优 化 建 模优化建模与 LINDO/LINGO软件第 6 章 经济与金融中的优化问题优 化 建 模内容提要
1,经济均衡问题及其应用
2,投资组合问题
3,市场营销问题优 化 建 模
1,经济均衡问题及其应用优 化 建 模单一生产商、单一消费者的情形
－例 6.1,市场清算价格市场上有一个生产商（甲）和一个消费者（乙）。对某种产品，他们在不同价格下的供应能力和需求能力为,
生产商（甲） 消费者（乙）
单价（万元 /
吨）
供应能力（吨） 单价（元 /吨） 需求能力（吨）
1 2 9 2
2 4 4.5 4
3 6 3 6
4 8 2.25 8
市场的清算价格应该是多少?
优 化 建 模甲以 1,2,3,4万元的单价售出的产品数量分别是 A1,A２,A３,A４ （吨）
供需平衡,A1+A２ + A３ + A４ = x1+x2+x3+x4
供应限制,A1,A２,A３,A４ ≤ 2
决策变量目标函数约束条件建立线性规划模型 (LP)
乙以 9,4.5,3,2.25万元的单价购买的产品数量分别是 x1,x2,x3,x4（吨）
非负限制,A1,A２,A３,A４,x1,x2,x3,x4 ≥ 0
消费限制,x1,x2,x3,x4 ≤ 2
9x1+4.5x2+3x3+2.5x4 -A1-2A２ -3A３ -4 A４
优 化 建 模模型求解用 LINDO求解，最优解,A1=A2=x1=x2=2,A3=A4=x3=x4=0
思考,供需平衡约束的对偶价格含义如果右端项增加一个很小的量，引起的经销商的损失就是这个小量的 3倍。
清算价格,3万元供需平衡约束目前的右端项为 0，影子价格为 -3。
结果解释优 化 建 模模型扩展假设甲的供应能力随价格的变化情况分为 K段，即价格位于区间 [pk,pk+1)时，供应量最多为 ck (k=1,2,…,K; 0 <
p1 < p2 <…<p K+1 =∞; 0 =c0 < c1 < c2 <…<c K)，我们把这个函数关系称为供应函数（这里它是一个阶梯函数）
假设乙的消费能力随价格的变化情况分为 L段，即价格位于区间 (qk+1,qk]时，消费量最多为 dk,(k=1,2,…,L; q1
>…>q L>qL+1 =0; 0=d0< d1 < d2 <…<d L),我们把这个函数关系称为需求函数（这里它也是一个阶梯函数）
优 化 建 模建立线性规划模型 (LP)
设甲以 pk的价格售出的产品数量为 Ak
(k=1,2,…,K)，乙以 qk的价格购入的产品数量为 Xk ( (k=1,2,…,L）。记 c0 = d0 =0
,..,,M,,kddX
,..,,L,,kccA
XAts
ApXq
kkk
kkk
L
k
k
K
k
k
K
k
k
L
k
kk
210
210
0,.
M ax
1
1
11
11
优 化 建 模两个生产商、两个消费者的情形
－例 6.2,市场清算价格市场上有两个生产商（甲和丙）和两个消费者（乙和丁）。他们在不同价格下的供应能力和需求能力为,
生产商（甲） 生产商（丙） 消费者（乙） 消费者（丁）
单价
（万元 /
吨）
供应能力（吨）
单价
（万元
/吨）
供应能力（吨）
单价
（元 /
吨）
需求能力（吨）
单价
（元 /吨）
需求能力（吨）
1 2 2 1 9 2 15 1
2 4 4 4 4.5 4 8 3
3 6 6 8 3 6 5 6
4 8 8 12 2.25 8 3 10
优 化 建 模甲销售到丁的运输成本是 1.5（万元） /吨丙销售到乙的运输成本是 2（万元） /吨甲、乙之间，丙、丁之间没有运输成本市场的清算价格应该是多少？
甲和丙分别生产多少？ 乙和丁分别购买多少？
目标关键是考虑这些运输成本认为甲乙是一个市场（地区或国家），而丙丁是另一个市场（地区或国家）。关税成本的存在，两个市场的清算价可能是不同 的 。
问题分析优 化 建 模甲以 1,2,3,4万元的单价售出的产品数量分别是 A1,A２,A３,A４ （吨）
决策变量目标函数乙以 9,4.5,3,2.25万元的单价购买的产品数量分别是 x1,x2,x3,x4（吨）
9x1+4.5x2+3x3+2.5x4+15y1+8y2+5y3+3y4
-2BX-1.5AY- A1-2A２ -3A３ -4 A４ -2B1-
4B２ -6B３ -8B４
丙以 2,4,6,8万元的单价售出的产品数量分别是 B 1,B ２,B ３,B ４ （吨）
丁以 15,8,5,3万元的单价购买的产品数量分别是 y1,y2,y3,y4（吨）
虚拟经销商的总利润最大建立线性规划模型
(L
P)
优 化 建 模供需平衡,AX+AY= A1+A２ + A３ + A４
BX+BY = B1+B２ + B３ + B４
AX+BX=x1+x2+x3+x4 AY+BY=y1+y2+y3+y4
约束条件
BYBXAX AY
甲的产量：
A1,A2,A3,A4
丙的产量：
B1,B2,B3,B4
乙的销量：
x1,x2,x3,x4
丁的产量：
y1,y2,y3,y4
供应限制 消费限制 非负限制决策变量之间关系优 化 建 模结果解释最优解为 A1=A2=A3=x1=x2=2,B1=1,B2=3,y1=1,y2=3，
y3=3,AX=BY=4,A4=B3=B4=x3=x4=y4=BY=0,AY=2，
也即甲将向丁销售 2吨产品，丙不会向乙销售如何才能确定清算价格呢？
针对甲的供需平衡条件，目前的右端项为 0，影子价格为
-3.5，意思就是说如果右端项增加一个很小的量，引起的经销商的损失就是这个小量的 3.5倍。可见，此时甲的销售单价就是 3万元，这就是甲面对的清算价格！
生产商丙面对的清算价格为 5。则乙面对的清算价格就是是 3.5，丁面对的清算价格就是 5，因为甲乙位于同一个市场，而丙丁也位于同一个市场。这两个市场的清算价之差正好等于从甲、乙到丙、丁的运输成本（ 1.5）。
优 化 建 模拍卖与投标问题 -例 6.3,艺术品拍卖问题招标项目类型 1 2 3 4 5
招标项目的数量 1 2 3 3 4
投标价格投标人 1 9 2 8 6 3
投标人 2 6 7 9 1 5
投标人 3 7 8 6 3 4
投标人 4 5 4 3 2 1
假设每个投标人对每类艺术品最多只能购买 1件每个投标人购买的艺术品的总数不能超过 3件问哪些艺术品能够卖出去？卖给谁？每类物品的清算价应该是多少？
优 化 建 模假设有一个中间商希望最大化自己的例润问题分析与假设设有 N类物品需要拍卖，第 j类物品的数量为 Sj（ j=1,
2,…,N）；有 M个投标者，投标者 i（ i=1,2,…,M）
对第 j类物品的投标价格为 bij（假设非负）。投标者 i
对每类物品最多购买一件，且总件数不能超过 ci。
实际中可以通过对所有投标的报价进行排序来解决优 化 建 模目标,确定第 j类物品的清算价格 pj，它应当满足下列假设条件：
成交的第 j类物品的数量不超过 Sj（ j=1,2,…,N）；
对第 j类物品的报价低于 pj的投标人将不能获得第 j类物品；
如果成交的第 j 类物品的数量少于 Sj（ j=1,2,…,N），
可以认为 pj=0 （除非拍卖方另外指定一个最低的保护价）；
对第 j类物品的报价高于 pj的投标人有权获得第 j类物品，
但如果他有权获得的物品超过 3件，那么假设他总是希望使自己的满意度最大（满意度可以用他的报价与市场清算价之差来衡量）。
优 化 建 模线性规划模型 (LP)
用 0-1变量 xij表示是否分配一件第 j类物品给投标者 i，即 xij=1表示分配，而 xij=0表示不分配。
目标函数 虚拟的中间商的总利润最大,即
M
i
N
j
ijij xb
1 1
m a x
约束条件 (1)每类物品的数量限制,.,,,N,,jSx jM
i
ij 21
1
(2)每个投标人所能分到的物品的数量限制,...,M,,icx jNj ij 211
优 化 建 模
MODEL:
TITLE 拍卖与投标 ;
SETS,! S,C,B,X的含义就是上面建模时给出的定义 ;
AUCTION,S;
BIDDER,C;
LINK(BIDDER,AUCTION),B,X;
ENDSETS
DATA,! 通过文本文件输入数据 ;
AUCTION=@FILE(AUCTION.TXT);
BIDDER =@FILE(AUCTION.TXT);
S=@FILE(AUCTION.TXT);
C=@FILE(AUCTION.TXT);
B=@FILE(AUCTION.TXT);
ENDDATA
MAX=@SUM(LINK,B*X); ! 目标函数 ;
@FOR(AUCTION(J),! 拍卖数量限制
[AUC_LIM] @SUM(BIDDER(I),X(I,J)) < S(J) );
@FOR(BIDDER(I),! 投标数量限制 ;
[BID_LIM] @SUM(AUCTION(J),X(I,J)) < C(I) );
@FOR(LINK,@BIN(X)); ! 0-1变量限制 ;
END
LINGO模型为优 化 建 模最优解为：投标人 1得到艺术品 1,3,4，投标人 2、
3都得到艺术品 2,3,5，投标人 4得到艺术品 4,5,
结果，第 4,5类艺术品各剩下 1件没有成交。
如何才能确定清算价格呢？
约束,AUC_LIM”是针对每类艺术品的数量限制的，
对应的影子价格就是其清算价格：即 5类艺术品的清算价格分别是 5,5,3,0,0。第 4,5类艺术品有剩余，所以清算价格为 0
推广,大学生的选课问题优 化 建 模交通流均衡问题－例 6.4,公路网汽车分布居民区 工作区
B
C
DA
每天上班时间有 6千辆小汽车要从居民区 A前往工作区 D
道路 AB AC BC BD CD
行驶时间
（分钟）
流量 ≤ 2 20 52 12 52 20
2< 流量 ≤ 3 30 53 13 53 30
3< 流量 ≤ 4 40 54 14 54 40
5条道路上每辆汽车的平均行驶时间和汽车流量之间的关系见下表这些汽车将如何在每条道路上分布？
优 化 建 模问题分析 交通流的规律,每辆汽车都将选择使自己从 A到 D运行时间最少的路线必然的结果,无论走哪条路线从 A到 D，最终花费的时间应该是一样的，因为花费时间较长的那条线路上的部分汽车总会改变自己的路线，以缩短自己的行驶时间汽车在每条道路上的分布将达到均衡状态决策变量共有 20个决策变量 Y(j)和 X(i,j),(i=2，
3,4； j=AB,AC,BC,BD,CD）
如 Y（ AB）表示道路 AB上的总的流量，进一步分解成三部分：
道路 AB上的流量不超过 2时的流量，用 X（ 2,AB）表示；
AB上的流量超过 2但不超过 3时，超过 2的流量部分用 X（ 3,AB）表示；
AB上的流量超过 3但不超过 4时，超过 3的流量部分用 X（ 4,AB）表示。
线性规划模型
(LP)
优 化 建 模目标函数约束条件总的堵塞时间最小用 T(i,j)表示流量 X(i,j)对应的堵塞时间
432,,i j
X ( i,j ) T ( i,j ) *
为道路并不是总堵塞时间
T(i,j)关于 i是单调增加的，即不断增加的车流只会使以前的堵塞加剧而不可能使以前的堵塞减缓。故关于决策变量 X(i,j)
而言，与希望优化的目标的单调性一致
每条道路上的总流量 Y等于该道路上的分流量 X的和
道路交汇处 A,B,C,D(称为节点 )的流量守恒（即流入量等于流出量）
决策变量的上限限制，如 X(2,AB)≤2,X(3,AB)≤1,X
（ 4,AB） ≤1等优 化 建 模
LINGO模型如下：
MODEL:
TITLE 交通流均衡 ;
SETS:
ROAD/AB,AC,BC,BD,CD/:Y;
CAR/2,3,4/;
LINK(CAR,ROAD),T,X;
ENDSETS
DATA,! 行驶时间 ;
T=20,52,12,52,20
30,53,13,53,30
40,54,14,54,40;
ENDDATA
[OBJ] MIN=@SUM(LINK,T*X); ! 目标函数 ;
优 化 建 模
! 四个节点的流量守恒条件 ;
[NODE_A] Y(@INDEX(AB))+Y(@INDEX(AC)) = 6;
[NODE_B]
Y(@INDEX(AB))=Y(@INDEX(BC))+Y(@INDEX(BD));
[NODE_C]
Y(@INDEX(AC))+Y(@INDEX(BC))=Y(@INDEX(CD));
[NODE_D] Y(@INDEX(BD))+Y(@INDEX(CD))=6;
! 每条道路上的总流量 Y等于该道路上的分流量 X的和 ;
@FOR( ROAD(I),
[ROAD_LIM] @SUM(CAR(J),X(J,I)) = Y(I) );
! 每条道路的分流量 X的上下界设定 ;
@FOR(LINK(I,J)|I#EQ#1,@BND(0,X(I,J),2) );
@FOR(LINK(I,J)|I#GT#1,@BND(0,X(I,J),1) );
END
优 化 建 模均衡时道路 AB,AC,BC,BD,CD的流量分别是
4,2,2,2,4（千辆车）。注意这时得到的目标函数 452并不是真正的总运行和堵塞时间真正运行时间是：每辆车通过 AB,AC,BC,BD,CD道路分别需要 40,52,12,52,40分钟，也就是三条路线 ABD,ACD,ABCD上都需要 92分钟，所以这也说明交通流确实达到了均衡。于是，均衡时真正的总运行时间应该是 6*92=552（千辆车 *分钟）
结果解释优 化 建 模模型讨论均衡解并不一定是最优的流量分配方案，故上面的解并不是最优解。假设有一个权威的机构来统筹安排，如何最优分配这些交通流，使所有汽车的总运行时间最小？
计算新增的流量 X(i,j),(i=2,3,4； j=AB,AC,BC,BD,CD）
造成的实际堵塞时间。以道路 AB为例：
当流量为 2（千辆）时，每辆车的通过时间为 20分钟，所以总通过时间是 40（千辆车 *分钟）
当流量增加一个单位（ 1千辆）达到 3（千辆）时，每辆车的通过时间为 30分钟，所以总通过时间是 90（千辆车 *分钟）
当流量再增加一个单位达到 4（千辆）时，每辆车的通过时间为 40分钟，所以总通过时间是 160（千辆车 *分钟）
优 化 建 模这样可以得到单位流量的增加导致总行驶时间的增量和汽车流量之间的关系，如下表道路 AB AC BC BD CD
总行驶时间的增量
（千辆车 ·
分钟）
流量 ≤ 2 20 52 12 52 20
2< 流量 ≤ 3 50 55 15 55 50
3< 流量 ≤ 4 70 57 17 57 70
用总行驶时间的增量数据代替前面模型中的每辆车的行驶时间数据 T(i,j),重新求解 LINGO模型最优的车流分配方式是：道路 AB,AC,BD,CD的流量都是 3千辆车，道路 BC上无流量；总运行时间为 498（千辆车 *分钟），优于均衡时的结果 552。此时，每辆车的运行时间 =498/6=83（分钟），少于均衡时的 92（分钟）
优 化 建 模
2,投资组合问题优 化 建 模期望年收益率至少达到 15%，应当如何投资？
基本的投资组合模型 -例 6.5,股票投资问题年份 股票 A 股票 B 股票 C 股票指数
1943 1.300 1.225 1.149 1.258997
1944 1.103 1.290 1.260 1.197526
1945 1.216 1.216 1.419 1.364361
1946 0.954 0.728 0.922 0.919287
1947 0.929 1.144 1.169 1.057080
1948 1.056 1.107 0.965 1.055012
1949 1.038 1.321 1.133 1.187925
1950 1.089 1.305 1.732 1.317130
1951 1.090 1.195 1.021 1.240164
1952 1.083 1.390 1.131 1.183675
1953 1.035 0.928 1.006 0.990108
1954 1.176 1.715 1.908 1.526236
优 化 建 模问题分析收益不确定收益的期望值风险 收益的方差一种股票收益的均值 衡量 这种股票的平均收益状况一种股票收益的方差 衡量 这种股票收益的波动幅度两种股票收益的 协方差 表示 他们之间的相关程度方差越大，
风险越大；
方差越小，
风险越小。
优 化 建 模数学期望：
ER1=0.0890833,ER2=0.213667,ER3=0.234583
协方差矩阵：
COV =
假设股票 A,B,C每年的收益率分别为 R1,R2和 R3
0,0 9 4 2 2 6 8 10,0 5 5 4 2 6 3 90,0 1 3 0 7 5 1 3
0,0 5 5 4 2 6 3 90,0 5 8 3 9 1 7 00,0 1 2 4 0 7 2 1
0 1 3 0 7 5 1 3.00 1 2 4 0 7 2 1.00 1 0 8 0 7 5 4.0
优 化 建 模模型建立年收益率（的数学期望）不低于 15%
资金 全部用于投资这三种股票决策变量 x1投资股票 A x2投资股票 B x3投资股票 C
约束条件 x1,x2,x3? 0，x
1+x2 +x3 = 1
x1ER1+x2ER2+x3ER3 ≥ 0.15
3
1
3
332233112211
332211332211
),co v (
),co v (2),co v (2),co v (2
)()()()(
j i
jiji
RRxx
RxRxRxRxRxRx
RxDRxDRxDRxRxRxDV
目标函数 年投资收益率的方差极小二次规划模型
(QP) A占 53%,B占 36%,C占 11%
优 化 建 模现有一种无风险的投资方式 (如购买国库券 )。假设国库券的年收益率为 5%，如何考虑例 6.5中的问题？
存在无风险资产时的投资组合模型 -例 6.6:
问题分析无风险的投资方式的收益固定 方差为 0 特例假设 国库券的投资方式记为 D
投资 A占 8%,B占 42%,C占 14%,D占 34%
期望收益,15% 10%
投资 A大约占 4%,B占 21%,C占 7%,D（国库券）占 67%
优 化 建 模结果分析风险资产之间的投资比例与期望收益和风险偏好无关风险资产本身相互之间的比例不变变化的只是投资于风险资产与无风险资产之间的比例分离定理
Tobin教授,1981,
诺贝尔经济学奖优 化 建 模继续考虑例 6.5（期望收益率仍定为 15%）。假设握有的股票比例为：股票 A占 50%,B占 35%,C占 15%。如按交易额的 1% 收取交易费，
考虑交易成本的的投资组合模型 -例 6.7:
问题,是否需要对手上的股票进行买卖（换手）？
模型建立决策变量 x1投资股票 A x2投资股票 B x3投资股票 C
假设购买股票 A,B,C的比例为 y1,y2和 y3
假设卖出股票 A,B,C的比例为 z1,z2和 z3
优 化 建 模投资 A大约占 52.647%,B占 35%,C占 12.299%，
约束条件
x1,x2,x3? 0，
y1,y2,y3? 0,
z1,z2,z3? 0。
注,yi与 zi （ i=1,2,3）中最多只能有一个严格取正数
x1+x2 +x3 +0.01( y1+y2 +y3 + z1+z2 +z3 )= 1 注,持有的总资金守恒
ci为当前握有的各支股票的份额
xi = ci + yi - zi（ i=1,2,3）
三者之和略小于 100%,为什么?
优 化 建 模能否通过一定方式避免协方差的计算，对模型进行简化呢？
利用股票指数简化投资组合模型 -例 6.8:
线性回归利用股票指数假设 每只股票的收益与股票指数成线性关系
M表示股票指数 均值为 m0=E(M)，方差为 s02=D(M)
股票 i，其价值 Ri = ui + biM+ ei,ei是一个随机误差项均值为 E(ei)=0，方差为 si2=D(ei)假设 随机误差项 e
i是与其他股票 j（ j≠i）和股票指数 M都是独立的 E(eiej) = E(eiM) =0
优 化 建 模如何根据所给数据经过回归计算得到 ui 和 bi?
记 12年的数据为 { M (k),Ri (k)}，（ k=1,2,…,12 ）
12
1
2)()(
12
1
2)( ||)(m i n
k
k
i
k
ii
k
k
i RMbue
优化问题结果
M的均值 m0=1.191458，方差为 s02=0.02873661
标准差为 s0=0.1695188
A:u1 =0.5639761，
b1 =0.4407264，
s12=0.005748320，
s1=0.07581767
B:u2 = -0.2635059，
b2 = 1.239802，
s22= 0.01564263，
s2= 0.1250705
C,u3 = -0.5809590，
b3 = 1.523798，
s32= 0.03025165，
s3= 0.1739300
优 化 建 模年收益率 (数学期望 )不低于 15%
决策变量 x1投资股票 A x2投资股票 B x3投资股票 C
约束条件
x1,x2,x3? 0，
x1+x2 +x3 = 1
目标函数 年投资收益率的方差极小优化模型对应的收益,
)(3
1
3
1
i
i
iii
i
ii eMbuxRxR
3
1
0
3
1
)()(
i
iiii
i
iii mbuxeMbuExER
15.0)(3
1
0
i
iii mbux
3
1
222
0
23
1
2 ])[()(
i
iiiii
i
iii sxsbxeMbuDxDR
优 化 建 模二次规划模型
(QP)
与前结果 A占 53%,B占 36%,C占 11%比较,略有差异
0,,
15.0)(
1
,.
)(m i n
321
3
1
0
321
3
1
3
1
222
0
2
xxx
mbux
xxx
bxy
ts
sxsy
i
iii
i
ii
i
ii
A占 53%,B占 38%,C占 9%结果优 化 建 模其他目标下的投资组合模型 -例 6.9:保守股票投资市场上只有两只股票 A,B可供某个投资者购买,市场只能出现两种可能的情况（ 1和 2）
情形 发生概率 股票 A 股票 B
1 0.8 1.0 1.2
2 0.2 1.5 0.7
现要使两种情况下最小的收益最大化（即不管未来发生哪种情况，都能至少获得这个收益），如何建立模型和求解？
优 化 建 模优化模型与求解决策变量约束条件目标函数
X1年初投资股票 A X2年初投资股票 B
x1,x2? 0,x1+x2 = 1
最小收益最大的“保守”目标实际上就是希望：
Max { min(1.0x1+1.2x2,1.5x1+0.7x2) }
引入一个辅助变量 y,这个模型就可以线性化。相应的 LINDO模型为,
MAX y
Subject to
x1 + x2 = 1
x1 + 1.2 x2 - y > 0
1.5 x1 + 0.7 x2 - y > 0
求解得到,应该投资 A、
B股票各 50%，至少可以增值 10%
优 化 建 模求解得到,应该投资 A股票 54.5455%,B 股票
45.4545%,至少可以增值 13.6364%,
现在，假设有一条重要信息：如果情形 1发生，股票 B的增值将达到 30%而不是表中给出的 20%。那么，一般人的想法应该是增加对股票 B的持有份额。果真如此吗？
这个投资人如果将上面模型中的 1.2改为 1.3计算也就是说，应该减少 对股票 B的持有份额，增加对股票
A的持有份额！这真是叫人大吃一惊！这相当于说：有人告诉你有某只股票涨幅要增加了，你赶紧说：那我马上把这只股票再卖点吧。之所以出现如此奇怪的现象，就是由于这个例子中的目标的特殊性引起的优 化 建 模
3.市场营销问题优 化 建 模含义,最近购买某种产品（用行表示）的顾客，下次购买四种产品的机会（概率）
现有新产品 A和 已有的同类产品 B,C,D,市场调查如下表例 6.10,新产品的市场预测 问题产品 A B C D
A 0.75 0.1 0.05 0.1
B 0.4 0.2 0.1 0.3
C 0.1 0.2 0.4 0.3
D 0.2 0.2 0.3 0.3
新产品 A未来的市场份额大概是多少？
优 化 建 模问题分析模型建立离散动态随机过程
A未来的市场份额产品编号记为 i
（ i=1,2,…,N）
转移概率矩阵的元素记为 Tij
稳定状态下每种产品的概率优化模型 (无目标函数 )
稳定状态下产品 i的市场份额记为 pi
,.,,,N,i,pTp N
j jjii
21
1
1
1
N
j j
p
pi非负 A的市场份额是 47.5%
参考程序
exam0610.lg4
优 化 建 模效用函数 - 例 6.11,小汽车属性的效用函数考虑某牌号小汽车的两种属性：价格和安全气囊。
价格分为 12.9,9.9,7.9万元 ；安全气囊的配置为两个、一个、没有。顾客对该产品的不同配置的偏好程度（效用）如下表所示,
价格（万元） 12.9 9.9 7.9
安全气囊
2 7 8 9
1 3 4 6
0 1 2 5
价格和安全气囊的效用函数如何？
优 化 建 模模型建立记价格选项分别为 H(高 ),M(中 ),L(低 )，对应的效用为 pj（ j=H,M,L）；安全气囊选项分别为 0,1,2，对应的效用为 qi（ i=0,1,2）
目的,求出 pj 和 qi
假设价格和安全气囊的效用是线性可加的，即当价格选项为 j、安全气囊选项为 i时，效用 c（ i,j） =pj+qi
如何比较不同的估计的好坏呢？
用最小二乘法确定 pj和 qi。也就是说，此时的目标为：
2
0 ][m i n
i j
( i,j )cc ( i,j )
其中,c0(i,j )是表中的数据 (安全气囊选项为 i、价格选项为 j时具体产品的效用 )
参考程序
exam0611a.lg4
优 化 建 模因为做效用分析的主要目的是将来用于把不同配置的具体产品的优劣次序排出来，所以另一种方法是希望 c(i,j)
和 c0(i,j)保持同样的顺序：即对任意的 (i,j)和 (k,l),当
c0(i,j) +1 ≤ c0(k,l)时，也尽量有 c(i,j) + 1 ≤ c(k,l) (这里,+1”表示 c(i,j)严格小于 c(k,l)，且至少相差 1)。
考虑目标
i,j k,l klij
pppp )1(m i n
求和只对满足 c0(i,j) +1≤ c0(k,l)的 (i,j)和 (k,l) 求和此时模型的最优值（误差和）为 0，所以说明在这个效用函数下，虽然得到的产品权重（效用）与问题中给出的数据并完全相同，但产品的相对偏好顺序是完全一致的。
参考程序
exam0611b.lg4
优 化 建 模航班 AH,HB,HC可搭乘旅客的最大数量分别为 120,100,110人机票的销售策略 － 例 6.12：机票分配问题出发地 -目的地 头等舱需求（人）
头等舱价格（元）
经济舱需求（人）
经济舱价格（元）
AH 33 190 56 90
AB（经 H转机） 24 244 43 193
AC（经 H转机） 12 261 67 199
HB 44 140 69 80
HC 16 186 17 103
每条航线上分别分配多少头等舱和经济舱的机票？
问题目标使销售收入最大化优 化 建 模
5个起终点航线 AH,AB,AC,HB,HC，
依次编号为 i（ i=1,2,…,5 ）
模型建立相应的头等舱需求记为 ai，价格记为 pi
相应的经济舱需求记为 bi，价格记为 qi
三个航班 AH,HB,HC的顾客容量分别是
c1=120,c2=100,c3=110
决策变量
xi（起终点航线 i上销售的头等舱机票数）
yi（销售的经济舱机票数）
优 化 建 模
)(),(m ax
5
1,
iii
i
iiiyx yqxpyxz
ii
目标 收入最大约束
x1 + x2 + x3 +y1 + y2 + y3 ≤ c1
x2+ x4+y2+ y4 ≤c2
x3+ x5+y3+ y5 ≤c3
容量限制需求限制
0 ≤ xi ≤ai
0 ≤ yi ≤bi
线性规划模型 (LP)
头等舱,33,10,12,44,16
经济舱,0,0,65,46,17
总销售收入,39344（元）
参考程序
exam0612.lg4
优 化 建 模自己练习，或课上布置布置作业内容
Thank you very much!
1,经济均衡问题及其应用
2,投资组合问题
3,市场营销问题优 化 建 模
1,经济均衡问题及其应用优 化 建 模单一生产商、单一消费者的情形
－例 6.1,市场清算价格市场上有一个生产商（甲）和一个消费者（乙）。对某种产品，他们在不同价格下的供应能力和需求能力为,
生产商（甲） 消费者（乙）
单价（万元 /
吨）
供应能力（吨） 单价（元 /吨） 需求能力（吨）
1 2 9 2
2 4 4.5 4
3 6 3 6
4 8 2.25 8
市场的清算价格应该是多少?
优 化 建 模甲以 1,2,3,4万元的单价售出的产品数量分别是 A1,A２,A３,A４ （吨）
供需平衡,A1+A２ + A３ + A４ = x1+x2+x3+x4
供应限制,A1,A２,A３,A４ ≤ 2
决策变量目标函数约束条件建立线性规划模型 (LP)
乙以 9,4.5,3,2.25万元的单价购买的产品数量分别是 x1,x2,x3,x4（吨）
非负限制,A1,A２,A３,A４,x1,x2,x3,x4 ≥ 0
消费限制,x1,x2,x3,x4 ≤ 2
9x1+4.5x2+3x3+2.5x4 -A1-2A２ -3A３ -4 A４
优 化 建 模模型求解用 LINDO求解，最优解,A1=A2=x1=x2=2,A3=A4=x3=x4=0
思考,供需平衡约束的对偶价格含义如果右端项增加一个很小的量，引起的经销商的损失就是这个小量的 3倍。
清算价格,3万元供需平衡约束目前的右端项为 0，影子价格为 -3。
结果解释优 化 建 模模型扩展假设甲的供应能力随价格的变化情况分为 K段，即价格位于区间 [pk,pk+1)时，供应量最多为 ck (k=1,2,…,K; 0 <
p1 < p2 <…<p K+1 =∞; 0 =c0 < c1 < c2 <…<c K)，我们把这个函数关系称为供应函数（这里它是一个阶梯函数）
假设乙的消费能力随价格的变化情况分为 L段，即价格位于区间 (qk+1,qk]时，消费量最多为 dk,(k=1,2,…,L; q1
>…>q L>qL+1 =0; 0=d0< d1 < d2 <…<d L),我们把这个函数关系称为需求函数（这里它也是一个阶梯函数）
优 化 建 模建立线性规划模型 (LP)
设甲以 pk的价格售出的产品数量为 Ak
(k=1,2,…,K)，乙以 qk的价格购入的产品数量为 Xk ( (k=1,2,…,L）。记 c0 = d0 =0
,..,,M,,kddX
,..,,L,,kccA
XAts
ApXq
kkk
kkk
L
k
k
K
k
k
K
k
k
L
k
kk
210
210
0,.
M ax
1
1
11
11
优 化 建 模两个生产商、两个消费者的情形
－例 6.2,市场清算价格市场上有两个生产商（甲和丙）和两个消费者（乙和丁）。他们在不同价格下的供应能力和需求能力为,
生产商（甲） 生产商（丙） 消费者（乙） 消费者（丁）
单价
（万元 /
吨）
供应能力（吨）
单价
（万元
/吨）
供应能力（吨）
单价
（元 /
吨）
需求能力（吨）
单价
（元 /吨）
需求能力（吨）
1 2 2 1 9 2 15 1
2 4 4 4 4.5 4 8 3
3 6 6 8 3 6 5 6
4 8 8 12 2.25 8 3 10
优 化 建 模甲销售到丁的运输成本是 1.5（万元） /吨丙销售到乙的运输成本是 2（万元） /吨甲、乙之间，丙、丁之间没有运输成本市场的清算价格应该是多少？
甲和丙分别生产多少？ 乙和丁分别购买多少？
目标关键是考虑这些运输成本认为甲乙是一个市场（地区或国家），而丙丁是另一个市场（地区或国家）。关税成本的存在，两个市场的清算价可能是不同 的 。
问题分析优 化 建 模甲以 1,2,3,4万元的单价售出的产品数量分别是 A1,A２,A３,A４ （吨）
决策变量目标函数乙以 9,4.5,3,2.25万元的单价购买的产品数量分别是 x1,x2,x3,x4（吨）
9x1+4.5x2+3x3+2.5x4+15y1+8y2+5y3+3y4
-2BX-1.5AY- A1-2A２ -3A３ -4 A４ -2B1-
4B２ -6B３ -8B４
丙以 2,4,6,8万元的单价售出的产品数量分别是 B 1,B ２,B ３,B ４ （吨）
丁以 15,8,5,3万元的单价购买的产品数量分别是 y1,y2,y3,y4（吨）
虚拟经销商的总利润最大建立线性规划模型
(L
P)
优 化 建 模供需平衡,AX+AY= A1+A２ + A３ + A４
BX+BY = B1+B２ + B３ + B４
AX+BX=x1+x2+x3+x4 AY+BY=y1+y2+y3+y4
约束条件
BYBXAX AY
甲的产量：
A1,A2,A3,A4
丙的产量：
B1,B2,B3,B4
乙的销量：
x1,x2,x3,x4
丁的产量：
y1,y2,y3,y4
供应限制 消费限制 非负限制决策变量之间关系优 化 建 模结果解释最优解为 A1=A2=A3=x1=x2=2,B1=1,B2=3,y1=1,y2=3，
y3=3,AX=BY=4,A4=B3=B4=x3=x4=y4=BY=0,AY=2，
也即甲将向丁销售 2吨产品，丙不会向乙销售如何才能确定清算价格呢？
针对甲的供需平衡条件，目前的右端项为 0，影子价格为
-3.5，意思就是说如果右端项增加一个很小的量，引起的经销商的损失就是这个小量的 3.5倍。可见，此时甲的销售单价就是 3万元，这就是甲面对的清算价格！
生产商丙面对的清算价格为 5。则乙面对的清算价格就是是 3.5，丁面对的清算价格就是 5，因为甲乙位于同一个市场，而丙丁也位于同一个市场。这两个市场的清算价之差正好等于从甲、乙到丙、丁的运输成本（ 1.5）。
优 化 建 模拍卖与投标问题 -例 6.3,艺术品拍卖问题招标项目类型 1 2 3 4 5
招标项目的数量 1 2 3 3 4
投标价格投标人 1 9 2 8 6 3
投标人 2 6 7 9 1 5
投标人 3 7 8 6 3 4
投标人 4 5 4 3 2 1
假设每个投标人对每类艺术品最多只能购买 1件每个投标人购买的艺术品的总数不能超过 3件问哪些艺术品能够卖出去？卖给谁？每类物品的清算价应该是多少？
优 化 建 模假设有一个中间商希望最大化自己的例润问题分析与假设设有 N类物品需要拍卖，第 j类物品的数量为 Sj（ j=1,
2,…,N）；有 M个投标者，投标者 i（ i=1,2,…,M）
对第 j类物品的投标价格为 bij（假设非负）。投标者 i
对每类物品最多购买一件，且总件数不能超过 ci。
实际中可以通过对所有投标的报价进行排序来解决优 化 建 模目标,确定第 j类物品的清算价格 pj，它应当满足下列假设条件：
成交的第 j类物品的数量不超过 Sj（ j=1,2,…,N）；
对第 j类物品的报价低于 pj的投标人将不能获得第 j类物品；
如果成交的第 j 类物品的数量少于 Sj（ j=1,2,…,N），
可以认为 pj=0 （除非拍卖方另外指定一个最低的保护价）；
对第 j类物品的报价高于 pj的投标人有权获得第 j类物品，
但如果他有权获得的物品超过 3件，那么假设他总是希望使自己的满意度最大（满意度可以用他的报价与市场清算价之差来衡量）。
优 化 建 模线性规划模型 (LP)
用 0-1变量 xij表示是否分配一件第 j类物品给投标者 i，即 xij=1表示分配，而 xij=0表示不分配。
目标函数 虚拟的中间商的总利润最大,即
M
i
N
j
ijij xb
1 1
m a x
约束条件 (1)每类物品的数量限制,.,,,N,,jSx jM
i
ij 21
1
(2)每个投标人所能分到的物品的数量限制,...,M,,icx jNj ij 211
优 化 建 模
MODEL:
TITLE 拍卖与投标 ;
SETS,! S,C,B,X的含义就是上面建模时给出的定义 ;
AUCTION,S;
BIDDER,C;
LINK(BIDDER,AUCTION),B,X;
ENDSETS
DATA,! 通过文本文件输入数据 ;
AUCTION=@FILE(AUCTION.TXT);
BIDDER =@FILE(AUCTION.TXT);
S=@FILE(AUCTION.TXT);
C=@FILE(AUCTION.TXT);
B=@FILE(AUCTION.TXT);
ENDDATA
MAX=@SUM(LINK,B*X); ! 目标函数 ;
@FOR(AUCTION(J),! 拍卖数量限制
[AUC_LIM] @SUM(BIDDER(I),X(I,J)) < S(J) );
@FOR(BIDDER(I),! 投标数量限制 ;
[BID_LIM] @SUM(AUCTION(J),X(I,J)) < C(I) );
@FOR(LINK,@BIN(X)); ! 0-1变量限制 ;
END
LINGO模型为优 化 建 模最优解为：投标人 1得到艺术品 1,3,4，投标人 2、
3都得到艺术品 2,3,5，投标人 4得到艺术品 4,5,
结果，第 4,5类艺术品各剩下 1件没有成交。
如何才能确定清算价格呢？
约束,AUC_LIM”是针对每类艺术品的数量限制的，
对应的影子价格就是其清算价格：即 5类艺术品的清算价格分别是 5,5,3,0,0。第 4,5类艺术品有剩余，所以清算价格为 0
推广,大学生的选课问题优 化 建 模交通流均衡问题－例 6.4,公路网汽车分布居民区 工作区
B
C
DA
每天上班时间有 6千辆小汽车要从居民区 A前往工作区 D
道路 AB AC BC BD CD
行驶时间
（分钟）
流量 ≤ 2 20 52 12 52 20
2< 流量 ≤ 3 30 53 13 53 30
3< 流量 ≤ 4 40 54 14 54 40
5条道路上每辆汽车的平均行驶时间和汽车流量之间的关系见下表这些汽车将如何在每条道路上分布？
优 化 建 模问题分析 交通流的规律,每辆汽车都将选择使自己从 A到 D运行时间最少的路线必然的结果,无论走哪条路线从 A到 D，最终花费的时间应该是一样的，因为花费时间较长的那条线路上的部分汽车总会改变自己的路线，以缩短自己的行驶时间汽车在每条道路上的分布将达到均衡状态决策变量共有 20个决策变量 Y(j)和 X(i,j),(i=2，
3,4； j=AB,AC,BC,BD,CD）
如 Y（ AB）表示道路 AB上的总的流量，进一步分解成三部分：
道路 AB上的流量不超过 2时的流量，用 X（ 2,AB）表示；
AB上的流量超过 2但不超过 3时，超过 2的流量部分用 X（ 3,AB）表示；
AB上的流量超过 3但不超过 4时，超过 3的流量部分用 X（ 4,AB）表示。
线性规划模型
(LP)
优 化 建 模目标函数约束条件总的堵塞时间最小用 T(i,j)表示流量 X(i,j)对应的堵塞时间
432,,i j
X ( i,j ) T ( i,j ) *
为道路并不是总堵塞时间
T(i,j)关于 i是单调增加的，即不断增加的车流只会使以前的堵塞加剧而不可能使以前的堵塞减缓。故关于决策变量 X(i,j)
而言，与希望优化的目标的单调性一致
每条道路上的总流量 Y等于该道路上的分流量 X的和
道路交汇处 A,B,C,D(称为节点 )的流量守恒（即流入量等于流出量）
决策变量的上限限制，如 X(2,AB)≤2,X(3,AB)≤1,X
（ 4,AB） ≤1等优 化 建 模
LINGO模型如下：
MODEL:
TITLE 交通流均衡 ;
SETS:
ROAD/AB,AC,BC,BD,CD/:Y;
CAR/2,3,4/;
LINK(CAR,ROAD),T,X;
ENDSETS
DATA,! 行驶时间 ;
T=20,52,12,52,20
30,53,13,53,30
40,54,14,54,40;
ENDDATA
[OBJ] MIN=@SUM(LINK,T*X); ! 目标函数 ;
优 化 建 模
! 四个节点的流量守恒条件 ;
[NODE_A] Y(@INDEX(AB))+Y(@INDEX(AC)) = 6;
[NODE_B]
Y(@INDEX(AB))=Y(@INDEX(BC))+Y(@INDEX(BD));
[NODE_C]
Y(@INDEX(AC))+Y(@INDEX(BC))=Y(@INDEX(CD));
[NODE_D] Y(@INDEX(BD))+Y(@INDEX(CD))=6;
! 每条道路上的总流量 Y等于该道路上的分流量 X的和 ;
@FOR( ROAD(I),
[ROAD_LIM] @SUM(CAR(J),X(J,I)) = Y(I) );
! 每条道路的分流量 X的上下界设定 ;
@FOR(LINK(I,J)|I#EQ#1,@BND(0,X(I,J),2) );
@FOR(LINK(I,J)|I#GT#1,@BND(0,X(I,J),1) );
END
优 化 建 模均衡时道路 AB,AC,BC,BD,CD的流量分别是
4,2,2,2,4（千辆车）。注意这时得到的目标函数 452并不是真正的总运行和堵塞时间真正运行时间是：每辆车通过 AB,AC,BC,BD,CD道路分别需要 40,52,12,52,40分钟，也就是三条路线 ABD,ACD,ABCD上都需要 92分钟，所以这也说明交通流确实达到了均衡。于是，均衡时真正的总运行时间应该是 6*92=552（千辆车 *分钟）
结果解释优 化 建 模模型讨论均衡解并不一定是最优的流量分配方案，故上面的解并不是最优解。假设有一个权威的机构来统筹安排，如何最优分配这些交通流，使所有汽车的总运行时间最小？
计算新增的流量 X(i,j),(i=2,3,4； j=AB,AC,BC,BD,CD）
造成的实际堵塞时间。以道路 AB为例：
当流量为 2（千辆）时，每辆车的通过时间为 20分钟，所以总通过时间是 40（千辆车 *分钟）
当流量增加一个单位（ 1千辆）达到 3（千辆）时，每辆车的通过时间为 30分钟，所以总通过时间是 90（千辆车 *分钟）
当流量再增加一个单位达到 4（千辆）时，每辆车的通过时间为 40分钟，所以总通过时间是 160（千辆车 *分钟）
优 化 建 模这样可以得到单位流量的增加导致总行驶时间的增量和汽车流量之间的关系，如下表道路 AB AC BC BD CD
总行驶时间的增量
（千辆车 ·
分钟）
流量 ≤ 2 20 52 12 52 20
2< 流量 ≤ 3 50 55 15 55 50
3< 流量 ≤ 4 70 57 17 57 70
用总行驶时间的增量数据代替前面模型中的每辆车的行驶时间数据 T(i,j),重新求解 LINGO模型最优的车流分配方式是：道路 AB,AC,BD,CD的流量都是 3千辆车，道路 BC上无流量；总运行时间为 498（千辆车 *分钟），优于均衡时的结果 552。此时，每辆车的运行时间 =498/6=83（分钟），少于均衡时的 92（分钟）
优 化 建 模
2,投资组合问题优 化 建 模期望年收益率至少达到 15%，应当如何投资？
基本的投资组合模型 -例 6.5,股票投资问题年份 股票 A 股票 B 股票 C 股票指数
1943 1.300 1.225 1.149 1.258997
1944 1.103 1.290 1.260 1.197526
1945 1.216 1.216 1.419 1.364361
1946 0.954 0.728 0.922 0.919287
1947 0.929 1.144 1.169 1.057080
1948 1.056 1.107 0.965 1.055012
1949 1.038 1.321 1.133 1.187925
1950 1.089 1.305 1.732 1.317130
1951 1.090 1.195 1.021 1.240164
1952 1.083 1.390 1.131 1.183675
1953 1.035 0.928 1.006 0.990108
1954 1.176 1.715 1.908 1.526236
优 化 建 模问题分析收益不确定收益的期望值风险 收益的方差一种股票收益的均值 衡量 这种股票的平均收益状况一种股票收益的方差 衡量 这种股票收益的波动幅度两种股票收益的 协方差 表示 他们之间的相关程度方差越大，
风险越大；
方差越小，
风险越小。
优 化 建 模数学期望：
ER1=0.0890833,ER2=0.213667,ER3=0.234583
协方差矩阵：
COV =
假设股票 A,B,C每年的收益率分别为 R1,R2和 R3
0,0 9 4 2 2 6 8 10,0 5 5 4 2 6 3 90,0 1 3 0 7 5 1 3
0,0 5 5 4 2 6 3 90,0 5 8 3 9 1 7 00,0 1 2 4 0 7 2 1
0 1 3 0 7 5 1 3.00 1 2 4 0 7 2 1.00 1 0 8 0 7 5 4.0
优 化 建 模模型建立年收益率（的数学期望）不低于 15%
资金 全部用于投资这三种股票决策变量 x1投资股票 A x2投资股票 B x3投资股票 C
约束条件 x1,x2,x3? 0，x
1+x2 +x3 = 1
x1ER1+x2ER2+x3ER3 ≥ 0.15
3
1
3
332233112211
332211332211
),co v (
),co v (2),co v (2),co v (2
)()()()(
j i
jiji
RRxx
RxRxRxRxRxRx
RxDRxDRxDRxRxRxDV
目标函数 年投资收益率的方差极小二次规划模型
(QP) A占 53%,B占 36%,C占 11%
优 化 建 模现有一种无风险的投资方式 (如购买国库券 )。假设国库券的年收益率为 5%，如何考虑例 6.5中的问题？
存在无风险资产时的投资组合模型 -例 6.6:
问题分析无风险的投资方式的收益固定 方差为 0 特例假设 国库券的投资方式记为 D
投资 A占 8%,B占 42%,C占 14%,D占 34%
期望收益,15% 10%
投资 A大约占 4%,B占 21%,C占 7%,D（国库券）占 67%
优 化 建 模结果分析风险资产之间的投资比例与期望收益和风险偏好无关风险资产本身相互之间的比例不变变化的只是投资于风险资产与无风险资产之间的比例分离定理
Tobin教授,1981,
诺贝尔经济学奖优 化 建 模继续考虑例 6.5（期望收益率仍定为 15%）。假设握有的股票比例为：股票 A占 50%,B占 35%,C占 15%。如按交易额的 1% 收取交易费，
考虑交易成本的的投资组合模型 -例 6.7:
问题,是否需要对手上的股票进行买卖（换手）？
模型建立决策变量 x1投资股票 A x2投资股票 B x3投资股票 C
假设购买股票 A,B,C的比例为 y1,y2和 y3
假设卖出股票 A,B,C的比例为 z1,z2和 z3
优 化 建 模投资 A大约占 52.647%,B占 35%,C占 12.299%，
约束条件
x1,x2,x3? 0，
y1,y2,y3? 0,
z1,z2,z3? 0。
注,yi与 zi （ i=1,2,3）中最多只能有一个严格取正数
x1+x2 +x3 +0.01( y1+y2 +y3 + z1+z2 +z3 )= 1 注,持有的总资金守恒
ci为当前握有的各支股票的份额
xi = ci + yi - zi（ i=1,2,3）
三者之和略小于 100%,为什么?
优 化 建 模能否通过一定方式避免协方差的计算，对模型进行简化呢？
利用股票指数简化投资组合模型 -例 6.8:
线性回归利用股票指数假设 每只股票的收益与股票指数成线性关系
M表示股票指数 均值为 m0=E(M)，方差为 s02=D(M)
股票 i，其价值 Ri = ui + biM+ ei,ei是一个随机误差项均值为 E(ei)=0，方差为 si2=D(ei)假设 随机误差项 e
i是与其他股票 j（ j≠i）和股票指数 M都是独立的 E(eiej) = E(eiM) =0
优 化 建 模如何根据所给数据经过回归计算得到 ui 和 bi?
记 12年的数据为 { M (k),Ri (k)}，（ k=1,2,…,12 ）
12
1
2)()(
12
1
2)( ||)(m i n
k
k
i
k
ii
k
k
i RMbue
优化问题结果
M的均值 m0=1.191458，方差为 s02=0.02873661
标准差为 s0=0.1695188
A:u1 =0.5639761，
b1 =0.4407264，
s12=0.005748320，
s1=0.07581767
B:u2 = -0.2635059，
b2 = 1.239802，
s22= 0.01564263，
s2= 0.1250705
C,u3 = -0.5809590，
b3 = 1.523798，
s32= 0.03025165，
s3= 0.1739300
优 化 建 模年收益率 (数学期望 )不低于 15%
决策变量 x1投资股票 A x2投资股票 B x3投资股票 C
约束条件
x1,x2,x3? 0，
x1+x2 +x3 = 1
目标函数 年投资收益率的方差极小优化模型对应的收益,
)(3
1
3
1
i
i
iii
i
ii eMbuxRxR
3
1
0
3
1
)()(
i
iiii
i
iii mbuxeMbuExER
15.0)(3
1
0
i
iii mbux
3
1
222
0
23
1
2 ])[()(
i
iiiii
i
iii sxsbxeMbuDxDR
优 化 建 模二次规划模型
(QP)
与前结果 A占 53%,B占 36%,C占 11%比较,略有差异
0,,
15.0)(
1
,.
)(m i n
321
3
1
0
321
3
1
3
1
222
0
2
xxx
mbux
xxx
bxy
ts
sxsy
i
iii
i
ii
i
ii
A占 53%,B占 38%,C占 9%结果优 化 建 模其他目标下的投资组合模型 -例 6.9:保守股票投资市场上只有两只股票 A,B可供某个投资者购买,市场只能出现两种可能的情况（ 1和 2）
情形 发生概率 股票 A 股票 B
1 0.8 1.0 1.2
2 0.2 1.5 0.7
现要使两种情况下最小的收益最大化（即不管未来发生哪种情况，都能至少获得这个收益），如何建立模型和求解？
优 化 建 模优化模型与求解决策变量约束条件目标函数
X1年初投资股票 A X2年初投资股票 B
x1,x2? 0,x1+x2 = 1
最小收益最大的“保守”目标实际上就是希望：
Max { min(1.0x1+1.2x2,1.5x1+0.7x2) }
引入一个辅助变量 y,这个模型就可以线性化。相应的 LINDO模型为,
MAX y
Subject to
x1 + x2 = 1
x1 + 1.2 x2 - y > 0
1.5 x1 + 0.7 x2 - y > 0
求解得到,应该投资 A、
B股票各 50%，至少可以增值 10%
优 化 建 模求解得到,应该投资 A股票 54.5455%,B 股票
45.4545%,至少可以增值 13.6364%,
现在，假设有一条重要信息：如果情形 1发生，股票 B的增值将达到 30%而不是表中给出的 20%。那么，一般人的想法应该是增加对股票 B的持有份额。果真如此吗？
这个投资人如果将上面模型中的 1.2改为 1.3计算也就是说，应该减少 对股票 B的持有份额，增加对股票
A的持有份额！这真是叫人大吃一惊！这相当于说：有人告诉你有某只股票涨幅要增加了，你赶紧说：那我马上把这只股票再卖点吧。之所以出现如此奇怪的现象，就是由于这个例子中的目标的特殊性引起的优 化 建 模
3.市场营销问题优 化 建 模含义,最近购买某种产品（用行表示）的顾客，下次购买四种产品的机会（概率）
现有新产品 A和 已有的同类产品 B,C,D,市场调查如下表例 6.10,新产品的市场预测 问题产品 A B C D
A 0.75 0.1 0.05 0.1
B 0.4 0.2 0.1 0.3
C 0.1 0.2 0.4 0.3
D 0.2 0.2 0.3 0.3
新产品 A未来的市场份额大概是多少？
优 化 建 模问题分析模型建立离散动态随机过程
A未来的市场份额产品编号记为 i
（ i=1,2,…,N）
转移概率矩阵的元素记为 Tij
稳定状态下每种产品的概率优化模型 (无目标函数 )
稳定状态下产品 i的市场份额记为 pi
,.,,,N,i,pTp N
j jjii
21
1
1
1
N
j j
p
pi非负 A的市场份额是 47.5%
参考程序
exam0610.lg4
优 化 建 模效用函数 - 例 6.11,小汽车属性的效用函数考虑某牌号小汽车的两种属性：价格和安全气囊。
价格分为 12.9,9.9,7.9万元 ；安全气囊的配置为两个、一个、没有。顾客对该产品的不同配置的偏好程度（效用）如下表所示,
价格（万元） 12.9 9.9 7.9
安全气囊
2 7 8 9
1 3 4 6
0 1 2 5
价格和安全气囊的效用函数如何？
优 化 建 模模型建立记价格选项分别为 H(高 ),M(中 ),L(低 )，对应的效用为 pj（ j=H,M,L）；安全气囊选项分别为 0,1,2，对应的效用为 qi（ i=0,1,2）
目的,求出 pj 和 qi
假设价格和安全气囊的效用是线性可加的，即当价格选项为 j、安全气囊选项为 i时，效用 c（ i,j） =pj+qi
如何比较不同的估计的好坏呢？
用最小二乘法确定 pj和 qi。也就是说，此时的目标为：
2
0 ][m i n
i j
( i,j )cc ( i,j )
其中,c0(i,j )是表中的数据 (安全气囊选项为 i、价格选项为 j时具体产品的效用 )
参考程序
exam0611a.lg4
优 化 建 模因为做效用分析的主要目的是将来用于把不同配置的具体产品的优劣次序排出来，所以另一种方法是希望 c(i,j)
和 c0(i,j)保持同样的顺序：即对任意的 (i,j)和 (k,l),当
c0(i,j) +1 ≤ c0(k,l)时，也尽量有 c(i,j) + 1 ≤ c(k,l) (这里,+1”表示 c(i,j)严格小于 c(k,l)，且至少相差 1)。
考虑目标
i,j k,l klij
pppp )1(m i n
求和只对满足 c0(i,j) +1≤ c0(k,l)的 (i,j)和 (k,l) 求和此时模型的最优值（误差和）为 0，所以说明在这个效用函数下，虽然得到的产品权重（效用）与问题中给出的数据并完全相同，但产品的相对偏好顺序是完全一致的。
参考程序
exam0611b.lg4
优 化 建 模航班 AH,HB,HC可搭乘旅客的最大数量分别为 120,100,110人机票的销售策略 － 例 6.12：机票分配问题出发地 -目的地 头等舱需求（人）
头等舱价格（元）
经济舱需求（人）
经济舱价格（元）
AH 33 190 56 90
AB（经 H转机） 24 244 43 193
AC（经 H转机） 12 261 67 199
HB 44 140 69 80
HC 16 186 17 103
每条航线上分别分配多少头等舱和经济舱的机票？
问题目标使销售收入最大化优 化 建 模
5个起终点航线 AH,AB,AC,HB,HC，
依次编号为 i（ i=1,2,…,5 ）
模型建立相应的头等舱需求记为 ai，价格记为 pi
相应的经济舱需求记为 bi，价格记为 qi
三个航班 AH,HB,HC的顾客容量分别是
c1=120,c2=100,c3=110
决策变量
xi（起终点航线 i上销售的头等舱机票数）
yi（销售的经济舱机票数）
优 化 建 模
)(),(m ax
5
1,
iii
i
iiiyx yqxpyxz
ii
目标 收入最大约束
x1 + x2 + x3 +y1 + y2 + y3 ≤ c1
x2+ x4+y2+ y4 ≤c2
x3+ x5+y3+ y5 ≤c3
容量限制需求限制
0 ≤ xi ≤ai
0 ≤ yi ≤bi
线性规划模型 (LP)
头等舱,33,10,12,44,16
经济舱,0,0,65,46,17
总销售收入,39344（元）
参考程序
exam0612.lg4
优 化 建 模自己练习，或课上布置布置作业内容
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