Chapter7 Analysis of Stress and Strain
Failure Criteria
(Analysis of stress-state and strain-state)
第七章 应力和应变分析 强度理论
Chapter7 Analysis of Stress and Strain
Strength Theories
§ 7-1 应力状态概述
(Concepts of stress-state)
§ 7-2 平面应力状态分析 -解析法
(Analysis of plane stress-state)
§ 7-3 平面应力状态分析 -图解法
(Analysis of plane stress-state)
§ 7-4 三向应力状态分析
(Analysis of three-dimensional stress-state)
(Analysis of stress-state and strain-state)
§ 7-6 广义 胡 克定律
(Generalized Hook’s law)
§ 7-7 复杂应力状态的变形比能
(Strain-energy density in general
stress-state )
§ 7-8 强度理论 ( Failure criteria)
§ 7-5 平面应变状态分析
(Analysis of plane strain-state)
§ 7-9 莫尔强度理论
(Mohr’s failure criterion)
(Analysis of stress-state and strain-state)
§ 7-1 应力状态概述
(Introduction of stress-state)
一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state)
请看下面几段动画
1.低碳钢和铸铁的拉伸实验
（ A tensile test of low-carbon steel and cast iron）
2.低碳钢和铸铁的扭转实验
（ A torsional test of low-carbon steel and cast iron）
(Analysis of stress-state and strain-state)
低碳钢
（ low- carbon steel）
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
铸铁
（ cast-iron）
低碳钢和铸铁的拉伸
(Analysis of stress-state and strain-state)
为什么脆性材料扭转时沿 45° 螺旋面断开？
低碳钢和铸铁的扭转低碳钢
（ low- carbon steel）
铸铁
（ cast-iron）
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1） 拉中有剪,剪中有拉 ;
（ 2） 不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力 ;
（ 3） 同一面上不同点的应力各不相同 ;
（ 4） 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
3.重要结论 （ Important conclusions）
哪一点？
哪个方向面？
应 力哪一个面上？
哪一点？
4.一点的应力状态 （ state of stresses of a given point）
过一点不同方向面上应力的情况,称之为 这一点的应力状态 （ state of stresses of a given point）,亦指该点的应力全貌,
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、应力状态的研究方法 （ The method for
investigating the state of stress）
1,单元体 （ Element body）
（ 2）任意一对平行平面上的应力相等
2,单元体特征 （ Element characteristic）
3.主单元体 （ Principal body）
各侧面上切应力均为零的单元体
（ 1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布
3
1
2
2
3
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
4.主平面 （ Principal plane）
切应力为零的截面
5.主应力 （ Principal stress）
主面上的正应力说明,一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为?1,?2,?3 且规定按代数 值大小的顺序来排列,即
321
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、应力状态的分类 （ The classification of stresses-state）
1.空间应力状态 （ Triaxial stress-state or three-dimensional
stress-state ）
三个主应力?1,?2,?3 均不等于零
2.平面应力状态 （ Biaxial stress-state or plane stress-state）
三个主应力?1,?2,?3 中有两个不等于零
3.单向应力状态 （ Uniaxial stress-state or simple stress-state）
三个主应力?1,?2,?3 中只有一个不等于零
3
1
2
2
3
1
2
2
1?1
1
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 1 画出如图所示梁 S截面的应力状态单元体,
5
4
3
2
1
F
l/2
l/2
l/2
l/2
S平面
(Analysis of stress-state and strain-state)
S平面
2
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
1?x1?x1?x2
x2
2
2 3
3
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
a
l
S
F
例题 2 画出如图所示梁 危险截面危险点的应力状态单元体
xz
y
4
3
2
1
z 4
3
2
FS
Mz
T
(Analysis of stress-state and strain-state)
1
2
y
x
z
A
F
W
T
3
4 S
t
2
z
z
x W
M?
1?
t
1 W
T
t
3 W
T
z 4
3
2
FS
Mz
Txz
y
4
3
2
1
3
z
z
x W
M?
3?
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
p D
y
z
薄壁圆筒的横截面面积
pD?′
n
n
（ 1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为 F
4
π 2DpF
DA π 4π
4
π 2
pD
D
Dp
A
F
l
m
m
n
n
(Analysis of stress-state and strain-state)
直径平面
（ 2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
p
"
y
ＯFN FN
d?
0 yF
20l p l D 2
pD
pl DDpl ds i n
2
π
0
(Analysis of stress-state and strain-state)
平面应力状态的普遍形式如图所示,单元体上有?x,?xy和? y,? yx
§ 7-2 平面应力状态分析 -解析法
（ Analysis of plane stress-state）
x
x
y
z
y
xy?yx
x
y
xy
yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
一、斜截面上的应力 （ Stresses on an oblique section）
1.截面法 （ Section method）
假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元
eaf 作为研究对象
x
y
a
x?x
yx
xy
e
f
n
e
fa
x?xy
yx
y
α
αα
n
α
(Analysis of stress-state and strain-state)
x
y
a
x?x
yx
xy
e
f
n
（ 1）由 x轴转到外法线 n,逆时针转向时?为正
（ 2）正应力 仍规定 拉应力?为正
（ 3）切应力 对单元体内任一点取矩,顺时针转?为正
2.符号的确定 （ Sign convention）
e
fa
x?xy
yx
y
α
αα
n
α
t
(Analysis of stress-state and strain-state)
设斜截面的面积为 dA,a-e的 面积为 dAcos?,a-f 的 面积为
dAsin?
e
fa
x?xy
yx
y
α
αα
n
α
e
fa
α
dA
dAsin?
dAcos?
3.任意斜截面上的应力 (The stress acting on any inclined plane)
对研究对象列 n和 t 方向的 平衡方程得
0s i n)s i nd(c o s)s i nd(
c o s)c o sd( s i n)c o sd(d0
AA
AAAF
yyx
xxyn
t
(Analysis of stress-state and strain-state)
2c o s2s i n
2
2s i n2c o s
22
xy
yx
xy
yxyx
0c o s)s i nd(s i n)s i nd(
s i n)c o sd(c o s)c o sd(d0
AA
AAAF
yyx
xxyt
化简以上两个平衡方程最后得不难看出 yx 90
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、最大正应力及方位
（ Maximum normal stress and it’s direction）
1.最大正应力的方位 （ The direction of maximum normal stress ）
令
22
2
22
22
c o ss i n
s i nc o s
xy
yx
xy
yxyx
0]2c o s2s i n2[2dd xyyx
0
2
t an2 xy
xy
90
0
0
0 和?0+90° 确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面,
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.最大正应力 （ Maximum normal stress）
将?0和?0+90° 代入公式
2222 s i nc o s xyyxyx
得到?max和?min (主应力）
22
22 xy
yxyx
)(
mi n
ma x
下面还必须进一步判断?0是?x与哪一个主应力间的夹角
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1）当?x>?y 时,?0 是?x与?max之间的夹角
（ 2） 当?x<?y 时,?0 是?x与?min之间的夹角
（ 3） 当?x=?y 时,?0 =45°,主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来则确定主应力方向的具体规则如下若约定 |?0 | < 45° 即?0 取值在 ± 45° 范围内
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、最大切应力及方位
(Maximum shearing stress and it’s direction)
22
2
22
22
c o ss i n
s i nc o s
xy
yx
xy
yxyx
1.最大切应力的方位 （ The direction of maximum shearing
stress ）
0]2s i n2c o s2[2dd xyyx令
xy
yx
22 1
t a n
9011?
1 和?1+90° 确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面,
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.最大切应力 （ Maximum shearing stress ）
将?1和?1+90° 代入公式
22
2
c o ss i n xyyx?
得到?max和?min 222 xy
yx
)(
mi n
ma x
xy
yx
22 1
t a n
yx
xy
22
0t a n比较 和可见
1
0 2
12
t a nt a n 4
π,
2
π22
0101
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 4 简支梁如图所示,已知 m-m 截面上 A点的弯曲正应力和切应力分别为? =-70MPa,?=50MPa.确定 A点的主应力及主平面的方位,
A
m
m
a
l
A
解,把从 A点处截取的单元体放大如图
50070 xyyx,,
(Analysis of stress-state and strain-state)
因为?x <?y,所以?0= 27.5° 与?min对应
429.10)70( 50222t a n 0
yx
xy
562
527
0,
.?
xA?
0
M Pa
M Pa)(
mi n
ma x
96
26
22
22
xy
yxyx
M P a,,M P a 96026 321
1
3?1
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
x
y
xy
例题 5 图示单元体,已知?x =-40MPa,?y
=60MPa,?xy=-50MPa.试求 e-f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位,
n
30°
e
f解,（ 1） 求 e-f 截面上的应力
M Pa3.58
)60s i n ()50()60c o s (
2
6040
2
6040
2s i n2c o s
22
30
xy
yxyx
M P a3.18)60c o s ()50(
)60s i n (
2
6040
2c o s2s i n
230
xy
yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 2） 求主应力和主单元体的方位
16040 50222 0 )(t a n
yx
xy
135
452
0
567
522
0,
.?
因为?x <?y,所以?0= -22.5° 与?min对应
M Pa7.60
M Pa7.80)
2(2
22
m i n
m a x
x
yxyx
M Pa7.60 0 MP7.80 321
x
y
xy
22.5°
1
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
解,（ 1）求主平面方位
yx
xy
22
0t a n
90
902
0
45
45
0?
因为?x =?y,且?x > 0
例题 6 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位,
xy
所以?0=-45° 与?max 对应
45°
（ 2）求主应力
22
22 xy
yxyx )(
mi n
ma x
1 =?,?2 = 0,?3 = -?
1
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
§ 7-3 平面应力状态分析 -图解法
(Analysis of plane stress-state with
graphical means)
c o ss i n
s i nc o s
22
2
22
22
xy
yx
xy
yxyx
一、莫尔圆 （ Mohr’s circle）
将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去?,得
(Analysis of stress-state and strain-state)
2222
22 xy
yxyx
)()(
因为?x,?y,?xy 皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的圆周方程,当斜截面随方位角?变化时,其上的应力, 在?-? 直角坐标系内的轨迹是一个圆,
1.圆心的坐标
（ Coordinate of circle center）
),( 02 yxC
2.圆的半径 （ Radius of circle） 222 xyyxR?
)(
此圆习惯上称为 应力圆 （ plane stress circle）,或称为 莫尔圆 （ Mohr’s circle）
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1）建? -? 坐标系,选定比例尺
Ｏ
二、应力圆作法 （ The method for drawing a stress circle）
1.步骤 （ Steps）
x
y
x?x
yx
xy
y
y
(Analysis of stress-state and strain-state)
D
O
（ 2）量取 OA=? x
AD =? xy 得 D点
x
y
x?x
yx
xy
x
A
OB=?y（ 3）量取 BD′=?yx 得 D′点
y
B
D′
（ 4）连接 DD′两点的直线与?轴相交于 C点
（ 5）以 C为圆心,CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆
C
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1）该圆的圆心 C点到 坐标原点的 距离为
（ 2）该圆半径为
22
2 xy
yxR )(
D
O
x
A
y
B
D′
C
2.证明 (Prove)
22
1
2
1 yxOBOAOBOAOBOC )()(
2222
2 xy
yxADCACD )(
2
yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、应力圆的应用 （ Application of stress-circle）
1.求单元体上任一 截面上的应力 （ Determine the stresses on
any inclined plane by using stress-circle）
从应力圆的半径 CD 按方位角?的转向转动 2?得到半径 CE.
圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力和切应力.
D
O
x
A
y
B
D′
C
2?0
F
E
2?
x
y
a
x?x
yx
xy
e
f
n
(Analysis of stress-state and strain-state)
)22c o s ( 0CEOCCFOCOF
2222 00 s i ns i nc o sc o s CDCDOC
22
22 s i nc o s xy
yxyx
2222
22
00 s i nc o sc o ss i n
)s i n (
CDCD
CEFE o
22
2 c o ss i n xy
yx
证明：
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1）点面之间的对应关系,单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标,
说 明
A
B
（ 2）夹角关系,圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍,两者的转向一致,
2?
O C
B A
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.求主应力数值和主平面位置
（ Determine principle stress
and the direction of principle
plane by using stress circle）
（ 1）主应力数值
A1 和 B1 两点为与主平面对应的点,其横坐标 为主应力
1,?2
1
22
11 22
ma x)( xy
yxyxCAOCOA
2
22
11 22
mi n)( xy
yxyxCBOCOB
1
2 D
O
x
A
y
B
D′
C
2?0
F
E
2?
B1
A1
(Analysis of stress-state and strain-state)
2?0
D
O
x
A
y
B
D′
C
1
2
A1
B1
（ 2）主平面方位由 CD顺时针转 2?0 到 CA1
所以单元体上从 x 轴顺时针转?0 （ 负值）即 到?1对应的 主平面的外法线
yx
xy
CA
DA
22
0 )(t a n
yx
xy
22
0t a n
()0 22 a r c t a n xy
xy
0 确定后,?1 对应的 主平面方位即确定
(Analysis of stress-state and strain-state)
3.求最大切应力 （ Determine
maximum shearing stress by
using stress circle）
G1和 G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力
2?0
D
O
x
A
y
B
D′
C
1
2
A1
B1
G1
G2 ma x)(
22
1 2 xy
yxCG
mi n)(
22
2 2 xy
yxCG
2
21
m in
m a x
因为 最大、最小切应力等于应力圆的半径
(Analysis of stress-state and strain-state)
O
例题 7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,?x = -1MPa,
y = - 0.4MPa,?xy= - 0.2MPa,?yx = 0.2MPa,
（ 1）绘出相应的应力圆
（ 2）确定此单元体在?=30° 和?=-40° 两斜面上的应力,
x
y
xy
解,（ 1） 画应力圆量取 OA=?x= - 1,AD =?xy= - 0.2,定出 D点 ;
A
C B
OB =?y= - 0.4和,BD′ =?yx= 0.2,定出 D′点,
(-1,-0.2)D
D′
(-0.4,0.2)
以 DD′为直径绘出的圆即为应力圆,
(Analysis of stress-state and strain-state)
将半径 CD 逆时针转动 2? = 60° 到半径 CE,E 点的坐标就代表? = 30° 斜截面上的应力。
（ 2）确定? = 30° 斜截面上的应力
E
60°
（ 3）确定? = - 40° 斜截面上的应力将半径 CD顺时针转 2? = 80° 到半径 CF,F 点的坐标就代表
= - 40° 斜截面上的应力,
F
80°A
D′
C?
B O
D?
30°
40°
40°
30°
30° = - 0.36MPa
30° = - 0.68MPa
40° = - 0.26MPa
-40° = - 0.95MPa
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 8 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示,梁的横截面尺寸示于图中,试绘出截面 C上 a,b两点处的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力,
120
270
9
z
a
b
250kN
1.6m
2m
A B
C
(Analysis of stress-state and strain-state)
+
200kN
50kN
+
解,（ 1）首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图
Mmax = MC = 80 kN·m
FSmax =FC左 = 200 kN
250KN
1.6m
2m
A B
C
zI
My
46
33
mm1088
12
2 7 01 1 1
12
3 0 01 2 0
zI
mm135?ay
dI
SF
z
z
*
S
(Analysis of stress-state and strain-state)
32560005715015120 mm).(*zaS 120
270
9
z
a
b
（ 2）横截面 C上 a 点的应力为
M Pa5.122 a
z
C
a yI
M?
M Pa.
*
S 664
dI
SF
z
za
a?
a点的单元体如图所示 a?x?x
xy
yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
由?x,? xy 定出 D点 由?y,? yx 定出 D′点以 DD′为直径作应力圆
O
C
（ 3）做应力圆
x =122.5MPa,? xy =64.6MPa?y=0,? xy =-64.6MPa
A
B
(122.5,64.6)
D
(0,- 64.6)D′
A1
1?3
A2
A1,A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力?1 和?3
M Pa27
M Pa1 5 0
22
11
OA
OA
A1 点对应于单元体上?1所在的主平面
452 05.220
(Analysis of stress-state and strain-state)
M P a M P a 2 270150 31
5220,?
a?x?x
xy
yx
0
1
3
120
270
9
z
a
b
（ 4）横截面 C上 b点的应力
M Pa5.1 36 b
z
C
b yI
M?
0?b?
mm150?by
b点的单元体如图所示
b?x?x
(Analysis of stress-state and strain-state)
b 点的三个主应力为
1所在的主平面就是 x 平面,即梁的横截面 C
0,M P a5.136 321
b?x?x
(136.5,0)
D
(0,0) D′
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
已知 受力物体内某一点处三个主应力?1,?2,?3
利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力,
一,空间应力状态下的最大正应力和最大切应力
(the maximum normal stress and shear stress in three-
dimensional stress-state)
§ 7-4 三向应力状态分析
（ analysis of three-dimensional stress-state）
3
1
2
2
3
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
1
3
首先研究与其中一个主平面 （例如主应力?3 所在的平面）垂直的斜截面上的应力
1
2
2
用截面法,沿求应力的截面将单元体截为两部分,
取左下部分为研究对象
2
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
主应力?3 所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力?,? 与?3 无关,只由主应力?1,?2
决定与?3 垂直的斜截面上的应力可由?1,?2 作出的应力圆上的点来表示?1
2
3
3
2
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
该应力圆上的点对应于与?3 垂直的所有斜截面上的应力
A
1
O
2
B
与主应力?2 所在主平面垂直的斜截面上的应力?,
可用由?1,?3作出的应力圆上的点来表示 C
3与主应力?
１ 所在主平面垂直的斜截面上的应力
,? 可用由?2,?3作出的应力圆上的点来表示
(Analysis of stress-state and strain-state)
该截面上应力?和?对应的 D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内
abc 截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面 a
b
c
1
2
1
2
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
A
1
O
2
BC
3
结论三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力该点处的最大正应力
（指代数值）应等于最大应力圆上 A点的横坐标?1
1ma x
(Analysis of stress-state and strain-state)
A
1
O
2
BC
3
最大切应力则等于最大的应力圆的半径最大切应力所在的截面与?2 所在的主平面垂直,并与?1和?3所在的主平面成 45° 角,
)(21 31m a x
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 9 单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位,
解,该单元体有一个已知主应力
MP a20?z?
因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力?z无关,依据
x截面和 y 截面上的应力画出应力圆,求另外两个 主应力
40MPa
x
y
z
20MPa
20MPa
20MPa
(Analysis of stress-state and strain-state)
M PaM Pa
M Pa M Pa
2020
2040
yxy
xyx
由?x,? xy 定出 D 点由?y,? yx 定出 D′点以 DD′为直径作应力圆
A1,A2 两点的横坐标分别代表另外两个主应力? 1 和? 3
A1A
2
D′
O?
D
1?3
1 =46MPa
3 =-26MPa
该单元体的三个主应力
1 =46MPa? 2 =20MPa
3 =-26MPa
根据上述主应力，作出三个应力圆
M Pam a x 36
(Analysis of stress-state and strain-state)
§ 7-5 平面应变状态分析
(Analysis of plane strain-state)
平面应力状态下，已知一点的应变分量?x,?y,?xy,欲求?方向上的线应变和切应变,可根据弹性小变形的几何条件,分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量?x,?y,?xy在此方向上引起的线应变及切应变,再利用叠加原理,
一、任意方向的应变 (The strain of any direction）
在所研究的 O点处,Oxy 坐标系内的线应变?x,?y,?xy为已知,求该点沿任意方向的线应变.
y
xO
(Analysis of stress-state and strain-state)
将 Oxy 坐标绕 O点旋转一个?角，得到一个新 Ox' y'坐标系,
x
y
O
y'
x'
并规定? 角以逆时针转动时为正值，反之为负值,
为 O 点沿 x'方向的线变
为 直角? x'Oy'的改变量,
即切应变,
假设,
（ 1） O点处沿任意方向的微 段内,应变是均匀的 ;
（ 2）变形在线弹性范围内都是微小的,叠加原理成立 ;
分别计算? x,?y,?xy单独存在时的线应变和切应变,然后叠加得这些应变分量同时存在时的和.
(Analysis of stress-state and strain-state)
1.推导线应变（ Derive the linear strain）
从 O点沿 x′方向取出一微段 OP = dx′,并以它作为矩形 OAPB
的对角线,
该矩形的两边长分别为 dx
和 dy
x
y
O
y'
x'
s i n
d
c o s
d'd yxxOP
P
A
B
dx
dy dx'
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1）只有正值?x 存在
A
B
dx
dy
x
y
O
y'
x'
P
假设 OB边不动,矩形
OAPB 变形后成为 OA'P'B
xdx
xεPPAA x d D
OP 的伸长量 DP? 为
c o sdc o s xεPPDP x
O点沿 x'方向的线应变1为
2c o sc o sd c o sd
1 x
x ε
x
xε
OP
DPε
A'
P'
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 2）只有正值?y存在
A
B
dx
dy
x
y
O
y'
x'
P
假设 OA 边不动矩形 OAPB 变形后为
OAP"B'
yεPPBB y d
OP 的伸长量为
s i nds i n yεPPDP y
D'
2s i ns i nd s i nd
2 y
y ε
y
yε
OP
DPε
O点沿 x'方向的线应变2 为
ydy P''
B'
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 3）只有正值切应变?xy存在
A
B
dx
dy
x
y
O
y'
x'
P
使直角减小的?为正假设 OA 边不动矩形 OAPB 变形后为
OAP"'B"
yPPBB xy d
P'''B''
γxydy
γxy
OP 的伸长为
c o sdc o s yPPDP xy
D''
O 点沿 x′方向的线应变为
c o ss i ns i nd c o sd
3 xy
xy
y
y
OP
DPε
(Analysis of stress-state and strain-state)
根据叠加原理,?x,?y 和?xy 同时存在时,O点沿 x′方向的线应变为
321 αααα εεεε
co ss i ns i nco s 22 xyyx
2.切应变 （ Shearing stress）
)s i nco s(co ss i n)(2 22 xyyx εε
2s i n212c o s22 xyyxyx
2c o s212s i n22 xyyx
以上两式利用三角函数化简得到
(Analysis of stress-state and strain-state)
22
2
])()[(21 22
mi n
ma x
xyyxyx γεεεεε
ε
yx
xy
02t a n
二、主应变数值及其方位 (The principal strains and it’s
direction)
2c o s2s i n
2
2s i n2c o s
22
xy
yx
xy
yxyx
α
σσ
σσσσ
σ
(Analysis of stress-state and strain-state)
一、各向同性材料的广义胡克定律
（ Generalized Hooke’s law for isotropic materials）
（ 1） 正应力,拉应力为正,压应力为负
1.符号规定 (Sign convention)
（ 2） 切应力,对单元体内任一点取矩,
若产生的矩为顺时针,则 τ为正 ;反之为负
（ 3） 线应变,以伸长为正,缩短为负 ;
（ 4） 切应变,使直角减者为正,增大者为负,
x
x
§ 7-6 广义 胡 克定律
(Generalized Hooke’s law )
y
z
y
xy?yx
z
(Analysis of stress-state and strain-state)
y
yx 方向的线应变用叠加原理,分别计算出?x,?y,?z 分别单独存在时,x,y,z方向的线应变?x,?y,?z,然后代数相加,
2.各向同性材料的广义胡克定律
（ Generalized Hooke’s law for isotropic materials）
单独存在时xσ
单独存在时zσ
单独存在时yσ
E
σε x
x
E
σμε y
x
E
σμε z
x
x
y
z
z
z
x?x
(Analysis of stress-state and strain-state)
在?x,?y,?z同时存在时,x 方向的线应变?x为同理,在?x,?y,?z同时存在时,y,z 方向的线应变为
)]([1 zyxx σσμσEε
)]([1 xzyy σσμσEε
)]([1 xyzz σσμσEε
G
yz
yz
G
xy
xy
G
zx
zx
在 xy,yz,zx 三个面内的切应变为
(Analysis of stress-state and strain-state)
上式称为 广义胡克定律 （ Generalized Hooke’s law）
—— 沿 x,y,z轴的线应变
—— 在 xy,yz,zx面上的角应变
zyx εεε,,
zxyzxy γγγ,,
G
yz
yz
G
xy
xy
G
zx
zx
)]([1 zyxx σσμσEε
)]([1 xzyy σσμσEε
)]([1 xyzz σσμσEε
(Analysis of stress-state and strain-state)
对于 平面应力状态 （ in plane stress-state）
（ 假设?z = 0,?xz= 0,?yz= 0）
G
xy
xy
)(1 yxx μσσEε
)(1 xyy μσσEε
)( xyz σσE με
x
y
z
xy?
x
y
yx
x
y
xy
yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
3.主应力 -主应变的关系 （ Principal stress-principal strain
relation）
)]([1 3211 σσμσEε
)]([1 1322 σσμσEε
)]([1 2133 σσμσEε
二向应力状态下 (in plane stress-state)设? 3 = 0
)(1 211 μσσEε )(1 122 μσσEε )( 123 σσE με
已知?1,?2,?3;?1,?2,?3为主应变
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、各向同性材料的体积应变 （ The volumetric strain
for isotropic materials）
1
2
3
a1
a2
a3
构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用 q表示,
各向同性材料在三向应力状态下的体应变如图所示的单元体,三个边长为 dx,dy,dz
变形后的边长分别为变形后单元体的体积为
dx(1+,dy(1+?2?,dz(1+?3?
V1=dx(1+·dy(1+?2?·dz(1+?3?
(Analysis of stress-state and strain-state)
体积应变 （ volumetric strain） 为
321
321
321
1
ddd
ddd)1(ddd
ddd
ddd)1(d)1(d)1(d
εεε
zyx
zyxεεεzyx
zyx
zyxεzεyεx
V
VV
q
)(21 321 σσσE
)]([1 3211 σσμσEε
)]([1 1322 σσμσEε
)]([1 2133 σσμσEε
(Analysis of stress-state and strain-state)
1.纯剪切应力状态下的体积应变 （ Volumetric strain for pure
shearing stress-state）
即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变,
xyτσσ 31 02? 0?q
2.三向等值应力单元体的体积应变 （ The volumetric strain of
triaxial-equal stress element body）
三个主应力为 3 321m σσσσ
单元体的体积应变
m
mmm
3
21
)(
21
q
E
σσσ
E
m
m
m
(Analysis of stress-state and strain-state)
m3
21 σ
E?
q
这两个单元体的体积应变相同
m
m
m
1
2
3
dx
dy
dz
m
mmm321
21
1
σ
E
μ
σσμσ
E
εεε
单元体的三个主应变为
)(21 321 σσσEq
(Analysis of stress-state and strain-state)
如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例,所以在三向等值应力?m的作用下,单元体变形后的 形状和 变形前 的 相 似,称这样的 单元体 是形状不变的,
在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变?x,?y,?z 有关,仿照上述推导有
)(21 zyx σσσEq
在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,
而与切应力无关,
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 10 边长 a = 0.1m 的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图所示,已知铜的弹性模量 E=100GPa,
泊松比 μ=0.34,当受到 F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力,体积应变以及最大切应力,
解,铜块横截面上的压应力
M Pa30
1.0
103 0 0
2
3
3
A
Fσ
aF
z
y
x
z
x
y
铜块受力如图所示
)]([1 3211 σσμσEε
)]([1 2133 σσμσEε
变形条件为
(Analysis of stress-state and strain-state)
解得
1 5,5 M Pa
)30(
0,3 4-1
0,3 4 )0,3 4 ( 1
1
)1(
23221
σσσ
铜块的主应力为最大切应力 M P a25.7)(21 31m a x σσ?
体积应变为
4
3
321
1095.1)3025.15(
10100
34.021
)(
E
21
σσσ
q
M Pa303σ MP a51521,σσ
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 11 一直径 d =20mm的实心圆轴,在轴的的两端加扭矩
Me=126N·m,在轴的表面上某一点 A处用变形仪测出与轴线成
-45° 方向的应变? =5.0?10-4,试求此圆轴材料的剪切弹性模量 G.
Me Me
A
45°
x
(Analysis of stress-state and strain-state)
ττσσσσσσ yxyx 22
mi n
ma x )
2(2
解,围绕 A点取一单元体
0
2t a n 2
xy
τ
σσ
EE 1)(1 311
τσστσ 321 0
450451
11?
E
M Pa2.802 121)1(2
t
e
11
WMεετEG?
A
1
3
-45°
(Analysis of stress-state and strain-state)
D
y M
e
K
450
900
x
例题 12 壁厚? =10mm,外径 D=60mm的薄壁圆筒,在表面上 K点与其轴线成 45° 和 135° 角,即 x,y 两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为 Me 的扭转力偶,如图所示,已知圆筒材料的弹性常数为 E=200GPa 和?= 0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内,且?max
= 100MPa,试求 K点处的线应变?x,?y以及变形后的筒壁厚度,
(Analysis of stress-state and strain-state)
0?zσ
解,从圆筒表面 K 点处取出单元体,其各面上的应力分量如图所示可求得
D
y M
e
K
450
900
x
M Pa80m a x1 τσσ y
M Pa80m a x3 τσσ x
-45°
xy
k
1?3
max
max
K
(Analysis of stress-state and strain-state)
K点处的线应变?x,?y为
4
m a x
m a xm a x
102.5
)1(
)(
1
)(
1
τ
E
ττ
E
μσσ
E
ε yxx
（压应变）
41 102.5 x （拉应变）
圆筒表面上 K点处沿径向 （ z轴）的应变和圆筒中任一点（
该点到圆筒横截面中心的距离为?）处的径向应变为
0)()( m a xm a x ττEσσEε yxz
0)( ρρz ρ ττEε?
因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为? =10mm,
(Analysis of stress-state and strain-state)
b
z
b=50mm
h=100mm
例题 13 已知矩形外伸梁受力 F1,F2作用,弹性模量 E=200GPa,泊松比?= 0.3,F1=100KN,F2=100KN.
求,（ 1） A点处的主应变?1,?2,?3
（ 2） A点处的线应变?x,?y,?z
a
A
F1
F2 F2
l
(Analysis of stress-state and strain-state)
解,梁为拉伸与弯曲的组合变形,A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力,
（拉伸） M Pa202 AFσ
（负） M Pa3023 S AF? A
x = 20
x = 30
（ 1） A点处的主应变?1,?2,?3
M Pa4.21
M Pa4.41)
2(2
22
mi n
ma x
x
yxyx τσσσσ
σ
σ
4.411 02 4.213
(Analysis of stress-state and strain-state)
4
311 104.2)(
1 μσσ
Eε
5
312 103)(
σσ
Eε
4
133 107.1)(
1 μσσ
Eε
（ 2） A点处的线应变?x,?y,?z
020 zyx σσσ
410
E
σε x
x
5103
xy σE
με
5103
xz σE
με
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 14 简支梁由 18号工字钢制成,其上作用有力 F= 15kN,已知
E=200GPa,?= 0.3.
0.5 0.5
0.25
F
A 0°
45°90°
求,A 点沿 0°,45°,90° 方向的线应变 90450,ε,εε
h/4
(Analysis of stress-state and strain-state)
解,25.02 FM A
M Pa8.50 A
z
A
A yI
Mσ
)(M Pa8.68
*
S
dI
SF
z
zAA
A?
yA,Iz,d 查表得出为图示面积对中性轴 z的静矩*zAS
z
A
h/4
2S
FF
A
A
A = 50.8
A = 68.88.50
0 Aσσ?
090 yσσ?
E
σε 0
0 E
σε 0
90
(Analysis of stress-state and strain-state)
M P a2.9490s i n90c o s2245 xxx τσσσ
M Pa3.43270s i n270c o s22135 xxx τσσσ
6
135450 10536)(
1
σσEε?
0.5
F
1350
0.5
0.25
A 0°
45°90°
h/4
A
A = 50.8
A = 68.8
(Analysis of stress-state and strain-state)
§ 7-7 复杂应力状态的应变能密度
(Strain-energy density in general stress-state)
一、应变能密度的定义
(Definition of Strain-energy density )
二、应变能密度的计算公式
(Calculation formula for Strain-energy density)
1.单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为
(Strain-energy density for simple stress-state )
2
2
ε 222
1 εE
E
σσεv
物体在单位体积内所积蓄的应变能,
(Analysis of stress-state and strain-state)
将广义胡克定律代入上式,经整理得用 vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为畸变能密度 （ the strain-energy density corresponding to the
distortion.）
用 vV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为 体积改变能密度 （ the strain-energy density corresponding to the
volumetric）
2.三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为
(Strain-energy density for simple stress-state )
()ε 1 1 2 2 3 312v σ ε σ ε σ ε
[ ( ) ]222ε 1 2 3 1 2 2 3 3 11 22v σ σ σ σ σ σE
应变能密度 vε等于两部分之和εdVv v v
(Analysis of stress-state and strain-state)
(a)
1
2
3
(b)
m
m
m=(?1+?2+?3)/3
代之以?m
图（ a）所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发生体积改变也发生形状改变,
图（ b）所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变,
(Analysis of stress-state and strain-state)
( ) ( ) [ ( ( ) ]
()
()
2 2 2 2 2 2
b ε b m m m m m m
2
m
2
1 2 3
1
2
2
3 1 2
2
12
6
V
vv σ σ σ μ σ σ σ
E
E
E
( ) ( ) ( )ε a a d aVv v v ( ) ( )?ε b bVvv
( ) ( )?abVVvv
)(21 321 σσσEq
图 b 所示单元体的体积改变比能密度
(Analysis of stress-state and strain-state)
a单元体的比能为
a所示单元体的体积改变比能
[ ( ) ]222ε 1 2 3 1 2 2 3 3 11 22v σ σ σ σ σ σ σ σ σE?
( ) ( ) ( ) 2a b 1 2 312 6VVvv σ σ σE?
空间应力状态下单元体的 畸变能密度
[ ( ) ( ) ( ) ]
d ε
2 2 2
1 2 2 3 3 1
1
6
Vv v v
σ σ σ σ σ σ
E
(a)
1
2
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
一,强度理论的概念 （ Concepts of failure criteria)
1.引言 (introduction)
§ 7-8 强度理论 (The failure criteria)
轴向拉压 ][m a xNm a x σAFσ
弯曲 ][m a xm a x σW
Mσ
z
剪切 ][S A
F
扭转 ][
t
ma x
ma x W
T
弯曲 ][
*
ma xma xS
ma x
bI
SF
z
z
切应力强度条件
（ strength condition for
shear stress）
正应力强度条件
（ strength condition for
normal stress）
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯 剪 试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全因数而得,即根据相应的 试验结果建立的强度条件,
上述强度条件具有如下特点
（ 1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态 ;
2.强度理论的概念 (Concepts for failure criteria)
是关于,构件发生强度失效起因,的假说,
(Analysis of stress-state and strain-state)
基本观点构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的,
根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式,进行分析,提出破坏原因的假说,在这些假说的基础上,可利用材料在单向应力状态时的 试验结果,来建立材料在 复杂应力状态下的强度条件,
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1）脆性断裂,无明显的变形下突然断裂,
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）
(Two failure types for materials in normal temperature
and static loads)
1,屈服失效 （ Yielding failure）
材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力,
2,断裂失效 （ Fracture failure）
（ 2）韧性断裂,产生大量塑性变形后断裂,
(Analysis of stress-state and strain-state)
引起破坏的某一共同因素形状改变比能最大切应力最大线应变最大正应力
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.马里奥特关于变形过大引起破坏的论述,是第二强度理论的萌芽 ;
3.杜奎特 （ C.Duguet） 提出了最大切应力理论 ;
4.麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论,这是后来人们在他的书信出版后才知道的,
三、四个强度理论 （ Four failure criteria）
1.伽利略播下了第一强度理论的种子 ;
（ 1） 第一类强度理论 — 以脆断作为破坏的标志包括,最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
（ 2）第二类强度理论 —以出现屈服现象作为破坏的标志包括,最大切应力理论和形状改变比能理论
(Analysis of stress-state and strain-state)
根据,当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏,
1,最大拉应力理论（第一强度理论）
（ Maximum-normal-stress criterion）
基本假说,最大拉应力?1 是引起材料脆断破坏的因素,
脆断破坏的条件,?1 =?b
四、第一类强度理论 （ The first types of failure criteria）
强度条件,?1? [
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
（ Maximum-normal-strain criterion）
根据,当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏,
基本假说,最大伸长线应变?1 是引起材料脆断破坏的因素,
脆断破坏的条件,Eσb1
最大伸长线应变,)]([1 3211 σσσE
强度条件,][)( 321 σσσσ
(Analysis of stress-state and strain-state)
1.最大切应力理论 （第三强度理论）
（ Maximum-shear-stress criterion）
基本假说,最大切应力?max 是引起材料屈服的因素,
根据,当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效,
屈服条件五、第二类强度理论
（ The second types of failure criterion）
2
s
ma x
σ
在复杂应力状态下一点处的最大切应力为
s31
31m a x )(2
1
σσσ
σσ
强度条件 ][31 σσσ
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.畸变能密度理论（第四强度理论）
（ Maximum-distortion-energy criterion）
基本假说,畸变能密度 vd是引起材料屈服的因素,
单向拉伸下,?1=?s,?2=?3=0,材料的极限值强度条件,
[ ( ) ( ) ( ) ]
2 2 2
d 1 2 2 3 3 1
2
s
1
6
1
2
6
v σ σ σ σ σ σ
E
σ
E
2
ds
1 2
6v σE
][])()()[(21 213232221 σσσσσσσ
屈服准则,
(Analysis of stress-state and strain-state)
六、相当应力 （ Equivalent stress）
把各种强度理论的强度条件写成统一形式
r 称为复杂应力状态的 相当应力,
])()()[(
2
1
)(
2
13
2
32
2
214r
313r
3212r
11r
σσσσσσσ
σσσ
σσμσσ
][rσ
(Analysis of stress-state and strain-state)
莫尔认为,最大切应力是使物体破坏的主要因素,但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）,综合最大切应力及最大正应力的因素,莫尔得出了他自己的强度理论,°￠ íDa ( O,M o hr),1 8 3 5 1 9 1 8
§ 7-9 莫尔强度理论
（ Mohr’s failure criterion）
一,引言 （ Introduction）
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、莫尔强度理论 （ Mohr’s failure criterion）
公式推导
M
O2 O O1 O3
F N T
L
[?c] [?t]
1
M′ L′ T′
2
][
2
2
][
2
22
][
22
][
c31
23
t31
13
31c
2
31t
1
σσσ
OO
σσσ
OO
σσσ
FO
σσσ
NO
23
13
2
1
OO
OO
FO
NO?
代入
][][ ][ t3
c
t
1
强度条件任意一点的应力圆若与极限曲线相接触,则材料即将屈服或剪断,
(Analysis of stress-state and strain-state)
1.适用范围 （ The appliance range）
（ 2）塑性材料选用第三或第四强度理论 ;
（ 3）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏,故选用第一或第二强度理论 ;
三,各种 强度理论的 适用范围 及其应用 （ The
appliance range and application for all failure criteria）
（ 1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论 ;
（ 4）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论,
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.强度计算的步骤 （ Steps of strength calculation）
（ 1）外力分析,确定所需的外力值 ;
（ 2）内力分析,画内力图,确定可能的危险面 ;
（ 3）应力分析,画危面应力分布图,确定危险点并画出单元体,
求主应力 ;
（ 4）强度分析,选择适当的强度理论,计算相当应力,然后进行强度计算,
3.应用举例 （ Examples）
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 15 一蒸汽锅炉承受最大压强为 p,圆筒部分的内径为 D,厚度为?,且? 远小于 D.试用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度,
已知 p=3.6MPa,10mm,D=1m,[?]=160MPa.
p
（ a）
D
y
z
（ b）
(Analysis of stress-state and strain-state)
内壁的强度校核
M Pa904 tpDσ
M Pa90
M Pa1 8 0
2
1
σσ
σσ
所以圆筒内壁的强度合适,
用第四强度理论校核圆筒内壁的强度
][M Pa155
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214r
σ
σσσσσσ
M Pa1 8 02 tpDσ
′
"
′
"
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 16 根据强度理论,可以从材料在单轴拉伸时的可推知低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的.
解,纯剪切应力状态下
1 =?,?2 = 0,?3 = –?
按第三强度理论得强度条件为：
另一方面,剪切的强度条件是,
所以 [? ] = 0.5
][2)(31 στττσσ 2][στ?
][ττ?
(Analysis of stress-state and strain-state)
[?]为材料在单向拉伸时的许用拉应力,
材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为 [?].
3
][στ?
][3])()0()0[(21 222 στττττ
按第四强度理论得强度条件为：
][6.0][5 7 7.03 ][][
按第三强度理论得到：
按第四强度理论得到：
[? ] = 0.5
[? ] ≈ 0.6
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 17 对于图示各单元体,试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力,
（ b）
140 MPa
110 MPa
（ c）
70 MPa
140 MPa 80 MPa
（ d）
50MPa
70MPa
30MPa
40MPa
120 MPa
（ a）
120 MPa
(Analysis of stress-state and strain-state)
解,（ 1） 单元体（ a）
M Pa120])0120()120120()1200[(21 2224r
01?σ M Pa12032 σσ
M Pa12 0)12 0(0313r σσσ
（ 2） 单元体（ b）
M P a128])140(11030[
2
1
M P a140
222
4r
313r
σ
σσσ
1 1 4 0 M P aσ 110MP a2?σ 03?σ
120 MPa
（ a）
120 MPa
140 MPa
110 MPa
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 3） 单元体（ c）
1 8 0 M P aσ - 70M P a2?σ -?3 1 4 0 M Paσ
（ 4） 单元体（ d）
28.5
72.9440)
2
3070(
2
3070 22
mi n
ma x
MP a72941,σ?
M Pa2853,σ?
M P a502 zσσ
M Pa2203r?σ MP a1954r?σ
M Pa44893r,σ? MP a5.774r?σ
140 MPa 80 MPa
（ c）
70 MPa
（ d）
50MPa
70MPa
30MPa
40MPa
(Analysis of stress-state and strain-state)
F
解,危险点 A的应力状态如图例 题 18 直径为 d=0.1m的圆杆受力如图,Me=7kN·m,F=50kN,材料为 铸铁,[?]=40MPa,试 用第一强度理论校核 杆的 强度,
故安全,
F
Me
Me M Pa7.35
1.0π
7 0 0 016
M Pa37.610
1.0π
504
3
t
3
2
N
W
T
τ
A
F
σ
32
397.35)
2
37.6(
2
37.6)
2(2
2222
mi n
ma x
τ
σσ
σ
σ
M Pa32,0,M Pa39 321 ][1
A
A
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 19 薄壁圆筒受最大内压时,测得?x=1.88?10-4,?y=7.37?10-4,已知钢的 E=210GPa,[?]=170MPa,泊松比?=0.3,试用第三强度理论 校核 其 强度,
解,由广义 胡 克定律
M P a4.9410)37.73.088.1(
3.01
1.2
)(
1
7
2
2
yxx
E
σ
x
y A
A?x
y
(Analysis of stress-state and strain-state)
所以,此容器不满足第三强度理论,不安全,
003r 7.7170
1701.183
][
][
σ
M P a1.18310)88.13.037.7(
3.01
1.2
)(
1
7
2
2
xyy
E
σ
0,M P a4.94,M P a1.183 321 σσσ主应力
][M P a1.18 3313r σσσσ相当应力
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 20 两端简支的工字钢梁承受载荷如图所示已知其材料 Q235
钢的许用为= 170MPa,= 100MPa.试按强度条件选择工字钢的型号,
0.42
200kN 200kN
C D
A B
0.42 1.66
2.50
(Analysis of stress-state and strain-state)
解：作钢梁的内力图,
FSC左 = FSmax = 200kN
MC = Mmax = 84kN·m
C,D 为危险截面
（ 1）按正应力强度条件选择截面取 C 截面计算
0.42
200kN 200kN
C D
A B
0.42 1.66
2.50
][m a xm a x σWMσ
z
36m a x m1049 4
][
σ
MW
z
选用 28a 工字钢,其截面的 Wz=508cm3.
200kN
FS 图
200kN
+
-
+
M 图
84kN·m
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 2）按切应力强度条件进行校核对于 28a 工字钢的截面，查表得
m1062.24
m1085.0
m107 1 1 4
2
*
2
48
S
I
d
I
z
z
最大切应力为选用 28a 工字典 钢能满足切应力的强度要求,
M Pa5.95ma xS
*
ma xma xS
ma x
d
S
I
F
dI
SF
z
z?
122
13.7
126.3
280
8.5
126
.3
(Analysis of stress-state and strain-state)
取 A 点分析
（ 3） 腹板与翼缘交界处的的强度校核
)(M Pa1.149m a x
z
A
A I
yMσ
36
*
m102 2 3
)
2
7.13
3.1 2 6(7.131 2 2
AS
（ +） M Pa8.73
*
ma xS?
dI
SF
z
A
A?
122
13.7
126.3
280
8.5
126
.3
A
A点 的应力状态如图所示
A
A?
A
(Analysis of stress-state and strain-state)
A点的三个主应力为由于材料是 Q235 钢,所以在平面应力状态下,应按第四强度理论来进行强度校核,
][M Pa197])()()[(21 2132322214r σσσσσσσσ
22
1 )2(2 τ
σσσ 0
2?σ
22
3 )2(2 τ
σσσ
%9.15%1 00][ ][4rσ σσ 应另选较大的工字钢,
若选用 28b号工字钢,算得?r4 = 173.2MPa,比大 1.88%可选用 28b号工字钢,
Failure Criteria
(Analysis of stress-state and strain-state)
第七章 应力和应变分析 强度理论
Chapter7 Analysis of Stress and Strain
Strength Theories
§ 7-1 应力状态概述
(Concepts of stress-state)
§ 7-2 平面应力状态分析 -解析法
(Analysis of plane stress-state)
§ 7-3 平面应力状态分析 -图解法
(Analysis of plane stress-state)
§ 7-4 三向应力状态分析
(Analysis of three-dimensional stress-state)
(Analysis of stress-state and strain-state)
§ 7-6 广义 胡 克定律
(Generalized Hook’s law)
§ 7-7 复杂应力状态的变形比能
(Strain-energy density in general
stress-state )
§ 7-8 强度理论 ( Failure criteria)
§ 7-5 平面应变状态分析
(Analysis of plane strain-state)
§ 7-9 莫尔强度理论
(Mohr’s failure criterion)
(Analysis of stress-state and strain-state)
§ 7-1 应力状态概述
(Introduction of stress-state)
一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state)
请看下面几段动画
1.低碳钢和铸铁的拉伸实验
（ A tensile test of low-carbon steel and cast iron）
2.低碳钢和铸铁的扭转实验
（ A torsional test of low-carbon steel and cast iron）
(Analysis of stress-state and strain-state)
低碳钢
（ low- carbon steel）
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
铸铁
（ cast-iron）
低碳钢和铸铁的拉伸
(Analysis of stress-state and strain-state)
为什么脆性材料扭转时沿 45° 螺旋面断开？
低碳钢和铸铁的扭转低碳钢
（ low- carbon steel）
铸铁
（ cast-iron）
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1） 拉中有剪,剪中有拉 ;
（ 2） 不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力 ;
（ 3） 同一面上不同点的应力各不相同 ;
（ 4） 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
3.重要结论 （ Important conclusions）
哪一点？
哪个方向面？
应 力哪一个面上？
哪一点？
4.一点的应力状态 （ state of stresses of a given point）
过一点不同方向面上应力的情况,称之为 这一点的应力状态 （ state of stresses of a given point）,亦指该点的应力全貌,
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、应力状态的研究方法 （ The method for
investigating the state of stress）
1,单元体 （ Element body）
（ 2）任意一对平行平面上的应力相等
2,单元体特征 （ Element characteristic）
3.主单元体 （ Principal body）
各侧面上切应力均为零的单元体
（ 1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布
3
1
2
2
3
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
4.主平面 （ Principal plane）
切应力为零的截面
5.主应力 （ Principal stress）
主面上的正应力说明,一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为?1,?2,?3 且规定按代数 值大小的顺序来排列,即
321
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、应力状态的分类 （ The classification of stresses-state）
1.空间应力状态 （ Triaxial stress-state or three-dimensional
stress-state ）
三个主应力?1,?2,?3 均不等于零
2.平面应力状态 （ Biaxial stress-state or plane stress-state）
三个主应力?1,?2,?3 中有两个不等于零
3.单向应力状态 （ Uniaxial stress-state or simple stress-state）
三个主应力?1,?2,?3 中只有一个不等于零
3
1
2
2
3
1
2
2
1?1
1
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 1 画出如图所示梁 S截面的应力状态单元体,
5
4
3
2
1
F
l/2
l/2
l/2
l/2
S平面
(Analysis of stress-state and strain-state)
S平面
2
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
1?x1?x1?x2
x2
2
2 3
3
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
a
l
S
F
例题 2 画出如图所示梁 危险截面危险点的应力状态单元体
xz
y
4
3
2
1
z 4
3
2
FS
Mz
T
(Analysis of stress-state and strain-state)
1
2
y
x
z
A
F
W
T
3
4 S
t
2
z
z
x W
M?
1?
t
1 W
T
t
3 W
T
z 4
3
2
FS
Mz
Txz
y
4
3
2
1
3
z
z
x W
M?
3?
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
p D
y
z
薄壁圆筒的横截面面积
pD?′
n
n
（ 1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为 F
4
π 2DpF
DA π 4π
4
π 2
pD
D
Dp
A
F
l
m
m
n
n
(Analysis of stress-state and strain-state)
直径平面
（ 2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
p
"
y
ＯFN FN
d?
0 yF
20l p l D 2
pD
pl DDpl ds i n
2
π
0
(Analysis of stress-state and strain-state)
平面应力状态的普遍形式如图所示,单元体上有?x,?xy和? y,? yx
§ 7-2 平面应力状态分析 -解析法
（ Analysis of plane stress-state）
x
x
y
z
y
xy?yx
x
y
xy
yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
一、斜截面上的应力 （ Stresses on an oblique section）
1.截面法 （ Section method）
假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元
eaf 作为研究对象
x
y
a
x?x
yx
xy
e
f
n
e
fa
x?xy
yx
y
α
αα
n
α
(Analysis of stress-state and strain-state)
x
y
a
x?x
yx
xy
e
f
n
（ 1）由 x轴转到外法线 n,逆时针转向时?为正
（ 2）正应力 仍规定 拉应力?为正
（ 3）切应力 对单元体内任一点取矩,顺时针转?为正
2.符号的确定 （ Sign convention）
e
fa
x?xy
yx
y
α
αα
n
α
t
(Analysis of stress-state and strain-state)
设斜截面的面积为 dA,a-e的 面积为 dAcos?,a-f 的 面积为
dAsin?
e
fa
x?xy
yx
y
α
αα
n
α
e
fa
α
dA
dAsin?
dAcos?
3.任意斜截面上的应力 (The stress acting on any inclined plane)
对研究对象列 n和 t 方向的 平衡方程得
0s i n)s i nd(c o s)s i nd(
c o s)c o sd( s i n)c o sd(d0
AA
AAAF
yyx
xxyn
t
(Analysis of stress-state and strain-state)
2c o s2s i n
2
2s i n2c o s
22
xy
yx
xy
yxyx
0c o s)s i nd(s i n)s i nd(
s i n)c o sd(c o s)c o sd(d0
AA
AAAF
yyx
xxyt
化简以上两个平衡方程最后得不难看出 yx 90
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、最大正应力及方位
（ Maximum normal stress and it’s direction）
1.最大正应力的方位 （ The direction of maximum normal stress ）
令
22
2
22
22
c o ss i n
s i nc o s
xy
yx
xy
yxyx
0]2c o s2s i n2[2dd xyyx
0
2
t an2 xy
xy
90
0
0
0 和?0+90° 确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面,
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.最大正应力 （ Maximum normal stress）
将?0和?0+90° 代入公式
2222 s i nc o s xyyxyx
得到?max和?min (主应力）
22
22 xy
yxyx
)(
mi n
ma x
下面还必须进一步判断?0是?x与哪一个主应力间的夹角
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1）当?x>?y 时,?0 是?x与?max之间的夹角
（ 2） 当?x<?y 时,?0 是?x与?min之间的夹角
（ 3） 当?x=?y 时,?0 =45°,主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来则确定主应力方向的具体规则如下若约定 |?0 | < 45° 即?0 取值在 ± 45° 范围内
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、最大切应力及方位
(Maximum shearing stress and it’s direction)
22
2
22
22
c o ss i n
s i nc o s
xy
yx
xy
yxyx
1.最大切应力的方位 （ The direction of maximum shearing
stress ）
0]2s i n2c o s2[2dd xyyx令
xy
yx
22 1
t a n
9011?
1 和?1+90° 确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面,
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.最大切应力 （ Maximum shearing stress ）
将?1和?1+90° 代入公式
22
2
c o ss i n xyyx?
得到?max和?min 222 xy
yx
)(
mi n
ma x
xy
yx
22 1
t a n
yx
xy
22
0t a n比较 和可见
1
0 2
12
t a nt a n 4
π,
2
π22
0101
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 4 简支梁如图所示,已知 m-m 截面上 A点的弯曲正应力和切应力分别为? =-70MPa,?=50MPa.确定 A点的主应力及主平面的方位,
A
m
m
a
l
A
解,把从 A点处截取的单元体放大如图
50070 xyyx,,
(Analysis of stress-state and strain-state)
因为?x <?y,所以?0= 27.5° 与?min对应
429.10)70( 50222t a n 0
yx
xy
562
527
0,
.?
xA?
0
M Pa
M Pa)(
mi n
ma x
96
26
22
22
xy
yxyx
M P a,,M P a 96026 321
1
3?1
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
x
y
xy
例题 5 图示单元体,已知?x =-40MPa,?y
=60MPa,?xy=-50MPa.试求 e-f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位,
n
30°
e
f解,（ 1） 求 e-f 截面上的应力
M Pa3.58
)60s i n ()50()60c o s (
2
6040
2
6040
2s i n2c o s
22
30
xy
yxyx
M P a3.18)60c o s ()50(
)60s i n (
2
6040
2c o s2s i n
230
xy
yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 2） 求主应力和主单元体的方位
16040 50222 0 )(t a n
yx
xy
135
452
0
567
522
0,
.?
因为?x <?y,所以?0= -22.5° 与?min对应
M Pa7.60
M Pa7.80)
2(2
22
m i n
m a x
x
yxyx
M Pa7.60 0 MP7.80 321
x
y
xy
22.5°
1
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
解,（ 1）求主平面方位
yx
xy
22
0t a n
90
902
0
45
45
0?
因为?x =?y,且?x > 0
例题 6 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位,
xy
所以?0=-45° 与?max 对应
45°
（ 2）求主应力
22
22 xy
yxyx )(
mi n
ma x
1 =?,?2 = 0,?3 = -?
1
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
§ 7-3 平面应力状态分析 -图解法
(Analysis of plane stress-state with
graphical means)
c o ss i n
s i nc o s
22
2
22
22
xy
yx
xy
yxyx
一、莫尔圆 （ Mohr’s circle）
将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去?,得
(Analysis of stress-state and strain-state)
2222
22 xy
yxyx
)()(
因为?x,?y,?xy 皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的圆周方程,当斜截面随方位角?变化时,其上的应力, 在?-? 直角坐标系内的轨迹是一个圆,
1.圆心的坐标
（ Coordinate of circle center）
),( 02 yxC
2.圆的半径 （ Radius of circle） 222 xyyxR?
)(
此圆习惯上称为 应力圆 （ plane stress circle）,或称为 莫尔圆 （ Mohr’s circle）
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1）建? -? 坐标系,选定比例尺
Ｏ
二、应力圆作法 （ The method for drawing a stress circle）
1.步骤 （ Steps）
x
y
x?x
yx
xy
y
y
(Analysis of stress-state and strain-state)
D
O
（ 2）量取 OA=? x
AD =? xy 得 D点
x
y
x?x
yx
xy
x
A
OB=?y（ 3）量取 BD′=?yx 得 D′点
y
B
D′
（ 4）连接 DD′两点的直线与?轴相交于 C点
（ 5）以 C为圆心,CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆
C
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1）该圆的圆心 C点到 坐标原点的 距离为
（ 2）该圆半径为
22
2 xy
yxR )(
D
O
x
A
y
B
D′
C
2.证明 (Prove)
22
1
2
1 yxOBOAOBOAOBOC )()(
2222
2 xy
yxADCACD )(
2
yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、应力圆的应用 （ Application of stress-circle）
1.求单元体上任一 截面上的应力 （ Determine the stresses on
any inclined plane by using stress-circle）
从应力圆的半径 CD 按方位角?的转向转动 2?得到半径 CE.
圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力和切应力.
D
O
x
A
y
B
D′
C
2?0
F
E
2?
x
y
a
x?x
yx
xy
e
f
n
(Analysis of stress-state and strain-state)
)22c o s ( 0CEOCCFOCOF
2222 00 s i ns i nc o sc o s CDCDOC
22
22 s i nc o s xy
yxyx
2222
22
00 s i nc o sc o ss i n
)s i n (
CDCD
CEFE o
22
2 c o ss i n xy
yx
证明：
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1）点面之间的对应关系,单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标,
说 明
A
B
（ 2）夹角关系,圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍,两者的转向一致,
2?
O C
B A
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.求主应力数值和主平面位置
（ Determine principle stress
and the direction of principle
plane by using stress circle）
（ 1）主应力数值
A1 和 B1 两点为与主平面对应的点,其横坐标 为主应力
1,?2
1
22
11 22
ma x)( xy
yxyxCAOCOA
2
22
11 22
mi n)( xy
yxyxCBOCOB
1
2 D
O
x
A
y
B
D′
C
2?0
F
E
2?
B1
A1
(Analysis of stress-state and strain-state)
2?0
D
O
x
A
y
B
D′
C
1
2
A1
B1
（ 2）主平面方位由 CD顺时针转 2?0 到 CA1
所以单元体上从 x 轴顺时针转?0 （ 负值）即 到?1对应的 主平面的外法线
yx
xy
CA
DA
22
0 )(t a n
yx
xy
22
0t a n
()0 22 a r c t a n xy
xy
0 确定后,?1 对应的 主平面方位即确定
(Analysis of stress-state and strain-state)
3.求最大切应力 （ Determine
maximum shearing stress by
using stress circle）
G1和 G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力
2?0
D
O
x
A
y
B
D′
C
1
2
A1
B1
G1
G2 ma x)(
22
1 2 xy
yxCG
mi n)(
22
2 2 xy
yxCG
2
21
m in
m a x
因为 最大、最小切应力等于应力圆的半径
(Analysis of stress-state and strain-state)
O
例题 7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,?x = -1MPa,
y = - 0.4MPa,?xy= - 0.2MPa,?yx = 0.2MPa,
（ 1）绘出相应的应力圆
（ 2）确定此单元体在?=30° 和?=-40° 两斜面上的应力,
x
y
xy
解,（ 1） 画应力圆量取 OA=?x= - 1,AD =?xy= - 0.2,定出 D点 ;
A
C B
OB =?y= - 0.4和,BD′ =?yx= 0.2,定出 D′点,
(-1,-0.2)D
D′
(-0.4,0.2)
以 DD′为直径绘出的圆即为应力圆,
(Analysis of stress-state and strain-state)
将半径 CD 逆时针转动 2? = 60° 到半径 CE,E 点的坐标就代表? = 30° 斜截面上的应力。
（ 2）确定? = 30° 斜截面上的应力
E
60°
（ 3）确定? = - 40° 斜截面上的应力将半径 CD顺时针转 2? = 80° 到半径 CF,F 点的坐标就代表
= - 40° 斜截面上的应力,
F
80°A
D′
C?
B O
D?
30°
40°
40°
30°
30° = - 0.36MPa
30° = - 0.68MPa
40° = - 0.26MPa
-40° = - 0.95MPa
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 8 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示,梁的横截面尺寸示于图中,试绘出截面 C上 a,b两点处的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力,
120
270
9
z
a
b
250kN
1.6m
2m
A B
C
(Analysis of stress-state and strain-state)
+
200kN
50kN
+
解,（ 1）首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图
Mmax = MC = 80 kN·m
FSmax =FC左 = 200 kN
250KN
1.6m
2m
A B
C
zI
My
46
33
mm1088
12
2 7 01 1 1
12
3 0 01 2 0
zI
mm135?ay
dI
SF
z
z
*
S
(Analysis of stress-state and strain-state)
32560005715015120 mm).(*zaS 120
270
9
z
a
b
（ 2）横截面 C上 a 点的应力为
M Pa5.122 a
z
C
a yI
M?
M Pa.
*
S 664
dI
SF
z
za
a?
a点的单元体如图所示 a?x?x
xy
yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
由?x,? xy 定出 D点 由?y,? yx 定出 D′点以 DD′为直径作应力圆
O
C
（ 3）做应力圆
x =122.5MPa,? xy =64.6MPa?y=0,? xy =-64.6MPa
A
B
(122.5,64.6)
D
(0,- 64.6)D′
A1
1?3
A2
A1,A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力?1 和?3
M Pa27
M Pa1 5 0
22
11
OA
OA
A1 点对应于单元体上?1所在的主平面
452 05.220
(Analysis of stress-state and strain-state)
M P a M P a 2 270150 31
5220,?
a?x?x
xy
yx
0
1
3
120
270
9
z
a
b
（ 4）横截面 C上 b点的应力
M Pa5.1 36 b
z
C
b yI
M?
0?b?
mm150?by
b点的单元体如图所示
b?x?x
(Analysis of stress-state and strain-state)
b 点的三个主应力为
1所在的主平面就是 x 平面,即梁的横截面 C
0,M P a5.136 321
b?x?x
(136.5,0)
D
(0,0) D′
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
已知 受力物体内某一点处三个主应力?1,?2,?3
利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力,
一,空间应力状态下的最大正应力和最大切应力
(the maximum normal stress and shear stress in three-
dimensional stress-state)
§ 7-4 三向应力状态分析
（ analysis of three-dimensional stress-state）
3
1
2
2
3
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
1
3
首先研究与其中一个主平面 （例如主应力?3 所在的平面）垂直的斜截面上的应力
1
2
2
用截面法,沿求应力的截面将单元体截为两部分,
取左下部分为研究对象
2
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
主应力?3 所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力?,? 与?3 无关,只由主应力?1,?2
决定与?3 垂直的斜截面上的应力可由?1,?2 作出的应力圆上的点来表示?1
2
3
3
2
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
该应力圆上的点对应于与?3 垂直的所有斜截面上的应力
A
1
O
2
B
与主应力?2 所在主平面垂直的斜截面上的应力?,
可用由?1,?3作出的应力圆上的点来表示 C
3与主应力?
１ 所在主平面垂直的斜截面上的应力
,? 可用由?2,?3作出的应力圆上的点来表示
(Analysis of stress-state and strain-state)
该截面上应力?和?对应的 D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内
abc 截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面 a
b
c
1
2
1
2
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
A
1
O
2
BC
3
结论三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力该点处的最大正应力
（指代数值）应等于最大应力圆上 A点的横坐标?1
1ma x
(Analysis of stress-state and strain-state)
A
1
O
2
BC
3
最大切应力则等于最大的应力圆的半径最大切应力所在的截面与?2 所在的主平面垂直,并与?1和?3所在的主平面成 45° 角,
)(21 31m a x
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 9 单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位,
解,该单元体有一个已知主应力
MP a20?z?
因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力?z无关,依据
x截面和 y 截面上的应力画出应力圆,求另外两个 主应力
40MPa
x
y
z
20MPa
20MPa
20MPa
(Analysis of stress-state and strain-state)
M PaM Pa
M Pa M Pa
2020
2040
yxy
xyx
由?x,? xy 定出 D 点由?y,? yx 定出 D′点以 DD′为直径作应力圆
A1,A2 两点的横坐标分别代表另外两个主应力? 1 和? 3
A1A
2
D′
O?
D
1?3
1 =46MPa
3 =-26MPa
该单元体的三个主应力
1 =46MPa? 2 =20MPa
3 =-26MPa
根据上述主应力，作出三个应力圆
M Pam a x 36
(Analysis of stress-state and strain-state)
§ 7-5 平面应变状态分析
(Analysis of plane strain-state)
平面应力状态下，已知一点的应变分量?x,?y,?xy,欲求?方向上的线应变和切应变,可根据弹性小变形的几何条件,分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量?x,?y,?xy在此方向上引起的线应变及切应变,再利用叠加原理,
一、任意方向的应变 (The strain of any direction）
在所研究的 O点处,Oxy 坐标系内的线应变?x,?y,?xy为已知,求该点沿任意方向的线应变.
y
xO
(Analysis of stress-state and strain-state)
将 Oxy 坐标绕 O点旋转一个?角，得到一个新 Ox' y'坐标系,
x
y
O
y'
x'
并规定? 角以逆时针转动时为正值，反之为负值,
为 O 点沿 x'方向的线变
为 直角? x'Oy'的改变量,
即切应变,
假设,
（ 1） O点处沿任意方向的微 段内,应变是均匀的 ;
（ 2）变形在线弹性范围内都是微小的,叠加原理成立 ;
分别计算? x,?y,?xy单独存在时的线应变和切应变,然后叠加得这些应变分量同时存在时的和.
(Analysis of stress-state and strain-state)
1.推导线应变（ Derive the linear strain）
从 O点沿 x′方向取出一微段 OP = dx′,并以它作为矩形 OAPB
的对角线,
该矩形的两边长分别为 dx
和 dy
x
y
O
y'
x'
s i n
d
c o s
d'd yxxOP
P
A
B
dx
dy dx'
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1）只有正值?x 存在
A
B
dx
dy
x
y
O
y'
x'
P
假设 OB边不动,矩形
OAPB 变形后成为 OA'P'B
xdx
xεPPAA x d D
OP 的伸长量 DP? 为
c o sdc o s xεPPDP x
O点沿 x'方向的线应变1为
2c o sc o sd c o sd
1 x
x ε
x
xε
OP
DPε
A'
P'
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 2）只有正值?y存在
A
B
dx
dy
x
y
O
y'
x'
P
假设 OA 边不动矩形 OAPB 变形后为
OAP"B'
yεPPBB y d
OP 的伸长量为
s i nds i n yεPPDP y
D'
2s i ns i nd s i nd
2 y
y ε
y
yε
OP
DPε
O点沿 x'方向的线应变2 为
ydy P''
B'
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 3）只有正值切应变?xy存在
A
B
dx
dy
x
y
O
y'
x'
P
使直角减小的?为正假设 OA 边不动矩形 OAPB 变形后为
OAP"'B"
yPPBB xy d
P'''B''
γxydy
γxy
OP 的伸长为
c o sdc o s yPPDP xy
D''
O 点沿 x′方向的线应变为
c o ss i ns i nd c o sd
3 xy
xy
y
y
OP
DPε
(Analysis of stress-state and strain-state)
根据叠加原理,?x,?y 和?xy 同时存在时,O点沿 x′方向的线应变为
321 αααα εεεε
co ss i ns i nco s 22 xyyx
2.切应变 （ Shearing stress）
)s i nco s(co ss i n)(2 22 xyyx εε
2s i n212c o s22 xyyxyx
2c o s212s i n22 xyyx
以上两式利用三角函数化简得到
(Analysis of stress-state and strain-state)
22
2
])()[(21 22
mi n
ma x
xyyxyx γεεεεε
ε
yx
xy
02t a n
二、主应变数值及其方位 (The principal strains and it’s
direction)
2c o s2s i n
2
2s i n2c o s
22
xy
yx
xy
yxyx
α
σσ
σσσσ
σ
(Analysis of stress-state and strain-state)
一、各向同性材料的广义胡克定律
（ Generalized Hooke’s law for isotropic materials）
（ 1） 正应力,拉应力为正,压应力为负
1.符号规定 (Sign convention)
（ 2） 切应力,对单元体内任一点取矩,
若产生的矩为顺时针,则 τ为正 ;反之为负
（ 3） 线应变,以伸长为正,缩短为负 ;
（ 4） 切应变,使直角减者为正,增大者为负,
x
x
§ 7-6 广义 胡 克定律
(Generalized Hooke’s law )
y
z
y
xy?yx
z
(Analysis of stress-state and strain-state)
y
yx 方向的线应变用叠加原理,分别计算出?x,?y,?z 分别单独存在时,x,y,z方向的线应变?x,?y,?z,然后代数相加,
2.各向同性材料的广义胡克定律
（ Generalized Hooke’s law for isotropic materials）
单独存在时xσ
单独存在时zσ
单独存在时yσ
E
σε x
x
E
σμε y
x
E
σμε z
x
x
y
z
z
z
x?x
(Analysis of stress-state and strain-state)
在?x,?y,?z同时存在时,x 方向的线应变?x为同理,在?x,?y,?z同时存在时,y,z 方向的线应变为
)]([1 zyxx σσμσEε
)]([1 xzyy σσμσEε
)]([1 xyzz σσμσEε
G
yz
yz
G
xy
xy
G
zx
zx
在 xy,yz,zx 三个面内的切应变为
(Analysis of stress-state and strain-state)
上式称为 广义胡克定律 （ Generalized Hooke’s law）
—— 沿 x,y,z轴的线应变
—— 在 xy,yz,zx面上的角应变
zyx εεε,,
zxyzxy γγγ,,
G
yz
yz
G
xy
xy
G
zx
zx
)]([1 zyxx σσμσEε
)]([1 xzyy σσμσEε
)]([1 xyzz σσμσEε
(Analysis of stress-state and strain-state)
对于 平面应力状态 （ in plane stress-state）
（ 假设?z = 0,?xz= 0,?yz= 0）
G
xy
xy
)(1 yxx μσσEε
)(1 xyy μσσEε
)( xyz σσE με
x
y
z
xy?
x
y
yx
x
y
xy
yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
3.主应力 -主应变的关系 （ Principal stress-principal strain
relation）
)]([1 3211 σσμσEε
)]([1 1322 σσμσEε
)]([1 2133 σσμσEε
二向应力状态下 (in plane stress-state)设? 3 = 0
)(1 211 μσσEε )(1 122 μσσEε )( 123 σσE με
已知?1,?2,?3;?1,?2,?3为主应变
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、各向同性材料的体积应变 （ The volumetric strain
for isotropic materials）
1
2
3
a1
a2
a3
构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用 q表示,
各向同性材料在三向应力状态下的体应变如图所示的单元体,三个边长为 dx,dy,dz
变形后的边长分别为变形后单元体的体积为
dx(1+,dy(1+?2?,dz(1+?3?
V1=dx(1+·dy(1+?2?·dz(1+?3?
(Analysis of stress-state and strain-state)
体积应变 （ volumetric strain） 为
321
321
321
1
ddd
ddd)1(ddd
ddd
ddd)1(d)1(d)1(d
εεε
zyx
zyxεεεzyx
zyx
zyxεzεyεx
V
VV
q
)(21 321 σσσE
)]([1 3211 σσμσEε
)]([1 1322 σσμσEε
)]([1 2133 σσμσEε
(Analysis of stress-state and strain-state)
1.纯剪切应力状态下的体积应变 （ Volumetric strain for pure
shearing stress-state）
即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变,
xyτσσ 31 02? 0?q
2.三向等值应力单元体的体积应变 （ The volumetric strain of
triaxial-equal stress element body）
三个主应力为 3 321m σσσσ
单元体的体积应变
m
mmm
3
21
)(
21
q
E
σσσ
E
m
m
m
(Analysis of stress-state and strain-state)
m3
21 σ
E?
q
这两个单元体的体积应变相同
m
m
m
1
2
3
dx
dy
dz
m
mmm321
21
1
σ
E
μ
σσμσ
E
εεε
单元体的三个主应变为
)(21 321 σσσEq
(Analysis of stress-state and strain-state)
如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例,所以在三向等值应力?m的作用下,单元体变形后的 形状和 变形前 的 相 似,称这样的 单元体 是形状不变的,
在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变?x,?y,?z 有关,仿照上述推导有
)(21 zyx σσσEq
在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,
而与切应力无关,
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 10 边长 a = 0.1m 的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图所示,已知铜的弹性模量 E=100GPa,
泊松比 μ=0.34,当受到 F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力,体积应变以及最大切应力,
解,铜块横截面上的压应力
M Pa30
1.0
103 0 0
2
3
3
A
Fσ
aF
z
y
x
z
x
y
铜块受力如图所示
)]([1 3211 σσμσEε
)]([1 2133 σσμσEε
变形条件为
(Analysis of stress-state and strain-state)
解得
1 5,5 M Pa
)30(
0,3 4-1
0,3 4 )0,3 4 ( 1
1
)1(
23221
σσσ
铜块的主应力为最大切应力 M P a25.7)(21 31m a x σσ?
体积应变为
4
3
321
1095.1)3025.15(
10100
34.021
)(
E
21
σσσ
q
M Pa303σ MP a51521,σσ
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 11 一直径 d =20mm的实心圆轴,在轴的的两端加扭矩
Me=126N·m,在轴的表面上某一点 A处用变形仪测出与轴线成
-45° 方向的应变? =5.0?10-4,试求此圆轴材料的剪切弹性模量 G.
Me Me
A
45°
x
(Analysis of stress-state and strain-state)
ττσσσσσσ yxyx 22
mi n
ma x )
2(2
解,围绕 A点取一单元体
0
2t a n 2
xy
τ
σσ
EE 1)(1 311
τσστσ 321 0
450451
11?
E
M Pa2.802 121)1(2
t
e
11
WMεετEG?
A
1
3
-45°
(Analysis of stress-state and strain-state)
D
y M
e
K
450
900
x
例题 12 壁厚? =10mm,外径 D=60mm的薄壁圆筒,在表面上 K点与其轴线成 45° 和 135° 角,即 x,y 两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为 Me 的扭转力偶,如图所示,已知圆筒材料的弹性常数为 E=200GPa 和?= 0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内,且?max
= 100MPa,试求 K点处的线应变?x,?y以及变形后的筒壁厚度,
(Analysis of stress-state and strain-state)
0?zσ
解,从圆筒表面 K 点处取出单元体,其各面上的应力分量如图所示可求得
D
y M
e
K
450
900
x
M Pa80m a x1 τσσ y
M Pa80m a x3 τσσ x
-45°
xy
k
1?3
max
max
K
(Analysis of stress-state and strain-state)
K点处的线应变?x,?y为
4
m a x
m a xm a x
102.5
)1(
)(
1
)(
1
τ
E
ττ
E
μσσ
E
ε yxx
（压应变）
41 102.5 x （拉应变）
圆筒表面上 K点处沿径向 （ z轴）的应变和圆筒中任一点（
该点到圆筒横截面中心的距离为?）处的径向应变为
0)()( m a xm a x ττEσσEε yxz
0)( ρρz ρ ττEε?
因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为? =10mm,
(Analysis of stress-state and strain-state)
b
z
b=50mm
h=100mm
例题 13 已知矩形外伸梁受力 F1,F2作用,弹性模量 E=200GPa,泊松比?= 0.3,F1=100KN,F2=100KN.
求,（ 1） A点处的主应变?1,?2,?3
（ 2） A点处的线应变?x,?y,?z
a
A
F1
F2 F2
l
(Analysis of stress-state and strain-state)
解,梁为拉伸与弯曲的组合变形,A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力,
（拉伸） M Pa202 AFσ
（负） M Pa3023 S AF? A
x = 20
x = 30
（ 1） A点处的主应变?1,?2,?3
M Pa4.21
M Pa4.41)
2(2
22
mi n
ma x
x
yxyx τσσσσ
σ
σ
4.411 02 4.213
(Analysis of stress-state and strain-state)
4
311 104.2)(
1 μσσ
Eε
5
312 103)(
σσ
Eε
4
133 107.1)(
1 μσσ
Eε
（ 2） A点处的线应变?x,?y,?z
020 zyx σσσ
410
E
σε x
x
5103
xy σE
με
5103
xz σE
με
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 14 简支梁由 18号工字钢制成,其上作用有力 F= 15kN,已知
E=200GPa,?= 0.3.
0.5 0.5
0.25
F
A 0°
45°90°
求,A 点沿 0°,45°,90° 方向的线应变 90450,ε,εε
h/4
(Analysis of stress-state and strain-state)
解,25.02 FM A
M Pa8.50 A
z
A
A yI
Mσ
)(M Pa8.68
*
S
dI
SF
z
zAA
A?
yA,Iz,d 查表得出为图示面积对中性轴 z的静矩*zAS
z
A
h/4
2S
FF
A
A
A = 50.8
A = 68.88.50
0 Aσσ?
090 yσσ?
E
σε 0
0 E
σε 0
90
(Analysis of stress-state and strain-state)
M P a2.9490s i n90c o s2245 xxx τσσσ
M Pa3.43270s i n270c o s22135 xxx τσσσ
6
135450 10536)(
1
σσEε?
0.5
F
1350
0.5
0.25
A 0°
45°90°
h/4
A
A = 50.8
A = 68.8
(Analysis of stress-state and strain-state)
§ 7-7 复杂应力状态的应变能密度
(Strain-energy density in general stress-state)
一、应变能密度的定义
(Definition of Strain-energy density )
二、应变能密度的计算公式
(Calculation formula for Strain-energy density)
1.单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为
(Strain-energy density for simple stress-state )
2
2
ε 222
1 εE
E
σσεv
物体在单位体积内所积蓄的应变能,
(Analysis of stress-state and strain-state)
将广义胡克定律代入上式,经整理得用 vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为畸变能密度 （ the strain-energy density corresponding to the
distortion.）
用 vV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为 体积改变能密度 （ the strain-energy density corresponding to the
volumetric）
2.三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为
(Strain-energy density for simple stress-state )
()ε 1 1 2 2 3 312v σ ε σ ε σ ε
[ ( ) ]222ε 1 2 3 1 2 2 3 3 11 22v σ σ σ σ σ σE
应变能密度 vε等于两部分之和εdVv v v
(Analysis of stress-state and strain-state)
(a)
1
2
3
(b)
m
m
m=(?1+?2+?3)/3
代之以?m
图（ a）所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发生体积改变也发生形状改变,
图（ b）所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变,
(Analysis of stress-state and strain-state)
( ) ( ) [ ( ( ) ]
()
()
2 2 2 2 2 2
b ε b m m m m m m
2
m
2
1 2 3
1
2
2
3 1 2
2
12
6
V
vv σ σ σ μ σ σ σ
E
E
E
( ) ( ) ( )ε a a d aVv v v ( ) ( )?ε b bVvv
( ) ( )?abVVvv
)(21 321 σσσEq
图 b 所示单元体的体积改变比能密度
(Analysis of stress-state and strain-state)
a单元体的比能为
a所示单元体的体积改变比能
[ ( ) ]222ε 1 2 3 1 2 2 3 3 11 22v σ σ σ σ σ σ σ σ σE?
( ) ( ) ( ) 2a b 1 2 312 6VVvv σ σ σE?
空间应力状态下单元体的 畸变能密度
[ ( ) ( ) ( ) ]
d ε
2 2 2
1 2 2 3 3 1
1
6
Vv v v
σ σ σ σ σ σ
E
(a)
1
2
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
一,强度理论的概念 （ Concepts of failure criteria)
1.引言 (introduction)
§ 7-8 强度理论 (The failure criteria)
轴向拉压 ][m a xNm a x σAFσ
弯曲 ][m a xm a x σW
Mσ
z
剪切 ][S A
F
扭转 ][
t
ma x
ma x W
T
弯曲 ][
*
ma xma xS
ma x
bI
SF
z
z
切应力强度条件
（ strength condition for
shear stress）
正应力强度条件
（ strength condition for
normal stress）
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯 剪 试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全因数而得,即根据相应的 试验结果建立的强度条件,
上述强度条件具有如下特点
（ 1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态 ;
2.强度理论的概念 (Concepts for failure criteria)
是关于,构件发生强度失效起因,的假说,
(Analysis of stress-state and strain-state)
基本观点构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的,
根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式,进行分析,提出破坏原因的假说,在这些假说的基础上,可利用材料在单向应力状态时的 试验结果,来建立材料在 复杂应力状态下的强度条件,
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 1）脆性断裂,无明显的变形下突然断裂,
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）
(Two failure types for materials in normal temperature
and static loads)
1,屈服失效 （ Yielding failure）
材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力,
2,断裂失效 （ Fracture failure）
（ 2）韧性断裂,产生大量塑性变形后断裂,
(Analysis of stress-state and strain-state)
引起破坏的某一共同因素形状改变比能最大切应力最大线应变最大正应力
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.马里奥特关于变形过大引起破坏的论述,是第二强度理论的萌芽 ;
3.杜奎特 （ C.Duguet） 提出了最大切应力理论 ;
4.麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论,这是后来人们在他的书信出版后才知道的,
三、四个强度理论 （ Four failure criteria）
1.伽利略播下了第一强度理论的种子 ;
（ 1） 第一类强度理论 — 以脆断作为破坏的标志包括,最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
（ 2）第二类强度理论 —以出现屈服现象作为破坏的标志包括,最大切应力理论和形状改变比能理论
(Analysis of stress-state and strain-state)
根据,当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏,
1,最大拉应力理论（第一强度理论）
（ Maximum-normal-stress criterion）
基本假说,最大拉应力?1 是引起材料脆断破坏的因素,
脆断破坏的条件,?1 =?b
四、第一类强度理论 （ The first types of failure criteria）
强度条件,?1? [
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
（ Maximum-normal-strain criterion）
根据,当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏,
基本假说,最大伸长线应变?1 是引起材料脆断破坏的因素,
脆断破坏的条件,Eσb1
最大伸长线应变,)]([1 3211 σσσE
强度条件,][)( 321 σσσσ
(Analysis of stress-state and strain-state)
1.最大切应力理论 （第三强度理论）
（ Maximum-shear-stress criterion）
基本假说,最大切应力?max 是引起材料屈服的因素,
根据,当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效,
屈服条件五、第二类强度理论
（ The second types of failure criterion）
2
s
ma x
σ
在复杂应力状态下一点处的最大切应力为
s31
31m a x )(2
1
σσσ
σσ
强度条件 ][31 σσσ
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.畸变能密度理论（第四强度理论）
（ Maximum-distortion-energy criterion）
基本假说,畸变能密度 vd是引起材料屈服的因素,
单向拉伸下,?1=?s,?2=?3=0,材料的极限值强度条件,
[ ( ) ( ) ( ) ]
2 2 2
d 1 2 2 3 3 1
2
s
1
6
1
2
6
v σ σ σ σ σ σ
E
σ
E
2
ds
1 2
6v σE
][])()()[(21 213232221 σσσσσσσ
屈服准则,
(Analysis of stress-state and strain-state)
六、相当应力 （ Equivalent stress）
把各种强度理论的强度条件写成统一形式
r 称为复杂应力状态的 相当应力,
])()()[(
2
1
)(
2
13
2
32
2
214r
313r
3212r
11r
σσσσσσσ
σσσ
σσμσσ
][rσ
(Analysis of stress-state and strain-state)
莫尔认为,最大切应力是使物体破坏的主要因素,但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）,综合最大切应力及最大正应力的因素,莫尔得出了他自己的强度理论,°￠ íDa ( O,M o hr),1 8 3 5 1 9 1 8
§ 7-9 莫尔强度理论
（ Mohr’s failure criterion）
一,引言 （ Introduction）
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、莫尔强度理论 （ Mohr’s failure criterion）
公式推导
M
O2 O O1 O3
F N T
L
[?c] [?t]
1
M′ L′ T′
2
][
2
2
][
2
22
][
22
][
c31
23
t31
13
31c
2
31t
1
σσσ
OO
σσσ
OO
σσσ
FO
σσσ
NO
23
13
2
1
OO
OO
FO
NO?
代入
][][ ][ t3
c
t
1
强度条件任意一点的应力圆若与极限曲线相接触,则材料即将屈服或剪断,
(Analysis of stress-state and strain-state)
1.适用范围 （ The appliance range）
（ 2）塑性材料选用第三或第四强度理论 ;
（ 3）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏,故选用第一或第二强度理论 ;
三,各种 强度理论的 适用范围 及其应用 （ The
appliance range and application for all failure criteria）
（ 1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论 ;
（ 4）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论,
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.强度计算的步骤 （ Steps of strength calculation）
（ 1）外力分析,确定所需的外力值 ;
（ 2）内力分析,画内力图,确定可能的危险面 ;
（ 3）应力分析,画危面应力分布图,确定危险点并画出单元体,
求主应力 ;
（ 4）强度分析,选择适当的强度理论,计算相当应力,然后进行强度计算,
3.应用举例 （ Examples）
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 15 一蒸汽锅炉承受最大压强为 p,圆筒部分的内径为 D,厚度为?,且? 远小于 D.试用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度,
已知 p=3.6MPa,10mm,D=1m,[?]=160MPa.
p
（ a）
D
y
z
（ b）
(Analysis of stress-state and strain-state)
内壁的强度校核
M Pa904 tpDσ
M Pa90
M Pa1 8 0
2
1
σσ
σσ
所以圆筒内壁的强度合适,
用第四强度理论校核圆筒内壁的强度
][M Pa155
])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214r
σ
σσσσσσ
M Pa1 8 02 tpDσ
′
"
′
"
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 16 根据强度理论,可以从材料在单轴拉伸时的可推知低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的.
解,纯剪切应力状态下
1 =?,?2 = 0,?3 = –?
按第三强度理论得强度条件为：
另一方面,剪切的强度条件是,
所以 [? ] = 0.5
][2)(31 στττσσ 2][στ?
][ττ?
(Analysis of stress-state and strain-state)
[?]为材料在单向拉伸时的许用拉应力,
材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为 [?].
3
][στ?
][3])()0()0[(21 222 στττττ
按第四强度理论得强度条件为：
][6.0][5 7 7.03 ][][
按第三强度理论得到：
按第四强度理论得到：
[? ] = 0.5
[? ] ≈ 0.6
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 17 对于图示各单元体,试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力,
（ b）
140 MPa
110 MPa
（ c）
70 MPa
140 MPa 80 MPa
（ d）
50MPa
70MPa
30MPa
40MPa
120 MPa
（ a）
120 MPa
(Analysis of stress-state and strain-state)
解,（ 1） 单元体（ a）
M Pa120])0120()120120()1200[(21 2224r
01?σ M Pa12032 σσ
M Pa12 0)12 0(0313r σσσ
（ 2） 单元体（ b）
M P a128])140(11030[
2
1
M P a140
222
4r
313r
σ
σσσ
1 1 4 0 M P aσ 110MP a2?σ 03?σ
120 MPa
（ a）
120 MPa
140 MPa
110 MPa
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 3） 单元体（ c）
1 8 0 M P aσ - 70M P a2?σ -?3 1 4 0 M Paσ
（ 4） 单元体（ d）
28.5
72.9440)
2
3070(
2
3070 22
mi n
ma x
MP a72941,σ?
M Pa2853,σ?
M P a502 zσσ
M Pa2203r?σ MP a1954r?σ
M Pa44893r,σ? MP a5.774r?σ
140 MPa 80 MPa
（ c）
70 MPa
（ d）
50MPa
70MPa
30MPa
40MPa
(Analysis of stress-state and strain-state)
F
解,危险点 A的应力状态如图例 题 18 直径为 d=0.1m的圆杆受力如图,Me=7kN·m,F=50kN,材料为 铸铁,[?]=40MPa,试 用第一强度理论校核 杆的 强度,
故安全,
F
Me
Me M Pa7.35
1.0π
7 0 0 016
M Pa37.610
1.0π
504
3
t
3
2
N
W
T
τ
A
F
σ
32
397.35)
2
37.6(
2
37.6)
2(2
2222
mi n
ma x
τ
σσ
σ
σ
M Pa32,0,M Pa39 321 ][1
A
A
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 19 薄壁圆筒受最大内压时,测得?x=1.88?10-4,?y=7.37?10-4,已知钢的 E=210GPa,[?]=170MPa,泊松比?=0.3,试用第三强度理论 校核 其 强度,
解,由广义 胡 克定律
M P a4.9410)37.73.088.1(
3.01
1.2
)(
1
7
2
2
yxx
E
σ
x
y A
A?x
y
(Analysis of stress-state and strain-state)
所以,此容器不满足第三强度理论,不安全,
003r 7.7170
1701.183
][
][
σ
M P a1.18310)88.13.037.7(
3.01
1.2
)(
1
7
2
2
xyy
E
σ
0,M P a4.94,M P a1.183 321 σσσ主应力
][M P a1.18 3313r σσσσ相当应力
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 20 两端简支的工字钢梁承受载荷如图所示已知其材料 Q235
钢的许用为= 170MPa,= 100MPa.试按强度条件选择工字钢的型号,
0.42
200kN 200kN
C D
A B
0.42 1.66
2.50
(Analysis of stress-state and strain-state)
解：作钢梁的内力图,
FSC左 = FSmax = 200kN
MC = Mmax = 84kN·m
C,D 为危险截面
（ 1）按正应力强度条件选择截面取 C 截面计算
0.42
200kN 200kN
C D
A B
0.42 1.66
2.50
][m a xm a x σWMσ
z
36m a x m1049 4
][
σ
MW
z
选用 28a 工字钢,其截面的 Wz=508cm3.
200kN
FS 图
200kN
+
-
+
M 图
84kN·m
(Analysis of stress-state and strain-state)
（ 2）按切应力强度条件进行校核对于 28a 工字钢的截面，查表得
m1062.24
m1085.0
m107 1 1 4
2
*
2
48
S
I
d
I
z
z
最大切应力为选用 28a 工字典 钢能满足切应力的强度要求,
M Pa5.95ma xS
*
ma xma xS
ma x
d
S
I
F
dI
SF
z
z?
122
13.7
126.3
280
8.5
126
.3
(Analysis of stress-state and strain-state)
取 A 点分析
（ 3） 腹板与翼缘交界处的的强度校核
)(M Pa1.149m a x
z
A
A I
yMσ
36
*
m102 2 3
)
2
7.13
3.1 2 6(7.131 2 2
AS
（ +） M Pa8.73
*
ma xS?
dI
SF
z
A
A?
122
13.7
126.3
280
8.5
126
.3
A
A点 的应力状态如图所示
A
A?
A
(Analysis of stress-state and strain-state)
A点的三个主应力为由于材料是 Q235 钢,所以在平面应力状态下,应按第四强度理论来进行强度校核,
][M Pa197])()()[(21 2132322214r σσσσσσσσ
22
1 )2(2 τ
σσσ 0
2?σ
22
3 )2(2 τ
σσσ
%9.15%1 00][ ][4rσ σσ 应另选较大的工字钢,
若选用 28b号工字钢,算得?r4 = 173.2MPa,比大 1.88%可选用 28b号工字钢,
