第一章 静电场第五篇 电磁学第二章 稳恒电流的磁场第三章 电磁感应第四章 电磁场和电磁波
GA
3.1 电磁感应定律一,电磁感应现象法拉第于 1831年 8月 29日发现了 电磁感应现象表明电磁感应现象的实验：
1.一 通电线圈电流的变化使另一线圈产生电流,
+
B_
K
电键 K闭合和断开的瞬间线圈 A中电流计指针发生偏转
2,闭合电路的一部分切割磁感线也产生感应电流,
3,闭合线圈在磁场中平动和转动或者改变面积时,闭合线圈中产生感应电流,
4,磁铁运动引起感应电流磁铁与线圈有相对运动时，
电流计的指针发生偏转
A
G
SNSN
结论,当穿过一个闭合导体回路的磁通量发生变化时，
不管这种变化是由于什么如果回路由 N匝密绕线圈组成，且穿过每匝线圈的磁通量都等于 Φ,则磁通匝数 (也称磁链 )
计算在时间间隔 Δ t=t2-t1
内，由于电磁感应流过回路的电荷
tN d
d N
21 dtt tIq ttRtt ddd121
21 d1R )(1 21 R
取 k=1 tddi
td
d
i
三,楞次定律
1833年 11月,俄国物理学家楞次发现了所谓楞次定律,
二,电磁感应定律叫做 感应电动势,
原因引起的，回路中就有电流。
这种现象叫做 电磁感应现象,
电磁感应定律 常称为 法拉第电磁感应定律：
当穿过闭合回路所围面积的 磁通量发生变化 时,不论这种变化是什么原因引起的,回路中都会建立起 感应电动势,且此 感应电动势正比于磁通量对时间的变化率的负值,
tk d
d即?
i
回路中所出现的电流叫做 感应电流,回路中的电动势由楞次定律判定感应电动势
(或感应电流 )的方向,
ε i < 0
ε i
N
B
回路绕行方向
n
1.先规定回路的正方向 ;
2,确定? 的正负 ;
φ> 0,
3,确定 d? 的正负 ;
dφ>0,
4.确定?i的正负,
(确定回路法线的正向 )
( B与 n 相同取正 )
(B变大 d?为正 )
v
i >0 时,?i 与回路绕行方向相同；反之相反,
楞次定律,闭合回路中的感应电流的 方向,总是企图 使感应电流本身所产生的通过回路面积的磁通量,去 抵偿 引起感应电流的磁通量的改变,
为方便讨论,作有关规定,
1.回路的绕行方向 L与回路的正法线 n 的方向关系,遵守右手螺旋定则,
L
n
2.电动势方向与回路绕行方向的关系,
楞次定律的讨论,
× × × ×
×
× × ×
× ×
× × × ×
×
× × ×
× ×
选取逆时针为回路方向
Q
R
P
O
v
P?
O?
vL
则 Φ ＜ 0，
穿过此回路的磁通为负值,
导线 OP 向右运动,
0dd?t?则由法拉第定律,ε i > 0，
导线切割磁感线的情形回路绕行方向
Φ > 0,
N
B
n
d? < 0,?i > 0
v
可见感应电流产生的磁场穿过回路面积的磁通量，总是抵消原磁通量的变化 — 楞次定律。
法拉第定律中的负号反映这种抵抗。
由法拉第定律,ti dd
i 与回路反方向,
又例,
ε i
令?m = NBS? 上式为,
感应电流,
= Imsin
t
tRi?sin
t
n
B
O?
O
Ri
N? =?m sin?t
例,交流发电机 的原理即 ε i方向与回路的绕行方向相同,也为逆时针,
由楞次定律,磁通向里增加 →
感应电流产生的磁场阻碍其增加→ 磁场方向向外 → 感应电流 (电动势 )逆时针,
实质上楞次定律是能量守恒定律的一种表现,
设 t=0时,线圈法矢 n与磁场
B方向相同,
t 时刻,夹角? =?t
穿过 N匝线圈的磁链? = N? = NBS cos?t
tN B St s indd
× × × ×
×
× × ×
× ×
× × × ×
×
× × ×
× ×
Q
R
P
O
P?
O?
vii
由法拉第定律,
O x
|?i | tBSt d )(ddd tSB dd?
而 S = OP x = l x
|?i
|
vBltxBl dd
2,动生电动势动生电动势可由洛伦兹力给出解释,并得出表达式,
3-2 动生电动势和感生电动势故感应电动势由回路所围面积的 磁通量 所决定,
通常把由于磁感强度变化引起的感应电动势称为,感生电动势,
把由于回路所围面积的变化或面积取向变化而引起的感应磁通量由,磁感强度、回路面积以及面积在磁场中的取向 决定,
电动势称为,动生电动势,
由法拉第定律,tdd
而 S SB d?
一,动生电动势
1,直导线在均匀磁场中切割磁感线 (复习 )
洛伦兹力 Fm为非静电力，
相应有非静电场 Ek.
BveFE mk
由电动势的定义,
lE kOP di OP lBv d)(
对直导线,
L lvB0 d?i vBL?例 1 一根长度为 L的铜棒,在磁感强度为 B的均匀磁场中,
以角速度 ω 在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端? 作匀速转动,试求在铜棒两端的感应电动势,
解：在铜棒上取线元 dl,dl
的速度为 v,dl 两端的
P
O
i
BveF m )(
0 em FF即在稳定情况下，电子受力平衡
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
B＋ ＋＋
eF
--- mF
v- e?
故 O端累积负电子,P端有正电子,
Ek
电子以速度 v 运动,受洛伦兹力导线内建立静电场,电子静电力 Fe
P
O
例 2.直导线在非均匀磁场中如图,导线 AB长为 L,在无限长直载流导线右侧运动,求动生电动势?i 和电势差 UB-UA=?
I A B
v
× ×
× ×
× ×
解,已知电流产生的磁场方向向里在直导线上取线元 d r
d?i rBv d)( = vBd r
dr
rA
rB
A B
i
dr 以速度 v 运动,则
× ×
× ×
×× × × ×× × × ×
× × ×
× × × × ×
× × × × ×
×
× × × × ×
× × × × ×
×
× × × × ×
× × × × ×
×
× × × × ×
× × × × ×
×
× × × ×
× × × ×
× ×
× × × ×
× × × ×
× ×
× × ×
× × ×
× × ×
× ×
× ×
× ×
× × × ×
× × × ×
× ×× × × × ×
× × × × ×
×
× × ×
× × ×
×
ω
υ
P
O
lBv d)( lBv d?
i=∫ ld
i
d?i
铜棒的电动势是各线元电动势之和 L llB
0 d
L lvB
0 d
2
2
1 LB
动生电动势的方向由 O指向
P,O端带负电,P端带正电,
动生电动势为：
L llB 0 d?
若直导线沿如下图方向运动,则总是如何?
I
× ×
× ×
× ×A
B
v
同样在 AB上取 d l
d
l
d?i lBv d)( = vBd l
r
IB
2
0?
BA lBv d?i=∫ ld?i BA lrIv d2 0
lrIv2 0?
而,
从 A→B
r
IB
2
0?
i=∫ ld?i BA lBv d B
A
r
r rr
Iv d
2
0
A
B
r
rIv ln
2
0
直导线中电动势? > 0，故与 d
r 同方向,从 A指向 B.在 B端累积而 d r 离 I 为 r,则 dr 处 B
的大小为正电荷,A端累积负电荷,
即,UB－ UA =?i
所以,
UA－ UB
A
B
r
rIv ln
2
0
dS=ydx=[(a+b?x)l/b]dx
负号表示逆时针
sm sdB
l dxb xbaxIba
a
2
0
ba bababIl ln)(2 0
dt
dIb
a
baba
b
l
dt
d m?
ln)(
2 0?
V81018.5
C
A
I
ba
l
x
y
v讨论,若 I不变,如图,
求感应电动势例 3.如图所示，长直导线 AC中解,取顺时针为三角形回路电动势正向,得三角形面法线垂直纸面向里,取窄条面积微元
（ a=5cm,b=10cm )
的电流 I沿导线向上，并以 dI
/dt = 2 A/s的变化率均匀增长,
导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示,求此线框中产生的感应电动势的大小和方向,
l
C
A
I
ba
l
x
y
用法拉第定律求,回路面积为,
222
8
2c o ss i n
2
1
2
1 rrrS
计算磁通量时,设回路面积法线与磁感强度方向之夹角为 φ,
c o s8 2 2rBm
s i n8 2 2rBdtddd ma b d a
28 2 rBab
0,0 bdad由于
28 2 rBabda得
2/ t令故有也可用切割概念求,
40 )90cos ()2s i ns i n( rdBrab?
b
x
bx
bx
b
Il
dt
d
dt
d m
'
'
ln)'(
2
( 0
va baaaIl ln112 0
方向,顺时针,
方法二,由切割概念求,先求各边的感应电动势,再求代数和,
欲求任意时刻的感应电动势,
令 x’=a+vt即可求得,
rθ
o
d b
a B
当弧 ab以 ω 绕
oa轴转到如图位置时,求弧 ab
导线上的感应电动势
45?
感生电场比感生电动势更本质,无论是否有导线回路,若存在变化的磁场,就一定有感生电场存在,
感生电场 Ek与静电场的比较,
相同点,两者都对电荷有力的作用 ;
不同点,
(1)静电场是由电荷激发的,
感生电场是变化的磁场激发的 ;
(2)静电场线不闭合,感生电场线是闭合的（有旋电场）
(3)感生电场不是保守场,不能引入势的概念 ;
2.感生电动势二,感生电动势
td
d
i S SBt
d
d
d
由法拉第定律,
考虑由磁感强度 B 变化引起的感应电动势 (感生电动势 )
麦克斯韦假设：变化的磁场在其周围空间激发了一种电场，
叫做感生电场（涡旋电场）,变化的磁场 B(t),在闭合导线回路中产生感应电流,必定存在感应电动势,引入电场 (感生电场 )
1,感生电场 (又叫涡旋电场 Ek )
(电动势的定义,?i= ∮ Ek·dl,
—Ek为非静电场 )
E旋
t
B
Ek?
×××
××××
××× )(tBB
3,空间的总电场
E = E库 + E旋
S
qSdE
0?
库 (有源场 )
S SdE 0 旋 (无源场 )
l
lE 0d 库 (有势无旋 )
StBlE S
l
dd?
旋
(有旋无势 )
由电动势的定义和法拉第定律,
tlEl k d
dd
i
lEl k di 叫感生电动势又因为,tldEl k dd
SBt S ddd StBS?
d
所以
lEl k di StBS?
d
从上式可见,感生电场的环流不等于零,为非保守场,
并且 E旋 是由 激发,两者满足左手关系,
t
B
针取逆时针圆环回路通过
P点,
则解：①由左手关系,Ek为逆时
O
R
StBlE
Sl
k
d
d
dd
× × ×
× × ×
×
× ×
× P?r
Ek 2?r
S
StB dc osdd?
2
d
d r
t
B
d
a
c
Ek
Ek?
'o
'x
d
x
l
lBv d)(
(1)?动 是由洛伦兹力形成的,?旋 是由变化磁场形成的 ;
(2) 由于参考系的选取,
有时?动 可转化为?旋 ;
(3) 在同一参考系,同一导体回路中,?动 与?旋 是独立的 ;
(4) 电磁感应定律可写为,
i = StBS?
d
4,感生电动势与动生电动势在半径为 R 的圆内,B(t)的方向如图所示,dB/dt=常数且大于零,求①感生电场 Ek
的分布 ;② 和
(ac=2L=R,ad=2R)
ad?ac
例：
ac LLdxLRdtdB 2221
dt
dBLRL 22 a c
cd dxE?cos旋
ad再求
cd
dxdtdBrRdc?c o s2
2?
2
3
6
2
c o s'c o s)c o s/'(2
doo
dt
dB
oo
R
dt
dBR
12
2
ad +?cd=?ac
c d
a d
dt
dBR
dt
dBR
124
3 22
)33(4 2dtdBR
故 P点,tBrE k dd2? ( r < R)
同理对 Q点,作半径为 r 的圆环,
Ek 2?r
S
StB dc osdd?
2
d
d R
t
B
t
B
r
RE
k d
d
2
2?
( r > R)
②?ac求线元 dx上的元电动势为 d?= dxEldE?c o s
旋旋
dxr LRdtdBr
22
2
得电子运动轨道半径为这里洛伦兹力只改变电子运方向,
不改变速度大小,我们要在 R不变的条件下,靠变化磁场产生的涡旋电场的作用下使电子加速,
要使电子不断加速,必须考虑两个问题：第一,如何使电子的运动稳定在某个圆形轨道上,第二,如何使电子在圆形轨道上只被加速,而不因涡旋电场方向的变化被减速,
R=mv/?B
第一个问题,使电子稳定在圆形轨道上运动,
由动量定理,P = mv = ReB
对时间求导 t
BRe
t
p
d
d
d
d?
电子轨道
··· · ·
··· · ·
··· · ·
··· · ·
··· · ·
B
环形真空室三,电子感应加速器即
R
vmevB 2?
F? v?
-e?
1.结构及原理图内有均匀变化的磁场 B(t)
当电子以速度 v 运动时,
受力 F洛 BveF洛电子在环形室内作圆周运动,
圆形区域真空环形室内电子轨道处的磁感强度增长率应为平均磁感强 度增长率的一半,能保证电子在圆轨道上作稳定运动,
第二个问题,如何保证电子只被加速,而不被减速,
设电磁铁的激磁电流是时间的正弦函数,即 B(t)为正弦函数,tBRE k dd?
若 Ek在第一个 1/4周期对电子加速,则在下一个 1/4周期对电子减速,
t
B
O
T/2 T
有旋电场的绕向
keEFt
p
d
d又
)1(dd tBRE k?
所以,
稳定加速条件一般用环形区域内的表示 Ek t
B
d
d
由,tlEl k ddd
考虑电子环绕半径不变,并只考虑大小,
tRE k d
d2
tRE k d
d
2
1?
引入平均磁感强度 BR 2
)2(dd2dd2 1 2 tBRtBRRE k
比较 (1),(2) tBtB dd21dd?
(1)热效应 大块金属中的电流应炉 — 待冶炼的金属块中的涡流使金属块溶化,
优点,在物料内部各处同时加热；可以在真空中加热，避免氧化；只加热导体等,
原理：整块金属电阻很小 —
涡电流大,产生的热量多；
产生 热量 以资利用,如工频感涡电流与交变电流的频率成正比 — 高频电炉,
(2)电磁阻尼金属板在磁场中运动时产生涡流,而涡流同时又受磁场安培力的作用，阻碍相对运动 。
例如,电磁仪表中指针的定位解决的方法,使电子注入时已有一定的速率（例如用电子枪使电子通过 50kv电压的预加速）,使得在 1/4周期内电子在感应加速器内转上百万圈,
思考,进一步加速电子是否会受限制,
较好的选择是,在第一个 1/4
周期内完成加速,
答,电子要辐射能量四,涡电流
1.现象大块金属导体放在变化的磁场中,或在磁场中运动,导体内产生 感应电流,此电流自行闭合,故叫 涡电流,简称涡流,
2,涡流的应用
2
I2
I1
1
由回路 2中的电流 I2 的变化,而在回路 1引起的感应电动势叫互感电动势，用
12表示,
一,自感电动势 自感
1,自感系数设回路中的电流为 I,
I
则通过回路的磁通为?
而? ∝ B
由于 B∝ I
∝ I
变压器和电机中的 铁心 会产生涡流。 既浪费能源,又容易 损坏设备,
3,涡流的负面效应对于高频器件，如收音机中的磁性天线、中频变压器等，采用半导体磁性材料做磁心,
所以，常常采用彼此绝缘的硅钢片叠合成铁心,
12-3 自感和互感仅由回路自身电流 I 的变化而引起磁通量的变化,从而在自身回路中产生的感应电动势叫自感电动势?L,
从上式可见,自感在数值上等于回路电流变化率为 1单位时,在回路中所引起的自感电动势的绝对值,
自感的单位,亨利,符号 H,
3,关于自感的一点说明自感 L 是电路的固有特性
(电惯性 )的量度,
tIL d/d
L
上述定义式提供了一个用实验测量 L 的依据,
式中负号是楞次定律的数学表示,它指出,将反抗回路中电流的改变 (非反抗电流 I).
L
2,自感电动势当回路有 N匝线圈时,引入磁通链数,Ψ = NΦ = LI
实验表明,L与回路形状,大小
L为自感系数,简称自感,
引入比例系数 L 则? = LI
穿过此线圈中的磁通链数,
以及周围介质的磁导率有关,
从上式可见,自感在数值上等于回路中的电流为 1个单位时,
由法拉第定律,
L tdd )dddd( tLItIL
一般情况下 L为常量,故,
L tIL dd
IlNINS SlN
2
对螺线管有,n = N/l,
V = l S
VnL 2
例 2.如图所示,有两个同轴圆筒形导体,其半径分别为 R1,和 R2通过它们的电流均为 I,但电流的流向相反,设在两圆筒间充满磁导率为 μ 的均匀磁介质,
试求其自感,
解：两圆筒之间任一点的磁感强度为 rIB2?
有一长密绕直螺线管,长度为 l,横截面积为 S,线圈的总匝数为 N,管中介质的磁导率为 μ,试求其自感 L,
解 对于长直螺线管,若通有电流 I,长直螺线管内部磁场
I
N B S
I
NL 1?
磁通匝数? = NΦ 1= LI
可看作均匀的,磁感强度的大小为
B 的方向与螺线管的轴线平行穿过每匝线圈的磁通为
ISlNBS1
所以自感为
IlNB
例 1,
穿过面 PQRS 的磁通量为,
d
长度为 l 的部分的自感为
IL
1
2ln
2 R
RIl
穿过面元 dS = ldr 的磁通量为
rBl d?
rlrIRR d22
1?
21 d2 RR rrIl
1
2ln
2 R
Rl
SB dd
单位长度的自感为,
1
2ln
2 R
R
在两圆筒间取长为 l 的面
PQRS，并分成许多小面积元
Q R
P S
l
R2
I
I r
dr
B
R1
R2
drr
B
B
同理,线圈 2中电流 I2所激发的磁场穿过线圈 1的磁通
Φ 12为 Φ 12= M12 I2
其中 M12是比例系数理论和实验都表明,
M12 = M21 = M
所以,Φ
12= M
I2
Φ 21= M I1
定义,
2
12
1
21
IIM
叫互感系数,简称互感,
实验表明,M =M21=M12只由两线圈的形状,大小,
匝数,相对位置以及周围磁介质的磁导率决定,
二,互感电动势 互感流 I1所激发的磁场穿过线圈 2
或者,Φ 21= M21 I1
其中 M21是比例系数
I1
1
I2
2
1.互感现象及互感系数当两线圈靠近时,线圈 1中电磁通量为 Φ 21
若 I1变化,则 Φ 21变化,必有
Φ 21? I1
解,设电流 I1通过半径为 r1的螺线管,此螺线管内的磁感强度为,110 In
两螺线管间 B =
0,
1
1
01 Il
NB
N1
N2
r2
r1
l
考虑螺线管是密绕的,
于是,穿过半径为 r2的螺线管的磁通匝数为,
212N? )( 2112 rBN
td
d 21
td
d 12
互感的意义：
表明两线圈相互感应的强弱,
互感的单位,亨利（ H）
t
IM
d
d 1
t
IM
d
d 2
2,互感电动势负号表在一个线圈中所引起的互感电动势,要反抗另一线圈中电流的变化。
21
12
例 3两长直密绕螺线管互感有两个长度均为 l,半径分别为 r1和 r2 ( 且 r1＜ r2 ),匝数分别为 N1和 N2的同轴密绕螺线管,试计算它们的互感,
N1
N2
r2
r1
l
讨论,两线圈的自感与互感的关系?
由于对有 N1 匝的线圈,
VnL 2101
VnL 2
)( 21210 rln
对有 N2 匝的线圈,
VnL 2202 )( 22220 rln
)( 21210 rlnn
可得互感为
In 220
可得互感为
I2产生的磁感强度为,
结论,M12 = M21 = M,
M并有确定的值,
I
NM
1
21221
INB l 2202
若设电流 I2通过关系为 r2的线圈,可计算互感 M12
而此时穿过半径为 r1的螺线管内的磁通匝数为,
121 N? )( 2121 rBN
)( 2121 rBln 220211 )( Inrln
)( 21210 rlnn
I
NM
2
12112
)( 2112 rlBn 110212 )( Inrln
l
d
b
O x
I
于是,穿过此矩形线框的磁通量为
S SB d? xlxI
bd
d
d2
bd
d x
dxIl
2 d
bdIl ln
2?
则互感为
:
IM
d
bdl ln
2?
x dx
而两线圈的互感为,
)( 21210 rlnnM
比较得,21 LLkM?
其中 0≤ k ≤1
由上面知,若 r1 = r2,则 k = 1,
称为 两线圈完全耦合,k 为耦合系数,
在磁导率为? 的均匀无限大的磁介质中,有一无限长直导线,
与一 长宽分别为 l 和 b 的矩形线圈处在同一平面内,直导线与矩形线圈的一侧平行,且相距为 d,
求它们的互感,
解：设在直导线内通有电流 I
在距直导线 x 处取面积元 ldx
此处的磁感强度为 xIB2?
例 4,
12-4 磁场的能量已知对电容充电过程所作的功等于电容的储能 。
C
QCUQUW
e
22
2
1
2
1
2
1
电容的能量实际上是储存在两极板之间的电场中的,
+
-?
K R
L
I
+
-
L
用自感电路来研究磁场能量的建立,考虑电流增长过程,
当开关 K闭合时,在 L有电动势一,自感的储能我们同样设直导线内通有电流 I.
所以它们的互感 M = 0.
I l
b/2 b/2
问,若长直导线与矩形线圈如下图放置,互感如何?
由于对称性穿过矩形线框的磁通量 Φ =0
求自感互感方法小结,
1,先假定一导线 (或线圈 )
通有电流 I ;
2,计算由此电流激发的磁场穿过某回路的磁通 ;
3,由磁通和电流的关系求出自感或互感 ;
2
2
1 LI 则为电源反抗自感电动势而做的功它作为磁能被储存,或说转化为磁场的能量,
磁能的建立过程满足能量守恒,
结论,对自感为 L的线圈,
储能为,2
2
1 LIW
m?
二,磁场能量密度自感储能为,221 LIW m?
如对体积为 V的长直螺线管,
VnL 2 nIB
则管内的磁场能量为
2
2
1 LIW
m?
22 )(
2
1
n
BVn
为电源在 0到 t 这段时间内提供给电路的能量,
tRILI t d21 0 22
tRIILII t dd0 0 2tIt d0
上述各式的物理意义,
tIt d0
tRIILItI ddd 2
t
IL
d
d
L
由欧姆定律
RItIL dd?
上式变形为,
为导体消耗的能量 (释放的焦耳热 )
t tRI0 2d
同轴电缆中金属芯半径为 R1,
共轴金属筒半径为 R2,中间充磁导率为 μ 的磁介质,若芯与筒和电池相连接,芯与筒上的电流大小相同,方向相反,设可略去芯内磁场,求芯与筒之间单位长度上磁能和自感,
2R1
I
I
μ
例 1,同轴电览的磁能和自感解,芯线内磁场可视为，电缆外部磁场亦为零
VB?
2
2
1?
2
2
1 B
V
Ww m
m
BHHw m 2121 2
V mm VwW d
V
Ww m
m d
d?
引入磁场能量密度对各向同性均匀介质 B =?H
结论对任意线圈都成立,
磁场能量存在于整个磁场中,
若磁能密度是位置的函数,
21 22
2 d2
8
R
Rm r
rrIW?
1
2
2
ln4 RRI
2
2
1 LIW
m?
1
2ln
2 R
RL
由磁能公式得单位长度的磁能为,
可得自感,
若同轴电缆内充满非均匀磁介质,
1R
rk
则单位长磁能,
rRrkr rIW RRm d28 2
1 122
2
)(4 12
1
2
RRRkI
自感,)(2 12
1
RRRkL
芯线与圆筒之间任一点 r 处的磁场强度为
r
IH
2?
r处的磁能密度为
2
2
1 Hw
m 2)2(2 r
I
22
2
8 r
I
R2
r
磁场的总能量
VwW V mm d VrI V d18 22
2
对单位长度的电缆,取一薄层圆筒形体积元 R2
drr
dV = 2πr dr× 1 =
2πr dr
