第五章 时 频 分 析第五章 时 频 分 析
5.1 引言
5.2 短时傅里叶变换
5.3 维格纳变换 (WD)
5.4 时域离散信号的维格纳变换
5.5 时频分布的统一表示式
5.6 时频分析在编队目标架次检测中的应用第五章 时 频 分 析
5.1 引 言传统的信号分析与处理的数学工具是傅里叶变换,它的正变换和逆变换分别用下面两式表示：
d)eX ( e
π2
1
)(
e)()e(
π
π-
jj
-jj
n
ωn
n
nx
nxX
(5.1.1)
(5.1.2)
式中 ω是一个连续变量,限制了用计算机在频域进行分析与处理,
而离散傅里叶变换 (DFT)将频域离散化,使之借助计算机可以在时域也可以在频域对信号进行分析与处理 。 由于傅里叶变换物理概念清晰,同时也是正交变换,因此长期以来科技界及各工程领域广泛使用傅里叶变换和离散傅里叶变换 。
第五章 时 频 分 析
X(ejω)称为信号 x(n)的频谱,它表示了信号在频域的分布规律 。 也可以用下面公式表示,
2j |)e(|)( Xe? （ 5.1.3）
e(ω)称为信号 x(n)的能量谱,它仅包含信号的幅度信息 。 但对于能量无限信号,如周期信号,平稳随机信号等,傅里叶变换不存在,可以用功率谱密度 （ 简称功率谱 ） P(ejω )表示,
m
ωm
xx mrP
j-j ω e)()e( （ 5.1.4）
式中 rxx(m)是 x(n)的自相关函数 。 频谱,能量谱以及功率谱都是信号变换到频域的一种表示方法,对于频谱不随时间变化的确定性信号以及平稳随机信号都可以用它们进行分析和处理 。
第五章 时 频 分 析
5.2 短时傅里叶变换
5.2.1 短时傅里叶变换的定义及其物理解释
1.
短时傅里叶变换的定义有两种形式,下面分别叙述 。
(1) 定义一,
m
m
X mnwmxn
j-e)()(),(S T F T (5.2.1)
式中 w(n)是一个窗函数,其作用是取出 x(n)在 n时刻附近的一小段信号进行傅里叶变换,当 n变化时,窗函数随 n移动,从而得到信号频谱随时间 n变化的规律 。 此时的傅里叶变换是一个二维域 (n,ω)的函数 。 窗函数沿时间轴移动情况如图 5.2.1 所示 。
第五章 时 频 分 析图 5.2.1 窗函数的移动
( n － m )
x ( m )
mn
第五章 时 频 分 析令 n′=n-m 将 n′代入定义一中,再将 n′用 m代替,可得到第二种定义形式 。
(2) 定义二：
j ωω
m
j ωω
n
n - mj ω
X
mnxmw
mnxmwn
e)()(e
e)()(),(S T FT
-
)(-
第五章 时 频 分 析
2,短时傅里叶变换的物理解释对以上 STFT的定义形式,从傅里叶变换和线性滤波两个角度,可以有两种不同的物理解释 。
(1) 由傅里叶变换角度解释 。 按照 (5.2.1)式,STFT可以看作
n是参变量,x(m)w(n-m)对 m的傅里叶变换,因此它是 （ n,ω）
的函数 。 因为 STFT是 x(m)w(n-m)的傅里叶变换,可以用 x(m)和
w(n-m)分别的傅里叶变换的卷积表示 。 设：
)](F T [)e() ],(F T [)e( j ωj ω mwWmxX
)](F T [)e(e)],(F T [)e( -j ωj-j ω mnwWmwW ωn
第五章 时 频 分 析那么
d)e(e)e(
2
1),(S T F T )-j(jj XWn n
xx
如果再将 θ 改换成 -θ,得到
de)e()e(
2
1),(S T F T j-)j(j n
xx XWn
(5.2.3)
上式是 STFT定义的一种频域表示形式 。 这里如果 x(n)是时变信号,
式中用了它的傅里叶变换,是不合适的,但可以理解为信号在时间窗外变为 0 以后,取信号的傅里叶变换 ;或者说是时间窗内的信号傅里叶变换的平滑形式 。
第五章 时 频 分 析
（ 2） 由线性滤波角度解释。将定义一重写如下：
m
m
X mnwmxn )(e)(),(S T F T
j-
上式表明,短时傅里叶变换可以看成 x(n)e-jωn与 w(n)的线性卷积,
如将 w(n)看成一个低通滤波器的单位脉冲响应,短时傅里叶变换则可用图 5.2.2表示 。 图 5.2.2 表明,首先将信号 x(n)调制到 -ω，
然后通过低通滤波器 w(n),其输出就是短时傅里叶变换 。 实质上是将 x(n)在 ω附近的频谱搬移到零频处,作为短时傅里叶变换 。 为使其频率分辨率高,希望 w(n)是一个低通窄带滤波器,
带外衰减愈大愈好 。
第五章 时 频 分 析利用定义二可以得到线性滤波的另一种物理解释,将定义二重写如下,
)(e)(e),(S T F T j-j mnxmwn ωm
m
ωn
X
公式中求和号部分可看成 w(n)ejωn与 x(n)的线性卷积,因此上式可以写成
)(e)(e),(S T F T j-j mnxmwn ωm
m
ωn
X
式中 w(n)是低通滤波器,w(n)ejωn就是以 ω 为中心的带通滤波器 。
按照上式,STFT就是信号首先通过带通滤波器,选出以 ω 为中心的频谱,再乘以 exp(-jωn),将选出的频谱搬移到零频处 。
短时傅里叶变换如按照定义二的物理解释,则可用图 5.2.3 表示 。
第五章 时 频 分 析图 5.2.2 定义一的物理解释
w ( n )×
e x p ( － j? n )
x ( n ) S T F T x ( n,? )
第五章 时 频 分 析图 5.2.3 定义二的物理解释
w ( n ) e x p ( j? n )
e x p ( － j? n )
x ( n ) S T F T x ( n,? )
第五章 时 频 分 析
5.2.2 短时傅里叶变换的性质短时傅里叶变换是建立在一般傅里叶变换基础上的一种变换,因此它具有许多和傅里叶变换相似的性质 。
1,线性性质设 z(n)=c·x(n)+d·y(n),c,d 为常数,则
),(S T F T),(S T F T),(S T F T ndncn YXZ
(5.2.4)
第五章 时 频 分 析
2,频移性质 ——调制特性设,则
nnynx 0je)()(
),(S T F T),(S T F T 0 nn YX
(5.2.5)
第五章 时 频 分 析
3,
设 x(n)=y(n-n0),则
),(S T F Te),(S T F T 0-j 0 nnn YωnX (5.2.6)
证明
),(S T F Te
e))e(()(
)e()(),(S T F T
0
j-
j-)(j-
000
-j
0
0
00
nn
nmn - nwm - ny
n - mwm - nyn
Y
ωn
ωnnmω
m
ωn
m
X
以上说明 STFT具有频移不变性，但不具有时移不变性，相差一个相位因子。
第五章 时 频 分 析
4,共轭对称性当信号是实信号时,短时傅里叶变换和一般傅里叶变换一样具有共轭对称性,即
),(S T F T),(S T F T * nn XX
(5.2.7)
因此,其实部是偶函数，虚部是奇函数。
第五章 时 频 分 析
5,由短时傅里叶变换恢复信号由定义 (5.2.1)式得到短时傅里叶变换的反变换为
de),(π2 1)()( jπ
π
m
X nS T F Tmnwmx
设 n=m,则
de),(S T FT( 0 )π2 1)( jπ
π
m
X nnx (5.2.8)
只要 w(0)≠ 0,可以由 STFTX(n,ω )准确地恢复信号 x(n)。
第五章 时 频 分 析
5.2.3 短时傅里叶变换的时间,频率分辨率由定义可知,STFT实际分析的是信号的局部谱,局部谱的特性决定于该局部内的信号,也决定于窗函数的形状和长度 。
为了了解窗函数的影响,假设窗函数取两种极端情况 。 第一种极端情况是取 w(n)=1,-∞ <n<∞,此时
)]([Fe)(),(S T F T j- nxTmxn m
m
X
这种情况下,STFT退化为信号的傅里叶变换,没有任何时间分辨率,却有最好的频域分辨率 。 第二种极端情况是取 w(n)=δ (n)，
此时
nx nx( n,ωn?j)e(S T F T
STFT退化为信号，有理想的时间分辨率，但不提供任何频率分辨率。
第五章 时 频 分 析短时傅里叶变换由于使用了一个可移动的时间窗函数,使其具有一定的时间分辨率 。 显然,短时傅里叶变换的时间分辨率取决于窗函数 w(n)的长度 。 为了提高信号的时间分辨率,希望 w(n)的长度愈短愈好 。 但频域分辨率取决于 w(n)窗函数的频域函数宽度,也就是低通滤波器 w(n)的带宽或者说带通滤波器
w(n)ejωn的带宽,为了提高频域分辨率,希望尽量加宽 w(n)窗口宽度,这样必然又会降低时域分辨率 。 因此,STFT的时间分辨率和频率分辨率不能同时任意提高 。 这种时域分辨率和频域分辨率相互制约的性质,也正反映了已为理论所证明了的,不确定原理,,
π4
1 ft （ 5.2.9）
第五章 时 频 分 析式中 Δt表示信号有效持续时间,Δf表示信号的有效带宽 。 上面公式说明,对于窗函数,它的时间宽度和在频率域的宽度不能同时任意小,也就是说,频域分辨率和时域分辨率不能同时任意小 。 但可以选择合适的窗函数,使 Δt和 Δf都比较小,其乘积接近于 1/(4π)。 窗函数的形式有很多,可以证明从有效时宽和有效频宽乘积为最小的意义上讲,高斯波形信号是最好的,但是它在时间轴和频率轴上是无限扩张的,因此它并不是一种最好的波形 。 我们知道,不可能存在既是带限又是时限的信号波形,
实际应用中采用放松条件,研究在有限时宽的情况下,使频率有效带宽为最小的波形是什么,或者研究在有限带宽情况下,
使时宽最小的波形是什么,这部分内容可参考文献 ［ 8］,
［ 2］ 。
第五章 时 频 分 析
5.2.4 短时傅里叶变换的实现
1,
我们已经知道,短时傅里叶变换是低通滤波器 w(n)的输出,
假设其有效带宽为 Δ,对应的模拟滤波器的有效带宽为 B,
Hzπ2 sfB
式中 fs是 x(n)的采样频率,那么对应该模拟滤波器的时域采样频率应是带宽的两倍 (2B)以上,最小采样频率为
sfB π2
第五章 时 频 分 析
2B即是最小再次采样率。上式表明该采样率是信号采样率 fs的 P倍,
1P
也就是说,二次采样间隔最大为 1/P,即窗口每次移动的最大间隔是 1/P。 例如,窗函数选用哈明窗,长度为 L,带宽近似为
4π /L,设,fs=10 kHz,L=100,则
25
1H z,2 0 00 0 010
π225
π,
25
π
1 0 0
π4
PB
即最大采样间隔为 25,n的取值为 0,25,50,75,…。
以上计算的再次采样率是最小采样率,采样间隔是最大采样间隔 。 对于频率域采样,假设在周期 2π 中采样 M点,为不发生时域混叠,要求 M≥ L。
第五章 时 频 分 析
2,用 FFT计算 STFT
假设在频率域等间隔采样 M点，
kMk π2
k=0,1,2,3,…,M-1
],[S T F T|],[S T F T knn XX k k=0,1,2,3,…,M-1
按照定义一，有
l
kmM
X mnwmxkn
2 πj-
e)()(),(S T F T
（ 5.2.10
第五章 时 频 分 析令 m=l+n,上式变为
l
kl
M
kn
M
l
nlk
M
X
lwnlx
lwnlxkn
2 π
j-
2 π
j-
)(
2 π
j-
e)()(e
e)()(),(S T F T
（ 5.2.11）
上式的求和区间是 (-∞,∞),可以按照长度为 M的区间进行划分 。 一个个区间计算后,再求和,这样上式变成为
1 2 πj-2 πj-
e)()(e),(S T F T
MrM
rMl
klM
l
knM
X lwnlxkn
（ 5.2.12）
第五章 时 频 分 析令 l=m+rM,同时考虑到,得到
12 πje x p
k r M
M
km
M
M
m
kn
M
X nmxkn
2j1
0
2j
e),(~e),(S T F T
(5.2.13)
式中
r
rMmwrMmnxnmx )()(),(~
(5.2.14)
m=0,1,2,3,…,M-1
第五章 时 频 分 析在 (5.2.13)式中,对任何固定 n 值,求和项可以用 M FFT
进行计算,用 （ 5.2.14） 式计算 。 根据
（ 5.2.13） 式和 (5.2.14)式,由 x(n)计算 STFT 的过程如图 5.2.4
所示 。
),(~ nmx
第五章 时 频 分 析图 5.2.4 用 FFT计算短时傅里叶变换
∑
对 m 的 M 点
FFT
x ( n ＋ m － M ) ( － m ＋ M )
x ( n ＋ m － 2 M ) ( － m ＋ 2 M )
M － 1 m
M － 1 m
M － 1 m
m
0
0
0
0
x ( n ＋ m ＋ M ) ( － m － M )
x ( m,n )
~
kn
M
x
kn
π2
j
e),(S T F T
M M M M
x ( l ＋ n )
( － l )
x ( n ＋ m ) ( － m )
第五章 时 频 分 析
3,用滤波器组法实现短时傅里叶变换假设在频率域采样 M点,采样点的频率为
kMk π2 k=0,1,2,3,…,M-1
将 ω k代入定义 (5.2.2)式中，得到
n
m
n kk
k mwmnxn
j-j e)()(e|),S T F T (
令
nk knwnh?-je)()(?
(5.2.15)
第五章 时 频 分 析则
m
k
n
kX mhmnxn k )()(e),(S T F T
-j
(5.2.16)
令
m
kk mhmnxny )()()(
(5.2.17)
则
)(e),(S T F T -j nyn knkX k
(5.2.18)
这样对应 M个采样点频率,形成 M个通道 。 (5.2.15)式即是每个通道的带通滤波器的单位取样响应,(5.2.17)式即是每个带通滤波器的输出,（ 5.2.18） 式表示每个通道的 STFT输出 。
第五章 时 频 分 析图 5.2.5 STFT一个通道的原理框图
h
k
( n )
x ( n ) y
k
( n ) S T F T
x
( n,?
k
)
e x p ( － j?
k
,n )
第五章 时 频 分 析
4,短时傅里叶变换的综合由短时傅里叶变换恢复时域信号称为综合 。 下面先推导短时傅里叶变换 M个通道的等效传输函数 。 将 M个带通滤波器的输出相加,输出用 y(n)表示,从 x(n)到 y(n)等效单位取样响应用 h(n)表示,
1
0
1
0
)()(
)()(
M
k
k
M
k
k
nhnh
nyny (5.2.19)
(5.2.20)
式中 nk knwnh?je)()(?
第五章 时 频 分 析等效传输函数用 H(ejω )表示，即是上式的傅里叶变换。
1
0
jj )e()e(
M
k
kHH
(5.12.21)
)e())((FT)e( )j(j kWnhH kk式中 (5.12.22)
1
0
)j(j )e()e(
M
k
kWH
y(n)=x(n)*h(n)
(5,2.23)
(5,2.24)
第五章 时 频 分 析
(5.2.23)式表示等效传输函数是 M个带通滤波器传输函数的叠加。下面证明公式：
)0()e(1
1
0
)-j( wW
M
M
k
k
M≥ L (5.2.25)
证明
])e(I D F T [e)e(1 )-j(j
1
0
)-j( kkk WW
M
n
M
k
对于一定的 ω，令 ω=ωθ,ωk’=ωθ-ωk带入上式左边,得到
)(-jj
1
0
j
j)(jj
1-
0
1
0
)-j(j
''
''''
e)e(
1
e
ee)(e
1
e)e(
1
n
M
k
n
nn
M
k
M
k
n
kk
kkkk
W
M
W
M
W
M
第五章 时 频 分 析上式最右边求和号是频域信号 的 IDFT,即 w(-n)。 另外,我们知道频域采样,使时域以采样点数 M为周期进行周期性延拓,因此
)e( 'kjW?
)(ee)e(1 j
1
0
)-j(j '' rMnwW
M r
n
M
k
nkk
n=0,1,2,3,…,M-1
这里 M≥ L 保证不出现时域混叠,令 n=0,r=0,带入上式，最后得到
)0()e(1
1
0
)-j( wW
M
M
k
k?
(证毕 )
第五章 时 频 分 析将上式代入 (5.2.23)式,得到
H(ejω)=Mw(0),h(n)=F-1T［ H(ejω)］ =Mw(0)δ (n)
y(n)=x(n)*h(n)=Mw(0)x(n) (5.2.26)
(5.2.26)式说明当 M≥ L时,用短时傅里叶变换可以恢复原时域信号,恢复的可能性与窗函数的形状无关 。 但是窗函数的形状会影响其时间与频率分辨率 。
由 (5.2.18)式得到
),(S T F Te)( j kXnk Nny k (5.2.27)
第五章 时 频 分 析按照 (5.2.19)式,有
),(S T F Te)(
1
0
j
kx
M
k
n nny k
(5.2.28)
上式表明,由 STFT恢复原信号,也就是将每一路的 STFT输出乘以 exp(jωkn),然后进行相加得到时域信号 y(n)。 下面将 x(n)的短时傅里叶分析和 y(n)信号的恢复画在一起,如图 5.2.6 所示 。
第五章 时 频 分 析图 5.2.6 STFT分析与综合的原理图
h
0
( n )
y
0
( n )
x ( n )
S T F T
x
( n,?
0
)
e x p ( － j?
0
n )
y
0
( n )
e x p ( j?
0
n )
h
1
( n )
y
1
( n ) S T F T
x
( n,?
1
)
e x p ( － j?
1
n )
y
1
( n )
e x p ( j?
1
n )
h
M － 1
( n )
y
M － 1
( n ) S T F T
x
( n,?
M － 1
)
e x p ( － j?
M － 1
n )
y
M － 1
( n )
e x p ( j?
M － 1
n )
y ( n )
…
第五章 时 频 分 析我们知道,STFT的输出的带宽决定于低通滤波器的带宽,
其带宽一般比输入信号的带宽小得多,如果输入信号的采样率满足采样定理,那么在 STFT的输出完全可以降低采样率,
STFT的输出进行二次采样,减少数据量,即运算量 。 为此,在信号 STFT输出端加一个抽取器,信号综合时,再进行插值,
以恢复原来的采样率 。 这样,采用滤波器组实现 STFT分析与综合的原理框图如图 5.2.7所示,图中 (a)与 (b)分别对应定义一和定义二 。 二次采样率用输入信号的带宽与低通滤波器的带宽之比进行计算,设输入信号带宽用 Δ x表示,低通滤波器的带宽用 Δ ω表示,图中的 L用下式计算：
xL (5.2.29)
第五章 时 频 分 析上面我们研究了 STFT的计算方法,这里主要的问题是计算的有效性和时间窗的选择 。 为了提高 STFT计算的有效性,一些学者研究了递归算法,给出了矩形滑动窗递推算法和矩形扩展窗递推算法 （ 矩形窗的宽度作为递归形式进行扩展 ） ; 为了避免矩形窗带来的截断效应,又给出哈明 （ Hamming） 窗和汉宁
（ Hanning） 窗的改进递归算法,这样又增加了计算的复杂性 。
文献 ［ 3］ 给出了一种新的递归算法,它采用了全极点的滑动窗,它不仅克服了采用矩形窗带来的截断效应,还比用哈明窗和汉宁窗的计算量和存储量少得多 。 这方面内容请参考文献
［ 2］,［ 3］ 。
第五章 时 频 分 析图 5.2.7 用滤波器组实现 STFT的一个通道
h
k
( n )
x ( n )
抽取器
L ∶ 1
e x p ( － j
k
n )
S T F T
插值器
1 ∶ L
y
k
( n )
e x p ( j
k
n )
分析 综合
( n )
x ( n )
抽取器
L ∶ 1
e x p ( － j
k
n )
S T F T
插值器
1 ∶ L
y
k
( n )
e x p ( j
k
n )
分析 综合第五章 时 频 分 析
5.3 维格纳变换 (WD)
5.3.1 WD的定义确定性时间连续信号的 WD定义如下,
de22),(WD j-*
txtxt
x
(5.3.1)
定义表明这种变换是把过去某一时间信号乘上未来某一时间信号,再对两个信号时间差 τ 求傅里叶变换得到 。 令
22),( * txtxtr xx
(5.3.2)
第五章 时 频 分 析将 rxx(t,τ )称为瞬时自相关函数,那么 WD就是信号瞬时自相关函数的傅里叶变换 。 x(t)在频率域的 WD分布定义如下,
dXXXtX tj* e222 1),(WD?
(5.3.3)
对于两个连续时间信号 x(t)与 y(t),互 WD定义为
dtytxtyx j-*,e22),(WD?
(5.3.4)
同样,它们在频率域的互 WD定义如下,
dYXt tYX j*,e22π2 1),(WD?
(5.3.5)
第五章 时 频 分 析式中,X(Ω)是 x(t)的傅里叶变换 ;Y(Ω)是 y(t)的傅里叶变换 。 (5.3.1)、
（ 5.3.4） 式是在时域的定义形式,(5.3.3),（ 5.3.5） 式是在频域的定义形式 。 可以证明,时域和频域的定义形式有下面关系：
),(),(
),(),(
tWDtWD
tWDtWD
XYxy
Xx
(5.3.6)
(5.3.7)
第五章 时 频 分 析
5.3.2 WD的性质
1,WD的实数性和对称性
(1) WD 是 t和 Ω 的实函数证明 对 (5.3.1）式的两边取共轭,得到
de
22
),(WD j**
txtxΩt
x
令 τ ′ =-τ,则
'de
2
'
2
'),(WD 'j-**
txtxΩt
x
因此
),(WD),(WD * tt xx (5.3.8)
第五章 时 频 分 析
(2) 如果 x(t)是实信号，则 WD是频率的偶函数。 即
),(WD),(WD tt xx
(5.3.9)
证明 将定义中的 Ω 换成 -Ω,得到
),(WD),(WD
de
22
),(WD
de
22
),(WD
j-
j
tt
txtxt
txtxt
x
*
x
*
x
x
因此
)Ω,(WD),( tΩtWD xx
第五章 时 频 分 析
(3) 对于互 WD,则具有如下性质,
),(),(WD *, tWDt xyxy
(5.3.10)
第五章 时 频 分 析
2,边缘积分特性
(1) 在固定时刻 t,WD沿全频率轴的积分等于在 t时刻信号的瞬时功率 Px(t)(也称时间边缘特性 ),即
2|)(|d),(WD
π2
1)( txttP
xx
（ 5.3.11）
证明 由定义 (5.3.1)式,得到
-* de),(WDπ2 122 tjx ttxtx
第五章 时 频 分 析令
,2,2 21 tttt
那么
2,
21
21
ttttt
de,2WDπ2 1)()( )(j212*1 21 ttx tttxtx
令 t1=t2=t,τ =0,则得到
2|)(|d),(WD
π2
1 txt
x
第五章 时 频 分 析
(2) 在固定频率 Ω,WD沿全时间轴的积分等于该频率的能量密度 Px(Ω)(也称频率边缘特性 ),即
2|)(|d),(WD)(
XttP xx
(5.3.12)
证明 由定义 (5.3.3)式，得到
tetΩDXX tj
t x
d),(W22 *
令
2,2 21
,那么 )(
2
1,
2121
代入上式,得到
ttΩΩDXX t
t x
de,2W)( )(j212*1 21
第五章 时 频 分 析令 Ω 1=Ω 2=Ω,因此
2|)(|d),(WD Xtt
t x
第五章 时 频 分 析
(3)WD分布在整个 （ t,Ω ） 平面上,对 t,Ω 的双重积分等于信号的总能量 E,即
dd),(WD
π2
1 ttE
t
x
(5.3.13)
利用 (5.3.11)式和 (5.3.12)式,可以推出
d|)(|π2 1d|)(| 22 XttxE
t
(5.3.14)
第五章 时 频 分 析用以上性质可对 WD进行能量化解释,时间边缘特性为信号的瞬时功率,频率边缘特性为信号的能谱密度,总能量 E将 Px(t)
和 Px(Ω)联系起来,因此 WD是一种能量化的时频表示,但不能把 WD解释为在时间 — 频率上每一点的时频能量密度,因为 WD
有时可能是负的,且由不确定原理不允许在某个特定的时间 — 频率处有能量这一概念 。
第五章 时 频 分 析
3,WD的运算性质
(1) 时移与频移的不变性 。 将 x(t)时移 τ,相应的其 WD分布也时移 τ,用公式表示如下,
如果 x(t)=y(t-τ)，那么
),(WD),(WD ΩtΩt yx
（ 5.3.15）
x(t)用 WD分布也频移 Ω0,用公式表示如下,
如果,那么
t0jΩe
ttytx 0jΩ)e()(?
),(WD),(WD 0ΩΩtΩt yx
（ 5.3.16）
第五章 时 频 分 析
(2) 两信号的时域卷积等于两信号分别的 WD在时间轴上的卷积,即,
如果 y(t)=x(t)*h(t),则
'd),'(WD),'(WD),(WD*),(WD),(WD ttttttt hxhxy
（ 5.3.17）
第五章 时 频 分 析
'd)',(WD)',(WD2 1),(WD*),(WD),(WD ttttt hxhxy?
(3) 如果两信号的相乘,它们的傅里叶变换服从卷积关系,
则和它们对应的 WD在频率轴上也服从卷积关系,用公式表示如下,
如果 y(t)=x(t)h(t),则如果 x(t)表示信号,h(t)表示窗函数,此性质表明信号加窗处理时,只影响频率分辨率,不影响时间分辨率 。
（ 5.3.18）
第五章 时 频 分 析
(4) 两信号相加,设 z(t)=x(t)+y(t),则
)],(WDR e [2),(WD),(WD),(WD tttt xyyxz
式中第三项称为交叉 (干扰 )项,其性质意义在后面介绍。
（ 5.3.19）
第五章 时 频 分 析
4,WD的时限性和带限性 —— 区域性信号的维格纳分布的时宽与频宽,与信号本身的时宽与频宽相同,即,若 x(t)限制在 t1≤t≤t2中,则它的 WD分布也限制在同一时间域中；若 x(t)的傅里叶变换 X(jΩ)限制在 Ω1≤Ω≤Ω2中,则它的 WD分布也限制在同一频率域中,用公式表示如下：
如果
其它0
)(
)( 21
ttttx
tx
则
其它0
),(WD
),(WD 21
tttt
t xx （ 5.3.20）
第五章 时 频 分 析如果
其它0
)j(
)j( 21
ΩΩΩΩX
X
则
其它0
),(WD
),(WD 21
ΩΩΩΩt
t xx
（ 5.3.21）
第五章 时 频 分 析利用该性质，又可以得到下面结论：
（ 1） 因果信号 x(t)的 WD也是因果的，即,若
0
)()( txtx
t≥ 0
t<0
则
00
0),(WD
),(WD
t
tΩt
t xx
（ 5.3.22）
第五章 时 频 分 析
（ 2） 解析信号 z(t)的傅里叶变换限制在频率的正半轴,
解析信号 z(t)的 WD也限制在 Ω ≥ 0 的上半平面,即
00
0),(WD
),(WD
Ωt
t zz
（ 5.3.23）
第五章 时 频 分 析
5,可逆性由定义得到
de),(WD
π2
1
22
j* Ω
x ttxtx
令
,2,2 21 tttt
则
,2,2121 ttttt
代入上式,得到
ΩΩtttxtx ttΩx de,
2
WD
π2
1)()( )(j21
2
*
1
21?
第五章 时 频 分 析令 t2=0,再将 t1 用 t代替，得到
)0(
de,
2
WD
π2
1
)(
*
j
x
ΩΩ
t
tx
Ωt
x?
上式说明,信号可以由其 WD分布进行重建，仅仅缺少初相位信息。
(5.3.24)
第五章 时 频 分 析
5.3.3 常用信号的 WD举例例 5.3.1
,
||0
||1)(
Tt
Tttx 求其 WD。
解
de22),(WD j-* Ωx txtxt?
下面确定对 τ 的积分限：
Tt
Tt
2
2
tTtT
tTtT
2222
2222
第五章 时 频 分 析因此
0
| ) )|(2s in (2
de),(WD
22
22
j- Ω
tTΩ
t
tT
tT
Ωt
x?
|t|<T
|t|>T
(5.3.25)
上式表明 WD在时间轴上限制在 -T～ T之间,在频率轴上是
sinx/x形式,最大值在 （ T,0） 处 。 波形图如图 5.3.1所示 。
第五章 时 频 分 析图 5.3.1 例 5.3.1 图
f
t
第五章 时 频 分 析例 5.3.2,求其 WD
解
tAtx 0-je)(
)(||π2
d)j(-e x p||
d)e x p (
2
je x p
2
je x p||),(WD
0
2
0
2
00
2
A
A
tjttAt
x
该例题的信号是一个复正弦信号,可以看作平稳随机信号,
其 WD分布与时间无关,对任意时间都是一个在 Ω =Ω 0处的 δ 函数,如图 5.3.2 所示 。
(5.3.26)
第五章 时 频 分 析图 5.3.2 例 5.3.2 图
f
t
f
0
第五章 时 频 分 析例 5.3.3 已知 x(t)=A cos(Ω0t),求其 WD。
解 按照例 5.3.2 和 (5.3.19)式，推导如下,
)()2c o s ())()((||
2
π
deeRe
2
1
)()((||
2
π
deeeRe
2
1
))()((||
2
π
),(WD
)e(e
2
1
)(
0
2
00
2
j-j22
00
2
j-/ 2 )-(tj/ 2 )(j2
00
2
tj Ω-tj Ω
0
00
ΩtΩAΩΩΩΩA
AΩΩΩΩA
AΩΩΩΩAΩt
Atx
ΩtΩ
ΩtΩtΩ
x
上面结果中的第一项表示信号,第二项即是交叉干扰项 。 交叉干扰项将在后面介绍 。 x(t)的 WD 如图 5.3.3 所示 。
第五章 时 频 分 析图 5.3.3 例 5.3.3 图
f
t
f
0
0
－ f
0
第五章 时 频 分 析例 5.3.4 已知,求其 WD
解
20 21je)( mtttx
))((π2dee),(WD
e
22
0
j-)j(
)j(*
0
0
mtΩt
txtx
mtΩ
x
mt
(5.3.28)
x(t)是一个线性调频信号,其 WD清楚地表示出功率谱随时间线性变化的性质 。 WD如图 5.3.4 所示 。
第五章 时 频 分 析图 5.3.4 例 5.3.4 图
f
t
第五章 时 频 分 析例 5.3.5 已知,求互 WD。 tj Ωtj Ω AtxAtx 21 e)(,e)(
2211
解
2
π2e
deee),(WD
21)(j*
21
j-)2/(j-*
2
)2/(j-
1
21
21
21
ΩΩ
ΩAA
AAΩt
ΩΩ
tΩtΩ
xx
(5.3.29)
第五章 时 频 分 析例 5.3.6 已知高斯信号,求其 WD
解
2-e)( attx?
aatjtata
x atWD
2/2)2/()2/( 2222 eeπ2deee),(
上式表明,高斯信号的 WD在时间上和频率上有相同的波形。
(5.3.30)
第五章 时 频 分 析
5.3.4 关于二次时频分布中的交叉 (干扰 )项前面曾说过 WD是在时间,频率二维域中的能量分布函数,
必然是信号的二次型,或者说是一种双线性变换 。 这里双线性变换指的是 x(t+τ/2)x*(t-τ/2)的傅里叶变换 。 这样就使能量分布函数不服从线性叠加原理 。 我们知道,短时傅里叶变换是一种线性变换,它可以表示信号频谱随时间变化的规律 。 如果取它的模的平方,则可以粗略表示信号在时间,频率二维域中的能量分布 。 一般把短时傅里叶变换模的平方称为谱图 。 谱图是一种能量分布函数,也不服从线性叠加原理,两个信号之和的谱图并不等于它们分别的谱图的和,还存在第三项即交叉项 。
下面推导说明 。 假设信号 x(t)谱图用 SPECx(t,Ω)表示,
2|),(S P EC|),(S P EC tt xx （ 5.3.31）
第五章 时 频 分 析设
)()()( 21 tbxtaxtx
式中,a,b为实常数。
)),(),(c o s (),(S T FT),(S T FT2
),(S T FT),(S T FT),(S P E C
),(S T FT),(S T FT),(S P E C
),(S T FT),(S T FT),(S T FT
2121
21
21
21
2
2
2
2
2
tΦtΦttab
tbtat
tbtat
tbtat
xxxx
xxx
xxx
xxx
式中
)),(S T F T(A r g),()),,(S T F T(A r g),( 2211 ttΦttΦ xxxx
(5.3.32)
第五章 时 频 分 析
(5.3.32)式表明,两信号相加的谱图并不等于两个信号的谱图之和,其谱图包括三部分,第一部分和第二部分分别是两个信号的谱图,第三部分即是交叉项 。 交叉项的最大幅度是两个信号谱图幅度乘积的两倍,而且交叉项幅度受到一个余弦函数的调制,其相位变化服从两个谱图相位差的变化规律 。 如果两个信号自身的谱图没有重叠部分,则第三部分为零,即没有交叉项,这是谱图的优点 。
第五章 时 频 分 析事实上,任何二次时频分布都不服从线性叠加原理,而服从二次叠加原理 。 下面介绍二次叠加原理 。 信号 x(t)的二次时频分布用 Tx(t,Ω )表示,设
)()()( 21 tbxtaxtx （ 5.3.33）
则
),(),(),(||),(||),( 212121 **22 ΩtbTaΩtTabΩtTbΩtTaΩtT xxxxxxx
（ 5.3.34）
式中,x1(t)和 x2(t)的自时谱 ; 和分别称为 x1(t)对 x2(t)和 x2(t)对 x1(t)的互时谱 。 这种互时谱形成了二次时频分布的交叉项 。
1xT 2xT 21,xxT 12,xx
T
第五章 时 频 分 析下面再分析 WD中的交叉项,将 (5.3.33)式带入信号的双线性变换中,得到
2222
22
||
22
||
2222
2222
22
2222
*
12
**
21
*
*
22
2*
11
2
*
12
**
21
*
*
12
**
11
*
*
2
**
1
*
21
*
txtxatxtxab
txtxbtxtxa
txtbxatxtxab
txtxbbtxtxaa
txbtxa
tbxtaxtxtx
(5.3.35)
第五章 时 频 分 析式中,第一,二项形成自时谱,第三,四项则形成互时谱,
即交叉项 。 对照 (5.3.34)式,WD服从二次叠加原理 。 对于有
N个分量的信号,二次叠加原理用下式表示：
设
N
k
kk txctx
1
)()(
,则
N
l
xxlk
N
k
N
k
xkx tTcctTctT lkk
1
,
*
11
2 )),((),(||),(
（ 5.3.36）
k≠ l
第五章 时 频 分 析例 5.3.7 已知,式中 c1,c2 为实数,求其 WD。
解
tt ccts 21 j2j1 ee)(
2
))c o s ( (π4
)(π2)(π2
2
π2
2
π2)(π2)(π2),(WD
21
1221
2
2
21
2
1
21)-j(
21)-j(
2
2
21
2
1
21
21
ΩΩ
ΩtΩΩcc
ΩΩcΩΩc
ΩΩ
Ωe
ΩΩ
ΩeΩΩcΩΩcΩt
tΩΩ
ΩΩ
s
(5.3.37)
第五章 时 频 分 析该例表明,两个复单频信号频谱不重叠 （ Ω1≠Ω2） 时,它的时频分布除了自时谱以外,仍有交叉项 ; 交叉项处在两个信号频率连线的中点,幅度受到两信号频率差值的余弦波调制,
不能保证时频分布是非负函数,其最大幅度是两信号幅度乘积的 4π倍 。
第五章 时 频 分 析例 5.3.3 是一个高频实信号,由于分成了两个复指数信号,
即存在负频率分量,在零频率处形成交叉干扰项 。 因解析信号没有负频率分量,先将实信号转变成解析信号,再进行 WD分析,可消除这种频谱正负部分之间的交叉干扰项 。 下面对解析信号作简单介绍 。
假设 x(t)是实的连续时间信号,用 z(t)表示对应的解析信号 。
z(t)定义为
)(?j)()( txtxtz
（ 5.3.38）
第五章 时 频 分 析是 x(t)的 Hilbert变换,或者说是 x(t)通过一个 Hilbert变换器形成的 。 Hilbert变换器的传输函数为
)(? tx
0
00
0
)(
j
j
jH (5.3.39)
或者
H(jΩ )=-j sgn(Ω ) (5.3.40)
式中
01
00
01
)s g n ( (5.3.41)
第五章 时 频 分 析
Hilbert变换器的单位冲激响应为
tjHFth?
1)]([T)( 1 (5.3.42)
d)(π1π1)()(
txttxtx
x(t)通过 Hilbert变换器后，其输出为 )(? tx
(5.3.43)
这样解析信号 z(t)和 x(t)之间的关系为
ttjxtxtz π
1)()()( (5.3.44)
第五章 时 频 分 析将上式进行傅里叶变换,得到
Z(jΩ)=X(jΩ)+jH(jΩ)X(jΩ)=X(jΩ)［ 1+jH(jΩ )］
(5.3.45)
将（ 5.3.39）式带入上式,得到
00
0)j(
0)j(2
)j( X
X
z (5.3.46)
上式表明,解析信号的频谱只分布在正频率范围,是由实信号频谱的正的部分乘以 2构成的 ; 负频率部分为 0。
第五章 时 频 分 析用上式可以求解析信号 。 例如 ejΩ t,其频谱是在 Ω 处的 δ
函数,如果 Ω 是负的,那么也就没有正频率存在,因此它的解析信号为
Ωttz j
e2
0
)(
Ω <0
Ω >0
第五章 时 频 分 析例 5.3.8 求
)π2co s ()( 0 tfAtx? f0≠ 0
解 观察 （ 5.3.39） 式,它的 Hilbert变换当 Ω>0 时,需将信号的相位变化 -90°,幅度不变,因此,
那么,x(t)的解析信号为
)π2s i n ()(? 0 tfAtx?
tfAftjAtfAtxjtxtz 0j2 π0 e)π2s i n ()π2c o s ()(?)()(
或者由
]ee[21)( 00 j2 π-j2 π tftfAtx
取其正频率部分的两倍，得到的解析信号和上式一样。
第五章 时 频 分 析
5.4 时域离散信号的维格纳变换
5.4.1 时域离散信号的 WD定义
1,Classen提出的定义按照连续时间信号维格纳变换定义 （ 5.3.1） 式,可以引申出 Classen提出的时域离散信号的 WD定义,
'j-
'
* e
2
'
2
'2),(WD k
k
x
knxknxn
（ 5.4.1）
第五章 时 频 分 析令 k′ =2k,得到
k
k
x knxknxn
j2-* e2),(WD?
（ 5.4.2）
注意式中的 ω 是数字频率,但频域的重复周期不是 2π,而是
π 。 因此下面公式成立,
),(WD),(WD nn xx （ 5.4.3）
对应的频域定义为
de22π1),(WD j2* nX XXn?
（ 5.4.4）
第五章 时 频 分 析
Classen提出的定义应用较广,保持了连续时间信号 WD定义中有关时间上的一些特性,但频域上的一些特性被破坏了,
例如,时间域的边缘特性为
2πi(2i |)e(||)e(|),(WD?
ωω
n
x XXn?
（ 5.4.5）
它不同于连续时间信号 WD在时间上的积分等于信号在某一频率的能量密度 ((5.3.12)式 )。
第五章 时 频 分 析
2,Peyrin提出的定义将（ 5.4.1）式中的系数 2去掉,写成下式,
'j-
'
* e
2
'
2
'),( m
m
x
mnxmnxnWD?
(5.4.6)
令,n+m′ /2=k,n-m′ /2=n′ -k,则 k=(n′ +m′ )/2,这样 (5.4.6)式变成令,n+m′ /2=k,n-m′ /2=n′ -k,则 k=(n′ +m′ )/2,这样 (5.4.6)式变成
)'2(j-* e'),'(WD nk
k
x knxkxn
(5.4.7)
第五章 时 频 分 析上式就是 Piyrin提出的定义。它与 Classen提出的定义相比，
下面关系式成立,
),2(WD2),(WD nn pxcx? （ 5.4.8）
式中,上标 c代表 Classen; 上标 p代表 Peyrin。 该式表明等式左面的点只是等式右边时间变量为偶数点的结果 。 因此,
Peyrin提出的定义中包含有更多的信息,其中时间变量为奇数点的信息是 Classen定义中缺少的 。 Peyrin提出的定义还有其它性质和优点,请参考文献 ［ 2］ 。
第五章 时 频 分 析
5.4.2 利用 FFT计算维格纳分布维格纳分布的计算量很大,目前各种快速算法还不能从根本上解决实时处理的问题 。 FFT计算维格纳分布的方法 。 如果用离散哈特莱变换 （ DHT） 计算,计算的复杂性可由三倍复 FFT减少到三倍实 FFT 的计算量,这部分内容可参考文献 ［ 2 ］ 。
离散时间信号的 WD为
k
x eknxknxn
2j* )()(2),(WD
(5.4.9)
第五章 时 频 分 析为用 FFT进行计算,需对信号进行加窗处理,并且将频率域离散化 。 假设窗函数用 w(l)表示,它的时宽为 2L-1。 且当
|l|≥ L时,w(l)=0。 加窗后的 WD为
1
1
2j** e)()()()(2),(WD
L
Ll
k
x lwlwlnxlnxn
(5.4.10)
WDx(n,ω)的频域周期是 π,若在一个周期内采样 N点 (N=2L-1)，
采样间隔为 Δ ω =π /N,为便于计算,再在尾部加个 0,使
N=2L,令
1,,1,0,,2,1)()(),( LLLllnxlwlnG
第五章 时 频 分 析
1
j2-*
/ e),(),(2),(WD),(WD
L
Ll
k / N
Nkxx lnGlnGnkn
(5.4.11)
由于 FFT的计算域是正的（ l=0,1,…,N-1)，重新排列序列如下,
)2,()2,(
),(),(
),(
*
*
LlnGLlnG
lnGlnG
lnf
l=0,1,…,L-1
l=L,…,2L-1
(5.4.12)
最后得到
1
0
/Nj2 π-e),(2),(WD
N
l
k
x lnfkn
(5.4.13)
上式就是用 FFT计算 WD的公式。
第五章 时 频 分 析
5.5 时频分布的统一表示式
5.5.1 模糊函数及其和 WD之间的关系模糊函数也是一种常用的时频表示,它广泛应用于雷达,
水声等领域 。 本节主要介绍它的定义及其和 WD之间的关系 。
WD分布是对信号的双线性变换 x(t+τ/2)x*(t-τ/2)关于 τ作傅里叶变换,如果对该双线性变换关于时间 t作傅里叶变换,则得到模糊函数的定义,公式为
ttxtxA tx de
22
),( j2 π-*
（ 5.5.1）
第五章 时 频 分 析另外，对应 WD的频率域定义（ 5.3.3）式，模糊函数在频率域的定义是
ffXfXA fx de
22
),,( j2 π*
（ 5.5.2）
而且
),(),( xx AA?
（ 5.5.3）
式中,X(f)是 x(t)的傅里叶变换 ; t为时间,τ为时延 ; f为频率 ; θ为频偏 。 为分析模糊函数和 WD之间的关系,定义,
22
),(
22
),(
*
*
fXfXfR
txtxtr
x
x （ 5.5.4）
（ 5.5.5）
第五章 时 频 分 析
rx(t,τ )称为瞬时自相关函数,Rx(f,θ )称为瞬间频自相关函数 。 这样,WD是瞬时自相关函数关于 τ 的傅里叶变换,模糊函数是瞬时自相关函数关于时间 t的傅里叶变换 。 按照定义,模糊函数和 WD还可以表示成以下各式：
ffRA
ttrA
fRtf
trft
f
xx
t
xx
xx
f
xx
de),(),(
de),(),(
de),(),(WD
de),(),(WD
j2 π
j2 π-
j2 π
j2 π-
（ 5.5.6）
（ 5.5.7）
（ 5.5.8）
（ 5.5.9）
第五章 时 频 分 析按照定义，可以证明模糊函数具有以下性质,
（ 1） 时移性。令 x(t)=y(t-t0),则
0- j 2e),(),( tyx AA
（ 5.5.10）
(2) 频移性。令 tftytx
0j2e)()(
,则
0j2e),(),( f
yx AA?
（ 5.5.11）
(3) 滤波。令
uuthuxthtxty d)()()()()( （ 5.5.12）
则
uuAuAA hxy )d,(),(),( （ 5.5.13）
第五章 时 频 分 析
(4) 调制。令 y(t)=x(t)m(t),则
)d,(),(),( mxy AAA
(5.5.14)
下面推导信号的 WD
将 (5.5.6)式重写如下,
d)e,(),(WD j2 π- fxx trft
(5.5.15)
对上式进行傅里叶反变换，得到瞬时自相关函数和 WD之间的关系,
ffttr fxx d)e,(WD),( j2 π
(5.5.16)
第五章 时 频 分 析再对上式 t作傅里叶变换，得到模糊函数和 WD之间的关系,
tfftA tjfjxx ddee),(WD),( π2π2 （ 5.5.17）
按照 (5.5.8)式，还可以得到下式,
ddee),(),(WD π2π2j fjtxx Aft （ 5.5.18）
(5.5.17)式和 (5.5.18)式表明了 WD和模糊函数之间存在如公式那样的二维傅氏变换关系 。 另外,还可以推导出瞬时自相关和瞬间频自相关之间的关系,如下式,
ddee),(),( π2π2j ffRtr fjtxx (5.5.19)
第五章 时 频 分 析
ddee),(),( π2π2j- ttrfR fjtxx
(5.5.20)
总结以上,(5.5.6)式～ (5.5.9)式和 (5.5.17)式～ (5.5.20)式,
将 rx(t,τ),WDx(t,f),Rx(θ,τ)以及 Ax(θ,τ)联系起来,如图 5.5.1
所示 。 图中 表示将 τ映射为 f的傅氏变换,反过来,则表示由 f映射为 τ的傅氏反变换,其它类似 。
f?
第五章 时 频 分 析图 5.5.1 rx(t,τ),WDx(t,f),Rx(θ,f),Ax(θ,τ)之间的关系
t
f
ft
A
x
(,? )
R
x
(,f )r
x
( t?,? )
WD
x
( t,f )
t
f
t
f
第五章 时 频 分 析这四个函数有四个变量,即时间变量 t,时间延迟 τ,频率 f、
频偏 θ,共形成了四个域,即：
（ 1） 时频域 (t,f),对应 WDx(t,f);
（ 2） 瞬时相关域 （ t,τ）,对应 rx(t,τ);
（ 3） 谱相关域 （ θ,f）,对应 Rx(f,θ);
（ 4） 模糊域（ θ,τ）,对应 Ax(τ,θ)。
第五章 时 频 分 析
WDx(t,f)和 Ax(τ,θ)是信号的两个不同的时频表示,按照上述分析,还应注意它们下面的两个不同点：
（ 1） WD是能量化的时频表示,存在时间边缘特性 Px(t)和频率边缘特性 Px(Ω),公式重写如下,
2
2
|)(|d),(WD)(
|)(|d),(WD)(
fXtftfP
txffttP
t xx
f xx
(5.5.21)
(5.5.22)
Px(t)称为信号的瞬时功率,Px(f)称为信号的能谱密度，信号的总能量为
ft ffXttxE d|)(|d|)(| 22
(5.5.23)
第五章 时 频 分 析模糊函数是相关化的时频表示，将模糊函数的定义重写如下,
fXfXA
ttxtxA
f
x
t
x
de
22
),(
de
22
),(
j2*
j2-*
(5.5.24)
(5.5.25)
在 (5.5.24)式中,令 θ =0,得到时间相关化边缘特性 rx(τ ),
ttxtxAr xx d22),0()( *?
(5.5.26)
第五章 时 频 分 析在 (5.5.25)式中,令 τ=0,得到频率相关化边缘特性 Rx(θ),
ffXfXAR xx d22),0()( *?
rx(τ)称为瞬时相关,Rx(θ)称为谱相关,因此模糊函数将瞬时相关和谱相关两个概念综合在一起 。
第五章 时 频 分 析
（ 2） WD满足时频移不变性质,即满足 （ 5.3.15） 式和
(5.3.16)式,或者用下式表示,如果,则
tfttytx 0j2 π0 e)()(
),(WD),(WD 00 ffttft yx
(5.5.28)
而模糊函数满足相关化移不变性质,用公式表示如下,
如果,则
tfttytx 0j2 π0 e)()(
)(2j 00),(),( tfyx eAA
(5.5.29)
相关化移不变性质来源于瞬时相关和谱相关移位性质得到的术语,用公式表示如下,
第五章 时 频 分 析如果,则
tfttytx 0j2 π0 e)()(
00 - j 2 πj2 π e)()(,e)()( tyxfyx RRrr (5.5.30)
总结起来,WD和模糊函数是信号的两种不同的时频表示,性质不同,相互关系是 (5.5.17),(5.5.18)式表示的二维傅氏变换对 。 这两种时频表示的一些对偶关系如表 5.5.1所示 。
第五章 时 频 分 析表 5.5.1 WD和模糊函数的一些对偶关系第五章 时 频 分 析
5.5.2 Cohen 类时频分布维格纳分布和模糊函数是实际中比较常用的两种时频分析,
此外还有许多种时频分析,尽管它们的形式和性质不尽相同,
但彼此常有一定的联系和共同点,因此可用一个统一的表达式表示出来,这就是 L.Cohen提出的广义双线性时频表示,公式为
ddde),(22),( )-j2 π2-* uuxuxftC uft
u
x
(5.5.31)
式中 υ (θ,τ )表示核函数 。 采用不同的核函数可以得到不同的时频分布,时频分布的各种性质要求,则反映在对核函数的约束条件上 。 把满足 （ 5.5.31） 式的时频分布,统称为 Cohen 类时频分布 。
第五章 时 频 分 析
WD时频分布是 Cohen 类时频分布中最基本的时频分布 。 下面证明当核函数 υ (θ,τ )=1 时,Cohen 类时频分布将转换成 WD。
将 υ (θ,τ )=1 带入 （ 5.5.31） 式,得到
),(WD
de
22
)(dde
22
dedde
22
ddde
22
),(
j2 π-*
j2 π-*
)j2 π-
j2 π-*
)-j2 π2-*
ft
txtx
utuuxux
uuxux
uuxuxftC
x
f
f
u
( t - u
f
u
uft
u
x
第五章 时 频 分 析下面介绍时频分布的性质对核函数要求的约束条件：
（ 1） 如要求 Cx(t,Ω)=C*x(t,Ω),即要求时频分布是实的,充要条件是要求核函数满足下式,
),(),( *
第五章 时 频 分 析
（ 2） 如要求时频分布具有时间边缘特性和频率边缘特性，
即若要求：
2|)(|d),()( txfftCtP
f xx
则要求：
υ (θ,0)=1
若要求
2|)(|d),()( fXtftCfP
xx
则要求：
1),0(
第五章 时 频 分 析
（ 3） 如要求,
EftftC x dd),(
则要求：
1)0,0(
第五章 时 频 分 析
（ 4） 如要求时移不变和频移不变,即若要求：
),(),()()(
),(),()()(
0
2j 0 fftCftCetytx
ftCftCtytx
yx
tf
yx
则要求 υ (θ,τ )独立于 t和 f。
（ 5） 如能抑制 Cx(t,f)的交叉项,则要求 υ (θ,τ )为低通滤波 。
第五章 时 频 分 析
（ 6） 如 Cx(t,f)具有时间支持特性,即当 |t|>ta时,x（ t） =0，
Cx(t,f)=0,则要求,
0d),( ||2 at
（ 7） 如 Cx(t,f)具有频率支持特性,即当 |f|>fc时,X(f)=0,
Cx(t,f)=0,则要求,
0de),( j2- f τ |θ |<2|fc|
第五章 时 频 分 析下面介绍 Cohen类时频分布的四种表示形式 。
(1) 二维滤波的维格纳分布。如果对核函数 υ (θ,τ )作二维傅里叶变换,得到
dde),(),( )(j2- ftftΦ (5.5.32)
Φ(t,f)称为时频域核函数,υ (θ,τ )称为模糊域核函数。由上式得到
dde),(),( ])()(j2 π2- futfutΦ
(5.5.33) 又由 WD的定义得到
de),(WD22 j2 π* uuxux x
(5.5.34)
第五章 时 频 分 析将 (5.5.33)式和 (5.5.34)式带入 (5.5.31)式,得到
dd),(WD),(),( uufutΦftC xx (5.5.35)
上式就是维格纳分布与时频域核函数 Φ(t,f)的二维褶积,也称为广义维格纳分布,因此 Cx(t,f)类时频分布可以理解为二维滤波的维格纳分布 。
第五章 时 频 分 析
(2) 广义模糊函数 M(θ,τ )的 M(-θ,τ )的二维傅里叶变换。
dde),(),( )(π2j ftxx MftC (5.5.36)
式中
uuxux
AM
u
xx
de
22
),(
),(),(),(
)(π2j*
(5.5.37)
将上式带入 (5.5.31)式,得到 (5.5.36)式 。 M（ θ,τ ） 称为广义模糊函数,它是由模糊域核函数 υ (θ,τ )对 Ax(θ,τ )加权所得的模糊函数 。 因此,(5.5.36)
M(θ,τ ) 的 M(-θ,τ )的二维傅里叶变换 。
第五章 时 频 分 析
(3) 广义自相关函数对时延 τ 的一维傅里叶变换。
d),(),( 2j' fxx etrftC
(5.5.38)
式中
)d,-(),(),(' uturtr xx
(5.5.39)
rx′ (t,τ )称为广义自相关函数,而
de),(),( 2jt
(5.5.40)
de),(),( )(π2j utut
ψ (t,τ )称为瞬时相关域的核函数。 由 (5.4.40)式得到
(5.5.41)
第五章 时 频 分 析
(5.5.39)式和 (5.5.41)式表明广义自相关函数为信号的瞬时自相关函数 rx(t,τ )与瞬时相关域的核函数 ψ (t,τ )对 t的褶积,因此 (5.5.38)式可以理解为广义自相关函数 rx′ (t,τ )对时延 τ 的一维傅氏变换 。 将 （ 5.5.39） 式带入 (5.5.38)式,得到
uuttrftC fxx dde),(),(),( j2-
(5.5.42)
第五章 时 频 分 析
(4) 广义谱相关函数 的 对 θ 的一维傅里叶变换。
),(' fR x? ),(' fR x
d),(),( 2j' txx efRftC
式中
d),(),(),(' fRfR xx
(5.5.43)
(5.5.44)
Rx′ (θ,f)称为广义谱相关函数,而
de),(),( )(π2 fjf
(5.5.45)
第五章 时 频 分 析
Ψ(θ,f)称为谱相关域的核函数,由上式得到
de),(),( )(π2 fjf
(5.5.46)
谱相关函数 Rx(θ,ξ )为
dde),(),( )(π2j uurR uxx
(5.5.47)
因此
dd)e,(
)d,(),(-),(
)-j2 π2
'
uur
fRfR
f τu
x
xx
(5.5.48)
第五章 时 频 分 析上面四种等价的表示形式可归纳为对维格纳分布,模糊函数,瞬时相关函数和瞬间频相关函数的四种表示形式 。 它们是
dde),(),(),(
dde),(),(),(
dde),(),(),(
dd),(WD),(),(
j2 π-
j2 π-
)j2 π2-
xx
f
xx
ft
xx
xx
RfftC
uurutftC
AftC
uufutΦftC
(5.5.49)
(5.5.50)
(5.5.51)
(5.5.52)
第五章 时 频 分 析四种核函数之间的关系为
de),(),(
de),(),(
dde),(),(
π2j
π2j
)(π2j
f
ft
f
f
ftΦ (5.5.53)
(5.5.54)
(5.5.55)
四种核函数之间的关系如图 5.5.3 所示。
第五章 时 频 分 析图 5.5.2 Cx(t,f)在 (t,τ ),(θ,f),(θ,τ )及 (t,f)域之间的关系
),(),(
x
A
),(WD]][)[,( ftftft
x
),(])[,( tttr
x
),(])[,( fffR
x
t
－
f
t
－?
f
第五章 时 频 分 析图 5.5.3 四种核函数之间的关系
(?, )
( t,f )
( f,
)
( t,
)
t
f
f
t
f
第五章 时 频 分 析
WD是能量化的时频表示,而模糊函数是相关化的时频表示,相应的前者是时频域 （ t,f）,后者是模糊域 （ θ,τ ） 。
相应的可以将 Cohen类时频分布分成两类时频表示,即能量化时频表示和相关化时频表示 。 能量化时频表示将瞬时功率和谱能量密度两种概念综合在一起,能量化的解释用边缘特性
(5.5.21)式和 (5.5.22)式表示,它的原始公式是 (5.5.31)式,
(5.5.49)～ (5.5.52)式是它的四种等价形式 。 能量化时频表示简称 CE类 (下标 E表示能量化 )。 相关化时频表示将瞬时相关和相关综合在一起,并用相关化边缘特性描述 ( (5.5.26)、
(5.5.27)式 ),相关化时频表示简称 Cc类 (下标 c表示相关化 )。
CE类时频表示 Cx(t,f)中任何一种等价形式的对偶相关化时频表示 Pdual,x(θ,τ )均有下面公式：
第五章 时 频 分 析
),(),(),(
dd),(),( )(2j,d u a 1
xx
ft
xx
AM
fteftCP
(5.5.56)
CE类和 Cc类的傅氏变换关系用图 5.5.4 表示。
第五章 时 频 分 析图 5.5.4 CE类和 Cc类的傅氏变换关系
－
ft
－
ft
－
ft
相关化域能量化域
),(),(),(
d u d l,
xx
AP
),(DW),(),( ftftftP
xx
·
第五章 时 频 分 析
5.5.3 广义双线性时频分布举例
1,指数分布 （ ED）
这种广义双线性时频分布的核函数是指数形式的,因此称为指数分布 。 又因为是由 Choi Williams提出的,也称 Choi
Williams分布 （ CWD） 。 这种分布对含有多个频率分量的信号,
可以有效地抑制交叉项,并保持时频分布的一些期望特性,
是一种常用的广义双线性时频分布,下面作简单介绍 。
第五章 时 频 分 析指数分布在（ θ,τ ）域的核函数为
/
ED
22e),( (5.5.57)
在 (t,τ )域的核函数为
2
4
2ED eπ4),(
tt (5.5.58)
式中 σ >0,是尺度因子 。 将上式带入 （ 5.5.38）,(5.5.39)式中,得到它的时频分布 Ex(t,f)
dd
22
e
π4
e),( *42j
2
uuxuxftE
ut
u
f
x
(5.5.59)
第五章 时 频 分 析下面说明按照核函数的约束条件,
(1) 按照 (5.5.57)式,核函数满足下式,
),(),( ED*ED
因此该时频分布是实值的。
第五章 时 频 分 析
（ 2） 按照 (5.5.57)式,核函数满足下列式,
1)0,0(,1)0,1(,1)1,0( EDEDED
因此指数分布具有边缘特性和能量特性,即
ΩtΩtE
ΩXtΩtΩP
txΩΩttP
t Ω
x
xx
Ω
xx
dd),(WD
π2
1
|)(|d),(WD)(
|)(|d),(WD
π2
1
)(
2
2
第五章 时 频 分 析
（ 3） 信号的时移或频移在指数分布中产生相应的时移或频移,这是因为所有的 CE类广义时频分布均有这种性质 。
（ 4） 指数分布对时间 t的一阶矩和对频率的一阶矩分别等于群延迟 T（ Ω） 和瞬时频率 Ω（ t） 特性 。 这是因为核函数满足
0),(
d
d
,1)0,(
0),(
d
d
,1),0(
0
EDED
0
EDED
第五章 时 频 分 析
（ 5） 指数分布可以有效地抑制多频率成分信号的交叉项 。
假设信号是一个多频率信号,用下式表示,
N
i
i txtx
1
)()( (5.5.60)
可以推出它的广义模糊函数用下式表示,
ml
xx
m
N
i
xxx mlii MMM ),(),(),(
1
(5.5.61)
上式中第一项是广义自模糊函数项,第二项是广义互模糊函数项,它们分别用下式表示：
uuxuxM
uuxuxM
m
u
l
u
xx
i
u
i
u
xx
mi
ii
d
22
e),(),(
d
22
e),(),(
*j
*j
l≠ m
(5.5.62)
(5.5.63)
第五章 时 频 分 析广义自模糊函数主要集中在原点附近,而广义互模糊函数或者说交叉项则离开原点一段距离 。 这样,如果要突出广义自模糊函数项,并且抑制广义互模糊函数项,则要求核函数在 （ θ,
τ ） 平面的原点附近有较大的加权值,对交叉项的加权值尽可能小,从而达到抑制交叉项的目的 。 指数分布的核函数则具备这种性质,因此它可以有效地抑制交叉项 。 假设两频率信号如下式所示：
)(j)(j 2211)( tt BeAetx
(5.5.64)
第五章 时 频 分 析该信号的指数分布为
W E I G HT])c o s [ (π2
)(π2)(π2),(
2112
2
2
1
2
tΩΩAB
ΩΩBΩΩAftE x
(5.5.64) 式中加权值
221
2121 2)-(4
e x p
)-2(
2 πW E I G H T ΩΩΩ
ΩΩΩΩ
(5.5.65)
上面两式表明交叉项的幅度由 WEIGHT控制,当 Ω=(Ω 1+Ω 2)/2时,
交叉项的幅度与 成反比,另外,它以距离 ［ Ω-
(Ω 1+Ω 2)/2］ 2式指数地衰减 。
21 ΩΩ?
第五章 时 频 分 析
2,广义指数分布（ GED）与巴特沃斯分布（ BUD）
1)
广义指数分布的核函数为
MN 2
1
2
1
G E D e x p),(?
（ 5.5.66）
式中,N,M为正的幂次 ;θ 1和 τ 1分别是正的频率和时间尺度常数 。 下面说明该核函数具有低通特性 。 先分析下面低通滤波函数 θ M(x)的特性,
M
M x
x
x
2
1
e x p)(?
（ 5.5.67）
第五章 时 频 分 析该函数的滤波特性如图 5.5.5所示 。 此图表明,当 x1一定时,
随 M 的增大,通带变得愈平坦,过渡带愈窄 。 当 M→∞ 时,变成在
x=x1 处截止的理想低通滤波器 。
图 5.5.5 θ M(x)的滤波特性
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
M ＝ 1 M ＝ 100
M
(
x
)
x / x
1
第五章 时 频 分 析令,则
MNMN xx //111,
)(),(G ED xM (5.5.68)
这种情况下,广义指数核函数变成一维低通滤波函数 θM(x),当
N=M=1 时,,x=τθ,上式变为
21121 )(x
),()(),( 1G E D zx (5.5.69)
即 θ 1(x)是指数分布的核函数 。 此时,核函数具有最差的低通特性 。 当 M加大时,滤波性能变好 。 因此说,广义指数分布是可以改善时频分布性能的一种分布,通过改善,使其自项失真小,
交叉项衰减大 。
第五章 时 频 分 析
2）
巴特沃斯分布的核函数定义为
MN 2
1
2
1
B U D
1
1
),(
N,M,θ 1,τ 1>0
(5.5.70)
上式表明,该核函数具有可变的,平坦的通带及窄的过渡带的低通特性 。 当,上式变成
MNMN xx //111,
MM
x
x
x
2
1
1
1
)(
(5.5.71)
第五章 时 频 分 析上式即是滤波器中的最大平坦平方幅度的巴特沃斯滤波器的幅度平方函数,当 M加大时,它趋近于理想低通滤波器 。 因此,
这种分布也可以改善指数分布的时频分布的性能 。
除了上面介绍的广义双线性时频分布以外,常用的还有平滑伪维格纳分布 （ SPWD）,锥形 （ Cone） 核分布 （ CKD）,
降低干扰项分布 （ RID）,贝塞尔 （ Bessel） 分布 （ BD） 等等 。
第五章 时 频 分 析
5.6 时频分析在编队目标架次检测中的应用
5.6.1
本节我们分析编队飞机目标的多普勒频率特性,从而探讨在多普勒域实现多目标分辨的可能性 。 众所周知,雷达目标回波的多普勒频率 fd取决于雷达工作波长 λ,目标运动速度 v以及目标飞行方向与雷达视线的夹角 υ,即
c o s2d vf?
(5.6.1)
第五章 时 频 分 析图 5.6.1 显示了两架飞机编队情况 。 假设编队飞行时,
两架飞机的速度相同,则它们回波的多普勒频率的差别就取决于它们各自与雷达视线夹角的不同,即
)c o s( c o s
2
21
ddd 21
v
fff
(5.6.2)
υ 1与 υ 2的差别是由两飞机的间距 d和目标距雷达的距离 R所决定的 。 一般有 R>>d,因此,υ 1与 υ 2的差别是很小的,进一步化简,有
2
2121
21ddd
s i n
2
2
s i n
2
s i n2
2
)c o s( c o s
2
21
R
dv
v
v
fff
(5.6.3)
第五章 时 频 分 析图 5.6.1 两架飞机编队情况
2
d
R
1
第五章 时 频 分 析式中,利用了当 R>>d 时,sin(φ1-φ2)≈φ1-φ2≈(d/R) sinφ,其中
φ=(φ1+φ2)/2是平均的雷达视线与飞行方向的夹角 。 由 (5.6.3)式可以看出,若 d与 R固定,则最大的多普勒频差发生在 φ=π/2,即当目标沿切线方向飞过雷达时 。 Δfd一般是很小的,以某警戒雷达为例,其波长 λ=0.3m,若目标的飞行速度 v=900 km/h=250
m/s,目标间的距离 d=100m,目标与雷达的距离 R=100 km,则最大多普勒频差 (φ=π/2时 )为
Hz67.12m a xd
R
dvf
(5.6.4)
第五章 时 频 分 析因此,在多普勒频率为常数的情况下,若要采用傅里叶变换来分辨这两个目标,则至少需要 T=1/|Δfd|max≈0.6 s 的目标回波信号 。 实际上,如果目标未沿切向飞行时所需的时间还要长 。
实际中,由于作战飞机的高机动性 (加,减速等 ),以及恒速飞行目标不同时刻与雷达视线夹角的变化,致使每个目标回波的多普勒频率呈现时变特性,其多普勒频谱发生扩展,从而降低了多普勒域的分辨力 。 假设目标速度不变,则目标回波多普勒频率的变化率为
2d s i n2s i ndds i n2dds i n2dd RvvRvttvtvtf
(5.6.5)
第五章 时 频 分 析由于 v/R很小,上式中忽略了更高次的 v/R项 。 (5.6.5)式表明,
多普勒频率变化最快的方向也在 φ=π/2,即目标做切向飞行时 。
仍以上述雷达为例,当 φ=π/2 时,
s/Hz17.42dd
2
m a x
d
R
v
t
f
(5.6.6)
这样在相关处理所需的 0.6 s之内,目标自身的多普勒频率变化为 |dfd/dt|maxT=2.5Hz,这已超过两目标间的多普勒频差 。 因此,
传统的傅里叶谱分析不可能分辨这两个目标 。
第五章 时 频 分 析进一步分析目标多普勒频率变化的情况,可得
22
32
2
d
2
s inc o s4ddc o ss in22dd RvtRvt f
(5.6.7)
可见,当 φ=π/2 时,d2fd/dt2=0,即目标切向飞行时的多普勒频率变化是线性的 。 对于其它 φ值,d2fd/dt2 一般也非常小 。 因此,
可以认为在相关处理时间内,用线性调频模型来描述多普勒频率是足够准确的 。
这样,我们可以借用时域频分布 (Wigner-Ville分布 )对线性调频信号良好的分辨性能,在时频域实现编队目标的分辨 。
第五章 时 频 分 析
5.6.2 编队目标的 Wigner-Ville
1,Wigner-Ville
设 x(t)为相参雷达编队目标回波信号,其 Wigner-Ville分布为
d)je x p (22),(WD *
txtxt
x
由式 (5.6.8)可见,信号 x(t)的 Wigner-Ville分布是 x(t)的两维表示,
它同时具有信号的时间和频率信息 。 因此它可以描述信号 x(t)中各频率分量随时间的演变情况 。 与传统傅里叶变化相比,
Wigner-Ville分布时频分辨率高,但其最大的缺陷是在多分量信号之间存在严重的交叉项,这是由 Wigner-Ville分布双线性引起,
它们不代表任何真实信号,并与真实信号的自身分量混合在一起,对正确检测真实信号带来困难 。
第五章 时 频 分 析
2,实测编队目标回波的 Wigner-Ville分布本节中所用数据是在某警戒雷达上录取的两架和四架战斗机编队目标近似切向飞过雷达时的回波数据 。 雷达工作频率为 1GHz,脉冲重复频率为 400Hz。 采用固定照射方式,对固定距离波门内 (7.5 km） 距离单元连续录取 1024 个脉冲重复周期 。
第五章 时 频 分 析利用 Wigner-Ville分布分析实测编队目标回波数据,结果示于图 5.6.2。 图 5.6.2(a)是两架编队情况 Wigner-Ville
分布的灰度图,图 5.6.2(b)是四架编队情况 。 由图 5.6.2 可看出,编队目标回波的多普勒频率在时频域近似呈直线状 (亮线 ),且与时间轴有一夹角,表明目标回波是近似线性调频信号,与理论分析相符 。 同时我们看出,对于不同情况,目标多普勒频率线性变化的斜率是不同的 。 此时,传统的傅里叶谱分析已不能分辨两架目标,而利用时频分析则可实现目标分辨 。 图 5.6.2 中直线间出现明暗相间的线段是交叉项,它们呈振荡型的,不利于正确识别编队目标架次 。
第五章 时 频 分 析图 5.6.2 WVD
(a) 两架编队目标回波 WVD图； (b) 四架编队目标回波 WVD图
-1
-0,5
0
0,5
1
-1
-0,5
0
0,5
1
( a ) ( b )
第五章 时 频 分 析
5.6.3 基于 WVD
图 5.6.3 为本文提出的目标架次检测方案框图 。
为了用图像描述技术处理编队目标回波的 WVD图,以便从中检测目标架次,首先利用阈值化方法将 WVD图转化为二值图像,即选择适当的门限,把 WVD图中高于门限的像素置为 1，
而低于门限的置为 0。
图 5.6.3 基于 WVD图的目标架次检测框图阈值化 细化 连通分量标记 架次判决
W V D 图第五章 时 频 分 析
5.6.4 实验结果及讨论为了验证所提出的检测方案的有效性,我们用实测飞行编队目标回波数据进行处理 。 图 5.6.4(a)为对应于图 5.6.2(b)
WVD 图经二值化及细化处理后的结果,图 5.6.4(b)为其连通分量检测的结果 。 为了表示清楚,图中只画出较大的连通分量部分的长度 。 由此可见,该方法可获得可靠的架次检测 。
此外,利用雷当 (Radon)变换和分数阶傅氏变换也可实现目标架次的检测,但其计算量是非常庞大的 。 由实验结果知,
该方法的运行时间只需要 Radon变换的 1/3。 此外,该方法同样适用于其它的时频分布方法生成的图像,如短时傅里叶变换等 。
第五章 时 频 分 析图 5.6.4
(a) 对应图 5.6.2(b)细化处理后的结果； (b) 基于连通分量的检测结果
50 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0
2 5 0
2 0 0
1 5 0
1 0 0
50
频率样点时间样点
3 0 0
2 5 0
2 0 0
1 5 0
1 0 0
50
0
0 2 4 6 8 10 12
连通分量序号连通分量长度
( a ) ( b )
5.1 引言
5.2 短时傅里叶变换
5.3 维格纳变换 (WD)
5.4 时域离散信号的维格纳变换
5.5 时频分布的统一表示式
5.6 时频分析在编队目标架次检测中的应用第五章 时 频 分 析
5.1 引 言传统的信号分析与处理的数学工具是傅里叶变换,它的正变换和逆变换分别用下面两式表示：
d)eX ( e
π2
1
)(
e)()e(
π
π-
jj
-jj
n
ωn
n
nx
nxX
(5.1.1)
(5.1.2)
式中 ω是一个连续变量,限制了用计算机在频域进行分析与处理,
而离散傅里叶变换 (DFT)将频域离散化,使之借助计算机可以在时域也可以在频域对信号进行分析与处理 。 由于傅里叶变换物理概念清晰,同时也是正交变换,因此长期以来科技界及各工程领域广泛使用傅里叶变换和离散傅里叶变换 。
第五章 时 频 分 析
X(ejω)称为信号 x(n)的频谱,它表示了信号在频域的分布规律 。 也可以用下面公式表示,
2j |)e(|)( Xe? （ 5.1.3）
e(ω)称为信号 x(n)的能量谱,它仅包含信号的幅度信息 。 但对于能量无限信号,如周期信号,平稳随机信号等,傅里叶变换不存在,可以用功率谱密度 （ 简称功率谱 ） P(ejω )表示,
m
ωm
xx mrP
j-j ω e)()e( （ 5.1.4）
式中 rxx(m)是 x(n)的自相关函数 。 频谱,能量谱以及功率谱都是信号变换到频域的一种表示方法,对于频谱不随时间变化的确定性信号以及平稳随机信号都可以用它们进行分析和处理 。
第五章 时 频 分 析
5.2 短时傅里叶变换
5.2.1 短时傅里叶变换的定义及其物理解释
1.
短时傅里叶变换的定义有两种形式,下面分别叙述 。
(1) 定义一,
m
m
X mnwmxn
j-e)()(),(S T F T (5.2.1)
式中 w(n)是一个窗函数,其作用是取出 x(n)在 n时刻附近的一小段信号进行傅里叶变换,当 n变化时,窗函数随 n移动,从而得到信号频谱随时间 n变化的规律 。 此时的傅里叶变换是一个二维域 (n,ω)的函数 。 窗函数沿时间轴移动情况如图 5.2.1 所示 。
第五章 时 频 分 析图 5.2.1 窗函数的移动
( n － m )
x ( m )
mn
第五章 时 频 分 析令 n′=n-m 将 n′代入定义一中,再将 n′用 m代替,可得到第二种定义形式 。
(2) 定义二：
j ωω
m
j ωω
n
n - mj ω
X
mnxmw
mnxmwn
e)()(e
e)()(),(S T FT
-
)(-
第五章 时 频 分 析
2,短时傅里叶变换的物理解释对以上 STFT的定义形式,从傅里叶变换和线性滤波两个角度,可以有两种不同的物理解释 。
(1) 由傅里叶变换角度解释 。 按照 (5.2.1)式,STFT可以看作
n是参变量,x(m)w(n-m)对 m的傅里叶变换,因此它是 （ n,ω）
的函数 。 因为 STFT是 x(m)w(n-m)的傅里叶变换,可以用 x(m)和
w(n-m)分别的傅里叶变换的卷积表示 。 设：
)](F T [)e() ],(F T [)e( j ωj ω mwWmxX
)](F T [)e(e)],(F T [)e( -j ωj-j ω mnwWmwW ωn
第五章 时 频 分 析那么
d)e(e)e(
2
1),(S T F T )-j(jj XWn n
xx
如果再将 θ 改换成 -θ,得到
de)e()e(
2
1),(S T F T j-)j(j n
xx XWn
(5.2.3)
上式是 STFT定义的一种频域表示形式 。 这里如果 x(n)是时变信号,
式中用了它的傅里叶变换,是不合适的,但可以理解为信号在时间窗外变为 0 以后,取信号的傅里叶变换 ;或者说是时间窗内的信号傅里叶变换的平滑形式 。
第五章 时 频 分 析
（ 2） 由线性滤波角度解释。将定义一重写如下：
m
m
X mnwmxn )(e)(),(S T F T
j-
上式表明,短时傅里叶变换可以看成 x(n)e-jωn与 w(n)的线性卷积,
如将 w(n)看成一个低通滤波器的单位脉冲响应,短时傅里叶变换则可用图 5.2.2表示 。 图 5.2.2 表明,首先将信号 x(n)调制到 -ω，
然后通过低通滤波器 w(n),其输出就是短时傅里叶变换 。 实质上是将 x(n)在 ω附近的频谱搬移到零频处,作为短时傅里叶变换 。 为使其频率分辨率高,希望 w(n)是一个低通窄带滤波器,
带外衰减愈大愈好 。
第五章 时 频 分 析利用定义二可以得到线性滤波的另一种物理解释,将定义二重写如下,
)(e)(e),(S T F T j-j mnxmwn ωm
m
ωn
X
公式中求和号部分可看成 w(n)ejωn与 x(n)的线性卷积,因此上式可以写成
)(e)(e),(S T F T j-j mnxmwn ωm
m
ωn
X
式中 w(n)是低通滤波器,w(n)ejωn就是以 ω 为中心的带通滤波器 。
按照上式,STFT就是信号首先通过带通滤波器,选出以 ω 为中心的频谱,再乘以 exp(-jωn),将选出的频谱搬移到零频处 。
短时傅里叶变换如按照定义二的物理解释,则可用图 5.2.3 表示 。
第五章 时 频 分 析图 5.2.2 定义一的物理解释
w ( n )×
e x p ( － j? n )
x ( n ) S T F T x ( n,? )
第五章 时 频 分 析图 5.2.3 定义二的物理解释
w ( n ) e x p ( j? n )
e x p ( － j? n )
x ( n ) S T F T x ( n,? )
第五章 时 频 分 析
5.2.2 短时傅里叶变换的性质短时傅里叶变换是建立在一般傅里叶变换基础上的一种变换,因此它具有许多和傅里叶变换相似的性质 。
1,线性性质设 z(n)=c·x(n)+d·y(n),c,d 为常数,则
),(S T F T),(S T F T),(S T F T ndncn YXZ
(5.2.4)
第五章 时 频 分 析
2,频移性质 ——调制特性设,则
nnynx 0je)()(
),(S T F T),(S T F T 0 nn YX
(5.2.5)
第五章 时 频 分 析
3,
设 x(n)=y(n-n0),则
),(S T F Te),(S T F T 0-j 0 nnn YωnX (5.2.6)
证明
),(S T F Te
e))e(()(
)e()(),(S T F T
0
j-
j-)(j-
000
-j
0
0
00
nn
nmn - nwm - ny
n - mwm - nyn
Y
ωn
ωnnmω
m
ωn
m
X
以上说明 STFT具有频移不变性，但不具有时移不变性，相差一个相位因子。
第五章 时 频 分 析
4,共轭对称性当信号是实信号时,短时傅里叶变换和一般傅里叶变换一样具有共轭对称性,即
),(S T F T),(S T F T * nn XX
(5.2.7)
因此,其实部是偶函数，虚部是奇函数。
第五章 时 频 分 析
5,由短时傅里叶变换恢复信号由定义 (5.2.1)式得到短时傅里叶变换的反变换为
de),(π2 1)()( jπ
π
m
X nS T F Tmnwmx
设 n=m,则
de),(S T FT( 0 )π2 1)( jπ
π
m
X nnx (5.2.8)
只要 w(0)≠ 0,可以由 STFTX(n,ω )准确地恢复信号 x(n)。
第五章 时 频 分 析
5.2.3 短时傅里叶变换的时间,频率分辨率由定义可知,STFT实际分析的是信号的局部谱,局部谱的特性决定于该局部内的信号,也决定于窗函数的形状和长度 。
为了了解窗函数的影响,假设窗函数取两种极端情况 。 第一种极端情况是取 w(n)=1,-∞ <n<∞,此时
)]([Fe)(),(S T F T j- nxTmxn m
m
X
这种情况下,STFT退化为信号的傅里叶变换,没有任何时间分辨率,却有最好的频域分辨率 。 第二种极端情况是取 w(n)=δ (n)，
此时
nx nx( n,ωn?j)e(S T F T
STFT退化为信号，有理想的时间分辨率，但不提供任何频率分辨率。
第五章 时 频 分 析短时傅里叶变换由于使用了一个可移动的时间窗函数,使其具有一定的时间分辨率 。 显然,短时傅里叶变换的时间分辨率取决于窗函数 w(n)的长度 。 为了提高信号的时间分辨率,希望 w(n)的长度愈短愈好 。 但频域分辨率取决于 w(n)窗函数的频域函数宽度,也就是低通滤波器 w(n)的带宽或者说带通滤波器
w(n)ejωn的带宽,为了提高频域分辨率,希望尽量加宽 w(n)窗口宽度,这样必然又会降低时域分辨率 。 因此,STFT的时间分辨率和频率分辨率不能同时任意提高 。 这种时域分辨率和频域分辨率相互制约的性质,也正反映了已为理论所证明了的,不确定原理,,
π4
1 ft （ 5.2.9）
第五章 时 频 分 析式中 Δt表示信号有效持续时间,Δf表示信号的有效带宽 。 上面公式说明,对于窗函数,它的时间宽度和在频率域的宽度不能同时任意小,也就是说,频域分辨率和时域分辨率不能同时任意小 。 但可以选择合适的窗函数,使 Δt和 Δf都比较小,其乘积接近于 1/(4π)。 窗函数的形式有很多,可以证明从有效时宽和有效频宽乘积为最小的意义上讲,高斯波形信号是最好的,但是它在时间轴和频率轴上是无限扩张的,因此它并不是一种最好的波形 。 我们知道,不可能存在既是带限又是时限的信号波形,
实际应用中采用放松条件,研究在有限时宽的情况下,使频率有效带宽为最小的波形是什么,或者研究在有限带宽情况下,
使时宽最小的波形是什么,这部分内容可参考文献 ［ 8］,
［ 2］ 。
第五章 时 频 分 析
5.2.4 短时傅里叶变换的实现
1,
我们已经知道,短时傅里叶变换是低通滤波器 w(n)的输出,
假设其有效带宽为 Δ,对应的模拟滤波器的有效带宽为 B,
Hzπ2 sfB
式中 fs是 x(n)的采样频率,那么对应该模拟滤波器的时域采样频率应是带宽的两倍 (2B)以上,最小采样频率为
sfB π2
第五章 时 频 分 析
2B即是最小再次采样率。上式表明该采样率是信号采样率 fs的 P倍,
1P
也就是说,二次采样间隔最大为 1/P,即窗口每次移动的最大间隔是 1/P。 例如,窗函数选用哈明窗,长度为 L,带宽近似为
4π /L,设,fs=10 kHz,L=100,则
25
1H z,2 0 00 0 010
π225
π,
25
π
1 0 0
π4
PB
即最大采样间隔为 25,n的取值为 0,25,50,75,…。
以上计算的再次采样率是最小采样率,采样间隔是最大采样间隔 。 对于频率域采样,假设在周期 2π 中采样 M点,为不发生时域混叠,要求 M≥ L。
第五章 时 频 分 析
2,用 FFT计算 STFT
假设在频率域等间隔采样 M点，
kMk π2
k=0,1,2,3,…,M-1
],[S T F T|],[S T F T knn XX k k=0,1,2,3,…,M-1
按照定义一，有
l
kmM
X mnwmxkn
2 πj-
e)()(),(S T F T
（ 5.2.10
第五章 时 频 分 析令 m=l+n,上式变为
l
kl
M
kn
M
l
nlk
M
X
lwnlx
lwnlxkn
2 π
j-
2 π
j-
)(
2 π
j-
e)()(e
e)()(),(S T F T
（ 5.2.11）
上式的求和区间是 (-∞,∞),可以按照长度为 M的区间进行划分 。 一个个区间计算后,再求和,这样上式变成为
1 2 πj-2 πj-
e)()(e),(S T F T
MrM
rMl
klM
l
knM
X lwnlxkn
（ 5.2.12）
第五章 时 频 分 析令 l=m+rM,同时考虑到,得到
12 πje x p
k r M
M
km
M
M
m
kn
M
X nmxkn
2j1
0
2j
e),(~e),(S T F T
(5.2.13)
式中
r
rMmwrMmnxnmx )()(),(~
(5.2.14)
m=0,1,2,3,…,M-1
第五章 时 频 分 析在 (5.2.13)式中,对任何固定 n 值,求和项可以用 M FFT
进行计算,用 （ 5.2.14） 式计算 。 根据
（ 5.2.13） 式和 (5.2.14)式,由 x(n)计算 STFT 的过程如图 5.2.4
所示 。
),(~ nmx
第五章 时 频 分 析图 5.2.4 用 FFT计算短时傅里叶变换
∑
对 m 的 M 点
FFT
x ( n ＋ m － M ) ( － m ＋ M )
x ( n ＋ m － 2 M ) ( － m ＋ 2 M )
M － 1 m
M － 1 m
M － 1 m
m
0
0
0
0
x ( n ＋ m ＋ M ) ( － m － M )
x ( m,n )
~
kn
M
x
kn
π2
j
e),(S T F T
M M M M
x ( l ＋ n )
( － l )
x ( n ＋ m ) ( － m )
第五章 时 频 分 析
3,用滤波器组法实现短时傅里叶变换假设在频率域采样 M点,采样点的频率为
kMk π2 k=0,1,2,3,…,M-1
将 ω k代入定义 (5.2.2)式中，得到
n
m
n kk
k mwmnxn
j-j e)()(e|),S T F T (
令
nk knwnh?-je)()(?
(5.2.15)
第五章 时 频 分 析则
m
k
n
kX mhmnxn k )()(e),(S T F T
-j
(5.2.16)
令
m
kk mhmnxny )()()(
(5.2.17)
则
)(e),(S T F T -j nyn knkX k
(5.2.18)
这样对应 M个采样点频率,形成 M个通道 。 (5.2.15)式即是每个通道的带通滤波器的单位取样响应,(5.2.17)式即是每个带通滤波器的输出,（ 5.2.18） 式表示每个通道的 STFT输出 。
第五章 时 频 分 析图 5.2.5 STFT一个通道的原理框图
h
k
( n )
x ( n ) y
k
( n ) S T F T
x
( n,?
k
)
e x p ( － j?
k
,n )
第五章 时 频 分 析
4,短时傅里叶变换的综合由短时傅里叶变换恢复时域信号称为综合 。 下面先推导短时傅里叶变换 M个通道的等效传输函数 。 将 M个带通滤波器的输出相加,输出用 y(n)表示,从 x(n)到 y(n)等效单位取样响应用 h(n)表示,
1
0
1
0
)()(
)()(
M
k
k
M
k
k
nhnh
nyny (5.2.19)
(5.2.20)
式中 nk knwnh?je)()(?
第五章 时 频 分 析等效传输函数用 H(ejω )表示，即是上式的傅里叶变换。
1
0
jj )e()e(
M
k
kHH
(5.12.21)
)e())((FT)e( )j(j kWnhH kk式中 (5.12.22)
1
0
)j(j )e()e(
M
k
kWH
y(n)=x(n)*h(n)
(5,2.23)
(5,2.24)
第五章 时 频 分 析
(5.2.23)式表示等效传输函数是 M个带通滤波器传输函数的叠加。下面证明公式：
)0()e(1
1
0
)-j( wW
M
M
k
k
M≥ L (5.2.25)
证明
])e(I D F T [e)e(1 )-j(j
1
0
)-j( kkk WW
M
n
M
k
对于一定的 ω，令 ω=ωθ,ωk’=ωθ-ωk带入上式左边,得到
)(-jj
1
0
j
j)(jj
1-
0
1
0
)-j(j
''
''''
e)e(
1
e
ee)(e
1
e)e(
1
n
M
k
n
nn
M
k
M
k
n
kk
kkkk
W
M
W
M
W
M
第五章 时 频 分 析上式最右边求和号是频域信号 的 IDFT,即 w(-n)。 另外,我们知道频域采样,使时域以采样点数 M为周期进行周期性延拓,因此
)e( 'kjW?
)(ee)e(1 j
1
0
)-j(j '' rMnwW
M r
n
M
k
nkk
n=0,1,2,3,…,M-1
这里 M≥ L 保证不出现时域混叠,令 n=0,r=0,带入上式，最后得到
)0()e(1
1
0
)-j( wW
M
M
k
k?
(证毕 )
第五章 时 频 分 析将上式代入 (5.2.23)式,得到
H(ejω)=Mw(0),h(n)=F-1T［ H(ejω)］ =Mw(0)δ (n)
y(n)=x(n)*h(n)=Mw(0)x(n) (5.2.26)
(5.2.26)式说明当 M≥ L时,用短时傅里叶变换可以恢复原时域信号,恢复的可能性与窗函数的形状无关 。 但是窗函数的形状会影响其时间与频率分辨率 。
由 (5.2.18)式得到
),(S T F Te)( j kXnk Nny k (5.2.27)
第五章 时 频 分 析按照 (5.2.19)式,有
),(S T F Te)(
1
0
j
kx
M
k
n nny k
(5.2.28)
上式表明,由 STFT恢复原信号,也就是将每一路的 STFT输出乘以 exp(jωkn),然后进行相加得到时域信号 y(n)。 下面将 x(n)的短时傅里叶分析和 y(n)信号的恢复画在一起,如图 5.2.6 所示 。
第五章 时 频 分 析图 5.2.6 STFT分析与综合的原理图
h
0
( n )
y
0
( n )
x ( n )
S T F T
x
( n,?
0
)
e x p ( － j?
0
n )
y
0
( n )
e x p ( j?
0
n )
h
1
( n )
y
1
( n ) S T F T
x
( n,?
1
)
e x p ( － j?
1
n )
y
1
( n )
e x p ( j?
1
n )
h
M － 1
( n )
y
M － 1
( n ) S T F T
x
( n,?
M － 1
)
e x p ( － j?
M － 1
n )
y
M － 1
( n )
e x p ( j?
M － 1
n )
y ( n )
…
第五章 时 频 分 析我们知道,STFT的输出的带宽决定于低通滤波器的带宽,
其带宽一般比输入信号的带宽小得多,如果输入信号的采样率满足采样定理,那么在 STFT的输出完全可以降低采样率,
STFT的输出进行二次采样,减少数据量,即运算量 。 为此,在信号 STFT输出端加一个抽取器,信号综合时,再进行插值,
以恢复原来的采样率 。 这样,采用滤波器组实现 STFT分析与综合的原理框图如图 5.2.7所示,图中 (a)与 (b)分别对应定义一和定义二 。 二次采样率用输入信号的带宽与低通滤波器的带宽之比进行计算,设输入信号带宽用 Δ x表示,低通滤波器的带宽用 Δ ω表示,图中的 L用下式计算：
xL (5.2.29)
第五章 时 频 分 析上面我们研究了 STFT的计算方法,这里主要的问题是计算的有效性和时间窗的选择 。 为了提高 STFT计算的有效性,一些学者研究了递归算法,给出了矩形滑动窗递推算法和矩形扩展窗递推算法 （ 矩形窗的宽度作为递归形式进行扩展 ） ; 为了避免矩形窗带来的截断效应,又给出哈明 （ Hamming） 窗和汉宁
（ Hanning） 窗的改进递归算法,这样又增加了计算的复杂性 。
文献 ［ 3］ 给出了一种新的递归算法,它采用了全极点的滑动窗,它不仅克服了采用矩形窗带来的截断效应,还比用哈明窗和汉宁窗的计算量和存储量少得多 。 这方面内容请参考文献
［ 2］,［ 3］ 。
第五章 时 频 分 析图 5.2.7 用滤波器组实现 STFT的一个通道
h
k
( n )
x ( n )
抽取器
L ∶ 1
e x p ( － j
k
n )
S T F T
插值器
1 ∶ L
y
k
( n )
e x p ( j
k
n )
分析 综合
( n )
x ( n )
抽取器
L ∶ 1
e x p ( － j
k
n )
S T F T
插值器
1 ∶ L
y
k
( n )
e x p ( j
k
n )
分析 综合第五章 时 频 分 析
5.3 维格纳变换 (WD)
5.3.1 WD的定义确定性时间连续信号的 WD定义如下,
de22),(WD j-*
txtxt
x
(5.3.1)
定义表明这种变换是把过去某一时间信号乘上未来某一时间信号,再对两个信号时间差 τ 求傅里叶变换得到 。 令
22),( * txtxtr xx
(5.3.2)
第五章 时 频 分 析将 rxx(t,τ )称为瞬时自相关函数,那么 WD就是信号瞬时自相关函数的傅里叶变换 。 x(t)在频率域的 WD分布定义如下,
dXXXtX tj* e222 1),(WD?
(5.3.3)
对于两个连续时间信号 x(t)与 y(t),互 WD定义为
dtytxtyx j-*,e22),(WD?
(5.3.4)
同样,它们在频率域的互 WD定义如下,
dYXt tYX j*,e22π2 1),(WD?
(5.3.5)
第五章 时 频 分 析式中,X(Ω)是 x(t)的傅里叶变换 ;Y(Ω)是 y(t)的傅里叶变换 。 (5.3.1)、
（ 5.3.4） 式是在时域的定义形式,(5.3.3),（ 5.3.5） 式是在频域的定义形式 。 可以证明,时域和频域的定义形式有下面关系：
),(),(
),(),(
tWDtWD
tWDtWD
XYxy
Xx
(5.3.6)
(5.3.7)
第五章 时 频 分 析
5.3.2 WD的性质
1,WD的实数性和对称性
(1) WD 是 t和 Ω 的实函数证明 对 (5.3.1）式的两边取共轭,得到
de
22
),(WD j**
txtxΩt
x
令 τ ′ =-τ,则
'de
2
'
2
'),(WD 'j-**
txtxΩt
x
因此
),(WD),(WD * tt xx (5.3.8)
第五章 时 频 分 析
(2) 如果 x(t)是实信号，则 WD是频率的偶函数。 即
),(WD),(WD tt xx
(5.3.9)
证明 将定义中的 Ω 换成 -Ω,得到
),(WD),(WD
de
22
),(WD
de
22
),(WD
j-
j
tt
txtxt
txtxt
x
*
x
*
x
x
因此
)Ω,(WD),( tΩtWD xx
第五章 时 频 分 析
(3) 对于互 WD,则具有如下性质,
),(),(WD *, tWDt xyxy
(5.3.10)
第五章 时 频 分 析
2,边缘积分特性
(1) 在固定时刻 t,WD沿全频率轴的积分等于在 t时刻信号的瞬时功率 Px(t)(也称时间边缘特性 ),即
2|)(|d),(WD
π2
1)( txttP
xx
（ 5.3.11）
证明 由定义 (5.3.1)式,得到
-* de),(WDπ2 122 tjx ttxtx
第五章 时 频 分 析令
,2,2 21 tttt
那么
2,
21
21
ttttt
de,2WDπ2 1)()( )(j212*1 21 ttx tttxtx
令 t1=t2=t,τ =0,则得到
2|)(|d),(WD
π2
1 txt
x
第五章 时 频 分 析
(2) 在固定频率 Ω,WD沿全时间轴的积分等于该频率的能量密度 Px(Ω)(也称频率边缘特性 ),即
2|)(|d),(WD)(
XttP xx
(5.3.12)
证明 由定义 (5.3.3)式，得到
tetΩDXX tj
t x
d),(W22 *
令
2,2 21
,那么 )(
2
1,
2121
代入上式,得到
ttΩΩDXX t
t x
de,2W)( )(j212*1 21
第五章 时 频 分 析令 Ω 1=Ω 2=Ω,因此
2|)(|d),(WD Xtt
t x
第五章 时 频 分 析
(3)WD分布在整个 （ t,Ω ） 平面上,对 t,Ω 的双重积分等于信号的总能量 E,即
dd),(WD
π2
1 ttE
t
x
(5.3.13)
利用 (5.3.11)式和 (5.3.12)式,可以推出
d|)(|π2 1d|)(| 22 XttxE
t
(5.3.14)
第五章 时 频 分 析用以上性质可对 WD进行能量化解释,时间边缘特性为信号的瞬时功率,频率边缘特性为信号的能谱密度,总能量 E将 Px(t)
和 Px(Ω)联系起来,因此 WD是一种能量化的时频表示,但不能把 WD解释为在时间 — 频率上每一点的时频能量密度,因为 WD
有时可能是负的,且由不确定原理不允许在某个特定的时间 — 频率处有能量这一概念 。
第五章 时 频 分 析
3,WD的运算性质
(1) 时移与频移的不变性 。 将 x(t)时移 τ,相应的其 WD分布也时移 τ,用公式表示如下,
如果 x(t)=y(t-τ)，那么
),(WD),(WD ΩtΩt yx
（ 5.3.15）
x(t)用 WD分布也频移 Ω0,用公式表示如下,
如果,那么
t0jΩe
ttytx 0jΩ)e()(?
),(WD),(WD 0ΩΩtΩt yx
（ 5.3.16）
第五章 时 频 分 析
(2) 两信号的时域卷积等于两信号分别的 WD在时间轴上的卷积,即,
如果 y(t)=x(t)*h(t),则
'd),'(WD),'(WD),(WD*),(WD),(WD ttttttt hxhxy
（ 5.3.17）
第五章 时 频 分 析
'd)',(WD)',(WD2 1),(WD*),(WD),(WD ttttt hxhxy?
(3) 如果两信号的相乘,它们的傅里叶变换服从卷积关系,
则和它们对应的 WD在频率轴上也服从卷积关系,用公式表示如下,
如果 y(t)=x(t)h(t),则如果 x(t)表示信号,h(t)表示窗函数,此性质表明信号加窗处理时,只影响频率分辨率,不影响时间分辨率 。
（ 5.3.18）
第五章 时 频 分 析
(4) 两信号相加,设 z(t)=x(t)+y(t),则
)],(WDR e [2),(WD),(WD),(WD tttt xyyxz
式中第三项称为交叉 (干扰 )项,其性质意义在后面介绍。
（ 5.3.19）
第五章 时 频 分 析
4,WD的时限性和带限性 —— 区域性信号的维格纳分布的时宽与频宽,与信号本身的时宽与频宽相同,即,若 x(t)限制在 t1≤t≤t2中,则它的 WD分布也限制在同一时间域中；若 x(t)的傅里叶变换 X(jΩ)限制在 Ω1≤Ω≤Ω2中,则它的 WD分布也限制在同一频率域中,用公式表示如下：
如果
其它0
)(
)( 21
ttttx
tx
则
其它0
),(WD
),(WD 21
tttt
t xx （ 5.3.20）
第五章 时 频 分 析如果
其它0
)j(
)j( 21
ΩΩΩΩX
X
则
其它0
),(WD
),(WD 21
ΩΩΩΩt
t xx
（ 5.3.21）
第五章 时 频 分 析利用该性质，又可以得到下面结论：
（ 1） 因果信号 x(t)的 WD也是因果的，即,若
0
)()( txtx
t≥ 0
t<0
则
00
0),(WD
),(WD
t
tΩt
t xx
（ 5.3.22）
第五章 时 频 分 析
（ 2） 解析信号 z(t)的傅里叶变换限制在频率的正半轴,
解析信号 z(t)的 WD也限制在 Ω ≥ 0 的上半平面,即
00
0),(WD
),(WD
Ωt
t zz
（ 5.3.23）
第五章 时 频 分 析
5,可逆性由定义得到
de),(WD
π2
1
22
j* Ω
x ttxtx
令
,2,2 21 tttt
则
,2,2121 ttttt
代入上式,得到
ΩΩtttxtx ttΩx de,
2
WD
π2
1)()( )(j21
2
*
1
21?
第五章 时 频 分 析令 t2=0,再将 t1 用 t代替，得到
)0(
de,
2
WD
π2
1
)(
*
j
x
ΩΩ
t
tx
Ωt
x?
上式说明,信号可以由其 WD分布进行重建，仅仅缺少初相位信息。
(5.3.24)
第五章 时 频 分 析
5.3.3 常用信号的 WD举例例 5.3.1
,
||0
||1)(
Tt
Tttx 求其 WD。
解
de22),(WD j-* Ωx txtxt?
下面确定对 τ 的积分限：
Tt
Tt
2
2
tTtT
tTtT
2222
2222
第五章 时 频 分 析因此
0
| ) )|(2s in (2
de),(WD
22
22
j- Ω
tTΩ
t
tT
tT
Ωt
x?
|t|<T
|t|>T
(5.3.25)
上式表明 WD在时间轴上限制在 -T～ T之间,在频率轴上是
sinx/x形式,最大值在 （ T,0） 处 。 波形图如图 5.3.1所示 。
第五章 时 频 分 析图 5.3.1 例 5.3.1 图
f
t
第五章 时 频 分 析例 5.3.2,求其 WD
解
tAtx 0-je)(
)(||π2
d)j(-e x p||
d)e x p (
2
je x p
2
je x p||),(WD
0
2
0
2
00
2
A
A
tjttAt
x
该例题的信号是一个复正弦信号,可以看作平稳随机信号,
其 WD分布与时间无关,对任意时间都是一个在 Ω =Ω 0处的 δ 函数,如图 5.3.2 所示 。
(5.3.26)
第五章 时 频 分 析图 5.3.2 例 5.3.2 图
f
t
f
0
第五章 时 频 分 析例 5.3.3 已知 x(t)=A cos(Ω0t),求其 WD。
解 按照例 5.3.2 和 (5.3.19)式，推导如下,
)()2c o s ())()((||
2
π
deeRe
2
1
)()((||
2
π
deeeRe
2
1
))()((||
2
π
),(WD
)e(e
2
1
)(
0
2
00
2
j-j22
00
2
j-/ 2 )-(tj/ 2 )(j2
00
2
tj Ω-tj Ω
0
00
ΩtΩAΩΩΩΩA
AΩΩΩΩA
AΩΩΩΩAΩt
Atx
ΩtΩ
ΩtΩtΩ
x
上面结果中的第一项表示信号,第二项即是交叉干扰项 。 交叉干扰项将在后面介绍 。 x(t)的 WD 如图 5.3.3 所示 。
第五章 时 频 分 析图 5.3.3 例 5.3.3 图
f
t
f
0
0
－ f
0
第五章 时 频 分 析例 5.3.4 已知,求其 WD
解
20 21je)( mtttx
))((π2dee),(WD
e
22
0
j-)j(
)j(*
0
0
mtΩt
txtx
mtΩ
x
mt
(5.3.28)
x(t)是一个线性调频信号,其 WD清楚地表示出功率谱随时间线性变化的性质 。 WD如图 5.3.4 所示 。
第五章 时 频 分 析图 5.3.4 例 5.3.4 图
f
t
第五章 时 频 分 析例 5.3.5 已知,求互 WD。 tj Ωtj Ω AtxAtx 21 e)(,e)(
2211
解
2
π2e
deee),(WD
21)(j*
21
j-)2/(j-*
2
)2/(j-
1
21
21
21
ΩΩ
ΩAA
AAΩt
ΩΩ
tΩtΩ
xx
(5.3.29)
第五章 时 频 分 析例 5.3.6 已知高斯信号,求其 WD
解
2-e)( attx?
aatjtata
x atWD
2/2)2/()2/( 2222 eeπ2deee),(
上式表明,高斯信号的 WD在时间上和频率上有相同的波形。
(5.3.30)
第五章 时 频 分 析
5.3.4 关于二次时频分布中的交叉 (干扰 )项前面曾说过 WD是在时间,频率二维域中的能量分布函数,
必然是信号的二次型,或者说是一种双线性变换 。 这里双线性变换指的是 x(t+τ/2)x*(t-τ/2)的傅里叶变换 。 这样就使能量分布函数不服从线性叠加原理 。 我们知道,短时傅里叶变换是一种线性变换,它可以表示信号频谱随时间变化的规律 。 如果取它的模的平方,则可以粗略表示信号在时间,频率二维域中的能量分布 。 一般把短时傅里叶变换模的平方称为谱图 。 谱图是一种能量分布函数,也不服从线性叠加原理,两个信号之和的谱图并不等于它们分别的谱图的和,还存在第三项即交叉项 。
下面推导说明 。 假设信号 x(t)谱图用 SPECx(t,Ω)表示,
2|),(S P EC|),(S P EC tt xx （ 5.3.31）
第五章 时 频 分 析设
)()()( 21 tbxtaxtx
式中,a,b为实常数。
)),(),(c o s (),(S T FT),(S T FT2
),(S T FT),(S T FT),(S P E C
),(S T FT),(S T FT),(S P E C
),(S T FT),(S T FT),(S T FT
2121
21
21
21
2
2
2
2
2
tΦtΦttab
tbtat
tbtat
tbtat
xxxx
xxx
xxx
xxx
式中
)),(S T F T(A r g),()),,(S T F T(A r g),( 2211 ttΦttΦ xxxx
(5.3.32)
第五章 时 频 分 析
(5.3.32)式表明,两信号相加的谱图并不等于两个信号的谱图之和,其谱图包括三部分,第一部分和第二部分分别是两个信号的谱图,第三部分即是交叉项 。 交叉项的最大幅度是两个信号谱图幅度乘积的两倍,而且交叉项幅度受到一个余弦函数的调制,其相位变化服从两个谱图相位差的变化规律 。 如果两个信号自身的谱图没有重叠部分,则第三部分为零,即没有交叉项,这是谱图的优点 。
第五章 时 频 分 析事实上,任何二次时频分布都不服从线性叠加原理,而服从二次叠加原理 。 下面介绍二次叠加原理 。 信号 x(t)的二次时频分布用 Tx(t,Ω )表示,设
)()()( 21 tbxtaxtx （ 5.3.33）
则
),(),(),(||),(||),( 212121 **22 ΩtbTaΩtTabΩtTbΩtTaΩtT xxxxxxx
（ 5.3.34）
式中,x1(t)和 x2(t)的自时谱 ; 和分别称为 x1(t)对 x2(t)和 x2(t)对 x1(t)的互时谱 。 这种互时谱形成了二次时频分布的交叉项 。
1xT 2xT 21,xxT 12,xx
T
第五章 时 频 分 析下面再分析 WD中的交叉项,将 (5.3.33)式带入信号的双线性变换中,得到
2222
22
||
22
||
2222
2222
22
2222
*
12
**
21
*
*
22
2*
11
2
*
12
**
21
*
*
12
**
11
*
*
2
**
1
*
21
*
txtxatxtxab
txtxbtxtxa
txtbxatxtxab
txtxbbtxtxaa
txbtxa
tbxtaxtxtx
(5.3.35)
第五章 时 频 分 析式中,第一,二项形成自时谱,第三,四项则形成互时谱,
即交叉项 。 对照 (5.3.34)式,WD服从二次叠加原理 。 对于有
N个分量的信号,二次叠加原理用下式表示：
设
N
k
kk txctx
1
)()(
,则
N
l
xxlk
N
k
N
k
xkx tTcctTctT lkk
1
,
*
11
2 )),((),(||),(
（ 5.3.36）
k≠ l
第五章 时 频 分 析例 5.3.7 已知,式中 c1,c2 为实数,求其 WD。
解
tt ccts 21 j2j1 ee)(
2
))c o s ( (π4
)(π2)(π2
2
π2
2
π2)(π2)(π2),(WD
21
1221
2
2
21
2
1
21)-j(
21)-j(
2
2
21
2
1
21
21
ΩΩ
ΩtΩΩcc
ΩΩcΩΩc
ΩΩ
Ωe
ΩΩ
ΩeΩΩcΩΩcΩt
tΩΩ
ΩΩ
s
(5.3.37)
第五章 时 频 分 析该例表明,两个复单频信号频谱不重叠 （ Ω1≠Ω2） 时,它的时频分布除了自时谱以外,仍有交叉项 ; 交叉项处在两个信号频率连线的中点,幅度受到两信号频率差值的余弦波调制,
不能保证时频分布是非负函数,其最大幅度是两信号幅度乘积的 4π倍 。
第五章 时 频 分 析例 5.3.3 是一个高频实信号,由于分成了两个复指数信号,
即存在负频率分量,在零频率处形成交叉干扰项 。 因解析信号没有负频率分量,先将实信号转变成解析信号,再进行 WD分析,可消除这种频谱正负部分之间的交叉干扰项 。 下面对解析信号作简单介绍 。
假设 x(t)是实的连续时间信号,用 z(t)表示对应的解析信号 。
z(t)定义为
)(?j)()( txtxtz
（ 5.3.38）
第五章 时 频 分 析是 x(t)的 Hilbert变换,或者说是 x(t)通过一个 Hilbert变换器形成的 。 Hilbert变换器的传输函数为
)(? tx
0
00
0
)(
j
j
jH (5.3.39)
或者
H(jΩ )=-j sgn(Ω ) (5.3.40)
式中
01
00
01
)s g n ( (5.3.41)
第五章 时 频 分 析
Hilbert变换器的单位冲激响应为
tjHFth?
1)]([T)( 1 (5.3.42)
d)(π1π1)()(
txttxtx
x(t)通过 Hilbert变换器后，其输出为 )(? tx
(5.3.43)
这样解析信号 z(t)和 x(t)之间的关系为
ttjxtxtz π
1)()()( (5.3.44)
第五章 时 频 分 析将上式进行傅里叶变换,得到
Z(jΩ)=X(jΩ)+jH(jΩ)X(jΩ)=X(jΩ)［ 1+jH(jΩ )］
(5.3.45)
将（ 5.3.39）式带入上式,得到
00
0)j(
0)j(2
)j( X
X
z (5.3.46)
上式表明,解析信号的频谱只分布在正频率范围,是由实信号频谱的正的部分乘以 2构成的 ; 负频率部分为 0。
第五章 时 频 分 析用上式可以求解析信号 。 例如 ejΩ t,其频谱是在 Ω 处的 δ
函数,如果 Ω 是负的,那么也就没有正频率存在,因此它的解析信号为
Ωttz j
e2
0
)(
Ω <0
Ω >0
第五章 时 频 分 析例 5.3.8 求
)π2co s ()( 0 tfAtx? f0≠ 0
解 观察 （ 5.3.39） 式,它的 Hilbert变换当 Ω>0 时,需将信号的相位变化 -90°,幅度不变,因此,
那么,x(t)的解析信号为
)π2s i n ()(? 0 tfAtx?
tfAftjAtfAtxjtxtz 0j2 π0 e)π2s i n ()π2c o s ()(?)()(
或者由
]ee[21)( 00 j2 π-j2 π tftfAtx
取其正频率部分的两倍，得到的解析信号和上式一样。
第五章 时 频 分 析
5.4 时域离散信号的维格纳变换
5.4.1 时域离散信号的 WD定义
1,Classen提出的定义按照连续时间信号维格纳变换定义 （ 5.3.1） 式,可以引申出 Classen提出的时域离散信号的 WD定义,
'j-
'
* e
2
'
2
'2),(WD k
k
x
knxknxn
（ 5.4.1）
第五章 时 频 分 析令 k′ =2k,得到
k
k
x knxknxn
j2-* e2),(WD?
（ 5.4.2）
注意式中的 ω 是数字频率,但频域的重复周期不是 2π,而是
π 。 因此下面公式成立,
),(WD),(WD nn xx （ 5.4.3）
对应的频域定义为
de22π1),(WD j2* nX XXn?
（ 5.4.4）
第五章 时 频 分 析
Classen提出的定义应用较广,保持了连续时间信号 WD定义中有关时间上的一些特性,但频域上的一些特性被破坏了,
例如,时间域的边缘特性为
2πi(2i |)e(||)e(|),(WD?
ωω
n
x XXn?
（ 5.4.5）
它不同于连续时间信号 WD在时间上的积分等于信号在某一频率的能量密度 ((5.3.12)式 )。
第五章 时 频 分 析
2,Peyrin提出的定义将（ 5.4.1）式中的系数 2去掉,写成下式,
'j-
'
* e
2
'
2
'),( m
m
x
mnxmnxnWD?
(5.4.6)
令,n+m′ /2=k,n-m′ /2=n′ -k,则 k=(n′ +m′ )/2,这样 (5.4.6)式变成令,n+m′ /2=k,n-m′ /2=n′ -k,则 k=(n′ +m′ )/2,这样 (5.4.6)式变成
)'2(j-* e'),'(WD nk
k
x knxkxn
(5.4.7)
第五章 时 频 分 析上式就是 Piyrin提出的定义。它与 Classen提出的定义相比，
下面关系式成立,
),2(WD2),(WD nn pxcx? （ 5.4.8）
式中,上标 c代表 Classen; 上标 p代表 Peyrin。 该式表明等式左面的点只是等式右边时间变量为偶数点的结果 。 因此,
Peyrin提出的定义中包含有更多的信息,其中时间变量为奇数点的信息是 Classen定义中缺少的 。 Peyrin提出的定义还有其它性质和优点,请参考文献 ［ 2］ 。
第五章 时 频 分 析
5.4.2 利用 FFT计算维格纳分布维格纳分布的计算量很大,目前各种快速算法还不能从根本上解决实时处理的问题 。 FFT计算维格纳分布的方法 。 如果用离散哈特莱变换 （ DHT） 计算,计算的复杂性可由三倍复 FFT减少到三倍实 FFT 的计算量,这部分内容可参考文献 ［ 2 ］ 。
离散时间信号的 WD为
k
x eknxknxn
2j* )()(2),(WD
(5.4.9)
第五章 时 频 分 析为用 FFT进行计算,需对信号进行加窗处理,并且将频率域离散化 。 假设窗函数用 w(l)表示,它的时宽为 2L-1。 且当
|l|≥ L时,w(l)=0。 加窗后的 WD为
1
1
2j** e)()()()(2),(WD
L
Ll
k
x lwlwlnxlnxn
(5.4.10)
WDx(n,ω)的频域周期是 π,若在一个周期内采样 N点 (N=2L-1)，
采样间隔为 Δ ω =π /N,为便于计算,再在尾部加个 0,使
N=2L,令
1,,1,0,,2,1)()(),( LLLllnxlwlnG
第五章 时 频 分 析
1
j2-*
/ e),(),(2),(WD),(WD
L
Ll
k / N
Nkxx lnGlnGnkn
(5.4.11)
由于 FFT的计算域是正的（ l=0,1,…,N-1)，重新排列序列如下,
)2,()2,(
),(),(
),(
*
*
LlnGLlnG
lnGlnG
lnf
l=0,1,…,L-1
l=L,…,2L-1
(5.4.12)
最后得到
1
0
/Nj2 π-e),(2),(WD
N
l
k
x lnfkn
(5.4.13)
上式就是用 FFT计算 WD的公式。
第五章 时 频 分 析
5.5 时频分布的统一表示式
5.5.1 模糊函数及其和 WD之间的关系模糊函数也是一种常用的时频表示,它广泛应用于雷达,
水声等领域 。 本节主要介绍它的定义及其和 WD之间的关系 。
WD分布是对信号的双线性变换 x(t+τ/2)x*(t-τ/2)关于 τ作傅里叶变换,如果对该双线性变换关于时间 t作傅里叶变换,则得到模糊函数的定义,公式为
ttxtxA tx de
22
),( j2 π-*
（ 5.5.1）
第五章 时 频 分 析另外，对应 WD的频率域定义（ 5.3.3）式，模糊函数在频率域的定义是
ffXfXA fx de
22
),,( j2 π*
（ 5.5.2）
而且
),(),( xx AA?
（ 5.5.3）
式中,X(f)是 x(t)的傅里叶变换 ; t为时间,τ为时延 ; f为频率 ; θ为频偏 。 为分析模糊函数和 WD之间的关系,定义,
22
),(
22
),(
*
*
fXfXfR
txtxtr
x
x （ 5.5.4）
（ 5.5.5）
第五章 时 频 分 析
rx(t,τ )称为瞬时自相关函数,Rx(f,θ )称为瞬间频自相关函数 。 这样,WD是瞬时自相关函数关于 τ 的傅里叶变换,模糊函数是瞬时自相关函数关于时间 t的傅里叶变换 。 按照定义,模糊函数和 WD还可以表示成以下各式：
ffRA
ttrA
fRtf
trft
f
xx
t
xx
xx
f
xx
de),(),(
de),(),(
de),(),(WD
de),(),(WD
j2 π
j2 π-
j2 π
j2 π-
（ 5.5.6）
（ 5.5.7）
（ 5.5.8）
（ 5.5.9）
第五章 时 频 分 析按照定义，可以证明模糊函数具有以下性质,
（ 1） 时移性。令 x(t)=y(t-t0),则
0- j 2e),(),( tyx AA
（ 5.5.10）
(2) 频移性。令 tftytx
0j2e)()(
,则
0j2e),(),( f
yx AA?
（ 5.5.11）
(3) 滤波。令
uuthuxthtxty d)()()()()( （ 5.5.12）
则
uuAuAA hxy )d,(),(),( （ 5.5.13）
第五章 时 频 分 析
(4) 调制。令 y(t)=x(t)m(t),则
)d,(),(),( mxy AAA
(5.5.14)
下面推导信号的 WD
将 (5.5.6)式重写如下,
d)e,(),(WD j2 π- fxx trft
(5.5.15)
对上式进行傅里叶反变换，得到瞬时自相关函数和 WD之间的关系,
ffttr fxx d)e,(WD),( j2 π
(5.5.16)
第五章 时 频 分 析再对上式 t作傅里叶变换，得到模糊函数和 WD之间的关系,
tfftA tjfjxx ddee),(WD),( π2π2 （ 5.5.17）
按照 (5.5.8)式，还可以得到下式,
ddee),(),(WD π2π2j fjtxx Aft （ 5.5.18）
(5.5.17)式和 (5.5.18)式表明了 WD和模糊函数之间存在如公式那样的二维傅氏变换关系 。 另外,还可以推导出瞬时自相关和瞬间频自相关之间的关系,如下式,
ddee),(),( π2π2j ffRtr fjtxx (5.5.19)
第五章 时 频 分 析
ddee),(),( π2π2j- ttrfR fjtxx
(5.5.20)
总结以上,(5.5.6)式～ (5.5.9)式和 (5.5.17)式～ (5.5.20)式,
将 rx(t,τ),WDx(t,f),Rx(θ,τ)以及 Ax(θ,τ)联系起来,如图 5.5.1
所示 。 图中 表示将 τ映射为 f的傅氏变换,反过来,则表示由 f映射为 τ的傅氏反变换,其它类似 。
f?
第五章 时 频 分 析图 5.5.1 rx(t,τ),WDx(t,f),Rx(θ,f),Ax(θ,τ)之间的关系
t
f
ft
A
x
(,? )
R
x
(,f )r
x
( t?,? )
WD
x
( t,f )
t
f
t
f
第五章 时 频 分 析这四个函数有四个变量,即时间变量 t,时间延迟 τ,频率 f、
频偏 θ,共形成了四个域,即：
（ 1） 时频域 (t,f),对应 WDx(t,f);
（ 2） 瞬时相关域 （ t,τ）,对应 rx(t,τ);
（ 3） 谱相关域 （ θ,f）,对应 Rx(f,θ);
（ 4） 模糊域（ θ,τ）,对应 Ax(τ,θ)。
第五章 时 频 分 析
WDx(t,f)和 Ax(τ,θ)是信号的两个不同的时频表示,按照上述分析,还应注意它们下面的两个不同点：
（ 1） WD是能量化的时频表示,存在时间边缘特性 Px(t)和频率边缘特性 Px(Ω),公式重写如下,
2
2
|)(|d),(WD)(
|)(|d),(WD)(
fXtftfP
txffttP
t xx
f xx
(5.5.21)
(5.5.22)
Px(t)称为信号的瞬时功率,Px(f)称为信号的能谱密度，信号的总能量为
ft ffXttxE d|)(|d|)(| 22
(5.5.23)
第五章 时 频 分 析模糊函数是相关化的时频表示，将模糊函数的定义重写如下,
fXfXA
ttxtxA
f
x
t
x
de
22
),(
de
22
),(
j2*
j2-*
(5.5.24)
(5.5.25)
在 (5.5.24)式中,令 θ =0,得到时间相关化边缘特性 rx(τ ),
ttxtxAr xx d22),0()( *?
(5.5.26)
第五章 时 频 分 析在 (5.5.25)式中,令 τ=0,得到频率相关化边缘特性 Rx(θ),
ffXfXAR xx d22),0()( *?
rx(τ)称为瞬时相关,Rx(θ)称为谱相关,因此模糊函数将瞬时相关和谱相关两个概念综合在一起 。
第五章 时 频 分 析
（ 2） WD满足时频移不变性质,即满足 （ 5.3.15） 式和
(5.3.16)式,或者用下式表示,如果,则
tfttytx 0j2 π0 e)()(
),(WD),(WD 00 ffttft yx
(5.5.28)
而模糊函数满足相关化移不变性质,用公式表示如下,
如果,则
tfttytx 0j2 π0 e)()(
)(2j 00),(),( tfyx eAA
(5.5.29)
相关化移不变性质来源于瞬时相关和谱相关移位性质得到的术语,用公式表示如下,
第五章 时 频 分 析如果,则
tfttytx 0j2 π0 e)()(
00 - j 2 πj2 π e)()(,e)()( tyxfyx RRrr (5.5.30)
总结起来,WD和模糊函数是信号的两种不同的时频表示,性质不同,相互关系是 (5.5.17),(5.5.18)式表示的二维傅氏变换对 。 这两种时频表示的一些对偶关系如表 5.5.1所示 。
第五章 时 频 分 析表 5.5.1 WD和模糊函数的一些对偶关系第五章 时 频 分 析
5.5.2 Cohen 类时频分布维格纳分布和模糊函数是实际中比较常用的两种时频分析,
此外还有许多种时频分析,尽管它们的形式和性质不尽相同,
但彼此常有一定的联系和共同点,因此可用一个统一的表达式表示出来,这就是 L.Cohen提出的广义双线性时频表示,公式为
ddde),(22),( )-j2 π2-* uuxuxftC uft
u
x
(5.5.31)
式中 υ (θ,τ )表示核函数 。 采用不同的核函数可以得到不同的时频分布,时频分布的各种性质要求,则反映在对核函数的约束条件上 。 把满足 （ 5.5.31） 式的时频分布,统称为 Cohen 类时频分布 。
第五章 时 频 分 析
WD时频分布是 Cohen 类时频分布中最基本的时频分布 。 下面证明当核函数 υ (θ,τ )=1 时,Cohen 类时频分布将转换成 WD。
将 υ (θ,τ )=1 带入 （ 5.5.31） 式,得到
),(WD
de
22
)(dde
22
dedde
22
ddde
22
),(
j2 π-*
j2 π-*
)j2 π-
j2 π-*
)-j2 π2-*
ft
txtx
utuuxux
uuxux
uuxuxftC
x
f
f
u
( t - u
f
u
uft
u
x
第五章 时 频 分 析下面介绍时频分布的性质对核函数要求的约束条件：
（ 1） 如要求 Cx(t,Ω)=C*x(t,Ω),即要求时频分布是实的,充要条件是要求核函数满足下式,
),(),( *
第五章 时 频 分 析
（ 2） 如要求时频分布具有时间边缘特性和频率边缘特性，
即若要求：
2|)(|d),()( txfftCtP
f xx
则要求：
υ (θ,0)=1
若要求
2|)(|d),()( fXtftCfP
xx
则要求：
1),0(
第五章 时 频 分 析
（ 3） 如要求,
EftftC x dd),(
则要求：
1)0,0(
第五章 时 频 分 析
（ 4） 如要求时移不变和频移不变,即若要求：
),(),()()(
),(),()()(
0
2j 0 fftCftCetytx
ftCftCtytx
yx
tf
yx
则要求 υ (θ,τ )独立于 t和 f。
（ 5） 如能抑制 Cx(t,f)的交叉项,则要求 υ (θ,τ )为低通滤波 。
第五章 时 频 分 析
（ 6） 如 Cx(t,f)具有时间支持特性,即当 |t|>ta时,x（ t） =0，
Cx(t,f)=0,则要求,
0d),( ||2 at
（ 7） 如 Cx(t,f)具有频率支持特性,即当 |f|>fc时,X(f)=0,
Cx(t,f)=0,则要求,
0de),( j2- f τ |θ |<2|fc|
第五章 时 频 分 析下面介绍 Cohen类时频分布的四种表示形式 。
(1) 二维滤波的维格纳分布。如果对核函数 υ (θ,τ )作二维傅里叶变换,得到
dde),(),( )(j2- ftftΦ (5.5.32)
Φ(t,f)称为时频域核函数,υ (θ,τ )称为模糊域核函数。由上式得到
dde),(),( ])()(j2 π2- futfutΦ
(5.5.33) 又由 WD的定义得到
de),(WD22 j2 π* uuxux x
(5.5.34)
第五章 时 频 分 析将 (5.5.33)式和 (5.5.34)式带入 (5.5.31)式,得到
dd),(WD),(),( uufutΦftC xx (5.5.35)
上式就是维格纳分布与时频域核函数 Φ(t,f)的二维褶积,也称为广义维格纳分布,因此 Cx(t,f)类时频分布可以理解为二维滤波的维格纳分布 。
第五章 时 频 分 析
(2) 广义模糊函数 M(θ,τ )的 M(-θ,τ )的二维傅里叶变换。
dde),(),( )(π2j ftxx MftC (5.5.36)
式中
uuxux
AM
u
xx
de
22
),(
),(),(),(
)(π2j*
(5.5.37)
将上式带入 (5.5.31)式,得到 (5.5.36)式 。 M（ θ,τ ） 称为广义模糊函数,它是由模糊域核函数 υ (θ,τ )对 Ax(θ,τ )加权所得的模糊函数 。 因此,(5.5.36)
M(θ,τ ) 的 M(-θ,τ )的二维傅里叶变换 。
第五章 时 频 分 析
(3) 广义自相关函数对时延 τ 的一维傅里叶变换。
d),(),( 2j' fxx etrftC
(5.5.38)
式中
)d,-(),(),(' uturtr xx
(5.5.39)
rx′ (t,τ )称为广义自相关函数,而
de),(),( 2jt
(5.5.40)
de),(),( )(π2j utut
ψ (t,τ )称为瞬时相关域的核函数。 由 (5.4.40)式得到
(5.5.41)
第五章 时 频 分 析
(5.5.39)式和 (5.5.41)式表明广义自相关函数为信号的瞬时自相关函数 rx(t,τ )与瞬时相关域的核函数 ψ (t,τ )对 t的褶积,因此 (5.5.38)式可以理解为广义自相关函数 rx′ (t,τ )对时延 τ 的一维傅氏变换 。 将 （ 5.5.39） 式带入 (5.5.38)式,得到
uuttrftC fxx dde),(),(),( j2-
(5.5.42)
第五章 时 频 分 析
(4) 广义谱相关函数 的 对 θ 的一维傅里叶变换。
),(' fR x? ),(' fR x
d),(),( 2j' txx efRftC
式中
d),(),(),(' fRfR xx
(5.5.43)
(5.5.44)
Rx′ (θ,f)称为广义谱相关函数,而
de),(),( )(π2 fjf
(5.5.45)
第五章 时 频 分 析
Ψ(θ,f)称为谱相关域的核函数,由上式得到
de),(),( )(π2 fjf
(5.5.46)
谱相关函数 Rx(θ,ξ )为
dde),(),( )(π2j uurR uxx
(5.5.47)
因此
dd)e,(
)d,(),(-),(
)-j2 π2
'
uur
fRfR
f τu
x
xx
(5.5.48)
第五章 时 频 分 析上面四种等价的表示形式可归纳为对维格纳分布,模糊函数,瞬时相关函数和瞬间频相关函数的四种表示形式 。 它们是
dde),(),(),(
dde),(),(),(
dde),(),(),(
dd),(WD),(),(
j2 π-
j2 π-
)j2 π2-
xx
f
xx
ft
xx
xx
RfftC
uurutftC
AftC
uufutΦftC
(5.5.49)
(5.5.50)
(5.5.51)
(5.5.52)
第五章 时 频 分 析四种核函数之间的关系为
de),(),(
de),(),(
dde),(),(
π2j
π2j
)(π2j
f
ft
f
f
ftΦ (5.5.53)
(5.5.54)
(5.5.55)
四种核函数之间的关系如图 5.5.3 所示。
第五章 时 频 分 析图 5.5.2 Cx(t,f)在 (t,τ ),(θ,f),(θ,τ )及 (t,f)域之间的关系
),(),(
x
A
),(WD]][)[,( ftftft
x
),(])[,( tttr
x
),(])[,( fffR
x
t
－
f
t
－?
f
第五章 时 频 分 析图 5.5.3 四种核函数之间的关系
(?, )
( t,f )
( f,
)
( t,
)
t
f
f
t
f
第五章 时 频 分 析
WD是能量化的时频表示,而模糊函数是相关化的时频表示,相应的前者是时频域 （ t,f）,后者是模糊域 （ θ,τ ） 。
相应的可以将 Cohen类时频分布分成两类时频表示,即能量化时频表示和相关化时频表示 。 能量化时频表示将瞬时功率和谱能量密度两种概念综合在一起,能量化的解释用边缘特性
(5.5.21)式和 (5.5.22)式表示,它的原始公式是 (5.5.31)式,
(5.5.49)～ (5.5.52)式是它的四种等价形式 。 能量化时频表示简称 CE类 (下标 E表示能量化 )。 相关化时频表示将瞬时相关和相关综合在一起,并用相关化边缘特性描述 ( (5.5.26)、
(5.5.27)式 ),相关化时频表示简称 Cc类 (下标 c表示相关化 )。
CE类时频表示 Cx(t,f)中任何一种等价形式的对偶相关化时频表示 Pdual,x(θ,τ )均有下面公式：
第五章 时 频 分 析
),(),(),(
dd),(),( )(2j,d u a 1
xx
ft
xx
AM
fteftCP
(5.5.56)
CE类和 Cc类的傅氏变换关系用图 5.5.4 表示。
第五章 时 频 分 析图 5.5.4 CE类和 Cc类的傅氏变换关系
－
ft
－
ft
－
ft
相关化域能量化域
),(),(),(
d u d l,
xx
AP
),(DW),(),( ftftftP
xx
·
第五章 时 频 分 析
5.5.3 广义双线性时频分布举例
1,指数分布 （ ED）
这种广义双线性时频分布的核函数是指数形式的,因此称为指数分布 。 又因为是由 Choi Williams提出的,也称 Choi
Williams分布 （ CWD） 。 这种分布对含有多个频率分量的信号,
可以有效地抑制交叉项,并保持时频分布的一些期望特性,
是一种常用的广义双线性时频分布,下面作简单介绍 。
第五章 时 频 分 析指数分布在（ θ,τ ）域的核函数为
/
ED
22e),( (5.5.57)
在 (t,τ )域的核函数为
2
4
2ED eπ4),(
tt (5.5.58)
式中 σ >0,是尺度因子 。 将上式带入 （ 5.5.38）,(5.5.39)式中,得到它的时频分布 Ex(t,f)
dd
22
e
π4
e),( *42j
2
uuxuxftE
ut
u
f
x
(5.5.59)
第五章 时 频 分 析下面说明按照核函数的约束条件,
(1) 按照 (5.5.57)式,核函数满足下式,
),(),( ED*ED
因此该时频分布是实值的。
第五章 时 频 分 析
（ 2） 按照 (5.5.57)式,核函数满足下列式,
1)0,0(,1)0,1(,1)1,0( EDEDED
因此指数分布具有边缘特性和能量特性,即
ΩtΩtE
ΩXtΩtΩP
txΩΩttP
t Ω
x
xx
Ω
xx
dd),(WD
π2
1
|)(|d),(WD)(
|)(|d),(WD
π2
1
)(
2
2
第五章 时 频 分 析
（ 3） 信号的时移或频移在指数分布中产生相应的时移或频移,这是因为所有的 CE类广义时频分布均有这种性质 。
（ 4） 指数分布对时间 t的一阶矩和对频率的一阶矩分别等于群延迟 T（ Ω） 和瞬时频率 Ω（ t） 特性 。 这是因为核函数满足
0),(
d
d
,1)0,(
0),(
d
d
,1),0(
0
EDED
0
EDED
第五章 时 频 分 析
（ 5） 指数分布可以有效地抑制多频率成分信号的交叉项 。
假设信号是一个多频率信号,用下式表示,
N
i
i txtx
1
)()( (5.5.60)
可以推出它的广义模糊函数用下式表示,
ml
xx
m
N
i
xxx mlii MMM ),(),(),(
1
(5.5.61)
上式中第一项是广义自模糊函数项,第二项是广义互模糊函数项,它们分别用下式表示：
uuxuxM
uuxuxM
m
u
l
u
xx
i
u
i
u
xx
mi
ii
d
22
e),(),(
d
22
e),(),(
*j
*j
l≠ m
(5.5.62)
(5.5.63)
第五章 时 频 分 析广义自模糊函数主要集中在原点附近,而广义互模糊函数或者说交叉项则离开原点一段距离 。 这样,如果要突出广义自模糊函数项,并且抑制广义互模糊函数项,则要求核函数在 （ θ,
τ ） 平面的原点附近有较大的加权值,对交叉项的加权值尽可能小,从而达到抑制交叉项的目的 。 指数分布的核函数则具备这种性质,因此它可以有效地抑制交叉项 。 假设两频率信号如下式所示：
)(j)(j 2211)( tt BeAetx
(5.5.64)
第五章 时 频 分 析该信号的指数分布为
W E I G HT])c o s [ (π2
)(π2)(π2),(
2112
2
2
1
2
tΩΩAB
ΩΩBΩΩAftE x
(5.5.64) 式中加权值
221
2121 2)-(4
e x p
)-2(
2 πW E I G H T ΩΩΩ
ΩΩΩΩ
(5.5.65)
上面两式表明交叉项的幅度由 WEIGHT控制,当 Ω=(Ω 1+Ω 2)/2时,
交叉项的幅度与 成反比,另外,它以距离 ［ Ω-
(Ω 1+Ω 2)/2］ 2式指数地衰减 。
21 ΩΩ?
第五章 时 频 分 析
2,广义指数分布（ GED）与巴特沃斯分布（ BUD）
1)
广义指数分布的核函数为
MN 2
1
2
1
G E D e x p),(?
（ 5.5.66）
式中,N,M为正的幂次 ;θ 1和 τ 1分别是正的频率和时间尺度常数 。 下面说明该核函数具有低通特性 。 先分析下面低通滤波函数 θ M(x)的特性,
M
M x
x
x
2
1
e x p)(?
（ 5.5.67）
第五章 时 频 分 析该函数的滤波特性如图 5.5.5所示 。 此图表明,当 x1一定时,
随 M 的增大,通带变得愈平坦,过渡带愈窄 。 当 M→∞ 时,变成在
x=x1 处截止的理想低通滤波器 。
图 5.5.5 θ M(x)的滤波特性
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
M ＝ 1 M ＝ 100
M
(
x
)
x / x
1
第五章 时 频 分 析令,则
MNMN xx //111,
)(),(G ED xM (5.5.68)
这种情况下,广义指数核函数变成一维低通滤波函数 θM(x),当
N=M=1 时,,x=τθ,上式变为
21121 )(x
),()(),( 1G E D zx (5.5.69)
即 θ 1(x)是指数分布的核函数 。 此时,核函数具有最差的低通特性 。 当 M加大时,滤波性能变好 。 因此说,广义指数分布是可以改善时频分布性能的一种分布,通过改善,使其自项失真小,
交叉项衰减大 。
第五章 时 频 分 析
2）
巴特沃斯分布的核函数定义为
MN 2
1
2
1
B U D
1
1
),(
N,M,θ 1,τ 1>0
(5.5.70)
上式表明,该核函数具有可变的,平坦的通带及窄的过渡带的低通特性 。 当,上式变成
MNMN xx //111,
MM
x
x
x
2
1
1
1
)(
(5.5.71)
第五章 时 频 分 析上式即是滤波器中的最大平坦平方幅度的巴特沃斯滤波器的幅度平方函数,当 M加大时,它趋近于理想低通滤波器 。 因此,
这种分布也可以改善指数分布的时频分布的性能 。
除了上面介绍的广义双线性时频分布以外,常用的还有平滑伪维格纳分布 （ SPWD）,锥形 （ Cone） 核分布 （ CKD）,
降低干扰项分布 （ RID）,贝塞尔 （ Bessel） 分布 （ BD） 等等 。
第五章 时 频 分 析
5.6 时频分析在编队目标架次检测中的应用
5.6.1
本节我们分析编队飞机目标的多普勒频率特性,从而探讨在多普勒域实现多目标分辨的可能性 。 众所周知,雷达目标回波的多普勒频率 fd取决于雷达工作波长 λ,目标运动速度 v以及目标飞行方向与雷达视线的夹角 υ,即
c o s2d vf?
(5.6.1)
第五章 时 频 分 析图 5.6.1 显示了两架飞机编队情况 。 假设编队飞行时,
两架飞机的速度相同,则它们回波的多普勒频率的差别就取决于它们各自与雷达视线夹角的不同,即
)c o s( c o s
2
21
ddd 21
v
fff
(5.6.2)
υ 1与 υ 2的差别是由两飞机的间距 d和目标距雷达的距离 R所决定的 。 一般有 R>>d,因此,υ 1与 υ 2的差别是很小的,进一步化简,有
2
2121
21ddd
s i n
2
2
s i n
2
s i n2
2
)c o s( c o s
2
21
R
dv
v
v
fff
(5.6.3)
第五章 时 频 分 析图 5.6.1 两架飞机编队情况
2
d
R
1
第五章 时 频 分 析式中,利用了当 R>>d 时,sin(φ1-φ2)≈φ1-φ2≈(d/R) sinφ,其中
φ=(φ1+φ2)/2是平均的雷达视线与飞行方向的夹角 。 由 (5.6.3)式可以看出,若 d与 R固定,则最大的多普勒频差发生在 φ=π/2,即当目标沿切线方向飞过雷达时 。 Δfd一般是很小的,以某警戒雷达为例,其波长 λ=0.3m,若目标的飞行速度 v=900 km/h=250
m/s,目标间的距离 d=100m,目标与雷达的距离 R=100 km,则最大多普勒频差 (φ=π/2时 )为
Hz67.12m a xd
R
dvf
(5.6.4)
第五章 时 频 分 析因此,在多普勒频率为常数的情况下,若要采用傅里叶变换来分辨这两个目标,则至少需要 T=1/|Δfd|max≈0.6 s 的目标回波信号 。 实际上,如果目标未沿切向飞行时所需的时间还要长 。
实际中,由于作战飞机的高机动性 (加,减速等 ),以及恒速飞行目标不同时刻与雷达视线夹角的变化,致使每个目标回波的多普勒频率呈现时变特性,其多普勒频谱发生扩展,从而降低了多普勒域的分辨力 。 假设目标速度不变,则目标回波多普勒频率的变化率为
2d s i n2s i ndds i n2dds i n2dd RvvRvttvtvtf
(5.6.5)
第五章 时 频 分 析由于 v/R很小,上式中忽略了更高次的 v/R项 。 (5.6.5)式表明,
多普勒频率变化最快的方向也在 φ=π/2,即目标做切向飞行时 。
仍以上述雷达为例,当 φ=π/2 时,
s/Hz17.42dd
2
m a x
d
R
v
t
f
(5.6.6)
这样在相关处理所需的 0.6 s之内,目标自身的多普勒频率变化为 |dfd/dt|maxT=2.5Hz,这已超过两目标间的多普勒频差 。 因此,
传统的傅里叶谱分析不可能分辨这两个目标 。
第五章 时 频 分 析进一步分析目标多普勒频率变化的情况,可得
22
32
2
d
2
s inc o s4ddc o ss in22dd RvtRvt f
(5.6.7)
可见,当 φ=π/2 时,d2fd/dt2=0,即目标切向飞行时的多普勒频率变化是线性的 。 对于其它 φ值,d2fd/dt2 一般也非常小 。 因此,
可以认为在相关处理时间内,用线性调频模型来描述多普勒频率是足够准确的 。
这样,我们可以借用时域频分布 (Wigner-Ville分布 )对线性调频信号良好的分辨性能,在时频域实现编队目标的分辨 。
第五章 时 频 分 析
5.6.2 编队目标的 Wigner-Ville
1,Wigner-Ville
设 x(t)为相参雷达编队目标回波信号,其 Wigner-Ville分布为
d)je x p (22),(WD *
txtxt
x
由式 (5.6.8)可见,信号 x(t)的 Wigner-Ville分布是 x(t)的两维表示,
它同时具有信号的时间和频率信息 。 因此它可以描述信号 x(t)中各频率分量随时间的演变情况 。 与传统傅里叶变化相比,
Wigner-Ville分布时频分辨率高,但其最大的缺陷是在多分量信号之间存在严重的交叉项,这是由 Wigner-Ville分布双线性引起,
它们不代表任何真实信号,并与真实信号的自身分量混合在一起,对正确检测真实信号带来困难 。
第五章 时 频 分 析
2,实测编队目标回波的 Wigner-Ville分布本节中所用数据是在某警戒雷达上录取的两架和四架战斗机编队目标近似切向飞过雷达时的回波数据 。 雷达工作频率为 1GHz,脉冲重复频率为 400Hz。 采用固定照射方式,对固定距离波门内 (7.5 km） 距离单元连续录取 1024 个脉冲重复周期 。
第五章 时 频 分 析利用 Wigner-Ville分布分析实测编队目标回波数据,结果示于图 5.6.2。 图 5.6.2(a)是两架编队情况 Wigner-Ville
分布的灰度图,图 5.6.2(b)是四架编队情况 。 由图 5.6.2 可看出,编队目标回波的多普勒频率在时频域近似呈直线状 (亮线 ),且与时间轴有一夹角,表明目标回波是近似线性调频信号,与理论分析相符 。 同时我们看出,对于不同情况,目标多普勒频率线性变化的斜率是不同的 。 此时,传统的傅里叶谱分析已不能分辨两架目标,而利用时频分析则可实现目标分辨 。 图 5.6.2 中直线间出现明暗相间的线段是交叉项,它们呈振荡型的,不利于正确识别编队目标架次 。
第五章 时 频 分 析图 5.6.2 WVD
(a) 两架编队目标回波 WVD图； (b) 四架编队目标回波 WVD图
-1
-0,5
0
0,5
1
-1
-0,5
0
0,5
1
( a ) ( b )
第五章 时 频 分 析
5.6.3 基于 WVD
图 5.6.3 为本文提出的目标架次检测方案框图 。
为了用图像描述技术处理编队目标回波的 WVD图,以便从中检测目标架次,首先利用阈值化方法将 WVD图转化为二值图像,即选择适当的门限,把 WVD图中高于门限的像素置为 1，
而低于门限的置为 0。
图 5.6.3 基于 WVD图的目标架次检测框图阈值化 细化 连通分量标记 架次判决
W V D 图第五章 时 频 分 析
5.6.4 实验结果及讨论为了验证所提出的检测方案的有效性,我们用实测飞行编队目标回波数据进行处理 。 图 5.6.4(a)为对应于图 5.6.2(b)
WVD 图经二值化及细化处理后的结果,图 5.6.4(b)为其连通分量检测的结果 。 为了表示清楚,图中只画出较大的连通分量部分的长度 。 由此可见,该方法可获得可靠的架次检测 。
此外,利用雷当 (Radon)变换和分数阶傅氏变换也可实现目标架次的检测,但其计算量是非常庞大的 。 由实验结果知,
该方法的运行时间只需要 Radon变换的 1/3。 此外,该方法同样适用于其它的时频分布方法生成的图像,如短时傅里叶变换等 。
第五章 时 频 分 析图 5.6.4
(a) 对应图 5.6.2(b)细化处理后的结果； (b) 基于连通分量的检测结果
50 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0
2 5 0
2 0 0
1 5 0
1 0 0
50
频率样点时间样点
3 0 0
2 5 0
2 0 0
1 5 0
1 0 0
50
0
0 2 4 6 8 10 12
连通分量序号连通分量长度
( a ) ( b )
