Chapter14 Statically Indeterminate Structure
(Statically Indeterminate Structure)
第十四章 静不定结构 (Chapter 14
Statically Indeterminate Structure)
§ 14-3 对称及反对称性质的应用
(Application about symmetrical and
antisymmetrical properties )
§ 14-1 静不定结构概述 (Instruction about
statically indeterminate structure)
§ 14-2 用力法解静不定结构 (Solving
statically indeterminate structure by force
method)
(Statically Indeterminate Structure)
一、静不定结构 （ Statically indeterminate structure）
在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力,多余约束的数目为结构的 静不定次数 （ degree of statically indeterminate）,
§ 14-1 静不定结构概述 （ Instruction
about Statically indeterminate structure）
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构,统称为 静不定结构或系统 （ statically indeterminate structure）,也称为超静定结构或系统,
(Statically Indeterminate Structure)
第三类,在结构外部和内部均存在多余约束,即支反力和内力是静不定的,也称联合静不定结构,
二、静不定问题分类
（ Classification for statically indeterminate）
第一类,仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静不定的,
可称为外力静不定系统 ;
第二类,仅在结构内部存在多余约束,即内力是静不定的,可称为内力静不定系统 ;
(Statically Indeterminate Structure)
判断下列结构属于哪类超静定外力超静定外力超静定
（ d）
（ a） （ b） （ c）
（ e） （ f）
混合超静定混合超静定内力超静定内力超静定
(Statically Indeterminate Structure)
三、工程中的超静定结构 （ Statically indeterminate structure in
engineering）
在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提高构件的承载能力,
塔式吊车起重臂可简化为外伸粱结构,当需要延长主臂以增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?
(Statically Indeterminate Structure)
辅助支撑跟刀架顶尖在铣床上洗削工件时，为防止工件的移动并减小其变形和振动，需要增加辅助支撑，
虎钳和辅助支撑构成系统用车床加工细长轴时，经常采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以减少其变形。 卡盘和辅助支撑构成超静定系统 。
(Statically Indeterminate Structure)
(Statically Indeterminate Structure)
五、分析方法 （ Analytical method）
1.力法 （ Force method）,以未知力为基本未知量的求解方法 ;
2.位移法 （ Displacement method）,以未知位移为基本未知量的求解方法,
（ 1）外力超静定次数的判定,根据约束性质确定支反力的个数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差即为结构的超静定次数；
（ 2）内力超静定次数的判定,一个平面封闭框架为三次内力超静定 ;平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数减去二倍的节点数,
四、超静定次数的判定
（ Determine the degree of statically indeterminacy）
(Statically Indeterminate Structure)
§ 14-2 用力法解静不定结构
（ Solving statically indeterminate structure
by force method）
一、力法的求解过程 （ Basic procedure for force method）
1.判定超静定次数解除超静定结构的多余约束，用多余约束力 X1,X2,X3···代替多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的
“相当系统” ;
2.在多余约束处满足,变形几何条件,,得到变形协调方程 ;
3.由补充方程求出多余约束力 ;
4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形,
(Statically Indeterminate Structure)
A
B
l
X1
（ 1）去掉多余约束代之约束反力,得基本静定系把 B 支座作为多余约束
X1 为多余反力
AB 悬臂梁为基本静定系例题 1 如图所示,梁 EI为常数,试求支座反力,
q
A
q
B
(Statically Indeterminate Structure)
变形协调条件,B点的 挠度为
（ 2） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件
1X1表示由于 X1作用在静定基上时,X1作用 B 点沿 X1方向的位移,
1F表示荷载 F (广义力 ) 作用在静定基上时,X1作用 B点沿 X1
方向的位移,
011 1 FX ΔΔ
A
B
l
q
X1
A
q
B
(Statically Indeterminate Structure)
若用?11 表示 沿 X1方向的单位力在其作点引起的 X1方向的位移,
由于 X1作用,B点的沿 X1方向位移是?11的 X1倍
1111 1 XδΔ X?
利用上式解出 X1
A
B
l
q
X1
A
q
B
(Statically Indeterminate Structure)
1
（ 3） 用莫尔定理求 Δ1F
2)(
2qx
xM xxM?)(
EI
qlxxqx
EIΔ
l
F 8d)2(
1 4
0
2
1
A
B
l
q
X1
A
q
B
A
B
q
A B
x x
(Statically Indeterminate Structure)
1
（ 4） 用莫尔定理求?11
xxM?)(xxM?)(
EI
lxxx
EI
l
3d
1 3
011
A
B
l
q
X1
A
q
B
1
A B A B
x x
(Statically Indeterminate Structure)
代入 011 1 FX ΔΔ
EI
qlxxqx
EIΔ
l
F 8d)2(
1 4
0
2
1
EI
lxxx
EI
l
3d
1 3
011
34
1 038
l q lX
E I E I
解得 qlX 8
3
1?
A
B
l
q
X1
A
q
B
(Statically Indeterminate Structure)
二、力法正则方程
(Generalized equations in the force method)
上例中以多余力为未知量的变形协调方程可改写成下式
X1— 多余未知量；
变形协调方程的标准形式,即所谓的力法正则方程,
11— 在基本静定系上,X1取单位值时引起的在 X1作用点 X1 方向的位移 ;
1F — 在基本静定系上,由原载荷引起的在 X1作用点沿 X1方向的位移 ;
01111 FΔX?
(Statically Indeterminate Structure)
X1
X2
X3
这是三次超静定问题对于有多个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下,
F
A
B
F
A
B
(Statically Indeterminate Structure)
在静定基上,由 F,X1,X2,X3单独作用在点引起的水平位移分别记作? 1F,? 1X1,? 1X2,? 1X3
1表示 B点的水平位移方向
B点的水平位移等于零 01111 321 FXXX ΔΔΔΔ
F
A
B
X1
X2
X3F
A
B
(Statically Indeterminate Structure)
F
A
B
F
A
B
1 1
1
B1 B2 B3
01111 321 FXXX ΔΔΔΔ
1111 1 XΔ X 2121 2 XΔ X 3131 3 XΔ X
01313212111 FΔXXX
11?12?
13
F
A
B
(Statically Indeterminate Structure)
B点的铅垂位移等于零
2表示 B点的铅垂位移方向
02222 321 FXXX ΔΔΔΔ
F
A
B
F
A
B
X1
X2
X3
(Statically Indeterminate Structure)
1B3
F
A
B
F
A
B
1
B2?21?
22?23
02222 321 FXXX ΔΔΔΔ
02323222121 FΔXXX
1212 1 XΔ X 2222 2 XΔ X 3232 3 XΔ X
F
A
B
1
B1
(Statically Indeterminate Structure)
03333232131 FΔXXX
01313212111 FΔXXX
02323222121 FΔXXX jiij )3,2,1,(? ji
三次超静定系统的正则方程
F
A
B
F
A
B
X1
X2
X3
(Statically Indeterminate Structure)
正则方程的推广,
由位移互等定理知,
0
0
0
2n21n1
22222121
11212111
nFnnn
Fnn
Fnn
ΔXXX
ΔXXX
ΔXXX
jiij
(Statically Indeterminate Structure)
例题 2 刚架的两杆抗弯刚度都是 EI,解此刚架,
F
A
B
C
D
l
l/2
l/2
(Statically Indeterminate Structure)
解,取固定端处的反力偶为多余约束,
变形协调条件是,A点的转角等于零,
A
B
C
D
l
F
l/2
l/2
X1
A
B
C
D
l
F
l/2
l/2
(Statically Indeterminate Structure)
11 是在 A点作用单位力偶时,在 A截面引起的转角,
1F 是 力 F在 A截面引起的转角,
01111 FΔX?
A
B
C
D
l
F
l/2
l/2
A
B
C
D
l
F
l/2
l/2
X1
(Statically Indeterminate Structure)
BC:
AC:
（ 1）求?11 x
lxM
1)(? x
lxM
1)(?
1)(xM 1)(xM
A
B
C
D
l
l/2
l/2
1
1/l
1/l
A
B
C
D
l
l/2
l/2
1
1/l
1/l
x x
x x
(Statically Indeterminate Structure)
]d( 1 )d)([1 0 0 2211 l l xxlxEI?
A
B
C
D
l
l/2
l/2
1
1/l
1/l
A
B
C
D
l
l/2
l/2
1
1/l
1/l
x x
x x
(Statically Indeterminate Structure)
BC:
CD:
AD:
（ 2）求? 1F xFxM 2)(?
lFxM 2)(?
FxxM?)( 1)(?xM
1)(?xM
xlxM 1)(?
x x
A
B
C
D
l
l/2
l/2
1
1/l
1/l
x x
x x
F
A
B
C
D
l
l/2
l/2
F
F
F/2
F/2
(Statically Indeterminate Structure)
EI
Fl
xFxx
Fl
x
l
xFx
EI
Δ
l/l l/
F
24
13
]d1d1
2
d
2
[
1
2
2
00
2
0
1
EI
l
3
4
11
解得 FlX 32131
01111 FΔX?代入
(Statically Indeterminate Structure)
Me
A
B
C
D
a/2a/2
例题 3 已知两杆抗弯刚度均为 EI.不计剪力和轴力对刚架变形的影响,求支座反力 q=10kN/m,Me=50kN·m.
q
(Statically Indeterminate Structure)
（ 1） 用单位力法求?1F
BD:
DC:
CA:
01111 FΔX?
xxM?)(
xxM?)(
axM?)(
0)(?xM
e)( MxM
2)(
2
e
qxMxM
68
11
d)
2
(
1
d)(
1
4
2
e
0
2
e
2/
e1
qa
aM
xa
qa
M
EI
xxM
EI
Δ
a
a
a
F
x
x
1
x
x
x
x
A
B
C
D
a/2a/2
q
Me
A
B
C
D
(Statically Indeterminate Structure)
BD:
DC:
CA:
（ 2）用单位力法求?11
xxM?)(
axM?)(
xxM?)(
xxM?)(
xxM?)(
axM?)(
]d
dd[
1
0
2/
2/
011
a
a
a
a
xaa
xxxxxx
EI
3
3
4a?
x
x
A
B
C
D
1
x
x
A
B
C
D
x
x
1
01111 FΔX?
(Statically Indeterminate Structure)
3
11 3
4 a
68
11 42
e1
qaaMΔ
F
代入 0Δ 1111 FX?
解得
1 6,5 6 k N
)4( 3 3
32
1 4
e1
qaaM
a
X
Me
A
B
C
D
a/2a/2
q
X1
Me
A
B
C
D
a/2a/2
q
X1
FRAy
FRAxM
A
)( 56k N.16RAyF
)( 5 0 k NRAxF
( ) m922k NAM
(Statically Indeterminate Structure)
例题 4 试求图示刚架的全部约束反力,刚架 EI为常数,
解,（ 1） 刚架有两个多余约束,为二次静不定结构 ;
（ 2） 选取并去除多余约束,代以多余约束反力 ;
X2X
1
（ 3） 建立力法正则方程
（ 4） 计算系数?ij和自由项?iF
用莫尔定理求得
0
0
2222121
1212111
F
F
ΔXX
ΔXX
q
a
a
A
B
q
A
B
(Statically Indeterminate Structure)
1
EI
qaxaqx
EIΔ
a
F 6d)2
1(1 4
2
2
201
EI
qaxxqx
EIΔ
a
F 8d)2
1(1 4
22
2
202
EI
axaxx
EI
aa
3
4)dd(1 3
20
2
10
2
111
EI
axx
EI
a
3d
1 3
20
2
222
EI
axax
EI
a
2d
1 3
20 22112
1
x1
x1
x1
x 2
x 2
x 2
A
B
q
A
B A
B
(Statically Indeterminate Structure)
（ 5） 求多余约束反力将上述结果代入力法正则方程可得
（ 6） 求其它支反力由平衡方程得其它支反力,全部表示于图中,
0
832
0
623
4
4
2
3
1
3
4
2
3
1
3
EI
qa
X
EI
a
X
EI
a
EI
qa
X
EI
a
X
EI
a
)(
7
3
)(
28
1
2
1
qaX
qaX
q
A
B
qa73
qa281
qa74 2
28
3 qa
qa281
(Statically Indeterminate Structure)
X1
例题 5 求解静不定结构刚架,设两杆的 EI相等,
A
C B
a
a
X2
X3
q
B
A
C
q a
a
(Statically Indeterminate Structure)
（ 1）用单位荷载法求?1F,?2F,?3F
111
EI
qaxaqx
EIΔ
a
F 6d2
1 4
0 2
2
2
1
EI
qaxxqx
EIΔ
a
F 8d2
1 4
0 22
2
2
2
EI
qaxqx
EIΔ
a
F 6d12
1 3
0 2
2
2
3
A
C B
q
A
C B
x1 x1x
2 x2
(Statically Indeterminate Structure)
A
C B
A
C B
A
C B
x1x
2
x1x
2
x1x
2
1
1 1
（ 2）求?ii EIaxaaxxxEIδ
aa
3
4]dd[1 3
0 2110 111
EI
axxx
EIδ
a
3d
1 3
220 222
EI
axx
EIδ
aa 2]d11d11[1
0 21033
(Statically Indeterminate Structure)
（ 3）求?ij EIaxaxEIδδ
a
2d[
1 3
20 22112
EI
axaxx
EIδδ
aa
2
3]d1d1[1 2
0 210 13113
EI
axx
EIδδ
a
2d1
1 2
20 23223
1
1 1
A
C B
x1x
2
A
C B
x1x
2
A
C B
x1x
2
(Statically Indeterminate Structure)
（ 4）求 X1,X2,X3
代入正则方程：
EI
aδ
3
4 3
11?
EI
aδ
3
3
22?
EI
aδ 2
33?
EI
aδδ
2
3
2112
EI
aδδ
2
3 2
3113
EI
aδδ
2
3
3223
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
F
F
F
ΔXδXδXδ
ΔXδXδXδ
ΔXδXδXδ
B
X1
X2
X3
A
C
q a
a
(Statically Indeterminate Structure)
化简得,
求出,
2
321
2
321
2
321
312812
312812
938
qaXaXaX
qaXaXaX
qaXaXaX
4816
7
16
2
321
qaXqaXqaX
B
X1
X2
X3
A
C
q a
a
(Statically Indeterminate Structure)
例题 6 计算图（ a）中所示桁架各杆的内力,设各杆的材料相同,
横截面面积相等,
解：桁架内部有一个多余约束,所以各杆的内力确是超静定的,以杆件 4为多余约束,假想的把它切开,并代之以多余约束力 X1,
得到图（ b）所示的相当系统,
a
4
3
5
1
2
6
a
F X1 X1
(a)
4
3
5
1
2
6
F
(b)
(Statically Indeterminate Structure)
1F表示杆 4切口两侧截面因载荷而引起的沿 X1方向的相对位移 ;?11表示切口两侧截面因单位力而引起的沿 X1方向的相对位移
（图 d）,
01111 FXδ?力法正则方程
11
4
3
5
1
2
6
4
3
5
1
2
6
F
(c) (d)
(Statically Indeterminate Structure)
由图（ c）求出基本静定系在 F作用下各杆的内力 FNi
由图（ d）求出在单位力作用下各杆的内力 FNi
1
2
3
4
5
6
杆件编号 iFN iFN il 1NNN XFFF iiFiiii lFF NN iii lFF NN
-F/2a-Faa1-F
-F
0
0
0
F2
1
1
1
2? 2?
a
a
a
a2a2
-Fa
0
0
0
Fa22?
a
a
a
a22 a22
-F/2
F/2
F/2 2/F
2/F?
)222(
NN
Fa
lFF iii
a
lFF iii
)21(4
NN
(Statically Indeterminate Structure)
应用莫尔定理
EA
a
EA
lFFδ
i
iii )21(4NN
11
EA
Fa
EA
lFFΔ
i
iii
F
)222(NN
1
代入方程后求得
1NNN XFFF iiF i
2)21(4
)222(
11
1
1
F
a
Fa
δ
ΔX F?
由叠加原理可知桁架内任一杆件的实际内力
(Statically Indeterminate Structure)
例题 7 轴线为四分之一圆周的曲杆 A端固定,B端铰支（图 a）,在
F作用下,试求曲杆的弯矩图,设曲杆横截面尺寸远小于轴线半径,
可以借用计算直杆变形的公式,
/4
/4A
B
a
F
解,曲杆为一次超静定,解除多与支座 B,得到 A端固定,B端为自由端的基本静定系,多余约束力为 X1（图 b）,
(a)
/4A
BF
X1
(b)
(Statically Indeterminate Structure)
当基本静定系上只作用外载荷 F时（图 c）,
弯矩为
)
4
π
s i n (
0
FaM
M
)4π(0
)2π4π(
当在 B点沿 X1方向作用一单位力时（图 d）,
弯矩方程为
si naM
1
2Fa
a
A
BF
(c)
A
B
(d)
(Statically Indeterminate Structure)
应用莫尔积分,并设曲杆的 EI为常量,
d)s i n()]4π(s i n[1d 2
π
4
π1 aaFaEIEI
sMMΔ
sF
EI
aaa
EIEI
sMMδ
s 4
πd)s i n(1d 32π
0
2
11
028 π4π
3
1
3
EIFaXEIa
将?1F和?11代入 01111 FΔXδ
解得 221 FX?
EI
Fa
28
π3
(Statically Indeterminate Structure)
曲杆任一横截面上的弯矩
s i n)4πs i n( 1 aXFaM
)2π4π(
/4
/4A
B
a
F
/4
22Fa
A
B
a
F
(e)
s i n22s i n1 FaaXM
)4π(0
]s i n22 1)4π(s i n[ Fa
(Statically Indeterminate Structure)
一、对称结构的对称变形与反对称变形
（ Symmetrical and antisymmetrical deformation in
symmetrical structure）
结构几何尺寸,形状,构件材料及约束条件均对称于某一轴,则称此结构为对称结构,
§ 14-3 对称及反对称性质的应用
( Application about symmetrical and
antisymmetrical properties )
(Statically Indeterminate Structure)
E1I1 E1I1
EI
对称轴E1I1E1I1
EI
对称轴 E1I1E1I1
EI
对称轴当对称结构受力也对称于结构对称轴,则此结构将产生对称变形 ;
若外力反对称于结构对称轴,则结构将产生反对称变形,
(Statically Indeterminate Structure)
二、结构对称性的利用
（ Application of symmetrical structure）
对称结构 （ symmetrical structure）,若将结构绕对称轴对折后,结构在对称轴两边的部分将完全重合,
(Statically Indeterminate Structure)
对称载荷 （ symmetrical load）,绕对称轴对折后,结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合,而且每对力数值相等,
F2 F2
F1 F1
(Statically Indeterminate Structure)
反对称载荷 （ Antisymmetrical load）,绕对称轴对折后，
结构在对称轴两边的载荷的数值相等,作用点重合而作用方向相反,
F2 F2
F1 F1
(Statically Indeterminate Structure)
F F/2 F/2
F/2 F/2F
(Statically Indeterminate Structure)
例如：
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
F
F
F
ΔXδXδXδ
ΔXδXδXδ
ΔXδXδXδ
0
0
2222121
1212111
F
F
ΔXδXδ
ΔXδXδ
03133 FΔXδ
X3
X1 X1 X3
X2
F
X2
X2
X1 X1
X2
F/2F/2 F/2F/2
X3
X3
(Statically Indeterminate Structure)
例题 8 试求图示刚架的全部约束反力,并作弯矩图,刚架 EI为常数,
解,图示刚架有三个多余未知力,但由于结构是对称的,而载荷反对称,故对称轴横截面上轴力,弯矩为零,只有一个多余未知力（剪力）,只需列出一个正则方程求解,
用莫尔定理求?1F和?11.
01111 FXδ?
X1 X1
B
F F
F F
a a
A
C
(Statically Indeterminate Structure)
则由平衡方程求得,
02127
3
1
3
EIFaXEIa
EI
FaxaFx
EI
a
F 2d2)(
2 3
20 21
EI
axaxx
EI
a a
12
7]d)
2(d[
2 3
2
22
0 01
2
111
FX 761?
FFF ByAy 76RR
FFF BxAx RR
FaMM BA 74 MB
FRBx
FRBy
F F
A B
C
MAF
RAy
FRAx
代入正则方程
(Statically Indeterminate Structure)
A
C D
F
(b)
例题 9 在等截面圆环直径 AB的两端,沿直径作用方向相反的一对 F力（图 a）,试求 AB直径的长度变化,
解,沿水平直径将圆环切开（图 b）,由载荷的对称性,截面 C和 D上的剪力等于零,只有轴力 FN和弯矩 M0.
利用平衡条件求出 FN=F/2,只有 M0 为多余约束力,
F
F
A
B
C D
a
FNFN
(a)
M0 M0
(Statically Indeterminate Structure)
由图（ d）和图（ e）求出
)c o s1(2 FaM
1?M
根据对称性,只研究圆环的四分之一（图
c）,变形协调条件为
1 1 1 1 0Fδ X Δ
FN
X1
A
D
(c)
F/2
A
D
(d)
1
A
D
(e)
(Statically Indeterminate Structure)
将?1F和?11代入变形协调方程中,解得 )π121(1 FaX
任意截面上的弯矩
)2c o sπ1()π121()c o s1(2)( FaFaFaM
()
π
22
11 00
d π1d
22
M M a a aδ
E I E I E I
π 2
( ) ( )
( )
π 2
2
1
00
2
d
1 c o s 1 d
2
π
1
22
F
M M a Fa
Δ
EI EI
Fa
EI
π
2
(Statically Indeterminate Structure)
在 A,B两点作用单位力（图 f）,则单位力作用下圆环内的弯矩为
)2c o sπ1()( aM )2π(0
使用莫尔积分求 A,B两点的相对位移?
EI
Fa
EI
Fa
EI
Fa
EI
aMM
33
2
π
0
2
3
2
π
0
149.0)
π
2
4
π
(
d)
2
c o s
π
1
(
4d)()(
4
1
1
A
B
（ f）
(Statically Indeterminate Structure)
例题 10 求图 a 所示钢架的反力,
解,钢架有 4个反力,是一次超静定结构,基本静定系如图 b.
结构上的载荷是反对称的,C截面只有剪力不为零,
钢架的左半部分简化成图（ c）所示情况,由平衡方程得到,
2R
qaF
Ay? 2R
qaF
Cy? 0R?AxF
EI EI
q
A B
C
q aa
FRAx
FRAy
FRCy
(a)
C
q
A B
EI EI
q
MC
(b)
q
A
C
(c)
(Statically Indeterminate Structure)
第十四章 静不定结构 (Chapter 14
Statically Indeterminate Structure)
§ 14-3 对称及反对称性质的应用
(Application about symmetrical and
antisymmetrical properties )
§ 14-1 静不定结构概述 (Instruction about
statically indeterminate structure)
§ 14-2 用力法解静不定结构 (Solving
statically indeterminate structure by force
method)
(Statically Indeterminate Structure)
一、静不定结构 （ Statically indeterminate structure）
在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力,多余约束的数目为结构的 静不定次数 （ degree of statically indeterminate）,
§ 14-1 静不定结构概述 （ Instruction
about Statically indeterminate structure）
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构,统称为 静不定结构或系统 （ statically indeterminate structure）,也称为超静定结构或系统,
(Statically Indeterminate Structure)
第三类,在结构外部和内部均存在多余约束,即支反力和内力是静不定的,也称联合静不定结构,
二、静不定问题分类
（ Classification for statically indeterminate）
第一类,仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静不定的,
可称为外力静不定系统 ;
第二类,仅在结构内部存在多余约束,即内力是静不定的,可称为内力静不定系统 ;
(Statically Indeterminate Structure)
判断下列结构属于哪类超静定外力超静定外力超静定
（ d）
（ a） （ b） （ c）
（ e） （ f）
混合超静定混合超静定内力超静定内力超静定
(Statically Indeterminate Structure)
三、工程中的超静定结构 （ Statically indeterminate structure in
engineering）
在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提高构件的承载能力,
塔式吊车起重臂可简化为外伸粱结构,当需要延长主臂以增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?
(Statically Indeterminate Structure)
辅助支撑跟刀架顶尖在铣床上洗削工件时，为防止工件的移动并减小其变形和振动，需要增加辅助支撑，
虎钳和辅助支撑构成系统用车床加工细长轴时，经常采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以减少其变形。 卡盘和辅助支撑构成超静定系统 。
(Statically Indeterminate Structure)
(Statically Indeterminate Structure)
五、分析方法 （ Analytical method）
1.力法 （ Force method）,以未知力为基本未知量的求解方法 ;
2.位移法 （ Displacement method）,以未知位移为基本未知量的求解方法,
（ 1）外力超静定次数的判定,根据约束性质确定支反力的个数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差即为结构的超静定次数；
（ 2）内力超静定次数的判定,一个平面封闭框架为三次内力超静定 ;平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数减去二倍的节点数,
四、超静定次数的判定
（ Determine the degree of statically indeterminacy）
(Statically Indeterminate Structure)
§ 14-2 用力法解静不定结构
（ Solving statically indeterminate structure
by force method）
一、力法的求解过程 （ Basic procedure for force method）
1.判定超静定次数解除超静定结构的多余约束，用多余约束力 X1,X2,X3···代替多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的
“相当系统” ;
2.在多余约束处满足,变形几何条件,,得到变形协调方程 ;
3.由补充方程求出多余约束力 ;
4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形,
(Statically Indeterminate Structure)
A
B
l
X1
（ 1）去掉多余约束代之约束反力,得基本静定系把 B 支座作为多余约束
X1 为多余反力
AB 悬臂梁为基本静定系例题 1 如图所示,梁 EI为常数,试求支座反力,
q
A
q
B
(Statically Indeterminate Structure)
变形协调条件,B点的 挠度为
（ 2） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件
1X1表示由于 X1作用在静定基上时,X1作用 B 点沿 X1方向的位移,
1F表示荷载 F (广义力 ) 作用在静定基上时,X1作用 B点沿 X1
方向的位移,
011 1 FX ΔΔ
A
B
l
q
X1
A
q
B
(Statically Indeterminate Structure)
若用?11 表示 沿 X1方向的单位力在其作点引起的 X1方向的位移,
由于 X1作用,B点的沿 X1方向位移是?11的 X1倍
1111 1 XδΔ X?
利用上式解出 X1
A
B
l
q
X1
A
q
B
(Statically Indeterminate Structure)
1
（ 3） 用莫尔定理求 Δ1F
2)(
2qx
xM xxM?)(
EI
qlxxqx
EIΔ
l
F 8d)2(
1 4
0
2
1
A
B
l
q
X1
A
q
B
A
B
q
A B
x x
(Statically Indeterminate Structure)
1
（ 4） 用莫尔定理求?11
xxM?)(xxM?)(
EI
lxxx
EI
l
3d
1 3
011
A
B
l
q
X1
A
q
B
1
A B A B
x x
(Statically Indeterminate Structure)
代入 011 1 FX ΔΔ
EI
qlxxqx
EIΔ
l
F 8d)2(
1 4
0
2
1
EI
lxxx
EI
l
3d
1 3
011
34
1 038
l q lX
E I E I
解得 qlX 8
3
1?
A
B
l
q
X1
A
q
B
(Statically Indeterminate Structure)
二、力法正则方程
(Generalized equations in the force method)
上例中以多余力为未知量的变形协调方程可改写成下式
X1— 多余未知量；
变形协调方程的标准形式,即所谓的力法正则方程,
11— 在基本静定系上,X1取单位值时引起的在 X1作用点 X1 方向的位移 ;
1F — 在基本静定系上,由原载荷引起的在 X1作用点沿 X1方向的位移 ;
01111 FΔX?
(Statically Indeterminate Structure)
X1
X2
X3
这是三次超静定问题对于有多个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下,
F
A
B
F
A
B
(Statically Indeterminate Structure)
在静定基上,由 F,X1,X2,X3单独作用在点引起的水平位移分别记作? 1F,? 1X1,? 1X2,? 1X3
1表示 B点的水平位移方向
B点的水平位移等于零 01111 321 FXXX ΔΔΔΔ
F
A
B
X1
X2
X3F
A
B
(Statically Indeterminate Structure)
F
A
B
F
A
B
1 1
1
B1 B2 B3
01111 321 FXXX ΔΔΔΔ
1111 1 XΔ X 2121 2 XΔ X 3131 3 XΔ X
01313212111 FΔXXX
11?12?
13
F
A
B
(Statically Indeterminate Structure)
B点的铅垂位移等于零
2表示 B点的铅垂位移方向
02222 321 FXXX ΔΔΔΔ
F
A
B
F
A
B
X1
X2
X3
(Statically Indeterminate Structure)
1B3
F
A
B
F
A
B
1
B2?21?
22?23
02222 321 FXXX ΔΔΔΔ
02323222121 FΔXXX
1212 1 XΔ X 2222 2 XΔ X 3232 3 XΔ X
F
A
B
1
B1
(Statically Indeterminate Structure)
03333232131 FΔXXX
01313212111 FΔXXX
02323222121 FΔXXX jiij )3,2,1,(? ji
三次超静定系统的正则方程
F
A
B
F
A
B
X1
X2
X3
(Statically Indeterminate Structure)
正则方程的推广,
由位移互等定理知,
0
0
0
2n21n1
22222121
11212111
nFnnn
Fnn
Fnn
ΔXXX
ΔXXX
ΔXXX
jiij
(Statically Indeterminate Structure)
例题 2 刚架的两杆抗弯刚度都是 EI,解此刚架,
F
A
B
C
D
l
l/2
l/2
(Statically Indeterminate Structure)
解,取固定端处的反力偶为多余约束,
变形协调条件是,A点的转角等于零,
A
B
C
D
l
F
l/2
l/2
X1
A
B
C
D
l
F
l/2
l/2
(Statically Indeterminate Structure)
11 是在 A点作用单位力偶时,在 A截面引起的转角,
1F 是 力 F在 A截面引起的转角,
01111 FΔX?
A
B
C
D
l
F
l/2
l/2
A
B
C
D
l
F
l/2
l/2
X1
(Statically Indeterminate Structure)
BC:
AC:
（ 1）求?11 x
lxM
1)(? x
lxM
1)(?
1)(xM 1)(xM
A
B
C
D
l
l/2
l/2
1
1/l
1/l
A
B
C
D
l
l/2
l/2
1
1/l
1/l
x x
x x
(Statically Indeterminate Structure)
]d( 1 )d)([1 0 0 2211 l l xxlxEI?
A
B
C
D
l
l/2
l/2
1
1/l
1/l
A
B
C
D
l
l/2
l/2
1
1/l
1/l
x x
x x
(Statically Indeterminate Structure)
BC:
CD:
AD:
（ 2）求? 1F xFxM 2)(?
lFxM 2)(?
FxxM?)( 1)(?xM
1)(?xM
xlxM 1)(?
x x
A
B
C
D
l
l/2
l/2
1
1/l
1/l
x x
x x
F
A
B
C
D
l
l/2
l/2
F
F
F/2
F/2
(Statically Indeterminate Structure)
EI
Fl
xFxx
Fl
x
l
xFx
EI
Δ
l/l l/
F
24
13
]d1d1
2
d
2
[
1
2
2
00
2
0
1
EI
l
3
4
11
解得 FlX 32131
01111 FΔX?代入
(Statically Indeterminate Structure)
Me
A
B
C
D
a/2a/2
例题 3 已知两杆抗弯刚度均为 EI.不计剪力和轴力对刚架变形的影响,求支座反力 q=10kN/m,Me=50kN·m.
q
(Statically Indeterminate Structure)
（ 1） 用单位力法求?1F
BD:
DC:
CA:
01111 FΔX?
xxM?)(
xxM?)(
axM?)(
0)(?xM
e)( MxM
2)(
2
e
qxMxM
68
11
d)
2
(
1
d)(
1
4
2
e
0
2
e
2/
e1
qa
aM
xa
qa
M
EI
xxM
EI
Δ
a
a
a
F
x
x
1
x
x
x
x
A
B
C
D
a/2a/2
q
Me
A
B
C
D
(Statically Indeterminate Structure)
BD:
DC:
CA:
（ 2）用单位力法求?11
xxM?)(
axM?)(
xxM?)(
xxM?)(
xxM?)(
axM?)(
]d
dd[
1
0
2/
2/
011
a
a
a
a
xaa
xxxxxx
EI
3
3
4a?
x
x
A
B
C
D
1
x
x
A
B
C
D
x
x
1
01111 FΔX?
(Statically Indeterminate Structure)
3
11 3
4 a
68
11 42
e1
qaaMΔ
F
代入 0Δ 1111 FX?
解得
1 6,5 6 k N
)4( 3 3
32
1 4
e1
qaaM
a
X
Me
A
B
C
D
a/2a/2
q
X1
Me
A
B
C
D
a/2a/2
q
X1
FRAy
FRAxM
A
)( 56k N.16RAyF
)( 5 0 k NRAxF
( ) m922k NAM
(Statically Indeterminate Structure)
例题 4 试求图示刚架的全部约束反力,刚架 EI为常数,
解,（ 1） 刚架有两个多余约束,为二次静不定结构 ;
（ 2） 选取并去除多余约束,代以多余约束反力 ;
X2X
1
（ 3） 建立力法正则方程
（ 4） 计算系数?ij和自由项?iF
用莫尔定理求得
0
0
2222121
1212111
F
F
ΔXX
ΔXX
q
a
a
A
B
q
A
B
(Statically Indeterminate Structure)
1
EI
qaxaqx
EIΔ
a
F 6d)2
1(1 4
2
2
201
EI
qaxxqx
EIΔ
a
F 8d)2
1(1 4
22
2
202
EI
axaxx
EI
aa
3
4)dd(1 3
20
2
10
2
111
EI
axx
EI
a
3d
1 3
20
2
222
EI
axax
EI
a
2d
1 3
20 22112
1
x1
x1
x1
x 2
x 2
x 2
A
B
q
A
B A
B
(Statically Indeterminate Structure)
（ 5） 求多余约束反力将上述结果代入力法正则方程可得
（ 6） 求其它支反力由平衡方程得其它支反力,全部表示于图中,
0
832
0
623
4
4
2
3
1
3
4
2
3
1
3
EI
qa
X
EI
a
X
EI
a
EI
qa
X
EI
a
X
EI
a
)(
7
3
)(
28
1
2
1
qaX
qaX
q
A
B
qa73
qa281
qa74 2
28
3 qa
qa281
(Statically Indeterminate Structure)
X1
例题 5 求解静不定结构刚架,设两杆的 EI相等,
A
C B
a
a
X2
X3
q
B
A
C
q a
a
(Statically Indeterminate Structure)
（ 1）用单位荷载法求?1F,?2F,?3F
111
EI
qaxaqx
EIΔ
a
F 6d2
1 4
0 2
2
2
1
EI
qaxxqx
EIΔ
a
F 8d2
1 4
0 22
2
2
2
EI
qaxqx
EIΔ
a
F 6d12
1 3
0 2
2
2
3
A
C B
q
A
C B
x1 x1x
2 x2
(Statically Indeterminate Structure)
A
C B
A
C B
A
C B
x1x
2
x1x
2
x1x
2
1
1 1
（ 2）求?ii EIaxaaxxxEIδ
aa
3
4]dd[1 3
0 2110 111
EI
axxx
EIδ
a
3d
1 3
220 222
EI
axx
EIδ
aa 2]d11d11[1
0 21033
(Statically Indeterminate Structure)
（ 3）求?ij EIaxaxEIδδ
a
2d[
1 3
20 22112
EI
axaxx
EIδδ
aa
2
3]d1d1[1 2
0 210 13113
EI
axx
EIδδ
a
2d1
1 2
20 23223
1
1 1
A
C B
x1x
2
A
C B
x1x
2
A
C B
x1x
2
(Statically Indeterminate Structure)
（ 4）求 X1,X2,X3
代入正则方程：
EI
aδ
3
4 3
11?
EI
aδ
3
3
22?
EI
aδ 2
33?
EI
aδδ
2
3
2112
EI
aδδ
2
3 2
3113
EI
aδδ
2
3
3223
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
F
F
F
ΔXδXδXδ
ΔXδXδXδ
ΔXδXδXδ
B
X1
X2
X3
A
C
q a
a
(Statically Indeterminate Structure)
化简得,
求出,
2
321
2
321
2
321
312812
312812
938
qaXaXaX
qaXaXaX
qaXaXaX
4816
7
16
2
321
qaXqaXqaX
B
X1
X2
X3
A
C
q a
a
(Statically Indeterminate Structure)
例题 6 计算图（ a）中所示桁架各杆的内力,设各杆的材料相同,
横截面面积相等,
解：桁架内部有一个多余约束,所以各杆的内力确是超静定的,以杆件 4为多余约束,假想的把它切开,并代之以多余约束力 X1,
得到图（ b）所示的相当系统,
a
4
3
5
1
2
6
a
F X1 X1
(a)
4
3
5
1
2
6
F
(b)
(Statically Indeterminate Structure)
1F表示杆 4切口两侧截面因载荷而引起的沿 X1方向的相对位移 ;?11表示切口两侧截面因单位力而引起的沿 X1方向的相对位移
（图 d）,
01111 FXδ?力法正则方程
11
4
3
5
1
2
6
4
3
5
1
2
6
F
(c) (d)
(Statically Indeterminate Structure)
由图（ c）求出基本静定系在 F作用下各杆的内力 FNi
由图（ d）求出在单位力作用下各杆的内力 FNi
1
2
3
4
5
6
杆件编号 iFN iFN il 1NNN XFFF iiFiiii lFF NN iii lFF NN
-F/2a-Faa1-F
-F
0
0
0
F2
1
1
1
2? 2?
a
a
a
a2a2
-Fa
0
0
0
Fa22?
a
a
a
a22 a22
-F/2
F/2
F/2 2/F
2/F?
)222(
NN
Fa
lFF iii
a
lFF iii
)21(4
NN
(Statically Indeterminate Structure)
应用莫尔定理
EA
a
EA
lFFδ
i
iii )21(4NN
11
EA
Fa
EA
lFFΔ
i
iii
F
)222(NN
1
代入方程后求得
1NNN XFFF iiF i
2)21(4
)222(
11
1
1
F
a
Fa
δ
ΔX F?
由叠加原理可知桁架内任一杆件的实际内力
(Statically Indeterminate Structure)
例题 7 轴线为四分之一圆周的曲杆 A端固定,B端铰支（图 a）,在
F作用下,试求曲杆的弯矩图,设曲杆横截面尺寸远小于轴线半径,
可以借用计算直杆变形的公式,
/4
/4A
B
a
F
解,曲杆为一次超静定,解除多与支座 B,得到 A端固定,B端为自由端的基本静定系,多余约束力为 X1（图 b）,
(a)
/4A
BF
X1
(b)
(Statically Indeterminate Structure)
当基本静定系上只作用外载荷 F时（图 c）,
弯矩为
)
4
π
s i n (
0
FaM
M
)4π(0
)2π4π(
当在 B点沿 X1方向作用一单位力时（图 d）,
弯矩方程为
si naM
1
2Fa
a
A
BF
(c)
A
B
(d)
(Statically Indeterminate Structure)
应用莫尔积分,并设曲杆的 EI为常量,
d)s i n()]4π(s i n[1d 2
π
4
π1 aaFaEIEI
sMMΔ
sF
EI
aaa
EIEI
sMMδ
s 4
πd)s i n(1d 32π
0
2
11
028 π4π
3
1
3
EIFaXEIa
将?1F和?11代入 01111 FΔXδ
解得 221 FX?
EI
Fa
28
π3
(Statically Indeterminate Structure)
曲杆任一横截面上的弯矩
s i n)4πs i n( 1 aXFaM
)2π4π(
/4
/4A
B
a
F
/4
22Fa
A
B
a
F
(e)
s i n22s i n1 FaaXM
)4π(0
]s i n22 1)4π(s i n[ Fa
(Statically Indeterminate Structure)
一、对称结构的对称变形与反对称变形
（ Symmetrical and antisymmetrical deformation in
symmetrical structure）
结构几何尺寸,形状,构件材料及约束条件均对称于某一轴,则称此结构为对称结构,
§ 14-3 对称及反对称性质的应用
( Application about symmetrical and
antisymmetrical properties )
(Statically Indeterminate Structure)
E1I1 E1I1
EI
对称轴E1I1E1I1
EI
对称轴 E1I1E1I1
EI
对称轴当对称结构受力也对称于结构对称轴,则此结构将产生对称变形 ;
若外力反对称于结构对称轴,则结构将产生反对称变形,
(Statically Indeterminate Structure)
二、结构对称性的利用
（ Application of symmetrical structure）
对称结构 （ symmetrical structure）,若将结构绕对称轴对折后,结构在对称轴两边的部分将完全重合,
(Statically Indeterminate Structure)
对称载荷 （ symmetrical load）,绕对称轴对折后,结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合,而且每对力数值相等,
F2 F2
F1 F1
(Statically Indeterminate Structure)
反对称载荷 （ Antisymmetrical load）,绕对称轴对折后，
结构在对称轴两边的载荷的数值相等,作用点重合而作用方向相反,
F2 F2
F1 F1
(Statically Indeterminate Structure)
F F/2 F/2
F/2 F/2F
(Statically Indeterminate Structure)
例如：
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
F
F
F
ΔXδXδXδ
ΔXδXδXδ
ΔXδXδXδ
0
0
2222121
1212111
F
F
ΔXδXδ
ΔXδXδ
03133 FΔXδ
X3
X1 X1 X3
X2
F
X2
X2
X1 X1
X2
F/2F/2 F/2F/2
X3
X3
(Statically Indeterminate Structure)
例题 8 试求图示刚架的全部约束反力,并作弯矩图,刚架 EI为常数,
解,图示刚架有三个多余未知力,但由于结构是对称的,而载荷反对称,故对称轴横截面上轴力,弯矩为零,只有一个多余未知力（剪力）,只需列出一个正则方程求解,
用莫尔定理求?1F和?11.
01111 FXδ?
X1 X1
B
F F
F F
a a
A
C
(Statically Indeterminate Structure)
则由平衡方程求得,
02127
3
1
3
EIFaXEIa
EI
FaxaFx
EI
a
F 2d2)(
2 3
20 21
EI
axaxx
EI
a a
12
7]d)
2(d[
2 3
2
22
0 01
2
111
FX 761?
FFF ByAy 76RR
FFF BxAx RR
FaMM BA 74 MB
FRBx
FRBy
F F
A B
C
MAF
RAy
FRAx
代入正则方程
(Statically Indeterminate Structure)
A
C D
F
(b)
例题 9 在等截面圆环直径 AB的两端,沿直径作用方向相反的一对 F力（图 a）,试求 AB直径的长度变化,
解,沿水平直径将圆环切开（图 b）,由载荷的对称性,截面 C和 D上的剪力等于零,只有轴力 FN和弯矩 M0.
利用平衡条件求出 FN=F/2,只有 M0 为多余约束力,
F
F
A
B
C D
a
FNFN
(a)
M0 M0
(Statically Indeterminate Structure)
由图（ d）和图（ e）求出
)c o s1(2 FaM
1?M
根据对称性,只研究圆环的四分之一（图
c）,变形协调条件为
1 1 1 1 0Fδ X Δ
FN
X1
A
D
(c)
F/2
A
D
(d)
1
A
D
(e)
(Statically Indeterminate Structure)
将?1F和?11代入变形协调方程中,解得 )π121(1 FaX
任意截面上的弯矩
)2c o sπ1()π121()c o s1(2)( FaFaFaM
()
π
22
11 00
d π1d
22
M M a a aδ
E I E I E I
π 2
( ) ( )
( )
π 2
2
1
00
2
d
1 c o s 1 d
2
π
1
22
F
M M a Fa
Δ
EI EI
Fa
EI
π
2
(Statically Indeterminate Structure)
在 A,B两点作用单位力（图 f）,则单位力作用下圆环内的弯矩为
)2c o sπ1()( aM )2π(0
使用莫尔积分求 A,B两点的相对位移?
EI
Fa
EI
Fa
EI
Fa
EI
aMM
33
2
π
0
2
3
2
π
0
149.0)
π
2
4
π
(
d)
2
c o s
π
1
(
4d)()(
4
1
1
A
B
（ f）
(Statically Indeterminate Structure)
例题 10 求图 a 所示钢架的反力,
解,钢架有 4个反力,是一次超静定结构,基本静定系如图 b.
结构上的载荷是反对称的,C截面只有剪力不为零,
钢架的左半部分简化成图（ c）所示情况,由平衡方程得到,
2R
qaF
Ay? 2R
qaF
Cy? 0R?AxF
EI EI
q
A B
C
q aa
FRAx
FRAy
FRCy
(a)
C
q
A B
EI EI
q
MC
(b)
q
A
C
(c)
