Chapter9 Buckling of Columns
(Buckling of Columns)
第九章 压杆稳定
（ Buckling of Columns ）
§ 9-1 压杆稳定的概念
(The basic concepts of columns)
§ 9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
(Euler’s Formula for other end conditions )
§ 9-2 两端铰支细长压杆的临界压力
(The Critical Load for a straight,uniform,
axially loaded,pin-ended columns)
(Buckling of Columns)
§ 9-4 欧拉公式的应用范围?经验公式
(Applicable range for Euler’s formula?
the experimental formula )
§ 9-5 压杆的稳定校核
(Check the stability of columns)
§ 9-6 提高压杆稳定性的措施
(The measures to enhance the columns
stability)
(Buckling of Columns)
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为例如,一长为 300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm? 1
mm.钢的许用应力为 [?]=196MPa.按强度条件计算得 钢板尺所能承受的轴向压力为 [F] = A[?] = 3.92 kN
§ 9–1 压杆稳定的概念
(The basic concepts of columns)
实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是与受压时变弯有关,当加的轴向压力达到 40N时,钢板尺 就突然发明显的弯曲变形,丧失了承载能力,
一、引言 (Introduction)
][m a xNm a x σAFσ
(Buckling of Columns)
工程中有些构件具有足够的强度、刚度,却不一定能安全可靠地工作,
构件的承载能力
① 强度
② 刚度
③ 稳定性
(Buckling of Columns)
二、工程实例 （ Example problem）
(Buckling of Columns)
(Buckling of Columns)
(Buckling of Columns)
案例 1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏 （ Theodore
Cooper） 在圣劳伦斯河上建造 魁比克大桥 (Quebec Bridge)1907
年 8月 29日，发生稳定性破坏,85位工人死亡,成为上世纪十大工程惨剧之一,
三、失稳破坏案例 (Bucking examples)
(Buckling of Columns)
案例 2 1995年 6月 29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死 502人，伤 930人，失踪 113人,
(Buckling of Columns)
案例 3 2000年 10月 25日上午 10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌,死 6人，伤 34人,
研究压杆稳定性问题尤为重要
(Buckling of Columns)
1.平衡的稳定性 （ Stability of equilibrium ）
四、压杆稳定的基本概念 (The basic concepts of columns)
随遇平衡
(Buckling of Columns)
2.弹性压杆的稳定性 (Stability of Equilibrium applies to
elastic compressive members)
— 稳定平衡状态
— 临界平衡状态
— 不稳定平衡状态关键 确定压杆的 临界力 F
cr
crFF?
crFF?
crFF?
稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力,Fcr
过 度对应的压力
(Buckling of Columns)
五、稳定问题与强度问题的区别 (Distinguish between
stable problem and strength problem)
平衡状态应力平衡方程极限承载能力直线平衡状态不变 平衡形式发生变化达到限值 小于限值
变形前的形状、尺寸 变形后的形状、尺寸实验确定 理论分析计算强度问题 稳定问题压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
压杆
(Buckling of Columns)
§ 9-2 两端绞支细长压杆的临界压力
(The Critical Load for a straight,uniform,
axially loaded,pin-ended columns)
mm
F
m
x
m
w
B
x
y
l M(x)=-Fw
F
x
y B
(Buckling of Columns)
该截面的弯矩杆的挠曲线近似微分方程压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 )( xfw?
FwxM)(
FwxME I w )('' （ a)
令 EIFk?2
(b)式的通解为
)c(c o ss i n kxBkxAw （ A,B为积分常数 ）
02'' wkw (b)得
mm
x
y B
F
M(x)=-Fw
(Buckling of Columns)
边界条件由公式 (c)
讨论：
0,0 wx
0, wlx
000c o s0s i n BBA
0?klA s in 0?A 0sin?kl
若 00 wA,
m
x
m
w
B
x
y
l
F
),2,1,0(π0s i n nnklkl则必须
(Buckling of Columns)
这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）,
),2,1,0(π2 nnklEIFk
),2,1,0(π 2
22
nl EInF
令 n = 1,得? 2
cr 2
EIF
l
当 π?kl 时，
kxklw s i n
2
s i n
挠曲线方程为挠曲线为半波正弦曲线,
m
x
m
w
B
x
y
l
F
l
xw πs i n
(Buckling of Columns)
§ 9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
(Euler’s Formula for other end conditions )
1.细长压杆的形式 （ Different end conditions of a straight columns)
两端铰支一端自由一端固定一端固定一端铰支两端固定
(Buckling of Columns)
2.其它支座条件下的欧拉公式 (Euler’s Formula for Other End
Conditions)
l
Fcr
2l
()?
2
cr 22
EIF l?
Fcr
l
0.3l
0.7l
(,)?
2
cr 207
EIF
l
Fcr
l
2cr 2EIF l?
—长度因数
l? —相当长度欧拉公式 2
2
cr )(
π
l
EIF
l
Fcr
l/4
l/4
l/2
( / )?
2
cr 22EIF l?
l
(Buckling of Columns)
两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表 9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆 临界力的欧拉公式支承情况 临界力的欧拉公式 长度因数?
= 1
= 0.7
= 0.5
= 2
欧拉公式 的统一形式 (General Euler Buckling Load Formula)
（? 为压杆的长度因数）
2
2
cr
π
l
EIF?
2
2
cr )7.0(
π
l
EIF?
2
2
cr )5.0(
π
l
EIF?
2
2
cr )2(
π
l
EIF?
2
2
cr )(
π
l
EIF
(Buckling of Columns)
5.讨论 （ Discussion)
为长度因数
l 为相当长度
（ 1）相当长度? l 的物理意义压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的 相当长度? l,
l是各种支承条件下，细长压杆 失稳时，挠曲线中 相当于半波正 弦 曲线的一段 长度,
2
2
cr )(
π
l
EIF?
(Buckling of Columns)
z
y
x取 Iy,Iz 中小的一个计算临界力,
若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力,I 为其相应中性轴的惯性矩,
即分别用 Iy,Iz 计算出两个临界压力,然后取小的一个作为压杆的临界压力,
（ 2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I
应取最小的形心主惯性矩,
(Buckling of Columns)
例题 1 已知一 内燃机、空气压缩机的 连杆为细长压杆,截面形状为工字钢形，惯性矩 Iz=6.5× 104 mm4,Iy=3.8× 10 4 mm4，弹性模量 E=2.1× 105 MPa.试计算临界力 Fcr.
x
880 1000
y
z
y
x
z
880
(Buckling of Columns)
F
F
l
x
z
880
（ 1）杆件在两个方向的约束情况不同；
x
880 1000
y
z
y
（ 2） 计算出两个临界压力,最后取小的一个作为压杆的临界压力,
分析思路：
(Buckling of Columns)
解：
kN6.134
)11(
105.6101.214.3
)(
π
2
8112
2
2
cr
l
EI
F
x
880 10
00
y
z
y
kN4.406
)88.05.0(
108.3101.214.3
)(
π
2
8112
2
2
cr
l
EI
F
所以连杆的临界压力为 134.6kN.
xOy面：约束情况为两端铰支?=1,I=Iz,l=1m
xOz面：约束情况为两端固定?=0.5,I=Iy,l=0.88m
F
F
l
x
z
880
(Buckling of Columns)
压 杆受临界力 Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定 平衡时，横截面上的压应力可按? = F/A 计算,
§ 9-4 欧拉公式的应用范围?经验公式
(Applicable range for Euler’s formula
the experimental formula )
一、临界应力 (Critical stress)
1,欧拉公式临界应力 (Euler’s critical stress)
按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为
Al
EI
A
Fσ
2
2
cr
cr )(
π
(Buckling of Columns)
i 为 压杆横截面对中性轴的惯性半径,
( ) ( ) ( / )
2 2 2
2cr
cr 2 2 2
π π πF E I E Eσi
A l A l l i
称为 压杆的柔度（长细比 ）,集中地反映了压杆的长度 l
和杆端约束 条件,截面尺寸和形状 等因素 对 临界应力的影响,?
越大，相应的?cr 越小，压杆越容易失稳,
令 il
A
Ii?
2
2
cr
π
Eσ?
crcr σAF
令则则若 压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度?，并按较大者计算压杆的临界应力?cr 。
(Buckling of Columns)
二,欧拉公式的应用范围
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在?cr ≤?p 的 范围内，才可以用欧拉公式 计算压杆的临界压力 Fcr（临界应力?cr ）,
或
2
c r p2
π Eσσ
1
p
π E
σ
2
p
π E
σ
令
(Buckling of Columns)
即?≥?1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围,
当? ＜?1 但大于某一数值?2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式,
1 的大小取决于压杆材料的力学性能,例如，对于 Q235钢，
可取 E=206GPa,?p=200MPa，得
9
1 6
p
2 0 6 1 0π π 1 0 0
2 0 0 1 0
E
σ
(Buckling of Columns)
三,常用的经验公式 ( The experimental formula)
式中,a和 b是与材料有关的常数，可查表得出,
2 是对应 直线公式 的最低线,
直线公式 scr baσ
的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式,12
或 ba s
b
a s
2令
(Buckling of Columns)
1
12
四,压杆的分类及临界应力总图 (Classification of
Columns and the Diagram of critical stress?cr versus
slenderness ratio? )
1.压杆的分类 （ Classification of Columns ）
2
2
cr )(
π
l
EIF
baσcr
scr σσ?
（ 1） 大柔度杆 （ Long columns）
（ 2） 中柔度杆 （ Intermediate columns ）
（ 3） 小 柔度杆 （ Short columns） 2
(Buckling of Columns)
2.临界应力总图
scr σσbaσcr
2
2
cr
π
Eσ?
crσ
1?2
Pσ
sσ
(Buckling of Columns)
例题 2 图示各杆均为圆形截面细长压杆,已知各杆的材料及直径相等,问哪个杆先失稳?
d
F
1.3
a B
F
1.6
a Ca
F
A
(Buckling of Columns)
解：
A杆先失稳,
杆 A al 22
杆 B al 3.11
杆 C aal 12.16.17.07.0
d
F
1.3
a B
F
1.6
a Ca
F
A
(Buckling of Columns)
例题 3 压杆截面如图所示,两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支,已知，杆长
l=1m,材料的弹性模量 E=200GPa,?p=200MPa,求压杆的临界应力,
30mm
y
z
解：
1
p
π 99E
σ
m0 0 5 8.0
02.003.0
)02.003.0(
12
1 3
A
I
i yy
(Buckling of Columns)
m0087.0 AIi zz
15.0 zy
30mm
y
z
1 1 586
z
z
z
y
y
y i
l
i
l
因为?z >?y，所以压杆绕 z 轴先失稳，且?z =115 >?1，用欧拉公式计算临界力,
kN5.89π 2
2
crcr
z
EAA σF
(Buckling of Columns)
例题 3 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支，
材料为 Q235钢，承受轴向压力 F,试求
（ 1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；
（ 2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力,
已知,E = 200 GPa,?p= 200 MPa,?s = 240 MPa,用直线公式时,a = 304 MPa,b =1.12 MPa.
(Buckling of Columns)
解：（ 1）能用欧拉公式时压杆的最小长度压杆? = 1
1
p
π 1 0 0E
σ
22
22
44
4
1
4
)(π
64
)(π
dD
dD
dD
A
I
i
1 0 04 122 dD li l
m6.114 04.005.0100
22
m i n
l
(Buckling of Columns)
（ 2）当 l = 3/4 lmin 时,Fcr=?
用直线公式计算
m2.143 m in ll
122 75
4
dD
l
i
l
5712.1 2 4 03 0 4s2 b σa
kN5.155)(4π)( 22crcr dDbaσAF?
(Buckling of Columns)
1.稳定性条件 (The stability condition)
2.计算步骤 (Calculation procedure)
（ 1）计算最大的柔度系数?max；
（ 2）根据?max 选择公式计算临界应力；
（ 3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷,
§ 9-5 压杆的稳定校核
(Check the stability of columns)
][ st
cr
n
FF? ][
st
cr n
F
Fn
(Buckling of Columns)
例题 4 活塞杆由 45号钢制成,?s = 350MPa,?p = 280MPa
E=210GPa,长度 l = 703mm,直径 d=45mm,最大压力
Fmax = 41.6kN,规定稳定安全系数为 nst = 8-10,试校核其稳定性,
活塞杆两端 简化成 铰支解：
= 1
截面为圆形
1
p
π 8 6E
4
d
A
Ii
15.62?
i
l不能用欧拉公式计算临界压力,
(Buckling of Columns)
如用直线公式，需查表得：
a= 461MPa b= 2.568 MPa
2.43s2 b σa
可由直线公式计算临界应力,?2 <? <?1
M Pa3 01crbaσ
临界压力是 M Pa47 8crcr AσF
活塞的工作安全因数
][,stcr nFFn 511
所以满足稳定性要求,
(Buckling of Columns)
例题 5 油缸活塞直经 D = 65mm，油压 p =1.2MPa.活塞杆长度
l=1250mm，材料为 35钢,?s =220MPa,E = 210GPa,[nst] =
6.试确定活塞杆的直经,
pD
活塞杆活塞
d
(Buckling of Columns)
解：活塞杆承受的轴向压力应为
N3 9 8 04π
2
pDF
活塞杆承受的临界压力应为
N23900stcr FnF
把活塞的两端简化为铰支座,
A
Ii?
i
lμλ?
pD
活塞杆活塞
d
(Buckling of Columns)
用试算法求直径
（ 1）先由欧拉公式求直径求得 d = 24.6mm,取 d = 25mm
2
4
2
2
2
cr )(
64
π
π
)(
π
l
d
E
l
EI
F
（ 2）用求得直径计算活塞杆柔度 2 0 0
4
d l
i
l
97π
P
1 σ
E?
由于? >?1,所以前面用欧拉公式进行试算是正确的,
(Buckling of Columns)
例题 6 AB的直径 d=40mm，长 l=800mm，两端可视为铰支,材料为 Q235钢，弹性模量 E = 200GPa,比例极限?p =200MPa,屈服极限?s=240MPa,由 AB杆的稳定条件求 [F],（若用直线式 a
= 304 MPa,b =1.12 MPa ）
A
BC
F
0.6 0.3
(Buckling of Columns)
解：取 BC 研究
0 CM
06090,s i n,N?FF
8.0
6.08.0s i n 22
FF 272,N?
1
P
π 9 9E 4
d
A
Ii
A
BC
F
0.6 0.3
FN
(Buckling of Columns)
用直线公式
[F] =118kN
180?
i
l不能用欧拉公式
s
2 57
a σ
b?
12
M Pa214crbaσ
][kN26 8 Ncrcr FσAF FF 27.2N?
A
BC
F
0.6 0.3
(Buckling of Columns)
自己看书 （ P 305—307）
§ 9-6 提高压杆稳定性的措施
(Buckling of Columns)
第九章 压杆稳定
（ Buckling of Columns ）
§ 9-1 压杆稳定的概念
(The basic concepts of columns)
§ 9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
(Euler’s Formula for other end conditions )
§ 9-2 两端铰支细长压杆的临界压力
(The Critical Load for a straight,uniform,
axially loaded,pin-ended columns)
(Buckling of Columns)
§ 9-4 欧拉公式的应用范围?经验公式
(Applicable range for Euler’s formula?
the experimental formula )
§ 9-5 压杆的稳定校核
(Check the stability of columns)
§ 9-6 提高压杆稳定性的措施
(The measures to enhance the columns
stability)
(Buckling of Columns)
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为例如,一长为 300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm? 1
mm.钢的许用应力为 [?]=196MPa.按强度条件计算得 钢板尺所能承受的轴向压力为 [F] = A[?] = 3.92 kN
§ 9–1 压杆稳定的概念
(The basic concepts of columns)
实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是与受压时变弯有关,当加的轴向压力达到 40N时,钢板尺 就突然发明显的弯曲变形,丧失了承载能力,
一、引言 (Introduction)
][m a xNm a x σAFσ
(Buckling of Columns)
工程中有些构件具有足够的强度、刚度,却不一定能安全可靠地工作,
构件的承载能力
① 强度
② 刚度
③ 稳定性
(Buckling of Columns)
二、工程实例 （ Example problem）
(Buckling of Columns)
(Buckling of Columns)
(Buckling of Columns)
案例 1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏 （ Theodore
Cooper） 在圣劳伦斯河上建造 魁比克大桥 (Quebec Bridge)1907
年 8月 29日，发生稳定性破坏,85位工人死亡,成为上世纪十大工程惨剧之一,
三、失稳破坏案例 (Bucking examples)
(Buckling of Columns)
案例 2 1995年 6月 29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死 502人，伤 930人，失踪 113人,
(Buckling of Columns)
案例 3 2000年 10月 25日上午 10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌,死 6人，伤 34人,
研究压杆稳定性问题尤为重要
(Buckling of Columns)
1.平衡的稳定性 （ Stability of equilibrium ）
四、压杆稳定的基本概念 (The basic concepts of columns)
随遇平衡
(Buckling of Columns)
2.弹性压杆的稳定性 (Stability of Equilibrium applies to
elastic compressive members)
— 稳定平衡状态
— 临界平衡状态
— 不稳定平衡状态关键 确定压杆的 临界力 F
cr
crFF?
crFF?
crFF?
稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力,Fcr
过 度对应的压力
(Buckling of Columns)
五、稳定问题与强度问题的区别 (Distinguish between
stable problem and strength problem)
平衡状态应力平衡方程极限承载能力直线平衡状态不变 平衡形式发生变化达到限值 小于限值
变形前的形状、尺寸 变形后的形状、尺寸实验确定 理论分析计算强度问题 稳定问题压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
压杆
(Buckling of Columns)
§ 9-2 两端绞支细长压杆的临界压力
(The Critical Load for a straight,uniform,
axially loaded,pin-ended columns)
mm
F
m
x
m
w
B
x
y
l M(x)=-Fw
F
x
y B
(Buckling of Columns)
该截面的弯矩杆的挠曲线近似微分方程压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 )( xfw?
FwxM)(
FwxME I w )('' （ a)
令 EIFk?2
(b)式的通解为
)c(c o ss i n kxBkxAw （ A,B为积分常数 ）
02'' wkw (b)得
mm
x
y B
F
M(x)=-Fw
(Buckling of Columns)
边界条件由公式 (c)
讨论：
0,0 wx
0, wlx
000c o s0s i n BBA
0?klA s in 0?A 0sin?kl
若 00 wA,
m
x
m
w
B
x
y
l
F
),2,1,0(π0s i n nnklkl则必须
(Buckling of Columns)
这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）,
),2,1,0(π2 nnklEIFk
),2,1,0(π 2
22
nl EInF
令 n = 1,得? 2
cr 2
EIF
l
当 π?kl 时，
kxklw s i n
2
s i n
挠曲线方程为挠曲线为半波正弦曲线,
m
x
m
w
B
x
y
l
F
l
xw πs i n
(Buckling of Columns)
§ 9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
(Euler’s Formula for other end conditions )
1.细长压杆的形式 （ Different end conditions of a straight columns)
两端铰支一端自由一端固定一端固定一端铰支两端固定
(Buckling of Columns)
2.其它支座条件下的欧拉公式 (Euler’s Formula for Other End
Conditions)
l
Fcr
2l
()?
2
cr 22
EIF l?
Fcr
l
0.3l
0.7l
(,)?
2
cr 207
EIF
l
Fcr
l
2cr 2EIF l?
—长度因数
l? —相当长度欧拉公式 2
2
cr )(
π
l
EIF
l
Fcr
l/4
l/4
l/2
( / )?
2
cr 22EIF l?
l
(Buckling of Columns)
两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表 9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆 临界力的欧拉公式支承情况 临界力的欧拉公式 长度因数?
= 1
= 0.7
= 0.5
= 2
欧拉公式 的统一形式 (General Euler Buckling Load Formula)
（? 为压杆的长度因数）
2
2
cr
π
l
EIF?
2
2
cr )7.0(
π
l
EIF?
2
2
cr )5.0(
π
l
EIF?
2
2
cr )2(
π
l
EIF?
2
2
cr )(
π
l
EIF
(Buckling of Columns)
5.讨论 （ Discussion)
为长度因数
l 为相当长度
（ 1）相当长度? l 的物理意义压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的 相当长度? l,
l是各种支承条件下，细长压杆 失稳时，挠曲线中 相当于半波正 弦 曲线的一段 长度,
2
2
cr )(
π
l
EIF?
(Buckling of Columns)
z
y
x取 Iy,Iz 中小的一个计算临界力,
若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力,I 为其相应中性轴的惯性矩,
即分别用 Iy,Iz 计算出两个临界压力,然后取小的一个作为压杆的临界压力,
（ 2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I
应取最小的形心主惯性矩,
(Buckling of Columns)
例题 1 已知一 内燃机、空气压缩机的 连杆为细长压杆,截面形状为工字钢形，惯性矩 Iz=6.5× 104 mm4,Iy=3.8× 10 4 mm4，弹性模量 E=2.1× 105 MPa.试计算临界力 Fcr.
x
880 1000
y
z
y
x
z
880
(Buckling of Columns)
F
F
l
x
z
880
（ 1）杆件在两个方向的约束情况不同；
x
880 1000
y
z
y
（ 2） 计算出两个临界压力,最后取小的一个作为压杆的临界压力,
分析思路：
(Buckling of Columns)
解：
kN6.134
)11(
105.6101.214.3
)(
π
2
8112
2
2
cr
l
EI
F
x
880 10
00
y
z
y
kN4.406
)88.05.0(
108.3101.214.3
)(
π
2
8112
2
2
cr
l
EI
F
所以连杆的临界压力为 134.6kN.
xOy面：约束情况为两端铰支?=1,I=Iz,l=1m
xOz面：约束情况为两端固定?=0.5,I=Iy,l=0.88m
F
F
l
x
z
880
(Buckling of Columns)
压 杆受临界力 Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定 平衡时，横截面上的压应力可按? = F/A 计算,
§ 9-4 欧拉公式的应用范围?经验公式
(Applicable range for Euler’s formula
the experimental formula )
一、临界应力 (Critical stress)
1,欧拉公式临界应力 (Euler’s critical stress)
按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为
Al
EI
A
Fσ
2
2
cr
cr )(
π
(Buckling of Columns)
i 为 压杆横截面对中性轴的惯性半径,
( ) ( ) ( / )
2 2 2
2cr
cr 2 2 2
π π πF E I E Eσi
A l A l l i
称为 压杆的柔度（长细比 ）,集中地反映了压杆的长度 l
和杆端约束 条件,截面尺寸和形状 等因素 对 临界应力的影响,?
越大，相应的?cr 越小，压杆越容易失稳,
令 il
A
Ii?
2
2
cr
π
Eσ?
crcr σAF
令则则若 压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度?，并按较大者计算压杆的临界应力?cr 。
(Buckling of Columns)
二,欧拉公式的应用范围
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在?cr ≤?p 的 范围内，才可以用欧拉公式 计算压杆的临界压力 Fcr（临界应力?cr ）,
或
2
c r p2
π Eσσ
1
p
π E
σ
2
p
π E
σ
令
(Buckling of Columns)
即?≥?1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围,
当? ＜?1 但大于某一数值?2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式,
1 的大小取决于压杆材料的力学性能,例如，对于 Q235钢，
可取 E=206GPa,?p=200MPa，得
9
1 6
p
2 0 6 1 0π π 1 0 0
2 0 0 1 0
E
σ
(Buckling of Columns)
三,常用的经验公式 ( The experimental formula)
式中,a和 b是与材料有关的常数，可查表得出,
2 是对应 直线公式 的最低线,
直线公式 scr baσ
的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式,12
或 ba s
b
a s
2令
(Buckling of Columns)
1
12
四,压杆的分类及临界应力总图 (Classification of
Columns and the Diagram of critical stress?cr versus
slenderness ratio? )
1.压杆的分类 （ Classification of Columns ）
2
2
cr )(
π
l
EIF
baσcr
scr σσ?
（ 1） 大柔度杆 （ Long columns）
（ 2） 中柔度杆 （ Intermediate columns ）
（ 3） 小 柔度杆 （ Short columns） 2
(Buckling of Columns)
2.临界应力总图
scr σσbaσcr
2
2
cr
π
Eσ?
crσ
1?2
Pσ
sσ
(Buckling of Columns)
例题 2 图示各杆均为圆形截面细长压杆,已知各杆的材料及直径相等,问哪个杆先失稳?
d
F
1.3
a B
F
1.6
a Ca
F
A
(Buckling of Columns)
解：
A杆先失稳,
杆 A al 22
杆 B al 3.11
杆 C aal 12.16.17.07.0
d
F
1.3
a B
F
1.6
a Ca
F
A
(Buckling of Columns)
例题 3 压杆截面如图所示,两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支,已知，杆长
l=1m,材料的弹性模量 E=200GPa,?p=200MPa,求压杆的临界应力,
30mm
y
z
解：
1
p
π 99E
σ
m0 0 5 8.0
02.003.0
)02.003.0(
12
1 3
A
I
i yy
(Buckling of Columns)
m0087.0 AIi zz
15.0 zy
30mm
y
z
1 1 586
z
z
z
y
y
y i
l
i
l
因为?z >?y，所以压杆绕 z 轴先失稳，且?z =115 >?1，用欧拉公式计算临界力,
kN5.89π 2
2
crcr
z
EAA σF
(Buckling of Columns)
例题 3 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支，
材料为 Q235钢，承受轴向压力 F,试求
（ 1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；
（ 2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力,
已知,E = 200 GPa,?p= 200 MPa,?s = 240 MPa,用直线公式时,a = 304 MPa,b =1.12 MPa.
(Buckling of Columns)
解：（ 1）能用欧拉公式时压杆的最小长度压杆? = 1
1
p
π 1 0 0E
σ
22
22
44
4
1
4
)(π
64
)(π
dD
dD
dD
A
I
i
1 0 04 122 dD li l
m6.114 04.005.0100
22
m i n
l
(Buckling of Columns)
（ 2）当 l = 3/4 lmin 时,Fcr=?
用直线公式计算
m2.143 m in ll
122 75
4
dD
l
i
l
5712.1 2 4 03 0 4s2 b σa
kN5.155)(4π)( 22crcr dDbaσAF?
(Buckling of Columns)
1.稳定性条件 (The stability condition)
2.计算步骤 (Calculation procedure)
（ 1）计算最大的柔度系数?max；
（ 2）根据?max 选择公式计算临界应力；
（ 3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷,
§ 9-5 压杆的稳定校核
(Check the stability of columns)
][ st
cr
n
FF? ][
st
cr n
F
Fn
(Buckling of Columns)
例题 4 活塞杆由 45号钢制成,?s = 350MPa,?p = 280MPa
E=210GPa,长度 l = 703mm,直径 d=45mm,最大压力
Fmax = 41.6kN,规定稳定安全系数为 nst = 8-10,试校核其稳定性,
活塞杆两端 简化成 铰支解：
= 1
截面为圆形
1
p
π 8 6E
4
d
A
Ii
15.62?
i
l不能用欧拉公式计算临界压力,
(Buckling of Columns)
如用直线公式，需查表得：
a= 461MPa b= 2.568 MPa
2.43s2 b σa
可由直线公式计算临界应力,?2 <? <?1
M Pa3 01crbaσ
临界压力是 M Pa47 8crcr AσF
活塞的工作安全因数
][,stcr nFFn 511
所以满足稳定性要求,
(Buckling of Columns)
例题 5 油缸活塞直经 D = 65mm，油压 p =1.2MPa.活塞杆长度
l=1250mm，材料为 35钢,?s =220MPa,E = 210GPa,[nst] =
6.试确定活塞杆的直经,
pD
活塞杆活塞
d
(Buckling of Columns)
解：活塞杆承受的轴向压力应为
N3 9 8 04π
2
活塞杆承受的临界压力应为
N23900stcr FnF
把活塞的两端简化为铰支座,
A
Ii?
i
lμλ?
pD
活塞杆活塞
d
(Buckling of Columns)
用试算法求直径
（ 1）先由欧拉公式求直径求得 d = 24.6mm,取 d = 25mm
2
4
2
2
2
cr )(
64
π
π
)(
π
l
d
E
l
EI
F
（ 2）用求得直径计算活塞杆柔度 2 0 0
4
d l
i
l
97π
P
1 σ
E?
由于? >?1,所以前面用欧拉公式进行试算是正确的,
(Buckling of Columns)
例题 6 AB的直径 d=40mm，长 l=800mm，两端可视为铰支,材料为 Q235钢，弹性模量 E = 200GPa,比例极限?p =200MPa,屈服极限?s=240MPa,由 AB杆的稳定条件求 [F],（若用直线式 a
= 304 MPa,b =1.12 MPa ）
A
BC
F
0.6 0.3
(Buckling of Columns)
解：取 BC 研究
0 CM
06090,s i n,N?FF
8.0
6.08.0s i n 22
FF 272,N?
1
P
π 9 9E 4
d
A
Ii
A
BC
F
0.6 0.3
FN
(Buckling of Columns)
用直线公式
[F] =118kN
180?
i
l不能用欧拉公式
s
2 57
a σ
b?
12
M Pa214crbaσ
][kN26 8 Ncrcr FσAF FF 27.2N?
A
BC
F
0.6 0.3
(Buckling of Columns)
自己看书 （ P 305—307）
§ 9-6 提高压杆稳定性的措施
