第六篇 近代物理基础第五章,狭义相对论基础第六章 量子物理基础第七章 原子的量子理论
§ 4 德布罗意波一,德布罗意假设光具有二象性,波动性 (?,?),
粒子性 (E,p)
两者的关系为,
hphE
实物粒子呢?
德布罗意假设 (1924年 ):
(1) 一个质量为 m的实物粒子具有波动性,其波称为物质波,物质波的波长和频率与粒子的能量和动量满足如下关系,
hphE,
(2)一个沿 x轴正向运动,
能量为 E,动量为的自由粒子对应沿 x轴正向传播的单色平面波,
波函数为,
)(2e x p),( EtpxhiAtx
对自由运动粒子,
p
h
2
2
0
1
c
v
vm
h
mv
h
h
E
22
2
0
2
/1 cvh
cm
h
mc
hphE,
(2)一个沿 x轴正向运动,
能量为 E,动量为的自由粒子对应沿 x轴正向传播的单色平面波,
波函数为,
)(2e x p),( EtpxhiAtx
对自由运动粒子,
p
h
2
2
0
1
c
v
vm
h
mv
h
h
E
22
2
0
2
/1 cvh
cm
h
mc
当 v << c时,
vm
h
p
h
0
而,
0
2
m
Ev k?
所以
kEm
h
02
例 1.电子经电势差为 U的电场加速,在 v << c下,求此电子的德布罗意波长,
解,已知 eUEvm k2021
0
2
m
eUv
例 1.电子经电势差为 U的电场加速,在 v << c下,求此电子的德布罗意波长,
当 v << c时,
vm
h
p
h
0
而,
0
2
m
Ev k?
所以
kEm
h
02
解,已知 eUEvm k2021
0
2
m
eUv
Uem
h
Em
h
k 00 22
Uem
h 1
2 0? nm
22.1
U?
如 U=200V,则
nm1063.8
nm
200
1.2 2
nm
22.1
2
U
Uem
h
Em
h
k 00 22
Uem
h 1
2 0? nm
22.1
U?
如 U=200V,则
nm1063.8
nm
200
1.2 2
nm
22.1
2
U
例 2,试由德布罗意波导出玻尔理论中角动量量子化条件
.解,一根两端固定而定长的弦上形成稳定驻波的条件为,
l = n·?/2
若此弦线首尾相连构成一个圆,则,l = 2? r = n?
从波粒二象性看,原子中核外电子绕核运动有相应的波动图象,
当电子在圆周上形成驻波时，
例 2,试由德布罗意波导出玻尔理论中角动量量子化条件
.解,一根两端固定而定长的弦上形成稳定驻波的条件为,
l = n·?/2
若此弦线首尾相连构成一个圆,则,l = 2? r = n?
从波粒二象性看,原子中核外电子绕核运动有相应的波动图象,
当电子在圆周上形成驻波时，
l =4?
满足,2?r = n?,
n=1,2,3,…
mv
h而
mv
hnr2
l =4?
满足,2?r = n?,
n=1,2,3,…
mv
h而
mv
hnr2
所以：
2
hnm v r?
角动量量子化
* 物质波的传播速度由波的频率、波长和波速的关系知,= u
对物质波：
/h
hu
p
E?
v
c
mv
mc 22
所以：
2
hnm v r?
角动量量子化
* 物质波的传播速度由波的频率、波长和波速的关系知,= u
对物质波：
/h
hu
p
E?
v
c
mv
mc 22
显然，这里 u > c,且 u≠v,u
是什么呢?
这里 u 表示单色平面物质波的相速度,
实际的自由粒子并非严格的单色平面波,而是由波长接近的波包组成,波包的移动速度称为群速度,群速与相速是不同的概念,
可证明,物质波包的群速度恰好等于粒子的运动速度,
它不会超过光速,
相速不是物质运动的速度,
数值上是可以超光速的,
显然，这里 u > c,且 u≠v,
u 是什么呢?
这里 u 表示单色平面物质波的相速度,
实际的自由粒子并非严格的单色平面波,而是由波长接近的波包组成,波包的移动速度称为群速度,群速与相速是不同的概念,
可证明,物质波包的群速度恰好等于粒子的运动速度,
它不会超过光速,
相速不是物质运动的速度,
数值上是可以超光速的,
二,德布罗意波的实验证明物质波应有干涉、衍射等波的特性,应由实验来证明,
1,戴维孙 -革末电子衍射实验
M
电子束散射线
-+
K
D
电子枪
G
B
电子被镍晶体散射
实验原理,
电子枪 K D 之间有加速电压 U
电子束透过 D打在镍晶 M上,
它在晶面被散射进入探测器 B.
G检测电子束 (电流 )的强度,
二,德布罗意波的实验证明物质波应有干涉、衍射等波的特性,应由实验来证明,
1,戴维孙 -革末电子衍射实验
M
电子束散射线
-+
K
D
电子枪
G
B
电子被镍晶体散射
实验发现,
加速电压 U=54V,散射角
=50o时,探测器 B中的电流有极值,
实验原理,
电子枪 K D 之间有加速电压 U
电子束透过 D打在镍晶 M上,
它在晶面被散射进入探测器 B.
G检测电子束 (电流 )的强度,
实验发现,
加速电压 U=54V,散射角
=50o时,探测器 B中的电流有极值,
理论解释晶体晶面为点阵结构,物质波散射和 X射线的衍射完全类似,它也满足布拉格公式,
两反射的电子束,其相干加强条件
kd )2/c o s ()2/s i n (2Δ2
由三角公式得,d sin? = k?
正是 X射线的布拉格公式,
利用德布罗意公式? = h/mv
0
2
m
eUv?和得
mv
hkds in
e m U
kh
2
1?
理论解释晶体晶面为点阵结构,物质波散射和 X射线的衍射完全类似,它也满足布拉格公式,
两反射的电子束,其相干加强条件
kd )2/c o s ()2/s i n (2Δ2
由三角公式得,d sin? = k?
正是 X射线的布拉格公式,即,
e m Ud
kh
2
1s in
/
2
/
2
dsin(?/2)
d
/
2
代 d =0.215nm,U=54V
得?=51o
与实验结果相符,
利用德布罗意公式? = h/mv
0
2
m
eUv?和得
mv
hkds in
e m U
kh
2
1?
即,
e m Ud
kh
2
1s in
2,G.P.汤姆孙电子衍射实验
1927年汤姆孙观察了电子束透过多晶薄片的衍射现象,
K
D M P
/
2
/
2
dsin(?/2)
d
/
2
代 d =0.215nm,U=54V
得?=51o
与实验结果相符,
1961年,C.约恩孙让电子束通过单缝、多缝的衍射图样,
2,G.P.汤姆孙电子衍射实验
1927年汤姆孙观察了电子束透过多晶薄片的衍射现象,
K
D M P
例 3,试计算温度为 25时慢中子的德布罗意波长,
解,慢中子指处于热平衡下的中子按能均分定理,
慢中子的平均平动动能为,
kTε
2
3?
代入数据,
eV1085.3
J1017.6
2
3
2
21
kTε
中子的质量为中子的动量
mp 2?
= 4.54× 10-24kg·m·s-1
m =1.67× 10-27kg,
1961年,C.约恩孙让电子束通过单缝、多缝的衍射图样,
例 3,试计算温度为 25时慢中子的德布罗意波长,
解,慢中子指处于热平衡下的中子按能均分定理,
慢中子的平均平动动能为,
kTε
2
3?
代入数据,
eV1085.3
J1017.6
2
3
2
21
kTε
中子的质量为中子的动量
mp 2?
= 4.54× 10-24kg·m·s-1
m =1.67× 10-27kg,
德布罗意波长
nm1 4 6.0
p
h?
与 X射线同数量级,因此穿过晶片可产生 衍射图样,
三,德布罗意波的统计解释
1,微观粒子的粒子性作为粒子具有“整体性”，
即不可分性,不是经典粒子,
没有“轨道”概念,
2,微观粒子的波动性具有,弥散性,,可叠加性,
,干涉,,衍射,,偏振
”,具有频率和波长，不是经典的波 不代表实在的物理量的波动。
德布罗意波长
nm1 4 6.0
p
h?
与 X射线同数量级,因此穿过晶片可产生衍射图样,
三,德布罗意波的统计解释
1,微观粒子的粒子性作为粒子具有“整体性”，
即不可分性,不是经典粒子,
没有“轨道”概念,
3,德布罗意的统计解释因此玻恩认为,在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比,
在电子衍射实验中,电子总是作为整体出现的,它出现的概率与空间波的强度成正比,
4,电子双缝衍射实验分析
(1)只开一缝,屏上电子累积成单缝衍射图样 — 波动性,
(2) 在屏上信号接收器,每次只能接收一个完整的电子 — 粒子性,
2,微观粒子的波动性具有,弥散性,,可叠加性,
,干涉,,衍射,,偏振
”,具有频率和波长，不是经典的波 不代表实在的物理量的波动。 3,德布罗意的统计解释因此玻恩认为,在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比,
在电子衍射实验中,电子总是作为整体出现的,它出现的概率与空间波的强度成正比,
(3) 打开双缝,屏上呈双缝干涉图样 — 电子的波动性,
(4) 是否电子与电子之间发生干涉?
让电子发射枪每次只发射一个电子,也出现干涉图样,
结论,一个电子也能干涉,
说明电子本身是波,概率波的干涉,
(5) 一个电子如何通过双缝?
要知道电子如何通过双缝,必须观察,则必然使干涉图样消失,对微观粒子运动状态的有效测量,必将在可观测的意义上使粒子原来的运动产生不可逆的改变,
4,电子双缝衍射实验分析
(1)只开一缝,屏上电子累积成单缝衍射图样 — 波动性,
(2) 在屏上信号接收器,每次只能接收一个完整的电子 — 粒子性,
(3) 打开双缝,屏上呈双缝干涉图样 — 电子的波动性,
电子的传播行为更像波,电子与物质相互作用更像粒子,
微观粒子不是经典意义上的粒子,也不是经典意义上的波,
(4) 是否电子与电子之间发生干涉?
让电子发射枪每次只发射一个电子,也出现干涉图样,
结论,一个电子也能干涉,
说明电子本身是波,概率波的干涉,
(5) 一个电子如何通过双缝?
要知道电子如何通过双缝,必须观察,则必然使干涉图样消失,对微观粒子运动状态的有效测量,必将在可观测的意义上使粒子原来的运动产生不可逆的改变,
§ 5 不确定关系一,力学量的不确定度微观粒子在某位置总是以概率的方式出现,
即粒子具有位置的不确定性,
一维下,不确定度为?x
任何实际的粒子不是严格的平面单色波 (确定的动量 )
即其波长有一定范围,则动量 P也有一定的范围?p.
当然在某些特定情况下,
有些力学量有确定的值,
二,不确定关系
1927年,海森伯发现了不确定关系,
一维,hpx
x?ΔΔ
电子的传播行为更像波,电子与物质相互作用更像粒子,
微观粒子不是经典意义上的粒子,也不是经典意义上的波,
§ 5 不确定关系一,力学量的不确定度微观粒子在某位置总是以概率的方式出现,
即粒子具有位置的不确定性,
一维下,不确定度为?x
任何实际的粒子不是严格的平面单色波 (确定的动量 )
三维,hpy y?ΔΔ
hpz z?ΔΔ
hpx x?ΔΔ
不确定关系表明,
对于微观粒子,不能同时用确定的位置和确定的动量来描述,
海森伯理想实验电子单缝衍射实验,电子通过狭缝,在 Ox方向坐标不确定范围,?x = b
由于衍射,电子主要落在中央条纹区域,有 x方向动量,
0≤px≤psin?
即,?px= psin?
即其波长有一定范围,则动量 P也有一定的范围?p.
当然在某些特定情况下,
有些力学量有确定的值,
二,不确定关系
1927年,海森伯发现了不确定关系,
一维,hpx
x?ΔΔ
三维,hpy y?ΔΔ
hpz z?ΔΔ
hpx x?ΔΔ
由单缝衍射条件 (取一级极小 )
b sin? =?
不确定关系表明,
对于微观粒子,不能同时用确定的位置和确定的动量来描述,
海森伯理想实验电子单缝衍射实验,电子通过狭缝,在 Ox方向坐标不确定范围,?x = b
由于衍射,电子主要落在中央条纹区域,有 x方向动量,
0≤px≤psin?
即,?px= psin?
x
yO b
p = h/?
p = h/?
则?px= psin? bp
利用 ph
有,b?px = h
或者,?x?px = h
考虑高阶衍射,有
x?px ≥ h
得出不确定关系,
由单缝衍射条件 (取一级极小 )
b sin? =?
x
yO b
p = h/?
p = h/?
则?px= psin? bp
利用 ph
有,b?px = h
三,对不确定关系的认识
1.不确定关系是微观粒子波粒子二象性及其统计关系的必然结果,并非仪器对粒子的干扰,也不是仪器精度的缘故,而是粒子的固有属性,
2.对不确定关系的两种理解一种认为,对单个粒子进行测量时,不可能同时准确测量其位置和动量,因此也称为测不准关系,
另一种认为,测不关系并非对单个粒子测量的结果,而是大量粒子遵守的统计规律,不存在对单个粒子“测量坐标愈准确,则同时测量动量愈不准确”的说法,
量子测量问题是量子力学中最基础,最前沿的问题,
三,对不确定关系的认识或者,?x?px = h
考虑高阶衍射,有
x?px ≥ h
得出不确定关系,
1.不确定关系是微观粒子波粒子二象性及其统计关系的必然结果,并非仪器对粒子的干扰,也不是仪器精度的缘故,而是粒子的固有属性,
2.对不确定关系的两种理解一种认为,对单个粒子进行测量时,不可能同时准确测量其位置和动量,因此也称为测不准关系,
另一种认为,测不关系并非对单个粒子测量的结果,而是大量粒子遵守的统计规律,不存在对单个粒子“测量坐标愈准确,则同时测量动量愈不准确”的说法,
量子测量问题是量子力学中最基础,最前沿的问题,
四,微观粒子和经典粒子的比较
1.微观粒子的运动原则上无“轨道”可言 ;
2.微观粒子是不可能静止的 ;
3.如果粒子的尺寸和动量远大于各自的不确定量
R >>?x,p >>?p
微观粒子的位置和动量近似认为确定,看成经典粒子,
若已知粒子运动范围为 L,
而
phphxL ΔΔ
也可用 L>>?代替 R >>x
作为判断依据,
四,微观粒子和经典粒子的比较
1.微观粒子的运动原则上无“轨道”可言 ;
2.微观粒子是不可能静止的 ;
3.如果粒子的尺寸和动量远大于各自的不确定量
R >>?x,p >>?p
微观粒子的位置和动量近似认为确定,看成经典粒子,
五,能量与时间的不确定性关系
2ΔΔtE
E为原子能级的自然宽度,?t
为该能级的平均寿命,
例 1.试比较电子和质量为 10g的子弹位置的不确定量范围,(设它们的速率为 200m/s,动量的不确定范围为 0.01%)
解,由?x?p = h
对电子
p = (0.01%)p =(0.01%)mv
=1× 10-4× 9.1× 10-31× 200
=1.8× 10-32kg·m·s-1
m107.3
108.1
1063.6
Δ
Δ
2
32
34
p
h
x
若已知粒子运动范围为 L,
而
phphxL ΔΔ
也可用 L>>?代替 R >>x
作为判断依据,
五,能量与时间的不确定性关系
2ΔΔtE
E为原子能级的自然宽度,?t
为该能级的平均寿命,
对子弹
p =1× 10-4× 0.01× 200
=2.0× 10-4kg·m·s-1
m103.3
102
1063.6
Δ
Δ
30
4
34
p
h
x
由于子弹的大小为 R
=10-2m,R>>?x 子弹可作经典粒子处理,
例 1.试比较电子和质量为 10g的子弹位置的不确定量范围,(设它们的速率为 200m/s,动量的不确定范围为 0.01%)
解,由?x?p = h
对电子
p = (0.01%)p =(0.01%)mv
=1× 10-4× 9.1× 10-31× 200
=1.8× 10-32kg·m·s-1
m107.3
108.1
1063.6
Δ
Δ
2
32
34
p
h
x
例题 2.电子在电视显象管中运动时如何处理?
设电子运动速率 v=105m/s,
速率的不确定范围
v=10m/s
解 已知
p = mv >> m?v =?p
对子弹
p =1× 10-4× 0.01× 200
=2.0× 10-4kg·m·s-1
m103.3
102
1063.6
Δ
Δ
30
4
34
p
h
x
由于子弹的大小为 R
=10-2m,R>>?x 子弹可作经典粒子处理,
而
m104.7
10101.9
1063.6
m Δ
Δ
5
31
34
v
h
x
电子运动范围 (显象管尺寸 ) L≈0.1m
可见 p >>?p,L>>?x
或 p >>?p,L>>?
nm)4.7( ph?
电子可作经典粒子处理,
或如此电子在原子中呢?
电子运动范围 (原子的大小 )
L~10-10m，不满足 L>>?x,
此时电子只能作微观粒子处理,
例题 2.电子在电视显象管中运动时如何处理?
设电子运动速率 v=105m/s,
速率的不确定范围
v=10m/s
解 已知
p = mv >> m?v =?p
而
m104.7
10101.9
1063.6
m Δ
Δ
5
31
34
v
h
x
电子运动范围 (显象管尺寸 ) L≈0.1m
设电子的动能 Ek =10
eV，电子运动速度速度的不确定度
v ~ v 轨道概念不适用 !
例 3,原子中电子运动不存在“轨道”
16 sm102
m
Ev k
16 sm10
ΔΔ
xm
h
m
pv?
可见 p >>?p,L>>?x
或 p >>?p,L>>?
nm)4.7( ph?
电子可作经典粒子处理,
或如此电子在原子中呢?
电子运动范围 (原子的大小 )
L~10-10m，不满足 L>>?x,
此时电子只能作微观粒子处理,
§ 6氢原子的玻尔理论一,氢原子光谱的规律性
1885年,瑞士数学家巴耳末发现氢原子的可见光谱线可归纳为如下公式：
,5,4,3,nm246.3 6 5 22
2
nn n?
上式叫巴耳末公式,这个谱线称为巴耳末系,
n时,H?=364.56nm
为巴耳末系的极限波长,
6562.8
红
4861.3
蓝 紫
4340.5
氢的巴耳末谱线后来里德伯把它改为,
,5,4,3,121 22 nnR?
=1/?为波数,R为里德伯常量,
R = 1.097 373 153 4× 107m－ 1
氢原子光谱氢原子光谱除了可见光外,还有红外线和紫外线的谱线,
紫外线部分,
,4,3,2,111 22 nnR?
莱曼系 (1916年 )
红外线部分,
帕邢系 (1908年 )
,6,5,4,131 22 nnR?
6562.8
红
4861.3
蓝 紫
4340.5
氢的巴耳末谱线后来里德伯把它改为,
,5,4,3,121 22 nnR?
=1/?为波数,R为里德伯常量,
R = 1.097 373 153 4× 107m－ 1
布拉开系 (1922年 )
,7,6,5,14 1 22 nnR?
普丰德系 (1924年 )
,8,7,6,15 1 22 nnR?
以上各谱线系可统一写为,
22 11
ij nn
R?
给定 nj(=1,2,3,…)
ni取,nj+1,nj+2,…
氢光谱有规律的分立谱线,揭示了原子内部的某种结构,
氢原子光谱氢原子光谱除了可见光外,还有红外线和紫外线的谱线,
紫外线部分,
,4,3,2,111 22 nnR?
莱曼系 (1916年 )
红外线部分,
帕邢系 (1908年 )
,6,5,4,131 22 nnR?
二,卢瑟福的原子有核模型
1897年 J.J汤姆孙发现了电子,原子结构的研究真正开始,
布拉开系 (1922年 )
,7,6,5,14 1 22 nnR?
普丰德系 (1924年 )
,8,7,6,15 1 22 nnR?
以上各谱线系可统一写为,
22 11
ij nn
R?
给定 nj(=1,2,3,…)
ni取,nj+1,nj+2,…
氢光谱有规律的分立谱线,揭示了原子内部的某种结构,
1,汤姆孙原子结构模型他假定,原子中的正电荷和原子质量均匀地分布在半径为 10－ 10m的球体范围内,
而原子中的电子则浸于此球体中
— 葡萄干蛋糕模型,
2,?粒子散射实验
粒子
R S
T
P
F
O
金箔
粒子入射在金箔 F上,被散射后打在荧光屏 P上，显微镜 T观测?粒子数,
二,卢瑟福的原子有核模型
1897年 J.J汤姆孙发现了电子,原子结构的研究真正开始,
1,汤姆孙原子结构模型他假定,原子中的正电荷和原子质量均匀地分布在半径为 10－ 10m的球体范围内,
而原子中的电子则浸于此球体中
— 葡萄干蛋糕模型,
实验结果,
绝大多数?粒子穿透金箔后沿原方向运动,但有八千分之一的粒子的散射角?大于 90o.
甚至有散射角接近 180o的,
2,?粒子散射实验
粒子
R S
T
P
F
O
金箔
粒子入射在金箔 F上,被散射后打在荧光屏 P上，显微镜 T观测?粒子数,
实验结果,
绝大多数?粒子穿透金箔后沿原方向运动,但有八千分之一的粒子的散射角?大于 90o.
甚至有散射角接近 180o的,
汤姆孙模型不能解释偏转角?>90o的情况,
原子的中心有一带正电的原子核，它几乎集中了原子的全部质量，电子围绕这个核旋转,核的尺寸与整个原子相比是很小的。
3.卢瑟福的原子有核模型
(1911年 )
原子有核模型能解释大角度散射,
离核较远的?粒子,不改变方向离核越近,偏转角越大,有的甚至偏转 180o
汤姆孙模型不能解释偏转角?>90o的情况,
原子的中心有一带正电的原子核，它几乎集中了原子的全部质量，电子围绕这个核旋转,核的尺寸与整个原子相比是很小的。
3.卢瑟福的原子有核模型
(1911年 )
原子有核模型能解释大角度散射,
+
-
原子核电子
4,经典理论的困难原子有核模型又称原子行星模型。最简单的氢原子模型如图,
原子核外有一个电子,电量 -e
核的电荷 +e,质量为电子的 1837倍,
4,经典理论的困难离核较远的?粒子,不改变方向离核越近,偏转角越大,有的甚至偏转 180o
+
-
原子核电子原子有核模型又称原子行星模型。最简单的氢原子模型如图,
原子核外有一个电子,电量 -e
核的电荷 +e,质量为电子的 1837倍,
+ e
O
r
Fe
- e
v
核
电子电子以速度 v绕核作半径为 r
的圆运动。原子的线度为 10-
10m,核的线度为 10-14m。
按经典理论氢原子结构是不稳定的，电子作圆运动为加速运动，则要不断地向外辐射能量,能量减 少，
绕核旋转频率减小，光谱应为连续；且原子的运动半径减小，最后电子落在原子上。+ eO
r
Fe
- e
v
核
电子电子以速度 v绕核作半径为 r
的圆运动。原子的线度为 10-
10m,核的线度为 10-14m。
按经典理论氢原子结构是不稳定的，电子作圆运动为加速运动，则要不断地向外辐射能量,能量减 少，
三,氢原子的玻尔理论
1,玻尔的三条假设,
(1)电子在原子中可以在一些特定的圆轨道上运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态，
并具有一定的能量。
(2)电子以速度在半径为的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量 L等于 h/2?的整数倍的那些轨道才是稳定的，
即
2
hnm v rL
n=1,2,3,…( 主量子数 )
h为普朗克常量。上式为量子化条件,
三,氢原子的玻尔理论绕核旋转频率减小，光谱应为连续；且原子的运动半径减小，最后电子落在原子上。
1,玻尔的三条假设,
(1)电子在原子中可以在一些特定的圆轨道上运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态，
并具有一定的能量。
(3)当原子从高能量的定态跃迁到低能量的定态，亦即电子从高能量 Ei的轨道跃迁到低能量 Ef 的轨道上时,要发射频率为?的光子，且
2,玻尔轨道半径玻尔利用上述假设，结合经典力学和电磁学，解决了氢原子问题,
由库仑定律和牛顿定律,
+ e
O
r
Fe
- e
v
h? = Ei－ Ef — 频率条件(2)电子以速度在半径为的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量 L等于 h/2?的整数倍的那些轨道才是稳定的，
即
2
hnm v rL
n=1,2,3,…( 主量子数 )
h为普朗克常量。上式为量子化条件,
(3)当原子从高能量的定态跃迁到低能量的定态，亦即电子从高能量 Ei的轨道跃迁到低能量 Ef 的轨道上时,要发射频率为?的光子，且 )1(4
1
2
2
0
2
nn
n
r
e
r
mv
由第二条假设,
2
hnm v rL
)2(2
n
n mr
nhv
把 (2)代入 (1)有,
2
2
0 n
me
hr
n?
,3,2,121 nnr
其中
m105 2 9.0 10201 me hr
2,玻尔轨道半径
h? = Ei－ Ef
玻尔利用上述假设，结合经典力学和电磁学，解决了氢原子问题,
由库仑定律和牛顿定律,
+ e
O
r
Fe
- e
v
— 频率条件
)1(4 1 2
2
0
2
nn
n
r
e
r
mv
为第一玻尔轨道，玻尔半径电子轨道半径的可能值为,
r1,4r1,9r1,16r1,…
由第二条假设,
2
hnm v rL
)2(2
n
n mr
nhv
把 (2)代入 (1)有,
2
2
0 n
me
hr
n?
,3,2,121 nnr
其中
m105 2 9.0 10201 me hr
3,氢原子的定态能量电子绕核运动速率可变为,
n
n mr
nhv
2? 220
2
2 nh
me
m
nh
n
v
nh
e 11
2 10
2
137
1
2 0
2
1
hc
e
c
v
叫精细结构常数,
氢原子的能量,
n
n r
emvE 2
0
2
4
1
2
1
由 (1)式,
2
2
0
2
8
1
2
1
nr
emv
为第一玻尔轨道，玻尔半径电子轨道半径的可能值为,
r1,4r1,9r1,16r1,…
3,氢原子的定态能量电子绕核运动速率可变为,
n
n mr
nhv
2? 220
2
2 nh
me
m
nh
n
v
nh
e 11
2 10
2
137
1
2 0
2
1
hc
e
c
v
叫精细结构常数,
r
eE
n
0
2
8 2
1
222
0
4
8 n
E
nh
me
其中,
eV6.138 22
0
4
1 h
meE
氢原子能量是不连续的,
E1称为氢原子基态,也是氢的电离能,E2,E3,… 为激发态,
4,玻尔理论对氢光谱的解释电子从高能级 Ei跃迁到低能级 Ef时
fi EEh
2222
0
4 11
8 if nnh
me
氢原子的能量,
n
n r
emvE 2
0
2
4
1
2
1
由 (1)式,
2
2
0
2
8
1
2
1
nr
emv
r
eE
n
0
2
8 2
1
222
0
4
8 n
E
nh
me
其中,
eV6.138 22
0
4
1 h
meE
氢原子能量是不连续的,
c
1
2232
0
4 11
8 if nnch
me
而
m100 9 7.18 732
0
4
chme?
正好等于 R，理论与实验相符,
4,玻尔理论对氢光谱的解释
E1称为氢原子基态,也是氢的电离能,E2,E3,… 为激发态,
电子从高能级 Ei跃迁到低能级 Ef时
fi EEh
2222
0
4 11
8 if nnh
me
c
1
2232
0
4 11
8 if nnch
me
n=4
n=2
n=3
n=1
n=?
E
莱曼系巴耳末系帕邢系布拉开系四,氢原子玻尔的困难玻尔理论圆满地解释了氢原子光谱的规律 ;从理论上算出了里德伯常量 ;并能对类氢离子光谱给予说明,但玻尔理论有局限性,
1.玻尔理论只能说明氢原子光谱,对其它原子并不适用 ;
2.对谱线宽度,发光强度没有解释 ;
3.对原子在强磁场中的行为,玻尔理论也没有解释 ;
4.本质上说,玻尔理论在逻辑上不自洽,
而
m100 9 7.18 732
0
4
chme?
正好等于 R，理论与实验相符,
n=4
n=2
n=3
n=1
n=?
E
莱曼系巴耳末系帕邢系布拉开系经典 + 量子 =半量子 (旧量子 )
玻尔理论是,四,氢原子玻尔的困难玻尔理论圆满地解释了氢原子光谱的规律 ;从理论上算出了里德伯常量 ;并能对类氢离子光谱给予说明,但玻尔理论有局限性,
1.玻尔理论只能说明氢原子光谱,对其它原子并不适用 ;
2.对谱线宽度,发光强度没有解释 ;
3.对原子在强磁场中的行为,玻尔理论也没有解释 ;
4.本质上说,玻尔理论在逻辑上不自洽,
经典,牛顿定律 ;
量子,量子化假设 ;(人为的 )
即使如此,玻尔理论对量子论的发展还是起了先导作用,
1913年玻尔理论说明原子有定态能级,1914年弗兰克和赫兹用实验证实了原子中存在分立的能级,
§ 8 量子力学简介一,波函数物质波既然是波,就要有波函数,
按德布罗意假设,自由粒子为平面单色波,且为复数形式,
已知平面机械波,
xtAtxy 2c o s),(
经典 + 量子 =半量子 (旧量子 )
玻尔理论是,
经典,牛顿定律 ;
量子,量子化假设 ;(人为的 )
即使如此,玻尔理论对量子论的发展还是起了先导作用,
1913年玻尔理论说明原子有定态能级,1914年弗兰克和赫兹用实验证实了原子中存在分立的能级,
若改为复数形式,
)/(2ie),( xtAtxy
对微观粒子
h
E
p
h
波函数用?(x,t)表示
xtitx 2e xp),(
0
pxtEhitx 2e x p),( 0
或表示为
0为复振幅,
rptEhitr 2e x p),( 0
三维,
§ 8 量子力学简介一,波函数物质波既然是波,就要有波函数。按德布罗意假设,
自由粒子为平面单色波,
且为复数形式,
已知平面机械波,
xtAtxy 2c o s),(
若改为复数形式,
)/(2ie),( xtAtxy
对微观粒子 h
E
p
h
波函数用?(x,t)表示
xtitx 2e xp),(
0
pxtEhitx 2e x p),( 0
或表示为
0为复振幅,
rptEhitr 2e x p),( 0
三维,
波函数的物理意义波函数?(x,t)本身无物理解释,但 |?|2=*有物理意义,
|?|2为粒子出现在某点附近单位体积元中的概率密度,
故,在空间某处波函数的二次方跟粒子在该处出现的概率成正比
,— 波函数的统计意义,
波的振幅的平方正比于波的强度,而波的强度与粒子出现的概率成正比,
波函数满足,单值、有限和连续归一化条件,
1d|| 2 V?
在整个空间内粒子出现的概率为 1.
波函数的物理意义波函数?(x,t)本身无物理解释,但 |?|2=*有物理意义,
|?|2为粒子出现在某点附近单位体积元中的概率密度,
故,在空间某处波函数的二次方跟粒子在该处出现的概率成正比
,— 波函数的统计意义,
波的振幅的平方正比于波的强度,而波的强度与粒子出现的概率成正比,
二,薛定谔方程波函数应有运动微分方程,
以自由粒子 (非相对论 )为例,建立该方程 (一维 ).
已知波函数为上式对 x取二阶导数,
对 t 取一阶导数,
2
22
2
2 4
h
p
x
利用动量与动能的关系
p2= 2mE,及上两式得
Eht 2
2
pxtEhitx 2e x p),( 0
二,薛定谔方程波函数满足,单值、有限和连续归一化条件,
1d|| 2 V?
在整个空间内粒子出现的概率为 1.
波函数应有运动微分方程,
以自由粒子 (非相对论 )为例,建立该方程 (一维 ).
t
hi
xm
h
28 2
2
2
2
自由粒子含时薛定谔方程若非自由粒子,则 E =
Ek+Ep,而 Ek= p2/2m,所以已知波函数为上式对 x取二阶导数,
对 t 取一阶导数,
2
22
2
2 4
h
p
x
利用动量与动能的关系
p2= 2mE,及上两式得
Eht 2
2
pxtEhitx 2e x p),( 0
t
hiE
xm
h
p?
28 2
2
2
2
含时薛定谔方程
定态薛定谔方程若微观粒子的势能 Ep 仅是坐标的函数,而与时间无关,
则波函数可写为
(x,t) =?(x)?(t)
通过分离变量法可求得,
)2e x p()( Ethit
t
hi
xm
h
28 2
2
2
2
自由粒子含时薛定谔方程若非自由粒子,则 E =
Ek+Ep,而 Ek= p2/2m,所以
t
hiE
xm
h
p?
28 2
2
2
2
含时薛定谔方程
定态薛定谔方程若微观粒子的势能 Ep 仅是坐标的函数,而与时间无关,
而?(x) 满足方程
0)()(d )(d8 2
2
2
2
xEEx xmh p
或
0)()(8d )(d 2
2
2
2
xEEh mx x p
定态薛定谔方程此时系统的能量 E为常量,
概率密度也不随时间变,
三维情况,引入拉普拉斯算符?2
2
2
2
2
2
2
2
zyx?
0)()(8)( 2
2
2 xEE
h
mx
p?
则波函数可写为
(x,t) =?(x)?(t)
通过分离变量法可求得,
)2e x p()( Ethit
而?(x) 满足方程
0)()(d )(d8 2
2
2
2
xEEx xmh p
或
0)()(8d )(d 2
2
2
2
xEEh mx x p
定态薛定谔方程此时系统的能量 E为常量,
概率密度也不随时间变,
三维情况,引入拉普拉斯算符?2
2
2
2
2
2
2
2
zyx?
0)()(8)( 2
2
2 xEE
h
mx
p?
三,一维势阱问题设质量为 m 的粒子在如下势场中运动,
Ep = 0 0 <x < a? 其它区域
x
E
p
o a
由薛定谔方程,
阱外,
0)()(8d )(d 2
2
2
2
xEh mx x
(x) = 0
三,一维势阱问题设质量为 m 的粒子在如下势场中运动,
Ep = 0 0 <x < a? 其它区域
x
E
p
o a
由薛定谔方程,
0)(8d )(d 2
2
2
2
xh mEx x
(0 <x < a)阱内,
令
2
28
h
mEk
上式化为
0)(d )(d 22
2
xkx x
为简谐运动方程,通解为,
(x) = Asinkx + Bcoskx
由边界条件 x=0,? (0)=0,
B = 0.
故解化为,?(x) = Asinkx
(0) = Asink0 + Bcosk0 =0
又由,x =a,?(a) = 0
即,?(a) = Asinka = 0
阱外,
0)()(8d )(d 2
2
2
2
xEh mx x
(x) = 0
0)(8d )(d 2
2
2
2
xh mEx x
(0 <x < a)阱内,
令
2
28
h
mEk
上式化为
0)(d )(d 22
2
xkx x
而 A不能为零，只有
sinka = 0,得：
a
nk
能量量子化,
2
2
2
2 8?
a
n
h
mEk
,2,18
2
2 n
ma
hnE
即,
可见能量量子化是自然结果,
求系数 A,由归一化条件：
Vxx d)()(1
a
xxanA
0
22 ds in?
2
2 aA?
所以
aA
2?
由边界条件为简谐运动方程,通解为,
(x) = Asinkx + Bcoskx
x=0,? (0)=0,
B = 0.
故解化为,?(x) = Asinkx
(0) = Asink0 + Bcosk0 =0
又由,x =a,?(a) = 0
即,?(a) = Asinka = 0
而 A不能为零，只有
sinka = 0,得：
a
nk
波函数即为
axxanax 0s in2)(
概率密度为
xanax 22 s in2|)(|?
四,对应原理在某些极限下,量子规律可转化为经典规律 — 对应原理,
考虑相邻两能级差：
E = En+1－ En
ma
hn
ma
hn
88)1(
2
2
2
2
能量量子化,
2
2
2
2 8?
a
n
h
mEk
,2,18
2
2 n
ma
hnE
即,
可见能量量子化是自然结果,
求系数 A,由归一化条件：
Vxx d)()(1
a
xxanA
0
22 ds in?
2
2 aA?
所以
aA
2?
ma
hn
8)12(
2
波函数即为
axxanax 0s in2)(
概率密度为
xanax 22 s in2|)(|?
四,对应原理在某些极限下,量子规律可转化为经典规律 — 对应原理,
考虑相邻两能级差：
E = En+1－ En
ma
hn
ma
hn
88)1(
2
2
2
2
可见?E ∝ n,
随能级增加，能级差增大当 a↓,△ E↑,
能量量子化显著,
当 n >> 1时
nn
n
E
E
n
212Δ
2?
当 n→∞时,△ E << En,可以认为能量连续 — 经典情况,
所以,经典物理可以看成是量子物理在量子数 n→∞时的极限情况,
五,一维方势垒 隧道效应其势能分布为,
Ep(x) = 0,x < 0 和 x > aE
p0,0≤x≤a
ma
hn
8)12(
2
可见?E ∝ n,
随能级增加，能级差增大当 a↓,△ E↑,
能量量子化显著,
当 n >> 1时
nn
n
E
E
n
212Δ
2?
当 n→∞时,△ E << En,可以认为能量连续 — 经典情况,
所以,经典物理可以看成是量子物理在量子数 n→∞时的极限情况,
O xa
Ep(x)
Ep0
开始时,若粒子处于
x<0区域,
且其能量 E < Ep0,从经典物理看,粒子不能穿过势垒进入 x>0区域,
但从量子力学,在 x > 0
区域,波函数不为零,即粒子能穿过势垒 —— 遂道效应。
O xa
Ep(x)
Ep0
五,一维方势垒 隧道效应其势能分布为,
Ep(x) = 0,x < 0 和 x > aE
p0,0≤x≤a
O xa
Ep(x)
Ep0
开始时,若粒子处于
x<0区域,
且其能量 E < Ep0,从经典物理看,粒子不能穿过势垒进入 x>0区域,
六,量子力学对氢原子的处理
1,处理方法
(1) 假定原子核是静止的,
氢原子的状态由核外电子的运动状态来决定 ;
(2) 用波函数描述处于原子势场中的电子 ;
(3) 写出波函数满足的薛定谔方程,在球坐标系中求解 ;
(4) 得出结果 (波函数、能量、角动量、概率密度等）
2,主要结果
(1)能量量子化和主量子数
22
0
4
2 8
1
h
me
nE n?
与玻尔氢原子理论相同其中 n = 1,2,3,…
称为主量子数,
2)1(
hllL
l= 0,1,2,…( n-1),l称为轨道角量子数,简称角量子数,角动量也是量子化,
(2)角动量量子化和角量子数
(3)空间量子化和磁量子数角动量在外磁场方向的投影,
即其空间取向是量子化的,
设外磁场方向为 z方向,则
L在 z方向的分量为
2
hmL
lz?
ml = 0,± 1,± 2,… ± l
ml为轨道角动量磁量子数,
简称磁量子数
2,主要结果
(1)能量量子化和主量子数
22
0
4
2 8
1
h
me
nE n?
与玻尔氢原子理论相同其中 n = 1,2,3,…
称为主量子数,
2)1(
hllL
l= 0,1,2,…( n-1),l称为轨道角量子数,简称角量子数,角动量也是量子化,
(2)角动量量子化和角量子数
(4)自旋角动量和自旋磁量子数
2)1(
hssS
自旋在外场方向的投影
2
hmS
sz?
ms为自旋磁量子数,ms=± 1/2
对电子 s=1/2
(5) 电子的分布概率及电子云由氢原子定态薛定谔方程，
可求得氢原子波函数为
)()()(),,( mlmnln l m rRr?
其概率密度 |?|2 给出在空间各处,电子出现的概率,
(3)空间量子化和磁量子数角动量在外磁场方向的投影,
即其空间取向是量子化的,
设外磁场方向为 z方向,则
L在 z方向的分量为
2
hmL
lz?
ml = 0,± 1,± 2,… ± l
ml为轨道角动量磁量子数,
简称磁量子数把波函数对角度 (?,?)积分,
可得波函数的径向分布 R(r)
(4)自旋角动量和自旋磁量子数
2)1(
hssS
自旋在外场方向的投影
2
hmS
sz?
ms为自旋磁量子数,ms=± 1/2
对电子 s=1/2
(5) 电子的分布概率及电子云由氢原子定态薛定谔方程，
可求得氢原子波函数为
)()()(),,( mlmnln l m rRr?
其概率密度 |?|2 给出在空间各处,电子出现的概率,
如基态径向波函数为
1r / r-
3
1
e4)(
2/1
r
rR
r1为玻尔半径,
电子在径向 r— r+dr中出现的概率正比于
p(r)dr=R2r2dr
当 r=r1时,径向概率最大,
电子在 r1及附近都有出现概率,因此形象地称为电子云,
P(r)
r1 r
⊕
r1
把波函数对角度 (?,?)积分,
可得波函数的径向分布 R(r)
如基态径向波函数为
1r / r-
3
1
e4)(
2/1
r
rR
r1为玻尔半径,
电子在径向 r— r+dr中出现的概率正比于
p(r)dr=R2r2dr
当 r=r1时,径向概率最大,
电子在 r1及附近都有出现概率,因此形象地称为电子云,
七,多电子原子多电子原子的状态由各电子的状态 (电子组态 )决定,
确定电子组态有以下规律,
1,每个单电子仍用四个量子数 (n,l,ml,ms)来描述,
3,按能量最小原理构成原子基态的电子组态原子处于稳定态时,它的每个电子尽量占有最低的能量状态,从而使原子体系的能量最低,
2,遵守泡利不相容原理在一个原子中,不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子态,
也就是说,任何两个电子,
不可能有完全相同的一组量子数 (n,l,ml,ms),七,多电子原子
P(r)
r1 r
⊕
r1
多电子原子的状态由各电子的状态 (电子组态 )决定,
确定电子组态有以下规律,
1,每个单电子仍用四个量子数 (n,l,ml,ms)来描述,
