Chapter8 Combined deformation
(Combined Deformation)
第八章 组合变形
（ Combined deformation）
§ 8-1 组合变形和叠加原理
（ Combined deformation and
superposition method）
§ 8-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
（ Combined axial and flexural loads）
§ 8-3 偏心拉（压）?截面核心 (Eccentric
loads &the kern（ or core） of a section)
§ 8-4 扭转与弯曲的组合
（ Combined torque and flexural loads）
(Combined Deformation)
一,组合变形 的 概念 （ Concepts of combined
deformation）
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形,
二、解决组合变形问题的基本方法 － 叠加法
（ Basic method for sloving combined deformation-
superposition method）
叠加原理的成立要求,内力,应力,应变,变形等与外力之间成线性关系,
§ 8-1 组合变形和叠加原理 （ Combined
deformation and superposition method）
(Combined Deformation)
三,工程实例 （ Engineering examples）
(Combined Deformation)
a b c
A B
P
F1
F2
x
z
y
(Combined Deformation)
1.外力分析 （ Analysis of external force）
将外力 简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形,
使 之每个力（或力偶）对应一种基本变形
3.应力分析 （ Stress analysis）
画出危险截面的应力分布图,利用 叠加原理 将基本变形下的应力和变形叠加,建立危险点的强度条件四、处理组合变形的基本方法
（ Basic method for solving combined deformation）
2.内力分析 （ Analysis of internal force ）
求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面,分别 计算 在每一种基本变形下构件的应力和变形
(Combined Deformation)
= +
+= +
(Combined Deformation)
一、受力特点 （ Character of external force）
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形作用在杆件上的外力既有轴向拉 ( 压 )力,还有横向力二、变形特点 （ Character of deformation）
§ 8-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
（ Combined axial loading and bending）
F
F1 产生弯曲变形
F2 产生拉伸变形
Fy
Fx
Fy 产生弯曲变形
Fx 产生拉伸变形
F1F
2 F2示例 1
示例 2
(Combined Deformation)
三、内力分析 （ Analysis of internal force）
x
y
O
zMz
FN
横截面上内力 （ internal force on cross
section）
2.弯曲?
1.拉 (压 ):轴力 FN （ axial force）
弯矩 Mz （ bending moment）
剪力 Fs（ shear force）
因为引起的切应力较小,故一般不考虑,
FS
(Combined Deformation)
横截面上任意一点 （ z,y） 处的正应力计算公式为四、应力分析 （ Analysis of stress）
1.拉伸正应力
（ Axial normal stress）
2.弯曲正应力
（ Bending normal stress）
A
FN
z
z
I
yM
z
z
I
yM
A
F N
x
y
O
zMz
FN
( z,y)
(Combined Deformation)
轴力 （ axial force）
所以跨中截面是杆的危险截面
2N FF?
F1
F2 F2
l/2 l/2
4
1
m a x
lFM?
3.危险截面的确定 （ Determine the danger cross section）
作内力图弯矩 （ bending moment）
x
x
FN图
M图
F2
F1l/4
(Combined Deformation)
拉伸正应力最大弯曲正应力
A
F2
W
lF
W
M
4
1ma x
ma x
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
W
lF
A
F
4
12
ma xma xt
4.计算危险点的应力 （ Calculating stress of the danger point）
F1
F2 F2
l/2 l/2
A
F2
-
W
M ma x
(Combined Deformation)
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件,
五、强度条件 （ Strength condition）
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件为,
][ma x
][ tma xt
][ cma xc
(Combined Deformation)
例题 1 悬臂吊车如图所示,横梁用 20a工字钢制成,其抗弯刚度 Wz
= 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为 [?]=125MPa.校核横梁 AB的强度,
F
A
C
D
1.2m 1.2m
B30°
BA
DF
FRAy
FRAx
Fy
Fx
FNAB
30°
解：（ 1） 分析 AB的受力情况
02.14.230s i n 0 N FFM ABA
FF AB?N
FFF
FFF
Ayy
Axx
5.00
8 6 6.00
R
R
AB杆 为平面弯曲与 轴向 压缩组合变形中间截面为危险截面,最大压应力发生在该 截面的上边缘
(Combined Deformation)
（ 2） 压缩正应力
（ 3） 最大弯曲正应力
A
F
A
F Ax 8 66.0R
zz
Ay
W
F
W
F 6.02.1 R
m a x
][M Pa37.946.0866.0ma xc
zW
F
A
F
（ 4）危险点的应力
F
A
C
D
1.2m 1.2m
30° B
BA
DF
FRAy
FRAx
Fy
Fx
FNAB
30°
(Combined Deformation)
例题 2 小型压力机的铸铁框架如图所示,已知材料的许用拉应力
[?t] =30MPa,许用压应力 [?c] =160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力 F.
y
z
z0 z1
50
50
150
150
350F
F
(Combined Deformation)
解：（ 1）确定形心位置 A=15?10-3 m2 z0 =7.5 cm
Iy = 5310 cm4计算截面对中性轴 y 的惯性矩
y
z
z0 z1
50
50
150
150
350F
F
(Combined Deformation)
F n n
FN My
（ 2） 分析立柱横截面上的内力和应力在 n-n 截面上有轴力 FN及弯矩 My
FFM
FF
y
22
N
105.42]10)5.735[(
n n
350F
F
y
z
z0 z1
50
50
150
150
(Combined Deformation)
由轴力 FN产生的拉伸正应力为
M Pa15N FAF
F n n
FN My
n n
y
z
z0 z1
350F
F
50
50
150
150
(Combined Deformation)
由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为
)(M Pa5310 5.74250ma xt FI zM
y
y?
)(M Pa5310 5.124251ma xc FI zM
y
y?
50
50
150
150
y
z
z0 z1拉
n n
350F
F F
n n
FN My
(Combined Deformation)
（ 3）叠加 在截面内侧有最大拉应力
][5 3 1 0 5.742515 tma xtma xt FF
[F]? 45.1 kN
50
50
150
150
y
z
z0 z1拉压
n n
350F
F F
n n
FN My
(Combined Deformation)
在截面外侧有最大压应力
[F]? 171.3 kN
[F]? 45.1 kN所以取
][5310 5.12425 cm a xcm a xc FAF
50
50
150
150
y
z
z0 z1拉压
n n
350F
F F
n n
FN My
(Combined Deformation)
例题 3 正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截面面积的一半,求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍,
F F
a a a a
(Combined Deformation)
1 1
F Fa/2
未开槽前立柱为轴向压缩解：
22
N
1 4)2( a
F
a
F
A
F
A
F F
a a
开槽后 1-1是危险截面危险截面为偏心压缩将力 F 向 1-1形心简化
2
2
N
2
2
2
6
1
2/
2 a
F
aa
Fa
aa
F
W
M
A
F?
未开槽前立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力 8
4
2
2
2
aF aF/ /
(Combined Deformation)
例题 4 矩形截面柱如图所示,F1的作用线与杆轴线重合,F2作用在 y 轴上,已知,F1= F2=80kN,b=24cm,h=30cm.如要使柱的 m-m 截面只出现压应力,求 F2的偏心距 e.
y
z e
b
h
F1
F2
m m
(Combined Deformation)
解：
（ 1）外力分析 将力 F2 向截面形心简化后,
梁上的外力有轴向压力力偶矩
y
z e
b
h
F1
m m
F2
Mz
21 FFF
eFM z 2
（ 2） m-m 横截面上的内力有轴力弯矩
21 FFF
eFM z 2
(Combined Deformation)
轴力产生压应力弯矩产生的最大正应力
A
FF
A
F 21N
6/2
2
bh
eF
W
M
z
z
（ 3）依题的要求,整个截面只有压应力
06/2221 bh eFA FF
得 6
/)( 2
2
1 2 bh
F
AFFe y
z e
b
h
F1
m m
F2
Ｍ z
(Combined Deformation)
§ 8-3 偏心拉（压）? 截面核心
（ Eccentric loads &the kern of a section）
1.定义 （ Definition） 当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时,
将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形,
O1
y
zF
一、偏心拉（压） （ Eccentric loads）
A(yF,zF)
(Combined Deformation)
x
y
zF
e
F
2.以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力 F 为例
（ 1）将外力向截面形心简化,使每个力（或力偶）只产生一种基本变形形式
O1
y
z
A(yF,zF)F
Fe
轴向拉力 F 力偶矩 M = F e，
将 M向 y轴和 z轴分解
Fz
Fy
FyFeM
FzFeM
c o s
s i n
(Combined Deformation)
F 使杆发生拉伸变形
My 使杆发生 xOz平面内的弯曲变形（ y 为中性轴）
Mz 使杆发生 xOy 平面内的弯曲变形（ z为中性轴）
y
z
O1
F
x
My Mz
(Combined Deformation)
二、任意横截面 n-n上的内力分析 （ Analysis of internal
force on any cross section n-n）
轴力 FN= F
y
O1My Mz
n n
y
z
My
MzFN
Fz
Fy
FyM
FzM
弯矩
F
(Combined Deformation)
三、任意横截面 n-n 上 C 点的应力分析
（ Stress analysis at point C on cross section n-n）
y
z
My
Mz
FN由 F产生的正应力
A
F
A
F N?
由 My 产生的正应力
y
F
y
y
I
zzF
I
zM
由 Mz 产生的正应力
z
F
z
z
I
yyF
I
yM
(y,z)C
(Combined Deformation)
由于 C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知,
由叠加原理,得 C点处的正应力为均为拉应力,,
z
F
y
F
I
yyF
I
zzF
A
F
N
y
z
My
Mz
FN
式中
A为横截面面积 ;
Iy,Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩 ;
（ zF,yF ） 为 力 F 作用点的坐标 ;
（ z,y）为所 求应力点的坐标,
(y,z)C
(Combined Deformation)
上式是一个平面方程,表明正应力在横截面上按线性规律变化,应力平面与横截面的交线（直线? = 0）就是中性轴,
四、中性轴的位置 （ The location of neutral axis）
z
F
y
F
I
yyF
I
zzF
A
F N?
22 zzyy iAIiAI
)1( 22N
z
F
y
F
i
yy
i
zz
A
F
(Combined Deformation)
令 y0,z0 代表中性轴上任一点的坐标,即得中性轴方程
)1( 22N
z
F
y
F
i
yy
i
zz
A
F
01 2 02 0
z
F
y
F
i
yy
i
zz
讨论
（ 1）在偏心拉伸 (压缩 ) 情况下,
中性轴是一条不通过截面形心的直线
O
z
中性轴
y
(Combined Deformation)
y
z中性轴
O
（ 2） 用 ay和 az 记中性轴在 y,z 两轴上的截距,则有
(yF,zF )
01 2 02 0
z
F
y
F
i
yy
i
zz
F
y
z
F
z
y z
ia
y
ia 22
ay
az
（ 3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧
(Combined Deformation)
yO
z
中性轴 外力作用点
y
z
中性轴
（ 4） 中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区横截面上最大拉应力和最大压应力分别为 D1,D2 两切点
D1(y1,z1)
D2(y2,z2)
(Combined Deformation)
(a) (b) (c)
y y
zz
（ 5）对于周边具有棱角的截面,其危险点必定在截面的棱角处,
并可根据杆件的变形来确定
F/A
y
z
FyF/Wz
NF? yM? zM?
FzF/Wy
(Combined Deformation)
y
z
D1
D2
最大拉应力?tmax 和最大压应力?cmin分 别在截面的棱角 D1
D2 处,无需先确定中性轴的位置,直接观察确定危险点的位置即可
z
F
y
F
W
yF
W
zF
A
F
mi n
ma x
五、强度条件 （ Strength condition）
由于危险点处仍为单向应力状态,因此,求得最大正应力后,建立的强度条件为
][ma x
(Combined Deformation)
y
z
六、截面核心 （ The kern of a section）
中性轴
ay
az
（ yF,zF）为外力作用点的坐标
ay,az为中性轴在 y轴和 z轴上的截距
FF z
ia
y
ia y
z
z
y
22
(yF,zF)
当中性轴与图形相切或远离图形时,整个图形上将只有拉应力或只有压应力
(Combined Deformation)
y
z
中性轴
ay
az
y
z
中性轴中性轴 y
z
(yF,zF)
(yF,zF)
(yF,zF)
(Combined Deformation)
y
z
截面核心
1.定义 （ Definition） 当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时,就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或压应力）,这个区域就称为 截面核心 （ the kern of a section）
(Combined Deformation)
y
z
当外力作用在截面核心的边界上时,与此相应的中性轴正好与截面的周边相切,截面核心的边界就由此关系确定,
中性轴ay
az
2.截面核心的确定 （ Determine the kern of a section）
(yF,zF)
z
y
F
y
z
F a
iz
a
iy 22
截面核心
(Combined Deformation)
例 5 求圆形截面的截面核心
y
z
O
A
解,
（１） 作切线?为中性轴,在两个形心主惯性轴上的截距分别为
11,2 zy ada
圆截面的惯性半径
422 dii zy
,
8
2
16
2
1
2
1
d
d
d
a
i
y
y
z
F
0
1
2
1
z
y
F a
iz
1
d/8
（２）由于圆截面对于圆心 O是对称的,因而,截面核心的边界对于圆也应是对称的,从而可知,截面核心边界是一个以 O为圆心,
以 d/8为半径的圆
(Combined Deformation)
h
A
BC
D
y
z
O
解,作切线?为中性轴,得两截距分别为
1212
12
2
2
2
3
2 hib
hb
hb
A
I
i zyy
11 2 zy aha
6
2
12
2
2
1
1
h
h
h
a
i
y
y
z
F 0
1
2
1
z
y
F a
iz
矩形截面的 1
例 6 求矩形截面的截面核心
(Combined Deformation)
h
A
BC
D
y
z
O
1
2
3
4
（ 2）同理,分别作切线?,?,?，
可求得对应的核心边界上点的坐标依次为
60 22
bzy
FF,
)0,6(h
),( 60 b?
（ 3）矩形截面核心形状分析直线?绕顶点 B旋转到直线?时,将得到一系列通过 B点但斜率不同的中性轴,而 B点坐标 yB,zB 是这一系列中性轴上所共有的,
(Combined Deformation)
h
A
BC
D
y
z
O
2
3
4
1这些中性轴方程为
0 1 0202 y
i
yz
i
z
z
F
y
F
01 22 F
z
B
F
y
B y
i
yz
i
z
上式可以看作是表示外力作用点 坐标间关系的直线方程,
故外力作用点移动的轨迹是直线,
313 324
hb
(Combined Deformation)
（ a）对于具有棱角的截面,均可按上述方法确定截面核心
（ b）对于周边有凹进 部分的截面（如 T字形截面）,能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性 轴,因为这种直线穿过 横截面,
（ 4）讨论 （ discussion）
(Combined Deformation)
lA
B C
F
研究对象 （ research object） 圆截面杆 （ circular bars）
受力特点 （ character of external force）
杆件同时承受转矩和横向力作用变形特点 （ character of deformation）
发生扭转和弯曲两种基本变形
§ 8-4 扭转与弯曲的组合
（ Combined bending and torsion）
(Combined Deformation)
一,内力分析
（ Analysis of internal force）
设一直径为 d的等直圆杆 AB,B
端具有与 AB成直角的刚臂,研究 AB
杆的内力,
将力 F 向 AB 杆右端截面的形心 B简化 得横向力 F （引起平面弯曲）
力偶矩 M= Fa （引起扭转）
AB 杆为弯曲与扭转局面组合变形
BA
F
M
x
lA
B C
F
(Combined Deformation)
画内力图确定危险截面固定端 A截面为危险截面
AA
F
M
MFl
(Combined Deformation)
A截面
C3
C4
T
C3 C4
C2
C1
二、应力分析 （ Stress analysis）
危险截面上的危险点为 C1 和 C2 点最大扭转切应力?发生在截面周边上的各点处,
C2
C1
危险截面上的最大弯曲正应力?
发生在 C1,C2 处对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆,这两点的危险程度是相同的,可取任意点 C1 来研究,
C1 点 处于平面应力状态,该点的单元体如图示 C1
(Combined Deformation)
三,强度分析 （ Analysis of strength condition）
1.主应力计算 （ Calculating principal stress）
C1
2222
3
1 4
2
1
2)2(2
02
2.相当应力计算 （ Calculating equal stress）
第三强度理论,计算相当力 22313r 4
第四强度理论,计算相当应力 224r 3
3.强度校核 （ Check the strength） ][r
(Combined Deformation)
该公式适用于图示的平面应力状态,?是危险点的正应力,?是危险点的切应力,且横截面不限于圆形截面讨 论
22313r 4
224r 3 C1
该公式适用于弯扭组合变形 ;拉（压）与扭转的组合变形 ;以及拉（压）扭转与弯曲的组合变形
（ 1）
(Combined Deformation)
弯扭组合变形时,相应的相当应力表达式可改写为
W
TM
W
T
W
M 222
t
222
3r )(4)(4
W
TM
W
T
W
M 222
t
222
4r
75.0)(3)(3
（ 2）对于圆形截面杆有
3
t 2 16
dWW?
C1
式中 W为杆的抗弯截面系数,M,T分别为危险截面的弯矩和扭矩,以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆,
(Combined Deformation)
例题 7 空心圆杆 AB和 CD杆焊接成整体结构,受力如图,AB杆的外径 D=140mm,内外径之比 α= d/D=0.8,材料的许用应力 [?] =
160MPa.试用第三强度理论校核 AB杆的强度
A B
C
D
15kN
10kN
0.8m
A B
F
Ｍ e
解,（ 1）外力分析将力向 AB杆的 B截面形心简化得
mkN15
6.0104.115e
M
kN25?F
AB杆为 扭转和平面弯曲的组合变形
(Combined Deformation)
A B
F
Me
+
15kN·m
（ 2）内力分析－画扭矩图和弯矩图固定端截面为危险截面
-
20kN·m
mkN20m a xM
mkN15T
)1(32π 4
3
DW
][M Pa26.157
22
3r
W
TM
(Combined Deformation)
例题 8 传动轴如图所示,在 A处作用一个外力偶矩 Me=1kN·m,皮带轮直径 D=300mm,皮带轮紧边拉力为 F1,松边拉力为 F2.且
F1=2F2,l=200mm,轴的许用应力 [?]=160MPa.试用第三强度理论设计轴的直径
z F
1 F2
x
y
A B
l/2 l/2
Me
Me MeC
F=3F2
解,将力向轴的形心简化
22)(
2
21e
DFDFFM
C
kN3202?F
kN20?F
轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平面弯曲
(Combined Deformation)
+
T=1kN·m
+
中间截面为危险截面
1kN·m
][1 223r TMW
32
π 3dW?
mm83.44?d
mkN1T
mkN1m a xM
Me MeC
F=3F2
(Combined Deformation)
例题 9 图示一钢制实心圆轴,轴上的齿轮 C上作用有铅垂切向力 5
kN,径向力 1.82 kN;齿轮 D上作用有水平切向力 10 kN,径向力
3.64 kN.齿轮 C 的节圆直径 d1 = 400 mm,齿轮 D 的节圆直径
d2=200mm.设许用应力=100 MPa,试按第四强度理论求轴的直径,
BA C D
y
z
5kN
10kN
300mm 300mm 100mm
x
1.82kN
3.64kN
(Combined Deformation)
解,（ 1）外力的简化将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化 BA C
D
y
z
5kN
10kN
300mm 300mm 100mm
x
1.82kN
3.64kN
x
y
z
A C B D
5kN
1kN·m
1.82kN
3.64kN
10kN
1kN·m
1 kN·m使轴产生扭转
5kN,3.64kN 使轴在
xz 纵对称面内产生弯曲
1.82kN,10kN 使轴在
xy 纵对称面内产生弯曲
（ 2）轴的变形分析
(Combined Deformation)
T = 1kN·m
圆杆发生的是斜弯曲与扭转的组合变形由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面,故轴在
xz和 xy两平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲,从而可用总弯矩来计算该截面正应力
1
C
T 图
-
My图
0.57
C
B
0.36
Mz图
0.227
1
C B
x
y
z
A C B D
5kN
1kN·m
1.82kN
3.64kN
10kN
1kN·m（ 3）绘制轴的内力图
mkN36.0
mkN57.0
yB
yC
M
M
mkN1
mkN2 2 7.0
zB
zC
M
M
(Combined Deformation)
B 截面是危险截面
（ 4）危险截面上的内力计算
mkN227.0
mkN57.0
zC
yC
M
M
1kN·m
C
T图
-
My图
0.57kN·m
C
B
0.36kN·m
Mz图
0.227
1
C B
mkN1
mkN36.0
zB
yB
M
M
mkN1 CB TT
B和 C截 面的总弯矩为
mkN063.122 zByBB MMM
mkN36.022 zCyCC MMM
(Combined Deformation)
（ 5）由强度条件求轴的直径
WW TM BB 1 3 7 275.0 224r
32
π 3dW?
轴需要的直径为
.
3
6
3 2 1 3 7 2 5 1 9 m m
1 0 0 1 0
d
(Combined Deformation)
例题 10 F1=0.5kN,F2=1kN,[?]=160MPa.
（ 1）用第三强度理论计算 AB 的直径
（ 2）若 AB杆的直径 d = 40mm,并在 B端加一水平力
F3 = 20kN,校核 AB杆的强度,
F1
F2
A
B
C
D
400 400
(Combined Deformation)
F1F2
A
B
C
400 400
Me
解,将 F2向 AB杆的轴线简化得
AB为弯扭组合变形
F1
F2
A
B
C
D
400 400
mkN4.0
kN1
e
2
M
F
固定端截面是危险截面
mkN4.0
mkN8.04.08.0
m a x
21m a x
T
FFM
W TM 2ma x2ma x3r
mm5.38?d
(Combined Deformation)
F3AB 为弯,扭与拉伸组合变形固定端截面是危险截面
（ 2） 在 B 端加拉力 F3
F3
F1F2
A
B
C
400 400
Me
F1
F2
A
B
C
D
400 400
mkN4.0
mkN8.04.08.0
m a x
21m a x
T
FFM
kN203N FF
(Combined Deformation)
固定端截面最大的正应力为最大切应力为
F3
F3
F1F2
A
B
C
400 400
Me
F1
F2
A
B
C
D
400 400
M Pa14 3Nm a xm a x AFWM
z
M P a8.31
t
ma x
ma x W
T?
M P a1 5 7
4 223r由第三强度理论
(Combined Deformation)
第八章 组合变形
（ Combined deformation）
§ 8-1 组合变形和叠加原理
（ Combined deformation and
superposition method）
§ 8-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
（ Combined axial and flexural loads）
§ 8-3 偏心拉（压）?截面核心 (Eccentric
loads &the kern（ or core） of a section)
§ 8-4 扭转与弯曲的组合
（ Combined torque and flexural loads）
(Combined Deformation)
一,组合变形 的 概念 （ Concepts of combined
deformation）
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形,
二、解决组合变形问题的基本方法 － 叠加法
（ Basic method for sloving combined deformation-
superposition method）
叠加原理的成立要求,内力,应力,应变,变形等与外力之间成线性关系,
§ 8-1 组合变形和叠加原理 （ Combined
deformation and superposition method）
(Combined Deformation)
三,工程实例 （ Engineering examples）
(Combined Deformation)
a b c
A B
P
F1
F2
x
z
y
(Combined Deformation)
1.外力分析 （ Analysis of external force）
将外力 简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形,
使 之每个力（或力偶）对应一种基本变形
3.应力分析 （ Stress analysis）
画出危险截面的应力分布图,利用 叠加原理 将基本变形下的应力和变形叠加,建立危险点的强度条件四、处理组合变形的基本方法
（ Basic method for solving combined deformation）
2.内力分析 （ Analysis of internal force ）
求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面,分别 计算 在每一种基本变形下构件的应力和变形
(Combined Deformation)
= +
+= +
(Combined Deformation)
一、受力特点 （ Character of external force）
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形作用在杆件上的外力既有轴向拉 ( 压 )力,还有横向力二、变形特点 （ Character of deformation）
§ 8-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
（ Combined axial loading and bending）
F
F1 产生弯曲变形
F2 产生拉伸变形
Fy
Fx
Fy 产生弯曲变形
Fx 产生拉伸变形
F1F
2 F2示例 1
示例 2
(Combined Deformation)
三、内力分析 （ Analysis of internal force）
x
y
O
zMz
FN
横截面上内力 （ internal force on cross
section）
2.弯曲?
1.拉 (压 ):轴力 FN （ axial force）
弯矩 Mz （ bending moment）
剪力 Fs（ shear force）
因为引起的切应力较小,故一般不考虑,
FS
(Combined Deformation)
横截面上任意一点 （ z,y） 处的正应力计算公式为四、应力分析 （ Analysis of stress）
1.拉伸正应力
（ Axial normal stress）
2.弯曲正应力
（ Bending normal stress）
A
FN
z
z
I
yM
z
z
I
yM
A
F N
x
y
O
zMz
FN
( z,y)
(Combined Deformation)
轴力 （ axial force）
所以跨中截面是杆的危险截面
2N FF?
F1
F2 F2
l/2 l/2
4
1
m a x
lFM?
3.危险截面的确定 （ Determine the danger cross section）
作内力图弯矩 （ bending moment）
x
x
FN图
M图
F2
F1l/4
(Combined Deformation)
拉伸正应力最大弯曲正应力
A
F2
W
lF
W
M
4
1ma x
ma x
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
W
lF
A
F
4
12
ma xma xt
4.计算危险点的应力 （ Calculating stress of the danger point）
F1
F2 F2
l/2 l/2
A
F2
-
W
M ma x
(Combined Deformation)
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件,
五、强度条件 （ Strength condition）
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件为,
][ma x
][ tma xt
][ cma xc
(Combined Deformation)
例题 1 悬臂吊车如图所示,横梁用 20a工字钢制成,其抗弯刚度 Wz
= 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为 [?]=125MPa.校核横梁 AB的强度,
F
A
C
D
1.2m 1.2m
B30°
BA
DF
FRAy
FRAx
Fy
Fx
FNAB
30°
解：（ 1） 分析 AB的受力情况
02.14.230s i n 0 N FFM ABA
FF AB?N
FFF
FFF
Ayy
Axx
5.00
8 6 6.00
R
R
AB杆 为平面弯曲与 轴向 压缩组合变形中间截面为危险截面,最大压应力发生在该 截面的上边缘
(Combined Deformation)
（ 2） 压缩正应力
（ 3） 最大弯曲正应力
A
F
A
F Ax 8 66.0R
zz
Ay
W
F
W
F 6.02.1 R
m a x
][M Pa37.946.0866.0ma xc
zW
F
A
F
（ 4）危险点的应力
F
A
C
D
1.2m 1.2m
30° B
BA
DF
FRAy
FRAx
Fy
Fx
FNAB
30°
(Combined Deformation)
例题 2 小型压力机的铸铁框架如图所示,已知材料的许用拉应力
[?t] =30MPa,许用压应力 [?c] =160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力 F.
y
z
z0 z1
50
50
150
150
350F
F
(Combined Deformation)
解：（ 1）确定形心位置 A=15?10-3 m2 z0 =7.5 cm
Iy = 5310 cm4计算截面对中性轴 y 的惯性矩
y
z
z0 z1
50
50
150
150
350F
F
(Combined Deformation)
F n n
FN My
（ 2） 分析立柱横截面上的内力和应力在 n-n 截面上有轴力 FN及弯矩 My
FFM
FF
y
22
N
105.42]10)5.735[(
n n
350F
F
y
z
z0 z1
50
50
150
150
(Combined Deformation)
由轴力 FN产生的拉伸正应力为
M Pa15N FAF
F n n
FN My
n n
y
z
z0 z1
350F
F
50
50
150
150
(Combined Deformation)
由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为
)(M Pa5310 5.74250ma xt FI zM
y
y?
)(M Pa5310 5.124251ma xc FI zM
y
y?
50
50
150
150
y
z
z0 z1拉
n n
350F
F F
n n
FN My
(Combined Deformation)
（ 3）叠加 在截面内侧有最大拉应力
][5 3 1 0 5.742515 tma xtma xt FF
[F]? 45.1 kN
50
50
150
150
y
z
z0 z1拉压
n n
350F
F F
n n
FN My
(Combined Deformation)
在截面外侧有最大压应力
[F]? 171.3 kN
[F]? 45.1 kN所以取
][5310 5.12425 cm a xcm a xc FAF
50
50
150
150
y
z
z0 z1拉压
n n
350F
F F
n n
FN My
(Combined Deformation)
例题 3 正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截面面积的一半,求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍,
F F
a a a a
(Combined Deformation)
1 1
F Fa/2
未开槽前立柱为轴向压缩解：
22
N
1 4)2( a
F
a
F
A
F
A
F F
a a
开槽后 1-1是危险截面危险截面为偏心压缩将力 F 向 1-1形心简化
2
2
N
2
2
2
6
1
2/
2 a
F
aa
Fa
aa
F
W
M
A
F?
未开槽前立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力 8
4
2
2
2
aF aF/ /
(Combined Deformation)
例题 4 矩形截面柱如图所示,F1的作用线与杆轴线重合,F2作用在 y 轴上,已知,F1= F2=80kN,b=24cm,h=30cm.如要使柱的 m-m 截面只出现压应力,求 F2的偏心距 e.
y
z e
b
h
F1
F2
m m
(Combined Deformation)
解：
（ 1）外力分析 将力 F2 向截面形心简化后,
梁上的外力有轴向压力力偶矩
y
z e
b
h
F1
m m
F2
Mz
21 FFF
eFM z 2
（ 2） m-m 横截面上的内力有轴力弯矩
21 FFF
eFM z 2
(Combined Deformation)
轴力产生压应力弯矩产生的最大正应力
A
FF
A
F 21N
6/2
2
bh
eF
W
M
z
z
（ 3）依题的要求,整个截面只有压应力
06/2221 bh eFA FF
得 6
/)( 2
2
1 2 bh
F
AFFe y
z e
b
h
F1
m m
F2
Ｍ z
(Combined Deformation)
§ 8-3 偏心拉（压）? 截面核心
（ Eccentric loads &the kern of a section）
1.定义 （ Definition） 当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时,
将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形,
O1
y
zF
一、偏心拉（压） （ Eccentric loads）
A(yF,zF)
(Combined Deformation)
x
y
zF
e
F
2.以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力 F 为例
（ 1）将外力向截面形心简化,使每个力（或力偶）只产生一种基本变形形式
O1
y
z
A(yF,zF)F
Fe
轴向拉力 F 力偶矩 M = F e，
将 M向 y轴和 z轴分解
Fz
Fy
FyFeM
FzFeM
c o s
s i n
(Combined Deformation)
F 使杆发生拉伸变形
My 使杆发生 xOz平面内的弯曲变形（ y 为中性轴）
Mz 使杆发生 xOy 平面内的弯曲变形（ z为中性轴）
y
z
O1
F
x
My Mz
(Combined Deformation)
二、任意横截面 n-n上的内力分析 （ Analysis of internal
force on any cross section n-n）
轴力 FN= F
y
O1My Mz
n n
y
z
My
MzFN
Fz
Fy
FyM
FzM
弯矩
F
(Combined Deformation)
三、任意横截面 n-n 上 C 点的应力分析
（ Stress analysis at point C on cross section n-n）
y
z
My
Mz
FN由 F产生的正应力
A
F
A
F N?
由 My 产生的正应力
y
F
y
y
I
zzF
I
zM
由 Mz 产生的正应力
z
F
z
z
I
yyF
I
yM
(y,z)C
(Combined Deformation)
由于 C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知,
由叠加原理,得 C点处的正应力为均为拉应力,,
z
F
y
F
I
yyF
I
zzF
A
F
N
y
z
My
Mz
FN
式中
A为横截面面积 ;
Iy,Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩 ;
（ zF,yF ） 为 力 F 作用点的坐标 ;
（ z,y）为所 求应力点的坐标,
(y,z)C
(Combined Deformation)
上式是一个平面方程,表明正应力在横截面上按线性规律变化,应力平面与横截面的交线（直线? = 0）就是中性轴,
四、中性轴的位置 （ The location of neutral axis）
z
F
y
F
I
yyF
I
zzF
A
F N?
22 zzyy iAIiAI
)1( 22N
z
F
y
F
i
yy
i
zz
A
F
(Combined Deformation)
令 y0,z0 代表中性轴上任一点的坐标,即得中性轴方程
)1( 22N
z
F
y
F
i
yy
i
zz
A
F
01 2 02 0
z
F
y
F
i
yy
i
zz
讨论
（ 1）在偏心拉伸 (压缩 ) 情况下,
中性轴是一条不通过截面形心的直线
O
z
中性轴
y
(Combined Deformation)
y
z中性轴
O
（ 2） 用 ay和 az 记中性轴在 y,z 两轴上的截距,则有
(yF,zF )
01 2 02 0
z
F
y
F
i
yy
i
zz
F
y
z
F
z
y z
ia
y
ia 22
ay
az
（ 3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧
(Combined Deformation)
yO
z
中性轴 外力作用点
y
z
中性轴
（ 4） 中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区横截面上最大拉应力和最大压应力分别为 D1,D2 两切点
D1(y1,z1)
D2(y2,z2)
(Combined Deformation)
(a) (b) (c)
y y
zz
（ 5）对于周边具有棱角的截面,其危险点必定在截面的棱角处,
并可根据杆件的变形来确定
F/A
y
z
FyF/Wz
NF? yM? zM?
FzF/Wy
(Combined Deformation)
y
z
D1
D2
最大拉应力?tmax 和最大压应力?cmin分 别在截面的棱角 D1
D2 处,无需先确定中性轴的位置,直接观察确定危险点的位置即可
z
F
y
F
W
yF
W
zF
A
F
mi n
ma x
五、强度条件 （ Strength condition）
由于危险点处仍为单向应力状态,因此,求得最大正应力后,建立的强度条件为
][ma x
(Combined Deformation)
y
z
六、截面核心 （ The kern of a section）
中性轴
ay
az
（ yF,zF）为外力作用点的坐标
ay,az为中性轴在 y轴和 z轴上的截距
FF z
ia
y
ia y
z
z
y
22
(yF,zF)
当中性轴与图形相切或远离图形时,整个图形上将只有拉应力或只有压应力
(Combined Deformation)
y
z
中性轴
ay
az
y
z
中性轴中性轴 y
z
(yF,zF)
(yF,zF)
(yF,zF)
(Combined Deformation)
y
z
截面核心
1.定义 （ Definition） 当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时,就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或压应力）,这个区域就称为 截面核心 （ the kern of a section）
(Combined Deformation)
y
z
当外力作用在截面核心的边界上时,与此相应的中性轴正好与截面的周边相切,截面核心的边界就由此关系确定,
中性轴ay
az
2.截面核心的确定 （ Determine the kern of a section）
(yF,zF)
z
y
F
y
z
F a
iz
a
iy 22
截面核心
(Combined Deformation)
例 5 求圆形截面的截面核心
y
z
O
A
解,
（１） 作切线?为中性轴,在两个形心主惯性轴上的截距分别为
11,2 zy ada
圆截面的惯性半径
422 dii zy
,
8
2
16
2
1
2
1
d
d
d
a
i
y
y
z
F
0
1
2
1
z
y
F a
iz
1
d/8
（２）由于圆截面对于圆心 O是对称的,因而,截面核心的边界对于圆也应是对称的,从而可知,截面核心边界是一个以 O为圆心,
以 d/8为半径的圆
(Combined Deformation)
h
A
BC
D
y
z
O
解,作切线?为中性轴,得两截距分别为
1212
12
2
2
2
3
2 hib
hb
hb
A
I
i zyy
11 2 zy aha
6
2
12
2
2
1
1
h
h
h
a
i
y
y
z
F 0
1
2
1
z
y
F a
iz
矩形截面的 1
例 6 求矩形截面的截面核心
(Combined Deformation)
h
A
BC
D
y
z
O
1
2
3
4
（ 2）同理,分别作切线?,?,?，
可求得对应的核心边界上点的坐标依次为
60 22
bzy
FF,
)0,6(h
),( 60 b?
（ 3）矩形截面核心形状分析直线?绕顶点 B旋转到直线?时,将得到一系列通过 B点但斜率不同的中性轴,而 B点坐标 yB,zB 是这一系列中性轴上所共有的,
(Combined Deformation)
h
A
BC
D
y
z
O
2
3
4
1这些中性轴方程为
0 1 0202 y
i
yz
i
z
z
F
y
F
01 22 F
z
B
F
y
B y
i
yz
i
z
上式可以看作是表示外力作用点 坐标间关系的直线方程,
故外力作用点移动的轨迹是直线,
313 324
hb
(Combined Deformation)
（ a）对于具有棱角的截面,均可按上述方法确定截面核心
（ b）对于周边有凹进 部分的截面（如 T字形截面）,能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性 轴,因为这种直线穿过 横截面,
（ 4）讨论 （ discussion）
(Combined Deformation)
lA
B C
F
研究对象 （ research object） 圆截面杆 （ circular bars）
受力特点 （ character of external force）
杆件同时承受转矩和横向力作用变形特点 （ character of deformation）
发生扭转和弯曲两种基本变形
§ 8-4 扭转与弯曲的组合
（ Combined bending and torsion）
(Combined Deformation)
一,内力分析
（ Analysis of internal force）
设一直径为 d的等直圆杆 AB,B
端具有与 AB成直角的刚臂,研究 AB
杆的内力,
将力 F 向 AB 杆右端截面的形心 B简化 得横向力 F （引起平面弯曲）
力偶矩 M= Fa （引起扭转）
AB 杆为弯曲与扭转局面组合变形
BA
F
M
x
lA
B C
F
(Combined Deformation)
画内力图确定危险截面固定端 A截面为危险截面
AA
F
M
MFl
(Combined Deformation)
A截面
C3
C4
T
C3 C4
C2
C1
二、应力分析 （ Stress analysis）
危险截面上的危险点为 C1 和 C2 点最大扭转切应力?发生在截面周边上的各点处,
C2
C1
危险截面上的最大弯曲正应力?
发生在 C1,C2 处对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆,这两点的危险程度是相同的,可取任意点 C1 来研究,
C1 点 处于平面应力状态,该点的单元体如图示 C1
(Combined Deformation)
三,强度分析 （ Analysis of strength condition）
1.主应力计算 （ Calculating principal stress）
C1
2222
3
1 4
2
1
2)2(2
02
2.相当应力计算 （ Calculating equal stress）
第三强度理论,计算相当力 22313r 4
第四强度理论,计算相当应力 224r 3
3.强度校核 （ Check the strength） ][r
(Combined Deformation)
该公式适用于图示的平面应力状态,?是危险点的正应力,?是危险点的切应力,且横截面不限于圆形截面讨 论
22313r 4
224r 3 C1
该公式适用于弯扭组合变形 ;拉（压）与扭转的组合变形 ;以及拉（压）扭转与弯曲的组合变形
（ 1）
(Combined Deformation)
弯扭组合变形时,相应的相当应力表达式可改写为
W
TM
W
T
W
M 222
t
222
3r )(4)(4
W
TM
W
T
W
M 222
t
222
4r
75.0)(3)(3
（ 2）对于圆形截面杆有
3
t 2 16
dWW?
C1
式中 W为杆的抗弯截面系数,M,T分别为危险截面的弯矩和扭矩,以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆,
(Combined Deformation)
例题 7 空心圆杆 AB和 CD杆焊接成整体结构,受力如图,AB杆的外径 D=140mm,内外径之比 α= d/D=0.8,材料的许用应力 [?] =
160MPa.试用第三强度理论校核 AB杆的强度
A B
C
D
15kN
10kN
0.8m
A B
F
Ｍ e
解,（ 1）外力分析将力向 AB杆的 B截面形心简化得
mkN15
6.0104.115e
M
kN25?F
AB杆为 扭转和平面弯曲的组合变形
(Combined Deformation)
A B
F
Me
+
15kN·m
（ 2）内力分析－画扭矩图和弯矩图固定端截面为危险截面
-
20kN·m
mkN20m a xM
mkN15T
)1(32π 4
3
DW
][M Pa26.157
22
3r
W
TM
(Combined Deformation)
例题 8 传动轴如图所示,在 A处作用一个外力偶矩 Me=1kN·m,皮带轮直径 D=300mm,皮带轮紧边拉力为 F1,松边拉力为 F2.且
F1=2F2,l=200mm,轴的许用应力 [?]=160MPa.试用第三强度理论设计轴的直径
z F
1 F2
x
y
A B
l/2 l/2
Me
Me MeC
F=3F2
解,将力向轴的形心简化
22)(
2
21e
DFDFFM
C
kN3202?F
kN20?F
轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平面弯曲
(Combined Deformation)
+
T=1kN·m
+
中间截面为危险截面
1kN·m
][1 223r TMW
32
π 3dW?
mm83.44?d
mkN1T
mkN1m a xM
Me MeC
F=3F2
(Combined Deformation)
例题 9 图示一钢制实心圆轴,轴上的齿轮 C上作用有铅垂切向力 5
kN,径向力 1.82 kN;齿轮 D上作用有水平切向力 10 kN,径向力
3.64 kN.齿轮 C 的节圆直径 d1 = 400 mm,齿轮 D 的节圆直径
d2=200mm.设许用应力=100 MPa,试按第四强度理论求轴的直径,
BA C D
y
z
5kN
10kN
300mm 300mm 100mm
x
1.82kN
3.64kN
(Combined Deformation)
解,（ 1）外力的简化将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化 BA C
D
y
z
5kN
10kN
300mm 300mm 100mm
x
1.82kN
3.64kN
x
y
z
A C B D
5kN
1kN·m
1.82kN
3.64kN
10kN
1kN·m
1 kN·m使轴产生扭转
5kN,3.64kN 使轴在
xz 纵对称面内产生弯曲
1.82kN,10kN 使轴在
xy 纵对称面内产生弯曲
（ 2）轴的变形分析
(Combined Deformation)
T = 1kN·m
圆杆发生的是斜弯曲与扭转的组合变形由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面,故轴在
xz和 xy两平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲,从而可用总弯矩来计算该截面正应力
1
C
T 图
-
My图
0.57
C
B
0.36
Mz图
0.227
1
C B
x
y
z
A C B D
5kN
1kN·m
1.82kN
3.64kN
10kN
1kN·m（ 3）绘制轴的内力图
mkN36.0
mkN57.0
yB
yC
M
M
mkN1
mkN2 2 7.0
zB
zC
M
M
(Combined Deformation)
B 截面是危险截面
（ 4）危险截面上的内力计算
mkN227.0
mkN57.0
zC
yC
M
M
1kN·m
C
T图
-
My图
0.57kN·m
C
B
0.36kN·m
Mz图
0.227
1
C B
mkN1
mkN36.0
zB
yB
M
M
mkN1 CB TT
B和 C截 面的总弯矩为
mkN063.122 zByBB MMM
mkN36.022 zCyCC MMM
(Combined Deformation)
（ 5）由强度条件求轴的直径
WW TM BB 1 3 7 275.0 224r
32
π 3dW?
轴需要的直径为
.
3
6
3 2 1 3 7 2 5 1 9 m m
1 0 0 1 0
d
(Combined Deformation)
例题 10 F1=0.5kN,F2=1kN,[?]=160MPa.
（ 1）用第三强度理论计算 AB 的直径
（ 2）若 AB杆的直径 d = 40mm,并在 B端加一水平力
F3 = 20kN,校核 AB杆的强度,
F1
F2
A
B
C
D
400 400
(Combined Deformation)
F1F2
A
B
C
400 400
Me
解,将 F2向 AB杆的轴线简化得
AB为弯扭组合变形
F1
F2
A
B
C
D
400 400
mkN4.0
kN1
e
2
M
F
固定端截面是危险截面
mkN4.0
mkN8.04.08.0
m a x
21m a x
T
FFM
W TM 2ma x2ma x3r
mm5.38?d
(Combined Deformation)
F3AB 为弯,扭与拉伸组合变形固定端截面是危险截面
（ 2） 在 B 端加拉力 F3
F3
F1F2
A
B
C
400 400
Me
F1
F2
A
B
C
D
400 400
mkN4.0
mkN8.04.08.0
m a x
21m a x
T
FFM
kN203N FF
(Combined Deformation)
固定端截面最大的正应力为最大切应力为
F3
F3
F1F2
A
B
C
400 400
Me
F1
F2
A
B
C
D
400 400
M Pa14 3Nm a xm a x AFWM
z
M P a8.31
t
ma x
ma x W
T?
M P a1 5 7
4 223r由第三强度理论
