Chapter 11 Alternating Stress
(Alternating Stress)
第十一章 交变应力
（ Alternating stress）
§ 11–1 交变应力与疲劳失效 (Alternating
stress and fatigue failure)
§ 11–3 持久极限 (Endurance limit)
§ 11–2 交变应力的循环特征、应力幅和平均应力 (The cycle symbol,stress amplitude
and mean stress for alternating stress）
§ 11–4 影响持久极限的因素
(The effective factors of endurance limit )
(Alternating Stress)
§ 11–5 对称循环下构件的疲劳强度计算
(Calculation of the fatigue strength of the
member under symmetric cycles)
§ 11–6 持久极限曲线
(Enduring limit curve)
§ 11–7 不对称循环下构件的疲劳强度计算
(Calculation of the fatigue strength of the
member under unsymmetric cycles)
§ 11–8 弯扭组合交变应力的强度计算
(Calculation of the strength of composit
deformations)
(Alternating Stress)
§ 11–1 交变应力与疲劳失效
(Alternating stress and fatigue failure)
一、交变应力 （ Alternating stress )
构件内一点处的应力随时间作周期性变化,这种应力称为交变应力,
A
F
t
s
Ｏ
(Alternating Stress)
二、产生的原因 (Reasons)
例题 1 一简支梁在梁中间部分固接一电动机,由于电动机的重力作用产生静弯曲变形,当电动机工作时,由于转子的偏心而引起离心惯性力,由于离心惯性力的垂直分量随时间作周期性的变化,梁产生交变应力,
1.载荷做周期性变化
（ Load changes periodically with time）
2.载荷不变,构件点的位置随时间做周期性的变化
（ The point changes his location periodically with time under an
unchangeable load）
(Alternating Stress)
静平衡位置
ωt
t
s
sst
sm
ax
sm
in
(Alternating Stress)
例题 2 火车轮轴上的力来自车箱,大小、方向基本不变,即弯矩基本不变,F F
横截面上 A点到中性轴的距离却是随时间 t 变化的,
假设轴以匀角速度?转动,
t
z
A
try?s in?
A点 的弯曲正应力为
tI rMI yM?s s i n
s 随时间 t 按 正弦曲线变化 t
s
s1
s2
s3
s4
s1O
(Alternating Stress)
三、疲劳破坏 （ Fatigue failure）
材料在交变应力作用下的破坏习惯上称为 疲劳破坏
（ fatigue failure）
（ 1）交变应力的破坏应力值一般低于静载荷作用下的强度极限值,有时甚至低于材料的屈服极限,
（ 2）无论是脆性还是塑性材料,交变应力作用下均表现为脆性断裂,无明显塑性变形,
（ 3）断口表面可明显区分为光滑区与粗糙区两部分,
1.疲劳破坏的特点 （ Characteristics of the fatigue failure）
(Alternating Stress)
材料发生破坏前,应力随时间变化经过多次重复,其循环次数与应力的大小有关,应力愈大,循环次数愈少,
裂纹源光滑区粗糙区用手折断铁丝,弯折一次一般不断,但反复来回弯折多次后,铁丝就会发生裂断,这就是材料受交变应力作用而破坏的例子,
因疲劳破坏是在没有明显征兆的情况下突然发生的,极易造成严重事故,据统计,机械零件,尤其是高速运转的构件的破坏,大部分属于疲劳破坏,
(Alternating Stress)
（ 1）裂纹萌生 在 构件外形突变或材料内部缺陷等部位,都可能产生应力集中引起微观裂纹,分散的微观裂纹经过集结沟通,将形成宏观裂纹,
（ 2）裂纹扩展 已形成的宏观裂纹在交变应力下逐渐扩展,
（ 3）构件断裂 裂纹的扩展使构件截面逐渐削弱,削弱到一定极限时,构件便突然断裂,
2.疲劳过程一般分三个阶段
（ The three phases of fatigue process）
(Alternating Stress)
交变应力的疲劳破坏与静应力下的破坏有很大差异,故表征材料抵抗交变应力破坏能力的强度指标也不同,
下图为交变应力下具有代表性的正应力 —时间曲线,
§ 11–2 交变应力的循环特征、应力幅和平均应力
(The cycle symbol,stress amplitude and
mean stress for alternating stress)
(Alternating Stress)
一个应力循环一、基本参数 （ Basic parameters）
应力每重复变化一次,称为一个 应力循环 （ stress cycle）
O
s
t
在拉,压或弯曲交变应力下 s
s
ma x
mi n?r
在扭转交变应力下
m a x
m in?r
s max
s min
最小应力和最大应力的比值称为 循环特征 （ cycle symbol）,
用 r 表示,
1.应力循环 (Stress cycle)
2.循环特征 （ Cycle symbol）
(Alternating Stress)
3.应力幅 （ Stress amplitude）
O
一个应力循环
s
t
s max
s min
s a
sa
2
m inm a x
a
sss
4.平均应力 （ Mean stress)
最大应力和最小应力代数和的一半,称为交变应力的平均应力 （ mean stress）,用 sm表示,2 mi nma xm
sss
最大应力和最小应力的差值的的二分之一,称为交变应力的 应力幅 （ stress amplitude）
用 sa 表示
(Alternating Stress)
二、交变应力的分类
（ The classification of alternating stress）
1.对称循环 （ Symmetrical reversed cycle）
在交变应力下若最大应力与最小应力等值而反号,
O
smax
smin
s
t
smin= - smax或?min= -?max
1
ma x
mi n
s
sr
r = -1 时的交变应力,称为对称循环 （ symmetrical
reversed cycle） 交变应力,
ma xa ss? 0m?s
(Alternating Stress)
（ 1）若 非对称循环交变应力中的最小应力等于零（ smin=0）
r=0 的交变应力,称为 脉动循环 （ fluctuating cycle） 交变应力时的交变应力,称为 非对称循环 （ unsymmetrical
reversed cycle） 交变应力,
1r
0
ma x
mi n
s
sr
2
m a x
ma
sss
O
smax
smin=0
s
t
2.非对称循环 （ Unsymmetrical reversed cycle）
(Alternating Stress)
（ 2） r > 0 为同号应力循环 ; r < 0 为异号应力循环,
（ 3）构件在静应力下,各点处的应力保持恒定，即 smax= smin,
若将静应力视作交变应力的一种特例,则其循环特征
1r 0a?s ma xm ss?
O
smax
smin=0 t
s
(Alternating Stress)
例题 3 发动机连杆大头螺钉工作时最大拉力 Fmax =58.3kN,最小拉力 Fmin =55.8kN,螺纹内径为 d=11.5mm,试求 sa,sm 和 r.
解,
.
m a x
m a x 2
4 5 8 3 0 0 5 6 1 M P a
0 0 1 1 5
F
As?
..mi nmi n 24 5 5 8 0 0 5 3 7 2 MP a0 0 1 1 5F As?
M P a122 5375612 m i nm a xa sss
M Pa5492 5375612 m i nm a xm sss
9 5 7.05 6 15 3 7
ma x
mi n
s
sr
(Alternating Stress)
§ 11–3 持久极限 (Endurance Limit)
一、材料持久极限（疲劳极限）
（ Endurance limit or fatigue limit of a materials）
二,S－ N 曲线（应力 -寿命曲线）
（ S—N curve or Stress-life curve）
通过测定一组承受不同最大应力试样的疲劳寿命,以最大应力 smax 为纵坐标,疲劳寿命 N为横坐标,即可绘出材料在交变应力下的 应力 —疲劳寿命曲线,即 S-N曲线,
循环应力只要不超过某个 "最大限度 ",构件就可以经历无数次循环而不发生疲劳破坏,这个限度值称为 "疲劳极限 ",用 sr 表示,
(Alternating Stress)
当最大应力降低至某一值后,S-N曲线趋一水平,表示材料可经历无限次应力循环而不发生破坏,相应的最大应力值 smax 称为材料的疲劳极限或耐劳极限,用 sr 表示,
s -1
smax,1
N1
1
smax,2
N2
2
N
smax
三、测定方法 (Test measures)
将材料加工成最小直径为 7～ 10mm,表面磨光的试件,每组试验包括 6 ～ 10根试件,
在纯弯曲变形下,测定对称循环的持久极限技术上较简单,
对于铝合金等有色金属,S-N 曲线通常没有明显的水平部分,
通常规定一个循环基数，一般规定疲劳寿命 N0 = 108时的最大应力值为“条件”疲劳极限,
(Alternating Stress)
F F
F F
aa
第二根试件第一根试件 N1
N2
bss1m a x,
略小于2max,s 1max,s
s -1
smax,1
smax,2
N1 N2
1 2
N
smax
r表示循环特征如 s-1 表示对称循环材料的疲劳极限,
Fa
(Alternating Stress)
§ 11-4 影响构件持久极限的因素
(The effective factors of
endurance limit )
一、构件外形的影响 （ The effect of member figure）
若构件上有螺纹、键槽、键肩等,其持久极限要比同样尺寸的光滑试件有所降低,其影响程度用有效应力集中因数表示,
1
()
()
d
k
K -1s ss ()
()
1d
1k
K
sK?K和 都大于 1
(Alternating Stress)
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.180
M M
1.1?dD
R
d D
图 11-8（ a）
sK
b 5 0 0 M P as
600
700
800
900
b 1 0 0 0 M P as
d
R
(Alternating Stress)
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
图 11-8 （ b）
3.00
3.20
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.180
M M
2.11.1 dD
R
d D
sK
b 5 0 0 M P as
600
700
900
b 1 0 0 0 M P as
d
R
800
(Alternating Stress)
图 11-8 （ c）
sK
M M
22.1 dD
R
d D
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.180
d
R
b 1 0 0 0 M P as
800
900
700
600
b 5 0 0 M P as
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
3.20
3.40
(Alternating Stress)
TT
R
d D
2.11.1 dD
b 1 0 0 0 M P as800
b 7 0 0 M P as
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.180
d
R
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
1.00
K
图 11-8 （ d）
900
(Alternating Stress)
图 11-8 （ e）
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.180 dR
TT
R
d D
22.1 dD
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
1.00
K
2.60
2.80
b 7 0 0 M P as
800
b 1 0 0 0 M P as
900
(Alternating Stress)
二、构件尺寸的影响
(The effect of member sides)
光滑大试件的持久极限光滑小试件的持久极限
()d
s
s?
s
-1
-1
大试件的持久极限比小试件的持久极限要低尺寸对持久极限的影响程度,
用尺寸因数表示
(Alternating Stress)
右边表格给出了在弯,扭的对称应力循环时的尺寸因数,
直 径 d(mm)
碳钢 合金钢 各种 钢
>20～ 30 0.91 0.83 0.89
>30～ 40 0.88 0.77 0.81
>40～ 50 0.84 0.73 0.78
>50～ 60 0.81 0.70 0.76
>60～ 70 0.78 0.68 0.74
>70～ 80 0.75 0.66 0.73
>80～ 100 0.73 0.64 0.72
>100～ 120 0.70 0.62 0.70
>120～ 150 0.68 0.60 0.68
>150～ 500 0.60 0.54 0.60
表 11-1 尺寸因数
s
(Alternating Stress)
三、构件表面状态的影响
（ The effect of member surface state）
若构件表面经过淬火,氮化,渗碳等强化处理,其持久极限也就得到提高,
表面质量对持久极限的影响用表面状态因数 β表示其他加工情况的构件的 持久极限表面磨光的试件的持久 极限
()
()-1 d
s?
s
-1
实际构件表面的加工质量对持久极限也有影响,这是因为不同的加工精度在表面上造成的刀痕将呈现不同程度的应力集中
(Alternating Stress)
综合考虑上述三种影响因素,构件在对称循环下的持久极限
为表面状态因数
1
0
1 s
s
s
s
K
为有效应力集中因数sK 为尺寸因数s?
为表面磨光的光滑小试件的持久极限1?s
如果循环应力为切应力,将上述公式中的正应力换为切应力即可,
rK?
0
1
对称循环下,r= -1,上述各系数均可查表而得,
(Alternating Stress)
§ 11–5 对称循环下构件的疲劳强度计算
(Calculation of the fatigue strength of the
member under symmetric cycles)
一、对称循环的疲劳许用应力 （ The permissible stress
of fatigue under symmetric cycles）
1
0
1
1
1][
s
ss
s
s
Knn 1
0
1
1
1][
Knn
二、对称循环的疲劳强度条件 （ The strength condition of
fatigue under symmetric cycles）
][ 1m a x ss
nKn 1
ma x
ss
s
s
s 同理 nKn 1ma x
(Alternating Stress)
例题 4 阶梯轴如图,材料为铬镍合金钢,sb=920MPa,s–1=
420MPa,?–1= 250MPa,分别求出弯曲和扭转时的有效应力集中因数和尺寸因数,解,（ 1）弯曲时的有效应力集中因数和尺寸因数由图 表 查有效应力集中因数,
f50 f40
r=5 25.140
50
d
D 125.0
40
5
d
r
由表查尺寸 因 数 77.0?s?
当 时,M Pa1 00 0?bs 55.1?sK
当 时,M Pa9 00?bs 55.1?sK
当 时,M Pa9 20?bs 55.1?sK
(Alternating Stress)
（ 2） 扭转时的有效应力集中因数和尺寸因数由图 表 查有效应力集中因数当 时,M Pa1 00 0?bs 28.1K
当 时,M Pa9 00?bs 25.1K
应用直线插值法 得当 时,M Pa9 20?bs
26.1)900920(900100 25.128.125.1K
由表查尺寸 因 数 81.0
(Alternating Stress)
例题 5 旋转碳钢轴上,作用一不变的力偶 M=0.8kN·m,轴表面经过精车,sb=600MPa,s–1= 250MPa,规定 n=1.9,试校核轴的强度,
解,（ 1） 确定危险点应力及循环特征 M
M
f50 f40
r=5
M Pa2.6505.0 32800 3mi nma xss WM
为对称循环 1
ma x
mi n
s
sr
(Alternating Stress)
（ 3）强度校核
（ 2）查图表求各影响因数,计算构件持久限,
求 Ks
求?s 查图得求? 表面精车,?=0.94
所以安全查图得 4.1?sK
M Pa6 0 0 ; 15.0 ; 4.1 bdrdD s
79.0?s?
nKn 12.22504.15.62 94.079.0 1
ma x
ss
s
s
s
(Alternating Stress)
§ 11–6 持久极限曲线
(Enduring limit curve)
107 N
smax
r＝ 0.25
r＝ 0
r＝ -1
与测定对称循环特征持久极限 s?1的方法相类似,在给定的循环特征 r下进行疲劳试验,求得相应的 S－ N曲线,
利用 S－ N曲线便可确定不同 r值的持久极限 sr
(Alternating Stress)
sa
smO
选取以平均应力 sm为横轴,
应力幅 sa为纵轴的坐标系对任一循环,由它的 sa和 sm
便可在坐标系中确定一个对应的 P点
s a
sm
P
若把该点的纵横坐标相加,就是该点所代表的应力循环的最大应力即 m a xma sss
由原点到 P点作射线 OP其斜率为
r
r
1
1t a n
mi nma x
mi nma x
m
a
ss
ss
s
s?
(Alternating Stress)
循环特征相同的所有应力循环都在同一射线上,
离原点越远,纵横坐标之和越大,应力循环的 smax也越大只要 smax不超过同一 r
下的持久极限 sr,就不会出现疲劳失效所以在每一条由原点出发的射线上,都有一个由持久极限 sr
确定的临界点（如 OP上的 P’）,
将这些点联成曲线即为持久极限曲线
sa
smO
s a
sm
P
P’
(Alternating Stress)
A
20s
C
sb B
sa
smO
s a
sm
P
P’
由于需要较多的试验资料才能得到持久极限曲线,所以通常采用简化的持久极限曲线最常用的简化方法是由对称循环,脉动循环和静载荷,取得 A,C,B三点用折线 ACB代替原来的曲线折线 AC部分的倾角为 γ,斜率为 2/
2/t a n
0
01
s
ss
s
直线 AC上的点都与持久极限 sr相对应,将这些点的坐标记为
srm和 sra于是 AC的方程可写为 m1a rr s?ss s
(Alternating Stress)
§ 11–7 不对称循环下构件的疲劳强度计算
(Calculation of the fatigue strength of the
member under unsymmetric cycles)
构件工作时,若危险点的应力循环由 P点表示,则
ma,ss OIPI
延长射线 OP与 EF相交于 G点,G点纵横坐标之和就是持久极限 sr,即
rGHOH s
ssO BHI J
C
FKG
P
E
A
L
sm s
m
sa
sa
s s
γ
(Alternating Stress)
m
ma
1
m s
s?s
s
s
s
s
s
Kr a
ma
1 s
s?s
s
s
s
s
K
GH
构件的工作安全因数应为
ma
s
m
m m a
rr GHO H G Hn
s
ss
s s s s
（ a）
)( rm1 s?s s
s
s
KGH （ b）
由（ b）,（ c）两式解出
m
m
a
rGH ss
s?
由三角形相似关系 （ c）
(Alternating Stress)
强度条件为 nn?s
扭转强度条件为
n
K
n?
ma
1
s
ma
1
s?s
s
s
s
s
s
K
n
代入（ a）式
m
ma
1
m s
s?s
s
s
s
s
s
Kr a
ma
1 s
s?s
s
s
s
s
K
GH ma s
m
m m a
rr GHO H G Hn
s
ss
s s s s
（ a）
(Alternating Stress)
例题 6 如图所示圆杆上有一个沿直径的贯穿圆孔,不对称交变弯矩为 Mmax＝ 5Mmin＝ 512N·m.材料为合金钢,sb＝ 950MPa,s-1＝
430MPa,＝ 0.2,圆杆表面经磨削加工,若规定安全因数 n＝ 2,ns＝
1.5,试校核此杆的强度,
解,（ 1）计算圆杆的工作应力
(,),
3
330 0 4 6 2 8 1 0 m
3 2 3 2
dW -6
M Pa5.811028.6 512 6ma xma xWMs
M Pa3.1651 ma xmi n ss 2.051
ma x
mi n
s
sr
m
m
M
φ2
截面 m－ m
φ40
M
(Alternating Stress)
M P a9.482 3.165.812 m i nm a xm sss
M Pa6.322 m i nm a xa sss
（ 2）确定因数 Kσ,εσ,β.
按照圆杆的尺寸 05.04020dd
由图 11.9a中曲线 6查得,当 时 M Pa9 50b?s 18.2?sK
由表 11.1查得 77.0?s?
由表 11.2查得 表面经磨削加工的杆件,77.0
(Alternating Stress)
（ 3）疲劳强度校核 21.4
9.482.06.32
177.0
18.2
430
ma
1?
s?s
s
s
s
s
s Kn
规定的安全因数为 n＝ 2,nσ>n,所以疲劳强度是足够的,
（ 4）静强度校核 因为 r＝ 0.2>0，所以需要校核静强度最大应力对屈服极限的工作安全因数为
..s s
ma x
540 6 6 2
8 1 5nns
s
s
所以静强度也是满足的,
(Alternating Stress)
nnn nnn 22
s
s
s?
§ 11–8 弯扭组合交变应力的强度计算
(Calculation of the strength of composit
deformations)
弯扭组合对称循环下的强度条件其中 sn 是单一弯曲对称循环下的安全因数
n 是单一扭转对称循环下的安全因数
(Alternating Stress)
例题 7 阶梯轴的尺寸如图所示,材料为合金钢,sb=900MPa,s?
1?410MP?,1?240MPa.作用于轴上的弯矩变化于 -1000N·m 到
+1000N·m之间,扭矩变化于 0到 1500N·m之间,若规定安全因数 n=2,
试校核轴的疲劳强度,
R5
T T
M M
φ50φ60
0.4 0.4
解,（ 1）计算轴的工作应力,
M Pa3.81
103.12
1 0 0 0
M Pa3.81
103.12
1 0 0 0
6
mi n
mi n
6
ma x
ma x
W
M
W
M
s
s
.,33 30 0 5 1 2 3 1 0 m
3 2 3 2
dW -6
首先计算交变弯曲正应力及其循环特征
1
ma x
mi n
s
sr
(Alternating Stress)
其次计算交变扭转切应力及其循环特征
.,33 3
t
0 0 5 2 4 6 1 0 m
1 6 1 6
dW -6
,
6ma x
ma x 6
t
1500 6 1 1 0 P a 6 1 MP a
2 4 6 1 0
T
W?
0m in 0
ma x
mi n
mi n
r
M Pa5.302m a xa M Pa5.302m a xm
(Alternating Stress)
（ 2）确定各种因数根据 1.0105,2.15060 dRdD
由图 11.8b查得 55.1?sK
由图 11.8d查得 24.1K
由于名义应力 smax是按照轴直径等于 50mm计算的,所以尺寸因数也应按照轴直径等于 50mm来确定由表 11.1查得 78.0,73.0s
由表 11.2查得 1
对合金钢取 1.0
(Alternating Stress)
（ 3）计算弯曲工作安全因数 ns和扭转工作安全因数 n? 38.2
3.81
173.0
55.1
4 1 0
ma x
1?
s
s
s
s
s Kn
66.4
5.301.05.30
178.0
24.1
240
ma
1?
s
Kn
（ 4）计算弯扭组合交变应力下,轴的工作安全因数 ns?
212.266.438.2 66.438.2 2222 nnn nnn
s
s
s?
所以满足疲劳强度条件
(Alternating Stress)
第十一章 交变应力
（ Alternating stress）
§ 11–1 交变应力与疲劳失效 (Alternating
stress and fatigue failure)
§ 11–3 持久极限 (Endurance limit)
§ 11–2 交变应力的循环特征、应力幅和平均应力 (The cycle symbol,stress amplitude
and mean stress for alternating stress）
§ 11–4 影响持久极限的因素
(The effective factors of endurance limit )
(Alternating Stress)
§ 11–5 对称循环下构件的疲劳强度计算
(Calculation of the fatigue strength of the
member under symmetric cycles)
§ 11–6 持久极限曲线
(Enduring limit curve)
§ 11–7 不对称循环下构件的疲劳强度计算
(Calculation of the fatigue strength of the
member under unsymmetric cycles)
§ 11–8 弯扭组合交变应力的强度计算
(Calculation of the strength of composit
deformations)
(Alternating Stress)
§ 11–1 交变应力与疲劳失效
(Alternating stress and fatigue failure)
一、交变应力 （ Alternating stress )
构件内一点处的应力随时间作周期性变化,这种应力称为交变应力,
A
F
t
s
Ｏ
(Alternating Stress)
二、产生的原因 (Reasons)
例题 1 一简支梁在梁中间部分固接一电动机,由于电动机的重力作用产生静弯曲变形,当电动机工作时,由于转子的偏心而引起离心惯性力,由于离心惯性力的垂直分量随时间作周期性的变化,梁产生交变应力,
1.载荷做周期性变化
（ Load changes periodically with time）
2.载荷不变,构件点的位置随时间做周期性的变化
（ The point changes his location periodically with time under an
unchangeable load）
(Alternating Stress)
静平衡位置
ωt
t
s
sst
sm
ax
sm
in
(Alternating Stress)
例题 2 火车轮轴上的力来自车箱,大小、方向基本不变,即弯矩基本不变,F F
横截面上 A点到中性轴的距离却是随时间 t 变化的,
假设轴以匀角速度?转动,
t
z
A
try?s in?
A点 的弯曲正应力为
tI rMI yM?s s i n
s 随时间 t 按 正弦曲线变化 t
s
s1
s2
s3
s4
s1O
(Alternating Stress)
三、疲劳破坏 （ Fatigue failure）
材料在交变应力作用下的破坏习惯上称为 疲劳破坏
（ fatigue failure）
（ 1）交变应力的破坏应力值一般低于静载荷作用下的强度极限值,有时甚至低于材料的屈服极限,
（ 2）无论是脆性还是塑性材料,交变应力作用下均表现为脆性断裂,无明显塑性变形,
（ 3）断口表面可明显区分为光滑区与粗糙区两部分,
1.疲劳破坏的特点 （ Characteristics of the fatigue failure）
(Alternating Stress)
材料发生破坏前,应力随时间变化经过多次重复,其循环次数与应力的大小有关,应力愈大,循环次数愈少,
裂纹源光滑区粗糙区用手折断铁丝,弯折一次一般不断,但反复来回弯折多次后,铁丝就会发生裂断,这就是材料受交变应力作用而破坏的例子,
因疲劳破坏是在没有明显征兆的情况下突然发生的,极易造成严重事故,据统计,机械零件,尤其是高速运转的构件的破坏,大部分属于疲劳破坏,
(Alternating Stress)
（ 1）裂纹萌生 在 构件外形突变或材料内部缺陷等部位,都可能产生应力集中引起微观裂纹,分散的微观裂纹经过集结沟通,将形成宏观裂纹,
（ 2）裂纹扩展 已形成的宏观裂纹在交变应力下逐渐扩展,
（ 3）构件断裂 裂纹的扩展使构件截面逐渐削弱,削弱到一定极限时,构件便突然断裂,
2.疲劳过程一般分三个阶段
（ The three phases of fatigue process）
(Alternating Stress)
交变应力的疲劳破坏与静应力下的破坏有很大差异,故表征材料抵抗交变应力破坏能力的强度指标也不同,
下图为交变应力下具有代表性的正应力 —时间曲线,
§ 11–2 交变应力的循环特征、应力幅和平均应力
(The cycle symbol,stress amplitude and
mean stress for alternating stress)
(Alternating Stress)
一个应力循环一、基本参数 （ Basic parameters）
应力每重复变化一次,称为一个 应力循环 （ stress cycle）
O
s
t
在拉,压或弯曲交变应力下 s
s
ma x
mi n?r
在扭转交变应力下
m a x
m in?r
s max
s min
最小应力和最大应力的比值称为 循环特征 （ cycle symbol）,
用 r 表示,
1.应力循环 (Stress cycle)
2.循环特征 （ Cycle symbol）
(Alternating Stress)
3.应力幅 （ Stress amplitude）
O
一个应力循环
s
t
s max
s min
s a
sa
2
m inm a x
a
sss
4.平均应力 （ Mean stress)
最大应力和最小应力代数和的一半,称为交变应力的平均应力 （ mean stress）,用 sm表示,2 mi nma xm
sss
最大应力和最小应力的差值的的二分之一,称为交变应力的 应力幅 （ stress amplitude）
用 sa 表示
(Alternating Stress)
二、交变应力的分类
（ The classification of alternating stress）
1.对称循环 （ Symmetrical reversed cycle）
在交变应力下若最大应力与最小应力等值而反号,
O
smax
smin
s
t
smin= - smax或?min= -?max
1
ma x
mi n
s
sr
r = -1 时的交变应力,称为对称循环 （ symmetrical
reversed cycle） 交变应力,
ma xa ss? 0m?s
(Alternating Stress)
（ 1）若 非对称循环交变应力中的最小应力等于零（ smin=0）
r=0 的交变应力,称为 脉动循环 （ fluctuating cycle） 交变应力时的交变应力,称为 非对称循环 （ unsymmetrical
reversed cycle） 交变应力,
1r
0
ma x
mi n
s
sr
2
m a x
ma
sss
O
smax
smin=0
s
t
2.非对称循环 （ Unsymmetrical reversed cycle）
(Alternating Stress)
（ 2） r > 0 为同号应力循环 ; r < 0 为异号应力循环,
（ 3）构件在静应力下,各点处的应力保持恒定，即 smax= smin,
若将静应力视作交变应力的一种特例,则其循环特征
1r 0a?s ma xm ss?
O
smax
smin=0 t
s
(Alternating Stress)
例题 3 发动机连杆大头螺钉工作时最大拉力 Fmax =58.3kN,最小拉力 Fmin =55.8kN,螺纹内径为 d=11.5mm,试求 sa,sm 和 r.
解,
.
m a x
m a x 2
4 5 8 3 0 0 5 6 1 M P a
0 0 1 1 5
F
As?
..mi nmi n 24 5 5 8 0 0 5 3 7 2 MP a0 0 1 1 5F As?
M P a122 5375612 m i nm a xa sss
M Pa5492 5375612 m i nm a xm sss
9 5 7.05 6 15 3 7
ma x
mi n
s
sr
(Alternating Stress)
§ 11–3 持久极限 (Endurance Limit)
一、材料持久极限（疲劳极限）
（ Endurance limit or fatigue limit of a materials）
二,S－ N 曲线（应力 -寿命曲线）
（ S—N curve or Stress-life curve）
通过测定一组承受不同最大应力试样的疲劳寿命,以最大应力 smax 为纵坐标,疲劳寿命 N为横坐标,即可绘出材料在交变应力下的 应力 —疲劳寿命曲线,即 S-N曲线,
循环应力只要不超过某个 "最大限度 ",构件就可以经历无数次循环而不发生疲劳破坏,这个限度值称为 "疲劳极限 ",用 sr 表示,
(Alternating Stress)
当最大应力降低至某一值后,S-N曲线趋一水平,表示材料可经历无限次应力循环而不发生破坏,相应的最大应力值 smax 称为材料的疲劳极限或耐劳极限,用 sr 表示,
s -1
smax,1
N1
1
smax,2
N2
2
N
smax
三、测定方法 (Test measures)
将材料加工成最小直径为 7～ 10mm,表面磨光的试件,每组试验包括 6 ～ 10根试件,
在纯弯曲变形下,测定对称循环的持久极限技术上较简单,
对于铝合金等有色金属,S-N 曲线通常没有明显的水平部分,
通常规定一个循环基数，一般规定疲劳寿命 N0 = 108时的最大应力值为“条件”疲劳极限,
(Alternating Stress)
F F
F F
aa
第二根试件第一根试件 N1
N2
bss1m a x,
略小于2max,s 1max,s
s -1
smax,1
smax,2
N1 N2
1 2
N
smax
r表示循环特征如 s-1 表示对称循环材料的疲劳极限,
Fa
(Alternating Stress)
§ 11-4 影响构件持久极限的因素
(The effective factors of
endurance limit )
一、构件外形的影响 （ The effect of member figure）
若构件上有螺纹、键槽、键肩等,其持久极限要比同样尺寸的光滑试件有所降低,其影响程度用有效应力集中因数表示,
1
()
()
d
k
K -1s ss ()
()
1d
1k
K
sK?K和 都大于 1
(Alternating Stress)
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.180
M M
1.1?dD
R
d D
图 11-8（ a）
sK
b 5 0 0 M P as
600
700
800
900
b 1 0 0 0 M P as
d
R
(Alternating Stress)
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
图 11-8 （ b）
3.00
3.20
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.180
M M
2.11.1 dD
R
d D
sK
b 5 0 0 M P as
600
700
900
b 1 0 0 0 M P as
d
R
800
(Alternating Stress)
图 11-8 （ c）
sK
M M
22.1 dD
R
d D
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.180
d
R
b 1 0 0 0 M P as
800
900
700
600
b 5 0 0 M P as
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
3.20
3.40
(Alternating Stress)
TT
R
d D
2.11.1 dD
b 1 0 0 0 M P as800
b 7 0 0 M P as
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.180
d
R
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
1.00
K
图 11-8 （ d）
900
(Alternating Stress)
图 11-8 （ e）
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.180 dR
TT
R
d D
22.1 dD
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
2.20
2.40
1.00
K
2.60
2.80
b 7 0 0 M P as
800
b 1 0 0 0 M P as
900
(Alternating Stress)
二、构件尺寸的影响
(The effect of member sides)
光滑大试件的持久极限光滑小试件的持久极限
()d
s
s?
s
-1
-1
大试件的持久极限比小试件的持久极限要低尺寸对持久极限的影响程度,
用尺寸因数表示
(Alternating Stress)
右边表格给出了在弯,扭的对称应力循环时的尺寸因数,
直 径 d(mm)
碳钢 合金钢 各种 钢
>20～ 30 0.91 0.83 0.89
>30～ 40 0.88 0.77 0.81
>40～ 50 0.84 0.73 0.78
>50～ 60 0.81 0.70 0.76
>60～ 70 0.78 0.68 0.74
>70～ 80 0.75 0.66 0.73
>80～ 100 0.73 0.64 0.72
>100～ 120 0.70 0.62 0.70
>120～ 150 0.68 0.60 0.68
>150～ 500 0.60 0.54 0.60
表 11-1 尺寸因数
s
(Alternating Stress)
三、构件表面状态的影响
（ The effect of member surface state）
若构件表面经过淬火,氮化,渗碳等强化处理,其持久极限也就得到提高,
表面质量对持久极限的影响用表面状态因数 β表示其他加工情况的构件的 持久极限表面磨光的试件的持久 极限
()
()-1 d
s?
s
-1
实际构件表面的加工质量对持久极限也有影响,这是因为不同的加工精度在表面上造成的刀痕将呈现不同程度的应力集中
(Alternating Stress)
综合考虑上述三种影响因素,构件在对称循环下的持久极限
为表面状态因数
1
0
1 s
s
s
s
K
为有效应力集中因数sK 为尺寸因数s?
为表面磨光的光滑小试件的持久极限1?s
如果循环应力为切应力,将上述公式中的正应力换为切应力即可,
rK?
0
1
对称循环下,r= -1,上述各系数均可查表而得,
(Alternating Stress)
§ 11–5 对称循环下构件的疲劳强度计算
(Calculation of the fatigue strength of the
member under symmetric cycles)
一、对称循环的疲劳许用应力 （ The permissible stress
of fatigue under symmetric cycles）
1
0
1
1
1][
s
ss
s
s
Knn 1
0
1
1
1][
Knn
二、对称循环的疲劳强度条件 （ The strength condition of
fatigue under symmetric cycles）
][ 1m a x ss
nKn 1
ma x
ss
s
s
s 同理 nKn 1ma x
(Alternating Stress)
例题 4 阶梯轴如图,材料为铬镍合金钢,sb=920MPa,s–1=
420MPa,?–1= 250MPa,分别求出弯曲和扭转时的有效应力集中因数和尺寸因数,解,（ 1）弯曲时的有效应力集中因数和尺寸因数由图 表 查有效应力集中因数,
f50 f40
r=5 25.140
50
d
D 125.0
40
5
d
r
由表查尺寸 因 数 77.0?s?
当 时,M Pa1 00 0?bs 55.1?sK
当 时,M Pa9 00?bs 55.1?sK
当 时,M Pa9 20?bs 55.1?sK
(Alternating Stress)
（ 2） 扭转时的有效应力集中因数和尺寸因数由图 表 查有效应力集中因数当 时,M Pa1 00 0?bs 28.1K
当 时,M Pa9 00?bs 25.1K
应用直线插值法 得当 时,M Pa9 20?bs
26.1)900920(900100 25.128.125.1K
由表查尺寸 因 数 81.0
(Alternating Stress)
例题 5 旋转碳钢轴上,作用一不变的力偶 M=0.8kN·m,轴表面经过精车,sb=600MPa,s–1= 250MPa,规定 n=1.9,试校核轴的强度,
解,（ 1） 确定危险点应力及循环特征 M
M
f50 f40
r=5
M Pa2.6505.0 32800 3mi nma xss WM
为对称循环 1
ma x
mi n
s
sr
(Alternating Stress)
（ 3）强度校核
（ 2）查图表求各影响因数,计算构件持久限,
求 Ks
求?s 查图得求? 表面精车,?=0.94
所以安全查图得 4.1?sK
M Pa6 0 0 ; 15.0 ; 4.1 bdrdD s
79.0?s?
nKn 12.22504.15.62 94.079.0 1
ma x
ss
s
s
s
(Alternating Stress)
§ 11–6 持久极限曲线
(Enduring limit curve)
107 N
smax
r＝ 0.25
r＝ 0
r＝ -1
与测定对称循环特征持久极限 s?1的方法相类似,在给定的循环特征 r下进行疲劳试验,求得相应的 S－ N曲线,
利用 S－ N曲线便可确定不同 r值的持久极限 sr
(Alternating Stress)
sa
smO
选取以平均应力 sm为横轴,
应力幅 sa为纵轴的坐标系对任一循环,由它的 sa和 sm
便可在坐标系中确定一个对应的 P点
s a
sm
P
若把该点的纵横坐标相加,就是该点所代表的应力循环的最大应力即 m a xma sss
由原点到 P点作射线 OP其斜率为
r
r
1
1t a n
mi nma x
mi nma x
m
a
ss
ss
s
s?
(Alternating Stress)
循环特征相同的所有应力循环都在同一射线上,
离原点越远,纵横坐标之和越大,应力循环的 smax也越大只要 smax不超过同一 r
下的持久极限 sr,就不会出现疲劳失效所以在每一条由原点出发的射线上,都有一个由持久极限 sr
确定的临界点（如 OP上的 P’）,
将这些点联成曲线即为持久极限曲线
sa
smO
s a
sm
P
P’
(Alternating Stress)
A
20s
C
sb B
sa
smO
s a
sm
P
P’
由于需要较多的试验资料才能得到持久极限曲线,所以通常采用简化的持久极限曲线最常用的简化方法是由对称循环,脉动循环和静载荷,取得 A,C,B三点用折线 ACB代替原来的曲线折线 AC部分的倾角为 γ,斜率为 2/
2/t a n
0
01
s
ss
s
直线 AC上的点都与持久极限 sr相对应,将这些点的坐标记为
srm和 sra于是 AC的方程可写为 m1a rr s?ss s
(Alternating Stress)
§ 11–7 不对称循环下构件的疲劳强度计算
(Calculation of the fatigue strength of the
member under unsymmetric cycles)
构件工作时,若危险点的应力循环由 P点表示,则
ma,ss OIPI
延长射线 OP与 EF相交于 G点,G点纵横坐标之和就是持久极限 sr,即
rGHOH s
ssO BHI J
C
FKG
P
E
A
L
sm s
m
sa
sa
s s
γ
(Alternating Stress)
m
ma
1
m s
s?s
s
s
s
s
s
Kr a
ma
1 s
s?s
s
s
s
s
K
GH
构件的工作安全因数应为
ma
s
m
m m a
rr GHO H G Hn
s
ss
s s s s
（ a）
)( rm1 s?s s
s
s
KGH （ b）
由（ b）,（ c）两式解出
m
m
a
rGH ss
s?
由三角形相似关系 （ c）
(Alternating Stress)
强度条件为 nn?s
扭转强度条件为
n
K
n?
ma
1
s
ma
1
s?s
s
s
s
s
s
K
n
代入（ a）式
m
ma
1
m s
s?s
s
s
s
s
s
Kr a
ma
1 s
s?s
s
s
s
s
K
GH ma s
m
m m a
rr GHO H G Hn
s
ss
s s s s
（ a）
(Alternating Stress)
例题 6 如图所示圆杆上有一个沿直径的贯穿圆孔,不对称交变弯矩为 Mmax＝ 5Mmin＝ 512N·m.材料为合金钢,sb＝ 950MPa,s-1＝
430MPa,＝ 0.2,圆杆表面经磨削加工,若规定安全因数 n＝ 2,ns＝
1.5,试校核此杆的强度,
解,（ 1）计算圆杆的工作应力
(,),
3
330 0 4 6 2 8 1 0 m
3 2 3 2
dW -6
M Pa5.811028.6 512 6ma xma xWMs
M Pa3.1651 ma xmi n ss 2.051
ma x
mi n
s
sr
m
m
M
φ2
截面 m－ m
φ40
M
(Alternating Stress)
M P a9.482 3.165.812 m i nm a xm sss
M Pa6.322 m i nm a xa sss
（ 2）确定因数 Kσ,εσ,β.
按照圆杆的尺寸 05.04020dd
由图 11.9a中曲线 6查得,当 时 M Pa9 50b?s 18.2?sK
由表 11.1查得 77.0?s?
由表 11.2查得 表面经磨削加工的杆件,77.0
(Alternating Stress)
（ 3）疲劳强度校核 21.4
9.482.06.32
177.0
18.2
430
ma
1?
s?s
s
s
s
s
s Kn
规定的安全因数为 n＝ 2,nσ>n,所以疲劳强度是足够的,
（ 4）静强度校核 因为 r＝ 0.2>0，所以需要校核静强度最大应力对屈服极限的工作安全因数为
..s s
ma x
540 6 6 2
8 1 5nns
s
s
所以静强度也是满足的,
(Alternating Stress)
nnn nnn 22
s
s
s?
§ 11–8 弯扭组合交变应力的强度计算
(Calculation of the strength of composit
deformations)
弯扭组合对称循环下的强度条件其中 sn 是单一弯曲对称循环下的安全因数
n 是单一扭转对称循环下的安全因数
(Alternating Stress)
例题 7 阶梯轴的尺寸如图所示,材料为合金钢,sb=900MPa,s?
1?410MP?,1?240MPa.作用于轴上的弯矩变化于 -1000N·m 到
+1000N·m之间,扭矩变化于 0到 1500N·m之间,若规定安全因数 n=2,
试校核轴的疲劳强度,
R5
T T
M M
φ50φ60
0.4 0.4
解,（ 1）计算轴的工作应力,
M Pa3.81
103.12
1 0 0 0
M Pa3.81
103.12
1 0 0 0
6
mi n
mi n
6
ma x
ma x
W
M
W
M
s
s
.,33 30 0 5 1 2 3 1 0 m
3 2 3 2
dW -6
首先计算交变弯曲正应力及其循环特征
1
ma x
mi n
s
sr
(Alternating Stress)
其次计算交变扭转切应力及其循环特征
.,33 3
t
0 0 5 2 4 6 1 0 m
1 6 1 6
dW -6
,
6ma x
ma x 6
t
1500 6 1 1 0 P a 6 1 MP a
2 4 6 1 0
T
W?
0m in 0
ma x
mi n
mi n
r
M Pa5.302m a xa M Pa5.302m a xm
(Alternating Stress)
（ 2）确定各种因数根据 1.0105,2.15060 dRdD
由图 11.8b查得 55.1?sK
由图 11.8d查得 24.1K
由于名义应力 smax是按照轴直径等于 50mm计算的,所以尺寸因数也应按照轴直径等于 50mm来确定由表 11.1查得 78.0,73.0s
由表 11.2查得 1
对合金钢取 1.0
(Alternating Stress)
（ 3）计算弯曲工作安全因数 ns和扭转工作安全因数 n? 38.2
3.81
173.0
55.1
4 1 0
ma x
1?
s
s
s
s
s Kn
66.4
5.301.05.30
178.0
24.1
240
ma
1?
s
Kn
（ 4）计算弯扭组合交变应力下,轴的工作安全因数 ns?
212.266.438.2 66.438.2 2222 nnn nnn
s
s
s?
所以满足疲劳强度条件
