Chapter 4 Internal forces in beams
2
(Internal forces in beams)
§ 4-1 基本概念及工程实例
(Basic concepts and example problems)
第四章 弯曲内力
(Internal forces in beams)
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
(Shear-force& bending-moment equations ;
shear-force & bending- moment diagrams)
§ 4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and
bending- moment in beams)
3
(Internal forces in beams)
§ 4-6 平面刚架和曲杆的内力图
(Internal diagrams for frame members
& curved bars)
§ 4-5 叠加原理作弯矩图
(Drawing bending-moment diagram by
superposition method)
§ 4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 (Relationships between load,shear
force,and bending moment)
4
(Internal forces in beams)
一,工程实例 (Example problem)
§ 4-1 基本概念及工程
(Basic concepts and example problems)
5
(Internal forces in beams)
工程实例 (Example problem)
6
(Internal forces in beams)
7
(Internal forces in beams)
二、基本概念 (Basic concepts)
2.梁 (Beam)
以弯曲变形为主的杆件外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线,
（ 1） 受力特征
（ 2） 变形特征变形前为直线的轴线,变形后成为曲线,
1.弯曲变形 (Deflection)
3.平面弯曲 (Plane bending)
作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲,
8
(Internal forces in beams)
A B
纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线
FRA
F1 F2
FRB
9
(Internal forces in beams)
（ 3） 支座的类型
4.梁的力学模型的简化 (Representing a real structure by
an idealized model)
（ 1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁 。
（ 2）载荷类型集中力 (concentrated force)
集中力偶 (concentrated moment)
分布载荷 (distributed load)
可动铰支座
(roller support) FRA
A
A
A
A
10
(Internal forces in beams)
固定铰支座 (pin support)
固定端 (clamped support or fixed end)
A
A
A
FRAy
AFRAx
FRy
FRx M
11
(Internal forces in beams)
5.静定梁的基本形式 (Basic types of statically determinate beams)
悬臂梁
(cantilever beam)
外伸梁
(overhanging beam)
简支梁
(simply supported beam)
12
(Internal forces in beams)
起重机大梁为 No.25a工字钢,如图所示,梁长 L=10m,单位长度的重量为 38.105kg/m,起吊重物的重量为 100kN,试求起重机大梁的计算简图,
q =38.105kN/m
F =100kN
13
(Internal forces in beams)
一、内力计算 (Calculating internal force)
[举例 ] 已知 如图,F,a,l.
求距 A端 x处截面上内力,
解,求支座反力
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
(Shear- force and bending- moment in beams)
BA
a
l
F
FRAy
FRAx
FRB
A B
F
,
,
()
,
R
R
R
00
0
0
x Ax
AB
y Ay
FF
Fa
MF
l
F l a
FF
l
14
(Internal forces in beams)
求内力 —— 截面法弯曲构件内力剪力弯矩
1.弯矩 (Bending moment) M
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩,
M
FRAy
FRAx
FRB
A B
Fm
m
x
FRAy
FS
C
F
FRBFS
C
M
()
,
,
SR
R
0
0
y Ay
C Ay
F l a
F F F
l
M M F x
2,剪力 (Shear force) FS
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力,
15
(Internal forces in beams)
FS
dx
m
m
FS+
1.剪力符号
(Sign convention for shear force)
使 dx 微段有左端向上而右端向下 的相对错动时,横截面 m-m上的剪力为正,或使 dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正,
二、内力的符号规定
(Sign convention for internal force)
使 dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面 m-m上的剪力为负,或使 dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负,
dx
m
m
FS
-
16
(Internal forces in beams)
当 dx 微段的弯曲下凸 （ 即该段的下半部受拉 ）时,横截面 m-m上的弯矩为正 ；
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
m
m+
（受拉）
M M
当 dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面 m-m上的弯矩为负,
m
m
（受压）
-
17
(Internal forces in beams)
解,（ 1）求梁的支反力 FRA 和 FRB
例题 2 图示梁 的计算简图,已知 F1,F2,且 F2 > F1,尺寸 a,b,c和
l 亦均为已知,试求梁在 E,F 点处横截面处的剪力和弯矩,
0AM FRB
B
d
E
DA
a
b
c
l
C
F
F1 F2FRA
021R bFaFlF B
0BM
0)()( 21R blFalFlF A
l
blFalFF
A
)()( 21
R
l
bFaFF
B
21
R
18
(Internal forces in beams)
记 E 截面处的剪力为
FSE 和弯矩 ME,且假设
FSE 和弯矩 ME 的指向和转向均为正值,
B
d
E
DA
a
b
c
l
C
F
F1 F2FRA
A E
c
FSEFRA
ME
00 SR EAy FF,F
0,0 R cFMM AEE
解得 AE FF RS?
cFM AE R
19
(Internal forces in beams)
取右段为研究对象
A E
c
FSEFRA
ME
a-c
b-c
C D
l-c
BE
FSE
F1 F2
ME
FRB
0yF 021RS FFFF BE
0 M E 0)()()( 21R McbFcaFclF EB
解得 +
+ cFM AE R
AE FF RS?
20
(Internal forces in beams)
计算 F点横截面处的剪力 FSF和弯矩 MF.
B
d
E
DA
a
b
c
l
C
F
F1 F2FRA
F
d
B
FSF
MF
FRB
,
,
SR
R
00y F B
F F B
F F F
M M F d
解得,-
+
BF FF RS
dF BF R?
21
(Internal forces in beams)
左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力三、计算规律 (Simple method for calculating shear-
force and bending-moment)
1.剪力 (Shear force)
n
i
iFF
左（右）1
S
22
(Internal forces in beams)
不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，
而向下的外力则引起负值的弯矩,
2.弯矩 (Bending moment)
左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
m
k
ki
n
i
i MaFM
左（右）左（右） 11
23
(Internal forces in beams)
例题 3 轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN，
a = 230mm,b = 100 mm 和 c = 1000 mm,求 C,D 点处横截面上的剪力和弯矩,
F2=F
A
C
D B
b
a
c
F1=F FRA FRB
解,（ 1）求支座反力
kN60RR FFF BA
24
(Internal forces in beams)
（ 2）计算 C 横截面上的剪力 FSC和弯矩 MC
看左侧
F2=F
A
C
D B
b
a
c
F1=F FRA FRB
kN601S FF C mkN061,bFM C
（ 3）计算 D横截面上的剪力 FSD和弯矩 MD
看左侧 060601RS FFF AD
mkN8.13)( 1R FacFacFM AD
25
(Internal forces in beams)
解,
例题 4 求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩,
（ 1）求支座反力
FRA=4kN FRB=-4kN
C
1 2
M
（ 2）求 1-1截面的内力
（ 3）求 2-2截面的内力
kN4RSS 1 AC FFF 左
mkN41R1 AC FMM 左
kN4)4(RS2S BC FFF 右
mkN651)4()152(R2,.FMM BC 右
B
1m
2.5m
10kN·m
A
C1
2
FRA FRB
26
(Internal forces in beams)
§ 4-3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
(Shear- force & bending-moment equations;
shear-force&bending-moment diagrams)
FS= FS(x)
M= M(x)
一、剪力方程和弯矩方程 (Shear- force & bending-
moment equations)
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律,
分别称作剪力方程和弯矩方程,
1.剪力方程 (Shear- force equation)
2.弯矩方程 (Bending-moment equation)
27
(Internal forces in beams)
弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在 x 轴下侧二、剪力图和弯矩图
(Shear-force&bending-moment diagrams)
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在 x 轴下侧以平行于梁轴的横坐标 x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩,这种图线分别称为剪力图和弯矩图
x
FS(x)
FS 图的坐标系
O
M 图的坐标系
xO
M(x)
28
(Internal forces in beams)
例题 5 如图 所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用,试作此梁的剪力图和弯矩图,
BA
F
l
x
解,列 出 梁的 剪力方程 和弯矩方程
)0()(
)0()(S
lxFxxM
lxFxF
0S?F A 左
FF A右S
FS
x
F
x
M
29
(Internal forces in beams)
例题 6 图 示的简支梁,在全梁上受集度为 q的均布荷载用,试作此梁的剪力图和弯矩图,
解：
（ 1） 求支反力
2RR
qlFF
BA l
q
FRA FRB
A B
x
（ 2）列剪力方程和弯矩方程,
)0(
222
)(
)0(
2
)(
2
R
RS
lx
qxq l xx
qxxFxM
lxqx
ql
qxFxF
A
A
30
(Internal forces in beams)
剪力图为一倾斜直线绘出剪力图
)0(2)(S lxqxqlxF
x=0 处,
x= l 处,
2S
qlF?
2S
qlF
+
ql/2
ql/2
B
l
q
FRA
A
x
FRB
31
(Internal forces in beams)
弯矩图为一条二次抛物线
)0(222)(
2
R lx
qxq l xxqxxFxM
A
l
q
FRA
A B
x F
RB
00 Mx,
0, Mlx
令 ()d 0
d2
M x q l qx
x
得驻点 2lx?
弯矩的极值 8
2
2ma x
qlMM l
x
绘出弯矩图
+ 8
2ql
l/2
32
(Internal forces in beams)
由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上 FS= 0
两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大
l
q
FRA
A B
x
FRB
+
ql/2
ql/2
+ 8
2ql
l/2
8
2
ma x
qlM?
2ma xS
qlF?
33
(Internal forces in beams)
解,（ 1）求梁的支反力例题 7 图 示的简支梁在 C点处受集中荷载 F 作用,
试作此梁的剪力图和弯矩图,
l
F
A BC
a b
FRA FRB
l
FbF
A?R l
FaF
B?R
因为 AC段和 CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程,
将坐标原点取在梁的左端
34
(Internal forces in beams)
将坐标原点取在梁的左端
AC段
CB段
x
x
l
F
A BC
a b
FRA FRB
)2()0()(
)1()0()(S
axx
l
Fb
xM
ax
l
Fb
xF
)4()()()()(
)3()(
)(
)(S
lxaxl
l
Fa
axFx
l
Fb
xM
lxa
l
Fa
l
blF
F
l
Fb
xF
35
(Internal forces in beams)
由（ 1）,（ 3）两式可知,AC、
CB两段梁的剪力图各是一条平行于 x
轴的直线,
)1()0()(S axlFbxF
)3()()(S lxalFaxF
x
x
l
F
A BC
a b
FRA FRB
+
lFb
lFa )4()()()( lxaxll
FaxM
)2()0()( axxlFbxM
+ l
Fba由 （ 2），（ 4） 式可知,AC、
CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线,
36
(Internal forces in beams)
在集中荷载作用处的左,右两侧截面上剪力值 (图 )有突变,
突变值等于集中荷载 F,弯矩图形成尖角,该处弯矩值最大,x x
l
F
A BC
a b
FRA FRB
+ l
Fba
lFb
lFa
+
37
(Internal forces in beams)
解,求梁的支反力例题 8 图 示的简支梁在 C点处受矩为 M的集中力偶作用,
试作此梁的的剪力图和弯矩图,
RA MF lRB MF l
将坐标原点取在梁的左端,
因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程
( ) ( ) ( )S 01MF x x ll
l
A BC
a b
FRA FRBM
由 (1)式画出整个梁的剪力图是一条平行于 x 轴的直线,
+
M
l
38
(Internal forces in beams)
AC段
CB段
AC 段和 BC 段的 弯矩方程不同
x
x
l
A BC
a b
FRA FRB
M
()? MM x xl )0( ax
( ) ( )MMM x x M l xll )( lxa
AC,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线,
x = a,?
C
MaM
l左
x = 0,0?MAC段
CB段 x = a,
C MbM l右
x= l,M = 0
+
Ma
l
Mb
l
39
(Internal forces in beams)
梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值 (图 )发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值,此处剪力 图没有变化,l
A BC
a b
FRA FRBM
+
/Ml
+ Mal
Mbl
40
(Internal forces in beams)
2.以集中力、集中力偶作用处,分布荷载开始或结束处,及支座截面处为界点将梁分段,分段写出剪力方程和弯矩方程,然后绘出剪力图和弯矩图,
1.取梁的左端点为坐标原点,x 轴向右为正,剪力图向上为正 ;
弯矩图向上为正,
5.梁上的 FSmax发生在全梁或各梁段的边界截面处 ;梁上的 Mmax
发生在全梁或各梁段的边界截面,或 FS = 0 的截面处,
小 结
3.梁上集中力作用处左、右两侧横截面上,剪力（图）有突变,
突变值等于集中力的数值,在此处 弯矩图则形成一个尖角,
4.梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩（图）
有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值,但在此处剪力 图没有变化,
41
(Internal forces in beams)
例题 9 一 简支梁受移动荷载 F 的作用如 图 所示,试求梁的最大弯矩为极大时荷载 F 的位置,
A B
F
l
x
解,先设 F 在距左支座 A 为 x 的任意位置,求此情况下梁的最大 弯矩为极大,
荷载在任意位置时，支反力为
l
xlFF
A
)(
R
l
FxF
B?R
当荷载 F 在距左支座为 x 的任意位置 C 时，梁的 弯矩为
xl xlFxFM AC )(R
令 0dd?xM C 0)2( xllF 2lx?
42
(Internal forces in beams)
此结果说明，当移动荷载 F 在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大,
得最大弯矩值代入式将 2lx?
xl xlFxFM AC )(R
FlM 41ma x?
43
(Internal forces in beams)
设梁上作用有任意分布荷载其集度
§ 4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
(Relationships between load,shear force,and
bending moment)
一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系
(Differential relationships between load,shear force,and
bending moment)
q = q (x)
规定 q (x)向上为正,
将 x 轴的坐标原点取在梁的左端,
x
y
q(x)
F M
44
(Internal forces in beams)
x
y
q(x)
F M
FS(x)
M(x)
FS(x)+dFS(x)
M(x)+dM(x)
假想地用坐标为 x 和 x+dx的两横截面 m-m和 n-n从梁中取出
dx 微段,
m
m
n
n
q(x)
C
x+dx 截面处 则分别为
FS(x)+dFS(x),M(x)+dM(x),
由于 dx很小，略去 q(x)
沿 dx的变化,
m-m截面上内力为 FS(x),M(x)
n
x
m
m
n
dx
45
(Internal forces in beams)
0
2
d
)d(d )()(] )(d)([
0
S
x
xxqxxFxMxMxM
M C
FS(x)
M(x)
FS(x)+dFS(x)
M(x)+dM(x)
m
m
n
n
q(x)
C
写出微段梁的平衡方程
0d)()](d)([)( 0 SSS xxqxFxFxFF x
得到 )(d )(d S xqx xF?
略去二阶无穷小量即得
)(d )(d S xFx xM?
46
(Internal forces in beams)
公式的几何意义
（ 1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小 ;
（ 2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小 ;
)(d )(d S xqx xF?
)(d )(d S xFx xM?
)(d )(d 2
2
xqx xM?
（ 3）根据 q(x)＞ 0或 q(x) ＜ 0来判断弯矩图的凹凸性,
47
(Internal forces in beams)
M(x)图为一向 上 凸的二次抛物线,
FS(x)图为一向右下方倾斜的直线,
x
FS(x)
O
二,q(x),FS(x)图,M（ x）图三者间的关系
(Relationships between load,shear force,and bending
moment diagrams)
1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x) < 0
M(x)
)(d )(d S xqx xF?
)(d )(d S xFx xM?
)(d )(d 2
2
xqx xM?
48
(Internal forces in beams)
2.梁上无荷载区段,q(x) = 0
剪力图为一条水平直线,
弯矩图为一斜直线,
x
FS(x)
O
当 FS(x) > 0 时,向右上方倾斜,
当 FS(x) < 0 时,向右下方倾斜,
xO
M(x)
)(d )(d S xqx xF?
)(d )(d S xFx xM?
)(d )(d 2
2
xqx xM?
O
M(x)
x
49
(Internal forces in beams)
5,最大剪力可能发生在 集中力所在截面 的一侧 ;或分布载荷发生变化的区段上,
梁上最大弯矩 Mmax可能发生在 FS(x) =
0 的截面上 ; 或发生在集中力所在的截面上 ;或集中力偶作用处 的一侧,
3,在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值,弯矩图有转折,
4,在集中力偶作用处弯矩图有突变,其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化,
)(d )(d S xqx xF?
)(d )(d S xFx xM?
)(d )(d 2
2
xqx xM?
50
(Internal forces in beams)
无荷载 集中力
F
C
集中力偶
M
C
向下倾斜的直线上凸的二次抛物线在 FS=0的截面水平直线一般斜直线或在 C处有转折在剪力突变的截面在紧靠 C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征
Mmax所在截面的可能位置表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
q<0
向下的均布荷载在 C处有突变在 C处有突变
M
在 C处无变化
C
51
(Internal forces in beams)
三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系
(Integral relationships between load,shear force,
and bending moment)
若在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面无集中力则
)(d )(d S xqx xF?
( ) ( )22
11
Sdd
xxF x q x x
( ) ( ) ( ) 2
1
S 2 S 1 d
x
xF x F x q x x
( ) ( ) ( ) 2
1
S 2 S 1 d
x
xF x F x q x x
52
(Internal forces in beams)
等号右边积分的几何意义是 x1,x2两横截面间分布荷载图的面积,
)(d )(d S xFx xM?
若横截面 x= x1,x=x2 间无集中力偶作用则得
()( ) ( ) 2
1 S21
dxx F x xM x M x
式中 M(x1),M(x2)分别为在 x=x1 和 x= x2处两个横截面上的弯矩,
等号右边积分的几何意义是 x1,x2两个横截面间剪力图的面积,
( ) ( ) ( ) 2
1
S 2 S 1 d
x
xF x F x q x x
式中,分别为在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面 上的剪力,
)()( 2S1S xFxF
53
(Internal forces in beams)
例题 10 一简支梁受两个力 F作用,如图所示,已知 F= 25.3kN,有关尺寸如图所示,试用本节所述关系作剪力图和弯矩图,
解：（ 1）求梁的支反力
k Ν623R,F A? kN27R?BF
将梁分为 AC,CD,DB 三段,
每一段均属无载荷区段,
BA C D
200 115
1265
F FFRA FRB
2 31
（ 2）剪力图每段梁的剪力图均为水平直线
AC段 kN6.23RS AA FF 右
54
(Internal forces in beams)
23.6
1.7
27
+
B
FRB
A C D
200 115
1265
F FFRA
2 31DB段 kN27
RS BD FF 右
kN0S?右BF
最大剪力发生在 DB段中的任一横截面上
kN27S ma x?F
CD段 kN7.1RS FFF AC 右
55
(Internal forces in beams)
+
BA C D
200 115
1265
F FFRA FRB
2 31
mkN11.311 5.0R BD FM
0?M B
最大弯矩发生在 C 截面
mkN72.4m a xM
mkN72.42.0R AC FM
0?M A
（ 3）弯矩图每段梁的弯矩图均为斜直线,
且梁上无集中力偶,
56
(Internal forces in beams)
（ 4）对图形进行校核在集中力作用的 C,D两点剪力图发生突变,突变值 F=25.3kN.而弯矩图有尖角,
在 AC段剪力为正值，弯矩图为向上倾斜的直线,
BA C D
200 115
1265
F FFRA FRB
2 31
+
23.6
1.7
27
+
在 CD和 DB段，剪力为负值，
弯矩图为向下倾斜的直线,
最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C截面处,说明剪力图和弯矩图是正确的,
57
(Internal forces in beams)
例题 11 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m,如图 所示,试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图,
解：
（ 1） 计算梁的支反力
FRA FRB
E
q
A B
C D
0.2 1.6
1
2
kN806.110 05.0RR BA FF
将梁分为 AC,CD,DB 三段,
AC和 DB上无荷载,CD段有向下的均布荷载,
58
(Internal forces in beams)
（ 2）剪力图
+
80kN
80kN
AC段 水平直线
kN80RS AA FF 右
CD段 向右下方的斜直线
kN80RS AC FF
kN80RS BD FF
DB段 水平直线
kN80RS －－左 BB FF
kN0S?右BF
最大剪力发生在 AC 和 DB 段的任一横截面上,
kN80m a xS?F
FRA FRB
E
q
A B
C D
0.2 1.6
1
2
59
(Internal forces in beams)
例题 12 作梁的内力图,
解,（ 1）支座反力为
3m4m
A BC D E
4m 4m
FRA FRB
F1=2kN
q=1kN/m
M=10kN·m F2=2kN
kN7R?AF
kN5R?BF
将梁分为 AC,CD、
DB,BE 四段,
（ 2）剪力图
AC段 向下斜的直线 (?)
kN7RS AA FF 右 kN34RS qFF AC 左
CD段 向下斜的直线 (? )
kN14 1RS FqFF AC 右 kN3R2S BD FFF
60
(Internal forces in beams)
DB段 水平直线 (-)
EB段 水平直线 (-)
3m4m
A BC D E
4m 4m
FRA FRB
F1=2kN
q=1kN/m
M=10kN·m F2=2kN
kN3R2S BFFF
kN22S FF B 右
AC段 向下斜的直线 (?)
kN7S?右AF
kN3S?左CF
CD段 向下斜的直线 (? )
kN1S?右CF
kN3SDF
F点剪力为零,令其距 A截面的距离为 x
01RS FqxFF Ax
7kN
1kN+ +
3kN
3kN
2kN
x=5m
x = 5m
61
(Internal forces in beams)
（ 3）弯矩图
CD段
AC段 0?M A
2 R7 1 64D B MFMF左 5.20
m a x MM F
DB段
647 R2 BD FFM 右
63 2 FM B
BE段 0?M E
20
16
6
6
+
20.5
3m4m
A BC D E
4m 4m
FRA FRB
F1=2kN
q=1kN/m
M=10kN·m F2=2kN
20424 2R qFM AC
62
(Internal forces in beams)
3m4m
A BC D E
4m 4m
FRA FRBF1=2kN
q=1kN/m
M=10kN·m F2=2kN
7kN
1kN+ +
3kN
3kN
2kN
x=5m
20
16
6
6
+
20.5
（ 4）校核
63
(Internal forces in beams)
解,支座反力为
FRA = 81 kN
FRB = 29 kN
MA = 96.5 kN·m
例题 13 用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图,
1 0.5 1 13
F=50kN
M=5kN·m
A E C D K B
FRA FRB
MA q=20kN/m
将梁分为 AE,EC,CD,DK,KB 五段。
64
(Internal forces in beams)
(1) 剪力图
AE段 水平直线
FSA右 = FSE左 = FRA = 81kN
ED 段 水平直线
DK 段 向右下方倾斜的直线
FSK= -FRB = - 29kN
FSE右 = FRA - F = 31kN
KB 段 水平直线
FSB左 = - FRB = - 29 kN
81kN
31kN
29kN
+
1 0.5 1 13
F=50kN
M=5kN·m
A E C D K B
FRA FRB
MA q=20kN/m
65
(Internal forces in beams)
设距 K截面为 x 的截面上剪力 FS = 0.即
0RS qxFF Bx
m45.1R qFx B x=1.45
81kN
31kN
29kN
+
1 0.5 1 13
F=50kN
M=5kN·m
A E C D K B
FRA FRB
MA q=20kN/m
66
(Internal forces in beams)
（ 2） 弯矩图
AE,EC,CD 梁段均为向上倾斜的直线
k N mAAMM右 96.5
mkN5.15181 MM AE
05.031 MM EC
mkN31131 MM CD
96.5
15.5
31
1 0.5 1 13
F=50kN
M=5kN·m
A E C D K B
FRA FRB
MA q=20kN/m
67
(Internal forces in beams)
KB 段 向下倾斜的直线
DK段 向上凸的二次抛物线
R 1K BFMM
mkN345129
在 FS= 0 的截面上弯矩有极值
.m a x R 2 4 5BM F M
mkN5545.12 2q
5 k N mB MM 左
0?M B 右 96.5
31
15.5
x
+
55
34
5
1 0.5 1 13
F=50kN
M=5kN·m
A E C D K B
FRA FRB
MA q=20kN/m
68
(Internal forces in beams)
中间铰链传递剪力
(铰链左,右两侧的剪力相等 )；但不传递弯矩 (铰链处弯矩必为零 ).
+
+
1 0.5 1 13
F=50kN
M=5kN·m
A E C D K B
FRA FRB
MA q=20kN/m
69
(Internal forces in beams)
例题 14 已知简支梁的剪力图,
作梁的弯矩图和荷载图,已知梁上没有集中力偶作用,
a b c d
18kN
2kN
14
kN
3m 3m 6m
+
解,(1)画荷载图
AB 段 没有荷载，在 B处有集中力所以 F=20kN 方向向下
()?SddF qxx
kN18S?F B 左
kN2SF B 右
CA B D
F=20kN
70
(Internal forces in beams)
BC 段 无荷载
CD 段 有均布荷载 q (? )
()?SddF qxx
()SS d6dDC c q x x qFF
k N / m26 )2()14(q
a b c d
18kN
2kN
14
kN
3m 3m 6m
+
q=2kN
CA B D
F=20kN
71
(Internal forces in beams)
(2)弯矩图
AB段 向右上倾斜的直线
)(d )(d S xFx xM?
() S dbBA aM M F x x
mkN543180
BC段 向右下倾斜的直线,
a b c d
18kN
2kN
14
kN
3m 3m 6m
+
cb SBC xxFMM d)(( )5 4 2 3 4 8 k N m
CD段 向上凸的二次抛物线,该段内弯矩没有极值,0?M d
48
da b
54
c
+
72
(Internal forces in beams)
例题 15 已知简支梁的弯矩图,作出梁的剪力图和荷载图,
AB段 因为 M(x) = 常量,剪力图为水平直线,且 FS(x) = 0,
40kN·m
a b c d
2m 2m 2m
+
解,(1) 作剪力图 )(d )(d S xFx xM?
BC段 FS(x) = 常量,剪力图为水平直线
() SSd2cCB b F x x FMM
S 0 4 0 2 0 k N22CBMMF
CD段 剪力图为水平直线 且 FS(x) = 0
a b c d
20kN
73
(Internal forces in beams)
AB段 无荷载
Me= 40kN·m ( )
Me
在 A处有集中力偶
(2)作荷载图 )(dd xqxF S?
0?M A 左 mkN40右AM
40KN·m
a b c d
2m 2m 2m
+
a b c d
20kN
B CA D
F = 20kN (?)
B 处有集中力,
集中力
0S?F B 左
kN20S －F B?右
BC段 无荷载 C处有集中力
kN20S －F B?左 0S?F B 右集中力 F = 20kN (? )
CD段 无荷载 F
F
74
(Internal forces in beams)
§ 4-5 按叠加原理作弯矩图
(Drawing bending-moment diagram by
superposition method)
一、叠加原理 (Superposition principle)
多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和,
二、适用条件 (Application condition)
所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系,
即在弹性限度内满足胡克定律,
)()()(),,,( Sn21S11S21S nn FFFFFFFFFF
(,,,) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 nnnM F F F M F M F M F
75
(Internal forces in beams)
三、步骤 (Procedure)
（ 1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图 ;
（ 2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）
例 16 悬 臂梁受集中 荷载 F 和均布荷载 q 共同作用,试按叠加原理作此梁的弯矩图
x
F=ql/3
q
l
76
(Internal forces in beams)
x
F=ql/3
q
l
解,悬 臂梁受集中 荷载 F 和均布荷载 q 共同作用，
在距左端为 x 的任一横截面上的弯矩为
2)(
2qx
FxxM
F
x
q
x
F 单独作用 FxxM F?)(
q单独作用 2)(
2qx
xM q
F,q 作用该截面上的弯矩等于 F,q 单独作用该截面上的弯矩的代数和
2)(
2qx
FxxM
77
(Internal forces in beams)
F
x
F q
x
l
q
x
+
FxxM F?)(
Fl
2)(
2qx
xM q
22ql
+
-
62ql
2l/3
l/3
62ql
812ql
78
(Internal forces in beams)
例题 17 图示一外伸梁,a = 425mm,
F1,F2,F3 分别为 685 kN,575 kN,506
kN.试按叠加原理作此梁的弯矩图,求梁的最大弯矩,
BC
F2 F3
a
D E
F1
A
a a a
解：将梁上荷载分开
F1
291
a c ebd
F2
e
122
+
a c bd
215
a c ebd
F3
a a a a
79
(Internal forces in beams)
291
a c ebd
mkN1312152112229121 )()(M C
BC
F2 F
3
a
D E
F1
A
a a a 122
+
a c ebd
215
a c ebd291
215
131
a c ebd
80
(Internal forces in beams)
1.平面刚架的内力 (Internal forces for plane frame members)
剪力 (shear force );弯矩 (bending moment);轴力 (axial force).
A B
C
平面刚架是由在同一平面内,不同取向的杆件,通过杆端相互刚性连结而组成的结构,
一、平面刚架的内力图 (Internal diagrams for plane
frame members)
§ 4-6 平面刚架和曲杆的内力图（ Internal diagrams for plane frame
members & a curved bars)
81
(Internal forces in beams)
弯矩图 (bending moment diagram)
画在各杆的受压側,不注明正、负号,
剪力图及轴力图 (shear force and axial force diagrams)
可画在刚架轴线的任一側 (通常正值画在 刚架的外側 ),
注明正,负号,
2、内力图符号的规定 (Sign convention for internal force
diagrams)
82
(Internal forces in beams)
例题 18 图示为下端固定的刚架,在其轴线平面内受集中力
F1 和 F2 作用，作此刚架的弯矩图和轴力图,
a F1
F2
A
B C解：将刚架分为 CB,AB 两段
CB 段
FN (x) = 0
M(x) = F1x (0? x? a)
FS(x) = F1 (+) (0<x < a)
M(x)
FN(x)FS(x)
C
x
F1
x
83
(Internal forces in beams)
a F1
F2
A
B C
FS(x)
CB
a F1
F2
FN(x)
M(x)
x
BA 段 F
N(x) = F1 （ — ） ( 0? x?l )
M(x) = F1a+F2 x ( 0? x?l )
FS(x) = F2 (+) ( 0< x <l )
84
(Internal forces in beams)
CB段 FN(x)=0
BA段 FN(x) = F1（ — ）
FN图
F1
|
C
a F1F
2
A
B
CB段
BA段 FS(x) = F2 (+)
FS(x) = F1 (+)
FS图
F1 +
F2
+
85
(Internal forces in beams)
C
a F1F
2
A
B
M图
F1a
F1a+F2l
CB段 M(x)= F1x (0? x? a)
BA段 M(x) = F1a+F2 x (0? x?l)
86
(Internal forces in beams)
二、平面曲杆 (Plane curved bars)
轴力 引起拉伸的轴力为正；
弯矩 使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正,
剪力 对所考虑的一端曲杆内一点取矩 产生顺时针转动趋势的剪力为正 ;
1、平面曲杆 (Plane curved bars)
轴线为一平面曲线的杆件,内力情况及绘制方法与平面刚架相同,
2、内力符号的确定 (Sign convention for internal force)
87
(Internal forces in beams)
F
O
R
S c o sFF?
N s i nFF?
s inM F R?
0s i n0 NFFF n
0c o s0 SFFF t
0 s in 0CM M F R?
F
t
n
C?
FN
FS
O
+ M
FR
88
(Internal forces in beams)
例 19 如图所示的半圆环半径为 R,在自由端受到载荷 F 的作用,
试绘制 FS图,M图和 FN图,
解：建立极坐标系,O为极点,OB极轴,q 表示截面 m-m的位置,
q
xO
FR
A B
( ) ( ) ( ) ( )c o s 1 c o s 0M F x F R R F Rq q q q?
( ) ( )S1 s i n 0F F Fq q q?
( ) ( )N2 c o s 0F F Fq q q?
89
(Internal forces in beams)
O
+ F
S图
A B
O
M图
2FR
O
FN图
F F
– +
xO
FR
qA B
( ) ( ) ( ) ( )c o s 1 c o s 0M F x F R R F Rq q q q?
( ) ( )S1 s i n 0F F Fq q q?
( ) ( )N2 c o s 0F F Fq q q?
2
(Internal forces in beams)
§ 4-1 基本概念及工程实例
(Basic concepts and example problems)
第四章 弯曲内力
(Internal forces in beams)
§ 4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
(Shear-force& bending-moment equations ;
shear-force & bending- moment diagrams)
§ 4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and
bending- moment in beams)
3
(Internal forces in beams)
§ 4-6 平面刚架和曲杆的内力图
(Internal diagrams for frame members
& curved bars)
§ 4-5 叠加原理作弯矩图
(Drawing bending-moment diagram by
superposition method)
§ 4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 (Relationships between load,shear
force,and bending moment)
4
(Internal forces in beams)
一,工程实例 (Example problem)
§ 4-1 基本概念及工程
(Basic concepts and example problems)
5
(Internal forces in beams)
工程实例 (Example problem)
6
(Internal forces in beams)
7
(Internal forces in beams)
二、基本概念 (Basic concepts)
2.梁 (Beam)
以弯曲变形为主的杆件外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线,
（ 1） 受力特征
（ 2） 变形特征变形前为直线的轴线,变形后成为曲线,
1.弯曲变形 (Deflection)
3.平面弯曲 (Plane bending)
作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲,
8
(Internal forces in beams)
A B
纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线
FRA
F1 F2
FRB
9
(Internal forces in beams)
（ 3） 支座的类型
4.梁的力学模型的简化 (Representing a real structure by
an idealized model)
（ 1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁 。
（ 2）载荷类型集中力 (concentrated force)
集中力偶 (concentrated moment)
分布载荷 (distributed load)
可动铰支座
(roller support) FRA
A
A
A
A
10
(Internal forces in beams)
固定铰支座 (pin support)
固定端 (clamped support or fixed end)
A
A
A
FRAy
AFRAx
FRy
FRx M
11
(Internal forces in beams)
5.静定梁的基本形式 (Basic types of statically determinate beams)
悬臂梁
(cantilever beam)
外伸梁
(overhanging beam)
简支梁
(simply supported beam)
12
(Internal forces in beams)
起重机大梁为 No.25a工字钢,如图所示,梁长 L=10m,单位长度的重量为 38.105kg/m,起吊重物的重量为 100kN,试求起重机大梁的计算简图,
q =38.105kN/m
F =100kN
13
(Internal forces in beams)
一、内力计算 (Calculating internal force)
[举例 ] 已知 如图,F,a,l.
求距 A端 x处截面上内力,
解,求支座反力
§ 4-2 梁的剪力和弯矩
(Shear- force and bending- moment in beams)
BA
a
l
F
FRAy
FRAx
FRB
A B
F
,
,
()
,
R
R
R
00
0
0
x Ax
AB
y Ay
FF
Fa
MF
l
F l a
FF
l
14
(Internal forces in beams)
求内力 —— 截面法弯曲构件内力剪力弯矩
1.弯矩 (Bending moment) M
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩,
M
FRAy
FRAx
FRB
A B
Fm
m
x
FRAy
FS
C
F
FRBFS
C
M
()
,
,
SR
R
0
0
y Ay
C Ay
F l a
F F F
l
M M F x
2,剪力 (Shear force) FS
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力,
15
(Internal forces in beams)
FS
dx
m
m
FS+
1.剪力符号
(Sign convention for shear force)
使 dx 微段有左端向上而右端向下 的相对错动时,横截面 m-m上的剪力为正,或使 dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正,
二、内力的符号规定
(Sign convention for internal force)
使 dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面 m-m上的剪力为负,或使 dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负,
dx
m
m
FS
-
16
(Internal forces in beams)
当 dx 微段的弯曲下凸 （ 即该段的下半部受拉 ）时,横截面 m-m上的弯矩为正 ；
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
m
m+
（受拉）
M M
当 dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面 m-m上的弯矩为负,
m
m
（受压）
-
17
(Internal forces in beams)
解,（ 1）求梁的支反力 FRA 和 FRB
例题 2 图示梁 的计算简图,已知 F1,F2,且 F2 > F1,尺寸 a,b,c和
l 亦均为已知,试求梁在 E,F 点处横截面处的剪力和弯矩,
0AM FRB
B
d
E
DA
a
b
c
l
C
F
F1 F2FRA
021R bFaFlF B
0BM
0)()( 21R blFalFlF A
l
blFalFF
A
)()( 21
R
l
bFaFF
B
21
R
18
(Internal forces in beams)
记 E 截面处的剪力为
FSE 和弯矩 ME,且假设
FSE 和弯矩 ME 的指向和转向均为正值,
B
d
E
DA
a
b
c
l
C
F
F1 F2FRA
A E
c
FSEFRA
ME
00 SR EAy FF,F
0,0 R cFMM AEE
解得 AE FF RS?
cFM AE R
19
(Internal forces in beams)
取右段为研究对象
A E
c
FSEFRA
ME
a-c
b-c
C D
l-c
BE
FSE
F1 F2
ME
FRB
0yF 021RS FFFF BE
0 M E 0)()()( 21R McbFcaFclF EB
解得 +
+ cFM AE R
AE FF RS?
20
(Internal forces in beams)
计算 F点横截面处的剪力 FSF和弯矩 MF.
B
d
E
DA
a
b
c
l
C
F
F1 F2FRA
F
d
B
FSF
MF
FRB
,
,
SR
R
00y F B
F F B
F F F
M M F d
解得,-
+
BF FF RS
dF BF R?
21
(Internal forces in beams)
左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力三、计算规律 (Simple method for calculating shear-
force and bending-moment)
1.剪力 (Shear force)
n
i
iFF
左（右）1
S
22
(Internal forces in beams)
不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，
而向下的外力则引起负值的弯矩,
2.弯矩 (Bending moment)
左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
m
k
ki
n
i
i MaFM
左（右）左（右） 11
23
(Internal forces in beams)
例题 3 轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN，
a = 230mm,b = 100 mm 和 c = 1000 mm,求 C,D 点处横截面上的剪力和弯矩,
F2=F
A
C
D B
b
a
c
F1=F FRA FRB
解,（ 1）求支座反力
kN60RR FFF BA
24
(Internal forces in beams)
（ 2）计算 C 横截面上的剪力 FSC和弯矩 MC
看左侧
F2=F
A
C
D B
b
a
c
F1=F FRA FRB
kN601S FF C mkN061,bFM C
（ 3）计算 D横截面上的剪力 FSD和弯矩 MD
看左侧 060601RS FFF AD
mkN8.13)( 1R FacFacFM AD
25
(Internal forces in beams)
解,
例题 4 求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩,
（ 1）求支座反力
FRA=4kN FRB=-4kN
C
1 2
M
（ 2）求 1-1截面的内力
（ 3）求 2-2截面的内力
kN4RSS 1 AC FFF 左
mkN41R1 AC FMM 左
kN4)4(RS2S BC FFF 右
mkN651)4()152(R2,.FMM BC 右
B
1m
2.5m
10kN·m
A
C1
2
FRA FRB
26
(Internal forces in beams)
§ 4-3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
(Shear- force & bending-moment equations;
shear-force&bending-moment diagrams)
FS= FS(x)
M= M(x)
一、剪力方程和弯矩方程 (Shear- force & bending-
moment equations)
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律,
分别称作剪力方程和弯矩方程,
1.剪力方程 (Shear- force equation)
2.弯矩方程 (Bending-moment equation)
27
(Internal forces in beams)
弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在 x 轴下侧二、剪力图和弯矩图
(Shear-force&bending-moment diagrams)
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在 x 轴下侧以平行于梁轴的横坐标 x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩,这种图线分别称为剪力图和弯矩图
x
FS(x)
FS 图的坐标系
O
M 图的坐标系
xO
M(x)
28
(Internal forces in beams)
例题 5 如图 所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用,试作此梁的剪力图和弯矩图,
BA
F
l
x
解,列 出 梁的 剪力方程 和弯矩方程
)0()(
)0()(S
lxFxxM
lxFxF
0S?F A 左
FF A右S
FS
x
F
x
M
29
(Internal forces in beams)
例题 6 图 示的简支梁,在全梁上受集度为 q的均布荷载用,试作此梁的剪力图和弯矩图,
解：
（ 1） 求支反力
2RR
qlFF
BA l
q
FRA FRB
A B
x
（ 2）列剪力方程和弯矩方程,
)0(
222
)(
)0(
2
)(
2
R
RS
lx
qxq l xx
qxxFxM
lxqx
ql
qxFxF
A
A
30
(Internal forces in beams)
剪力图为一倾斜直线绘出剪力图
)0(2)(S lxqxqlxF
x=0 处,
x= l 处,
2S
qlF?
2S
qlF
+
ql/2
ql/2
B
l
q
FRA
A
x
FRB
31
(Internal forces in beams)
弯矩图为一条二次抛物线
)0(222)(
2
R lx
qxq l xxqxxFxM
A
l
q
FRA
A B
x F
RB
00 Mx,
0, Mlx
令 ()d 0
d2
M x q l qx
x
得驻点 2lx?
弯矩的极值 8
2
2ma x
qlMM l
x
绘出弯矩图
+ 8
2ql
l/2
32
(Internal forces in beams)
由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上 FS= 0
两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大
l
q
FRA
A B
x
FRB
+
ql/2
ql/2
+ 8
2ql
l/2
8
2
ma x
qlM?
2ma xS
qlF?
33
(Internal forces in beams)
解,（ 1）求梁的支反力例题 7 图 示的简支梁在 C点处受集中荷载 F 作用,
试作此梁的剪力图和弯矩图,
l
F
A BC
a b
FRA FRB
l
FbF
A?R l
FaF
B?R
因为 AC段和 CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程,
将坐标原点取在梁的左端
34
(Internal forces in beams)
将坐标原点取在梁的左端
AC段
CB段
x
x
l
F
A BC
a b
FRA FRB
)2()0()(
)1()0()(S
axx
l
Fb
xM
ax
l
Fb
xF
)4()()()()(
)3()(
)(
)(S
lxaxl
l
Fa
axFx
l
Fb
xM
lxa
l
Fa
l
blF
F
l
Fb
xF
35
(Internal forces in beams)
由（ 1）,（ 3）两式可知,AC、
CB两段梁的剪力图各是一条平行于 x
轴的直线,
)1()0()(S axlFbxF
)3()()(S lxalFaxF
x
x
l
F
A BC
a b
FRA FRB
+
lFb
lFa )4()()()( lxaxll
FaxM
)2()0()( axxlFbxM
+ l
Fba由 （ 2），（ 4） 式可知,AC、
CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线,
36
(Internal forces in beams)
在集中荷载作用处的左,右两侧截面上剪力值 (图 )有突变,
突变值等于集中荷载 F,弯矩图形成尖角,该处弯矩值最大,x x
l
F
A BC
a b
FRA FRB
+ l
Fba
lFb
lFa
+
37
(Internal forces in beams)
解,求梁的支反力例题 8 图 示的简支梁在 C点处受矩为 M的集中力偶作用,
试作此梁的的剪力图和弯矩图,
RA MF lRB MF l
将坐标原点取在梁的左端,
因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程
( ) ( ) ( )S 01MF x x ll
l
A BC
a b
FRA FRBM
由 (1)式画出整个梁的剪力图是一条平行于 x 轴的直线,
+
M
l
38
(Internal forces in beams)
AC段
CB段
AC 段和 BC 段的 弯矩方程不同
x
x
l
A BC
a b
FRA FRB
M
()? MM x xl )0( ax
( ) ( )MMM x x M l xll )( lxa
AC,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线,
x = a,?
C
MaM
l左
x = 0,0?MAC段
CB段 x = a,
C MbM l右
x= l,M = 0
+
Ma
l
Mb
l
39
(Internal forces in beams)
梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值 (图 )发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值,此处剪力 图没有变化,l
A BC
a b
FRA FRBM
+
/Ml
+ Mal
Mbl
40
(Internal forces in beams)
2.以集中力、集中力偶作用处,分布荷载开始或结束处,及支座截面处为界点将梁分段,分段写出剪力方程和弯矩方程,然后绘出剪力图和弯矩图,
1.取梁的左端点为坐标原点,x 轴向右为正,剪力图向上为正 ;
弯矩图向上为正,
5.梁上的 FSmax发生在全梁或各梁段的边界截面处 ;梁上的 Mmax
发生在全梁或各梁段的边界截面,或 FS = 0 的截面处,
小 结
3.梁上集中力作用处左、右两侧横截面上,剪力（图）有突变,
突变值等于集中力的数值,在此处 弯矩图则形成一个尖角,
4.梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩（图）
有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值,但在此处剪力 图没有变化,
41
(Internal forces in beams)
例题 9 一 简支梁受移动荷载 F 的作用如 图 所示,试求梁的最大弯矩为极大时荷载 F 的位置,
A B
F
l
x
解,先设 F 在距左支座 A 为 x 的任意位置,求此情况下梁的最大 弯矩为极大,
荷载在任意位置时，支反力为
l
xlFF
A
)(
R
l
FxF
B?R
当荷载 F 在距左支座为 x 的任意位置 C 时，梁的 弯矩为
xl xlFxFM AC )(R
令 0dd?xM C 0)2( xllF 2lx?
42
(Internal forces in beams)
此结果说明，当移动荷载 F 在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大,
得最大弯矩值代入式将 2lx?
xl xlFxFM AC )(R
FlM 41ma x?
43
(Internal forces in beams)
设梁上作用有任意分布荷载其集度
§ 4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
(Relationships between load,shear force,and
bending moment)
一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系
(Differential relationships between load,shear force,and
bending moment)
q = q (x)
规定 q (x)向上为正,
将 x 轴的坐标原点取在梁的左端,
x
y
q(x)
F M
44
(Internal forces in beams)
x
y
q(x)
F M
FS(x)
M(x)
FS(x)+dFS(x)
M(x)+dM(x)
假想地用坐标为 x 和 x+dx的两横截面 m-m和 n-n从梁中取出
dx 微段,
m
m
n
n
q(x)
C
x+dx 截面处 则分别为
FS(x)+dFS(x),M(x)+dM(x),
由于 dx很小，略去 q(x)
沿 dx的变化,
m-m截面上内力为 FS(x),M(x)
n
x
m
m
n
dx
45
(Internal forces in beams)
0
2
d
)d(d )()(] )(d)([
0
S
x
xxqxxFxMxMxM
M C
FS(x)
M(x)
FS(x)+dFS(x)
M(x)+dM(x)
m
m
n
n
q(x)
C
写出微段梁的平衡方程
0d)()](d)([)( 0 SSS xxqxFxFxFF x
得到 )(d )(d S xqx xF?
略去二阶无穷小量即得
)(d )(d S xFx xM?
46
(Internal forces in beams)
公式的几何意义
（ 1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小 ;
（ 2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小 ;
)(d )(d S xqx xF?
)(d )(d S xFx xM?
)(d )(d 2
2
xqx xM?
（ 3）根据 q(x)＞ 0或 q(x) ＜ 0来判断弯矩图的凹凸性,
47
(Internal forces in beams)
M(x)图为一向 上 凸的二次抛物线,
FS(x)图为一向右下方倾斜的直线,
x
FS(x)
O
二,q(x),FS(x)图,M（ x）图三者间的关系
(Relationships between load,shear force,and bending
moment diagrams)
1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x) < 0
M(x)
)(d )(d S xqx xF?
)(d )(d S xFx xM?
)(d )(d 2
2
xqx xM?
48
(Internal forces in beams)
2.梁上无荷载区段,q(x) = 0
剪力图为一条水平直线,
弯矩图为一斜直线,
x
FS(x)
O
当 FS(x) > 0 时,向右上方倾斜,
当 FS(x) < 0 时,向右下方倾斜,
xO
M(x)
)(d )(d S xqx xF?
)(d )(d S xFx xM?
)(d )(d 2
2
xqx xM?
O
M(x)
x
49
(Internal forces in beams)
5,最大剪力可能发生在 集中力所在截面 的一侧 ;或分布载荷发生变化的区段上,
梁上最大弯矩 Mmax可能发生在 FS(x) =
0 的截面上 ; 或发生在集中力所在的截面上 ;或集中力偶作用处 的一侧,
3,在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值,弯矩图有转折,
4,在集中力偶作用处弯矩图有突变,其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化,
)(d )(d S xqx xF?
)(d )(d S xFx xM?
)(d )(d 2
2
xqx xM?
50
(Internal forces in beams)
无荷载 集中力
F
C
集中力偶
M
C
向下倾斜的直线上凸的二次抛物线在 FS=0的截面水平直线一般斜直线或在 C处有转折在剪力突变的截面在紧靠 C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征
Mmax所在截面的可能位置表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
q<0
向下的均布荷载在 C处有突变在 C处有突变
M
在 C处无变化
C
51
(Internal forces in beams)
三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系
(Integral relationships between load,shear force,
and bending moment)
若在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面无集中力则
)(d )(d S xqx xF?
( ) ( )22
11
Sdd
xxF x q x x
( ) ( ) ( ) 2
1
S 2 S 1 d
x
xF x F x q x x
( ) ( ) ( ) 2
1
S 2 S 1 d
x
xF x F x q x x
52
(Internal forces in beams)
等号右边积分的几何意义是 x1,x2两横截面间分布荷载图的面积,
)(d )(d S xFx xM?
若横截面 x= x1,x=x2 间无集中力偶作用则得
()( ) ( ) 2
1 S21
dxx F x xM x M x
式中 M(x1),M(x2)分别为在 x=x1 和 x= x2处两个横截面上的弯矩,
等号右边积分的几何意义是 x1,x2两个横截面间剪力图的面积,
( ) ( ) ( ) 2
1
S 2 S 1 d
x
xF x F x q x x
式中,分别为在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面 上的剪力,
)()( 2S1S xFxF
53
(Internal forces in beams)
例题 10 一简支梁受两个力 F作用,如图所示,已知 F= 25.3kN,有关尺寸如图所示,试用本节所述关系作剪力图和弯矩图,
解：（ 1）求梁的支反力
k Ν623R,F A? kN27R?BF
将梁分为 AC,CD,DB 三段,
每一段均属无载荷区段,
BA C D
200 115
1265
F FFRA FRB
2 31
（ 2）剪力图每段梁的剪力图均为水平直线
AC段 kN6.23RS AA FF 右
54
(Internal forces in beams)
23.6
1.7
27
+
B
FRB
A C D
200 115
1265
F FFRA
2 31DB段 kN27
RS BD FF 右
kN0S?右BF
最大剪力发生在 DB段中的任一横截面上
kN27S ma x?F
CD段 kN7.1RS FFF AC 右
55
(Internal forces in beams)
+
BA C D
200 115
1265
F FFRA FRB
2 31
mkN11.311 5.0R BD FM
0?M B
最大弯矩发生在 C 截面
mkN72.4m a xM
mkN72.42.0R AC FM
0?M A
（ 3）弯矩图每段梁的弯矩图均为斜直线,
且梁上无集中力偶,
56
(Internal forces in beams)
（ 4）对图形进行校核在集中力作用的 C,D两点剪力图发生突变,突变值 F=25.3kN.而弯矩图有尖角,
在 AC段剪力为正值，弯矩图为向上倾斜的直线,
BA C D
200 115
1265
F FFRA FRB
2 31
+
23.6
1.7
27
+
在 CD和 DB段，剪力为负值，
弯矩图为向下倾斜的直线,
最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C截面处,说明剪力图和弯矩图是正确的,
57
(Internal forces in beams)
例题 11 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m,如图 所示,试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图,
解：
（ 1） 计算梁的支反力
FRA FRB
E
q
A B
C D
0.2 1.6
1
2
kN806.110 05.0RR BA FF
将梁分为 AC,CD,DB 三段,
AC和 DB上无荷载,CD段有向下的均布荷载,
58
(Internal forces in beams)
（ 2）剪力图
+
80kN
80kN
AC段 水平直线
kN80RS AA FF 右
CD段 向右下方的斜直线
kN80RS AC FF
kN80RS BD FF
DB段 水平直线
kN80RS －－左 BB FF
kN0S?右BF
最大剪力发生在 AC 和 DB 段的任一横截面上,
kN80m a xS?F
FRA FRB
E
q
A B
C D
0.2 1.6
1
2
59
(Internal forces in beams)
例题 12 作梁的内力图,
解,（ 1）支座反力为
3m4m
A BC D E
4m 4m
FRA FRB
F1=2kN
q=1kN/m
M=10kN·m F2=2kN
kN7R?AF
kN5R?BF
将梁分为 AC,CD、
DB,BE 四段,
（ 2）剪力图
AC段 向下斜的直线 (?)
kN7RS AA FF 右 kN34RS qFF AC 左
CD段 向下斜的直线 (? )
kN14 1RS FqFF AC 右 kN3R2S BD FFF
60
(Internal forces in beams)
DB段 水平直线 (-)
EB段 水平直线 (-)
3m4m
A BC D E
4m 4m
FRA FRB
F1=2kN
q=1kN/m
M=10kN·m F2=2kN
kN3R2S BFFF
kN22S FF B 右
AC段 向下斜的直线 (?)
kN7S?右AF
kN3S?左CF
CD段 向下斜的直线 (? )
kN1S?右CF
kN3SDF
F点剪力为零,令其距 A截面的距离为 x
01RS FqxFF Ax
7kN
1kN+ +
3kN
3kN
2kN
x=5m
x = 5m
61
(Internal forces in beams)
（ 3）弯矩图
CD段
AC段 0?M A
2 R7 1 64D B MFMF左 5.20
m a x MM F
DB段
647 R2 BD FFM 右
63 2 FM B
BE段 0?M E
20
16
6
6
+
20.5
3m4m
A BC D E
4m 4m
FRA FRB
F1=2kN
q=1kN/m
M=10kN·m F2=2kN
20424 2R qFM AC
62
(Internal forces in beams)
3m4m
A BC D E
4m 4m
FRA FRBF1=2kN
q=1kN/m
M=10kN·m F2=2kN
7kN
1kN+ +
3kN
3kN
2kN
x=5m
20
16
6
6
+
20.5
（ 4）校核
63
(Internal forces in beams)
解,支座反力为
FRA = 81 kN
FRB = 29 kN
MA = 96.5 kN·m
例题 13 用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图,
1 0.5 1 13
F=50kN
M=5kN·m
A E C D K B
FRA FRB
MA q=20kN/m
将梁分为 AE,EC,CD,DK,KB 五段。
64
(Internal forces in beams)
(1) 剪力图
AE段 水平直线
FSA右 = FSE左 = FRA = 81kN
ED 段 水平直线
DK 段 向右下方倾斜的直线
FSK= -FRB = - 29kN
FSE右 = FRA - F = 31kN
KB 段 水平直线
FSB左 = - FRB = - 29 kN
81kN
31kN
29kN
+
1 0.5 1 13
F=50kN
M=5kN·m
A E C D K B
FRA FRB
MA q=20kN/m
65
(Internal forces in beams)
设距 K截面为 x 的截面上剪力 FS = 0.即
0RS qxFF Bx
m45.1R qFx B x=1.45
81kN
31kN
29kN
+
1 0.5 1 13
F=50kN
M=5kN·m
A E C D K B
FRA FRB
MA q=20kN/m
66
(Internal forces in beams)
（ 2） 弯矩图
AE,EC,CD 梁段均为向上倾斜的直线
k N mAAMM右 96.5
mkN5.15181 MM AE
05.031 MM EC
mkN31131 MM CD
96.5
15.5
31
1 0.5 1 13
F=50kN
M=5kN·m
A E C D K B
FRA FRB
MA q=20kN/m
67
(Internal forces in beams)
KB 段 向下倾斜的直线
DK段 向上凸的二次抛物线
R 1K BFMM
mkN345129
在 FS= 0 的截面上弯矩有极值
.m a x R 2 4 5BM F M
mkN5545.12 2q
5 k N mB MM 左
0?M B 右 96.5
31
15.5
x
+
55
34
5
1 0.5 1 13
F=50kN
M=5kN·m
A E C D K B
FRA FRB
MA q=20kN/m
68
(Internal forces in beams)
中间铰链传递剪力
(铰链左,右两侧的剪力相等 )；但不传递弯矩 (铰链处弯矩必为零 ).
+
+
1 0.5 1 13
F=50kN
M=5kN·m
A E C D K B
FRA FRB
MA q=20kN/m
69
(Internal forces in beams)
例题 14 已知简支梁的剪力图,
作梁的弯矩图和荷载图,已知梁上没有集中力偶作用,
a b c d
18kN
2kN
14
kN
3m 3m 6m
+
解,(1)画荷载图
AB 段 没有荷载，在 B处有集中力所以 F=20kN 方向向下
()?SddF qxx
kN18S?F B 左
kN2SF B 右
CA B D
F=20kN
70
(Internal forces in beams)
BC 段 无荷载
CD 段 有均布荷载 q (? )
()?SddF qxx
()SS d6dDC c q x x qFF
k N / m26 )2()14(q
a b c d
18kN
2kN
14
kN
3m 3m 6m
+
q=2kN
CA B D
F=20kN
71
(Internal forces in beams)
(2)弯矩图
AB段 向右上倾斜的直线
)(d )(d S xFx xM?
() S dbBA aM M F x x
mkN543180
BC段 向右下倾斜的直线,
a b c d
18kN
2kN
14
kN
3m 3m 6m
+
cb SBC xxFMM d)(( )5 4 2 3 4 8 k N m
CD段 向上凸的二次抛物线,该段内弯矩没有极值,0?M d
48
da b
54
c
+
72
(Internal forces in beams)
例题 15 已知简支梁的弯矩图,作出梁的剪力图和荷载图,
AB段 因为 M(x) = 常量,剪力图为水平直线,且 FS(x) = 0,
40kN·m
a b c d
2m 2m 2m
+
解,(1) 作剪力图 )(d )(d S xFx xM?
BC段 FS(x) = 常量,剪力图为水平直线
() SSd2cCB b F x x FMM
S 0 4 0 2 0 k N22CBMMF
CD段 剪力图为水平直线 且 FS(x) = 0
a b c d
20kN
73
(Internal forces in beams)
AB段 无荷载
Me= 40kN·m ( )
Me
在 A处有集中力偶
(2)作荷载图 )(dd xqxF S?
0?M A 左 mkN40右AM
40KN·m
a b c d
2m 2m 2m
+
a b c d
20kN
B CA D
F = 20kN (?)
B 处有集中力,
集中力
0S?F B 左
kN20S －F B?右
BC段 无荷载 C处有集中力
kN20S －F B?左 0S?F B 右集中力 F = 20kN (? )
CD段 无荷载 F
F
74
(Internal forces in beams)
§ 4-5 按叠加原理作弯矩图
(Drawing bending-moment diagram by
superposition method)
一、叠加原理 (Superposition principle)
多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和,
二、适用条件 (Application condition)
所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系,
即在弹性限度内满足胡克定律,
)()()(),,,( Sn21S11S21S nn FFFFFFFFFF
(,,,) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 nnnM F F F M F M F M F
75
(Internal forces in beams)
三、步骤 (Procedure)
（ 1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图 ;
（ 2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）
例 16 悬 臂梁受集中 荷载 F 和均布荷载 q 共同作用,试按叠加原理作此梁的弯矩图
x
F=ql/3
q
l
76
(Internal forces in beams)
x
F=ql/3
q
l
解,悬 臂梁受集中 荷载 F 和均布荷载 q 共同作用，
在距左端为 x 的任一横截面上的弯矩为
2)(
2qx
FxxM
F
x
q
x
F 单独作用 FxxM F?)(
q单独作用 2)(
2qx
xM q
F,q 作用该截面上的弯矩等于 F,q 单独作用该截面上的弯矩的代数和
2)(
2qx
FxxM
77
(Internal forces in beams)
F
x
F q
x
l
q
x
+
FxxM F?)(
Fl
2)(
2qx
xM q
22ql
+
-
62ql
2l/3
l/3
62ql
812ql
78
(Internal forces in beams)
例题 17 图示一外伸梁,a = 425mm,
F1,F2,F3 分别为 685 kN,575 kN,506
kN.试按叠加原理作此梁的弯矩图,求梁的最大弯矩,
BC
F2 F3
a
D E
F1
A
a a a
解：将梁上荷载分开
F1
291
a c ebd
F2
e
122
+
a c bd
215
a c ebd
F3
a a a a
79
(Internal forces in beams)
291
a c ebd
mkN1312152112229121 )()(M C
BC
F2 F
3
a
D E
F1
A
a a a 122
+
a c ebd
215
a c ebd291
215
131
a c ebd
80
(Internal forces in beams)
1.平面刚架的内力 (Internal forces for plane frame members)
剪力 (shear force );弯矩 (bending moment);轴力 (axial force).
A B
C
平面刚架是由在同一平面内,不同取向的杆件,通过杆端相互刚性连结而组成的结构,
一、平面刚架的内力图 (Internal diagrams for plane
frame members)
§ 4-6 平面刚架和曲杆的内力图（ Internal diagrams for plane frame
members & a curved bars)
81
(Internal forces in beams)
弯矩图 (bending moment diagram)
画在各杆的受压側,不注明正、负号,
剪力图及轴力图 (shear force and axial force diagrams)
可画在刚架轴线的任一側 (通常正值画在 刚架的外側 ),
注明正,负号,
2、内力图符号的规定 (Sign convention for internal force
diagrams)
82
(Internal forces in beams)
例题 18 图示为下端固定的刚架,在其轴线平面内受集中力
F1 和 F2 作用，作此刚架的弯矩图和轴力图,
a F1
F2
A
B C解：将刚架分为 CB,AB 两段
CB 段
FN (x) = 0
M(x) = F1x (0? x? a)
FS(x) = F1 (+) (0<x < a)
M(x)
FN(x)FS(x)
C
x
F1
x
83
(Internal forces in beams)
a F1
F2
A
B C
FS(x)
CB
a F1
F2
FN(x)
M(x)
x
BA 段 F
N(x) = F1 （ — ） ( 0? x?l )
M(x) = F1a+F2 x ( 0? x?l )
FS(x) = F2 (+) ( 0< x <l )
84
(Internal forces in beams)
CB段 FN(x)=0
BA段 FN(x) = F1（ — ）
FN图
F1
|
C
a F1F
2
A
B
CB段
BA段 FS(x) = F2 (+)
FS(x) = F1 (+)
FS图
F1 +
F2
+
85
(Internal forces in beams)
C
a F1F
2
A
B
M图
F1a
F1a+F2l
CB段 M(x)= F1x (0? x? a)
BA段 M(x) = F1a+F2 x (0? x?l)
86
(Internal forces in beams)
二、平面曲杆 (Plane curved bars)
轴力 引起拉伸的轴力为正；
弯矩 使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正,
剪力 对所考虑的一端曲杆内一点取矩 产生顺时针转动趋势的剪力为正 ;
1、平面曲杆 (Plane curved bars)
轴线为一平面曲线的杆件,内力情况及绘制方法与平面刚架相同,
2、内力符号的确定 (Sign convention for internal force)
87
(Internal forces in beams)
F
O
R
S c o sFF?
N s i nFF?
s inM F R?
0s i n0 NFFF n
0c o s0 SFFF t
0 s in 0CM M F R?
F
t
n
C?
FN
FS
O
+ M
FR
88
(Internal forces in beams)
例 19 如图所示的半圆环半径为 R,在自由端受到载荷 F 的作用,
试绘制 FS图,M图和 FN图,
解：建立极坐标系,O为极点,OB极轴,q 表示截面 m-m的位置,
q
xO
FR
A B
( ) ( ) ( ) ( )c o s 1 c o s 0M F x F R R F Rq q q q?
( ) ( )S1 s i n 0F F Fq q q?
( ) ( )N2 c o s 0F F Fq q q?
89
(Internal forces in beams)
O
+ F
S图
A B
O
M图
2FR
O
FN图
F F
– +
xO
FR
qA B
( ) ( ) ( ) ( )c o s 1 c o s 0M F x F R R F Rq q q q?
( ) ( )S1 s i n 0F F Fq q q?
( ) ( )N2 c o s 0F F Fq q q?
