Chapter6 Deflection of Beams
(Deflection of Beams)
第六章 弯曲变形 (Deflection of Beams)
§ 6-1 基本概念及工程实例
（ Basic concepts and example problems)
§ 6-4用叠加法求弯曲变形
( Beam deflections by superposition )
§ 6-3用积分法求弯曲变形
（ Beam deflection by integration )
§ 6-2挠曲线的微分方程 （ Differential
equation of the deflection curve)
(Deflection of Beams)
§ 6-5 静不定梁的解法 (Solution methods
for statically indeterminate beams)
§ 6-6 提高弯曲刚度的措施
(The measures to strengthen rigidity)
(Deflection of Beams)
§ 6-1 基本概念及工程实例
（ Basic concepts and example problems）
一、工程实例 （ Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变形,以满足特定的工作需要,
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用,
2
F
F
2
F
(Deflection of Beams)
1.挠度 （ Deflection ）
二、基本概念 （ Basic concepts）
w挠度
C'
CA B
w
x
'B
横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移,
称为该截面的挠度,用 w表示,
(Deflection of Beams)
2.转角 （ Slope）
转角?
A
C'
C
w
B x
w挠度（
B?
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角,用?表示
(Deflection of Beams)
3.挠曲线 （ Deflection curve） 梁变形后的轴线称为挠曲线,
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度,
挠曲线
w
A B x
转角?
w挠度（C'
C
B?
挠曲线方程 （ equation of deflection curve） 为
()w f x?
(Deflection of Beams)
4.挠度与转角的关系
（ Relationship between deflection and slope）：
w
A B x
转角
w挠度C'
C
B?
挠曲线
ta n ' '( )w w x
(Deflection of Beams)
5.挠度和转角符号的规定
（ Sign convention for deflection and slope）
挠度向上为正,向下为负,
转角 自 x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负,
w
A B x
转角?
w挠度C'
C
B?
挠曲线
(Deflection of Beams)
§ 6-2 挠曲线的微分方程
（ Differential equation of the deflection curve)
一、推导公式 （ Derivation of the formula)
1.纯弯曲时 曲率 与弯矩的关系 （ Relationship between the
curvature of beam and the bending moment）1 M
EI
横力弯曲时,M 和? 都是 x的函数,略去剪力对梁的位移的影响,则 1 ( )
()
Mx
x EI
(Deflection of Beams)
2.由数学得到平面曲线的曲率
（ The curvature from the mathematics）
32
2
1 | |
() ( 1 )
w
x w?
32
2
| | ( )
( 1 )
w M x
EIw
(Deflection of Beams)
在规定的坐标系中,x 轴水平向右为正,w轴竖直向上为正,
曲线向上凸时,
O x
w
x
O
w00 wM
因此,w 与 M 的正负号相同
0
0
M
w
曲线向下凸时,00 wM0
0
M
w
M M
M M
(Deflection of Beams)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 （ differential equation of
the deflection curve）
(6.5)
32
2
()
( 1 )
w M x
EIw
()" Mxw
EI?
近似原因,（ 1） 略去了剪力的影响 ; （ 2） 略去了 项 ;
（ 3）
2w?
t a n ( )w w x
与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为2w?
(Deflection of Beams)
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
（ Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分
（ Integrating the differential equation )
若为等截面直梁,其抗弯刚度 EI为一常量上式可改写成
()Mxw
EI
()E I w M x
(Deflection of Beams)
2.再积分一次,得挠度方程
（ Integrating again gives the equation for the deflection）
二、积分常数的确定
（ Evaluating the constants of integration）
1.边界条件 （ Boundary conditions）
2.连续条件 （ Continue conditions）
1.积分一次得转角方程
（ The first integration gives the equation for the slope）
1( ) dE I w M x x C
12( ) d dE I w M x x x C x C
(Deflection of Beams)
A B
在简支梁中,左右两铰支座处的挠度 Aw 和 Bw 都等于 0.
在悬臂梁中,固定端处的挠度和转角
Aw
都应等于 0.A?
0Aw? 0Bw?
0Aw?
0A
A B
(Deflection of Beams)
l
A B x
F
w
例题 1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁,在自由端受一集中力 F
作用,试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角
maxw
max?
(Deflection of Beams)
（ 1） 弯矩方程为解：
（ 2） 挠曲线的近似微分方程为
x
l
w
A B x
F
对挠曲线近似微分方程进行积分
( ) ( ) ( 1 )M x F l x
( ) ( 2 )E I w M x F l F x
2
1 ( 3)2
FxEIw Fl x C
23
12 ( 4 )26
Flx FxEI w xCC
(Deflection of Beams)
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
2
1 ( 3)2
FxEIw Flx C
23
12 ( 4 )26
Flx FxEI w xCC
边界条件
0,0
0,0
xw
xw
将边界条件代入（ 3）（ 4）两式中,可得 120 0CC
2
2
FxEIw Fl x 23
26
Flx FxEIw
(Deflection of Beams)
B
wmax
max
x
l
y
A
F
（ ）
2 2 2
m ax | 22xl
Fl Fl Fl
EI EI EI
都发生在自由端截面处max? maxw和
（ ）
3
m ax | 3xl
Plww
EI
(Deflection of Beams)
例题 2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用,试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max?
maxw和
A B
q
l
(Deflection of Beams)
解,由对称性可知,梁的两个支反力为
RR 2AB qlFF
A B
q
l
FRA FRB
x
2()
22
q l qM x x x 23
46
ql qEIw x x C
2
22
q l qEI w x x 34
1 2 2 4
q l qEIw x x Cx D
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
(Deflection of Beams)
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
2 3 3( 6 4 )
24
q lx x l
EI
2 3 3( 2 )
24
qxw lx x l
EI
边界条件 x=0 和 x=l时,0w?
x
A B
q
l
FRA FRB
A?B
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
最大转角和最大挠度分别为
3
m ax 24AB
ql
EI
wmax
在 梁跨中点处 有 最大挠度值
4
m a x
2
5
384lx
qlww
EI?
(Deflection of Beams)
例题 3 图示一抗弯刚度为 EI的简支梁,在 D点处受一集中力 F的作用,试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角,
A B
F
D
a b
l
(Deflection of Beams)
解,梁的两个支反力为
R A bFF l
R B aFF l
FRA FRB
A B
F
D
a b
l
1 2
x
x
两段梁的弯矩方程分别为
1R ( 0 )A bM F x F x x al
2 ( ) ( )
bM F x F x a a x l
l
(Deflection of Beams)
两段梁的挠曲线方程分别为
（ a）（ 0?x? a）
挠曲线方程 11
bFxEIw M
l
转角方程
2
11 2
bxEI w F C
l
挠度方程
3
1 1 16
bxE I w F C x D
l
(Deflection of Beams)
挠曲线方程 22 ()
bF x F x aEI w M
l
转角方程
22
22
()
22
bF xaxFEIw C
l
挠度方程
33
2
()
66
b F x axFxEIw C D
l
（ b）（ a? x? l ）
(Deflection of Beams)
D点的连续条件边界条件在 x = a 处 12ww
12ww?
在 x = 0 处,1 0w?
在 x = l 处,2 0w?
代入方程可解得,
12 0DD
22
12 ()6
FbC C l b
l
A B
F
D
a b
l
1 2
FRA FRB
(Deflection of Beams)
2 2 2
11 () 36
Fbw l b x
lE I
2 22
1 ][6
Fbx lw b x
lEI
2 2 2 2
22
1[ ( ) ]()
23
Fb l' xaw x l b
lEI b
3 3 2 2
2 [ ( ) ]()6
Fb l xxaw x l b
lE I b
（ a）（ 0?x? a）
（ b）（ a? x? l ）
(Deflection of Beams)
将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当 a > b 时,右支座处截面的转角绝对值为最大
10
()|
6Ax
Fab l b
lEI
2
()|
6B x l
Fab l a
lEI
m ax
()
6B
Fab l a
lEI
(Deflection of Beams)
简支梁的最大挠度应在 处0w'?
先研究第一段梁,令 得1 0w
2 2 2
11 ( ) 036
Fb'w l b x
lE I
22
1
( 2 )
33
l b a a bx
当 a > b时,x1 < a 最大挠度确实在第一段梁中
1
2
2 2 3
m a x ( ) 0 0 6 4 293xx
Fb P b lw | l b,w
EIlEI
(Deflection of Beams)
梁中点 C 处的挠度为结论,在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的,
2
22( 3 4 ) 0,0 6 2 5
48C
F b F b lw l b
E I E I
1
2
2 2 3
m a x ( ) 0 0 6 4 293xx
Fb Fb ly | l b,w
EIlEI
(Deflection of Beams)
（ a）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的,所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程,只增加了 (x-a)的项,
（ b）对 (x-a)的项作积分时,应该将 (x-a)项作为积分变量,从而简化了确定积分常数的工作,
积分法的原则
(Deflection of Beams)
§ 6–4 用叠加法求弯曲变形
（ Beam deflections by superposition ）
梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载
(可以是集中力,集中力偶或分布力 )同时作用下的挠度和转角,
就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加,当每一项荷载所引起的挠度为同一方向 (如均沿 w轴方向 ),其转角是在同一平面内 (如均在 xy 平面内 )时,则叠加就是代数和,这就是叠加原理,
一、叠加原理 （ Superposition）
(Deflection of Beams)
1.载荷叠加 （ Superposition of loads） 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和,
2.结构形式叠加（逐段刚化法）
1 2 1 1 2 2(,,,) ( ) ( ) ( )n n nF F F F F F
1 2 1 1 2 2(,,,) ( ) ( ) ( )n n nw F F F w F w F w F
(Deflection of Beams)
按叠加原理求 A点转角和 C点挠度,
解,（ a） 载荷分解如图
（ b） 由梁的简单载荷变形表,
查简单载荷引起的变形,
BqF
A
C
a a
F =
A B
+
A B
q
2
() 4AF FaEI
3
() 6CF Faw EI
45
() 24Cq qaw EI
3
() 3Aq qaEI?
(Deflection of Beams)
（ c） 叠加
2
() 4AF FaEI
3
() 6CF Faw EI
3
() 3AF qaEI
45
() 24CF qaw EI
( ) ( )A A F A q
2
( 3 4 )12 a F qaEI
435
()2 4 6C q a Faw EI EI
qF
F =
+
A
A
A
B
B
B
C
a a
q
(Deflection of Beams)
例题 4 一抗弯刚度为 EI的简支梁受荷载如图所示,试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC和支座处横截面的转角?A,?B 。
A B
C
q
Me
l
(Deflection of Beams)
解,将梁上荷载分为两项简单的荷载,如图所示 A B
C
qMe
(a)
l
BA
Me
(c)
l
A
q
(b) B
l
)( qA?
)( qB?
()CqwC
e()BM?
e()MA? e()C MwC
e( ) )(CC qM Cwww
e))((A qMAAθ θθ
24
e5
38 4 16
Mlql
EI EI( )
( )
3
e()
24 3
Mlql
EI EI
e))((B qMBBθ θθ
( )
3
e
24 6
Mlql
EI EI
(Deflection of Beams)
例题 5 试 利用叠加法,求图所示抗弯刚度为 EI的简支梁跨中点的挠度 wC 和两端截面的转角?A,?B,
A BC
q
l
l/2
A B
C
q/2
C
A B
q/2
q/2
解,可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加,
(Deflection of Beams)
（ 1）正对称荷载作用下 A B
C
q/2
44
1
5 ( 2 ) 5
3 8 4 7 6 8C
q l q lw
E I E I
33
11
( 2 )
2 4 4 8BA
q l q l
E I E IC
A B
q/2
q/2
（ 2）反对称荷载作用下在跨中 C截面处,挠度 wC等于零,但 转角不等于零且该截面的弯矩也等于零可将 AC段和 BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为 l /2
的简支梁
(Deflection of Beams)
CA B
q/2
q/2可得到：
B
q/2
A C
q/2
3
3
22
( ) ( )
22
2 4 3 8 4AB
ql
qlθ θ
EI EI
2 0Cw?
将相应的位移进行叠加,即得
4
12
5
768C C C
qlw w w
EI( ) 3 3 3
12
3
4 8 3 8 4 1 2 8A A A
q l q l q l
EI EI EI( )
3 3 3
12
7
4 8 3 8 4 3 8 4B B B
q l q l q l
E I E I E I( )
(Deflection of Beams)
例题 6 一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示,试按叠加原理并利用附表,求截面 B的转角?B以及 A端和 BC中点 D的挠度 wA和
wD,
A
B CD
a
a
2a
2q
q
(Deflection of Beams)
解,将外伸梁沿 B截面截成两段,
将 AB 段看成 B端 固定的悬臂梁,BC段看成简支梁,A B CD
a
a
2a
2q
q
B CD
q2qa
2BM qa?
2q
A B
2qa
2BM qa?
B截面两侧的相互作用为：
2BM q a?
2qa
(Deflection of Beams)
简支梁 BC的受力情况与外伸梁 AC 的 BC段的受力情况相同由简支梁 BC求得的?B,wD
就是外伸梁 AC的?B,wD
2qa
B
C
D
q
2BM qa?
q
B CD
B CD
2BM qa?
简支梁 BC的变形就是 MB
和均布荷载 q分别引起变形的叠加,
(Deflection of Beams)
由叠加原理得,
()Dqw()Bq? DB C
3
) ( )( 3
BB q B MB
qa
EI
4
( ) ( ) 24
BD D q D M
qaw w w
EI
2qa
B CD
q
2BM qa?
()BBM? ()BDMw
DB C
2BM qa?
（ 1）求?B,wD
33
)( 2 4 3qB q l q aEI EI?
32
() 33
B
B
BM
Ml qa
EI EI?
4455
() 3 8 4 2 4Dq q l q aw EI EI
42
() 1 6 4
B
B
DM
M qalw
EI EI
(Deflection of Beams)
（ 2） 求 wA
由于简支梁上 B截面的转动,带动 AB段一起作刚体运动,使 A
端产生挠度 w1
悬臂梁 AB本身的弯曲变形,使 A端产生挠度 w2
2w
A
2q
B
2qa
2BM qa?
A
θB
1w
θB
C
2qa
B D
q
2BM qa?
因此,A端的总挠度应为 1 2 2BAw w w a w
由表 6-1查得
2
2
( 2 )
8
q aw
EI? 4 4 47
3 4 1 2A
q a q a q aw
EI EI EI
(Deflection of Beams)
二、刚度条件 （ Stiffness condition）
1.数学表达式 （ Mathematical formula）
2,刚度条件的应用 （ Application of stiffness condition）
（ 1） 校核刚度 （ Check the stiffness of the beam）
（ 2） 设计截面尺寸 （ Determine the allowable load on the beam）
（ 3） 求许可载荷
（ Determine the required dimensions of the beam）
m ax
m ax
[]
[]
ww
是构件的许可挠度和转角,[]w 和 []?
(Deflection of Beams)
例 7 下图为一空心圆杆,内外径分别为,d=40mm,D=80mm,杆的
E=210GPa,工程规定 C点的 [w/L]=0.00001,B点的 [?]=0.001弧度,试核此杆的刚度,
l=400mm
F2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
F1=1kN
B F
2
B
CDA
=
+ F
2
B C
a
F2
B CDA
M
=
+F
1=1kN
A D C
F2=2kN
CA
B
B
(Deflection of Beams)
解,（ 1） 结构变换,查表求简单载荷变形,
l=400mm
F2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
F1=1kN
B
2
1
1 16B
Fl
EI?
2
1
11 16CB
F l awa
EI?
2 0B 3
2
2 3C
Faw
EI
23 33B Ml laFEI EI?
2
2
33 3CB
F lawa
EI?
+
F2
B C图 2
图 3
+F
2
B CDA
M
=
图 1
F1=1kN
D C
(Deflection of Beams)
（ 2） 叠加求复杂载荷下的变形
2
12
1 6 3B
F l F la
EI EI?
2 3 2
1 2 2
1 6 3 3C
F l a F a F a lw
EI EI EI?
44
4 4 12
84
()
64
3.1 4
( 80 40 ) 10
64
18 8 10 m
I D d
F2=2kN=
+
+
图 1
图 2
l=400mm
A C
a=0.1m
200mm
D
F1=1kN
B
F1=1kN
D
B C
图 3
F2
BDA
M
A C
C
F2
(Deflection of Beams)
（ 3） 校核刚度,
2 3 2
61 2 2 5,1 9 1 0 m
1 6 3 3C
F l a F a F a lw
E I E I E I
2
12
-4
0,4 4 0 0 2 0 0
()
1 6 3 2 1 0 1 8 8 0 1 6 3
+ 0.42 3 10
B
F l F la
EI EI
（ rad）
m a xw w
ll
65m a x 5,1 9 1 0 m 1 0 mww
4m a x 0,4 2 3 1 0 0,0 0 1
(Deflection of Beams)
一、基本概念
（ Basic concepts）
1.超静定梁
（ statically indeterminate beams）
§ 6-5 静不定梁的解法 （ Solution methods
forstatically indeterminate beams）
单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁,称为超静定梁
F
A B
A B
C
FFRA FRBFRC
(Deflection of Beams)
2.―多余,约束 （ Redundant constraint）
多于维持其静力平衡所必需的 约束
3.―多余,反力 （ Redundant reaction）
―多余” 与 相应的支座反力
FRB
A B
C
F
F
A B
FRA FRC4.超静定次数
（ Degree of statically
indeterminate problem）
超静定梁的,多余” 约束的数目就等于其超静定次数,
n = 未知力的个数 - 独立平衡方程的数目
(Deflection of Beams)
二、求解超静定梁的步骤
(procedure for solving a statically
indeterminate)
1.画静定基建立相当系统,
将可动绞链支座作看 多余约束,解除多余约束代之以约束反力
RB.得到原超静定梁的基本静定系,
2.列 几何方程 ——变形协调方程超静定梁在多余约束处的约束条件,梁的 变形协调条件
A
B
q
l
0Bw?
q
A BF
RB
根据变形协调条件得变形几何方程,
变形几何方程为
R( ) ( ) BB B q B Fw w w
R( ) ( ) 0BB q B Fww
(Deflection of Beams)
()Bqw
R()BBFw
3.列 物理方程 —变形与力的关系查表得
q
A B
将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程
4.建立补充方程
4
() 8Bq qlw EI
R
3
R()
3B
B
BF
F lw
EI
BA F
RB
q
A B
FRB
(Deflection of Beams)
补充方程为由该式解得
5.求解其它问题（反力,应力,变形等）
4 3
R 0
83
BFlql
EI EI
R 38BF ql
q
A
B
FRB
FRA
MA
求出该梁固定端的两个支反力
R 58BF ql? 218AM ql
()Bqw
R()BBFw
q
A B
BA F
RB
(Deflection of Beams)
代以与其相应的多余反力偶 MA 得基本静定系,
变形相容条件为请同学们自行完成 ！
方法二取支座 A 处阻止梁转动的约束为多余约束,
0A
A
B
q
l
A B
q
l
MA
(Deflection of Beams)
例题 8 梁 AC如图所示,梁的 A端用一钢杆 AD与梁 AC铰接,在梁受荷载作用前,杆 AD内没有内力,已知梁和杆用同样的钢材制成,材料的弹性模量为 E,钢梁横截面的惯性矩为 I,拉杆横截面的面积为
A,其余尺寸见图,试求钢杆 AD内的拉力 FN.
a 2a
A B
C
q2q
D
l
(Deflection of Beams)
CA
D
B
q2q
A
FN
FN
A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于 A点,即
Awl
解,这是一次超静定问题,将 AD杆与梁 AC之间的连结绞看作多余约束,拉力 FN为多余反力,基本静定系如图
A
D
B
C
q
2q
Aw
FN
FN
l?
A1
(Deflection of Beams)
变形几何方程为根据叠加法 A端的挠度为
B
C
q2q
FN
Aw
N( ) ( )A A q A Fw w w
N( ) ( )A q A Fw w l?
B
C
q
2q
()Aqw
47
() 12Aq qaw EI?
在例题 中已求得
N
3
N()
AF
Faw
EI
可算出,
C
FN
BN()AFw
(Deflection of Beams)
拉杆 AD 的伸长为,NFll EA
补充方程为,
4 3
NN7
12
F a F lqa
EI EI EA
由此解得,
4
N 3
7
1 2 ( )
AqaF
Il Aa
A
D
B
C
q2q
FN
FN
l?
A1
Aw
(Deflection of Beams)
例题 9 求图示梁的支反力,并绘梁的剪力图和弯矩图,
已知 EI = 5? 103 kN·m3,
4m 3m 2m
A B
D
C
30kN
20kN/m
(Deflection of Beams)
解,这是一次超静定问题取支座 B 截面上的相对转动约束为多余约束,
基本静定系为在 B 支座截面上安置铰的静定梁,
如图所示,
4m 3m 2m
A B
D
C
30kN
20kN/m
4m 3m 2m
A B
D
C
30kN
20kN/m
多余反力为分别作用于简支梁 AB 和 BC 的 B端处的一对弯矩 MB.
变形相容条件为，简支梁 AB的 B 截面转角和
BC梁 B 截面的转角相等,
MB
B B
BB
(Deflection of Beams)
由表中查得,
3 42 0 4
2 4 3
B
B
M
EI EI?
1 2 8 0 4()
2 4 3
BM
EI EI
3 0 3 2 ( 5 2 ) 5
6 5 3
B
B
M
EI EI?
42 5
3
BM
EI EI
4m 3m 2m
A B
D
C
30kN20kN/m
D
A
B
30kN
20kN/m MB
B B
C
(Deflection of Beams)
补充方程为,
解得,
负号表示 B截面弯矩与假设相反,
1 2 8 0 4 4 2 5
2 4 3 3
BBMM
EI EI EI EI
3 1,8 0 k N mBM
4m 3m 2m
A B
D
C
30kN
D
A
B
30kN
20kN/m
20kN/m MB
B B
C
(Deflection of Beams)
由基本静定系的平衡方程可求得其余反力在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图,
4m 3m 2m
A B
D C
30kN
20kN/m
+
-
32.05
47.95
18.40
11.64
+ +
-
25.68
31.80
23.28
1.603m
-
+
R 3 2,0 5 K NAF?
R 6 6,3 5 K NBF?
R 1 1,6 K NCF?
(Deflection of Beams)
§ 6-6 提高弯曲刚度的措施影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关,所以,要想提高弯曲刚度,就应从上述各种因素入手,
一、增大梁的抗弯刚度 EI
二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置
(Deflection of Beams)
（ 1）增大梁的抗弯刚度 EI
工程中常采用工字形,箱形截面为了减小梁的位移,可采取下列措施
（ 2）调整跨长和改变结构设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角,这是提高梁的刚度的一个很又效的措施,
)( xMwEI
(Deflection of Beams)
桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值,
A B
q
l
同时,由于梁的外伸部分的自重作用,将使梁的 AB跨产生向上的挠度,从而使 AB跨向下的挠度能够被抵消一部分,而有所减小,
q q
A B
l
增加梁的支座也可以减小梁的挠度,
(Deflection of Beams)
第六章 弯曲变形 (Deflection of Beams)
§ 6-1 基本概念及工程实例
（ Basic concepts and example problems)
§ 6-4用叠加法求弯曲变形
( Beam deflections by superposition )
§ 6-3用积分法求弯曲变形
（ Beam deflection by integration )
§ 6-2挠曲线的微分方程 （ Differential
equation of the deflection curve)
(Deflection of Beams)
§ 6-5 静不定梁的解法 (Solution methods
for statically indeterminate beams)
§ 6-6 提高弯曲刚度的措施
(The measures to strengthen rigidity)
(Deflection of Beams)
§ 6-1 基本概念及工程实例
（ Basic concepts and example problems）
一、工程实例 （ Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变形,以满足特定的工作需要,
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用,
2
F
F
2
F
(Deflection of Beams)
1.挠度 （ Deflection ）
二、基本概念 （ Basic concepts）
w挠度
C'
CA B
w
x
'B
横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移,
称为该截面的挠度,用 w表示,
(Deflection of Beams)
2.转角 （ Slope）
转角?
A
C'
C
w
B x
w挠度（
B?
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角,用?表示
(Deflection of Beams)
3.挠曲线 （ Deflection curve） 梁变形后的轴线称为挠曲线,
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度,
挠曲线
w
A B x
转角?
w挠度（C'
C
B?
挠曲线方程 （ equation of deflection curve） 为
()w f x?
(Deflection of Beams)
4.挠度与转角的关系
（ Relationship between deflection and slope）：
w
A B x
转角
w挠度C'
C
B?
挠曲线
ta n ' '( )w w x
(Deflection of Beams)
5.挠度和转角符号的规定
（ Sign convention for deflection and slope）
挠度向上为正,向下为负,
转角 自 x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负,
w
A B x
转角?
w挠度C'
C
B?
挠曲线
(Deflection of Beams)
§ 6-2 挠曲线的微分方程
（ Differential equation of the deflection curve)
一、推导公式 （ Derivation of the formula)
1.纯弯曲时 曲率 与弯矩的关系 （ Relationship between the
curvature of beam and the bending moment）1 M
EI
横力弯曲时,M 和? 都是 x的函数,略去剪力对梁的位移的影响,则 1 ( )
()
Mx
x EI
(Deflection of Beams)
2.由数学得到平面曲线的曲率
（ The curvature from the mathematics）
32
2
1 | |
() ( 1 )
w
x w?
32
2
| | ( )
( 1 )
w M x
EIw
(Deflection of Beams)
在规定的坐标系中,x 轴水平向右为正,w轴竖直向上为正,
曲线向上凸时,
O x
w
x
O
w00 wM
因此,w 与 M 的正负号相同
0
0
M
w
曲线向下凸时,00 wM0
0
M
w
M M
M M
(Deflection of Beams)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 （ differential equation of
the deflection curve）
(6.5)
32
2
()
( 1 )
w M x
EIw
()" Mxw
EI?
近似原因,（ 1） 略去了剪力的影响 ; （ 2） 略去了 项 ;
（ 3）
2w?
t a n ( )w w x
与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为2w?
(Deflection of Beams)
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
（ Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分
（ Integrating the differential equation )
若为等截面直梁,其抗弯刚度 EI为一常量上式可改写成
()Mxw
EI
()E I w M x
(Deflection of Beams)
2.再积分一次,得挠度方程
（ Integrating again gives the equation for the deflection）
二、积分常数的确定
（ Evaluating the constants of integration）
1.边界条件 （ Boundary conditions）
2.连续条件 （ Continue conditions）
1.积分一次得转角方程
（ The first integration gives the equation for the slope）
1( ) dE I w M x x C
12( ) d dE I w M x x x C x C
(Deflection of Beams)
A B
在简支梁中,左右两铰支座处的挠度 Aw 和 Bw 都等于 0.
在悬臂梁中,固定端处的挠度和转角
Aw
都应等于 0.A?
0Aw? 0Bw?
0Aw?
0A
A B
(Deflection of Beams)
l
A B x
F
w
例题 1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁,在自由端受一集中力 F
作用,试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角
maxw
max?
(Deflection of Beams)
（ 1） 弯矩方程为解：
（ 2） 挠曲线的近似微分方程为
x
l
w
A B x
F
对挠曲线近似微分方程进行积分
( ) ( ) ( 1 )M x F l x
( ) ( 2 )E I w M x F l F x
2
1 ( 3)2
FxEIw Fl x C
23
12 ( 4 )26
Flx FxEI w xCC
(Deflection of Beams)
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
2
1 ( 3)2
FxEIw Flx C
23
12 ( 4 )26
Flx FxEI w xCC
边界条件
0,0
0,0
xw
xw
将边界条件代入（ 3）（ 4）两式中,可得 120 0CC
2
2
FxEIw Fl x 23
26
Flx FxEIw
(Deflection of Beams)
B
wmax
max
x
l
y
A
F
（ ）
2 2 2
m ax | 22xl
Fl Fl Fl
EI EI EI
都发生在自由端截面处max? maxw和
（ ）
3
m ax | 3xl
Plww
EI
(Deflection of Beams)
例题 2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用,试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max?
maxw和
A B
q
l
(Deflection of Beams)
解,由对称性可知,梁的两个支反力为
RR 2AB qlFF
A B
q
l
FRA FRB
x
2()
22
q l qM x x x 23
46
ql qEIw x x C
2
22
q l qEI w x x 34
1 2 2 4
q l qEIw x x Cx D
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
(Deflection of Beams)
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
2 3 3( 6 4 )
24
q lx x l
EI
2 3 3( 2 )
24
qxw lx x l
EI
边界条件 x=0 和 x=l时,0w?
x
A B
q
l
FRA FRB
A?B
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
最大转角和最大挠度分别为
3
m ax 24AB
ql
EI
wmax
在 梁跨中点处 有 最大挠度值
4
m a x
2
5
384lx
qlww
EI?
(Deflection of Beams)
例题 3 图示一抗弯刚度为 EI的简支梁,在 D点处受一集中力 F的作用,试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角,
A B
F
D
a b
l
(Deflection of Beams)
解,梁的两个支反力为
R A bFF l
R B aFF l
FRA FRB
A B
F
D
a b
l
1 2
x
x
两段梁的弯矩方程分别为
1R ( 0 )A bM F x F x x al
2 ( ) ( )
bM F x F x a a x l
l
(Deflection of Beams)
两段梁的挠曲线方程分别为
（ a）（ 0?x? a）
挠曲线方程 11
bFxEIw M
l
转角方程
2
11 2
bxEI w F C
l
挠度方程
3
1 1 16
bxE I w F C x D
l
(Deflection of Beams)
挠曲线方程 22 ()
bF x F x aEI w M
l
转角方程
22
22
()
22
bF xaxFEIw C
l
挠度方程
33
2
()
66
b F x axFxEIw C D
l
（ b）（ a? x? l ）
(Deflection of Beams)
D点的连续条件边界条件在 x = a 处 12ww
12ww?
在 x = 0 处,1 0w?
在 x = l 处,2 0w?
代入方程可解得,
12 0DD
22
12 ()6
FbC C l b
l
A B
F
D
a b
l
1 2
FRA FRB
(Deflection of Beams)
2 2 2
11 () 36
Fbw l b x
lE I
2 22
1 ][6
Fbx lw b x
lEI
2 2 2 2
22
1[ ( ) ]()
23
Fb l' xaw x l b
lEI b
3 3 2 2
2 [ ( ) ]()6
Fb l xxaw x l b
lE I b
（ a）（ 0?x? a）
（ b）（ a? x? l ）
(Deflection of Beams)
将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当 a > b 时,右支座处截面的转角绝对值为最大
10
()|
6Ax
Fab l b
lEI
2
()|
6B x l
Fab l a
lEI
m ax
()
6B
Fab l a
lEI
(Deflection of Beams)
简支梁的最大挠度应在 处0w'?
先研究第一段梁,令 得1 0w
2 2 2
11 ( ) 036
Fb'w l b x
lE I
22
1
( 2 )
33
l b a a bx
当 a > b时,x1 < a 最大挠度确实在第一段梁中
1
2
2 2 3
m a x ( ) 0 0 6 4 293xx
Fb P b lw | l b,w
EIlEI
(Deflection of Beams)
梁中点 C 处的挠度为结论,在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的,
2
22( 3 4 ) 0,0 6 2 5
48C
F b F b lw l b
E I E I
1
2
2 2 3
m a x ( ) 0 0 6 4 293xx
Fb Fb ly | l b,w
EIlEI
(Deflection of Beams)
（ a）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的,所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程,只增加了 (x-a)的项,
（ b）对 (x-a)的项作积分时,应该将 (x-a)项作为积分变量,从而简化了确定积分常数的工作,
积分法的原则
(Deflection of Beams)
§ 6–4 用叠加法求弯曲变形
（ Beam deflections by superposition ）
梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载
(可以是集中力,集中力偶或分布力 )同时作用下的挠度和转角,
就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加,当每一项荷载所引起的挠度为同一方向 (如均沿 w轴方向 ),其转角是在同一平面内 (如均在 xy 平面内 )时,则叠加就是代数和,这就是叠加原理,
一、叠加原理 （ Superposition）
(Deflection of Beams)
1.载荷叠加 （ Superposition of loads） 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和,
2.结构形式叠加（逐段刚化法）
1 2 1 1 2 2(,,,) ( ) ( ) ( )n n nF F F F F F
1 2 1 1 2 2(,,,) ( ) ( ) ( )n n nw F F F w F w F w F
(Deflection of Beams)
按叠加原理求 A点转角和 C点挠度,
解,（ a） 载荷分解如图
（ b） 由梁的简单载荷变形表,
查简单载荷引起的变形,
BqF
A
C
a a
F =
A B
+
A B
q
2
() 4AF FaEI
3
() 6CF Faw EI
45
() 24Cq qaw EI
3
() 3Aq qaEI?
(Deflection of Beams)
（ c） 叠加
2
() 4AF FaEI
3
() 6CF Faw EI
3
() 3AF qaEI
45
() 24CF qaw EI
( ) ( )A A F A q
2
( 3 4 )12 a F qaEI
435
()2 4 6C q a Faw EI EI
qF
F =
+
A
A
A
B
B
B
C
a a
q
(Deflection of Beams)
例题 4 一抗弯刚度为 EI的简支梁受荷载如图所示,试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC和支座处横截面的转角?A,?B 。
A B
C
q
Me
l
(Deflection of Beams)
解,将梁上荷载分为两项简单的荷载,如图所示 A B
C
qMe
(a)
l
BA
Me
(c)
l
A
q
(b) B
l
)( qA?
)( qB?
()CqwC
e()BM?
e()MA? e()C MwC
e( ) )(CC qM Cwww
e))((A qMAAθ θθ
24
e5
38 4 16
Mlql
EI EI( )
( )
3
e()
24 3
Mlql
EI EI
e))((B qMBBθ θθ
( )
3
e
24 6
Mlql
EI EI
(Deflection of Beams)
例题 5 试 利用叠加法,求图所示抗弯刚度为 EI的简支梁跨中点的挠度 wC 和两端截面的转角?A,?B,
A BC
q
l
l/2
A B
C
q/2
C
A B
q/2
q/2
解,可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加,
(Deflection of Beams)
（ 1）正对称荷载作用下 A B
C
q/2
44
1
5 ( 2 ) 5
3 8 4 7 6 8C
q l q lw
E I E I
33
11
( 2 )
2 4 4 8BA
q l q l
E I E IC
A B
q/2
q/2
（ 2）反对称荷载作用下在跨中 C截面处,挠度 wC等于零,但 转角不等于零且该截面的弯矩也等于零可将 AC段和 BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为 l /2
的简支梁
(Deflection of Beams)
CA B
q/2
q/2可得到：
B
q/2
A C
q/2
3
3
22
( ) ( )
22
2 4 3 8 4AB
ql
qlθ θ
EI EI
2 0Cw?
将相应的位移进行叠加,即得
4
12
5
768C C C
qlw w w
EI( ) 3 3 3
12
3
4 8 3 8 4 1 2 8A A A
q l q l q l
EI EI EI( )
3 3 3
12
7
4 8 3 8 4 3 8 4B B B
q l q l q l
E I E I E I( )
(Deflection of Beams)
例题 6 一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示,试按叠加原理并利用附表,求截面 B的转角?B以及 A端和 BC中点 D的挠度 wA和
wD,
A
B CD
a
a
2a
2q
q
(Deflection of Beams)
解,将外伸梁沿 B截面截成两段,
将 AB 段看成 B端 固定的悬臂梁,BC段看成简支梁,A B CD
a
a
2a
2q
q
B CD
q2qa
2BM qa?
2q
A B
2qa
2BM qa?
B截面两侧的相互作用为：
2BM q a?
2qa
(Deflection of Beams)
简支梁 BC的受力情况与外伸梁 AC 的 BC段的受力情况相同由简支梁 BC求得的?B,wD
就是外伸梁 AC的?B,wD
2qa
B
C
D
q
2BM qa?
q
B CD
B CD
2BM qa?
简支梁 BC的变形就是 MB
和均布荷载 q分别引起变形的叠加,
(Deflection of Beams)
由叠加原理得,
()Dqw()Bq? DB C
3
) ( )( 3
BB q B MB
qa
EI
4
( ) ( ) 24
BD D q D M
qaw w w
EI
2qa
B CD
q
2BM qa?
()BBM? ()BDMw
DB C
2BM qa?
（ 1）求?B,wD
33
)( 2 4 3qB q l q aEI EI?
32
() 33
B
B
BM
Ml qa
EI EI?
4455
() 3 8 4 2 4Dq q l q aw EI EI
42
() 1 6 4
B
B
DM
M qalw
EI EI
(Deflection of Beams)
（ 2） 求 wA
由于简支梁上 B截面的转动,带动 AB段一起作刚体运动,使 A
端产生挠度 w1
悬臂梁 AB本身的弯曲变形,使 A端产生挠度 w2
2w
A
2q
B
2qa
2BM qa?
A
θB
1w
θB
C
2qa
B D
q
2BM qa?
因此,A端的总挠度应为 1 2 2BAw w w a w
由表 6-1查得
2
2
( 2 )
8
q aw
EI? 4 4 47
3 4 1 2A
q a q a q aw
EI EI EI
(Deflection of Beams)
二、刚度条件 （ Stiffness condition）
1.数学表达式 （ Mathematical formula）
2,刚度条件的应用 （ Application of stiffness condition）
（ 1） 校核刚度 （ Check the stiffness of the beam）
（ 2） 设计截面尺寸 （ Determine the allowable load on the beam）
（ 3） 求许可载荷
（ Determine the required dimensions of the beam）
m ax
m ax
[]
[]
ww
是构件的许可挠度和转角,[]w 和 []?
(Deflection of Beams)
例 7 下图为一空心圆杆,内外径分别为,d=40mm,D=80mm,杆的
E=210GPa,工程规定 C点的 [w/L]=0.00001,B点的 [?]=0.001弧度,试核此杆的刚度,
l=400mm
F2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
F1=1kN
B F
2
B
CDA
=
+ F
2
B C
a
F2
B CDA
M
=
+F
1=1kN
A D C
F2=2kN
CA
B
B
(Deflection of Beams)
解,（ 1） 结构变换,查表求简单载荷变形,
l=400mm
F2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
F1=1kN
B
2
1
1 16B
Fl
EI?
2
1
11 16CB
F l awa
EI?
2 0B 3
2
2 3C
Faw
EI
23 33B Ml laFEI EI?
2
2
33 3CB
F lawa
EI?
+
F2
B C图 2
图 3
+F
2
B CDA
M
=
图 1
F1=1kN
D C
(Deflection of Beams)
（ 2） 叠加求复杂载荷下的变形
2
12
1 6 3B
F l F la
EI EI?
2 3 2
1 2 2
1 6 3 3C
F l a F a F a lw
EI EI EI?
44
4 4 12
84
()
64
3.1 4
( 80 40 ) 10
64
18 8 10 m
I D d
F2=2kN=
+
+
图 1
图 2
l=400mm
A C
a=0.1m
200mm
D
F1=1kN
B
F1=1kN
D
B C
图 3
F2
BDA
M
A C
C
F2
(Deflection of Beams)
（ 3） 校核刚度,
2 3 2
61 2 2 5,1 9 1 0 m
1 6 3 3C
F l a F a F a lw
E I E I E I
2
12
-4
0,4 4 0 0 2 0 0
()
1 6 3 2 1 0 1 8 8 0 1 6 3
+ 0.42 3 10
B
F l F la
EI EI
（ rad）
m a xw w
ll
65m a x 5,1 9 1 0 m 1 0 mww
4m a x 0,4 2 3 1 0 0,0 0 1
(Deflection of Beams)
一、基本概念
（ Basic concepts）
1.超静定梁
（ statically indeterminate beams）
§ 6-5 静不定梁的解法 （ Solution methods
forstatically indeterminate beams）
单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁,称为超静定梁
F
A B
A B
C
FFRA FRBFRC
(Deflection of Beams)
2.―多余,约束 （ Redundant constraint）
多于维持其静力平衡所必需的 约束
3.―多余,反力 （ Redundant reaction）
―多余” 与 相应的支座反力
FRB
A B
C
F
F
A B
FRA FRC4.超静定次数
（ Degree of statically
indeterminate problem）
超静定梁的,多余” 约束的数目就等于其超静定次数,
n = 未知力的个数 - 独立平衡方程的数目
(Deflection of Beams)
二、求解超静定梁的步骤
(procedure for solving a statically
indeterminate)
1.画静定基建立相当系统,
将可动绞链支座作看 多余约束,解除多余约束代之以约束反力
RB.得到原超静定梁的基本静定系,
2.列 几何方程 ——变形协调方程超静定梁在多余约束处的约束条件,梁的 变形协调条件
A
B
q
l
0Bw?
q
A BF
RB
根据变形协调条件得变形几何方程,
变形几何方程为
R( ) ( ) BB B q B Fw w w
R( ) ( ) 0BB q B Fww
(Deflection of Beams)
()Bqw
R()BBFw
3.列 物理方程 —变形与力的关系查表得
q
A B
将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程
4.建立补充方程
4
() 8Bq qlw EI
R
3
R()
3B
B
BF
F lw
EI
BA F
RB
q
A B
FRB
(Deflection of Beams)
补充方程为由该式解得
5.求解其它问题（反力,应力,变形等）
4 3
R 0
83
BFlql
EI EI
R 38BF ql
q
A
B
FRB
FRA
MA
求出该梁固定端的两个支反力
R 58BF ql? 218AM ql
()Bqw
R()BBFw
q
A B
BA F
RB
(Deflection of Beams)
代以与其相应的多余反力偶 MA 得基本静定系,
变形相容条件为请同学们自行完成 ！
方法二取支座 A 处阻止梁转动的约束为多余约束,
0A
A
B
q
l
A B
q
l
MA
(Deflection of Beams)
例题 8 梁 AC如图所示,梁的 A端用一钢杆 AD与梁 AC铰接,在梁受荷载作用前,杆 AD内没有内力,已知梁和杆用同样的钢材制成,材料的弹性模量为 E,钢梁横截面的惯性矩为 I,拉杆横截面的面积为
A,其余尺寸见图,试求钢杆 AD内的拉力 FN.
a 2a
A B
C
q2q
D
l
(Deflection of Beams)
CA
D
B
q2q
A
FN
FN
A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于 A点,即
Awl
解,这是一次超静定问题,将 AD杆与梁 AC之间的连结绞看作多余约束,拉力 FN为多余反力,基本静定系如图
A
D
B
C
q
2q
Aw
FN
FN
l?
A1
(Deflection of Beams)
变形几何方程为根据叠加法 A端的挠度为
B
C
q2q
FN
Aw
N( ) ( )A A q A Fw w w
N( ) ( )A q A Fw w l?
B
C
q
2q
()Aqw
47
() 12Aq qaw EI?
在例题 中已求得
N
3
N()
AF
Faw
EI
可算出,
C
FN
BN()AFw
(Deflection of Beams)
拉杆 AD 的伸长为,NFll EA
补充方程为,
4 3
NN7
12
F a F lqa
EI EI EA
由此解得,
4
N 3
7
1 2 ( )
AqaF
Il Aa
A
D
B
C
q2q
FN
FN
l?
A1
Aw
(Deflection of Beams)
例题 9 求图示梁的支反力,并绘梁的剪力图和弯矩图,
已知 EI = 5? 103 kN·m3,
4m 3m 2m
A B
D
C
30kN
20kN/m
(Deflection of Beams)
解,这是一次超静定问题取支座 B 截面上的相对转动约束为多余约束,
基本静定系为在 B 支座截面上安置铰的静定梁,
如图所示,
4m 3m 2m
A B
D
C
30kN
20kN/m
4m 3m 2m
A B
D
C
30kN
20kN/m
多余反力为分别作用于简支梁 AB 和 BC 的 B端处的一对弯矩 MB.
变形相容条件为，简支梁 AB的 B 截面转角和
BC梁 B 截面的转角相等,
MB
B B
BB
(Deflection of Beams)
由表中查得,
3 42 0 4
2 4 3
B
B
M
EI EI?
1 2 8 0 4()
2 4 3
BM
EI EI
3 0 3 2 ( 5 2 ) 5
6 5 3
B
B
M
EI EI?
42 5
3
BM
EI EI
4m 3m 2m
A B
D
C
30kN20kN/m
D
A
B
30kN
20kN/m MB
B B
C
(Deflection of Beams)
补充方程为,
解得,
负号表示 B截面弯矩与假设相反,
1 2 8 0 4 4 2 5
2 4 3 3
BBMM
EI EI EI EI
3 1,8 0 k N mBM
4m 3m 2m
A B
D
C
30kN
D
A
B
30kN
20kN/m
20kN/m MB
B B
C
(Deflection of Beams)
由基本静定系的平衡方程可求得其余反力在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图,
4m 3m 2m
A B
D C
30kN
20kN/m
+
-
32.05
47.95
18.40
11.64
+ +
-
25.68
31.80
23.28
1.603m
-
+
R 3 2,0 5 K NAF?
R 6 6,3 5 K NBF?
R 1 1,6 K NCF?
(Deflection of Beams)
§ 6-6 提高弯曲刚度的措施影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关,所以,要想提高弯曲刚度,就应从上述各种因素入手,
一、增大梁的抗弯刚度 EI
二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置
(Deflection of Beams)
（ 1）增大梁的抗弯刚度 EI
工程中常采用工字形,箱形截面为了减小梁的位移,可采取下列措施
（ 2）调整跨长和改变结构设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角,这是提高梁的刚度的一个很又效的措施,
)( xMwEI
(Deflection of Beams)
桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值,
A B
q
l
同时,由于梁的外伸部分的自重作用,将使梁的 AB跨产生向上的挠度,从而使 AB跨向下的挠度能够被抵消一部分,而有所减小,
q q
A B
l
增加梁的支座也可以减小梁的挠度,
