1
测试技术与数据处理离散系统的分析南京航空航天大学李军
2
测试技术与数据处理离散系统的分析
?离散时间信号
?离散时间系统
?卷积和与相关
?采样信号的傅里叶变换
?采样定理
?离散傅里叶变换
?快速傅里叶变换
3
测试技术与数据处理离散序列的描述离散信号可以从模拟信号中采样得到，样值用 f(n)表示（表示在离散时间点 nT上的样值）。也可以由离散信号或由系统内部产生，在处理过程中只要知道样值的先后顺序即可，所以可以用序列来表示离散的时间信号，它们的一般项为 f(n)。
f={f(n)} -∞<n <∞
={…,f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),…}
为简便起见，常用一般项 f(n)表示序列，称为序列 f(n)。
4
测试技术与数据处理例
0
2
1
8
1
4
1
2
1
1)(
1
≥
=
= nnf
n
L
1
f
1
(n)
0123 n
…
2
1
4
1
8
1
5
测试技术与数据处理典型的离散信号
?单位采样序列
?单位阶跃序列
?单位矩形序列
?斜变序列
?实指数序列
?正弦序列
?复指数序列
6
测试技术与数据处理单位采样序列单位采样序列，用 δ (n)表示，定义为
≠
=
=
00
01
)(
n
n
nδ
δ (n)
012 n－1
7
测试技术与数据处理单位阶跃序列
单位阶跃序列用u( n)表示，定义为
<
≥
=
00
01
)(
n
n
nu
还可用 δ (n)表示u( n),即
L+?+?+=?=
∑
∞
=
)2()1()()()(
0
nnnmnnu
m
δδδδ
亦可用u( n)表示 δ (n)，即
δ (n)=u(n)-u(n-1)
01234
1
…
n
u(n)
8
测试技术与数据处理单位矩形序列
单位矩形序列用 R
N
(n)表示，定义为
≥<
≤≤
=
Nnn
Nn
nR
N
,00
101
)(
亦可用 δ (n)、u( n)表示 R
N
(n)，即
∑
=
==
1
0
)()()()(
N
m
N
mnNnununR δ
01234
1
n
R
4
(n)
9
测试技术与数据处理斜变序列
斜变序列是包络为线性变化的序列，表示式为
)()( nnunx =
024n
x(n)
10
测试技术与数据处理实指数序列 a
n
实指数序列的四种波形
－1012 n
0＜a＜1
n－1 01 2
a＞1
－10
1
2
－1＜a＜0
n n
a＜－1
－1
3
3
3
0
1
2
3
11
测试技术与数据处理正弦型序列
正弦型序列是包络为正、余弦变化的序列。
如sinn θ
0
,cosnθ
0
，若 θ
0
=π/5,,即每 10 点重复一次正、余弦变化。
10
5/
2
==
π
π
N
n024
6810
sinnθ
0
n01
357
cos nθ
0
81012
12
测试技术与数据处理其中,θ
0
=ω
0
T是数字域频率，T 为采样周期。
数字域频率相当于模拟域频率对采样频率取归一化值,即
s
f
T
ω
ωθ ==
x(n)=A cos(nθ
0
+φ
n
)
对模拟正弦型信号采样可以得到正弦型序列。 如
x
a
(t)=sinω
0
t
x(n)=x
a
(nT)=sinnω
0
T=sinnθ
0
正弦型序列一般表示为
13
测试技术与数据处理复指数序列
)(arg|)(|
)sin(cos)(
00
)(
00
nxnx
njneeeenx
nnjnnj
∠=
+===
+
θθ
σθσθσ
其中，| x(n)|=e
σ n
,arg∠x (n)=nθ
0
。
14
测试技术与数据处理任意序列
单位取样脉冲表示为
≠
=
=?
nk
nknx
knnx
0
)(
)()( δ
任意序列可以用单位取样脉冲序列的加权和表示
∑
∞
∞=
=
k
knkxnx )()()( δ
式中,…、x (-1),x(0),x(1)、…为加权系数。
15
测试技术与数据处理序列的能量
∑
∞
∞=
=
n
nxE
2
|)(|
16
测试技术与数据处理序列的运算
?序列的相加
?序列的相乘
?序列的移位
?序列的拆叠
?尺度变换
?序列的差分
17
测试技术与数据处理序列相加
z(n)=x(n)+y(n)
z(n)是两个序列x (n)、y (n)对应项( 相同序号项) 相加形成的序列。
18
测试技术与数据处理序列相乘
z(n)=x(n)·y(n)
z(n)是两个序列x (n)、y (n)对应项 (相同序号项) 相乘形成的序列。
z(n)=ax(n)
则是标量相乘,z (n)是x (n)每项乘以常数a
形成的序列。
19
测试技术与数据处理时移（时延,移位） m>0
{z(n)}={x(n-m)}
z(n)是原序列{x (n)}每项右移m 位形成的序列。
{z(n)}={x(n+m)}
z(n)是原序列{x (n)}每项左移m 位形成的序列。
20
测试技术与数据处理序列 x(n)的时延 x(n-1),x(n+1)
－1
－1
－101 2 01
2
2
3
1
nnn
x(n＋1)x(n－1)x(n)
1
2
3
1023
4
1
2
3
3
21
测试技术与数据处理例 已知 x(n)=［0.5 1.5 1 -0.5 ］,求y (n)=x(n)+2x(n)x(n-2)
解 x(n-2)=［ 0 0 0.5 1.5 1 -0.5］
=?=×?×
==××
=?
35.15.1)5.0(2
215.012
)2()(2
n
n
nxnx
y(n)=x(n)+2x(n)x(n-2)=［ 0.5 1.5 2 -2］
22
测试技术与数据处理折叠及其位移
{y(n)}={x(-n)}
是以纵轴为对称轴翻转180°形成的序列。
折叠位移序列
{z(n)}={x(-n±m)}
z(n)是由 {x(-n)}向左或右移m 位形成的序列。
23
测试技术与数据处理序列的折叠位移( 右移)
24
测试技术与数据处理尺度变换
y(n)=x(mn)，这是 x(n)序列每隔m 点取一点形成的，即时间轴
n压缩了m 倍。例如m=2 时,如图所示序列的压缩
－1
01 2
3
1
2
3
x(n)
n
3
x(2n)
1
0123 n
25
测试技术与数据处理
y(n)=x(n/m)，这是 x(n)序列每一点加m-1 个零值点形成的，
即时间轴n扩展了m 倍。例如m=2 时，如图所示序列的扩展
－1
01 2
3
1
2
3
x(n)
n
3
x(n/2)
1
01 2 3 n
2
－1
45
6
26
测试技术与数据处理序列的差分
)1()()(
)()(
)()1()(
)()(
=?
+=Δ
Δ
nfnfnf
nfnf
nfnfnf
nfnf
可定义为的一阶后向差分序列可定义为的一阶前向差分序列
27
测试技术与数据处理
LTI离散时间系统
LTI离散系统的基 本运算有延时（移序）、乘法、加法，基本运算可以由基本运算单元 实现，由基本运算单元可以构成 LTI
离散系统。
1,LTI离散系统基本运算单元的框图及流图表示
(1) 延时器的框图及流图如图所示
28
测试技术与数据处理
(2) 加法器的框图及流图如图所示
x(n) x(n)＋y(n)
y(n)
x(n) x(n)＋y(n)
y(n)
29
测试技术与数据处理
(3) 乘法器的框图及流图如图所示
x(n) x(n)· y(n)y(n)x(n) x(n)· y(n)
y(n)
x(n) ax(n)ax(n) ax(n)
a
30
测试技术与数据处理
LTI离散系统的差分方程线性时不变连续系统是由常系数微分方程描述的，而线性时不变离散系统是由常系数差分方程描述的。在差分方程中构成方程的各项包含有未知离散变量的y (n)，以及 y(n+1),y(n+2),…,
y(n-1),y(n-2),…。
例 写出其如图所示系统的差分方程。
解
y(n)=ay(n-1)+x(n)
或 y(n)-ay(n-1)=x(n)
31
测试技术与数据处理例 系统方框如图所示,写出其差分方程。
解
)]()1([
1
)(
)()()1(
nxny
a
ny
nxnayny
+=
+=+
或这是一阶前向差分方程，与后向差分方程形式相比较，仅是输出信号的取出不同。前者是 从延时器的输出端取出，后者是从延时器的输入端取出。
32
测试技术与数据处理例 已知 y(n)=ay(n-1)+x(n)，且y (n)=0，n<0,x (n)=δ (n)，
求y (n)即单位抽样响应。
)()(
)2()1()2(
)1()0()1(
1)()0()1()0(
2
nuany
axayy
axayy
nxayy
n
=
=+=
=+=
==+?=
M
δ
33
测试技术与数据处理数学模型的建立及求解方法例 电路如图所示，已知边界条件 v(0)=E,v(N)=0，求第 n个节点电压v (n)的差分方程。
＋
－
E
(0)
R
R
(1)
R
R
(2)
R
R
(3)
R
(N－1)
R
…
…
R R
(N)
解 对任意节点v (n-1) 可写出节点方程为
R
nvnv
R
nv
R
nvnv )()1()1()1()2(
+
=
34
测试技术与数据处理
N阶 LTI离散系统的数学模型是常系数 N阶线性差分方程，它的一般形式是
)()1()(
)()1()(
10
10
Mnxbnxbnxb
Nnyanyanya
m
N
++?+=
++?+
L
L
或
∑∑
==
=?
M
r
r
N
k
k
rnxbknya
00
)()(
35
测试技术与数据处理线性差分方程的求解方法
一般差分方程的求解方法有下列四种：
(1) 递推 (迭代）法 此法直观简便，但往往不易得到一般项的解析式( 闭式或封闭解答),它一般为数值解。
(2) 时域法 与连续系统的时域法相同，分别求解离散系统的零输入响应与零状态响应，完 全响应为二者之和。其中零输入响应是齐次差分方程的解，零状态响应可由卷积的方法求得，这也是本节的重点。
36
测试技术与数据处理
(3) 时域经典法与微分方程求解相同，分别求差分方程的通解 (齐次解 )与特解，二者之和为完全解，再代入边界条件后确定完全解的待定系数。
(4) 变域法与连续系统中用拉氏变换相似，离散系统可利用 Z变换求解响应，优点是可简化求解过程。
37
测试技术与数据处理离散时间系统的零输入响应一阶线性时不变离散系统的零输入响应
一阶线性时不变离散系统的齐次差分方程的一般形式为
=
=
Cy
nayny
)0(
0)1()(
将差分方程改写为
y(n)-ay(n-1)=0
38
测试技术与数据处理用递推( 迭代) 法，y (n)仅与前一时刻y (n-1)有关，以y (0)为起点,
M
)0()2()3(
)0()1()2(
)0()1(
3
2
yaayy
yaayy
ayy
==
==
=
当n≥0时,齐次方程解为
nn
Caayny == )0()(
39
测试技术与数据处理
N阶线性时不变离散系统的零输入响应有了一阶齐次差分方程解的一般方法,将其推广至N阶齐次差分方程,我们有
=++++?+++
)1(,),1(),0(
0)()1()1()(
011
Nyyy
nyanyaNnyaNny
N
L
L
N阶齐次差分方程的特征方程
0
01
1
1
=++++
aaa
N
N
N
λλλ L
40
测试技术与数据处理当特征根均为单根时，特征方程可以分解为
0)())((
21
=
N
αααααα L
利用一阶齐次差分方程解的一般形式,可类推得
n
NNN
n
n
C
C
C
ααα
ααα
ααα
→=?
→=?
→=?
0
0
0
222
111
M
41
测试技术与数据处理
N阶线性齐次差分方程的解是这N个线性无关解的线性组合，即
n
NN
nn
CCCny ααα +++= L
2211
)(
式中，C
1
、C
2
、…、C
n
由y (0)、y (1)、…、y (N-1) N个边界条件确定。
11
22
1
11
2211
21
)1(
)1(
)0(
+++=?
+++=
+++=
N
NN
NN
NN
N
CCCNy
CCCy
CCCy
ααα
ααα
L
M
L
L
42
测试技术与数据处理写为矩阵形式
=
N
N
N
NN
N
C
C
C
Ny
y
y
M
L
M
M
2
1
11
2
1
1
21
111
)1(
)1(
)0(
ααα
ααα
即
]][[][ CVY =
其系数解为
][][][
1
YVC
=
43
测试技术与数据处理卷积和及其应用
已知任意离散信号可表示为,并 且
δ (n)→h( n)，那么与连续时间系统的时域分析法相同，基于离散
LTI系统的线性与时不 变特性，可以用时域方法求解系统的零状态响应。因为
δ (n)→h( n)
由时不变性 δ (n-m)→h( n-m)
由比例性 x(m)δ (n-m)→x (m)h(n-m)
∑
∞
∞=
=
m
mnmxnx )()()( δ
44
测试技术与数据处理
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
=→?=
mm
mnhmxnymnmxnx )()()()()()( δ
最后由叠加性
上式是离散序列卷积公式。因为离散序列卷积是求和运算，
所以又称其为卷积和，也有称其为卷和的。
利用变量代换，卷积的另一种形式为
∑
∞
∞=
=
m
mnxmhny )()()(
离散序列的卷积公式简写为
y
zs
(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)
45
测试技术与数据处理离散序列卷积（和）的一般定义离散序列卷积的一般表达形式为若令f
1
(n)=x(n)，f
2
(n)=h(n)，正是求解零状态响应的式。
∑
∞
∞=
=?
m
mnfmfnfnf )()()()(
2121
离散序列的卷积与连续信号的卷积有平行相似的性质与运算关系。
46
测试技术与数据处理卷积的性质
(1) 当 f
1
(n),f
2
(n),f
3
(n)分别满足可和条件，卷积具有以下代数性质：
交换律
)()()()(
1221
nfnfnfnf?=?
分配律
)]()()()()]()([)(
3121321
nfnfnfnfnfnfnf?+?=+?
47
测试技术与数据处理结合律
)]()([)(
)()]()([
)]()([)()()()(
132
321
321321
nfnfnf
nfnfnf
nfnfnfnfnfnf
=
=
=
(2) 任意序列与 δ (n)卷积
δ (n)*f(n)=f(n)
δ (n-m)*f(n)=f(n-m)
(3) 任意序列与u( n)卷积
∑
=
=?
n
m
mfnfnu
0
)()()(
48
测试技术与数据处理卷积和的运算
离散序列卷积计算的基本方法有图解法，其步骤与连续信号的卷积相似，可以分为：
? 两个序列变量置换
? 任选其中一个序列折叠位移
? 两个序列相乘
? 对相乘后的非零值序列求和例 已知x (n)=R
N
(n),
h(n)=a
n
u(n),求 y
zs
(n),其中,
0<a<1。
)()(
)()()(
mnuamx
nhnxny
m
mn
zs
=
=
∑
∞
∞=
解 让 h(n)折叠位移,则
49
测试技术与数据处理上例求解过程与结果
0
1
R
N
(m)
h(n－m)
N－1 m
0nnN－1 m
0＞n
0≤n＜N－1
m0nnN－1
y(n)
0 N－1 n
n≥ N－1
1
1 1
1
a
aa
N
－
－
－－
－
h(n－m)
50
测试技术与数据处理当n<0 时，
y
zs
(n)=0
当0≤n< N-1时，
1
1
1
)1(
00
11
1
)(
+?
=
=
=
=
==
∑∑
a
aa
a
a
a
aaany
nn
n
n
m
mn
n
m
mn
zs
当n≥N-1时……
≥
<≤
=
1
1
10
1
)(
1
1
1
Nn
a
aa
Nn
a
aa
ny
Nnn
n
zs
51
测试技术与数据处理例 已知x (n)=［ 1 2 3］，h( n)=［ 3 2 1］,求y (n)。
↑↑
解 将两个序列的样值分成两行排列，逐位竖式相乘得到
（三行）：
x(n) 1 2 3
h(n) 3 2 1
1 2 3
2 4 6
3 6 9
y(n) 3 8 14 8 3
52
测试技术与数据处理也可用 MATLAB计算 x(n)与 h(n)的卷积。计算上例卷积的
MATLAB程序与结果为
x= ［1,2,3］;
h=［3,2,1］;
conv(x,h)% 卷积计算
ans =
3 8 14 8 3
53
测试技术与数据处理卷积和
54
测试技术与数据处理离散时间系统的完全响应与系统特性
由前面的分析可知离散时间系统的全响应 y(n)可分为零输入响应与零状态响应，即
)()()( nynyny
zszi
+=
55
测试技术与数据处理相关函数相关函数：当二个信号均为实能量信号时，其 互相关函数 可表示为相关函数与卷积的关系
() ()( )
xy
R xt yt dtτ τ
∞
∞
=?
∫
() () ( )
xy
Rt xt yt=
56
测试技术与数据处理相关定理
[()] ( ); [()] ( )
[()] ()()
xy
Fxt X Fyt Y
FR X Y
ω ω
τωω
==
=?
如果x(t)、y(t)为复信号，
且那么，
57
测试技术与数据处理巴什瓦等式
ωω
π
dXdttx
or
dffXdttx
fX
tx
2
2
2
2
2
2
)(
2
1
)(
)()(
)(
)(
∫∫
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
=
=
所覆盖的面积域内所覆盖的面积等于频时域内曲线
58
测试技术与数据处理模拟信号离散化模/ 数（ A/D）与数 /模（D/A）转换
A/D转换的过程,采样，量化与编码采样：用脉冲序列p(t)与信号相乘量化：将采样后的信号幅值量化，( 可导致量化误差)
编码：将离散幅值量化后变为2 进制
D/A转换：译码，波形复原译码,是将数字信号恢复成有限幅值的过程波形复原
59
测试技术与数据处理模拟信号离散化
)(tf
0
t
)(tP
1
0
t
)(tf
s
相乘
0
t
s
T
时域抽样
)()(
∑
∞
∞=
=
n
sT
nTtt δδ
60
测试技术与数据处理模拟信号离散化 －理想抽样
)(tf
0
t
)(ωF
0
ω
1
)(tP
1
0
t
0
ω
)(tf
s
相乘相卷
s
ω
s
ω
s
ω?
s
ω
s
ω?
0
0
t
s
T
)(ω
s
F
s
T
1
FT
FT
FT
时域抽样频域周期重复
)()(
∑
∞
∞=
=
n
sT
nTtt δδ
∑
∞
∞=
=
n
ss
np )()( ωωδωω
61
测试技术与数据处理模拟信号离散化－ 理想抽样
)(tf
)()(
∑
∞
∞=
=
n
sT
nTtt δδ
)(ωF
∑
∞
∞=
=
n
ss
np )()( ωωδωω
)(
1
)(
s
n
s
s
nF
T
F ωωω?=
∑
∞
∞=
FT
相乘相卷积
FT
FT
π2
1
62
测试技术与数据处理模拟信号离散化 －非理想采样
)(tf
0
)(tP
τ
s
T
63
测试技术与数据处理模拟信号离散化 －非理想抽样
)(2)(
s
n
n
nPp ωωδπω?=
∑
∞
∞=
==
∫
2
sinc)(
1
2
2
τωτ
ω
s
s
T
T
tjn
s
n
n
T
E
dtetp
T
P
s
s
s
)(*)(
2
1
)( ωω
π
ω pFF
s
=
)(
2
sinc)(
s
n
s
s
s
nF
n
T
E
F ωω
τωτ
ω?
=
∑
∞
∞=
64
测试技术与数据处理模拟信号离散化 －非理想抽样
)(tf
0
t
)(tP
0
t
)(tf
s
0
t
)(ωF
0
ω
)(ωP
0
ω
0
ω
τ
s
T
τ
π2
τ
π2
s
ω
s
ω?
s
ω?
s
ω
τ
π2
τ
π2
s
Eτω
s
Eτω
1
FT
FT
FT
乘卷
65
测试技术与数据处理频域采样已知连续频谱函数 X(ω )，对应的时间函数 x(t)，
若X(ω )在频域中被间隔为ω
1
的脉冲序列所采样，
采样后的频谱函数为 X
1
(ω ),其对应的时间函数为
x
1
(t)，
现在探讨 x(t)与 x
1
(t)的关系？
66
测试技术与数据处理频域采样
)(ωF
0 ω
)(ωδ
ω
1
)(
1
ωF
0
ω
相乘
1
ω
1
ω?
1
ω
0
1
ω?
67
测试技术与数据处理
)(ωF
)()(
1∑
∞
∞=
=
n
nωωδωδ
ω
)()()(
1
ωδωω
ω
FF =
)(tf
IFT
)(
1
)(
1
1
∑
∞
∞=
=
n
nTttp δ
ω
IFT
)(
1
*)()(
1
1
ttftf
T
δ
ω
=
∑
∞
∞=
=
n
nTtftf )(
1
)(
1
1
1
ω
IFT
68
测试技术与数据处理模拟信号离散化
)(ωF
0 ω
)(ωδ
ω
1
)(
1
ωF
0
ω
相乘
)(tf
0
t
IFT
IFT 1
)(
ω
δ t
T
1
1
ω
)(tf
0
t
IFT
卷积
1
1
ω
1
1
T
1
T?
0
t
1
ω
1
ω?
1
ω
0
1
ω?
69
测试技术与数据处理采样定理时域抽样定理一个频率有限信号 如果频谱只占据 的范围，则信号可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。
而抽样间隔不大于 （ ）
或者说最低抽样频率为 。
奈奎斯特频率：
)(tf
mm
ωω +→?
)(tf
m
f2
1
mm
fπω 2=
m
f2
ms
ωω 2=
70
测试技术与数据处理采样定理
)(ω
s
F
t
0
)(tf
s
T
0
t
)(tf
s
T
)(
1
ωF
ω
0
s
ω
s
ω?
s
T
1
ω
0
s
T
1
s
ω
s
ω?
m
ω
m
ω?
)(
1
ωF
s
ω?
ms
ωω 2=
ω
0
s
ω
s
T
1
71
测试技术与数据处理采样定理
－由抽样信号恢复原连续信号
)(ωF
取主频带时域卷积定理：
)()()( ωωω HFF
s
=
)]([sinc)(
)(*)()(
scs
n
c
s
nTtnTf
thtftf
=
=
∑
∞
∞=
ω
π
ω
)(sinc)( tth
c
c
ω
π
ω
=
)()()(
∑
∞
∞=
=
n
sss
nTtnTftf δ
72
测试技术与数据处理采样定理
0
t
)(tf
s
)(ω
s
F
m
ωm
ω?
s
ω
s
ω?
)(th
0
t
ω
ω
c
ω
c
ω?
)(ωH
s
T
1
π
ω
c
)(tf
卷积包络
s
Ts
T?
0
m
ω
m
ω?
)(ωF
ω
相乘
0
0
t
73
测试技术与数据处理频域抽样定理若信号 为时限信号，它集中在的时间范围内，若在频域中，
以不大于 的频率间隔对 的频谱进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号。
)(tf
mm
tt →?
m
t2
1
)(tf
)(ωF
)(
1
ωF
74
测试技术与数据处理频域采样定理根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理
=
∑
∞
∞=
)(sinc)(
m
m
n
m
t
n
t
t
n
FF
π
ω
π
ω
)]([sinc)()(
scs
n
c
nTtnTftf?=
∑
∞
∞=
ω
π
ω
偶函数变量置换
75
测试技术与数据处理频域采样定理
)(ωF
0 ω
)(ωδ
ω
1
)(
1
ωF
0
ω
相乘
)(tf
0
t
IFT
IFT 1
)(
ω
δ t
T
1
1
ω
)(tf
0
t
IFT
卷积
1
1
ω
1
1
T
1
T?
0
t
1
ω
1
ω?
1
ω
0
1
ω?
76
测试技术与数据处理栅栏效应频域采样之后，只能获得采样点的频率成份，其余的频率成份被舍去，这好象是透过栅栏看风景，只看到其中一部分，丢失了其它部分信息。
77
测试技术与数据处理对称关系－傅立叶变换的对偶性时域周期性——频域离散性
（时域重复——频域抽样）
时域离散性——频域周期性
（时域抽样——频域重复）
时域非周期——频域连续性时域连续性——频域非周期
78
测试技术与数据处理离散信号的傅立叶变换傅立叶变换要在计算机上得以实现，须满足以下条件：
?把连续信号（包含时域、频域）改造成离散数据；
?计算范围从无穷收缩到一个有限区间；
?实现正、逆傅里叶变换
79
测试技术与数据处理离散傅立叶变换
∑
∞
∞=
=
n
njj
enxeX
ωω
)()(
?从 Z变换的变量置换得到
?从非周期信号的抽样得到
?从离散周期信号取单周期得到
80
测试技术与数据处理从非周期信号抽样得到离散非周期序列时域采样
81
测试技术与数据处理离散傅立叶变换前面为时域采样，接下来，进行时域截断，使其成为只有N 个点的信号，但其频域仍然是连续函数，要实现逆变换，须将其频域改造为有限离散信号。
82
测试技术与数据处理离散傅立叶变换时域截断
83
测试技术与数据处理离散傅立叶变换频域采样
84
测试技术与数据处理离散傅立叶变换离散傅立叶级数的谐波成分只有 N个独立量，和连续傅立叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分），因而对离散傅立叶级数，只能取 k=0 到 N-1的 N个独立谐波分量,因而 可展成如下的离散傅立叶级数，即
)(
~
nx
∑
=
=
1
0
2
)(
~
1
)(
~
N
k
kn
N
j
ekX
N
nx
π
求和号前所乘的系数 1/N是习惯上已经采用的常数,是 k次谐波的系数。
)(
~
kX
85
测试技术与数据处理离散傅立叶变换
∑
=
=
1
0
2
)(
~
)(
~
N
n
kn
N
j
enxkX
π
这就是求 k=0 到N-1的 N个谐波系数 的公式。同时看出也是一个以 N为周期的周期序列，即
)(
~
kX
)(
~
kX
时域周期序列 的离散傅立叶级数 在频域 也是一个周期序列。因而 与 是频域与时域的一个周期序列对，一起看作是一对相互表达周期序列的离散傅立叶级数（ DFS）对。
)(
~
kX
)(
~
nx
)(
~
kX
)(
~
nx
86
测试技术与数据处理离散傅立叶变换
为了表示方便，常常利用复数量W
N
来写这两个式子与。W
N
定义为
)(
~
kX
)(
~
nx
N
j
N
eW
π2
=
nk
N
N
k
nk
N
j
N
k
nk
N
N
n
nk
N
j
N
n
WkX
N
ekX
N
kXIDFSnx
WnxenxnxDFSkX
=
=
=
=
∑∑
∑∑
===
===
)(
~1
)(
~1
)](
~
[)(
~
)(
~
)(
~
)](
~
[)(
~
1
0
2
1
0
1
0
2
1
0
π
π
87
测试技术与数据处理离散傅立叶变换周期序列实际上只有有限个序列值有意义，它和有限长序列有着本质的联系。根据周期序列和有限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅立叶级数表示式推导有限长序列的离散频域表示即离散傅立叶变换（ DFT）。
设 x(n)为有限长序列，长度为 N，即 x(n)只在 n=0到 N-1点上有值，其他 n时,x(n)=0。即
≤≤
=
n
Nnnx
nx
其他0
10)(
)(
88
测试技术与数据处理离散傅立叶变换把它看成周期为 N的周期序列 的一个周期，而把 看成 x(n)的以N为周期的周期延拓,即表示成,
)(
~
nx )(
~
nx
≤≤
=
n
Nnnx
nx
其他0
10)(
~
)(
∑
∞
∞=
+=
r
rNnxnx )()(
~
通常把 的第一个周期 n=0 到n =N-1 定义为“主值区间,。)(
~
nx
89
测试技术与数据处理离散傅立叶变换
0
N－1 n
)(
~
nx
－N 0 N－1 n
主值区间
x(n)
90
测试技术与数据处理有限长序列的离散傅立叶变换离散周期序列的 DFS的求和都只限定在 n=0到 N-1和 k=0 到
N-1 的主值区间进行，它们完全适用于主值序列 x(n)与 X(k)，因而可以得到有限长序列的离散傅立叶变换的定义,
∑
∑
=
=
==
==
1
0
1
0
)(
1
)]([)(
)()]([)(
N
k
nk
N
N
n
nk
N
WkX
N
kXIDFTnx
WnxnxDFTkX
0≤k ≤N-1
0≤n≤N-1
91
测试技术与数据处理有限长序列的离散傅立叶变换
?取N 个采样点的傅立叶变换是其原信号傅立叶变换的近似，原因在于N 点的傅立叶变换需要对信号进行采样与截断。
?近似的程度与被分析的波形相关。
92
测试技术与数据处理离散傅立叶变换泄漏效应当频域有限的周期信号，对时域信号进行截取时，相当于将原信号与一矩形窗函相乘，而在频域上则等于原信号的频谱与窗函数（Sinc) 作卷积，由于Sinc 所固有的主瓣与旁瓣的特点，被截断的信号的频谱在原来 集中脉冲 变成以 原脉冲为中心的一个很宽的频带上,称之为泄漏效应。
93
测试技术与数据处理离散傅立叶变换余弦信号加窗截断造成的泄漏现象
94
测试技术与数据处理离散傅立叶变换以下讨论的序列都是 N点有限长序列，用DFT ［ ］表示N 点
DFT，且设,
DFT［ x
1
(n)］ =X
1
(k)
DFT［ x
2
(n)］ =X
2
(k)
95
测试技术与数据处理
DFT的性质线性
)()()]()([
2121
kbXkaXnbxnaxDFT +=+
式中，a,b为任意常数
96
测试技术与数据处理离散傅立叶变换时域移位
)()]([
)()]([
)(
kXWmnxDFT
kXWmnxDFT
DFT，
mnxN
km
km
=?
=+
满足则其周期个抽样左移或右移点序列将
97
测试技术与数据处理离散傅立叶变换频域移位
)(])([
)()]([
ln
lkXWnxDFT
kXnxDFT
=
=
则若
98
测试技术与数据处理线性卷积
∑
∞
∞=
==
m
mnhmxnhnxny )()()(*)()(
积单位脉冲响应的线性卷
，输出是输入与系统对于一个离散系统而言卷积分为（线性）卷积与循环（圆）卷积步骤。
和四个对称、平移、乘积、取其运算过程也包括镜象
99
测试技术与数据处理线性卷积
100
测试技术与数据处理循环卷积
)()()( nhnxny?=
它是针对N点序列的二个信号而言的，
将其变成二个以 N为周期的延拓信号，
然后将其整个信号序列进行翻转，来计算其在一个周期内的卷积。
101
测试技术与数据处理离散傅立叶变换如何使圆卷积运算得到与卷积运算相同的结果呢？
将二个信号序列作适当地补零，扩展其长度，这样，序列移位时，右边移去的零值，在序列左边空白处出现，就会得到与线性卷积运算相同的结果，
补零后，序列的长度为 L，L 大于等于 N
1
＋N
2
－1
102
测试技术与数据处理离散傅立叶变换
103
测试技术与数据处理离散傅立叶变换离散时域的卷积定理：时域卷积对应于频域的乘积。
)()()(*)( kHkXnhnx?
∑
=
=?
1
0
)()(
N
1
)(*)()()(
N
m
mkHmXkHkXnhnx
离散频域的卷积定理：二个周期为N的时域信号的乘积，对应于其在频域中信号的卷积。
104
测试技术与数据处理离散傅立叶变换离散相关定理：二个周期为 N的时域周期信号序列，它们的时域离散相关的傅立叶变换等于它们傅立叶变换的乘积。
)()()]([ kHkXnRDFT
xh
=
105
测试技术与数据处理巴什瓦定理对于离散信号，描述时域与频域的功率关系
2
1
0
2
1
0
)(X
1
)(
∑∑
=
=
=
N
k
N
n
k
N
nx
2
1
0
1
0
2
)(
1
)(
∑∑
=
=
=
N
k
N
n
kX
N
nx
如果x(n) 为实序列，则
106
测试技术与数据处理快速傅里叶变换（FFT）
?FFT出现的背景
?时间抽取（ DIT）基 2FFT算法
?频率抽取（ DIF）基 2FFT算法
?分裂基算法
107
测试技术与数据处理
FFT出现的背景直接计算DFT 的运算量问题
设x (n)为N点有限长序列，其DFT 为
∑
=
=
1
0
)()(
N
n
nk
N
WnxkX
k=0,1,…,N-1
反变换（IDFT）为
∑
=
=
1
0
)(
1
)(
N
k
nk
N
WkX
N
nx
n=0,1,…,N-1
108
测试技术与数据处理
FFT出现的背景一般来说,x(n)和 W
N
nk
都是复数，X( k)也是复数，因此每计算一个 X(k)值，需要 N次复数乘法和 N-1次复数加法。而 X(k)一共有 N个点
（ k从 0取到N -1），所以完成整个DFT 运算总共需要N
2
次复数乘法及
N(N-1)次复数加法。复数运算实际上是由实 数运算来完成的，这时
DFT运算式可写成
])}Re[)](Im[]Im[)]((Re[
][Im)](Im[]Re[)]({Re[
]}Im[])]}{Re[(Im[)]({Re[)()(
1
0
1
0
1
0
nk
N
nk
N
nk
N
N
n
nk
N
N
n
nk
N
nk
N
N
n
nk
N
WnxWnxj
WnxWnx
WjWnxjnxWnxkX
++
=
++==
∑
∑∑
=
=
=
109
测试技术与数据处理
FFT出现的背景一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法；一次复数加法需二次实数加法。因而每运算一个X(k) 需 4N次实数乘法和 2N+2(N-
1)=2(2N-1)次实数加法。所以，整个 DFT运算总共需要 4N
2
次实数乘法和
2N(2N-1)次实数加法。直接计算 DFT，乘法次数和加法次数都是和 N
2
成正比的，当 N很大时，运算量是很可观的，有时是无法忍受的。
110
测试技术与数据处理
FFT出现的背景例 若需对一幅 N×N点的二维图像进行 DFT变换，如用每秒可做 10万次复数乘法的计算机，当 N=1024
时，问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？
解 直接计算 DFT所需复乘次数为（ N
2
)
2
≈10
12
次，
因此用每秒可做 10万次复数乘法的计算机，则需要近 3000小时。
结论,这对实时性很强的信号处理来说，需要提高计算速度，而这样，对计算速度的要求太高了。
另外，只能通过改进对 DFT的计算方法，以大大减少运算次数。
111
测试技术与数据处理进行 FFT运算的基础：是其系数具有以下特性：
（1 ） W
N
nk
性质
（2 ） W
N
nk
的周期性
)()( Nkn
N
kNn
N
nk
N
WWW
++
==
k
N
Nk
N
N
N
WWW?=?=
+ )2/(2/
,1
112
测试技术与数据处理
（3） W
N
nk
的可约性
mnk
mN
nk
N
nmk
mN
nk
N
WWWW
/
/
,==
另外
,
)()( nk
N
knN
N
kNn
N
WWW
==
这样，利用这些特性，使 DFT运算中有些项可以合并，并能使 DFT分解为更少点数的 DFT运算。 DFT的运算量是与N
2
成正比的，所以 N越小越有利，小点数序列的 DFT比大点数序列的 DFT
的运算量要小。
快速傅里叶变换算法正是基于这样的基本思想而发展起来的。
它的算法形式有很多种，但基本上可以分成两大类，即按时间抽取 (DIT）法和按频率抽取（ DIF）法。
113
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法算法原理设序列x (n)长度为N，且满足N=2
M
，M 为正整数。按n的奇偶把x (n)分解为两个N/2 点的子序列：
1
2
,,1,0
)()12(
)()2(
2
1
=
=+
=
N
r
rxrx
rxrx
L
114
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
rk
N
N
r
k
N
rk
N
N
r
kr
N
N
r
rk
N
N
r
N
n
n
nk
N
N
n
N
n
n
nk
N
nk
N
WrxWWrx
WrxWrx
WnxWnxWnxnxDFTkX
))(()()(
)12()2(
)()()()]([)(
2
1
2
0
2
2
1
2
0
1
)12(
1
2
0
2
1
2
0
1
0
1
0
1
0
∑∑
∑∑
∑∑∑
=
=
+
=
=
=
=
=
+=
++=
+===
为奇数为偶数由于,故上式可表示成
2/
)
2
/(22
2
2
N
N
j
N
j
N
WeeW ===
π
π
)()()()()(
212/2
1
2
0
2/1
1
2
0
kXWkXWrxWWrxkX
k
N
rk
N
N
r
k
N
rk
N
N
r
+=+=
∑∑
=
=
115
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
X
1
(k)与X
2
(k)分别是 x
1
(r)及x
2
(r)的N/2 点DFT,
rk
N
N
r
rk
N
N
r
rk
N
N
r
rk
N
N
r
WrxWrxkX
WrxWrxkX
2/
1
2
0
2/2
1
2
0
2
2/
1
2
0
2/1
1
2
0
1
)12()()(
)2()()(
+==
==
∑∑
∑∑
=
=
=
=
由此，一个 N点 DFT已分解成两个 N/2点的 DFT。这两个 N/2
点的 DFT组合成一个 N点 DFT。这里 X
1
(k),X
2
(k)只有N/2 个点，
即 k=0,1,…,N/2-1。而 X(k)却有N个点，即 k=0,1,…,N-1，计算得到的只是X( k)的前一半的结果。
怎么办？
116
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
rk
N
N
kr
N
WW
2/
2
2/
=
+
得到
)()()(
2
12/
1
2
0
1
2
2/
1
2
0
11
kXWrxWrxk
N
X
rk
N
N
r
k
N
r
N
N
r
===
+
∑∑
=
+
=
同理可得
)(
2
22
kXk
N
X =
+
说明了后半部分 k值（ N/2≤ k≤N-1 ）所对应的 X
1
(k),Ｘ
2
(k)
分别等于前半部分k 值（0≤k ≤ N/2-1）所对应的X
1
(k)，X
2
(k)。
应用系数的周期性,即
117
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法考虑到W
k
N
的以下性质,
k
N
k
N
N
N
k
N
N
WWWW?==
+
2/
2
这样，
1
2
,,1,0)()()(
21
=+=
N
kkXWkXkX
k
N
L
)()(
222
21
2
2
1
kXWkX
N
kXW
N
kX
N
kX
k
N
N
k
N
=
++
+=
+
+
1
2
,,1,0?=
N
k L
118
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法按时间抽取将一个 N点 DFT分解为两个 N/2点 DFT（ N=8）
X
1
(0)
X
1
(1)
x
1
(0)＝x(0) X(0)
X(1)
X
1
(2)
X
1
(3)
－1
－1
0
N
W
DFT
2
点
N
x
1
(1)＝x(2)
x
1
(2)＝x(4)
x
1
(3)＝x(6)
X(2)
X(3)
X
2
(0)
X
2
(1)
x
2
(0)＝x(1) X(4)
X(5)
X
2
(2)
X
2
(3)
DFT
2
点
N
x
2
(1)＝x(3)
x
2
(2)＝x(5)
x
2
(3)＝x(7)
X(6)
X(7)
1
N
W
2
N
W
3
N
W
－1
－1
119
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法时间抽取法蝶形运算流图符号
X
2
(k)
X
1
(k)
k
N
W
－1
X
1
(k)＋
k
N
W
X
2
(k)
X
1
(k)－
k
N
W
X
2
(k)
120
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法既然这样分解是有效的，由于N =2
M
，因而N/2 仍是偶数，可以进一步把每个
N/2点子序列再按其奇偶部分分解为两个N /4点的子序列。
1
4
,,1,0
)()12(
)()2(
41
31
=
=+
=
N
l
lxlx
lxlx
L
1
4
,,1,0)()(
)()(
)12()2()(
42/3
1
4
0
4/42/
1
4
0
4/3
1
4
0
)12(
2/1
1
4
0
2
2/11
=+=
+=
++=
∑∑
∑∑
=
=
=
+
=
N
kkXWkX
WlxWWlx
WlxWlxkX
k
N
N
l
lk
N
k
N
N
l
lk
N
N
l
kl
N
N
l
lk
N
L
121
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法且
)()(
4
42/31
kXWkXk
N
X
k
N
=
+ 1
4
,,1,0?=
N
k L
式中：
∑∑
∑∑
=
=
=
=
+==
==
1
4
0
4/
1
4
0
4/44
1
4
0
4/
1
4
0
4/33
)24()()(
)4()()(
N
l
lk
N
N
l
lk
N
N
l
lk
N
N
l
lk
N
WlxWlxkX
WlxWlxkX
122
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
N/2点DFT 分解为两个 N/4点 DFT
DFT
4
点
N
X
3
(0)
X
3
(1)
x
3
(0)＝x
1
(0)＝x(0)
x
3
(1)＝x
1
(2)＝x(4)
X
1
(0)
X
1
(1)
DFT
4
点
N
X
4
(0)
X
4
(1)
x
4
(0)＝x
1
(1)＝x(2)
x
4
(1)＝x
1
(3)＝x(6)
X
1
(2)
X
1
(3)
－1
－1
0
2/N
W
1
2/N
W
123
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
X
2
(k)也可进行同样的分解：
=
+
+=
)()(
4
)()()(
62/52
62/52
kXWkXk
N
X
kXWkXkX
k
N
k
N
1
4
,,1,0?=
N
k L
式中：
∑∑∑
∑∑∑
=
=
=
=
=
=
+=+==
+===
1
4
0
4/
1
4
0
4/2
1
4
0
4/66
1
4
0
4/
1
4
0
4/2
1
4
0
4/55
)34()12()()(
)14()2()()(
N
l
lk
N
N
l
lk
N
N
l
lk
N
N
l
lk
N
N
l
lk
N
N
l
lk
N
WlxWlxWlxkX
WlxWlxWlxkX
124
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
N=8点 DFT分解为四个 N/4点 DFT
DFT
4
点
N
X
3
(0)
X
3
(1)
x
3
(0)＝x
1
(0)＝x(0)
x
3
(1)＝x
1
(2)＝x(4)
X
1
(0)
X
1
(1)
DFT
4
点
N
X
4
(0)
X
4
(1)
x
4
(0)＝x
1
(1)＝x(2)
x
4
(1)＝x
1
(3)＝x(6)
X
1
(2)
X
1
(3)
－1
－1
0
N
W
2
N
W
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
DFT
4
点
N
X
5
(0)
X
5
(1)
x
5
(0)＝x
2
(0)＝x(1)
x
5
(1)＝x
2
(2)＝x(5)
X
2
(0)
X
2
(1)
DFT
4
点
N
X
6
(0)
X
6
(1)
x
6
(0)＝x
2
(1)＝x(3)
x
6
(1)＝x
2
(3)＝x(7)
X
2
(2)
X
2
(3)
－1
－1
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
0
N
W
1
N
W
2
N
W
3
N
W
－1
－1
－1
－1
0
N
W
2
N
W
125
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法这种方法的每一步分解，都是按输入序列在时间上的次序是属于偶数还是属于奇数来分解为两个更短的子序列，所以称为,按时间抽取法,。
N=8 按时间抽取的FFT 运算流图
x(0) X(0)
x(4) X(1)
－1
0
N
W
x(2) X(2)
x(6) X(3)
－1
0
N
W
0
N
W
2
N
W
－1
－1
x(1) X(4)
x(5) X(5)
－1
0
N
W
x(3) X(6)
x(7) X(7)
－1
0
N
W
0
N
W
2
N
W
－1
－1
0
N
W
1
N
W
2
N
W
3
N
W
－1
－1
－1
－1
126
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法例 用FFT 算法处理一幅 N× N点的二维图像，如用每秒可做
10万次复数乘法的计算机，当 N=1024时，问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？
解 当 N=1024点时,FFT算法处理一幅二维图像所需复数乘法约为 次，仅为直接计算DFT 所需时间的10 万分之一。 即原需要3000小时，现在只需要2 分钟。
72
2
2
10)og1(
4
≈N
N
127
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法算法讨论
?级的概念
?蝶形单元
?组的概念
?W
r
因子的分布
?码位倒置
128
测试技术与数据处理蝶形运算
r
Nmmm
r
Nmmm
WjXkXjX
WjXkXkX
)()()(
)()()(
11
11
=
+=
－1
r
N
W
X
m－1
(k)
X
m－1
( j)
X
m
(k)＝X
m－1
(k)＋X
m－1
( j)
X
m
( j)＝X
m－1
(k)－X
m－1
( j)
r
N
W
r
N
W
129
测试技术与数据处理码位倒置（以N＝8 为例）
1）先将 x(n)的序数写成 2进制，那么 x(0),x(1)…… x
（7 ）分别为
x(000),x(001),x(010),x(011),x(100),
x(101)、x （110 ）及 x（111 ）
2）将二进制码翻转
x(000),x(100),x(010),x(110),x(001),
x(101)、x （011 ）及 x（111 ）
3）再写成十进制，即为按奇偶抽取的顺序
x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x （3 ）
及 x（7 ）
130
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
N=8 倒位序的变址处理存储单元自然顺序输入变址倒位序
A(1) A(2) A(3) A(4) A(5) A(6) A(7) A(8)
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)
x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7)
131
测试技术与数据处理频率抽取（DIF ）基2FFT 算法算法原理
仍设序列点数为N=2
M
,M为正整数。在把输出X (k)按 k的奇偶分组之前，先把输入序列按前一半、后一半分开（不是按偶数,奇数分开），把 N
点 DFT写成两部分。
nk
N
N
n
Nk
N
k
N
n
N
N
n
nk
N
N
n
N
N
n
nk
N
N
n
nk
N
N
n
nk
N
WW
N
nxnx
W
N
nxWnx
WnxWnxWnxkX
∑
∑∑
∑∑∑
=
+
=
=
=
=
=
++=
++=
+==
1
2
0
2/
2
1
2
0
1
2
0
1
2
1
0
1
2
0
2
)(
2
)(
)()()()(
k=0,1,…,N-1
132
测试技术与数据处理频率抽取（DIF ）基2FFT 算法由于
1
2/
=
N
N
W
kNk
N
W )1(
2/
=
nk
N
N
n
k
W
N
nxnxkX
∑
=
+?+=
1
2
0
2
)1()()(
k=0,1,…,N-1
当 k为偶数时，(-1)
k
=1； k为奇数时，(-1)
k
=-1。
nr
N
N
n
nk
N
N
n
W
N
nxnx
W
N
nxnxrX
2/
1
2
0
2
1
2
0
2
)(
2
)()2(
∑
∑
=
=
++=
++=
1
2
,,1,0?=
N
r L
因此，按k的奇偶可将X( k)分为两部分:
133
测试技术与数据处理频率抽取（DIF ）基2FFT 算法
nr
N
N
n
n
N
rn
N
N
n
WW
N
nxnx
W
N
nxnxrX
2/
1
2
0
)12(
1
2
0
2
)(
2
)()12(
∑
∑
=
+
=
+?=
+?=+
1
2
,,1,0?=
N
r L
前式为前一半输入与后一半输入之和的 N/2点 DFT，后式为前一半输入与后一半输入之差再与 W
N
n
之积的 N/2点DFT 。
134
测试技术与数据处理频率抽取（DIF ）基2FFT 算法
+?=
++=
n
N
W
N
nxnxnx
N
nxnxnx
2
)()(
2
)()(
2
1
1
2
,,1,0?=
N
r L
频率抽取法蝶形运算单元
－1
x(n)
x(n＋N / 2)
n
N
W
x(n)＋x(n＋N / 2)
[x(n)－x(n＋N / 2)]
n
N
W
令
135
测试技术与数据处理频率抽取（DI F）基2FFT 算法按频率抽取的第一次分解
X(0)
X(2)
－1
－1
0
N
W
DFT
2
点
N
X(4)
X(6)
X(1)
X(3)
DFT
2
点
N
X(5)
X(7)
1
N
W
2
N
W
3
N
W
－1
－1
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
x(4)
x(5)
x(6)
x(7)
136
测试技术与数据处理频率抽取（DIF ）基2FFT 算法与时间抽取法的推导过程一样，由于 N=2
M
,N/2仍是一个偶数，因而可以将每个 N/2点 DFT的输出再分解为偶数组与奇数组，这就将 N/2点 DFT进一步分解为两个 N/4 点 DFT。这两个 N/4点 DFT的输入也是先将 N/2点 DFT的输入上下对半分开后通过蝶形运算而形成的。
－1
r
N
W
X
m－1
(k)
X
m－1
( j)
X
m
(k)＝X
m－1
(k)＋X
m－1
( j)
X
m
( j)＝[X
m－1
(k)－X
m－1
( j)]
r
N
W
频率抽取法蝶形运算单元
137
测试技术与数据处理
DIF与DIT 算法的区别
z DIF的基本蝶形与DIT 的基本蝶形有所不同，这才是实质的不同，DIF 的复数乘法只出现在减法之后，DIT 则是先作复乘后再作加减法。
z 频率抽取 FFT算法的输入是自然顺序，输出是倒位序的。
因此运算完毕后，要通过变址计算将倒位序转换成自然位序，然后再输出。转换方法与时间抽取法相同。
138
测试技术与数据处理频率抽取（DIF）基2FFT算法按频率抽取的FFT （ N=8）信号流图
－1
－1
0
N
W
2
N
W
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
－1
－1
x(4)
x(5)
x(6)
x(7)
0
N
W
1
N
W
2
N
W
3
N
W
X(0)
X(4)
X(2)
X(6)
X(1)
X(5)
X(3)
X(7)
0
N
W
2
N
W
－1
－1
－1
－1
－1
－1
－1
－1
0
N
W
0
N
W
0
N
W
0
N
W
139
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
N=8 按时间抽取的FFT 运算流图
x(0) X(0)
x(4) X(1)
－1
0
N
W
x(2) X(2)
x(6) X(3)
－1
0
N
W
0
N
W
2
N
W
－1
－1
x(1) X(4)
x(5) X(5)
－1
0
N
W
x(3) X(6)
x(7) X(7)
－1
0
N
W
0
N
W
2
N
W
－1
－1
0
N
W
1
N
W
2
N
W
3
N
W
－1
－1
－1
－1
140
测试技术与数据处理分裂基算法频率抽取基 4FFT算法令 N＝4
M
，对 N点DFT 作如下频率抽取
∑∑∑∑
=
=
=
=
+++=
1
4/3
14/3
2/
12/
4/
14/
0
)()()()()(
N
Nn
nk
N
N
Nn
nk
N
N
Nn
nk
N
N
n
nk
N
WnxWnxWnxWnxkX
分别令k=4r,k=4r+2 及k=4r+1,k=4r+3，而 r＝0,1,2……N/4-1
141
测试技术与数据处理分裂基算法
nr
N
n
N
N
n
nr
N
n
N
N
n
nr
N
n
N
N
n
nr
N
N
n
WW
N
nx
N
nxj
N
nxnxrX
WW
N
nx
N
nxj
N
nxnxrX
WW
N
nx
N
nx
N
nxnxrX
W
N
nx
N
nx
N
nxnxrX
4/
3
1
4
0
4/
1
4
0
4/
2
1
4
0
4/
1
4
0
))]
4
3()
4
(())
2
()([()34(
))]
4
3()
4
(())
2
()([()14(
))]
4
3()
4
(())
2
()([()24(
))]
4
3()
4
(())
2
()([()4(
+?+++?=+
+?+?+?=+
+++?++=+
++++++=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
142
测试技术与数据处理分裂基算法分裂基算法的基本准则：对偶序号输出采用基 2算法，对奇序号输出采用基 4算法，该算法最接近理论上所需的乘法次数的最小值。
143
测试技术与数据处理分裂基算法
nr
N
n
N
N
n
nr
N
n
N
N
n
WW
N
nx
N
nxj
N
nxnxrX
WW
N
nx
N
nxj
N
nxnxrX
4/
3
1
4
0
4/
1
4
0
))]
4
3()
4
(())
2
()([()34(
))]
4
3()
4
(())
2
()([()14(
+?+++?=+
+?+?+?=+
∑
∑
=
=
nr
N
N
n
nk
N
N
n
W
N
nxnx
W
N
nxnxrX
2/
1
2
0
2
1
2
0
2
)(
2
)()2(
∑
∑
=
=
++=
++=
对 N＝2
M
点DFT,频率抽取DIF 的偶，可写为对于奇序号输出项，可写为
144
测试技术与数据处理分裂基算法分裂基算法示意图
145
测试技术与数据处理分裂基算法
16点分裂基算法信号流图
146
测试技术与数据处理
FFT的应用对连续时间变换的逼近
147
测试技术与数据处理
FFT的应用卷积运算
∑
∞
∞=
=
=
m
mnhmx
nhnxny
)()(
)(*)()(
148
测试技术与数据处理
FFT的应用循环卷积的环绕误差：当采用离散傅里叶变换时，信号均先被改造成时域与频域都对应的周期离散信号，此时进行的卷积过程实际上为循环卷积运算。此时，所得的结果与通常所讲的卷积完全不同。
149
测试技术与数据处理
FFT的应用
150
测试技术与数据处理
FFT的应用
?循环卷积的环绕误差：循环卷积与通常所称的卷积的差别在于，前者镜象对称操作后，
在右移的过程中，另一周期的信号进入到求和区间，导致计算的错误，称之为,环绕误差”
或,叠带效应” 。
?解决方案：将信号x(n)与h(n)在尾部补与原信号周期数相同的零。
151
测试技术与数据处理
FFT的应用
152
测试技术与数据处理
FFT的应用信号 x(n)与 h(n)快速卷积的求解过程？
153
测试技术与数据处理
FFT的应用相关运算如何实现？
1
测试技术与数据处理谱分析与谱估计功率谱估计现代谱分析方法传统谱分析方法相关函数法,BT法周期图法最大熵谱分析方法
2
测试技术与数据处理周期图法
2
)(
1
)(
lim
kX
N
kS
N
x
∞→
=
1,,1,0,)()(
)(
1
)(
1
0
/2
2
==
=
∑
=
NkenxkX
kX
N
kS
N
n
Nnkj
x
L
π
随机信号序列x(n) 的功率谱密度其估计值
3
测试技术与数据处理谱分析与谱估计
FFT
平方加法周期图法计算功率谱密度流程
)(nx
平方除法
)(
2
kX
R
)(kX
R
)(kX
I
)(
2
kX
I
2
)(
1
kX
N
2
)(kX
)(kS
x
4
测试技术与数据处理谱分析与谱估计周期图法存在的问题能量泄露：系统误差（偏度误差）
统计变异性 平均化处理采用窗处理
5
测试技术与数据处理谱分析与谱估计统计变异性变异系数
[()]
[()]
x
r
x
Sk
Sk
σ
ε
μ
=
6
测试技术与数据处理
22
2
2
1
2
n
zzz +++= Lχ
nn
n
nE
nE
n
22
2][
][
2
2
2
2
2
22
2
==
==?
==
χ
χ
χ
χ
χ
μ
σ
σμχ
μχ
)()()(
22
2
kXkXkX
IR
+=
[()] 2
[()]
x
r
x
Sk
n
Sk
σ
ε
μ
==
2
1
rn
ε
=
=
卡埃平方分布
7
测试技术与数据处理平均化处理方法
8
测试技术与数据处理
12
1
() () () ()
xq
Sk Sk Sk Sk
q
=+++
L
2
22
11
() () ()
qq
Rj Ij j
jj
Xk Xk Xk
==
+=
∑∑
2nq=
2
[()] 21
[()]
x
rnq
x
Sk
nq
Sk
σ
ε
μ
=
==
9
测试技术与数据处理窗口函数
() ()
j
xx
SRed
ωτ
ω ττ
∞
∞
=
∫
() ()
T
j
xx
T
SRed
ωτ
ω ττ
=
∫
理论谱密度近似谱
10
测试技术与数据处理
() ()* ()
xx
SSWω ωω=
11
测试技术与数据处理对于窗函数的基本要求：
? 主瓣要窄且高，以提高分辨率
? 旁瓣要小，正负交替接近相等，以减少泄露或负谱现象
12
测试技术与数据处理窗函数类型
?幂窗 矩形、三角形、梯形等
?三角函数窗 汉宁窗、海明窗等
?指数窗 高斯窗等
13
测试技术与数据处理矩形窗
1
,0
()
0,
tT
t
T
tT
ω
≤ ≤
=
f
2sin
()
T
W
T
ω
ω
ω
=
谱窗
14
测试技术与数据处理矩形窗
15
测试技术与数据处理三角窗
1
(1 ),0
()
0,
t
tT
t
TT
tT
ω
≤≤
=
f
2
sin / 2
() ( )
/2
T
W
T
ω
ω
ω
=
谱窗
16
测试技术与数据处理三角窗
17
测试技术与数据处理汉宁窗
11 1
cos,0
22()
0,
t
tT
TTt
tT
π
ω
+ ≤≤
=
f
sin 1 sin( ) sin( )
()
2
TT T
W
ω ωπ ωπ
ω
ωωπ
+?
=+ +
谱窗
18
测试技术与数据处理汉宁窗
19
测试技术与数据处理第六章 谱分析与谱估计汉宁窗与矩形窗谱图对比
20
测试技术与数据处理海明窗
1
0.54 0.46cos,0
()
0,
t
tT
TTt
tT
π
ω
+ ≤≤
=
f
sin( ) sin( )
( ) 1.08 0.46
TT
W
ω πωπ
ω
ωπ ωπ
+?
=+ +
谱窗
21
测试技术与数据处理高斯窗
2
1
,0
()
0,
at
etT
t
T
tT
ω
≤≤
=
f
22
测试技术与数据处理汉宁窗被分析信号真谱
T/2宽矩形窗
T宽矩形窗三角窗
23
测试技术与数据处理窗函数的选择
? 精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度 矩形窗
? 分析窄带信号，且有较强的干扰噪声 汉宁窗、三角窗
? 随时间按指数衰减函数 指数窗
24
测试技术与数据处理现代谱分析方法— 最大熵谱估计
? 最大熵谱分析法没有固定的窗口函数
? 采用谱熵为最大的准则来估计功率谱
? 适用于短数据样本、缓慢变化过程的谱估计
25
测试技术与数据处理
MEM
分析的中心内容最大熵谱分析法（ Maximum Entropy Method,MEM）
其中：,采样间隔
：预测误差的方差（或白噪声序列方差）
：预测滤波器的系数
2
1
2
1
)(
∑
=
Δ
+
Δ
=
m
k
tfkj
k
m
ea
tP
fS
π
tΔ
m
P
k
a
26
测试技术与数据处理短数据的MEM谱与FFT 谱比较
27
测试技术与数据处理缓变数据的MEM谱与FFT 谱比较
28
测试技术与数据处理
MEM谱与FFT 谱分辨力比较
29
测试技术与数据处理
Z变换与离散时间系统分析
?Z变换的定义
?Z变换的收敛域
?Z变换的性质
?典型序列的 Z变换
?逆 Z变换
?LSI的转移函数
?IIR系统的信号流图
?用 Z变换求解差分方程
?离散系统的稳定性
30
测试技术与数据处理
Z变换的定义
Z变换可定义为
∑
∞
∞=
==
n
n
znxzXnxZ )()()]([
31
测试技术与数据处理
Z变换的定义如果z用极坐标表示，即z=re
jω
，则有
nj
n
n
ernxzX
ω?
∞
∞=
∑
= ])([)(
32
测试技术与数据处理
Z变换的定义
?拉普拉斯复变量
Ω+= js σ
?Z变换的复变量
ωjsT
reez
s
==
?s与 z 之间的关系
s
T
T
er
s
Ω=
=
ω
σ
33
测试技术与数据处理
Z变换的收敛域
Z变换 X(z)收敛的条件
X(z)的收敛域（ROC ）：使Z 变换收敛的z 取值的集合
X(z)的收敛域:R
-
<|Z|<R
+，
R
-
为其内半径,R
+
为其外半径。
34
测试技术与数据处理例 1:求下列函数的 Z变换并求其收敛域，其中 a为常数,u(n)为单位阶跃函数。
)()( nuanx
n
=
35
测试技术与数据处理
Z变换的性质线性的共同部分与其收敛域为那么其其如果有
21
2121
222
111
)()()]()([
:)()]([
:)()]([
RR
zbXzaXnbxnaxZ
RROCzXnxZ
RROCzXnxZ
+=+
=
=
36
测试技术与数据处理
Z变换的性质时移特性
)()]([
)]([
)(),()(
zXzknxZ
knxZZ，k
nxzXZnx
k?
=?
下特性有如变换得到的个抽样点后右移则将变换为的双边若
37
测试技术与数据处理
Z变换的性质指数加权性质
),(
),/()]([
)(
),,(),()]([
21
21
RaRa
azXnxaZ
：Znxa
RRzXnxZ
n
n
其收敛域为变换则有序列的其收敛域为若
=
=
38
测试技术与数据处理
Z变换的性质序列的线性加权
),(
)()]([
21
RR
zX
dz
d
znnxZ
其收敛域为
=
39
测试技术与数据处理
Z变换的性质时域卷积的Z 变换为其各自相应的变换在Z 域相积
)()()]()([ zYzXnynxZ?=?
其收敛域是原两个时域序列各自Z 变换的交集
40
测试技术与数据处理典型序列的Z变换
?单位冲激序列
?阶跃序列
?指数序列
?其它
41
测试技术与数据处理单位冲激序列
{
∑
∞
=
=
≠
=
=
0
)()]([
)0(0
)0(1
)(
n
n
znnZ
n
n
n
δδ
δ
=1
42
测试技术与数据处理阶跃序列
∑∑
∞
=
∞
∞=
==
<
≥
=
0
)()]([
)0(
)0(
0
1
)(
n
n
n
n
zznunuZ
n
n
nu
1?z
z
=
43
测试技术与数据处理指数序列
az
z
zaznuanuaZ
Z
nua
n
nn
n
nnn
n
=
==
∑∑
∞
=
∞
=
00
)()]([
)(
变换其
44
测试技术与数据处理
45
测试技术与数据处理逆Z变换
]逆Z 变换的定义,已知象函数 X（z ）及所给的
ROC，反求序列 x（ n）的过程。
]逆Z 变换的方法
]幂级数法
]部分分式法
]留数法
46
测试技术与数据处理逆Z变换
1.幂级数法又称长除法,其原理是：如将 X(z)表示为下面类型的幂级数，与Z 变换的定义相比较，显然其系数即为序列 x(n)。
...)(
2
2
1
10
+++=
zazaazX
∑
∞
=
==
0
)()()]([
n
n
znxzXnx，Z对于因果序列
47
测试技术与数据处理例求下列函数的逆 Z变换,X(z)的收敛域为 |z|>1,
5.05.0
5.02
)(X
2
2
=
zz
zz
z
X(n)={2,0.5,1.25,¨¨¨ }
48
测试技术与数据处理逆Z变换
2.部分分式法先利用部分分式的方法将 X(z)表示为若干个分式的和，根据Z 变换的线性性质，求出每个部分的逆变换，将其相加，即可得其逆变换。
49
测试技术与数据处理例已知X(z) 的收敛域为 |z|>1,求其逆变换
5.05.0
5.02
)(X
2
2
=
zz
zz
z
X(n)=u(n)+(-0.5)
n
u(n)
50
测试技术与数据处理逆Z变换
3.留数法
∑
∑
∫
=
=
=
=
m
zz
n
n
n
c
m
zzXres
CzzX
dzzzX
j
nx
|])([
])([
)(
2
1
)(
1
1
1
内部极点的留数在路径
π
51
测试技术与数据处理例
? 已知 X(z)的收敛域为 |z|>1,求其逆变换
5.05.0
5.02
)(X
2
2
=
zz
zz
z
X(n)=[1+(-0.5)
n
]u(n)
52
测试技术与数据处理
LSI系统的系统函数
?LSI系统的描述方式
?单位抽样响应的 Z变换,H(z)
?H(z)的表达方式
∑
∑
=
=
+
==
N
k
k
M
r
r
zka
zrb
zX
zY
zH
1
0
)(1
)(
)(
)(
)(
如果式中分母的系数均为零，且 b（ 0）=1
的话,……那么,这个系统为有限冲激响应
（ FIR）系统；
如果式中分母的系数不全为零的话，输入端包含了输出端的反馈,……那么这个系统为无限冲激响应
（IIR ）系统。
53
测试技术与数据处理
LSI系统的描述方式
)(*)()()4(
)()()()()(
)3(
)()()2(
)()()1(
10
0
0
nxnhny
rnxrbknykany
znhzH
enhH
n
k
M
r
n
n
n
jn
=
+=
=
=
∑∑
∑
∑
==
∞
=
∞
=
卷积关系差分方程系统函数频率响应
ω
ω
54
测试技术与数据处理
Z变换求解差分方程
?已知 LSI的输入序列及输出的初始条件，求解输出
y(n)序列的表达式
?输入 x(n)为零的解，此时 y
0i
(n)序列完全由其初始条件引起
?y(n)的初始条件为零，得到零状态解 y
0s
(n)
?系统完整的解为二者之和
)()()(
00
nynyny
si
+=
利用Z 变换把描述离散时间系统的时域差分方程变换成Z 域的代数方程，然后解此代数方程，再经Z 逆变换求得系统响应
55
测试技术与数据处理例
).()(),(),()3()(
,2)2(,1)1(
)(4)2(4)1(4)(
0i0
nynynynunf
yy
nfnynyny
s
n
及试求其响应输入若系统的起始状态的差分方程为设有一个二阶离散系统
=
==?
=?+
0
)3(44.1)2(544.0)2(4.6)()(y)(
)(])3(44.1)2(96.0)2)(1(6.1[)(
0)2)(1(8)(y
00
0
0
≥
+?+?=+=
+++=
≥+?=
n
nnynny
nunny
nnn
nnn
si
nnn
s
n
i
56
测试技术与数据处理例
).()(),(),()(
,1)2(,2)1(
)()1()2()()1(3)2(2
LSI
00
nynynynunf
yy
nfnfnfnynyny
si
及试求其响应输入若系统的起始状态程为二阶离散系统的差分方设有一个
=
=?=?
+++=++++
0
)5.0(
3
4
)1(5.3
6
1
)()(y)(
)(])5.0(
6
5
)1(5.0
6
1
[)(
0,)5.0(5.0)1(3)(y
00
0
0
≥
+=+=
+=
≥?+=
n
nynny
nuny
nn
nn
si
nn
s
nn
i
57
测试技术与数据处理
LSI系统的系统函数
∑
∑
=
=
+
==
N
k
k
M
r
r
zka
zrb
zX
zY
zH
1
0
)(1
)(
)(
)(
)(
零状态响应与激励的Z 变换之比值，也是该系统单位脉冲响应h(n) 的Z 变换。
58
测试技术与数据处理例求其零状态响应若激励为求单位响应求系统函数程如下设有二阶系统的差分方
),(4.0)()3(
)()2(
)()1(
)1(2)()2(16.0)1(6.0)(
:
nunf
nh
zH
nfnfnynyny
n
=
+=+
21
1
16.06.01
21
)(
+
+
=
zz
z
zH
)(])4.0(4)8.0(8.0)2.0(2.2[)( nuny
nnn
+=
59
测试技术与数据处理离散系统的稳定性
?Z变换与 S变换的关系
?S平面与 Z平面的对应关系
?离散系统的稳定性
60
测试技术与数据处理
z变换与S 变换的关系
)(|)( sFzF
sT
ez
=
=
)(|)(
ln
1
zFsF
z
T
s
=
=
61
测试技术与数据处理脉冲响应不变法
∑
∑
=
=
=
=
n
i
Tp
i
n
i
i
i
ze
K
zF
ps
K
sF
i
1
1
1
1
)(
)(
62
测试技术与数据处理
S平面与z 平面的对应关系
?S平面的虚轴对应于Z 平面的单位圆；
?S平面的左半平面对应于Z 平面的单位圆内
（ r<1）；
?S平面的右半平面对应于Z 平面的单位圆外
（ r>1）。
63
测试技术与数据处理
64
测试技术与数据处理
65
测试技术与数据处理离散系统的稳定性
?若 H（z ）的所有极点位于单位圆内，则系统稳定；
?若 H（z ）的一阶极点位于单位圆上（实极点或共轭极点），单位圆外无极点，则系统是临界稳定的；
?若 H（z ）有极点位于单位圆外，或在单位圆上有重极点，则系统是不稳定的。
66
测试技术与数据处理例
)1()()2(02.0)1(1.0)(?+=+ nfnfnynyny
函数及其稳定性求下列差分方程的系统
67
测试技术与数据处理数字滤波
?数字滤波
?离散时间系统的时域分析
?离散时间系统的Z 域分析
?数字滤波器的原理与结构
?数字滤波器的设计方法
68
测试技术与数据处理数字滤波
?模拟信号x(t)通过模拟滤波器（系统传递函数
H(s)），输出模拟信号y(t)
?数字信号x(n) 通过数字滤波器（系统传递函数H(z) ），输出数字信号y(n)
69
测试技术与数据处理
70
测试技术与数据处理数字滤波器与模拟滤波器的分析方法的区别数学模型
数字滤波器：差分方程式
模拟滤波器：微分方程式运算内容
数字滤波器：延时、加法、乘法
模拟滤波器：微（积）分、加法、乘法执行的元器件
数字滤波器：延时器、加法器、乘法器等
模拟滤波器：电容、电阻、运算放大器等
71
测试技术与数据处理系统函数
9模拟滤波器：H(s) 或H( ω)
9数字滤波器：H(z) 或H(e
j ω
)
滤波实现的方式
9模拟滤波器：硬件实现
9数字滤波器：软件或硬件实现系统特性模拟滤波器：时不变、叠加、齐次数字滤波器：非移变、叠加、齐次
72
测试技术与数据处理离散时间系统的时域分析
?输出是输入与系统单位抽样响应的卷积
)(*)()( nhnxny =
∑
∞
∞=
=
k
knhkxny )()()(
73
测试技术与数据处理
Z变换
?Z变换的目的：将离散系统的数学模型－差分方程转换为代数方程。
?Z变换的定义
∑
∞
∞=
==
n
n
znxzXnxZ )()()]([
74
测试技术与数据处理
Z变换
?Z变换与Fourier 变换
?Z变换与离散Fourier 变换
75
测试技术与数据处理离散时间系统的Z域分析
9LSI系统的差分方程
9对上式进行适当变形，并对二边进行 Z变换
∑∑
==
=?
M
r
r
N
k
k
rnxbknya
00
)()(
∏
∏
∑
∑
=
=
=
=
=
+
=
N
k
k
M
k
k
N
k
k
k
M
k
k
k
zd
zc
A
za
zb
zH
1
1
1
1
1
0
)1(
)1(
1
)(
76
测试技术与数据处理离散系统的Z域分析
∏
∏
∏
∏
∏
∏
=
=
=
=
=
=
=
==
=
=
N
k
k
j
M
k
k
j
ez
j
N
k
k
M
k
k
N
k
k
M
k
k
de
ce
AzHeH
dz
cz
A
zd
zc
AzH
j
1
1
1
1
1
1
1
1
)(
)(
)()(
)(
)(
)1(
)1(
)(
ω
ω
ω
ω
零点极点系统的频率响应
77
测试技术与数据处理零极点分布图
O：零点
X：极点
)5.05.0)(5.05.0()1)(5.0(
)1)(1(
)(
2
3
jzjzzz
jzjzz
zH
+++
+
=
78
测试技术与数据处理例一个LSI 系统有一个极点：p=0.5,在原点有一个零点，并
（1 ）写出系统的转移函数 H(Z)，并画出零极点图；
（2 ）若输入信号x(n)= δ(n-k),求系统的零状态响应y
0s
(n)。
1|)(H
0
=
=ω
ωj
e
1|)(
0
=
=ω
ωj
eH
5.0
5.0)(
=
z
z
zH
)(5.0)(
1
0
knuny
kn
s
=
+?
79
测试技术与数据处理数字滤波器的原理与结构数字滤波器的分类
?按信号通过滤波后的频率响应分
?按单位抽样响应的时间特性分
?按可实现滤波的方法分
80
测试技术与数据处理数字滤波器的原理与结构数字滤波过程
81
测试技术与数据处理数字滤波器的原理与结构数字滤波过程的频谱
82
测试技术与数据处理数字滤波器的实现
9硬件实现
9软件实现
83
测试技术与数据处理数字滤波器的实现硬件实现
84
测试技术与数据处理数字滤波器的实现软件实现
85
测试技术与数据处理数字滤波器的运算结构图
9运算结构图表示方法
9方块图
9Truxal信号流图
9IIR滤波器的结构
9FIR滤波器的结构
86
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构直接型（Ⅰ型）
一个N 阶的IIR 滤波器的输入输出关系可以用下式所示的 N
阶的差分方程来描述。
∑∑
==
=
N
i
i
M
r
r
inyarnxbny
10
)()()(
87
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构从这个差分方 程表达式可以看出，系统的输出 y(n)由两部分构成：
第一部分是一个对输入x (n)的 M阶延时链结构，每阶延时抽头后加权相加，构成一个横向结构网络。
第二部分是一个对输出y (n)的 N阶延时链的横向结构网络，
是由输出到输入的反馈网络。 由这两部分相加构成输出。
88
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构直接Ⅰ型结构 M＝N
z
－1
z
－1
z
－1
…
b
N－1
b
N
b
2
b
1
b
0
x(n)
x(n－1)
x(n－2)
x(n－N)
z
－1
z
－1
z
－1
…
a
N－1
a
N
a
2
a
1
y(n)
y(n－1)
y(n－2)
y(n－N)
… … … …
89
测试技术与数据处理
IIR的信号流图与实现
IIR的差分表示
∑∑
==
=?=?+
N
k
M
r
arnxrbknykany
10
1)0(),()()()()(
信号流图
90
测试技术与数据处理
IIR的信号流图与实现
?直接实现
?级联实现
?并联实现
91
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构直接Ⅱ型（ 正准型结构）
直接Ⅰ型结构的系统函数H( z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。输入信号 x(n)先通过系统H
1
(z)，得到中间输出变量
y
1
(n)，然后再把y
1
(n)通过系统H
2
(z)得到输出信号y (n)。即
∑
∑
=
=
+
=
=
N
i
i
i
M
i
i
i
za
zb
zHzHzH
1
0
21
1
)()()(
92
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构式中,
∑
=
=
M
i
i
i
zbzH
0
1
)(
对应的差分方程为:
∑
∑
=
=
+
=
=
N
i
i
i
M
i
i
za
zH
inxbny
1
2
0
1
1
1
)(
)()(
对应的差分方程为
)()()(
1
1
nyinyany
N
i
i
+=
∑
=
93
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构若所讨论的 IIR数字滤波器是线性时不变系统，交换 H
1
(z)和
H
2
(z)的级联次序不会影响系统的传输效果，即
)()()()()(
1221
zHzHzHzHzH ==
输入信号x (n)先经过反馈网络H
2
(z)，得到中间输出变量
)()()(
1
22
nxinyany
N
i
i
+=
∑
=
然后，将y
2
(n)通过系统H
1
(z)，得到系统的输出y (n)
)()(
0
2
inybny
M
i
i
=
∑
=
94
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构直接Ⅰ型的变形结构
x(n) y(n)
z
－1
z
－1
z
－1
…
a
N－1
a
N
a
2
a
1
z
－1
z
－1
z
－1
…
b
N－1
b
N
b
2
b
1
b
0
y
2
(n)
y
2
(n－1)
y
2
(n－2)
y
2
(n－N)
… … … …
若M=N时，其结构如下图所示
95
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构结构图中有两条完全相同的对中间变量 y
2
(n)进行延迟的延时链，我们可以合并这两条延时链，得到直接Ⅱ型结构。
比较可知,直接Ⅱ型比直接Ⅰ型结构延时单元少，用硬件实现可以节省寄存器，比直接Ⅰ型经济；若用软件实现则可节省存储单元。但对于高阶系统直接型结构都存在调整零,极点困难，对系数量化效应敏感度高等缺点。
96
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构直接Ⅱ型结构
x(n) y(n)
z
－1
z
－1
z
－1
…
a
N－1
a
N
a
2
a
1
…
b
N－1
b
N
b
2
b
1
b
0
… … …
97
测试技术与数据处理
FIR滤波器的原理与结构直接型
设FIR 数字滤波器的单位脉冲响应h( n)的长度为N，其传递函数和差分方程分别为,
∑
=
=
1
0
)()(
N
n
n
znhzH
∑
=
=
1
0
)()()(
N
m
mnxmhny
98
测试技术与数据处理
FIR滤波器的原理与结构可直接画出下图所示的 FIR滤波器的直接型结构。由于该结构利用输入信号 x(n)和滤波器单位脉冲响应 h(n)的线性卷积来描述输出信号y( n)，所以
FIR滤波器的直接型结构又称为卷积型结构，有时也称为横截型结构。
FIR的直接型结构
z
－1
x(n)
h(0) h(1)
z
－1
h(2)
…
…
h(N－3)
z
－1
h(N－2)
z
－1
h(N－1)
y(n)
99
测试技术与数据处理数字滤波器的设计
9IIR数字滤波器的设计
9FIR数字滤波器的设计
100
测试技术与数据处理数字滤波器的设计数字滤波器的设计应满足：
?因果条件
h(n)=0 (n<0)
?稳定性条件：
∞<
∑
∞
=0
)(
n
nh
101
测试技术与数据处理
IIR滤波器的设计
?模拟滤波器的设计
?脉冲响应不变法
?双线性变换法
102
测试技术与数据处理
FIR数字滤波器的设计
?FIR滤波器具有线性相位的充分必要条件
?FIR滤波器的幅度响应特性
?FIR滤波器的设计方法
?窗口函数法
?频率采样法
测试技术与数据处理离散系统的分析南京航空航天大学李军
2
测试技术与数据处理离散系统的分析
?离散时间信号
?离散时间系统
?卷积和与相关
?采样信号的傅里叶变换
?采样定理
?离散傅里叶变换
?快速傅里叶变换
3
测试技术与数据处理离散序列的描述离散信号可以从模拟信号中采样得到，样值用 f(n)表示（表示在离散时间点 nT上的样值）。也可以由离散信号或由系统内部产生，在处理过程中只要知道样值的先后顺序即可，所以可以用序列来表示离散的时间信号，它们的一般项为 f(n)。
f={f(n)} -∞<n <∞
={…,f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),…}
为简便起见，常用一般项 f(n)表示序列，称为序列 f(n)。
4
测试技术与数据处理例
0
2
1
8
1
4
1
2
1
1)(
1
≥
=
= nnf
n
L
1
f
1
(n)
0123 n
…
2
1
4
1
8
1
5
测试技术与数据处理典型的离散信号
?单位采样序列
?单位阶跃序列
?单位矩形序列
?斜变序列
?实指数序列
?正弦序列
?复指数序列
6
测试技术与数据处理单位采样序列单位采样序列，用 δ (n)表示，定义为
≠
=
=
00
01
)(
n
n
nδ
δ (n)
012 n－1
7
测试技术与数据处理单位阶跃序列
单位阶跃序列用u( n)表示，定义为
<
≥
=
00
01
)(
n
n
nu
还可用 δ (n)表示u( n),即
L+?+?+=?=
∑
∞
=
)2()1()()()(
0
nnnmnnu
m
δδδδ
亦可用u( n)表示 δ (n)，即
δ (n)=u(n)-u(n-1)
01234
1
…
n
u(n)
8
测试技术与数据处理单位矩形序列
单位矩形序列用 R
N
(n)表示，定义为
≥<
≤≤
=
Nnn
Nn
nR
N
,00
101
)(
亦可用 δ (n)、u( n)表示 R
N
(n)，即
∑
=
==
1
0
)()()()(
N
m
N
mnNnununR δ
01234
1
n
R
4
(n)
9
测试技术与数据处理斜变序列
斜变序列是包络为线性变化的序列，表示式为
)()( nnunx =
024n
x(n)
10
测试技术与数据处理实指数序列 a
n
实指数序列的四种波形
－1012 n
0＜a＜1
n－1 01 2
a＞1
－10
1
2
－1＜a＜0
n n
a＜－1
－1
3
3
3
0
1
2
3
11
测试技术与数据处理正弦型序列
正弦型序列是包络为正、余弦变化的序列。
如sinn θ
0
,cosnθ
0
，若 θ
0
=π/5,,即每 10 点重复一次正、余弦变化。
10
5/
2
==
π
π
N
n024
6810
sinnθ
0
n01
357
cos nθ
0
81012
12
测试技术与数据处理其中,θ
0
=ω
0
T是数字域频率，T 为采样周期。
数字域频率相当于模拟域频率对采样频率取归一化值,即
s
f
T
ω
ωθ ==
x(n)=A cos(nθ
0
+φ
n
)
对模拟正弦型信号采样可以得到正弦型序列。 如
x
a
(t)=sinω
0
t
x(n)=x
a
(nT)=sinnω
0
T=sinnθ
0
正弦型序列一般表示为
13
测试技术与数据处理复指数序列
)(arg|)(|
)sin(cos)(
00
)(
00
nxnx
njneeeenx
nnjnnj
∠=
+===
+
θθ
σθσθσ
其中，| x(n)|=e
σ n
,arg∠x (n)=nθ
0
。
14
测试技术与数据处理任意序列
单位取样脉冲表示为
≠
=
=?
nk
nknx
knnx
0
)(
)()( δ
任意序列可以用单位取样脉冲序列的加权和表示
∑
∞
∞=
=
k
knkxnx )()()( δ
式中,…、x (-1),x(0),x(1)、…为加权系数。
15
测试技术与数据处理序列的能量
∑
∞
∞=
=
n
nxE
2
|)(|
16
测试技术与数据处理序列的运算
?序列的相加
?序列的相乘
?序列的移位
?序列的拆叠
?尺度变换
?序列的差分
17
测试技术与数据处理序列相加
z(n)=x(n)+y(n)
z(n)是两个序列x (n)、y (n)对应项( 相同序号项) 相加形成的序列。
18
测试技术与数据处理序列相乘
z(n)=x(n)·y(n)
z(n)是两个序列x (n)、y (n)对应项 (相同序号项) 相乘形成的序列。
z(n)=ax(n)
则是标量相乘,z (n)是x (n)每项乘以常数a
形成的序列。
19
测试技术与数据处理时移（时延,移位） m>0
{z(n)}={x(n-m)}
z(n)是原序列{x (n)}每项右移m 位形成的序列。
{z(n)}={x(n+m)}
z(n)是原序列{x (n)}每项左移m 位形成的序列。
20
测试技术与数据处理序列 x(n)的时延 x(n-1),x(n+1)
－1
－1
－101 2 01
2
2
3
1
nnn
x(n＋1)x(n－1)x(n)
1
2
3
1023
4
1
2
3
3
21
测试技术与数据处理例 已知 x(n)=［0.5 1.5 1 -0.5 ］,求y (n)=x(n)+2x(n)x(n-2)
解 x(n-2)=［ 0 0 0.5 1.5 1 -0.5］
=?=×?×
==××
=?
35.15.1)5.0(2
215.012
)2()(2
n
n
nxnx
y(n)=x(n)+2x(n)x(n-2)=［ 0.5 1.5 2 -2］
22
测试技术与数据处理折叠及其位移
{y(n)}={x(-n)}
是以纵轴为对称轴翻转180°形成的序列。
折叠位移序列
{z(n)}={x(-n±m)}
z(n)是由 {x(-n)}向左或右移m 位形成的序列。
23
测试技术与数据处理序列的折叠位移( 右移)
24
测试技术与数据处理尺度变换
y(n)=x(mn)，这是 x(n)序列每隔m 点取一点形成的，即时间轴
n压缩了m 倍。例如m=2 时,如图所示序列的压缩
－1
01 2
3
1
2
3
x(n)
n
3
x(2n)
1
0123 n
25
测试技术与数据处理
y(n)=x(n/m)，这是 x(n)序列每一点加m-1 个零值点形成的，
即时间轴n扩展了m 倍。例如m=2 时，如图所示序列的扩展
－1
01 2
3
1
2
3
x(n)
n
3
x(n/2)
1
01 2 3 n
2
－1
45
6
26
测试技术与数据处理序列的差分
)1()()(
)()(
)()1()(
)()(
=?
+=Δ
Δ
nfnfnf
nfnf
nfnfnf
nfnf
可定义为的一阶后向差分序列可定义为的一阶前向差分序列
27
测试技术与数据处理
LTI离散时间系统
LTI离散系统的基 本运算有延时（移序）、乘法、加法，基本运算可以由基本运算单元 实现，由基本运算单元可以构成 LTI
离散系统。
1,LTI离散系统基本运算单元的框图及流图表示
(1) 延时器的框图及流图如图所示
28
测试技术与数据处理
(2) 加法器的框图及流图如图所示
x(n) x(n)＋y(n)
y(n)
x(n) x(n)＋y(n)
y(n)
29
测试技术与数据处理
(3) 乘法器的框图及流图如图所示
x(n) x(n)· y(n)y(n)x(n) x(n)· y(n)
y(n)
x(n) ax(n)ax(n) ax(n)
a
30
测试技术与数据处理
LTI离散系统的差分方程线性时不变连续系统是由常系数微分方程描述的，而线性时不变离散系统是由常系数差分方程描述的。在差分方程中构成方程的各项包含有未知离散变量的y (n)，以及 y(n+1),y(n+2),…,
y(n-1),y(n-2),…。
例 写出其如图所示系统的差分方程。
解
y(n)=ay(n-1)+x(n)
或 y(n)-ay(n-1)=x(n)
31
测试技术与数据处理例 系统方框如图所示,写出其差分方程。
解
)]()1([
1
)(
)()()1(
nxny
a
ny
nxnayny
+=
+=+
或这是一阶前向差分方程，与后向差分方程形式相比较，仅是输出信号的取出不同。前者是 从延时器的输出端取出，后者是从延时器的输入端取出。
32
测试技术与数据处理例 已知 y(n)=ay(n-1)+x(n)，且y (n)=0，n<0,x (n)=δ (n)，
求y (n)即单位抽样响应。
)()(
)2()1()2(
)1()0()1(
1)()0()1()0(
2
nuany
axayy
axayy
nxayy
n
=
=+=
=+=
==+?=
M
δ
33
测试技术与数据处理数学模型的建立及求解方法例 电路如图所示，已知边界条件 v(0)=E,v(N)=0，求第 n个节点电压v (n)的差分方程。
＋
－
E
(0)
R
R
(1)
R
R
(2)
R
R
(3)
R
(N－1)
R
…
…
R R
(N)
解 对任意节点v (n-1) 可写出节点方程为
R
nvnv
R
nv
R
nvnv )()1()1()1()2(
+
=
34
测试技术与数据处理
N阶 LTI离散系统的数学模型是常系数 N阶线性差分方程，它的一般形式是
)()1()(
)()1()(
10
10
Mnxbnxbnxb
Nnyanyanya
m
N
++?+=
++?+
L
L
或
∑∑
==
=?
M
r
r
N
k
k
rnxbknya
00
)()(
35
测试技术与数据处理线性差分方程的求解方法
一般差分方程的求解方法有下列四种：
(1) 递推 (迭代）法 此法直观简便，但往往不易得到一般项的解析式( 闭式或封闭解答),它一般为数值解。
(2) 时域法 与连续系统的时域法相同，分别求解离散系统的零输入响应与零状态响应，完 全响应为二者之和。其中零输入响应是齐次差分方程的解，零状态响应可由卷积的方法求得，这也是本节的重点。
36
测试技术与数据处理
(3) 时域经典法与微分方程求解相同，分别求差分方程的通解 (齐次解 )与特解，二者之和为完全解，再代入边界条件后确定完全解的待定系数。
(4) 变域法与连续系统中用拉氏变换相似，离散系统可利用 Z变换求解响应，优点是可简化求解过程。
37
测试技术与数据处理离散时间系统的零输入响应一阶线性时不变离散系统的零输入响应
一阶线性时不变离散系统的齐次差分方程的一般形式为
=
=
Cy
nayny
)0(
0)1()(
将差分方程改写为
y(n)-ay(n-1)=0
38
测试技术与数据处理用递推( 迭代) 法，y (n)仅与前一时刻y (n-1)有关，以y (0)为起点,
M
)0()2()3(
)0()1()2(
)0()1(
3
2
yaayy
yaayy
ayy
==
==
=
当n≥0时,齐次方程解为
nn
Caayny == )0()(
39
测试技术与数据处理
N阶线性时不变离散系统的零输入响应有了一阶齐次差分方程解的一般方法,将其推广至N阶齐次差分方程,我们有
=++++?+++
)1(,),1(),0(
0)()1()1()(
011
Nyyy
nyanyaNnyaNny
N
L
L
N阶齐次差分方程的特征方程
0
01
1
1
=++++
aaa
N
N
N
λλλ L
40
测试技术与数据处理当特征根均为单根时，特征方程可以分解为
0)())((
21
=
N
αααααα L
利用一阶齐次差分方程解的一般形式,可类推得
n
NNN
n
n
C
C
C
ααα
ααα
ααα
→=?
→=?
→=?
0
0
0
222
111
M
41
测试技术与数据处理
N阶线性齐次差分方程的解是这N个线性无关解的线性组合，即
n
NN
nn
CCCny ααα +++= L
2211
)(
式中，C
1
、C
2
、…、C
n
由y (0)、y (1)、…、y (N-1) N个边界条件确定。
11
22
1
11
2211
21
)1(
)1(
)0(
+++=?
+++=
+++=
N
NN
NN
NN
N
CCCNy
CCCy
CCCy
ααα
ααα
L
M
L
L
42
测试技术与数据处理写为矩阵形式
=
N
N
N
NN
N
C
C
C
Ny
y
y
M
L
M
M
2
1
11
2
1
1
21
111
)1(
)1(
)0(
ααα
ααα
即
]][[][ CVY =
其系数解为
][][][
1
YVC
=
43
测试技术与数据处理卷积和及其应用
已知任意离散信号可表示为,并 且
δ (n)→h( n)，那么与连续时间系统的时域分析法相同，基于离散
LTI系统的线性与时不 变特性，可以用时域方法求解系统的零状态响应。因为
δ (n)→h( n)
由时不变性 δ (n-m)→h( n-m)
由比例性 x(m)δ (n-m)→x (m)h(n-m)
∑
∞
∞=
=
m
mnmxnx )()()( δ
44
测试技术与数据处理
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
=→?=
mm
mnhmxnymnmxnx )()()()()()( δ
最后由叠加性
上式是离散序列卷积公式。因为离散序列卷积是求和运算，
所以又称其为卷积和，也有称其为卷和的。
利用变量代换，卷积的另一种形式为
∑
∞
∞=
=
m
mnxmhny )()()(
离散序列的卷积公式简写为
y
zs
(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)
45
测试技术与数据处理离散序列卷积（和）的一般定义离散序列卷积的一般表达形式为若令f
1
(n)=x(n)，f
2
(n)=h(n)，正是求解零状态响应的式。
∑
∞
∞=
=?
m
mnfmfnfnf )()()()(
2121
离散序列的卷积与连续信号的卷积有平行相似的性质与运算关系。
46
测试技术与数据处理卷积的性质
(1) 当 f
1
(n),f
2
(n),f
3
(n)分别满足可和条件，卷积具有以下代数性质：
交换律
)()()()(
1221
nfnfnfnf?=?
分配律
)]()()()()]()([)(
3121321
nfnfnfnfnfnfnf?+?=+?
47
测试技术与数据处理结合律
)]()([)(
)()]()([
)]()([)()()()(
132
321
321321
nfnfnf
nfnfnf
nfnfnfnfnfnf
=
=
=
(2) 任意序列与 δ (n)卷积
δ (n)*f(n)=f(n)
δ (n-m)*f(n)=f(n-m)
(3) 任意序列与u( n)卷积
∑
=
=?
n
m
mfnfnu
0
)()()(
48
测试技术与数据处理卷积和的运算
离散序列卷积计算的基本方法有图解法，其步骤与连续信号的卷积相似，可以分为：
? 两个序列变量置换
? 任选其中一个序列折叠位移
? 两个序列相乘
? 对相乘后的非零值序列求和例 已知x (n)=R
N
(n),
h(n)=a
n
u(n),求 y
zs
(n),其中,
0<a<1。
)()(
)()()(
mnuamx
nhnxny
m
mn
zs
=
=
∑
∞
∞=
解 让 h(n)折叠位移,则
49
测试技术与数据处理上例求解过程与结果
0
1
R
N
(m)
h(n－m)
N－1 m
0nnN－1 m
0＞n
0≤n＜N－1
m0nnN－1
y(n)
0 N－1 n
n≥ N－1
1
1 1
1
a
aa
N
－
－
－－
－
h(n－m)
50
测试技术与数据处理当n<0 时，
y
zs
(n)=0
当0≤n< N-1时，
1
1
1
)1(
00
11
1
)(
+?
=
=
=
=
==
∑∑
a
aa
a
a
a
aaany
nn
n
n
m
mn
n
m
mn
zs
当n≥N-1时……
≥
<≤
=
1
1
10
1
)(
1
1
1
Nn
a
aa
Nn
a
aa
ny
Nnn
n
zs
51
测试技术与数据处理例 已知x (n)=［ 1 2 3］，h( n)=［ 3 2 1］,求y (n)。
↑↑
解 将两个序列的样值分成两行排列，逐位竖式相乘得到
（三行）：
x(n) 1 2 3
h(n) 3 2 1
1 2 3
2 4 6
3 6 9
y(n) 3 8 14 8 3
52
测试技术与数据处理也可用 MATLAB计算 x(n)与 h(n)的卷积。计算上例卷积的
MATLAB程序与结果为
x= ［1,2,3］;
h=［3,2,1］;
conv(x,h)% 卷积计算
ans =
3 8 14 8 3
53
测试技术与数据处理卷积和
54
测试技术与数据处理离散时间系统的完全响应与系统特性
由前面的分析可知离散时间系统的全响应 y(n)可分为零输入响应与零状态响应，即
)()()( nynyny
zszi
+=
55
测试技术与数据处理相关函数相关函数：当二个信号均为实能量信号时，其 互相关函数 可表示为相关函数与卷积的关系
() ()( )
xy
R xt yt dtτ τ
∞
∞
=?
∫
() () ( )
xy
Rt xt yt=
56
测试技术与数据处理相关定理
[()] ( ); [()] ( )
[()] ()()
xy
Fxt X Fyt Y
FR X Y
ω ω
τωω
==
=?
如果x(t)、y(t)为复信号，
且那么，
57
测试技术与数据处理巴什瓦等式
ωω
π
dXdttx
or
dffXdttx
fX
tx
2
2
2
2
2
2
)(
2
1
)(
)()(
)(
)(
∫∫
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
=
=
所覆盖的面积域内所覆盖的面积等于频时域内曲线
58
测试技术与数据处理模拟信号离散化模/ 数（ A/D）与数 /模（D/A）转换
A/D转换的过程,采样，量化与编码采样：用脉冲序列p(t)与信号相乘量化：将采样后的信号幅值量化，( 可导致量化误差)
编码：将离散幅值量化后变为2 进制
D/A转换：译码，波形复原译码,是将数字信号恢复成有限幅值的过程波形复原
59
测试技术与数据处理模拟信号离散化
)(tf
0
t
)(tP
1
0
t
)(tf
s
相乘
0
t
s
T
时域抽样
)()(
∑
∞
∞=
=
n
sT
nTtt δδ
60
测试技术与数据处理模拟信号离散化 －理想抽样
)(tf
0
t
)(ωF
0
ω
1
)(tP
1
0
t
0
ω
)(tf
s
相乘相卷
s
ω
s
ω
s
ω?
s
ω
s
ω?
0
0
t
s
T
)(ω
s
F
s
T
1
FT
FT
FT
时域抽样频域周期重复
)()(
∑
∞
∞=
=
n
sT
nTtt δδ
∑
∞
∞=
=
n
ss
np )()( ωωδωω
61
测试技术与数据处理模拟信号离散化－ 理想抽样
)(tf
)()(
∑
∞
∞=
=
n
sT
nTtt δδ
)(ωF
∑
∞
∞=
=
n
ss
np )()( ωωδωω
)(
1
)(
s
n
s
s
nF
T
F ωωω?=
∑
∞
∞=
FT
相乘相卷积
FT
FT
π2
1
62
测试技术与数据处理模拟信号离散化 －非理想采样
)(tf
0
)(tP
τ
s
T
63
测试技术与数据处理模拟信号离散化 －非理想抽样
)(2)(
s
n
n
nPp ωωδπω?=
∑
∞
∞=
==
∫
2
sinc)(
1
2
2
τωτ
ω
s
s
T
T
tjn
s
n
n
T
E
dtetp
T
P
s
s
s
)(*)(
2
1
)( ωω
π
ω pFF
s
=
)(
2
sinc)(
s
n
s
s
s
nF
n
T
E
F ωω
τωτ
ω?
=
∑
∞
∞=
64
测试技术与数据处理模拟信号离散化 －非理想抽样
)(tf
0
t
)(tP
0
t
)(tf
s
0
t
)(ωF
0
ω
)(ωP
0
ω
0
ω
τ
s
T
τ
π2
τ
π2
s
ω
s
ω?
s
ω?
s
ω
τ
π2
τ
π2
s
Eτω
s
Eτω
1
FT
FT
FT
乘卷
65
测试技术与数据处理频域采样已知连续频谱函数 X(ω )，对应的时间函数 x(t)，
若X(ω )在频域中被间隔为ω
1
的脉冲序列所采样，
采样后的频谱函数为 X
1
(ω ),其对应的时间函数为
x
1
(t)，
现在探讨 x(t)与 x
1
(t)的关系？
66
测试技术与数据处理频域采样
)(ωF
0 ω
)(ωδ
ω
1
)(
1
ωF
0
ω
相乘
1
ω
1
ω?
1
ω
0
1
ω?
67
测试技术与数据处理
)(ωF
)()(
1∑
∞
∞=
=
n
nωωδωδ
ω
)()()(
1
ωδωω
ω
FF =
)(tf
IFT
)(
1
)(
1
1
∑
∞
∞=
=
n
nTttp δ
ω
IFT
)(
1
*)()(
1
1
ttftf
T
δ
ω
=
∑
∞
∞=
=
n
nTtftf )(
1
)(
1
1
1
ω
IFT
68
测试技术与数据处理模拟信号离散化
)(ωF
0 ω
)(ωδ
ω
1
)(
1
ωF
0
ω
相乘
)(tf
0
t
IFT
IFT 1
)(
ω
δ t
T
1
1
ω
)(tf
0
t
IFT
卷积
1
1
ω
1
1
T
1
T?
0
t
1
ω
1
ω?
1
ω
0
1
ω?
69
测试技术与数据处理采样定理时域抽样定理一个频率有限信号 如果频谱只占据 的范围，则信号可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。
而抽样间隔不大于 （ ）
或者说最低抽样频率为 。
奈奎斯特频率：
)(tf
mm
ωω +→?
)(tf
m
f2
1
mm
fπω 2=
m
f2
ms
ωω 2=
70
测试技术与数据处理采样定理
)(ω
s
F
t
0
)(tf
s
T
0
t
)(tf
s
T
)(
1
ωF
ω
0
s
ω
s
ω?
s
T
1
ω
0
s
T
1
s
ω
s
ω?
m
ω
m
ω?
)(
1
ωF
s
ω?
ms
ωω 2=
ω
0
s
ω
s
T
1
71
测试技术与数据处理采样定理
－由抽样信号恢复原连续信号
)(ωF
取主频带时域卷积定理：
)()()( ωωω HFF
s
=
)]([sinc)(
)(*)()(
scs
n
c
s
nTtnTf
thtftf
=
=
∑
∞
∞=
ω
π
ω
)(sinc)( tth
c
c
ω
π
ω
=
)()()(
∑
∞
∞=
=
n
sss
nTtnTftf δ
72
测试技术与数据处理采样定理
0
t
)(tf
s
)(ω
s
F
m
ωm
ω?
s
ω
s
ω?
)(th
0
t
ω
ω
c
ω
c
ω?
)(ωH
s
T
1
π
ω
c
)(tf
卷积包络
s
Ts
T?
0
m
ω
m
ω?
)(ωF
ω
相乘
0
0
t
73
测试技术与数据处理频域抽样定理若信号 为时限信号，它集中在的时间范围内，若在频域中，
以不大于 的频率间隔对 的频谱进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号。
)(tf
mm
tt →?
m
t2
1
)(tf
)(ωF
)(
1
ωF
74
测试技术与数据处理频域采样定理根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理
=
∑
∞
∞=
)(sinc)(
m
m
n
m
t
n
t
t
n
FF
π
ω
π
ω
)]([sinc)()(
scs
n
c
nTtnTftf?=
∑
∞
∞=
ω
π
ω
偶函数变量置换
75
测试技术与数据处理频域采样定理
)(ωF
0 ω
)(ωδ
ω
1
)(
1
ωF
0
ω
相乘
)(tf
0
t
IFT
IFT 1
)(
ω
δ t
T
1
1
ω
)(tf
0
t
IFT
卷积
1
1
ω
1
1
T
1
T?
0
t
1
ω
1
ω?
1
ω
0
1
ω?
76
测试技术与数据处理栅栏效应频域采样之后，只能获得采样点的频率成份，其余的频率成份被舍去，这好象是透过栅栏看风景，只看到其中一部分，丢失了其它部分信息。
77
测试技术与数据处理对称关系－傅立叶变换的对偶性时域周期性——频域离散性
（时域重复——频域抽样）
时域离散性——频域周期性
（时域抽样——频域重复）
时域非周期——频域连续性时域连续性——频域非周期
78
测试技术与数据处理离散信号的傅立叶变换傅立叶变换要在计算机上得以实现，须满足以下条件：
?把连续信号（包含时域、频域）改造成离散数据；
?计算范围从无穷收缩到一个有限区间；
?实现正、逆傅里叶变换
79
测试技术与数据处理离散傅立叶变换
∑
∞
∞=
=
n
njj
enxeX
ωω
)()(
?从 Z变换的变量置换得到
?从非周期信号的抽样得到
?从离散周期信号取单周期得到
80
测试技术与数据处理从非周期信号抽样得到离散非周期序列时域采样
81
测试技术与数据处理离散傅立叶变换前面为时域采样，接下来，进行时域截断，使其成为只有N 个点的信号，但其频域仍然是连续函数，要实现逆变换，须将其频域改造为有限离散信号。
82
测试技术与数据处理离散傅立叶变换时域截断
83
测试技术与数据处理离散傅立叶变换频域采样
84
测试技术与数据处理离散傅立叶变换离散傅立叶级数的谐波成分只有 N个独立量，和连续傅立叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分），因而对离散傅立叶级数，只能取 k=0 到 N-1的 N个独立谐波分量,因而 可展成如下的离散傅立叶级数，即
)(
~
nx
∑
=
=
1
0
2
)(
~
1
)(
~
N
k
kn
N
j
ekX
N
nx
π
求和号前所乘的系数 1/N是习惯上已经采用的常数,是 k次谐波的系数。
)(
~
kX
85
测试技术与数据处理离散傅立叶变换
∑
=
=
1
0
2
)(
~
)(
~
N
n
kn
N
j
enxkX
π
这就是求 k=0 到N-1的 N个谐波系数 的公式。同时看出也是一个以 N为周期的周期序列，即
)(
~
kX
)(
~
kX
时域周期序列 的离散傅立叶级数 在频域 也是一个周期序列。因而 与 是频域与时域的一个周期序列对，一起看作是一对相互表达周期序列的离散傅立叶级数（ DFS）对。
)(
~
kX
)(
~
nx
)(
~
kX
)(
~
nx
86
测试技术与数据处理离散傅立叶变换
为了表示方便，常常利用复数量W
N
来写这两个式子与。W
N
定义为
)(
~
kX
)(
~
nx
N
j
N
eW
π2
=
nk
N
N
k
nk
N
j
N
k
nk
N
N
n
nk
N
j
N
n
WkX
N
ekX
N
kXIDFSnx
WnxenxnxDFSkX
=
=
=
=
∑∑
∑∑
===
===
)(
~1
)(
~1
)](
~
[)(
~
)(
~
)(
~
)](
~
[)(
~
1
0
2
1
0
1
0
2
1
0
π
π
87
测试技术与数据处理离散傅立叶变换周期序列实际上只有有限个序列值有意义，它和有限长序列有着本质的联系。根据周期序列和有限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅立叶级数表示式推导有限长序列的离散频域表示即离散傅立叶变换（ DFT）。
设 x(n)为有限长序列，长度为 N，即 x(n)只在 n=0到 N-1点上有值，其他 n时,x(n)=0。即
≤≤
=
n
Nnnx
nx
其他0
10)(
)(
88
测试技术与数据处理离散傅立叶变换把它看成周期为 N的周期序列 的一个周期，而把 看成 x(n)的以N为周期的周期延拓,即表示成,
)(
~
nx )(
~
nx
≤≤
=
n
Nnnx
nx
其他0
10)(
~
)(
∑
∞
∞=
+=
r
rNnxnx )()(
~
通常把 的第一个周期 n=0 到n =N-1 定义为“主值区间,。)(
~
nx
89
测试技术与数据处理离散傅立叶变换
0
N－1 n
)(
~
nx
－N 0 N－1 n
主值区间
x(n)
90
测试技术与数据处理有限长序列的离散傅立叶变换离散周期序列的 DFS的求和都只限定在 n=0到 N-1和 k=0 到
N-1 的主值区间进行，它们完全适用于主值序列 x(n)与 X(k)，因而可以得到有限长序列的离散傅立叶变换的定义,
∑
∑
=
=
==
==
1
0
1
0
)(
1
)]([)(
)()]([)(
N
k
nk
N
N
n
nk
N
WkX
N
kXIDFTnx
WnxnxDFTkX
0≤k ≤N-1
0≤n≤N-1
91
测试技术与数据处理有限长序列的离散傅立叶变换
?取N 个采样点的傅立叶变换是其原信号傅立叶变换的近似，原因在于N 点的傅立叶变换需要对信号进行采样与截断。
?近似的程度与被分析的波形相关。
92
测试技术与数据处理离散傅立叶变换泄漏效应当频域有限的周期信号，对时域信号进行截取时，相当于将原信号与一矩形窗函相乘，而在频域上则等于原信号的频谱与窗函数（Sinc) 作卷积，由于Sinc 所固有的主瓣与旁瓣的特点，被截断的信号的频谱在原来 集中脉冲 变成以 原脉冲为中心的一个很宽的频带上,称之为泄漏效应。
93
测试技术与数据处理离散傅立叶变换余弦信号加窗截断造成的泄漏现象
94
测试技术与数据处理离散傅立叶变换以下讨论的序列都是 N点有限长序列，用DFT ［ ］表示N 点
DFT，且设,
DFT［ x
1
(n)］ =X
1
(k)
DFT［ x
2
(n)］ =X
2
(k)
95
测试技术与数据处理
DFT的性质线性
)()()]()([
2121
kbXkaXnbxnaxDFT +=+
式中，a,b为任意常数
96
测试技术与数据处理离散傅立叶变换时域移位
)()]([
)()]([
)(
kXWmnxDFT
kXWmnxDFT
DFT，
mnxN
km
km
=?
=+
满足则其周期个抽样左移或右移点序列将
97
测试技术与数据处理离散傅立叶变换频域移位
)(])([
)()]([
ln
lkXWnxDFT
kXnxDFT
=
=
则若
98
测试技术与数据处理线性卷积
∑
∞
∞=
==
m
mnhmxnhnxny )()()(*)()(
积单位脉冲响应的线性卷
，输出是输入与系统对于一个离散系统而言卷积分为（线性）卷积与循环（圆）卷积步骤。
和四个对称、平移、乘积、取其运算过程也包括镜象
99
测试技术与数据处理线性卷积
100
测试技术与数据处理循环卷积
)()()( nhnxny?=
它是针对N点序列的二个信号而言的，
将其变成二个以 N为周期的延拓信号，
然后将其整个信号序列进行翻转，来计算其在一个周期内的卷积。
101
测试技术与数据处理离散傅立叶变换如何使圆卷积运算得到与卷积运算相同的结果呢？
将二个信号序列作适当地补零，扩展其长度，这样，序列移位时，右边移去的零值，在序列左边空白处出现，就会得到与线性卷积运算相同的结果，
补零后，序列的长度为 L，L 大于等于 N
1
＋N
2
－1
102
测试技术与数据处理离散傅立叶变换
103
测试技术与数据处理离散傅立叶变换离散时域的卷积定理：时域卷积对应于频域的乘积。
)()()(*)( kHkXnhnx?
∑
=
=?
1
0
)()(
N
1
)(*)()()(
N
m
mkHmXkHkXnhnx
离散频域的卷积定理：二个周期为N的时域信号的乘积，对应于其在频域中信号的卷积。
104
测试技术与数据处理离散傅立叶变换离散相关定理：二个周期为 N的时域周期信号序列，它们的时域离散相关的傅立叶变换等于它们傅立叶变换的乘积。
)()()]([ kHkXnRDFT
xh
=
105
测试技术与数据处理巴什瓦定理对于离散信号，描述时域与频域的功率关系
2
1
0
2
1
0
)(X
1
)(
∑∑
=
=
=
N
k
N
n
k
N
nx
2
1
0
1
0
2
)(
1
)(
∑∑
=
=
=
N
k
N
n
kX
N
nx
如果x(n) 为实序列，则
106
测试技术与数据处理快速傅里叶变换（FFT）
?FFT出现的背景
?时间抽取（ DIT）基 2FFT算法
?频率抽取（ DIF）基 2FFT算法
?分裂基算法
107
测试技术与数据处理
FFT出现的背景直接计算DFT 的运算量问题
设x (n)为N点有限长序列，其DFT 为
∑
=
=
1
0
)()(
N
n
nk
N
WnxkX
k=0,1,…,N-1
反变换（IDFT）为
∑
=
=
1
0
)(
1
)(
N
k
nk
N
WkX
N
nx
n=0,1,…,N-1
108
测试技术与数据处理
FFT出现的背景一般来说,x(n)和 W
N
nk
都是复数，X( k)也是复数，因此每计算一个 X(k)值，需要 N次复数乘法和 N-1次复数加法。而 X(k)一共有 N个点
（ k从 0取到N -1），所以完成整个DFT 运算总共需要N
2
次复数乘法及
N(N-1)次复数加法。复数运算实际上是由实 数运算来完成的，这时
DFT运算式可写成
])}Re[)](Im[]Im[)]((Re[
][Im)](Im[]Re[)]({Re[
]}Im[])]}{Re[(Im[)]({Re[)()(
1
0
1
0
1
0
nk
N
nk
N
nk
N
N
n
nk
N
N
n
nk
N
nk
N
N
n
nk
N
WnxWnxj
WnxWnx
WjWnxjnxWnxkX
++
=
++==
∑
∑∑
=
=
=
109
测试技术与数据处理
FFT出现的背景一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法；一次复数加法需二次实数加法。因而每运算一个X(k) 需 4N次实数乘法和 2N+2(N-
1)=2(2N-1)次实数加法。所以，整个 DFT运算总共需要 4N
2
次实数乘法和
2N(2N-1)次实数加法。直接计算 DFT，乘法次数和加法次数都是和 N
2
成正比的，当 N很大时，运算量是很可观的，有时是无法忍受的。
110
测试技术与数据处理
FFT出现的背景例 若需对一幅 N×N点的二维图像进行 DFT变换，如用每秒可做 10万次复数乘法的计算机，当 N=1024
时，问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？
解 直接计算 DFT所需复乘次数为（ N
2
)
2
≈10
12
次，
因此用每秒可做 10万次复数乘法的计算机，则需要近 3000小时。
结论,这对实时性很强的信号处理来说，需要提高计算速度，而这样，对计算速度的要求太高了。
另外，只能通过改进对 DFT的计算方法，以大大减少运算次数。
111
测试技术与数据处理进行 FFT运算的基础：是其系数具有以下特性：
（1 ） W
N
nk
性质
（2 ） W
N
nk
的周期性
)()( Nkn
N
kNn
N
nk
N
WWW
++
==
k
N
Nk
N
N
N
WWW?=?=
+ )2/(2/
,1
112
测试技术与数据处理
（3） W
N
nk
的可约性
mnk
mN
nk
N
nmk
mN
nk
N
WWWW
/
/
,==
另外
,
)()( nk
N
knN
N
kNn
N
WWW
==
这样，利用这些特性，使 DFT运算中有些项可以合并，并能使 DFT分解为更少点数的 DFT运算。 DFT的运算量是与N
2
成正比的，所以 N越小越有利，小点数序列的 DFT比大点数序列的 DFT
的运算量要小。
快速傅里叶变换算法正是基于这样的基本思想而发展起来的。
它的算法形式有很多种，但基本上可以分成两大类，即按时间抽取 (DIT）法和按频率抽取（ DIF）法。
113
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法算法原理设序列x (n)长度为N，且满足N=2
M
，M 为正整数。按n的奇偶把x (n)分解为两个N/2 点的子序列：
1
2
,,1,0
)()12(
)()2(
2
1
=
=+
=
N
r
rxrx
rxrx
L
114
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
rk
N
N
r
k
N
rk
N
N
r
kr
N
N
r
rk
N
N
r
N
n
n
nk
N
N
n
N
n
n
nk
N
nk
N
WrxWWrx
WrxWrx
WnxWnxWnxnxDFTkX
))(()()(
)12()2(
)()()()]([)(
2
1
2
0
2
2
1
2
0
1
)12(
1
2
0
2
1
2
0
1
0
1
0
1
0
∑∑
∑∑
∑∑∑
=
=
+
=
=
=
=
=
+=
++=
+===
为奇数为偶数由于,故上式可表示成
2/
)
2
/(22
2
2
N
N
j
N
j
N
WeeW ===
π
π
)()()()()(
212/2
1
2
0
2/1
1
2
0
kXWkXWrxWWrxkX
k
N
rk
N
N
r
k
N
rk
N
N
r
+=+=
∑∑
=
=
115
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
X
1
(k)与X
2
(k)分别是 x
1
(r)及x
2
(r)的N/2 点DFT,
rk
N
N
r
rk
N
N
r
rk
N
N
r
rk
N
N
r
WrxWrxkX
WrxWrxkX
2/
1
2
0
2/2
1
2
0
2
2/
1
2
0
2/1
1
2
0
1
)12()()(
)2()()(
+==
==
∑∑
∑∑
=
=
=
=
由此，一个 N点 DFT已分解成两个 N/2点的 DFT。这两个 N/2
点的 DFT组合成一个 N点 DFT。这里 X
1
(k),X
2
(k)只有N/2 个点，
即 k=0,1,…,N/2-1。而 X(k)却有N个点，即 k=0,1,…,N-1，计算得到的只是X( k)的前一半的结果。
怎么办？
116
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
rk
N
N
kr
N
WW
2/
2
2/
=
+
得到
)()()(
2
12/
1
2
0
1
2
2/
1
2
0
11
kXWrxWrxk
N
X
rk
N
N
r
k
N
r
N
N
r
===
+
∑∑
=
+
=
同理可得
)(
2
22
kXk
N
X =
+
说明了后半部分 k值（ N/2≤ k≤N-1 ）所对应的 X
1
(k),Ｘ
2
(k)
分别等于前半部分k 值（0≤k ≤ N/2-1）所对应的X
1
(k)，X
2
(k)。
应用系数的周期性,即
117
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法考虑到W
k
N
的以下性质,
k
N
k
N
N
N
k
N
N
WWWW?==
+
2/
2
这样，
1
2
,,1,0)()()(
21
=+=
N
kkXWkXkX
k
N
L
)()(
222
21
2
2
1
kXWkX
N
kXW
N
kX
N
kX
k
N
N
k
N
=
++
+=
+
+
1
2
,,1,0?=
N
k L
118
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法按时间抽取将一个 N点 DFT分解为两个 N/2点 DFT（ N=8）
X
1
(0)
X
1
(1)
x
1
(0)＝x(0) X(0)
X(1)
X
1
(2)
X
1
(3)
－1
－1
0
N
W
DFT
2
点
N
x
1
(1)＝x(2)
x
1
(2)＝x(4)
x
1
(3)＝x(6)
X(2)
X(3)
X
2
(0)
X
2
(1)
x
2
(0)＝x(1) X(4)
X(5)
X
2
(2)
X
2
(3)
DFT
2
点
N
x
2
(1)＝x(3)
x
2
(2)＝x(5)
x
2
(3)＝x(7)
X(6)
X(7)
1
N
W
2
N
W
3
N
W
－1
－1
119
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法时间抽取法蝶形运算流图符号
X
2
(k)
X
1
(k)
k
N
W
－1
X
1
(k)＋
k
N
W
X
2
(k)
X
1
(k)－
k
N
W
X
2
(k)
120
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法既然这样分解是有效的，由于N =2
M
，因而N/2 仍是偶数，可以进一步把每个
N/2点子序列再按其奇偶部分分解为两个N /4点的子序列。
1
4
,,1,0
)()12(
)()2(
41
31
=
=+
=
N
l
lxlx
lxlx
L
1
4
,,1,0)()(
)()(
)12()2()(
42/3
1
4
0
4/42/
1
4
0
4/3
1
4
0
)12(
2/1
1
4
0
2
2/11
=+=
+=
++=
∑∑
∑∑
=
=
=
+
=
N
kkXWkX
WlxWWlx
WlxWlxkX
k
N
N
l
lk
N
k
N
N
l
lk
N
N
l
kl
N
N
l
lk
N
L
121
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法且
)()(
4
42/31
kXWkXk
N
X
k
N
=
+ 1
4
,,1,0?=
N
k L
式中：
∑∑
∑∑
=
=
=
=
+==
==
1
4
0
4/
1
4
0
4/44
1
4
0
4/
1
4
0
4/33
)24()()(
)4()()(
N
l
lk
N
N
l
lk
N
N
l
lk
N
N
l
lk
N
WlxWlxkX
WlxWlxkX
122
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
N/2点DFT 分解为两个 N/4点 DFT
DFT
4
点
N
X
3
(0)
X
3
(1)
x
3
(0)＝x
1
(0)＝x(0)
x
3
(1)＝x
1
(2)＝x(4)
X
1
(0)
X
1
(1)
DFT
4
点
N
X
4
(0)
X
4
(1)
x
4
(0)＝x
1
(1)＝x(2)
x
4
(1)＝x
1
(3)＝x(6)
X
1
(2)
X
1
(3)
－1
－1
0
2/N
W
1
2/N
W
123
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
X
2
(k)也可进行同样的分解：
=
+
+=
)()(
4
)()()(
62/52
62/52
kXWkXk
N
X
kXWkXkX
k
N
k
N
1
4
,,1,0?=
N
k L
式中：
∑∑∑
∑∑∑
=
=
=
=
=
=
+=+==
+===
1
4
0
4/
1
4
0
4/2
1
4
0
4/66
1
4
0
4/
1
4
0
4/2
1
4
0
4/55
)34()12()()(
)14()2()()(
N
l
lk
N
N
l
lk
N
N
l
lk
N
N
l
lk
N
N
l
lk
N
N
l
lk
N
WlxWlxWlxkX
WlxWlxWlxkX
124
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
N=8点 DFT分解为四个 N/4点 DFT
DFT
4
点
N
X
3
(0)
X
3
(1)
x
3
(0)＝x
1
(0)＝x(0)
x
3
(1)＝x
1
(2)＝x(4)
X
1
(0)
X
1
(1)
DFT
4
点
N
X
4
(0)
X
4
(1)
x
4
(0)＝x
1
(1)＝x(2)
x
4
(1)＝x
1
(3)＝x(6)
X
1
(2)
X
1
(3)
－1
－1
0
N
W
2
N
W
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
DFT
4
点
N
X
5
(0)
X
5
(1)
x
5
(0)＝x
2
(0)＝x(1)
x
5
(1)＝x
2
(2)＝x(5)
X
2
(0)
X
2
(1)
DFT
4
点
N
X
6
(0)
X
6
(1)
x
6
(0)＝x
2
(1)＝x(3)
x
6
(1)＝x
2
(3)＝x(7)
X
2
(2)
X
2
(3)
－1
－1
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
0
N
W
1
N
W
2
N
W
3
N
W
－1
－1
－1
－1
0
N
W
2
N
W
125
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法这种方法的每一步分解，都是按输入序列在时间上的次序是属于偶数还是属于奇数来分解为两个更短的子序列，所以称为,按时间抽取法,。
N=8 按时间抽取的FFT 运算流图
x(0) X(0)
x(4) X(1)
－1
0
N
W
x(2) X(2)
x(6) X(3)
－1
0
N
W
0
N
W
2
N
W
－1
－1
x(1) X(4)
x(5) X(5)
－1
0
N
W
x(3) X(6)
x(7) X(7)
－1
0
N
W
0
N
W
2
N
W
－1
－1
0
N
W
1
N
W
2
N
W
3
N
W
－1
－1
－1
－1
126
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法例 用FFT 算法处理一幅 N× N点的二维图像，如用每秒可做
10万次复数乘法的计算机，当 N=1024时，问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？
解 当 N=1024点时,FFT算法处理一幅二维图像所需复数乘法约为 次，仅为直接计算DFT 所需时间的10 万分之一。 即原需要3000小时，现在只需要2 分钟。
72
2
2
10)og1(
4
≈N
N
127
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法算法讨论
?级的概念
?蝶形单元
?组的概念
?W
r
因子的分布
?码位倒置
128
测试技术与数据处理蝶形运算
r
Nmmm
r
Nmmm
WjXkXjX
WjXkXkX
)()()(
)()()(
11
11
=
+=
－1
r
N
W
X
m－1
(k)
X
m－1
( j)
X
m
(k)＝X
m－1
(k)＋X
m－1
( j)
X
m
( j)＝X
m－1
(k)－X
m－1
( j)
r
N
W
r
N
W
129
测试技术与数据处理码位倒置（以N＝8 为例）
1）先将 x(n)的序数写成 2进制，那么 x(0),x(1)…… x
（7 ）分别为
x(000),x(001),x(010),x(011),x(100),
x(101)、x （110 ）及 x（111 ）
2）将二进制码翻转
x(000),x(100),x(010),x(110),x(001),
x(101)、x （011 ）及 x（111 ）
3）再写成十进制，即为按奇偶抽取的顺序
x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x （3 ）
及 x（7 ）
130
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
N=8 倒位序的变址处理存储单元自然顺序输入变址倒位序
A(1) A(2) A(3) A(4) A(5) A(6) A(7) A(8)
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)
x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7)
131
测试技术与数据处理频率抽取（DIF ）基2FFT 算法算法原理
仍设序列点数为N=2
M
,M为正整数。在把输出X (k)按 k的奇偶分组之前，先把输入序列按前一半、后一半分开（不是按偶数,奇数分开），把 N
点 DFT写成两部分。
nk
N
N
n
Nk
N
k
N
n
N
N
n
nk
N
N
n
N
N
n
nk
N
N
n
nk
N
N
n
nk
N
WW
N
nxnx
W
N
nxWnx
WnxWnxWnxkX
∑
∑∑
∑∑∑
=
+
=
=
=
=
=
++=
++=
+==
1
2
0
2/
2
1
2
0
1
2
0
1
2
1
0
1
2
0
2
)(
2
)(
)()()()(
k=0,1,…,N-1
132
测试技术与数据处理频率抽取（DIF ）基2FFT 算法由于
1
2/
=
N
N
W
kNk
N
W )1(
2/
=
nk
N
N
n
k
W
N
nxnxkX
∑
=
+?+=
1
2
0
2
)1()()(
k=0,1,…,N-1
当 k为偶数时，(-1)
k
=1； k为奇数时，(-1)
k
=-1。
nr
N
N
n
nk
N
N
n
W
N
nxnx
W
N
nxnxrX
2/
1
2
0
2
1
2
0
2
)(
2
)()2(
∑
∑
=
=
++=
++=
1
2
,,1,0?=
N
r L
因此，按k的奇偶可将X( k)分为两部分:
133
测试技术与数据处理频率抽取（DIF ）基2FFT 算法
nr
N
N
n
n
N
rn
N
N
n
WW
N
nxnx
W
N
nxnxrX
2/
1
2
0
)12(
1
2
0
2
)(
2
)()12(
∑
∑
=
+
=
+?=
+?=+
1
2
,,1,0?=
N
r L
前式为前一半输入与后一半输入之和的 N/2点 DFT，后式为前一半输入与后一半输入之差再与 W
N
n
之积的 N/2点DFT 。
134
测试技术与数据处理频率抽取（DIF ）基2FFT 算法
+?=
++=
n
N
W
N
nxnxnx
N
nxnxnx
2
)()(
2
)()(
2
1
1
2
,,1,0?=
N
r L
频率抽取法蝶形运算单元
－1
x(n)
x(n＋N / 2)
n
N
W
x(n)＋x(n＋N / 2)
[x(n)－x(n＋N / 2)]
n
N
W
令
135
测试技术与数据处理频率抽取（DI F）基2FFT 算法按频率抽取的第一次分解
X(0)
X(2)
－1
－1
0
N
W
DFT
2
点
N
X(4)
X(6)
X(1)
X(3)
DFT
2
点
N
X(5)
X(7)
1
N
W
2
N
W
3
N
W
－1
－1
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
x(4)
x(5)
x(6)
x(7)
136
测试技术与数据处理频率抽取（DIF ）基2FFT 算法与时间抽取法的推导过程一样，由于 N=2
M
,N/2仍是一个偶数，因而可以将每个 N/2点 DFT的输出再分解为偶数组与奇数组，这就将 N/2点 DFT进一步分解为两个 N/4 点 DFT。这两个 N/4点 DFT的输入也是先将 N/2点 DFT的输入上下对半分开后通过蝶形运算而形成的。
－1
r
N
W
X
m－1
(k)
X
m－1
( j)
X
m
(k)＝X
m－1
(k)＋X
m－1
( j)
X
m
( j)＝[X
m－1
(k)－X
m－1
( j)]
r
N
W
频率抽取法蝶形运算单元
137
测试技术与数据处理
DIF与DIT 算法的区别
z DIF的基本蝶形与DIT 的基本蝶形有所不同，这才是实质的不同，DIF 的复数乘法只出现在减法之后，DIT 则是先作复乘后再作加减法。
z 频率抽取 FFT算法的输入是自然顺序，输出是倒位序的。
因此运算完毕后，要通过变址计算将倒位序转换成自然位序，然后再输出。转换方法与时间抽取法相同。
138
测试技术与数据处理频率抽取（DIF）基2FFT算法按频率抽取的FFT （ N=8）信号流图
－1
－1
0
N
W
2
N
W
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
－1
－1
x(4)
x(5)
x(6)
x(7)
0
N
W
1
N
W
2
N
W
3
N
W
X(0)
X(4)
X(2)
X(6)
X(1)
X(5)
X(3)
X(7)
0
N
W
2
N
W
－1
－1
－1
－1
－1
－1
－1
－1
0
N
W
0
N
W
0
N
W
0
N
W
139
测试技术与数据处理时间抽取（DIT ）基2FFT 算法
N=8 按时间抽取的FFT 运算流图
x(0) X(0)
x(4) X(1)
－1
0
N
W
x(2) X(2)
x(6) X(3)
－1
0
N
W
0
N
W
2
N
W
－1
－1
x(1) X(4)
x(5) X(5)
－1
0
N
W
x(3) X(6)
x(7) X(7)
－1
0
N
W
0
N
W
2
N
W
－1
－1
0
N
W
1
N
W
2
N
W
3
N
W
－1
－1
－1
－1
140
测试技术与数据处理分裂基算法频率抽取基 4FFT算法令 N＝4
M
，对 N点DFT 作如下频率抽取
∑∑∑∑
=
=
=
=
+++=
1
4/3
14/3
2/
12/
4/
14/
0
)()()()()(
N
Nn
nk
N
N
Nn
nk
N
N
Nn
nk
N
N
n
nk
N
WnxWnxWnxWnxkX
分别令k=4r,k=4r+2 及k=4r+1,k=4r+3，而 r＝0,1,2……N/4-1
141
测试技术与数据处理分裂基算法
nr
N
n
N
N
n
nr
N
n
N
N
n
nr
N
n
N
N
n
nr
N
N
n
WW
N
nx
N
nxj
N
nxnxrX
WW
N
nx
N
nxj
N
nxnxrX
WW
N
nx
N
nx
N
nxnxrX
W
N
nx
N
nx
N
nxnxrX
4/
3
1
4
0
4/
1
4
0
4/
2
1
4
0
4/
1
4
0
))]
4
3()
4
(())
2
()([()34(
))]
4
3()
4
(())
2
()([()14(
))]
4
3()
4
(())
2
()([()24(
))]
4
3()
4
(())
2
()([()4(
+?+++?=+
+?+?+?=+
+++?++=+
++++++=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
142
测试技术与数据处理分裂基算法分裂基算法的基本准则：对偶序号输出采用基 2算法，对奇序号输出采用基 4算法，该算法最接近理论上所需的乘法次数的最小值。
143
测试技术与数据处理分裂基算法
nr
N
n
N
N
n
nr
N
n
N
N
n
WW
N
nx
N
nxj
N
nxnxrX
WW
N
nx
N
nxj
N
nxnxrX
4/
3
1
4
0
4/
1
4
0
))]
4
3()
4
(())
2
()([()34(
))]
4
3()
4
(())
2
()([()14(
+?+++?=+
+?+?+?=+
∑
∑
=
=
nr
N
N
n
nk
N
N
n
W
N
nxnx
W
N
nxnxrX
2/
1
2
0
2
1
2
0
2
)(
2
)()2(
∑
∑
=
=
++=
++=
对 N＝2
M
点DFT,频率抽取DIF 的偶，可写为对于奇序号输出项，可写为
144
测试技术与数据处理分裂基算法分裂基算法示意图
145
测试技术与数据处理分裂基算法
16点分裂基算法信号流图
146
测试技术与数据处理
FFT的应用对连续时间变换的逼近
147
测试技术与数据处理
FFT的应用卷积运算
∑
∞
∞=
=
=
m
mnhmx
nhnxny
)()(
)(*)()(
148
测试技术与数据处理
FFT的应用循环卷积的环绕误差：当采用离散傅里叶变换时，信号均先被改造成时域与频域都对应的周期离散信号，此时进行的卷积过程实际上为循环卷积运算。此时，所得的结果与通常所讲的卷积完全不同。
149
测试技术与数据处理
FFT的应用
150
测试技术与数据处理
FFT的应用
?循环卷积的环绕误差：循环卷积与通常所称的卷积的差别在于，前者镜象对称操作后，
在右移的过程中，另一周期的信号进入到求和区间，导致计算的错误，称之为,环绕误差”
或,叠带效应” 。
?解决方案：将信号x(n)与h(n)在尾部补与原信号周期数相同的零。
151
测试技术与数据处理
FFT的应用
152
测试技术与数据处理
FFT的应用信号 x(n)与 h(n)快速卷积的求解过程？
153
测试技术与数据处理
FFT的应用相关运算如何实现？
1
测试技术与数据处理谱分析与谱估计功率谱估计现代谱分析方法传统谱分析方法相关函数法,BT法周期图法最大熵谱分析方法
2
测试技术与数据处理周期图法
2
)(
1
)(
lim
kX
N
kS
N
x
∞→
=
1,,1,0,)()(
)(
1
)(
1
0
/2
2
==
=
∑
=
NkenxkX
kX
N
kS
N
n
Nnkj
x
L
π
随机信号序列x(n) 的功率谱密度其估计值
3
测试技术与数据处理谱分析与谱估计
FFT
平方加法周期图法计算功率谱密度流程
)(nx
平方除法
)(
2
kX
R
)(kX
R
)(kX
I
)(
2
kX
I
2
)(
1
kX
N
2
)(kX
)(kS
x
4
测试技术与数据处理谱分析与谱估计周期图法存在的问题能量泄露：系统误差（偏度误差）
统计变异性 平均化处理采用窗处理
5
测试技术与数据处理谱分析与谱估计统计变异性变异系数
[()]
[()]
x
r
x
Sk
Sk
σ
ε
μ
=
6
测试技术与数据处理
22
2
2
1
2
n
zzz +++= Lχ
nn
n
nE
nE
n
22
2][
][
2
2
2
2
2
22
2
==
==?
==
χ
χ
χ
χ
χ
μ
σ
σμχ
μχ
)()()(
22
2
kXkXkX
IR
+=
[()] 2
[()]
x
r
x
Sk
n
Sk
σ
ε
μ
==
2
1
rn
ε
=
=
卡埃平方分布
7
测试技术与数据处理平均化处理方法
8
测试技术与数据处理
12
1
() () () ()
xq
Sk Sk Sk Sk
q
=+++
L
2
22
11
() () ()
Rj Ij j
jj
Xk Xk Xk
==
+=
∑∑
2nq=
2
[()] 21
[()]
x
rnq
x
Sk
nq
Sk
σ
ε
μ
=
==
9
测试技术与数据处理窗口函数
() ()
j
xx
SRed
ωτ
ω ττ
∞
∞
=
∫
() ()
T
j
xx
T
SRed
ωτ
ω ττ
=
∫
理论谱密度近似谱
10
测试技术与数据处理
() ()* ()
xx
SSWω ωω=
11
测试技术与数据处理对于窗函数的基本要求：
? 主瓣要窄且高，以提高分辨率
? 旁瓣要小，正负交替接近相等，以减少泄露或负谱现象
12
测试技术与数据处理窗函数类型
?幂窗 矩形、三角形、梯形等
?三角函数窗 汉宁窗、海明窗等
?指数窗 高斯窗等
13
测试技术与数据处理矩形窗
1
,0
()
0,
tT
t
T
tT
ω
≤ ≤
=
f
2sin
()
T
W
T
ω
ω
ω
=
谱窗
14
测试技术与数据处理矩形窗
15
测试技术与数据处理三角窗
1
(1 ),0
()
0,
t
tT
t
TT
tT
ω
≤≤
=
f
2
sin / 2
() ( )
/2
T
W
T
ω
ω
ω
=
谱窗
16
测试技术与数据处理三角窗
17
测试技术与数据处理汉宁窗
11 1
cos,0
22()
0,
t
tT
TTt
tT
π
ω
+ ≤≤
=
f
sin 1 sin( ) sin( )
()
2
TT T
W
ω ωπ ωπ
ω
ωωπ
+?
=+ +
谱窗
18
测试技术与数据处理汉宁窗
19
测试技术与数据处理第六章 谱分析与谱估计汉宁窗与矩形窗谱图对比
20
测试技术与数据处理海明窗
1
0.54 0.46cos,0
()
0,
t
tT
TTt
tT
π
ω
+ ≤≤
=
f
sin( ) sin( )
( ) 1.08 0.46
TT
W
ω πωπ
ω
ωπ ωπ
+?
=+ +
谱窗
21
测试技术与数据处理高斯窗
2
1
,0
()
0,
at
etT
t
T
tT
ω
≤≤
=
f
22
测试技术与数据处理汉宁窗被分析信号真谱
T/2宽矩形窗
T宽矩形窗三角窗
23
测试技术与数据处理窗函数的选择
? 精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度 矩形窗
? 分析窄带信号，且有较强的干扰噪声 汉宁窗、三角窗
? 随时间按指数衰减函数 指数窗
24
测试技术与数据处理现代谱分析方法— 最大熵谱估计
? 最大熵谱分析法没有固定的窗口函数
? 采用谱熵为最大的准则来估计功率谱
? 适用于短数据样本、缓慢变化过程的谱估计
25
测试技术与数据处理
MEM
分析的中心内容最大熵谱分析法（ Maximum Entropy Method,MEM）
其中：,采样间隔
：预测误差的方差（或白噪声序列方差）
：预测滤波器的系数
2
1
2
1
)(
∑
=
Δ
+
Δ
=
m
k
tfkj
k
m
ea
tP
fS
π
tΔ
m
P
k
a
26
测试技术与数据处理短数据的MEM谱与FFT 谱比较
27
测试技术与数据处理缓变数据的MEM谱与FFT 谱比较
28
测试技术与数据处理
MEM谱与FFT 谱分辨力比较
29
测试技术与数据处理
Z变换与离散时间系统分析
?Z变换的定义
?Z变换的收敛域
?Z变换的性质
?典型序列的 Z变换
?逆 Z变换
?LSI的转移函数
?IIR系统的信号流图
?用 Z变换求解差分方程
?离散系统的稳定性
30
测试技术与数据处理
Z变换的定义
Z变换可定义为
∑
∞
∞=
==
n
n
znxzXnxZ )()()]([
31
测试技术与数据处理
Z变换的定义如果z用极坐标表示，即z=re
jω
，则有
nj
n
n
ernxzX
ω?
∞
∞=
∑
= ])([)(
32
测试技术与数据处理
Z变换的定义
?拉普拉斯复变量
Ω+= js σ
?Z变换的复变量
ωjsT
reez
s
==
?s与 z 之间的关系
s
T
T
er
s
Ω=
=
ω
σ
33
测试技术与数据处理
Z变换的收敛域
Z变换 X(z)收敛的条件
X(z)的收敛域（ROC ）：使Z 变换收敛的z 取值的集合
X(z)的收敛域:R
-
<|Z|<R
+，
R
-
为其内半径,R
+
为其外半径。
34
测试技术与数据处理例 1:求下列函数的 Z变换并求其收敛域，其中 a为常数,u(n)为单位阶跃函数。
)()( nuanx
n
=
35
测试技术与数据处理
Z变换的性质线性的共同部分与其收敛域为那么其其如果有
21
2121
222
111
)()()]()([
:)()]([
:)()]([
RR
zbXzaXnbxnaxZ
RROCzXnxZ
RROCzXnxZ
+=+
=
=
36
测试技术与数据处理
Z变换的性质时移特性
)()]([
)]([
)(),()(
zXzknxZ
knxZZ，k
nxzXZnx
k?
=?
下特性有如变换得到的个抽样点后右移则将变换为的双边若
37
测试技术与数据处理
Z变换的性质指数加权性质
),(
),/()]([
)(
),,(),()]([
21
21
RaRa
azXnxaZ
：Znxa
RRzXnxZ
n
n
其收敛域为变换则有序列的其收敛域为若
=
=
38
测试技术与数据处理
Z变换的性质序列的线性加权
),(
)()]([
21
RR
zX
dz
d
znnxZ
其收敛域为
=
39
测试技术与数据处理
Z变换的性质时域卷积的Z 变换为其各自相应的变换在Z 域相积
)()()]()([ zYzXnynxZ?=?
其收敛域是原两个时域序列各自Z 变换的交集
40
测试技术与数据处理典型序列的Z变换
?单位冲激序列
?阶跃序列
?指数序列
?其它
41
测试技术与数据处理单位冲激序列
{
∑
∞
=
=
≠
=
=
0
)()]([
)0(0
)0(1
)(
n
n
znnZ
n
n
n
δδ
δ
=1
42
测试技术与数据处理阶跃序列
∑∑
∞
=
∞
∞=
==
<
≥
=
0
)()]([
)0(
)0(
0
1
)(
n
n
n
n
zznunuZ
n
n
nu
1?z
z
=
43
测试技术与数据处理指数序列
az
z
zaznuanuaZ
Z
nua
n
nn
n
nnn
n
=
==
∑∑
∞
=
∞
=
00
)()]([
)(
变换其
44
测试技术与数据处理
45
测试技术与数据处理逆Z变换
]逆Z 变换的定义,已知象函数 X（z ）及所给的
ROC，反求序列 x（ n）的过程。
]逆Z 变换的方法
]幂级数法
]部分分式法
]留数法
46
测试技术与数据处理逆Z变换
1.幂级数法又称长除法,其原理是：如将 X(z)表示为下面类型的幂级数，与Z 变换的定义相比较，显然其系数即为序列 x(n)。
...)(
2
2
1
10
+++=
zazaazX
∑
∞
=
==
0
)()()]([
n
n
znxzXnx，Z对于因果序列
47
测试技术与数据处理例求下列函数的逆 Z变换,X(z)的收敛域为 |z|>1,
5.05.0
5.02
)(X
2
2
=
zz
zz
z
X(n)={2,0.5,1.25,¨¨¨ }
48
测试技术与数据处理逆Z变换
2.部分分式法先利用部分分式的方法将 X(z)表示为若干个分式的和，根据Z 变换的线性性质，求出每个部分的逆变换，将其相加，即可得其逆变换。
49
测试技术与数据处理例已知X(z) 的收敛域为 |z|>1,求其逆变换
5.05.0
5.02
)(X
2
2
=
zz
zz
z
X(n)=u(n)+(-0.5)
n
u(n)
50
测试技术与数据处理逆Z变换
3.留数法
∑
∑
∫
=
=
=
=
m
zz
n
n
n
c
m
zzXres
CzzX
dzzzX
j
nx
|])([
])([
)(
2
1
)(
1
1
1
内部极点的留数在路径
π
51
测试技术与数据处理例
? 已知 X(z)的收敛域为 |z|>1,求其逆变换
5.05.0
5.02
)(X
2
2
=
zz
zz
z
X(n)=[1+(-0.5)
n
]u(n)
52
测试技术与数据处理
LSI系统的系统函数
?LSI系统的描述方式
?单位抽样响应的 Z变换,H(z)
?H(z)的表达方式
∑
∑
=
=
+
==
N
k
k
M
r
r
zka
zrb
zX
zY
zH
1
0
)(1
)(
)(
)(
)(
如果式中分母的系数均为零，且 b（ 0）=1
的话,……那么,这个系统为有限冲激响应
（ FIR）系统；
如果式中分母的系数不全为零的话，输入端包含了输出端的反馈,……那么这个系统为无限冲激响应
（IIR ）系统。
53
测试技术与数据处理
LSI系统的描述方式
)(*)()()4(
)()()()()(
)3(
)()()2(
)()()1(
10
0
0
nxnhny
rnxrbknykany
znhzH
enhH
n
k
M
r
n
n
n
jn
=
+=
=
=
∑∑
∑
∑
==
∞
=
∞
=
卷积关系差分方程系统函数频率响应
ω
ω
54
测试技术与数据处理
Z变换求解差分方程
?已知 LSI的输入序列及输出的初始条件，求解输出
y(n)序列的表达式
?输入 x(n)为零的解，此时 y
0i
(n)序列完全由其初始条件引起
?y(n)的初始条件为零，得到零状态解 y
0s
(n)
?系统完整的解为二者之和
)()()(
00
nynyny
si
+=
利用Z 变换把描述离散时间系统的时域差分方程变换成Z 域的代数方程，然后解此代数方程，再经Z 逆变换求得系统响应
55
测试技术与数据处理例
).()(),(),()3()(
,2)2(,1)1(
)(4)2(4)1(4)(
0i0
nynynynunf
yy
nfnynyny
s
n
及试求其响应输入若系统的起始状态的差分方程为设有一个二阶离散系统
=
==?
=?+
0
)3(44.1)2(544.0)2(4.6)()(y)(
)(])3(44.1)2(96.0)2)(1(6.1[)(
0)2)(1(8)(y
00
0
0
≥
+?+?=+=
+++=
≥+?=
n
nnynny
nunny
nnn
nnn
si
nnn
s
n
i
56
测试技术与数据处理例
).()(),(),()(
,1)2(,2)1(
)()1()2()()1(3)2(2
LSI
00
nynynynunf
yy
nfnfnfnynyny
si
及试求其响应输入若系统的起始状态程为二阶离散系统的差分方设有一个
=
=?=?
+++=++++
0
)5.0(
3
4
)1(5.3
6
1
)()(y)(
)(])5.0(
6
5
)1(5.0
6
1
[)(
0,)5.0(5.0)1(3)(y
00
0
0
≥
+=+=
+=
≥?+=
n
nynny
nuny
nn
nn
si
nn
s
nn
i
57
测试技术与数据处理
LSI系统的系统函数
∑
∑
=
=
+
==
N
k
k
M
r
r
zka
zrb
zX
zY
zH
1
0
)(1
)(
)(
)(
)(
零状态响应与激励的Z 变换之比值，也是该系统单位脉冲响应h(n) 的Z 变换。
58
测试技术与数据处理例求其零状态响应若激励为求单位响应求系统函数程如下设有二阶系统的差分方
),(4.0)()3(
)()2(
)()1(
)1(2)()2(16.0)1(6.0)(
:
nunf
nh
zH
nfnfnynyny
n
=
+=+
21
1
16.06.01
21
)(
+
+
=
zz
z
zH
)(])4.0(4)8.0(8.0)2.0(2.2[)( nuny
nnn
+=
59
测试技术与数据处理离散系统的稳定性
?Z变换与 S变换的关系
?S平面与 Z平面的对应关系
?离散系统的稳定性
60
测试技术与数据处理
z变换与S 变换的关系
)(|)( sFzF
sT
ez
=
=
)(|)(
ln
1
zFsF
z
T
s
=
=
61
测试技术与数据处理脉冲响应不变法
∑
∑
=
=
=
=
n
i
Tp
i
n
i
i
i
ze
K
zF
ps
K
sF
i
1
1
1
1
)(
)(
62
测试技术与数据处理
S平面与z 平面的对应关系
?S平面的虚轴对应于Z 平面的单位圆；
?S平面的左半平面对应于Z 平面的单位圆内
（ r<1）；
?S平面的右半平面对应于Z 平面的单位圆外
（ r>1）。
63
测试技术与数据处理
64
测试技术与数据处理
65
测试技术与数据处理离散系统的稳定性
?若 H（z ）的所有极点位于单位圆内，则系统稳定；
?若 H（z ）的一阶极点位于单位圆上（实极点或共轭极点），单位圆外无极点，则系统是临界稳定的；
?若 H（z ）有极点位于单位圆外，或在单位圆上有重极点，则系统是不稳定的。
66
测试技术与数据处理例
)1()()2(02.0)1(1.0)(?+=+ nfnfnynyny
函数及其稳定性求下列差分方程的系统
67
测试技术与数据处理数字滤波
?数字滤波
?离散时间系统的时域分析
?离散时间系统的Z 域分析
?数字滤波器的原理与结构
?数字滤波器的设计方法
68
测试技术与数据处理数字滤波
?模拟信号x(t)通过模拟滤波器（系统传递函数
H(s)），输出模拟信号y(t)
?数字信号x(n) 通过数字滤波器（系统传递函数H(z) ），输出数字信号y(n)
69
测试技术与数据处理
70
测试技术与数据处理数字滤波器与模拟滤波器的分析方法的区别数学模型
数字滤波器：差分方程式
模拟滤波器：微分方程式运算内容
数字滤波器：延时、加法、乘法
模拟滤波器：微（积）分、加法、乘法执行的元器件
数字滤波器：延时器、加法器、乘法器等
模拟滤波器：电容、电阻、运算放大器等
71
测试技术与数据处理系统函数
9模拟滤波器：H(s) 或H( ω)
9数字滤波器：H(z) 或H(e
j ω
)
滤波实现的方式
9模拟滤波器：硬件实现
9数字滤波器：软件或硬件实现系统特性模拟滤波器：时不变、叠加、齐次数字滤波器：非移变、叠加、齐次
72
测试技术与数据处理离散时间系统的时域分析
?输出是输入与系统单位抽样响应的卷积
)(*)()( nhnxny =
∑
∞
∞=
=
k
knhkxny )()()(
73
测试技术与数据处理
Z变换
?Z变换的目的：将离散系统的数学模型－差分方程转换为代数方程。
?Z变换的定义
∑
∞
∞=
==
n
n
znxzXnxZ )()()]([
74
测试技术与数据处理
Z变换
?Z变换与Fourier 变换
?Z变换与离散Fourier 变换
75
测试技术与数据处理离散时间系统的Z域分析
9LSI系统的差分方程
9对上式进行适当变形，并对二边进行 Z变换
∑∑
==
=?
M
r
r
N
k
k
rnxbknya
00
)()(
∏
∏
∑
∑
=
=
=
=
=
+
=
N
k
k
M
k
k
N
k
k
k
M
k
k
k
zd
zc
A
za
zb
zH
1
1
1
1
1
0
)1(
)1(
1
)(
76
测试技术与数据处理离散系统的Z域分析
∏
∏
∏
∏
∏
∏
=
=
=
=
=
=
=
==
=
=
N
k
k
j
M
k
k
j
ez
j
N
k
k
M
k
k
N
k
k
M
k
k
de
ce
AzHeH
dz
cz
A
zd
zc
AzH
j
1
1
1
1
1
1
1
1
)(
)(
)()(
)(
)(
)1(
)1(
)(
ω
ω
ω
ω
零点极点系统的频率响应
77
测试技术与数据处理零极点分布图
O：零点
X：极点
)5.05.0)(5.05.0()1)(5.0(
)1)(1(
)(
2
3
jzjzzz
jzjzz
zH
+++
+
=
78
测试技术与数据处理例一个LSI 系统有一个极点：p=0.5,在原点有一个零点，并
（1 ）写出系统的转移函数 H(Z)，并画出零极点图；
（2 ）若输入信号x(n)= δ(n-k),求系统的零状态响应y
0s
(n)。
1|)(H
0
=
=ω
ωj
e
1|)(
0
=
=ω
ωj
eH
5.0
5.0)(
=
z
z
zH
)(5.0)(
1
0
knuny
kn
s
=
+?
79
测试技术与数据处理数字滤波器的原理与结构数字滤波器的分类
?按信号通过滤波后的频率响应分
?按单位抽样响应的时间特性分
?按可实现滤波的方法分
80
测试技术与数据处理数字滤波器的原理与结构数字滤波过程
81
测试技术与数据处理数字滤波器的原理与结构数字滤波过程的频谱
82
测试技术与数据处理数字滤波器的实现
9硬件实现
9软件实现
83
测试技术与数据处理数字滤波器的实现硬件实现
84
测试技术与数据处理数字滤波器的实现软件实现
85
测试技术与数据处理数字滤波器的运算结构图
9运算结构图表示方法
9方块图
9Truxal信号流图
9IIR滤波器的结构
9FIR滤波器的结构
86
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构直接型（Ⅰ型）
一个N 阶的IIR 滤波器的输入输出关系可以用下式所示的 N
阶的差分方程来描述。
∑∑
==
=
N
i
i
M
r
r
inyarnxbny
10
)()()(
87
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构从这个差分方 程表达式可以看出，系统的输出 y(n)由两部分构成：
第一部分是一个对输入x (n)的 M阶延时链结构，每阶延时抽头后加权相加，构成一个横向结构网络。
第二部分是一个对输出y (n)的 N阶延时链的横向结构网络，
是由输出到输入的反馈网络。 由这两部分相加构成输出。
88
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构直接Ⅰ型结构 M＝N
z
－1
z
－1
z
－1
…
b
N－1
b
N
b
2
b
1
b
0
x(n)
x(n－1)
x(n－2)
x(n－N)
z
－1
z
－1
z
－1
…
a
N－1
a
N
a
2
a
1
y(n)
y(n－1)
y(n－2)
y(n－N)
… … … …
89
测试技术与数据处理
IIR的信号流图与实现
IIR的差分表示
∑∑
==
=?=?+
N
k
M
r
arnxrbknykany
10
1)0(),()()()()(
信号流图
90
测试技术与数据处理
IIR的信号流图与实现
?直接实现
?级联实现
?并联实现
91
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构直接Ⅱ型（ 正准型结构）
直接Ⅰ型结构的系统函数H( z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。输入信号 x(n)先通过系统H
1
(z)，得到中间输出变量
y
1
(n)，然后再把y
1
(n)通过系统H
2
(z)得到输出信号y (n)。即
∑
∑
=
=
+
=
=
N
i
i
i
M
i
i
i
za
zb
zHzHzH
1
0
21
1
)()()(
92
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构式中,
∑
=
=
M
i
i
i
zbzH
0
1
)(
对应的差分方程为:
∑
∑
=
=
+
=
=
N
i
i
i
M
i
i
za
zH
inxbny
1
2
0
1
1
1
)(
)()(
对应的差分方程为
)()()(
1
1
nyinyany
N
i
i
+=
∑
=
93
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构若所讨论的 IIR数字滤波器是线性时不变系统，交换 H
1
(z)和
H
2
(z)的级联次序不会影响系统的传输效果，即
)()()()()(
1221
zHzHzHzHzH ==
输入信号x (n)先经过反馈网络H
2
(z)，得到中间输出变量
)()()(
1
22
nxinyany
N
i
i
+=
∑
=
然后，将y
2
(n)通过系统H
1
(z)，得到系统的输出y (n)
)()(
0
2
inybny
M
i
i
=
∑
=
94
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构直接Ⅰ型的变形结构
x(n) y(n)
z
－1
z
－1
z
－1
…
a
N－1
a
N
a
2
a
1
z
－1
z
－1
z
－1
…
b
N－1
b
N
b
2
b
1
b
0
y
2
(n)
y
2
(n－1)
y
2
(n－2)
y
2
(n－N)
… … … …
若M=N时，其结构如下图所示
95
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构结构图中有两条完全相同的对中间变量 y
2
(n)进行延迟的延时链，我们可以合并这两条延时链，得到直接Ⅱ型结构。
比较可知,直接Ⅱ型比直接Ⅰ型结构延时单元少，用硬件实现可以节省寄存器，比直接Ⅰ型经济；若用软件实现则可节省存储单元。但对于高阶系统直接型结构都存在调整零,极点困难，对系数量化效应敏感度高等缺点。
96
测试技术与数据处理
IIR滤波器的原理与结构直接Ⅱ型结构
x(n) y(n)
z
－1
z
－1
z
－1
…
a
N－1
a
N
a
2
a
1
…
b
N－1
b
N
b
2
b
1
b
0
… … …
97
测试技术与数据处理
FIR滤波器的原理与结构直接型
设FIR 数字滤波器的单位脉冲响应h( n)的长度为N，其传递函数和差分方程分别为,
∑
=
=
1
0
)()(
N
n
n
znhzH
∑
=
=
1
0
)()()(
N
m
mnxmhny
98
测试技术与数据处理
FIR滤波器的原理与结构可直接画出下图所示的 FIR滤波器的直接型结构。由于该结构利用输入信号 x(n)和滤波器单位脉冲响应 h(n)的线性卷积来描述输出信号y( n)，所以
FIR滤波器的直接型结构又称为卷积型结构，有时也称为横截型结构。
FIR的直接型结构
z
－1
x(n)
h(0) h(1)
z
－1
h(2)
…
…
h(N－3)
z
－1
h(N－2)
z
－1
h(N－1)
y(n)
99
测试技术与数据处理数字滤波器的设计
9IIR数字滤波器的设计
9FIR数字滤波器的设计
100
测试技术与数据处理数字滤波器的设计数字滤波器的设计应满足：
?因果条件
h(n)=0 (n<0)
?稳定性条件：
∞<
∑
∞
=0
)(
n
nh
101
测试技术与数据处理
IIR滤波器的设计
?模拟滤波器的设计
?脉冲响应不变法
?双线性变换法
102
测试技术与数据处理
FIR数字滤波器的设计
?FIR滤波器具有线性相位的充分必要条件
?FIR滤波器的幅度响应特性
?FIR滤波器的设计方法
?窗口函数法
?频率采样法
