实验3 matlab中的数组和矩阵运算，线性方程组实验目的：
1、理解并能区分数组运算和矩阵运算；
2、掌握用matlab软件中数组运算和矩阵运算的命令；
3、掌握用matlab软件中求解线性方程组的命令。
实验内容：
矩阵和数组的输入：
（1）逐个输入法：如果数据元素之间均用空格（或逗号）隔开，该向量称为行向量；如果数据元素之间均用分号隔开，该向量称为列向量。
例如：x=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12]
输出结果：x =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
（2）冒号生成法：x=first:increment:last，表示包含由first开始，步长为increment,到last结束的组成的行向量。
例如：x=0:pi/4:pi
输出结果：x =
0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416
（3）利用内部函数：x=linspace(first，last，n)，创建从first开始，到last结束，有n个元素的均匀间隔的行向量。
例如：x=linspace(0,pi,5)
输出结果：x =
0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416
（4）多维矩阵必须有以下三个要素：整个输入矩阵必须以“[ ]”为其首尾；矩阵的行与行之间必须用分号“；”或回车键（Enter）隔离；矩阵元素必须由逗号“，”或空格分隔。
例如：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
输出结果：A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
2,特殊矩阵的输入：
zeros(m,n) ~ m×n全0阵
eye(m,n) ~ m×n对角线1矩阵
ones(m,n) ~ m×n全1阵
rand(m,n) ~ m×n (0,1) 随机阵
3,矩阵元素的操作：
取矩阵中的一个元素：x(a,b)其中a,b分别代表元素的行和列。
取矩阵中的一行或一列：x(a,:)，x(:,b)。
取矩阵A的第i1~i2行、第j1~j2列构成新矩阵：A(i1:i2,j1:j2)。
删除A的第i1~i2行，构成新矩阵：A(i1:i2，：)=[ ]。
删除A的第j1~j2列，构成新矩阵：A(：，j1:j2)=[ ]。
将矩阵A和B拼接成新矩阵：[A B]；[A；B]。
矩阵运算命令:
A′ 矩阵共轭转置
A+B 矩阵相加
A-B 矩阵相减
A*B 矩阵相乘
A/B 矩阵相除（左除）除
B＼A 矩阵相除（右除）元素除
A^n A阵的 n次幂
数组运算命令:
A.′ 矩阵元素的共轭转置
A.+B 矩阵对应元素相加
A.-B 矩阵对应元素相减
A.*B 同维数组对应元素相乘
A./B A的元素被B的对应元素除
B.＼A A的元素被B的对应元素除
A.^n A的每个元素自乘n次
例1 特殊矩阵的生成，a=zeros(3) b=ones(4,3) c=eye(4,6)
试试看输出结果是什么？
例2 矩阵的生成、访问，a=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12]
输入matlab命令,a1=a(2,4)
a2=a([1,2],[2,3,4])
a3=a([1,2],[2,3,1])
a4=a([3,1],:)
输出结果
a1 = 8
a2 =
2 3 4
6 7 8
a3 =
2 3 1
6 7 5
a4 =
9 10 11 12
1 2 3 4
例3,练习矩阵的运算，
a=[1,2,3;4,5,6]
b=[-1 0 1;3 1 2]
输出结果：
a =
1 2 3
4 5 6
b =
-1 0 1
3 1 2
输入matlab命令
x1=a'
x2=a+b
x3=a-b
x4=1+a
x5=a-1
x6=2*b
x7=[2,4;1,3;0,1]
x8=a*c
输出结果：
x1 =
1 4
2 5
3 6
x2 =
0 2 4
7 6 8
x3 =
2 2 2
1 4 4
x4 =
2 3 4
5 6 7
x5 =
0 1 2
3 4 5
x6 =
-2 0 2
6 2 4
x7 =
2 4
1 3
0 1
x8 =
4 13
13 37
例4 练习数组的运算，
a=[1,2,3;4,5,6]
b=[-1 0 1;3 1 2]
输出结果：
a =
1 2 3
4 5 6
b =
-1 0 1
3 1 2
输入matlab命令
y1=a.*b
y2=a./b
y3=a.^2
y4=2.^a
输出结果：
y1 =
-1 0 3
12 5 12
Warning,Divide by zero.
y2 =
-1.0000 Inf 3.0000
1.3333 5.0000 3.0000
y3 =
1 4 9
16 25 36
y4 =
2 4 8
16 32 64
例5 计算矩阵a的秩，其中 a =
3 2 -1 -3 -2
2 -1 3 1 -3
7 0 5 -1 -8
解：输入命令
a=[3,2,-1,-3,-2;2,-1,3,1,-3;7,0,5,-1,-8]
rank(a)
例6 计算方阵a的行列式，其中 a =
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
解：输入命令
x1=det(a)
x2=det(a')
c=a;c(:,1)=2*a(:,1);
x3=det(c)
x4=det(a(:,[3,2,1,4]))
d=a;d(2,:);
x5=det(d)
输出结果：
x1 =
160
x2 =
160
x3 =
320
x4 =
-160
x5 =
160
试着解释上面的运算结果。
设矩阵，试求矩阵的逆矩阵。
解：输入matlab命令
A=[1 2 3;2 2 1;3 4 3];
B=inv(A)
输出结果：
B =
1.0000 3.0000 -2.0000
-1.5000 -3.0000 2.5000
1.0000 1.0000 -1.0000
也可以用初等行变化求逆矩阵，输入matlab命令
A=[1 2 3;2 2 1;3 4 3];
D=[A,eye(3)]
rref(D)
输出结果：
ans =
1.0000 0 0 1.0000 3.0000 -2.0000
0 1.0000 0 -1.5000 -3.0000 2.5000
0 0 1.0000 1.0000 1.0000 -1.0000
解方程组，了解matlab中的右除号的功能。
解：输入matlab命令
A=[3,2,6;6,10,9;6,4,15];
b=[6;9;6];
A\b
得到该方程组的唯一解
ans =
x1=7.0000
x2=-1.5000
x3=-2.0000
求方程组的通解，并指出基础解系。
解：输入matlab命令
A=[1,1,2,-1;2,1,1,-1;2,2,1,2];
rref(A)
输出结果：
ans =
1.0000 0 0 -1.3333
0 1.0000 0 3.0000
0 0 1.0000 -1.3333
可见未知量中有一个自由变量，方程组的通解为
求方程组。
解：输入matlab命令
A=[1,2,3,1;2,4,0,-1;-1,-2,3,2;1,2,-9,-5];
b=[5;-3;8;-21];
rref([A,b])
输出结果,ans =
1.0000 2.0000 0 -0.5000 -1.5000
0 0 1.0000 0.5000 2.1667
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
可见未知量中自由变量为和，方程组的通解为
，其中和为任意实数。
练习：
设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如下表所示：
产出（亿元）
投入（亿元）
农业
制造业
服务业
外部需求
总产出
农业
15
20
30
35
100
制造业
30
10
45
115
200
服务业
20
60
0
70
150
初始投入
35
110
75
总投入
100
200
150
表中第一行数字表示，农业总产出100亿元，其中15亿元农产品用于农业生产本身，20亿元用于制造业，30亿元用于服务业，剩下35亿元农产品用来满足外部需求。第一列数字中，15亿元如前所述，30亿元是制造业对农业的投入，20亿元是服务业对农业的投入，总投入和总产出相等。
假定每个部门的产出和它的投入成正比，上表可以确定三个部门的投入产出表：
产出（亿元）
投入（亿元）
农业
制造业
服务业
农业
0.15
0.10
0.20
制造业
0.30
0.05
0.30
服务业
0.20
0.30
0
表2中第一行，第二列的数字0.10表示生产1个单位产值的制造业产品需投入0.10个单位产值的农产品，这是由表1中20亿元农产品投入制造业，可以产出200亿元制造业总产值而来的（20/200=0.1）。其余雷同。
如果今年对农业、制造业和服务业的外部需求分别为50，150，100亿元，问这三个部门的总产出分别应为多少？
如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问它们的总产出应分别增加多少？
种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变，种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。种群年龄记做，当年年龄k的种群记做，繁殖率记做（每个雌性个体1年繁殖的数量），自然存活率记做，为1年的死亡率，收获量记做，则来年年龄的种群数量应为
要求各个年龄的种群每年维持不变就是要使
若已知，给定收获量，建立求各年龄的稳定种群数量的表达式（用矩阵、向量表示）。
设，若要求为500，400，200，100，100，求。
1、理解并能区分数组运算和矩阵运算；
2、掌握用matlab软件中数组运算和矩阵运算的命令；
3、掌握用matlab软件中求解线性方程组的命令。
实验内容：
矩阵和数组的输入：
（1）逐个输入法：如果数据元素之间均用空格（或逗号）隔开，该向量称为行向量；如果数据元素之间均用分号隔开，该向量称为列向量。
例如：x=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12]
输出结果：x =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
（2）冒号生成法：x=first:increment:last，表示包含由first开始，步长为increment,到last结束的组成的行向量。
例如：x=0:pi/4:pi
输出结果：x =
0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416
（3）利用内部函数：x=linspace(first，last，n)，创建从first开始，到last结束，有n个元素的均匀间隔的行向量。
例如：x=linspace(0,pi,5)
输出结果：x =
0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416
（4）多维矩阵必须有以下三个要素：整个输入矩阵必须以“[ ]”为其首尾；矩阵的行与行之间必须用分号“；”或回车键（Enter）隔离；矩阵元素必须由逗号“，”或空格分隔。
例如：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
输出结果：A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
2,特殊矩阵的输入：
zeros(m,n) ~ m×n全0阵
eye(m,n) ~ m×n对角线1矩阵
ones(m,n) ~ m×n全1阵
rand(m,n) ~ m×n (0,1) 随机阵
3,矩阵元素的操作：
取矩阵中的一个元素：x(a,b)其中a,b分别代表元素的行和列。
取矩阵中的一行或一列：x(a,:)，x(:,b)。
取矩阵A的第i1~i2行、第j1~j2列构成新矩阵：A(i1:i2,j1:j2)。
删除A的第i1~i2行，构成新矩阵：A(i1:i2，：)=[ ]。
删除A的第j1~j2列，构成新矩阵：A(：，j1:j2)=[ ]。
将矩阵A和B拼接成新矩阵：[A B]；[A；B]。
矩阵运算命令:
A′ 矩阵共轭转置
A+B 矩阵相加
A-B 矩阵相减
A*B 矩阵相乘
A/B 矩阵相除（左除）除
B＼A 矩阵相除（右除）元素除
A^n A阵的 n次幂
数组运算命令:
A.′ 矩阵元素的共轭转置
A.+B 矩阵对应元素相加
A.-B 矩阵对应元素相减
A.*B 同维数组对应元素相乘
A./B A的元素被B的对应元素除
B.＼A A的元素被B的对应元素除
A.^n A的每个元素自乘n次
例1 特殊矩阵的生成，a=zeros(3) b=ones(4,3) c=eye(4,6)
试试看输出结果是什么？
例2 矩阵的生成、访问，a=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12]
输入matlab命令,a1=a(2,4)
a2=a([1,2],[2,3,4])
a3=a([1,2],[2,3,1])
a4=a([3,1],:)
输出结果
a1 = 8
a2 =
2 3 4
6 7 8
a3 =
2 3 1
6 7 5
a4 =
9 10 11 12
1 2 3 4
例3,练习矩阵的运算，
a=[1,2,3;4,5,6]
b=[-1 0 1;3 1 2]
输出结果：
a =
1 2 3
4 5 6
b =
-1 0 1
3 1 2
输入matlab命令
x1=a'
x2=a+b
x3=a-b
x4=1+a
x5=a-1
x6=2*b
x7=[2,4;1,3;0,1]
x8=a*c
输出结果：
x1 =
1 4
2 5
3 6
x2 =
0 2 4
7 6 8
x3 =
2 2 2
1 4 4
x4 =
2 3 4
5 6 7
x5 =
0 1 2
3 4 5
x6 =
-2 0 2
6 2 4
x7 =
2 4
1 3
0 1
x8 =
4 13
13 37
例4 练习数组的运算，
a=[1,2,3;4,5,6]
b=[-1 0 1;3 1 2]
输出结果：
a =
1 2 3
4 5 6
b =
-1 0 1
3 1 2
输入matlab命令
y1=a.*b
y2=a./b
y3=a.^2
y4=2.^a
输出结果：
y1 =
-1 0 3
12 5 12
Warning,Divide by zero.
y2 =
-1.0000 Inf 3.0000
1.3333 5.0000 3.0000
y3 =
1 4 9
16 25 36
y4 =
2 4 8
16 32 64
例5 计算矩阵a的秩，其中 a =
3 2 -1 -3 -2
2 -1 3 1 -3
7 0 5 -1 -8
解：输入命令
a=[3,2,-1,-3,-2;2,-1,3,1,-3;7,0,5,-1,-8]
rank(a)
例6 计算方阵a的行列式，其中 a =
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
解：输入命令
x1=det(a)
x2=det(a')
c=a;c(:,1)=2*a(:,1);
x3=det(c)
x4=det(a(:,[3,2,1,4]))
d=a;d(2,:);
x5=det(d)
输出结果：
x1 =
160
x2 =
160
x3 =
320
x4 =
-160
x5 =
160
试着解释上面的运算结果。
设矩阵，试求矩阵的逆矩阵。
解：输入matlab命令
A=[1 2 3;2 2 1;3 4 3];
B=inv(A)
输出结果：
B =
1.0000 3.0000 -2.0000
-1.5000 -3.0000 2.5000
1.0000 1.0000 -1.0000
也可以用初等行变化求逆矩阵，输入matlab命令
A=[1 2 3;2 2 1;3 4 3];
D=[A,eye(3)]
rref(D)
输出结果：
ans =
1.0000 0 0 1.0000 3.0000 -2.0000
0 1.0000 0 -1.5000 -3.0000 2.5000
0 0 1.0000 1.0000 1.0000 -1.0000
解方程组，了解matlab中的右除号的功能。
解：输入matlab命令
A=[3,2,6;6,10,9;6,4,15];
b=[6;9;6];
A\b
得到该方程组的唯一解
ans =
x1=7.0000
x2=-1.5000
x3=-2.0000
求方程组的通解，并指出基础解系。
解：输入matlab命令
A=[1,1,2,-1;2,1,1,-1;2,2,1,2];
rref(A)
输出结果：
ans =
1.0000 0 0 -1.3333
0 1.0000 0 3.0000
0 0 1.0000 -1.3333
可见未知量中有一个自由变量，方程组的通解为
求方程组。
解：输入matlab命令
A=[1,2,3,1;2,4,0,-1;-1,-2,3,2;1,2,-9,-5];
b=[5;-3;8;-21];
rref([A,b])
输出结果,ans =
1.0000 2.0000 0 -0.5000 -1.5000
0 0 1.0000 0.5000 2.1667
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
可见未知量中自由变量为和，方程组的通解为
，其中和为任意实数。
练习：
设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如下表所示：
产出（亿元）
投入（亿元）
农业
制造业
服务业
外部需求
总产出
农业
15
20
30
35
100
制造业
30
10
45
115
200
服务业
20
60
0
70
150
初始投入
35
110
75
总投入
100
200
150
表中第一行数字表示，农业总产出100亿元，其中15亿元农产品用于农业生产本身，20亿元用于制造业，30亿元用于服务业，剩下35亿元农产品用来满足外部需求。第一列数字中，15亿元如前所述，30亿元是制造业对农业的投入，20亿元是服务业对农业的投入，总投入和总产出相等。
假定每个部门的产出和它的投入成正比，上表可以确定三个部门的投入产出表：
产出（亿元）
投入（亿元）
农业
制造业
服务业
农业
0.15
0.10
0.20
制造业
0.30
0.05
0.30
服务业
0.20
0.30
0
表2中第一行，第二列的数字0.10表示生产1个单位产值的制造业产品需投入0.10个单位产值的农产品，这是由表1中20亿元农产品投入制造业，可以产出200亿元制造业总产值而来的（20/200=0.1）。其余雷同。
如果今年对农业、制造业和服务业的外部需求分别为50，150，100亿元，问这三个部门的总产出分别应为多少？
如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问它们的总产出应分别增加多少？
种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变，种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。种群年龄记做，当年年龄k的种群记做，繁殖率记做（每个雌性个体1年繁殖的数量），自然存活率记做，为1年的死亡率，收获量记做，则来年年龄的种群数量应为
要求各个年龄的种群每年维持不变就是要使
若已知，给定收获量，建立求各年龄的稳定种群数量的表达式（用矩阵、向量表示）。
设，若要求为500，400，200，100，100，求。
