1
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础测试技术与数据处理李军
A15-A318 84891686 junli@nuaa.edu.cn
2
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
?教材
?机械工程测试、信息、信号分析,南航翻印
?参考文献
?胡广书.数字信号处理.清华大学出版社,2003.
?陈后金主编.数字信号处理.高等教育出版社,2004
?Matlab 6.0教程(或6.0以上版本).
3
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础绪论与信号分析基础
4
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础绪论与信号分析基础(一)
?信号与信息
?信号分析的基本内容
?学习本课程的意义
?信号的分类
?典型的信号
5
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
1.1 信号与信息
9信息：可理解为消息、情报，信息本身不是物质，
也不具有能量但却是物质所固有的，是其客观存在或运动状态的特征。
9信号：是信息传输的载体，信息蕴涵于信号之中。
信号是一种物质，具有能量，它描述了物理量的变化过程。
9系统系统
:
是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
9信号作用于系统产生响应
6
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号分为电信号与非电信号，由于电信号方便进行传输、变换与分析，因此，常将非电信号通过变换转变为电信号。
7
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号与信息传感器：从被测对象获取有用的信息，并将其转换为适合于测量的变量或信号。
信号调理部分：对从传感器所输出的信号作进一步的加工和处理。
显示和记录部分：将经信号调理部分处理过的信号用便于人们所观察和分析的介质和手段进行记录或显示。
被测对象和观察者也是测试系统的组成部分，它们同传感器、信号调理部分以及数据显示与记录部分一起构成了一个完整的测试系统。
8
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础例：一段鸟鸣声音的时域波形
0 0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0
0.5
1
Time in seconds
p
9
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础鸟鸣在不同频率时的幅度分布—频谱
0 1000 2000 3000 4000 5000
10
-8
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
10
2
13129 Samples
Frequency in Hertz
10
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础鸟鸣声的时—频谱阵图
Tim e
F
r
eque
nc
y
13129 Sam ples
11
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础例：一张图象
12
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础例：图象携带信息特征——轮廓
Original S aturn Im age Edge Map
13
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础例:波形的三维描述
14
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础例:等高面的表示
15
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础例:横切面的表示
16
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
1.2 信号分析的基本内容
)本课程学习的目的
)掌握有关测试技术的基本理论和技术；
)掌握对一个测试系统各部分的参数进行测量和分析的方法和手段
)本课程学习的主要内容
)信号的时域和频域的描述方法，信号的频谱和谱分析的方法，信号的卷积与相关，以及数字信号处理的基本理论和方法。
)测试系统的参数及其评价方法。
)测试系统传递特性的时、频域描述，脉冲响应函数和频率响应函数，一、二阶系统的动态特性描述及其参数的测量方法，以及不失真测试的条件。
)信号调理的原理和方法：信号的调制与解调，信号的滤波，信号的模/数和数/模转换，以及上述各种电路的原理及典型应用。
17
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
1.3 学习本课程的意义制造精度的提高与制造过程自动化，要求在线检测与控制，信号测量与处理成为先进制造系统不可缺少的一环。
新兴工业与新兴技术的发展，要求在无人环境下工作，其测量与控制成为装置能否正常运行的先决条件。
18
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础本课程的考核
?考试占70%
?出勤率与课堂表现占30%
19
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
1.4 信号的分类按其时域内取值的连续性与否，分为连续时间信号（模拟信号）与离散时间信号（采样信号、数字信号）
ττ?
E
e
()
2
t
ft Ee
τ
=
离散时间信号
0 2 4 6 8 10 12 14
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
20
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号的分类按信号的周期性与否，分为周期信号与非周期信号
?经过一定时间可以重复出现的信号，满足
?非周期性信号，当周期N趋向于无穷大时，就变成非周期信号。
均为正整数及NkkNnxnx ),()( ±=
21
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号的分类按信号的确定性与否，分为确定性信号与随机信号信号可用明确的数学表达式表示，则为确定性信号信号无法用确定性数学表达式表示，其相位、幅值的变化是不可预知的，称为非确定信号，或随机信号。
)sin()(?ω += tty
22
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号的分类能量信号：在所分析的区间内，能量有限，即满足下面关系式的信号。（E小于无穷大）
2
2
)(
)(
∑
∫
+∞=
∞=
+∞
∞?
=
=
n
n
nxE
dttxE
23
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号的分类功率信号：在研究的区间内，其功率P有限的信号。
2
1
0
2
0
2
)(
1
)(
1
)(
12
1
lim
∑
∫
∑
=
=
∞→
=
=
+
=
N
n
x
T
x
N
Nn
N
nx
N
P
dttx
T
P
nx
N
P
2
2
2
)(
1
lim ∫
∞→
=
T
T
T
dttx
T
P
24
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号的分类
?按信号定义区间分
?时限信号与时域无限信号
?频限信号与频域无限信号
?如果信号在时域有限,则在频率轴上延伸至无穷远,
反过来,一个有限带宽的信号,在时间轴上必然延伸至无限远处,也就是一个信号不能在时域与频域上均是有限的。
25
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号的分类物理可实现信号物理系统：激发脉冲作用于系统之前，系统不会有响应，即输出为零。
因果序列：离散信号
26
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
1.5 典型信号
?连续时间复指数信号：
X(t)=Ce
at
? C为复数
? a为复数
ωjra +=
βα jC +=
27
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础实指数信号,前面的信号中C 和a都是实数
?若中的为0,C实数同时
?若中的为0,a实数则x(t)=Ce
at
为实指数函数
ωjra +=
ω
βα jC +=
β
28
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
?
x(t)随t 的增加而指数增长
x(t)随t 的增加而指数衰减
0a >
0a <
0 2 4 6 8 10 12 14
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 2 4 6 8 10 12 14
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
实指数信号 C 和a都是实数
29
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础周期复指数信号—
?若a 为纯虚数，即时，则
?特点：该信号是周期的，周期为T
0
ωja ±=
ωja ±=
tjat
eetx
0
)(
ω±
==
0
000
2
0
)(
ω
π
ωω
==
+
Tee
Ttjtj
30
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础正弦信号1—取周期复指数的实部
?欧拉公式
?取实部则为正弦信号
)sin()cos(
00
)(
0
φωφω
φω
+++=
+
tjte
tj
)cos()(
0
φω += tAtx
31
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础正弦信号2
?波形为基波频率，为相位
)cos()(
0
φω += tAtx
0
ω
0
ω
φ
0
0
2
T
π
ω =
0 2 4 6 8 10 12 14
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T0
ω
φ
32
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础一般复指数信号1
?最一般的情况
? C用极座标,a用直角坐标来表示
tjr
ejtx
)(
0
)()(
ω
βα
+
+=
)sin()cos(
)(
00
)(
)(
0
0
θωθω
θω
ωθ
+++=
=
==
+
+
teCjteC
eeC
eeCCetx
rtrt
tjrt
tjrjat
33
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础一般复指数信号2
?若r=0,x(t)的实部和虚部都为正弦信号
?若r<0,x(t)的振幅为指数衰减正弦(1)
?若r>0,x(t)的振幅为指数增长正弦(2)
(1) r<0 (2) r>0
0 2 4 6 8 10 12 14
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10 12 14
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
34
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础离散时间复指数信号
?离散复指数信号或序列
?离散周期复指数信号
n
Canx =][
nj
enx
0
][
ω
=
0 2 4 6 8 10 12 14
-0,3
-0,2
-0,1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
离散衰减正弦信号
35
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础奇异信号奇异信号：即本身、其导数或其积分有不连续点的函数。
斜变信号
单位阶跃信号
符号函数
单位冲激
冲激偶信号
36
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位斜变信号
?斜变信号——斜坡信号
0 1 t
R(t)
0 t0 t0+1 t
R(t-t0)
t >=0 R(t) = t
t <0 R(t) = 0 t < t0 R(t-t0) = 0
t >= t0 R(t-t0) = t - t0
37
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础切平的斜变---三角斜变
? 0< t < t0
? R(t) = Kt / t0
? t > t0 R(t) = K
? 0< t < t0
? R(t) = Kt / t0
? t > t0 R(t) = 0
0
t
0
t
38
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位阶跃信号
=
>
<
=?
0
2
1
0
0
0
1
0
)(
tt
tt
tt
ttu
=
>
<
=
0
01
00
)(
2
1
t
t
t
tu
1
t
0
t0
1
39
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础用阶跃表示矩形脉冲
)()()( τ= tututG
)()()(
001
τ= ttuttutG
G(t)
τ
G
1
(t)
t0
τ
40
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号加窗或取单边
)]()([)(
0
ttutuetf
t
=
f(t)
t
t t0
41
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
（1）突然接入的直流电压(下)
（2）突然接通又马上断开电源(上)
K
负载
42
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础正负符号函数定义sgn(t)
1
0
t
可用阶跃表示-1
<?
>
=
)0(1
)0(1
)sgn(
t
t
t
1)(2)sgn(?= tut
43
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位冲激信号
?连续时间单位冲激信号持续时间无穷小，瞬间幅度无穷大，涵盖面积恒为1的一种理想信号，记
?狄拉克定义
t=0 t>0,t<0
)(tδ
1)(
∫
+∞
∞?
=dttδ
)(tδ
0
t
0)( =tδ
44
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础矩形脉冲演变成冲激函数定义：矩形面积不变，保持为1，宽趋于0时的极限
[ ])()(lim)(
22
1
0
ττ
τ
τ
δ+=
→
tutut
0
t
45
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位冲激平移
≠=?
==?
∫
+∞
∞?
00
00
0)(
1)(
tttt
ttdttt
δ
δ
t0
t
0
46
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础冲激函数的性质
?偶函数
?乘积
?筛选（积分）
)()()(
)()(
000
0
tfdttttf
dttftt
=?=
=?
∫
∫
+∞
∞?
δ
δ
)()()()().........()0()()(
000
tttftttftfttf?=?= δδδδ
)()( tt?=δδ
47
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础筛选特性
∫
∫∫
∞+
∞?
+∞
∞?
+∞
∞?
==
=
)0()()0(
)0()()()(
fdttf
dtftdttft
δ
δδ
t
)0(f
0
)()()(
)()(
000
0
tfdttttf
dttftt
=?=
=?
∫
∫
+∞
∞?
δ
δ
)(
0
tf
48
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础冲激串序列冲激串序列可定义为连续信号抽样的数学模型
∑
∞
∞=
===
n
ss
nTttxtptxnxnTx )()()()()()( δ
∑
∞
∞=
=
n
s
nTttp )()( δ
49
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础冲激序列对连续信号抽样
∑
∞
∞=
=
n
nTttxnTx )()()( δ
)(tx
)(nTx
t
n
50
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础采样函数
采样函数sinc (t)为偶函数
在t的正、负两方向振幅都逐渐衰减，当t=±π,
±2π,…,±nπ时，函数值为零。
t=0时，函数值为1。
t
1
π
2π
3π
4π-2π
-3π
-4π
π?
Sa(t)
0
()
2
()
()
Sa t dt
Sa t dt
Sa t dt
π
π
∞
∞
∞
∞
∞
=
=
=∞
∫
∫
∫
t
t
tctf
sin
)(sin)( ==
51
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位抽样信号在离散信号与离散系统的分析中作用重大，与冲激函数类似。
≠
=
=
00
01
)(
n
n
nδ
52
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位抽样信号
k延迟：单位抽样信号在n
轴上延迟k个抽样周期，有，
脉冲串序列：由单位抽样信号的所有延迟组成，
有
∑
∞
∞=
=
k
knnp )()( δ
≠
=
=?
kn
kn
kn
0
1
)(δ
≠
=
=?
kn
kn
kn
0
1
)(δ
53
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位阶跃序列u（n）
在脉冲串序列中，n小于0的部分恒为0，即
<
≥
=
00
01
)(
n
n
nu
54
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础任何序列均可表示为延迟采样序列的加权和。
∑
∞
∞=
=
k
k
knanx )()( δ
55
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础正弦序列正弦序列：
)sin()2sin()(?ω?π +=+= nAfnTAnx
s
56
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础复正弦序列与指数序列复正弦序列指数序列
)sin()cos()( njnenx
nj
ωω
ω
+==
n
anx =)(
57
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础测试技术与数据处理建议？
H
o
w
1
测试技术与数据处理信号分析基础（2）
2
测试技术与数据处理信号分析基础(2)
?系统
?线性系统的特点
?离散信号的运算
?离散时间系统
?信号的时域分析
?信号的频域分析
3
测试技术与数据处理
2.1 系统由若干相互作用、相互依赖的事物组合而成、具一定功能的整体。
4
测试技术与数据处理系统
?连续时间系统
?离散时间系统
?混合时间系统
5
测试技术与数据处理三大系统示意图
6
测试技术与数据处理子系统之间的连接方式
?串联
?并联
?混联
?反馈
7
测试技术与数据处理系统
?即时系统：系统的输出只取决于同时刻的激励信号，而与其历史无关。
?动态系统：系统的输出不仅取决于同时刻的激励信号，而且与其工作状态（历史）相关。
8
测试技术与数据处理系统
?集总参数系统：由集总参数元件构成的系统，其数学模型与空间位置无关，可用常微分方程表示。
?分布参数系统：含有分布参数元件的系统，其数学模型与空间位置相关，可用偏微分方程表示。
9
测试技术与数据处理系统
?线性系统
?非线性系统
?时变系统
?非时变系统(时不变系统)
?因果系统
?非因果系统
10
测试技术与数据处理系统分析的方法
?时域分析法：系统的时间响应特性（卷积方法）
?变换域分析法
?傅里叶变换（频域分析）
?拉氏变换（分析连续系统的传输特性）
?Z变换（分析离散系统的传输特性）
11
测试技术与数据处理
2.2 线性系统的性质
?齐次
?叠加性
?微分特性
?积分特性
?频率保持性
?时不变性
?系统的稳定性
12
测试技术与数据处理齐次性
13
测试技术与数据处理叠加性
14
测试技术与数据处理线性：同时满足齐次性与叠加性
)()()()(
,
)()(),()(
22112211
21
2211
tyatyatfatfa
aa
tytftytf
+→+
→→
则对于任意常数若
15
测试技术与数据处理微分特性
16
测试技术与数据处理积分特性
17
测试技术与数据处理频率保持性信号通过线性系统时，其各频率分量的幅值和相位尽管发生了变化，但不会增加新的频率分量。
18
测试技术与数据处理时不变性
)()(
)()(,
)()(
)()(
00
knyknx
nynx
ttyttf
tytf，
→?
→
→?
→
则若对于离散系统则若对于连续系统
19
测试技术与数据处理系统的稳定性
?线性时不变系统(LTI)，如果系统的单位冲激响应是绝对可积的，则系统的稳定的。
?在S域中，如果冲激响应的LAPLACE变换H（S）的全部极点落在左半平面，则系统是稳定的。
∞<
∫
∞
∞?
dtth )(
∫
∞
∞?
= dtethsH
st
)()(
20
测试技术与数据处理
2.3 离散信号的运算信号的延迟信号的相加信号的积信号的分解与变换
21
测试技术与数据处理离散信号序列的延迟
22
测试技术与数据处理离散信号的相加二个离散序列相加，将二序列中相同序号的值逐项相加，其和为一个新序列。
23
测试技术与数据处理二个序列的积二个序列的积是指二个序列中同序号的值逐项相乘，其积为一个新序列。
24
测试技术与数据处理离散信号的分解
∑
=
=
N
n
nn
nx
1
)(?α
25
测试技术与数据处理
2.4 离散时间系统
26
测试技术与数据处理离散时间系统（例）
)1()()(?+= naynxny
信号流图
27
测试技术与数据处理离散时间系统当输入的信号x(n)为单位抽样信号时，系统的输出(响应)是该系统的固有特征，记为h(n)，上例中
)()1()( nnahnh δ+?=
28
测试技术与数据处理线性时不变离散系统的特点
2线性（与连续时间系统相似）
2移不变性
2因果性（与连续时间系统相似）
2稳定性
29
测试技术与数据处理移不变性如果将输入x(n)延迟k个抽样周期，输出
y(n)也会相应地延迟k个周期。
30
测试技术与数据处理
LTI系统稳定性的条件
)(nhS
n
∞<=
∑
∞
∞=
即
31
测试技术与数据处理
2.4 信号的时域分析
?时域分解
?时域统计分析
?直方图分析
?时域相关分析
32
测试技术与数据处理时域分解为便于分析，将时域信号从不同角度进行分解
?直流分量与交流分量
?偶分量与奇分量
?实部分量与虚部分量
?脉冲分量之和
?正交函数之和
33
测试技术与数据处理直流分量和交流分量直流分量交流分量信号平均值
)()( tfftf
AD
+=
D
f
)(tf
A
)(tf
34
测试技术与数据处理偶分量与奇分量偶分量定义奇分量定义
)()( tftf
ee
=
)()( tftf
oo
=
t0
0
t
35
测试技术与数据处理实部分量和虚部分量
)(
)(
)()()(
tj
IR
etr
tjxtxtx
=
+=
36
测试技术与数据处理分解为脉冲之和
f (t)
f (Δt)
f (0)
f (kΔt)
误差
f
k
(t)
tkΔt (k＋1)Δt2ΔtΔt
当Δt→ 0时,误差→ 0。
0
37
测试技术与数据处理分解为脉冲之和
f(t)可以分解为脉冲信号之和，思路是先把信号f(t)分解成宽度为Δt的矩形窄脉冲之和，任意时刻kΔt的矩形脉冲幅度为f(kΔt)。我们假设f(t)为因果信号。这样
f
0
(t)=f(0)［u (t)-u(t-Δt )］
f
1
(t)=f(Δt )［u (t-Δt )-u(t-2Δt )］
…
f
k
(t)=f(kΔt )［u (t-kΔt )-u(t-(k+1)Δt)］
…
38
测试技术与数据处理分解为脉冲之和信号f(t)可近似表示为
])1(()()[(
)()()()()(
0
210
tktutktutkf
tftftftftf
n
k
k
Δ+Δ?Δ≈
++++≈
∑
=
L
39
测试技术与数据处理正交函数集
n个函数构成一函数集，
如在区间内满足正交特性，即
)(),(),(
21
tgtgtg
n
K
),(
21
tt
)(0)()(
2
1
jidttgtg
t
t
ji
≠=
∫
∫
=
2
1
)(
2
t
t
ii
Kdttg
则此函数集称为正交函数集
40
测试技术与数据处理任意函数由n个正交函数的线性组合所近似
)(
)()()()(
1
2211
tgc
tgctgctgctf
n
r
rr
nn
∑
=
=
+++≈ L
i
c
∫
∫
∫
==
2
1
2
1
2
1
)()(
1
)(
)()(
2
t
t
t
i
i
t
t
i
t
i
i
dttgtf
K
dttg
dttgtf
c
由最小均方差准则，要求系数满足
41
测试技术与数据处理分解为正交函数之和
)()()()(
2211
txctxctxctx
nn
+++= LL
42
测试技术与数据处理时域的统计分析
?均值
?均方值
?方差
?概率密度函数
?概率分布函数
?联合概率密度函数
43
测试技术与数据处理直方图分析包括幅值计数分析、时间计数分析等。
44
测试技术与数据处理时域相关分析
?相关函数用于描述二个信号之间的相似程度，也可用来描述信号的现在值与过去值的关系。
?相关系数
∫∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
=
2
1
22
])()([
)()(
dttxdtty
dttxty
xy
ρ
45
测试技术与数据处理互相关函数用来描述二个信号在时移中的相关性。它定义为
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
dttxtyR
or
dttytxR
yx
xy
)()()(
)()()(
ττ
ττ
46
测试技术与数据处理自相关函数用来描述信号与其τ延迟之间的相关性，定义为
∫
∞
∞?
= dttxtxR
x
)()()( ττ
47
测试技术与数据处理相关函数的性质
?自相关函数是的τ偶函数
?当τ=0时，自相关函数有最大值
?周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期函数，但不具有原信号的相位信息
?两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期函数，但保留了原信号的相位信息
?两个非同频的周期信号互不相关
48
测试技术与数据处理
2.5 信号的频域分析
?周期信号
?非周期信号
?随机信号
49
测试技术与数据处理周期信号的频域分析若周期函数f(t)满足狄里赫利条件:
(1) 在一周内连续或有有限个第一类间断点；
(2) 一周内函数的极值点是有限的；
(3) 一周内函数是绝对可积的，即
∞<
∫
+
dttf
Tt
t
)(
0
0
50
测试技术与数据处理周期信号的频域分析则f(t)可以展开为三角形式的傅里叶级数
)sincos(
2
1
)(
00
1
0
tnbtnaatf
nn
n
ωω ++=
∑
∞
=
式中,
tdtntf
T
b
tdtntf
T
a
Tt
t
n
Tt
t
n
0
0
sin)(
2
cos)(
2
0
0
0
0
ω
ω
∫
∫
+
+
=
=
ω
0
=2π/T是基波角频率，有时也简称基波频率。
51
测试技术与数据处理周期信号的频域分析还可以将一般三角形式化为标准的三角形式
)cos(
2
1
)sinsincos(cos
2
1
sincos
2
1
)sincos(
2
1
)(
0
1
0
00
1
0
0
22
0
22
22
1
0
00
1
0
nn
n
nnn
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
tnAa
tntnAa
t
ba
b
t
ba
a
baa
tbtaatf
ω
ω?ω?
ωω
ωω
+=
++=
+
+
+
++=
++=
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
n
n
nnnn
a
b
baAaa arctan,,
22
00
=+==?
其中
52
测试技术与数据处理周期信号的频域分析
00
0
0
sincos
)(
2
1
sin
)(
2
1
cos
0
00
00
ωω
ω
ω
ω
ωω
ωω
njne
ee
j
n
een
jn
jnjn
jnjn
±=
=
+=
±
tjn
n
n
eCtf
0
)()(
0
ω
ω
∑
∞
∞=
=
欧拉公式表示为复指数形式的傅里叶级数
dtetf
T
C
tjn
Tt
t
n
0
0
0
)(
1
)(
0
ω
ω
+
∫
=
其中系数
53
测试技术与数据处理周期信号的傅里叶级数的特点
?谐波性，各次谐波频率之比为有理数
?离散性，各次谐波在频率轴上取离散值
?收敛性，各次谐波分量随频率增加而衰减
54
测试技术与数据处理周期矩形脉冲信号的频域分析例：周期矩形脉冲信号的傅里叶展开，了解其频谱特点。
－T
…
T
E
0
…
t
2
τ
2
τ
－
f (t)
<<?
=
其它0
22
)(
ττ
tE
tf
其中，ω
0
=2π/ T。
55
测试技术与数据处理周期信号的频域分析将f(t)展开成指数形式傅里叶级数，
2
inc
|
11
)(
0
2
2
0
2/
2/
0
00
τωτ
ω
ω
τ
τ
ωω
τ
τ
n
S
T
E
e
jnT
E
dtEe
T
C
tjntjn
n
=
==
∫
56
测试技术与数据处理周期信号的频域分析
57
测试技术与数据处理周期信号的频域分析图傅里叶变换就象一面棱镜输入f (t)
输入自然光自然物理棱镜傅里叶变换棱镜赤橙黄频率1
频率2
频率3
…
…
…
…
58
测试技术与数据处理吉布斯现象
?吉布斯现象：当用有限项的傅里叶级数的谐波分量之和来重现（具有间断点）波形时，出现肩峰与波动的现象，称之为吉布斯现象。
?吉布斯现象产生的根源：级数展开式在间断点邻域不能均匀收敛引起。
?影响规律：当有限项级数的项数N增大时，波形顶部愈平坦，肩峰愈向间断点靠拢。
59
测试技术与数据处理非周期信号的频域分析信号的时间函数f(t)和它的傅氏变换即频谱X(ω)是同一信号的两种不同的表现形式。不过，f( t)显示了时间信息而隐藏了频率信息；X(ω)
显示了频率信息而隐藏了时间信息。
)(
)()(
)(
2
1
)(
)()(
ω?
ω
ω
ωω
ωω
π
ω
j
tj
tj
eXX
deXtf
dtetfX
=
=
=
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
60
测试技术与数据处理非周期矩形脉冲信号的频域分析例：矩形脉冲信号宽度为τ，幅度为1，求其傅里叶展开。
===
==
∞
∞?
∫∫
2
inc
2/
)2/sin(
2
sin
2
)()(
2/
2/
ωτ
τ
ωτ
ωτ
τ
ωτ
ω
ω
ω
τ
τ
ω
S
dtedtetfX
tjtj
61
测试技术与数据处理非周期信号的频域分析
0
0
1
)(ωF
ω
τ
π4
τ
π2
τ
π2
τ
π4
－
－
2
τ
2
τ
－
f (t)
t
…
…
0
ω
－π
π
(ω)
τ
π4
τ
π2
－
τ
π4
－
τ
π2
62
测试技术与数据处理非周期信号的吉布斯现象
?用频域函数X(ω)恢复（表示）原信号x(t)时，当频率取有限范围时（即频域截断时，由傅里叶逆变换算得的x(t)在时域间断点附近呈现波动现象，这也称为吉布斯现象。
?频域截断带越宽，波动沿时间轴越压缩；反之亦然。
?进一步推广：信号在一个域内截断，那么，肯定会在另一个域内发生波动。而这个波动与Sinc函数有关。
63
测试技术与数据处理随机信号的功率谱密度
?随机信号的特点：时域无限信号，因此，不具备积分条件，理论上无法进行傅里叶变换，来分析其幅值谱与相位谱。
?但可对随机信号的功率谱密度进行分析。
?信号的功率谱密度是信号的自相关函数的傅里叶变换。
64
测试技术与数据处理非周期随机信号的自功率谱密度
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
ωω
π
τ
ττω
ωτ
ωτ
deSR
deRS
j
xx
j
xx
)(
2
1
)(
)()(
65
测试技术与数据处理随机信号的功率谱密度对于二个随机信号x(t)、y(t)之间的互谱密度可用其互相关函数的傅里叶变换来求得。
1
测试技术与数据处理信息转换与传输（3）
2
测试技术与数据处理信息转换与传输（3）
?信息论基本知识
?信息转换
?信息传输
?信息传输过程中的干扰噪声
3
测试技术与数据处理
3.1 信息论基本知识
?信息的定义
?物质、能量与信息之间的关系
?信息的基本性质
?信息科学与技术
?信息论
?信源及其模型
?信息熵及其性质
4
测试技术与数据处理信息的定义
9维纳说
9朗格说
9山农说
5
测试技术与数据处理信息的定义综合上述观点，信息可定义为：事物运动的状态与方式。
6
测试技术与数据处理物质、能量与信息之间的关系
?能量是物质运动的动力
?信息是物质运动状态特征的描述
?而物质则是能量与信息的载体
7
测试技术与数据处理信息的基本性质
?可以识别
?可以转换
?可以贮存
?可以传输
8
测试技术与数据处理信息科学与技术
?信息科学：研究信息现象及其规律的科学。
?信息科学的内容：一是信息本身的规律；利用信息方面的规律。
?信息科学的主体结构：信息论、控制论与系统论。
?信息技术：拓展人的信息功能的技术，包括传感技术、通讯技术及计算机技术，三者构成了信息技术的核心。
9
测试技术与数据处理信息论
?狭义信息论
?一般信息论
?广义信息论
10
测试技术与数据处理广义通信系统的模型
11
测试技术与数据处理信源及其模型
?信源：我们所研究的客观事物。
?离散信源：随机变量取值于某一离散集合。
?连续信源：随机变量取值于一连续区间。
12
测试技术与数据处理离散信源
][
=
)()......(),(
......,
,
21
21
n
n
xPxPxP
xxx
PX
13
测试技术与数据处理自信息与信息熵
)(log)(
ii
xPxI?=
∑
=
=
N
i
ii
xPxPXH
1
)(log)()(
14
测试技术与数据处理信息熵的基本性质对称性确定性：如果信源的输出只有一个确定状态，则其信息熵为0
非负性可加性极值性
15
测试技术与数据处理连续信源的数学模型
[]
∫
∫
=
=
=
b
a
b
a
dxxpxpXh
，dxxp
xp
ba
xpX
)(log)()(
1)(
)(
),(
)(,
而信息熵并满足
16
测试技术与数据处理
p(x)服从正态分布时
2
2
2
2log
2
1
)(log)()(
2
)(
exp
2
1
)(
σπ
σ
σπ
edxxpxpxh
，
mx
xp
=?=
=
∫
∞
∞?
信息熵可表示为时
17
测试技术与数据处理
3.2 信息转换
?人类认识事物、改造事物的基本规律
?人类感官的局限性
?解决人类感官局限性的方法－传感器
?传感器技术的发展方向
?工程中应用的传感器
?传感器的标定与选用原则
18
测试技术与数据处理信息转换
19
测试技术与数据处理信息转换
?人类认识事物、改造事物的基本规律
?人类感官的局限性
?解决人类感官局限性的方法－传感器
?传感器技术的发展方向
?工程中应用的传感器
?传感器的标定与选用原则
20
测试技术与数据处理信息转换
?人的视觉的局限性
?人的听觉的局限性
?人的嗅觉的局限性
21
测试技术与数据处理信息转换
?人类认识事物、改造事物的基本规律
?人类感官的局限性
?解决人类感官局限性的方法－传感器
?传感器技术的发展方向
?工程中应用的传感器
?传感器的标定与选用原则
22
测试技术与数据处理传感器
?传感器是人类感官的延伸
?简单的感测系统，如温度计，其感知元件与显示元件均有水银担当
?复杂的感测系统
23
测试技术与数据处理信息转换
?人类认识事物、改造事物的基本规律
?人类感官的局限性
?解决人类感官局限性的方法－传感器
?传感器技术的发展方向
?工程中应用的传感器
?传感器的标定与选用原则
24
测试技术与数据处理传感器的发展方向
?扩展感知的谱域
?识别信息的智能化
?动态测量
?遥测技术
?特殊环境的测量
25
测试技术与数据处理信息转换
?人类认识事物、改造事物的基本规律
?人类感官的局限性
?解决人类感官局限性的方法－传感器
?传感器技术的发展方向
?工程中应用的传感器
?传感器的标定与选用原则
26
测试技术与数据处理传感器的分类
9按被测物理量进行分类：
力传感器、速度传感器、温度传感器等。
9按传感器的工作原理或传感过程中信号转换的原理分类：
9结构型传感器：根据传感器的结构变化来实现信号的传感，如电容传感器。
9物性型传感器：根据传感器敏感元件材料本身物理特性的变化来实现信号的转换。如压力加速度计是利用了传感器中石英晶体的压电效应；光敏电阻则是利用材料在受光照作用下改变其电阻的效应。
27
测试技术与数据处理传感器的分类
9根据传感器与被测对象之间的能量转换关系分类：
能量转换型传感器（亦称无源传感器）：直接由被测对象输入能量来使传感器工作的。如热电偶温度计、弹性压力计等等。
能量控制型传感器（亦称有源传感器）：依靠外部提供辅助能源来工作，由被测量来控制该能量的变化。如电桥电阻应变仪。
28
测试技术与数据处理电阻式传感器
?电阻式传感器：将被测的量转变为电阻变化的一种传感器。
?工作原理：
一个电导体的电阻值：
式中：R－电阻（Ω）；
ρ－材料的电阻率（Ω·mm
2
/m）；l－导体的长度
（m）；A－导体的截面积（mm
2
）。
?改变长度l，则可形成滑动触点式变阻器或电位计；
?改变l、A和ρ则可做成电阻应变片；
?改变ρ，则可形成热敏电阻、光导性光检测器、压阻应变片、以及电阻式温度检测器。
)(Ω=
A
l
R
ρ
29
测试技术与数据处理电阻传感器粘贴式金属丝应变片可用于应力分析，也可用作为传感器。由于可测的电阻值变化要求导线长度很长，因而要将导线按一定的形状（通常为栅状）曲折地贴在由浸渍过绝缘材料的纸衬或合成树脂组成的载体上。
金属丝应变片应变片结构纵截面情形
30
测试技术与数据处理应变片的粘贴
1）常用的粘接剂：环氧树脂、酚醛树脂等；
2）高温下：专用陶瓷粉末等无机粘接剂。
对粘接剂的要求：保证粘接面有足够的强度、绝缘性能、
抗蠕变、以及温度变化范围等。
使用粘接方法的温度范围：-249℃～816℃
3）对超高温度来说，常要采用焊接技术来进行连接。
31
测试技术与数据处理信息转换应变片的应用
?结构的应力和应变分析；
?用于制成力、位移、
压力、力矩和加速度等测量传感器。
粘贴应变计的力和力矩传感器
（a）拉力杆（b）压力杆
（c）弯曲悬臂（d）扭矩轴
32
测试技术与数据处理电感式传感器
?定义：利用电磁感应原理，将被测的非电量转换成电磁线圈的自感或互感量变化的一种装量。
?分类：
按照结构方式分类变气隙式变截面式螺管式按照转换方式分类自感式互感式
33
测试技术与数据处理电容式传感器
?定义：电容式传感器采用电容器作为传感元件，将不同物理量的变化转换为电容量的变化。
?原理：
忽略边缘效应，一平板电容器的电容可表达为：
式中A—极板面积（m
2
）；ε
0
—真空介电常数,ε
0
=8.85×10
-1 2
(F/m);
ε—极板间介质的介电常数，当介质为空气时ε=1；d—两极板间距离（m）。
()F
A
C
d
0
εε
=
平板电容分类：面积变化型A、介质变化型ε和间隙变化型d
34
测试技术与数据处理压电传感器
?压电传感器：利用某些材料的压电效应，这些材料在受到外力的作用时，在材料的某些表面上产生电荷。
?压电效应(piezoelectric effect)：
某些材料当它们承受机械应变作用时，其内部会产生极化作用，从而会在材料的相应表面产生电荷；或者反过来当它们承受电场作用时会改变其几何尺寸。
?分类：
单晶压电晶体，如石英、罗歇尔盐（四水酒石酸钾钠）、
铌酸锂(LN)、磷酸二氢铵等；
多晶压电陶瓷，如极化的铁电陶瓷（钛酸钡）、锆钛酸铅等；
某些高分子压电薄膜。
35
测试技术与数据处理石英单晶石英晶体是常用的压电材料之一。其中纵轴Z—Z称为光轴，X—X轴称为电轴，而垂直于X—X轴和Z—Z轴的Y—
Y轴称为机轴。沿电轴X—X方向作用的力所产生的压电效应称为纵向压电效应，而将沿机轴Y—Y方向作用的力所产生的压电效应称为横向压电效应。当沿光轴Z—Z方向作用有力时则并不产生压电效应。
石英晶体
（a）左旋石英晶体的外形（b）坐标系（c）切片
36
测试技术与数据处理
?主要的压电效应：
横向效应；
纵向效应；
剪切效应。
?晶片在电轴X—X方向上受到压应力σ
xx
作用切片在厚度上产生变形并由此引起极化现象，极化强度P
xx
与应力σ
xx
成正比，即式中F
x
——沿晶轴X—X方向施加的压力；
d
11
——压电系数，石英晶体的d
11
=2.3×10
-12
CN
-1；
l——切片的长；b——切片的宽。
lb
F
ddP
x
xxxx 1111
== σ
压电效应作用方向图
37
测试技术与数据处理信息转换极化强度P
xx
又等于切片表面产生的电荷密度，即式中q
xx
——垂直于晶轴X-X的平面上产生的电荷量。
因此，可得当石英晶体切片受X向压力作用时，所产生的电荷量
q
xx
与作用力Fx成正比，但与切片的几何尺寸无关。
lb
q
P
xx
xx
=
xxx
Fdq
11
=
38
测试技术与数据处理信息转换在横向（Y—Y）施加作用力F
y
式中d
12
—石英晶体在Y—Y轴方向受力时的压电系数；
l
y
，l
x
—石英切片的长和厚。
根据石英晶体轴的对称条件有
当沿着机轴Y—Y方向施加压力时，产生的电荷量与晶片几何尺寸有关，极性则与沿电轴X—X方向加压力时产生的电荷极性相反（式中负号）。
y
x
y
y
x
y
xy
F
l
l
dF
bl
bl
dq
1212
==
1112
dd?=
y
x
y
xy
F
l
l
dq
11
=
39
测试技术与数据处理磁电式传感器
?概念：一种将被测物理量转换为感应电动势的装置，亦称电磁感应式或电动力式传感器。
?由电磁感应定律可知，当穿过一个线圈的磁通
Φ发生变化时，线圈中所感应产生的电动势
?分类：
?动圈式；
?动磁铁式；
?磁阻式。
dt
d
We
φ
=
40
测试技术与数据处理红外探测器
?红外探测器：能将红外辐射量转化为电量的装置。
?分类：
热敏探测器；
光敏探测器。
?热敏探测器
?利用半导体薄膜材料在受到红外辐射时产生的热效应。
?响应时间较长，约在10
-3
s的量级。
?对辐射的各种波长基本上有相同的响应，其光谱响应曲线平坦，在整个测量波长范围内灵敏度基本不变，且能在常温下工作。
41
测试技术与数据处理光电探测器
是一种半导体器件，它的核心是光敏元件。
当光子投射到光敏元件上时，促使电子—空穴对分离，产生电信号。
光电效应产生很快，光电探测器对红外辐射的响应时间可达毫微秒。
其对波长的响应率有个峰值λp，超过λp时响应曲线迅速截止。其原因是，在大于一定波长的范围内，光子能量不足于激发电子的释出，电活性消失。
光电探测器必须在低温下才能工作。
红外探测器光谱响应
42
测试技术与数据处理电荷耦合器件CCD
?固态图象传感器：一种固态集成元件，其核心部分是电荷耦合器件（Charge Coupled Device，简称CCD）。
? CCD：以阵列形式排列在衬底材料上的金属——氧化物——
硅（Metal Oxide Semiconductor，简称MOS）电容器件组成的，具有光生电荷、积蓄和转移电荷的功能。
?固态图象传感器的分类：
?线阵型：目前一般有1024、1728、2048和4096个象素的传感器；
?面阵型：从512×512一直到512×768个象素的，最高分辨力的可达2048×2048个象素的或更高。
43
测试技术与数据处理固态图象传感器工作原理
(a)MOS光敏单元
(b)1024单元阵列
(c)线阵式摄像机
44
测试技术与数据处理固态图象传感器的应用用CCD线阵型摄象机作流水线零件尺寸在线检测。
CCD线阵摄象机作二维零件尺寸在线检测
45
测试技术与数据处理
CCD的应用采用CCD线阵型摄像机利用三角法测量物体位置。
三角法原理测量物体位移及轮廓
46
测试技术与数据处理
CCD的应用采用面阵式CCD摄象机利用投影法测量物体三维表面形貌。
投影法测量物体三维形貌
47
测试技术与数据处理霍尔传感器
?霍尔传感器：属半导体磁敏传感器。
?组成材料：砷化铟（InAs）、锑化铟（InSb）、锗（Ge）、
砷化镓（GaAs）等高电阻率半导体材料。
?霍尔效应：将霍尔元件（霍尔板）置于一磁场中，板厚d一般远小于板宽b和板长，当在板长度方向通以控制电流I时，
则在板的侧向（宽度方向）会产生电势差。
霍尔元件及霍尔效应
（a）霍尔元件构造（b）霍尔元件特性曲线
48
测试技术与数据处理霍尔传感器的应用位置测量用作终端位置开关，用于无接触地监测机器部件的位置。
霍尔传感器测量物体位置
49
测试技术与数据处理霍尔传感的应用转速测量测量齿轮的转速。
霍尔效应齿轮测速传感器
50
测试技术与数据处理射线检测
?检测原理：利用被测物质对射线的吸收、散射或者与物质的其它相互作用来进行工作
?检测范围：材料厚度、内伤、物质密度、成分、物位
?装置组成：射线源、探测器、信号转换、显示、记录等部分组成
?射线源：X射线或α、β、γ射线
?探测器：将射线能量转化为电信号，种类有比例计数器、盖革计数器、闪烁计数器与半导体探测器等
51
测试技术与数据处理超声探测器
?超声波：频率高，因而具有比相同振幅的声波高得多的能量，具有极高的穿透能力
?超声波在界面上的反射能量与透射能量的比值，取决于二种介质的声阻抗特性Z(介质的密度与声速的积)
?介质的Z相差越大，反射越强
?可用于工件厚度与内伤等方面的测量
52
测试技术与数据处理声发射探测
?原理：从外部施加载荷，使固体材料发声，利用按收到的声音信号研究材料内部的缺陷，评价材料的特性
?实质：材料微观发生变化时，以弹性波的形式释放能量。
?声发射探测器：将弹性波转化为可测量的电信号的一种传感器，通常为压电谐振式结构，由压电元件、阻尼剂、壳体、底座及电缆线等部分组成
?描述AE信号特征的参数有：振铃计数与计数率、事件计数与计数率、振幅与振幅分布等
53
测试技术与数据处理光纤传感器
?光纤传感器分为物性型与结构型
?物性型：基于光纤的光调制效应，当环境改变时，
如应变、压力、电场、温度作用于光纤时，可以改变光纤中传输的光的相位与强度，又称为功能型光纤，如压力传感器，声压力传感器
?结构型光纤：由光检测元件与光纤传输路组成的测试系统，光纤仅起传输媒介的作用，如激光－多普勒效应速度传感器，用于汽车、颗粒粒度的测量
54
测试技术与数据处理信息转换
?人类认识事物、改造事物的基本规律
?人类感官的局限性
?解决人类感官局限性的方法－传感器
?传感器技术的发展方向
?工程中应用的传感器
?传感器的标定与选用原则
55
测试技术与数据处理传感器的选用原则
?灵敏度：灵敏度越小，代表其感知的变化量越小
?响应特性：响应的延迟越小越好
?线性：线性范围越宽，表明传感器的工作量程越大
?稳定性：长时间使用后，其输出特性不发生变化的能力
?精确度：输出与被测量值的对应程度
56
测试技术与数据处理
3.3 信息传输
?信道:信号传输的媒介与途径
?信道容量：信道最大的传输速率，单位为bit/s
?Shannon Formula
)1log(
n
s
t
P
P
FC +=
57
测试技术与数据处理
3.4 干扰噪声
?噪声的定义：除信号源以外的其它信号。
?观察到的信号：是真正的信号与噪声的函数。
?白噪声：含有所有频率成份的噪声。其均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非零常数（N
0
/2）。
58
测试技术与数据处理
3.4干扰噪声
?噪声源：系统外噪声与系统内噪声
?系统外噪声：雷电、高压电网、空间电磁波、环境温度、光照、振动等
?系统内噪声：电子元件的热噪声、散粒噪声、闪烁噪声、量子噪声等
1
测试技术与数据处理连续系统分析（1）
2
测试技术与数据处理连续系统分析
?连续系统的时域分析
?连续系统的频域分析
?连续系统的复频域（S域）分析
?调制与解调
3
测试技术与数据处理
4.1 连续系统的时域分析
?系统的微分方程及其响应
?卷积及其应用
?相关函数
? MATLAB在时域分析中的应用
4
测试技术与数据处理连续时间系统的时域分析例由一个RLC构成的二阶系统
5
测试技术与数据处理以电感中电流为响应的二阶方程
)(
1
)(
1)()(
2
2
ti
LC
ti
LCdt
tdi
L
R
dt
tid
s
=++
6
测试技术与数据处理以电容的电压为响应的二阶方程
)(
)(1
)(
1)()(
2
2
ti
LC
R
dt
tdi
C
tu
LCdt
tdu
L
R
dt
tud
sc
cc
+=++
7
测试技术与数据处理二阶方程的解
?线性时不变系统(LTI)的响应是其零输入响应(Zero-input
Response，ZIR)与零状态响应(Zero-state Response，
ZSP)之和。
?零输入响应（ZIR），是指从观察的初始时刻起，不输入任何信号，仅由本系统的起始状态所引起的响应（或称为储能响应）。
?零状态响应（ZSP），当系统中的储能为零时，由外加激励信号产生的响应（或称受激响应）。
)()()( tytyty
zszi
+=
8
测试技术与数据处理冲激响应h（t）
储能状态为零的电路，在单位冲激信号的作用下，产生的零状态响应称为冲激响应，记为h（t）。它可用来表征一个系统的本质特性。
9
测试技术与数据处理
RC系统问题
10
测试技术与数据处理
RC问题的解
)(
1
)()( te
RC
tuth
RC
t
c
ε
==
11
测试技术与数据处理卷积的定义设定义在（-∞，∞）上的二个函数f
1
（t）与
f
2
（t），则下面的积分称为这二个函数的卷积。
)()()(
)()()(
21
21
tftfty
dtffty
=
=
∫
∞
∞?
并记为
τττ
12
测试技术与数据处理系统的卷积分析法对于一个系统，如果已知其冲激响应和输入信号，则其零状态的响应，可用下面的卷积来表示：
∫
∞
∞?
=
=
τττ dthf
thtfty
)()(
)(*)()(
13
测试技术与数据处理卷积的基本性质
?交换律
?结合律
?分配律
?微分性质
?积分性质
14
测试技术与数据处理卷积的微分性质
)(*)()(*)()(
)(*)()(
2
'
1
2
'
1
'
21
tftftftfty
tftfty
，
==
=
则若二个函数满足
15
测试技术与数据处理卷积的积分性质
∫∫ ∫
==
=
))((*)()(*))(()(
)(*)()(
2121
21
dttftftfdttfdtty
，
tftfty
其积分满足那么如果有
16
测试技术与数据处理卷积的进一步讨论若信号f(t)与系统的冲激响应h(t)均为t=0时的有始信号，则其响应可写为
)(])()([)(*)(
0
tdthfthtf
t
ετττ
∫
=
17
测试技术与数据处理卷积的进一步讨论若信号f(t)的起始时间为t1，系统的冲激响应
h(t)的起始时间为t2时，则其响应可写为
)(])()([)(*)(
21
2
1
tttdthfthtf
tt
t
=
∫
ετττ
18
测试技术与数据处理卷积的进一步讨论
)()(*)(
)(
)()(*)(
)()(
00
0
ttftttf
，tt
tfttf
ttf
=?
=
δ
δ
δ
δ
则有延迟若仍为信号其本身的卷积与冲激信号任意信号
19
测试技术与数据处理卷积的图解法卷积的图解法是计算卷积的基本方法，优点是可以直观确定积分限、积分条件。
图解法具体步骤为
(1) f(t)→f(τ)，函数图形不变，仅t→τ。
(2) h(t)→h(t-τ)，它包括两部分运算:
①折叠或对称h(t)→h (τ)→h(-τ)；
②移位,t是h(-τ)与h(t-τ)之间的“距离”。
t<0 左移
t>0 右移
20
测试技术与数据处理
(3) 将折叠移位后的图形h(t-τ)与f(τ)相乘。
(4) 求h(t-τ)与f(τ)相乘后其非零值区的积分（面积）。
卷积的图解法(2)
21
测试技术与数据处理
f(t)、h(t)如图所示，求y (t)=f(t)*h(t)。
例
22
测试技术与数据处理图解法示意图
23
测试技术与数据处理图解法示意图
t12
0
y (t)
2
E
t21
0
1
h (t－τ)
τ
h (t－τ)
1＜t＜2
t
0
12
1
τ
t＞2
(c) 1＜t＜2
[]
)1(2
1
)(2
e1
2
de)()(
∫
t
t
t
E
Ethtf τ
τ
＝
＝－
[ ]
[]
其他 0
2 ee
2
21 e1
2
)1(2)2(2
)1(2
t
E
t
E
tt
t
(e) y(t)＝
－
－
＜＜
＞
(d) t＞2
[]
)1(2)2(2
2
1
)(2
ee
2
de)()(
∫
tt
t
E
Ethtf τ
τ
＝
＝－
24
测试技术与数据处理相关积分
?两个函数f
1
(t)与f
2
(t)的相关积分定义为
?可记为
∫
∞
∞?
= τττ dtffty )()()(
21
)()()(
21
tftfty?=
25
测试技术与数据处理自相关函数用来描述信号与其τ延迟之间的相关性，定义为
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
τττ
ττ
dtxxtR
dttxtxR
x
x
)()()(
)()()(
t和τ互换
26
测试技术与数据处理互相关函数用来描述二个信号在时移中的相关性。它定义为
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
τττ
τττ
dtxytR
or
dtyxtR
yx
xy
)()()(
)()()(
27
测试技术与数据处理信号的Matlab表示
?连续信号y=A*exp(a*t)
? A=1;a=-0.4;
? t=0:0.01:10;
? ft=A*exp(a*t);
? plot(t,ft)
28
测试技术与数据处理离散信号
? y=a
k
? k=0:10;A=1;a=0.6;
? fk=A*a.^k;
? stem(k,fk)
程序中用stem
（k,fk)绘制离散序列波形
29
测试技术与数据处理正弦信号
? y=sin(π/6)t
? t=0:0.001:39;
? ft=sin(pi/6*t);
? plot(t,ft)
? y=sin(π/6)n
? n=0:39;
? ft=sin(pi/6*n);
? stem(n,ft)
30
测试技术与数据处理
Matlab在时域分析中的应用
?求一个系统的冲激响应
(以下面的二阶系统为例进行说明)
)(10)(100)('2)('' ttytyty δ=++
31
测试技术与数据处理
Matlab在时域分析中的应用
? %Program of impulse response of
LTI system
? ts=0;te=5;dt=0.01
? sys=tf([10],[1 2 100]);
? t=ts:dt:te;
? y=impulse(sys,t)
? plot(t,y)
? xlable(’Time(sec)’);
? ylable(’h(t)’)
)(10)(100)('2)('' ttytyty δ=++
sys是LTI系统模型
32
测试技术与数据处理
33
测试技术与数据处理
4.2 连续系统的频域分析
?周期信号的频谱
?非周期信号的频谱
?傅里叶变换的性质
?系统的频域分析
?取样定理及其应用
34
测试技术与数据处理
4.2.1周期信号的频谱
?周期信号的傅里叶变换(三角级数)
?周期信号的傅里叶变换(复指数)
?周期信号的频谱分析
35
测试技术与数据处理周期信号的傅里叶变换(三角级数)
在有限区间上，一个周期信号x（t）
当满足狄里赫利条件：
1）任一个周期内，有限间断点
2）任一个周期内，有限的极大值与极小值
3）在一个周期内，其绝对值可积的则该周期信号可展开成傅里叶级数。
36
测试技术与数据处理周期信号展开成三角级数
∑
∞
=
++=
1
00
0
)sincos(
2
)(
n
nn
tnbtna
a
tx ωω
∫
=
2/
2/
0
cos)(
2
T
T
n
tdtntx
T
a ω
式中，
∫
=
2/
2/
0
sin)(
2
T
T
n
tdtntx
T
b ω
?a
n
是n或nω
0
的偶函数，a
-n
=a
n；而b
n
则是n或nω
0
的奇函数，有b
-n
=-b
n
。
37
测试技术与数据处理周期信号展开成三角级数
∑
∞
=
+=
1
0
0
)cos(
2
)(
n
nn
tnA
a
tx?ω
=
+=
)(
22
n
n
n
nnn
a
b
arctg
baA
n＝1,2,……
信号x（t）还可表示为另一种形式的傅里叶级数：
A
n
称信号频率成分的幅值，φ
n
称初相角。
38
测试技术与数据处理周期信号的傅里叶变换的形貌特征首先，
我们可以看出：连续周期信号的频谱是离散的!
另外：
? 式中第一项a
0
/2为周期信号中的常值或直流分量 ；
? 从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、
二次谐波、三次谐波、……、n次谐波 ；
? 将信号的角频率ω
0
作为横坐标，可分别画出信号幅值A
n
和相角φ
n
随频率ω
0
变化的图形，分别称之为信号的幅频谱图和相频谱图。
? 由于n为整数，各频率分量仅在nω
0
的频率处取值，
因而得到的是关于幅值A
n
和相角φ
n
的离散谱线。
39
测试技术与数据处理例求下图所示的周期方波信号x(t)的傅里叶级数。
40
测试技术与数据处理解其幅频谱图和相频谱图如下：
41
测试技术与数据处理周期信号的复指数展开
=
+=
)(
2
sin
)(
2
1
cos
tjtj
tjtj
ee
j
t
eet
ωω
ωω
ω
ω
L,2,1,0)()(
0
±±==
∑
∞
∞=
nenXtx
n
tjnω
x（t）可表达成指数形式我们有
42
测试技术与数据处理周期信号的复指数展开
()L,2,1,0
)(
1
)(
2/
2/
0
±±=
=
∫
n
dtetx
T
nX
T
T
tjnω
∑
∞
∞=
=
k
tjn
enXtx
，
0
)()(
ω
这样
43
测试技术与数据处理例求周期矩形脉冲的复指数展开，设周期矩形脉冲的周期为T，脉冲宽度为τ，如下图所示。
44
测试技术与数据处理解
L,2,1,0
2
sinc
2
2
sin
2
sin
21
1
)(
1
)(
0
0
0
0
0
2/
2/
0
2/
2/
2/
2/
0
00
±±==
=
=
=
==
∫∫
n
n
T
n
n
T
n
n
Tjn
e
T
dte
T
dtetx
T
nX
tjn
tjn
T
T
tjn
）（
τωτ
τω
τω
τ
ω
τω
ω
τ
τ
ω
τ
τ
ωω
45
测试技术与数据处理周期信号幅值谱的特征
?周期信号的频谱是离散谱；
?周期信号的谱线仅出现在基波及各次谐波频率处；
?周期信号的幅值谱中各频率分量的幅值随着频率的升高而减小，频率越高，幅值越小。
46
测试技术与数据处理前例求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为
T，脉冲宽度为τ，如下图所示。
47
测试技术与数据处理解
L,2,1,0
2
sinc
2
2
sin
2
sin
21
1
)(
1
)(
0
0
0
0
0
2/
2/
0
2/
2/
2/
2/
0
00
±±==
=
=
=
==
∫∫
n
n
T
n
n
T
n
n
Tjn
e
T
dte
T
dtetx
T
nX
tjn
tjn
T
T
tjn
）（
τωτ
τω
τω
τ
ω
τω
ω
τ
τ
ω
τ
τ
ωω
48
测试技术与数据处理连续周期信号的傅里叶变换定义
)(
sin
)(sin xSa
x
x
xc
def
==
L,2,1,0,
2
sin)(
0
±±=
= n
n
c
T
nX
τωτ
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
==
k
tjn
k
tjn
e
T
n
c
T
enXtx
00
sin)()(
ωω
πττ
那么
49
测试技术与数据处理连续周期信号的傅里叶变换周期矩形脉冲的频谱（T=4τ）
50
测试技术与数据处理频谱分析表明
?离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。
?各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，
与周期成反比。
?各谱线的幅度按包络线变化。过零点为
?主要能量在第一过零点内。定义带宽
)(
1
T
n
Sa
πτ
τ
π
ω
m2
=
τ
π
ω
2
=B
51
测试技术与数据处理周期矩形的频谱变化规律
?若T不变，在改变τ的情况
?若τ不变，在改变T时的情况
T
τ
52
测试技术与数据处理
Sinc(t)函数的性质
?Sinc(t)是偶函数，当t→±∞时，振幅衰减,
且f(±nπ)=0，其中n为整数。
? Sinc(t)在t=0处,Sinc (t)等于1,即S inc (0)=1,
?另外
π
π
=
=
∫
∫
∞
∞?
∞
dttS
dttS
)(inc
2
)(inc
0
53
测试技术与数据处理
4.2 连续系统的频域分析
?周期信号的频谱
?非周期信号的频谱
?傅里叶变换的性质
?系统的频域分析
?MATLAB的应用
54
测试技术与数据处理非周期函数的傅里叶变换设x（t）为(-T/2,T/2)区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式：
式中因而有当T→∞时，区间(-T/2,T/2)变成(-∞,∞)，而频率间隔
Δω=ω
0
=2π/T变为无穷小量，离散频率nω
0
变成连续频率ω。
∑
∫
∞
∞=
=
n
tjn
T
T
tn
edtetx
T
tx
00
2/
2/
)(
1
)(
ωω
∑
∞
∞=
=
n
tjn
enXtx
0
)()(
ω
∫
=
2/
2/
0
)(
1
)(
T
T
tjn
dtetx
T
nX
ω
55
测试技术与数据处理非周期函数的傅里叶变换
∫
∞
∞?
= dtetxX
tjω
ω )()(
∫
∞
∞?
= ωω
π
ω
deXtx
tj
)(
2
1
)(
将X (ω)称为x（t）的傅里叶变换，而将x(t)称为
X(ω)的逆傅里叶变换，记为：
定义它是变量ω的函数。则x(t)可写为：
)()( ωXtx?
56
测试技术与数据处理
X (ω)函数
?频谱函数一般为复函数,可写为下式
?其中,幅值是ω的偶函数,相位角是ω的奇函数。
)(
)()(
ω?
ωω
j
eXX =
57
测试技术与数据处理非周期函数的傅里叶变换
?连续非周期函数x（t）傅里叶变换存在的充分条件是其在区间(-∞,∞)上绝对可积，但并非 必要条件 。因为当引入广义函数概念之后，
许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。
? 将变换公式中的角频率ω用频率f来替代，
ω=2πf，公式分别变为
∫
∞
∞?
= dtetxfX
ftj π2
)()(
∫
∞
∞?
= dfefXtx
ftj π2
)()(
58
测试技术与数据处理非周期函数的傅里叶变换的特点
一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加。X(f)df的是谐波e
j2πf
的系数，决定着信号的振幅和相位。
X(f)或X(ω)为x(t)的连续频谱。
由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其写为上式中的 （或,当变量为ω
时）称非周期信号x(t)的幅值谱，φ(f)（或
φ(ω)）称x(t)的相位谱
)(
)()(
fj
efXfX
=
)( fX
)(ωX
59
测试技术与数据处理
1.矩形脉冲信号g
τ
(t)
g
τ
(t)是宽度为τ，幅度为1的偶函数，常常也被称为门函数，表示式为
===
==
=
+=
∞
∞?
∫∫
2
sinc
2/
)2/sin(
2
sin
2
)()(
)()
2
()
2
()(
2/
2/
ωτ
τ
ωτ
ωτ
τ
ωτ
ω
ω
ππ
ω
τ
τ
ω
τ
τ
dtedtetgF
tgtututf
tjtj
常见非周期信号的傅里叶变换
60
测试技术与数据处理门函数的频谱函数、振幅谱、相位谱
+
<<
+
+
<<
=
=
=
τ
π
ω
τ
π
τ
π
ω
τ
π
π
ω?
ωτ
τω
ωτ
τω
)1(4)12(2
)12(2
0
)(
2
sinc)(
2
sinc)(
nn
nn
F
F
61
测试技术与数据处理门函数的波形、振幅谱及相位谱
0
0
1
)(ωF
ω
τ
π4
τ
π2
τ
π2
τ
π4
－
－
2
τ
2
τ
－
f (t)
t
…
…
0
ω
－π
π
(ω)
τ
π4
τ
π2
－
τ
π4
－
τ
π2
62
测试技术与数据处理
0
τ
τ
π2
－
τ
π4
－
τ
π2
τ
π4
F(ω)
ω
g
τ
(t)的频谱函数图
63
测试技术与数据处理
2,冲激函数时域冲激函数δ(t)的变换可由定义直接得到
1)()( ==
∞
∞?
∫
dtetF
tjω
δω
时域冲激函数δ(t)频谱的所有频率分量均匀分布（为常数1），这样的频谱也称白色谱。
64
测试技术与数据处理冲激函数及其频谱
0
1
0
(1)
δ (t)
[δ (t)]
ωt
65
测试技术与数据处理频域冲激δ(ω)的原函数
π
ωωδ
π
ω
2
1
)(
2
1
)( ==
∫
∞
∞?
detf
tj
由上式可知频域冲激δ(ω)的反变换是常数（直流分量）。
)(21
)(
2
1
ωπδ
ωδ
π
频域冲激δ(ω)的原函数亦可由定义直接得到
66
测试技术与数据处理频域冲激函数δ(ω)及其原函数
00
(1)
δ (ω)
－1
[δ (ω)]
π2
1
tω
67
测试技术与数据处理
3.单边因果指数函数
)arctan(
22
0
)(
t)(
0
11
|
)()(
0)()(
a
j
tja
jatjat
at
e
a
jaja
e
dtedtetueF
atuetf
ω
ω
ωω
ω
ωω
ω
∞
+?
+?
∞
∞
∞?
+
=
+
=
+
=
==
>=
∫∫
68
测试技术与数据处理即
a
a
jF
ja
F
ω
ω?
ω
ω
ω
ω
arctan)(
1
)(
1
)(
22
=
+
=
+
=
69
测试技术与数据处理单边指数函数、振幅谱、相位谱
f (t)＝e
－at
u(t)
0
t
0
ωa
a
1
)(ωF
a2
1
2
π
2
π
－
ω
0
(ω)
70
测试技术与数据处理
4.单边非因果指数函数
a
j
tja
tjatjat
at
e
a
jaja
e
dtedtetueF
atuetf
ω
ω
ωω
ω
ωω
ω
arctan
22
0
)(
)(
0
11
|
)()(
0)()(
+
=
=
=
=?=
>?=
∞?
∞?
∞
∞?
∫∫
71
测试技术与数据处理即
=
+
=
=
a
a
jF
ja
F
ω
ω?
ω
ω
ω
ω
arctan)(
1
)(
1
)(
22
72
测试技术与数据处理
e
at
u(-t)波形及其振幅、相位谱
f (t)＝e
at
u(－t)
0
t
0
ωa
a
1
)(ωF
a2
1
2
π
2
π
－
ω
(ω)
0
73
测试技术与数据处理
5,双边指数函数
=
=
+
=
+
=
+
+
=
0)(
)(
2
)(
211
)(
22
22
ω?
ω
ω
ω
ωωω
ω
F
a
a
F
a
a
jaja
F
即
f(t)=e
at
u(-t)+e
-at
u(t)
利用以上单边指数函数的变换结果我们有
74
测试技术与数据处理双边指数函数的波形、频谱
0
0
f (t)
e
－at
u(t)
e
at
u(－t)
a
1
a
2
a ω
t
)()( ωω FF＝
75
测试技术与数据处理
6,符号函数
0
0
1
1
)()(sgn
<
>
=+=
t
t
tutut
符号函数也称正负函数，记为sgn(t)，表示式为显然，这个函数不满足绝对可积条件，不能直接来求其傅里叶变换。我们可用以下极限形式表示sgnt函数。
)]()([limsgn
0
tuetuet
atat
a
=
→
76
测试技术与数据处理这样，上式变成两个单边指数函数的组合，并取极限可得。
>
<
=
=
=
+
=
→
0
0
2/
2/
)(
2
)(
211
lim)(
0
ω
ω
π
π
ω?
ω
ω
ωωω
ω
F
jjaja
F
a
77
测试技术与数据处理符号函数的波形及其振幅、相位谱
0
sgn t
1
－1
t
0
0
)(ωF
ω
ω
2
π
2
π
－
(ω)
78
测试技术与数据处理
7.阶跃函数u (t)
ttu sgn
2
1
2
1
)( +=
对上式两边取傅氏变换
ω
ωπδ
ω
ωπδ
jj
tuF
1
)(
2
2
1
)()]([ +=?+=
阶跃函数虽不满足绝对可积条件，但u (t)可以表示为
79
测试技术与数据处理阶跃函数的波形及振幅、相位谱
0
0
)(ωF
ω
2
π
2
π
－
(ω)
0 t
1
u(t)
ω
80
测试技术与数据处理傅里叶变换的性质
?线性
?时延（时移、移位）性
?频移特性
?尺度变换
?时域微分特性
?时域积分特性
?频域微分特性
?奇、偶、虚、实性
?时域卷积定理
?频域卷积定理
81
测试技术与数据处理线性若f
1
(t)←→F
1
(ω),f
2
(t)←→F
2
(ω)，
则
af
1
(t)+bf
2
(t) ←→aF
1
(ω)+bF
2
(ω)
式中a、b为任意常数。
82
测试技术与数据处理时延（时移、移位）性
0
)()()()(
101
tj
eFFttftf
ω
ωω
=←→?=
证
0
0
0
)(
)(
)()(
)(
0
tj
xjtj
txjtj
eF
dxexfe
dxexfdtettf
ω
ωω
ωω
ω
∞
∞?
+?
∞
∞?
∞
∞?
=
=
=?
∫
∫∫
时移特性表明信号在频域中与复因子相乘，则在时域平移t
0
。
tj
e
0
ω?
若f(t)←→F(ω)，则
83
测试技术与数据处理例矩形信号
E
τ t
0
f
1
(t)
求如图所示信号f
1
(t)的频谱函数F
1
(ω)，并作频谱图。
84
测试技术与数据处理解
f
1
(t)与门函数的关系为
)
2
()(
1
τ
= tEftf
上节门函数的变换
=?
2
sinc)()(
ωτ
τωFtf
85
测试技术与数据处理由线性与时移性，得到
2
)()(
2
sin)()(
2
sinc)()(
1
1
2
1
0
ωτ
ω?ω?
ωτ
τωω
ωτ
τωω
ωτ
ω
=
==
==
SacEFEF
eEeEFF
j
tj
86
测试技术与数据处理
0
0
)(
1
ωF
τ
π2
τ
π4
－
－
π
1
(ω)
τ
π2
τ
π4 ω
Eτ
τ
π2
τ
π4
－
τ
π2
－
ω
－ωτ / 2
(a)
(b)
τ
π4
f
1
(t)的|F
1
(ω)|、φ
1
(ω)
87
测试技术与数据处理频移性
)()(
0
0
ωω
ω
Fetf
tj
证
)()()(
0
)(
00
ωω
ωωωω
==
∞
∞?
∞
∞?
∫∫
Fdtetfdteetf
tjtjtj
频移特性表明信号在时域中与复因子相乘，则在频域中将使整个频谱搬移ω
0
。
tj
e
0
ω
若
f(t)←→F(ω)，则
88
测试技术与数据处理例求f(t)=cosω
0
tu(t)的频谱函数。
ω
ωπδ
j
tu
1
)()( +?
利用调频性
22
0
00
00
000
)]()([
2
)(2
1
)(2
1
)]()([
2
)(cos
ωω
ω
ωωδωωδ
π
ωωωω
ωωδωωδ
π
ω
+?++=
+
+
+
++?
j
jj
ttu
解已知
89
测试技术与数据处理上例的波形及振幅、相位频谱
0
0
0
)(ωF
2
π
(ω)
2
π
－
2
π
－ω
0
ω
0
－ω
0
ω
0
ω
ω
－1
1
t
f (t)
(a)
(b) (c)
90
测试技术与数据处理例
0
－A
A
2
τ
－
2
τ
t
f (t)
求如图所示f(t)的F(ω)并作图
91
测试技术与数据处理解令f
1
(t)=g
τ
(t)，
则
=
2
sinc)(
1
ωτ
τω AF
而
[]
+
+
=
++?=?
=
2
)(
sinc
2
)(
sinc
2
)()(
2
1
)(
cos)()(
00
0101
01
τωωτωωτ
ωωωωω
ω
A
FFF
ttftf
92
测试技术与数据处理
0
0
)
2
Sa()(
1
ωτ
τω AF＝
Aτ
ω
τ
π4
τ
π2
ω
2
τA
－ω
0
ω
0
F(ω)
τ
ω
π2
0
＞＞
(a)
(b)
如果ω
0
>>2π/τ，F
1
(ω)以及F(ω)如下图所示。
93
测试技术与数据处理尺度变换
a
a
F
a
atf
ω
≠
0
1
)(
若f(t)←→F(ω)，则尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号的脉宽与频宽成反比。
94
测试技术与数据处理矩形脉冲及频谱的展缩
0
0
0
0
A
t
f (t)
Aτ
τ
π2
τ
π4
)
2
Sa()(
ωτ
τω AF＝
ω
f (2t)
A
A
－ττ
t
t
0
τ
π4
－
τ
π4
22
1 ω
F
ω
2
τA
－
2
τ
2
τ
tf
2
1
4
τ
4
τ
－
0
2Aτ
τ
π
τ
π2
－
τ
π
ω
τ
π4
－
τ
π2
－
2F(ω)
95
测试技术与数据处理
)(
)(
ωωFj
dt
tdf
同理，可推广到高阶导数的傅里叶变换若f(t) ←→F(ω)，则
)()(
)(
ωω Fj
dt
tfd
n
n
n
时域微分特性
96
测试技术与数据处理时域积分特性
)(
1
)()0()()()( ω
ω
ωδπωττ F
j
FYdfty
t
+=?=
∫
∞?
特别地，当F (0)=0时
)(
1
)()()( ω
ω
ωττ F
j
Ydfty
t
=?=
∫
∞?
若f(t) ←→F(ω)，
97
测试技术与数据处理频域微分特性
)()(
)(
tfjt
d
dF
ω
ω
一般频域微分特性的实用形式为
)(
)(
ttf
d
dF
j?
ω
ω
若f(t) ←→F(ω)，
98
测试技术与数据处理对频谱函数的高阶导数亦成立
n
n
nn
n
n
n
d
Fd
jtft
tfjt
d
Fd
ω
ω
ω
ω
)(
)(
)()(
)(
或
99
测试技术与数据处理对称（偶）性
)()(
2
1
ω
π
ftF
或若f(t) ←→F(ω)，
则F(t) ←→2πf(-ω)
100
测试技术与数据处理奇、偶、虚、实性
)(
)()()()(
sin)(cos)()()(
ω?
ω
ωωωω
ωωω
j
tj
eFFjXR
tdttfjtdttfdtetfF
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
==+=
==
∫∫∫
f(t)为实函数时，F(ω)的模与幅角、实部与虚部表示形式为
101
测试技术与数据处理其中
==
+=
=?=
==
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
)(
)(
)(
arctan)(
)()()(
)(sin)()(
)(cos)()(
22
ω?
ω
ω
ω?
ωωω
ωωω
ωωω
R
X
XRF
XtdttfjX
RtdttfR
102
测试技术与数据处理时域卷积定理
)()()()(
)()(
)()()()(
2121
21
2121
ωωτωτ
τττ
τττ
ωτ
ω
ω
FFdeFf
ddtetff
dtedtfftftf
j
tj
tj
==
=
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∫
∫∫
∫∫
(交换积分次序)
(利用时延性)
若f
1
(t) ←→F
1
(ω)，f
2
(t) ←→F
2
(ω)
则
f
1
(t)*f
2
(t) ←→F
1
(ω)F
2
(ω)
103
测试技术与数据处理频域卷积定理
)()(
2
1
)()(
2121
ωω
π
FFtftf
若f
1
(t) ←→F
1
(ω)，f
2
(t) ←→F
2
(ω)，
则
104
测试技术与数据处理傅氏变换性质
105
测试技术与数据处理周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换
∑
∞
∞=
=
n
tjn
enFtf
0
)()(
ω
其变换为
∑
∞
∞=
=
n
nnFF )()(2)(
0
ωωδπω
106
测试技术与数据处理例时域冲激串的傅里叶变换
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
nk
n
T
nTt )(
2
)(
0
ωωδ
π
δ
107
测试技术与数据处理
Parseval定理
ωω
π
dXdttxE
nXdttx
T
P
x
k
T
T
x
22
2
2
2
2
)(
2
1
)(
)()(
1
∫∫
∑
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞=
==
==
对于能量信号对于功率信号
108
测试技术与数据处理
LTI系统的频域分析系统的频响函数设激励是f(t),系统的单位冲激响应为
h(t)，若系统的初始状态为零，则系统的响应为
y(t)=y
zs
(t)=f(t)*h(t)
109
测试技术与数据处理对上式两边取傅里叶变换，由卷积定理可得
Y(ω)=F(ω)H(ω)
其中,H(ω)是系统单位冲激响应h (t)的傅里叶变换。系统单位冲激响应h(t)表征的是系统时域特性，而H(ω)表征的是系统频域特性。
所以H(ω)称做系统频率响应函数，简称频响函数或系统函数。
110
测试技术与数据处理上式还可以表示为
)(
)(
)(
)(
)(
ω?
ω
ω
ω
ω
j
eH
F
Y
H ==
111
测试技术与数据处理信号无失真传输的条件
0
)(
)(
)(
,
)()(
0
t
KH
KeeHH
tjj
ωω?
ω
ωω
ωω?
=
=
==
相位幅值系统传递函数的因此系统的传递函数满足
112
测试技术与数据处理信号无失真传输的条件
0
0
ω
ω
－ω t
0
)(ωH
(ω)
113
测试技术与数据处理
?滤波器是一种系统,当信号通过时，会让其中的一些频率的信号通过,使其它频率的信号受到抑制。
?理想滤波器:通带幅频特性为1,阻带幅频特性为0
的滤波器。
?理想滤波器有理想低通、理想高通、理想带通、
理想带阻滤波器等。
理想滤波器
114
测试技术与数据处理理想滤波器的幅频特性
115
测试技术与数据处理理想低通滤波器的频率特性
c
c
tj
j
e
ejHjH
ωω
ωω
ωω
ω
ω?
>
<
==
0
)()(
0
)(
式中,ω
c
是通带截止频率；-t
0
是相位斜率（或群时延）。
理想低通滤波器的传递函数为
116
测试技术与数据处理理想低通滤波器的频率特性
0－ω
c
ω
c
ω
)(ωH
0
ω
(ω)
－ω t
0
1
117
测试技术与数据处理理想低通的单位冲激响应
[])(sinc
|
)(
1
2
1
2
1
)(
0
)(
0
00
tt
e
ttj
deeth
c
c
ttjtjtj
c
c
c
c
=
==
∫
ω
π
ω
π
ω
π
ω
ω
ωωω
ω
ω
118
测试技术与数据处理理想低通滤波器的冲激响应
0
h(t)
t
0
t
c
0
π
ω
t
－
c
0
π
ω
t
＋
0
f (t)＝δ (t)
t
π
c
ω
(1)
119
测试技术与数据处理理想低通滤波器的阶跃响
0
1
)()(
1
)()(
)()()(
tj
e
j
Y
j
F
FHY
ω
ω
ωπδω
ω
ωπδω
ωωω
+=
+=
=
因此而理想低通的阶跃响应g(t)为
dx
x
x
YFts
tt
c
∫
+==
)(
0
1
0 sin1
2
1
)]([)(
ω
π
ω
120
测试技术与数据处理理想低通的阶跃响应
0
1.0895
0
－0.0895
1
t
2
1
c
π
ω
c
π
ω
t
r
t
r1
u(t)
g(t)
t
t
0
?响应g(t)时间滞后，若以
g(t)=1/2 作为响应的开始时间，延时t=t
0
，这正是线性相移的斜率。
?响应建立时间与通带带宽成反比，通带越宽响应上升时间越短，反之亦然。
?注意到激励是t=0时刻加入的，t <0时有响应出现说明系统是非因果的。
?吉布斯现象在处有近9%的上冲。
c
tt
ω
π
+=
0
121
测试技术与数据处理不同带宽的理想低通对矩形脉冲的响应
0
9％
0
1
f (t)
0
1
2
1
t
4π2π
ω
)
2
Sa()(
ω
ωF＝
2
1
－
2
1 t
2
1
－
y
1
(t)
4π－4π 0
1
H
1
(ω)
ω
4
0
2
1
t
h
1
(t)＝4Sa(4πt)
9％
y
2
(t)
0－8π 8π
H
2
(ω)
0
8
0
4
1 t
h
2
(t)＝8Sa(8πt)
2
1
2
1
－
ω
－4π
2
1
－
4
1
－
122
测试技术与数据处理从频域角度看，理想滤波器就像一个“矩形窗”。
“矩形窗”的宽度不同，截取信号频谱的频率分量就不同。
利用矩形窗滤取信号频谱时，在时域的不连续点处会出现上冲。增加ω
c
可以使响应的上升时间减少，但却无法改变近9%的上冲值，这就是吉布斯现象。两种不同带宽的理想低通，对同一矩形脉冲的响应，其上冲值相同。
只有改用其它形式的窗函数滤取信号频谱时，有可能消除上冲。
吉布斯现象
123
测试技术与数据处理
MATLAB在频域分析中的应用对于系统的频率特性函数H(ω)，MATLAB提供了freqs函数处理方法。其调用形式为
H=freqs（b，a，w）
其中b为分子多项式的系数，a为分母多项式的系数，w为需计算的频率特性函数的取样点数。
例画出系统的幅度响应和相位响应。
1)(2)(2)(
1
)(
23
+++
=
ωωω
ω
jjj
H
124
测试技术与数据处理
? w=linspace(0,5,200);b=[1];a=[1 2 2 1];
? H=freqs(b,a,w);subplot(2,1,1);
? plot(w,abs(H));
? set(gca,'xtick',[0 1 2 3 4 5 ]);
? set(gca,'ytick',[0 0.4 0.707 1 ]);grid;
? xlabel('\omega');ylabel('|H(j\ omega)| ');
? subplot(2,1,2);plot(w,angle(H));
? set(gca,'xtick',[0 1 2 3 4 5 ]); grid;
? xlabel('\omega'); ylabel('\ phi(\omega)');
125
测试技术与数据处理
1
测试技术与数据处理连续系统分析（2）
2
测试技术与数据处理连续系统的复频域分析
?拉普拉斯变换
?拉普拉斯变换的性质
?拉普拉斯反变换
?系统的S域分析
?系统函数及其零极点
?线性系统的稳定性
3
测试技术与数据处理拉普拉斯变换
?历史背景
?拉普拉斯变换的定义
?常用信号的拉普拉斯变换
4
测试技术与数据处理历史背景时域分析的微分方程求解比较麻烦引入卷积之后,零状态的系统响应可用一个卷积公式来表示,虽形式上比较简单,但遇到复杂问题时,时域分析还是非常不便怎么办呢?
5
测试技术与数据处理历史背景
6
测试技术与数据处理单边拉普拉斯变换
令σ+jω=s，
=
=
∫
∫
∞+
∞?
∞
dsesF
j
tf
dtetfsF
st
j
j
st
)(
2
1
)(
)()(
0
σ
σ
π
式中称s=σ+jω为复频率，F(s)为象函数，f(t)
为原函数。
7
测试技术与数据处理象函数与原函数的关系还可以表示为
=
=
)()}({
)()}({
)()(
1
tfsFL
sFtfL
sFtf
s=σ+jω可以用直角坐标的复平面（s平面）表示，σ是实轴，jω是虚轴。
0
σ
jω
复平面
8
测试技术与数据处理拉氏变换存在的条件
∞<
∫
∞
dtetf
st
0
)(
9
测试技术与数据处理
?收敛区是使f (t)e
-σt
满足可积的σ取值范围，或是使f(t)的单边拉氏变换存在的σ
取值范围。
?因为e
-σt
的作用，使得f (t)e
-σt
在一定条件下收敛，即有单边拉氏变换收敛区
)(0)(lim
0
σσ >=
∞→
st
t
etf
10
测试技术与数据处理收敛区示意图
11
测试技术与数据处理
当拉氏变换的收敛区包括jω轴，F (s)
可由F (ω)直接得到，仅将jω换为s，
即
F(s)=F(ω)|
s=jω
常用函数的单边拉普拉斯变换
12
测试技术与数据处理
?已知f (t)=e
-at
u(t) (a>0) 以及，求f(t)的拉氏变换。
?解f(t)的收敛域为σ>-a，包括jω轴，所以
ω
ω
ja
F
+
=
1
)(
as
FsFatue
js
at
+
==?>
=
1
|)()()0)((
ω
ω
f(t)=e
-at
u(t)(a>0)的拉氏变换
13
测试技术与数据处理指数函数e
at
u(t)（a为任意常数）
as
e
as
dtedteesFtue
tas
tasstatat
=
=
==?
∞
∞
∞
∫∫
1
|
1
)()(
0
)(
)(
00
14
测试技术与数据处理
U(t)的拉氏变换
as
e
as
dtedteesFtue
tas
tasstatat
=
=
==?
∞
∞
∞
∫∫
1
|
1
)()(
0
)(
)(
00
s
tuetu
a
at
1
|)()(
0
=
=
由那么
15
测试技术与数据处理
δ(t)的拉氏变换
1)(
)()(
0
0
0
==
=
∫
∫
∞
∞
dtet
dtetsF
st
δ
δ
16
测试技术与数据处理正弦、余弦信号的拉氏变换
22
22
11
2
1
)()(
2
1
)(cos
11
2
1
)()(
2
1
)(sin
ωωω
ω
ω
ω
ωω
ω
ωω
ωω
+
=
+
+
+=
+
=
+
=
s
s
jsjs
tueettu
sjsjsj
tuee
j
ttu
tjtj
tjtj
17
测试技术与数据处理
22
)()(
22
)()(
)(
11
2
1
)()(
2
1
)(cos
)(
11
2
1
)()(
2
1
)(sin
ωωω
ω
ω
ω
ωω
ω
ωω
ωω
++
+
=
++
+
+
=
++
=
++
+
=
+?+
+?+
as
as
jasjasj
tueettue
asjasjasj
tuee
j
ttue
tjatjaat
tjatjaat
衰减正、余弦信号的拉氏变换
18
测试技术与数据处理
t的正幂函数的拉氏变换
1
0
!
)()(
)()(
+
∞
=
=?
=
∫
n
stnn
n
s
n
dtetsFtut
tuttf
19
测试技术与数据处理特例
4
3
3
2
2
6
)(3
2
)(2
1
)(1
s
tutn
s
tutn
s
ttun
=
=
=
20
测试技术与数据处理常用函数单边拉氏变换
21
测试技术与数据处理
22
测试技术与数据处理双边拉普拉斯变换
)0(lim
)0(0lim
>∞→
>=
∞→
∞→
σ
σ
σ
σ
t
t
t
t
e
e
但是，如果有函数在σ（σ
1
<σ<σ
2
）给定的范围内,
使得
∞<
∞
∞?
∫
dtetf
st
)(
先讨论e
-σt
作用。当σ取一定范围时，若t>0时
e
-σt
为收敛因子，则t<0时e
-σt
为发散因子，有
则函数的双边拉氏变换存在
23
测试技术与数据处理记为
=
<<=
∫
∫
∞+
∞?
∞
∞?
dsesF
j
tf
dtetfsF
st
j
j
st
B
)(
2
1
)(
)()(
21
σ
σ
π
σσσ
或
=
<<=
)()}({
)()}({
)()(
1
21
tfsFL
sFtfL
sFtf
B
B
B
σσσ
双边拉氏变换收敛区是使f(t)e
-σt
满足可积的σ取值范围，或是使f(t)的双边拉氏变换存在的σ取值范围。
24
测试技术与数据处理双边拉氏变换
s＝σ＋jω
－∞＜t＜∞
单边拉氏变换
s＝σ＋jω
0＜t＜∞
傅氏变换
s＝jω
－∞＜t＜∞
[ ] [ ]
t
tutftf
σ?
e)()()(
s＝σ ＋jω
＝
σ ＝0
t＜0
f (t)＝0
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
25
测试技术与数据处理
?由图可见拉氏变换与傅氏变换的联系与区别：
傅氏变换是σ=0的双边拉氏变换，或虚轴上的双边拉氏变换，是双边拉氏变换的特例；单边拉氏变换是t<0，f(t)=0时的双边拉氏变换，或是f (t)u(t)e
-σt
的傅氏变换；双边拉氏变换是傅氏变换在s平面上的推广，是复平面上的傅氏变换。
?在实际应用中，信号通常都具有因果性，
所以下面除特别说明外，我们所讲的拉氏变换一般是指单边拉氏变换。
26
测试技术与数据处理拉普拉斯变换的性质与定理
?线性
?时延（移位、延时）特性
?频率平移（s域）
?尺度变换
?时域微分
?时域积分
?复频域微分
?复频域积分
?时域卷积定理
?复频域卷积定理
27
测试技术与数据处理线性
若f
1
(t) F
1
(s)，f
2
(t) F
2
(s)，
则
k
1
f
1
(t)+k
2
f
2
(t) k
1
F
1
(s)+k
2
F
2
(s)
k
1
,k
2
为任意常数
28
测试技术与数据处理时延（移位、延时）特性
f(t-t
0
)u(t-t
0
)
0
)(
st
esF
若f(t)u(t) F(s)，则
29
测试技术与数据处理若f
1
(t)=sinωtu(t)，画出f
1
(t)；
f
2
(t)=sinω(t-t
0
)u(t)；f
3
(t)=sinωtu(t-t
0
)及
f
4
(t)=sinω(t-t
0
)u(t-t
0
)的波形并分别求其拉氏变换。
例
30
测试技术与数据处理
f
1
(t)、f
2
(t)、f
3
(t)、f
4
(t)如图所示
31
测试技术与数据处理拉氏变换
?可以直接用公式的是f
1
(t)、f
4
(t)：
? f
2
(t)、f
3
(t)经一定的变化后方可用性质。
f
2
(t)=sinω(t-t
0
)u(t)=(sinωt cosωt
0
-cosωtsinωt
0
)u(t)
0
22
014
22
1
)()(;)(
st
e
s
ttftf
s
tf
+
=
+
ω
ω
ω
ω
22
00
22
0
22
0
22
sincossincos
)()(
ω
ωωω
ω
ω
ω
ωω
+
=
+
+
=?
s
tst
s
ts
s
t
sFtf
[]
0
00
22
00
22
0
22
0
3
00000
00003
sincossincos
)(
)(sin)(coscos)(sin
)()(sin)(sin)(
st
stst
e
s
tst
s
ets
s
et
tF
ttutttttt
ttuttttttutf
+
+
=
+
+
+
=?
+?=
+?=?=
ω
ωωω
ω
ω
ω
ωω
ωωωω
ωω
32
测试技术与数据处理频率平移（s域）
)()(
0
0
ssFetf
ts
若f(t) F(s),则
33
测试技术与数据处理尺度变换
asF
a
atf? )/(
1
)(
其中a>0
若f(t) F(s),则
34
测试技术与数据处理时域微分若f(t) F(s)，则
_)0()(
)(
fssF
dt
tdf
式中,f(0
-
)是f(t)在t=0
-
时的值，若f(t) 为一有始函数，则f(0-)=0，因此
)(
)(
ssF
dt
tdf
35
测试技术与数据处理时域积分
若f(t)u(t) F(s)，则
s
sF
df
t
)(
)(
0
∫
ττ
36
测试技术与数据处理时域卷积定理
若f
1
(t) F
1
(s),f
2
(t) F
2
(s)，则
f
1
(t)*f
2
(t) F
1
(s)F
2
(s)
其中f
1
(t)、f
2
(t)为有始函数。
37
测试技术与数据处理复频域卷积定理
)()(
2
1
)()(
2121
sFsF
j
tftf
π
若f
1
(t) F
1
(s),f
2
(t) F
2
(s)，则
38
测试技术与数据处理拉氏变换性质（定理）
39
测试技术与数据处理
拉普拉斯反变换
拉普拉斯反（逆）变换是将象函数F (s)变换为原函数f (t)的运算,为
dsesF
j
sFLtf
st
j
j
)(
2
1
)}({)(
1
∫
∞+
∞?
==
σ
σ
π
40
测试技术与数据处理
F(s)为s的有理函数时，一般形式可表示为
01
1
1
01
1
1
)(
)(
)(
asasas
bsbsbsb
sA
sB
sF
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
==
L
L
式中,a
i
、b
i
为实常数，n、m为正整数。
部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，先将F(s)分解为若干简单函数之和，再分别对这些简单象函数求原函数。
41
测试技术与数据处理将分母多项式表示为便于分解的形式
A(s)=(s-p
1
)(s-p
2
)……(s-p
n
)
式中,p
1
,p
2
,……,p
n
是A(s)=0方程式的根，也称
F(s)的极点。
同样分子多项式也可以表示为
B(s)=(s-z
1
)(s-z
2
)……(s-z
m
)
式中,z
1
,z
2
,……,z
m
是B( s)=0方程式的根，也称
F(s)的零点。
42
测试技术与数据处理
1,m<n，F (s)均为单极点
)())((
)(
)(
21 n
pspsps
sB
sF
=
L
式中,p
1
,p
2
,:,p
n
为不同数值的单极点，F (s)可分解为
i
i
n
i
n
n
ps
k
ps
k
ps
k
ps
k
sF
=
++
+
=
∑
=1
2
2
1
1
)( L
则
nisFpsk
tekekekektf
i
in
psii
tp
i
n
i
tp
n
tptp
=?=
>=+++=
=
=
∑
,2,1,|)()(
)0()(
1
21
21
L
43
测试技术与数据处理例求下面函数的原函数
)2)(1(
4
)(
++
+
=
sss
s
sF
原函数为
)()32()(
2
tueetf
tt
+?=
44
测试技术与数据处理
2,m≥n，F(s)均为单极点
′′
′
M
)(
)(
)(1
2
ts
ts
t
δ
δ
δ
当m≥n时，利用长除法将分子多项式的高次项提出，对余下的m′<n部分处理同上。对提取的s
r
部分
（0≤r≤m-m′），利用微分性质,
45
测试技术与数据处理例
23
795
)(
2
23
++
+++
=
ss
sss
sF
解
)()2()(2)()(
1
12
32
|)()2(
2
12
31
|)()1(
21
2
)2(1(
3
2)(2)(
2
212
111
21
1
tueetttf
sFsk
sFsk
s
k
s
k
s
ss
s
ssFssF
tt
s
s
=
=
++
′
=
=
+?
+?
=+=
=
+?
+?
=+=
+
+
+
++=
++
+
++=++=
δδ
）
已知象函数，求原函数f(t)
46
测试技术与数据处理
3,m<n,F(s)有重极点
)()(
)(
)(
)(
)(
1
sDps
sB
sA
sB
sF
k
==
其中,s =p
1
是F (s)的k阶极点,由F (s)可展开为
)(
)(
)()(
)(
1
1
1
1
12
1
1
1
sD
sE
ps
k
ps
k
ps
k
sF
k
kk
+
++
+
=
L
式中,是展开式中与极点p
1
无关的部分。
)(
)(
sD
sE
设
47
测试技术与数据处理
tpk
k
et
ps
k
ps
k
L
1
1
11
1
)!()(
=
所以最后
{}
+
+++
+
=
)(
)(
)(
)!2()!1(
)(
1
1)1(1
2
12
1
11
1
1
sD
sF
L
tuektkt
k
k
t
k
k
sFL
tp
kk
kk
L
重极点反变换式中一般项为
48
测试技术与数据处理
LTI系统的S域分析
?用拉普拉斯变换求解线性微分方程
用拉氏变换求解线性微分方程，可以把对时域求解微分方程的过程，转变为在复频域中求解代数方程的过程，再经拉氏反变换得到方程的时域解，使求解过程简化。
?系统的起始状态可以自动地包含到象函数中
49
测试技术与数据处理以二阶常系数线性微分方程的一般形式为例进行说明
)()()()()()(
21
2
2
021
2
2
tfbtf
dt
d
btf
dt
d
btyaty
dt
d
aty
dt
d
++=++
设f(t)是因果激励又已知初始条件y (0
-
)=0,y′(0
-
)=0，
求响应y（t）。
对等式两边取拉氏变换，利用单边拉氏变换的微分特性，得到
s
2
Y(s)+a
1
sY(s)+a
2
Y(s)=b
0
s
2
F(s)+b
1
sF(s)+b
2
F(s)
[ ])()(
1
sYLty
=
50
测试技术与数据处理系统函数与复频域分析法系统函数H(s) 零状态下定义为
)(
)(
)(
sF
sY
sH =
)()()}()({)}({)(
11
thtfsHsFLsYLty?===
51
测试技术与数据处理特别地，激励为δ(t)时，系统零状态响应是单位冲激响应
f(t)=δ(t) F(s)=1
H(s) h(t)
上式表明系统函数与单位冲激响应h (t)
是一对拉氏变换对。
52
测试技术与数据处理系统函数可定义为系统零状态响应的象函数与激励信号的象函数之比，得：
01
1
1
01
1
1
)(
)(
)(
asasas
bsbsbsb
sF
sY
sH
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
==
L
L
53
测试技术与数据处理
?要对连续LTI系统进行模拟,就要对它的系统传输函数或微、积分方程进行模拟。
?用三种基本运算，就可对运算关系作系统模拟。这三种基本运算是加法、标量乘法与积分。它们对应着三种基本模拟运算器件：加法器、标量乘法器、积分器。
?描述系统的输入、输出关系既可用数学方程描述,亦可由基本运算器组成的模拟图描述。
下面先介绍基本运算的模拟。
?基本运算模拟的加法器、标量乘法器、积分器有时域、复频域两种表示方法，系统函数表征了系统的输入输出关系，并且是有理式，运算关系简单，因此实际系统模拟通常采用复频域表示。
54
测试技术与数据处理
1,加法运算关系
y(t)=x
1
(t)±x
2
(t)
Y(s)=X
1
(s)±X
2
(s)
加法器如下图所示
±
x
1
(t) y(t)＝x
1
(t)＋x
2
(t)
x
2
(t)
±
X
1
(s) Y(s)＝X
1
(s)＋X
2
(s)
X
2
(s)
55
测试技术与数据处理
2,标量乘法运算关系
标量乘法器
a
x(t)
y(t)＝ax(t)
a
X(s)
Y(s)＝aX(s)
y(t)=ax(t)
Y(s)=aX(s)
标量乘法器如下图所示
56
测试技术与数据处理
3,积分运算关系
=
=
∫
)(
1
)(
)()(
0
sX
s
sY
dxty
t
ττ
积分器如下图所示
∫
x(t)
y(t)
s
－1
X(s) Y(s)
57
测试技术与数据处理子系统间的连接关系
?级联
?并联
?反馈级联系统的系统函数是各子系统系统函数的乘积并联系统的系统函数是各子系统系统函数的之和
58
测试技术与数据处理全极点系统模拟的直接形式
+
=
=+
′
0
0
1
)(
)()()(
as
sH
txtyaty
对于一阶系统，微分方程及系统函数表示
∫
－a
0
x(t)
y(t) 1/s
－a
0
X(s)
Y(s)
59
测试技术与数据处理推广至全极点的二阶系统,其微分方程及系统函数为
++
=
=+
′
+
′′
01
2
01
1
)(
)()()()(
asas
sH
txtyatyaty
其模拟如图所示
∫ ∫
－a
1
－a
0
x(t) y(t)
－a
1
－a
0
X(s) Y(s)
1/s 1/s
y (t)″ y (t)′
60
测试技术与数据处理全极点n阶系统，其微分方程及系统函数为
++++
=
=+
′
+++
01
1
1
01
)1(
1
)(
1
)(
)()()()()(
asasas
sH
txtyatyatyaty
n
n
n
n
n
n
L
L
n阶系统的模拟如图所示。
s
－1
s
－1
－a
n－1
－a
n－2
s
－1
s
－1
－a
1
－a
0
…
…
x(t) y
(n)
(t)
y (t)″ y (t)′
y(t)
61
测试技术与数据处理一般系统模拟的直接（卡尔曼）形式
)(
)(
1
)(
)(
2
0
1
1
2
0
1
12
01
2
01
2
2
sD
sN
sasa
sbsbb
sH
asas
bsbsb
sH
=
++
++
=
++
++
=
前面的模拟实现了系统的极点，实际系统除了极点之外，一般还有零点。一般二阶系统的系统函数为将上式改写为
62
测试技术与数据处理一般二阶系统的模拟
)(sX
63
测试技术与数据处理系统函数的零、极点
)(
)(
)())((
)())((
)(
)(
)(
1
1
21
21
j
n
j
j
m
j
m
m
ps
zs
K
pspsps
zszszs
K
sD
sN
sH
=
==
∏
∏
=
=
L
L
分解系统函数的分子分母两个多项式，可得
64
测试技术与数据处理例
4852
22
)(
)(
)(
234
23
++++
+?
==
ssss
sss
sD
sN
sH
解
)4()1(
]1)1[(
)(
22
2
++
+?
=
ss
ss
sH
已知某系统的系统函数如下，求系统的零、极点。
将系统函数的零、极点准确地标在s平面上,这样的图称零、
极点图或零、极图，其中“·”表示零点,“×”表示极点。
65
测试技术与数据处理零、极点图
－1
－212
－j
j
j2
jΩ
σ
0
－j2
)4()1(
]1)1[(
)(
22
2
++
+?
=
ss
ss
sH
66
测试技术与数据处理零、极点分布与时域特性
H(s)与h(t)是一对拉氏变换对,所以只要知道H(s)在s平面上的零、极点分布情况,
就可以知道系统冲激响应h( t)的变化规律。
∑
∏
∏
=
=
=
=
=
n
i
i
i
i
n
i
j
m
j
ps
A
ps
zs
KsH
1
1
1
)(
)(
)(
式中,p
i
=σ
i
+jω
i
。
67
测试技术与数据处理以jω虚轴为界，我们将s平面分为左半平面与右半平面,不难得出h
i
(t)与h(t)的变化规律。
(1) p
i
=σ
i
+jω
i
为一阶极点。
若σ
i
>0，极点在s平面的右半平面，h
i
(t)随时间增长;σ
i
<0，极点在s平面的左半平面，h
i
(t)随时间衰减；
σ
o
=0，极点在s平面的原点(ω
i
=0)或虚轴上，h
i
(t)对应于阶跃或等幅振荡。
(2) p
i
=σ
i
+jω
i
为高阶（二阶以上）极点。
σ
i
>0或σ
i
<0时,h
i
(t)随时间变化的趋势同一阶情况；
σ
i
=0时，对应于t的正幂函数或增幅振荡。
(3) 系统函数H(s)的全部极点在左半平面(σ
i
<0)，
h(t)随时间衰减趋于零；系统函数H(s)有极点在虚轴及右半平面(σ
i
≥0)，h(t)不随时间消失。
68
测试技术与数据处理零、极点与单位冲激响应模式
A
－A
0
t
A
h
i
(t)
h
i
(t)
h
i
(t)
h
i
(t)
A
0
t
t
0
A
－A
0
h
i
(t)
t
0
h
i
(t)
t
0
(虚轴上的二阶极点)
jω
σ
t
0
69
测试技术与数据处理零、极点分布与系统频域特性
由系统的零、极点分布不但可知系统时域响应的模式，
也可以定性了解系统的频域特性。因为由稳定系统的H(s)在
s平面上的零、极点图，可以大致地描绘出系统的频响特性
|H(ω)|~ω和φ(ω)~ω。
)(
)(
)()(
)()(
)(
1
1
1
1
j
m
i
j
m
j
n
m
ps
zs
K
psps
zszs
KsH
=
=
∏
∏
=
=
L
L
)(
)(
)()(
)()(
|)()(
1
1
1
1
i
n
i
j
m
j
n
m
js
pj
zj
K
pjpj
zjzj
KsHjH
=
==
∏
∏
=
=
=
ω
ω
ωω
ωω
ω
ω
L
L
70
测试技术与数据处理对于任意零点z
j
和极点p
i
，相应的复数因子
(矢量) 如图所示都可以表示为零点与极点矢量。
i
j
j
ij
j
jj
eMpj
eNzj
θ
ω
ω
=?
=?
其中,N
j
、M
i
分别是零、极点矢量的模；ψ
j
,θ
i
分别是零、极点矢量与正实轴的夹角。则
0
p
1
M
1
N
1
z
1
θ
1
1
σ
jω
71
测试技术与数据处理
)(
)(
1
1
)(
21
21
)(
)(
11
121
ω?
θθ
ω
ω
j
j
i
m
i
j
m
j
j
n
m
eHe
M
N
K
e
MMM
NNN
KH
i
m
i
j
m
j
nm
=
∑∑
=
=
==
=
=
+++
∏
∏
LL
L
L
式中
)()(
)(
11
1
1
i
n
i
j
m
j
i
n
i
j
m
j
M
N
KH
θ?ω?
ω
∑∑
∏
∏
==
=
=
=
=
72
测试技术与数据处理线性系统的稳定性
?何谓稳定性：当一个系统受到信号作用时，所引起的响应在该信号消失后会最终消失，系统回到原状态。
?系统正常工作的前提：系统是稳定的。
如何判定系统的稳定性？
73
测试技术与数据处理系统稳定性的判据
?对于简单系统H(s)的极点均已知，由极点与系统冲激响应对应关系可知，若所有极点均位于S平面的左半部，则系统稳定。
?对于一般系统，则其稳定性条件是其冲激响应绝对可积。
?对于三级以上和线性连续体系H(s),系统稳定的必要而非充分条件：是系统函数的分母多项式全部非零且为正实数。
74
测试技术与数据处理调制与解调
?调制与解调
?滤波器
?估值
75
测试技术与数据处理信号调制与解调
?调制是指利用某种信号来控制或改变高频振荡信号的某个参数（幅值、频率或相位）的过程。
?当被控制的量是高频振荡信号的幅值时，称为幅值调制或调幅；
?当被控制的量为高频振荡信号的频率时，称为频率调制或调频；
?当被控制的量为高频振荡信号的相位时，则称为相位调制或调相。
76
测试技术与数据处理信号调制与解调
?将控制高频振荡的低频信号称调制波，载送低频信号的高频振荡信号称为载波，而将经过调制过程所得的高频振荡波称已调制波。
?从时域上讲，调制过程即是使载波的某一参量随调制波的变化而变化，而在频域上，调制过程则是一个移频的过程。
?解调则是从已调制波信号中恢复出原有低频调制信号的过程。
?调制与解调(MODEM)是一对信号变换过程,在工程上常常结合在一起使用。
77
测试技术与数据处理幅值调制原理
?设x(t)为被测信号，y(t)为高频载波信号，若选择余弦信号：
y(t)=cos2πf
0
t，则已调制信号x
m
(t)为x(t)与y(t)的乘积：
x
m
(t)=x(t) cos2πf
0
t。由傅里叶变换性质知：
?则有
)(*)()()( fYfXtytx?
() ()() ( )
000
*
2
1
*)(
2
1
2cos fffXfffXtftx?++? δδπ
78
测试技术与数据处理幅值调制
?调幅的过程在频域上就相当于一个移频的过程。
图幅值调制原理
（a）时域（b）频域
79
测试技术与数据处理幅值调制
?幅值调制装置实质上是一个乘法器，经常采用电桥来作调制装置，其中以高频振荡电源供给电桥作为装置的载波信号，则电桥输出e
y
便为调幅波。
图例中电桥的电压为5V，
频率为3000Hz。若测量的应变量其频率变化比如为
0～10Hz，电桥输出信号的频谱在2990和3010Hz之间。
电桥调幅装置应用
80
测试技术与数据处理幅值调制－同步解调法原理：将调幅波再经一乘法器与原载波信号相乘，则调幅波的频谱在频域上将再次被进行移频。由于载波信号的频率仍为f
0
，因此，再次移频的结果是使原信号的频谱图形出现在0和的±2f
0
频率处。由于在解调过程中所乘的信号与调制时的载波信号具有相同的频率与相位，因此这一解调的方法称为同步解调。时域分析上有：
()
()
() tftx
tx
tftftx
000
4cos
2
1
2
2cos2cos πππ +=?
81
测试技术与数据处理
82
测试技术与数据处理幅值调制同步解调原理
83
测试技术与数据处理幅值调制
?抑制调幅（前面讲述的调幅方式）
?偏置调幅（非抑制调幅）：将信号x(t)进行偏置，
叠加一个直流信号A，使偏置后的信号均具有正的电压。
?偏置后，再与余弦载波进行调幅，有
0
() [1 ()]cos2
m
xt A mxt ftπ= +
m≤1，调幅指数
84
测试技术与数据处理偏置调幅原理：
对信号偏置一个直流分量A，使偏置后的信号具有正电压值。对该信号作调幅后得到的已调制波x
m
(t)的包络线将具有原信号形状。对该调幅波x
m
(t)作简单的整流（全波或半波整流）和滤波便可恢复原调制信号。
85
测试技术与数据处理幅值调制调制信号加偏置的调幅波
（a）偏置电压足够大（b）偏置电压不够大正常调幅过调
86
测试技术与数据处理幅值调制失真
?过调失真
?重叠失真
?波形失真
87
测试技术与数据处理频率调制
?调频波及其频谱：利用信号的幅值来调制载波的频率，因此，时域内，调频波是一种随信号的幅值不同其疏密程度（频率）不同的等幅波。
?调频波所携带的信息包含在其频率变化之中，而非振幅变化之中，由于信号x(t)随时间而变，故调频波的频率随时间而变。
88
测试技术与数据处理滤波器
?概述
?理想滤波器
?滤波器类型介绍
?其它种类的滤波
89
测试技术与数据处理滤波器
?滤波：选取信号中感兴趣的成分，而抑制或衰减掉其它不需要的成分。
?滤波器：能实施滤波功能的装置。
?滤波方式的分类：
对输入量滤波（简称输入滤波）；
对输出量滤波（简称输出滤波）。
滤波的一般方式
（a）输入滤波（b）输出滤波
90
测试技术与数据处理滤波器根据其选频的方式分类：
低通滤波器
高通滤波器
带通滤波器
带阻滤波器不同滤波器的幅频特性
（a）低通（b）高通（c）带通（d）带阻
91
测试技术与数据处理理想滤波器
?对于一个理想的线性系统来说，若要满足不失真测试的条件，该系统的频率响应函数应为：
?若一个滤波器的频率响应函数H(ω)具有如下形式：
则该滤波器称为理想低通滤波器。
( )
()
()
j
HHe
ω
ωω=
()
()
()
0
j
c
He
H
ω
ω ωω
ω
<
=
其他理想低通滤波器的幅、相频特性
92
测试技术与数据处理滤波器的冲激响应
?理想低通滤波器对单位脉冲的响应:将单位脉冲输入理想低通滤波器，则它的响应
?理想低通滤波器:脉冲响应函数其波形在整个时间轴上延伸，且其输出在输入到来之前，亦即t<0时便已经出现。
?理想低通滤波器，在物理上是不可实现的。
理想低通滤波器的脉冲响应
() sin [ ( )]
c
c
ht c t
ω
ω τ
π
=?
93
测试技术与数据处理滤波器的阶跃响应
?理想低通滤波器对单位阶跃的响应:给理想低通滤波器输入一阶跃函数
?滤波器的响应为其中理想低通滤波器对单位阶跃输入的响应
（a）无相角滞后，时移=0
（b）有相角滞后，时移≠0
<
=
>
=
00
0
2
1
01
)(
t
t
t
tx
( ) ( ) ( )
()
*
11
2
c
yt ht xt
si tω τ
π
=
=+
()
0
sin
[( )]
c
t
c
t
sit dt
t
ωτ
ωτ
=
∫
94
测试技术与数据处理滤波器的阶跃响应
上升时间的意义：
?输入信号突变处必然包含有丰富的高频分量，低通滤波器阻挡住了高频分量。
?通带越宽，衰减的高频分量便越少，信号便有较多的分量更快通过，因此导致较短的上升时间；反之则长。
95
测试技术与数据处理滤波器
低通滤波器的阶跃响应的上升时间T
d
和它的带宽B成反比，或者说两者的乘积为常数，即
滤波器带宽表示它的频率分辨能力，通带窄，则分辨力高。这一结论表明：滤波器的高分辨力与测量时快速响应是矛盾的。对定带宽的滤波器，一般采用BT
d
=
（5～10）便足够了。
d
BT =常数
96
测试技术与数据处理因果滤波器
?物理可实现滤波器响应是输入的后果，输入之前，无响应输出。
?从频率特性来看，其幅度满足佩利－维纳准则，而且，是L
2
空间的元素。
?实际滤波器中，通带与阻带均不平坦，过渡带不陡直。
97
测试技术与数据处理滤波器巴特沃斯滤波器：具有最大平坦的幅度特性，
其幅度表达式为
2
1
()
1( )
n
c
H ω
ω
ω
=
+
98
测试技术与数据处理切贝雪夫滤波器
?切贝雪夫滤波器：其幅频响应
22
1
()
1(/)
nc
H
T
ω
ε ωω
=
+
)j(
a
H
ΩΩ
c
)j(
a
H
ΩΩ
s
Ω
c
Ω
s
N为奇数N为偶数
oo
A1
2
11 ε＋
1.0
2
11 ε
1.0
＋
A1
99
测试技术与数据处理贝塞尔滤波器
?贝塞尔滤波器：又称恒时延滤波器，其时延不随频率变化。
?二阶贝塞尔滤波器的传输函数
2
0
22
00
3
()
33
G
Hs
ss
ω
ω ω
=
++
100
测试技术与数据处理希尔伯特变换连续时间信号x(t)的的希尔伯特变换定义
t
txd
tx
d
t
x
tx
π
τ
τ
τ
π
τ
τ
τ
π
1
)(
)(1
)(1
)(
=
=
=
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
101
测试技术与数据处理解析信号信号x(t)的解析信号z(t)定义为
)(
)()( txjtxtz +=
102
测试技术与数据处理因果系统的虚实部约束条件
πω
ωλ
λω
λ
π
ω
πω
ωλ
λω
λ
π
ω
1
*)(
)(1
)(
1
*)(
)(1
)(
Rd
R
I
Id
I
R
=
=
=
=
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
103
测试技术与数据处理估值
?点估计与区间估计
?点估计
?区间估计
?无偏估计的三个评价标准
?无偏性
?有效性
?一致性
104
测试技术与数据处理估值统计误差
?随机误差
?系统误差
?过失误差（舍去）
105
测试技术与数据处理估值均值的测量均方值的测量
106
测试技术与数据处理估值概率密度分布
107
测试技术与数据处理估值
（自相关函数）
108
测试技术与数据处理估值（功率谱密度）
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础测试技术与数据处理李军
A15-A318 84891686 junli@nuaa.edu.cn
2
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
?教材
?机械工程测试、信息、信号分析,南航翻印
?参考文献
?胡广书.数字信号处理.清华大学出版社,2003.
?陈后金主编.数字信号处理.高等教育出版社,2004
?Matlab 6.0教程(或6.0以上版本).
3
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础绪论与信号分析基础
4
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础绪论与信号分析基础(一)
?信号与信息
?信号分析的基本内容
?学习本课程的意义
?信号的分类
?典型的信号
5
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
1.1 信号与信息
9信息：可理解为消息、情报，信息本身不是物质，
也不具有能量但却是物质所固有的，是其客观存在或运动状态的特征。
9信号：是信息传输的载体，信息蕴涵于信号之中。
信号是一种物质，具有能量，它描述了物理量的变化过程。
9系统系统
:
是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
9信号作用于系统产生响应
6
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号分为电信号与非电信号，由于电信号方便进行传输、变换与分析，因此，常将非电信号通过变换转变为电信号。
7
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号与信息传感器：从被测对象获取有用的信息，并将其转换为适合于测量的变量或信号。
信号调理部分：对从传感器所输出的信号作进一步的加工和处理。
显示和记录部分：将经信号调理部分处理过的信号用便于人们所观察和分析的介质和手段进行记录或显示。
被测对象和观察者也是测试系统的组成部分，它们同传感器、信号调理部分以及数据显示与记录部分一起构成了一个完整的测试系统。
8
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础例：一段鸟鸣声音的时域波形
0 0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0
0.5
1
Time in seconds
p
9
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础鸟鸣在不同频率时的幅度分布—频谱
0 1000 2000 3000 4000 5000
10
-8
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
10
2
13129 Samples
Frequency in Hertz
10
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础鸟鸣声的时—频谱阵图
Tim e
F
r
eque
nc
y
13129 Sam ples
11
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础例：一张图象
12
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础例：图象携带信息特征——轮廓
Original S aturn Im age Edge Map
13
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础例:波形的三维描述
14
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础例:等高面的表示
15
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础例:横切面的表示
16
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
1.2 信号分析的基本内容
)本课程学习的目的
)掌握有关测试技术的基本理论和技术；
)掌握对一个测试系统各部分的参数进行测量和分析的方法和手段
)本课程学习的主要内容
)信号的时域和频域的描述方法，信号的频谱和谱分析的方法，信号的卷积与相关，以及数字信号处理的基本理论和方法。
)测试系统的参数及其评价方法。
)测试系统传递特性的时、频域描述，脉冲响应函数和频率响应函数，一、二阶系统的动态特性描述及其参数的测量方法，以及不失真测试的条件。
)信号调理的原理和方法：信号的调制与解调，信号的滤波，信号的模/数和数/模转换，以及上述各种电路的原理及典型应用。
17
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
1.3 学习本课程的意义制造精度的提高与制造过程自动化，要求在线检测与控制，信号测量与处理成为先进制造系统不可缺少的一环。
新兴工业与新兴技术的发展，要求在无人环境下工作，其测量与控制成为装置能否正常运行的先决条件。
18
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础本课程的考核
?考试占70%
?出勤率与课堂表现占30%
19
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
1.4 信号的分类按其时域内取值的连续性与否，分为连续时间信号（模拟信号）与离散时间信号（采样信号、数字信号）
ττ?
E
e
()
2
t
ft Ee
τ
=
离散时间信号
0 2 4 6 8 10 12 14
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
20
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号的分类按信号的周期性与否，分为周期信号与非周期信号
?经过一定时间可以重复出现的信号，满足
?非周期性信号，当周期N趋向于无穷大时，就变成非周期信号。
均为正整数及NkkNnxnx ),()( ±=
21
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号的分类按信号的确定性与否，分为确定性信号与随机信号信号可用明确的数学表达式表示，则为确定性信号信号无法用确定性数学表达式表示，其相位、幅值的变化是不可预知的，称为非确定信号，或随机信号。
)sin()(?ω += tty
22
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号的分类能量信号：在所分析的区间内，能量有限，即满足下面关系式的信号。（E小于无穷大）
2
2
)(
)(
∑
∫
+∞=
∞=
+∞
∞?
=
=
n
n
nxE
dttxE
23
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号的分类功率信号：在研究的区间内，其功率P有限的信号。
2
1
0
2
0
2
)(
1
)(
1
)(
12
1
lim
∑
∫
∑
=
=
∞→
=
=
+
=
N
n
x
T
x
N
Nn
N
nx
N
P
dttx
T
P
nx
N
P
2
2
2
)(
1
lim ∫
∞→
=
T
T
T
dttx
T
P
24
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号的分类
?按信号定义区间分
?时限信号与时域无限信号
?频限信号与频域无限信号
?如果信号在时域有限,则在频率轴上延伸至无穷远,
反过来,一个有限带宽的信号,在时间轴上必然延伸至无限远处,也就是一个信号不能在时域与频域上均是有限的。
25
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号的分类物理可实现信号物理系统：激发脉冲作用于系统之前，系统不会有响应，即输出为零。
因果序列：离散信号
26
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
1.5 典型信号
?连续时间复指数信号：
X(t)=Ce
at
? C为复数
? a为复数
ωjra +=
βα jC +=
27
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础实指数信号,前面的信号中C 和a都是实数
?若中的为0,C实数同时
?若中的为0,a实数则x(t)=Ce
at
为实指数函数
ωjra +=
ω
βα jC +=
β
28
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
?
x(t)随t 的增加而指数增长
x(t)随t 的增加而指数衰减
0a >
0a <
0 2 4 6 8 10 12 14
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 2 4 6 8 10 12 14
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
实指数信号 C 和a都是实数
29
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础周期复指数信号—
?若a 为纯虚数，即时，则
?特点：该信号是周期的，周期为T
0
ωja ±=
ωja ±=
tjat
eetx
0
)(
ω±
==
0
000
2
0
)(
ω
π
ωω
==
+
Tee
Ttjtj
30
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础正弦信号1—取周期复指数的实部
?欧拉公式
?取实部则为正弦信号
)sin()cos(
00
)(
0
φωφω
φω
+++=
+
tjte
tj
)cos()(
0
φω += tAtx
31
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础正弦信号2
?波形为基波频率，为相位
)cos()(
0
φω += tAtx
0
ω
0
ω
φ
0
0
2
T
π
ω =
0 2 4 6 8 10 12 14
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T0
ω
φ
32
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础一般复指数信号1
?最一般的情况
? C用极座标,a用直角坐标来表示
tjr
ejtx
)(
0
)()(
ω
βα
+
+=
)sin()cos(
)(
00
)(
)(
0
0
θωθω
θω
ωθ
+++=
=
==
+
+
teCjteC
eeC
eeCCetx
rtrt
tjrt
tjrjat
33
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础一般复指数信号2
?若r=0,x(t)的实部和虚部都为正弦信号
?若r<0,x(t)的振幅为指数衰减正弦(1)
?若r>0,x(t)的振幅为指数增长正弦(2)
(1) r<0 (2) r>0
0 2 4 6 8 10 12 14
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10 12 14
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
34
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础离散时间复指数信号
?离散复指数信号或序列
?离散周期复指数信号
n
Canx =][
nj
enx
0
][
ω
=
0 2 4 6 8 10 12 14
-0,3
-0,2
-0,1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
离散衰减正弦信号
35
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础奇异信号奇异信号：即本身、其导数或其积分有不连续点的函数。
斜变信号
单位阶跃信号
符号函数
单位冲激
冲激偶信号
36
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位斜变信号
?斜变信号——斜坡信号
0 1 t
R(t)
0 t0 t0+1 t
R(t-t0)
t >=0 R(t) = t
t <0 R(t) = 0 t < t0 R(t-t0) = 0
t >= t0 R(t-t0) = t - t0
37
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础切平的斜变---三角斜变
? 0< t < t0
? R(t) = Kt / t0
? t > t0 R(t) = K
? 0< t < t0
? R(t) = Kt / t0
? t > t0 R(t) = 0
0
t
0
t
38
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位阶跃信号
=
>
<
=?
0
2
1
0
0
0
1
0
)(
tt
tt
tt
ttu
=
>
<
=
0
01
00
)(
2
1
t
t
t
tu
1
t
0
t0
1
39
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础用阶跃表示矩形脉冲
)()()( τ= tututG
)()()(
001
τ= ttuttutG
G(t)
τ
G
1
(t)
t0
τ
40
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础信号加窗或取单边
)]()([)(
0
ttutuetf
t
=
f(t)
t
t t0
41
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础
（1）突然接入的直流电压(下)
（2）突然接通又马上断开电源(上)
K
负载
42
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础正负符号函数定义sgn(t)
1
0
t
可用阶跃表示-1
<?
>
=
)0(1
)0(1
)sgn(
t
t
t
1)(2)sgn(?= tut
43
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位冲激信号
?连续时间单位冲激信号持续时间无穷小，瞬间幅度无穷大，涵盖面积恒为1的一种理想信号，记
?狄拉克定义
t=0 t>0,t<0
)(tδ
1)(
∫
+∞
∞?
=dttδ
)(tδ
0
t
0)( =tδ
44
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础矩形脉冲演变成冲激函数定义：矩形面积不变，保持为1，宽趋于0时的极限
[ ])()(lim)(
22
1
0
ττ
τ
τ
δ+=
→
tutut
0
t
45
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位冲激平移
≠=?
==?
∫
+∞
∞?
00
00
0)(
1)(
tttt
ttdttt
δ
δ
t0
t
0
46
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础冲激函数的性质
?偶函数
?乘积
?筛选（积分）
)()()(
)()(
000
0
tfdttttf
dttftt
=?=
=?
∫
∫
+∞
∞?
δ
δ
)()()()().........()0()()(
000
tttftttftfttf?=?= δδδδ
)()( tt?=δδ
47
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础筛选特性
∫
∫∫
∞+
∞?
+∞
∞?
+∞
∞?
==
=
)0()()0(
)0()()()(
fdttf
dtftdttft
δ
δδ
t
)0(f
0
)()()(
)()(
000
0
tfdttttf
dttftt
=?=
=?
∫
∫
+∞
∞?
δ
δ
)(
0
tf
48
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础冲激串序列冲激串序列可定义为连续信号抽样的数学模型
∑
∞
∞=
===
n
ss
nTttxtptxnxnTx )()()()()()( δ
∑
∞
∞=
=
n
s
nTttp )()( δ
49
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础冲激序列对连续信号抽样
∑
∞
∞=
=
n
nTttxnTx )()()( δ
)(tx
)(nTx
t
n
50
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础采样函数
采样函数sinc (t)为偶函数
在t的正、负两方向振幅都逐渐衰减，当t=±π,
±2π,…,±nπ时，函数值为零。
t=0时，函数值为1。
t
1
π
2π
3π
4π-2π
-3π
-4π
π?
Sa(t)
0
()
2
()
()
Sa t dt
Sa t dt
Sa t dt
π
π
∞
∞
∞
∞
∞
=
=
=∞
∫
∫
∫
t
t
tctf
sin
)(sin)( ==
51
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位抽样信号在离散信号与离散系统的分析中作用重大，与冲激函数类似。
≠
=
=
00
01
)(
n
n
nδ
52
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位抽样信号
k延迟：单位抽样信号在n
轴上延迟k个抽样周期，有，
脉冲串序列：由单位抽样信号的所有延迟组成，
有
∑
∞
∞=
=
k
knnp )()( δ
≠
=
=?
kn
kn
kn
0
1
)(δ
≠
=
=?
kn
kn
kn
0
1
)(δ
53
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础单位阶跃序列u（n）
在脉冲串序列中，n小于0的部分恒为0，即
<
≥
=
00
01
)(
n
n
nu
54
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础任何序列均可表示为延迟采样序列的加权和。
∑
∞
∞=
=
k
k
knanx )()( δ
55
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础正弦序列正弦序列：
)sin()2sin()(?ω?π +=+= nAfnTAnx
s
56
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础复正弦序列与指数序列复正弦序列指数序列
)sin()cos()( njnenx
nj
ωω
ω
+==
n
anx =)(
57
测试技术与数据处理绪论与信号分析基础测试技术与数据处理建议？
H
o
w
1
测试技术与数据处理信号分析基础（2）
2
测试技术与数据处理信号分析基础(2)
?系统
?线性系统的特点
?离散信号的运算
?离散时间系统
?信号的时域分析
?信号的频域分析
3
测试技术与数据处理
2.1 系统由若干相互作用、相互依赖的事物组合而成、具一定功能的整体。
4
测试技术与数据处理系统
?连续时间系统
?离散时间系统
?混合时间系统
5
测试技术与数据处理三大系统示意图
6
测试技术与数据处理子系统之间的连接方式
?串联
?并联
?混联
?反馈
7
测试技术与数据处理系统
?即时系统：系统的输出只取决于同时刻的激励信号，而与其历史无关。
?动态系统：系统的输出不仅取决于同时刻的激励信号，而且与其工作状态（历史）相关。
8
测试技术与数据处理系统
?集总参数系统：由集总参数元件构成的系统，其数学模型与空间位置无关，可用常微分方程表示。
?分布参数系统：含有分布参数元件的系统，其数学模型与空间位置相关，可用偏微分方程表示。
9
测试技术与数据处理系统
?线性系统
?非线性系统
?时变系统
?非时变系统(时不变系统)
?因果系统
?非因果系统
10
测试技术与数据处理系统分析的方法
?时域分析法：系统的时间响应特性（卷积方法）
?变换域分析法
?傅里叶变换（频域分析）
?拉氏变换（分析连续系统的传输特性）
?Z变换（分析离散系统的传输特性）
11
测试技术与数据处理
2.2 线性系统的性质
?齐次
?叠加性
?微分特性
?积分特性
?频率保持性
?时不变性
?系统的稳定性
12
测试技术与数据处理齐次性
13
测试技术与数据处理叠加性
14
测试技术与数据处理线性：同时满足齐次性与叠加性
)()()()(
,
)()(),()(
22112211
21
2211
tyatyatfatfa
aa
tytftytf
+→+
→→
则对于任意常数若
15
测试技术与数据处理微分特性
16
测试技术与数据处理积分特性
17
测试技术与数据处理频率保持性信号通过线性系统时，其各频率分量的幅值和相位尽管发生了变化，但不会增加新的频率分量。
18
测试技术与数据处理时不变性
)()(
)()(,
)()(
)()(
00
knyknx
nynx
ttyttf
tytf，
→?
→
→?
→
则若对于离散系统则若对于连续系统
19
测试技术与数据处理系统的稳定性
?线性时不变系统(LTI)，如果系统的单位冲激响应是绝对可积的，则系统的稳定的。
?在S域中，如果冲激响应的LAPLACE变换H（S）的全部极点落在左半平面，则系统是稳定的。
∞<
∫
∞
∞?
dtth )(
∫
∞
∞?
= dtethsH
st
)()(
20
测试技术与数据处理
2.3 离散信号的运算信号的延迟信号的相加信号的积信号的分解与变换
21
测试技术与数据处理离散信号序列的延迟
22
测试技术与数据处理离散信号的相加二个离散序列相加，将二序列中相同序号的值逐项相加，其和为一个新序列。
23
测试技术与数据处理二个序列的积二个序列的积是指二个序列中同序号的值逐项相乘，其积为一个新序列。
24
测试技术与数据处理离散信号的分解
∑
=
=
N
n
nn
nx
1
)(?α
25
测试技术与数据处理
2.4 离散时间系统
26
测试技术与数据处理离散时间系统（例）
)1()()(?+= naynxny
信号流图
27
测试技术与数据处理离散时间系统当输入的信号x(n)为单位抽样信号时，系统的输出(响应)是该系统的固有特征，记为h(n)，上例中
)()1()( nnahnh δ+?=
28
测试技术与数据处理线性时不变离散系统的特点
2线性（与连续时间系统相似）
2移不变性
2因果性（与连续时间系统相似）
2稳定性
29
测试技术与数据处理移不变性如果将输入x(n)延迟k个抽样周期，输出
y(n)也会相应地延迟k个周期。
30
测试技术与数据处理
LTI系统稳定性的条件
)(nhS
n
∞<=
∑
∞
∞=
即
31
测试技术与数据处理
2.4 信号的时域分析
?时域分解
?时域统计分析
?直方图分析
?时域相关分析
32
测试技术与数据处理时域分解为便于分析，将时域信号从不同角度进行分解
?直流分量与交流分量
?偶分量与奇分量
?实部分量与虚部分量
?脉冲分量之和
?正交函数之和
33
测试技术与数据处理直流分量和交流分量直流分量交流分量信号平均值
)()( tfftf
AD
+=
D
f
)(tf
A
)(tf
34
测试技术与数据处理偶分量与奇分量偶分量定义奇分量定义
)()( tftf
ee
=
)()( tftf
oo
=
t0
0
t
35
测试技术与数据处理实部分量和虚部分量
)(
)(
)()()(
tj
IR
etr
tjxtxtx
=
+=
36
测试技术与数据处理分解为脉冲之和
f (t)
f (Δt)
f (0)
f (kΔt)
误差
f
k
(t)
tkΔt (k＋1)Δt2ΔtΔt
当Δt→ 0时,误差→ 0。
0
37
测试技术与数据处理分解为脉冲之和
f(t)可以分解为脉冲信号之和，思路是先把信号f(t)分解成宽度为Δt的矩形窄脉冲之和，任意时刻kΔt的矩形脉冲幅度为f(kΔt)。我们假设f(t)为因果信号。这样
f
0
(t)=f(0)［u (t)-u(t-Δt )］
f
1
(t)=f(Δt )［u (t-Δt )-u(t-2Δt )］
…
f
k
(t)=f(kΔt )［u (t-kΔt )-u(t-(k+1)Δt)］
…
38
测试技术与数据处理分解为脉冲之和信号f(t)可近似表示为
])1(()()[(
)()()()()(
0
210
tktutktutkf
tftftftftf
n
k
k
Δ+Δ?Δ≈
++++≈
∑
=
L
39
测试技术与数据处理正交函数集
n个函数构成一函数集，
如在区间内满足正交特性，即
)(),(),(
21
tgtgtg
n
K
),(
21
tt
)(0)()(
2
1
jidttgtg
t
t
ji
≠=
∫
∫
=
2
1
)(
2
t
t
ii
Kdttg
则此函数集称为正交函数集
40
测试技术与数据处理任意函数由n个正交函数的线性组合所近似
)(
)()()()(
1
2211
tgc
tgctgctgctf
n
r
rr
nn
∑
=
=
+++≈ L
i
c
∫
∫
∫
==
2
1
2
1
2
1
)()(
1
)(
)()(
2
t
t
t
i
i
t
t
i
t
i
i
dttgtf
K
dttg
dttgtf
c
由最小均方差准则，要求系数满足
41
测试技术与数据处理分解为正交函数之和
)()()()(
2211
txctxctxctx
nn
+++= LL
42
测试技术与数据处理时域的统计分析
?均值
?均方值
?方差
?概率密度函数
?概率分布函数
?联合概率密度函数
43
测试技术与数据处理直方图分析包括幅值计数分析、时间计数分析等。
44
测试技术与数据处理时域相关分析
?相关函数用于描述二个信号之间的相似程度，也可用来描述信号的现在值与过去值的关系。
?相关系数
∫∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
=
2
1
22
])()([
)()(
dttxdtty
dttxty
xy
ρ
45
测试技术与数据处理互相关函数用来描述二个信号在时移中的相关性。它定义为
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
dttxtyR
or
dttytxR
yx
xy
)()()(
)()()(
ττ
ττ
46
测试技术与数据处理自相关函数用来描述信号与其τ延迟之间的相关性，定义为
∫
∞
∞?
= dttxtxR
x
)()()( ττ
47
测试技术与数据处理相关函数的性质
?自相关函数是的τ偶函数
?当τ=0时，自相关函数有最大值
?周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期函数，但不具有原信号的相位信息
?两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期函数，但保留了原信号的相位信息
?两个非同频的周期信号互不相关
48
测试技术与数据处理
2.5 信号的频域分析
?周期信号
?非周期信号
?随机信号
49
测试技术与数据处理周期信号的频域分析若周期函数f(t)满足狄里赫利条件:
(1) 在一周内连续或有有限个第一类间断点；
(2) 一周内函数的极值点是有限的；
(3) 一周内函数是绝对可积的，即
∞<
∫
+
dttf
Tt
t
)(
0
0
50
测试技术与数据处理周期信号的频域分析则f(t)可以展开为三角形式的傅里叶级数
)sincos(
2
1
)(
00
1
0
tnbtnaatf
nn
n
ωω ++=
∑
∞
=
式中,
tdtntf
T
b
tdtntf
T
a
Tt
t
n
Tt
t
n
0
0
sin)(
2
cos)(
2
0
0
0
0
ω
ω
∫
∫
+
+
=
=
ω
0
=2π/T是基波角频率，有时也简称基波频率。
51
测试技术与数据处理周期信号的频域分析还可以将一般三角形式化为标准的三角形式
)cos(
2
1
)sinsincos(cos
2
1
sincos
2
1
)sincos(
2
1
)(
0
1
0
00
1
0
0
22
0
22
22
1
0
00
1
0
nn
n
nnn
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
tnAa
tntnAa
t
ba
b
t
ba
a
baa
tbtaatf
ω
ω?ω?
ωω
ωω
+=
++=
+
+
+
++=
++=
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
n
n
nnnn
a
b
baAaa arctan,,
22
00
=+==?
其中
52
测试技术与数据处理周期信号的频域分析
00
0
0
sincos
)(
2
1
sin
)(
2
1
cos
0
00
00
ωω
ω
ω
ω
ωω
ωω
njne
ee
j
n
een
jn
jnjn
jnjn
±=
=
+=
±
tjn
n
n
eCtf
0
)()(
0
ω
ω
∑
∞
∞=
=
欧拉公式表示为复指数形式的傅里叶级数
dtetf
T
C
tjn
Tt
t
n
0
0
0
)(
1
)(
0
ω
ω
+
∫
=
其中系数
53
测试技术与数据处理周期信号的傅里叶级数的特点
?谐波性，各次谐波频率之比为有理数
?离散性，各次谐波在频率轴上取离散值
?收敛性，各次谐波分量随频率增加而衰减
54
测试技术与数据处理周期矩形脉冲信号的频域分析例：周期矩形脉冲信号的傅里叶展开，了解其频谱特点。
－T
…
T
E
0
…
t
2
τ
2
τ
－
f (t)
<<?
=
其它0
22
)(
ττ
tE
tf
其中，ω
0
=2π/ T。
55
测试技术与数据处理周期信号的频域分析将f(t)展开成指数形式傅里叶级数，
2
inc
|
11
)(
0
2
2
0
2/
2/
0
00
τωτ
ω
ω
τ
τ
ωω
τ
τ
n
S
T
E
e
jnT
E
dtEe
T
C
tjntjn
n
=
==
∫
56
测试技术与数据处理周期信号的频域分析
57
测试技术与数据处理周期信号的频域分析图傅里叶变换就象一面棱镜输入f (t)
输入自然光自然物理棱镜傅里叶变换棱镜赤橙黄频率1
频率2
频率3
…
…
…
…
58
测试技术与数据处理吉布斯现象
?吉布斯现象：当用有限项的傅里叶级数的谐波分量之和来重现（具有间断点）波形时，出现肩峰与波动的现象，称之为吉布斯现象。
?吉布斯现象产生的根源：级数展开式在间断点邻域不能均匀收敛引起。
?影响规律：当有限项级数的项数N增大时，波形顶部愈平坦，肩峰愈向间断点靠拢。
59
测试技术与数据处理非周期信号的频域分析信号的时间函数f(t)和它的傅氏变换即频谱X(ω)是同一信号的两种不同的表现形式。不过，f( t)显示了时间信息而隐藏了频率信息；X(ω)
显示了频率信息而隐藏了时间信息。
)(
)()(
)(
2
1
)(
)()(
ω?
ω
ω
ωω
ωω
π
ω
j
tj
tj
eXX
deXtf
dtetfX
=
=
=
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
60
测试技术与数据处理非周期矩形脉冲信号的频域分析例：矩形脉冲信号宽度为τ，幅度为1，求其傅里叶展开。
===
==
∞
∞?
∫∫
2
inc
2/
)2/sin(
2
sin
2
)()(
2/
2/
ωτ
τ
ωτ
ωτ
τ
ωτ
ω
ω
ω
τ
τ
ω
S
dtedtetfX
tjtj
61
测试技术与数据处理非周期信号的频域分析
0
0
1
)(ωF
ω
τ
π4
τ
π2
τ
π2
τ
π4
－
－
2
τ
2
τ
－
f (t)
t
…
…
0
ω
－π
π
(ω)
τ
π4
τ
π2
－
τ
π4
－
τ
π2
62
测试技术与数据处理非周期信号的吉布斯现象
?用频域函数X(ω)恢复（表示）原信号x(t)时，当频率取有限范围时（即频域截断时，由傅里叶逆变换算得的x(t)在时域间断点附近呈现波动现象，这也称为吉布斯现象。
?频域截断带越宽，波动沿时间轴越压缩；反之亦然。
?进一步推广：信号在一个域内截断，那么，肯定会在另一个域内发生波动。而这个波动与Sinc函数有关。
63
测试技术与数据处理随机信号的功率谱密度
?随机信号的特点：时域无限信号，因此，不具备积分条件，理论上无法进行傅里叶变换，来分析其幅值谱与相位谱。
?但可对随机信号的功率谱密度进行分析。
?信号的功率谱密度是信号的自相关函数的傅里叶变换。
64
测试技术与数据处理非周期随机信号的自功率谱密度
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
ωω
π
τ
ττω
ωτ
ωτ
deSR
deRS
j
xx
j
xx
)(
2
1
)(
)()(
65
测试技术与数据处理随机信号的功率谱密度对于二个随机信号x(t)、y(t)之间的互谱密度可用其互相关函数的傅里叶变换来求得。
1
测试技术与数据处理信息转换与传输（3）
2
测试技术与数据处理信息转换与传输（3）
?信息论基本知识
?信息转换
?信息传输
?信息传输过程中的干扰噪声
3
测试技术与数据处理
3.1 信息论基本知识
?信息的定义
?物质、能量与信息之间的关系
?信息的基本性质
?信息科学与技术
?信息论
?信源及其模型
?信息熵及其性质
4
测试技术与数据处理信息的定义
9维纳说
9朗格说
9山农说
5
测试技术与数据处理信息的定义综合上述观点，信息可定义为：事物运动的状态与方式。
6
测试技术与数据处理物质、能量与信息之间的关系
?能量是物质运动的动力
?信息是物质运动状态特征的描述
?而物质则是能量与信息的载体
7
测试技术与数据处理信息的基本性质
?可以识别
?可以转换
?可以贮存
?可以传输
8
测试技术与数据处理信息科学与技术
?信息科学：研究信息现象及其规律的科学。
?信息科学的内容：一是信息本身的规律；利用信息方面的规律。
?信息科学的主体结构：信息论、控制论与系统论。
?信息技术：拓展人的信息功能的技术，包括传感技术、通讯技术及计算机技术，三者构成了信息技术的核心。
9
测试技术与数据处理信息论
?狭义信息论
?一般信息论
?广义信息论
10
测试技术与数据处理广义通信系统的模型
11
测试技术与数据处理信源及其模型
?信源：我们所研究的客观事物。
?离散信源：随机变量取值于某一离散集合。
?连续信源：随机变量取值于一连续区间。
12
测试技术与数据处理离散信源
][
=
)()......(),(
......,
,
21
21
n
n
xPxPxP
xxx
PX
13
测试技术与数据处理自信息与信息熵
)(log)(
ii
xPxI?=
∑
=
=
N
i
ii
xPxPXH
1
)(log)()(
14
测试技术与数据处理信息熵的基本性质对称性确定性：如果信源的输出只有一个确定状态，则其信息熵为0
非负性可加性极值性
15
测试技术与数据处理连续信源的数学模型
[]
∫
∫
=
=
=
b
a
b
a
dxxpxpXh
，dxxp
xp
ba
xpX
)(log)()(
1)(
)(
),(
)(,
而信息熵并满足
16
测试技术与数据处理
p(x)服从正态分布时
2
2
2
2log
2
1
)(log)()(
2
)(
exp
2
1
)(
σπ
σ
σπ
edxxpxpxh
，
mx
xp
=?=
=
∫
∞
∞?
信息熵可表示为时
17
测试技术与数据处理
3.2 信息转换
?人类认识事物、改造事物的基本规律
?人类感官的局限性
?解决人类感官局限性的方法－传感器
?传感器技术的发展方向
?工程中应用的传感器
?传感器的标定与选用原则
18
测试技术与数据处理信息转换
19
测试技术与数据处理信息转换
?人类认识事物、改造事物的基本规律
?人类感官的局限性
?解决人类感官局限性的方法－传感器
?传感器技术的发展方向
?工程中应用的传感器
?传感器的标定与选用原则
20
测试技术与数据处理信息转换
?人的视觉的局限性
?人的听觉的局限性
?人的嗅觉的局限性
21
测试技术与数据处理信息转换
?人类认识事物、改造事物的基本规律
?人类感官的局限性
?解决人类感官局限性的方法－传感器
?传感器技术的发展方向
?工程中应用的传感器
?传感器的标定与选用原则
22
测试技术与数据处理传感器
?传感器是人类感官的延伸
?简单的感测系统，如温度计，其感知元件与显示元件均有水银担当
?复杂的感测系统
23
测试技术与数据处理信息转换
?人类认识事物、改造事物的基本规律
?人类感官的局限性
?解决人类感官局限性的方法－传感器
?传感器技术的发展方向
?工程中应用的传感器
?传感器的标定与选用原则
24
测试技术与数据处理传感器的发展方向
?扩展感知的谱域
?识别信息的智能化
?动态测量
?遥测技术
?特殊环境的测量
25
测试技术与数据处理信息转换
?人类认识事物、改造事物的基本规律
?人类感官的局限性
?解决人类感官局限性的方法－传感器
?传感器技术的发展方向
?工程中应用的传感器
?传感器的标定与选用原则
26
测试技术与数据处理传感器的分类
9按被测物理量进行分类：
力传感器、速度传感器、温度传感器等。
9按传感器的工作原理或传感过程中信号转换的原理分类：
9结构型传感器：根据传感器的结构变化来实现信号的传感，如电容传感器。
9物性型传感器：根据传感器敏感元件材料本身物理特性的变化来实现信号的转换。如压力加速度计是利用了传感器中石英晶体的压电效应；光敏电阻则是利用材料在受光照作用下改变其电阻的效应。
27
测试技术与数据处理传感器的分类
9根据传感器与被测对象之间的能量转换关系分类：
能量转换型传感器（亦称无源传感器）：直接由被测对象输入能量来使传感器工作的。如热电偶温度计、弹性压力计等等。
能量控制型传感器（亦称有源传感器）：依靠外部提供辅助能源来工作，由被测量来控制该能量的变化。如电桥电阻应变仪。
28
测试技术与数据处理电阻式传感器
?电阻式传感器：将被测的量转变为电阻变化的一种传感器。
?工作原理：
一个电导体的电阻值：
式中：R－电阻（Ω）；
ρ－材料的电阻率（Ω·mm
2
/m）；l－导体的长度
（m）；A－导体的截面积（mm
2
）。
?改变长度l，则可形成滑动触点式变阻器或电位计；
?改变l、A和ρ则可做成电阻应变片；
?改变ρ，则可形成热敏电阻、光导性光检测器、压阻应变片、以及电阻式温度检测器。
)(Ω=
A
l
R
ρ
29
测试技术与数据处理电阻传感器粘贴式金属丝应变片可用于应力分析，也可用作为传感器。由于可测的电阻值变化要求导线长度很长，因而要将导线按一定的形状（通常为栅状）曲折地贴在由浸渍过绝缘材料的纸衬或合成树脂组成的载体上。
金属丝应变片应变片结构纵截面情形
30
测试技术与数据处理应变片的粘贴
1）常用的粘接剂：环氧树脂、酚醛树脂等；
2）高温下：专用陶瓷粉末等无机粘接剂。
对粘接剂的要求：保证粘接面有足够的强度、绝缘性能、
抗蠕变、以及温度变化范围等。
使用粘接方法的温度范围：-249℃～816℃
3）对超高温度来说，常要采用焊接技术来进行连接。
31
测试技术与数据处理信息转换应变片的应用
?结构的应力和应变分析；
?用于制成力、位移、
压力、力矩和加速度等测量传感器。
粘贴应变计的力和力矩传感器
（a）拉力杆（b）压力杆
（c）弯曲悬臂（d）扭矩轴
32
测试技术与数据处理电感式传感器
?定义：利用电磁感应原理，将被测的非电量转换成电磁线圈的自感或互感量变化的一种装量。
?分类：
按照结构方式分类变气隙式变截面式螺管式按照转换方式分类自感式互感式
33
测试技术与数据处理电容式传感器
?定义：电容式传感器采用电容器作为传感元件，将不同物理量的变化转换为电容量的变化。
?原理：
忽略边缘效应，一平板电容器的电容可表达为：
式中A—极板面积（m
2
）；ε
0
—真空介电常数,ε
0
=8.85×10
-1 2
(F/m);
ε—极板间介质的介电常数，当介质为空气时ε=1；d—两极板间距离（m）。
()F
A
C
d
0
εε
=
平板电容分类：面积变化型A、介质变化型ε和间隙变化型d
34
测试技术与数据处理压电传感器
?压电传感器：利用某些材料的压电效应，这些材料在受到外力的作用时，在材料的某些表面上产生电荷。
?压电效应(piezoelectric effect)：
某些材料当它们承受机械应变作用时，其内部会产生极化作用，从而会在材料的相应表面产生电荷；或者反过来当它们承受电场作用时会改变其几何尺寸。
?分类：
单晶压电晶体，如石英、罗歇尔盐（四水酒石酸钾钠）、
铌酸锂(LN)、磷酸二氢铵等；
多晶压电陶瓷，如极化的铁电陶瓷（钛酸钡）、锆钛酸铅等；
某些高分子压电薄膜。
35
测试技术与数据处理石英单晶石英晶体是常用的压电材料之一。其中纵轴Z—Z称为光轴，X—X轴称为电轴，而垂直于X—X轴和Z—Z轴的Y—
Y轴称为机轴。沿电轴X—X方向作用的力所产生的压电效应称为纵向压电效应，而将沿机轴Y—Y方向作用的力所产生的压电效应称为横向压电效应。当沿光轴Z—Z方向作用有力时则并不产生压电效应。
石英晶体
（a）左旋石英晶体的外形（b）坐标系（c）切片
36
测试技术与数据处理
?主要的压电效应：
横向效应；
纵向效应；
剪切效应。
?晶片在电轴X—X方向上受到压应力σ
xx
作用切片在厚度上产生变形并由此引起极化现象，极化强度P
xx
与应力σ
xx
成正比，即式中F
x
——沿晶轴X—X方向施加的压力；
d
11
——压电系数，石英晶体的d
11
=2.3×10
-12
CN
-1；
l——切片的长；b——切片的宽。
lb
F
ddP
x
xxxx 1111
== σ
压电效应作用方向图
37
测试技术与数据处理信息转换极化强度P
xx
又等于切片表面产生的电荷密度，即式中q
xx
——垂直于晶轴X-X的平面上产生的电荷量。
因此，可得当石英晶体切片受X向压力作用时，所产生的电荷量
q
xx
与作用力Fx成正比，但与切片的几何尺寸无关。
lb
q
P
xx
xx
=
xxx
Fdq
11
=
38
测试技术与数据处理信息转换在横向（Y—Y）施加作用力F
y
式中d
12
—石英晶体在Y—Y轴方向受力时的压电系数；
l
y
，l
x
—石英切片的长和厚。
根据石英晶体轴的对称条件有
当沿着机轴Y—Y方向施加压力时，产生的电荷量与晶片几何尺寸有关，极性则与沿电轴X—X方向加压力时产生的电荷极性相反（式中负号）。
y
x
y
y
x
y
xy
F
l
l
dF
bl
bl
dq
1212
==
1112
dd?=
y
x
y
xy
F
l
l
dq
11
=
39
测试技术与数据处理磁电式传感器
?概念：一种将被测物理量转换为感应电动势的装置，亦称电磁感应式或电动力式传感器。
?由电磁感应定律可知，当穿过一个线圈的磁通
Φ发生变化时，线圈中所感应产生的电动势
?分类：
?动圈式；
?动磁铁式；
?磁阻式。
dt
d
We
φ
=
40
测试技术与数据处理红外探测器
?红外探测器：能将红外辐射量转化为电量的装置。
?分类：
热敏探测器；
光敏探测器。
?热敏探测器
?利用半导体薄膜材料在受到红外辐射时产生的热效应。
?响应时间较长，约在10
-3
s的量级。
?对辐射的各种波长基本上有相同的响应，其光谱响应曲线平坦，在整个测量波长范围内灵敏度基本不变，且能在常温下工作。
41
测试技术与数据处理光电探测器
是一种半导体器件，它的核心是光敏元件。
当光子投射到光敏元件上时，促使电子—空穴对分离，产生电信号。
光电效应产生很快，光电探测器对红外辐射的响应时间可达毫微秒。
其对波长的响应率有个峰值λp，超过λp时响应曲线迅速截止。其原因是，在大于一定波长的范围内，光子能量不足于激发电子的释出，电活性消失。
光电探测器必须在低温下才能工作。
红外探测器光谱响应
42
测试技术与数据处理电荷耦合器件CCD
?固态图象传感器：一种固态集成元件，其核心部分是电荷耦合器件（Charge Coupled Device，简称CCD）。
? CCD：以阵列形式排列在衬底材料上的金属——氧化物——
硅（Metal Oxide Semiconductor，简称MOS）电容器件组成的，具有光生电荷、积蓄和转移电荷的功能。
?固态图象传感器的分类：
?线阵型：目前一般有1024、1728、2048和4096个象素的传感器；
?面阵型：从512×512一直到512×768个象素的，最高分辨力的可达2048×2048个象素的或更高。
43
测试技术与数据处理固态图象传感器工作原理
(a)MOS光敏单元
(b)1024单元阵列
(c)线阵式摄像机
44
测试技术与数据处理固态图象传感器的应用用CCD线阵型摄象机作流水线零件尺寸在线检测。
CCD线阵摄象机作二维零件尺寸在线检测
45
测试技术与数据处理
CCD的应用采用CCD线阵型摄像机利用三角法测量物体位置。
三角法原理测量物体位移及轮廓
46
测试技术与数据处理
CCD的应用采用面阵式CCD摄象机利用投影法测量物体三维表面形貌。
投影法测量物体三维形貌
47
测试技术与数据处理霍尔传感器
?霍尔传感器：属半导体磁敏传感器。
?组成材料：砷化铟（InAs）、锑化铟（InSb）、锗（Ge）、
砷化镓（GaAs）等高电阻率半导体材料。
?霍尔效应：将霍尔元件（霍尔板）置于一磁场中，板厚d一般远小于板宽b和板长，当在板长度方向通以控制电流I时，
则在板的侧向（宽度方向）会产生电势差。
霍尔元件及霍尔效应
（a）霍尔元件构造（b）霍尔元件特性曲线
48
测试技术与数据处理霍尔传感器的应用位置测量用作终端位置开关，用于无接触地监测机器部件的位置。
霍尔传感器测量物体位置
49
测试技术与数据处理霍尔传感的应用转速测量测量齿轮的转速。
霍尔效应齿轮测速传感器
50
测试技术与数据处理射线检测
?检测原理：利用被测物质对射线的吸收、散射或者与物质的其它相互作用来进行工作
?检测范围：材料厚度、内伤、物质密度、成分、物位
?装置组成：射线源、探测器、信号转换、显示、记录等部分组成
?射线源：X射线或α、β、γ射线
?探测器：将射线能量转化为电信号，种类有比例计数器、盖革计数器、闪烁计数器与半导体探测器等
51
测试技术与数据处理超声探测器
?超声波：频率高，因而具有比相同振幅的声波高得多的能量，具有极高的穿透能力
?超声波在界面上的反射能量与透射能量的比值，取决于二种介质的声阻抗特性Z(介质的密度与声速的积)
?介质的Z相差越大，反射越强
?可用于工件厚度与内伤等方面的测量
52
测试技术与数据处理声发射探测
?原理：从外部施加载荷，使固体材料发声，利用按收到的声音信号研究材料内部的缺陷，评价材料的特性
?实质：材料微观发生变化时，以弹性波的形式释放能量。
?声发射探测器：将弹性波转化为可测量的电信号的一种传感器，通常为压电谐振式结构，由压电元件、阻尼剂、壳体、底座及电缆线等部分组成
?描述AE信号特征的参数有：振铃计数与计数率、事件计数与计数率、振幅与振幅分布等
53
测试技术与数据处理光纤传感器
?光纤传感器分为物性型与结构型
?物性型：基于光纤的光调制效应，当环境改变时，
如应变、压力、电场、温度作用于光纤时，可以改变光纤中传输的光的相位与强度，又称为功能型光纤，如压力传感器，声压力传感器
?结构型光纤：由光检测元件与光纤传输路组成的测试系统，光纤仅起传输媒介的作用，如激光－多普勒效应速度传感器，用于汽车、颗粒粒度的测量
54
测试技术与数据处理信息转换
?人类认识事物、改造事物的基本规律
?人类感官的局限性
?解决人类感官局限性的方法－传感器
?传感器技术的发展方向
?工程中应用的传感器
?传感器的标定与选用原则
55
测试技术与数据处理传感器的选用原则
?灵敏度：灵敏度越小，代表其感知的变化量越小
?响应特性：响应的延迟越小越好
?线性：线性范围越宽，表明传感器的工作量程越大
?稳定性：长时间使用后，其输出特性不发生变化的能力
?精确度：输出与被测量值的对应程度
56
测试技术与数据处理
3.3 信息传输
?信道:信号传输的媒介与途径
?信道容量：信道最大的传输速率，单位为bit/s
?Shannon Formula
)1log(
n
s
t
P
P
FC +=
57
测试技术与数据处理
3.4 干扰噪声
?噪声的定义：除信号源以外的其它信号。
?观察到的信号：是真正的信号与噪声的函数。
?白噪声：含有所有频率成份的噪声。其均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非零常数（N
0
/2）。
58
测试技术与数据处理
3.4干扰噪声
?噪声源：系统外噪声与系统内噪声
?系统外噪声：雷电、高压电网、空间电磁波、环境温度、光照、振动等
?系统内噪声：电子元件的热噪声、散粒噪声、闪烁噪声、量子噪声等
1
测试技术与数据处理连续系统分析（1）
2
测试技术与数据处理连续系统分析
?连续系统的时域分析
?连续系统的频域分析
?连续系统的复频域（S域）分析
?调制与解调
3
测试技术与数据处理
4.1 连续系统的时域分析
?系统的微分方程及其响应
?卷积及其应用
?相关函数
? MATLAB在时域分析中的应用
4
测试技术与数据处理连续时间系统的时域分析例由一个RLC构成的二阶系统
5
测试技术与数据处理以电感中电流为响应的二阶方程
)(
1
)(
1)()(
2
2
ti
LC
ti
LCdt
tdi
L
R
dt
tid
s
=++
6
测试技术与数据处理以电容的电压为响应的二阶方程
)(
)(1
)(
1)()(
2
2
ti
LC
R
dt
tdi
C
tu
LCdt
tdu
L
R
dt
tud
sc
cc
+=++
7
测试技术与数据处理二阶方程的解
?线性时不变系统(LTI)的响应是其零输入响应(Zero-input
Response，ZIR)与零状态响应(Zero-state Response，
ZSP)之和。
?零输入响应（ZIR），是指从观察的初始时刻起，不输入任何信号，仅由本系统的起始状态所引起的响应（或称为储能响应）。
?零状态响应（ZSP），当系统中的储能为零时，由外加激励信号产生的响应（或称受激响应）。
)()()( tytyty
zszi
+=
8
测试技术与数据处理冲激响应h（t）
储能状态为零的电路，在单位冲激信号的作用下，产生的零状态响应称为冲激响应，记为h（t）。它可用来表征一个系统的本质特性。
9
测试技术与数据处理
RC系统问题
10
测试技术与数据处理
RC问题的解
)(
1
)()( te
RC
tuth
RC
t
c
ε
==
11
测试技术与数据处理卷积的定义设定义在（-∞，∞）上的二个函数f
1
（t）与
f
2
（t），则下面的积分称为这二个函数的卷积。
)()()(
)()()(
21
21
tftfty
dtffty
=
=
∫
∞
∞?
并记为
τττ
12
测试技术与数据处理系统的卷积分析法对于一个系统，如果已知其冲激响应和输入信号，则其零状态的响应，可用下面的卷积来表示：
∫
∞
∞?
=
=
τττ dthf
thtfty
)()(
)(*)()(
13
测试技术与数据处理卷积的基本性质
?交换律
?结合律
?分配律
?微分性质
?积分性质
14
测试技术与数据处理卷积的微分性质
)(*)()(*)()(
)(*)()(
2
'
1
2
'
1
'
21
tftftftfty
tftfty
，
==
=
则若二个函数满足
15
测试技术与数据处理卷积的积分性质
∫∫ ∫
==
=
))((*)()(*))(()(
)(*)()(
2121
21
dttftftfdttfdtty
，
tftfty
其积分满足那么如果有
16
测试技术与数据处理卷积的进一步讨论若信号f(t)与系统的冲激响应h(t)均为t=0时的有始信号，则其响应可写为
)(])()([)(*)(
0
tdthfthtf
t
ετττ
∫
=
17
测试技术与数据处理卷积的进一步讨论若信号f(t)的起始时间为t1，系统的冲激响应
h(t)的起始时间为t2时，则其响应可写为
)(])()([)(*)(
21
2
1
tttdthfthtf
tt
t
=
∫
ετττ
18
测试技术与数据处理卷积的进一步讨论
)()(*)(
)(
)()(*)(
)()(
00
0
ttftttf
，tt
tfttf
ttf
=?
=
δ
δ
δ
δ
则有延迟若仍为信号其本身的卷积与冲激信号任意信号
19
测试技术与数据处理卷积的图解法卷积的图解法是计算卷积的基本方法，优点是可以直观确定积分限、积分条件。
图解法具体步骤为
(1) f(t)→f(τ)，函数图形不变，仅t→τ。
(2) h(t)→h(t-τ)，它包括两部分运算:
①折叠或对称h(t)→h (τ)→h(-τ)；
②移位,t是h(-τ)与h(t-τ)之间的“距离”。
t<0 左移
t>0 右移
20
测试技术与数据处理
(3) 将折叠移位后的图形h(t-τ)与f(τ)相乘。
(4) 求h(t-τ)与f(τ)相乘后其非零值区的积分（面积）。
卷积的图解法(2)
21
测试技术与数据处理
f(t)、h(t)如图所示，求y (t)=f(t)*h(t)。
例
22
测试技术与数据处理图解法示意图
23
测试技术与数据处理图解法示意图
t12
0
y (t)
2
E
t21
0
1
h (t－τ)
τ
h (t－τ)
1＜t＜2
t
0
12
1
τ
t＞2
(c) 1＜t＜2
[]
)1(2
1
)(2
e1
2
de)()(
∫
t
t
t
E
Ethtf τ
τ
＝
＝－
[ ]
[]
其他 0
2 ee
2
21 e1
2
)1(2)2(2
)1(2
t
E
t
E
tt
t
(e) y(t)＝
－
－
＜＜
＞
(d) t＞2
[]
)1(2)2(2
2
1
)(2
ee
2
de)()(
∫
tt
t
E
Ethtf τ
τ
＝
＝－
24
测试技术与数据处理相关积分
?两个函数f
1
(t)与f
2
(t)的相关积分定义为
?可记为
∫
∞
∞?
= τττ dtffty )()()(
21
)()()(
21
tftfty?=
25
测试技术与数据处理自相关函数用来描述信号与其τ延迟之间的相关性，定义为
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
τττ
ττ
dtxxtR
dttxtxR
x
x
)()()(
)()()(
t和τ互换
26
测试技术与数据处理互相关函数用来描述二个信号在时移中的相关性。它定义为
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
=
τττ
τττ
dtxytR
or
dtyxtR
yx
xy
)()()(
)()()(
27
测试技术与数据处理信号的Matlab表示
?连续信号y=A*exp(a*t)
? A=1;a=-0.4;
? t=0:0.01:10;
? ft=A*exp(a*t);
? plot(t,ft)
28
测试技术与数据处理离散信号
? y=a
k
? k=0:10;A=1;a=0.6;
? fk=A*a.^k;
? stem(k,fk)
程序中用stem
（k,fk)绘制离散序列波形
29
测试技术与数据处理正弦信号
? y=sin(π/6)t
? t=0:0.001:39;
? ft=sin(pi/6*t);
? plot(t,ft)
? y=sin(π/6)n
? n=0:39;
? ft=sin(pi/6*n);
? stem(n,ft)
30
测试技术与数据处理
Matlab在时域分析中的应用
?求一个系统的冲激响应
(以下面的二阶系统为例进行说明)
)(10)(100)('2)('' ttytyty δ=++
31
测试技术与数据处理
Matlab在时域分析中的应用
? %Program of impulse response of
LTI system
? ts=0;te=5;dt=0.01
? sys=tf([10],[1 2 100]);
? t=ts:dt:te;
? y=impulse(sys,t)
? plot(t,y)
? xlable(’Time(sec)’);
? ylable(’h(t)’)
)(10)(100)('2)('' ttytyty δ=++
sys是LTI系统模型
32
测试技术与数据处理
33
测试技术与数据处理
4.2 连续系统的频域分析
?周期信号的频谱
?非周期信号的频谱
?傅里叶变换的性质
?系统的频域分析
?取样定理及其应用
34
测试技术与数据处理
4.2.1周期信号的频谱
?周期信号的傅里叶变换(三角级数)
?周期信号的傅里叶变换(复指数)
?周期信号的频谱分析
35
测试技术与数据处理周期信号的傅里叶变换(三角级数)
在有限区间上，一个周期信号x（t）
当满足狄里赫利条件：
1）任一个周期内，有限间断点
2）任一个周期内，有限的极大值与极小值
3）在一个周期内，其绝对值可积的则该周期信号可展开成傅里叶级数。
36
测试技术与数据处理周期信号展开成三角级数
∑
∞
=
++=
1
00
0
)sincos(
2
)(
n
nn
tnbtna
a
tx ωω
∫
=
2/
2/
0
cos)(
2
T
T
n
tdtntx
T
a ω
式中，
∫
=
2/
2/
0
sin)(
2
T
T
n
tdtntx
T
b ω
?a
n
是n或nω
0
的偶函数，a
-n
=a
n；而b
n
则是n或nω
0
的奇函数，有b
-n
=-b
n
。
37
测试技术与数据处理周期信号展开成三角级数
∑
∞
=
+=
1
0
0
)cos(
2
)(
n
nn
tnA
a
tx?ω
=
+=
)(
22
n
n
n
nnn
a
b
arctg
baA
n＝1,2,……
信号x（t）还可表示为另一种形式的傅里叶级数：
A
n
称信号频率成分的幅值，φ
n
称初相角。
38
测试技术与数据处理周期信号的傅里叶变换的形貌特征首先，
我们可以看出：连续周期信号的频谱是离散的!
另外：
? 式中第一项a
0
/2为周期信号中的常值或直流分量 ；
? 从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、
二次谐波、三次谐波、……、n次谐波 ；
? 将信号的角频率ω
0
作为横坐标，可分别画出信号幅值A
n
和相角φ
n
随频率ω
0
变化的图形，分别称之为信号的幅频谱图和相频谱图。
? 由于n为整数，各频率分量仅在nω
0
的频率处取值，
因而得到的是关于幅值A
n
和相角φ
n
的离散谱线。
39
测试技术与数据处理例求下图所示的周期方波信号x(t)的傅里叶级数。
40
测试技术与数据处理解其幅频谱图和相频谱图如下：
41
测试技术与数据处理周期信号的复指数展开
=
+=
)(
2
sin
)(
2
1
cos
tjtj
tjtj
ee
j
t
eet
ωω
ωω
ω
ω
L,2,1,0)()(
0
±±==
∑
∞
∞=
nenXtx
n
tjnω
x（t）可表达成指数形式我们有
42
测试技术与数据处理周期信号的复指数展开
()L,2,1,0
)(
1
)(
2/
2/
0
±±=
=
∫
n
dtetx
T
nX
T
T
tjnω
∑
∞
∞=
=
k
tjn
enXtx
，
0
)()(
ω
这样
43
测试技术与数据处理例求周期矩形脉冲的复指数展开，设周期矩形脉冲的周期为T，脉冲宽度为τ，如下图所示。
44
测试技术与数据处理解
L,2,1,0
2
sinc
2
2
sin
2
sin
21
1
)(
1
)(
0
0
0
0
0
2/
2/
0
2/
2/
2/
2/
0
00
±±==
=
=
=
==
∫∫
n
n
T
n
n
T
n
n
Tjn
e
T
dte
T
dtetx
T
nX
tjn
tjn
T
T
tjn
）（
τωτ
τω
τω
τ
ω
τω
ω
τ
τ
ω
τ
τ
ωω
45
测试技术与数据处理周期信号幅值谱的特征
?周期信号的频谱是离散谱；
?周期信号的谱线仅出现在基波及各次谐波频率处；
?周期信号的幅值谱中各频率分量的幅值随着频率的升高而减小，频率越高，幅值越小。
46
测试技术与数据处理前例求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为
T，脉冲宽度为τ，如下图所示。
47
测试技术与数据处理解
L,2,1,0
2
sinc
2
2
sin
2
sin
21
1
)(
1
)(
0
0
0
0
0
2/
2/
0
2/
2/
2/
2/
0
00
±±==
=
=
=
==
∫∫
n
n
T
n
n
T
n
n
Tjn
e
T
dte
T
dtetx
T
nX
tjn
tjn
T
T
tjn
）（
τωτ
τω
τω
τ
ω
τω
ω
τ
τ
ω
τ
τ
ωω
48
测试技术与数据处理连续周期信号的傅里叶变换定义
)(
sin
)(sin xSa
x
x
xc
def
==
L,2,1,0,
2
sin)(
0
±±=
= n
n
c
T
nX
τωτ
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
==
k
tjn
k
tjn
e
T
n
c
T
enXtx
00
sin)()(
ωω
πττ
那么
49
测试技术与数据处理连续周期信号的傅里叶变换周期矩形脉冲的频谱（T=4τ）
50
测试技术与数据处理频谱分析表明
?离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。
?各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，
与周期成反比。
?各谱线的幅度按包络线变化。过零点为
?主要能量在第一过零点内。定义带宽
)(
1
T
n
Sa
πτ
τ
π
ω
m2
=
τ
π
ω
2
=B
51
测试技术与数据处理周期矩形的频谱变化规律
?若T不变，在改变τ的情况
?若τ不变，在改变T时的情况
T
τ
52
测试技术与数据处理
Sinc(t)函数的性质
?Sinc(t)是偶函数，当t→±∞时，振幅衰减,
且f(±nπ)=0，其中n为整数。
? Sinc(t)在t=0处,Sinc (t)等于1,即S inc (0)=1,
?另外
π
π
=
=
∫
∫
∞
∞?
∞
dttS
dttS
)(inc
2
)(inc
0
53
测试技术与数据处理
4.2 连续系统的频域分析
?周期信号的频谱
?非周期信号的频谱
?傅里叶变换的性质
?系统的频域分析
?MATLAB的应用
54
测试技术与数据处理非周期函数的傅里叶变换设x（t）为(-T/2,T/2)区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式：
式中因而有当T→∞时，区间(-T/2,T/2)变成(-∞,∞)，而频率间隔
Δω=ω
0
=2π/T变为无穷小量，离散频率nω
0
变成连续频率ω。
∑
∫
∞
∞=
=
n
tjn
T
T
tn
edtetx
T
tx
00
2/
2/
)(
1
)(
ωω
∑
∞
∞=
=
n
tjn
enXtx
0
)()(
ω
∫
=
2/
2/
0
)(
1
)(
T
T
tjn
dtetx
T
nX
ω
55
测试技术与数据处理非周期函数的傅里叶变换
∫
∞
∞?
= dtetxX
tjω
ω )()(
∫
∞
∞?
= ωω
π
ω
deXtx
tj
)(
2
1
)(
将X (ω)称为x（t）的傅里叶变换，而将x(t)称为
X(ω)的逆傅里叶变换，记为：
定义它是变量ω的函数。则x(t)可写为：
)()( ωXtx?
56
测试技术与数据处理
X (ω)函数
?频谱函数一般为复函数,可写为下式
?其中,幅值是ω的偶函数,相位角是ω的奇函数。
)(
)()(
ω?
ωω
j
eXX =
57
测试技术与数据处理非周期函数的傅里叶变换
?连续非周期函数x（t）傅里叶变换存在的充分条件是其在区间(-∞,∞)上绝对可积，但并非 必要条件 。因为当引入广义函数概念之后，
许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。
? 将变换公式中的角频率ω用频率f来替代，
ω=2πf，公式分别变为
∫
∞
∞?
= dtetxfX
ftj π2
)()(
∫
∞
∞?
= dfefXtx
ftj π2
)()(
58
测试技术与数据处理非周期函数的傅里叶变换的特点
一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加。X(f)df的是谐波e
j2πf
的系数，决定着信号的振幅和相位。
X(f)或X(ω)为x(t)的连续频谱。
由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其写为上式中的 （或,当变量为ω
时）称非周期信号x(t)的幅值谱，φ(f)（或
φ(ω)）称x(t)的相位谱
)(
)()(
fj
efXfX
=
)( fX
)(ωX
59
测试技术与数据处理
1.矩形脉冲信号g
τ
(t)
g
τ
(t)是宽度为τ，幅度为1的偶函数，常常也被称为门函数，表示式为
===
==
=
+=
∞
∞?
∫∫
2
sinc
2/
)2/sin(
2
sin
2
)()(
)()
2
()
2
()(
2/
2/
ωτ
τ
ωτ
ωτ
τ
ωτ
ω
ω
ππ
ω
τ
τ
ω
τ
τ
dtedtetgF
tgtututf
tjtj
常见非周期信号的傅里叶变换
60
测试技术与数据处理门函数的频谱函数、振幅谱、相位谱
+
<<
+
+
<<
=
=
=
τ
π
ω
τ
π
τ
π
ω
τ
π
π
ω?
ωτ
τω
ωτ
τω
)1(4)12(2
)12(2
0
)(
2
sinc)(
2
sinc)(
nn
nn
F
F
61
测试技术与数据处理门函数的波形、振幅谱及相位谱
0
0
1
)(ωF
ω
τ
π4
τ
π2
τ
π2
τ
π4
－
－
2
τ
2
τ
－
f (t)
t
…
…
0
ω
－π
π
(ω)
τ
π4
τ
π2
－
τ
π4
－
τ
π2
62
测试技术与数据处理
0
τ
τ
π2
－
τ
π4
－
τ
π2
τ
π4
F(ω)
ω
g
τ
(t)的频谱函数图
63
测试技术与数据处理
2,冲激函数时域冲激函数δ(t)的变换可由定义直接得到
1)()( ==
∞
∞?
∫
dtetF
tjω
δω
时域冲激函数δ(t)频谱的所有频率分量均匀分布（为常数1），这样的频谱也称白色谱。
64
测试技术与数据处理冲激函数及其频谱
0
1
0
(1)
δ (t)
[δ (t)]
ωt
65
测试技术与数据处理频域冲激δ(ω)的原函数
π
ωωδ
π
ω
2
1
)(
2
1
)( ==
∫
∞
∞?
detf
tj
由上式可知频域冲激δ(ω)的反变换是常数（直流分量）。
)(21
)(
2
1
ωπδ
ωδ
π
频域冲激δ(ω)的原函数亦可由定义直接得到
66
测试技术与数据处理频域冲激函数δ(ω)及其原函数
00
(1)
δ (ω)
－1
[δ (ω)]
π2
1
tω
67
测试技术与数据处理
3.单边因果指数函数
)arctan(
22
0
)(
t)(
0
11
|
)()(
0)()(
a
j
tja
jatjat
at
e
a
jaja
e
dtedtetueF
atuetf
ω
ω
ωω
ω
ωω
ω
∞
+?
+?
∞
∞
∞?
+
=
+
=
+
=
==
>=
∫∫
68
测试技术与数据处理即
a
a
jF
ja
F
ω
ω?
ω
ω
ω
ω
arctan)(
1
)(
1
)(
22
=
+
=
+
=
69
测试技术与数据处理单边指数函数、振幅谱、相位谱
f (t)＝e
－at
u(t)
0
t
0
ωa
a
1
)(ωF
a2
1
2
π
2
π
－
ω
0
(ω)
70
测试技术与数据处理
4.单边非因果指数函数
a
j
tja
tjatjat
at
e
a
jaja
e
dtedtetueF
atuetf
ω
ω
ωω
ω
ωω
ω
arctan
22
0
)(
)(
0
11
|
)()(
0)()(
+
=
=
=
=?=
>?=
∞?
∞?
∞
∞?
∫∫
71
测试技术与数据处理即
=
+
=
=
a
a
jF
ja
F
ω
ω?
ω
ω
ω
ω
arctan)(
1
)(
1
)(
22
72
测试技术与数据处理
e
at
u(-t)波形及其振幅、相位谱
f (t)＝e
at
u(－t)
0
t
0
ωa
a
1
)(ωF
a2
1
2
π
2
π
－
ω
(ω)
0
73
测试技术与数据处理
5,双边指数函数
=
=
+
=
+
=
+
+
=
0)(
)(
2
)(
211
)(
22
22
ω?
ω
ω
ω
ωωω
ω
F
a
a
F
a
a
jaja
F
即
f(t)=e
at
u(-t)+e
-at
u(t)
利用以上单边指数函数的变换结果我们有
74
测试技术与数据处理双边指数函数的波形、频谱
0
0
f (t)
e
－at
u(t)
e
at
u(－t)
a
1
a
2
a ω
t
)()( ωω FF＝
75
测试技术与数据处理
6,符号函数
0
0
1
1
)()(sgn
<
>
=+=
t
t
tutut
符号函数也称正负函数，记为sgn(t)，表示式为显然，这个函数不满足绝对可积条件，不能直接来求其傅里叶变换。我们可用以下极限形式表示sgnt函数。
)]()([limsgn
0
tuetuet
atat
a
=
→
76
测试技术与数据处理这样，上式变成两个单边指数函数的组合，并取极限可得。
>
<
=
=
=
+
=
→
0
0
2/
2/
)(
2
)(
211
lim)(
0
ω
ω
π
π
ω?
ω
ω
ωωω
ω
F
jjaja
F
a
77
测试技术与数据处理符号函数的波形及其振幅、相位谱
0
sgn t
1
－1
t
0
0
)(ωF
ω
ω
2
π
2
π
－
(ω)
78
测试技术与数据处理
7.阶跃函数u (t)
ttu sgn
2
1
2
1
)( +=
对上式两边取傅氏变换
ω
ωπδ
ω
ωπδ
jj
tuF
1
)(
2
2
1
)()]([ +=?+=
阶跃函数虽不满足绝对可积条件，但u (t)可以表示为
79
测试技术与数据处理阶跃函数的波形及振幅、相位谱
0
0
)(ωF
ω
2
π
2
π
－
(ω)
0 t
1
u(t)
ω
80
测试技术与数据处理傅里叶变换的性质
?线性
?时延（时移、移位）性
?频移特性
?尺度变换
?时域微分特性
?时域积分特性
?频域微分特性
?奇、偶、虚、实性
?时域卷积定理
?频域卷积定理
81
测试技术与数据处理线性若f
1
(t)←→F
1
(ω),f
2
(t)←→F
2
(ω)，
则
af
1
(t)+bf
2
(t) ←→aF
1
(ω)+bF
2
(ω)
式中a、b为任意常数。
82
测试技术与数据处理时延（时移、移位）性
0
)()()()(
101
tj
eFFttftf
ω
ωω
=←→?=
证
0
0
0
)(
)(
)()(
)(
0
tj
xjtj
txjtj
eF
dxexfe
dxexfdtettf
ω
ωω
ωω
ω
∞
∞?
+?
∞
∞?
∞
∞?
=
=
=?
∫
∫∫
时移特性表明信号在频域中与复因子相乘，则在时域平移t
0
。
tj
e
0
ω?
若f(t)←→F(ω)，则
83
测试技术与数据处理例矩形信号
E
τ t
0
f
1
(t)
求如图所示信号f
1
(t)的频谱函数F
1
(ω)，并作频谱图。
84
测试技术与数据处理解
f
1
(t)与门函数的关系为
)
2
()(
1
τ
= tEftf
上节门函数的变换
=?
2
sinc)()(
ωτ
τωFtf
85
测试技术与数据处理由线性与时移性，得到
2
)()(
2
sin)()(
2
sinc)()(
1
1
2
1
0
ωτ
ω?ω?
ωτ
τωω
ωτ
τωω
ωτ
ω
=
==
==
SacEFEF
eEeEFF
j
tj
86
测试技术与数据处理
0
0
)(
1
ωF
τ
π2
τ
π4
－
－
π
1
(ω)
τ
π2
τ
π4 ω
Eτ
τ
π2
τ
π4
－
τ
π2
－
ω
－ωτ / 2
(a)
(b)
τ
π4
f
1
(t)的|F
1
(ω)|、φ
1
(ω)
87
测试技术与数据处理频移性
)()(
0
0
ωω
ω
Fetf
tj
证
)()()(
0
)(
00
ωω
ωωωω
==
∞
∞?
∞
∞?
∫∫
Fdtetfdteetf
tjtjtj
频移特性表明信号在时域中与复因子相乘，则在频域中将使整个频谱搬移ω
0
。
tj
e
0
ω
若
f(t)←→F(ω)，则
88
测试技术与数据处理例求f(t)=cosω
0
tu(t)的频谱函数。
ω
ωπδ
j
tu
1
)()( +?
利用调频性
22
0
00
00
000
)]()([
2
)(2
1
)(2
1
)]()([
2
)(cos
ωω
ω
ωωδωωδ
π
ωωωω
ωωδωωδ
π
ω
+?++=
+
+
+
++?
j
jj
ttu
解已知
89
测试技术与数据处理上例的波形及振幅、相位频谱
0
0
0
)(ωF
2
π
(ω)
2
π
－
2
π
－ω
0
ω
0
－ω
0
ω
0
ω
ω
－1
1
t
f (t)
(a)
(b) (c)
90
测试技术与数据处理例
0
－A
A
2
τ
－
2
τ
t
f (t)
求如图所示f(t)的F(ω)并作图
91
测试技术与数据处理解令f
1
(t)=g
τ
(t)，
则
=
2
sinc)(
1
ωτ
τω AF
而
[]
+
+
=
++?=?
=
2
)(
sinc
2
)(
sinc
2
)()(
2
1
)(
cos)()(
00
0101
01
τωωτωωτ
ωωωωω
ω
A
FFF
ttftf
92
测试技术与数据处理
0
0
)
2
Sa()(
1
ωτ
τω AF＝
Aτ
ω
τ
π4
τ
π2
ω
2
τA
－ω
0
ω
0
F(ω)
τ
ω
π2
0
＞＞
(a)
(b)
如果ω
0
>>2π/τ，F
1
(ω)以及F(ω)如下图所示。
93
测试技术与数据处理尺度变换
a
a
F
a
atf
ω
≠
0
1
)(
若f(t)←→F(ω)，则尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号的脉宽与频宽成反比。
94
测试技术与数据处理矩形脉冲及频谱的展缩
0
0
0
0
A
t
f (t)
Aτ
τ
π2
τ
π4
)
2
Sa()(
ωτ
τω AF＝
ω
f (2t)
A
A
－ττ
t
t
0
τ
π4
－
τ
π4
22
1 ω
F
ω
2
τA
－
2
τ
2
τ
tf
2
1
4
τ
4
τ
－
0
2Aτ
τ
π
τ
π2
－
τ
π
ω
τ
π4
－
τ
π2
－
2F(ω)
95
测试技术与数据处理
)(
)(
ωωFj
dt
tdf
同理，可推广到高阶导数的傅里叶变换若f(t) ←→F(ω)，则
)()(
)(
ωω Fj
dt
tfd
n
n
n
时域微分特性
96
测试技术与数据处理时域积分特性
)(
1
)()0()()()( ω
ω
ωδπωττ F
j
FYdfty
t
+=?=
∫
∞?
特别地，当F (0)=0时
)(
1
)()()( ω
ω
ωττ F
j
Ydfty
t
=?=
∫
∞?
若f(t) ←→F(ω)，
97
测试技术与数据处理频域微分特性
)()(
)(
tfjt
d
dF
ω
ω
一般频域微分特性的实用形式为
)(
)(
ttf
d
dF
j?
ω
ω
若f(t) ←→F(ω)，
98
测试技术与数据处理对频谱函数的高阶导数亦成立
n
n
nn
n
n
n
d
Fd
jtft
tfjt
d
Fd
ω
ω
ω
ω
)(
)(
)()(
)(
或
99
测试技术与数据处理对称（偶）性
)()(
2
1
ω
π
ftF
或若f(t) ←→F(ω)，
则F(t) ←→2πf(-ω)
100
测试技术与数据处理奇、偶、虚、实性
)(
)()()()(
sin)(cos)()()(
ω?
ω
ωωωω
ωωω
j
tj
eFFjXR
tdttfjtdttfdtetfF
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
==+=
==
∫∫∫
f(t)为实函数时，F(ω)的模与幅角、实部与虚部表示形式为
101
测试技术与数据处理其中
==
+=
=?=
==
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
)(
)(
)(
arctan)(
)()()(
)(sin)()(
)(cos)()(
22
ω?
ω
ω
ω?
ωωω
ωωω
ωωω
R
X
XRF
XtdttfjX
RtdttfR
102
测试技术与数据处理时域卷积定理
)()()()(
)()(
)()()()(
2121
21
2121
ωωτωτ
τττ
τττ
ωτ
ω
ω
FFdeFf
ddtetff
dtedtfftftf
j
tj
tj
==
=
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∫
∫∫
∫∫
(交换积分次序)
(利用时延性)
若f
1
(t) ←→F
1
(ω)，f
2
(t) ←→F
2
(ω)
则
f
1
(t)*f
2
(t) ←→F
1
(ω)F
2
(ω)
103
测试技术与数据处理频域卷积定理
)()(
2
1
)()(
2121
ωω
π
FFtftf
若f
1
(t) ←→F
1
(ω)，f
2
(t) ←→F
2
(ω)，
则
104
测试技术与数据处理傅氏变换性质
105
测试技术与数据处理周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换
∑
∞
∞=
=
n
tjn
enFtf
0
)()(
ω
其变换为
∑
∞
∞=
=
n
nnFF )()(2)(
0
ωωδπω
106
测试技术与数据处理例时域冲激串的傅里叶变换
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
nk
n
T
nTt )(
2
)(
0
ωωδ
π
δ
107
测试技术与数据处理
Parseval定理
ωω
π
dXdttxE
nXdttx
T
P
x
k
T
T
x
22
2
2
2
2
)(
2
1
)(
)()(
1
∫∫
∑
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞=
==
==
对于能量信号对于功率信号
108
测试技术与数据处理
LTI系统的频域分析系统的频响函数设激励是f(t),系统的单位冲激响应为
h(t)，若系统的初始状态为零，则系统的响应为
y(t)=y
zs
(t)=f(t)*h(t)
109
测试技术与数据处理对上式两边取傅里叶变换，由卷积定理可得
Y(ω)=F(ω)H(ω)
其中,H(ω)是系统单位冲激响应h (t)的傅里叶变换。系统单位冲激响应h(t)表征的是系统时域特性，而H(ω)表征的是系统频域特性。
所以H(ω)称做系统频率响应函数，简称频响函数或系统函数。
110
测试技术与数据处理上式还可以表示为
)(
)(
)(
)(
)(
ω?
ω
ω
ω
ω
j
eH
F
Y
H ==
111
测试技术与数据处理信号无失真传输的条件
0
)(
)(
)(
,
)()(
0
t
KH
KeeHH
tjj
ωω?
ω
ωω
ωω?
=
=
==
相位幅值系统传递函数的因此系统的传递函数满足
112
测试技术与数据处理信号无失真传输的条件
0
0
ω
ω
－ω t
0
)(ωH
(ω)
113
测试技术与数据处理
?滤波器是一种系统,当信号通过时，会让其中的一些频率的信号通过,使其它频率的信号受到抑制。
?理想滤波器:通带幅频特性为1,阻带幅频特性为0
的滤波器。
?理想滤波器有理想低通、理想高通、理想带通、
理想带阻滤波器等。
理想滤波器
114
测试技术与数据处理理想滤波器的幅频特性
115
测试技术与数据处理理想低通滤波器的频率特性
c
c
tj
j
e
ejHjH
ωω
ωω
ωω
ω
ω?
>
<
==
0
)()(
0
)(
式中,ω
c
是通带截止频率；-t
0
是相位斜率（或群时延）。
理想低通滤波器的传递函数为
116
测试技术与数据处理理想低通滤波器的频率特性
0－ω
c
ω
c
ω
)(ωH
0
ω
(ω)
－ω t
0
1
117
测试技术与数据处理理想低通的单位冲激响应
[])(sinc
|
)(
1
2
1
2
1
)(
0
)(
0
00
tt
e
ttj
deeth
c
c
ttjtjtj
c
c
c
c
=
==
∫
ω
π
ω
π
ω
π
ω
ω
ωωω
ω
ω
118
测试技术与数据处理理想低通滤波器的冲激响应
0
h(t)
t
0
t
c
0
π
ω
t
－
c
0
π
ω
t
＋
0
f (t)＝δ (t)
t
π
c
ω
(1)
119
测试技术与数据处理理想低通滤波器的阶跃响
0
1
)()(
1
)()(
)()()(
tj
e
j
Y
j
F
FHY
ω
ω
ωπδω
ω
ωπδω
ωωω
+=
+=
=
因此而理想低通的阶跃响应g(t)为
dx
x
x
YFts
tt
c
∫
+==
)(
0
1
0 sin1
2
1
)]([)(
ω
π
ω
120
测试技术与数据处理理想低通的阶跃响应
0
1.0895
0
－0.0895
1
t
2
1
c
π
ω
c
π
ω
t
r
t
r1
u(t)
g(t)
t
t
0
?响应g(t)时间滞后，若以
g(t)=1/2 作为响应的开始时间，延时t=t
0
，这正是线性相移的斜率。
?响应建立时间与通带带宽成反比，通带越宽响应上升时间越短，反之亦然。
?注意到激励是t=0时刻加入的，t <0时有响应出现说明系统是非因果的。
?吉布斯现象在处有近9%的上冲。
c
tt
ω
π
+=
0
121
测试技术与数据处理不同带宽的理想低通对矩形脉冲的响应
0
9％
0
1
f (t)
0
1
2
1
t
4π2π
ω
)
2
Sa()(
ω
ωF＝
2
1
－
2
1 t
2
1
－
y
1
(t)
4π－4π 0
1
H
1
(ω)
ω
4
0
2
1
t
h
1
(t)＝4Sa(4πt)
9％
y
2
(t)
0－8π 8π
H
2
(ω)
0
8
0
4
1 t
h
2
(t)＝8Sa(8πt)
2
1
2
1
－
ω
－4π
2
1
－
4
1
－
122
测试技术与数据处理从频域角度看，理想滤波器就像一个“矩形窗”。
“矩形窗”的宽度不同，截取信号频谱的频率分量就不同。
利用矩形窗滤取信号频谱时，在时域的不连续点处会出现上冲。增加ω
c
可以使响应的上升时间减少，但却无法改变近9%的上冲值，这就是吉布斯现象。两种不同带宽的理想低通，对同一矩形脉冲的响应，其上冲值相同。
只有改用其它形式的窗函数滤取信号频谱时，有可能消除上冲。
吉布斯现象
123
测试技术与数据处理
MATLAB在频域分析中的应用对于系统的频率特性函数H(ω)，MATLAB提供了freqs函数处理方法。其调用形式为
H=freqs（b，a，w）
其中b为分子多项式的系数，a为分母多项式的系数，w为需计算的频率特性函数的取样点数。
例画出系统的幅度响应和相位响应。
1)(2)(2)(
1
)(
23
+++
=
ωωω
ω
jjj
H
124
测试技术与数据处理
? w=linspace(0,5,200);b=[1];a=[1 2 2 1];
? H=freqs(b,a,w);subplot(2,1,1);
? plot(w,abs(H));
? set(gca,'xtick',[0 1 2 3 4 5 ]);
? set(gca,'ytick',[0 0.4 0.707 1 ]);grid;
? xlabel('\omega');ylabel('|H(j\ omega)| ');
? subplot(2,1,2);plot(w,angle(H));
? set(gca,'xtick',[0 1 2 3 4 5 ]); grid;
? xlabel('\omega'); ylabel('\ phi(\omega)');
125
测试技术与数据处理
1
测试技术与数据处理连续系统分析（2）
2
测试技术与数据处理连续系统的复频域分析
?拉普拉斯变换
?拉普拉斯变换的性质
?拉普拉斯反变换
?系统的S域分析
?系统函数及其零极点
?线性系统的稳定性
3
测试技术与数据处理拉普拉斯变换
?历史背景
?拉普拉斯变换的定义
?常用信号的拉普拉斯变换
4
测试技术与数据处理历史背景时域分析的微分方程求解比较麻烦引入卷积之后,零状态的系统响应可用一个卷积公式来表示,虽形式上比较简单,但遇到复杂问题时,时域分析还是非常不便怎么办呢?
5
测试技术与数据处理历史背景
6
测试技术与数据处理单边拉普拉斯变换
令σ+jω=s，
=
=
∫
∫
∞+
∞?
∞
dsesF
j
tf
dtetfsF
st
j
j
st
)(
2
1
)(
)()(
0
σ
σ
π
式中称s=σ+jω为复频率，F(s)为象函数，f(t)
为原函数。
7
测试技术与数据处理象函数与原函数的关系还可以表示为
=
=
)()}({
)()}({
)()(
1
tfsFL
sFtfL
sFtf
s=σ+jω可以用直角坐标的复平面（s平面）表示，σ是实轴，jω是虚轴。
0
σ
jω
复平面
8
测试技术与数据处理拉氏变换存在的条件
∞<
∫
∞
dtetf
st
0
)(
9
测试技术与数据处理
?收敛区是使f (t)e
-σt
满足可积的σ取值范围，或是使f(t)的单边拉氏变换存在的σ
取值范围。
?因为e
-σt
的作用，使得f (t)e
-σt
在一定条件下收敛，即有单边拉氏变换收敛区
)(0)(lim
0
σσ >=
∞→
st
t
etf
10
测试技术与数据处理收敛区示意图
11
测试技术与数据处理
当拉氏变换的收敛区包括jω轴，F (s)
可由F (ω)直接得到，仅将jω换为s，
即
F(s)=F(ω)|
s=jω
常用函数的单边拉普拉斯变换
12
测试技术与数据处理
?已知f (t)=e
-at
u(t) (a>0) 以及，求f(t)的拉氏变换。
?解f(t)的收敛域为σ>-a，包括jω轴，所以
ω
ω
ja
F
+
=
1
)(
as
FsFatue
js
at
+
==?>
=
1
|)()()0)((
ω
ω
f(t)=e
-at
u(t)(a>0)的拉氏变换
13
测试技术与数据处理指数函数e
at
u(t)（a为任意常数）
as
e
as
dtedteesFtue
tas
tasstatat
=
=
==?
∞
∞
∞
∫∫
1
|
1
)()(
0
)(
)(
00
14
测试技术与数据处理
U(t)的拉氏变换
as
e
as
dtedteesFtue
tas
tasstatat
=
=
==?
∞
∞
∞
∫∫
1
|
1
)()(
0
)(
)(
00
s
tuetu
a
at
1
|)()(
0
=
=
由那么
15
测试技术与数据处理
δ(t)的拉氏变换
1)(
)()(
0
0
0
==
=
∫
∫
∞
∞
dtet
dtetsF
st
δ
δ
16
测试技术与数据处理正弦、余弦信号的拉氏变换
22
22
11
2
1
)()(
2
1
)(cos
11
2
1
)()(
2
1
)(sin
ωωω
ω
ω
ω
ωω
ω
ωω
ωω
+
=
+
+
+=
+
=
+
=
s
s
jsjs
tueettu
sjsjsj
tuee
j
ttu
tjtj
tjtj
17
测试技术与数据处理
22
)()(
22
)()(
)(
11
2
1
)()(
2
1
)(cos
)(
11
2
1
)()(
2
1
)(sin
ωωω
ω
ω
ω
ωω
ω
ωω
ωω
++
+
=
++
+
+
=
++
=
++
+
=
+?+
+?+
as
as
jasjasj
tueettue
asjasjasj
tuee
j
ttue
tjatjaat
tjatjaat
衰减正、余弦信号的拉氏变换
18
测试技术与数据处理
t的正幂函数的拉氏变换
1
0
!
)()(
)()(
+
∞
=
=?
=
∫
n
stnn
n
s
n
dtetsFtut
tuttf
19
测试技术与数据处理特例
4
3
3
2
2
6
)(3
2
)(2
1
)(1
s
tutn
s
tutn
s
ttun
=
=
=
20
测试技术与数据处理常用函数单边拉氏变换
21
测试技术与数据处理
22
测试技术与数据处理双边拉普拉斯变换
)0(lim
)0(0lim
>∞→
>=
∞→
∞→
σ
σ
σ
σ
t
t
t
t
e
e
但是，如果有函数在σ（σ
1
<σ<σ
2
）给定的范围内,
使得
∞<
∞
∞?
∫
dtetf
st
)(
先讨论e
-σt
作用。当σ取一定范围时，若t>0时
e
-σt
为收敛因子，则t<0时e
-σt
为发散因子，有
则函数的双边拉氏变换存在
23
测试技术与数据处理记为
=
<<=
∫
∫
∞+
∞?
∞
∞?
dsesF
j
tf
dtetfsF
st
j
j
st
B
)(
2
1
)(
)()(
21
σ
σ
π
σσσ
或
=
<<=
)()}({
)()}({
)()(
1
21
tfsFL
sFtfL
sFtf
B
B
B
σσσ
双边拉氏变换收敛区是使f(t)e
-σt
满足可积的σ取值范围，或是使f(t)的双边拉氏变换存在的σ取值范围。
24
测试技术与数据处理双边拉氏变换
s＝σ＋jω
－∞＜t＜∞
单边拉氏变换
s＝σ＋jω
0＜t＜∞
傅氏变换
s＝jω
－∞＜t＜∞
[ ] [ ]
t
tutftf
σ?
e)()()(
s＝σ ＋jω
＝
σ ＝0
t＜0
f (t)＝0
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
25
测试技术与数据处理
?由图可见拉氏变换与傅氏变换的联系与区别：
傅氏变换是σ=0的双边拉氏变换，或虚轴上的双边拉氏变换，是双边拉氏变换的特例；单边拉氏变换是t<0，f(t)=0时的双边拉氏变换，或是f (t)u(t)e
-σt
的傅氏变换；双边拉氏变换是傅氏变换在s平面上的推广，是复平面上的傅氏变换。
?在实际应用中，信号通常都具有因果性，
所以下面除特别说明外，我们所讲的拉氏变换一般是指单边拉氏变换。
26
测试技术与数据处理拉普拉斯变换的性质与定理
?线性
?时延（移位、延时）特性
?频率平移（s域）
?尺度变换
?时域微分
?时域积分
?复频域微分
?复频域积分
?时域卷积定理
?复频域卷积定理
27
测试技术与数据处理线性
若f
1
(t) F
1
(s)，f
2
(t) F
2
(s)，
则
k
1
f
1
(t)+k
2
f
2
(t) k
1
F
1
(s)+k
2
F
2
(s)
k
1
,k
2
为任意常数
28
测试技术与数据处理时延（移位、延时）特性
f(t-t
0
)u(t-t
0
)
0
)(
st
esF
若f(t)u(t) F(s)，则
29
测试技术与数据处理若f
1
(t)=sinωtu(t)，画出f
1
(t)；
f
2
(t)=sinω(t-t
0
)u(t)；f
3
(t)=sinωtu(t-t
0
)及
f
4
(t)=sinω(t-t
0
)u(t-t
0
)的波形并分别求其拉氏变换。
例
30
测试技术与数据处理
f
1
(t)、f
2
(t)、f
3
(t)、f
4
(t)如图所示
31
测试技术与数据处理拉氏变换
?可以直接用公式的是f
1
(t)、f
4
(t)：
? f
2
(t)、f
3
(t)经一定的变化后方可用性质。
f
2
(t)=sinω(t-t
0
)u(t)=(sinωt cosωt
0
-cosωtsinωt
0
)u(t)
0
22
014
22
1
)()(;)(
st
e
s
ttftf
s
tf
+
=
+
ω
ω
ω
ω
22
00
22
0
22
0
22
sincossincos
)()(
ω
ωωω
ω
ω
ω
ωω
+
=
+
+
=?
s
tst
s
ts
s
t
sFtf
[]
0
00
22
00
22
0
22
0
3
00000
00003
sincossincos
)(
)(sin)(coscos)(sin
)()(sin)(sin)(
st
stst
e
s
tst
s
ets
s
et
tF
ttutttttt
ttuttttttutf
+
+
=
+
+
+
=?
+?=
+?=?=
ω
ωωω
ω
ω
ω
ωω
ωωωω
ωω
32
测试技术与数据处理频率平移（s域）
)()(
0
0
ssFetf
ts
若f(t) F(s),则
33
测试技术与数据处理尺度变换
asF
a
atf? )/(
1
)(
其中a>0
若f(t) F(s),则
34
测试技术与数据处理时域微分若f(t) F(s)，则
_)0()(
)(
fssF
dt
tdf
式中,f(0
-
)是f(t)在t=0
-
时的值，若f(t) 为一有始函数，则f(0-)=0，因此
)(
)(
ssF
dt
tdf
35
测试技术与数据处理时域积分
若f(t)u(t) F(s)，则
s
sF
df
t
)(
)(
0
∫
ττ
36
测试技术与数据处理时域卷积定理
若f
1
(t) F
1
(s),f
2
(t) F
2
(s)，则
f
1
(t)*f
2
(t) F
1
(s)F
2
(s)
其中f
1
(t)、f
2
(t)为有始函数。
37
测试技术与数据处理复频域卷积定理
)()(
2
1
)()(
2121
sFsF
j
tftf
π
若f
1
(t) F
1
(s),f
2
(t) F
2
(s)，则
38
测试技术与数据处理拉氏变换性质（定理）
39
测试技术与数据处理
拉普拉斯反变换
拉普拉斯反（逆）变换是将象函数F (s)变换为原函数f (t)的运算,为
dsesF
j
sFLtf
st
j
j
)(
2
1
)}({)(
1
∫
∞+
∞?
==
σ
σ
π
40
测试技术与数据处理
F(s)为s的有理函数时，一般形式可表示为
01
1
1
01
1
1
)(
)(
)(
asasas
bsbsbsb
sA
sB
sF
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
==
L
L
式中,a
i
、b
i
为实常数，n、m为正整数。
部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，先将F(s)分解为若干简单函数之和，再分别对这些简单象函数求原函数。
41
测试技术与数据处理将分母多项式表示为便于分解的形式
A(s)=(s-p
1
)(s-p
2
)……(s-p
n
)
式中,p
1
,p
2
,……,p
n
是A(s)=0方程式的根，也称
F(s)的极点。
同样分子多项式也可以表示为
B(s)=(s-z
1
)(s-z
2
)……(s-z
m
)
式中,z
1
,z
2
,……,z
m
是B( s)=0方程式的根，也称
F(s)的零点。
42
测试技术与数据处理
1,m<n，F (s)均为单极点
)())((
)(
)(
21 n
pspsps
sB
sF
=
L
式中,p
1
,p
2
,:,p
n
为不同数值的单极点，F (s)可分解为
i
i
n
i
n
n
ps
k
ps
k
ps
k
ps
k
sF
=
++
+
=
∑
=1
2
2
1
1
)( L
则
nisFpsk
tekekekektf
i
in
psii
tp
i
n
i
tp
n
tptp
=?=
>=+++=
=
=
∑
,2,1,|)()(
)0()(
1
21
21
L
43
测试技术与数据处理例求下面函数的原函数
)2)(1(
4
)(
++
+
=
sss
s
sF
原函数为
)()32()(
2
tueetf
tt
+?=
44
测试技术与数据处理
2,m≥n，F(s)均为单极点
′′
′
M
)(
)(
)(1
2
ts
ts
t
δ
δ
δ
当m≥n时，利用长除法将分子多项式的高次项提出，对余下的m′<n部分处理同上。对提取的s
r
部分
（0≤r≤m-m′），利用微分性质,
45
测试技术与数据处理例
23
795
)(
2
23
++
+++
=
ss
sss
sF
解
)()2()(2)()(
1
12
32
|)()2(
2
12
31
|)()1(
21
2
)2(1(
3
2)(2)(
2
212
111
21
1
tueetttf
sFsk
sFsk
s
k
s
k
s
ss
s
ssFssF
tt
s
s
=
=
++
′
=
=
+?
+?
=+=
=
+?
+?
=+=
+
+
+
++=
++
+
++=++=
δδ
）
已知象函数，求原函数f(t)
46
测试技术与数据处理
3,m<n,F(s)有重极点
)()(
)(
)(
)(
)(
1
sDps
sB
sA
sB
sF
k
==
其中,s =p
1
是F (s)的k阶极点,由F (s)可展开为
)(
)(
)()(
)(
1
1
1
1
12
1
1
1
sD
sE
ps
k
ps
k
ps
k
sF
k
kk
+
++
+
=
L
式中,是展开式中与极点p
1
无关的部分。
)(
)(
sD
sE
设
47
测试技术与数据处理
tpk
k
et
ps
k
ps
k
L
1
1
11
1
)!()(
=
所以最后
{}
+
+++
+
=
)(
)(
)(
)!2()!1(
)(
1
1)1(1
2
12
1
11
1
1
sD
sF
L
tuektkt
k
k
t
k
k
sFL
tp
kk
kk
L
重极点反变换式中一般项为
48
测试技术与数据处理
LTI系统的S域分析
?用拉普拉斯变换求解线性微分方程
用拉氏变换求解线性微分方程，可以把对时域求解微分方程的过程，转变为在复频域中求解代数方程的过程，再经拉氏反变换得到方程的时域解，使求解过程简化。
?系统的起始状态可以自动地包含到象函数中
49
测试技术与数据处理以二阶常系数线性微分方程的一般形式为例进行说明
)()()()()()(
21
2
2
021
2
2
tfbtf
dt
d
btf
dt
d
btyaty
dt
d
aty
dt
d
++=++
设f(t)是因果激励又已知初始条件y (0
-
)=0,y′(0
-
)=0，
求响应y（t）。
对等式两边取拉氏变换，利用单边拉氏变换的微分特性，得到
s
2
Y(s)+a
1
sY(s)+a
2
Y(s)=b
0
s
2
F(s)+b
1
sF(s)+b
2
F(s)
[ ])()(
1
sYLty
=
50
测试技术与数据处理系统函数与复频域分析法系统函数H(s) 零状态下定义为
)(
)(
)(
sF
sY
sH =
)()()}()({)}({)(
11
thtfsHsFLsYLty?===
51
测试技术与数据处理特别地，激励为δ(t)时，系统零状态响应是单位冲激响应
f(t)=δ(t) F(s)=1
H(s) h(t)
上式表明系统函数与单位冲激响应h (t)
是一对拉氏变换对。
52
测试技术与数据处理系统函数可定义为系统零状态响应的象函数与激励信号的象函数之比，得：
01
1
1
01
1
1
)(
)(
)(
asasas
bsbsbsb
sF
sY
sH
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
==
L
L
53
测试技术与数据处理
?要对连续LTI系统进行模拟,就要对它的系统传输函数或微、积分方程进行模拟。
?用三种基本运算，就可对运算关系作系统模拟。这三种基本运算是加法、标量乘法与积分。它们对应着三种基本模拟运算器件：加法器、标量乘法器、积分器。
?描述系统的输入、输出关系既可用数学方程描述,亦可由基本运算器组成的模拟图描述。
下面先介绍基本运算的模拟。
?基本运算模拟的加法器、标量乘法器、积分器有时域、复频域两种表示方法，系统函数表征了系统的输入输出关系，并且是有理式，运算关系简单，因此实际系统模拟通常采用复频域表示。
54
测试技术与数据处理
1,加法运算关系
y(t)=x
1
(t)±x
2
(t)
Y(s)=X
1
(s)±X
2
(s)
加法器如下图所示
±
x
1
(t) y(t)＝x
1
(t)＋x
2
(t)
x
2
(t)
±
X
1
(s) Y(s)＝X
1
(s)＋X
2
(s)
X
2
(s)
55
测试技术与数据处理
2,标量乘法运算关系
标量乘法器
a
x(t)
y(t)＝ax(t)
a
X(s)
Y(s)＝aX(s)
y(t)=ax(t)
Y(s)=aX(s)
标量乘法器如下图所示
56
测试技术与数据处理
3,积分运算关系
=
=
∫
)(
1
)(
)()(
0
sX
s
sY
dxty
t
ττ
积分器如下图所示
∫
x(t)
y(t)
s
－1
X(s) Y(s)
57
测试技术与数据处理子系统间的连接关系
?级联
?并联
?反馈级联系统的系统函数是各子系统系统函数的乘积并联系统的系统函数是各子系统系统函数的之和
58
测试技术与数据处理全极点系统模拟的直接形式
+
=
=+
′
0
0
1
)(
)()()(
as
sH
txtyaty
对于一阶系统，微分方程及系统函数表示
∫
－a
0
x(t)
y(t) 1/s
－a
0
X(s)
Y(s)
59
测试技术与数据处理推广至全极点的二阶系统,其微分方程及系统函数为
++
=
=+
′
+
′′
01
2
01
1
)(
)()()()(
asas
sH
txtyatyaty
其模拟如图所示
∫ ∫
－a
1
－a
0
x(t) y(t)
－a
1
－a
0
X(s) Y(s)
1/s 1/s
y (t)″ y (t)′
60
测试技术与数据处理全极点n阶系统，其微分方程及系统函数为
++++
=
=+
′
+++
01
1
1
01
)1(
1
)(
1
)(
)()()()()(
asasas
sH
txtyatyatyaty
n
n
n
n
n
n
L
L
n阶系统的模拟如图所示。
s
－1
s
－1
－a
n－1
－a
n－2
s
－1
s
－1
－a
1
－a
0
…
…
x(t) y
(n)
(t)
y (t)″ y (t)′
y(t)
61
测试技术与数据处理一般系统模拟的直接（卡尔曼）形式
)(
)(
1
)(
)(
2
0
1
1
2
0
1
12
01
2
01
2
2
sD
sN
sasa
sbsbb
sH
asas
bsbsb
sH
=
++
++
=
++
++
=
前面的模拟实现了系统的极点，实际系统除了极点之外，一般还有零点。一般二阶系统的系统函数为将上式改写为
62
测试技术与数据处理一般二阶系统的模拟
)(sX
63
测试技术与数据处理系统函数的零、极点
)(
)(
)())((
)())((
)(
)(
)(
1
1
21
21
j
n
j
j
m
j
m
m
ps
zs
K
pspsps
zszszs
K
sD
sN
sH
=
==
∏
∏
=
=
L
L
分解系统函数的分子分母两个多项式，可得
64
测试技术与数据处理例
4852
22
)(
)(
)(
234
23
++++
+?
==
ssss
sss
sD
sN
sH
解
)4()1(
]1)1[(
)(
22
2
++
+?
=
ss
ss
sH
已知某系统的系统函数如下，求系统的零、极点。
将系统函数的零、极点准确地标在s平面上,这样的图称零、
极点图或零、极图，其中“·”表示零点,“×”表示极点。
65
测试技术与数据处理零、极点图
－1
－212
－j
j
j2
jΩ
σ
0
－j2
)4()1(
]1)1[(
)(
22
2
++
+?
=
ss
ss
sH
66
测试技术与数据处理零、极点分布与时域特性
H(s)与h(t)是一对拉氏变换对,所以只要知道H(s)在s平面上的零、极点分布情况,
就可以知道系统冲激响应h( t)的变化规律。
∑
∏
∏
=
=
=
=
=
n
i
i
i
i
n
i
j
m
j
ps
A
ps
zs
KsH
1
1
1
)(
)(
)(
式中,p
i
=σ
i
+jω
i
。
67
测试技术与数据处理以jω虚轴为界，我们将s平面分为左半平面与右半平面,不难得出h
i
(t)与h(t)的变化规律。
(1) p
i
=σ
i
+jω
i
为一阶极点。
若σ
i
>0，极点在s平面的右半平面，h
i
(t)随时间增长;σ
i
<0，极点在s平面的左半平面，h
i
(t)随时间衰减；
σ
o
=0，极点在s平面的原点(ω
i
=0)或虚轴上，h
i
(t)对应于阶跃或等幅振荡。
(2) p
i
=σ
i
+jω
i
为高阶（二阶以上）极点。
σ
i
>0或σ
i
<0时,h
i
(t)随时间变化的趋势同一阶情况；
σ
i
=0时，对应于t的正幂函数或增幅振荡。
(3) 系统函数H(s)的全部极点在左半平面(σ
i
<0)，
h(t)随时间衰减趋于零；系统函数H(s)有极点在虚轴及右半平面(σ
i
≥0)，h(t)不随时间消失。
68
测试技术与数据处理零、极点与单位冲激响应模式
A
－A
0
t
A
h
i
(t)
h
i
(t)
h
i
(t)
h
i
(t)
A
0
t
t
0
A
－A
0
h
i
(t)
t
0
h
i
(t)
t
0
(虚轴上的二阶极点)
jω
σ
t
0
69
测试技术与数据处理零、极点分布与系统频域特性
由系统的零、极点分布不但可知系统时域响应的模式，
也可以定性了解系统的频域特性。因为由稳定系统的H(s)在
s平面上的零、极点图，可以大致地描绘出系统的频响特性
|H(ω)|~ω和φ(ω)~ω。
)(
)(
)()(
)()(
)(
1
1
1
1
j
m
i
j
m
j
n
m
ps
zs
K
psps
zszs
KsH
=
=
∏
∏
=
=
L
L
)(
)(
)()(
)()(
|)()(
1
1
1
1
i
n
i
j
m
j
n
m
js
pj
zj
K
pjpj
zjzj
KsHjH
=
==
∏
∏
=
=
=
ω
ω
ωω
ωω
ω
ω
L
L
70
测试技术与数据处理对于任意零点z
j
和极点p
i
，相应的复数因子
(矢量) 如图所示都可以表示为零点与极点矢量。
i
j
j
ij
j
jj
eMpj
eNzj
θ
ω
ω
=?
=?
其中,N
j
、M
i
分别是零、极点矢量的模；ψ
j
,θ
i
分别是零、极点矢量与正实轴的夹角。则
0
p
1
M
1
N
1
z
1
θ
1
1
σ
jω
71
测试技术与数据处理
)(
)(
1
1
)(
21
21
)(
)(
11
121
ω?
θθ
ω
ω
j
j
i
m
i
j
m
j
j
n
m
eHe
M
N
K
e
MMM
NNN
KH
i
m
i
j
m
j
nm
=
∑∑
=
=
==
=
=
+++
∏
∏
LL
L
L
式中
)()(
)(
11
1
1
i
n
i
j
m
j
i
n
i
j
m
j
M
N
KH
θ?ω?
ω
∑∑
∏
∏
==
=
=
=
=
72
测试技术与数据处理线性系统的稳定性
?何谓稳定性：当一个系统受到信号作用时，所引起的响应在该信号消失后会最终消失，系统回到原状态。
?系统正常工作的前提：系统是稳定的。
如何判定系统的稳定性？
73
测试技术与数据处理系统稳定性的判据
?对于简单系统H(s)的极点均已知，由极点与系统冲激响应对应关系可知，若所有极点均位于S平面的左半部，则系统稳定。
?对于一般系统，则其稳定性条件是其冲激响应绝对可积。
?对于三级以上和线性连续体系H(s),系统稳定的必要而非充分条件：是系统函数的分母多项式全部非零且为正实数。
74
测试技术与数据处理调制与解调
?调制与解调
?滤波器
?估值
75
测试技术与数据处理信号调制与解调
?调制是指利用某种信号来控制或改变高频振荡信号的某个参数（幅值、频率或相位）的过程。
?当被控制的量是高频振荡信号的幅值时，称为幅值调制或调幅；
?当被控制的量为高频振荡信号的频率时，称为频率调制或调频；
?当被控制的量为高频振荡信号的相位时，则称为相位调制或调相。
76
测试技术与数据处理信号调制与解调
?将控制高频振荡的低频信号称调制波，载送低频信号的高频振荡信号称为载波，而将经过调制过程所得的高频振荡波称已调制波。
?从时域上讲，调制过程即是使载波的某一参量随调制波的变化而变化，而在频域上，调制过程则是一个移频的过程。
?解调则是从已调制波信号中恢复出原有低频调制信号的过程。
?调制与解调(MODEM)是一对信号变换过程,在工程上常常结合在一起使用。
77
测试技术与数据处理幅值调制原理
?设x(t)为被测信号，y(t)为高频载波信号，若选择余弦信号：
y(t)=cos2πf
0
t，则已调制信号x
m
(t)为x(t)与y(t)的乘积：
x
m
(t)=x(t) cos2πf
0
t。由傅里叶变换性质知：
?则有
)(*)()()( fYfXtytx?
() ()() ( )
000
*
2
1
*)(
2
1
2cos fffXfffXtftx?++? δδπ
78
测试技术与数据处理幅值调制
?调幅的过程在频域上就相当于一个移频的过程。
图幅值调制原理
（a）时域（b）频域
79
测试技术与数据处理幅值调制
?幅值调制装置实质上是一个乘法器，经常采用电桥来作调制装置，其中以高频振荡电源供给电桥作为装置的载波信号，则电桥输出e
y
便为调幅波。
图例中电桥的电压为5V，
频率为3000Hz。若测量的应变量其频率变化比如为
0～10Hz，电桥输出信号的频谱在2990和3010Hz之间。
电桥调幅装置应用
80
测试技术与数据处理幅值调制－同步解调法原理：将调幅波再经一乘法器与原载波信号相乘，则调幅波的频谱在频域上将再次被进行移频。由于载波信号的频率仍为f
0
，因此，再次移频的结果是使原信号的频谱图形出现在0和的±2f
0
频率处。由于在解调过程中所乘的信号与调制时的载波信号具有相同的频率与相位，因此这一解调的方法称为同步解调。时域分析上有：
()
()
() tftx
tx
tftftx
000
4cos
2
1
2
2cos2cos πππ +=?
81
测试技术与数据处理
82
测试技术与数据处理幅值调制同步解调原理
83
测试技术与数据处理幅值调制
?抑制调幅（前面讲述的调幅方式）
?偏置调幅（非抑制调幅）：将信号x(t)进行偏置，
叠加一个直流信号A，使偏置后的信号均具有正的电压。
?偏置后，再与余弦载波进行调幅，有
0
() [1 ()]cos2
m
xt A mxt ftπ= +
m≤1，调幅指数
84
测试技术与数据处理偏置调幅原理：
对信号偏置一个直流分量A，使偏置后的信号具有正电压值。对该信号作调幅后得到的已调制波x
m
(t)的包络线将具有原信号形状。对该调幅波x
m
(t)作简单的整流（全波或半波整流）和滤波便可恢复原调制信号。
85
测试技术与数据处理幅值调制调制信号加偏置的调幅波
（a）偏置电压足够大（b）偏置电压不够大正常调幅过调
86
测试技术与数据处理幅值调制失真
?过调失真
?重叠失真
?波形失真
87
测试技术与数据处理频率调制
?调频波及其频谱：利用信号的幅值来调制载波的频率，因此，时域内，调频波是一种随信号的幅值不同其疏密程度（频率）不同的等幅波。
?调频波所携带的信息包含在其频率变化之中，而非振幅变化之中，由于信号x(t)随时间而变，故调频波的频率随时间而变。
88
测试技术与数据处理滤波器
?概述
?理想滤波器
?滤波器类型介绍
?其它种类的滤波
89
测试技术与数据处理滤波器
?滤波：选取信号中感兴趣的成分，而抑制或衰减掉其它不需要的成分。
?滤波器：能实施滤波功能的装置。
?滤波方式的分类：
对输入量滤波（简称输入滤波）；
对输出量滤波（简称输出滤波）。
滤波的一般方式
（a）输入滤波（b）输出滤波
90
测试技术与数据处理滤波器根据其选频的方式分类：
低通滤波器
高通滤波器
带通滤波器
带阻滤波器不同滤波器的幅频特性
（a）低通（b）高通（c）带通（d）带阻
91
测试技术与数据处理理想滤波器
?对于一个理想的线性系统来说，若要满足不失真测试的条件，该系统的频率响应函数应为：
?若一个滤波器的频率响应函数H(ω)具有如下形式：
则该滤波器称为理想低通滤波器。
( )
()
()
j
HHe
ω
ωω=
()
()
()
0
j
c
He
H
ω
ω ωω
ω
<
=
其他理想低通滤波器的幅、相频特性
92
测试技术与数据处理滤波器的冲激响应
?理想低通滤波器对单位脉冲的响应:将单位脉冲输入理想低通滤波器，则它的响应
?理想低通滤波器:脉冲响应函数其波形在整个时间轴上延伸，且其输出在输入到来之前，亦即t<0时便已经出现。
?理想低通滤波器，在物理上是不可实现的。
理想低通滤波器的脉冲响应
() sin [ ( )]
c
c
ht c t
ω
ω τ
π
=?
93
测试技术与数据处理滤波器的阶跃响应
?理想低通滤波器对单位阶跃的响应:给理想低通滤波器输入一阶跃函数
?滤波器的响应为其中理想低通滤波器对单位阶跃输入的响应
（a）无相角滞后，时移=0
（b）有相角滞后，时移≠0
<
=
>
=
00
0
2
1
01
)(
t
t
t
tx
( ) ( ) ( )
()
*
11
2
c
yt ht xt
si tω τ
π
=
=+
()
0
sin
[( )]
c
t
c
t
sit dt
t
ωτ
ωτ
=
∫
94
测试技术与数据处理滤波器的阶跃响应
上升时间的意义：
?输入信号突变处必然包含有丰富的高频分量，低通滤波器阻挡住了高频分量。
?通带越宽，衰减的高频分量便越少，信号便有较多的分量更快通过，因此导致较短的上升时间；反之则长。
95
测试技术与数据处理滤波器
低通滤波器的阶跃响应的上升时间T
d
和它的带宽B成反比，或者说两者的乘积为常数，即
滤波器带宽表示它的频率分辨能力，通带窄，则分辨力高。这一结论表明：滤波器的高分辨力与测量时快速响应是矛盾的。对定带宽的滤波器，一般采用BT
d
=
（5～10）便足够了。
d
BT =常数
96
测试技术与数据处理因果滤波器
?物理可实现滤波器响应是输入的后果，输入之前，无响应输出。
?从频率特性来看，其幅度满足佩利－维纳准则，而且，是L
2
空间的元素。
?实际滤波器中，通带与阻带均不平坦，过渡带不陡直。
97
测试技术与数据处理滤波器巴特沃斯滤波器：具有最大平坦的幅度特性，
其幅度表达式为
2
1
()
1( )
n
c
H ω
ω
ω
=
+
98
测试技术与数据处理切贝雪夫滤波器
?切贝雪夫滤波器：其幅频响应
22
1
()
1(/)
nc
H
T
ω
ε ωω
=
+
)j(
a
H
ΩΩ
c
)j(
a
H
ΩΩ
s
Ω
c
Ω
s
N为奇数N为偶数
oo
A1
2
11 ε＋
1.0
2
11 ε
1.0
＋
A1
99
测试技术与数据处理贝塞尔滤波器
?贝塞尔滤波器：又称恒时延滤波器，其时延不随频率变化。
?二阶贝塞尔滤波器的传输函数
2
0
22
00
3
()
33
G
Hs
ss
ω
ω ω
=
++
100
测试技术与数据处理希尔伯特变换连续时间信号x(t)的的希尔伯特变换定义
t
txd
tx
d
t
x
tx
π
τ
τ
τ
π
τ
τ
τ
π
1
)(
)(1
)(1
)(
=
=
=
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
101
测试技术与数据处理解析信号信号x(t)的解析信号z(t)定义为
)(
)()( txjtxtz +=
102
测试技术与数据处理因果系统的虚实部约束条件
πω
ωλ
λω
λ
π
ω
πω
ωλ
λω
λ
π
ω
1
*)(
)(1
)(
1
*)(
)(1
)(
Rd
R
I
Id
I
R
=
=
=
=
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
103
测试技术与数据处理估值
?点估计与区间估计
?点估计
?区间估计
?无偏估计的三个评价标准
?无偏性
?有效性
?一致性
104
测试技术与数据处理估值统计误差
?随机误差
?系统误差
?过失误差（舍去）
105
测试技术与数据处理估值均值的测量均方值的测量
106
测试技术与数据处理估值概率密度分布
107
测试技术与数据处理估值
（自相关函数）
108
测试技术与数据处理估值（功率谱密度）
