Chapter 10 Dynamic Load
(Dynamic Loading)
2009-7-29
第十章 动载荷 (Dynamic loading)
§ 10-1 概述 (Instruction)
§ 10-2 动静法的应用
(The application for method of dynamic
equilibrium)
§ 10-3 构件受冲击时的应力和变形
（ Stress and deformation by impact
loading)
(Dynamic Loading)
1,静荷载 （ Static load）
荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变,构件内各质点加速度很小,可略去不计,
§ 10-1 概述 （ Instruction）
2、动荷载 （ Dynamic load）
荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定（包括大小、方向）,构件内各质点加速度较大,
一、基本概念 （ Basic concepts）
(Dynamic Loading)
二、动响应 （ Dynamic response）
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移等）,称为 动响应 （ dynamic response）,
三、动荷因数 （ Dynamic factor）
四、动荷载的分类 （ Classification of dynamic load）
1.惯性力 （ Inertia force）
2.冲击荷载 （ Impact load）
3.振动问题 （ Vibration problem）
4.交变应力 （ Alternate stress）
动荷因数 Kd = 动响应静响应实验表明 在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超过比例极限,在动载荷下胡克定律仍成立且 E静 =E动,
(Dynamic Loading)
达朗伯原理 （ D’Alembert’s Principle）,达朗伯原理认为处于不平衡状态的物体,存在惯性力,惯性力的方向与加速度方向相反,惯性力的数值等于加速度与质量的乘积,只要在物体上加上惯性力,就可以把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理,这就是 动静法 （ Method of kineto static）,
§ 10-2 动静法的应用
（ The application for method of dynamic
equilibrium）
惯性力 （ Inertia force）,大小等于质点的质量 m与加速度 a
的乘积,方向与 a 的方向相反,即 F= -ma
(Dynamic Loading)
例题 1 一起重机绳索以加速度 a 提升一重为 P 的物体,设绳索的横截面面积为
A,绳索单位体积的质量 r,求距绳索下端为
x 处的 m-m 截面上的应力,
P
a x
m m
一、直线运动构件的动应力 （ Dynamic stress of the
body in the straight-line motion）
(Dynamic Loading)
P
a x
m m
P
a
rAg
P
a
物体的惯性力为
agP
绳索每单位长度的惯性力 rAa
绳索的重力集度为 rAg
agP
rAa
(Dynamic Loading)
NstF
绳索中的动应力为
st为静荷载下 绳索中的 静 应力
))(1(Nd AgxPgaF r
A g xPF rN s t
N s tdNd FKF?
std
N s t
d
Nd
d KA
FK
A
F
强度条件为 ][stdd K
x
m m
P
Agr x
m m
A g A arr?
agPP?
NdF
(Dynamic Loading)
当材料中的应力不超过比例极限时荷载与变形成正比
△ d表示动 变形
△ st表示静 变形
stdd K?
结论,只要将静载下的应力,变形,乘以动荷系数 Kd即得动载下的应力与变形,
x
m m
Agr AaAg rr?
agPP?P
NdFNstF
(Dynamic Loading)
例题 2 起重机丝绳的有效横截面面积为 A,[?] =300MPa,物体单位体积的质量 r,以加速度 a上升,试校核钢丝绳的强度,
解,（ 1） 受力分析如图
（ 2）动应力
l
x
m n
a x
a
FNd
qst
qG
惯性力
)1()( stNd gaAgxxqqF G r
)1(Ndd gaxAF r?
Aaq G r?
动荷因数强度条件 ][s t m a xdd m a x K
g
aK 1
d
(Dynamic Loading)
例题 3 起重机钢丝绳长 60m,名义直径 28cm,有效横截面面积 A=2,
9cm2,单位长重量 q=25,5N/m,[?] =300MPa,以 a=2m/s2的加速度提起重 50kN 的物体,试校核钢丝绳的强度,
G(1+a/g)
FNd
lq(1+a/g)
解：（ 1） 受力分析如图
（ 2） 动应力
( ) ( )Nd 1 aF G q l g
( ) ( )Ndd 1 1F aG q l
A A g
)8.9 21)(605.251050(109.2 1 34
[]2 1 4 M P a 3 0 0 M P a?
(Dynamic Loading)
例题 4 一平均直径为 D的薄圆环,绕通过其圆心且垂于环平面的轴作等速转动,已知环的角速度为?,环的横截面面积为 A,材料的单位体积质量为 r.求圆环横截面上的正应力,
r
O
二、转动构件的动应力
（ Dynamic stress of the rotating member）
(Dynamic Loading)
因圆环很薄,可认为圆环上各点的向心加速度相同,等于圆环中线上各点的向心加速度,
解：
因为环是等截面的,所以相同长度的任一段质量相等,
r
O
r O
qd
其上的惯性力集度为
2)2)(1(
2
2
d
DADAq rr
2
n 2?
Da?
(Dynamic Loading)
O
qd
y
Fd?d?
d ( d )2
Dq
FNd FNd
42
22
d
Nd
DAFF r
2)2)(1(
2
2
d
DADAq rr
2
ds i n
4
s i n)d
2
(
22
π
0
22
π
0
dd
DA
DA
D
qF
r?
r?
4
22
Nd
d
D
A
F r
(Dynamic Loading)
圆环轴线上点的线速度强度条件
[]
2
d
v
g
r
环内应力与横截面面积无关,要保证强度,应限制圆环的转速,
Fd
o
qd
y
d?
FNd FNd
4
22
d
d
D
A
F r
2d v?r
)d2(d?Dq
2D v?
(Dynamic Loading)
例题 5 重为 G的球装在长 L的转臂端部,以等角速度在光滑水平面上绕 O点旋转,已知许用应力 [?],求转臂的截面面积（不计转臂自重）
（ 2） 强度条件解,
（ 1） 受力分析如图惯性力为
FG
l
O
22nGF m a R m lG /g
AF G /
[ ] ( [ ] )
2
GF GlA
g
(Dynamic Loading)
例题 6 轮机叶片在工作时通常要发生拉伸,扭转和弯曲的组合变形,本题只计算在匀速转动时叶片的拉伸应力和轴向变形,设叶片可近似地简化为变截面直杆,且横截面面积沿轴线按线性规律变化,叶根的横截面面积 A0为叶顶的横截面面积 A1的两倍,即 A0= 2
A1.令叶根和叶顶的半径分别为 R0 和 R1,转速为?,材料单位体积的质量为 r.试求叶片根部的应力和总伸长,
(Dynamic Loading)
R0
R1
l
d?
解,设距叶根为 x 的横截面
m-m 的面积为 A(x)
m m
x
在 距叶根为?处取长为 d?
的微元,其质量应叶根顶部转轴
)211()( 0 lxAxA
d ( ) dmAr
(Dynamic Loading)
在 距叶根为?处的向心加速度为
dm 的惯性力应为
)( 02n Ra
R0
R1
l
d?
m m
x
叶根顶部转轴
2 0d ( ) dFmR
2 0( ) ( ) dARr
(Dynamic Loading)
m-m以上部分的 惯性力为
FNx
dF
x
m m
m-m截面上的轴力 FNx等于 F R0
R1
l
d?
m m
x
叶根顶部转轴
dFF
2 0( ) ( ) dl
x Ar
lxx ARFr )d()(N 02
(Dynamic Loading)
最大的惯性力发生在叶根截面上在叶根截面上的拉应力为式中 为叶顶的线速度
dF
FNx
x
m m
R0
R1
l
d?
m m
x叶根顶部转轴
]433[ 0
2
0
2
N ma x lR
lAFr
11
( ) ( )
2
00N m a x
0
511
34
F v RR
gA R R
r?
RRl 01
1vR?
(Dynamic Loading)
在距叶根为 x 处取 dx一段其伸长应为叶片的总伸长为
dP
FNx
x
m m
R0
R1
l
d?
m m
x叶根顶部
)()d(
N
xEA
dxFl x
N
0
d()l xFlxEA x
2
2
0
3 1 13 2[ ( ln 2 ) ( ln 2 ) ]
4 2 18 3
l llR
E
r
(Dynamic Loading)
在冲击过程中,运动中的物体称为 冲击物 （ impacting body）
阻止冲击物运动的构件,称为 被冲击物 （ impacted body）
当运动着的物体碰撞到一静止的构件时,前者的运动将受阻而在短时间停止运动,这时构件就受到了冲击作用,
原理 （ Principle） 能量法 （ Energy method）
§ 10-3 构件受冲击时的应力和变形
（ Stress and deformation by impact loading)
(Dynamic Loading)
冲击时,冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化,其加速度 a很难测出,无法计算惯性力,故无法使用动静法,在实用计算中,一般采用能量法,即在若干假设的基础上,根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变形进行偏于安全的简化计算,
机械能守恒定律
T,V 是 冲击物 在冲击过程中所 减少的 动能和势能,
Vεd是被冲击物所增加的应变能,
εdVVT
(Dynamic Loading)
一、自由落体冲击问题 （ Impact problem about the free
falling body）
假设 (Assumption)
1.冲击物视为刚体,不考虑其变形
（ The impacting body is rigid） ;
2.被冲击物的质量远小于冲击物的质量,可忽略不计
（ The mass of the impacted deformable body is negligible in
comparison with the impacting mass） ;
3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动
（ The impact body do not rebound） ;
4.不考虑冲击时热能的损失,即认为只有系统动能与势能的转化
（ The loss of energy of sound light heat ect,in the process of
impact is lost in the impact）,
(Dynamic Loading)
v
h
重物 P从高度为 h处自由落下,
冲击到弹簧顶面上,然后随弹簧一起向下运动,当重物 P的速度逐渐降低到零时,弹簧的变形达到最大值 Δd,与之相应的冲击载荷即为 Fd.
P h
P
(Dynamic Loading)
hP
dΔ0?T )( d hPV
其中 ε d d d1VF2
d d d()
1P h F
2所以
d d
st
F
P
d
d
s t
FP
d
st
d
d 2
1)( ΔP
Δ
ΔΔhP
εdVVT
根据能量守恒定律可知,冲击物所减少的动能 T和势能 V,应全部转换为弹簧的变形能,即εdV
(Dynamic Loading)
为动荷因数其中
0222 st d st d h
)(
st
st
st st st
d
hh 211
2
842 2
st d
st
st d K)
h( 211
st
d?
hK 211
d d
d d d
st
d d st
F
K F K P
P
K
(Dynamic Loading)
例题 7 一重量为 P的重物由高度为 h的位置自由下落,与一块和直杆 AB 相连的平板发生冲击,杆的横截面面积为 A,求杆的冲击应力,
A
P
B
重物是冲击物,
杆 AB（包括圆盘）是被冲击物,
d?
Fd
A
B
冲击物减少的势能动能无变化
AB 增加的应变能
)( d hPV
0?T
ddεd 2
1 ΔFV?
(Dynamic Loading)
根据能量守恒定理
A
P
B
d?
Fd
A
d
d
Fl
EA?
EA
lP
st? Δl
EAP
st?
ddd 2
1)( FhP
2
dddεd )(2
1
2
1
l
EAFV
dd )(?l
EAF?
(Dynamic Loading)
A
Bd?
dF
A
P
B
A
B
P
st?
st
st d
h211
0222 hst d st d d
st
211 hK
称为自由落体冲击的动荷因数
(Dynamic Loading)
A
P
B
A
B
A
Bd
dP P
st?
d
s t
2hK 1 1
st dd K?
ddF K P
stdd K?
st 为冲击物以静载方式作用在冲击点时,冲击点的静位移,
(Dynamic Loading)
（ 1） 当载荷突然全部加到被冲击物上,即 h=0 时由此可见,突加载荷的动荷因数是 2,这时所引起的荷应力和变形的 2倍,
讨 论
2211
st
d?
hK
P h
（ 2）若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为 v,则
2
2
vh
g
st
d
211
Δ
hK
2
s t
11 v
g?
(Dynamic Loading)
P h
（ 3）若已知冲击物自高度 h 处以初速度 下落,则0v
22 0 2v v g h
2
d
s t
11 vK
g?
20
s t
211 v g h
g?
(Dynamic Loading)
例题 8 等截面刚架的抗弯刚度为 EI,抗弯截面系数为 W,重物 P自由下落时,求刚架内的最大正应力（不计轴力）,
P h
a
a
(Dynamic Loading)
解：
IE
aP
3
4 3?
st?
32
311211
aP
hIEhK
st
d?
W
aP
aP
hIEK )(
ma xstdma xd 32
311
1
P
a
a
Pa
Pa
(Dynamic Loading)
2009-7-29
第十章 动载荷 (Dynamic loading)
§ 10-1 概述 (Instruction)
§ 10-2 动静法的应用
(The application for method of dynamic
equilibrium)
§ 10-3 构件受冲击时的应力和变形
（ Stress and deformation by impact
loading)
(Dynamic Loading)
1,静荷载 （ Static load）
荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变,构件内各质点加速度很小,可略去不计,
§ 10-1 概述 （ Instruction）
2、动荷载 （ Dynamic load）
荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定（包括大小、方向）,构件内各质点加速度较大,
一、基本概念 （ Basic concepts）
(Dynamic Loading)
二、动响应 （ Dynamic response）
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移等）,称为 动响应 （ dynamic response）,
三、动荷因数 （ Dynamic factor）
四、动荷载的分类 （ Classification of dynamic load）
1.惯性力 （ Inertia force）
2.冲击荷载 （ Impact load）
3.振动问题 （ Vibration problem）
4.交变应力 （ Alternate stress）
动荷因数 Kd = 动响应静响应实验表明 在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超过比例极限,在动载荷下胡克定律仍成立且 E静 =E动,
(Dynamic Loading)
达朗伯原理 （ D’Alembert’s Principle）,达朗伯原理认为处于不平衡状态的物体,存在惯性力,惯性力的方向与加速度方向相反,惯性力的数值等于加速度与质量的乘积,只要在物体上加上惯性力,就可以把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理,这就是 动静法 （ Method of kineto static）,
§ 10-2 动静法的应用
（ The application for method of dynamic
equilibrium）
惯性力 （ Inertia force）,大小等于质点的质量 m与加速度 a
的乘积,方向与 a 的方向相反,即 F= -ma
(Dynamic Loading)
例题 1 一起重机绳索以加速度 a 提升一重为 P 的物体,设绳索的横截面面积为
A,绳索单位体积的质量 r,求距绳索下端为
x 处的 m-m 截面上的应力,
P
a x
m m
一、直线运动构件的动应力 （ Dynamic stress of the
body in the straight-line motion）
(Dynamic Loading)
P
a x
m m
P
a
rAg
P
a
物体的惯性力为
agP
绳索每单位长度的惯性力 rAa
绳索的重力集度为 rAg
agP
rAa
(Dynamic Loading)
NstF
绳索中的动应力为
st为静荷载下 绳索中的 静 应力
))(1(Nd AgxPgaF r
A g xPF rN s t
N s tdNd FKF?
std
N s t
d
Nd
d KA
FK
A
F
强度条件为 ][stdd K
x
m m
P
Agr x
m m
A g A arr?
agPP?
NdF
(Dynamic Loading)
当材料中的应力不超过比例极限时荷载与变形成正比
△ d表示动 变形
△ st表示静 变形
stdd K?
结论,只要将静载下的应力,变形,乘以动荷系数 Kd即得动载下的应力与变形,
x
m m
Agr AaAg rr?
agPP?P
NdFNstF
(Dynamic Loading)
例题 2 起重机丝绳的有效横截面面积为 A,[?] =300MPa,物体单位体积的质量 r,以加速度 a上升,试校核钢丝绳的强度,
解,（ 1） 受力分析如图
（ 2）动应力
l
x
m n
a x
a
FNd
qst
qG
惯性力
)1()( stNd gaAgxxqqF G r
)1(Ndd gaxAF r?
Aaq G r?
动荷因数强度条件 ][s t m a xdd m a x K
g
aK 1
d
(Dynamic Loading)
例题 3 起重机钢丝绳长 60m,名义直径 28cm,有效横截面面积 A=2,
9cm2,单位长重量 q=25,5N/m,[?] =300MPa,以 a=2m/s2的加速度提起重 50kN 的物体,试校核钢丝绳的强度,
G(1+a/g)
FNd
lq(1+a/g)
解：（ 1） 受力分析如图
（ 2） 动应力
( ) ( )Nd 1 aF G q l g
( ) ( )Ndd 1 1F aG q l
A A g
)8.9 21)(605.251050(109.2 1 34
[]2 1 4 M P a 3 0 0 M P a?
(Dynamic Loading)
例题 4 一平均直径为 D的薄圆环,绕通过其圆心且垂于环平面的轴作等速转动,已知环的角速度为?,环的横截面面积为 A,材料的单位体积质量为 r.求圆环横截面上的正应力,
r
O
二、转动构件的动应力
（ Dynamic stress of the rotating member）
(Dynamic Loading)
因圆环很薄,可认为圆环上各点的向心加速度相同,等于圆环中线上各点的向心加速度,
解：
因为环是等截面的,所以相同长度的任一段质量相等,
r
O
r O
qd
其上的惯性力集度为
2)2)(1(
2
2
d
DADAq rr
2
n 2?
Da?
(Dynamic Loading)
O
qd
y
Fd?d?
d ( d )2
Dq
FNd FNd
42
22
d
Nd
DAFF r
2)2)(1(
2
2
d
DADAq rr
2
ds i n
4
s i n)d
2
(
22
π
0
22
π
0
dd
DA
DA
D
qF
r?
r?
4
22
Nd
d
D
A
F r
(Dynamic Loading)
圆环轴线上点的线速度强度条件
[]
2
d
v
g
r
环内应力与横截面面积无关,要保证强度,应限制圆环的转速,
Fd
o
qd
y
d?
FNd FNd
4
22
d
d
D
A
F r
2d v?r
)d2(d?Dq
2D v?
(Dynamic Loading)
例题 5 重为 G的球装在长 L的转臂端部,以等角速度在光滑水平面上绕 O点旋转,已知许用应力 [?],求转臂的截面面积（不计转臂自重）
（ 2） 强度条件解,
（ 1） 受力分析如图惯性力为
FG
l
O
22nGF m a R m lG /g
AF G /
[ ] ( [ ] )
2
GF GlA
g
(Dynamic Loading)
例题 6 轮机叶片在工作时通常要发生拉伸,扭转和弯曲的组合变形,本题只计算在匀速转动时叶片的拉伸应力和轴向变形,设叶片可近似地简化为变截面直杆,且横截面面积沿轴线按线性规律变化,叶根的横截面面积 A0为叶顶的横截面面积 A1的两倍,即 A0= 2
A1.令叶根和叶顶的半径分别为 R0 和 R1,转速为?,材料单位体积的质量为 r.试求叶片根部的应力和总伸长,
(Dynamic Loading)
R0
R1
l
d?
解,设距叶根为 x 的横截面
m-m 的面积为 A(x)
m m
x
在 距叶根为?处取长为 d?
的微元,其质量应叶根顶部转轴
)211()( 0 lxAxA
d ( ) dmAr
(Dynamic Loading)
在 距叶根为?处的向心加速度为
dm 的惯性力应为
)( 02n Ra
R0
R1
l
d?
m m
x
叶根顶部转轴
2 0d ( ) dFmR
2 0( ) ( ) dARr
(Dynamic Loading)
m-m以上部分的 惯性力为
FNx
dF
x
m m
m-m截面上的轴力 FNx等于 F R0
R1
l
d?
m m
x
叶根顶部转轴
dFF
2 0( ) ( ) dl
x Ar
lxx ARFr )d()(N 02
(Dynamic Loading)
最大的惯性力发生在叶根截面上在叶根截面上的拉应力为式中 为叶顶的线速度
dF
FNx
x
m m
R0
R1
l
d?
m m
x叶根顶部转轴
]433[ 0
2
0
2
N ma x lR
lAFr
11
( ) ( )
2
00N m a x
0
511
34
F v RR
gA R R
r?
RRl 01
1vR?
(Dynamic Loading)
在距叶根为 x 处取 dx一段其伸长应为叶片的总伸长为
dP
FNx
x
m m
R0
R1
l
d?
m m
x叶根顶部
)()d(
N
xEA
dxFl x
N
0
d()l xFlxEA x
2
2
0
3 1 13 2[ ( ln 2 ) ( ln 2 ) ]
4 2 18 3
l llR
E
r
(Dynamic Loading)
在冲击过程中,运动中的物体称为 冲击物 （ impacting body）
阻止冲击物运动的构件,称为 被冲击物 （ impacted body）
当运动着的物体碰撞到一静止的构件时,前者的运动将受阻而在短时间停止运动,这时构件就受到了冲击作用,
原理 （ Principle） 能量法 （ Energy method）
§ 10-3 构件受冲击时的应力和变形
（ Stress and deformation by impact loading)
(Dynamic Loading)
冲击时,冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化,其加速度 a很难测出,无法计算惯性力,故无法使用动静法,在实用计算中,一般采用能量法,即在若干假设的基础上,根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变形进行偏于安全的简化计算,
机械能守恒定律
T,V 是 冲击物 在冲击过程中所 减少的 动能和势能,
Vεd是被冲击物所增加的应变能,
εdVVT
(Dynamic Loading)
一、自由落体冲击问题 （ Impact problem about the free
falling body）
假设 (Assumption)
1.冲击物视为刚体,不考虑其变形
（ The impacting body is rigid） ;
2.被冲击物的质量远小于冲击物的质量,可忽略不计
（ The mass of the impacted deformable body is negligible in
comparison with the impacting mass） ;
3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动
（ The impact body do not rebound） ;
4.不考虑冲击时热能的损失,即认为只有系统动能与势能的转化
（ The loss of energy of sound light heat ect,in the process of
impact is lost in the impact）,
(Dynamic Loading)
v
h
重物 P从高度为 h处自由落下,
冲击到弹簧顶面上,然后随弹簧一起向下运动,当重物 P的速度逐渐降低到零时,弹簧的变形达到最大值 Δd,与之相应的冲击载荷即为 Fd.
P h
P
(Dynamic Loading)
hP
dΔ0?T )( d hPV
其中 ε d d d1VF2
d d d()
1P h F
2所以
d d
st
F
P
d
d
s t
FP
d
st
d
d 2
1)( ΔP
Δ
ΔΔhP
εdVVT
根据能量守恒定律可知,冲击物所减少的动能 T和势能 V,应全部转换为弹簧的变形能,即εdV
(Dynamic Loading)
为动荷因数其中
0222 st d st d h
)(
st
st
st st st
d
hh 211
2
842 2
st d
st
st d K)
h( 211
st
d?
hK 211
d d
d d d
st
d d st
F
K F K P
P
K
(Dynamic Loading)
例题 7 一重量为 P的重物由高度为 h的位置自由下落,与一块和直杆 AB 相连的平板发生冲击,杆的横截面面积为 A,求杆的冲击应力,
A
P
B
重物是冲击物,
杆 AB（包括圆盘）是被冲击物,
d?
Fd
A
B
冲击物减少的势能动能无变化
AB 增加的应变能
)( d hPV
0?T
ddεd 2
1 ΔFV?
(Dynamic Loading)
根据能量守恒定理
A
P
B
d?
Fd
A
d
d
Fl
EA?
EA
lP
st? Δl
EAP
st?
ddd 2
1)( FhP
2
dddεd )(2
1
2
1
l
EAFV
dd )(?l
EAF?
(Dynamic Loading)
A
Bd?
dF
A
P
B
A
B
P
st?
st
st d
h211
0222 hst d st d d
st
211 hK
称为自由落体冲击的动荷因数
(Dynamic Loading)
A
P
B
A
B
A
Bd
dP P
st?
d
s t
2hK 1 1
st dd K?
ddF K P
stdd K?
st 为冲击物以静载方式作用在冲击点时,冲击点的静位移,
(Dynamic Loading)
（ 1） 当载荷突然全部加到被冲击物上,即 h=0 时由此可见,突加载荷的动荷因数是 2,这时所引起的荷应力和变形的 2倍,
讨 论
2211
st
d?
hK
P h
（ 2）若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为 v,则
2
2
vh
g
st
d
211
Δ
hK
2
s t
11 v
g?
(Dynamic Loading)
P h
（ 3）若已知冲击物自高度 h 处以初速度 下落,则0v
22 0 2v v g h
2
d
s t
11 vK
g?
20
s t
211 v g h
g?
(Dynamic Loading)
例题 8 等截面刚架的抗弯刚度为 EI,抗弯截面系数为 W,重物 P自由下落时,求刚架内的最大正应力（不计轴力）,
P h
a
a
(Dynamic Loading)
解：
IE
aP
3
4 3?
st?
32
311211
aP
hIEhK
st
d?
W
aP
aP
hIEK )(
ma xstdma xd 32
311
1
P
a
a
Pa
Pa
