第 3章 电阻电路的一般分析方法
重点：
熟练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法回路电流法结点电压法
3.1 电路的图求解电路的一般方法：不需要改变电路的结构 。
首先,选择一组合适的电路变量 （ 电流和 /或电压 ）,根据 KCL和 KVL及元件的电压电流关系
（ VCR） 建立该组变量的独立方程组,即电路方程,
然后从方程中解出电路变量 。 对于线性电阻电路,
电路方程是一组线性代数方程 。
学习图论的初步知识,以便研究电路的连接性质并讨论应用图的方法选择电路方程的独立变量 。
一,图的基本概念电路的,图,,是指把电路中每一条支路画成抽象的线段形成的一个结点和支路的集合 。
每条支路的两端都连到相应的结点上 。
支路用线段描述,结点用点描述 。
注意：在图的定义中,结点和支路各自为一个整体,但任意一条支路必须终止在结点上 。
移去一条支路并不等于同时把它连接的结点也移去,所以允许有孤立结点存在 。 若移去一个结点,则应当把与该结点连接的全部支路都同时移去 。
例,
有向图：赋予支路方向的图 。 电流,电压取关联参考方向 。
无向图：未赋予支路方向的图 。
3.2 KCL和 KVL的独立方程数一,KCL的独立方程数列 KCL方程：
1 2
3
4 5
6
1
2
3
4
01 641 iii：结点
02 321 iii：结点
03 652 iii：结点
04 543 iii：结点
0=0?
对所有结点都列写了 KCL方程,
而每一条支路与两个结点相联,
并且每个支路电流必然从其中一个结点流出,流入另一结点 。 因此,在所有 KCL方程中,每个支路电流必然出现两次,一次为正,
一次为负 。 上述 4个方程中任意 3
个为独立的 。
1 2
3
4 5
6
1
2
3
4
结论,对于具有 n个结点的电路,任意选取 (n-1)个结点,可以得出 (n-1)个独立的 KCL方程 。
相应的 (n-1)个结点称为独立结点 。
二,KVL独立方程数路径：从一个图 G的某一结点出发,沿着一些支路移动,从而到达另一结点 （ 或回到原出发点 ）,这样的一系列支路构成图 G的一条路径 。
连通图：当 G的任意两个结点之间至少存在一条支路时,G为连通图 。
回路：如果一条路径的起点和终点重合,且经过的其它结点都相异,这条闭合的路径为 G的一个回路 。
例：
有 13个不同的回路,但独立回路数要少于 13个 。 对每个回路列 KVL方程,含有非独立方程 。
回路 1（ 1,5,8）
回路 2（ 2,6,5）
回路 3（ 1,2,6,8）
0851 uuu
0562 uuu
08621 uuuu
利用,树,的概念寻找一个电路的独立回路组 。
1 2
34
58 6
7
树：一个连通图 G的树 T包含 G的全部结点和部分支路,而树 T本身是连通的且又不包含回路 。
例,1 2
34
58 6
7
1
3
58 6
58 6
7
2
4
5
7
3
58 6
25
8 6
树支：树中包含的支路为树支 。
连支：其它支路为对应于该树的连支 。
树支与连支共同构成图 G的全部的支路 。
树支数,对于一个具有 n个结点的连通图,它的任何一个树的树支数必为 （ n-1） 个 。
连支数,对于一个具有 n个结点 b条支路的连通图,它的任何一个树的连支数必为
(b-n+1)个 。
由于连通图 G的树支连接所有结点又不形成回路,因此,对于图 G的任意一个树,加入一个连支后,形成一个回路,并且此回路除所加的连支外均由树支组成 。
单连支回路,由树支和 一条连支 所形成的回路 。
单连支回路也称为基本回路 。
每一个基本回路仅含一个连支,且这一连支并不出现在其他基本回路中 。
独立回路数：对于一个结点数为 n,支路数为 b的连通图,其独立回路数为 （ b-n+1） 。
基本回路组,由全部单连支形成的基本回路构成基本回路组 。
基本回路组是独立回路组 。 根据基本回路列出的
KVL方程组是独立方程 。
平面图,如果把一个图画在平面上,能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉,这样的图为平面图 。 否则为非平面图 。
平面图的全部网孔是一组独立回路,故平面图的网孔数为其独立回路数 。
2b法,对一个具有 b条支路和 n个结点的电路,当以 支路电压和支路电流 为电路变量列写方程时,总计有 2b个未知量 。 根据 KCL可以列出 （ n-1） 个独立方程,根据 KVL可以列出
（ b-n+1） 个独立方程,根据元件的 VCR又可以列出 b个方程 。 总计方程数 2b,与未知数相等 。
例
b=3,n=2,l=3
变量,I1,I2,I3
a,-I1-I2+I3= 0
b,I1+I2-I3= 0
KCL
一个独立方程
KVL I1R1-I2R2=E1-E2
I2R2+I3R3= E2
I1R1+I3R3= E1
二个独立方程规律,KCL,n - 1
R1
E1
I1
R2
E2
I2 I3
R3
b
a
3.3 支路电流法 (branch current method )
支路电流法,以各支路电流为未知量列写电路方程。
KVL,b - (n - 1)
由上式可得 KVL方程的另一形式,即任一回路中,
电阻电压 的代数和等于 电源电压 的代数和,即：
skkk uiR
式中 Rkik为回路中第 k个支路电阻上的电压,和式遍及回路中的所有支路,且当 ik参考方向与回路方向一致时,前面取,+”号；不一致时,取,–”号 。
右边 usk为回路中第 k支路的电源电压 （ 也包括电流源引起的电压 ） 。 在取代数和时,当 usk与回路方向一致时前面取,–”号；当 usk与回路方向不一致时取,+”号；
列出支路电流法的电路方程的步骤：
注意：电阻电压和电源电压表达式中符号的选取。
（ 1） 选定各支路电流的参考方向；
（ 2） 根据 KCL对 （ n-1） 个独立结点列出方程；
（ 3） 选取 （ b-n+1） 个独立回路,指定回路的绕行方向,列出用支路电流表示的 KVL方程 。
3,5 回路电流法 (loop current method)
基本思想,以 假想的 独立回路电流为独立变量 。 各支路电流可用回路电流线性组合表示 。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2 支路电流可由回路电流求出回路电流分别为 il 1,il 2
列写 KVL方程电阻压降 电源电压升
S UU R
绕行方向 和 回路电流方向 取为 一致
0U
i1= i l 1 i2= i l 2- i l 1i3= i l 2
回路电流法,以回路电流为未知变量列写电路方程分析电路的方法。
回路 1,R1 il1-R2(il2 - il1)-uS1+uS2=0
回路 2,R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
得 (R
1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
支路电流
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
i1= i l 1 i2= i l 2- i l 1 i3= i l 2
R11=R1+R2 代表回路 1的总电阻（ 自电阻 ）令
R22=R2+R3 代表回路 2总电阻（ 自电阻 ）
R12= -R2,R21= -R2 代表回路 1和回路 2的公共电阻（ 互电阻 ）
uSl1= uS1-uS2 回路 1中所有电压源电压升的代数和
uSl2= uS2 回路 2中所有电压源电压升的代和
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2 R11=R1+R2 自电阻
R22=R2+R3 自电阻
R12=-R2,R21=-R2 互电阻
R11 il 1+R12 il 2= uSl1
R21 il1+R22 il2= uSl2
推广到 l 个回路其中
Rjk,互电阻
+,流过互阻两个回路电流方向相同
-,流过互阻两个回路电流方向相反
0,无关
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill=uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill=uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill=uSll
Rkk,自电阻 (为正 ),k =1,2,?,l
网孔电流法,对平面电路,若以网孔为独立回路,此时回路电流也称为网孔电流,对应的分析方法称为网孔电流法 。
例 1 用回路法求各支路电流。
解 (1) 设独立回路电流 (顺时针 )
(2) 列 KVL 方程
(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2
-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2
-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4
对称阵，且互电阻为负
(3) 求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic
(4) 求各支路电流,I1=Ia
Ia IcIb+
_US2
+
_US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 +
_US4
R4
I4
(5) 校核 选一新回路?U ==?E?
,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic
① 将 VCVS看作独立源建立方程；
② 找出控制量和回路电流关系。
4Ia-3Ib=2
-3Ia+6Ib-Ic=-3U2
-Ib+3Ic=3U2
①
4Ia -3Ib = 2
-12Ia+15Ib-Ic = 0
9Ia -10Ib+3Ic= 0
③
U2=3(Ib-Ia) ②
Ia=1.19A
Ib=0.92A
Ic=-0.51A
例 2 用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。
+
_2V
3? U2
+ +3U2
–
1? 2?
1?
2?
I1 I2 I
3
I4 I5
Ia Ib Ic
将②代入①，得各支路电流为：
I1= Ia=1.19A
解得
* 由于含受控源,方程的系数矩阵一般不对称 。
,I2= Ia- Ib=0.27A,I3= Ib=0.92A
I4= Ib- Ic=1.43A,I5= Ic=-0.52A
例 3 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。
方法 1
(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui
-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2
-R4I2+(R3+R4)I3=-Ui
IS=I1-I3
I1 I2
I3_ +Ui
_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
+
* 引入电流源的端电压变量
** 增加回路电流和电流源电流的关系方程方法 2,选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即 IS 。
I1=IS
-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2
R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
I1 I2_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
_ +Ui
+
I3
1、选择独立回路（平面电路可选择网孔），标注回路电流的方向。
列写回路电流方程的步骤：
2、按 通式 写出回路电流方程。
注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为该回路所有电源电压 升 的代数和。
3、电路中含有 受控源 时应按独立源来处理；含有 无伴电流源 时，可使该电流源仅仅属于一个回路。
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill= uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill= uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill= uSll
(2) 列 KCL方程：
iR出 =? iS入
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
un1
un2
-i3-i4+i5=-iS3
0
1 2
(1) 选定参考节点,标明其余 n-1个独立节点的电压节点电压法,以节点电压为未知变量列写电路方程分析电路的方法。
3,6 结点电压法 (node voltage method)
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
S3S2S1
4
n2n1
3
n2n1
2
n2
1
n1 iii
R
uu
R
uu
R
u
R
u
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
-i3-i4+i5=-iS3
1
n1
1 R
ui?
3
n2n1
3 R
uui
2
n1
2 R
ui?
4
n2n1
4 R
uui
5
n2
5 R
ui?
整理，得
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5 上式简记为
G11un1+G12un2 = isn1
G21un1+G22un2 = isn2 标准形式的节点电压方程
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR
G11=G1+G2+G3+G4 节点 1的自电导,等于接在节点 1上所有支路的电导之和
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
G22=G3+G4+G5 节点 2的自电导,等于接在节点 2上所有支路的电导之和
G12= G21 =-(G3+G4) 节点 1与节点 2之间的互电导,等于接在节点 1与节点 2之间的所有支路的电导之和,并 冠以负号
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
iSn1=iS1-iS2+iS3 流入节点 1的电流源电流的代数和 。
iSn2=-iS3 流入节点 2的电流源电流的代数和
un1 un2
uS1 iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
+
-
若电路中含电压源与电阻串联的支路：
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu
S3S2
4
n2n1
3
n2n1
2
n1
1
S1n1 ii
R
uu
R
uu
R
u
R
uu
uS1
整理，并记 Gk=1/Rk，得
(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1 -iS2+iS3
-(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= -iS3
用节点法求各支路电流。例 1
20k? 10k? 40k?
20k?40k?
+120V -240V
UA UB
I4 I2
I1 I3
I5
I1=(120-UA)/20k= 4.91mA I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA
I3=(UB +240)/40k= 5.46mA I4= UB /40=0.546mA
各支路电流：
解：
20
1 2 0
10
1)
10
1
40
1
20
1(
BA UU
40
240)
40
1
20
1
10
1(
10
1
BA UU
UA=21.8V
UB=-21.82V
I5= UB /20=-1.09mA
(1) 把受控源当作独立源看,列方程
(2) 用节点电压表示控制量。
例 2 列写下图含 VCCS电路的节点电压方程。
u= un1
S12
1
1
21
1)11( iu
RuRR nn
12
31
1
1
111
snn igu)uRR(uR
解
1
2
iS1
R1 R3
R2 gu
+ u -
支路法、回路法和节点法的比较：
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。
(3) 回路法,节点法易于编程 。 目前用计算机分析网络
(电网,集成电路设计等 )采用节点法较多 。
支路法回路法节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-n+1
0
0n-1
方程总数
b-n+1
n-1
b-n+1
b
(1) 方程数的比较本章小结
1、独立的 KCL方程数 （ n–1）个
2、独立的 KVL方程数 （ b – n + 1）个
3、独立回路组树支数 （ n–1）个连支数 （ b–n+1）个单连支回路,一个连支和几个数支构成的回路独立回路组,由所有单连支回路组成的回路组。
4,2b法以各支路的电压和电流为求解变量。
KVL方程数 （ b – n + 1）个
KCL方程数 （ n –1）个
VCR方程数 （ b ）个
（ 2 b ）个
5、支路电流法以各支路的电流为求解变量。各支路电压用支路电流来表示。
KVL方程数 （ b – n + 1）个
KCL方程数 （ n –1）个? （ b ）个列出支路电流法的电路方程的步骤：
（ 1） 选定各支路电流的参考方向；
（ 2） 根据 KCL对 （ n-1） 个独立结点列出方程；
（ 3） 选取 （ b-n+1） 个独立回路,指定回路的绕行方向,列出用支路电流表示的 KVL方程 。
skkk uiR
（ 4） 若某个支路含有无伴电流源时,该支路电压无法用支路电流来表示,可设该支路电压为解变量,由于该支路电流为已知,变量的总数没有变化 。
6、回路电流法以假想的各独立回路的回路电流为求解变量。
KVL方程数 （ b – n + 1）个
(1) 选择独立回路（平面电路可选择网孔），标注回路电流的方向。
列写回路电流方程的步骤：
(2) 按 通式 写出回路电流方程。
平面电路的网孔就是独立回路。
注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为该回路所有电源电压 升 的代数和。
(3) 电路中含有 受控源 时应按独立源来处理。
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill= uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill= uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill= uSll
(4) 电路中含有 无伴电流源 时，需要特殊处理。
a.可使该电流源仅仅属于一个回路 ;
b.设该电流源的端电压为求解变量，用回路电流列出一个增补方程。
7、结点电压法以各独立结点的结点电压为求解变量。
KCL方程数 （ n –1）个
（ 1）指定 参考结点,其余结点对参考结点之间的电压就是结点电压。
列写结点电压方程的步骤：
G11un1+G12un2+…+ G1nunn= iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2nunn= iSn2
… … …
Gn1un1+Gn2un2+…+ Gnnunn= iSnn
（ 2）按 通式 写出结点电压方程。
自导为正，互导总为负，注入各结点的电流为正。
（ 3）电路中含有 受控源 时应按独立源来处理。
（ 4）电路中含有 无伴电压源 时可选择该电压源的一端作为参考结点。
8,比较支路法回路法节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-n+1
0
0n-1
方程总数
b-n+1
n-1
b-n+1
b
重点：
熟练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法回路电流法结点电压法
3.1 电路的图求解电路的一般方法：不需要改变电路的结构 。
首先,选择一组合适的电路变量 （ 电流和 /或电压 ）,根据 KCL和 KVL及元件的电压电流关系
（ VCR） 建立该组变量的独立方程组,即电路方程,
然后从方程中解出电路变量 。 对于线性电阻电路,
电路方程是一组线性代数方程 。
学习图论的初步知识,以便研究电路的连接性质并讨论应用图的方法选择电路方程的独立变量 。
一,图的基本概念电路的,图,,是指把电路中每一条支路画成抽象的线段形成的一个结点和支路的集合 。
每条支路的两端都连到相应的结点上 。
支路用线段描述,结点用点描述 。
注意：在图的定义中,结点和支路各自为一个整体,但任意一条支路必须终止在结点上 。
移去一条支路并不等于同时把它连接的结点也移去,所以允许有孤立结点存在 。 若移去一个结点,则应当把与该结点连接的全部支路都同时移去 。
例,
有向图：赋予支路方向的图 。 电流,电压取关联参考方向 。
无向图：未赋予支路方向的图 。
3.2 KCL和 KVL的独立方程数一,KCL的独立方程数列 KCL方程：
1 2
3
4 5
6
1
2
3
4
01 641 iii：结点
02 321 iii：结点
03 652 iii：结点
04 543 iii：结点
0=0?
对所有结点都列写了 KCL方程,
而每一条支路与两个结点相联,
并且每个支路电流必然从其中一个结点流出,流入另一结点 。 因此,在所有 KCL方程中,每个支路电流必然出现两次,一次为正,
一次为负 。 上述 4个方程中任意 3
个为独立的 。
1 2
3
4 5
6
1
2
3
4
结论,对于具有 n个结点的电路,任意选取 (n-1)个结点,可以得出 (n-1)个独立的 KCL方程 。
相应的 (n-1)个结点称为独立结点 。
二,KVL独立方程数路径：从一个图 G的某一结点出发,沿着一些支路移动,从而到达另一结点 （ 或回到原出发点 ）,这样的一系列支路构成图 G的一条路径 。
连通图：当 G的任意两个结点之间至少存在一条支路时,G为连通图 。
回路：如果一条路径的起点和终点重合,且经过的其它结点都相异,这条闭合的路径为 G的一个回路 。
例：
有 13个不同的回路,但独立回路数要少于 13个 。 对每个回路列 KVL方程,含有非独立方程 。
回路 1（ 1,5,8）
回路 2（ 2,6,5）
回路 3（ 1,2,6,8）
0851 uuu
0562 uuu
08621 uuuu
利用,树,的概念寻找一个电路的独立回路组 。
1 2
34
58 6
7
树：一个连通图 G的树 T包含 G的全部结点和部分支路,而树 T本身是连通的且又不包含回路 。
例,1 2
34
58 6
7
1
3
58 6
58 6
7
2
4
5
7
3
58 6
25
8 6
树支：树中包含的支路为树支 。
连支：其它支路为对应于该树的连支 。
树支与连支共同构成图 G的全部的支路 。
树支数,对于一个具有 n个结点的连通图,它的任何一个树的树支数必为 （ n-1） 个 。
连支数,对于一个具有 n个结点 b条支路的连通图,它的任何一个树的连支数必为
(b-n+1)个 。
由于连通图 G的树支连接所有结点又不形成回路,因此,对于图 G的任意一个树,加入一个连支后,形成一个回路,并且此回路除所加的连支外均由树支组成 。
单连支回路,由树支和 一条连支 所形成的回路 。
单连支回路也称为基本回路 。
每一个基本回路仅含一个连支,且这一连支并不出现在其他基本回路中 。
独立回路数：对于一个结点数为 n,支路数为 b的连通图,其独立回路数为 （ b-n+1） 。
基本回路组,由全部单连支形成的基本回路构成基本回路组 。
基本回路组是独立回路组 。 根据基本回路列出的
KVL方程组是独立方程 。
平面图,如果把一个图画在平面上,能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉,这样的图为平面图 。 否则为非平面图 。
平面图的全部网孔是一组独立回路,故平面图的网孔数为其独立回路数 。
2b法,对一个具有 b条支路和 n个结点的电路,当以 支路电压和支路电流 为电路变量列写方程时,总计有 2b个未知量 。 根据 KCL可以列出 （ n-1） 个独立方程,根据 KVL可以列出
（ b-n+1） 个独立方程,根据元件的 VCR又可以列出 b个方程 。 总计方程数 2b,与未知数相等 。
例
b=3,n=2,l=3
变量,I1,I2,I3
a,-I1-I2+I3= 0
b,I1+I2-I3= 0
KCL
一个独立方程
KVL I1R1-I2R2=E1-E2
I2R2+I3R3= E2
I1R1+I3R3= E1
二个独立方程规律,KCL,n - 1
R1
E1
I1
R2
E2
I2 I3
R3
b
a
3.3 支路电流法 (branch current method )
支路电流法,以各支路电流为未知量列写电路方程。
KVL,b - (n - 1)
由上式可得 KVL方程的另一形式,即任一回路中,
电阻电压 的代数和等于 电源电压 的代数和,即：
skkk uiR
式中 Rkik为回路中第 k个支路电阻上的电压,和式遍及回路中的所有支路,且当 ik参考方向与回路方向一致时,前面取,+”号；不一致时,取,–”号 。
右边 usk为回路中第 k支路的电源电压 （ 也包括电流源引起的电压 ） 。 在取代数和时,当 usk与回路方向一致时前面取,–”号；当 usk与回路方向不一致时取,+”号；
列出支路电流法的电路方程的步骤：
注意：电阻电压和电源电压表达式中符号的选取。
（ 1） 选定各支路电流的参考方向；
（ 2） 根据 KCL对 （ n-1） 个独立结点列出方程；
（ 3） 选取 （ b-n+1） 个独立回路,指定回路的绕行方向,列出用支路电流表示的 KVL方程 。
3,5 回路电流法 (loop current method)
基本思想,以 假想的 独立回路电流为独立变量 。 各支路电流可用回路电流线性组合表示 。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2 支路电流可由回路电流求出回路电流分别为 il 1,il 2
列写 KVL方程电阻压降 电源电压升
S UU R
绕行方向 和 回路电流方向 取为 一致
0U
i1= i l 1 i2= i l 2- i l 1i3= i l 2
回路电流法,以回路电流为未知变量列写电路方程分析电路的方法。
回路 1,R1 il1-R2(il2 - il1)-uS1+uS2=0
回路 2,R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
得 (R
1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
支路电流
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
i1= i l 1 i2= i l 2- i l 1 i3= i l 2
R11=R1+R2 代表回路 1的总电阻（ 自电阻 ）令
R22=R2+R3 代表回路 2总电阻（ 自电阻 ）
R12= -R2,R21= -R2 代表回路 1和回路 2的公共电阻（ 互电阻 ）
uSl1= uS1-uS2 回路 1中所有电压源电压升的代数和
uSl2= uS2 回路 2中所有电压源电压升的代和
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2 R11=R1+R2 自电阻
R22=R2+R3 自电阻
R12=-R2,R21=-R2 互电阻
R11 il 1+R12 il 2= uSl1
R21 il1+R22 il2= uSl2
推广到 l 个回路其中
Rjk,互电阻
+,流过互阻两个回路电流方向相同
-,流过互阻两个回路电流方向相反
0,无关
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill=uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill=uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill=uSll
Rkk,自电阻 (为正 ),k =1,2,?,l
网孔电流法,对平面电路,若以网孔为独立回路,此时回路电流也称为网孔电流,对应的分析方法称为网孔电流法 。
例 1 用回路法求各支路电流。
解 (1) 设独立回路电流 (顺时针 )
(2) 列 KVL 方程
(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2
-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2
-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4
对称阵，且互电阻为负
(3) 求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic
(4) 求各支路电流,I1=Ia
Ia IcIb+
_US2
+
_US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 +
_US4
R4
I4
(5) 校核 选一新回路?U ==?E?
,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic
① 将 VCVS看作独立源建立方程；
② 找出控制量和回路电流关系。
4Ia-3Ib=2
-3Ia+6Ib-Ic=-3U2
-Ib+3Ic=3U2
①
4Ia -3Ib = 2
-12Ia+15Ib-Ic = 0
9Ia -10Ib+3Ic= 0
③
U2=3(Ib-Ia) ②
Ia=1.19A
Ib=0.92A
Ic=-0.51A
例 2 用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。
+
_2V
3? U2
+ +3U2
–
1? 2?
1?
2?
I1 I2 I
3
I4 I5
Ia Ib Ic
将②代入①，得各支路电流为：
I1= Ia=1.19A
解得
* 由于含受控源,方程的系数矩阵一般不对称 。
,I2= Ia- Ib=0.27A,I3= Ib=0.92A
I4= Ib- Ic=1.43A,I5= Ic=-0.52A
例 3 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。
方法 1
(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui
-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2
-R4I2+(R3+R4)I3=-Ui
IS=I1-I3
I1 I2
I3_ +Ui
_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
+
* 引入电流源的端电压变量
** 增加回路电流和电流源电流的关系方程方法 2,选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即 IS 。
I1=IS
-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2
R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
I1 I2_
+
_US1
US2R1
R2
R5
R3
R4
IS
_ +Ui
+
I3
1、选择独立回路（平面电路可选择网孔），标注回路电流的方向。
列写回路电流方程的步骤：
2、按 通式 写出回路电流方程。
注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为该回路所有电源电压 升 的代数和。
3、电路中含有 受控源 时应按独立源来处理；含有 无伴电流源 时，可使该电流源仅仅属于一个回路。
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill= uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill= uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill= uSll
(2) 列 KCL方程：
iR出 =? iS入
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
un1
un2
-i3-i4+i5=-iS3
0
1 2
(1) 选定参考节点,标明其余 n-1个独立节点的电压节点电压法,以节点电压为未知变量列写电路方程分析电路的方法。
3,6 结点电压法 (node voltage method)
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
S3S2S1
4
n2n1
3
n2n1
2
n2
1
n1 iii
R
uu
R
uu
R
u
R
u
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
-i3-i4+i5=-iS3
1
n1
1 R
ui?
3
n2n1
3 R
uui
2
n1
2 R
ui?
4
n2n1
4 R
uui
5
n2
5 R
ui?
整理，得
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5 上式简记为
G11un1+G12un2 = isn1
G21un1+G22un2 = isn2 标准形式的节点电压方程
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR
G11=G1+G2+G3+G4 节点 1的自电导,等于接在节点 1上所有支路的电导之和
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
G22=G3+G4+G5 节点 2的自电导,等于接在节点 2上所有支路的电导之和
G12= G21 =-(G3+G4) 节点 1与节点 2之间的互电导,等于接在节点 1与节点 2之间的所有支路的电导之和,并 冠以负号
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR
un1 un2
0
1 2
例
iS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4 i5R
2 R5
R3
R4
iSn1=iS1-iS2+iS3 流入节点 1的电流源电流的代数和 。
iSn2=-iS3 流入节点 2的电流源电流的代数和
un1 un2
uS1 iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
+
-
若电路中含电压源与电阻串联的支路：
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu
S3S2
4
n2n1
3
n2n1
2
n1
1
S1n1 ii
R
uu
R
uu
R
u
R
uu
uS1
整理，并记 Gk=1/Rk，得
(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1 -iS2+iS3
-(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= -iS3
用节点法求各支路电流。例 1
20k? 10k? 40k?
20k?40k?
+120V -240V
UA UB
I4 I2
I1 I3
I5
I1=(120-UA)/20k= 4.91mA I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA
I3=(UB +240)/40k= 5.46mA I4= UB /40=0.546mA
各支路电流：
解：
20
1 2 0
10
1)
10
1
40
1
20
1(
BA UU
40
240)
40
1
20
1
10
1(
10
1
BA UU
UA=21.8V
UB=-21.82V
I5= UB /20=-1.09mA
(1) 把受控源当作独立源看,列方程
(2) 用节点电压表示控制量。
例 2 列写下图含 VCCS电路的节点电压方程。
u= un1
S12
1
1
21
1)11( iu
RuRR nn
12
31
1
1
111
snn igu)uRR(uR
解
1
2
iS1
R1 R3
R2 gu
+ u -
支路法、回路法和节点法的比较：
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。
(3) 回路法,节点法易于编程 。 目前用计算机分析网络
(电网,集成电路设计等 )采用节点法较多 。
支路法回路法节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-n+1
0
0n-1
方程总数
b-n+1
n-1
b-n+1
b
(1) 方程数的比较本章小结
1、独立的 KCL方程数 （ n–1）个
2、独立的 KVL方程数 （ b – n + 1）个
3、独立回路组树支数 （ n–1）个连支数 （ b–n+1）个单连支回路,一个连支和几个数支构成的回路独立回路组,由所有单连支回路组成的回路组。
4,2b法以各支路的电压和电流为求解变量。
KVL方程数 （ b – n + 1）个
KCL方程数 （ n –1）个
VCR方程数 （ b ）个
（ 2 b ）个
5、支路电流法以各支路的电流为求解变量。各支路电压用支路电流来表示。
KVL方程数 （ b – n + 1）个
KCL方程数 （ n –1）个? （ b ）个列出支路电流法的电路方程的步骤：
（ 1） 选定各支路电流的参考方向；
（ 2） 根据 KCL对 （ n-1） 个独立结点列出方程；
（ 3） 选取 （ b-n+1） 个独立回路,指定回路的绕行方向,列出用支路电流表示的 KVL方程 。
skkk uiR
（ 4） 若某个支路含有无伴电流源时,该支路电压无法用支路电流来表示,可设该支路电压为解变量,由于该支路电流为已知,变量的总数没有变化 。
6、回路电流法以假想的各独立回路的回路电流为求解变量。
KVL方程数 （ b – n + 1）个
(1) 选择独立回路（平面电路可选择网孔），标注回路电流的方向。
列写回路电流方程的步骤：
(2) 按 通式 写出回路电流方程。
平面电路的网孔就是独立回路。
注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为该回路所有电源电压 升 的代数和。
(3) 电路中含有 受控源 时应按独立源来处理。
R11il1+R12il2+ …+ R1l ill= uSl1
…
R21il1+R22il2+ …+ R2l ill= uSl2
Rl1il1+Rl2il2+ …+ Rll ill= uSll
(4) 电路中含有 无伴电流源 时，需要特殊处理。
a.可使该电流源仅仅属于一个回路 ;
b.设该电流源的端电压为求解变量，用回路电流列出一个增补方程。
7、结点电压法以各独立结点的结点电压为求解变量。
KCL方程数 （ n –1）个
（ 1）指定 参考结点,其余结点对参考结点之间的电压就是结点电压。
列写结点电压方程的步骤：
G11un1+G12un2+…+ G1nunn= iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2nunn= iSn2
… … …
Gn1un1+Gn2un2+…+ Gnnunn= iSnn
（ 2）按 通式 写出结点电压方程。
自导为正，互导总为负，注入各结点的电流为正。
（ 3）电路中含有 受控源 时应按独立源来处理。
（ 4）电路中含有 无伴电压源 时可选择该电压源的一端作为参考结点。
8,比较支路法回路法节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-n+1
0
0n-1
方程总数
b-n+1
n-1
b-n+1
b
