§ 5.2 滞后变量模型一、滞后变量模型二、分布滞后模型的参数估计三、自回归模型的参数估计四、格兰杰因果关系检验在经济运行过程中,广泛存在时间滞后效应 。 某些经济变量不仅受到同期各种因素的影响,而且也受到过去某些时期的各种因素甚至自身的过去值的影响 。
通常把这种过去时期的,具有滞后作用的变量叫做 滞后变量 （ Lagged Variable）,含有滞后变量的模型称为 滞后变量模型 。
滞后变量模型考虑了时间因素的作用,使静态分析的问题有可能成为动态分析 。 含有滞后解释变量的模型,又称 动态模型 （ Dynamical Model） 。
一、滞后变量模型
1、滞后效应与与产生滞后效应的原因因变量受到自身或另一解释变量的前几期值影响的现象称为 滞后效应。
表示前几期值的变量称为 滞后变量 。
如,消费函数通常认为,本期的消费除了受本期的收入影响之外,还受前 1期,或前 2期收入的影响：
Ct=?0+?1Yt+?2Yt-1+?3Yt-2+?t
Yt-1,Yt-2为 滞后变量 。
产生滞后效应的原因
1,心理因素,人们的心理定势,行为方式滞后于经济形势的变化,如中彩票的人不可能很快改变其生活方式 。
2,技术原因,如当年的产出在某种程度上依赖于过去若干期内投资形成的固定资产 。
3、制度原因,如定期存款到期才能提取，
造成了它对社会购买力的影响具有滞后性。
2、滞后变量模型以滞后变量作为解释变量，就得到 滞后变量模型 。 它的一般形式为：
q,s：滞后时间间隔自回归分布滞后模型 （ autoregressive distributed
lag model,ADL）,既含有 Y对自身滞后变量的回归,
还包括着 X分布在不同时期的滞后变量有限自回归分布滞后模型,滞后期长度有限无限自回归分布滞后模型,滞后期无限,
tststtqtqttt XXXYYYY 11022110
（ 1）分布滞后模型 （ distributed-lag model）
分布滞后模型,模型中没有滞后被解释变量，
仅有解释变量 X的当期值及其若干期的滞后值：
titi
s
i
t XY
0
0,短期 (short-run)或 即期乘数 (impact multiplier)，
表示本期 X变化一单位 对 Y平均值的影响程度 。
i (i=1,2…,s),动态乘数 或 延迟系数,表示各滞后期 X的变动对 Y平均值影响的大小。
如果各期的 X值保持不变,则 X与 Y间的长期或均衡关系即为
s
i
i
0
称为 长期 （ long-run） 或 均衡乘数 （ total
distributed-lag multiplier）,表示 X变动一个单位，由于滞后效应而形成的对 Y平均值总影响的大小。
XYE
s
i
i )()(
0
2、自回归模型 （ autoregressive model）
而
tttt YXY 1210
称为 一阶自回归模型（ first-order autoregressive
model） 。
自回归模型,模型中的解释变量仅包含 X的当期值与被解释变量 Y的一个或多个滞后值
t
q
i
ititt YXY
1
10
二、分布滞后模型的参数估计无限期的分布滞后模型,由于样本观测值的有限性，使得无法直接对其进行估计。
有限期的分布滞后模型,OLS会遇到如下问题：
1,没有先验准则确定滞后期长度；
2,如果滞后期较长,将缺乏足够的自由度进行估计和检验；
3、同名变量滞后值之间可能存在高度线性相关，即模型存在高度的多重共线性。
1、分布滞后模型估计的困难
2、分布滞后模型的修正估计方法人们提出了一系列的修正估计方法,但并不很完善 。
各种方法的 基本思想大致相同,都是 通过对各滞后变量加权,组成线性合成变量而有目的地减少滞后变量的数目,以缓解多重共线性,保证自由度 。
(1)经验加权法根据实际问题的特点,实际经验给各滞后变量指定权数,滞后变量按权数线性组合,构成新的变量 。 权数据的类型有：
递减型,
即认为 权数是递减的,X的近期值对 Y的影响较远期值大 。
如消费函数中,收入的近期值对消费的影响作用显然大于远期值的影响 。
例如,滞后期为 3的一组权数可取值如下：
1/2,1/4,1/6,1/8
则新的线性组合变量为：
3211 8
1
6
1
4
1
2
1
ttttt XXXXW
即认为 权数是相等的,X的逐期滞后值对值
Y的影响相同 。
如滞后期为 3,指定相等权数为 1/4,则新的线性组合变量为：
矩型,
3212 4
1
4
1
4
1
4
1
ttttt XXXXW
权数先递增后递减 呈倒,V”型 。
例如,在一个较长建设周期的投资中,历年投资 X为产出 Y的影响,往往在周期期中投资对本期产出贡献最大 。
如滞后期为 4,权数可取为
1/6,1/4,1/2,1/3,1/5
则新变量为
倒 V型
43213 5
1
3
1
2
1
4
1
6
1
tttttt XXXXXW
例 5.2.1 对一个分布滞后模型：
tttttt XXXXY 33221100
给定递减权数,1/2,1/4,1/6,1/8
令
3211 8
1
6
1
4
1
2
1
ttttt XXXXW
原模型变为：
ttt WY 110
该模型可用 OLS法估计。假如参数估计结果为
=0.5
0 1
=0.8
则原模型的估计结果为：
321321 1.01 3 3.02.04.05.08
8.06 8.04 8.02 8.05.0?
ttttttttt XXXXXXXXY
经验权数法 的 优点 是：简单易行缺点 是：设置权数的随意性较大通常的做法 是：
多选几组权数，分别估计出几个模型，
然后根据常用的统计检验（Ｒ方检验，
Ｆ检验,t检验，Ｄ -Ｗ检验），从中选择最佳估计式。
（ 2）阿尔蒙（Ａ lmon）多项式法主要思想,针对有限滞后期模型，通过阿尔蒙变换，定义新变量，以减少解释变量个数，然后用 OLS法估计参数。
主要步骤为：
第一步，阿尔蒙变换对于分布滞后模型
titi
s
i
t XY
0
假定其回归系数?i可用一个关于滞后期 i的适当阶数的多项式来表示，即,
m
k
k
ki i
1
)1( i=0,1,…,s
其中,m<s-1。阿尔蒙变换要求先验地确定适当阶数 k，例如取 k=2，得
2
21
2
1
)1()1()1(
iii
k
k
ki
（ *）
将 (*)代入 分布滞后模型
tit
k
k
k
s
i
t XiY
2
10
))1((
t
s
i
t
s
i
it XiXi
0
2
2
2
0
1 )1()1(
titi
s
i
t XY
0
得定义新变量
s
i
itt XiW
0
1 )1(?
s
i itt
XiW
0
22 )1(
将原模型转换为：
tttt WWY 2211
第二步，模型的 OLS估计对变换后的模型进行 OLS估计，得再计算出,
21?,?,
s,,?,? 21?
求出滞后分布模型参数的估计值,
2
21
2
1
)1()1()1(
iii
k
k
ki
由于 m+1<s，可以认为原模型存在的自由度不足和多重共线性问题已得到改善。
需注意的是,在实际估计中，阿尔蒙多项式的阶数 m一般取 2或 3，不超过 4，
否则达不到减少变量个数的目的。
例 5.2.2 表 5.2.1给出了中国 电力基本建设投资 X
与 发电量 Y的相关资料，拟建立一多项式分布滞后模型来考察两者的关系。
表 5,2.1 中国电力工业基本建设投资与发电量年度 基本建设投资 X
（亿元）
发电量
（亿千瓦时）
年度 基本建设投资 X
（亿元）
发电量
（亿千瓦时）
1975 30.65 1958 1986 161.6 4495
1976 39.98 2031 1987 210.88 4973
1977 34.72 2234 1988 249.73 5452
1978 50.91 2566 1989 267.85 5848
19 79 50.99 2820 1990 334.55 6212
1980 48.14 3006 1991 377.75 6775
1981 40.14 3093 1992 489.69 7539
1982 46.23 3277 1993 675.13 8395
1983 57.46 3514 1994 1033.4 2 9218
1984 76.99 3770 1995 1 124,15 10070
1985 107.86 4107
由于无法预见知电力行业基本建设投资对发电量影响的时滞期，需取不同的滞后期试算。
tttt WWWY 210 2 7 1.01 0 1.00 6 1.35.3 3 1 9
（ 13.62）（ 1.86） （ 0.15） （ -0.67）
求得的分布滞后模型参数估计值为
0 =0,3 2 3,1 =1,7 7 7,2 = 2,6 9 0,3 = 3,0 6 1,4 = 2,8 9 1,5 =2,1 8 0,6 = 0,9 2 7
经过试算发现，在 2阶阿尔蒙多项式变换下，滞后期数取到第 6期，估计结果的经济意义比较合理。
2阶阿尔蒙多项式估计结果如下：
为了比较，下面给出直接对滞后 6期的模型进行
OLS估计的结果：
最后得到分布滞后模型估计式为：
321 061.3690.2777.1323.05.3319 ttttt XXXXY
（ 1 3,6 2 ） ( 0,1 9 ) ( 2,1 4 ) ( 1,8 8 ) ( 1,8 6)
654 9 2 7.01 8 0.28 9 1.2 ttt XXX
( 1,9 6 ) ( 1,1 0 ) ( 0,2 4 ) 321 71.414.1543.11424.89.3361 ttttt XXXXY
（ 1 2,43 ） ( 1,80 ) ( - 1,89 ) ( 1,21 ) ( 0,3 6)
654 42.2594.2670.14 ttt XXX
( - 0,9 3 ) ( 1,09 ) ( - 1,12 )
2
R
= 0.9 7 7 0 F = 42,54 D W = 1,03
（ 3）科伊克（ Koyck）方法科伊克方法是将无限分布滞后模型转换为自回归模型，然后进行估计 。
对于无限分布滞后模型：
t
i
itit XY
0
科伊克变换假设?i随滞后期 i按几何级数衰减：
ii 0?
其中,0<?<1，称为分布滞后衰减率,1-?称为 调整速率 （ Speed of adjustment）。
科伊克变换的具体做法,
将科伊克假定?i=?0?i代入无限分布滞后模型，得
t
i
it
i
t XY
0
0
滞后一期并乘以?,得
(*)
1101?
t
i it
it XY
将（ *）减去（ **）得科伊克变换模型：
(**)
101 )1( ttttt XYY
整理得科伊克模型的一般形式：
tttt vcYbXaY 1
其中, )1(a,0b,c,1 tttv
科伊克模型的特点：
（ 1）以一个滞后因变量 Yt-1代替了大量的滞后解释变量
Xt-i，最大限度地节省了自由度，解决了滞后期长度 s难以确定的问题；
（ 2）由于滞后一期的因变量 Yt-1与 Xt的线性相关程度可以肯定小于 X的各期滞后值之间的相关程度，从而缓解了多重共线性。
但科伊克变换也同时产生了两个新问题：
（ 1）模型存在随机项和 vt的一阶自相关性；
（ 2）滞后被解释变量 Yt-1与随机项 vt不独立。
这些新问题需要进一步解决。
三、自回归模型的参数估计
一个无限期分布滞后模型可以通过科伊克变换转化为 自回归模型 。
事实上,许多滞后变量模型都可以转化为自回归模型,自回归模型是经济生活中更常见的模型。
以 适应预期模型 以及 局部调整模型 为例进行说明。
1、自回归模型的构造
（ 1）自适应预期（ Adaptive expectation）模型在某些实际问题中，因变量 Yt并不取决于解释变量的当前实际值 Xt，而取决于 Xt的,预期水平,或
,长期均衡水平,Xte。
例如,家庭本期消费水平，取决于本期收入的预期值；
市场上某种商品供求量，决定于本期该商品价格的均衡值。
因此,自适应预期模型 最初表现形式是
tett XY 10
由于预期变量是不可实际观测的，往往作如下自适应预期假定,
)( 11 ettetet XXrXX
其中,r为 预期系数 （ coefficient of expectation）,
0?r?1。
该式的经济含义为：,经济行为者将根据过去的经验修改他们的预期,,即本期预期值的形成是一个逐步调整过程,本期预期值的增量是本期实际值与前一期预期值之差的一部分,其比例为 r 。
这个假定还可写成：
ettet XrrXX 1)1(
将
tettt XrrXY ])1([ 110
ettet XrrXX 1)1( 代入
tett XY 10
得
(*)
将（ *）式滞后一期并乘以 (1-r),得
11101 )1()1()1()1( tett rXrrYr (**)
以 (*)减去（ **），整理得
tttt vYrrXrY 110 )1(
1)1( ttt rv
其中可见 自适应预期模型 转化为 自回归模型 。
（ 2）局部调整 (Partial Adjustment)模型
局部调整模型主要是用来研究物资储备问题的。
例如,企业为了保证生产和销售，必须保持一定的原材料储备。对应于一定的产量或销售量 Xt，
存在着预期的最佳库存 Yte。
局部调整模型的最初形式为
ttet XY 10 (9.3.7)
Yte不可观测。由于生产条件的波动，生产管理方面的原因，库存储备 Yt的实际变化量只是预期变化的一部分。
)( 11 tettt YYYY?
或：
1)1( tett YYY
(*)
其中,?为 调整系数,01
将 (*)式代入 ttet XY 10 得
tttt YXY 110 )1(
可见,局部调整模型 转化为 自回归模型储备按预定水平逐步进行调整，故有如下 局部调整假设,
2、自回归模型的参数估计
0),c o v ( 1 tt vY 0),c o v ( 1tt vv
考伊克模型：
对于自回归模型
t
q
i
ititt YXY
1
10
估计时的主要问题,滞后被解释变量的存在可能导致它与随机扰动项相关，以及随机扰动项出现序列相关性。
tttt vYXY 10)1(
1 tttv
自适应预期模型：
tttt vYrrXrY 110 )1(
1)1( ttt rv
显然存在：
局部调整模型：
tttt YXY 110 )1(
存在：滞后被解释变量 Yt-1与随机扰动项t的异期相关性。
因此,对自回归模型的估计主要需视滞后被解释变量与随机扰动项的不同关系进行估计。
以一阶自回归模型为例说明,
(1) 工具变量法若 Yt-1与?t同期相关，则 OLS估计是有偏的，并且不是一致估计。
因此，对上述模型，通常采用工具变量法，即寻找一个新的经济变量 Zt，用来代替 Yt-1。
参数估计量具有一致性 。
对于一阶自回归模型
tttt YXY 1210
在实际估计中，一般用 X的若干滞后的线性组合作为 Yt-1的工具变量,
ststtt XXXY221101?
由于原模型已假设随机扰动项?t与解释变量 X
及其滞后项不存在相关性，因此上述工具变量与
t不再线性相关。
一个更简单的情形是直接用 Xt-1作为 Yt-1的工具变量。
（ 2）普通最小二乘法若滞后被解释变量 Yt-1与随机扰动项?t同期无关
（如局部调整模型），可直接使用 OLS法进行估计，得到一致估计量。
上述工具变量法只解决了解释变量与?t相关对参数估计所造成的影响，但没有解决?t的自相关问题。
事实上，对于自回归模型,?t项的自相关问题始终存在，
对于此问题，至今没有完全有效的解决方法。唯一可做的，
就是尽可能地建立“正确”的模型，以使序列相关性的程度减轻。
注意：
例 5.2.3 建立中国长期货币流通量需求模型经验表明：中国改革开放以来，对 货币需求量
(Y)的影响因素，主要有资金运用中的 贷款额 (X)
以及反映价格变化的 居民消费者价格指数 (P)。
长期货币流通量模型 可设定为
tttet PXY 210
由于长期货币流通需求量不可观测，作局部调整,
)( 11 tettt YYYY?
(*)
(**)
将（ *）式代入（ **）得 短期货币流通量需求模型,
ttttt YPXY 1210 )1(
表 5.2.2 中国货币流通量、贷款额、居民消费价格指数历史数据单位：亿元，上年 =1 00
年度 贷币流通量
Y
民民消费价格指数
P
贷款额
X
年度 贷币流 通量
Y
民民消费价格指数
P
贷款额
X
1978 212.0 100.7 1850 1990 2644.4 101.3 17680,7
1979 267.7 101.9 2039.6 1991 3177.8 105.1 21337,8
1980 346.2 107.5 2414.3 1992 4336.0 108.6 26322,9
1981 396.3 102.5 2860.2 1993 5864.7 116.1 32943,1
1982 439.1 102 3180.6 1994 7288,6 125 39976
1983 529.8 102 3589.9 1995 7885.3 116.8 50544,1
1984 792.1 102.7 4766.1 1996 8802.0 108.8 61156,6
1985 987.8 111.9 5905.6 1997 10177,6 103.1 74914,1
1986 1218.4 107 7590.8 1998 11204,2 99.4 86524,1
1987 1454.5 108.8 9032.5 1999 13455,5 98,7 93734,3
1988 2134.0 120.7 10551,3 2000 14652,7 100.8 99371,1
1989 2344.0 116.3 14360,1
对 局部调整模型运用 OLS法估计结果如下
15638.010.360714.04.3700 tttt YPXY
（ -2.93） (2.86) (3.10) (2.87)
最后得到长期货币流通需求模型的估计式：
ttet PXY 75.821 6 3 7.03.8 4 8 3
ttttt YPXY 1210 )1(
注意：
尽管 D.W.=1.733，但不能据此判断自回归模型不存在自相关 (Why?)。
但 LM=0.7855，
=5%下，临界值?2(1)=3.84，
判断,模型已不存在一阶自相关。
如果直接对下式作 OLS回归
tttt PXY 210
ttt PXY 19.541 4 2 7.066.5 6 1 1
（ -4.81） (58.79) (5.05)
得可见该模型随机扰动项具有序列相关性，
四、格兰杰因果关系检验
自回归分布滞后模型旨在揭示：某变量的变化受其自身及其他变量过去行为的影响。
然而，许多经济变量有着相互的影响关系
GDP 消费问题,当两个变量在时间上有先导 —— 滞后关系时，能否从统计上考察这种关系是单向的还是双向的？
即,主要是一个变量过去的行为在影响另一个变量的当前行为呢？还是双方的过去行为在相互影响着对方的当前行为？
格兰杰因果关系检验（ Granger test of causality）
对两变量 Y与 X，格兰杰因果关系检验要求估计,
tit
m
i
i
m
i
itit YXY 1
11
(*)
tit
m
i i
m
i itit
XYX 2
11
(**)
可能存在有四种检验结果：
（ 1） X对 Y有单向影响,表现为（ *）式 X各滞后项前的参数整体为零，而 Y各滞后项前的参数整体不为零；
（ 2） Y对 X有单向影响,表现为（ **）式 Y各滞后项前的参数整体为零，而 X各滞后项前的参数整体不为零；
（ 3） Y与 X间存在双向影响,表现为 Y与 X各滞后项前的参数整体不为零；
（ 4） Y与 X间不存在影响,表现为 Y与 X各滞后项前的参数整体为零。
格兰杰检验是通过受约束的 F检验 完成的。如,
tit
m
i
i
m
i
itit YXY 1
11
针对中 X滞后项前的参数整体为零的假设 (X不是 Y的格兰杰原因 )
分别做包含与不包含 X滞后项的回归，记前者与后者的残差平方和分别为 RSSU,RSSR；再计算 F统计量：
)/(
/)(
knR S S
mR S SR S SF
U
UR
k为无约束回归模型的待估参数的个数。
如果,F>F?(m,n-k),则拒绝原假设，认为 X
是 Y的格兰杰原因 。
注意：
格兰杰因果关系检验 对于滞后期长度的选择有时很敏感。不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。
因此,一般而言,常进行不同滞后期长度的检验，以检验模型中随机误差项不存在序列相关的滞后期长度来选取滞后期。
例 5.2.4 检验 1978~2000年间中国当年价 GDP与居民消费 CONS的因果关系。
表 5,2,3 中国 G D P 与消费支出（亿元）
年份 人均居民消费
CONS P
人均 GD P
GDPP
年份 人均居民消费
CONS P
人均 GD P
GDPP
1978 1759.1 3605.6 1990 9113.2 183 19,5
1979 2005.4 4074.0 1991 103 15,9 212 80,4
1980 2317.1 4551.3 1992 124 59,8 258 63,7
1981 2604.1 4901.4 1993 156 82,4 345 00,7
1982 2867.9 5489.2 1994 208 09,8 466 90,7
1983 3182.5 6076.3 1995 269 44,5 58510,5
1984 3674.5 7164.4 1996 321 52,3 683 30,4
1985 4589 8792.1 1997 348 54,6 748 94,2
1986 5175 101 32,8 1998 369 21,1 790 03,3
1987 5961.2 117 84,7 1999 393 34,4 826 73,1
1988 7633.1 147 04,0 2000 429 11,9 891 12,5
1989 8523.5 164 66,0
取两阶滞后,Eviews给出的估计结果为：
P a i r w i se Gra n g e r C a u sa l i t y T e sts
S a m p l e,1 9 7 8 2 0 0 0
L a g s,2
N u l l H y p o t h e s i s,Ob s F - S t a t i st i c P ro b a b i l i t y
GD P d o e s n o t Gra n g e r C a u se C ON S 21 4,2 9 7 4 9 0,0 3 2 0 8
C ON S d o e s n o t Gra n g e r C a u se GD P 1,8 2 3 2 5 0,1 9 3 5 0
判断,?=5%，临界值 F0.05(2,17)=3.59
拒绝,GDP不是 CONS的格兰杰原因”的假设，不拒绝,CONS不是 GDP的格兰杰原因”的假设。
因此，从 2阶滞后的情况看,GDP的增长是居民消费增长的原因，而不是相反。
但在 2阶滞后时，检验的模型存在 1阶自相关性。
表 5,2,4 格兰杰因果关系检验滞后长度 格兰杰因果性 F 值 P 值 LM 值 A I C 值 结论
2
GDP
CON S
4.297 0.032 0.009 16.08 拒绝
CON S
G D P
1.823 0.194 0.008 17.86 不拒绝
3
GDP
CON S
10.219 0,001 0.010 15.14 拒绝
CON S
G D P
4.096 0.691 0.191 17.14 不拒绝
4
GDP
CON S
19.643 10E - 04 0.1 10 14.70 拒绝
CON S
G D P
5.247 0.015 0.027 16.42 拒绝
5
GDP
CON S
10.321 0.004 0.464 14.72 拒绝
CON S
G D P
5.085 0.028 0.874 16.30 拒绝
6
GDP
CON S
4.705 0.078 0.022 14.99 不拒绝
CON S
G D P
7.773 0.034 1.000 16.05 拒绝随着滞后阶数的增加,拒绝,GDP是居民消费
CONS的原因,的概率变大,而拒绝,居民消费
CONS是 GDP的原因,的概率变小 。
如果同时考虑检验模型的序列相关性以及赤池信息准则,发现,滞后 4阶或 5阶的检验模型不具有 1
阶自相关性,而且也拥有较小的 AIC值,这时 判断结果 是,GDP与 CONS有双向的格兰杰因果关系,
即相互影响 。
分析：
通常把这种过去时期的,具有滞后作用的变量叫做 滞后变量 （ Lagged Variable）,含有滞后变量的模型称为 滞后变量模型 。
滞后变量模型考虑了时间因素的作用,使静态分析的问题有可能成为动态分析 。 含有滞后解释变量的模型,又称 动态模型 （ Dynamical Model） 。
一、滞后变量模型
1、滞后效应与与产生滞后效应的原因因变量受到自身或另一解释变量的前几期值影响的现象称为 滞后效应。
表示前几期值的变量称为 滞后变量 。
如,消费函数通常认为,本期的消费除了受本期的收入影响之外,还受前 1期,或前 2期收入的影响：
Ct=?0+?1Yt+?2Yt-1+?3Yt-2+?t
Yt-1,Yt-2为 滞后变量 。
产生滞后效应的原因
1,心理因素,人们的心理定势,行为方式滞后于经济形势的变化,如中彩票的人不可能很快改变其生活方式 。
2,技术原因,如当年的产出在某种程度上依赖于过去若干期内投资形成的固定资产 。
3、制度原因,如定期存款到期才能提取，
造成了它对社会购买力的影响具有滞后性。
2、滞后变量模型以滞后变量作为解释变量，就得到 滞后变量模型 。 它的一般形式为：
q,s：滞后时间间隔自回归分布滞后模型 （ autoregressive distributed
lag model,ADL）,既含有 Y对自身滞后变量的回归,
还包括着 X分布在不同时期的滞后变量有限自回归分布滞后模型,滞后期长度有限无限自回归分布滞后模型,滞后期无限,
tststtqtqttt XXXYYYY 11022110
（ 1）分布滞后模型 （ distributed-lag model）
分布滞后模型,模型中没有滞后被解释变量，
仅有解释变量 X的当期值及其若干期的滞后值：
titi
s
i
t XY
0
0,短期 (short-run)或 即期乘数 (impact multiplier)，
表示本期 X变化一单位 对 Y平均值的影响程度 。
i (i=1,2…,s),动态乘数 或 延迟系数,表示各滞后期 X的变动对 Y平均值影响的大小。
如果各期的 X值保持不变,则 X与 Y间的长期或均衡关系即为
s
i
i
0
称为 长期 （ long-run） 或 均衡乘数 （ total
distributed-lag multiplier）,表示 X变动一个单位，由于滞后效应而形成的对 Y平均值总影响的大小。
XYE
s
i
i )()(
0
2、自回归模型 （ autoregressive model）
而
tttt YXY 1210
称为 一阶自回归模型（ first-order autoregressive
model） 。
自回归模型,模型中的解释变量仅包含 X的当期值与被解释变量 Y的一个或多个滞后值
t
q
i
ititt YXY
1
10
二、分布滞后模型的参数估计无限期的分布滞后模型,由于样本观测值的有限性，使得无法直接对其进行估计。
有限期的分布滞后模型,OLS会遇到如下问题：
1,没有先验准则确定滞后期长度；
2,如果滞后期较长,将缺乏足够的自由度进行估计和检验；
3、同名变量滞后值之间可能存在高度线性相关，即模型存在高度的多重共线性。
1、分布滞后模型估计的困难
2、分布滞后模型的修正估计方法人们提出了一系列的修正估计方法,但并不很完善 。
各种方法的 基本思想大致相同,都是 通过对各滞后变量加权,组成线性合成变量而有目的地减少滞后变量的数目,以缓解多重共线性,保证自由度 。
(1)经验加权法根据实际问题的特点,实际经验给各滞后变量指定权数,滞后变量按权数线性组合,构成新的变量 。 权数据的类型有：
递减型,
即认为 权数是递减的,X的近期值对 Y的影响较远期值大 。
如消费函数中,收入的近期值对消费的影响作用显然大于远期值的影响 。
例如,滞后期为 3的一组权数可取值如下：
1/2,1/4,1/6,1/8
则新的线性组合变量为：
3211 8
1
6
1
4
1
2
1
ttttt XXXXW
即认为 权数是相等的,X的逐期滞后值对值
Y的影响相同 。
如滞后期为 3,指定相等权数为 1/4,则新的线性组合变量为：
矩型,
3212 4
1
4
1
4
1
4
1
ttttt XXXXW
权数先递增后递减 呈倒,V”型 。
例如,在一个较长建设周期的投资中,历年投资 X为产出 Y的影响,往往在周期期中投资对本期产出贡献最大 。
如滞后期为 4,权数可取为
1/6,1/4,1/2,1/3,1/5
则新变量为
倒 V型
43213 5
1
3
1
2
1
4
1
6
1
tttttt XXXXXW
例 5.2.1 对一个分布滞后模型：
tttttt XXXXY 33221100
给定递减权数,1/2,1/4,1/6,1/8
令
3211 8
1
6
1
4
1
2
1
ttttt XXXXW
原模型变为：
ttt WY 110
该模型可用 OLS法估计。假如参数估计结果为
=0.5
0 1
=0.8
则原模型的估计结果为：
321321 1.01 3 3.02.04.05.08
8.06 8.04 8.02 8.05.0?
ttttttttt XXXXXXXXY
经验权数法 的 优点 是：简单易行缺点 是：设置权数的随意性较大通常的做法 是：
多选几组权数，分别估计出几个模型，
然后根据常用的统计检验（Ｒ方检验，
Ｆ检验,t检验，Ｄ -Ｗ检验），从中选择最佳估计式。
（ 2）阿尔蒙（Ａ lmon）多项式法主要思想,针对有限滞后期模型，通过阿尔蒙变换，定义新变量，以减少解释变量个数，然后用 OLS法估计参数。
主要步骤为：
第一步，阿尔蒙变换对于分布滞后模型
titi
s
i
t XY
0
假定其回归系数?i可用一个关于滞后期 i的适当阶数的多项式来表示，即,
m
k
k
ki i
1
)1( i=0,1,…,s
其中,m<s-1。阿尔蒙变换要求先验地确定适当阶数 k，例如取 k=2，得
2
21
2
1
)1()1()1(
iii
k
k
ki
（ *）
将 (*)代入 分布滞后模型
tit
k
k
k
s
i
t XiY
2
10
))1((
t
s
i
t
s
i
it XiXi
0
2
2
2
0
1 )1()1(
titi
s
i
t XY
0
得定义新变量
s
i
itt XiW
0
1 )1(?
s
i itt
XiW
0
22 )1(
将原模型转换为：
tttt WWY 2211
第二步，模型的 OLS估计对变换后的模型进行 OLS估计，得再计算出,
21?,?,
s,,?,? 21?
求出滞后分布模型参数的估计值,
2
21
2
1
)1()1()1(
iii
k
k
ki
由于 m+1<s，可以认为原模型存在的自由度不足和多重共线性问题已得到改善。
需注意的是,在实际估计中，阿尔蒙多项式的阶数 m一般取 2或 3，不超过 4，
否则达不到减少变量个数的目的。
例 5.2.2 表 5.2.1给出了中国 电力基本建设投资 X
与 发电量 Y的相关资料，拟建立一多项式分布滞后模型来考察两者的关系。
表 5,2.1 中国电力工业基本建设投资与发电量年度 基本建设投资 X
（亿元）
发电量
（亿千瓦时）
年度 基本建设投资 X
（亿元）
发电量
（亿千瓦时）
1975 30.65 1958 1986 161.6 4495
1976 39.98 2031 1987 210.88 4973
1977 34.72 2234 1988 249.73 5452
1978 50.91 2566 1989 267.85 5848
19 79 50.99 2820 1990 334.55 6212
1980 48.14 3006 1991 377.75 6775
1981 40.14 3093 1992 489.69 7539
1982 46.23 3277 1993 675.13 8395
1983 57.46 3514 1994 1033.4 2 9218
1984 76.99 3770 1995 1 124,15 10070
1985 107.86 4107
由于无法预见知电力行业基本建设投资对发电量影响的时滞期，需取不同的滞后期试算。
tttt WWWY 210 2 7 1.01 0 1.00 6 1.35.3 3 1 9
（ 13.62）（ 1.86） （ 0.15） （ -0.67）
求得的分布滞后模型参数估计值为
0 =0,3 2 3,1 =1,7 7 7,2 = 2,6 9 0,3 = 3,0 6 1,4 = 2,8 9 1,5 =2,1 8 0,6 = 0,9 2 7
经过试算发现，在 2阶阿尔蒙多项式变换下，滞后期数取到第 6期，估计结果的经济意义比较合理。
2阶阿尔蒙多项式估计结果如下：
为了比较，下面给出直接对滞后 6期的模型进行
OLS估计的结果：
最后得到分布滞后模型估计式为：
321 061.3690.2777.1323.05.3319 ttttt XXXXY
（ 1 3,6 2 ） ( 0,1 9 ) ( 2,1 4 ) ( 1,8 8 ) ( 1,8 6)
654 9 2 7.01 8 0.28 9 1.2 ttt XXX
( 1,9 6 ) ( 1,1 0 ) ( 0,2 4 ) 321 71.414.1543.11424.89.3361 ttttt XXXXY
（ 1 2,43 ） ( 1,80 ) ( - 1,89 ) ( 1,21 ) ( 0,3 6)
654 42.2594.2670.14 ttt XXX
( - 0,9 3 ) ( 1,09 ) ( - 1,12 )
2
R
= 0.9 7 7 0 F = 42,54 D W = 1,03
（ 3）科伊克（ Koyck）方法科伊克方法是将无限分布滞后模型转换为自回归模型，然后进行估计 。
对于无限分布滞后模型：
t
i
itit XY
0
科伊克变换假设?i随滞后期 i按几何级数衰减：
ii 0?
其中,0<?<1，称为分布滞后衰减率,1-?称为 调整速率 （ Speed of adjustment）。
科伊克变换的具体做法,
将科伊克假定?i=?0?i代入无限分布滞后模型，得
t
i
it
i
t XY
0
0
滞后一期并乘以?,得
(*)
1101?
t
i it
it XY
将（ *）减去（ **）得科伊克变换模型：
(**)
101 )1( ttttt XYY
整理得科伊克模型的一般形式：
tttt vcYbXaY 1
其中, )1(a,0b,c,1 tttv
科伊克模型的特点：
（ 1）以一个滞后因变量 Yt-1代替了大量的滞后解释变量
Xt-i，最大限度地节省了自由度，解决了滞后期长度 s难以确定的问题；
（ 2）由于滞后一期的因变量 Yt-1与 Xt的线性相关程度可以肯定小于 X的各期滞后值之间的相关程度，从而缓解了多重共线性。
但科伊克变换也同时产生了两个新问题：
（ 1）模型存在随机项和 vt的一阶自相关性；
（ 2）滞后被解释变量 Yt-1与随机项 vt不独立。
这些新问题需要进一步解决。
三、自回归模型的参数估计
一个无限期分布滞后模型可以通过科伊克变换转化为 自回归模型 。
事实上,许多滞后变量模型都可以转化为自回归模型,自回归模型是经济生活中更常见的模型。
以 适应预期模型 以及 局部调整模型 为例进行说明。
1、自回归模型的构造
（ 1）自适应预期（ Adaptive expectation）模型在某些实际问题中，因变量 Yt并不取决于解释变量的当前实际值 Xt，而取决于 Xt的,预期水平,或
,长期均衡水平,Xte。
例如,家庭本期消费水平，取决于本期收入的预期值；
市场上某种商品供求量，决定于本期该商品价格的均衡值。
因此,自适应预期模型 最初表现形式是
tett XY 10
由于预期变量是不可实际观测的，往往作如下自适应预期假定,
)( 11 ettetet XXrXX
其中,r为 预期系数 （ coefficient of expectation）,
0?r?1。
该式的经济含义为：,经济行为者将根据过去的经验修改他们的预期,,即本期预期值的形成是一个逐步调整过程,本期预期值的增量是本期实际值与前一期预期值之差的一部分,其比例为 r 。
这个假定还可写成：
ettet XrrXX 1)1(
将
tettt XrrXY ])1([ 110
ettet XrrXX 1)1( 代入
tett XY 10
得
(*)
将（ *）式滞后一期并乘以 (1-r),得
11101 )1()1()1()1( tett rXrrYr (**)
以 (*)减去（ **），整理得
tttt vYrrXrY 110 )1(
1)1( ttt rv
其中可见 自适应预期模型 转化为 自回归模型 。
（ 2）局部调整 (Partial Adjustment)模型
局部调整模型主要是用来研究物资储备问题的。
例如,企业为了保证生产和销售，必须保持一定的原材料储备。对应于一定的产量或销售量 Xt，
存在着预期的最佳库存 Yte。
局部调整模型的最初形式为
ttet XY 10 (9.3.7)
Yte不可观测。由于生产条件的波动，生产管理方面的原因，库存储备 Yt的实际变化量只是预期变化的一部分。
)( 11 tettt YYYY?
或：
1)1( tett YYY
(*)
其中,?为 调整系数,01
将 (*)式代入 ttet XY 10 得
tttt YXY 110 )1(
可见,局部调整模型 转化为 自回归模型储备按预定水平逐步进行调整，故有如下 局部调整假设,
2、自回归模型的参数估计
0),c o v ( 1 tt vY 0),c o v ( 1tt vv
考伊克模型：
对于自回归模型
t
q
i
ititt YXY
1
10
估计时的主要问题,滞后被解释变量的存在可能导致它与随机扰动项相关，以及随机扰动项出现序列相关性。
tttt vYXY 10)1(
1 tttv
自适应预期模型：
tttt vYrrXrY 110 )1(
1)1( ttt rv
显然存在：
局部调整模型：
tttt YXY 110 )1(
存在：滞后被解释变量 Yt-1与随机扰动项t的异期相关性。
因此,对自回归模型的估计主要需视滞后被解释变量与随机扰动项的不同关系进行估计。
以一阶自回归模型为例说明,
(1) 工具变量法若 Yt-1与?t同期相关，则 OLS估计是有偏的，并且不是一致估计。
因此，对上述模型，通常采用工具变量法，即寻找一个新的经济变量 Zt，用来代替 Yt-1。
参数估计量具有一致性 。
对于一阶自回归模型
tttt YXY 1210
在实际估计中，一般用 X的若干滞后的线性组合作为 Yt-1的工具变量,
ststtt XXXY221101?
由于原模型已假设随机扰动项?t与解释变量 X
及其滞后项不存在相关性，因此上述工具变量与
t不再线性相关。
一个更简单的情形是直接用 Xt-1作为 Yt-1的工具变量。
（ 2）普通最小二乘法若滞后被解释变量 Yt-1与随机扰动项?t同期无关
（如局部调整模型），可直接使用 OLS法进行估计，得到一致估计量。
上述工具变量法只解决了解释变量与?t相关对参数估计所造成的影响，但没有解决?t的自相关问题。
事实上，对于自回归模型,?t项的自相关问题始终存在，
对于此问题，至今没有完全有效的解决方法。唯一可做的，
就是尽可能地建立“正确”的模型，以使序列相关性的程度减轻。
注意：
例 5.2.3 建立中国长期货币流通量需求模型经验表明：中国改革开放以来，对 货币需求量
(Y)的影响因素，主要有资金运用中的 贷款额 (X)
以及反映价格变化的 居民消费者价格指数 (P)。
长期货币流通量模型 可设定为
tttet PXY 210
由于长期货币流通需求量不可观测，作局部调整,
)( 11 tettt YYYY?
(*)
(**)
将（ *）式代入（ **）得 短期货币流通量需求模型,
ttttt YPXY 1210 )1(
表 5.2.2 中国货币流通量、贷款额、居民消费价格指数历史数据单位：亿元，上年 =1 00
年度 贷币流通量
Y
民民消费价格指数
P
贷款额
X
年度 贷币流 通量
Y
民民消费价格指数
P
贷款额
X
1978 212.0 100.7 1850 1990 2644.4 101.3 17680,7
1979 267.7 101.9 2039.6 1991 3177.8 105.1 21337,8
1980 346.2 107.5 2414.3 1992 4336.0 108.6 26322,9
1981 396.3 102.5 2860.2 1993 5864.7 116.1 32943,1
1982 439.1 102 3180.6 1994 7288,6 125 39976
1983 529.8 102 3589.9 1995 7885.3 116.8 50544,1
1984 792.1 102.7 4766.1 1996 8802.0 108.8 61156,6
1985 987.8 111.9 5905.6 1997 10177,6 103.1 74914,1
1986 1218.4 107 7590.8 1998 11204,2 99.4 86524,1
1987 1454.5 108.8 9032.5 1999 13455,5 98,7 93734,3
1988 2134.0 120.7 10551,3 2000 14652,7 100.8 99371,1
1989 2344.0 116.3 14360,1
对 局部调整模型运用 OLS法估计结果如下
15638.010.360714.04.3700 tttt YPXY
（ -2.93） (2.86) (3.10) (2.87)
最后得到长期货币流通需求模型的估计式：
ttet PXY 75.821 6 3 7.03.8 4 8 3
ttttt YPXY 1210 )1(
注意：
尽管 D.W.=1.733，但不能据此判断自回归模型不存在自相关 (Why?)。
但 LM=0.7855，
=5%下，临界值?2(1)=3.84，
判断,模型已不存在一阶自相关。
如果直接对下式作 OLS回归
tttt PXY 210
ttt PXY 19.541 4 2 7.066.5 6 1 1
（ -4.81） (58.79) (5.05)
得可见该模型随机扰动项具有序列相关性，
四、格兰杰因果关系检验
自回归分布滞后模型旨在揭示：某变量的变化受其自身及其他变量过去行为的影响。
然而，许多经济变量有着相互的影响关系
GDP 消费问题,当两个变量在时间上有先导 —— 滞后关系时，能否从统计上考察这种关系是单向的还是双向的？
即,主要是一个变量过去的行为在影响另一个变量的当前行为呢？还是双方的过去行为在相互影响着对方的当前行为？
格兰杰因果关系检验（ Granger test of causality）
对两变量 Y与 X，格兰杰因果关系检验要求估计,
tit
m
i
i
m
i
itit YXY 1
11
(*)
tit
m
i i
m
i itit
XYX 2
11
(**)
可能存在有四种检验结果：
（ 1） X对 Y有单向影响,表现为（ *）式 X各滞后项前的参数整体为零，而 Y各滞后项前的参数整体不为零；
（ 2） Y对 X有单向影响,表现为（ **）式 Y各滞后项前的参数整体为零，而 X各滞后项前的参数整体不为零；
（ 3） Y与 X间存在双向影响,表现为 Y与 X各滞后项前的参数整体不为零；
（ 4） Y与 X间不存在影响,表现为 Y与 X各滞后项前的参数整体为零。
格兰杰检验是通过受约束的 F检验 完成的。如,
tit
m
i
i
m
i
itit YXY 1
11
针对中 X滞后项前的参数整体为零的假设 (X不是 Y的格兰杰原因 )
分别做包含与不包含 X滞后项的回归，记前者与后者的残差平方和分别为 RSSU,RSSR；再计算 F统计量：
)/(
/)(
knR S S
mR S SR S SF
U
UR
k为无约束回归模型的待估参数的个数。
如果,F>F?(m,n-k),则拒绝原假设，认为 X
是 Y的格兰杰原因 。
注意：
格兰杰因果关系检验 对于滞后期长度的选择有时很敏感。不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。
因此,一般而言,常进行不同滞后期长度的检验，以检验模型中随机误差项不存在序列相关的滞后期长度来选取滞后期。
例 5.2.4 检验 1978~2000年间中国当年价 GDP与居民消费 CONS的因果关系。
表 5,2,3 中国 G D P 与消费支出（亿元）
年份 人均居民消费
CONS P
人均 GD P
GDPP
年份 人均居民消费
CONS P
人均 GD P
GDPP
1978 1759.1 3605.6 1990 9113.2 183 19,5
1979 2005.4 4074.0 1991 103 15,9 212 80,4
1980 2317.1 4551.3 1992 124 59,8 258 63,7
1981 2604.1 4901.4 1993 156 82,4 345 00,7
1982 2867.9 5489.2 1994 208 09,8 466 90,7
1983 3182.5 6076.3 1995 269 44,5 58510,5
1984 3674.5 7164.4 1996 321 52,3 683 30,4
1985 4589 8792.1 1997 348 54,6 748 94,2
1986 5175 101 32,8 1998 369 21,1 790 03,3
1987 5961.2 117 84,7 1999 393 34,4 826 73,1
1988 7633.1 147 04,0 2000 429 11,9 891 12,5
1989 8523.5 164 66,0
取两阶滞后,Eviews给出的估计结果为：
P a i r w i se Gra n g e r C a u sa l i t y T e sts
S a m p l e,1 9 7 8 2 0 0 0
L a g s,2
N u l l H y p o t h e s i s,Ob s F - S t a t i st i c P ro b a b i l i t y
GD P d o e s n o t Gra n g e r C a u se C ON S 21 4,2 9 7 4 9 0,0 3 2 0 8
C ON S d o e s n o t Gra n g e r C a u se GD P 1,8 2 3 2 5 0,1 9 3 5 0
判断,?=5%，临界值 F0.05(2,17)=3.59
拒绝,GDP不是 CONS的格兰杰原因”的假设，不拒绝,CONS不是 GDP的格兰杰原因”的假设。
因此，从 2阶滞后的情况看,GDP的增长是居民消费增长的原因，而不是相反。
但在 2阶滞后时，检验的模型存在 1阶自相关性。
表 5,2,4 格兰杰因果关系检验滞后长度 格兰杰因果性 F 值 P 值 LM 值 A I C 值 结论
2
GDP
CON S
4.297 0.032 0.009 16.08 拒绝
CON S
G D P
1.823 0.194 0.008 17.86 不拒绝
3
GDP
CON S
10.219 0,001 0.010 15.14 拒绝
CON S
G D P
4.096 0.691 0.191 17.14 不拒绝
4
GDP
CON S
19.643 10E - 04 0.1 10 14.70 拒绝
CON S
G D P
5.247 0.015 0.027 16.42 拒绝
5
GDP
CON S
10.321 0.004 0.464 14.72 拒绝
CON S
G D P
5.085 0.028 0.874 16.30 拒绝
6
GDP
CON S
4.705 0.078 0.022 14.99 不拒绝
CON S
G D P
7.773 0.034 1.000 16.05 拒绝随着滞后阶数的增加,拒绝,GDP是居民消费
CONS的原因,的概率变大,而拒绝,居民消费
CONS是 GDP的原因,的概率变小 。
如果同时考虑检验模型的序列相关性以及赤池信息准则,发现,滞后 4阶或 5阶的检验模型不具有 1
阶自相关性,而且也拥有较小的 AIC值,这时 判断结果 是,GDP与 CONS有双向的格兰杰因果关系,
即相互影响 。
分析：
