第二章 电阻电路的等效变换
重点
1,电阻和电源的串、并联
3,输入电阻的计算
2,电源的等效变换
2.2 电路的等效变换
2,5 理想电压源和理想电流源的串并联
2.6 实际电源的两种模型及其等效变换
2,4 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换
(Y—?变换 )
2.7 输入电阻
2.1 引言
2.3 电阻的串联和并联
2.1 引言线性电路,由时不变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成的电路。
线性电阻电路,构成电路的无源元件均为电阻的线性电路
2,2 电路的等效变换等效,两个内部结构完全不同的二端网络，如果它们端钮上的伏安关系相同，这两个网络是等效的。
条件,端口具有相同的伏安关系。
注意：当电路中的某一部分用其等效电路替代后，未被替代部分的电压电流均应保持不变，即“对外等效”。
等效 R
等效 = U / I
2,3 电阻的串联和并联无源
+U
_
I
R等效+U_
I
等效
+ _
R1 Rn
+ _uki + _u1 + _un
u
Rk
u+ _
Req
i
一,电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
kkeq RiuiuR
串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
uRR Ru
21
2
2
电压的分配公式：
k
k
k
kk
R
R
iR
iR
u
u
电压与电阻成正比
uRRuRRu
eq
k
k
k
k
例 两个电阻分压
uRR Ru
21
1
1
+
_
u
R1
R2
+
-
u1
-
+
u2
i
o
o
注意方向 !
o
+
_
u
R1
Rk
+
_uk
io
Rn
等效由 KCL:
即
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
+
u
_
i
Req
等效电导等于并联的各电导之和二,电阻并联 (Parallel Connection of Resistors )
nk iiiii21
uGuGuGuG nk21
uGuGGGG eqnk )(21
knkeq GGGGGuiG21
并联电阻的分流公式
eq
k
eq
kk
G
G
uG
uG
i
i
电流分配与电导成正比
iRR RiRR RiGG Gi
21
2
21
1
21
11
11
1
//
/
对于两电阻并联
R1 R2
i1 i2
io
o
iRR RiRR Ri
21
1
21
22 /1/1 /1
i
G
Gi
k
k
k
三,电阻的串并联串、并联的概念清楚,灵活应用。
R = 4∥ (2+3∥ 6) = 2?
R = (40∥ 40+30∥ 30∥ 30) = 30?
30?
40?
40?
30?
o
o
R
40?
30?
30?
o
o
R
例 2
例 1 4?
2? 3?
6?
o
o
R
解,① 用分流方法做
② 用分压方法做
RRIIII 2 312 81814121 1234
V 3412 124 UUU
RI 121?
V 3244 RIU
RI 234
例 1
求,I1,I4,U4+
_ 2R2R2R2R
R RI1 I2 I3 I4
12V
+
_U4
+
_U2
+
_U1
_
四,计算举例
2,4 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换 (?—Y 变换 )
无源°
°
°三端无源网络,
Y型 网络?型 网络
R12 R31
R23
i3?i2?
i1? 1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12?
u23?
u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
o o
oo
o
o
o
o
T 型? 型
R12 R31
R23
i3?i2?
i1? 1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12?
u23?
u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
i1?= i1Y
i2?= i2Y
i3?= i3Y
—Y 变换的等效条件,
u12?= u12Y
u23?= u23Y
u31?= u31Y
等效的条件：
Y接,用电流表示电压?接,用电压表示电流
R12 R31
R23
i3?i2?
i1? 1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12?
u23?
u31? R
1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
(1)
(2)
i12
i23
i31
31121 iii
31
31
12
12
R
u
R
u
12232 iii
12
12
23
23
R
u
R
u
23313 iii
23
23
31
31
R
u
R
u
YYY iRiRu 221112
YYY iRiRu 332223
0321 YYY iii
由式 (2)解得
133221
231
133221
3121
RRRRRR
Ru
RRRRRR
Rui YY
Y
133221
312
133221
1232
RRRRRR
Ru
RRRRRR
Rui
YYY
133221
123
133221
2313
RRRRRR
Ru
RRRRRR
Rui
YYY
(3)
根据等效条件，比较式 (3)与式 (1)
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
得到 Y电阻关系：
(1)
31
31
12
12
1 R
u
R
ui
12
12
23
23
2 R
u
R
ui
23
23
31
31
3 R
u
R
ui
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
由Y,
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
由 Y:
特例：若三个电阻相等 (对称 )，则有
R = 3RY
( 外大内小 )
1 3 R31
R23
R12
R3
R2
R1
例 桥 T 电路
1k?
1k? 1k?
1k? RE
1/3k? 1/3k?
1k? RE
1/3k?
1k?
RE
3k? 3k?
3k?
2.5 理想电压源和理想电流源的串并联一,理想电压源的串、并联串联 uS=? uSk
(注意参考方向 )
电压相同的电压源才能并联。
uSn
+
_
+
_
uS1
o
o
+
_uS
o
o
+
_5V
I
o
o
5V
+
_
+
_5V
I
o
o
并联二,理想电流源的串、并联可等效成一个理想电流源 i S（ 注意参考方向）,
电流相同的理想电流源才能串联，并且每个电流源的端电压不能确定。
串联,
并联：
iS1 iSk iSn
o
o
iS
o
o
n
sks ii
1
例 3
例 2
例 1
is = is2 - is1
us is us
us is
is
is
us1
is2
is1
us2
2.6 实际电源的两种模型及其等效变换一个实际电压源向外电路提供电流时,它的端电压 u总是小于 uS,电流越大端电压 u越小 。
一,实际电压源
u=uS – Ri i
U
I
i
+
_uS
Ri
+
u
_
RU
I R
iIU
S
u
i0
uS=US时，其 外特性曲线如下：
Ri,电源内阻,一般很小。
二,实际电流源
i = iS – Gi u
i
Gi
+
u_
iS
Gi,电源内电导,一般很小。
U
IGiU
IS
u
i0
U
I
iS=IS时，其 外特性曲线如下三,电源的等效变换实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换。所谓的 等效 是指 端口的电压、电流在转换过程中保持不变。
u = uS – Ri i i = iS – Gi u
i = uS/Ri – u/Ri
等效的条件 iS= uS /Ri,Gi = 1/Ri
i
Gi
+
u_
iS
i
+
_uS
Ri
+
u
_
由电压源变换为电流源：
转换转换
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
i
Gi
+
u_
iS
由电流源变换为电压源：
i
i
i
s
s RGR
ui 1,
i
i
i
ss
GRG
iu 1,
注意
开路的电压源中无电流流过 Ri；
开路的电流源可以有电流流过并联电导 Gi 。
iS
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
方向：电流源电流方向与电压源压升方向相同 。
(1) 变换关系 数值关系 ;
电压源短路时，电阻 Ri中有电流；
i电流源短路时,并联电导 Gi中无电流。
iS
(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。
(2) 所谓的 等效 是对 外部电路 等效，对 内部电路 是不等效的。
应用,利用电源转换可以简化电路计算。
例 1
I=0.5A
6A
+
_U
5?
5?
10V
10V +
_U 5∥ 5?
2A 6A
U=20V
例 2
5A 3?
4?
7?
2A
I +
_15v_
+
8v
7?
7?
I
R
RL2R2RR
R
IS +_UL
RL
IS/4
R
I
+
_UL
L
LS
L 4 RR
RRIU
例 3
R R RL
2R 2RR
+ UL-
IS
R
RL2R2R
R R
ISR +
_UL
+
-
RL2RR
R
IS/2 +
_UL
例 4 简化电路：
受控源和独立源一样可以进行电源转换。
1k?
1k?
10V
0.5I
+
_U
I o
o
10V
2k?
+
_U
+500I- I
o
o
1.5k?
10V +
_U
I o
o
U =1000 (I-0.5I) + 1000I + 10
U = 1500I + 10
2.7 输入电阻一端口 (二端网络）：向外引出一对端子的电路或网络；从一个端子流入的电流等于从另一个端子流出的电流。
如果一个一端口内部仅含电阻,则应用电阻的串、并联和星角变换等方法，可以求得它的等效电阻。
如果一端口内部除电阻以外还含有受控源，但不含任何独立电源，则其端口电压与电流成正比，其比值为此一端口的输入电阻。
求输入电阻的一般方法,在端口加电压源，求端口电流；
在端口加电流源，求端口电压。
i
uR
in?
例 5 求 a,b 两端的入端电阻 Rab (1)
解：
当<1,Rab>0，正电阻正电阻负电阻
u
i
当>1,Rab<0，负电阻
I
a
b
R
o
o
Rab
I
+
U
_
R
I
RII
I
U
R ab
)1(
)(
本章小结
1、等效 两个内部结构完全不同的二端网络，如果它们端钮上的伏安关系相同，这两个网络是等效的。即端口的伏安特性相同。
2、电阻串联,总电阻等于各分电阻之和。
uRRuRRu
eq
k
k
k
k
3、电阻并联,总电导等于各分电导之和。
iGGi
k
k
k
各支路的电流及功率互不影响，实际应用中常采用并联方式工作。
4,?—Y 变换等效条件：两个三端网络的端口的伏安特性相同。
若 Y连接中 3个电阻相等，则等效?连接中的 3个电阻也相等，且：
5、电压源的串联
R = 3RY 1
3
形电阻之和形相邻电阻之积
YR 形电阻之和形相邻电阻之积
YR
uS=? uSk ( 注意参考方向 )
6、电流源的并联只有电压相等的电压源才可以并联使用，同样也只有电流相等的电流源可以串联使用。还要注意它们的方向。
7、电压源的并联及电流源的串联
n
sks ii
1
(注意参考方向 )
8、特殊情况电压源和电流源（电阻）并联，等效电路为
，电压源（电阻）和电流源串联，等效电路为 。
电压源电流源
9、实际电源的等效变换数值关系：
转换
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
i
i
i
s
s RGR
ui 1,
方向,电流源电流方向为电压源 电压升 的方向。
所谓的 等效 是对 外部电路 等效，对 内部电路 是不等效的。
理想电压源与理想电流源不能相互转换。
9、输入电阻输入电阻的求法：
（ 1）只含有纯电阻的电路，应用电阻的串联、
并联、混联及?—Y 等效 变换即可求出。
（ 2）如果一端口内部除电阻以外还含有受控源，
但不含任何独立电源，则其端口电压与电流成正比，采用外加电源法来求。
I
UR
in?
无源
+U
_
I
重点
1,电阻和电源的串、并联
3,输入电阻的计算
2,电源的等效变换
2.2 电路的等效变换
2,5 理想电压源和理想电流源的串并联
2.6 实际电源的两种模型及其等效变换
2,4 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换
(Y—?变换 )
2.7 输入电阻
2.1 引言
2.3 电阻的串联和并联
2.1 引言线性电路,由时不变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成的电路。
线性电阻电路,构成电路的无源元件均为电阻的线性电路
2,2 电路的等效变换等效,两个内部结构完全不同的二端网络，如果它们端钮上的伏安关系相同，这两个网络是等效的。
条件,端口具有相同的伏安关系。
注意：当电路中的某一部分用其等效电路替代后，未被替代部分的电压电流均应保持不变，即“对外等效”。
等效 R
等效 = U / I
2,3 电阻的串联和并联无源
+U
_
I
R等效+U_
I
等效
+ _
R1 Rn
+ _uki + _u1 + _un
u
Rk
u+ _
Req
i
一,电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
kkeq RiuiuR
串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
uRR Ru
21
2
2
电压的分配公式：
k
k
k
kk
R
R
iR
iR
u
u
电压与电阻成正比
uRRuRRu
eq
k
k
k
k
例 两个电阻分压
uRR Ru
21
1
1
+
_
u
R1
R2
+
-
u1
-
+
u2
i
o
o
注意方向 !
o
+
_
u
R1
Rk
+
_uk
io
Rn
等效由 KCL:
即
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
+
u
_
i
Req
等效电导等于并联的各电导之和二,电阻并联 (Parallel Connection of Resistors )
nk iiiii21
uGuGuGuG nk21
uGuGGGG eqnk )(21
knkeq GGGGGuiG21
并联电阻的分流公式
eq
k
eq
kk
G
G
uG
uG
i
i
电流分配与电导成正比
iRR RiRR RiGG Gi
21
2
21
1
21
11
11
1
//
/
对于两电阻并联
R1 R2
i1 i2
io
o
iRR RiRR Ri
21
1
21
22 /1/1 /1
i
G
Gi
k
k
k
三,电阻的串并联串、并联的概念清楚,灵活应用。
R = 4∥ (2+3∥ 6) = 2?
R = (40∥ 40+30∥ 30∥ 30) = 30?
30?
40?
40?
30?
o
o
R
40?
30?
30?
o
o
R
例 2
例 1 4?
2? 3?
6?
o
o
R
解,① 用分流方法做
② 用分压方法做
RRIIII 2 312 81814121 1234
V 3412 124 UUU
RI 121?
V 3244 RIU
RI 234
例 1
求,I1,I4,U4+
_ 2R2R2R2R
R RI1 I2 I3 I4
12V
+
_U4
+
_U2
+
_U1
_
四,计算举例
2,4 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换 (?—Y 变换 )
无源°
°
°三端无源网络,
Y型 网络?型 网络
R12 R31
R23
i3?i2?
i1? 1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12?
u23?
u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
o o
oo
o
o
o
o
T 型? 型
R12 R31
R23
i3?i2?
i1? 1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12?
u23?
u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
i1?= i1Y
i2?= i2Y
i3?= i3Y
—Y 变换的等效条件,
u12?= u12Y
u23?= u23Y
u31?= u31Y
等效的条件：
Y接,用电流表示电压?接,用电压表示电流
R12 R31
R23
i3?i2?
i1? 1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12?
u23?
u31? R
1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
(1)
(2)
i12
i23
i31
31121 iii
31
31
12
12
R
u
R
u
12232 iii
12
12
23
23
R
u
R
u
23313 iii
23
23
31
31
R
u
R
u
YYY iRiRu 221112
YYY iRiRu 332223
0321 YYY iii
由式 (2)解得
133221
231
133221
3121
RRRRRR
Ru
RRRRRR
Rui YY
Y
133221
312
133221
1232
RRRRRR
Ru
RRRRRR
Rui
YYY
133221
123
133221
2313
RRRRRR
Ru
RRRRRR
Rui
YYY
(3)
根据等效条件，比较式 (3)与式 (1)
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
得到 Y电阻关系：
(1)
31
31
12
12
1 R
u
R
ui
12
12
23
23
2 R
u
R
ui
23
23
31
31
3 R
u
R
ui
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
由Y,
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
由 Y:
特例：若三个电阻相等 (对称 )，则有
R = 3RY
( 外大内小 )
1 3 R31
R23
R12
R3
R2
R1
例 桥 T 电路
1k?
1k? 1k?
1k? RE
1/3k? 1/3k?
1k? RE
1/3k?
1k?
RE
3k? 3k?
3k?
2.5 理想电压源和理想电流源的串并联一,理想电压源的串、并联串联 uS=? uSk
(注意参考方向 )
电压相同的电压源才能并联。
uSn
+
_
+
_
uS1
o
o
+
_uS
o
o
+
_5V
I
o
o
5V
+
_
+
_5V
I
o
o
并联二,理想电流源的串、并联可等效成一个理想电流源 i S（ 注意参考方向）,
电流相同的理想电流源才能串联，并且每个电流源的端电压不能确定。
串联,
并联：
iS1 iSk iSn
o
o
iS
o
o
n
sks ii
1
例 3
例 2
例 1
is = is2 - is1
us is us
us is
is
is
us1
is2
is1
us2
2.6 实际电源的两种模型及其等效变换一个实际电压源向外电路提供电流时,它的端电压 u总是小于 uS,电流越大端电压 u越小 。
一,实际电压源
u=uS – Ri i
U
I
i
+
_uS
Ri
+
u
_
RU
I R
iIU
S
u
i0
uS=US时，其 外特性曲线如下：
Ri,电源内阻,一般很小。
二,实际电流源
i = iS – Gi u
i
Gi
+
u_
iS
Gi,电源内电导,一般很小。
U
IGiU
IS
u
i0
U
I
iS=IS时，其 外特性曲线如下三,电源的等效变换实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换。所谓的 等效 是指 端口的电压、电流在转换过程中保持不变。
u = uS – Ri i i = iS – Gi u
i = uS/Ri – u/Ri
等效的条件 iS= uS /Ri,Gi = 1/Ri
i
Gi
+
u_
iS
i
+
_uS
Ri
+
u
_
由电压源变换为电流源：
转换转换
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
i
Gi
+
u_
iS
由电流源变换为电压源：
i
i
i
s
s RGR
ui 1,
i
i
i
ss
GRG
iu 1,
注意
开路的电压源中无电流流过 Ri；
开路的电流源可以有电流流过并联电导 Gi 。
iS
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
方向：电流源电流方向与电压源压升方向相同 。
(1) 变换关系 数值关系 ;
电压源短路时，电阻 Ri中有电流；
i电流源短路时,并联电导 Gi中无电流。
iS
(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。
(2) 所谓的 等效 是对 外部电路 等效，对 内部电路 是不等效的。
应用,利用电源转换可以简化电路计算。
例 1
I=0.5A
6A
+
_U
5?
5?
10V
10V +
_U 5∥ 5?
2A 6A
U=20V
例 2
5A 3?
4?
7?
2A
I +
_15v_
+
8v
7?
7?
I
R
RL2R2RR
R
IS +_UL
RL
IS/4
R
I
+
_UL
L
LS
L 4 RR
RRIU
例 3
R R RL
2R 2RR
+ UL-
IS
R
RL2R2R
R R
ISR +
_UL
+
-
RL2RR
R
IS/2 +
_UL
例 4 简化电路：
受控源和独立源一样可以进行电源转换。
1k?
1k?
10V
0.5I
+
_U
I o
o
10V
2k?
+
_U
+500I- I
o
o
1.5k?
10V +
_U
I o
o
U =1000 (I-0.5I) + 1000I + 10
U = 1500I + 10
2.7 输入电阻一端口 (二端网络）：向外引出一对端子的电路或网络；从一个端子流入的电流等于从另一个端子流出的电流。
如果一个一端口内部仅含电阻,则应用电阻的串、并联和星角变换等方法，可以求得它的等效电阻。
如果一端口内部除电阻以外还含有受控源，但不含任何独立电源，则其端口电压与电流成正比，其比值为此一端口的输入电阻。
求输入电阻的一般方法,在端口加电压源，求端口电流；
在端口加电流源，求端口电压。
i
uR
in?
例 5 求 a,b 两端的入端电阻 Rab (1)
解：
当<1,Rab>0，正电阻正电阻负电阻
u
i
当>1,Rab<0，负电阻
I
a
b
R
o
o
Rab
I
+
U
_
R
I
RII
I
U
R ab
)1(
)(
本章小结
1、等效 两个内部结构完全不同的二端网络，如果它们端钮上的伏安关系相同，这两个网络是等效的。即端口的伏安特性相同。
2、电阻串联,总电阻等于各分电阻之和。
uRRuRRu
eq
k
k
k
k
3、电阻并联,总电导等于各分电导之和。
iGGi
k
k
k
各支路的电流及功率互不影响，实际应用中常采用并联方式工作。
4,?—Y 变换等效条件：两个三端网络的端口的伏安特性相同。
若 Y连接中 3个电阻相等，则等效?连接中的 3个电阻也相等，且：
5、电压源的串联
R = 3RY 1
3
形电阻之和形相邻电阻之积
YR 形电阻之和形相邻电阻之积
YR
uS=? uSk ( 注意参考方向 )
6、电流源的并联只有电压相等的电压源才可以并联使用，同样也只有电流相等的电流源可以串联使用。还要注意它们的方向。
7、电压源的并联及电流源的串联
n
sks ii
1
(注意参考方向 )
8、特殊情况电压源和电流源（电阻）并联，等效电路为
，电压源（电阻）和电流源串联，等效电路为 。
电压源电流源
9、实际电源的等效变换数值关系：
转换
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
i
i
i
s
s RGR
ui 1,
方向,电流源电流方向为电压源 电压升 的方向。
所谓的 等效 是对 外部电路 等效，对 内部电路 是不等效的。
理想电压源与理想电流源不能相互转换。
9、输入电阻输入电阻的求法：
（ 1）只含有纯电阻的电路，应用电阻的串联、
并联、混联及?—Y 等效 变换即可求出。
（ 2）如果一端口内部除电阻以外还含有受控源，
但不含任何独立电源，则其端口电压与电流成正比，采用外加电源法来求。
I
UR
in?
无源
+U
_
I
