长江大学物理科学与技术学院：大学物理（精品课程）：第一章静电场

第一章 静电场第五篇 电磁学第二章 稳恒电流的磁场第三章 电磁感应第四章 电磁场和电磁波第一章 静电场
1.1电荷,库仑定律
1.物质的电结构质子带正电电子带负电中子不带电,正负电总和为零
+e
-e
基元电荷
e=1.6× 10–19C
(1)电荷不能产生,不能消灭 ;
只能转移,中和,与分离 ;
(2)带电,是失去或得到电子,
(3)电荷消失,是 正负电 中和,
2.电荷的量子化 |Q|=Ne N?Z
3.电荷守恒定律孤立系统内,无论进行怎样的过程 (物理,化学,核反应 ),系统内电量的代数和为一常量,
4.点电荷的物理模型其大小远小于问题所涉及的线度的带电体,(形状任意 )
5.库仑定律
q1
q2r21
F21
F21= 21req1q2r2k
4πε01 rr3
q1q2=
(1)真空中的电容率 ε0
ε0=8.85× 10–12C2/(N·m2)
k无物理意义,以后不用 k.
(2) q1,q2同号
F=q1q2/(4πε0 r2)>0 斥力
q1,q2异号
F=q1q2/(4πε0 r2)<0 引力
(3)库仑定律只适用与点电荷,
(4)原子内 电力 是 万有引力 的
1039倍,一般不考虑万有引力,
21re( =r/r)
1.2 电场和电场强度一,电场
1.电荷间作用力靠电场实现电荷 电场 电荷力力
2.电场的对外表现
(1)对电场中的电荷有作用力 ;
(2)对电场中的运动电荷作功 ;
(3)与电场中的物质相互作用,
导体,静电感应 ; 介质,极化,
3.描述电场的物理量
(1)电场强度 E ; (2)电势 U,
二,电场强度 E1.试验电荷 q
0 条件,
(1)电量足够小,
不改变产生电场的电荷分布 ;
(2)体积足够小,
所占据的空间真正代表一点,
2.电场强度的定义 E=F/q0
F 为试验电荷受的电场力电场强度是矢量大小,E=F/q0
方向,q0>0,E与 F同向q
0<0,E与 F反向电场强度 E 是描述电场固有性的物理量,只与场源电荷有关,与试验电荷 q0无关
3.单位 N/C或 V/m
4.电场力 dF=Edq Q qdEF
三,点电荷 q激发的电场
E=F/q0 4πε01 rr3qq0= q0
E=qr/(4πε0 r3)
q0>0,E与 r同向
q0<0,E与 r反向四,电场叠加原理
(由力的叠加原理得出 )
将带电体分成无数个点电荷,
试验电荷受力为
Fi= q0qiri/(4πε0ri3)F =?
i
i
= q0 qiri/(4πε0ri3)?
i
E=F/q0 q0
E = qiri/(4πε0ri3)?
i
= Ei?
i
1.独立性 任何电荷的电场不因其它电荷的存在而受影响 ;
2.叠加性 空间电场是所有电荷产生电场的矢量和,
3.求电场的基点
(1)点电荷激发的电场 ;
(2)电场叠加原理,
4.点电荷系激发的电场
E = qiri/(4πε0ri3)?
i5.连续带电体激发的电场
E = rdq/(4πε0r3)?q
(1)体电荷 体电荷密度 ρ=dq/dV
E = rρdV/(4πε0r3)?
V
(2)线电荷 截面尺寸远小于长度,也远小于问题所涉及线度线电荷密度 λ=dq/dl
E = rλdl/(4πε0r3)?l
(3)面电荷 厚度远小于表面尺寸,也远小于问题所涉及线度面电荷密度 σ=dq/dS
E = rσdS/(4πε0r3)?S
电偶极子
1.定义 (物理模型 )
其距离较问题涉及线度小得多 l<<r
–q +ql
Pr
的等量异号的点电荷系统,
2.电矩 (电偶极矩 )
p=ql –q +ql
p
p与 l同向,l从负指向正,
3.电偶极子电场的电场强度
(1)延长线上的电场强度 –q
+ql A坐标如图
O xA的坐标为 x,E+=qi/[4πε0(x–l/2)2]
E+
E–=–qi/[4πε0(x+l/2)2]
E–
E=E++E–
=[iq/(4πε0)][1/(x–l/2)2–1/(x+l/2)2]
={iq/[4πε0(x2–l2/4)]}·
·[(x+l/2)2–(x–l/2)2] (x>>l)
~i 2qxl/(4πε0x4) =iql/(4πε0x3)
(p=ql=iql)E=2p/(4πε0x3)
E与 p同向问题 A点在电偶极子左方如何?
(2)中垂线上的电场强度
–q +ql
B
y
r+
E+=qr+/(4πε0r+3)
E+
r–
E–=–qr–/(4πε0r–3)
E–
=qr+/(4πε0r3)
=–qr–/(4πε0r3)
E=E++E–
=–q(r+–r–)/(4πε0r3)
=–ql/(4πε0r3) (y>>l)
=–p/(4πε0r3)
E与 p反向,
五,电场强度的计算
4.电偶极子在电场中受力
(1)在均匀电场中 –q
+q
E?F
–=–qE– F
–F+=qE+
F+=–qE
=qE
F=F+ +F–=(q–q)E=0
r+r
–
M= r+× F++r–× F–
=r+× (qE)+r–× (–qE)
=(r+–r–)× (qE)
=l× (qE)=ql× =p× E
大小,M=pEsin?
方向,p,E,M成右手螺旋,
电偶极子无平动,有转动,
(2)在非均匀电场中
F=F+ +F–=qE+–qE–?0
M= r+× F++r–× F–
=r+× (qE+)+r–× (–qE–)
~(r+–r–)× (qE)
0=l× (qE)=ql× E=p× E
电偶极子有平动,也有转动,
例 1(P18 例 1.4)求带电为 q,长为 l
的均匀带电直线外一点电场强度,
a
l
rdE?
解,
元电荷取坐标如图,
x
y
O
取微
dldq=?dl(?=q/l)=?dx
dE= dq/(4πε0r2)E=q
=?dx/[4πε0(x2+a2)]?2
1
x
x
令 x/a=cot(?–?) =–cot?
x=–acot? dx=ad?/sin2?
x2+a2=a2/sin2?
1=arccot(–x1/a)?2=arccot(–x2/a)
=?d?/(4πε0a)?2
1
=?(?2–?1)/(4πε0a)
dEx=dEcos?
=[λdx/(4πε0r2)](–x/r)
=–λxdx/(4πε0r3)
=–λxdx/[4πε0(a2+x2)3/2]
dEx=dEsin?
=λadx/[4πε0(a2+x2)3/2]
Ex= –λxdx/[4πε0(a2+x2)3/2]?2
1
x
x –λ(–acot?)ad?/sin2?
4πε0(a2/sin2?)3/2?
2
1
=
=[λ/(4πε0a)] cos?d2
1
=λ(sin?2–sin?1)/(4πε0a)
Ey= λadx/[4πε0(a2+x2)3/2]?2
1
x
x
λaad?/sin2?
4πε0(a2/sin2?)3/2?
2
1
=
=λ(cos?1–cos?2)/(4πε0a)
λsin?d?
4πε0a?
2
1
=
讨论 1.中垂线上?1+?2=π
sin?2=sin?1
cos?1=–cos?2
Ex=0
=(l/2)/(a2+l2/4)1/2
Ey=λcos?1/(2πε0a)
=(q/l)[(l/2)/(a2+l2/4)1/2]/(2πε0a)
=q/[4πε0a)(a2+l2/4)1/2]
(1)当 l? a?1=0 Ey=λ/(2πε0a)
(2)当?a Ey=q/(4πε0a2)
(3)当 a=0 带电体不再是线电荷
2.延长线上
l
xO dl r
dE所有电荷元产生的电场强度都沿 x正向
λdx?x
0 4πε0r2E=
–λd (l+b–x)?x
0 4πε0(l+b–x)2=
λ
4πε0=
1
b
1
l+b
q
4πε0b(b+l)=
Pb
点电荷例 2求半径为 R带电为 Q的均匀带电细圆环轴线上一点的电场强度,
R
O
dE
ⅡdE
⊥
解,以中心轴为 x轴,取 x
微元电荷
dq
dq=?dl
r
dE=dq/(40r2)=?dl/(40r2)
dE
dEⅡ =dEcos? =?xdl/(40r3)
因对称,dE⊥ 相互抵消,
故E=EⅡ =?dE
Ⅱ
= [?xdl/(40r3)]?l
=2?R?x/[40(x2+R2)3/2]
=Qx/[40(x2+R2)3/2]
方向沿 x轴,
讨论如环开一小口 a,可用补赏法
(1)当 x=0,中心处,E=0
E=Qa/(8?2?0R3)求中心场强,
(2)当 x?R,E=Q/(40x2) 点电荷
(3)E~x曲线,xE
OR/ 2
–R/ 2E 极大值点
x=± R/2
例 3求半径为 R
带电为 Q的均匀圆盘轴线上的场强,O
P
解,取中心轴为
x
x轴,圆环元电荷
r
dr
dq=?2?rdr
dE
dE=dqx/[40(x2+r2)3/2]
dE= x?rdr/[2?0(x2+r2)3/2]?R0E=?
=? xd(x2+r2)/[4?0(x2+r2)3/2]?R0
=[? /(2?0)][1–x/(x2+R2)1/2]
=[Q/(20R2)][1–x/(x2+R2)1/2]
当 x?R,无限大带电平面 E=?/(2?0)
例 4.一半径为 R的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为?.求球心处的电场强度,
O
解,x取环带微元?
dq=?dS
=?2?(Rsin?)Rd?
=2R2sin?d?
dE
dE=dqx/[40(r2+x2)3/2]
3
0
2
4
c o sds i n2
R
RR


=?sin?cos?d?/(2?0)
/23 2 02dc o ss i nE
04/例 5.用绝缘细线弯成的半圆环,半径为 R,其上均匀地带有正点荷 Q,试求圆心
O处的电场强度,
O
解,
x
y取园弧微元 dl
dq=?dl=[Q/(?R)]Rdθ
=Qdθ/?
dEdE=dq/(4?ε0r
2)
=Qdθ/(4π2ε0R2)
dEx
dEy
dEx=dEcos(θ+?)=－ dEcosθ
dEy=dEsin(θ+?)=－ dEsinθ
Ex=?dEx
2/3 2/ 2024dc o s RQ
=Q/(2?2ε0R2)
Ey=?dEy
2/3 2/ 2024ds i n RQ=0
故 E=Ex=Q/(2? 2ε0R2)
方向沿 x轴正向,
例 6.宽为 a的无限长带电薄平板,
电荷线密度为?,取中心线为 z轴,x轴与薄板在同一平面内,y轴垂直薄板,如图,求 y轴上距薄板为 b的一点
P的电场强度的大小和方向,z
x
y
Oa
b
P
解,取无限长窄条电荷 元
dx,电荷线密度=?dx/a
dE=/(20r)
=?dx/(20a)
dEx=dEcos?
=–?xdx/[20a(b2+x2)]
dEy=dEsin?
=?bdx/[20a(b2+x2)]
y
x
dx
dE
b
P
Ex=∫dEx= –?xdx/[20a(b2+x2)] 22aa
= –?ln(b2+x2)/[40a] 22aa? =0
Ey=∫dEy=?bdx/[20a(b2+x2)] 22aa
=?arctan(x/b)/[20a] 22aa?
=?arctan[x/(2b)] / [0a]
E=Eyi=i?arctan[x/(2b)]/[0a]
1.3 电通量 高斯定理一,电场线
1,定义 其线上每点的切线都与该点 电场强度方向重合的一条有指向的曲线,
形象直观的描述电场
E
2,电场的图示法方向,沿切线正向 ;
大小,用疏密表示疏,E小,密,E大 ;
电场线数密度 d?e/dS?
dS
n
dS'
dS'
E=d?e/dS?dS?⊥ E,即 dS?∥ E.
3,几种特殊电场的电场线(1)点电荷正,发散 ;负,收敛,
(球对称 ):
(3)无限大带电平面平行,等距
(2)两点电荷起于正终于负,
4.电场线的性质
(1)起于正电荷终于负电荷；
(2)不闭合,不相交,连续,
二,电通量
1,定义 通过电场中一给定曲面的电场线的总条数,
2.表达式
(1)过微小曲面
dS的电通量 d?e
E
dS E
dS?为 dS在垂直方向的投影
θ
dS?= dScosα
d?e=EdS?=EdScosα
n θ
=E·dS
(2)过某曲面 S的电通量?e
e=S SE c o sd S SE d
3.讨论
(1)电通量?e是标量,不是矢量 ;
(2)计算电通量时要对面选取法线方向 (闭合曲面的法线指向面外 ),求电通量大小时一般让 n与 E的夹角小于 π/2.
例 1.在点电荷 Q产生的电场中,
求通过如图所示的圆面的电通量,
x
R
Q
解,设 圆面法线向左,n取细圆环面元 dS=2πrdr r
dr
E=Q/[4πε0(x2+r2)] E θ
cosθ=x/(x2+r2)1/2
dΦe=E·d S=EdScosθ
=2πxQrdr/[4πε0(x2+r2)3/2]
=xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2]
Φe=dΦe= xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2]?R0
=[xQ/(4ε0)] d(r2+x2)/(x2+r2)3/2?R0
=[xQ/(2ε0)][1/(x2+r2)1/2] R0
=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0)
或用 通过圆面对应球冠面的电通量来计算,
S=2πR0h
=2π(R2+x2)1/2[(R2+x2)1/2–x]
=2π[R2+x2–x(R2+x2)1/2]
E=Q/(4πε0R02)
=Q/[4πε0(R2+x2)]
Φe=ES=Q[1–/(x2+R2)1/2]/(2ε0)
三,高斯定理求过闭合曲面的电通量
1,点电荷激发的电场(1)闭合曲面是以电荷为心的球面
S
Φe= E·d S?S
= [Q/(4πε0r2)]dS?S
=[Q/(4πε0R2)] dS?S =Q/ε0
(2)闭合曲面是包围点电荷的任意曲面
S '
Φ'e= E·d SS =Φe= E·d S?S =Q/ε0
(3)闭合曲面不包围点电荷
S"
电场线进入高斯面又穿出高斯面
Φ"e= E·d SS =0
2.任意电荷激发的场将其分成若干点电荷 q=Σqi
q激发电场 E是每个点电荷激发电场 Ei的矢量和 E=ΣEi
Φe= E·d S?S = ΣE·d S?S
=Σ[ E·d S]?S =Σqint/ε0
Σqint是高斯面 S所包围的电荷,
3.结论 E·d S=Σqint/ε0?S
量 只与曲面内所包围电荷的代数和有关,与曲面的形状,
曲面外的电荷无关,
注意,曲面上的电场强度与面内外所有电荷有关,
这 说明 通过闭合曲面的电通
4.静电场的一个性质静电场是有源场,
(1)当 Σqint>0,有 Φe>0,表明有电场线从 S穿出,面内有 正源 ;
(2)当 Σqint<0,有 Φe<0,表明有电场线进入 S面,面内有 负源 ;
(3)当 Σqint=0,有 Φe=0,表明电场线进入又穿出 S,电场线连续 ;
三,高斯定理的应用质,任何时候都是正确的,
1.高斯定理是静电场的基本描述了静电场的基本性方程
2,用高斯定理求电场强度例 1.求半径为 R带电量为 Q的均匀带电球面在球内外产生的场强,
RQ
解,由于电荷球对称,必然电场球对称,
E沿径向,且距球心 r相等处 E大小等,
过场点作与带电球同心的球面,
S
r
依高斯定理,有S SE d=Σqint/ε0
S SE d=?S SEd =E?S Sd =4πr2E
当 r<R:Σqint=0 E=0
当 r>R:Σqint=Q E=Q/(4πε0 r2)
考虑方向 E=Qr/(4πε0 r3)
故 r<R:E=0;r>R:E=Qr/(4πε0r3)
均匀带电球面在 球内的 场强为零,在球外的场强等效于将电荷集中在球心 的 点电荷产生的场强,其 E–r关系如图,
Q
4πε0R2?1/r2
用 高斯定理求场强的步骤
(1) 分析电荷与场的对称性 ;
(2) 选取合适的高斯面 (其目的能将 写成 ES );S SE d
(3) 用高斯定理列方程,解方程,指出场的方向,
对称性与对应高斯面,
球对称,球电荷柱对称,无限长柱电荷面对称,无限大面电荷柱 形高斯面球形高斯面高斯面上的 E,① 大小处处等,
EdS; ② 大小处处不等,E?dS.
rO
R
E
例 2.求半径为 R带电量为 Q的均匀带电球体在球内外产生的场强,
RQ
解,因电荷球对称,电场球对称,E沿径向,且距球心
r相等处 E大小等,过场点作与球同心的球面,有
S
r
S SE d=Σqint/ε0?
S SE d=?S SEd =4πr2E
当 r<R,Σqint =ρ(4πr3/3)
=[Q/(4πR3/3)](4πr3/3)
Q
4πε0R2?1/r2
=Qr3/R3
考虑方向,有
E=Qr/(4πε0R3)
当 r>R,Σqint=QE=Q/(4πε0 r2)
E=Qr/(4πε0 R3)
r>R,E=Qr/(4πε0r3)
r<R:
均匀带电球体 球内场强与 r
成正比,球外场强等效于将电荷集中在球心 的 点电荷产生的场强,其 E–r关系如图,
例 3.求半径为 R带电线密度为 λ
的无限长均匀带电圆柱面在柱内外产生的电场强度,
解,因电荷柱对称,电场柱对称,E 沿径向,且距轴线心 r相等处 E
大小等,过场点 作 与 带电
R
柱面同轴的柱面,其高为 h.有
r S
S SE d=?上底 +?下底 +?侧面 SE d?
λ
2πε0R?1/r
rO
R
E
rO R
E
=0+0+2πrhE =Σqint/ε0
当 r<R,Σqint=0 E=0
当 r>R,Σqint=λh E=λ/(2πε0 r)
方向垂直轴线并沿径向,
无限长均匀带电圆柱面 在 柱面 内的场强为零,在 柱面 外的场强等效于将电荷集中在轴线的 无限长均匀 线电荷产生的场强,其 E–r关系如图,
例 4.求半径为 R带电线密度为 λ
的无限长均匀带电圆柱体在柱内外产生的电场强度,
R
解,因电荷柱对称,电场柱对称,E 沿径向,且距轴线
r相等处 E 大小等,过场点 作同轴柱面,其高为 h.有
r S
S SE d=?上底 +?下底 +?侧面 SE d?
=0+0+2πrhE =Σqint/ε0
当 r<R,Σqint =ρ(πr2h)
=[λh/(πR2h)](πr2h) =λhr2/R2
E=λr/(2πε0R2)
当 r>R,Σqint=λhE=λ/(2πε0 r)
方向垂直轴线并沿径向,
无限长均匀带电圆柱体 在 柱体 内场强与 r成正比,在 柱面外场强等效于将电荷集中在轴线的 无限长均匀 线电荷产生的场强,其 E–r关系如图,λ
2πε0R?1/r 例 5.求面电荷密度为 σ 的无限大均匀带电薄平板在空间产生的电场强度,rO R
E
σ
E
解,因电荷面对称,电场面对称,
E 垂直带电面,
指向外,距带电面等距处 E大小等,过场点作柱形高斯面 (侧面垂直带电面,底面 以 带 电面对称,面积 ΔS).有
S
ΔS
S SE d=?左底 +?右底 +?侧面 SE d?
=EΔS+EΔS+0=2EΔSΣq
int=σΔS
由S SE d=Σqint/ε0 得
E=σ/(2ε0)
考虑方向,有x
>0,E=iσ/(2ε0);x<0,E=–iσ/(2ε0)
其 E–x关系如图,
O
xσ/(2ε0)
–σ/(2ε0)
例 6.半径为 R的无限长圆柱体内有一个半径为 a(a<R)的球形空腔,
球心到圆柱轴的距离为 d(d>a),
该球形空腔的无限长圆柱体内均匀分布着电荷体密度为?的正电荷,如图所示,求,(1)在球形空腔的球心 O处的场强 EO;(2)在柱体内与 O点对称的 P点处的电场强度
EP.
R
a
d
P O
d
解,球形空腔无限长圆柱带电体可认为是均匀带正电 (体电荷密度为?)无限长圆柱体与 均匀带负电 ( 体电荷密度为 ) 球体组成,分别用高斯定理求无限长均 匀带电圆柱体激发的电场 E1与均匀带电球体激发的电场 E2,为求 E1,
在柱体内作同轴的圆柱形高斯面,有
E1=?r1/(2?0)
方向垂直于轴线指向外 ;
为求 E2,在球体内外作同心的球形高斯面,有球内 r<a Q=4?r23/3
E2=r2/(3?0)
球外 r>a Q=4?a3/3
E2=a3/(3?0r22)
负号表示方向指向球心,
对于 O点 E1=?d/(2?0)
(因 r2=0) E2= r2/(3?0)=0
得 EO=?a/(2?0)
方向向右 ;
对于 P点 E1=?d/(2?0),
E2=a3/(3?0d2)
得 EP=?d/(2?0)a3/(3?0d2)
方向向左,
1.4静场环路定理 电势一,静电场力的功 讨论点电荷
q0在静电场中运动,静电场力做功
q0 la b
1.点电荷 q激发的电场
q
E=qr/(4πε0r3)
F=qq0r/(4πε0r3) F r
A= F·dl?l
dl
4πε0r3
qq0r ·dl?
l
=
θ
= [qq0dlcosθ/(4πε0r2)]?2
1
r
r
r1 r2
(dlcosθ=dr)=[qq0dr/(4πε0r2)]?2
1
r
r
=[qq0/(4πε0)](1/r1–1/r2)
即点电荷 q0 在点电荷 q激发的电场中运动时静电场力做功与路径
l无关,只与 q0的始末位置有关,
2.任意电荷激发的电场
E = rdq/(4πε0r3)?q
F=q0E =q0 rdq/(4πε0r3)?q
A= F·dl?l 4πε
0r3
dqr ·dl?
q
= q0?
l
4πε0r3
r·dl dq?
l
= q0?
q 4πε0r
2
dr dq?
l
= q0?
q
4πε0
q0 dq=?
q r1
1 r
2
1
式中 r1和 r2分别为点电荷 q0运动路径的起点和 终点到电荷元 dq的距离,
结果表明,点电荷 q0在任意电荷激发的电场中运动时静电场力做功与路径无关,只与 q0 的始末位置有关,
二,静电场环路定理1.安培环路定理
A= F·dl?l = qE·dl?l
= qE·dl?b la )(
1
+ qE·dl?alb )(
2
a b
l1
l2
= qE·dl?b la )(
1
– qE·dl?b la )(
2
=0
E·dl =0?l得 安培环路定理静电场力对点电荷 q沿闭合路径运动做的功为零
2.静电场的又一性质静电场是保守场,
静电场是
(1)有源场 (由高斯定理得出 )
(2)保守场环路定理说明,
静电场沿任意闭合路径积分为零,
做功与路径无关的力是 保守力,故静电场力是保守力 ;积分与路径无关的场是保守场,
(由环路定理得出 )
三,电势能与电势对位置所决定的做功本领保守力 势能静电场力是保守力 电势能
(只讨论点电荷的电势能 )
1.电势能点电荷在某点电势能等于电场力将其从该点移到参考点所做的功,
WP= qE·dl?电势能零点场点 = qE·dl?(0)P
由电荷在电场中的相
2.电势电势能 与电荷有关,qE·dl?(0)P
= E·dl?(0)P 与电荷无关,由WP/q
电场本身固有性质决定,
(1)定义
(描述电场的又一物理量 )
= E·dl?电势零点场点UP=WP/q
电场中 某点 电势数值上等于单位正电荷 从场点移到零势点静电场力作的功,
(2)单位 伏特 (V)
E 的又一单位,(N/C) V/m
3.电势差 场中两点电势之差 (电压 )
Uab=Ua–Ub = E·dl?(0)
a – E·dl?
(0)
b
= E·dl?(0)a – E·dl?b(0) = E·dl?ba
静电场中两点间电势差等于将单位正电荷从起点移到终点静电场力作的功,
4.说明
(1)电势能是电场与电荷共有的,
而电势是电场固有的 ;
(2)电势能与 电势是相对的,与零点的选取有关,零点的选取任意 ;
(3)两点电势差与零点选取无关,
(4)电势,电势能是 标量,不 是 矢量,
5.电势零点的选取
(1)电势零点的选取以方便为准 ;
(2)有限带电体场的势零点选?;
(3)无限带电体场的零点不能选?.
四,静电场力对点电荷的功A,点电荷与电场的电势能 W
及电势 U之间的关系
W = qE·dl?(0)P =q E·dl?(0)P =qU
A= qE·dl?ba =q E·dl?ba =qUab
五,电势的计算 (选?为 势零点 )
1.点电荷电场的电势
UP= E·dl?(0)P 4πε
0r3
qr·dl?
r
= = 4πε
0r2
qdr?
r=[–1/(4πε
0r)]?r =1/(4πε0r)
2.电势叠加原理将带电体分成点电荷,
q=?qi E=?Ei
U= E·dl?(0)P =?Ei·dl?(0)P
=? Ei·dl?(0)P =?Ui=Σ[qi/(4πε0ri)]
连续带电体 U= [dq/(4πε0r)]?q
(1).独立性 任何电荷在某点产生的电势不因其它电荷而受影响 ;
(2).叠加性 电场中某点的电势是所有电荷产生电势的标量和,
3.知电荷分布求电势的基点
(1)点电荷在某点产生的电势 ;
(2)电势叠加原理 (标量叠加 ).
(1)定义法
(2)叠加法
4.计算电势的两种方法：
U= E·dl?(0)P
U= [dq/(4πε0r)]?q
例 1.求电偶极子场中一点 P的电势,
q–q
l
P解,由叠加原理
x
y (x,y)
r+r– r
U=U++U–
=q/(4πε0r+)
–q/(4πε0r–)
= q(r––r+)4πε
0r+r–
r––r+
θ'
而 r––r+~lcosθ'
θ
~lcosθ,r–~r+ ~r
得 U=qlcosθ/(4πε0r2)
=pcosθ/(4πε0r2)
=prcosθ/(4πε0r3) =p·r/(4πε0r3)
=px/[4πε0(x2+y2)3/2
例 2.求半径为 R
带电为 Q 的均匀带电细圆环轴线上一点的电势,
R
O
解,定义法
x
轴上 x处,E沿 x轴,
大小为
E
E=Qx/[40(x2+R2)3/2]
U= E·dl?(0)P
= {Qx/[40(x2+R2)3/2]}dxx
= Qd(x2+R2)/[80(x2+R2)3/2]x
={–Q/[40(x2+R2)1/2]}?x
=Q/[40(x2+R2)1/2]
叠加法 取微元电荷 dq=?dl
dU=dq/(40r)
=?dl/[40(x2+R2)1/2]
U= dU? =?dl/[40(x2+R2)1/2]?l
=2 R/[40(x2+R2)1/2]
=Q/[40(x2+R2)1/2]
例 2.求半径为 R带电量为 Q的均匀带电球面在球内外产生的电势,
r<R:E1=0; r>R:E2=Qr/(4πε0r3)
解,叠加法困难,用 定义法
U= E·dl?(0)P
球内电势球外电势
r<R
= E1·dl?Rr + E2·dlR
=0+ [Qdr/(4πε0r2)]R =Q/(4πε0R)
r>R
U= E·dl?(0)P = E2·dlr
= [Qdr/(4πε0r2)]r =Q/(4πε0r)
均匀带电球面在球内 产生的电势等于 在球面上产生的 电势 ( 即均匀带电球面为 等势体 ); 在球外产生的 电势 等效于将电荷集中在球心 的点电荷产生的 电势,其 U–r 关系如图,
Q
4πε0R
rO
R
U?1/r
例 3.求半径为 R带电量为 Q的均匀带电球体在球内外产生的电势,
r>R:E2=Qr/(4πε0r3)
解,用 定义法r<R,E=Qr/(4πε
0 R3)
U= E·dl?(0)P
球内电势 r<R
= E1·dl?Rr + E2·dlR
+ [Qdr/(4πε0r2)]R
= Qrdr/(4πε0 R3)?Rr
=[Qr2/(8πε0R3)] Rr+[–Q/(4πε0r)]?R
=Q/(8πε0R) –Qr2/(8πε0R3)
+Q/(4πε0R)
=3Q/(8πε0R) –Qr2/(8πε0R3)
球外电势 r>R
U= E·dl?(0)P = E2·dlr
= [Qdr/(4πε0r2)]r =Q/(4πε0r)
均匀带电球体在球内 产生的电势是到 球心距离的函数 (即均匀带电球体不是 等势体 );
在球外产生的 电势 等效于将电荷集中在球心 的点电荷产生的 电势,
其 U–r 关系如图,
rO
R
U?–r2
1/r
球心与球面的 电势分别为
U0= 8πε
0R
3Q 8πε
0R
3Q
Q
4πε0RUR=
Q
4πε0R
例 4.(P88 3.9)一无限长均匀带电圆柱,体电荷密度为 ρ,截面半径为 a,(1)用高斯定理求柱内外电场 ;(2)求柱内外电势,以轴线为电势零点 ;(3)画出 E–r和 U–r曲线,
R解,(1)因电场柱对称,E 沿径向,
距轴 r等处 E 值等,过场点作高 h
同轴柱面,有
r S
S SE d=?上底 +?下底 +?侧面 SE d?
=0+0+2πrhE =Σqint/ε0
当 r<a,Σqint =ρ(πr2h)
E1=ρr/(2ε0)
当 r>a,Σqint=ρ(πa2h)
E2=ρa2/(2ε0r)
E 方向垂直于轴线且指向外,
(2)当 r<a,U1= E·dl?(0)
P = E1·dl?
0
r
= [ρr/(2ε0)]dr?0 r =–ρr2/(4ε0)
当 r>a,U2= E·dl?(0)P
= E2·dl?a r + E1·dl?0 a
= ρa2dr/(2ε0r)?a r + ρrdr/(2ε0)?0 a
=ρa2ln(a/r)/(20) –ρa2/(4ε0)
=–ρa2/(4ε0)[2ln(r/a)+1]
(3)
rO R
Er=0:
E0=0,
r=a:
Ea=ρa/(2ε0)
ρa
2ε0?1/r
rO U
U0=0
–r2
Ua=–ρa24ε
0 ρa2
4ε0
–ln(r/a)
说明,无限长带电圆柱场 的零势点不能选在?.数学上讲,结果发散 ; 物理上讲,带电圆柱不再是无限长,,无限长,公式不再适用,
1.5 电势梯度一,等势面
1.定义 等电势点组成的面,
2.等势面的性质 由 dU=0得出
dA=q(–dU)=0
(1) 点电荷在等势面上移动,
电场力不作功 ;
E·dl=–dU=0 E?dl
(2)电场强度与等势面正交 ;
(3)等势面密集处场强大,等势面稀疏处场强小,
由 dU=E·dl知,设 dU等,E||dl,
E大,则 dl小,即等势面密,
3.两种特殊电场的 等势面
+
1.电势空间变化率 (方向导数 )
二,电势梯度
dl为沿某方向的微小距离,对应两等势面的电势差为 dU
dl
U
U+dU
E·dl=U1–U2=U–(U2+dU) =–dU
E
–dU =E·dl
θ
=Edlcosθ
dU/dl =–Ecosθ=–El
电势 对某方向的 空间变化率等于电场强度在该方向投影的负值
(1)电势空间变化率随方向而变 ;
(2)空间变化率绝对值的最大值沿过该点等势面的法线方向,2.电势梯度 gradU 是矢量方向为电势变化最快的方向,大小
[dU/dl]max=dU/(dlcosθ)=dU/dn
gradU
+
=?U=(dU/dn)n
=(dU/dn)(icos?+jcosβ+kcos?)
=idU/(dn/cos?)
+jdU/(dn/cosβ)
+kdU/(dn/cos?)
=(?U/?x)i+(?U/?y)j+(?U/?z)k
3.电势梯度与场强的关系由 dU/dl=–E
l 得E
x=–?U/?x Ey=–?U/?y
Ez=–?U/?z
E=–[(?U/?x)i+(?U/?y)j+(?U/?z)k]
E=–gradU
电场强度等于电势梯度负值,
=–?U
三,场强与电势的关系积分关系 = E·dl?(0)
PU= E·dl?
零势点场点微分关系 E=–gradU
=–?U
例 1.(P75 例 3.7)利用场强梯度关系,计算电偶极子场中的场强,
解,U=p·r/(4πε0r3)
p =pi r=xi+yj r2=x2+y2
=[p/(4πε0)](x/r3)
r/?x=?[(x2+y2)1/2]/?x
=(1/2)(x2+y2)1/2–12x=x/r
r/?y=y/r
Ex=–?U/?x
=–?{[p/(4πε0)](x/r3)}/?x
=–[p/(4πε0)] [(1/r3)+x(–3r–4)?r/?x]
=–[p/(4πε0)][(1/r3)–3x2/r5]
=[p/(4πε0)][(2x2–y2)/r5]
=p(2x2–y2)/(4πε0r5)
Ey=–?U/?y
=–?{[p/(4πε0)](x/r3)}/?y
=–[p/(4πε0)] x(–3r–4)?r/?y
=[p/(4πε0)]3xy/r5
=3pxy/(4πε0r5)
E=(Ex2+Ey2)1/2
=[p/(4πε0r5)][(2x2–2)2+(3xy)2]1/2
=[p/(4πε0r5)](4x4+5x2y2+y4)1/2
=[p/(4πε0r5)][(x2 +y2)(4x2+y2)]1/2
=[p/(4πε0r4)](x2+y2+3x2)1/2
=[p/(4πε0r3)][1+3(x/r)2]1/2
=p(1+3cos2θ)1/2/(4πε0r3)
E与 x轴的夹角?满足
tan?=Ey/Ex=3xy/(2x2–y2)1.6 静电场中的导体一,导体静电平衡的条件
1.静电平衡的建立导体内有大量可自由移动的电荷外电场 自由电荷运动 电荷在导体内重新分布 产生附加电场 与外场合成 再对自由电荷作用?
反复进行,直到对自由电荷的作用力为零时停止,一瞬间,
导体体内与表面无定向移动电荷
2.静电平衡的条件
(1)导体体内
(内部自由电荷不受电场力 )
Eint=0;
(2)导体表面外附近
(表面自由电荷不受切向力 )
ES?表面,
3.推论
(1)
导体内任取两点 a,b,因 Eint=0
Ua–Ub=ba lE din t =0 Ua=Ub
导体为等势体 ;
(2)导体表面为等势面,
导体表面取两点 c,d,因 ES?dl
Uc–Ud=ba S lE d=0 Uc=Ud
二,导体静电平衡时电荷分布1.
导体体内各处宏观电荷为零 ;
对导体 体内任一点 O作任意小高斯面 S,因 Eint=0,导体
OS有?S Eint·dS=0
即 q=0
2.导体电荷分布在表面其表面电荷分布状况 与表面形状及周围带电体有关,
(1)孤立导体表面电荷面密度与曲率半径有关尖端处 (曲率大 )电荷密度大 ;
平坦处 (曲率小 )电荷密度小 ;
定性证明,用导线连接相距很远的 两导体球,静电平衡时等势,有
R1
Q1 R2
Q2
Q1/(4πε0R1)=Q2/(4πε0R2)
4πR12σ1/(4πε0R1)=4πR22σ2/(4πε0R2)
R1σ1=R2σ2σ1/σ2=R2/R1
低凹处 (曲率负 )电密度更小,
(2)空腔导体内表面带净电荷与腔内净电荷等值反号证明,空腔导体
ΣQ
QSint
贴近 内表作高斯面,因 Eint=0,
在导体内
S
有?S Eint·dS=0
即 Σqint=0
得 QSint= –ΣQ
(3)空腔导体腔内无电荷时,
内表面处处无电荷 空腔导体证明,
由 QSint=–ΣQ
得 QSint=0
因 ΣQ=0
说明内表面净电荷为零,
设内表某处 A带正电,
A
另一处 B
带等量负电,
B
因腔内无电荷,从
A到 B必有电场线,沿一电场线
L
积分?B
AUA–UB= E·dl?0
与导体为等势体矛盾,故导体内表面不同处 有等量异号电荷的假设不成立,所以当腔内无电荷时,内表面处处无电荷,
三,静电平衡时导体表面附近的电场导体
ES
1,ES?表面 ; S
表面附近作如图的柱形高斯面,依高斯定理
S SE d=? 底外 +? 底内 +?侧面 SE d?
=EΔS+0+0 =qint/ε0 =σΔS/ε0
E=σ/ε0
2,ES=σ/ε0;
尖端处,电荷密度大,电场强 ;
平坦处,电荷密度小,电场弱,
3,空腔导体腔内无电荷时,腔内电场为零因体腔内无电荷,内表面处处无电荷,故腔内无电场线,即腔内电场为零,四,静电感应的应用
1,静电屏蔽(1)腔外电荷及外表电荷对腔内电场无影响 ;
因腔外及外表电荷在导体体内和腔内产生的电场为零,
(2)接地导体腔内部电荷也不影响腔外电场 ;
(3)静电屏蔽装置,
接地导体空腔因导体电势为零,
腔内,腔外的电场互不影响
2.尖端放电,避雷针尖端处,E值大,空气电离,带电与 尖端相反的离子中和尖端处电荷,使尖端电荷减少,四,有导体存在时求静电场物理量的讨论方法1.导体静电平衡的条件
2.静电场基本性质方程
3.电荷守恒定律
Eint=0 或 导体为等势体
E·d S=Σqint/ε0?S E·dl =0?l
ΣQi=const
例 1.两,无限大,导体板 A,B,面积
S,分别带电 Q1,Q2,平行对称放置,
求,
(1)A,B上电荷分布 ;(2)空间电场分布 ; (3)将 B板接地,
求电荷分布,
A B
Q1 Q2
a b
σ1 σ2σ
3 σ4
E1 E2 E3
解,设电荷面密度及电场分布如图,
(1)在两板取 a,b两点,因 Ea=Eb=0,有
σ1/(2ε0)–σ1/(2ε0)–σ1/(2ε0)–σ1/(2ε0)=0
σ1/(2ε0)+σ1/(2ε0)+σ1/(2ε0)–σ1/(2ε0)=0
σ1+σ2=Q1/S
σ3+σ4=Q2/S
整理得
σ1–σ2–σ3–σ4=0
σ1+σ2+σ3–σ4=0
另有
①
②
③
④
解得 σ1=σ4=(Q1+Q2)/(2S)
σ2=–σ3=(Q1–Q2)/(2S)
(2) E1=(σ1+σ2+σ3+σ4)/(2ε0)
= (Q1+Q2)/(2Sε0) 向左
E2=(σ1+σ2–σ3–σ4)/(2ε0)
= (Q1–Q2)/(2Sε0) 向右
E3=(σ1+σ2+σ3+σ4)/(2ε0)
= (Q1+Q2)/(2Sε0) 向右
(3) σ4=0 σ1=0
因 σ1+σ2=Q1/S σ2=Q1/S
σ3=–Q1/S
例 2.带电 q的金属球 A与带电的 Q
金属球壳 B同心放置,A半径 r,B内外半径 R1,R2.(1)求电荷分布 ;(2)
求 A和 B的电势 UA,UB.(3)今将球 A
接地,再求电荷分布及电势差 UA–
UB.
解,(1)因 A B同心,
电荷 球对称,故
rR1
R2 q
Q球 A表面均匀带电 q;球壳 B内表面均匀带电?q,
外表面均匀带电 Q+q.
(2) UA=q/(4πε0r)–q/(4πε0R1)
+ (Q+q)/(4πε0R2)
UB=q/(4πε0R2)–q/(4πε0R2)
+(Q+q)/(4πε0R2) =(Q+q)/(4πε0R2)
(3)球 A接地,U'A=0.设 A带电 q'
知 B内外表带电?q',Q+q',有
U'A=0=q'/(4πε0r)–q'/(4πε0R1)
+ (Q+q')/(4πε0R2)
q'/r–q'/R1+(Q+q')/R2=0
q'(1/r–1/R1+1/R2)=–Q/R2
q'=(–Q/R2)/(1/r–1/R1+1/R2)
故 球 A表面均匀带带电
q'=–QrR1/[R1(r+R2)–rR2]<0
球壳 B内表面均匀带带电
–q'=QrR1/[R1(r+R2)–rR2]>0
球壳 B外表面均匀带带电
QR2(R1–r)
R1(r+R2)–rR2Q+q'=
>0
UA–UB=–UB=–(Q+q')/(4πε0R2)Q(R
1–r)
4πε0[R1(r+R2)–Rr2]=–
解,接地即
U=0,设感应电 量为例 3.半径为 R的接地导体球附近有一线电荷密度为 λ 长为 l的均匀带电直线,如图所示,求导体上感应电量,
a l
λR O
Q,导体等势,U球 =U心 =0由电势叠加原理,有
0=U球 =U心
球面= dq/(4πε0r)?带电线+ dq/(4πε0r)
球面=[1/(4πε0R)] dqlaa+ λdx/(4πε0x)
=Q/(4πε0R)+λln[(l+a)/a]/(4πε0)
Q=–λRln[(l+a)/a]
得导体上感应电量为例 4.一平行板电容器,极板面积 S,
相距 d,若 B板接地,且保持 A板电势
UA=U0不变,如图,把一块面积相同带电量 Q 的导体薄板 C 平行地插入两板之间,求板 C的电势 UC,
B
UC
U0 A
CQ
d/3
2d/3
解,设 A下表表面,C上下表面,B上表面电荷密度分别为 σ1,–σ1,σ2,–σ2
.则 AC间场强为 E1=σ1/ε0,
CB间场强为 E2=σ2/ε0.
UA=U0= E1·dl?CA + E2·dl?BC
=(σ1/ε0)d/3+(σ2/ε0)2d/3,.
(σ1+2σ2)d/(3ε0)=U0.
C板电荷守恒 –σ1+σ2=Q/S
σ1+2σ2= 3ε0U0/d.
解得 σ1=ε0U0/d–2Q/(3S)
σ2=ε0U0/d+Q/(3S)
UC= E2·dl?BC =E22d/3=(σ2/ε0)2d/3
= 2U0/3+ 2dQ/(9ε0S)
1.7 静电场中的电介质
1.介质的微观结构极性分子一,电介质的极化正负电荷中心不重合的分子,等效一电偶极子,分非极性分子 正负电荷中心重合的分子,分子电矩为零 p=0
p=ql?0子有固有电矩,
2.分子的极化(1)极性分子无外电场时 因热运动 电矩排列杂乱,宏观不呈电性 ;
有外电场时 分子受 M=p× E
作用使 p,E夹角变小,p转向
E,热运动反抗转向,结果是 p
E
在 E正向投影大于负向投影,
的 取向 极化
(1)非极性分子无外电场时 分子正负电荷中宏观 不呈电性 ;
心重合,
E
F+F–
有外电场时 分子中正负电荷受相反力,正负电荷中心发生位移,非极性分子变为极性分子,产生附加电矩 p.
的 位移 极化
2.极化电荷 介质极化后,分子电矩排列整齐,介质中出现极
n
E
极化电荷,对于 各向同性均匀介质,极化电荷 只出出现在表面,
极化电荷的场要影响外电场,
极化现象 在外电场作用下 介质中出现极化电荷,从而影响外电场的现象,
二,极化强度矢量 P
极性分子 电矩 p 排列的有序程度,非 极性分子 附加电矩 p
的大小反映介质的极化程度单位子电矩的矢量和为 Σpi
1.定义描述极化强弱的物理量取微小体积元?V (宏观上无限小微观上无限大 ),?V所中有分
P=Σpi/?V
C·m–2与面电荷密度同单位
2.极化电荷,极化强度的关系
(1)逐点 关系
P
|Σpi |=(σ'ΔS)l?
在极化介质内顺 P
取长为 l 的微小斜柱体 (可认为介质均匀极化 ),它是电偶极子
,端面极化电荷 σ'ΔS.有
V=lΔScos?
|P|=|Σpi|/?V
=(σ'ΔS)l/(lΔScos?)
σ'=|P|cos? =Pcos?=P·n
某处极化电荷面密度 σ '等于该处极化强度 P在面法线方向的投影,
当?<π/2,极化电荷 σ'为正 ;
当?>π/2,极化电荷 σ'为负 ;
(2)整体关系 某闭合曲面所包围的极化电荷,便于理解,以平行板电容器内 充满各向同性均匀电介质为例,电容器充电后,介质极化,
取柱形闭合面,
它包围的极化电荷为
PS
q'=σ'ΔS=–PΔS
=– P·dS?下底
=–( + + )P·dS?下底?上底?侧面
=– P·dS?S
三,介质中的高斯定理1.介质中的电场外场 E0,极化电荷的场 E',
合电场 E=E0+E '
2.介质中的高斯定理
E·d S=Σqint/ε0?S =(q0+q')/ε0
=(q0– P·dS)/ε0?S
ε0E ·dS+P?
S =q0
3.电位移矢量
(1)定义 D=ε0E+P
描述静电场的辅助物理量
D·d S=Σq0int?S
过闭合曲面的电位移通量等于曲面内自由电荷的代数和说明,
① 电位移矢量 不仅取决于曲面内的自由电荷,还取决于曲面外的自由电荷,而且与整个空间的极化电荷有关 ;
② 过闭合曲面 D 的通量只与曲面内的自由电荷有关,
(2)电位移线 (D 线 )
① 起于正自由电荷,终于负自由电荷；
② 不闭合,不相交,连续,
单位,C/m2
(3)电位移线与电场线的区别以充电后的其间放各向同性均匀电介质的平行板电容器为例说明
E 线 D 线一般情况 E线 D线不平行,当介质为各向同性介质时 E线 D线平行,
4,D,E,P 的 关系(1)普遍关系
D=ε0E+P
(2)各向同性介质中的 关系
① D,E,P 的关系实验指出,在各向同性介质中
P与 E成正比,P=ε0χE
② 电极化率 χ只与介质有关,
D=ε0E+P =ε0E+ε0χE
=ε0(1+χ)E
是一个无量纲的纯数,
③ 相对电容率 εr εr=1+χ
与介质有关的无量纲的纯数,
=ε0εrE
④ 电容率 ε ε=ε
0εr
=εE
与介质有关的量,
⑤真空中 χ=0,ε
r=1,ε=ε0.
轴的半径为 R2的薄导体圆筒之间充以相对电容率为?r的介质,设直导体圆柱和导体圆筒沿轴线的线电荷密度分别为 +?和 －?.求
(1)介质中电场强度,
电位移和极化强度 ;
(2)电介质内外表面极化电荷面密度,
例 1 半径为 R1的直导体圆柱和同
R1?r
R2
l
r
S
解,(1)由于导体柱对称,得电荷柱对称,作同轴高斯面,有
D·d S=Σq0int?S
0+0+2πrlD=λl D=λ/(2πr)
电介质中场强 R1<r<R2
E=D/(ε0εr) =λ/(2πε0εrr)
极化强度为 P=ε0χE
=ε0(εr–1)E
介质表面极化电荷面密度值
=(εr–1)λ/(2πεrr)
(2)介质表面处极化强度为
D,E,P 的方向均 垂直轴线沿径向向外,
r=R1 P1=λ(εr–1)/(2πεrR1)r=R
2 P2=λ(εr–1)/(2πεrR2)
r=R1处,n与 P反向,得σ'
1=P1cosπ=–λ(ε
r–1)/(2πεrR1)
r=R2处,n与 P同向,得
σ'2=P2cos0 =λ(εr–1)/(2πεrR2)
例 2.两,无限大,金属板 A,B,相距
d,面积 S,分别带电 Q1,Q2,平行对称放置,今在两板间插入同面积厚度 A
Q1
B
Q2
εr
σ3 σ4σ1 σ2
E1
E2
E3
e相对电容率为 ε r的介质板,求,(1)A,B上电荷分布 ;(2)A,B间电场分布 ; (3)两板间的电势差 UA–UB,a b
解,(由于不知介质板电荷分布无法求它在导体内的场强 )
先用介质中的高斯定理求无限大均匀带电板产生的电位移,作以无限大均匀带电板对称的柱形高斯面,有
S σ
D·d S=Σq0int?S
DΔS+DΔS=σΔS D=σ/2
(1)在两板取 a,b两点,因 Ea=Eb
=0,有 Da=Db=0,所以
σ1/2–σ1/2–σ1/2–σ1/2=0
σ1/2+σ1/2+σ1/2+σ1/2=0
σ1+σ2=Q1/S
σ3+σ4=Q2/S
整理得 σ1–σ2–σ3–σ4=0σ
1+σ2+σ3–σ4=0
另有解得 σ1=σ4=(Q1+Q2)/(2S)
σ2=–σ3=(Q1–Q2)/(2S)
(2) D=(σ1+σ2–σ3–σ4)/2
= (Q1–Q2)/(2S)
A,B间电场,介质内外分别为E
2=D/(ε0εr)=(Q1–Q2)/(2Sε0εr)
D,E 方向向右,
E1=E3=(Q1–Q2)/(2Sε0)
(3) UA–UB= E·dl?B A
= E1·dl?x 0 + E2·dlex x + E2·dld ex
=E1x+E2e+E3(d–x–e)
= E1(d–e)+E2e
=(Q1–Q2)(d–e+e/εr)/(2Sε0)
由于只涉及某种对称性各向同性均匀介质,故求有介质时电场应,
① 先用介质中高斯定理求电位移 ;
② 再用电位移与场强关系求场强,1.8 电容和电容器例 2:两等量异号的无限长平行金属圆柱,半径为 a,相距
1.导体电势与电量的关系例 1:半径为 R 的孤立导体球,求其电量与电势的比值,
解,设带电为 Q,有
U=Q/(4πε0R)
Q/U=4πε0R
电势正比于电量,比值为常量,
为 d(d>>a),线电荷密度分别为 λ,–λ,
求两导体间的电势差,
a
d
λ –λ
解,取如图所示的坐标,用高斯定理解得导线间场强
x
0<x<a,d–a<x<d,E1=E3=0
a<x<d–a:
E2=i{?/(2πε0x)+?/[2πε0(d–x)]}
BA lE dΔU=UA–UB=
= {?/(2πε0x)+?/[2πε0(d–x)]}dxada
=[?/(2πε0)][lnx–ln(d–x)] ada?
=[?/(πε0)]ln[(d–a)/a]
导体的几何参数及介质有关而与带电量无关的恒量,
=(πε0l)/ln(d/a)
导体一定时,电势 (电势差 )
随带电量的增加而升高,
但电量与电势的比值为与
① 平行板电容器
2.电容 C表征导体容纳电荷本领的物理量
(1)定义 C=Q/ΔU C=Q/U
导体电荷与电势差的比值
(2)单位 (法拉 =库 /伏 )F=C/V
(3)电容器的电容
εrQ –Q
S d
σ=Q/S
D=σ=Q/S
E=D/(ε0εr)
ΔU = lE d=Qd/(ε0εrS)
C=Q/ΔU =εrε0S/d
真空中 εr=1,C0=ε0S/d,
由此,可以明显得出 ε0,εr,ε的物理意义,
②圆柱形电容器 由两同轴柱面莱顿瓶导体组成 l>>R2–R1
Q=λl D=λ/(2πr)
E=D/(ε0εr)
=λ/(2πrε0εr)
ΔU = lE d
C=Q/ΔU
真空中 εr=1,
C0=(2πε0l)/ln(R2/R1) C/C0=εr
R1?r
R2
l Q –Q= [λ/(2πrε0εr)]dr? 2
1
R
R =[λ/(
2πε0εr)]ln(R2/R1)
=λl/ΔU
=(2πε0εrl)/ln(R2/R1)
③ 球形电容器
R1?r
R2
Q –Q同心球面导体组成由两
D=Q/(4πr2)
E=D/(ε0εr)
=Q/(4πr2ε0εr)
ΔU= E·dl = [Q/(4πr2ε0εr)]dr? 2
1
R
R =[Q/(4πε
0εr)](1/R2–1/R1)
C=Q/Δ=(4πε0εr)/(1/R1–1/R2)
真空中 εr=1,
C0=(4πε0)/(1/R1–1/R2) C/C0=εr
孤立导体 R2=?,
C=4πε0εrR
令 R1=R,得
C0=4πε0R
3.电容器的串联与并联
(1)串联
+
C1 C2 C3
–
各极板电量相等,
Q –Q Q –Q Q –Q
Q1=Q2=Q3=Q
总电势差等于各电容电势差之和
ΔU1 ΔU2 ΔU3
ΔU
ΔU =ΔU1+ΔU2+ΔU3
Q/C =Q1/C1+Q2/C2+Q3/C3
1/C =1/C1+1/C2+1/C3
(1)并联 各电容电势差相等,
ΔU
ΔU=ΔU1=ΔU2 =ΔU3
总电量等于 各电容电量之和,+
C1
–
C2
C3
Q1 –Q1
Q2 –Q2
Q3 –Q3Q=Q1+Q2+Q3
CΔU=C1ΔU1+
+C2ΔU2+C3ΔU3
C=C1+C2+C3
1.9 电场的能量
1.电荷系的静电能形成可认为是将电荷一点一滴从?移到所在处形成的,外力作功成为带电系统的能量,
电荷系统
dA=Udq A= Udq?q 0
U是在移动 dq时,dq所在处的电势,U随 dq的位置变化,
(1)点电荷系的相互作用能 W
①两点电荷的相互作用能先移 q1外力不作功,
力必须克服电场力作功,
再移 q2外
A2=q1q2/(4πε0r12) =q1q2/(4πε0r)
或先移 q2再移 q1可得
A1=q1q2/(4πε0r21) =q1q2/(4πε0r)
得 W=q1q2/(4πε0r)
={q1[q2/(4πε0r)]+q2[q1/(4πε0r)]}/2
W=(q1U1+Q2U2)/2
②多点电荷的相互作用能
W=(q1U1 +Q2U2 +Q3U3+?)/2
(2)连续带电体的能量
W= Udq?q
U是稳定时 dq处的电势,
(3)电容器贮存的静电能等于将正电荷从负极板 分离
W=A
到正极板外力作的功 dA=–dA
电 =–(U––U+)dq=(U
+–U–)dq=ΔUdq=(q/C)dq?q
0= qdq/C=q
2/(2C)
=q2/(2C)=qΔU/2=CΔU2/2
2.电场的能量电能在场中,以平行板电容器为例电能贮存
W=CΔU2/2 =(εS/d)(Ed)2/2
=(εE)E(Sd)/2=(DE/2)V
(1)能量密度电场中单位体积贮存的能量
w=dW/dV
w=DE/2 =εE2/2=D2/(2ε)
普遍表达式 w=D·E/2
(2) 某体积贮存积内的能量
W= wdV?V = (D·E/2 )dV?V
例 1.比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量,
解,取同心薄球壳体积微元均匀带电球体
r
dr
R q
R q
dV=4πr2dr
dW=(ε0E2/2)4πr2dr
均匀带电球面,
E内 =0,E外 =q/(4πε0r2)
W1= [q2/(8πε0r2)]dr R
=q2/(8πε0R)
E内 =qr/(4πε0R3),
E外 =q/(4πε0r2)
+ [q2/(8πε0r2)]dr R
R 0W2= [q2r4/(8πε0R6)]dr
=q2/(40πε0R) +q2/(8πε0R)
=3q2/(20πε0R)
W1<W2