.3.3）
2,FSK信号正交条件
现在讨论 FSK信号如何满足正交条件。由
构成的传号与空号载频
与
，两载频之间应当具有一定关系，才能达到
与
互为正交。因此可以求传号与空号的相关系数
（6.3.4）
(6.3.5)
一般地，应满足载波频率
是码元频率
的整数倍，即
，或1 比特间隔包括整数个载波周期，即
（m 正整数），因此式（6.3.5）中第2 项为 0，有
（6.3
.6）
满足
的正交条件,应为
(n
为整数) (6.3.7)
为此应有
即
(6.3.8)
由上面两式表明，2FSK 信 号中如果传号和空号的频率
和
，各偏离载频 的整数倍，即为四分之一二元信号速率的整数倍，则 FSK信号具有正交性。正交信号的设计是数字系统首要考虑的问题。
关于FSK信号传输带宽,由式 （6.3.9） 及图6-10应当至少包含
和
为载频的两个,ASK”
信号谱主瓣，即
（6.3.10）
式中 n 值的选取由式（ 6.3.9）最小可选 n=1，但是由于传号与空号的相位不连续，使 FSK 功率谱旁瓣较强，因此为确保传输性能，应选择
。这样，不连续相位 FSK 信号的信道带宽利用率很低。
6.3.2 2FSK 信号的解调及抗噪声性能
1,相干接收
FSK信号相干解调由两支路分别进行窄带通滤波，各取得传号或空号频率，分别提供
和
不同的相干载波，再经低通滤波，分别抽样判决。
由我们已经熟悉的相干接收过程，它是由接收输入的信号加噪声的混合波形中，提取出同相分量，FSK传号与空号解调输出为,
（6.3.11）
式中，
、
——分别为传号与空号解调后的信号干扰，是性质完全相同的窄带噪声同相分量。
在接收时，发生误差的概率分别为
（6.3.12）
（6.3.13）
仍设
，则平均误比特率为
（6.3.14）
表示为互补误差函数形式，可得,
（6.3.18）
式中,——功率信噪比。
2,非相干接收
FSK 信号非相干 （包络） 解调,设两支路包络检测后低通滤波输出的包络值分别为
和
，
并假定上支路正在接收传号，而下支路则空闲，
只含窄带高斯噪声的包络值（瑞利分布）,
上支路输出包络
则为余弦信号加窄带噪声的包络值（赖斯分布） 。
传号发生误差的概率为
（6.3.20）
式中 ——传号概率。
于是可求得FSK 平均误比特率,由
函数
（6.3.26）
式中，
——功率信噪比。
6.3.3 连续相位频移键控信号（CPFSK）
1,CPFSK 的基本特征
在设计FSK 信号时，为了确保传号与空号信号正交，提供了应满足式（6.3.6）的正交条件，
即
( ) （6.3,27）
定义频偏指数，即
（n=1,2,……） （6.3.29）
显然，频偏指数h 的意义是，在确保式（6.3.27）正交条件下，FSK采用的两个载波频率之差
的取值大小，可由h 取值来决定，并且当 n=1 时，即 h=1/2是确保正交条件的最小值，即
（6.3.30）
从数学意义上，虽然
时能使
与
有正交关系，但是上节介绍的不连续相位
FSK，由于
和
两载波的相位不能确保在传号与空号转换时刻相位连续，从而导致 FSK 信号频谱扩展，因此
的这一数字关系在技术上并不能得以保证。
为了FSK信号序列的相位连续，兹采 用如图 6-13 所示的“压控振荡器” （VCO）作为 FSK 调制单元，于是图 6-9 的非连续相位FSK 波形便改变为CPFSK 波形。由式（6.3.29）,在 CPFSK 时，
h 可以任意取值，即n=1,2,……。而式（6.3.30）
使
，此种CPFSK 系统称为最小频移键控——MSK。它是一种优良的调制方式，MSK是占用传输带宽最小的频移键控，
其带宽为
（6.3.31）
2,超正交CPFSK
在维持正交条件
时，可有非连续及连续相位FSK的多种情况。从式（6.3.27）正交式返回到式（6.3.6）,即
（6.3.32）
可以证明，它的最小极值并非
，而存在
的极值。有求解极值运算后可得
（6.3.33）
那么在
条件下,
（6.3.35）
表明只要
和
两个载频相差为
，就可维持这一 超正交条件。
式（6.3.33）条件下的 CPFSK 系统带宽为
（6.3.36）
上面通过解调性能分析,误比特率 与功率信噪比
具有直接关系，且在
时，
值唯一决定,但当
时，超正交条件下,尚与这一相关系数的负值有直接关系。这在后面一章最佳接收系统分析时进行讨论。可以表明，在同样信噪比
时，超正交（
）比正交系统
性能优良。
6.4 二元相移键控（PSK）
6.4.1 二元相移键控的构成
PSK信号数字表示式为
（6.4.1）
式中,我们采用了数字信号1 码直接对应0 相位载波（传号），而0 码则用反极性载波，即
相表示空号。这种对应方式的 PSK 可称为绝对相移键控。
PSK 信号已调载波为等幅（恒包络 ）、相位不连续波形序列,它的形成可看作以双极性不归0 方波二元序列与载波直接相乘的结果，因此相当于双边带（DSB）调幅。PSK信号序列的功率谱，是上一章双极性不归0 波形序列的功率谱通过以载频
频率搬移的结果，则其功率谱为
（6.4.2）
PSK信号传输带宽近似取其主瓣，则
（6.4.3）
6.4.2 相对（差分）相移键控（DPSK）
常用的二元相移键控是相对（差分）相移键控方式。它是先将信源码流
转换为差分码之后再进行如上PSK调相过程。
差分码是将原码序列进行适当变换处理，人为使相邻码元具有一定相关性，这种码序列用
表示。它与原码序列之间按如下关系设计,
（6.4.4）
式中,为原来信码，
为差分码,为前 1 位差分码。
当由
欲恢复
，只要利用式（6.4.4）的移项运算即可，原码为
（6.4.5）
DPSK 信号就是在首先构成差分码之后，进行的绝对调相，其数字表示式为
（6.4.7）
式中，
——差分码元的反码，这里设
。
由于原码
转换为
，因此PSK与DPSK信号相位不是直接对应而是差分对应关系,
6.5 多元数字调幅与调频
二元信号传输只有两种可能的信号状态，多元——M元信号则有M 个可能的不同状态。两者信息量的关系为
或
1Bd=k bit
式中，Bd——多元信息单位“波特”（Baud），同时也作为多元信号传输速率（符号速率）单位，
即每秒钟的Bd 量。如9.6Kb/s二元信号,利用M=16多元传输，波特率为2.4KBd。
6.5.1 多元数字调幅(MASK)
1．MASK 信号的构成
MASK信号可表示为,
(6.5.2)
设载波初相
=0
。波特间隔为T 的一个多电平符号信息量为
比特，在 A（t）
中从
电平到最高电平
,以格雷码表示每电平的k比特信息。 给出一个 4ASK 的例子，
设原码序列
=
（10110100100 10011），它的对应格雷码以4 元符号表示为：
=
（3,2,1,0,1,2,0,2），方波4 电平
。
2．MASK 信号的带宽与功率
由于MASK 信号符号间隔T，仍可在2ASK 的比特码元间隔
内传输 M 元信息，因此，其带宽仍为2ASK带宽，即
或
式中，
——多元信号 MASK 波特率。
但 MASK 的频带利用率却有所提高，即
MASK 信号平均功率是其最小信号（幅度为
）功率的
倍。
3．MASK 信号的相干接收
相干接收与前述2 元信号一样，提供本地相干载波与接收信号
加高斯白噪声
的混合信号相乘后，经低通滤波器，可得解调输出为,
判决电平为
（6.5.5）
式中，
——两相邻信号电平差值之半，即
。
发生误判的情况是当解调干扰
超出相应接收信号的判决区范围
，其差错率为
（6.5.6）
式中,——使解调后的窄带噪声同相分量绝对值。
MASK 信号相干解调总平均误符号率为
（6.5.9）
（6.5.13）
式中，
——MASK平均信号功率与噪声功率之比。
6.5.2 多元数字调频（MFSK）
1,MFSK 信号的构成
MFSK信号是多元编码符号
分别控制M个相互正交的发送载波形成的，设信道主载频为
，M个符号对应的传输载波分别为
为确保载频
的M 个载波间互为正交，按前面2FSK 介绍的正交条件，载频间隔应为
（6.5.15）
利用M 个不同电平的基带码流去控制 同一个正弦振荡（如 VCO），可产生多元 CPFSK 信号。
MFSK 信号表示式可写为,
式（6.5.16）中，若取n=1，必须确保前述相位连续条件，则
，是一种典型的
MASK 信号——称为多元最小频移键控（MMSK），待本章后面MSK 一节将具体讨论其特点。
2,MFSK 信号带宽与功率谱
MFSK 与 2FSK 相类同，它是M 个不同 频率载波随机交替占用信道 ——部分频带，总传输带宽为最高与最低载频载波的2个主瓣谱与该2 个载频的差值之和，即
（6.5.17）
当 n=1 时，MMSK 信号带宽为
（6
.5.18）
图 6-26 为MFSK 信号功率谱示意图（单边），图 a）中 4FSK 取
，即
，各载频主瓣刚好不重叠，图 b）为
，即
，连续相位4FSK，即4MSK。
3,MFSK 信号接收和误符号率
MFSK 信号同样可以进行相干和非相干接收，如图 6-5所示，在接收输入端，首先以窄带通滤波取出各载频（M 个），然后可以分别进行相干或非相干解调。这样每抽样判决时刻，在M 个支路输出中，只有一个支路有信号，其他均为噪声。因此判决逻辑电路应达到正确地“M 择1”
判决。
若利用相干解调，需同时提供M 个严格同步的相干载波，非但复杂性增加，而且也很难保持M 个相干载波的稳定性，因此多用非相干——包络解调或M 个匹配滤波器。
不加推导地给出误符号率公式
（6.5.19）
——MFSK 功率信噪比；
而相应
在上面两种解调式中，当M=2，即2FSK，它们的误比特率均与前面计算的2FSK误比特率相符。 MFSK 信号除占用较大带宽外，它比 MASK 性能要好得多，是无限短波信道适于采用的多频制传输方式。
6.6 多元数字调相(MPSK)
以多元符号编码序列去控制载波的相位，则可产生M 个离散相位的已调波，各符号对应的调相波相位均相隔
，就形成 MPSK 信号。
6.6.1 MPSK 信号表示
MPSK 信号一般表示式为
（6.6.1）
由式中 的设置方式不同，又分为
系统和
系统。下面我们按
系统表示形式分析MPSK 信号表示式。
（6.6.4）
为了分析上的方便，我们拟用信号空间表示法。式（6.6.4）可等效写为
（6.6.5）
式中，
——已调波信号能量；
——MPSK 符号间隔。
这里，
与
为两个互为正交的载波，即
（6.6.7）
之所以设
与
的幅度为
，是让未调的此正交基函数作为式（6.6.4）分解式
（6.6.5）的正交载波的能量 均为单位值，即
显然，由式（6.6.5）的表示形式，MPSK 不论M（M>2）值为多大，总是以相互正交的两项构成，即
（6.6.8）
这种表示方式将作为信号空间分析方法的基础。其实，式（6.6.5）、（6.6.8）与式（6.6.4）
并没有任何实质差别，因为 或
。
MPSK 信号在高斯信号信道中，经受加性干扰（AWGN），其空间消息信号点为
（6.6.9）
由式（6.6.8）和（6.6.9）给出 MPSK 系统框图 6-29。首先将二元编码序列
表示为电平值为
的双极性不归零波形，然后由“电平转换逻辑”计算出同相分量与正交分量，即式（6.6.9）的
和
值，然后在一个符号间隔T 内分别与相互正交的载波相乘，构成式
（6.6.8）的MPSK 波形。
若 M=4,“电平转换逻辑”功能就是简单的串-并转换。由于从图6-7与 6-8（a）看出，4PSK
信号4 个状态均互为正交，因此特称其为正交调相——QPSK。
6.6.2 多元调相信号空间特征与噪声性能
1,MPSK 信号空间
由图6-27 的
系统（或图6-28
系统）的向量图，画出 MPSK 信号空间，如图6-30。
MPSK星座图的共同特点是，由于它总是以正弦波作载波的等幅振荡，各自相位是以M 来等分割
相位，因此MPSK的星座特点是在一个同心圆上，即信息只含在相位
上，无论M
值有多大。可以推断，当M值很大时，每个信号状态的相位差别很小。当已调载波在传输中受到加性或更复杂的干扰后，信号间相位将不再保持准确差值，误符号概率必将大为增加，因此 MPSK
系统，一般很少利用M较大值，现常用情况，多半取
，并且以 M=4，QPSK 为最常用。
另外，从图6-30（a）QPSK星座来看，4个星点（消息点）即在一个同心圆上，又在一个正方形角顶，亦即既可看作星点轨迹为圆，又可视作方形。这一点在后面一节QAM（正交调幅）还要提到。
2,MPSK 信号相干接收及误符号率
以上我们分析了 M=4 时的QPSK的特点，当 M>4 时，作为普遍形式，相干接收系统如图6-9
（b）所示。输入的混合波形
，进入接收电路的同相与正交支路，分别与本地（相干）正交载波
和
求相关运算，其相关器接收每一个符号输出类似于QPSK系统
若为
系统，同样可得到
与
为
（6.9.27）
（6.9.28）
与
系统只是M 个相位分配有所不同，这并不影响到抗干扰性能，我们以
为例分析
MPSK 信号符号差错率。可以按图6-28，以8PSK 时
系统，给出其信号空间星座图，并标出
8 个判决区
（
），如图 6-31所示。为了分析方便，我们单独指定其中一个判决区，消息点在判决区中线上，接收的观察矢量
（即M个可能的信号加噪声混合抽样值）的一对支路输出（
，
）点，只要落入该判决区，则为正确接收，反之，若落在它以外范围，
则将判为相邻的信号状态，就会发生错码。
MPSK 误符号率则为
（6.9.33）
式中
——MPSK 功率信噪比。
其是按照信号空间理论，可由欧氏距离
确定
，由于信号幅度（矢量半径）为
，相邻二信号点
与
之间距离应为
（6.9.34）
（6.9.36）
式中，
——
与k 信号间的欧几里德距离，即星座图中第
个信号消息点（失端）与相邻信号点（
），（
）的距离，这一距离较与其他信号点更近，是最易互为错判的。
E——MPSK信号能量。
由式（6.9.35）及（6.9.36），当M=2 时，2PSK信号的“正反信号对”——2个消息点相距为
，则2PSK 误比特率为
（6.9.37）
当 M=4 时，QPSK 系统的
，则
（6.9.38）
由于QPSK 信号能量
，因此以每比特能量
代入上式
（6.9.39）
这里需说明，式（6.9.37）与前面2PSK相干解调误比特率公式
相比，后者
中，
，这是相干解调得到的结果。所谓相干解调是在对接收信号提供相干载波后在经LPF（低通后）抽样判决的情况，而本节利用的信号空间分析，接收系统利用的是“相关接收”——提供相干载波与接收信号相乘后，不用 LPF，而是利用了积分器，到第八章“最佳接收”介绍时将会明确,
，且 表明相干接收的误比特率比相关接收要大。
在一些外文教材中，大都只介绍相关接收，由于相关器与相干接收都要提供相干载波，因此这些利用相关接收或信号空间分析的教科书，常把相关接收称为相干接收，它却与利用低通滤波的相干接收结果不同。
第 7 章 数字信号的最佳接收
知识点
(1) 三个最佳准则基本原理；
(2) 匹配滤波器特性及各种参数、关系；
(3) 相关接收、相关器及其与匹配滤波器等效性；
(4) 理想接收与相关接收等效性；
(5) 三种最佳接收系统性能分析。
知识点层次
(1) 掌握匹配滤波器全部特点、参数、计算及特例；
(2) 掌握相关接收数学模型及相关接收通用误比特率公式；
(3) 了解理想接收思路；
(4) 理解误比特率计算方法；
(5) 掌握 与 的异同点；
(6) 理解在高斯信道条件下三种最佳接收的等效关系。
7.1 最佳接收准则
任何一种接收设备的根本任务，就是要在接收到遭受各种干扰和噪声破坏的信号中将原来发送的信号无失真地复制出来。但是在数字通信系统中，由于所传送的信号比较简单，例如在采用二元调制的情况下，它就只有两种状态，即信号1 或信号0，因此接收机的任务也就简化为正确地接收和判决数字信号，使得发生判决错误（信号1被判为0，或者信号0被判为 1）的可能性最小。
数字通信系统也和信号检测系统一样，接收机要想在强噪声中，将信号正确地提取出来，
就必须提高接收机本身的抗干扰性能。按照最佳接收准则来设计的最佳接收机就具有这样的性能。
下面首先简单介绍数字通信系统常用的几个基本最佳接收准则。
7.1.1 最大输出信噪比准则
希望从噪声影响中正确地接收和识别发送的信号是否存在，并将它们复制成原来的信号波形。就相当于信号检测系统中的“双择一”问题，而再多元调制系统中对多元数字信号的识别就相当于信号检测系统中的“m 择一”问题。
显然，对于这类信号检测或识别系统，只要增加信号功率相对于噪声功率的比值，就有利于在背景噪声中将信号提取出来。因此，在同样输入信噪比的情况下能够给出输出信噪比大的接收机，总是要比给出输出信噪比小的接收机抗干扰性能强，并且希望输出信噪比越大越好，这就是最大输出信噪比准则。
下面将证明。在接收机内使用匹配滤波器，就可以在某一时刻使输出信号的瞬时功率对噪声平均功率之比达到最大，并由此组成在最大输出信噪比准则下的最佳接收机。
7.1.2 最小均方误差准则
它与信号检测系统内的最小均方误差准则相似，但这里是将信号误差定义为
（7-1）
式中，
——所接收到的信号和噪声的混合波性形，注意它已不能单独分成
和
两部分；
——接收机内提供的信号样品，原则上它应与发送的信号波形相同。
根据式（8.1.1）可求出均方误差为
（7-2）
由此可见，互相关函数
越大，信号均方误差就越小。根据最小均方误差准则建立起来的最佳接收机就是提供最大的互相关函数，因此可将它们称为相关接收机。
7.1.3 最大后验概率准则
最大后验概率准则是指在接收到混合波形
后，判断出发送信号
的条件概率密度
最大。由于它是在收到
后才具备的，故称为后验概率（或概率密度）。根据最大后验概率准则建立起来的最佳接收机可称为理想接收机。它首先要计算后验概率（或密度），然后再根据其中最大的后验概率（或密度）来做出正确的判断，这就是信号检测中常用的“后验概率择大准则”。
7.2 利用匹配滤波器的最佳接收
7.2.1 匹配滤波器的设计
为了实现接收输出最大信噪比这一目标，匹配滤波器设计的基本条件为
（ 1） 接收端事先明确知道发送信号各以何种形状的波形表示发送的 1,0 码符号或多元符号；
（ 2） 接收端针对各符号波形，分别提供与其各不同波形相适配的接收电路，并且各唯一对应适配一种传输的信号波形，能使输出信噪比达到最大值，判决风险最小。
（ 3） 对于经信道传输后的已调波未知的随机相位的波形，有利于正确匹配接收。
1．匹配滤波器传递特性设计
（7-13）
这一结果表明，满足匹配滤波其设计要求的冲激响应应等于传输接收信号
的折迭并延时
的波形函数。
匹配滤波器在
时刻的输出最大信噪比为
（7-15）
式中，
——输入信号能量。
从冲激响应
来看，若满足因果条件，当
<0或
=
应当有
=0。也就是说，可实现的系统条件是
波形全部在正时域，即
=
（7-16）
由于
信号持续时间为 T（二元时为
），若在
=0时刻到达接收机输入端，则延迟量
=T 就可满足式（8-16）的因果条件。于是式（8-13）匹配滤波器冲激响应描绘为：将输入信号波形折迭后的
，在延迟至少一个码符号宽度T。
7.2.2 匹配滤波器输出信号分析
信号
经过冲激响应为
的响应为
（7-17）
这一结果表明，匹配滤波器的输出信号是输入信号的自相关函数延时
的结果。且在
时刻，其输出
（7-18）
是输入信号自相关函数最大值，即信号能量
。
7.2.3 匹配滤波器的几点性质
（ 1） 匹配滤波器的主要条件包括两个关键因素,
一是传输特性的构成，其傅氏变换对为
（7-19）
冲激响应是输入信号的镜象延迟
。
二是严格的延迟量
——等于输入信号截止时间，或码元转换抽样时刻。
（ 2） 匹配的机理
从物理机能上说，匹配接收过程包括两个方面：一是匹配输入信号的过程充分体现了相关性，匹配的结果是输入信号的自相关函数在
时刻出现最大值，即输入信号能量；二是匹配滤波器“改造”了输入高斯白噪声的功率谱，使其输出功率谱
与输入信号的功率谱形状相协调，这种匹配，可以说是能获得最大输出信噪比的因素之一。
（ 3） 匹配滤波器的接收的直观与最终效益是输出最大信噪比，利于正确判决，降低误符号概率。这里，
，是接收信号能量与
噪声功率谱之比。可以进行换算，当
分子分母均除以一个码元间隔（2 元码时
），可得,
（7-21）
式中，
－－S为1 比特输入信号功率；
——输出噪声功率，这里
，基带理想传输带宽，即奈氏带宽。
因此对于基带信号的匹配接收是按理想传输条件得到的结论。
7.2.4 匹配滤波器接收误码性能分析
基带传输系统数字波形序列假设电平为±A 的双极性不归0 方波序列，传输速率为
，在传输中的信道干扰为AWGN，均值为0、功率谱密度为
，在较大信噪比情况下，
依靠极性进行判决进行正确接收。
经匹配滤波器之后，输出信号
在
时刻进行抽样，
，以最值门限
=0，进行判决，现在考虑由漏报和虚报合成的平均误比特率
。
若设1、0 码等先验概率，即
，则总平均误比特率为
则变为
（7-28）
式中，
——二元信号的比特能量。
7.3 数字信号载波传输的最佳接收
本节将利用匹配滤波器的原理，作为例证，说明数字载波传输的匹配滤波器接收过程与结果，接着将介绍基于最小均方误差准则的相关接收原理。
7.3.1 未知相位信号的最佳接收
由于信道噪声的干扰，就数字载波传输而言，在接收端至少对于接收输入混合波形的随机影响的相位无法知道，特别是多径衰落以及多种可能失真的无线信道的接收波形，在此种使信号性能降级情况下,更适于由匹配滤波器,不考虑接收信号相位而实行非相干接收。 但需明确的是，
数字调相 PSK系列由于不能利用非相干接收，因此也不适于匹配滤波器方式接收。
兹例举2ASK信号匹配滤波器接收过程。传输到接收端，输入混合波形为
（7-32）
式中，
——接收信号相位，一般对接收者是未知的；
——窄带高斯噪声。
式（7-32）展开为
（7-33）
为了正确恢复原信号，利用提供一对正交载波的相关接收机接收，按照解调步骤，输出值应为
（7-34）
显然这一解调过程的输出,在暂不考虑噪声时,式中两个积分值的平方求和的结果为
，
即
（7-35）
而最后输出的信号值为
（7-36）
因此，这种作法“避免”了未知相位的麻烦。
上述过程，可以根据上一章匹配滤波器接收原理，得出相关接收的等效接收结果。
由于发送端载波为
，因此匹配滤波器冲激响应为
则匹配滤波器输出为
（7-37）
式（7-37）的包络在
时的值等于式（7-34）的结果。
由于匹配滤波器不必顾及接收信号带有随机性的相位
，故称其为非相干匹配滤波器，它与上一章基带信号匹配滤波器的不同仅在于需要进行包络检测后再取样判决,同时立即对积分器进行清零。
通过对上面未知相位的匹配接收，表明它不像提供严格同频同相的本地相干载波那样，是一种传送波形匹配，这里最终是取接收信号的包络，它与相位无关，因此接收本例的 RF信号，
只需一个匹配滤波器足以完成解调。
7.3.2 相关接收
相关接收旨在使解调输出具有最小均方误差。在高斯白噪声信道中传送的信号波形
，
不论是基带信号，还是数字载波信号，以二元为例，在接收输出端的误差为
（7-40）
其中，
与
是接收端存储并提供的与原发送信号相同的本地样本信号，解调输出信号的均方误差为
则抽样比较判决条件为
根据式（ 7-41）和（ 7-42）构成的最佳接收机。
当发送信号先验概率相等,即
,及
与
的信号能量相等，
即
且
（7-43）
此中相关接收机每在
时刻抽样判决，积分器具有清零端子，以便在抽样同时即行清除，为下一码元波形接收腾空积分器。这与匹配滤波器非常相似。
相关器方法的最佳接收，利用了与发送信号
完全相同的本地样本与接收混合波形求互相关，其相关输出为
（7-18）
式中，
——接收混合信号与本地信号样本函数互相关函数；
——已调波信号（本身）自相关函数；
——信道加性高斯噪声与传送信号互相关函数。
通常可以假定信号与噪声统计独立，即
，则
这一结果揭示了高斯信道传输时的相关接收的根本原理,亦即它可以从噪声污染的混合 （加性）波形中，最佳恢复原发送信号。
7.4 理想接收机模型
最佳接收的第三个准则，最大后验概率准则，并依此建立理想接收机。假设已调信号仍为高斯白噪声信道传输环境，接收输入混合信号
后，我们可以统计收到
而分别发送传号
及空号
的概率密度，因此，判决准则为
判
（正确接收传号）
(7-52)
反之亦反。
式中，
、
——分别为收到
观察值后，统计为发
或
的后验概率密度。这一准则就是“后验概率择大判决”准则。
可以由似然函数来表示后验概率，即由
则
(7-53)
从信息传输角度，
是有噪信道导致的在发送信号S 而接收则包含了可能的错误概率，因此似然函数可用噪声
的统计特性
表示，即
，由于
是连续的噪声随机过程，我们以N 维概率密度表示，即
。
则有
(7-54)
当
，就准确表示了
统计特征。
现在，可以根据似然函数来进行理想接收机的判决,
当 判为发
信号
(7-55)
当
判为发
信号
(7-56)
于是，图 8-24 的模型就由图 8-25 中计 算出的似然函数的接收模型 代替，在先验概率
条件下，二者是等效的。
在高斯白噪声信道进行数字传输，在第二章中我们已经分析过，高斯白噪声各个
时刻的随机变量之间统计独立
于是按照最大似然函数准则,可将式（6.3.28）两个判决不等式具体表示为
判1码
(7-61)
判0码
(7-62)
若设
，则上两式变为
(7-64)
第 8 章 信道编码
知识点
基本内容：通过第 1 章了解信道特征和仙农信道容量公式基本概念基础上，主要介绍波形编码和分组码、循环码以及卷积码等的基本编解码方法及评价。
知识点及层次
(1) 波形编码 —— 主要认识基于正交的哈德玛正交码的特性。
(2) 基于汉明距离的差错控制定理（掌握）。
(3) 线性分组码(n，k)码的结构、编码方法、解码、检纠错计算（掌握）。
(4) 循环码的构成特征及编、解码方 法（掌握），以及 CRC、R-S、BCH 码的特征（了解）。
(5) 卷积码的基本特征（熟 悉概念），TCM（一般认识）。
8.1 波形编码
信道编码包括信号波形编码与差错控制编码（也称结构化序列），前者是较一般自然码具有较小的误符号性能，后者则旨在接收端发现错误或自动纠错。
我们首先介绍基于正交概念的各类波形编码，作为前面章节中编码技术的进一步讨论。
8.1.1 正交信号
优良的信号设计应首先是基于正交为 目标。如：双极性不归零码,2PSK 等，均属于“正反信号对”,即二元信号波形满足
,它们的相关系数为； 其次,如CPFSK，
频移指数
，相关系数
，而
的例子就更多，如：ASK、FSK、MSK、
DQPSK、QPSK、QAM、MFSK等，由 于这些信号均值都为 0，它们的二元信号、4 元或
元信号间均不相关，亦即正交。因此
就是正交。
一般地，任何信号
与
之间的相关性（系数）不外乎有－1≤
≤1。在传输信号设计中，总是在－1≤
≤0范围内制定设计策略，当－1≤
<0 时称为超正交，
＝0为正交。
8.1.2 基于相关检测的波形编码
一个简单的相关系数表示式包含了正交关系与相关性，即－ 1≤
≤ 1，但它涉及到整个通信系统设计的几乎是实质性的因素——
取值范围的左一半，即－ 1≤
≤ 0，总是需要在发送信号设计中致力于考虑的因素，而经过信道失真的接收信号检测，又总是利用
取值范围的右边一半,0<
≤ 1，即对于要正确检测的信号（已含有干扰，即前面提到的混合波形）,
以提供特定样本与接收信号最相像（
≈
）——为最佳判决，这就是相关接收或最佳接收的概念。
1,二元正交码模式
z 最简单的数据 0、1，这两个信息代码，可由 00与01 代表，则为正交码字集，即
（8-1）</SPAN< p>
z 4 元数据：00、01、10、11，其正交码字集为
（8-2）</SPAN< p>
正交码的特性，其相关系数为
（8-5）</SPAN< p>
2,双正交码
我们只利用上面
位数据的正交码集
的右边半矩阵，可构成
位数据的双正交码集
（8-9）</SPAN< p>
双正交码的相关系数为,
（8-11）</SPAN< p>
3.截短正交码
从式 （8-5） 的正交码集的定义看,若两码相对位同号的位数少于异号位数,总满足
，
即超正交条件。对照正交码字（符号）序列，首位总是“0”，因此可以去掉如式（8-2）中各正交码字首位的“0”之后，变为这种超正交，这种正交码也称“单形”码（Simplex）。
如：
去掉首位得：
（8-12）</SPAN< p>
它的相关系数通式为
（8-13）</SPAN< p>
4.结论
1）在波形编码序列中，具有码字间正交特性的以上三种情况，均为最佳信号设计。
2）它们的正交条件均为
≤0，（
≠
），其中
在－1≤
≤0范围内，
值越负，在同样接收信噪比
或
时，就具有越小的误差率；反之，在同样误差率时，
则需要的
或
代价更小，进而，在相同噪声信道中，要节省发送功率。
3）保持正交特性，必须付出代价——就是以有效性换取可靠性，如 00、01、10、11 通常表示的4个信源符号,若利用正交码,则去掉了,11”,因此4个信码应由截短正交码表示为式 （8-12） 。
同样，码长
＝8的PCM码，共
个，若利用正交码，则只有8个码字，其余 248个均禁用，这个代价是不小的。当然在实际通信中，话音 PCM 无须如此正交码。
8.2 差错控制概述
8.2.1 二元对称信道和错误格式
1,二元对称信道特征
在“信息论”中详细讨论过二进制无记忆及有记忆信道特征，本书第二章曾列举过二元不对称无记忆信道的后验概率计算，并可由此计算出“后验熵”（损失熵），它是信源平均信息量和信道实际传送的信息量之差，正是造就接收误差的主因。
我们的分析，把信道看作线性时不变系统，且以二元对称无记忆信道为重点讨论。二元对称信道
（ BSC）通常是无记忆的，即传输的每个码元符号不相关或统计独立，因此产生的传输差错是随机性的，而这种信道主要是加性高斯白噪声导致随机差错，因而称其为随机信道。随机差错率是传输错误转移概率造成的。
2,错误格式
将发生错误看成是因为加入（模2 加）了某种“错误格式” 的结果。由于随机差错可能发生在 长码字的某1位、某几位，甚至全错，因此其错误格式种类为 （只有 1 个全 0
时的,没有差错），在这 个可能的错误中,长码总错误概率为
（8-16）
随机信道产生错误的概率以错1 位为最大。
8.2.2 差错控制分类
在数字或数据通信系统中，利用抗干扰编码进行差错控制，一般分为 4 类：前向纠错（ FEC）,
反馈重发（ ARQ）,混合纠错（ HEC）和信息反馈（ IRQ）
1,前向纠错（FEC）
FEC方式是在信息码序列中，以特定结构加入足够的冗余位——称为监督元（或校验元），
接收端解码器可以按照双方约定的这种特定的监督规则，自动识别出少量差错，并能予以纠正。
FEC最适于高速数传而需实时传输的情况。
2,反馈重发（ARQ）
在非实时数据传输中，常用ARQ差错控制方式。解码器对接收码组逐一按编码规则检测其错误。如果无误，向发送端反馈“确认”ACK 信息；如果有错，则反馈回 ANK 信息，以表示请求发送端重复发送刚刚发送过的这一信息。ARQ 优点在于编码冗余位较少，可以有较强的检错能力，
同时编解码简单。由于检错与信道特征关系不大，在非实时通信中具有普遍应用价值。
3,混合纠错方式（HEC）
此种方式是上述两种方式的有机结合，即在纠错能力内，实行自动纠错，而当超出纠错能力的错误位数时，可以通过检测而发现错码，不论错码多少，利用ARQ方式进行纠错。HEC 往往是一种折衷性应用，如上述指出的 长码字错1 位的概率,比错2 位时大得多，因此为使编解码结构避免较高速数传要求，常出现1 位差错可以随时自动纠错，而2 位以及更多错误则以ARQ纠错，但HEC也适于实时传输。
4,信息反馈（IRQ）
这是一种全回执式最简单差错控制方式，接收端将收到的信码原样转发回发送端，并与原发送信码相比较，若发现错误，则发送端再进行重发。只适于低速非实时数据通信，是一种较原始的做法。
8.2.3 常用差错控制码
在介绍差错控制码之前，先列出几种简单的常用差错控制码，对以后理解纠错码原理可以有所启发。
1,奇、偶校验码
对于一般的数字序列，为了能发现传输中的一位或更多差错，一种很简单的方法是在码字后面加1 个冗余码元（校验元）。加1位监督元后，称为有检错功能的“码字”，码长为 。此结果表明，当信码组的码重等于 为奇数，若加入,为偶校检码；偶数时加入
构成偶校检码；反之亦反。实际上，奇偶检验码就是下面将介绍的 线性分组码的一种特例，即,它们可以检测出奇数个错。
2,水平－垂直校验码（方阵码）
方阵码的构成，是将 组 位信码先排为 行× 列的阵列，然后按既定的奇（偶）校验规则，在每行及每列中分别加入奇偶校验位。因此，它的总码长为 。
其中，信码数为,校验位为 + 位。因此它是 分组码。方阵码的检错优势在于它可以检测出突发错长度不大于 位的行发生的突发错误，或不大于 位的列突发错误。此种检错作用是相当于把1行或1 列的突发错误分散到相邻各码组中，起到后面将介绍的“交织编码”的作用。它的好处是，可将突发错误的几个连续错位分散到相邻码字中各含 1
位错，于是就可纠正。这对于不设反馈信道的单向低速传输是有利的。
3,恒重码（或等比码）
这是从 个码组中，只选出一些特定结构的码组作为许用码字，如“五中取三”码，就是从 ＝32个码组中,只选用码重为3的 10个码组作为传输码字,可代表 10个信息符号 （如
10 字阿拉伯数字），而其余 22个是禁用码组。
4,重复码
重复码是与奇偶校验相反意义的一种简单分组码，它是码长为,信码只有1位的（,
1）分组码。如（3，1）重复码包括 000及 111 两个码字。重复码付出 位的冗余代价，即有 组为禁用，当然可以换取较大的可靠性。（3，1）码显然可以纠1 位错，而作为检错码利用，可以有检出2 位错的能力，这种码并非优秀，只是简单地用于很低速率的数据通信。
8.2.4 信道编码定理与差错控制定理
仙农（Shannon）信道容量公式为通信研究指出了方向性定律
（8-22）
在高斯白噪声信道中，每秒信道容量 与信道传输带宽 和信噪比 的定量关系。
由仙农这一公式，可以直接和间接地推演出信道编码定理和差错控制定理。
1．信道编码定理
对于有扰信道的数字传输，仙农归纳出：一个具有确定信道容量 的有扰信道，对于任何小于 的信息传输速率,总存在一种码长为,码率为 的分组码，其接收解码的误差概率的下限为
（8-23）
式中,为某常数,为码长,为误差指数，它是 的正的实值函数。增加码长,就将随 而指数下降，于是要付出编码冗余度，且使编解码系统复杂性增加，而成本加大，这一方法正是本章差错控制的基本原理。
2,汉明距离
任何一个表示 个信源符号集的码字集合中的两个码字，必定至少有一位不同，如果码长为,这种差距可能为1至,如 ＝3时,8个3位码字，最小距离为 1，最大为3（000与111），将其置为3 维空间，称其为（3维）汉明空间。
我们定义码组间距离为汉明距离
（8-24）
按此式，（3，1）重复码汉明距离,即汉明空间中的（111）与（000）。
但是，在差错控制中，我们最关心的是一个许用码字集合里，它们彼此之间的最小汉明距离
——,它是表明差错控制能力的下限。大部分正交码都因不同的冗余，而具有一定差错控制能力。最简单的奇偶校验码的 ＝2，因此它可检1位或奇数个错。
3,差错控制定理
线性分组码—— 码,它是码长为,信息码长为,编码效率 （码率） 为 纠错码。视其加入的冗余位——监督元（校验元）的位数 的多少，来决定 码的差错控制能力。
以 表明差错控制能力的差错控制定理内容如下,
（ 1） 如果欲在接收解码时检测出 位错，则汉明距离应满足
（8-25）
（ 2） 如果需（自动）纠 位错，则需
（8-26）
（ 3） 如果要求纠 位错，且同时可检出 位错
(
)
（8-27）
最后一个关系式，实际上提供的是混合纠错方式（HEC）如,＝2,＝1,＝4（至少）,后面将介绍的 分组码就满足这一关系。 该码的 个许用码字 （包括全0 码字），码长,,它可以通过一定规则加入监督元 位冗余位，可自动纠正1 位错，同时当发生2 位差错时，虽然不能纠正，即无法自动找出在7 位码字中哪2 位发生错误，但它却“知道”是错码，因而可以通过反向信道，以 ARQ 方式进行重发，直至正确检测，或只有1 位错可纠正为止。
8.3 线性分组码
线性分组码是本章重点介绍的差错控制码，由于认识此种码的思路与概念直观而条理清晰，
并对编码中的一些重要参量和纠错能力提供一系列明确的概念,从而也为介绍其它差控码奠定有力基础。
8.3.1
(,)nk
线性分组码的构成
1,监督方程组
通过上面的逻辑推断，我们得到式（ 8-32）这一（ 7,4）分组码的一种可监督检测接收码字是否有错的模式，然而尚无得到验证，并且，也需要给出明确的编码过程。可以将上式进行运算，
并分出三个独立的线性方程
6542
6531
6430
0
0
0
CCCC
CCCC
CCCC
+ ++=
+ ++=
+ ++=
（8-33）
矩阵表示为,
6
5
24
13
02
1
0
1110100 0
1101010 0
1011001 0
C
C
SC
C
C







==









（8-34）
这个联立方程组就是式（ 8-32）的等效表示，这意味着只要能使它等于 0 阵时，
65 10
,,,,CC CCLL
必定是正确编制的具有纠错能力的码字。其中
210
,,CCC
为 3 个监督元，它们分别是（
6543
,,,CCCC
）信息码组中有关一些码元的线性组合，即
矩阵形式为
6
2
5
1
4
0
3
1110
1101
1011
C
C
C
C
C
C
C





=







（8-35）
我们称式 (8-35)为监督方程组，它们严格规定了信息码与监督元的制约关系。
由方程组与式（ 8-32）对照，式中
3
217? =
组与监督元对应的数值矩阵，是该方程组的各元素权系数构成的，其突出特点是右边 3 行,3 列是个
3nk
I I
=
单位矩阵，由式（ 8-35）三个监督方程，由于最低次项从上到下各为
210
,,CCC
，因此在数值矩阵中必然在式 (8-32)或 (8-36)的数字矩阵中，出现右边的
3
I
单位阵。
此外，式（ 8-32）的模式以及监督方程组的产生，前提是表 8-2 中我们指定了
210
,,SSS
与各码字位置对应关系，其实本例完全可以“随意”规定，仍不失我们上面的可行性思路的正确性。
如：我们可以将上面数值矩阵右边
734nk? =?=
列乱序排列（其他例子未必合适）,
则得
6
5
24
13
02
1
0
1110 100 0
1011 010 0
0111 001 0
C
C
SC
C
C







==









M
M
M
（8-37）
它所对应的监督方程组为
2654
1643
0543
CCCC
CCCC
CCCC
= ++
= ++
= ++
（8-38）
该联立方程组中每个监督方程均为信码线性组合，各方程为线性独立，符合线性迭加原理，
因此也是合理的，但依不同的监督方程组构成形式，此后编制出的
(7,4)
码的具体码字不会完全相同，不过，它们的本质特征及其差错控制能力毫无差异，其它
(,)nk
码可能会有例外，后面将要进一步说明。
2,一致监督（校验）矩阵
H
我们将上述形成的监督方程组中,各元素排列的权系数构成的矩阵称为一致监督（校验）矩阵，并以
H
表示，于是由式（ 8-32），有
[]
3
IPH Μ
Μ
Μ
Μ
=
=
1001101
0101011
0010111
（8-39）
H
矩阵由两部分拼成，即包括
P
与
3
I
两个阵列
即
=
1101
1011
0111
P
==
100
010
001
3kn
II
（单位阵）
（8-40）
矩阵
H
将在接收解码时起到检测及纠正错误的作用。
至于在有了矩阵
H
后,如何生成
21
k
个非全 0 的
n
位长的纠错码,可通过获得生成矩阵
G
来加以解决。
3,生成矩阵
G
(,)nk
码的生成矩阵可以通过已得的监督方程组式（ 8-34）得到，即在式中，再加上
(,)nk
码的 7 位码中尚未列出的 4 个信息码元
6543
,,,CCCC
，则得
++=
++=
++=
=
=
=
=
3460
3561
4562
33
44
55
66
CCCC
CCCC
CCCC
CC
CC
CC
CC
（8-41）
这一完善的
n
个方程组，就是
(,)nk
分组码的通式。为明了起见，我们将其表示为矩阵运算形式，则该
(,) (7,4)nk =
码码字为
()
T
3
4
5
6
T
346
356
456
3
4
5
6
0123456
1101
1011
0111
1000
0100
0010
0001
=
=
C
C
C
C
CCC
CCC
CCC
C
C
C
C
CCCCCCC
() ()G
34563456
1101000
1010100
0110010
1110001
CCCCCCCC =
=
Μ
Μ
Μ
Μ
（8-42）
这里，“
T
”表示矩阵转置，即将原矩阵行变列，列变行。
式中，
G
作为生成矩阵，在本例中
[]QIG
k
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
=
=
1100000
1011100
0110010
1110001
（8-43）
这里
4k
II =
是 4× 4 单位矩阵。
对式（ 8-39）中
H
矩阵左半部分
P
矩阵与得到的
G
矩阵中右半部分
Q
矩阵进行比较，可以发现，
P
与
Q
二者互为转置关系
即
T
QP =
或
T
PQ =
（8-46）
并且，
H
与
G
矩阵的特点之一是：
H
矩阵右方为
()()nk nk? ×?
单位矩阵
kn
I
（这里为
3
I
），
G
矩阵左方总是
kk×
单位矩阵，
k
I
（这里为
4
I
），加之两阵中含有的
P
与
Q
关系，因此在由监督方程组系数构成
H
矩阵后，可以很方便地得到
G
矩阵——只要按
[][ ]
T
kk
PIQIG ΜΜ==
直接写出即可。
现在可由
G
矩阵，对于给出的任何信码组
12 10
(,,,,)
kk
mm mm

LL
与
G
进行矩阵运算，
可得全部
(,)nk
码结构的
21
k
个非全 0 码字，而
2(21)
nk

个码组则为禁用码组。
例如，按上面
(7,4)
码的
G
矩阵式（ 8-42），可求出
{ }
6543
()(101)
i
mCCCC==
的相应
(7,4)
码字
)1101010(
1101000
1010100
0110010
1110001
)1101( =
=
Μ
Μ
Μ
Μ
C
这一结果是由信码序列 1101 与
G
矩阵逐列相乘后,4 个乘得的结果进行模 2 加，而得到 7
个结果数值，就是相应编码码元值。
模 2 加法：
011 =+
，
101 =+
，
000 =+
模 2 乘法：
111 =×
，
001 =×
，
000 =×
通过上述运算，我们可以得到
(,)nk
分组码的全部（
21
k
个）非全 0 码，加上全 0 码，其许用码字为
2
k
个，可以表示有纠错能力的
2
k
个信源编码进行纠错传输。
4,
H
与
G
矩阵的特征
（ 1）
H
与
G
矩阵的关系
由
H
与
G
的分块表示的矩阵形式
][
kn
IPH
= Μ
及
]QIG
k
Μ[=
而
T
QP =
或
T
PQ =
则有
0HG
T
=?
或
0GH
T
=?
（8-50）
（ 2）
H
矩阵的特点
1）
H
矩阵是通过设计
(,)nk
码的
nkr? =
个监督方程之后，抽取其系数构成的。
2）它的行数为
nkr?=
行，
H
矩阵的右半部分为
kn
I
=?×? )()( knkn
单位矩阵，
这种形式的
H
构成的
(,)nk
码称为系统码——
n
长码字中信息码组均在前
k
位，后
kn?
位为监督位，是
(,)nk
码的标准形式。
3）
H
矩阵与
(,)nk
码的任何一个许用码字进行相乘的结果必等于 0，即若
GC m=
是任一
(,)nk
码字，则必有
0CH
T
=
。若不属于许用码字，或有传输差错，且差错位数在
(,)nk
码纠错能力内，则运算结果将为非 0 值，此时，可以纠错或检错重发。如本例中发生 1 位错时，其运算结果一定会等于
H
矩阵的某一列，这就表明是接收码组中的该对应码位发生错误，于是能够即时自动纠错，这一基本原理在下面伴随式解码运算时将进一步解释。
4）
H
矩阵中不含全 0 列。对于本例
(7,4)
码的
H
矩阵，除其中
r
I
单位阵外，其余
k
列为
P
矩阵（
4k =
），因此
H
阵中含非 0 列共
217
k
=
列，从 001 至 111 全部被利用。
于是，不论
3nkr?==
个监督方程怎样构成，即
H
中
P
矩阵中各列如何排列，如式
（ 8-37），只要符合线性独立，均可得到同样能力的
(7,4)
码。但是，另一方面，如
(7,3)
码，则
H
矩阵为 4 行× 7 列，由于
734nk? =?=
，因此，除了
4r
II =
单位矩阵的 4
列之外，只尚需 3 列，它们从
4
2141651=?=
个未被利用的非全 0 的 4 位码组中合理选用——返回到设计
4nk? =
个监督方程组如何设计就必须慎重。
（ 3）
G
矩阵的特点
1）
G
矩阵的
k
行中的每一行，长度为
n
，均为
(,)nk
码的码字，并且任意两行模 2 加，
也是一个许用码字——这一特点称为
(,)nk
分组码的封闭性质。
2） 由
G
矩阵求全部非 0 码字时,由于其构成为
[ ]QIG
k
Μ=
形式,与
H
矩阵的
kn
I
相对应，这种结构特征生成的
(,)nk
码为系统码——编出的全部码字，
12 1 2 10
(,,,,,,)
n n nk nk
CC C C CC

LL LL
中的前
k
位完全对应是信息码序列
12 10
,,,,
kk
mm mm

LL
而后面
nkr? =
位全是监督元
12 10
,,,,
nk nk
CC CC

LL
，
如
(7,4)
码的全部码字，从高位数共
4k =
位，均为源编码信息码组。这就是系统码特征。 因此在以
12 10
(,,,,)
kk
mm mm

LL
CG =
来编制
(,)nk
码时,可以直接把
{ }
i
m
的这
k
位信码写出而不必计算，只是以
{ }
i
m
与
G
中
Q
矩阵的
nk?
列分别运算，依次得到
nk?
个监督位，再写在
{ }
i
m
序列之后，就得到
(,)nk
的一个码字。由于
G
中已含有
k
个码字，因此只需计算
rkn =?
个，即得全部
12?
k
个非 0 码字。
5,
(,)nk
分组码的纠错能力
由纠错定理我们已经明确认识到，一个分组码的差错控制能力大小，完全取决于汉明距离
0
d
，
(,)nk
码的
2
k
个码字中由于包括全 0 码，因此欲求出该码的
0
d
，只需从
21
k
非全 0 码中找到最小码重就是最小汉明距离
0
d
。
0
d
值除通过码字来逐一计算得出外，后面可通过
n
与
k
的关系给出估算
0
d
的关系式。知道了
0
d
，则可以按照纠错定理，就决定了分组码的差错控制能力。例如：
(7,4)
码的
0
3d =
，并且从表 8-3 也可以看出，它可纠 1 位错。
8.3.3 伴随式解码
解码过程是对经过信道传输后，受到干扰及信道加性高斯白噪声影响的数字信号波形，进行最佳接收及合适的判断后，再确认它是否在码字序列中含有错误，这种检测是否能发现错误，
发现什么样的错误，完全取决于差错控制能力。若在该设计
(,)nk
码的能力范围内，则可立即实施自动纠错，或者以 ARQ 方式重发纠错，如果由于偶尔传输干扰使码字波形失真太大，在一个接收码字内发生的错误数超出该
(,)nk
码差控能力,就不能发现或纠正错误,或者以,一误再误”
反而纠而更错。从目标而言，应当在码字确认为正确时方可解码而准确恢复为原信息。
1,伴随式解码
上面已经涉及到，如果许用码字，也就是接收码组序列无错误，则它与
H
矩阵运算结果必有
0CH
T
=
反之，则表明收码有错为
r
C
，即
0HC
T
r
≠
（8-51）
其中，
r
C
是含有错误的接收码组。它是由于信道噪声与干扰导致误码结果，其错误格式为
E
，
因此有
ECC
r
+=
（8-52）
于是
0EHEHCHE)H(CHC
TTTTT
r
≠=+=+=
（8-53）
可见,接收错码序列
r
C
与
H
矩阵运算——由一致监督矩阵
H
进行校验,也就是错误格式
E
与
H
的运算结果，由于
0E ≠
，所以，我们利用这一检验方法至少可以表明
r
C
是否有错，兹设符号
S
来代表
TT
r
EHHC =
，即
TT
r
EHHCS ==
（8-54）
这里,将
S
称为误差伴随矢量,简称,伴随式” （ Syndrome）,词意是它伴随误差而存在,在
(,)nk
码字中的全部错误格式为
21
n
个（
2
n
个可能码组格式中，只有一个是不错的码字），若计算结果
S
不等于 0，则全部错误格式的错码在解码之前均可以被发现。
2,伴随式特点
通过上面分析，伴随式有以下两个基本特点,
（ 1）伴随式
S
仅仅与错误格式
E
有关，而与传输的码字
C
无关。
（ 2）同样
n
、
k
的
(,)nk
码的不同码字，都有同样种全部误差格式，
21
k
个。
S
不是一个简单的数值，而是位数等于
H
矩阵列数，即
()nk?
位的矢量。
由于伴随式包括
0EHHCS
TT
r
≠==
及
0CHS
T
==
两种类型的可能结果，因此错码组
r
C
与
T
H
运算时，只要
r
C
与
H
的某列或（多列）相乘后的
n
个元素模 2 加等于 1，
S
就不为全 0，就表明
r
C
有错，如上述
(7,3)
码，如果收码为
)1101101(=
r
C
，则
=
==
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1000110
0100011
0010111
0001101
T
r
T
HCS
这一结果，即
)0100(=S
正与
H
矩阵第 5 列相同，表明
r
C
收码中，从高位开始第 5 个码元差错，如果只是有 1 位错，则尚可立即纠正为
)1101001(=C
。
又如，上述
(7,4)
码，如果收码
)1100110(=
r
C
，则
[]111
100
010
001
110
101
011
111
)1100110( =
==
T
r
HCS
这里
r
C
与
T
H
运算中每列相乘的模 2 和均为 1,其结果
)111(=S
,是
H
矩阵第 1 列 （即
T
H
的第 1 行），因此
r
C
首位差错，纠正为
)0100110(=C
。
上面对
(7,3)
码和
(7,4)
码计算的伴随式
S
结果,均表明它确可以检出并且可以纠正 1 位错，
并且与两码差控能力（
0
d
分别为 4 和 3）相符合。同时也验证了在开始介绍分组码设计
()nk?
个监督元的初衷。
下面进一步分析，由于
(7,3)
码的汉明距离
0
4d =
，比
(7,4)
码付出的冗余代价大，它能否有更大的差错控制能力呢？为此，我们从
(7,3)
码（例 8-1）
G
矩阵中任意抽出一行，它一定是许用码字，如
)1101001(=C
，若任意错 2 位，如
C
变为
)0001001(=
r
C
，即第 1,2 位均错，
我们求其伴随式
S
。
=
==
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1000110
0100011
0010111
0001101
T
r
T
HCS
这一结果，接收端并“不知道”
r
C
是两位错，而按常规运算得到伴随式
)1001(=S
，需从
H
矩阵中去找与之相同的列，但此时却不存在。这表明
(7,3)
码没有纠两位错的能力，但却检出为“有错”，且为 2 位或更多位错。此时，可以通过反馈信道，利用 ARQ 方式重传纠错。其实
S
＝（ 1001）＝（ 1110）＋（ 0111）是
H
矩阵的第 1,2 列的模 2 和，而计算
S
并得不到是哪两列之和，因此只能检错而无法纠正。这里我们验证了差错控制定理
1
0
++≥ ted
)( te >
差控能力的正确性。
从上面计算，我们可以看出
(7,3)
码虽然与
(7,4)
码一样只能纠 1 位错，但
(7,3)
码在可纠
1 位错同时,若出现 2 位或更多个错,都还有检错能力,而通过 ARQ 仍能纠错。 可以验证，
(7,4)
码却不能发现 2 位错，如
(7,4)
码的码字
C
＝（ 1000111）错为
r
C
＝（ 1000001），第 5,6 位错，伴随式可计算为
S
＝（ 110），它是
H
矩阵第 2 列，自然会加以“纠正”为（ 1100001），
反而纠错，因此
(7,4)
码的码率为
4
7
k
R
n
= =
，它符合汉明码的定义，即
(7,4)
码是后面将介绍的汉明码，是刚能纠 1 位错的高效码。
顺便提及,编码理论表明,具有
),12(),( mkn
m
=
且
1
0
2
=
m
d
的码,除全 0 码外,其余
12?
m
个码字的重量相等，称为极长码，只用作检错时，它不可检错概率最小，是一个最佳检错码，如
（ 7,3）码即为此种码，
3=m
。同时奇偶校验与
)1,(n
重复码也是最佳检错码，而
)1,(n
码是等重码（全 0 码外，其余 1 个码字全为 1）,
8.4 汉明码与对偶码
上面已经多次例举了（ 7,4）与（ 7,3）两个分组码，下面具体分析一下这两个码的不同点与相关性，从而指出汉明码与对偶码的特征，这里（ 7,4）码为汉明码的特例,（ 7,4）与（ 7，
3）码是对偶码的一例。
8.4.1 汉明码
通过
(,)nk
线性分组码的编制过程，我们已经明确，作为系统码的结构，是在给定的
k
信息码之后,按一定规则加入
()nk?
个监督元,此种冗余可以使编码的码率为
k
R
n
=
的码字具有
t
位纠错能力。现在提出一个问题，若欲使
(,)nk
码纠正 1 位或
t
位差错，至少
()nk?
值为多少位
（监督位），也就是说，按照纠错定理确保汉明距离
0
d
，至少为
0
d
＝ 2
t
＋ 1，那么，上述问题就变为：若欲编制一个指定
0
d
的下限值，即最小汉明距离
=
0
d
min
d
刚好确保可纠
t
位错，这个
(,)nk
码就是可纠
t
位错的高效码——汉明码。
1．
mkn =?
且码长
21
m
n =?
（8-57）
2．信息位
21
m
knm m=?=
（8-58）
如：
m
＝ 3，则码长
n
＝ 2
3
－ 1＝ 7，
k
＝ 7－ 3＝ 2
3
－ 1－ 3＝ 4。
所以（ 7,4）码是汉明码，它的伴随式可能取的不同组合数为
n
个（且均为
m
＝ 3 位））
——是
H
矩阵全部非全 0 列的数目
=
1010101
1100110
1111000
H
汉明码的哪一位有错，伴随式
S
就等于
H
矩阵的相应顺序的列。并且
H
矩阵的
n
个列可以任意倒换位置，而不影响纠错能力，当将
H
矩阵排布为标准形式时，则可以通过相应生成矩阵
（也时标准形式）构成系统码。
汉明码可在相同码长的
),( kn
码中，利用较少的监督位，即最高码率
k
R
n
=
，达到同样的纠错能力。还可以构成多进制的汉明码，本章只介绍二元
(,)nk
码。通过汉明码的特征讨论，表明汉明码就是上面提到的完备码——监督元得到最充分的利用，即
H
矩阵（不含全 0 列）
n
列等于
)( kn?
个监督元构成的
n
kn
=?
)12(
时的情况。
8.4.2 汉明码的扩展与扩展码
0
d
＝
min
d
＝ 3 的
),( kn
汉明码，即符合
(2 1,2 1 )
mm
m
结构时，如（ 7,4）码，若将它的每个码字再加进一个对全部码字都进行监督（校验）的监督位，即得
'
012 10nn
CC C CC

=++++LL
（8-59）
或
'
12 100
0
nn
CC CCC

+++++=LL
（8-60）
称上式为“全监督方程”，此种汉明码的监督位增加为
m
＋ 1，而信息位
k
不变，码长
n
也增加一位，
2
m
n=
，此时汉明码变为
(2,2 1 )
mm
m
，称为扩展汉明码。
在汉明码
min
d
＝ 3 时，由于必然至少有一个码字
i
C
的码重为 3（见表 8-？？），对该码字加入
'
1
i
C =
，则变为偶数,1”（码重为 4），而原来汉明码其它码字码重为偶数时则加
'
0
i
C =
，
码重不变，因此扩展汉明码最小码距由
0
d
＝ 3，变为
=
0
d
4。
于是扩展汉明码的一致监督矩阵为
0
(7,4)
111 1
0
0
1
0
H
H


=


LL
M
或
(7,4)
0
0
0
0
0
111 1
H
H




=






M
LL
＝
(8,4)
H
(8,4)
H
表示（ 7,4）汉明码扩展后的（ 8,4）扩展汉明码一致监督矩阵，由前面（ 7,4）码
H
矩阵（式 8-37）变为
(8,4)
11111111
11101000
11010100
10110010
H



=



（8-61）
有时将扩展汉明码称为汉明增余码。
我们可以将上述汉明码字加上全监督位的方法，再推广到最小码距
0
d
为奇数的
(,)nk
码，
则变为
(1,)nk+
，其码距也加 1 个，为（
0
d
＋ 1）＝偶数，称此种码为原码
(,)nk
码的扩展码。
例如,
原码为（ 5,2）码，其
H
与
G
矩阵为,
11100
10010
11001
H


=

和
10111
01101
G

=


它的码字（ 4 个）为：（ 00000）、（ 01101）、（ 10111）、（ 11010），对每个码字加上一个全校验位
'
0
C
,则按码重为奇数的码字加
'
0
1C =
,偶重码字加
'
0
0C =
,这 4 个码字变为,（ 000000）,
（ 011011）、（ 101111）、（ 110101）
对应的
0
H
及
0
G
矩阵分别为,
0
111111
111000
100100
110010
H


=


0
101110
011011
G

=


显然最小汉明距离为
0
d
＝ 4
8.4.3 完备码（exhaust）
上面讨论的（ 7,4）汉明码，它的
Η
矩阵共有
n
列，即等于
),( kn
码码长，而且由
rkn =?
个监督位，且有
n
kn
==?=?

71212
47
，此时由
3=?kn
个监督元
210
SSS
的组合，除全
0（即 000）外，尚有 7 组全部用于
Η
矩阵的列元素组，并且可以证明无论这 7 组三位码元在
Η
矩阵中如何排序，均会得到正确（ 7,4）码，也就是说对应的
rkn =?
个监督方程组只要 3 个方程组线性独立，且均由
4=k
位信码任意构成，均符合正确编码规则。这种情况正是式（ 8-55）
汉明界不等式中等式成立的情况，即完备
),( kn
码定义为
∑
=
=?
t
i
i
n
kn
0
2
log
，
2
1
0
=
d
t
（8-63）
符号这一关系的参量构成的
),( kn
码称为完备码。
显然由上面关系,（ 7,4）汉明码是完备码，同时由汉明码的构成特征式（ 8-57）与（ 8-58），
一切汉明码都是完备码，（ 7,3）码由于
3)1(log4
2
=+≠=? nkn
，这就是说，
4=?kn
个监督元，可有 15 组非全 0 的 4 位码组，通过设计
4=?kn
组监督方程构成的
Η
矩阵中，只涉及到这 15 组中的 7 组（列），至于用哪些组，一定严格遵守监督方程组设计条件。
通过对照完备与不完备码，我们得到另一个启示是，当为完备码时，不用设计监督方程后再抽取系数而得到
Η
矩阵，而是随意将
n
kn
=?
12
个非全 0 的
)( kn?
位码组以任何顺序放入
Η
矩阵即可。
8.5 循环码
循环码是
(,)nk
线性分组码中最重要的一个子类码,它的基本特点是编码电路及伴随式解码电路简单易行；循环码代数结构具有很多有用的特性，便于找到有效解码方法。因此在实际差错控制系统中所使用的线性分组码，几乎都是循环码。
下面将介绍循环码的多项式表示及其性质，同时简介几种重要的循环码,CRC,BCH 和 R-S
码等。
8.5.1
(,)nk
循环码的描述
1,码多项式及其运算
通式表示为,
)()(
)(
)(
xRxq
xN
xF
+=
（8-69）
于是称
()Fx
与
()R x
为“同余”式，即
() ()Fx Rx≡
[模
()Nx
]
（8-70）
如,
)()()1)(1(1
232347
xqxNxxxxxx?=+++++=+
Δ
则
7
10x +≡
[模
()Nx
] 即
7
1x +
能被
432
() 1Nx x x x= +++
整除
利用这一运算原理，我们可对一个码字进行移位表示,
如：
(1110100)C =
的多项式表示为,
6542
()cx x x x x= +++
使
C
码组向左移 2 位（循环）则有
'
(1010011)C =
对应多项式
' 64 2 8764
() 1 ()cxxxx xcxxxxx=+++= =+++
然后以
7
1x +
去除
'
()cx
得,
8764 64
77
1
(1)
11
x xxx xxx
x
+++ +++
=++
这一结果表明，以
7
1x +
作除法运算（称模
7
1x +
）后，
'64
() 1cx x x x≡ +++
即
'87642
() ()cx x x x x xcx≡+++=
与
64
1x xx+ ++
为同余
因此，
'2 64
() () 1cx xcx x x x=≡+++
（模
7
1x +
）
应注意，利用这种同余式表示，必须加注（模
7
1x +
），否则就不明确在什么条件下得到的这一同余关系式。
2,
(,)nk
循环码的构成
循环码的构成突出特点是只要是该码中的一个许用码组——码字，通过循环
i
位
(1,2,,1)in=?L
其结果则可包括全部
21
k
个非全 0 码字，如上面介绍的（ 7,3）分组码，
从信码位 0 0 1 构成的码字（ 0011101）开始逐一向左（或者向右）移一位，可得其余 6 个码字：
（ 0111010）、（ 1110100）、（ 1101001）、（ 1010011）、（ 0100111）、（ 1001110）。
若把这些码字写成码多项式，都具有同一个移位运算模式，并设（ 0011101）对应的码多项式
)(1
234
xTxxx
Δ
=+++
,
于是，有,
() ()
i
i
Cx xTx=
0,1,2,6i = L
（模
7
1x +
)
（8-71）
这样，就构成了（ 7,3）循环码，如表 8-4。从表 8-4 看出，循环得到的（ 7,3）码，仍为系统码，信息码组均在表中码字的高位（左方）。
表 8-4 （ 7,3）循环码
移位
i
（ 7,3）码
码多项式
)(xC
（模
1
7
+x
）
0 0 0 1 1 1 0 1 )(1
234
xTxxx =+++
1 0 1 1 1 0 1 0 xxxxxxT +++≡
345
)(
2 1 1 1 0 1 0 0
26542
()x Tx x x x x≡ +++
3 1 1 0 1 0 0 1
3653
() 1xT x x x x≡ +++
4 1 0 1 0 0 1 1
464
() 1x Tx x x x≡ +++
5 0 1 0 0 1 1 1
552
() 1x Tx x x x≡ +++
6 1 0 0 1 1 1 0
6 632
()x Tx x x x x≡ +++
8.5.2 循环码生成多项式与生成矩阵
1,生成多项式
由表 8-4 构成
217
k
=
个非全 0 码字多项式的过程与结果看，我们从
)(1
234
xTxxx =+++
开始进行逐一循环，并以模
)1(
7
+x
运算，该码字正是信码组中最低位为 1,对应码字多项式
()Tx
,在全部非全 0 码字中,它的最高位阶次也最低,并等于
4nk?=
，
即最高次项为
4
x
，随后一系列码字都源于它的移
i
位
(1,2,,6)i = L
而形成，因此称其为生成多项式
()gx
，即
432
() 1gx x x x= +++
（8-72）
然后再从
7
11
n
xx+= +
的因式分解来进一步分析
7332
1 ( 1)( 1)( 1)xxxxxx+=+++++
（8-73）
我们可以将三个既约多项式因式任意组合成两个因式，可有
1 ()()
n
x gxhx+=
（8-74）
如,
7332
1 ( 1)[( 1)( 1)]xxxxxx+= + ++ + +
332
(1)[(1)( 1)]xx x xx=++ + ++
32 3
( 1)[( 1)( 1)]xx x xx=++ + ++
（8-75）
332
[( 1)( 1)]( 1)xxx xx=+ ++ ++
32 3
[( 1)( 1)]( 1)xxx xx=+ ++ ++
332
[( 1)( 1)]( 1)xx xx x=++ ++ +
（8-76）
其中可以组合为二因式中包含最高次为 4 次的情况有两种，即展开式的第 4 及第 5 两组，都可以作为阶次最高为 4 的
()gx
即
3432
1
() ( 1)( 1) 1gx x x x x x x=+ ++=+++
（8-77）
32 42
2
() ( 1)( 1) 1gx x x x x x x=+ ++=+++
（8-78）
在
1
n
x +
展开式中选用了其中一个（组合）因式为
()gx
后，余下一个因式
)(xh
，则称其为
),( kn
循环码的监督多项式，如式（ 8-74）生成多项式与相应监督多项式乘积等于
1+
n
x
多项式。
上例二种情况，有
7
11
1()()x gxhx+=
（8-79）
22
() ()gxhx=
（8-80）
循环码的监督多项式
()hx
，最高阶次为
k
，
()gx
与
()hx
最高阶次之和为码长
n
，按照上列
()gx
与
()hx
的不同分配方案，可以产生具有不同监督位数的（ 7，
k
）循环码，如表 8-5 示，
显然可由两种（ 7,3）码与（ 7,4）码，（ 7,6）码是个奇偶校验码，（ 7,1）码是重复码，上述表 8-4 的（ 7,3）码采用了
432
1
() () 1gx g x x x x==+++
。
表 8-5
1
7
+x
的因式分解及 6 种不同
),7( k
码
顺序
生成多项式
)( xg
)( xg
最高阶次
监督多项式
)(xh
),7( k
码
1 1x+
1
332
(1)( 1)xx xx+ +++
（ 7,6）
2
3
1x x++
3
32
(1)( 1)xxx+ ++
（ 7,5）
3
32
1xx++
3
3
(1)( 1)xxx+ ++
（ 7,4）
4
3
(1)( 1)xxx+++
4
32
1xx+ +
（ 7,3）
5
32
(1)( 1)xxx+++
4
3
1x x+ +
（ 7,3）
6
332
(1)( 1)xx xx++ + + 6 1x+
（ 7,1）
在
)()(1 xhxgx
n
=+
中，由于
)(xg
与
)(xh
最高阶次之和为
n
，且两者最高阶次分别为
nk?
与
k
，即
))((1
010
hxhxhggxxgx
k
k
kn
kn
n
++…++…+=+
＋
（8-81）
其中,只有
1
nk k
gh
=
及
00
1gh=
,这两个乘积项分别构成
1+
n
x
中的
n
x
和 1,因此,其余各
ij
gh
全部为 0，由式（ 8-81）的展开式中的
h
系数，构成
(,)nk
循环码的一致监督矩阵
H
。
2,生成矩阵多项式和编码方法
在
(,)nk
分组码中，生成矩阵
G
为
kn×
阵列，输入的
k
位信息码组，可以由
G
矩阵生成全部非 0 码字。
对于
(,)nk
循环码，可由
()
i
x gx
0,1,,1ik=?L
，共
k
行码字多项式构成生成矩阵多项式
1
()
()
()
()
k
x gx
Gx
xgx
gx



=




M
（8-82）
于是前面由
432
() 1gx x x x=+++
构成的（ 7,3）循环码生成矩阵为
6542
543
432
()
1
x xxx
Gx x x x x
xxx
+++

=+++


+ ++

（8-83）
相应的系数表示的生成矩阵为
=
1011100
0101110
0010111
G
（8-84）
可以化为其标准形式为
=
1011100
1110010
0111001
Μ
Μ
Μ
G
（8-85）
再按
G
与
H
的关系，直接写出标准形式的
H
矩阵
=
1000110
0100011
0010111
0001101
Μ
Μ
Μ
Μ
H
（8-86）
与
(,)nk
分组码一样，利用
()Gx
可生成码字多项式。
设信息编码（
k
位）为
{ }
12 10
(,,,,)
ikk
mmm mm

= LL
则
{ }
12
12 10
() () ()
kk
ikk
Cx m Gx m x m x mx m gx


==++++

L
()()mxgx=
（8-87）
由于我们设计
(,)nk
循环码为系统码，应当将信码多项式
()mx
晋升到从
n
项的最高位开始，即将
()mx
向左移
nk?
位——
()
nk
x mx
，是码字多项式
()cx
的最高位开始的前
k
－ 1 项，其后应续排
nk?
项的监督多项式，则该系统码结构为
() () ()
nk
cx x mx bx
=?+
（8-88）
式中
()bx
为监督多项式,
1
110
()
nk
nk
bx b x bx b


=+++LL
（8-89）
式（ 8-88）可写为
() () ()
nk
x mx cx bx
=+
（8-90）
()cx
是码字多项式，必能为
()gx
整除，即
()
()
()
cx
qx
gx
=
或
() () ()cx qx gx=?
，
() 0cx≡
（模
()gx
（8-91）
∴
() ()
()
() ()
nk
x mx bx
qx
gx gx
=+
（8-92）
即
() ()() () ()
nk
cx qxgx x mx bx
==+
（8-93）
由上面几个关系式，特别是式（ 8-93），我们可以得到
(,)nk
循环码的编码方法步骤
在选定生成多项式
()gx
之后，按下面步骤构成全部码字多项式,
（ 1）给出信息码组
110
{}(,,,)
ik
mm mm
= LL
后，写出其多项式为
1
110
() )
k
k
mx m x mx m
=+++LL
（ 2）将
()mx
提升左移
nk?
位，得
()
nk
x mx；
（ 3）
()
nk
x mx
除以生成多项式
()gx
，求得的余式为
()bx；
（ 4）由式（ 8-93）可得
)()()( xbxmxxc
kn
+=；
8.5.3 循环码、对偶码与缩短码
1,对偶码
与前述
(,)nk
分组码具有对偶码一样，循环码也具有对偶码关系。
上面我们选用构成了（ 7,3）循环码，其监督多项式为
432
1
() 1gx x x x= +++
构成了（ 7，
3 ）循环码，其监督多项式为
32
1
() 1hx x x= ++
（表 8-5 ）同时，我们也可选用
32
2
() ( 1)( 1)gx x x x=+ ++
1
24
+++ xxx＝
作为生成多项式，同样构成（ 7,3）循环码，其监督多项式为
3
2
() 1hx x x= ++
。
这两种（ 7,3）码虽构成有所不同，但它们都有同样的纠错能力。而且两者均存在对偶码，
即分别以它们的监督多项式
1
()hx
及
2
()hx
作为生成多项式，可分别构成对偶码（ 7,4）码，即
'32
1
() 1gx x x=++
' 432
1
() 1hx x x x= +++
（8-94）
'3
2
() 1gx x x=++
'42
2
() 1hxxxx= +++
（8-95）
构成它们对偶码的另一种方法是：由一个
(,)nk
循环码的监督多项式
()hx
的反项多项式—
—即取
()hx
的逆序系数构成多项式
*
()hx
作为生成多项式，可以得到
(,)nn k?
码，与
(,)nk
码互为对偶。
如：（ 7,3）码，
32
1
() 1hx x x=++
，其系数序列为
3210
,,,(1101)hhhhh==
其反序排列为：
)1011(,,,
3210
*
== hhhhh
对应的对偶监督多项式为,
*32 3
10123
() 1hx hx hx hxh x x=+++=++
（8-96）
再以
1
()hx
反序多项式
*
1
()hx
作为对偶生成多项式,
**3
11
() () 1gx hx x x= =++
（8-97）
于是由原先的
(,)nk
＝（ 7,3）码，变为了其对偶码，
(,)nn k?
＝（ 7,4）循环码，即（ 7,3）
与（ 7,4）码互为对偶循环码。
另外，表 8-5 中第 1 栏与第 6 栏的（ 7,6）与（ 7,1）也是对偶码。
2,缩短循环码
在实际应用的
(,)nk
循环码设计中，由于
1
n
x +
的因子多项式数目较少，难以达到设计要求的
n
与
k
的多种取值，常常利用
(,)nk
码的缩短码，如
(,)nk
码缩短为
(,)niki
码，可由上面（ 7,3）码为例缩短 1 位，即
i
＝ 1，可得（ 6,2）缩短码。
具体做法可将式（ 8-84）
G
矩阵与式（ 8-79）
H
矩阵进行适当舍去：可只取
G
矩阵中首位含 0 的行，且将此二行的首位 0 舍去后，可得
=
101110
111001
Μ
Μ
s
G
（8-98）
H
矩阵舍去最左 1 列，可得
=
100011
010001
001011
000110
Μ
Μ
Μ
Μ
S
H
（8-99）
该缩短后的
(1,1)nk
＝（ 6,2）码的码字为：（ 000000）、（ 100111）、（ 011101）和
（ 111010）
又如，可以将（ 7,4）汉明循环码缩短为（ 5,2）码，（
i
＝ 2）。
由本章开始时介绍的（ 7,4）码的
H
与
G
矩阵为
=
1001101
0101011
0010111
Μ
Μ
Μ
(7,4)
H
=
1101000
1010100
0110010
1110001
Μ
Μ
Μ
Μ
(7,4)
G
(7,4)
H
矩阵缩短
i
＝ 2 列后得
=
10011
01010
00101
(5,2)
H
(7,4)
G
缩短方式只取第 3,4 行，然后舍去二者前面两位 0，可得
=
11010
10101
(5,2)
G
于是，缩短后得（ 5,2）码码字为：（ 00000）、（ 10101）、（ 01011）和（ 11110）
8.5.4 循环码解码与伴随式计算
由
(,)nk
分组码的概念，当发送码字为
),,,(
011
CCC
n
…=
C
，而在高斯噪声信道中传输可能发生随机差错，则收码为
),,,,(
0121
rrrr
nn
…=

R
于是通过计算收码
R
的伴随式
S
，结果若为全 0 列则表明无错，若有 1 位错，则
S
必等于与错位对应的
H
矩阵中的那 1 列，因此可自动纠错。
对于系统码形式的循环码接收，我们可以很方便地求出收码多项式
()R x
的伴随多项式
()Sx
。
设收码多项式为
1
110
() (,,,)
n
n
R xrx rxr
= LL
，利用设计的生成多项式
()gx
，可有
'
() ()() ()R xqxgxSx=+
（8-100）
式中，
)(' xq
——
)(xR
除以
)(xg
的商式，若
)(xR
有错，
)(' xq
为未知量，它并不等于码字的商式
)(xq
。
这里，余式多项式
()Sx
的最高阶次不超过
1nk
，
()Sx
这个伴随多项式应是
()nk?
×
1 的系数矩阵构成。
1,伴随多项式
()Sx
的性质及作用
式（ 8-100）可以再写为正确码字
()Cx
与误差多项式
()E x
之和，即,
() () ()R xCxEx= +
（8-101）
或
() () ()E xRxCx= +
（8-102）
将式
() ()()Cx qxgx=
及式（ 8-87）代入上式，得
'
() () () () ()E xqxqxgxSx=+ +

（8-103）
由此看出，
()Sx
也是误差多项式
()E x
的伴随式。所以只要计算出收码
()R x
或误差
()E x
的伴随式
()Sx
，也就可以检测误差
()E x
，这是
()Sx
的一个重要特性。
第二个特性是，若
()Sx
是收码
()R x
多项式的伴随式，那么移 1 位后的
()R x
，即
()xRx
的伴随式等于
()Sx
移 1 位，即
()xSx
，由这种循环特性可得,
'
() ()() ()xRx xq xgx xSx=+
（8-104）
也就是说，
()xSx
是由
()gx
去除
()xRx
所得的余式，并且上式可推广为,
'
() ()() ()
ii i
x Rx xq xgx xSx=+
（8-105）
即如果
()Sx
是
()R x
的伴随多项式，那么
()
i
x Sx
是收码
()R x
移
i
位后的
()
i
x Rx
移位多项式的伴随式。
第三个特性是对检、纠错更为有用的特点：如果误差
()E x
发生在监督位中任一项，则其误差多项式与伴随式相同。这就是说，如果由收码
()R x
求出的
()Sx
，其最高次幂不超过
nk?
，
则可以轻易求得
() ()Sx Ex=
，而即可纠错
2,利用伴随式纠错分析
下面，利用
()Sx
以上三个特点，来处理可能含有差错得接收码
()R x
。
设表 8-4 中（ 7,3）循环码的一个码字
C
＝（ 0111010），其码字多项式为
543
()Cx x x x x= +++
设在监督项中发生错误，如
3
x
项，收码则为
54
()R xxxx= ++
收码处理如下
54 3
432 432
()
() 1 1
Rx x x x x
x
gx x x x x x x
++
==+
+++ +++
即
'3
() ()() () ()R xqxgxSxxgxx=+=+
这里
'
()qx x=
,
3
()Sx x=
其中
3
x
阶次 3 小于
nk?
＝ 7－ 3＝ 4，因此有
3
() ()Sx Ex x= =
于是立即可以纠错，正确码字应为
() () () () ()Cx Rx Ex Rx Sx=+=+
即
54 3 543
() ( )Cx xxxxxxxx=+++=+++
现在再来试分析，如果
543
()Cx x x x x=+++
中后二项均发生错误，即
54
()R xxx=+
，试求伴随式
54 3
432 432
()
() 1 1
Rx x x x x
x
gx x x x x x x
++
==+
+++ +++
即有
54 3
() ( ) ( )R xxxxxx=+=++
其中
'
()qx x=
,
3
() ()Sx x x Ex=+=
可纠错后
543
() () ()Cx Rx Ex x x x x=+=+++
由此结果，居然可以发现 2 位错，且可纠正
同样若后三项均错，
5
()R xx=
照样求得
43
() ()Sx x x x Ex=++=
，也可以纠错。
上述情况表明，只要错误发生在监督多项式的各项，均可以以
() ()Sx Ex=
直接纠错，这一点显然与相对应的（ 7,3）分组码，因
0
d
＝ 4，只能纠任何码元的 1 位错与检出 2 位错，有所不同。
8.6 卷积码
8.6.1 卷积码概念
前面介绍的
(,)nk
线性分组码的基本特征是以
k
位信息码组，按监督规则构成
nkr?=
个监督位，监督位只与本码组信息位（
k
位）有关，亦即它们只监督本码组的码字，因此
(,)nk
码是各长度为
n
的码字独立生成并独立检、纠差错，它更适于以分组包进行数据通信的检错及反馈重发纠错。
现在讨论与分组码机制不同的另一类纠错码——卷积码（ Convolutional Code），我们以
00
(,)nk
表示其码长和信息位数。卷积码显著特征是，信息位不以分组（
k
位）进入编码器缓存而形成它们的监督之后再输出，而是以很短的信息码段
0
k
位（甚至 1,2 位）连续进入编码器，
每个信息段形成的监督位不但与本段有关，而且与它之前的（
1?N
）个信息段有关，因此监督元对包括
0
k
个信息段在内的
N
段信息具有相关性，即具有
N
段监督作用，每段编码为长度
0
n
的
00
(,)nk
子码。我们把
0
Nn
称为卷积码约束长度（ constraint length），
N
称为“约束度”。
为了阐明卷积码基本原理，兹给出一个简单的编码器的工作过程，如图 8-12 所示。电路由
2 个移位寄存器（
2=m
）与一个模 2 加法器构成。输入信息可以缓存并直接输出。若电路推动节拍与信息比特流同步，门电路按上下半拍轮流接向信息位
{ }
i
m
和监督位
{ }
i
P
，则输出编码序列为
{}
ii
Pm
。
图 8-12 (2,1,2)卷积码编码器
如信息序列
12345
{}( )
i
m mmmmm= L
=（ 101101001…），兹设信息段为最小段，即
1
0
=k
，
由此设计电路（图 8-12 所示），按电路工作状态变化，监督元在每位信息比特之后穿插的输出监督序列为
1234
{} ( )
i
PPPP= L
＝（ 111011101 …），于是编码输出为
11 12
{}{ }(,,)
iii
CmPmPmP== L
＝（ 11,01,11,10,01,11,01,00,11
L
），结果为系统码形式。
其实在本例中，每位监督元都是本位与其前一位信息位之和，即
1ii i
Pm m
= ⊕
（8-113）
输出的编码是每位信息位之后有一个监督位,约束长度是相邻两个码段,即
2
0
=n
，
1
0
=k
，
2=N
，记作（
Nkn,,
00
）＝（ 2,1,2）卷积码。
然后考虑在接收端如何解码与纠错。根据编码的过程与规则，应当找出接收信息位
'
i
m
的伴随式：由于发送时每个监督元是
1ii i
Pm m
=⊕
的结果，我们如果将接收的“监督元”
'
i
P
与接收中重新计算的“监督元”
''
1
()
ii i
Pm m
=⊕
进行模 2 加，结果若为,0”则无错，若为,1”则在此位发生了差错。各伴随式可表示为
''
011
'' '
1122
'''
2233
'' '
11
(0 )
()
()
()
iii i
SmP
SmmP
SmmP
Smm P
+ +
=⊕ ⊕
=⊕+
=⊕+
=⊕ ⊕
M
（8-114）
由上列伴随式看出，每位信息
'
i
m
均包含在两个相邻伴随式中，如
'
1
m
同时与
0
S
和
1
S
两个方程有关，
'
2
m
与
1
S
和
2
S
有关……。但每相邻两个伴随式均与 5 个码元有关（如：
1
S
、
2
S
与
'
1
m
、
'
2
m
、
'
3
m
、
'
2
P
、
'
3
P
有关）。反之，这 5 个码元中，与两个伴随式都有关系的只有 1 个信息位，
如只有
'
2
m
与
1
S
、
2
S
两者都有关,其余码元只与 1 个
1
S
或者
2
S
有关。 这时称伴随式方程
1
S
、
2
S
正交于
'
2
m
，或者称
1
S
、
2
S
方程构成
'
2
m
的正交方程组。
然后回到式（ 8-113），若只是简单地按
i
S
是否等于 0 来判决与纠错是不能完全奏效的，由上述正交性关系，当差错不超过 1 位时，接收判决规则为,
（ 1）当
1
S
及
2
S
两方程均等于,0”时，解码的伴随式（ 8-113）与编码方程式一致，判为无错。
（ 2）当
1
S
与
2
S
均等于,1”时，一定是
'
2
m
有错，并立即纠正。
（ 3）当
1
S
与
2
S
中只有一个为,1”时，只可能是
'
1
m
、
'
3
m
、
'
2
P
、
'
3
P
中之一有错，而
'
2
m
不可能错。
[结论 ]对于（ 2,1,2）卷积码，在只可能发生 1 个传输错误时，其判决规则为
只有当
1
1
1
i
i
S
S
+
=
=
则判
'
1i
m
+
（8-115）
根据上述解码与判决过程，可以设计出（ 2,1,2）卷积码的解码器电路，如图 8-13 示，门电路的作用以及
1
D
、
2
D
移存器，模 2 加法器 1 的作用均与编码器相类比，而模 2 加法器 2 则完成式（ 8-114）产生解码伴随式
S
，其输出与移存器 3 的 1 位延迟输入到“与门”完成判决作用，
最后模 2 加法器 3 完成纠错输出功能。
图 8-13 （ 2,1,2）卷积码解码电路
由解码电路及解码过程可知，解码正交方程组涉及到的 5 个码元中，有 3 个信码,2 个监督元，每 3 个信码（或 3 个信码段）可纠正 1 位错误。
上例（ 2,1,2）卷积码可以明显看出，它属于系统码——信码均在监督位左方。还可能编为非系统码，如图 8-14 所示的一种（ 2,1,3）卷积码电路，此时一个编码码段
(1) (2)
()
iii
CCC=
与上例
()
iii
CmP=
相对应，且有
(1)
21
(2)
2
ii ii
iii
Cmmm
Cmm

=⊕⊕
=⊕
（8-116）
设输入信息为
{} ),1,1,1( Λ=
i
m
，则编码结果为
(1) (2)
{}
ii
CCC=
＝（ 11,01,10，
L
）
显然这一结果不是系统码。需要说明的是，在卷积码中，同样参数的系统码与非系统码的差错控制能力不一定相同，而在分组码中则相同。
8.6.2 卷积码的数学描述
1,（
Nkn,,
00
）卷积码一般形式
上面（ 2,1,2）卷积码是一个最简单的例子。一般地，（
Nkn,,
00
）卷积码编码器包括：由
N
个信息码段（
0
Nk
）组成的每段
0
k
级共
0
Nk
位的移位寄存器，每级
0
n
个模 2 加法器，尚由一个由
0
n
级组成的输出移位寄存器。对应于每级
0
k
个信息比特，各输出
0
n
位的
00
(,)nk
码段—
—
0
n
位输出编码不但与当前
0
k
位输入有关，而且与其前
)1(?N
级码段的
0
)1( kN?
输入信息位有关。所有监督元的构成是信息位在约束度
N
内的卷积，即
1
0
N
iiil
l
Pgm
=
=
∑
（8-117）
式中
i
P
为第
i
个监督元，
i
m
为参考信息位，移存器数为
1?= Nm
，求和运算是以指定第
i
位信息输入为参考位，构成
i
P
是包括
i
m
在内的共
1+= mN
约束码段信息位加权和——卷积（
i
g
＝
1 或 0），故有卷积码之称。（
Nkn,,
00
）卷积码一般结构如图 8-15 所示。
2,（
Nkn,,
00
）生成矩阵
我们仍以图 8-14（ 2,1,3）卷积码为例来阐明它的生成多项式构成。
图中输入信息序列
{}
i
m
以
)(xU
信码多项式表示，第 1 经路输出
(1)
i
C
以
)(
1
xV
多项式表示，
第 2 经路
(2)
i
C
以
)(
2
xV
表示，可以看出，编码器上下经路的生成多项式分别为
2
1
() 1gx x x= ++
（8-118）
2
2
() 1gx x= +
（8-119）
则输出多项式为
)()()( xgxUxV
ii
=
（
0
1,2,in= L
（8-120）
本例中
11
() () ()Vx Uxgx=
（8-121）
22
() () ()Vx Uxgx=
（8-122）
兹设信息输入序列
=}{
i
m
（ 10011）即信息多项式为
34
() 1mx x x= ++
。
我们可分别求出
(1)
i
C
与
(2)
i
C
对应的输出多项式
1
()Vx
及
2
()Vx
为
11
() () ()Vx gxmx=
234
(1 )(1 )x xxx=++ ++
632
1 xxxx ＋+++=
（8-123）
对应码序列为
(1)
i
C
＝（ 1111001）
及
22
() () ()Vx gxmx=
234
(1 )(1 )x xx=+ ++
23456
1 x xxxx= +++++
（8-124）
对应码序列为
(2)
i
C
＝（ 1011111）
然后将
(2)
i
C
每位穿插在
(1)
i
C
每位之后，最后可得（ 2,1,3）编码序列
C
（8-125）
从结果看，输入信息为 5 位，即
L
＝ 5bit,编码序列共有 14 位，即码序列长为
0
(1)2714nLN+?=×=
bit。
本例中，当
0
U
＝（ 1000
L
），即输入信码为冲激序列，则由上述运算得到的
(1)
0
C
＝
（ 11100
L
）及
(2)
0
C
＝（ 10100
L
）的穿插输出编码序列
0
V
＝（ 11101100
L
），它是输入信码与编码器冲激响应的卷积，由于任何输入信码序列都可看作单位冲激脉冲不同延时的线性组合，
输出
0
V
也是不同延时脉冲的线性组合,因此卷积码生成矩阵
G
是一个以
0
V
卷积码编码器冲激响应为首行逐行延时
0
n
＝ 2 位的半无限矩阵
=
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
Λ
ΛΛ
ΛΛ
01101110000
011011100
00110111
G
（8-126）
其中，首行称为基本生成矩阵：
)1110110( Λ=g
由此生成矩阵
G
对给出的输入信码
}{
i
m
，可以进行矩阵运算，得到上列结果的（ 2,1,3）卷积码
GC }{
i
m=
G)10011(=
=
（ 11,10,11,11,01,01,11
L
（8-127）
这一结果与式（ 8.7-11）是完全相同的。
8.6.3 卷积码的译码方法
1,卷积码最大似然解码
现在我们讨论卷积码解码原理与方法。首先介绍解码基本理论，然后提出有效的实施算法。
设
m
为信息码矢量，
c
为输入到离散无记忆信道中的卷积码编码矢量，
R
代表接收码组矢量。由于信道传输与噪声影响，
R
可能不再与
c
相同。解码的功能是从接收矢量
R
中获得信码矢量
m
的估值
m?
，由于卷积码使
m
和
c
有一一对应性，解码时等效地产生与
c
对应的估值
c?
，
如果在判决时存在
cc =?
，则有
mm =?
，可正确恢复原发码信息。因此解码规则，就是从接收码组矢量
R
，以最小的差错率或最小风险选取到
c?
，而该
c?
最大限度地接近
c
，前面数字频带传输计算误符号率概念，在源符号先验概率相等情况下，如果估值
c?
被选择具有最大似然函数，则解码误差达到最小。
设
()
R
c
P
是发送
c
时接收
R
的转移（条件）概率，其相应似然函数为
ln ( )
R
c
P
，最大似然解码或判决规则可描述为,
选择具有
max[ln ( )]
R
c
P
的
c?
。
现以 BSC 信道（二元对称信道）进行讨论,
设发送
c
与接收
R
序列均为长度等于
n
的二元序列，并设
i
c
与
i
r
分别表示
c
与
R
的第
i
对元素，则有
1
() ( )
n
r
R
cc
i
i
i
PP
=
=
∏
（8-128）
相应的似然函数等于
1
ln ( ) ln ( )
n
r
iR
cc
i
i
PP
=
=
∑
（8-129）
又设
()
1
r
i
c
i
p
P
p
=
ii
ii
rc
rc
≠
=
（8-130）
并假设
R
与
c
具有
0
d
个对应位不同——
0
d
为二者的汉明距离。则上式似然函数也可表示为
00 0
ln ( ) ln ( ) ln(1 ) ln( ) ln(1 )
1
R
c
p
Pdpnd pd p
p
=+= +?
（8-126）
一般地，
0.5p <
或更小，且可认为
ln(1 )np?
为常数量（对所有
c
），这样，对于 BSC 信道，
可以重新给出最大似然解码规则，为
选择
c
与
R
之间具有最小汉明距离
0
d
的估值
c?
（8-132）
由此规则设计出 BSC 情况下的“最小距离”解码器。