第一章 静电场第五篇 电磁学第二章 稳恒电流的磁场第三章 电磁感应第四章 电磁场和电磁波
2.1 毕奥 –萨伐尔定律一,磁现象及其本质1.一般磁现象
(1)磁铁 两极,N极,S极 ;不可分 ;
同极斥,异极吸,
(2)地磁 小磁针,N指北,S指南,
地磁 N极在南,地磁 S极在北,
(3)电流与磁铁的相互作用电流对磁铁有作用力,
磁铁对电流有作用力,
(4)电流与电流的相互作用两平行电流间,两圆电流间,
两螺旋管间,
2.结论 磁铁 电流 磁铁 电流力力
(1)作用力方向 随磁极的不同及电流方向的不同而不同,
(2)作用力大小的强弱,位置,方向有关与磁极和电流
3.磁现象的本质
(1)螺线管电流等效条形磁铁
I NS
(2)分子电流 的假说分子电流 NS
(3)磁现象的本质运动电荷 磁场 运动电荷运动电荷既激发电场 ( 库仑场 ),又激发磁场,
(4)磁场的物质性
① 对运动电荷 (电流 )作用力 ;
② 磁场使其中的物资磁化 ;
③ 磁场有能量,动量,质量,
二,磁感应强度 B
描述磁场强弱的物理量,
1.三种定义方式
① 小磁针在磁场中受力 ;
② 载流线圈在磁场中受力矩 ;
③ 运动点电荷在磁场中受力,
2.运动点电荷在磁场中受力实验表明,运动电荷 q在磁场中
(1)当 v与特定方向平行时,运动电荷 q不受力,其它情况均受力 ;
特定方向
(2)运动点电荷 q所受磁力 F
v
F
方向,垂直于速度 v与该特定方向组成的平面 ;改变 q 符号,F 反向 ;
x
y
z
q+ x
y
z – v
F
特定方向
q
大小,与 q和 v 的积成正比 ;与 v 同该特定方向夹角?正旋值成正比,
以运动的正试验电荷 q0 在磁场中受力定义 B
3.磁感应强度 B 的定义
(1)大小 B=Fmax/(q0v)
(2)方向
② F,v,B 成右手螺旋,
① 零磁力时的速度方向 ;
(3)运动电荷受力的数学表达 F=qv× B
4.单位 国际单位 (SI):T(特斯拉 )1T=N/(C·m/s)=1N/(A·m )
θ
1.电流元 Idl 激发的磁场 dB
三,毕奥 –萨伐尔定律电流与其产生磁场的关系,
I Pr
Idl
dB 的大小,
dB=μ0Idlsinθ/(4πr2)
dB 的方向,满足 Idl,r,dB
成右手螺旋关系,
dB
4π
μ0 Idl× r
r3dB=
B=∫dB =
μ0/(4π)是当 B 用国际单位制时而引进的常数,?0为真空中磁导率,?0=4?× 10–7N·A–2
2.磁场叠加原理 独立性,叠加性
4π
μ0 Idl× r
r3?l3.运动电荷激发的磁场
Idl激发磁场是导线 dl中所有载流子 (载流子数 dN=nSdl)激发磁场 B的矢量和,dB=B dN
当 q>0,Idl与 v同向
v
I
S
vdt
+ ++
+ +
=qnvdtS/dt
I=dQ/dt
=qnvS
4π
μ0 Idl× r
r3dB=
4π
μ0qnvSdl× r
r3=
4π
μ0qnSdlv× r
r3= 4π
μ0 qv× r
r3= dN
4π
μ0 qv× r
r3B=
当 q<0,Idl与 v反向
I=–qnvS vdl=–dlv
4π
μ0 Idl× r
r3dB= 4π
μ0–qnvSdl× r
r3=
4π
μ0qnSdlv× r
r3= 4π
μ0 qv× r
r3= dN
B?
运动电荷激发磁场 B为 v
P
rB的大小
θ
B=μ0qvsinθ/(4πr2)
B的方向,
q>0,
+q
B与 v× r同向
q<0,
v
P
r
θˉq
B与 v× r反向
B⊙
注意,电场 E是纵向场,电荷元 dq
激发的电场 dE与源点对场点引的矢径 r平行 ; 磁场 B是横向场,电荷元 dq 或电流元 Idl 激发的磁场 dB
与源点对场点引的矢径 r垂直,这点在计算时务必高度注意 !!!
θ
Oz
y
x
4πr3
μ0IdB=
用矢量叉乘解例 1.长直载流导线激发的磁场,
I
解,取坐标系如图取电流元 Idl=Idy
Idl4πμ0 Idl× rr3dB= r dB
a P
dl=dyj
r=ai–yj
i j k
0 dy 0
a –y 0 4πr3
μ0Iady=– k
r=a/sin(π–θ)=a/sinθ
y=acot(π–θ)=–acotθ
dy=(a/sin2θ)dθ
dB= μ0Ia(a/sin
2θ)dθ
4π(a/sinθ)3
=μ0Isinθdθ/(4πa)
方向 沿 z轴负向,直线电流各有电流元产生 dB方向均同,
B= μ0Isinθdθ/(4πa)? 2
1
B=μ0I(cosθ1–cosθ2)/(4πa)
方向沿 z轴负向,用分析法解
dB 的大小 dB=μ0Idlsinθ/(4πr2)
=μ0I(a/sin
2θ)dθsinθ
4π(a/sinθ)2
=μ0Isinθdθ/(4πa)
方向沿 z轴负向,(以后步骤略 )
得出与叉乘法相同的结果,讨论
① 导线无线长,
θ1=0,θ2=π
B=μ0I/(2πa)
方向与电流 成右手螺旋,大拇指电流方向,四指磁场方向
I
B
dB
② P在延长线,dlⅡ r,dl× r=0,B=0
③ a=0,此时电流不是线电流,
公式不适用例 2.圆电流在轴线上产生的磁场,
I
R x P
解,取电流元 Idl Idl
由于 Idl⊥ r,r有
dB= μ0Idlsinθ4πr2
=μ0Idl/(4πr2)
各电流元 Idl 的
dB 构成一圆锥面,故要把 dB
矢量进行分解,才能积分
dB?=dBcosθ
dB?
dB
∥
θ
考虑对称性,有?dB?=0
dBⅡ =[μ0Idl/(4πr2)]sinθ
l= [μ0Idl/(4πr2)]sinθB=?dB
Ⅱ=[μ0I2πR/(4πr2)]R/r
=μ0IR2/[2(x2+R2)3/2]
方向沿轴线,与 I成右手螺旋,
四,载流线圈的磁矩当载流线圈极小时,就称磁偶极子,故磁矩也称磁偶极矩,
与电偶极子的电矩对应,
定义,或的电流,面积和法向单位量,n
与 I满足右手螺旋关系,
m=ISnp
m=ISn
n
SI
式中 I,S,n分别为线圈写成矢量式
B=n μ0IπR2/[2π(x2+R2)3/2]
=μ0 pm/[2π(x2+R2)3/2]
① x=0(圆心 ),B=μ0I/(2R)讨论
② x>>R B=[μ0/(4π)]2pm/x3
对应于电偶极子在延长线上
E=2p/(4πε0x3)激发的电场说明微小 载流线圈等效 磁偶极子,
动画例 3.求半径为 R 圆心角为 θ 的圆弧电流在圆心 O激发的磁感应强度,
I
θR
O
解,取电流元 Idl
r
Idl由于 Idl⊥ r,有
dB=μ0Idl/(4πR2)
方向垂直纸面向外 dB
⊙各电流元产生 dB方向均同,所以
B=∫dB=∫l μ0Idl/(4πR2)
=[μ0I/(2R)][θ/(2π)]
圆弧电流在圆心激发磁场等于圆电流在圆心激发磁场的
θ/ (2π )倍,
例 4.如图,宽为 2a的无限长导体薄片,沿长度方向的电流 I 在导体薄片上均匀分布,求中心轴线 OO?上方距导体薄片为 a处的磁感强度,
O
O?
I x
y
z
P
2a
a
x
y
P
I
解,取宽为 dx的无限长电流元
dB
dx
r
dI=Idx/(2a)dB=?
0dI/(2?r) =?0Idx/(4?ar)dB
x=dBcos? dBy=dBsin?dB
x=[?0Idx/(4?ar)](a/r)=?
0Idx/(4?r
2)=?0Idx/[4?(x2+a2)]
dBy=?0Ixdx/[4?a(x2+a2)]
Bx= {?0Idx/[4?(x2+a2)]}?
a
a=[?
0I/(4?)](1/a)arctan(x/a) aa?=?
0I/(8a)B
y= {?0Ixdx/[4?a(x2+a2)]}
a
a=[?
0I/(8?a)]ln(x2+a2) aa? =0B=B
x=?0I/(8a)
解,取轴线为 x轴 (与电流成右手螺旋 ),场点 P为原点,
它在 P点的磁感强度 dB为例 5,载流 密绕 直螺线管 轴线上的磁场,管 长为 l,半径为 R,单位长度的匝数为 n,电流为 I.
R P
l
x
圈在 P产生磁场方向沿 x轴,大每匝线取微元螺线管 dx,匝数为 ndx
大小为 B=μ0IR2/[2(x2+R2)3/2]
dx
θ θ2θ1
dB={μ0IR2/[2(x2+R2)3/2]}ndx
由图知
cosθ2=x2/(x22+R2)1/2
x=Rcotθ,
dx=–Rdθ/sin2θ,R2+x2=R2/sin2θ
cosθ1=x1/(x12+R2)1/2
dB=μ0IR
2n(–Rdθ/sin2θ)
2(R/sinθ)3=(–1/2)μ
0nIsinθdθ
dB方向都沿 x轴,故 P点磁场：
B=∫dB= –μ0nIsinθdθ/2?2
1
=μ
0nI (cosθ2–cosθ1)/2
22
1
1
22
2
2
02
1
Rx
x
Rx
xnI?
方向沿 x轴,即与 I成右手螺旋,
① P点 在中部,
B=μ0 nI
讨论,
② P点 在端点,
当 l>>R
θ2~0,θ1=π/2
θ=π/2,θ1~π
B=μ0 nI/2
有 θ2~0,θ1~π
B中部 =2B端点
x
B
μ0nI
l>>R
μ0nI/2
R
ω
O B
例 6.半径为 R的电荷面密度为?
的均匀带电薄圆盘,以角速率?
绕通过盘心垂直盘面的 O轴转动,
求盘中心处的磁感强度,
解,用运动电荷激发磁场计算,
4π
μ0 qv× r
r3B=
取电荷元
r
dr dθdq=?rdθdr
dB=μ0dqv/(4π r2)
2
0 dd
4 r
rrr
rdd?
4
0?
dB均向外,故中心的磁场为
B=∫dB μ0σωR2=
方向向外,即 B与?同向,用圆电流中心磁场公式计算取微元细环带 dq =?2?rdr
圆盘每转时间 T=2π/ω
等效圆电流 dI=dq/T=σωrdr
它在中心产生的磁场为
dB=μ0dI/(2r)=μ0σωdr/2
中心和磁场为 μ
0σωR
2=
方向垂直纸面向外,即 B与旋转方向成右手螺旋,
例 7,如图,半径 R 的木球上绕有密集细导线,线圈平面彼此平行,
且以单层覆盖半球面,设线圈总匝数为 N,通过线圈电流 I.
求球心
O 的磁感强度,
O
R x
dI
dB
解,取宽为 dl细圆环电流,
dI=Jdl=[NI/(?R/2)]Rd?
=(2IN/?)d?
dB=?0dIr2/[2(r2+x2)3/2]
r=Rsin? x=Rcos?
dB=?0NIsin2?d?/(?R)
=?0NI/(4R)
= {?0NIsin2?d?/(?R)}? 23 2B=?dB
方向沿 x轴,即 I与成右手螺旋,
2,2 磁场的高斯定理一,磁感线
1,定义 其上每点切线都与该点磁场方向重合的一条有指向的曲线,
B2,磁场的图示法方向,沿切线正向 ;
大小,用疏密表示,
密,E大 ;
磁感线数密度 d?/dS?
dS
n
dS'
疏,E小,
E=d?/dS?dS?⊥ B,即 dS?∥ B.
3,几种特殊磁场的磁感线直线电流的 磁感线 圆电流的 磁感线通电螺线管的磁力线
I
I
I I
4.磁感线的性质
(1)与电流套合的无头无尾的闭合曲线 ;
(2)连续,不相交,
二,磁通量
1,定义 通过磁场中一给定曲面的磁感线的总条数,
2.表达式 SΦ SB d
3.讨论
(1)磁通量?是标量,不是矢量 ;
(2)计算磁通量时要对面选取法线方向 (闭合曲面的法线指向面外 ),求磁通量大小时一般让 n与 B 的夹角小于 π/2.
三,高斯定理4.单位,
1Wb=1T·m2韦伯 (Wb)
1.表达式 过闭合曲面的磁通量由于磁感线是闭合曲线,因此进入闭合曲面的磁感线 必然穿出该闭合曲面,即通过任意闭合曲面的磁通量为零,
E·d S=0?S
2.磁场的一个性质磁场是无源场,例 1.在均匀磁场 B=3i+2j (SI)中,
过 yz平面内面积为 S的磁通量,
SΦ SB d解, S SB d
=(3i+2j)·( Si) =3S (SI)
例 3.无限长载流导线放在真空中,
电流为 I,旁有一矩形平面,如图,
求过该平面的磁通量,
d a
bI1
以下是几种错误解法
① 取面积微元 dS=bdr
dr
dB=[μ0I/(2πr)]dr
dΦ=SdB
=ab[μ0I/(2πr)]dr
解,取面积微元 dS=bdr
μ0Iab
2πr dr?
ad
dΦ=
μ0Iab
2π
d+a
dln=
② 取面积微元 dS=bdrdB=[μ
0I/(2πr)]drμ
0I
2πrdr?
ad
dB=
μ0I
2π
d+a
dln=
Φ=BS μ0Iab2π d+adln=
③ 取面积微元 dS=bdr
B=μ0I/[2π(d+r)]
μ0Ib
2πrdr?
ad
dΦ=
μ0Ib
2π d+adln=
dΦ=B·dS={μ0I/[2π(d+r)]}bdr
μ0Iab
2π(d+r)dr?
ad
dΦ=
μ0Ib
2π
2d+a
2dln=以下是正确解法
B=μ0I/(2πr)
dΦ=B·dS=[μ0I/(2πr)]bdr
例 3.相距 d=40cm的两根平行长直载流导线 1,2放在真空中,电流为
I1=I2=I=20A,如图所示,求 过图中所示面积的磁通量 (r1=r3=r=10cm,
r2=20cm,l=25cm.)
I2
r1 r2 r3
lI1
d
解,取如图的 r坐标 ;取面积微元 dS=bdr
rdr
B=μ0I/(2πr)+μ0I/[2π(d–r)]
dΦ=B·dS
={μ0I/(2πr)+μ0I/[2π(d–r)]}ldrμ
0Il2π dr 3
1
rd
rΦ=
1r 1d–r+
μ0Il
2π
d–r3
r1ln=
d–(d–r3)
d–r1ln–
μ0Il
π
d–r
rln= =2.2× 10–6Wb
2.3安培环路定理讨论对磁场的环路积分 (环流 )
以无限长直载流导线的磁场为例一,安培环路定理的表述
B=μ0I/(2πr)
方向与电流 成右手螺旋,磁感线为 以电流为轴一组同心圆,
I
1.闭合回路包围电流(1)回路是以电流为轴的圆
(即与一磁感线重合 )①与电流成右手螺旋 I
l环路上 B大小等方向与环路同
l B·dl= [μ0I/(2πr)]dl?l
=μ0I
② 与电流成反右手螺旋
l上 B大小等,方向与环路反
l B·dl = –μ0I(2)回路在与垂直电流的平面内,形状任意
I
I
l
l
Bθ
dα
dl
①与电流成右手螺旋
B·dl =[μ0I/(2πr)]dl
=[μ0I/(2πr)]dlcosθ
=[μ0I/(2π)]dα
l B·dl =μ0I
② 与电流成反右手螺旋
I
l
B
dα
dl
θ
B·dl =[μ0I/(2πr)]dl
=[μ0I/(2πr)]dlcosθ
= –[μ0I/(2π)]dα
l B·dl = –μ0I
2.闭合回路不包围电流
I
Δα
l1
l2
a
b
l B·dl?
1l
= B·dl?
2l
+ B·dl
=0
3.闭合回路包围多条直电流?
l B·dl=?l (B1+B2+ B3+?)·dl?
l= B1·dl?l+ B2·dl?l+ B3·dl +?
当电流 Ii被环路 l所包围,且与 l
成右手螺旋时,我们称 Ii>0,则积分?l Bi·dl=μ0Ii
当电流 Ii被环路 l所包围,且与 l
成反右手螺旋时,我们称 Ii<0,
则积分?l Bi·dl= –μ0|Ii|
故
=μ0Ii
当电流 Ii不被环路 l所包围时,
我们称 Ii=0,则积分
l Bi·dl=0=μ0Ii
l B·dl=μ0ΣIint
4.推广 (安培环路定理的表述 )
无限长直电流在无限远闭合,
对其磁场的环路积分实际上对闭合电流磁场的环路积分,
可以证明,对任意闭合电流 I
的磁场沿任意环路 l的积分为
① I与 l套合,成右手螺旋,I>0;
② I与 l套合,成左手螺旋,I<0;
③ I与 l不套合,即 I 在 l 外或进入 l 后又穿出 l 时,I=0,
l B·dl=μ0I
所以?
l B·dl=μ0ΣIint
对磁场 B 的环路积分等于环路内所包围电流的代数和,
5.讨论
① I与 l套合,成右手螺旋,I>0;
② I与 l套合,成左手螺旋,I<0;
③ I 在 l 外,或进出 l 时,I=0.
(2)B是环路内外所有电流激发
(3)B 沿环路积分只与环路内电流有关,
(4)如环路积分为零,只能说,
Σ Iint=0;不能说 B=0,ΣI=0
(1)环路 l中的电流必须闭合,
6.磁场的又一性质磁场 B是非保守场,是涡旋场,
二,安培环路定理的应用定理揭示磁场是 涡旋场的物理实质,适用于任何情况,这里用其计算对称性磁场分布,
例 1.求半径为 R 电流为 I 的无限长均匀载流圆柱体激发的磁场,
解,电流 柱 对称,
故 B柱 对称,距轴
r等处 B大小等,
方向沿切向,与电流 成 右 手 螺旋,过场点作与柱电流 同轴圆环路 (如图 ).有
I
l
l B·dl=μ0ΣIint2πrB=μ
0ΣIint当 r
<R:ΣI
int=[I/(πR2)]πr2
当 r>R:
=Ir2/R2
B=μ0Ir/(2πR2)
ΣIint=I B=μ0I/(2πr)
方向垂直轴线,沿切向,并与电流成右手螺旋,
O R r
μ0I
2πR?1/r
用安培环路定理求磁场的步骤,
(1)分析电流与磁场的对称性 ;
(2)选取合适安培环路 (其目的能将 写成 Bl );l lB d
(3)用安培环路定理列方程,
解方程,指出场的方向,
对称性与对应安培环路,
柱对称,无限长柱电流载流密绕螺绕环圆 形安培环路安培环路上的 B,
① 大小处处等,选 dlB;
② 大小处处不等,选 dl?B.
面对称,无限大面电流 矩 形安培环路解,已知轴线上磁场例 2,求 单位长度匝数为 n,载流 为
I的 密绕长 直螺线管管内外的磁场
.
B0=μ0 nI
一点可认为在管的中部,故距轴线等距处磁场相等,管内外的磁感线平行轴线,设 B方向与轴线 B方向相同,分别在管内及管内外作一边在轴上的矩形安培环路 L1,L2 (如图 ).有
L1
L2
(1)管内 B1
ΔlB0–ΔlB1=0?1L
B·dl=μ0ΣIint
B1=B0=μ0 nI
(2)管外 B2?
2L
B·dl=μ0ΣIint
ΔlB0–ΔlB2=μ0nIΔl
B2=B0–μ0 nI=0
即 载流 密绕长 直螺线管管外
B=0;管内为 B=μ0 nI均匀磁场,
方向与 I成右手螺旋,因是 载流 密绕长 直螺线管,任
r
L
例 3,求 如图所示总匝数为 N,电流为 I 的 密绕 圆螺绕环的磁场分布,
I
R2R1
解,因是 载流 密绕 螺 绕环,磁场轴对称,距轴线等 r处磁场大小等,方向沿切线,
作同轴 圆形环路 L(如图 ).?
L B·dl=μ0ΣIint 2πrB=μ0ΣIint(1)L环在管内 ΣI
int=NI环管内磁场 B= μ
0NI/(2πr)
(2)L环在管内 ΣIint=0
环管外磁场 B=0
载流 密绕 螺 绕环环 管外 B=0;
环 管内磁场为 =μ0NI/(2πr),
方向与 I成右手螺旋,磁感线在环 管内 为一组同轴的圆,
当环 管截面尺寸远小于 环 管轴线圆半径 R时,r~R,有B=μ
0NI/(2πR)=μ0nI
例 3.如图,一根半径为 R 的无限长载流直导体,其电流 I 沿轴向流过,
并均匀分布在横截面上,导体内有一半径为 R?的圆柱形空腔,其轴与直导体轴平行,两轴相距为 d.试求空腔中任意一点的磁感强度,
O?
2R?
dO
R
I
解,此电流可认为由半径 R
的无限长圆柱电流 I1
和同密度反方向半径为
R?的无限长圆柱电流 I2组成,
O O?R R?d
I
r1
θ1
θ1B
1
r2θ
2
θ2
B2
y
x
J=I/[? (R2?R?2)]
I1=J?R2 I2=?J?R?2
它们在空腔内产生的磁感强度分别为 B
1=μ0I1r1/(2πR12)=?0r1J/2B
2=μ0I2r2/(2πR22)=?0r2J/2
方向如图,B
x=B2sin?2?B1sin?1=(?
0J/2)(r2sin?2?r1sin?1) =0B
y=B2cos?2+B1cos?1
=(?0J/2)(r2cos?2+r1cos?1)
=(?0J/2)d
所以 B=By=?0Id/[2?(R2–R?2)]
方向沿 y轴正向,
二,带电粒子在均匀磁场中的运动
2.4 洛仑兹力，
一,运动电荷受力
1.电场力 与速度无关的力
Fe=qE
只与带电粒子的电荷有关
(纵使 v=0也存在 )
2.磁场力 与速度有关的力F
m=qv× B不仅与带电粒子的电荷有关,
还与速度有关,
3洛伦兹力 (广义 )F=qE+qv× B
狭义洛伦兹力 F
m=qv× B大小 F=qvBsinθ
方向 先定 v× B方向再定 F方向q>0,
F与 v× B同向 ;q<0,
F与 v× B反向,
B
v× B
v+? θ
B
v× B
vθ?–
F
F
因 F?v,故 洛伦兹力只改变 v
的方向,不改变 v的大小带电粒子不受力,
作匀速直线运动,
1.速度 v 与磁场 B 平行θ=0或 θ=π
F=qvBsinθ=0 B
v+?
2.速度 v 与磁场 B 垂直θ=π/2 F=qvBsin(π/2)=qvB
带电粒子作匀速率圆周运动,
T=2πR/v
=2πm/(qB)
(1)回转半径F=qvB=mv2/R
R=mv/(qB)
(2)回旋周期回旋周期与粒子的运动速度无关,
F
R
v+?
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
B
3.v 与 B 不平行不垂直
hh
θ v
将速度 v分解为与磁场 B垂直的分量 v?
v?v
=vsinθ
和平行分量 v‖
v‖ =vcosθ
因 v?,粒子作匀速率圆周运动,
因 v‖,粒子作匀速直线运动,
故带电粒子匀速螺旋运动(1)回转半径
(3)螺距 h=v‖
T
R
R=mv?/(qB)=mvsinθ/(qB)
(2)回旋周期 T=2πm/(qB)
=2πmvcosθ/(qB)
B
v‖
3.磁聚焦 A C
h
叠加上热运动,纵向速度基本相同,横向速度不同,粒子束平行进入磁场后,散开,经一螺距后汇聚,
一粒子束经加速后,
纵向速度三,带电粒子在非均匀磁场中的运动粒子约束其间,
3.磁约束 磁瓶
(纺锤状磁场 )
两端 B强,
B弱,
BB大,h小,说明向 B 强方向分速度 变小,粒子受力指向 B弱处,
1.粒子受力指向 B 弱处
v
+?
F
带电粒子受磁场力只改变 v
方向,不改变 v大小,故带电粒子一般作变螺距的螺旋运动,
2.作变螺距的螺旋运动中间
× × ×
× × ×
× × ×
×
B
四,带电粒子在电磁场空间中的运动
1.速度选择器
Fe
Fm+? v
(1)装置B?E,v?E,
v?B,使得 v× B与 E反向,
(2)原理
F=q(E+v× B )=0因 v× B与 E反向,如
Fe=qE,Fm=qv× B.
则通过极板空间粒子速率为
v=E/B
当 v?E/B时粒子偏转,打到电极板上,不能通过极板空间,
2.回旋加速器
D形盒电磁铁电磁铁带电粒子源
(1)装置引出加速器使粒子旋转加速
~
偏转电极电磁铁 产生强大磁场 ;
D形真空盒 接高频交变电压,
偏转电极 把粒子
(2)原理磁场使粒子拐弯
R=mv/(qB)
=v/[(q/m)B]
q/m,带电粒子比荷半周期
T/2=πm/(qB)
电场给粒子加速电场变化的频率ν=1/T=qB/(2πm)
引出粒子的速率和动能
v=RB(q/m)
Ek=mv2/2=R2B2q2/(2m)
R:粒子旋转半径随着粒子运动速度的变大,粒子质量变大,周期变大,使粒子旋转周期与电场变化频率不匹配,达不到加速的效果,采用变频频率
(3)相对论效应的影响因粒子旋转周期与质量有关
m=m0/(1–v2/c2)1/2
ν=1/T =qB/(2πm)
=qB(1–v2/c2)1/2/(2πm0)
的同步回旋加速器可使粒子的动能达到几千亿电子伏特,
例 1(P222 7.9)一台用来加速氘核的回旋加速器的 D 形盒直径为 75
cm两磁极可产生 1.5T的均匀磁场,
氘核的质量为 3.34× 10–27kg,电量是质子电量,求,(1)交流电源的频率 ;(2)出射氘核动能为多少 MeV.
ν=qB/(2πm)解,(1) =eB/(2πm)
=1.144× 107Hz(2)E
k=R2B2e2/(2m) =7.58MeV
五,霍耳效应
1.霍耳现象薄片通有电流时,在两边出现电势差的现象称 霍耳效应,
垂直磁场的导体
2.原理载流子受洛伦兹力 横向漂移,
B
Ih
b
UHv
以金属为例
Fm=–ev× B v× B 方向 向 内
Fm=evB 方向 向外
Fm
霍耳电场 EH
EH
方向向外电场力 Fe
Fe
方向向内电场力 Fe与磁场力 Fm平衡F
e=Fm eEH=evB EH=vBU
H=hEH=hvB而 I=nevS=nevhb
有 v=I/(nehb)
UH=hIB/(nehb) =IB/(neb)
写成一般形式 UH=IB/(nqb)
3.霍耳系数
(2).霍耳元件的霍耳灵敏度
UH =[1/(nq)](IB/b)
(1).霍耳系数 R=1/(nq)
取决于导电材料的固有性质,
=R(IB/b)
UH =[1/(nqb)](IB)
KH=1/(nqb)
取决于霍耳元件本身的 导电性质 nq与几何尺寸 b.
=KHIB
UH/I=B/(nqb)具有电阻量纲
(3).霍耳电阻 RH=B/(nqb)
UH =RHI
4.讨论载流子受磁力的方向在电流方向,磁场方向不变的条件下,正负载流子受磁场力的方向相同,这才使得霍耳电势差的极性不同,这是用于判断载流子正负的理论依据,
判断载流子正负,测电流,测磁场,测载流子浓度等,
5.用途例 2(P223 7.11)一铜片厚 =1.0mm,
放在 B=1.5T的磁场中,磁场方向垂直铜片,已知铜片每 cm3有 8.4× 1022
自由电子,每个电子电荷 –e=–
1.6× 10–19C,当铜片有 I=200A的电流时,(1)求铜片两侧电势差 U;
(2)铜片宽度 b对 U有无影响?为什么?
解,(1)UH=IB/(nqd)
=2.23× 10–5V
(2)铜片宽度 b对 U无影响,因
UH=bEH =bvB 虽与 b成正比,
然而 v=I/(nehb)却与 b成反比,
从而相互抵消的缘故,
2.5 载流导线在磁场中受力一,安培定律
1.电流元在磁场中受力
dF=dN nSdl
当 q>0,I=nqSv,v与 Idl同向
dF=nSdlqv× B=nqSvdl× B
dF=Idl× B
当 q<0,I=–nqSv,v与 Idl反向
dF=nSdlqv× B=–nqSvdl× B
dF=Idl× B
载流子受洛仑兹力的集体体现,
二,均匀磁场中的安培力
1.直线电流受力
BF
Idl
θ
大小 dF=Bdlsinθ
方向 dF,Idl,B满足右手螺旋,2.载流导线在磁场中受力
l I BlF d
B
Il θ
IdlF= (Idl× B)?l
=Il× B大小 F=Blsinθ
方向 F,Il,B满足右手螺旋,
2.曲线电流受力 B
I
I
l
F= (Idl× B)?l
F=I( dl)× B?l
根据矢量加法多边形法则,有
dl?l =l '
θ
l '
F=I( dl)× B?l
=Il'× B
曲线电流在 均匀 磁场中受力等于对应于端点间直线电流的受力,
F= qv× B
3.闭合电流受力
B
F= (Idl× B)?l
F=I( dl)× B?l
根据矢量加法多
dl?l =0
l
I
边形法则,有
F=I( dl)× B?l =0
闭合电流在 均匀 磁场受合力为零,4.闭合电流受磁力矩
(1)圆电流受磁力矩
I
R
Pm
B
θx
y
z取坐标 使圆电流在 zx平面内,磁矩
Pm沿 y轴 ; B在 xy
平面内,与 y轴 (即与 Pm)的夹角为 θ.
将 B分解为 B?(垂直于 Pm),B‖ (平行于 Pm),B?=Bsinθ,B‖ =Bcosθ
讨论 B?,B‖ 对圆电流的力矩,
B‖
z
I
B‖ 对电流元 Idl
的力沿径向,对圆电流 的力 在同一面内,抵消,
不产生力矩,
B?
z
I
dF '⊙
r?
dF?
d?
B?对任意两对称电流的力 dF,
dF '不在一平面内,产生力偶矩,
dF对 z轴力矩
dM=r× d
F
dF=Idl× B
dF=IB?Rd?sin?
dM=Rsin?dF =IB?R2sin2?d?
M= IB?R2sin2?d20 =IB?πR2
磁力矩使得左半圆电流向里运动,右半圆电流向外运动,
即磁力矩的方向向下,M,Pm,
B成右手螺旋,所以
M=IπR2Bsinθ=PmBsinθ
M=Pm× B
(2)矩形电流受磁力矩
θ
Il
1
l2
d
a
b c
B
B对 bc,da的 力
O
O'
对 ab,
分别为 F2,F4在
F2
F4
一直线上,不产生力矩,
cd 的 力分别为
F1,F3 不 在一 F1
F3
直线上,产生力矩,
⊙
P
m
BF1=F3=Il1B
M=M1+ M3=Il1l2Bsinθ
F1
F3
M1=M3 r
=Il1B(l2/2)sinθ
=Il1l2Bsinθ/2
M1,M3的方向垂直纸面向外,
=PmBsinθ
M的方向垂直纸面向外,M,
Pm,B成右手螺旋,所以
M=Pm× B
(3)任意闭合电流受磁力矩任意闭合电流在均匀磁场 B中所受磁力矩 M 等于线圈的磁矩 Pm
与磁感应强度 B 的矢量积,即
M=Pm× B
二,安培力的功
1.载流导线在均匀磁场中的平行导轨上运动安培力的功
F= (Idl× B)?l
=Il× B
F=IBl
A= F·dl?2
1
x
x
l
c
d
B
a
b
F
I
b'
a'Δx
=IBl|Δx| = –IBlΔx
取导轨回路与电流方向相同,
则回路所围面的法线向下,过回路的磁通为
SΦ SB d=–BS =–Blx
故 A=–IBlΔx =I(Φ2–Φ1)
2.载流线圈在均匀磁场中转动安培力的功
θ
I
B
O
O'⊙
P
m
BM ⊙
载流线圈的安培力矩使 θ(Pm与 B夹角 )
变小,即 M与 dθ反向 A= M·dθ?2
1
= Mdθcosπ?2
1
= IdΦ?2
1
Φ
Φ
安培力的的功等于回路中的电流乘以通过回路磁通量的增量,
=IΔΦ =I(Φ2–Φ1)
3.推广,安培力的功
Am=IΔΦ =I(Φ2–Φ1)
此结论适用于 任何磁场及任何电流 (稳恒,非稳恒 ).
三,平行电流间的安培力,电流单位 ‘ 安培 ’ 的定义
1.平行电流间的安培力
a
I1 I2I1在 I2处产生的磁场 B方向向里,大小为
B=μ0I1/(2πa)
I2dl受的磁场力 dF方向向左,
即 I1,I2同向为引力 (I1,I2反向为斥力 ),大小为
dF=BI2dl =μ0I1I2dl/(2πa)
单位长度导线受的安培力
dF/dl=μ0I1I2/(2πa)
2.电流单位 ‘ 安培 ’ 的定义真空中两无限长直等电流的平行导线相距 1m,其电流使得每导线单位长度受的安培力为 2× 10–7N
时,导线中的电流为 1A(安培 ).
dF/dl=μ0I1I2/(2πa)
μ0=2πa(dF/dl)/I2
=2π× 1× 2× 10–7/12
=4π× 10–7N·A–2例 1.如图,无限长直电流 I
1与半径为 R的圆电流 I
2在同一平面内,直电流与圆电流圆心相距 d,且 R<d.
求作用在圆电流上的磁场力,
I1
d
R
I2
解,取如图所示的坐标 和电流元 xθ
I2dl
dF
dF=I2dlBsin90o
= μ0I1I2dl2π(d+Rcosθ)
dFx=dFcosθ =μ0I1I2Rdθcosθ2π(d+Rcosθ)
dFy=dFsinθ =μ0I1I2Rdθsinθ2π(d+Rcosθ)
Fx=∫dFx =μ0I1I22π20 Rcosθdθd+Rcosθ
μ0I1I2
2π=?
2
0 dθ–
ddθ
d+Rcosθ?
2
0
= μ0I1I2[(1–d/(d2+R2)1/2]
Fy=∫dFy =μ0I1I22π20 Rsinθdθd+Rcosθ
=[μ0I1I2/(2π)]ln(d+Rcosθ)?20 =0
故 F=i μ0I1I2[(1–d/(d2+R2)1/2]
例 2.如图,金属杆 OA可绕端点 O在半径为 R圆形轨道上转动,均匀磁场 B 垂直轨道平面,今使金属杆的电流为 I,求作用在金属杆上的磁力矩,
× × ×
× × × ×
× × × ×
× × ×
× × × ×
× × × ×
× × ×
B
I Idl
dF
解,取如图所示电流元dF=Idl× B
dF=IBdlsin(π/2)
=IBdr
dM=r× dF
dM=rdFsin(π/2)
=IBrdr方向向外,其合磁力矩大小为 M= IBrdr?R
0 =IBR
2/2
方向向外,即磁力矩能使金属杆作逆时针转动例 3.边长 a=10cm的正方形铜线圈
(导 线 截 面 积 S=2.00mm2,铜密度
ρ =8.90g/cm3),放在竖直向上的均匀磁场 B中,B=9.40?10?3T,线圈电流
I=10A.线圈在重力场中,求,(1)今使线圈平面保持竖直,则线圈所受的磁力矩,(2)设线圈能以一水平边为轴自由摆动,当线圈平衡时,
(2)平衡时磁力矩
B
I
线圈平面与竖直面的夹角,
解,(1)Pm=IS=Ia2
方向 垂直 线圈平面,
若线圈平面铅直,即
Pm?B.有 Mm=Pm× B
Mm=PmBsin(?/2)=Ia2B
=9.4× 10–4m?N
π/2?θ B
n θ
mg
mg mg
=2(?Sa)gasin?=2?Sa2gsin?
Ia2Bcos?=2?Sa2gsin?
Mm=PmBsin(π/2–θ)
=Ia2Bcos?
重力矩 MG=
=mg(a/2)sin?+
+mgasin?+
+mg(a/2)sin?
tan?=IB/(2?Sg)=0.2694
=15?
2.6磁场中的磁介质一,磁场与物质的三种作用
1,抗磁效应介质磁化使原磁场减弱,
对应介质 抗磁质,
2,顺磁效应介质磁化使原磁场加强,
对应介质 顺磁质,
3.铁磁效应介质磁化使原磁场大大加强,
对应介质 铁磁质,
弱磁效应强磁效应二,弱磁质的磁化1,分子磁矩电子轨道运动 (占主导成分 )与自旋运动产生磁矩的矢量和,
核运动产生磁矩忽略,
没磁化时为分子固有磁矩 pm
固有磁矩 pm=0抗磁质分子固有磁矩 pm?0顺磁质分子
2,抗磁质的磁化 (抗磁效应 )
无磁场 时,因 pm
=0,不呈磁性 ;
加磁场 时,
B
电子轨道磁矩
i
v
pm受磁力矩,M=p
m× B
⊙
M
引起进动,产生产生附加磁矩,
Δpm
减弱原磁场,
3,顺磁质的磁化 (顺磁效应 )
无磁场时,热运动使 分子固有磁矩 pm排列杂乱,不呈磁性 ;
加磁场 时,力有磁矩 pm沿磁场有 B
分子固有磁矩 pm
图沿磁场取向,使 固正投影,加强原磁场,
抗磁效应存在于所有介质中,
而顺磁效应只存在顺磁介质中
4,结论产生磁 化电流 介质磁化后,分子磁矩或排列‘整齐’,或产生附加磁矩,但效果都是分子圆 于是宏观上出现电流产生的,磁 化电流,也称束缚电流,
对于 各向同性均匀介质,
磁化电流只出出现在表面,
影响原磁场,
磁化现象 在外磁场作用下,介质中出现磁化电流,从而影响外磁场的现象,
三,磁化强度矢量 M
描述磁化强弱的物理量顺磁质分子 磁矩 pm排列的有序程度,抗磁质分子 附加磁矩?pm
的大小反映介质磁化程度
1.定义 M=
式中 pmi是 分子磁矩或 附加磁矩,
子磁矩的矢量和为 Σpmi
取微小体积元?V
V所中有分单位 A·m–1
与面电流的线密度同单位
2.磁化电流,磁化强度的关系
(1)逐点 关系
M取长 dl,底面积 ΔS 微小正圆柱体 (可认为介质均匀磁化 ),
dlS
MdI'
在磁化介质内顺侧面磁化电流 j'dl是圆电流
.有|Σp
mi |=dI'ΔS=j'dlΔS=j'ΔV
|M|=|Σpmi|/?V=j'
考虑方向,设有磁化电流的侧面法向为 n,有
j '=M × n
Σpmi /?V
某处磁化面电流线密度 j ' 等于该处磁化强度 M与面法线单位矢量 n的矢量积,
(2)整体关系 某闭合回路所包围的磁化电流,便于理解,以无线长螺旋管内充满各向同性均匀介质为例,
螺旋管通电流后,
M
I '
介质磁化,
取矩形闭合回回路,
L
它包围的磁化电流为
I 'int=j'l=L lM d
当 j '与回路成右手螺旋时,为正 ;反之为负,
四,介质中安培环路定理
1.介质中的磁场外场 B0,磁化电流的场 B',
合磁场 B=B0+B '
2.介质中安培环路定理
B·d l=μ0ΣI 'int?l =μ0(I0+I')
=μ0(I0+ M·dl)?l
B/μ0 ·dl–M?l =I0
3.磁场强度矢量
(1)定义 H=B/μ0–M
描述磁场的辅助物理量
H·d l=ΣI0int?l
磁场强度沿闭合回路的积分等于回路内传导电流 I0int的代数和单位,A/m
(2)说明,
① 磁场强度矢量 不仅取决于环路内传导电流,还取决于环路外的传导电流,而且与整个空间的 磁化电流 有关 ;
② 过闭合 环路 H 的环流只与环路内的传导电流有关,
μr2 μr2
γ
μr1
E
b
⊙
率为?,电场强度为 E,方向如图,
平板的相对磁导率为 μ r1,平板两侧充满相对磁导率为 μ r2的各向同性的均匀磁介质,试求板内外任意点的磁感应强度,
4,H,B,M 间的 关系
(1)普遍关系 H=B/μ0–M
(2)各向同性介质中的 关系
① H,B,M 的关系实验指出,在各向同性介质中
M与 H成正比,M=χmH
② 磁化率 χm 只与介质有关,
H=B/μ0–M =B/μ0–χmH
B=μ0(1+χm)H
是一个无量纲的纯数,
③ 相对 磁导率 μr μr=1+χm
=μ0 μrH
④ 磁导率 μ μ=μ0 μr
=μH
与介质有关的量,
⑤ 真空中 χm=0,
μr=1,μ=μ0.
例 1.厚为 b的无限大平板中通有一个方向的电流,平板内各点的电导解,设场点距中心面 x,因磁场面对称,以中心面为对称,过场点作矩形环路,有?
l lH d=ΣI0 2?lH=ΣI0
(1)介质内,–b/2<x<b/2ΣI
0 =2xJ?l=2xγE?l有
B=?0?r1H
H=xγE
=?0?r1xγE
(2)介质外,?x?>b/2
ΣI0=bJ?l=bγE?l
有 H=bγE/2B=?
0?r2H =?0?r2bγE/2
例 2.一同轴电缆由半径 R1的长导线和套在它外面的半径 R2的同轴薄导体圆筒组成,中间充满磁化率 χ m的各向同性均匀非铁磁绝缘介质,如图所示,传导电流沿导线向上流去,由圆筒向下流回,电流在截面上均匀分布,求介质内外表面磁化电流的大小及方向,
I Iχm
OR2 R1解,因磁场柱对称,取同轴的圆形 安培环路,有?
l lH d=ΣI0
在介质中 (R1?r?R2) ΣI0 =I
有 2?rH=I
介质内的磁化强度 M=χ
mH =χmI/(2πr)介质内表面的磁化电流
J'R1=?MR1× nR1?
=?MR1?=χmI/(2πR1)
I'R1=J'R1?2?R1=?mI (与 I同向 )
介质外表面的磁化电流
J'R2=?MR2× nR2?
=?MR2?=χmI/(2πR2)
I'R2=J'R2?2?R2=?mI (与 I反向 )
五,铁磁质简介
(1)χm,μr,μ不是常量随 H而变 ;
(2)B与 H不成正比,B不是 H
的单值函数 ;
(3)外场停止作用后有剩磁 ;
(4)温度升高到居里点时铁磁质变为顺磁质,
1.特点
2.磁滞回线
0 5 101520
磁通计
A
(1)测量装置
H=I/(2πr)
(3) μr-H线
(2)起始磁化曲线
H
B
① H小时,B随
H正比增大 ;
② H稍大时,B
随 H开始急剧地增大 ;
③ H再大时 B随 H缓慢地增大 ;
④ H大某值时,B几乎不增大,
达到磁饱和,μr B
H
如按 B=μrH算出,
则 μr-H不是直线,
B-H
μr-H
(4)磁滞回线
① H变小时,B随 H不原路减小 ;
H为零时,B不为零 ;② 剩磁 Br
Br
要 B=0,加反向 H;③ 矫顽力 Hc
Hc
④ H在某正负值之间变化时,
B-H线走闭合曲线 (磁滞回线 ).
3.磁畴理论(1)磁畴 铁磁质原子间很强的电子交换耦合,使原子磁矩整齐排列形成体积约 10–12m(含
1012~1015个原子 )的磁化区,
(2)磁畴理论解释铁磁质磁化没磁化时 各磁畴取向杂乱,宏观不显磁性,
加外磁场 自发磁化方向在外场有正投影磁畴体积变大,负投影磁畴变小 ; 外磁场增大,负投影磁畴消失 ;继续增大外场,磁化方向转向外场,达到饱和,
减小外磁场 因摩擦及内应力,不能逆向进行,出现剩磁及矫顽力现象,
加温及强烈震动 分子运动加剧使磁畴克服应力及摩擦,退磁,
加温到居里点 磁畴瓦解,铁磁质变为顺磁质,
4.铁磁质分类
Hc很大,
Br很大,适用于作永久磁铁 ;
Hc很小,
Br很小,适用于作变压器及电机等的铁心,
磁滞回线近似为矩形适用于作二进制记忆元件,
(1)以矫顽力分类硬磁材料软磁材料
(2)以磁滞回线分类矩磁材料
