第六章 正交试验设计本章基本内容第一节 正交设计的基本思想第二节 正交表第三节 正交设计的基本程序第四节 试验方案的选择第一节 正交设计的基本思想一,问题的提出 --多因素的试验问题例;为提高某化工产品的转化率,选择了三个有关的因素进行条件试验,反应温度( A),反应时间( B),用碱量( C),并确定了它们的试验范围,A,80-90℃,B,90-
153Min,C,5-7%
试验目的是搞清楚因素 A,B,C对转化率的影响,哪些是主要因素,哪些是次要因素,从而确定最优生产条件,即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率提高。试制定试验方案。
这里,对因素 A,B,C在试验范围内分别选取三个水平
A,A1= 80℃,A2= 85℃,A3= 90℃
B,B1= 90Min,B2= 120Min,B3= 150Min
C,C1= 5%,C2= 6%,C3= 7%
正交试验设计中,因素可以定量的,也可以使定性的。而定量因素各水平间的距离可以相等也可以不等。
取三因素三水平,通常有两种试验方法:
( 1)全面实验法:
A1B1C1 A2B1C1 A3B1C1
A1B1C2 A2B1C2 A3B1C2
A1B1C3 A2B1C3 A3B1C3
A1B2C1 A2B2C1 A3B2C1
A1B2C2 A2B2C2 A3B2C2
A1B2C3 A2B2C3 A3B2C3
A1B3C1 A2B3C1 A3B3C1
A1B3C2 A2B3C2 A3B3C2
A1B3C3 A2B3C3 A3B3C3
共有 33=27次试验,如图所示,立方体包含了 27个节点,分别表示 27次试验。
A1 A2 A3
B3
B2
B1
C1
C2
C3
全面试验法的优缺点:
优点:对各因素于试验指标之间的关系剖析得比较清楚
缺点:试验次数太多,费时、费事,当因素水平比较多时,试验无法完成。
例如选六个因素,每个因素选五个水平时,
全面试验的数目是 56 = 15625次。
( 2)简单比较法变化一个因素而固定其它因素,如首先固定 B、
C于 B1,C1,使 A变化之,则:
如果得出结果 A3最好,则固定 A于 A3,C还是 C1,
使 B变化,则:
得出结果 B2最好,则固定 B于 B2,A于 A2,使 C
变化,则:
试验结果以 C3最好。于是得出最佳工艺条件为
A3B2C2。
A1
B1C1 A2
A3(好结果 )
B1
A3C1 B2(好结果 )
B3
C1
A3B2 C2 (好结果 )
C3
A1 A2 A3
B3
B2
B1
C1
C2
C3
简单比较法的试验点简单比较法的优缺点:
优点:试验次数少缺点:
①考察的因素水平仅局限于局部区域,不能全面地反映因素的全面情况,找不出影响质量的主要因素,
无法再在三水平外继续找更好的配比组合 (水平 )。
②如果不进行重复试验,试验误差就估计不出来,
因此无法确定最佳分析条件的精度。
正交试验的提出:
考虑兼顾 全面试验法 和 简单比较法 的优点,利用根据数学原理制作好的规格化表--正交表来设计试验不失为一种上策。
用正交表来安排试验及分析试验结果,这种方法叫做正交试验法。
事实上,正交最优化方法的优点不仅表现在试验的设计上,更表现在对试验结果的处理上。
用正交表安排试验时,对于例 1:
用正交试验法安排试验只需要 9次试验
A1 A2 A3
B3
B2
B1
C1
C2
C3
第二节 正交表一、正交表的表示正交表 是正交试验设计的基本工具,在正交试验设计中,安排试验,对试验结果进行分析,均在正交表上进行。正交表的表示如下,
L8(27)
正交表的代号正交表的横行数
(试验次数)
字码数(因素的水平数)
正交表的纵列数
(最多允许安排因素的个数)
1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2 2
3 1 2 2 1 1 2 2
4 1 2 2 2 2 1 1
5 2 1 2 1 2 1 2
6 2 1 2 2 1 2 1
7 2 2 1 1 2 2 1
8 2 2 1 2 1 1 2
列号试验号
L8(27)正交试验表二、正交表的分类
(一)等水平正交表在正交表中,如果所有因素的水平数都相同,则这个正交表就是等水平正交表。
常用的等水平正交表如下:
二水平,L4(23),L8(27),L16(215)
三水平,L9(34),L27(313),L81(340)
四水平,L16(45),L64(424)
五水平,L25(56),L125(531)
这些都是 标准表,利用这些表 可以考虑因素间的交互作用 。
标准表,不仅水平数相等,而且水平数只能取素数或者素数的幂。因此,有 7水平,9水平的标准正交表,没有 6水平,8水平的标准正交表。
其他一些正交表均为 非标准表 。非标准表示为了缩小标准表试验号的间隔而产生的,非标准表不能考察因素的交互作用。
(二)混合水平正交表在正交表中,如果因素的水平数不完全相同,则这个正交表就是 混合水平正交表 。常用的表示方法:
表示水平数为 m1的有 k1列,水平数为 m2的有 k2列。也就是说,用这个这类正交表安排试验,水平数为 m1的因素最多可安排 k1个,水平数为 m2的因素最多可安排 k2个。
混合型正交表一般不能考察交互作用,但是 由标准表改造来的混合型正交表,可以考虑交互作用,但必须回到原标准表上进行。
)( 21 21 kkn mmL?
三、正交表的性质
(一)正交性(以 L9 (34 )为例)
1 2 3 4
1 1 1 1 1
2 1 2 2 2
3 1 3 3 3
4 2 1 2 3
5 2 2 3 1
6 2 3 1 2
7 3 1 3 2
8 3 2 1 3
9 3 3 2 1
列号试验号正交表的特点:
每个列中,,1”、,2”、,3”出现的次数相同;
任意两列,其横方向形成的九个数字对中,恰好( 1,1)、( 1,2)、( 1,3)、( 2,1)
( 2,2)、( 2,3)、( 3,1)、( 3,2)、
( 3,3)出现的次数相同这两点称为正交性:
(二)代表性
(三)综合可比性确定试验指标选择试验因素选择因素水平选择合适正交表表头设计编制试验方案第三节 正交试验设计的基本程序一、试验方案的确定
(一)确定试验指标试验指标是由试验目的确定的,因此,试验设计之前,必须明确试验的目的,对试验要解决的问题,应有全面而深刻的理解。通过周密考虑,确定试验指标。一项试验目的,至少需要一个试验指标,有时在同一项实验中,由于有几个试验目的,相应的需要几个试验指标。
这就需要根据专业知识和试验要求,具体问题具体分析,
合理确定试验指标。
试验指标一经确定,就应该把衡量和评价试验指标的原则、标准,测定方法及所用的仪器设备等定下来。
(二)选择试验因素选择试验因素时,首先要根据专业知识、以往研究的结论和经验教训,尽可能全面地考虑到影响试验指标的各个因素。
然后根据实验要求和尽量少选因素的一般原则,从中选定试验因素。在实际确定试验因素时,应首先选对试验指标影响大的因素、尚未完全掌握其规律的因素和未曾被考察研究过的因素。
那些对试验指标影响较小的因素,对试验指标影响规律已完全掌握的因素,应当少选或不选,但要作为可控的条件因素参加试验。实验要求考察的因素必须定为试验因素,不能遗漏,并且有时列为主要因素,加以重点考察。
在某些情况下,可以考虑多安排一些因素。在初步筛选因素时,在增加因素而可以不增加试验号时,都可以多选定一些实验因素。
(三)选取试验因素水平根据因素水平是作量的变化还是作质的变化,可把试验因素分为数量因素和质量因素。如温度、时间,pH等,
其水平可作量的变化,属于数量因素;添加剂种类、设备型号、方法等,其水平是由特定的质所决定的,属于质量因素。对于质量因素,应选的水平常常是早就定下来了,
例如使用了三种食品添加剂,则添加剂的种类这个试验因素的水平数只能取 3。而对于数量因素水平的确定,就灵活一些,一般以 2~4为宜,以尽量减少试验次数。对主要因素或希望更多的了解试验因素,可以多取水平。
(三)选取试验因素水平从有利于试验结果分析考虑,水平取 3比取 2好,这主要是因为三水平的因素与试验指标的趋势图多为二次曲线,
二次曲线有利于呈现试验因素水平的最佳区域。如果只有两个水平,趋势图是一条直线,很难判断最佳区域。
水平的幅度,不宜选得过宽或过窄,过窄时,试验结果可能得不到任何有用的情报;过宽会降低试验的效率。
应根据专业技术知识和已有的有关信息,尽可能把水平值取在最佳区域。如果缺乏有关信息,不能保证把水平取在最佳区域附近,则就需要把水平区间拉开,尽可能把最佳区域包含在拉开的区间内。然后通过实验,逐步缩小实验水平求出最佳条件。
(四)选择合适的正交表选正交表的原则:在能安排下试验因素和要考察的交互作用的前提下,尽可能选用小号的正交表,以减少试验次数,另外,为考察试验误差,所选正交表安排完试验因素既要考察的交互作用后,最好有 1列空列,否则必须进行重复试验以考察试验误差。
选择的正交表必须满足以下条件:
( 1)对等水平试验,选择正交表的水平数与试验因素的水平应一致,正交表的列数应大于或等于因素及所要考察的交互作用所占的列数。
( 2)对不等水平试验,所选混合型正交表的某一水平的列数应大于或等于相应水平的因素的个数。
(五)表头设计正交表的每一列可以安排一个试验因素。所谓表头设计,就是将试验因素分别安排到所选正交表的各列中去的过程。如果因素间无交互作用,各因素可以任意安排到正交表的各列中去,如果要考察交互作用,各因素不能任意安排,应按所选正交表的交互作用表进行安排。
表头设计因素 A B C D
列号 1 2 3 4
(六)编制试验方案在表头设计的基础上,将所选正交表中各列的水平数字换成对应因素的具体水平值,便形成了试验方案,这就成了试验的依据。
到此,试验方案设计就算完成了,随后就是试验实施,
在试验过程中必须严格按照各号试验的组合进行处理,不能随意改动。试验因素必须严格控制,试验条件应尽可能保持一致。另外,试验方案中试验号并不意味着是实际进行试验的顺序,为了加快试验,最好同时进行试验,同时取得试验结果。如果条件只允许一个一个进行试验,为了排除外界干扰,应使试验顺序号随机化,即采用抽签或查随机数表的方法确定试验顺序。不论用什么顺序进行试验,
一般都应进行重复试验,以减少随机误差对试验结果的影响。
以前面的例子为例
( 1)明确试验目的,确定试验指标试验目的是搞清楚 A,B,C对转化率的影响,试验指标为转化率。
( 2)确定因素-水平表素水平
A
温度( ℃ )
B
时间( Min)
C
用碱量( x%)
1
2
3
80
85
90
90
120
150
5%
6%
7%
因素因水平
A B C
1
2
3
A1
A2
A3
B1
B2
B3
C1
C2
C3
( 3)选用合适正交表本试验可选取正交表 L9 (34 ) 安排试验
( 4)确定试验方案
“因素顺序上列,水平对号入座,横着做”
A温度( ℃ ) 1 B时间( Min) 2 C用碱量( x%) 3 4 转化率( x%)
1 1(80℃ ) 1(90Min) 1(5%) 1 31
2 1(80℃ ) 2(120Min) 2(6%) 2 54
3 1(80℃ ) 3(150Min) 3(7%) 3 38
4 2(85℃ ) 1(90Min) 2(6%) 3 53
5 2(85℃ ) 2(120Min) 3(7%) 1 49
6 2(85℃ ) 3(150Min) 1(5%) 2 42
7 3(90℃ ) 1(90Min) 3(7%) 2 57
8 3(90℃ ) 2(120Min) 1(5%) 3 62
9 3(90℃ ) 3(150Min) 2(6%) 1 64
二、试验结果分析通过对试验结果的分析,可以解决以下问题:
A:分清各因素及其交互作用的主次顺序,即分清哪些因素是主要因素,那些是次要因素;
B:判断因素对试验指标影响的显著程度;
C:找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合,
及试验因素取什么水平时,试验指标最好;
D:分析因素与试验指标的关系,即当因素变化时,
试验指标是如何变化的。找出指标随因素变化的规律和趋势,为进一步实验指明方向;
E:了解各因素之间的交互作用情况;
F:估计试验误差的大小。
对正交试验设计结果的分析可分为极差分析和方差分析,可以采用正交试验设计软件进行有关的分析。
因此,对于如何计算,我们在这里不重点讲述,如有兴趣,可以自己找参考书详细地研究。在本章中主要讲述如何选择正交表进行试验设计。
(一)极差分析极差分析法简称 R法。它包括计算和判断两个步骤,其内容如下:
R法
2 判断
1 计算
③ 最优组合
② 因素主次
① 优水平
② Rj
① Kjm,
jmK
表格示意如下:
A B C
K1 123 141 135
K2 144 165 171
K3 183 144 144
k1 41 47 45
k2 48 55 57
k3 61 48 48
R 20 8 12
指标越大越好,从上表的 R值可以看出,RA>RC>RB
因此,对试验指标影响的主次顺序为 ACB;从上表的 k
值可以看出,本试验应该选取每个因素中 k1,k2,k3最大的哪个水平。即,A3B2C2
70
60
50
40
A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3
指标-因素趋势图因素同时可以估计,随着 A的增加,指标还有向上的趋势。
也可以选取图形中最高的水平点得到最优生产条件。
极差分析说明
1 实际科研和生产中,最优组合的确定是灵活的,即对于主要因素;一定要选最优水平,对于次要因素,则应权衡利弊,综合考虑(如生产率、成本、劳动条件等)来选取水平,从而得到最符合生产实际的最优或较优的生产工艺条件。
2 得到最优工艺条件,只有在实验所考察的范围内才有意义。
3 为了考察最优条件的再现性,还应该做验证试验。
4 在试验研究中,有时通过一轮试验不一定能选出最优条件。特别是在缺乏有关资料的情况下,往往要探索多次。因此要充分利用因素指标趋势图,
确定下一步试验的研究方向。
极差分析说明
(二)方差分析极差分析不能估计试验中以及试验结果测定中必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点,可采用方差分析的方法。
方差分析法是将因素水平(或交互作用)的变化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的试验结果间的差异区分开来的一种数学方法。
所谓方差分析,就是给出离散度的各种因素将总变差平方和进行分解,并且还进行统计检验的一直数学方法。
基本步骤:
1、计算(不同正交设计的方差分析的计算有所不同,不考虑交互作用等水平设计,考虑交互作用的正交设计,混合正交设计,重复试验和重复取样正交设计等。)
2、显著性检验,列出方差分析表正交试验方差分析表方差来源 偏差平方和 自由度 方差 F值 F临界值 显著性
A SA=S1 fA=m-1 VA=SA/fA FA=VA/Ve 查表
B SB=S2 fB=m-1 VB=SB/fB FB=VB/Ve 查表
..
.
..
.
..
.
..
.
.
误差 e Se fe Ve=Se/fe
总和 ST fT=n-1
说 明
( 1)在进行方差分析时,为了计算误差的偏差平方和,选用正交表应留出一列空列。当无空列时,
应进行重复试验。
( 2)误差的自由度一般不应小于 2,fe很小,F检验的灵敏度很低,有时即使因素对试验指标有影响,
用 F检验也判断不出来。
说 明:
( 3)为了增大 fe,提高 F检验的灵敏度,在进行显著性检验之前,先把各个因素和交互作用的方差 V因和 V交与误差 Ve进行比较,如果与误差方差的大小相近,说明该因素或交互作用对试验结果的影响微乎其微,其偏差平方和是由于随机误差引起的,因此可并入误差偏差平方和 Se中。通常把满足:
那些因素或交互作用的偏差平方和,并入误差的偏差平方和,
而得到新的误差偏差平方和,相应的自由度也并入 fe中而得到新的,然后再对其他因素或交互作用进行 F检验。
eVVV 2)?交因(或
eS
ef
3、最优条件的确定根据显著性检验结果,可以确定各因素的优水平及最优水平组合,从而确定最优条件。对于不考虑交互作用或交互作用不显著的因素,可通过比较该因素各水平下的 Kij值的大小确定优水平,各试验因素的优水平组合即为该试验的最优水平组合;对于交互作用显著的某两个因素,不能分别确定其优水平,必须通过比较两个因素各水平组合下试验数据之和的大小,
确定其优水平组合。
一、不考虑交互作用的等水平正交试验设计
1 单指标试验的正交表的选择正交表的水平数与试验因素的水平应一致,正交表的列数应大于或等于因素的所占的列数。
例:为提高山楂原料的利用率,某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂清汁。拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。根据专业知识确定因素水平表如下:
第四节 正交试验方案的选择因素 加水量
( ml/100g)
A
加酶量
( ml/100g)
B
酶解温度
( ℃ )
C
酶解时间
( h)
D水平
1 10 1 20 1.5
2 50 4 35 2.5
3 90 7 50 3.5
因素水平表从上表可以看出,这是一个四因素三水平试验设计问题,
选择的正交表中至少有 3个水平,4列。从所有规则的正交表中可以看出选择 L9( 34)正好可以安排满,当然也可以选择比较大的正交表 L27( 313),但是试验次数比较多。
选择 L9( 34),对于只做极差分析是非常合适的,但是对于做方差分析,要估计误差,正交表中就没有空列,因此需要做重复试验以考察试验误差。
2 多指标试验的正交表的选择多指标试验,试验方案的设计和具体试验过程和单指标一样,只是每做一次试验,都要对需要的指标做一一测试,分别记录。分析结果时,也要对需要考察的指标一一分析,分别得到各自的最优条件,然后综合平衡,确定出最终的最优条件。
二、考虑交互作用的等水平正交试验设计
1、交互作用的概念因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用。因素之间总是存在着交互作用的,只是交互作用的程度不同而已,当交互作用很小时,可以认为不存在交互作用。
在试验设计中,表示因素 A,B间的交互作用记作
A× B,称为一级交互作用;表示因素 A,B,C之间的交互作用记作 A× B × C,称为二级交互作用,以此类推,
还有三级、四级交互作用,这些称为高级交互作用。
2、交互作用的处理原则试验设计中,交互作用一律当作因素看待。因此都可以安排在能考察交互作用的正交表的相应列上,它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚。但是交互作用又与因素不同。
( 1)交互作用所占的列不影响试验方案及其实施。
( 2)一个交互作用并不一定只占正交表的一列,而是占 列。即表头设计时,交互作用所占正交表的列数与因素的水平 m有关,以交互作用的级数 p有关。
pm )1(?
2、交互作用的处理原则处理原则:
( 1)忽视高级交互作用
( 2)有选择的考察一级交互作用:通常只考察那些作用效果较显著的,或者试验要求必须考察的。
( 3)试验因素尽量取两水平。
3、举例说明交互作用的正交试验设计例:用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的铅,
为提高测定灵敏度,希望吸光度越大越好,现要研究影响吸光度的因素,确定最佳测定条件。
( 1)确定试验指标:选择吸光度
( 2)选择因素和水平,根据专业知识因素水平表如下:
因素 灰化温度
( ℃ )
A
原子化温度
( ℃ )
B
灯电流
( mA)
C水平
1 300 1800 8
2 700 2400 10
( 3)选择正交表选正交表时,一定要把交互作用看成因素,同试验因素一并加以考虑。所选正交表试验号的大小,应能放下所有要考察的因素及交互作用,并且最好有 1~2列空列,
用以评价试验误差。
在本例中,根据实践三个因素之间可能存在交互作用,因此要把 A× B,A× C,B× C同试验因素一样加以考虑,由于本试验因素都是两水平,因此上述交互作用各占正交表的 1列,连同试验因素,总计占正交表 6列。
根据标准正交表可知,选择 L8(27)最合适。
( 4)表头设计表头设计时,各因素及其交互作用不能任意安排,
必须严格按照交互作用列表进行安排。这是有交互作用的正交试验设计的一个重要特点,也是其试验方案设计的关键一步。
每张标准正交表都附有一张交互作用列表。 L8(27)
的交互作用列表如下:
列号 1 2 3 4 5 6 7
1 ( 1) 3 2 5 4 7 6
2 ( 2) 1 6 7 4 5
3 ( 3) 7 6 5 4
4 ( 4) 1 2 3
5 ( 5) 3 2
6 ( 6) 1
7 ( 7)
L8(27)交互作用列表表中所有数字都是正交表的列号,括号内的数字表示各因素所占的列。任意两个括号列纵横交叉的数字,即为这两个括号列所标示的因素的交互作用列。
在表头设计中,主要的因素也就是重点要考察的因素,
涉及交互作用较多的因素,应该优先安排,而一些次要因素,涉及交互作用少的或者不涉及交互作用的因素,则可放在后面安排。
在本例中,我们按顺序进行安排,先将因素 A,B安排在 1,2列,再按交互作用列表将 A× B放在第 3列。然后把因素 C放在第 4列,则根据交互作用列表,A× C应放在第 5列,B× C放在第 6列。第 7列为空列,可用于估计试验误差。表头设计的结果见下表:
因素 A B A× B C A× C B× C
列号 1 2 3 4 5 6 7
三、混合型正交表的试验设计对于因素水平不等的正交试验设计,就需要运用混合型正交表。如果符合标准的混合型正交表,试验设计的方法和等水平的试验设计一样。
例:某油炸膨化食品的体积与油温、物料含水量及油炸时间有关,为确保产品质量,提出工艺要求,现通过正交试验设计寻求理想的工艺参数。
1、确定试验指标:根据本试验的目的,油炸膨化食品的体积为试验指标,体积越大越好。
2、因素水平选择如下:
因素 油炸温度
( ℃ )
A
物料含水量
( %)
B
油炸时间
( s)
C水平
1 210 2.0 30
2 220 4.0 40
3 230
4 240
3、选正交表本试验有一个四水平因素,两个 2水平因素,从标准的混合型正交表中可以看出选择 L8(41× 24)比较合适。
4、表头设计和编制试验方案表头设计时,把因素 A放在正交表的第 1列,其余两个因素可随意安排在四个二水平列中,比如依次放在正交表的 2,3列中,这就完成了表头设计,随后就可以按照标准的正交表安排实验方案。
四、正交试验设计的灵活运用前面介绍的是正交试验设计基本方法,但是实际的科研和生产实践中,还遇到以下问题:
( 1)现成的正交表虽然很多,但仍然满足不了实际需要。根据选定的因素水平及试验要求,又是选不出合适的正交表。
( 2)实际试验中常会遇到因素多、水平不等,同时又要求考虑交互作用的复杂情况。标准的混合正交表无法使用。
( 3)有些问题有某些特殊要求,在方案设计中需要特殊照顾,否则就可能扩大试验的时空范围,增加试验次数,甚至根本无法实施。
为解决上述问题,必须针对不同的问题,在满足试验要求和尽量减少试验次数的前提下,灵活运用正交试验设计。下面介绍几种常用的灵活运用正交试验设计的方法。
(一)并列法对于有混和水平的问题,除了直接应用混和水平的正交表外,还可以将原来已知正交表加以适当的改造,得到新的混和水平的正交表。所有的标准正交表都可以把任意两列及它的交互作用列放在一起,进行并列,以得到新的一张正交表。 L8(41× 24)表就是由 L8(27)改造而来。
1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2 2
3 1 2 2 1 1 2 2
4 1 2 2 2 2 1 1
5 2 1 2 1 2 1 2
6 2 1 2 2 1 2 1
7 2 2 1 1 2 2 1
8 2 2 1 2 1 1 2
L8(27)正交试验表
( 1)首先从 L8(27) 中随便选两列,例如 1,2列,将此两列同横行组成的 8个数对,恰好 4种不同搭配各出现两次,我们把每种搭配用一个数字来表示:
新列试验号 1 2
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
3
3
4
4
规则:
(1,1) 1
(1,2) 2
(2,1) 3
(2,2) 4
( 2)于是 1,2列合起来形成一个具有 4水平的新列,
再将 1,2列的交互作用列第 3列从正交表中去除,因为它已不能再安排任何因素,这样就等于将 1,2,3
列合并成新的一个 4水平列:
列号试验号 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
2
2
3
3
4
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
L8(4× 24)正交表显然,新的表 L8(4× 24)仍然是一张正交表,不难验证,
它仍然具有正交表均衡分散、整齐可比的性质。
( 1)任一列中各水平出现的次数相同(四水平列中,
各水平出现二次,二水平列各出现八次)。
( 2)任意两列中各横行的有序数对出现的次数相同
(对于两个二水平列,显然满足;对一列四水平,一列二水平,它们各横行的八种不同搭配 (1,1),(1,2),(2,1),
(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2) 各出现一次。
例:为研究塑料薄膜袋保藏棕李的贮藏效果和贮藏过程中维生素 C的变化规律,要安排四因素多水平正交试验,
因素水平表如下,试验指标为 Vc含量( mg/100g)。因素 A四水平,B,C,D因素 2水平,要求考察交互作用
A× B,A× C,B× C。
因素 包装方式
A
贮藏温度( ℃ )
B
处理时间
C
膜剂
D水平
1 封口,内放 C2H2吸收剂 4 采后 2天 无钙膜剂
2 封口、内放 CO2吸收剂 室温 采后 10天 含钙膜剂
3 封口、不放吸收剂
4 不封口、不放吸收剂首先计算所要考虑因素及其交互作用的自由度:
13132133
1)12()12(
3)12()14(
112314





总自由度

CB
CABA
DCBA
f
ff
ffff
以上的计算可知,至少要做 13次试验,4水平有一个因素,2水平有三个因素,还有 3个交互作用,正交表至少需要 7列,为估计误差还需要 1列空列。从混合型标准正交表中可以看出选择 L16(41× 212)比较合适。
但是,该表没有使用表,也就是不知道因素及其交互作用在列中如何安排。
L16(41× 212)表是由 L16(215)改造而来的。
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
试验号
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
4 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
5 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
6 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1
7 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1
8 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
9 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
10 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
11 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1
12 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
13 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
14 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2
15 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2
16 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 (1) 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
2 (2) 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 (3) 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
4 (4) 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 (5) 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
6 (6) 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 (7) 15 14 13 12 11 10 9 8
8 (8) 1 2 3 4 5 6 7
9 (9) 3 2 5 4 7 6
10 (10) 1 6 7 4 5
11 (11) 7 6 5 4
12 (12) 1 2 3
13 (13) 3 2
14 (14) 1
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
试验号
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
4 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
5 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
6 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1
7 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1
8 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
9 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
10 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
11 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1
12 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
13 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
14 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2
15 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2
16 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
规则:
(1,1) 1
(1,2) 2
(2,1) 3
(2,2) 4
A B A× B C A× C B× C D
( 1)将 L16 (215)中的第 1,2,3列改造为四水平的,得到
L16 (41 × 212)表;
( 2)将 A占 1,2,3列,如果 B放第 4列,则由交互作用表知,1,4?5; 2,4?6; 3,4?7。于是 A× B要占 5,6、
7三列;
( 3)将 C排在第 8列,可以查得,1,8?9; 2,8?10;
3,8?11。于是 A× C要占 9,10,11三列;
( 4) B在第 4列,C在第 8列,4,8?12,B× C放 12列
( 5) D可以安排在剩余的任何一列,假如放在第 15列。
表头设计 A B A× B C A× C B× C D
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
表头设计如下
(二)拟水平设计法拟水平法是将水平数少的因素纳入水平数多的正交表的一种设计方法。
(三)拟因素设计法拟因素设计法是综合运用并列法和拟水平法,将水平数较多的因素安排在水平数较少的正交表中的方法。
(四)分割设计法