数学建模与数学实验回归分析实验目的实验内容
2．掌握用数学软件求解回归分析问题,
1．直观了解回归分析基本内容,
1,回归分析 的基本理论,
3,实验 作业,
2．用数学 软件求解回归分析问题,
一元线性回归 多元线性回归回归分析数学模型及定义
*
模型参数估计
*
检验
、
预测与控制可线性化的一元非线性回归
（
曲线回归
）
数学模型及定义
*
模型参数估计逐步回归分析
*
多元线性回归中的检验与预测一、数学模型例 1 测 16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
身高
(c m )
1 4 3 1 4 5 1 4 6 1 4 7 1 4 9 1 5 0 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5 7 1 5 8 1 5 9 1 6 0 1 6 2 1 6 4
腿长
(c m )
88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 1 0 0 1 0 2
以身高 x为横坐标，以腿长 y为纵坐标将这些数据点（ xi,yi）
在平面直角坐标系上标出,
140 145 150 155 160 165
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
散点图
xy 10
解答一般地，称由
xy 10
确定的模型为 一元线性回归模型,
记为
2
10
,0
DE
xy
固定的未知参数
0?
、
1?
称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量,
一元线性回归分析的 主要任务 是：
1,用试验值（样本值）对
0?
、
1?
和? 作点估计；
2,对回归系数
0?
、
1?
作假设检验；
3,在 x =
0x
处对 y 作预测，对 y 作区间估计,
xY 10,称为 y 对 x 的回归直线方程,
返回二、模型参数估计
1．回归系数的最小二乘估计有 n 组独立观测值 （ x
1
,y
1
），（ x
2
,y
2
），?，（ x
n
,y
n
）
设
01
2
12
,1,2,..,,
0,,..,,
ii
i i n
y x i n
ED
且 相 互 独 立记
n
i
ii
n
i
i
xyQQ
1
2
10
1
2
10
),(
最小二乘法 就是选择
0
和
1
的估计
0
，
1
使得
),(m i n)?,?(
10
,
10
10
QQ?
221
10
xx
yxxy
xy
解得
（经验）回归方程为,)( 110 xxyxy
或
n
i
i
n
i
ii
xx
yyxx
1
2
1
1
其中
n
i
i
n
i
i ynyxnx
11
1,1,
n
i
ii
n
i
i yxnxyxnx
11
22 1,1,
2,2? 的无偏估计记
n
i
n
i
iiiie
yyxyQQ
1 1
2
2
1010
)?()?,?(
称 Q
e
为 残差平方和 或 剩余平方和,
2
的无偏估计 为
)2(? 2 nQ ee?
称
2?
e?
为 剩余方差（残差的方差）,
2?
e?
分别与
0
、
1
独立,
e
称为 剩余标准差,
返回三、检验、预测与控制
1．回归方程的显著性检验对回归方程 xY
10
的显著性检验，归结为对假设
0:;0,1110 HH
进行检验,
假设 0,10H 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著,y 与 x 的关系不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义,
（ Ⅰ ） F检验法当
0H
成立时,
)2/(?
nQ
U
F
e
~ F （ 1,n - 2 ）
其中
n
i
i yyU
1
2?
（ 回归平方和）
故 F >
)2,1(1 nF?
，拒绝
0H
，否则就接受
0H
,
（ Ⅱ ） t 检验法
n
i
i
n
i
ixx xnxxxL
1
22
1
2)(其中当
0H
成立时，
e
xxLT
1?
~t （ n - 2 ）
故
)2(
21
ntT?
，拒绝
0H
，否则就接受
0H
,
（ Ⅲ ） r 检验法当 | r| > r 1 时，拒绝 H 0 ；否则就接受 H 0,
记
n
i
n
i
ii
n
i
ii
yyxx
yyxx
r
1 1
22
1
)()(
))((
其中
1 111 2 1,2r n F n
2．回归系数的置信区间
0
和
1
置信水平为 1- α 的置信区间分别为
xx
e
xx
e
L
x
n
nt
L
x
n
nt
2
2
1
0
2
2
1
0
1
)2(
,
1
)2(
和?
xxexxe
LntLnt /?)2(
,/?)2(
2
1
1
2
1
1
2? 的置信水平为 1 -? 的置信区间为
)2(
,
)2( 2
2
2
2
1
n
Q
n
Q ee
3．预测与控制
（ 1）预测用 y 0 的回归值 0100 xy 作为 y 0 的预测值,
0y 的置信水平为1 的 预测区间 为
)(?),(? 0000 xyxy
其中
xx
e L
xx
nntx
2
0
21
0
11)2(?)(
特别，当 n 很大且 x 0 在 x 附近取值时,
y 的置信水平为1 的 预测区间近似为
2
1
2
1
, uyuy ee
（ 2）控制要求, xy 10 的值以1 的概率落在指定区间yy,
只要控制 x 满足以下两个不等式
yxyyxy )(?,)(
要求 )(2 xyy,若 yxyyxy )(?,)( 分别有解 x?
和 x,即 yxyyxy )(?,)(,
则xx,就是所求的 x 的控制区间,
返回四、可线性化的一元非线性回归
（曲线回归）
例 2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，
容积不断增大,我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关系,对一钢包作试验，测得的数据列于下表：
使用次数 增大容积 使用次数 增大容积
2
3
4
5
6
7
8
9
6,42
8,20
9,58
9,50
9,70
10,00
9,93
9,99
10
11
12
13
14
15
16
10,49
10,59
10,60
10,80
10,60
10,90
10,76
解答
2 4 6 8 10 12 14 16
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
1 0,5
11
散点图此即 非线性回归 或 曲线回归 问题 （ 需要配曲线 ）
配曲线的一般方法是：
先对两个变量 x 和 y 作 n 次试验观察得 niyx
ii,...,2,1),,(?
画出散点图,
根据散点图确定须配曲线的类型,然后由 n 对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a 和 b,采用的方法是通过变量代换把非线性回归化成线性回归，即采用非线性回归线性化的方法,
通常选择的六类曲线如下：
（ 1 ） 双曲线 xbay1
（ 2 ） 幂函数曲线 y = a bx,其中 x > 0,a >0
（ 3 ） 指数曲线 y = a e bx 其中参数 a >0,
（ 4 ） 倒指数曲线 y = a /e bx 其中 a >0,
（ 5 ） 对数曲线 y = a + b l o g x,x >0
（ 6 ） S 型曲线 1 e
xy ab
返回解例 2,由散点图我们选配到 指数曲线 y = a /e bx
根据线性化方法，算得 4 5 8 7.2?,1 1 0 7.1 Ab
由此 e 1 1,6 7 8 9Aa
最后得 1,1 1 0 71 1,6 7 8 9 e xy
一、数学模型及定义一般称
2( ) 0,C O V (,)
n
YX
EI
为高斯 - 马尔可 夫线性模型 ( k 元线性回归模型 ),并简记为
),,( 2 nIXY
1
2
n
y
y
Y
y
，
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
1,,,
1,,,
1,,,
k
k
n n n k
x x x
x x x
X
x x x
，
0
1
k
，
1
2
n
kk xxy,..110 称为 回归平面方程,
返回线性模型 ),,( 2
nIXY
考虑的主要问题是,
（ 1 ） 用试验值（样本值）对 未知参数? 和 2? 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
kxxx,.,,,,21
之间的数量关系；
（ 2 ）在,,.,,,,
0022011 kk xxxxxx
处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计,
二、模型参数估计
1,对 i? 和 2? 作估计用最小二乘法求
k,.,,,0
的估计量：作离差平方和
n
i
ikkii xxyQ
1
2
110,.,
选择
k,.,,,0
使 Q 达到最小,
得到的 i 代入回归平面方程得：
kk xxy
...
110
称为 经验回归平面方程,i?
称为 经验回归系数,
注意, 服从 p +1 维正态 分 布,
且为
的无偏估计，协方差阵为 C2?,C = L
- 1
= (c ij ),L = X T X
解得估计值YXXX TT 1
2,多项式回归设变量 x,Y 的回归模型为
pp xxxY,,,2210
其中 p 是已知的，
),,2,1( pii
是未知参数,? 服从正态分布
),0( 2?N
,
令 ii xx?,i =1,2,…,k 多项式回归模型变为多元线性回归模型,
返回
kk xxxY,..2210
称为 回归多项式,上面的回归模型称为 多项式回归,
三、多元线性回归中的检验与预测
1,线性模型和回归系数的检验假设 0 0 1:0 kH
（ Ⅰ ） F 检验法
（ Ⅱ ） r 检验法定义
eyy QU
U
L
UR
为 y 与 x 1,x 2,...,x k 的 多元相关系数 或 复相关系数,
由于
2
2
1
1
R
R
k
knF
,故用 F 和用 R 检验是等效的,
当 H 0 成立时，
)1,(~)1/( / knkFknQ kUF
e
如果 F > F 1 - α （ k,n - k - 1 ），则拒绝 H 0,认为 y 与 x 1,?,x k 之间显著地有线性关系；否则就接受 H 0,认为 y 与 x 1,?,x k 之间线性关系不显著,
其中
n
i
i yyU
1
2? （ 回归平方和）?
n
i iie yyQ 1
2)?(
(残差平方和 )
2．预测
（ 1）点预测求出回归方程
0 1 1 kky x x
，对于给定自变量的值 *
1,,kxx?
，用 * * *
0 1 1 kky x x
来预测
**0 1 1 kky x x,称 *?y 为 *y 的点预测,
（ 2）区间预测
y 的
1
的预测 （置信）区间为
)?,?( 21 yy
,其中
)1(1
)1(1
2/1
0 0
2
2/1
0 0
1
kntxxcyy
kntxxcyy
k
i
k
j
jiije
k
i
k
j
jiije
C = L
- 1
=( c
ij
),L = X T X
1 kn
Q e
e?
返回四、逐步回归分析
（ 4）“有进有出”的逐步回归分析,
（ 1）从所有可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；
（ 2）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子；
（ 3）从一个变量开始，把变量逐个引入方程；
选择“最优”的回归方程有以下几种方法：
“最优,的回归方程 就是包含所有对 Y有影响的变量,而不包含对 Y影响不显著的变量回归方程,
以第四种方法，即 逐步回归分析法 在筛选变量方面较为理想,
这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止,
逐步回归分析法 的思想：
从一个自变量开始，视自变量 Y对作用的显著程度，从大到小地依次逐个引入回归方程,
当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，
要将其剔除掉,
引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步,
对于每一步都要进行 Y值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对 Y作用显著的变量,
返回统计工具箱中的回归分析命令
1．多元线性回归
2．多项式回归
3．非线性回归
4．逐步回归返回多元线性回归
b=regress( Y,X )
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
1
1
1,..
p
p
n n n p
x x x
x x x
X
x x x
1
2
n
Y
Y
Y
Y
0
1
p
b
1,确定回归系数的点估计值：
pp xxy,..110
对一元线性回归，取 p =1 即可
3,画出残差及其置信区间,rcoplot（ r,rint）
2,求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
回归系数的区间估计残差用于检验回归模型的统计量，
有三个数值：相关系数 r 2、
F值、与 F 对应的概率 p
置信区间显著性水平
（缺省时为 0.05）
相关系数 r 2 越接近 1,说明回归方程越显著；
F > F 1 - α （ k,n - k - 1 ）时拒绝 H 0,F 越大，说明回归方程越显著；
与 F 对应的概率 p 时拒绝 H 0,回归模型成立,
例 1 解,1,输入数据：
x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158
159 160 162 164]';
X=[ones(16,1) x];
Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100
102]';
2,回归分析及检验：
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)
b,bint,stats
得结果,b = b in t =
- 16,0 73 0 - 33,7 07 1 1,56 1 2
0,7 19 4 0,60 47 0,83 4 0
st at s =
0,9 28 2 18 0,9 53 1 0,0 00 0
即
7194.0?,073.16? 10；
0
的置信区间为 [ - 33.7017,1,5 6 1 2 ],
1
的置信区间为 [0,6 0 4 7,0,8 3 4 ] ;
r 2 = 0,9 2 8 2,F = 1 8 0,9 5 3 1,p = 0,0 0 0 0
p < 0,05,可知回归模型 y = - 16.073 + 0,7194 x 成立,
To MATLAB(liti11)
题目
3．残差分析，作残差图：
rcoplot(r,rint)
从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个 数据可视为异常点,
4．预测及作图：
z=b(1)+b(2)*
plot(x,Y,'k+',x,z,'r')
2 4 6 8 10 12 14 16
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
R e si d u a l C a se O r d e r P l o t
R
e
si
d
u
a
ls
C a se N u m b e r
返回
To MATLAB(liti12)
多 项 式 回 归
（一）一元多项式回归
（ 1） 确定多项式系数的命令,[p,S]=polyfit（ x,y,m）
其中 x = （ x 1,x 2,?,x n ）,y= （ y 1,y 2,?,y n ）；
p = （ a 1,a 2,?,a m +1 ）是多项式 y = a 1 x m + a 2 x m - 1 +? + a m x + a m +1
的系数； S 是一个矩阵，用来估计预测误差,
（ 2） 一元多项式回归命令,polytool（ x,y,m）
1．回归：
y=a1xm+a2xm-1+… +amx+am+1
2．预测和预测误差估计：
（ 1） Y=polyval（ p,x） 求 polyfit所得的回归多项式在 x处 的预测值 Y；
（ 2） [Y,DELTA]=polyconf（ p,x,S,alpha）
求 polyfit所得的回归多项式在 x处的预测值 Y及预测值的显著性为 1-alpha的置信区间 Y DELTA； alpha缺省时为 0.5.±
例 2 观测物体降落的距离 s 与时间 t 的关系，得到数据如下表，求 s
关于 t 的回归方程 2? ctbtas,
t (s) 1 /3 0 2 /3 0 3 /3 0 4 /3 0 5 /3 0 6 /3 0 7 /3 0
s ( cm) 11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13
t (s) 8 /3 0 9 /3 0 1 0 /3 0 1 1 /3 0 1 2 /3 0 1 3 /3 0 1 4 /3 0
s ( cm) 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48
法一直接作二次多项式回归：
t=1/30:1/30:14/30;
s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49
72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];
[p,S]=polyfit(t,s,2)
To MATLAB（ liti21）
1 3 2 9.98 8 9 6.652 9 4 6.4 8 9? 2 tts
得回归模型为,
法二化为多元线性回归：
t=1/30:1/30:14/30;
s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90
85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];
T=[ones(14,1) t' (t.^2)'];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T);
b,stats
To MATLAB(liti22)
2? 9,1 3 2 9 6 5,8 8 9 6 4 8 9,2 9 4 6s t t
得回归模型为,
Y=polyconf(p,t,S)
plot(t,s,'k+',t,Y,'r')
预测及作图
To MATLAB(liti23)
（二）多元二项式回归命令,rstool（ x,y，’ model’,alpha）
n?m矩阵 显著性水平（缺省时为 0.05）n维列向量由下列 4 个模型中选择 1 个（用字符串输入，缺省时为线性模型）,
l i n e a r （ 线性 ）：
mm
xxy
110
p u r e q u a dr a t i c （ 纯二次 ）,
n
j
jjjmm
xxxy
1
2
110
i n t e r a c t i o n （ 交叉 ）：
mkj
kjjkmm
xxxxy
1
110
q u a dr a t i c （ 完全二次 ）：
mkj
kjjkmm
xxxxy
,1
110
例 3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，预测平均收入为 1000、价格为 6时的商品需求量,
需求量 100 75 80 70 50 65 90 100 1 1 0 60
收入 1000 600 1200 500 300 400 1300 1 1 0 0 1300 300
价格 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9
选择纯二次模型，即 2222211122110 xxxxy
法一直接用多元二项式回归：
x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300];
x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9];
y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]';
x=[x1' x2'];
rstool(x,y,'purequadratic')
在画面左下方的下拉式菜单中选” all”,则 beta,rmse和 residuals都传送到 MATLAB工作区中,
将左边图形下方方框中的,800”改成 1000，右边图形下方的方框中仍输入 6.则画面左边的,Predicted Y”下方的数据由原来的,86.3791”
变为 88.4791，即预测出平均收入为 1000．价格为 6时的商品需求量为
88.4791.
在 MATLAB工作区中输入命令,beta,rmse得结果,b et a =
11 0,53 13
0,14 64
- 2 6,57 09
- 0,0 00 1
1,84 75
rm se =
4,5 36 2
故回归模型为,222121 8 4 7 5.10 0 0 1.05 7 0 9.261 4 6 4.05 3 1 3.110 xxxxy
剩余标准差为 4,5 3 6 2,说明此回归模型的显著性较好,
To MATLAB(liti31)
X=[ on es (1 0,1) x 1' x 2' (x 1,^2 )' ( x2,^ 2) '];
[b,bi nt,r,r in t,st at s]= re gr es s( y,X) ;
b,s ta ts
结果为,b =
110.5313
0.1464
-26.5709
-0.0001
1.8475
stats =
0.9702 40.6656 0.0005
法二
To MATLAB(liti32)
返回
2222211122110 xxxxy将化为多元线性回归：
非线性回 归
（ 1） 确定回归系数的命令：
[beta,r,J]=nlinfit（ x,y,’model’,beta0）
（ 2） 非线性回归命令,nlintool（ x,y，’ model’,beta0,alpha）
1．回归：
残差
Jacobi矩阵回归系数的初值事先用 M文件定义的非线性函数估计出的回归系数输入数据 x,y分别为矩阵和 n维列向量，对一元非线性回归,x为 n维列向量,
mn?
2．预测和预测误差估计：
[Y,DELTA]=nlpredci（ ’ model’,x,beta,r,J）
求 nlinfit 或 lintool所得的回归函数在 x处的预测值 Y及预测值的显著性水平为 1-alpha的置信区间 Y DELTA.±
例 4 对第一节例 2，求解如下：
1,对将要拟合的非线性模型 y =a /e bx,建立 M 文件 v ol um,m 如下,
fu nc ti on y ha t= v olu m( be ta,x )
yh at =b et a( 1) *e x p(b et a( 2),/ x) ;
2．输入数据：
x=2:16;
y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59
10.60 10.80 10.60 10.90 10.76];
beta0=[8 2]';
3,求回归系数：
[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；
beta
得结果,beta =
11.6036
-1.0641
即得回归模型为：
1,0 6 4 11 1,6 0 3 6 e
xy
To MATLAB(liti41)
题目
4．预测及作图：
[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r,J)；
plot(x,y,'k+',x,YY,'r')
To MATLAB(liti42)
例 5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、
农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关,
表中列出了 1952─1981年的原始数据,试构造预测模型,
解 设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资分别为 x1,x2,x3,x4,x5,x6，财政收入为 y，设变量之间的关系为：
y= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6
使用非线性回归方法求解,
1,对回归模型建立 M文件 model.m如下,
function yy=model(beta0,X)
a=beta0(1);
b=beta0(2);
c=beta0(3);
d=beta0(4);
e=beta0(5);
f=beta0(6);
x1=X(:,1);
x2=X(:,2);
x3=X(:,3);
x4=X(:,4);
x5=X(:,5);
x6=X(:,6);
yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;
2,主程序 liti6.m如下,
X=[598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00
…………………………………………………………..
2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00];
y=[184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00,.,
271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00,..
564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00,..
890.00 826.00 810.0]';
beta0=[0.50 -0.03 -0.60 0.01 -0.02 0.35];
betafit = nlinfit(X,y,'model',beta0)
To MATLAB(liti6）
betafit =
0.5243
-0.0294
-0.6304
0.0112
-0.0230
0.3658
即 y= 0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230x5+0.3658x6
结果为,
返 回逐 步 回 归逐步回归的命令是：
stepwise（ x,y,inmodel,alpha）
运行 stepwise命令时产生三个图形窗口,Stepwise Plot，
Stepwise Table,Stepwise History.
在 Stepwise Plot窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间,
Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差 （ RMSE）,相关系数（ R-square）,F值、与 F对应的概率 P.
矩阵的列数的指标，给出初始模型中包括的子集（缺省时设定为全部自变量）
显著性水平（缺省时为 0.05）
自变量数据,
阶矩阵mn? 因变量数据，
阶矩阵 1n?
例 6 水泥凝固时放出的热量 y与水泥中 4种化学成分 x1,x2,x3,x4
有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个 线性模型,
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x 1 7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10
x 2 26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68
x 3 6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8
x 4 60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12
y 7 8,5 7 4,3 104,3 8 7,6 9 5,9 1 0 9,2 1 0 2,7 7 2,5 9 3,1 1 1 5,9 8 3,8 1 1 3,3 1 0 9,4
1．数据输入：
x1=[7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10]';
x2=[26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68]';
x3=[6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8]';
x4=[60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12]';
y=[78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9
83.8 113.3
109.4]';
x=[x1 x2 x3 x4];
2．逐步回归：
（ 1）先在初始模型中取全部自变量：
stepwise(x,y)
得图 Stepwise Plot 和表 Stepwise Table
图 Stepwise Plot中四条直线都是虚线，说明模型的显著性不好从表 Stepwise Table中看出变量 x3和 x4的显著性最差,
（ 2）在图 Stepwise Plot中点击直线 3和直线 4，移去变量 x3和 x4
移去变量 x3和 x4后模型具有显著性,
虽然剩余标准差（ RMSE）没有太大的变化，但是统计量 F的值明显增大，因此新的回归模型更好,
To MATLAB(liti51）
（ 3）对变量 y和 x1,x2作线性回归：
X=[ones(13,1) x1 x2];
b=regress(y,X)
得结果,b =
52.5773
1.4683
0.6623
故最终模型为,y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2
To MATLAB(liti52）
返回
1．考察温度 x对产量 y的影响，测得下列 10组数据：
温度 （ ℃ ） 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
产量 （ kg ） 13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3
求 y关于 x的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测
x=42℃ 时产量的估值及预测区间（置信度 95%）,
2．某零件上有一段曲线，为了在程序控制机床上加工这一零件，需要求这段曲线的解析表达式，在曲线横坐标 xi处测得纵坐标 yi共 11对数据如下：
x i 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
y i 0,6 2,0 4,4 7,5 1 1,8 17,1 23,3 31,2 39,6 49,7 61,7
求这段曲线的纵坐标 y关于横坐标 x的二次多项式回归方程,
3,在研究化学动力学反应过程中，建立了一个反应速度和反应物含量的数学模型，形式为
342312
5
3
21
1 xxx
x
x
y
其中
51,,
是未知参数，
321,,xxx
是三种反应物（氢,n 戊烷,
异构戊烷）的含量,y 是反应速度,今测得一组数据如 下 表,试由此确定参数
51,,
，并给出置信区间,
51,,
的参考值为
（ 1,0,05,0.02,0.1,2 ）,
序号 反应速度 y 氢 x 1 n 戊烷 x 2 异构戊烷 x 3
1 8.55 470 300 10
2 3.79 285 80 10
3 4.82 470 300 120
4 0.02 470 80 120
5 2.75 470 80 10
6 14.39 100 190 10
7 2.54 100 80 65
8 4.35 470 190 65
9 13.00 100 300 54
10 8.50 100 300 120
11 0.05 100 80 120
12 1 1.32 285 300 10
13 3.13 285 190 120
4．混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成 12个试块，记录了养护日期 x（日）及抗压强度 y
（ kg/cm2）的数据：
养护时间 x 2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56
抗压强度 y 35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99
试求 xbay ln 型回归方程,
2．掌握用数学软件求解回归分析问题,
1．直观了解回归分析基本内容,
1,回归分析 的基本理论,
3,实验 作业,
2．用数学 软件求解回归分析问题,
一元线性回归 多元线性回归回归分析数学模型及定义
*
模型参数估计
*
检验
、
预测与控制可线性化的一元非线性回归
（
曲线回归
）
数学模型及定义
*
模型参数估计逐步回归分析
*
多元线性回归中的检验与预测一、数学模型例 1 测 16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
身高
(c m )
1 4 3 1 4 5 1 4 6 1 4 7 1 4 9 1 5 0 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5 7 1 5 8 1 5 9 1 6 0 1 6 2 1 6 4
腿长
(c m )
88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 1 0 0 1 0 2
以身高 x为横坐标，以腿长 y为纵坐标将这些数据点（ xi,yi）
在平面直角坐标系上标出,
140 145 150 155 160 165
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
散点图
xy 10
解答一般地，称由
xy 10
确定的模型为 一元线性回归模型,
记为
2
10
,0
DE
xy
固定的未知参数
0?
、
1?
称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量,
一元线性回归分析的 主要任务 是：
1,用试验值（样本值）对
0?
、
1?
和? 作点估计；
2,对回归系数
0?
、
1?
作假设检验；
3,在 x =
0x
处对 y 作预测，对 y 作区间估计,
xY 10,称为 y 对 x 的回归直线方程,
返回二、模型参数估计
1．回归系数的最小二乘估计有 n 组独立观测值 （ x
1
,y
1
），（ x
2
,y
2
），?，（ x
n
,y
n
）
设
01
2
12
,1,2,..,,
0,,..,,
ii
i i n
y x i n
ED
且 相 互 独 立记
n
i
ii
n
i
i
xyQQ
1
2
10
1
2
10
),(
最小二乘法 就是选择
0
和
1
的估计
0
，
1
使得
),(m i n)?,?(
10
,
10
10
QQ?
221
10
xx
yxxy
xy
解得
（经验）回归方程为,)( 110 xxyxy
或
n
i
i
n
i
ii
xx
yyxx
1
2
1
1
其中
n
i
i
n
i
i ynyxnx
11
1,1,
n
i
ii
n
i
i yxnxyxnx
11
22 1,1,
2,2? 的无偏估计记
n
i
n
i
iiiie
yyxyQQ
1 1
2
2
1010
)?()?,?(
称 Q
e
为 残差平方和 或 剩余平方和,
2
的无偏估计 为
)2(? 2 nQ ee?
称
2?
e?
为 剩余方差（残差的方差）,
2?
e?
分别与
0
、
1
独立,
e
称为 剩余标准差,
返回三、检验、预测与控制
1．回归方程的显著性检验对回归方程 xY
10
的显著性检验，归结为对假设
0:;0,1110 HH
进行检验,
假设 0,10H 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著,y 与 x 的关系不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义,
（ Ⅰ ） F检验法当
0H
成立时,
)2/(?
nQ
U
F
e
~ F （ 1,n - 2 ）
其中
n
i
i yyU
1
2?
（ 回归平方和）
故 F >
)2,1(1 nF?
，拒绝
0H
，否则就接受
0H
,
（ Ⅱ ） t 检验法
n
i
i
n
i
ixx xnxxxL
1
22
1
2)(其中当
0H
成立时，
e
xxLT
1?
~t （ n - 2 ）
故
)2(
21
ntT?
，拒绝
0H
，否则就接受
0H
,
（ Ⅲ ） r 检验法当 | r| > r 1 时，拒绝 H 0 ；否则就接受 H 0,
记
n
i
n
i
ii
n
i
ii
yyxx
yyxx
r
1 1
22
1
)()(
))((
其中
1 111 2 1,2r n F n
2．回归系数的置信区间
0
和
1
置信水平为 1- α 的置信区间分别为
xx
e
xx
e
L
x
n
nt
L
x
n
nt
2
2
1
0
2
2
1
0
1
)2(
,
1
)2(
和?
xxexxe
LntLnt /?)2(
,/?)2(
2
1
1
2
1
1
2? 的置信水平为 1 -? 的置信区间为
)2(
,
)2( 2
2
2
2
1
n
Q
n
Q ee
3．预测与控制
（ 1）预测用 y 0 的回归值 0100 xy 作为 y 0 的预测值,
0y 的置信水平为1 的 预测区间 为
)(?),(? 0000 xyxy
其中
xx
e L
xx
nntx
2
0
21
0
11)2(?)(
特别，当 n 很大且 x 0 在 x 附近取值时,
y 的置信水平为1 的 预测区间近似为
2
1
2
1
, uyuy ee
（ 2）控制要求, xy 10 的值以1 的概率落在指定区间yy,
只要控制 x 满足以下两个不等式
yxyyxy )(?,)(
要求 )(2 xyy,若 yxyyxy )(?,)( 分别有解 x?
和 x,即 yxyyxy )(?,)(,
则xx,就是所求的 x 的控制区间,
返回四、可线性化的一元非线性回归
（曲线回归）
例 2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，
容积不断增大,我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关系,对一钢包作试验，测得的数据列于下表：
使用次数 增大容积 使用次数 增大容积
2
3
4
5
6
7
8
9
6,42
8,20
9,58
9,50
9,70
10,00
9,93
9,99
10
11
12
13
14
15
16
10,49
10,59
10,60
10,80
10,60
10,90
10,76
解答
2 4 6 8 10 12 14 16
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
1 0,5
11
散点图此即 非线性回归 或 曲线回归 问题 （ 需要配曲线 ）
配曲线的一般方法是：
先对两个变量 x 和 y 作 n 次试验观察得 niyx
ii,...,2,1),,(?
画出散点图,
根据散点图确定须配曲线的类型,然后由 n 对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a 和 b,采用的方法是通过变量代换把非线性回归化成线性回归，即采用非线性回归线性化的方法,
通常选择的六类曲线如下：
（ 1 ） 双曲线 xbay1
（ 2 ） 幂函数曲线 y = a bx,其中 x > 0,a >0
（ 3 ） 指数曲线 y = a e bx 其中参数 a >0,
（ 4 ） 倒指数曲线 y = a /e bx 其中 a >0,
（ 5 ） 对数曲线 y = a + b l o g x,x >0
（ 6 ） S 型曲线 1 e
xy ab
返回解例 2,由散点图我们选配到 指数曲线 y = a /e bx
根据线性化方法，算得 4 5 8 7.2?,1 1 0 7.1 Ab
由此 e 1 1,6 7 8 9Aa
最后得 1,1 1 0 71 1,6 7 8 9 e xy
一、数学模型及定义一般称
2( ) 0,C O V (,)
n
YX
EI
为高斯 - 马尔可 夫线性模型 ( k 元线性回归模型 ),并简记为
),,( 2 nIXY
1
2
n
y
y
Y
y
，
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
1,,,
1,,,
1,,,
k
k
n n n k
x x x
x x x
X
x x x
，
0
1
k
，
1
2
n
kk xxy,..110 称为 回归平面方程,
返回线性模型 ),,( 2
nIXY
考虑的主要问题是,
（ 1 ） 用试验值（样本值）对 未知参数? 和 2? 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
kxxx,.,,,,21
之间的数量关系；
（ 2 ）在,,.,,,,
0022011 kk xxxxxx
处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计,
二、模型参数估计
1,对 i? 和 2? 作估计用最小二乘法求
k,.,,,0
的估计量：作离差平方和
n
i
ikkii xxyQ
1
2
110,.,
选择
k,.,,,0
使 Q 达到最小,
得到的 i 代入回归平面方程得：
kk xxy
...
110
称为 经验回归平面方程,i?
称为 经验回归系数,
注意, 服从 p +1 维正态 分 布,
且为
的无偏估计，协方差阵为 C2?,C = L
- 1
= (c ij ),L = X T X
解得估计值YXXX TT 1
2,多项式回归设变量 x,Y 的回归模型为
pp xxxY,,,2210
其中 p 是已知的，
),,2,1( pii
是未知参数,? 服从正态分布
),0( 2?N
,
令 ii xx?,i =1,2,…,k 多项式回归模型变为多元线性回归模型,
返回
kk xxxY,..2210
称为 回归多项式,上面的回归模型称为 多项式回归,
三、多元线性回归中的检验与预测
1,线性模型和回归系数的检验假设 0 0 1:0 kH
（ Ⅰ ） F 检验法
（ Ⅱ ） r 检验法定义
eyy QU
U
L
UR
为 y 与 x 1,x 2,...,x k 的 多元相关系数 或 复相关系数,
由于
2
2
1
1
R
R
k
knF
,故用 F 和用 R 检验是等效的,
当 H 0 成立时，
)1,(~)1/( / knkFknQ kUF
e
如果 F > F 1 - α （ k,n - k - 1 ），则拒绝 H 0,认为 y 与 x 1,?,x k 之间显著地有线性关系；否则就接受 H 0,认为 y 与 x 1,?,x k 之间线性关系不显著,
其中
n
i
i yyU
1
2? （ 回归平方和）?
n
i iie yyQ 1
2)?(
(残差平方和 )
2．预测
（ 1）点预测求出回归方程
0 1 1 kky x x
，对于给定自变量的值 *
1,,kxx?
，用 * * *
0 1 1 kky x x
来预测
**0 1 1 kky x x,称 *?y 为 *y 的点预测,
（ 2）区间预测
y 的
1
的预测 （置信）区间为
)?,?( 21 yy
,其中
)1(1
)1(1
2/1
0 0
2
2/1
0 0
1
kntxxcyy
kntxxcyy
k
i
k
j
jiije
k
i
k
j
jiije
C = L
- 1
=( c
ij
),L = X T X
1 kn
Q e
e?
返回四、逐步回归分析
（ 4）“有进有出”的逐步回归分析,
（ 1）从所有可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；
（ 2）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子；
（ 3）从一个变量开始，把变量逐个引入方程；
选择“最优”的回归方程有以下几种方法：
“最优,的回归方程 就是包含所有对 Y有影响的变量,而不包含对 Y影响不显著的变量回归方程,
以第四种方法，即 逐步回归分析法 在筛选变量方面较为理想,
这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止,
逐步回归分析法 的思想：
从一个自变量开始，视自变量 Y对作用的显著程度，从大到小地依次逐个引入回归方程,
当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，
要将其剔除掉,
引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步,
对于每一步都要进行 Y值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对 Y作用显著的变量,
返回统计工具箱中的回归分析命令
1．多元线性回归
2．多项式回归
3．非线性回归
4．逐步回归返回多元线性回归
b=regress( Y,X )
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
1
1
1,..
p
p
n n n p
x x x
x x x
X
x x x
1
2
n
Y
Y
Y
Y
0
1
p
b
1,确定回归系数的点估计值：
pp xxy,..110
对一元线性回归，取 p =1 即可
3,画出残差及其置信区间,rcoplot（ r,rint）
2,求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
回归系数的区间估计残差用于检验回归模型的统计量，
有三个数值：相关系数 r 2、
F值、与 F 对应的概率 p
置信区间显著性水平
（缺省时为 0.05）
相关系数 r 2 越接近 1,说明回归方程越显著；
F > F 1 - α （ k,n - k - 1 ）时拒绝 H 0,F 越大，说明回归方程越显著；
与 F 对应的概率 p 时拒绝 H 0,回归模型成立,
例 1 解,1,输入数据：
x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158
159 160 162 164]';
X=[ones(16,1) x];
Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100
102]';
2,回归分析及检验：
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)
b,bint,stats
得结果,b = b in t =
- 16,0 73 0 - 33,7 07 1 1,56 1 2
0,7 19 4 0,60 47 0,83 4 0
st at s =
0,9 28 2 18 0,9 53 1 0,0 00 0
即
7194.0?,073.16? 10；
0
的置信区间为 [ - 33.7017,1,5 6 1 2 ],
1
的置信区间为 [0,6 0 4 7,0,8 3 4 ] ;
r 2 = 0,9 2 8 2,F = 1 8 0,9 5 3 1,p = 0,0 0 0 0
p < 0,05,可知回归模型 y = - 16.073 + 0,7194 x 成立,
To MATLAB(liti11)
题目
3．残差分析，作残差图：
rcoplot(r,rint)
从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个 数据可视为异常点,
4．预测及作图：
z=b(1)+b(2)*
plot(x,Y,'k+',x,z,'r')
2 4 6 8 10 12 14 16
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
R e si d u a l C a se O r d e r P l o t
R
e
si
d
u
a
ls
C a se N u m b e r
返回
To MATLAB(liti12)
多 项 式 回 归
（一）一元多项式回归
（ 1） 确定多项式系数的命令,[p,S]=polyfit（ x,y,m）
其中 x = （ x 1,x 2,?,x n ）,y= （ y 1,y 2,?,y n ）；
p = （ a 1,a 2,?,a m +1 ）是多项式 y = a 1 x m + a 2 x m - 1 +? + a m x + a m +1
的系数； S 是一个矩阵，用来估计预测误差,
（ 2） 一元多项式回归命令,polytool（ x,y,m）
1．回归：
y=a1xm+a2xm-1+… +amx+am+1
2．预测和预测误差估计：
（ 1） Y=polyval（ p,x） 求 polyfit所得的回归多项式在 x处 的预测值 Y；
（ 2） [Y,DELTA]=polyconf（ p,x,S,alpha）
求 polyfit所得的回归多项式在 x处的预测值 Y及预测值的显著性为 1-alpha的置信区间 Y DELTA； alpha缺省时为 0.5.±
例 2 观测物体降落的距离 s 与时间 t 的关系，得到数据如下表，求 s
关于 t 的回归方程 2? ctbtas,
t (s) 1 /3 0 2 /3 0 3 /3 0 4 /3 0 5 /3 0 6 /3 0 7 /3 0
s ( cm) 11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13
t (s) 8 /3 0 9 /3 0 1 0 /3 0 1 1 /3 0 1 2 /3 0 1 3 /3 0 1 4 /3 0
s ( cm) 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48
法一直接作二次多项式回归：
t=1/30:1/30:14/30;
s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49
72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];
[p,S]=polyfit(t,s,2)
To MATLAB（ liti21）
1 3 2 9.98 8 9 6.652 9 4 6.4 8 9? 2 tts
得回归模型为,
法二化为多元线性回归：
t=1/30:1/30:14/30;
s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90
85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];
T=[ones(14,1) t' (t.^2)'];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T);
b,stats
To MATLAB(liti22)
2? 9,1 3 2 9 6 5,8 8 9 6 4 8 9,2 9 4 6s t t
得回归模型为,
Y=polyconf(p,t,S)
plot(t,s,'k+',t,Y,'r')
预测及作图
To MATLAB(liti23)
（二）多元二项式回归命令,rstool（ x,y，’ model’,alpha）
n?m矩阵 显著性水平（缺省时为 0.05）n维列向量由下列 4 个模型中选择 1 个（用字符串输入，缺省时为线性模型）,
l i n e a r （ 线性 ）：
mm
xxy
110
p u r e q u a dr a t i c （ 纯二次 ）,
n
j
jjjmm
xxxy
1
2
110
i n t e r a c t i o n （ 交叉 ）：
mkj
kjjkmm
xxxxy
1
110
q u a dr a t i c （ 完全二次 ）：
mkj
kjjkmm
xxxxy
,1
110
例 3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，预测平均收入为 1000、价格为 6时的商品需求量,
需求量 100 75 80 70 50 65 90 100 1 1 0 60
收入 1000 600 1200 500 300 400 1300 1 1 0 0 1300 300
价格 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9
选择纯二次模型，即 2222211122110 xxxxy
法一直接用多元二项式回归：
x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300];
x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9];
y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]';
x=[x1' x2'];
rstool(x,y,'purequadratic')
在画面左下方的下拉式菜单中选” all”,则 beta,rmse和 residuals都传送到 MATLAB工作区中,
将左边图形下方方框中的,800”改成 1000，右边图形下方的方框中仍输入 6.则画面左边的,Predicted Y”下方的数据由原来的,86.3791”
变为 88.4791，即预测出平均收入为 1000．价格为 6时的商品需求量为
88.4791.
在 MATLAB工作区中输入命令,beta,rmse得结果,b et a =
11 0,53 13
0,14 64
- 2 6,57 09
- 0,0 00 1
1,84 75
rm se =
4,5 36 2
故回归模型为,222121 8 4 7 5.10 0 0 1.05 7 0 9.261 4 6 4.05 3 1 3.110 xxxxy
剩余标准差为 4,5 3 6 2,说明此回归模型的显著性较好,
To MATLAB(liti31)
X=[ on es (1 0,1) x 1' x 2' (x 1,^2 )' ( x2,^ 2) '];
[b,bi nt,r,r in t,st at s]= re gr es s( y,X) ;
b,s ta ts
结果为,b =
110.5313
0.1464
-26.5709
-0.0001
1.8475
stats =
0.9702 40.6656 0.0005
法二
To MATLAB(liti32)
返回
2222211122110 xxxxy将化为多元线性回归：
非线性回 归
（ 1） 确定回归系数的命令：
[beta,r,J]=nlinfit（ x,y,’model’,beta0）
（ 2） 非线性回归命令,nlintool（ x,y，’ model’,beta0,alpha）
1．回归：
残差
Jacobi矩阵回归系数的初值事先用 M文件定义的非线性函数估计出的回归系数输入数据 x,y分别为矩阵和 n维列向量，对一元非线性回归,x为 n维列向量,
mn?
2．预测和预测误差估计：
[Y,DELTA]=nlpredci（ ’ model’,x,beta,r,J）
求 nlinfit 或 lintool所得的回归函数在 x处的预测值 Y及预测值的显著性水平为 1-alpha的置信区间 Y DELTA.±
例 4 对第一节例 2，求解如下：
1,对将要拟合的非线性模型 y =a /e bx,建立 M 文件 v ol um,m 如下,
fu nc ti on y ha t= v olu m( be ta,x )
yh at =b et a( 1) *e x p(b et a( 2),/ x) ;
2．输入数据：
x=2:16;
y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59
10.60 10.80 10.60 10.90 10.76];
beta0=[8 2]';
3,求回归系数：
[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；
beta
得结果,beta =
11.6036
-1.0641
即得回归模型为：
1,0 6 4 11 1,6 0 3 6 e
xy
To MATLAB(liti41)
题目
4．预测及作图：
[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r,J)；
plot(x,y,'k+',x,YY,'r')
To MATLAB(liti42)
例 5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、
农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关,
表中列出了 1952─1981年的原始数据,试构造预测模型,
解 设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资分别为 x1,x2,x3,x4,x5,x6，财政收入为 y，设变量之间的关系为：
y= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6
使用非线性回归方法求解,
1,对回归模型建立 M文件 model.m如下,
function yy=model(beta0,X)
a=beta0(1);
b=beta0(2);
c=beta0(3);
d=beta0(4);
e=beta0(5);
f=beta0(6);
x1=X(:,1);
x2=X(:,2);
x3=X(:,3);
x4=X(:,4);
x5=X(:,5);
x6=X(:,6);
yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;
2,主程序 liti6.m如下,
X=[598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00
…………………………………………………………..
2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00];
y=[184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00,.,
271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00,..
564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00,..
890.00 826.00 810.0]';
beta0=[0.50 -0.03 -0.60 0.01 -0.02 0.35];
betafit = nlinfit(X,y,'model',beta0)
To MATLAB(liti6）
betafit =
0.5243
-0.0294
-0.6304
0.0112
-0.0230
0.3658
即 y= 0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230x5+0.3658x6
结果为,
返 回逐 步 回 归逐步回归的命令是：
stepwise（ x,y,inmodel,alpha）
运行 stepwise命令时产生三个图形窗口,Stepwise Plot，
Stepwise Table,Stepwise History.
在 Stepwise Plot窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间,
Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差 （ RMSE）,相关系数（ R-square）,F值、与 F对应的概率 P.
矩阵的列数的指标，给出初始模型中包括的子集（缺省时设定为全部自变量）
显著性水平（缺省时为 0.05）
自变量数据,
阶矩阵mn? 因变量数据，
阶矩阵 1n?
例 6 水泥凝固时放出的热量 y与水泥中 4种化学成分 x1,x2,x3,x4
有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个 线性模型,
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x 1 7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10
x 2 26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68
x 3 6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8
x 4 60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12
y 7 8,5 7 4,3 104,3 8 7,6 9 5,9 1 0 9,2 1 0 2,7 7 2,5 9 3,1 1 1 5,9 8 3,8 1 1 3,3 1 0 9,4
1．数据输入：
x1=[7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10]';
x2=[26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68]';
x3=[6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8]';
x4=[60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12]';
y=[78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9
83.8 113.3
109.4]';
x=[x1 x2 x3 x4];
2．逐步回归：
（ 1）先在初始模型中取全部自变量：
stepwise(x,y)
得图 Stepwise Plot 和表 Stepwise Table
图 Stepwise Plot中四条直线都是虚线，说明模型的显著性不好从表 Stepwise Table中看出变量 x3和 x4的显著性最差,
（ 2）在图 Stepwise Plot中点击直线 3和直线 4，移去变量 x3和 x4
移去变量 x3和 x4后模型具有显著性,
虽然剩余标准差（ RMSE）没有太大的变化，但是统计量 F的值明显增大，因此新的回归模型更好,
To MATLAB(liti51）
（ 3）对变量 y和 x1,x2作线性回归：
X=[ones(13,1) x1 x2];
b=regress(y,X)
得结果,b =
52.5773
1.4683
0.6623
故最终模型为,y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2
To MATLAB(liti52）
返回
1．考察温度 x对产量 y的影响，测得下列 10组数据：
温度 （ ℃ ） 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
产量 （ kg ） 13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3
求 y关于 x的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测
x=42℃ 时产量的估值及预测区间（置信度 95%）,
2．某零件上有一段曲线，为了在程序控制机床上加工这一零件，需要求这段曲线的解析表达式，在曲线横坐标 xi处测得纵坐标 yi共 11对数据如下：
x i 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
y i 0,6 2,0 4,4 7,5 1 1,8 17,1 23,3 31,2 39,6 49,7 61,7
求这段曲线的纵坐标 y关于横坐标 x的二次多项式回归方程,
3,在研究化学动力学反应过程中，建立了一个反应速度和反应物含量的数学模型，形式为
342312
5
3
21
1 xxx
x
x
y
其中
51,,
是未知参数，
321,,xxx
是三种反应物（氢,n 戊烷,
异构戊烷）的含量,y 是反应速度,今测得一组数据如 下 表,试由此确定参数
51,,
，并给出置信区间,
51,,
的参考值为
（ 1,0,05,0.02,0.1,2 ）,
序号 反应速度 y 氢 x 1 n 戊烷 x 2 异构戊烷 x 3
1 8.55 470 300 10
2 3.79 285 80 10
3 4.82 470 300 120
4 0.02 470 80 120
5 2.75 470 80 10
6 14.39 100 190 10
7 2.54 100 80 65
8 4.35 470 190 65
9 13.00 100 300 54
10 8.50 100 300 120
11 0.05 100 80 120
12 1 1.32 285 300 10
13 3.13 285 190 120
4．混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成 12个试块，记录了养护日期 x（日）及抗压强度 y
（ kg/cm2）的数据：
养护时间 x 2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56
抗压强度 y 35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99
试求 xbay ln 型回归方程,
