Additional remarks for bending
(Additional remarks for bending)
§ 12–1 非对称弯曲
(Unsymmetrical bending ）
§ 12–2 开口薄壁杆件的切应力弯曲中心 (Shear stress of open thin-wall
members,Flexural center)
第十二章 弯曲的几个补充问题
(Additional remarks for bending）
(Additional remarks for bending)
BA
§ 12-1 非对称弯曲 (Unsymmetrical bending)
一、非对称弯曲 (Unsymmetrical bending)
横向力虽然通过截面的弯曲中心，但与形心主惯性平面存在一定夹角。在这种情况下，梁弯曲后的轴线不在力的作用平面内，
这种弯曲变形称为斜弯曲,y
z
x
FyFz
F
(Additional remarks for bending)
二、斜弯曲的分析方法
(Analysis method for unsymmetrical bending )
2.叠加 (Superposition)
对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来
Fz
Fy
y
z
F
j
BA
y
z
x
FyFz
F
1.分解 (Resolution)
将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲
(Additional remarks for bending)
梁在垂直纵向对称面 xy 面内发生平面弯曲 。
z轴为中性轴
y
x
z
挠曲线梁的轴线对称轴垂直纵向对称面
(Additional remarks for bending)
x
y
z
梁的轴线对称轴水平纵向对称面梁在水平纵向对称面 xz 平面内弯曲,y轴为中性轴。
挠曲线
(Additional remarks for bending)
三,梁内任意横截面上的内力分析
(Analysis of internal force on any cross section)
BA
FyFzy
z
x
x
My = Fz x=Fxsinj (使梁在 xz平面内弯曲,y为中性轴 )
Mz = Fy x =Fxcosj (使梁在 xy 平面内弯曲,z为中性轴 )
m
m
m
m
z
y
My xM
z
(Additional remarks for bending)
四,横截面上的应力分析 （ Stress analysis of cross
sections)
m
m
z
y
My xM
z
1.与 My 相应的正应力为 ( The bending normal
stress corresponding to My )
zIM
y
y?'?
2.与 Mz 相应的正应力为 (The bending normal
stress corresponding to Mz)
yIM
z
z?''?
C 点处的正应力 (The normal stress at point C)
yIMzIM
z
z
y
y '''
C ( y,z )
(Additional remarks for bending)
五、横截面上中性轴的位置 (Location of neutral
axis on cross section)
中性轴上的正应力为 零假设 点 e ( z0,y0 ) 为中性轴上任意一点
000 yIMzIM
z
z
y
y
e?
y
I
M
z
I
M
z
z
y
y?
'''
z
y
xMzO
e (z0,y0)中性轴方程为 000 yI
Mz
I
M
z
z
y
y
中性轴是一条通过横截面形心的直线 (the neutral axis
is a line which cross the centroid of an area)
中性轴My
(Additional remarks for bending)
中性轴的位置由它与 y 轴的夹角?确定
000 yIMzIM
z
z
y
y
j? c o tt a n
0
0
z
y
z
y
y
z
I
I
I
I
M
M
y
z
z
y
x
中性轴
z0
公式中角度 j是 横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角。
横截面上合成弯矩 M 为
22 zy MMM
y0
(Additional remarks for bending)
y
z
O
公式中角度 y 是 横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角,
M
θ
中性轴
y? t a nt a n
0
0
z
y
z
y
y
z
I
I
I
I
M
M
y
z
y
z
M
M?yt a nMz
My
y
(Additional remarks for bending)
y
x
y
M
中性轴 z
y
O
讨 论：
（ 1） 一般情况下，截面的 Iz?Iy,故中性轴与合成弯矩 M 所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。所以挠曲线与外力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变形特征。
z
y? t a nt a n
0
0
z
y
z
y
y
z
I
I
I
I
M
M
y
z
(Additional remarks for bending)
（ 2） 对于圆形、正方形等 Iy=Iz 的截面，有?= y，梁发生平面弯曲 (plane bending)，正应力可用合成弯矩 M 按正应力计算公式计算。梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。
y? t a nt a n
0
0
z
y
z
y
y
z
I
I
I
I
M
M
y
z
中性轴 z
y
O
M
y
(Additional remarks for bending)
z
y
中性轴六、最大正应力分析
（ Analysis of maximum normal stress)
作平行于中性轴的两直线分别与横截面周边相切于 D1,D2两点
,D1,D2 两点分别为横截面上最大拉应力点和最大压应力点。 D
2
D1
O
(Additional remarks for bending)
D1
D2
z
y
z
y
O
中性轴对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面,
梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处。 可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴。
D2
D1
O
(Additional remarks for bending)
七、强度条件 (Strength condition)
斜弯曲的危险点处于单向应力状态，所以强度条件为
][ma x
强度条件的应用 设计截面强度校核确定许可载荷
(Additional remarks for bending)
八、斜弯曲的挠度 (Deflection of unsymmetrical bending )
分别求出 Fy 引起的挠度 wy 和 Fz 引起的挠度 wz
方法：叠加原理
wz
wy
w
y
总挠度为 w
总挠度与轴的夹角为 y
22 zy www
y
z
w
wΨ?t a n
(Additional remarks for bending)
xA B C
z
y
F2=2kN
F1=1kN
0.5m 0.5m
40
z
y
O
a d
b c
例题 1 矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示,试确定危险截面上危险点所在的位置，计算梁内最大正应力的 值,
(Additional remarks for bending)
解,（ 1） 外力分析梁在 F2 的作用下将在 xOz
平面内发生平面弯曲 (y 为中性轴）
故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合 ---- 斜弯曲梁在 F1的作用下将在 xOy平面内发生平面弯曲（ z为中性轴）
xA B C
z
y
F2=2kN
F1=1kN
0.5m 0.5m
(Additional remarks for bending)
（ 2） 绘制弯矩图绘出 Mz (x)图绘出 My(x) 图
A截面为梁的危险截面
Mz = 1 kN·m
My= 1 kN·m
xA B C
z
y
F2=2kN
F1=1kN
0.5m 0.5m
1kN·m
x
Mz(x)图
1kN·m
x
My(x)图
Mz使 A截面上部受拉，下部受压
My使 A截面前部受拉，后部受压
(Additional remarks for bending)
z
y
x
My
z
y
x
Mz
z
y
x
（ 3） 应力分析
D1 是最大拉应力点
D2 是最大压应力点两点正应力的绝对值相等拉压拉压
D2
D1
(Additional remarks for bending)
40
z
y
y
y
y W
M?
m a x?
z
z
z W
M?
ma x?
24080
6
1
yW
28040
6
1
zW
2
2
4080
6
1
mkN1
8040
6
1
mkN1
yy
zz
WM
WM
M Pa02.7)ma x (
1
y
y
z
z
D W
M
W
M?
MP a02.7)m a x ( 2D?
z
y
x
My
z
y
x
Mz
拉压拉压
(Additional remarks for bending)
（ 4）中性轴的位置
4
1
101
101
12
8040
12
4080
t a n
3
3
3
3
y
z
z
y
M
M
I
I
14
40
z
y
(Additional remarks for bending)
（ 5）绘制总应力分布图
40
z
y
中性轴
D1
D2
+
-
D1=7.02
D2=-7.02
拉压
(Additional remarks for bending)
例题 2 20a号工字形悬臂梁受集度为 q 的均布荷载和集中力
F = qa/2 作用,力 F 作用在 yOz 平面内,已知钢的许用应力
[?]=160MPa,a =1m。 试求此梁的许可荷载集度 [q].
40°F
q
a a
A C B
y
z
(Additional remarks for bending)
解：将力 F向 y 轴和 z 轴分解
Fy 与均布荷载 q使梁 在 xy平面内产生弯曲 (z为中性轴 )
Fz 使梁 在 xz平面内产生弯曲 (y为中性轴 )
z
40°F
q
a a
A C B
y
Fy
Fz
qaFF
qaFF
z
y
3 2 1.040s i n
3 8 3.040c o s
(Additional remarks for bending)
FzA C Bxz面
q
Fy
A C B
xy面
D D
0.617a
b
cd
a
0.456qa2
0.266qa2
0.383qa2
Mz图
a d c b
0.321qa2
0.642qa2
0.444qa2
My图
（ 1） 画弯矩图
A,D 两截面可能是危险截面
MzA = 0.266qa2
MzD = 0.456qa2
MyA = 0.642qa2
MyD = 0.444qa2
A 截面
D 截面
(Additional remarks for bending)
（ 2）计算应力 查工字钢表 20a 号
A 截面
D 截面
3636 m105.31m10237 yz WW
qWMWM
y
yA
z
zA
A
3
ma x 105.21)(
qWMWM
y
yD
z
zD
D
3
ma x 1002.16)(
梁的危险点在 A 截面棱角处
][.)( ma xma x qWMWM
y
yA
z
zA
A
310521
k N/ m44.75.21 101 6 0][
3
q
(Additional remarks for bending)
§ 12–2 开口薄壁杆件的切应力 弯曲中心
(Shear stress of open thin-wall members,
Flexural center )
一、非对称截面梁平面弯曲的条件
(Conditions of plane bending for unsymmetrical beams)
前面讨论的平面弯曲,仅限于梁至少有一个纵向对称面,外力均作用在该对称面内且垂直于轴线,
对于非对称截面梁,横截面上有一对形心主惯性轴 y,z,形心主惯性轴 y,z与轴线 x组成两个形心主惯性平面 xOy,xOz
形心主惯性平面
y,z轴为形心主惯性轴
z
x
y
(Additional remarks for bending)
1.实体梁 （ Body beams)
当横向外力作用在形心主惯性平面的平面内,梁发生平面弯曲,否则将会伴随着扭转变形,但由于实体构件抗扭刚度很大,扭转变形很小,其带来的影响可以忽略不计,
2.开口薄壁截面梁 (Open thin-wall sections)
对于开口薄壁截面梁,即使横向力作用于形心主惯性平面内
(非对称平面 ),则梁除发生弯曲变形外,还将发生扭转变形,
只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时,梁才只发生平面弯曲,而无扭转变形,这个特定点称为横截面的 弯曲中心 (Shear center or flexural center),用 A表示,
(Additional remarks for bending)
3.弯曲中心的确定 （ Determination of the shear center)
（ 1） 弯曲中心 (Shear center or flexural center)
切应力合力的作用点就是截面弯曲中心 (使杆不发生扭转的横向力作用点 ).
（ 2） 弯曲中心的位置 (Location of the shear center)
（ b）具有一个对称轴的截面,其弯曲中心一定在这个 对称轴上,
（ c）若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心,
A
A
A
（ a）具有两个对称轴或反对称轴的截面,其弯曲中心与形心重合,
(Additional remarks for bending)
例 3 试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置 ; 若剪力 FS的方向垂直向下,试画出切应力流的方向,
A
A
A A A
A A A A A
(Additional remarks for bending)
例题 4 一槽钢制成的梁受方向平行于其腹板的横向荷载作用,钢槽截面简化后的尺寸见图,
（ 2）确定横截面上剪力作用线的位置
（ 1）分析横截面上腹板,翼缘两部分切应力 t和 t1的变化规律
q(x)F1 F
2
t
y
O
m
t
y
z
d
h
b
h1h
′
b′
dy1
y1
δ
δ
(Additional remarks for bending)
解,（ 1）分析腹板上切应力的变化规律
dI
SFτ
z
z
*
S?
)]4(22[ 2
2
1
'
S yhdhb
dI
Fτ
z
腹板上切应力沿高度按二次抛物线规律变化,
t
y
O
m
t
y
z
d
h
b
h1h
′
b′
dy1
y1
δ
δ
(Additional remarks for bending)
（ 2）横截面翼缘上的切应力
q(x)F
1 F2 m
m
n
n
x dx
FS
M
FS
M+dM
nm
m ndx
x
1 n
m n
m dx?11
沿翼缘厚度用纵向截面
AC截出一体积元素 C-m
在 C-m的两个截面 D-
m,C-n上 分别有由法向内力元素在 C-m的两个截面 D-m,C-
n上分别有由法向内力元素组成的拉力 FN1*,FN11*.
m
n
Oz
ydx
m
2
h? DC
A ξ
σ1
σ11 dA A
ξ
D
m
C
δ
B
F*1N
F*11N
(Additional remarks for bending)
由于翼缘很薄,故可认为
1,?11,沿翼缘厚度保持不变,
且其值与翼缘中线上的正应力相同,
I
hMσ
z
' 2
1?
I
hMMσ
z
' 2d
11
z
'
*
AA
*
I
hMAAAF
2dd 1*1* 11N
hI MMF
z
'*
2N 2
d
A *
δ为 翼缘厚度 ξ为从翼缘外端到所取纵截面 AC间的长度
m
n
Oz
ydx
m
2
h? DC
A ξ
A
ξ
D
m
C
δ
B
σ1
σ11 dA
F*1N
F*11N
A*
(Additional remarks for bending)
所以在 AC截面上一定存在着切向内力元素 dFS’,因为翼缘横截面也是狭长矩形,故可采用切应力沿壁厚不变及其方向平行于翼缘长度的假设,
由于 FF * 2N* 1N?
根据剪应力互等定理,横截面上的切应力和 AC上的切应力如图所示,
A ξ
D
m
C
δ
B
F*1N
F*11N
'SdF
t1
t'1
xF dd 1'St
平衡方程? Fx = 0 0d * 2N'S* 1N FFF
z
'
*
I
hMF
21N
hI MMF
z
'*
2N 2
d
经过整理,即得
zI
hF
2
S
1
t
(Additional remarks for bending)
A ξ
D
m
C
δ
B
F*1N
F*11N
'SdF
t1
t'1
由切应力互等定理可知 tt 11
得横截面上的切应力
zI
hF
2
S
1
t
m
n
Oz
ydx
m
2
h? DC
A ξ
式中
FS —为横截面上的剪力
Iz — 为整个横截面对其中性轴的惯性矩
h’ — 为截面两翼缘中线间的距离
ξ— 为从翼缘外端到要求切应力点之间的长度
(Additional remarks for bending)
t1沿翼缘长度按线性规律变化,
翼缘上的最大剪应力发生在横截面上翼缘与腹板的中线相接处,
切应力的指向如图所示 t
t1
t1
m
m
b?
tmax1
zI
hF
2
S
1
t
zI
bhF
2
S
ma x1
t
δ
y
O
m
δ
y
z
d
h
b
h1h
′
b′
dy1
y
1
(Additional remarks for bending)
（ 3）确定横截面上剪力作用线的位置腹板上切向内力元素 tdA的合力 FR
)]4(22[ 2
2
1
'
S yhdhb
dI
Fτ
z
1
1
() 2R
2
ddh
h
F A d y*
A
tt
)()]4(22[2
2
2
2
1
'
S dyyhdhb
I
F h
h
z
δ
y
O
m
δ
y
z
d
h
b
h1h
′
b′
dy1
y
1
式中
A* —为横截面腹板部分的面积
FR — 为腹板上的切向内力元素组成的合力
dA = d?dy为横截面腹板部分的面积元素
(Additional remarks for bending)
横截面翼缘部分切向内力元素 t1dA
所组成的合力 FH
t
t1
t1
m
m
b?
tmax1
1
( ')
'
H max
2
S
1
2
4
z
Fb
Fhb
I
t?
m
m
RSFF
上式的积分运算结果与式中的 Iz的算式接近
RSFF
(Additional remarks for bending)
由力系合成原理可知,上述合力的大小和方向均与 FR相同,但作用线应与 FR相隔一个距离 az.
m
m
RSFF
横截面上的剪力为一个 FR和两个 FH.它们的合力的作用线位置,就是梁横截面上剪力的作用线位置,
H
H
h?
RHzF a F h
22
H
R 4
z
z
Fh bha
FI
A点称为剪切中心 或 弯曲中心
m
m
z
RSFF
y
azA
O
(Additional remarks for bending)
§ 12–1 非对称弯曲
(Unsymmetrical bending ）
§ 12–2 开口薄壁杆件的切应力弯曲中心 (Shear stress of open thin-wall
members,Flexural center)
第十二章 弯曲的几个补充问题
(Additional remarks for bending）
(Additional remarks for bending)
BA
§ 12-1 非对称弯曲 (Unsymmetrical bending)
一、非对称弯曲 (Unsymmetrical bending)
横向力虽然通过截面的弯曲中心，但与形心主惯性平面存在一定夹角。在这种情况下，梁弯曲后的轴线不在力的作用平面内，
这种弯曲变形称为斜弯曲,y
z
x
FyFz
F
(Additional remarks for bending)
二、斜弯曲的分析方法
(Analysis method for unsymmetrical bending )
2.叠加 (Superposition)
对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来
Fz
Fy
y
z
F
j
BA
y
z
x
FyFz
F
1.分解 (Resolution)
将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲
(Additional remarks for bending)
梁在垂直纵向对称面 xy 面内发生平面弯曲 。
z轴为中性轴
y
x
z
挠曲线梁的轴线对称轴垂直纵向对称面
(Additional remarks for bending)
x
y
z
梁的轴线对称轴水平纵向对称面梁在水平纵向对称面 xz 平面内弯曲,y轴为中性轴。
挠曲线
(Additional remarks for bending)
三,梁内任意横截面上的内力分析
(Analysis of internal force on any cross section)
BA
FyFzy
z
x
x
My = Fz x=Fxsinj (使梁在 xz平面内弯曲,y为中性轴 )
Mz = Fy x =Fxcosj (使梁在 xy 平面内弯曲,z为中性轴 )
m
m
m
m
z
y
My xM
z
(Additional remarks for bending)
四,横截面上的应力分析 （ Stress analysis of cross
sections)
m
m
z
y
My xM
z
1.与 My 相应的正应力为 ( The bending normal
stress corresponding to My )
zIM
y
y?'?
2.与 Mz 相应的正应力为 (The bending normal
stress corresponding to Mz)
yIM
z
z?''?
C 点处的正应力 (The normal stress at point C)
yIMzIM
z
z
y
y '''
C ( y,z )
(Additional remarks for bending)
五、横截面上中性轴的位置 (Location of neutral
axis on cross section)
中性轴上的正应力为 零假设 点 e ( z0,y0 ) 为中性轴上任意一点
000 yIMzIM
z
z
y
y
e?
y
I
M
z
I
M
z
z
y
y?
'''
z
y
xMzO
e (z0,y0)中性轴方程为 000 yI
Mz
I
M
z
z
y
y
中性轴是一条通过横截面形心的直线 (the neutral axis
is a line which cross the centroid of an area)
中性轴My
(Additional remarks for bending)
中性轴的位置由它与 y 轴的夹角?确定
000 yIMzIM
z
z
y
y
j? c o tt a n
0
0
z
y
z
y
y
z
I
I
I
I
M
M
y
z
z
y
x
中性轴
z0
公式中角度 j是 横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角。
横截面上合成弯矩 M 为
22 zy MMM
y0
(Additional remarks for bending)
y
z
O
公式中角度 y 是 横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角,
M
θ
中性轴
y? t a nt a n
0
0
z
y
z
y
y
z
I
I
I
I
M
M
y
z
y
z
M
M?yt a nMz
My
y
(Additional remarks for bending)
y
x
y
M
中性轴 z
y
O
讨 论：
（ 1） 一般情况下，截面的 Iz?Iy,故中性轴与合成弯矩 M 所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。所以挠曲线与外力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变形特征。
z
y? t a nt a n
0
0
z
y
z
y
y
z
I
I
I
I
M
M
y
z
(Additional remarks for bending)
（ 2） 对于圆形、正方形等 Iy=Iz 的截面，有?= y，梁发生平面弯曲 (plane bending)，正应力可用合成弯矩 M 按正应力计算公式计算。梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。
y? t a nt a n
0
0
z
y
z
y
y
z
I
I
I
I
M
M
y
z
中性轴 z
y
O
M
y
(Additional remarks for bending)
z
y
中性轴六、最大正应力分析
（ Analysis of maximum normal stress)
作平行于中性轴的两直线分别与横截面周边相切于 D1,D2两点
,D1,D2 两点分别为横截面上最大拉应力点和最大压应力点。 D
2
D1
O
(Additional remarks for bending)
D1
D2
z
y
z
y
O
中性轴对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面,
梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处。 可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴。
D2
D1
O
(Additional remarks for bending)
七、强度条件 (Strength condition)
斜弯曲的危险点处于单向应力状态，所以强度条件为
][ma x
强度条件的应用 设计截面强度校核确定许可载荷
(Additional remarks for bending)
八、斜弯曲的挠度 (Deflection of unsymmetrical bending )
分别求出 Fy 引起的挠度 wy 和 Fz 引起的挠度 wz
方法：叠加原理
wz
wy
w
y
总挠度为 w
总挠度与轴的夹角为 y
22 zy www
y
z
w
wΨ?t a n
(Additional remarks for bending)
xA B C
z
y
F2=2kN
F1=1kN
0.5m 0.5m
40
z
y
O
a d
b c
例题 1 矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示,试确定危险截面上危险点所在的位置，计算梁内最大正应力的 值,
(Additional remarks for bending)
解,（ 1） 外力分析梁在 F2 的作用下将在 xOz
平面内发生平面弯曲 (y 为中性轴）
故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合 ---- 斜弯曲梁在 F1的作用下将在 xOy平面内发生平面弯曲（ z为中性轴）
xA B C
z
y
F2=2kN
F1=1kN
0.5m 0.5m
(Additional remarks for bending)
（ 2） 绘制弯矩图绘出 Mz (x)图绘出 My(x) 图
A截面为梁的危险截面
Mz = 1 kN·m
My= 1 kN·m
xA B C
z
y
F2=2kN
F1=1kN
0.5m 0.5m
1kN·m
x
Mz(x)图
1kN·m
x
My(x)图
Mz使 A截面上部受拉，下部受压
My使 A截面前部受拉，后部受压
(Additional remarks for bending)
z
y
x
My
z
y
x
Mz
z
y
x
（ 3） 应力分析
D1 是最大拉应力点
D2 是最大压应力点两点正应力的绝对值相等拉压拉压
D2
D1
(Additional remarks for bending)
40
z
y
y
y
y W
M?
m a x?
z
z
z W
M?
ma x?
24080
6
1
yW
28040
6
1
zW
2
2
4080
6
1
mkN1
8040
6
1
mkN1
yy
zz
WM
WM
M Pa02.7)ma x (
1
y
y
z
z
D W
M
W
M?
MP a02.7)m a x ( 2D?
z
y
x
My
z
y
x
Mz
拉压拉压
(Additional remarks for bending)
（ 4）中性轴的位置
4
1
101
101
12
8040
12
4080
t a n
3
3
3
3
y
z
z
y
M
M
I
I
14
40
z
y
(Additional remarks for bending)
（ 5）绘制总应力分布图
40
z
y
中性轴
D1
D2
+
-
D1=7.02
D2=-7.02
拉压
(Additional remarks for bending)
例题 2 20a号工字形悬臂梁受集度为 q 的均布荷载和集中力
F = qa/2 作用,力 F 作用在 yOz 平面内,已知钢的许用应力
[?]=160MPa,a =1m。 试求此梁的许可荷载集度 [q].
40°F
q
a a
A C B
y
z
(Additional remarks for bending)
解：将力 F向 y 轴和 z 轴分解
Fy 与均布荷载 q使梁 在 xy平面内产生弯曲 (z为中性轴 )
Fz 使梁 在 xz平面内产生弯曲 (y为中性轴 )
z
40°F
q
a a
A C B
y
Fy
Fz
qaFF
qaFF
z
y
3 2 1.040s i n
3 8 3.040c o s
(Additional remarks for bending)
FzA C Bxz面
q
Fy
A C B
xy面
D D
0.617a
b
cd
a
0.456qa2
0.266qa2
0.383qa2
Mz图
a d c b
0.321qa2
0.642qa2
0.444qa2
My图
（ 1） 画弯矩图
A,D 两截面可能是危险截面
MzA = 0.266qa2
MzD = 0.456qa2
MyA = 0.642qa2
MyD = 0.444qa2
A 截面
D 截面
(Additional remarks for bending)
（ 2）计算应力 查工字钢表 20a 号
A 截面
D 截面
3636 m105.31m10237 yz WW
qWMWM
y
yA
z
zA
A
3
ma x 105.21)(
qWMWM
y
yD
z
zD
D
3
ma x 1002.16)(
梁的危险点在 A 截面棱角处
][.)( ma xma x qWMWM
y
yA
z
zA
A
310521
k N/ m44.75.21 101 6 0][
3
q
(Additional remarks for bending)
§ 12–2 开口薄壁杆件的切应力 弯曲中心
(Shear stress of open thin-wall members,
Flexural center )
一、非对称截面梁平面弯曲的条件
(Conditions of plane bending for unsymmetrical beams)
前面讨论的平面弯曲,仅限于梁至少有一个纵向对称面,外力均作用在该对称面内且垂直于轴线,
对于非对称截面梁,横截面上有一对形心主惯性轴 y,z,形心主惯性轴 y,z与轴线 x组成两个形心主惯性平面 xOy,xOz
形心主惯性平面
y,z轴为形心主惯性轴
z
x
y
(Additional remarks for bending)
1.实体梁 （ Body beams)
当横向外力作用在形心主惯性平面的平面内,梁发生平面弯曲,否则将会伴随着扭转变形,但由于实体构件抗扭刚度很大,扭转变形很小,其带来的影响可以忽略不计,
2.开口薄壁截面梁 (Open thin-wall sections)
对于开口薄壁截面梁,即使横向力作用于形心主惯性平面内
(非对称平面 ),则梁除发生弯曲变形外,还将发生扭转变形,
只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时,梁才只发生平面弯曲,而无扭转变形,这个特定点称为横截面的 弯曲中心 (Shear center or flexural center),用 A表示,
(Additional remarks for bending)
3.弯曲中心的确定 （ Determination of the shear center)
（ 1） 弯曲中心 (Shear center or flexural center)
切应力合力的作用点就是截面弯曲中心 (使杆不发生扭转的横向力作用点 ).
（ 2） 弯曲中心的位置 (Location of the shear center)
（ b）具有一个对称轴的截面,其弯曲中心一定在这个 对称轴上,
（ c）若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心,
A
A
A
（ a）具有两个对称轴或反对称轴的截面,其弯曲中心与形心重合,
(Additional remarks for bending)
例 3 试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置 ; 若剪力 FS的方向垂直向下,试画出切应力流的方向,
A
A
A A A
A A A A A
(Additional remarks for bending)
例题 4 一槽钢制成的梁受方向平行于其腹板的横向荷载作用,钢槽截面简化后的尺寸见图,
（ 2）确定横截面上剪力作用线的位置
（ 1）分析横截面上腹板,翼缘两部分切应力 t和 t1的变化规律
q(x)F1 F
2
t
y
O
m
t
y
z
d
h
b
h1h
′
b′
dy1
y1
δ
δ
(Additional remarks for bending)
解,（ 1）分析腹板上切应力的变化规律
dI
SFτ
z
z
*
S?
)]4(22[ 2
2
1
'
S yhdhb
dI
Fτ
z
腹板上切应力沿高度按二次抛物线规律变化,
t
y
O
m
t
y
z
d
h
b
h1h
′
b′
dy1
y1
δ
δ
(Additional remarks for bending)
（ 2）横截面翼缘上的切应力
q(x)F
1 F2 m
m
n
n
x dx
FS
M
FS
M+dM
nm
m ndx
x
1 n
m n
m dx?11
沿翼缘厚度用纵向截面
AC截出一体积元素 C-m
在 C-m的两个截面 D-
m,C-n上 分别有由法向内力元素在 C-m的两个截面 D-m,C-
n上分别有由法向内力元素组成的拉力 FN1*,FN11*.
m
n
Oz
ydx
m
2
h? DC
A ξ
σ1
σ11 dA A
ξ
D
m
C
δ
B
F*1N
F*11N
(Additional remarks for bending)
由于翼缘很薄,故可认为
1,?11,沿翼缘厚度保持不变,
且其值与翼缘中线上的正应力相同,
I
hMσ
z
' 2
1?
I
hMMσ
z
' 2d
11
z
'
*
AA
*
I
hMAAAF
2dd 1*1* 11N
hI MMF
z
'*
2N 2
d
A *
δ为 翼缘厚度 ξ为从翼缘外端到所取纵截面 AC间的长度
m
n
Oz
ydx
m
2
h? DC
A ξ
A
ξ
D
m
C
δ
B
σ1
σ11 dA
F*1N
F*11N
A*
(Additional remarks for bending)
所以在 AC截面上一定存在着切向内力元素 dFS’,因为翼缘横截面也是狭长矩形,故可采用切应力沿壁厚不变及其方向平行于翼缘长度的假设,
由于 FF * 2N* 1N?
根据剪应力互等定理,横截面上的切应力和 AC上的切应力如图所示,
A ξ
D
m
C
δ
B
F*1N
F*11N
'SdF
t1
t'1
xF dd 1'St
平衡方程? Fx = 0 0d * 2N'S* 1N FFF
z
'
*
I
hMF
21N
hI MMF
z
'*
2N 2
d
经过整理,即得
zI
hF
2
S
1
t
(Additional remarks for bending)
A ξ
D
m
C
δ
B
F*1N
F*11N
'SdF
t1
t'1
由切应力互等定理可知 tt 11
得横截面上的切应力
zI
hF
2
S
1
t
m
n
Oz
ydx
m
2
h? DC
A ξ
式中
FS —为横截面上的剪力
Iz — 为整个横截面对其中性轴的惯性矩
h’ — 为截面两翼缘中线间的距离
ξ— 为从翼缘外端到要求切应力点之间的长度
(Additional remarks for bending)
t1沿翼缘长度按线性规律变化,
翼缘上的最大剪应力发生在横截面上翼缘与腹板的中线相接处,
切应力的指向如图所示 t
t1
t1
m
m
b?
tmax1
zI
hF
2
S
1
t
zI
bhF
2
S
ma x1
t
δ
y
O
m
δ
y
z
d
h
b
h1h
′
b′
dy1
y
1
(Additional remarks for bending)
（ 3）确定横截面上剪力作用线的位置腹板上切向内力元素 tdA的合力 FR
)]4(22[ 2
2
1
'
S yhdhb
dI
Fτ
z
1
1
() 2R
2
ddh
h
F A d y*
A
tt
)()]4(22[2
2
2
2
1
'
S dyyhdhb
I
F h
h
z
δ
y
O
m
δ
y
z
d
h
b
h1h
′
b′
dy1
y
1
式中
A* —为横截面腹板部分的面积
FR — 为腹板上的切向内力元素组成的合力
dA = d?dy为横截面腹板部分的面积元素
(Additional remarks for bending)
横截面翼缘部分切向内力元素 t1dA
所组成的合力 FH
t
t1
t1
m
m
b?
tmax1
1
( ')
'
H max
2
S
1
2
4
z
Fb
Fhb
I
t?
m
m
RSFF
上式的积分运算结果与式中的 Iz的算式接近
RSFF
(Additional remarks for bending)
由力系合成原理可知,上述合力的大小和方向均与 FR相同,但作用线应与 FR相隔一个距离 az.
m
m
RSFF
横截面上的剪力为一个 FR和两个 FH.它们的合力的作用线位置,就是梁横截面上剪力的作用线位置,
H
H
h?
RHzF a F h
22
H
R 4
z
z
Fh bha
FI
A点称为剪切中心 或 弯曲中心
m
m
z
RSFF
y
azA
O
