Chapter13 Energy Method
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(Energy Method)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§ 13-1 概述 （ Introduction)
§ 13-2 杆件变形能的计算 ( Calculation of
strain energy for various types of loading )
§ 13-3 互等定理 （ Reciprocal theorems)
§ 13-4 单位荷载法? 莫尔定理 (Unit-load
method & mohr’s theorem)
§ 13-5 卡氏定理 (Castigliano’s Theorem)
§ 13-6 计算莫尔积分的图乘法 (The meth-
od of moment areas for mohr’s integration)
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§ 13-1 概述 （ Introduction）
在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能,简称变形能,
一、能量方法 （ Energy methods )
三、变形能 （ Strain energy）
二、外力功 （ Work of the external force）
固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,
外力因此而做功,则成为外力功,
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法,
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可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功,对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能,
Vε = W
四、功能原理 （ Work-energy principle）
The formula:
（ Work-Energy Principle）
We will not consider other forms of energy such as thermal
energy,chemical energy,and electromagnetic energy,Therefore,if
the stresses in a body do not exceed the elastic limit,all of work
done on a body by external forces is stored in the body as elastic
strain energy.
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§ 13-2 杆件变形能的计算
( Calculation of strain energy for various
types of loading )
一、杆件变形能的计算 （ Calculation of strain energy for
various types of loading）
1.轴向拉压的变形能 （ Strain energy for axial loads)
此外力功的增量为：
)d( Δd 11 lFW? EA lFl 11 d)d( Δ?
当拉力为 F1 时,杆件的伸长为?l1
当再增加一个 dF1时,相应的变形增量为 d(Δl1)
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(Energy Method)
F
F
l
l
F
lO
l
l1 d?l1
dF1
F1
积分得,lFEA lFFEA lFWW F Δ22dd
2
10 1
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(Energy Method)
根据功能原理当轴力或截面发生变化时,
Vε= W,可得以下变形能表达式
lFlFWV Δ21Δ21 Nε
EA
lF
EA
Fll NΔ
EA
lF
EA
lFV
22
2
N
2
ε
n
i ii
ii
AE
lFV
1
2
N
ε 2
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(Energy Method)
（单位 J/m3)
比能 （ strain energy density）,
单位体积的应变能,记作 u
当轴力或截面连续变化时,
l
xEA
xxFV
0
2
N
ε )(2
)d(
ζε
Al
lF
V
U
2
1Δ2
1
εu
Eεζ?
222
1 22
ε
E ε
E
ζζεu
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2.扭转杆内的变形能 （ Strain energy for torsional loads）
或
l
p
2
p
2
e
p
e
eeε 222
1Δ
2
1
GI
lT
GI
lM
GI
lMMMWV
l xxGI xTV d)(2 )(
p
2
ε?
n
i ii
ii
IG
lTV
1 p
2
ε 2
Me
M e
Me
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纯弯曲 （ pure bending )
横力弯曲 （ nonuniform bending ）
3.弯曲变形的变形能
（ Strain energy for flexural loads） θ
Me
EI
lM
EI
lMMθMWV
22
1
2
1 2 e
eeε
xxEI xMV
l
d)(2 )(
2
e
ε
Me Me
Me
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4.组合变形的变形能 （ Strain energy for combined loads)
截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,
力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功,
xxEI xMxxGI xTxxEA xFV
lll
d)(2 )(d)(2 )(d)(2 )(
2
p
22
N
ε
5.纯剪切应力状态下的比能
（ Strain energy density for pure shearing state of stresses）
假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动?dx.
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(Energy Method)
dx
x
y
z
a
b
d
因为很小,所以在变形过程中,上下两面上的外力将不作功,只有右侧面的外力（?dydz） 对相应的位移?
dx 作了功,
dx
当材料在线弹性范围内内工作时,
上述力与位移成正比,因此,单元体上外力所作的功为
)dd(d21)d)(dd(21d zyxηγxγzyηW
比能为 ηγzyx
W
V
W
V
V
2
1
ddd
d
d
d
d
d ε
εu
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将? = G? 代如上式得
dx
x
y
z
a
b
d
dx
ηγ21ε?u
Gγ
G
22
2
2
ε
u
等直圆杆扭转时应变能的计算
l AV xAVV ddd εεε uu
Gγ
G
22
2
2
ε
u
共 1页 14共 页
(Energy Method)
p
2
22
p
2
p
2
ε
2
d)(
2
dd
2
)(
dd
2
GI
lT
Aρ
I
T
G
l
xA
G
ρ
I
T
xA
G
η
V
A
l Al A
p
2
e
ε 2 GI
lMV?
将
p
e
p GI
lM
GI
Tl
代入上式得 ε 2 e
MV
共 1页 15共 页
(Energy Method)
二、变形能的普遍表达式
（ General formula for strain energy）
F--广义力 (包括力和力偶 )
δ--广义位移
(包括线位移和角位移 )
1?2
3
B'
C'
F δV 21ε?
F3
B C
F2
A
F1
假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值,
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(Energy Method)
对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，
任一广义位移,例如?2可表示为
)(
2
3
32
2
1
12
3322112
F
F
CC
F
F
CF
FCFCFCδ
F3
A
B C
F1
F2
1?2
3
B'
C1F1,C2F2,C3F3 分别表示力 F1,F2,
F3 在 C 点引起的竖向位移,
C1,C2,C3 是比例常数,
F3/F2在比例加载时 也是常数F1/F2和
2 与 F2 之间的关系是线性的,
同理,?1 与 F1,?3 与 F3 之间的关系也是线性的,
共 1页 17共 页
(Energy Method)
在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功
i
Fi
F3
A
B C
F1
F2
1?2
3
B'
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）
)(21 332211ε δFδFδFV
Fi
i
共 1页 18共 页
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三、变形能的应用 （ Application of strain energy）
1.计算变形能 （ Calculating strain energy）
2.利用功能原理计算变形
（ Work-energy principle for calculating deflection）
例题 1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端 B的挠度,
A B
F
l
x
解,xFxM)(
EI
lFx
EI
Fxx
EI
xMV l
l 6d2
)(d
2
)( 32
0
22
ε
BwFW 2
1
由 Vε=W 得
EI
Flw
B 3
3
共 1页 19共 页
(Energy Method)
例题 2 试求图示梁的变形能,并利用功能原理求 C截面的挠度,
A B
C
F
x1 x2
a b
l
解：
EI l
baFb
EI l
aFa
EI l
bF
x
EI
x
l
Fa
x
EI
x
l
Fb
x
EI
xM
V
ba
l
63232
d
2
)(
d
2
)(
d
2
)(
2223
2
223
2
22
2
0
2
2
1
0
2
1
2
ε
CwFW 2
1
EI l
bFaw
C 3
22
由 Vε=W 得共 1页 20共 页
(Energy Method)
EI
RF
R
EI
FR
R
EI
M
V
l
8
π
d
2
)s i n(
d
2
)(
32
2
π
0
2
2
ε
例题 3 试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求 B
截面的垂直位移,已知 EI为常量,
解, s i n)( FRM?
yFW 2
1
EI
FR
y 4
π 3
A
B
F
O
R θ
由 Vε=W 得共 1页 21共 页
(Energy Method)
例题 4 拉杆在线弹性范围内工作,抗拉刚度 EI,受到 F1和 F2
两个力作用,
(1) 若先在 B 截面加 F1,
然后在 C 截面加 F2;
(2) 若先在 C 截面加 F2,
然后在 B 截面加 F1.
分别计算两种加力方法拉杆的应变能,
A
B
C
a
b
F1
F2
共 1页 22共 页
(Energy Method)
（ 1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
A
B
C
a
b
F1
（ a）在 B 截面加 F1,B截面的位移为外力作功为
（ b）再在 C上加 F2 F
2
C截面的 位移为
F2 作功为
11B FaEA?
EA
aFδFW
B 22
1 21
111
() 22
2 2 2
1
22C
F a bWF
EA?
() 2
2C
F a b
EA?
共 1页 23共 页
(Energy Method)
（ c）在加 F2 后,B截面又有位移在加 F2 过程中 F1 作功（常力作功）
所以应变能为
A
B
C
a
b
F1
F2
22B FaEA?
123 1 2B F F aWF EA?
()
ε 1 1 2 2 1 2
22
1 2 1 2
11
22
22
B C B
V W F F F
F a F a b F F a
EA EA EA
共 1页 24共 页
(Energy Method)
（ 2）若先在 C截面加 F2,然后 B截面加 F1.
（ a）在 C截面加 F2 后,F2 作功
（ b） 在 B截面加 F1后,F1作功
A
B
C
a
b
F1
F2
EA
baF
2
)(22?
EA
aF
2
2
1
共 1页 25共 页
(Energy Method)
（ c） 加 F1引起 C 截面的位移在加 F1过程中 F2作功（常力作功） A
B
C
a
b
F1
F2
EA
aF1
EA
aFF 21
所以应变能为注意：
（ 1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别,
（ 2）应变能 Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关,
()
ε 1 1 2 2 1 2
22
1 2 1 2
11
22
22
B C B
V W F F F
F a F a b F F a
EA EA EA
共 1页 26共 页
(Energy Method)
2
解,梁中点的挠度为,
梁右端的转角为,
Me
23
e
1 4 8 1 6
MlFl
E I E I?
2
e
2 1 6 3
MlFlθ
E I E I?
A C B
F
l/2 l/2
梁的变形能为,
()
2223
ee
ε 1 e 2
1 1 1
2 2 9 6 6 1 6
M l M F lFlV F M
EI
1
例题 5 以弯曲变形为例证明应变能 Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关,
共 1页 27共 页
(Energy Method)
先加力 F 后,再加力偶 Me
（ 1）先加力 F后,C点的位移力 F 所作的功为
3
1 48
Fl
EI?
3
1
11
2 2 4 8
FlW F F
EI?
（ 2）力偶由零增至最后值 Me
B 截面的转角为 EIlMθ 3 e?
力偶 Me 所作的功为 EI lMMθMW 32121 eee2
A C B
F
l/2 l/2
A C B
F
l/2 l/2
Me
1
共 1页 28共 页
(Energy Method)
先加上的力 F所作的功为
C截面的位移为
3
2
e
3 16
Ml
EI?
2
e
33 16
MlW F F
EI?
A C B
l/2 l/2
F与 力偶 Me所作的功为
EI
lM
M
EI
lM
F
EI
Fl
FV
32
1
16482
1
e
e
2
e
3
ε
A C B
F
l/2 l/2
1
Me
共 1页 29共 页
(Energy Method)
两力作用点沿力作用方向的位移分别为
F1,F2
（ 1）设在线弹性结构上作用力
1,?2
一、功的互等定理 （ Reciprocal work theorem ）
§ 13-3 互等定理 （ Reciprocal Theorems )
1
2
F1
F2
共 1页 30共 页
(Energy Method)
F1
F2
1
2
F1 和 F2 完成的功应为
（ 2）在结构上再作用有力
F3,F4
沿 F3和 F4方向的相应位移为
3,?4
F3
3
4
F4
F3 和 F4 完成的功应为
1 1 2 21122FF
3 3 4 41122FF
共 1页 31共 页
(Energy Method)
（ 3）在 F3和 F4的作用下,F1 和 F2 的作用点又有位移
F1 和 F2 在?1′和?2′上完成的功应为
F1
F2
1
2
F3
3?
4
2
1
'' δFδF 2211?
因此,按先加 F1,F2 后 F3,F4
的次序加力,结构的应变能为
'' δFδFδFδFδFδFV
2211443322111ε 2
1
2
1
2
1
2
1
1′和?2′
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(Energy Method)
F1
F2
1
2
3?
4
F3
若按先加 F3,F4 后加 F1,F2 的次序加力,又可求得结构的应变能为
'' δFδFδFδFδFδFV
4433443322112ε 2
1
2
1
2
1
2
1
由于应变能只决定于力和位移的最终值,与加力的次序无关,故
2ε1ε VV?
'''' δFδFδFδF 44332211
'4?
'3?
共 1页 33共 页
(Energy Method)
功的互等定理 （ reciprocal work theorem）,第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功,
二、位移互等定理 （ Reciprocal displacement theorem)
若第一组力 F1,第二组力只有 F3,则如果 F1= F3,则有
'' δFδF 3311?
'' δδ 31?
共 1页 34共 页
(Energy Method)
位移互等定理 （ reciprocal work theorem）,
F1作用点沿 F1 方向因作用 F3而引起的位移等于 F3 作用点沿
F3 方向因作用 F1而引起的位移,（ The deflection at A due to a
load acting at B is equal to the deflection at B due to the same load
acting at A )
三、注意 （ Notice）
（ 1）力和位移都应理解为广义的,
（ 2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变形引起的位移,
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(Energy Method)
§ 13-4 单位荷载法? 莫尔定理
（ Unit-load method & mohr’s theorem）
一、莫尔定理的推导 （ Derivation of mohr’s theorem）
求任意点 A的位移 wA
F1 F2
A
共 1页 36共 页
(Energy Method)
A
图 b
变形能为
l xEI xMV d2 )(
2
ε
l xEI xMV d2 )(
2
ε
AwVVV 1εε1ε
a
A
图
F1 F2
=1F0
A
F1 F2
图 c
wA
F0=1
（ 1）先在 A点作用单位力 F0,再作用 F1,F2力共 1页 37共 页
(Energy Method)
（ 2）三个力同时作用时任意截面的弯矩,
变形能,
)()( xMxM?
l xEI xMxMV d2 )]()([
2
ε2
ε1ε2 VV
lA xEI
xMxMwVV d
2
)]()([1 2
εε
lll
l
A
x
EI
xMxM
x
EI
xM
x
EI
xM
x
EI
xMxM
wVV
d
)()(
d
2
)(
d
2
)(
d
2
)]()([
1
22
2
εε
共 1页 38共 页
(Energy Method)
（ Mohr’s Theorem）
lA xEI
xMxMw d)()(
l xEI xMxM d)()( l xEI xMxMΔ d)()(
桁架,?
n
i
iii
EA
lFFΔ
1
NN
二、普遍形式的莫尔定理
（ General formula for mohr’s theorem）
lll xEI xMxMxGI xTxTxEA xFxFΔ d)()(d)()(d)()(
p
NN
注意,上式中 Δ应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力,
共 1页 39共 页
(Energy Method)
三、使用莫尔定理的注意事项
（ 5）莫尔积分必须遍及整个结构,
（ 1） M（ x）：结构在原载荷下的内力 ;
（ 3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲 ;
（ 2） —— 去掉主动力,在所求 广义位移点,沿所求 广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力 ;
M
（ 4） 与 M（ x）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立 ;
M（ x）
共 1页 40共 页
(Energy Method)
A
例题 5 抗弯刚度为 EI的等截面简支梁受均布荷载作用,用单位载荷法求梁中点的挠度 wC 和支座 A截面的转角,剪力对弯曲的影响不计,
q
B
C
l
l/2
ql/2 ql/2
解,在实际荷载作用下,任一 x 截面的弯矩为
22)(
2qx
xqlxM )(0 lx
共 1页 41共 页
(Energy Method)
A A B
11/2 1/2
C
（ 1）求 C截面的挠度在 C点加一向下的单位力,
任一 x 截面的弯矩为
x
xxM 21)(? )2(0 lx
q
B
C
l
l/2
ql/2 ql/2
)(
384
5
)d
22
(
2
2
)d(
)(
4
2
2
0
EI
ql
x
qx
x
ql
EI
x
EI
xxM
xMw
l/
l
C
共 1页 42共 页
(Energy Method)
ql/2
A A
B
1
1/l 1/l
x
（ 2）求 A截面的转角在 A 截面加一单位力偶引起的 x 截面的弯矩为 11)( xlxM )(0 lx
q
C
l
l/2
EI
ql
x
qx
x
ql
l
x
EIEI
xxM
xM
l
l
A
24
)d
22
1 ) ((
1)d(
)(
3
2
0
（顺时针）
ql/2
共 1页 43共 页
(Energy Method)
B
例题 6 图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI,用单位载荷法求 C点的挠度和转角,
A C
q
F=qa
a2a
共 1页 44共 页
(Energy Method)
BA A B C
a2a
1
解：
x
AB:
（ 1）求截面的挠度（在 C处加一单位力,1”）
C
q
F=qa
a2aFRA
x
1/2
2R
qaF
A?
22)(
2qx
xqaxM 2)( xxM
共 1页 45共 页
(Energy Method)
BC,xqaxM)( xxM)(
)(
3
2
])d)(()d
2
)(
22
([
1
4
0
2
0
2
EI
qa
xxqaxx
xqx
x
qa
EI
w
aa
C
BA A B C
a2a
C
q F=qa
a2aFRA 1/2
x x
1
共 1页 46共 页
(Energy Method)
BA
BC:
AB:
（ 2）求 C截面的转角（在 C处加一单位力偶）
1
x x
A B C
a2a
x
C
q F=qa
a2a
x
1/2a
22)(
2qx
xqaxM axxM 2)(?
xqaxM)( 1)(?xM
EI
qa
xqaxx
a
xqx
x
qa
EI
aa
C
6
5
]) ( 1 ) d()d
2
)(
22
([
1
3
0
2
0
2
（ ）
FRA
共 1页 47共 页
(Energy Method)
例题 7 刚架的自由端 A作用集中力 F.刚架各段的抗弯刚度已于图中标出,不计剪力和轴力对位移的影响,计算 A点的垂直位移及 B
截面的转角,
a
AB
C
F
l
EI1
EI2
解,（ 1）计算 A点的垂直位移,在 A点加垂直向下的单位力
B
C
l
EI1
EI2
a
1
共 1页 48共 页
(Energy Method)
AB:
BC:
a
AB
C
F
l
EI1
EI2
x
x
FxxM)(
FaxM)(
xxM)(
axM)(
AB
C
1
l
EI1
EI2
x
x
a
)(
3
)d()(
1
)d()(
1
d
)()(
d
)()(
2
2
1
3
0
2
0
1
0
2
0
1
EI
lFa
EI
Fa
xaFa
EI
xxFx
EI
x
EI
xMxM
x
EI
xMxM
δ
l
a
la
y
共 1页 49共 页
(Energy Method)
（ 2）计算 B截面的转角,在 B上加一个单位力偶矩
AB:
BC:
0)(?xM
1)(?xM
FxxM)(
FaxM)(
AB
C
F
l
EI1
EI2
x
x
a
AB
C
l
EI1
EI2
x
x
a
2
0
2
0
1
0
2
0
1
( 1 ) d)(
1
( 0 ) d)(
1
d
)()(
d
)()(
EI
Fa l
xFa
EI
xFx
EI
x
EI
xMxM
x
EI
xMxM
θ
l
a
la
B
（ ）
1
共 1页 50共 页
(Energy Method)
例题 8 图示刚架,两杆的 EI 和 EA 分别相同,试求 C点的水平位移,
C
F
a
b
A
B
解,在 C点加一水平单位力
1
a
b
B
A
C
共 1页 51共 页
(Energy Method)
F
a
b
1
a
b
x x
A
BB
A
CC
CB,FxxM)( xxM)(
0)(N?xF 0)(N?xF
x x
AB,FaxM)( axM)(
FxF)(N 1)(NxF
共 1页 52共 页
(Energy Method)
llC xxFxFEAxxMxMEIH )d()(1)d()(1 NN
)(3d1))((1
23
0 EA
Fb
EI
bFa
EI
FaxF
EA
b
xaFaEIxxFxEI ba d))((1d))((1 00
F
a
b
1
a
b
x x
A
BB
A
CC
x x
共 1页 53共 页
(Energy Method)
例题 9 图示为一水平面内的曲杆,B处为一刚性节点，
ABC=90° 在 C 处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp,求 C点竖向的位移,
A
B
C
F
a
b
共 1页 54共 页
(Energy Method)
x x
解,在 C点加竖向单位力
BC,FxxM)( xxM)(
0)(?xT 0)(?xT
A
B
C
F
a
b
A
B
C
1
a
bx x
AB,FxxM)( xxM)(
FbxT)( bxT)(
共 1页 55共 页
(Energy Method)
x xA
B
C
F
a
b
A
B
C
1
a
bx x
( ) ( ) ( ) ( )
ll
p
11 dd
CΔ M x M x x T x T x xE I G I
xxFxEIxxFxEI ba d))((1d))((1 00
xbFbGI a d))((1
0p?
p
2
33 )(
3 GI
F a bba
EI
F
)(?
共 1页 56共 页
(Energy Method)
例题 10 由三杆组成的刚架,B,C为刚性节点,三杆的抗弯刚度都是
EI,试用单位载荷法求 A1,A2两点的相对位移,
A1 A2
B C
l
l
F F
共 1页 57共 页
(Energy Method)
x
lxM)(FlxM)(
解：在 A1,A2 处加一对水平单位力,B,C 两支座的反力均为零,
A1B：
BC：
CA2：
x x
FxxM)( xxM)(
FxxM)( xxM)(
A1 A2
B C
l
l
F F
x
x x
A1 A2
B C
l
l
1 1
) (35])d)(()d)((2[1
3
0 0 EI
Flx-l- Flx-x- Fx
EIΔ
l l
共 1页 58共 页
(Energy Method)
例题 11 刚架受力如图,求 A截面的垂直位移,水平位移及转角,
AB
C
ll
q
共 1页 59共 页
(Energy Method)
AB：
BC：
解,求 A点铅垂位移（在 A点加竖向单位力）
x xx x
2)(
2qx
xM
2)(
2ql
xM
xxM)(
lxM)(
AB
C
ll
q
AB
C
ll
q 1
)(85)d2d2(1
4
0 0
22
EIqlxlqlxxqxEIδ l ly
共 1页 60共 页
(Energy Method)
求 A点水平位移（在 A点加水平单位力）
AB：
BC：
2)(
2qx
xM
2)(
2ql
xM
0)(?xM
xxM)(
)(4)d2d02(1
4
0 0
22
EIqlxxqlxqxEIδ l lx
x xx x
AB
C
ll
q
AB
C
ll
q
1
共 1页 61共 页
(Energy Method)
x x
求 A点的转角（在 A点加一单位力偶）
AB:
BC：
2)(
2qx
xM 1)(?xM
2)(
2ql
xM 1)(?xM
EI
qlxqlxqx
EIθ
l l
A 3
2)d1)
2(d1)2((
1 3
0 0
22
x x
AB
C
ll
q
AB
C
ll
q 1
（ ）
共 1页 62共 页
(Energy Method)
例题 12 图示为一简单桁架,其各杆的 EA相等,在图示荷载作用下
A,C 两节点间的相对位移,
F
a
a
F A B
C
DE
1 3
2
4
5
6 7 8
9
a
共 1页 63共 页
(Energy Method)
F
a
a
A B
C
DE
1 3
2
4
5
6 7 8
9
a
F
a
a
F A B
C
DE
1 3
2
4
5
6 7 8
9
a
桁架求位移的单位荷载法为
1
1
n
i
iii
EA
lFFΔ
1
NN
共 1页 64共 页
(Energy Method)
1
2
3
4
5
6
7
8
杆件编号
9
iFN iFN il iii lFF NN0
-F
-F
-F
F
-2F
0
1
0
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
0
2Fa
0
0
0
0
F2
F2
21/? 21/?
21/? 21/? a2
a2
2Fa/
2Fa/ 2Fa/
EA
Fa.
EA
Fa)(
EA
lFFδ
i
iii
AC 1242
329
1
NN
A,C两点间的距离缩短,
共 1页 65共 页
(Energy Method)
例题 13 计算图（ a）所示开口圆环在 F力作用下切口的张开量
ΔAB,EI=常数,
B
AO
R
F
F
(a)
共 1页 66共 页
(Energy Method)
B
A
R
P
F
d
(b)
B
A
R
P
1
(c)
解：
EI
FR
R
EI
FR
R
EI
MM
Δ AB
3
π
0
22
π
0
3 π
d
)c o s(1
2
d
)()(
2
)c o s(1)( FRM )c o s(1)( RM
sd
O O
共 1页 67共 页
(Energy Method)
2
1
3
设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移,
作用有外力,
F1,F2,?,Fi,?
相应的位移为：
1,? 2,?,? i,?
§ 13-5 卡氏定理 (Castigliano’s Theorem)
F1
F2 F3
结构的变形能
332211ε 212121 δFδFδFWV
共 1页 68共 页
(Energy Method)
只给 Fi 一个增量? Fi,
引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为
,,,1 2 3Δ Δ Δδ δ δ
2
1
3
F1
F2 F3
在作用?Fi 的过程中,?Fi 完成的功为
1 ΔΔ
2 iiF δ
原有的所有力完成的功为
1 1 2 2Δ Δ ΔiiF δ F δ F δ
结构应变能的增量为
ε 1 1 2 21Δ Δ Δ Δ Δ Δ2 i i i iVF δ F δ F δ F δ
共 1页 69共 页
(Energy Method)
如果把原来的力看作第一组力,而把? Fi 看作第二组力,
根椐互等定理略去高阶微量 1 ΔΔ2 iiF δ
ε 1 1 2 2Δ Δ Δ ΔiiVF δ F δ F δ
1 1 2 2Δ Δ Δ Δi i i iF δ F δ F δ F δ
εΔΔ iiVF δ
或者
εΔΔ i
i
V δ
F
当?Fi 趋于零 时,上式为 i
i
δFV ε
这就是 卡氏第二定理 （ Castigliano’s Second Theorem） （卡氏定理 ） （ Castigliano’s Theorem）
共 1页 70共 页
(Energy Method)
（ 1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明 （ Directions）,
（ 2） Fi 为广义力,?i为相应的位移一个力 一个力偶 一对力 一对力偶一个 线位移 一个 角位移 相对线位移 相对角位移
i
i F
Vδ
ε
共 1页 71共 页
(Energy Method)
（ 3）卡氏第二定理的应用
（ a） 轴向拉伸与压缩
（ b） 扭转
xF xFEA xFEA xxFFFVδ
iii
i d
)()(
2
)d( NN2Nε
xF xTGI xTGI xxTFFVδ
iii
i d
)()(
2
)d(
pp
2
ε
（ c） 弯曲
xF xMEI xMEI xxMFFVδ
iii
i d
)()(
2
)d(2ε
共 1页 72共 页
(Energy Method)
（ 4） 平面桁架
i
j
n
j
jj
i
i F
F
EA
lF
F
Vδ
N
1
Nε
（ 5） 组合变形
i
i F
Vδ
ε ]
2
)d(
2
)d(
2
)d([ 2
p
22
N
l lli EI
xxM
GI
xxT
EA
xxF
F
xF xMEI xMxF xTGI xTxF xFEA xF
iii
d)()(d)()(d)()(
p
NN
共 1页 73共 页
(Energy Method)
例题 14 外伸梁受力如图所示,已知弹性模量 EI.梁材料为线弹性体,求梁 C截面的挠度和 A截面的转角,
F
A
B C
Me
l aF
RA
共 1页 74共 页
(Energy Method)
AB:
BC:
e1
e
11 )()( Mxl
Fa
l
MxM
1
11 )( x
l
a
F
xM
1)( 1
e
11
l
x
M
xM
222 )( FxxM
0)(
e
22?
M
xM
2
22 )( x
F
xM
A
B C
l aFRA
F
x1 x2
解,
eR A M FaF ll
Me
共 1页 75共 页
(Energy Method)
10 11 d)()( xF xMEI xMw lC
A
B C
l aFRA
F
x1 x2
20
e
2222
10
e
11 d)()(d)()( x
M
xM
EI
xMx
M
xM
EI
xM al
A
20
2222 d)()( x
F
xM
EI
xMa?
)( )363(1
3
e
2
FalaMFl aEI
)63(1 e Fl alMEI
Me
（ ）
共 1页 76共 页
(Energy Method)
例题 15 刚架结构如图所示,弹性模量 EI已知。材料为线弹性,不考虑轴力和剪力的影响，计算 C截面的转角和 D截面的水平位移,
A
B
C
D
a
a
2a
Me
解,在 C截面虚设一力偶 Ma,
在 D截面虚设一水平力 F.
)(
2
1
ea
RR
MM
a
F
FF AyD
FRD
FRAx
FRAyFF Ax?R
Ma F
共 1页 77共 页
(Energy Method)
CD,xMMaFxM )](2 1[)( ae
xF xM )( axM xM 2)(
a
CB,aMMaFxM 2)](2 1[)( ae
xaF xM 2)( 0
)(
a
M xM
AB,xF xM )( 0
)(
a
M xM
x
x
A
B
C D
a
a
2a
Me
x
FxM a
FxxM?)(
FRD
FRAx
FRAy
Ma
F
共 1页 78共 页
(Energy Method)
2a
x
x
A
B
C
D
a
a
Me
0
0
ε
a
F
Mx F
Vδ
0
0
a
ε
a
F
MC M
Vθ
a xxEI 0 d01
a xxaMEI 0 e )d2(1
a xxa xMEI 20 e d21
)(617
2
e
EI
aM
]0d00dd22[1 20 0 0ee a a a xxMxaxa xMEI
EI
aM
3
2 e?
FRD
FRAx
FRAy
（ ）
Mc F
共 1页 79共 页
(Energy Method)
例题 16 圆截面杆 ABC,（?ABC=90° ）位于水平平面内,已知杆截面直径 d 及材料的弹性常数 E,G,求 C 截面处的铅垂位移,不计剪力的影响,
A
B Cl
l q
共 1页 80共 页
(Energy Method)
BC:弯曲变形 xF xM )( 2)(
2qx
FxxM
A
B
l Q
MBx
A
B Cl
l q F
xx
AB:弯曲与扭转的组合变形
（扭转变形）
（弯曲变形） qlFF
2
2ql
FlM B
xqlFQxxM )()( xF xM )(
2)(
2ql
FlMxT B lFxT )(
共 1页 81共 页
(Energy Method)
0
ε
Fi F
Vδ
64
π 4dI?
32
π 4
p
dI?
l l xF xTGI xTxF xMEI xMxF xMEI xM0
p0
]}d)()(d)()([{d)()(
lll xlqlGIxxq l xEIxxqxEI 0
2
p00
2
d21d1)d)(2(1
)(2411
p
44
GIqlEIql
共 1页 82共 页
(Energy Method)
例题 17 图示刚架各段的抗弯刚度均为 EI,不计轴力和剪力的影响,用卡氏第二定理求截面 D 的水平位移?D和转角?D,
Ma x
F1
F
A B C
D
l l
2 l
解,在 D点虚设一力偶矩 Ma
CD:弯曲变形
a)( MFxxM
xF xM )( 1)(
a
M xM
共 1页 83共 页
(Energy Method)
但是轴力不计,因此横截面上的内力只计弯矩,
F1
A B C F
2Fl M
a
将力 F 向 C 简化得：
力 F（产生拉伸变形）
力偶矩 2Fl（产生弯曲变形）
Ma（产生弯曲变形）
AC产生拉伸与弯曲的组合变形,横截面上的内力有轴力和弯矩,
F1
x
F
A B C
D
l l
2 l
Ma
将 Ma向 C简化得,
共 1页 84共 页
(Energy Method)
x
BC段：
BA段：
1)(
a
M xM
1)(
a
M xM
lF xM 2)(
lF xM 2)(
a2)( MFlxM
xFMFlxM 1a2)(
F1
F
A B C
D
l l
2 l
x
F
2Fl
x
EI
Fl
2
13 2? ]d1)2(d12[1
0 0 1
l l xxFFlxFl
EI
FF
MD M
Vθ
1
a 0
a
ε l xFx
EI
2
0 d1
1 Ma
Ma
共 1页 85共 页
(Energy Method)
§ 13-6 计算莫尔积分的图乘法
(The method of moment areas for the
mohr’s integration)
等直杆的情况下,莫尔积分中的 EI为常量,可提到积分号外面
xxMxMEIΔ l )d()(1
xxMxMl )d()(
只需计算,
共 1页 86共 页
(Energy Method)
因为 是由单位力或单位力偶引起的弯矩,故沿杆长方向的 图一般是由直线或折线组成,M(x)图一般是曲线,
M(x)
M(x)
l
dxx
C
xC
M(
x)
M(
x) M C
M
M
xxMxMl )d()(
EI
Mx
EI
xMxMΔ C
l
d)()(
()lt a n dx M x x?
tan CCxM
共 1页 87共 页
(Energy Method)
ω
xC
C
M(x)
x
x
)(xM
l
设在杆长为 l 的一段内 M（ x）图是曲线
BxAxM)(
设直线方程是M(x)是直线,
xxMxBxxMA
xxM)BxA(
xxMxM
ll
l
l
)d()d(
)d(
d)()(
00
0
l xxM0 )d(为 l 段内图 M(x) 的面积 ω
ωxxMl0 )d(
共 1页 88共 页
(Energy Method)
M(x)
x
l x
)(xM
ω
xC
C
C 为 图 M(x)的形心,xC为其 坐标为图 M(x)对 y 轴坐标的静矩? l xxxM0 )d(
C
l ωxxxM
0 )d(
C
cC
ll
l
Mω
xBAxωBωA
xxMxBxxMA
xxMxM
)(
)d()d(
d)()(
00
CxBA 是和 M(x) 图的形心对应处的
M(x) 的值,
共 1页 89共 页
(Energy Method)
M(x)
x
l x
)(xM
ω
xc
C
对于等直杆有
d)()(1
EI
MxxMxM
EI
Δ c
l
即积分可用 M(x)图的面积?和与
M(x)图形心 C对应的 的乘积来代替MC
当 M图为正弯矩时,?应代以正号,
当 M图为负弯矩时,?应代以负号,
也应按弯矩符号给以正负号,MC
注意 有时 M(x)图为连续光滑曲线,
而 为折线,则应以折线的转折点为界,
把积分分成几段,逐段使用图乘法,然后求其和,
M(x)
共 1页 90共 页
(Energy Method)
b
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
l
三角形
C C
l
顶点二次抛物线
3bl? 3al?
2
hlω
85l 83l
lhω 32
共 1页 91共 页
(Energy Method)
l
顶点
c
N 次抛物线
l
顶点
c
二次抛物线
3l/4 l/4
3
hlω
1?
n
hl
lnn 2)1( 2?nl
共 1页 92共 页
(Energy Method)
例题 18 均布荷载作用下的简支梁,其 EI 为常数,求跨中点的挠度,
A B
C
q
l/2 l/2
F
A B
C
l/2 l/2
以 图的转折点为界,分两段使用图乘法,M(x)
4l
C1
1
C2
2
1CM 2CM
82ql
8 25 l/?
共 1页 93共 页
(Energy Method)
24283
2 32
21
qllqlωω llM
C 32
5
48
5
A B
C
q
l/2 l/2
A B
C
F
l/2 l/2
)(384 5325242
43
21
EI
qllql
EIEI
Mω
EI
Mωw CC
C
4l
C1
1
C2
2
1CM 2CM
82ql
8 25 l/?
共 1页 94共 页
(Energy Method)
例题 19 图示梁,抗弯刚度为 EI,承受均布载荷 q及集中力 F作用,
用图乘法求,
（ 1）集中力作用端挠度为零时的 F值；
（ 2）集中力作用端转角为零时的 F值,
F
CA B
al
q
共 1页 95共 页
(Energy Method)
F
CA B解：
a
a
l
q
M ql2/8
Fa0
)
2123
2
2
3
2
2
(
1
32
aql
-
aFa
aFa l
EI
w
C
)(8
3
ala
qlF
1
A B
al
C
M
共 1页 96共 页
(Energy Method)
例题 20 图示开口刚架,EI为常数,求 A和 B两截面的相对角位移
AB和沿 F力作用线方向的相对线位移 ΔAB,
a a
a/2 a/2
A
B
F
F
共 1页 97共 页
(Energy Method)
解：
Fa
/2
a/2
F
F
Fa/2
Fa/2 a/2
a/2
1EI
Fa
EI
Fa
Δ AB
3
2
)
2
1
2
1
2
3
1
8
1
(
2
3
3
0?AB?
a/2 B
a a
a/2
A
A
共 1页 98共 页
(Energy Method)
例题 21 图示刚架,EI为常数,求 A截面的水平位移 ΔAH 和转角?A,
B
Aa
aq
共 1页 99共 页
(Energy Method)
a
qa/2
qa2/2
解：
B
Aa
a
B
A
a
a
B
Aa
aq qa/2
qa
11
1
1
1
a 1
1
1
)(8385313241
44
EIqa)(EIqaΔ AH
qa2/2
共 1页 100共 页
(Energy Method)
C
例题 22 拐杆如图,A处为一轴承,允许杆在轴承内自由转动,但不能上下移动,已知,E=210GPa,G=0.4E,求 B点的垂直位移,
5
A
B
500
=1F0
10
20
解,（ 1） 画单位载荷图
C
5
A
B
500
=60kNF1
10
20
x1x1
xx
共 1页 101共 页
(Energy Method)
xEI xMxMxGI xTxTδ
LLB
d)()(d)()( 1
p
11
（ 3）变形
（ 2）求内力 FxxM
AB?)(
xxM AB?)(
F.xT CA 30)( 1?
30)( 1,xT CA?
xEIFxxGI,F.,,dd3030 30
0
2
1
50
0 p
3
4
3
3
3
10π2021040 3250306030101052103 123060,,...
22m m8,?
p
3
3 GI
lFll
EI
Fl ACAB
AB
AB
共 1页 102共 页
(Energy Method)
质点和质点系的虚位移原理,质点和质点系处于平衡状态的充要条件是,作用在其上的力对于虚位移所作的总功为零,
§ 13-7 虚功原理
（ Principle of virtual work）
一、虚功原理 （ Principle of virtual work）
作用在杆件上的力分为外力和内力外力,荷载和支座反力内力,截面上各部分间的相互作用力对于处于平衡状态的杆件,其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功等于零,
共 1页 103共 页
(Energy Method)
外力虚功 内力虚功
0ie WW
杆件的约束条件,
（ 1） 支座 约束条件
（ 2） 各单元体变形的几何相容 条件杆件在荷载作用下所发生的位移都满足上述两类约束条件,
且为微小量,即符合虚位移的基本要求,所以,可以把杆件由荷载作用产生的微小实位移当作虚位移,
共 1页 104共 页
(Energy Method)
梁上荷载,
F1,F2,F3,F4,FRA,FRB
给梁任一虚位移,荷载作用点沿其作用方向的相应虚位移
（支座处没有虚位移）为
1,?2,?3,?4
（ 1） 梁的外力虚功
1?2?3?4
A
l
B
F4F1 F2 F3FRA FRB
外力虚功为
i
i
iBAi
i
i δFRRδFW
4
1
4
1
e 00
共 1页 105共 页
(Energy Method)
（ 2） 梁的内力虚功弯矩虚功
dx
（受拉）
M M+dM
d2? d2?
F4F1 F2 F3FRA
A
l
FRB
B
dx
FS
M FS+dFS
M+dM
2
d)d(
2
d MMM dx
共 1页 106共 页
(Energy Method)
dx
剪力虚功
d2?d2?
d2? d
2?
2
d)d(
2
d
SSS
λFFλF
F4F1 F2 F3FRA
A
l
FRB
B
dx
dx
FS
M FS+dFS
M+dM
共 1页 107共 页
(Energy Method)
（ 1） 该微段的外力虚功
M,FS应看作该微段的外力该微段的外力虚功为（略去二阶小量）
λFM dd S
2
d)d(
2
d MMM
2
d)d(
2
d
SSS
λFFλF
共 1页 108共 页
(Energy Method)
（ 2）该微段的内力虚功 dWi
由该微段的虚位移原理
（ 3） 梁的 内力虚功
0)dd(ddd Siei λFθMWWW
)dd(d Si λFθMW
l Sl ii )dd(d λFθMWW
梁的虚位移原理为
0)dd(
l S
4
1
λFθMδF i
i
i
共 1页 109共 页
(Energy Method)
若横截面上不仅有弯矩 M 和剪力 FS,还有轴力 FN和扭矩 T,则杆的虚位移原理为
l
NS
4
1
)dddd(?TδFλFθMδF i
i
i
（ a）?i 为 Fi 力作用点沿 Fi方向的相应虚位移,d?,d?,d?,d?
分别为与弯矩 M,剪力 FS,轴力 FN 和扭矩 T相对应虚位移；
（ b） 虚位移原理既不限定于线性问题,也不限定于弹性问题,
共 1页 2共 页
(Energy Method)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§ 13-1 概述 （ Introduction)
§ 13-2 杆件变形能的计算 ( Calculation of
strain energy for various types of loading )
§ 13-3 互等定理 （ Reciprocal theorems)
§ 13-4 单位荷载法? 莫尔定理 (Unit-load
method & mohr’s theorem)
§ 13-5 卡氏定理 (Castigliano’s Theorem)
§ 13-6 计算莫尔积分的图乘法 (The meth-
od of moment areas for mohr’s integration)
共 1页 3共 页
(Energy Method)
§ 13-1 概述 （ Introduction）
在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能,简称变形能,
一、能量方法 （ Energy methods )
三、变形能 （ Strain energy）
二、外力功 （ Work of the external force）
固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,
外力因此而做功,则成为外力功,
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法,
共 1页 4共 页
(Energy Method)
可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功,对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能,
Vε = W
四、功能原理 （ Work-energy principle）
The formula:
（ Work-Energy Principle）
We will not consider other forms of energy such as thermal
energy,chemical energy,and electromagnetic energy,Therefore,if
the stresses in a body do not exceed the elastic limit,all of work
done on a body by external forces is stored in the body as elastic
strain energy.
共 1页 5共 页
(Energy Method)
§ 13-2 杆件变形能的计算
( Calculation of strain energy for various
types of loading )
一、杆件变形能的计算 （ Calculation of strain energy for
various types of loading）
1.轴向拉压的变形能 （ Strain energy for axial loads)
此外力功的增量为：
)d( Δd 11 lFW? EA lFl 11 d)d( Δ?
当拉力为 F1 时,杆件的伸长为?l1
当再增加一个 dF1时,相应的变形增量为 d(Δl1)
共 1页 6共 页
(Energy Method)
F
F
l
l
F
lO
l
l1 d?l1
dF1
F1
积分得,lFEA lFFEA lFWW F Δ22dd
2
10 1
共 1页 7共 页
(Energy Method)
根据功能原理当轴力或截面发生变化时,
Vε= W,可得以下变形能表达式
lFlFWV Δ21Δ21 Nε
EA
lF
EA
Fll NΔ
EA
lF
EA
lFV
22
2
N
2
ε
n
i ii
ii
AE
lFV
1
2
N
ε 2
共 1页 8共 页
(Energy Method)
（单位 J/m3)
比能 （ strain energy density）,
单位体积的应变能,记作 u
当轴力或截面连续变化时,
l
xEA
xxFV
0
2
N
ε )(2
)d(
ζε
Al
lF
V
U
2
1Δ2
1
εu
Eεζ?
222
1 22
ε
E ε
E
ζζεu
共 1页 9共 页
(Energy Method)
2.扭转杆内的变形能 （ Strain energy for torsional loads）
或
l
p
2
p
2
e
p
e
eeε 222
1Δ
2
1
GI
lT
GI
lM
GI
lMMMWV
l xxGI xTV d)(2 )(
p
2
ε?
n
i ii
ii
IG
lTV
1 p
2
ε 2
Me
M e
Me
共 1页 10共 页
(Energy Method)
纯弯曲 （ pure bending )
横力弯曲 （ nonuniform bending ）
3.弯曲变形的变形能
（ Strain energy for flexural loads） θ
Me
EI
lM
EI
lMMθMWV
22
1
2
1 2 e
eeε
xxEI xMV
l
d)(2 )(
2
e
ε
Me Me
Me
共 1页 11共 页
(Energy Method)
4.组合变形的变形能 （ Strain energy for combined loads)
截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,
力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功,
xxEI xMxxGI xTxxEA xFV
lll
d)(2 )(d)(2 )(d)(2 )(
2
p
22
N
ε
5.纯剪切应力状态下的比能
（ Strain energy density for pure shearing state of stresses）
假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动?dx.
共 1页 12共 页
(Energy Method)
dx
x
y
z
a
b
d
因为很小,所以在变形过程中,上下两面上的外力将不作功,只有右侧面的外力（?dydz） 对相应的位移?
dx 作了功,
dx
当材料在线弹性范围内内工作时,
上述力与位移成正比,因此,单元体上外力所作的功为
)dd(d21)d)(dd(21d zyxηγxγzyηW
比能为 ηγzyx
W
V
W
V
V
2
1
ddd
d
d
d
d
d ε
εu
共 1页 13共 页
(Energy Method)
将? = G? 代如上式得
dx
x
y
z
a
b
d
dx
ηγ21ε?u
Gγ
G
22
2
2
ε
u
等直圆杆扭转时应变能的计算
l AV xAVV ddd εεε uu
Gγ
G
22
2
2
ε
u
共 1页 14共 页
(Energy Method)
p
2
22
p
2
p
2
ε
2
d)(
2
dd
2
)(
dd
2
GI
lT
Aρ
I
T
G
l
xA
G
ρ
I
T
xA
G
η
V
A
l Al A
p
2
e
ε 2 GI
lMV?
将
p
e
p GI
lM
GI
Tl
代入上式得 ε 2 e
MV
共 1页 15共 页
(Energy Method)
二、变形能的普遍表达式
（ General formula for strain energy）
F--广义力 (包括力和力偶 )
δ--广义位移
(包括线位移和角位移 )
1?2
3
B'
C'
F δV 21ε?
F3
B C
F2
A
F1
假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值,
共 1页 16共 页
(Energy Method)
对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，
任一广义位移,例如?2可表示为
)(
2
3
32
2
1
12
3322112
F
F
CC
F
F
CF
FCFCFCδ
F3
A
B C
F1
F2
1?2
3
B'
C1F1,C2F2,C3F3 分别表示力 F1,F2,
F3 在 C 点引起的竖向位移,
C1,C2,C3 是比例常数,
F3/F2在比例加载时 也是常数F1/F2和
2 与 F2 之间的关系是线性的,
同理,?1 与 F1,?3 与 F3 之间的关系也是线性的,
共 1页 17共 页
(Energy Method)
在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功
i
Fi
F3
A
B C
F1
F2
1?2
3
B'
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）
)(21 332211ε δFδFδFV
Fi
i
共 1页 18共 页
(Energy Method)
三、变形能的应用 （ Application of strain energy）
1.计算变形能 （ Calculating strain energy）
2.利用功能原理计算变形
（ Work-energy principle for calculating deflection）
例题 1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端 B的挠度,
A B
F
l
x
解,xFxM)(
EI
lFx
EI
Fxx
EI
xMV l
l 6d2
)(d
2
)( 32
0
22
ε
BwFW 2
1
由 Vε=W 得
EI
Flw
B 3
3
共 1页 19共 页
(Energy Method)
例题 2 试求图示梁的变形能,并利用功能原理求 C截面的挠度,
A B
C
F
x1 x2
a b
l
解：
EI l
baFb
EI l
aFa
EI l
bF
x
EI
x
l
Fa
x
EI
x
l
Fb
x
EI
xM
V
ba
l
63232
d
2
)(
d
2
)(
d
2
)(
2223
2
223
2
22
2
0
2
2
1
0
2
1
2
ε
CwFW 2
1
EI l
bFaw
C 3
22
由 Vε=W 得共 1页 20共 页
(Energy Method)
EI
RF
R
EI
FR
R
EI
M
V
l
8
π
d
2
)s i n(
d
2
)(
32
2
π
0
2
2
ε
例题 3 试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求 B
截面的垂直位移,已知 EI为常量,
解, s i n)( FRM?
yFW 2
1
EI
FR
y 4
π 3
A
B
F
O
R θ
由 Vε=W 得共 1页 21共 页
(Energy Method)
例题 4 拉杆在线弹性范围内工作,抗拉刚度 EI,受到 F1和 F2
两个力作用,
(1) 若先在 B 截面加 F1,
然后在 C 截面加 F2;
(2) 若先在 C 截面加 F2,
然后在 B 截面加 F1.
分别计算两种加力方法拉杆的应变能,
A
B
C
a
b
F1
F2
共 1页 22共 页
(Energy Method)
（ 1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
A
B
C
a
b
F1
（ a）在 B 截面加 F1,B截面的位移为外力作功为
（ b）再在 C上加 F2 F
2
C截面的 位移为
F2 作功为
11B FaEA?
EA
aFδFW
B 22
1 21
111
() 22
2 2 2
1
22C
F a bWF
EA?
() 2
2C
F a b
EA?
共 1页 23共 页
(Energy Method)
（ c）在加 F2 后,B截面又有位移在加 F2 过程中 F1 作功（常力作功）
所以应变能为
A
B
C
a
b
F1
F2
22B FaEA?
123 1 2B F F aWF EA?
()
ε 1 1 2 2 1 2
22
1 2 1 2
11
22
22
B C B
V W F F F
F a F a b F F a
EA EA EA
共 1页 24共 页
(Energy Method)
（ 2）若先在 C截面加 F2,然后 B截面加 F1.
（ a）在 C截面加 F2 后,F2 作功
（ b） 在 B截面加 F1后,F1作功
A
B
C
a
b
F1
F2
EA
baF
2
)(22?
EA
aF
2
2
1
共 1页 25共 页
(Energy Method)
（ c） 加 F1引起 C 截面的位移在加 F1过程中 F2作功（常力作功） A
B
C
a
b
F1
F2
EA
aF1
EA
aFF 21
所以应变能为注意：
（ 1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别,
（ 2）应变能 Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关,
()
ε 1 1 2 2 1 2
22
1 2 1 2
11
22
22
B C B
V W F F F
F a F a b F F a
EA EA EA
共 1页 26共 页
(Energy Method)
2
解,梁中点的挠度为,
梁右端的转角为,
Me
23
e
1 4 8 1 6
MlFl
E I E I?
2
e
2 1 6 3
MlFlθ
E I E I?
A C B
F
l/2 l/2
梁的变形能为,
()
2223
ee
ε 1 e 2
1 1 1
2 2 9 6 6 1 6
M l M F lFlV F M
EI
1
例题 5 以弯曲变形为例证明应变能 Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关,
共 1页 27共 页
(Energy Method)
先加力 F 后,再加力偶 Me
（ 1）先加力 F后,C点的位移力 F 所作的功为
3
1 48
Fl
EI?
3
1
11
2 2 4 8
FlW F F
EI?
（ 2）力偶由零增至最后值 Me
B 截面的转角为 EIlMθ 3 e?
力偶 Me 所作的功为 EI lMMθMW 32121 eee2
A C B
F
l/2 l/2
A C B
F
l/2 l/2
Me
1
共 1页 28共 页
(Energy Method)
先加上的力 F所作的功为
C截面的位移为
3
2
e
3 16
Ml
EI?
2
e
33 16
MlW F F
EI?
A C B
l/2 l/2
F与 力偶 Me所作的功为
EI
lM
M
EI
lM
F
EI
Fl
FV
32
1
16482
1
e
e
2
e
3
ε
A C B
F
l/2 l/2
1
Me
共 1页 29共 页
(Energy Method)
两力作用点沿力作用方向的位移分别为
F1,F2
（ 1）设在线弹性结构上作用力
1,?2
一、功的互等定理 （ Reciprocal work theorem ）
§ 13-3 互等定理 （ Reciprocal Theorems )
1
2
F1
F2
共 1页 30共 页
(Energy Method)
F1
F2
1
2
F1 和 F2 完成的功应为
（ 2）在结构上再作用有力
F3,F4
沿 F3和 F4方向的相应位移为
3,?4
F3
3
4
F4
F3 和 F4 完成的功应为
1 1 2 21122FF
3 3 4 41122FF
共 1页 31共 页
(Energy Method)
（ 3）在 F3和 F4的作用下,F1 和 F2 的作用点又有位移
F1 和 F2 在?1′和?2′上完成的功应为
F1
F2
1
2
F3
3?
4
2
1
'' δFδF 2211?
因此,按先加 F1,F2 后 F3,F4
的次序加力,结构的应变能为
'' δFδFδFδFδFδFV
2211443322111ε 2
1
2
1
2
1
2
1
1′和?2′
共 1页 32共 页
(Energy Method)
F1
F2
1
2
3?
4
F3
若按先加 F3,F4 后加 F1,F2 的次序加力,又可求得结构的应变能为
'' δFδFδFδFδFδFV
4433443322112ε 2
1
2
1
2
1
2
1
由于应变能只决定于力和位移的最终值,与加力的次序无关,故
2ε1ε VV?
'''' δFδFδFδF 44332211
'4?
'3?
共 1页 33共 页
(Energy Method)
功的互等定理 （ reciprocal work theorem）,第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功,
二、位移互等定理 （ Reciprocal displacement theorem)
若第一组力 F1,第二组力只有 F3,则如果 F1= F3,则有
'' δFδF 3311?
'' δδ 31?
共 1页 34共 页
(Energy Method)
位移互等定理 （ reciprocal work theorem）,
F1作用点沿 F1 方向因作用 F3而引起的位移等于 F3 作用点沿
F3 方向因作用 F1而引起的位移,（ The deflection at A due to a
load acting at B is equal to the deflection at B due to the same load
acting at A )
三、注意 （ Notice）
（ 1）力和位移都应理解为广义的,
（ 2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变形引起的位移,
共 1页 35共 页
(Energy Method)
§ 13-4 单位荷载法? 莫尔定理
（ Unit-load method & mohr’s theorem）
一、莫尔定理的推导 （ Derivation of mohr’s theorem）
求任意点 A的位移 wA
F1 F2
A
共 1页 36共 页
(Energy Method)
A
图 b
变形能为
l xEI xMV d2 )(
2
ε
l xEI xMV d2 )(
2
ε
AwVVV 1εε1ε
a
A
图
F1 F2
=1F0
A
F1 F2
图 c
wA
F0=1
（ 1）先在 A点作用单位力 F0,再作用 F1,F2力共 1页 37共 页
(Energy Method)
（ 2）三个力同时作用时任意截面的弯矩,
变形能,
)()( xMxM?
l xEI xMxMV d2 )]()([
2
ε2
ε1ε2 VV
lA xEI
xMxMwVV d
2
)]()([1 2
εε
lll
l
A
x
EI
xMxM
x
EI
xM
x
EI
xM
x
EI
xMxM
wVV
d
)()(
d
2
)(
d
2
)(
d
2
)]()([
1
22
2
εε
共 1页 38共 页
(Energy Method)
（ Mohr’s Theorem）
lA xEI
xMxMw d)()(
l xEI xMxM d)()( l xEI xMxMΔ d)()(
桁架,?
n
i
iii
EA
lFFΔ
1
NN
二、普遍形式的莫尔定理
（ General formula for mohr’s theorem）
lll xEI xMxMxGI xTxTxEA xFxFΔ d)()(d)()(d)()(
p
NN
注意,上式中 Δ应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力,
共 1页 39共 页
(Energy Method)
三、使用莫尔定理的注意事项
（ 5）莫尔积分必须遍及整个结构,
（ 1） M（ x）：结构在原载荷下的内力 ;
（ 3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲 ;
（ 2） —— 去掉主动力,在所求 广义位移点,沿所求 广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力 ;
M
（ 4） 与 M（ x）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立 ;
M（ x）
共 1页 40共 页
(Energy Method)
A
例题 5 抗弯刚度为 EI的等截面简支梁受均布荷载作用,用单位载荷法求梁中点的挠度 wC 和支座 A截面的转角,剪力对弯曲的影响不计,
q
B
C
l
l/2
ql/2 ql/2
解,在实际荷载作用下,任一 x 截面的弯矩为
22)(
2qx
xqlxM )(0 lx
共 1页 41共 页
(Energy Method)
A A B
11/2 1/2
C
（ 1）求 C截面的挠度在 C点加一向下的单位力,
任一 x 截面的弯矩为
x
xxM 21)(? )2(0 lx
q
B
C
l
l/2
ql/2 ql/2
)(
384
5
)d
22
(
2
2
)d(
)(
4
2
2
0
EI
ql
x
qx
x
ql
EI
x
EI
xxM
xMw
l/
l
C
共 1页 42共 页
(Energy Method)
ql/2
A A
B
1
1/l 1/l
x
（ 2）求 A截面的转角在 A 截面加一单位力偶引起的 x 截面的弯矩为 11)( xlxM )(0 lx
q
C
l
l/2
EI
ql
x
qx
x
ql
l
x
EIEI
xxM
xM
l
l
A
24
)d
22
1 ) ((
1)d(
)(
3
2
0
（顺时针）
ql/2
共 1页 43共 页
(Energy Method)
B
例题 6 图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI,用单位载荷法求 C点的挠度和转角,
A C
q
F=qa
a2a
共 1页 44共 页
(Energy Method)
BA A B C
a2a
1
解：
x
AB:
（ 1）求截面的挠度（在 C处加一单位力,1”）
C
q
F=qa
a2aFRA
x
1/2
2R
qaF
A?
22)(
2qx
xqaxM 2)( xxM
共 1页 45共 页
(Energy Method)
BC,xqaxM)( xxM)(
)(
3
2
])d)(()d
2
)(
22
([
1
4
0
2
0
2
EI
qa
xxqaxx
xqx
x
qa
EI
w
aa
C
BA A B C
a2a
C
q F=qa
a2aFRA 1/2
x x
1
共 1页 46共 页
(Energy Method)
BA
BC:
AB:
（ 2）求 C截面的转角（在 C处加一单位力偶）
1
x x
A B C
a2a
x
C
q F=qa
a2a
x
1/2a
22)(
2qx
xqaxM axxM 2)(?
xqaxM)( 1)(?xM
EI
qa
xqaxx
a
xqx
x
qa
EI
aa
C
6
5
]) ( 1 ) d()d
2
)(
22
([
1
3
0
2
0
2
（ ）
FRA
共 1页 47共 页
(Energy Method)
例题 7 刚架的自由端 A作用集中力 F.刚架各段的抗弯刚度已于图中标出,不计剪力和轴力对位移的影响,计算 A点的垂直位移及 B
截面的转角,
a
AB
C
F
l
EI1
EI2
解,（ 1）计算 A点的垂直位移,在 A点加垂直向下的单位力
B
C
l
EI1
EI2
a
1
共 1页 48共 页
(Energy Method)
AB:
BC:
a
AB
C
F
l
EI1
EI2
x
x
FxxM)(
FaxM)(
xxM)(
axM)(
AB
C
1
l
EI1
EI2
x
x
a
)(
3
)d()(
1
)d()(
1
d
)()(
d
)()(
2
2
1
3
0
2
0
1
0
2
0
1
EI
lFa
EI
Fa
xaFa
EI
xxFx
EI
x
EI
xMxM
x
EI
xMxM
δ
l
a
la
y
共 1页 49共 页
(Energy Method)
（ 2）计算 B截面的转角,在 B上加一个单位力偶矩
AB:
BC:
0)(?xM
1)(?xM
FxxM)(
FaxM)(
AB
C
F
l
EI1
EI2
x
x
a
AB
C
l
EI1
EI2
x
x
a
2
0
2
0
1
0
2
0
1
( 1 ) d)(
1
( 0 ) d)(
1
d
)()(
d
)()(
EI
Fa l
xFa
EI
xFx
EI
x
EI
xMxM
x
EI
xMxM
θ
l
a
la
B
（ ）
1
共 1页 50共 页
(Energy Method)
例题 8 图示刚架,两杆的 EI 和 EA 分别相同,试求 C点的水平位移,
C
F
a
b
A
B
解,在 C点加一水平单位力
1
a
b
B
A
C
共 1页 51共 页
(Energy Method)
F
a
b
1
a
b
x x
A
BB
A
CC
CB,FxxM)( xxM)(
0)(N?xF 0)(N?xF
x x
AB,FaxM)( axM)(
FxF)(N 1)(NxF
共 1页 52共 页
(Energy Method)
llC xxFxFEAxxMxMEIH )d()(1)d()(1 NN
)(3d1))((1
23
0 EA
Fb
EI
bFa
EI
FaxF
EA
b
xaFaEIxxFxEI ba d))((1d))((1 00
F
a
b
1
a
b
x x
A
BB
A
CC
x x
共 1页 53共 页
(Energy Method)
例题 9 图示为一水平面内的曲杆,B处为一刚性节点，
ABC=90° 在 C 处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp,求 C点竖向的位移,
A
B
C
F
a
b
共 1页 54共 页
(Energy Method)
x x
解,在 C点加竖向单位力
BC,FxxM)( xxM)(
0)(?xT 0)(?xT
A
B
C
F
a
b
A
B
C
1
a
bx x
AB,FxxM)( xxM)(
FbxT)( bxT)(
共 1页 55共 页
(Energy Method)
x xA
B
C
F
a
b
A
B
C
1
a
bx x
( ) ( ) ( ) ( )
ll
p
11 dd
CΔ M x M x x T x T x xE I G I
xxFxEIxxFxEI ba d))((1d))((1 00
xbFbGI a d))((1
0p?
p
2
33 )(
3 GI
F a bba
EI
F
)(?
共 1页 56共 页
(Energy Method)
例题 10 由三杆组成的刚架,B,C为刚性节点,三杆的抗弯刚度都是
EI,试用单位载荷法求 A1,A2两点的相对位移,
A1 A2
B C
l
l
F F
共 1页 57共 页
(Energy Method)
x
lxM)(FlxM)(
解：在 A1,A2 处加一对水平单位力,B,C 两支座的反力均为零,
A1B：
BC：
CA2：
x x
FxxM)( xxM)(
FxxM)( xxM)(
A1 A2
B C
l
l
F F
x
x x
A1 A2
B C
l
l
1 1
) (35])d)(()d)((2[1
3
0 0 EI
Flx-l- Flx-x- Fx
EIΔ
l l
共 1页 58共 页
(Energy Method)
例题 11 刚架受力如图,求 A截面的垂直位移,水平位移及转角,
AB
C
ll
q
共 1页 59共 页
(Energy Method)
AB：
BC：
解,求 A点铅垂位移（在 A点加竖向单位力）
x xx x
2)(
2qx
xM
2)(
2ql
xM
xxM)(
lxM)(
AB
C
ll
q
AB
C
ll
q 1
)(85)d2d2(1
4
0 0
22
EIqlxlqlxxqxEIδ l ly
共 1页 60共 页
(Energy Method)
求 A点水平位移（在 A点加水平单位力）
AB：
BC：
2)(
2qx
xM
2)(
2ql
xM
0)(?xM
xxM)(
)(4)d2d02(1
4
0 0
22
EIqlxxqlxqxEIδ l lx
x xx x
AB
C
ll
q
AB
C
ll
q
1
共 1页 61共 页
(Energy Method)
x x
求 A点的转角（在 A点加一单位力偶）
AB:
BC：
2)(
2qx
xM 1)(?xM
2)(
2ql
xM 1)(?xM
EI
qlxqlxqx
EIθ
l l
A 3
2)d1)
2(d1)2((
1 3
0 0
22
x x
AB
C
ll
q
AB
C
ll
q 1
（ ）
共 1页 62共 页
(Energy Method)
例题 12 图示为一简单桁架,其各杆的 EA相等,在图示荷载作用下
A,C 两节点间的相对位移,
F
a
a
F A B
C
DE
1 3
2
4
5
6 7 8
9
a
共 1页 63共 页
(Energy Method)
F
a
a
A B
C
DE
1 3
2
4
5
6 7 8
9
a
F
a
a
F A B
C
DE
1 3
2
4
5
6 7 8
9
a
桁架求位移的单位荷载法为
1
1
n
i
iii
EA
lFFΔ
1
NN
共 1页 64共 页
(Energy Method)
1
2
3
4
5
6
7
8
杆件编号
9
iFN iFN il iii lFF NN0
-F
-F
-F
F
-2F
0
1
0
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
0
2Fa
0
0
0
0
F2
F2
21/? 21/?
21/? 21/? a2
a2
2Fa/
2Fa/ 2Fa/
EA
Fa.
EA
Fa)(
EA
lFFδ
i
iii
AC 1242
329
1
NN
A,C两点间的距离缩短,
共 1页 65共 页
(Energy Method)
例题 13 计算图（ a）所示开口圆环在 F力作用下切口的张开量
ΔAB,EI=常数,
B
AO
R
F
F
(a)
共 1页 66共 页
(Energy Method)
B
A
R
P
F
d
(b)
B
A
R
P
1
(c)
解：
EI
FR
R
EI
FR
R
EI
MM
Δ AB
3
π
0
22
π
0
3 π
d
)c o s(1
2
d
)()(
2
)c o s(1)( FRM )c o s(1)( RM
sd
O O
共 1页 67共 页
(Energy Method)
2
1
3
设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移,
作用有外力,
F1,F2,?,Fi,?
相应的位移为：
1,? 2,?,? i,?
§ 13-5 卡氏定理 (Castigliano’s Theorem)
F1
F2 F3
结构的变形能
332211ε 212121 δFδFδFWV
共 1页 68共 页
(Energy Method)
只给 Fi 一个增量? Fi,
引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为
,,,1 2 3Δ Δ Δδ δ δ
2
1
3
F1
F2 F3
在作用?Fi 的过程中,?Fi 完成的功为
1 ΔΔ
2 iiF δ
原有的所有力完成的功为
1 1 2 2Δ Δ ΔiiF δ F δ F δ
结构应变能的增量为
ε 1 1 2 21Δ Δ Δ Δ Δ Δ2 i i i iVF δ F δ F δ F δ
共 1页 69共 页
(Energy Method)
如果把原来的力看作第一组力,而把? Fi 看作第二组力,
根椐互等定理略去高阶微量 1 ΔΔ2 iiF δ
ε 1 1 2 2Δ Δ Δ ΔiiVF δ F δ F δ
1 1 2 2Δ Δ Δ Δi i i iF δ F δ F δ F δ
εΔΔ iiVF δ
或者
εΔΔ i
i
V δ
F
当?Fi 趋于零 时,上式为 i
i
δFV ε
这就是 卡氏第二定理 （ Castigliano’s Second Theorem） （卡氏定理 ） （ Castigliano’s Theorem）
共 1页 70共 页
(Energy Method)
（ 1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明 （ Directions）,
（ 2） Fi 为广义力,?i为相应的位移一个力 一个力偶 一对力 一对力偶一个 线位移 一个 角位移 相对线位移 相对角位移
i
i F
Vδ
ε
共 1页 71共 页
(Energy Method)
（ 3）卡氏第二定理的应用
（ a） 轴向拉伸与压缩
（ b） 扭转
xF xFEA xFEA xxFFFVδ
iii
i d
)()(
2
)d( NN2Nε
xF xTGI xTGI xxTFFVδ
iii
i d
)()(
2
)d(
pp
2
ε
（ c） 弯曲
xF xMEI xMEI xxMFFVδ
iii
i d
)()(
2
)d(2ε
共 1页 72共 页
(Energy Method)
（ 4） 平面桁架
i
j
n
j
jj
i
i F
F
EA
lF
F
Vδ
N
1
Nε
（ 5） 组合变形
i
i F
Vδ
ε ]
2
)d(
2
)d(
2
)d([ 2
p
22
N
l lli EI
xxM
GI
xxT
EA
xxF
F
xF xMEI xMxF xTGI xTxF xFEA xF
iii
d)()(d)()(d)()(
p
NN
共 1页 73共 页
(Energy Method)
例题 14 外伸梁受力如图所示,已知弹性模量 EI.梁材料为线弹性体,求梁 C截面的挠度和 A截面的转角,
F
A
B C
Me
l aF
RA
共 1页 74共 页
(Energy Method)
AB:
BC:
e1
e
11 )()( Mxl
Fa
l
MxM
1
11 )( x
l
a
F
xM
1)( 1
e
11
l
x
M
xM
222 )( FxxM
0)(
e
22?
M
xM
2
22 )( x
F
xM
A
B C
l aFRA
F
x1 x2
解,
eR A M FaF ll
Me
共 1页 75共 页
(Energy Method)
10 11 d)()( xF xMEI xMw lC
A
B C
l aFRA
F
x1 x2
20
e
2222
10
e
11 d)()(d)()( x
M
xM
EI
xMx
M
xM
EI
xM al
A
20
2222 d)()( x
F
xM
EI
xMa?
)( )363(1
3
e
2
FalaMFl aEI
)63(1 e Fl alMEI
Me
（ ）
共 1页 76共 页
(Energy Method)
例题 15 刚架结构如图所示,弹性模量 EI已知。材料为线弹性,不考虑轴力和剪力的影响，计算 C截面的转角和 D截面的水平位移,
A
B
C
D
a
a
2a
Me
解,在 C截面虚设一力偶 Ma,
在 D截面虚设一水平力 F.
)(
2
1
ea
RR
MM
a
F
FF AyD
FRD
FRAx
FRAyFF Ax?R
Ma F
共 1页 77共 页
(Energy Method)
CD,xMMaFxM )](2 1[)( ae
xF xM )( axM xM 2)(
a
CB,aMMaFxM 2)](2 1[)( ae
xaF xM 2)( 0
)(
a
M xM
AB,xF xM )( 0
)(
a
M xM
x
x
A
B
C D
a
a
2a
Me
x
FxM a
FxxM?)(
FRD
FRAx
FRAy
Ma
F
共 1页 78共 页
(Energy Method)
2a
x
x
A
B
C
D
a
a
Me
0
0
ε
a
F
Mx F
Vδ
0
0
a
ε
a
F
MC M
Vθ
a xxEI 0 d01
a xxaMEI 0 e )d2(1
a xxa xMEI 20 e d21
)(617
2
e
EI
aM
]0d00dd22[1 20 0 0ee a a a xxMxaxa xMEI
EI
aM
3
2 e?
FRD
FRAx
FRAy
（ ）
Mc F
共 1页 79共 页
(Energy Method)
例题 16 圆截面杆 ABC,（?ABC=90° ）位于水平平面内,已知杆截面直径 d 及材料的弹性常数 E,G,求 C 截面处的铅垂位移,不计剪力的影响,
A
B Cl
l q
共 1页 80共 页
(Energy Method)
BC:弯曲变形 xF xM )( 2)(
2qx
FxxM
A
B
l Q
MBx
A
B Cl
l q F
xx
AB:弯曲与扭转的组合变形
（扭转变形）
（弯曲变形） qlFF
2
2ql
FlM B
xqlFQxxM )()( xF xM )(
2)(
2ql
FlMxT B lFxT )(
共 1页 81共 页
(Energy Method)
0
ε
Fi F
Vδ
64
π 4dI?
32
π 4
p
dI?
l l xF xTGI xTxF xMEI xMxF xMEI xM0
p0
]}d)()(d)()([{d)()(
lll xlqlGIxxq l xEIxxqxEI 0
2
p00
2
d21d1)d)(2(1
)(2411
p
44
GIqlEIql
共 1页 82共 页
(Energy Method)
例题 17 图示刚架各段的抗弯刚度均为 EI,不计轴力和剪力的影响,用卡氏第二定理求截面 D 的水平位移?D和转角?D,
Ma x
F1
F
A B C
D
l l
2 l
解,在 D点虚设一力偶矩 Ma
CD:弯曲变形
a)( MFxxM
xF xM )( 1)(
a
M xM
共 1页 83共 页
(Energy Method)
但是轴力不计,因此横截面上的内力只计弯矩,
F1
A B C F
2Fl M
a
将力 F 向 C 简化得：
力 F（产生拉伸变形）
力偶矩 2Fl（产生弯曲变形）
Ma（产生弯曲变形）
AC产生拉伸与弯曲的组合变形,横截面上的内力有轴力和弯矩,
F1
x
F
A B C
D
l l
2 l
Ma
将 Ma向 C简化得,
共 1页 84共 页
(Energy Method)
x
BC段：
BA段：
1)(
a
M xM
1)(
a
M xM
lF xM 2)(
lF xM 2)(
a2)( MFlxM
xFMFlxM 1a2)(
F1
F
A B C
D
l l
2 l
x
F
2Fl
x
EI
Fl
2
13 2? ]d1)2(d12[1
0 0 1
l l xxFFlxFl
EI
FF
MD M
Vθ
1
a 0
a
ε l xFx
EI
2
0 d1
1 Ma
Ma
共 1页 85共 页
(Energy Method)
§ 13-6 计算莫尔积分的图乘法
(The method of moment areas for the
mohr’s integration)
等直杆的情况下,莫尔积分中的 EI为常量,可提到积分号外面
xxMxMEIΔ l )d()(1
xxMxMl )d()(
只需计算,
共 1页 86共 页
(Energy Method)
因为 是由单位力或单位力偶引起的弯矩,故沿杆长方向的 图一般是由直线或折线组成,M(x)图一般是曲线,
M(x)
M(x)
l
dxx
C
xC
M(
x)
M(
x) M C
M
M
xxMxMl )d()(
EI
Mx
EI
xMxMΔ C
l
d)()(
()lt a n dx M x x?
tan CCxM
共 1页 87共 页
(Energy Method)
ω
xC
C
M(x)
x
x
)(xM
l
设在杆长为 l 的一段内 M（ x）图是曲线
BxAxM)(
设直线方程是M(x)是直线,
xxMxBxxMA
xxM)BxA(
xxMxM
ll
l
l
)d()d(
)d(
d)()(
00
0
l xxM0 )d(为 l 段内图 M(x) 的面积 ω
ωxxMl0 )d(
共 1页 88共 页
(Energy Method)
M(x)
x
l x
)(xM
ω
xC
C
C 为 图 M(x)的形心,xC为其 坐标为图 M(x)对 y 轴坐标的静矩? l xxxM0 )d(
C
l ωxxxM
0 )d(
C
cC
ll
l
Mω
xBAxωBωA
xxMxBxxMA
xxMxM
)(
)d()d(
d)()(
00
CxBA 是和 M(x) 图的形心对应处的
M(x) 的值,
共 1页 89共 页
(Energy Method)
M(x)
x
l x
)(xM
ω
xc
C
对于等直杆有
d)()(1
EI
MxxMxM
EI
Δ c
l
即积分可用 M(x)图的面积?和与
M(x)图形心 C对应的 的乘积来代替MC
当 M图为正弯矩时,?应代以正号,
当 M图为负弯矩时,?应代以负号,
也应按弯矩符号给以正负号,MC
注意 有时 M(x)图为连续光滑曲线,
而 为折线,则应以折线的转折点为界,
把积分分成几段,逐段使用图乘法,然后求其和,
M(x)
共 1页 90共 页
(Energy Method)
b
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
l
三角形
C C
l
顶点二次抛物线
3bl? 3al?
2
hlω
85l 83l
lhω 32
共 1页 91共 页
(Energy Method)
l
顶点
c
N 次抛物线
l
顶点
c
二次抛物线
3l/4 l/4
3
hlω
1?
n
hl
lnn 2)1( 2?nl
共 1页 92共 页
(Energy Method)
例题 18 均布荷载作用下的简支梁,其 EI 为常数,求跨中点的挠度,
A B
C
q
l/2 l/2
F
A B
C
l/2 l/2
以 图的转折点为界,分两段使用图乘法,M(x)
4l
C1
1
C2
2
1CM 2CM
82ql
8 25 l/?
共 1页 93共 页
(Energy Method)
24283
2 32
21
qllqlωω llM
C 32
5
48
5
A B
C
q
l/2 l/2
A B
C
F
l/2 l/2
)(384 5325242
43
21
EI
qllql
EIEI
Mω
EI
Mωw CC
C
4l
C1
1
C2
2
1CM 2CM
82ql
8 25 l/?
共 1页 94共 页
(Energy Method)
例题 19 图示梁,抗弯刚度为 EI,承受均布载荷 q及集中力 F作用,
用图乘法求,
（ 1）集中力作用端挠度为零时的 F值；
（ 2）集中力作用端转角为零时的 F值,
F
CA B
al
q
共 1页 95共 页
(Energy Method)
F
CA B解：
a
a
l
q
M ql2/8
Fa0
)
2123
2
2
3
2
2
(
1
32
aql
-
aFa
aFa l
EI
w
C
)(8
3
ala
qlF
1
A B
al
C
M
共 1页 96共 页
(Energy Method)
例题 20 图示开口刚架,EI为常数,求 A和 B两截面的相对角位移
AB和沿 F力作用线方向的相对线位移 ΔAB,
a a
a/2 a/2
A
B
F
F
共 1页 97共 页
(Energy Method)
解：
Fa
/2
a/2
F
F
Fa/2
Fa/2 a/2
a/2
1EI
Fa
EI
Fa
Δ AB
3
2
)
2
1
2
1
2
3
1
8
1
(
2
3
3
0?AB?
a/2 B
a a
a/2
A
A
共 1页 98共 页
(Energy Method)
例题 21 图示刚架,EI为常数,求 A截面的水平位移 ΔAH 和转角?A,
B
Aa
aq
共 1页 99共 页
(Energy Method)
a
qa/2
qa2/2
解：
B
Aa
a
B
A
a
a
B
Aa
aq qa/2
qa
11
1
1
1
a 1
1
1
)(8385313241
44
EIqa)(EIqaΔ AH
qa2/2
共 1页 100共 页
(Energy Method)
C
例题 22 拐杆如图,A处为一轴承,允许杆在轴承内自由转动,但不能上下移动,已知,E=210GPa,G=0.4E,求 B点的垂直位移,
5
A
B
500
=1F0
10
20
解,（ 1） 画单位载荷图
C
5
A
B
500
=60kNF1
10
20
x1x1
xx
共 1页 101共 页
(Energy Method)
xEI xMxMxGI xTxTδ
LLB
d)()(d)()( 1
p
11
（ 3）变形
（ 2）求内力 FxxM
AB?)(
xxM AB?)(
F.xT CA 30)( 1?
30)( 1,xT CA?
xEIFxxGI,F.,,dd3030 30
0
2
1
50
0 p
3
4
3
3
3
10π2021040 3250306030101052103 123060,,...
22m m8,?
p
3
3 GI
lFll
EI
Fl ACAB
AB
AB
共 1页 102共 页
(Energy Method)
质点和质点系的虚位移原理,质点和质点系处于平衡状态的充要条件是,作用在其上的力对于虚位移所作的总功为零,
§ 13-7 虚功原理
（ Principle of virtual work）
一、虚功原理 （ Principle of virtual work）
作用在杆件上的力分为外力和内力外力,荷载和支座反力内力,截面上各部分间的相互作用力对于处于平衡状态的杆件,其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功等于零,
共 1页 103共 页
(Energy Method)
外力虚功 内力虚功
0ie WW
杆件的约束条件,
（ 1） 支座 约束条件
（ 2） 各单元体变形的几何相容 条件杆件在荷载作用下所发生的位移都满足上述两类约束条件,
且为微小量,即符合虚位移的基本要求,所以,可以把杆件由荷载作用产生的微小实位移当作虚位移,
共 1页 104共 页
(Energy Method)
梁上荷载,
F1,F2,F3,F4,FRA,FRB
给梁任一虚位移,荷载作用点沿其作用方向的相应虚位移
（支座处没有虚位移）为
1,?2,?3,?4
（ 1） 梁的外力虚功
1?2?3?4
A
l
B
F4F1 F2 F3FRA FRB
外力虚功为
i
i
iBAi
i
i δFRRδFW
4
1
4
1
e 00
共 1页 105共 页
(Energy Method)
（ 2） 梁的内力虚功弯矩虚功
dx
（受拉）
M M+dM
d2? d2?
F4F1 F2 F3FRA
A
l
FRB
B
dx
FS
M FS+dFS
M+dM
2
d)d(
2
d MMM dx
共 1页 106共 页
(Energy Method)
dx
剪力虚功
d2?d2?
d2? d
2?
2
d)d(
2
d
SSS
λFFλF
F4F1 F2 F3FRA
A
l
FRB
B
dx
dx
FS
M FS+dFS
M+dM
共 1页 107共 页
(Energy Method)
（ 1） 该微段的外力虚功
M,FS应看作该微段的外力该微段的外力虚功为（略去二阶小量）
λFM dd S
2
d)d(
2
d MMM
2
d)d(
2
d
SSS
λFFλF
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(Energy Method)
（ 2）该微段的内力虚功 dWi
由该微段的虚位移原理
（ 3） 梁的 内力虚功
0)dd(ddd Siei λFθMWWW
)dd(d Si λFθMW
l Sl ii )dd(d λFθMWW
梁的虚位移原理为
0)dd(
l S
4
1
λFθMδF i
i
i
共 1页 109共 页
(Energy Method)
若横截面上不仅有弯矩 M 和剪力 FS,还有轴力 FN和扭矩 T,则杆的虚位移原理为
l
NS
4
1
)dddd(?TδFλFθMδF i
i
i
（ a）?i 为 Fi 力作用点沿 Fi方向的相应虚位移,d?,d?,d?,d?
分别为与弯矩 M,剪力 FS,轴力 FN 和扭矩 T相对应虚位移；
（ b） 虚位移原理既不限定于线性问题,也不限定于弹性问题,
