Prof,Xiaorong GAN
Faculty of Mathematics,Kunming
University of Science & Technology
第 一 章 行列式第一节 二阶与三阶 行列式第二节 全排列及其逆序数第三节 n 阶行列式的定义第七节 克拉默法则第六节 行列式按行 (列 )展开第四节 对换第五节 行列式的性质一,二阶行列式引例 1 用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa （１）
第一章 行 列 式第一节 二阶与三阶行列式
.)(
,)(
211211221122211
212221121122211
abbaxaaaa
baabxaaaa
解 用加减消元法，可得当 a11a22 - a12a21? 0 时,求得方程组 （１） 的解为
.
,
21122211
211211
2
21122211
212221
1
aaaa
abba
x
aaaa
baab
x
（２）
引入记号
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
并称之为 二阶行列式,
称 aij 为行列式的 (i,j )元素 或 元,
第二个下标称为 列标,表示该元素所在的列，常置，第一个下标称为 行标,表示该元素所在的行，
素,aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位其中 aij 称为行列式的 元由二阶行列式的定义，
,
222
121
212221 ab
ab
baab,
221
111
211211 ba
ba
abba
若记则当 Ｄ?０ 时，方程组
,
2221
1211
aa
aa
D?,
222
121
1 ab
ab
D?,
221
111
2 ba
ba
D?
.22 DDx?,11 DDx?
注意,Ｄ 称为系数行列式,Ｄ j是用常数项 b1,b2替换 Ｄ 中的第 j 列 (j=1,2).
子也可写成二阶行列式，即
（（ １）１）
（（ ２）２）
,,
21122211
2112112 21122211
2122211
aaaa abbax
aaaa baabx
,,2222121 1212111 bxaxa bxaxa 有唯一解
,,
21122211
2112112
21122211
2122211
aaaa abbax
aaaa baabx （（ ２）２）
（（ １）１）,,2222121 1212111 bxaxa bxaxa
式中 x1,x2 的分
)4(,
322311332112312213
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
)3(
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
记
（ 4）式称为数表（ 3）所确定的三阶行列式,
二,三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每一条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式,
三阶行列式的对角线法则如下图所示,
例 2 计算三阶行列式
.
111
312
121
D
例例 2 计算三阶行列式
111 312
121
D
解解 由对角线法则,得
121)1()3()2()1(11D
)1(11)1(2)2(1)3(1
143261
.5
三,举例例 3 求解方程
.0
94
32
111
2
x
x
例例 3 求解方程
.094 32 111
2
xx
解解 方程左端的三阶行列式 12291843 22 xxxxD
,652 xx由 065
2 xx 解得 x= 2 或 x= 3.
行列式的概念,
可以证明,当三元线性方程组的系数行列式不等于零时方程组有唯一解,且有类似于二元线性方程组的求解公式,即
xj = Dj /D,（ j = 1,2,3 ）,
现在的问题是,对于 n 元线性方程组,是否也有类似的求解公式,但要讨论 n 元线性方程组,首先就要把二阶和三阶行列式加以推广,引入 n 阶一、引例引例 用 1,2,3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字
1,2,3叫做 元素,上述问题就是：把三个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？
引例引例 用 1,2,3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百 位、十位与个数上，有几种不同的放法？
显然，百位上可以从 1,2,3三个数字中任选一个，所以有 3种放法； 十位上 只能从剩下的两个数字中选一个，所以有 2种放法； 而 个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有 1种放法,因此，
共有 3?2?1 = 6 种放法,这六个不同的三位数是
123,231,312,132,213,321.
第二节 全排列及其逆序数二、全排列全排列的定义,
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这
n 个元素的 全排列 （也简称 排列 ）,
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示,由 的结果可知 P3 = 3 · 2 · 1 = 6.引例引例 用 1,2,3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在百 位、十位与个数上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从 1,2,3三个数字中任选一个，所以有 3种放法； 十位上 只能从剩下的两个数字中选一个，所以有 2种放法； 而 个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有 1种放法,因此，
共有 3? 2? 1 = 6 种放法,这六个不同的三位数是123,231,312,132,213,321.
同理 Pn = n? (n – 1)? ···? 3? 2? 1 = n!,
三、排列的逆序数定义 对于 n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序,于是在这 n 个元素的 任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个 逆序,一个排列中所有逆序的总数叫做这个 排列的逆序数,等价定义等价定义 在一个在一个 n 阶排列阶排列 i1 i2 ··· i n 中中,
按照在排列中的顺序任取两个数按照在排列中的顺序任取两个数,记作（记作（ i j,i k ））,其其中中 j < k,称为排列的一个数对称为排列的一个数对,若若 i j < i k,则称则称这两个数构成顺序这两个数构成顺序 ; 若若 i j > i k,则称这两个数构成则称这两个数构成逆序逆序,一个一个 n 阶排列中逆序的个数称为这个排列阶排列中逆序的个数称为这个排列的的 逆序数逆序数,
1,定义逆序数为奇数的排列叫做 奇排列,逆序数为偶数的排列叫做 偶排列,
下面来讨论计算排列的逆序数的方法,
2,计算方法不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数,并规定由小到大为标准次序,设
nppp?21
为这 n 个自然数的一个排列,考虑元素 pi （ i = 1,
2,···,n）,如果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有
ti 个，就说 pi 这个元素的逆序数是 ti,全体元素的逆序数之总和
,
1
21?
n
i
in ttttt?
即是这个排列的逆序数,
例 4 求排列 32541 的逆序数,
一,三阶行列式的定义
.
322311332112312213
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
三阶行列式的定义为第三节 n 阶行列式的定义
.
322311332112312213
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
,)1( 321 321 pppt aaa
二,n 阶行列式的定义定义 设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表
nnppp
t aaa?
21 21)1(?
冠以符号 (-1)t，得到形如作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积，并
an1 an2 … ann
………,..
a21 a22 … a2n
a11 a12 … a1n
的项，其中 p1p2 ··· pn 为自然数 1,2,···,n 的一
nnpppt aaa?21 21)1(
称为 n 阶行列式,记作数和共有 n! 个，因而共有 n! 项,所有这 n! 项的代个排列,t 为这个排列的逆序数,由于这样的排列
n
nppp
t
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
22221
11211
)1(
简记作 det(aij)，其中数 aij为行列式 D 的（ i,j）
元,
三,举例例 5 证明 n 阶行列式 (其中主、次对角线
,21
2
1
n
n
.1)( 21
2
1
2
1)(
n
n
nn
第一式是显然的，下面只证第二式,
1
12
1
2
1
n
,n
n
n a
a a
＝ (- 1)t a1na2,n-1 ··an1 = (- 1)t?1?2 ··?n,
t = 0 + 1 + 2 + ··· + (n - 1) = n (n - 1)/2,其中 t 为排列 n(n - 1)··2 1 的逆序数，故 证毕证毕证明证明上的元素是? i,未写出的元素都是０ )
例 6 证明下三角形行列式
.
2211
21
2221
11
nn
nnnn
aaa
aaa
aa
a
例例 6 证明下三角形行列式
.2211
21
2221
11
nn
nnnn
aaa
aaa
aa
a
由于当 j >i 时,aij= 0,故 D 中可能不为
iipa
0的元素,其下标应有 pi ≤ i,
p1 ≤ 1,p2 ≤ 2,···,pn ≤ n,
证明证明即例例 5和例和例 6的结论很重要，它们可以当的结论很重要，它们可以当时候总是想方设法把它化为三角形行列式．时候总是想方设法把它化为三角形行列式．
作公式用，以后我们在计算高阶行列式时，很多作公式用，以后我们在计算高阶行列式时，很多注意注意一,对换的定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换,
将相邻两个元素对换，叫做 相邻对换,
例如例如排列 6 3 2 1 5 4
对换
3与
5
新排列 6 5 2 1 3 4
逆 序数为 9 奇 排列逆 序数为 10 偶排列逆序数加
1
改变奇偶性第四节 对 换二,对换的性质推论 1 在全部 n 阶排列中 (n≥2 ),奇偶排列各占一半,
故有 s = t,证毕证毕设在全部 n 阶排列中有 s 个不同的奇排列和 t 个不同的偶排列,需证 s = t.
把 s 个奇排列最左边的两个数对换,则 s 个奇排列变成了 s 个不同的偶排列,所以 s ≤ t,
对 t 个偶排列作最左边两数对换,同理可得 t≤ s.
证明证明故有 s = t,证毕证毕设在全部 n 阶排列中有 s 个不同的奇排列和 t 个不同的偶排列,需证 s = t.
把 s 个奇排列最左边的两个数对换,则 s 个奇排列变成了 s 个不同的偶排列,所以 s ≤ t.
对 t 个偶排列作最左边两数对换,同理可得 t≤ s.
证明证明定理 1 一个排列中的任意两个元素对换,
排列改变奇偶性,
奇偶性不同,
证明证明设排列为 a1 ··alabb1 ··· bm,对换 a 与 b,则排列变为 a1 ··albab1 ··bm,显然,排列 a1 ··· al 和
b1 ··· bm 经对换后的逆序数并不改变,而 a,b 这两个元素的逆序数改变为,当 a<b时,经对换后 a
的逆序数增加 1 而 b 的逆序数不变 ; 当 a>b时,经对换后 a 的逆序数不变而 b 的逆数减少 1,所以排列 a1 ··· alabb1 ··bm 与排列 a1 ··· albab1 ··bm的先证相邻对换的情形先证相邻对换的情形,
推论 2 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数,
奇偶性不同,
证明证明设排列为 a1 ··alabb1 ··· bm,对换 a 与 b,则排列变为 a1 ··albab1 ··bm,显然,排列 a1 ··· al 和
b1 ··· bm 经对换后的逆序数并不改变,而 a,b 这两个元素的逆序数改变为,当 a<b时,经对换后 a
的逆序数增加 1 而 b 的逆序数不变 ; 当 a>b时,经对换后 a 的逆序数不变而 b 的逆数减少 1,所以排列 a1 ··· alabb1 ··bm 与排列 a1 ··· albab1 ··bm的先证相邻对换的情形先证相邻对换的情形,
定理 2 n 阶行列式也可定义为
,)1( 21 21 npppt naaaD
其中 t 为行标排列 nppp?21 的逆序数,
证明证明 按 行列式定义有,)1(
21 21 nnppp
t aaaD
记,)1( 211 21 npppt naaaD
由 上面的讨论知,对于 D 中任一项
nnppp
t aaa?
21 21)1(?
nqqqs naaa?21 21)1(?
总有且仅 有 D1 中的某一项与之 对应并相等； 反之对于 D1 中的任一项证明证明 按 行列式定义有
,)1( 21 21 nnpppt aaaD
记,)1( 211 21 npppt naaaD
由 上面的讨论知,对于 D 中任一项
nnppp
t aaa?
21 21)1(?
nqqqs naaa?21 21)1(?
总有且仅 有 D1 中的某一项与之 对应并相等； 反之对于 D1 中的任一项三,n 阶行列式的等价定义本节内容已结束 !
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性质 1
主要内容性质 2
性质 3
第五节 行列式的性质性质 4
性质 5
性质 6
举例设 n 阶行列式
,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
把 D 中的行与列互换,所得的 n 阶行列式记为
,
21
22212
12111
T
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
称 DT 为 D 的 转置行列式,
DT,
矩阵的转置模型矩阵的转置模型
A = 12 -13 43 15 8 -21 330 9 47 8
A T =
12 5 0-13 8 9
43 -21 471 33 8
3? 4
4? 3
性质２ 互换行列式的两行，行列式变号,
是由行列式 D =det(aij) 交换 i,j 两行得到的,即当 k?
性质２性质２ 互换行列式的两行，行列式变号互换行列式的两行，行列式变号,．设行列式
,
21
22221
11211
1
nnnn
n
n
bbb
bbb bbbD
i,j 时,bkp= akp; 当 k = i,j 时,bip= ajp,bjp= aip,于是证明证明交换 i,j 两行 记为
ji rr?
交换 i,j 两列 记为
ji cc?
推论 如果行列式有两行 (列 )完全相同，则证明 把这两行互换，有 D = -D，故 D = 0.
此行列式等于零,
是由行列式 D =det(aij) 交换 i,j 两行得到的,即当 k?
性质２性质２ 互换行列式的两行，行列式变号互换行列式的两行，行列式变号,．设行列式
,
21
22221
11211
1
nnnn
n
n
bbb
bbb bbbD
i,j 时,bkp= akp; 当 k = i,j 时,bip= ajp,bjp= aip,于是证明证明性质１ 行列式与它的转置行列式相等,
记 D = det( aij ) 的转置行列式为
,
21
22221
11211
T
nnnn
n
n
bbb
bbb bbbD
即 bij = aji ( i,j = 1,2,··,n ),
,)1()1( 2121T 2121 nppptnpppt nn aaabbbD
而由,)1( 21 21 npppt naaaD
故 DT = D,证毕证毕按定义有证明证明公因子可以提到行列式符号的外面,
第 i 行 (或列 )乘以 k,
记作 ri? k (或 ci? k)
性质 3 行列式的某一行 (列 )中所有元素都乘以同一个数 k,等于用数 k 乘以此行列式,
推论 行列式中某一行 (列 )的所有元素的两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,即
nnnn
nn
n
aaa
cbcbcb
aaa
21
2211
11211
性质 4 行列式中如果有两行 (列 )元素成比例,则此行列式等于零,
性质 5 若行列式的某一行 (列 )的元素都是
nnnn
n
n
aaa
bbb
aaa
21
21
11211
,
21
21
11211
nnnn
n
n
aaa
ccc
aaa
性质 6 把行列式的某一列 (行 )的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去,行列式不变,
例如，以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上 (记作
ci+kcj),有
nnnjnin
nji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
1
22221
11111
.
1
222221
111111
nnnjnjnin
njji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kcc
( i≠j )
性质 2，３，６介绍了行列式关于行和列的三交换运算,
ji cc?
线性运算,ji rkr
ji ckc
数乘运算,irk?
ji rr?
ick?
运算,数乘运算,它们分别记为种运算，在本教案中分别称为 交换运算,线性利用上述三种运算可简化行列式的计算，特从而得到行列式的值,
就是利用运算 ri+krj 把行列式化为上三角 形 行列式,
式中许多元素化为０,
别是利用运算 ri + krj (或 ci + kcj ) 可以把行列计算行列式常用的一种方法请做练习,
举例例 8 计算
.
3111
1311
1131
1113
,
3351
1102
4315
2113
21
DD
解例 9 计算
.
3610363
234232
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
解例 10 设
,
11
111111
1
111
nnnnkn
nk
kkk
k
bbcc
bbcc
aa
aa
D
,,
1
111
2
1
111
1
nnn
n
kkk
k
bb
bb
D
aa
aa
D
证明 D = D1D2,
证明证明 对 D1 作运算 ri +?rj,把 D1 化为下三角形 行列式，设为;11
1
11
1 kk
kkk
pppppD
对 D2 作运算 ci +?cj,把 D2 化为下三 角形行列式，设为
.11
1
11
2 nn
nnn
qqqqqD
例 11 计算 2n 阶行列式
,
2
dc
dc
ba
ba
D
n
其中未写出的元素为 0,
解解 把 D2n中的第 2n行依次与第 2n–1行,···、第 2行对调（作 2n–1次相邻对换），再把第 2n列依次与第 2n–1列,···、第 2列对调，得,
00
00
00
00
2
dc
dc
ba
ba
dc
ba
D n
余子式和代数余子式主要内容引理行列式按行 (列 )展开法则第六节 行列式按行 (列 )展开三阶行列式的几何意义行列式的计算方法一、余子式和代数余子式
Aij叫做元素 aij的 代数余子式,
定义 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第
i 行和第 j 列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的 n –1 阶行列式叫做元素 aij
的 余子式,记作 Mij；
Aij=(–1 )i+jMij,
记求余子式求余子式 模型模型
A =
2 1 -5 11 -3 0 -6
0 2 -1 21 4 -7 6 式和代数余子式
M -3 0 -62 -1 24 -7 6= A -3 0 -62 -1 24 -7 6=1 1 1 1
元素 a 的余子分别为
= 3 6 = 3 6
11
D = aijAij.
二、引理一个 n 阶行列式,如果其中第 i行所有元素除
aij 外都为 0,那么这行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积,即
D = aijAij,先证 a
ij 位于第 1 行第 1 列的情形,
,
00
21
22221
11
nnnn
n
aaa
aaaaD
二、引理二、引理一个一个 n 阶行列式阶行列式,如果其中第如果其中第 i 行所有元素除行所有元素除
aij 外都为零外都为零,那么这行列式等于那么这行列式等于 aij 与它的代数余与它的代数余子式的乘积子式的乘积,即即此时 证明证明 D = aijAij,先证 aij 位于第 1 行第 1 列的情形,
,
00
21
22221
11
nnnn
n
aaa
aaaaD
二、引理二、引理一个一个 n 阶行列式阶行列式,如果其中第如果其中第 i 行所有元素行所有元素
aij 外都为外都为 0,那么这行列式等于那么这行列式等于 aij 与它的代数与它的代数子式的乘积子式的乘积,
此 证明证明或 D = a1jA1j + a2jA2j + ··· + anjAnj (j = 1,2,···,n).
三、行列式按行 (列 )展开法则定理 3 行列式等于它的任一行 (列 )的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin (i = 1,2,···,n),
这个定理叫做 行列式按行（列）展开法则,
由行列式的
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
D
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
2
11211
00?
,00
21
11211
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
+ ··· +
得证明证明 两数之和两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和则这个行列式等于两个行列式之和,即即
nnnn nn
naaa cbcbcb aaa
21 2211
11211性质性质 5 若行列式的某一列若行列式的某一列 (行行 )的元素都是的元素都是
nnnn n
naaa bbb aaa
21 21
11211?,
21 21
11211
nnnn n
naaa ccc aaa
例 任意输入一个三阶或四阶行列式，利用行列式按行（列）展开法则计算,
例 12 行列式
11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
321
1111
n
n
nnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
d
称为 n 阶 范德蒙德 (Vandermonde) 行列式,
证明
.)(
1
nij
ji aad
证明证明 对 n 作归纳法,当 n = 2 时，
,11 1221 aaaa
结论成立,设对于 n – 1 阶范德蒙德行列式结论成立，现在来看 n 阶的情形,在 n 阶范德蒙德行列式中，第 n 行减去第 n – 1 行的 a1 倍，第 n – 1 行减去第 n –2 行的 a1 倍,也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的 a1 倍，有由或或 D = a 1jA 1 j+ a 2 jA 2j+…… + a nj A nj (j= 1,2,……,n ).
定理定理 3 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行 (列列 )的各元的各元素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和,
D = a i1A i1+ a i2A i2+…… + a in A in (i= 1,2,……,n ),
还可得下述重要推论,
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
ai1Aj1+ ai2Aj2 + ··· + ainAjn = 0,i? j,
或 a1iA1j + a2iA2j + ··· + aniAnj = 0,i? j,
证明证明 把 行列式 D = det( aij ) 按第 j 行展开，
有,
1
1
1
111
2211
nnn
jnj
ini
n
jnjnjjjj
aa
aa
aa
aa
AaAaAa
在上式中 把 ajk 换成 aik ( k = 1,2,···,n ),可得证明证明 把 行列式 D = det( aij ) 按第 j 行展开，
有,
1
1
1
111
2211
nnn
jnj
ini
n
jnjnjjjj
aa
aa
aa
aa
AaAaAa
在上式中 把 ajk 换成 aik ( k = 1,2,···,n ),可得综合 及其推论，有关于代数余子式的重要性质：
ji
jiD
DAa ij
n
k
kjki 当当
,0
,,
δ
1
或
,当当
ji
jiD
DAa ij
n
k
jkik,0
,,
δ
1
其中
.,0
,,1
δ
ji
ji
ij 当当或或 D = a 1jA 1 j+ a 2 jA 2j+…… + a nj A nj (j= 1,2,……,n ).
定理定理 3 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行 (列列 )的各元的各元素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和,
D = a i1A i1+ a i2A i2+…… + a in A in (i= 1,2,……,n ),
仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式
det(aij) 按第 i 行展开的展开式中，用 b1,b2,···,bn
依次代替 ai1,ai2,···,ain,可得
.
2211
1
,11,1
1
,11,1
111
innii
nnn
nii
n
nii
n
AbAbAb
aa
aa
bb
aa
aa
类似地，用 b1,b2,···,bn 代替 det(aij) 中的第 j 列，可得
.2211
1,1,1
11,111,111
njnjj
nnjnnjnn
njj
AbAbAb
aabaa
aabaa
四四,,三阶行列式的几何意义三阶行列式的几何意义设三阶行列式
333231
232221
131211
aaa aaa
aaa
的行是向量? 1,? 2,? 3 在直角坐标系下的坐标,即
),,,( 1312111 aaa ),,,( 2322212 aaa ).,,( 3332313 aaa
那么 ),,,( 1312111 aaa ),,,( 2322212 aaa ).,,( 13121132 AAA
设有三阶行列式
333231 232221 131211 aaa aaa aaa令证明例 13 设
,
3142
3131
5011
1253
D
D 的（ i,j）元的余子式和代数余子式依次记作 Mij
和 Aij,求
A11 + A12 + A13 + A14 及 M11 + M21 + M31 + M41,
解解 由 公式公式,
2211
1 1,11,1
1,11,1
111
innii
nnn ii
nnii
n AbAbAb
aa aa bb aa
aa
.22111,1,1 11,111,111 njnjjnnjnnjnn njj AbAbAbaabaa aabaa
可知 A11+ A12+ A13+ A14等于 用 1,1,1,1代替 D的第 1行所得的行列式，即
3142 3131
5011 1111
14131211
AAAA
计计 算算 4.
1,直接用定义计算 ;
2,利用性质化为三角形行列式 ;
3,利用展开式定理降阶,
五、行列式的计算方法到现在为止,我们已能计算任意阶的行列式,
行列式的计算是我们这一章的重点,也是同学们必须掌握的基本技能,
行列式有以下三种计算方法,
下面再举几个 n 阶行列式计算的例子,
例 设
,
1
112
223
332
221
11
nn
nnn
nnn
n
D
证明递推关系式
Dn =?nDn-1-?n-1?n-1Dn-2 ( n > 2 ).
12
223
332
221
11
nn
nnn
nnD
按 Dn 的第 n 列展开,得证明证明关系式在计算数学中常被引用,
Dn 是常见的 n 阶三对角行列式,所证的递推
.
21
121
121
121
12
n
D
例 计算 n 阶行列式
=D1+ ( n-1 ) =n+ 1,
这是一个三对角行列式,在这里?
i= 2,?i=?i=1(i= 1,2,·,n),由果可得 D
n= 2Dn-1-Dn-2.
适当移项可得关于 Dn 的递推关系式
Dn-Dn-1= Dn-1-Dn-2= Dn-2-Dn-3= ···= D2-D1.
因 D2= 4 -1 = 3,D1= 2,D2-D1= 1,所以
Dn= Dn-1+ 1 = ( Dn-2+ 1 ) + 1 = ···
的结解解下 面 验 算 此 结 论,单 击 此 处 开 始下下 面面 验验 算算 此此 结结 论论 单单 击击 此此 处处 开开 始始上例上例 设
nn nnn nnn
nD
1 112 223
332 221 11
证明递推关系式
Dn=?nDn-1-?n-1?n-1Dn-2 (n> 2 ).
例 计算 n 阶行列式
.
xaa
axa
aax
D
n
xaa
axa
anxanxanx
)1()1()1(解解
r1+r2+ ·+rnDn
=[x+ ( n-1)a]
xaa
axa
111
克拉默法则主要内容线性方程组有解的条件举例第七节 克拉默法则克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零,即
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
,
,
(1)
一、克拉默法则
,0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
那么,方程组 (1)有唯一解
,
D
Dx 1
1?,,D
Dx?2
2?,D
Dx n
n?
.
111
11111111
nnn,jnn,jn
n,j,j
j
aabaa
aabaa
D
其中 Dj (j = 1,2,···,n) 是系数行列式 D 中第 j
列的元素,用方程组右端的常数项代替后所得到的
n 阶行列式,即程,再把它们相加,得
jnk kjkjnk kjk xAaxAa 111 1
,11 nk kjknnk kjkn AbxAa
用 D 中第 j 列元素的代数余子式
A1j,A2j,··,Anj 依次乘以方程组的 n 个方证明证明程,再把它们相加,得
jnk kjkjnk kjk xAaxAa 111 1
,11 nk kjknnk kjkn AbxAa
用 D 中第 j 列元素的代数余子式
A1j,A2j,···,Anj 依次乘以方程组的 n 个方证明证明例 14 解线性方程组
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解行列式计算区行列式计算区 1 1 1 12 3 1 0
7 -2 5 7-3 2 1 6= - 4 7
1克拉默法则克拉默法则 1 1 1 12 3 1 0 07 -2 5 7 2
-3 2 1 6 5B ＝
方程组的增广矩阵为下一个
x 1 =方程组的解为 - 5 8 / 4 7
x 2 =
x 3 =
x 4 =
1 / 4 71 1 3 / 4 7
- 9 / 4 7D ＝
清 空例 15 设曲线
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
通过四点 (1,3),(2,4),(3,3),(4,-3)，求系数
a0,a1,a2,a3,
解解 把四个点的 坐标代入曲线方程，得线性方程组
.364164,32793
,4842,3
3210
3210
3210
3210
aaaa aaaa
aaaa aaaa
求解求解得 a0= 3,a1= -3/2,a2= 2,a3= -1/2,
所求 曲线为,212233 32 xxxy行列式计算区行列式计算区 1 1 1 12 3 07 -2 5 7-3 2 1 6= -47
1克拉默法则克拉默法则 1 1 1 12 3 0 07 -2 5 7 2-3 2 1 6 5B ＝ 方程组的增广矩阵为下一个 x1 =方程组的解为 -58/47x2 =x3 =x4 =1/4713/47-9/47D ＝ 清 空定理 1 如果线性方程组克拉默法则可叙述为下面的重要定理,
式 D? 0,则 (1)一定有解,且解是唯一的,
二、线性方程组有解的条件定理 1 的逆否命题为定理 1′ 如果线性方程组 (1) 无解或有无穷个不同的解,则它的系数行列式必为零,
.
,,
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa bxaxaxa
(1) 的系数行列全为零时,线性方程组 (1)叫做 齐次线性方程组,
线性方程组
b1,b2,···,bn
不全为零时,线性方程组 (1) 叫做 非齐次线性方程组 ; 当
b1,b2,···,bn
右端的常数项
.
,,
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa bxaxaxa
(1)
对于齐次线性方程组
,0
,0
,0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
(2)
x1 = x2 = ··· = xn = 0 一定是它的解,这个解叫做 齐次线性方程组 (2) 的零解,
定理 2′ 如果齐次线性方程组 (2)有非零如果一组不全为零的数是做 齐次线性方程组 (2)的非零解,齐次线性方程组 (2)一定有零解,但不一定有非零解,对于齐次线性方程组 (2) 有以下定理,
定理 2 如果齐次线性方程组 (2)的系数行列式 D? 0,则齐次线性方程组 (2)没有非零解,
解,则它的系数行列式必为零,
的解,则它叫
.0
,0,0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa xaxaxa
(2)
例 16 讨论? 为何值时,线性方程组
2
321
321
321
,
,1
xxx
xxx
xxx
有唯一解,并求出其解,
三,举例方程组的系数行列式
11 11
11?D
2),(1)( 2
由此可知,当 21 且 时,D?0,这时方程组 有唯一解,
单击这里求解单击这里求解解解例 17 问? 取何值时,齐次线性方程组
0)4(2
,0)6(2
,022)5(
zx
yx
zyx
有非零解？
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Faculty of Mathematics,Kunming
University of Science & Technology
第 一 章 行列式第一节 二阶与三阶 行列式第二节 全排列及其逆序数第三节 n 阶行列式的定义第七节 克拉默法则第六节 行列式按行 (列 )展开第四节 对换第五节 行列式的性质一,二阶行列式引例 1 用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa （１）
第一章 行 列 式第一节 二阶与三阶行列式
.)(
,)(
211211221122211
212221121122211
abbaxaaaa
baabxaaaa
解 用加减消元法，可得当 a11a22 - a12a21? 0 时,求得方程组 （１） 的解为
.
,
21122211
211211
2
21122211
212221
1
aaaa
abba
x
aaaa
baab
x
（２）
引入记号
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
并称之为 二阶行列式,
称 aij 为行列式的 (i,j )元素 或 元,
第二个下标称为 列标,表示该元素所在的列，常置，第一个下标称为 行标,表示该元素所在的行，
素,aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位其中 aij 称为行列式的 元由二阶行列式的定义，
,
222
121
212221 ab
ab
baab,
221
111
211211 ba
ba
abba
若记则当 Ｄ?０ 时，方程组
,
2221
1211
aa
aa
D?,
222
121
1 ab
ab
D?,
221
111
2 ba
ba
D?
.22 DDx?,11 DDx?
注意,Ｄ 称为系数行列式,Ｄ j是用常数项 b1,b2替换 Ｄ 中的第 j 列 (j=1,2).
子也可写成二阶行列式，即
（（ １）１）
（（ ２）２）
,,
21122211
2112112 21122211
2122211
aaaa abbax
aaaa baabx
,,2222121 1212111 bxaxa bxaxa 有唯一解
,,
21122211
2112112
21122211
2122211
aaaa abbax
aaaa baabx （（ ２）２）
（（ １）１）,,2222121 1212111 bxaxa bxaxa
式中 x1,x2 的分
)4(,
322311332112312213
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
)3(
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
记
（ 4）式称为数表（ 3）所确定的三阶行列式,
二,三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每一条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式,
三阶行列式的对角线法则如下图所示,
例 2 计算三阶行列式
.
111
312
121
D
例例 2 计算三阶行列式
111 312
121
D
解解 由对角线法则,得
121)1()3()2()1(11D
)1(11)1(2)2(1)3(1
143261
.5
三,举例例 3 求解方程
.0
94
32
111
2
x
x
例例 3 求解方程
.094 32 111
2
xx
解解 方程左端的三阶行列式 12291843 22 xxxxD
,652 xx由 065
2 xx 解得 x= 2 或 x= 3.
行列式的概念,
可以证明,当三元线性方程组的系数行列式不等于零时方程组有唯一解,且有类似于二元线性方程组的求解公式,即
xj = Dj /D,（ j = 1,2,3 ）,
现在的问题是,对于 n 元线性方程组,是否也有类似的求解公式,但要讨论 n 元线性方程组,首先就要把二阶和三阶行列式加以推广,引入 n 阶一、引例引例 用 1,2,3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字
1,2,3叫做 元素,上述问题就是：把三个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？
引例引例 用 1,2,3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百 位、十位与个数上，有几种不同的放法？
显然，百位上可以从 1,2,3三个数字中任选一个，所以有 3种放法； 十位上 只能从剩下的两个数字中选一个，所以有 2种放法； 而 个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有 1种放法,因此，
共有 3?2?1 = 6 种放法,这六个不同的三位数是
123,231,312,132,213,321.
第二节 全排列及其逆序数二、全排列全排列的定义,
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这
n 个元素的 全排列 （也简称 排列 ）,
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示,由 的结果可知 P3 = 3 · 2 · 1 = 6.引例引例 用 1,2,3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在百 位、十位与个数上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从 1,2,3三个数字中任选一个，所以有 3种放法； 十位上 只能从剩下的两个数字中选一个，所以有 2种放法； 而 个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有 1种放法,因此，
共有 3? 2? 1 = 6 种放法,这六个不同的三位数是123,231,312,132,213,321.
同理 Pn = n? (n – 1)? ···? 3? 2? 1 = n!,
三、排列的逆序数定义 对于 n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序,于是在这 n 个元素的 任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个 逆序,一个排列中所有逆序的总数叫做这个 排列的逆序数,等价定义等价定义 在一个在一个 n 阶排列阶排列 i1 i2 ··· i n 中中,
按照在排列中的顺序任取两个数按照在排列中的顺序任取两个数,记作（记作（ i j,i k ））,其其中中 j < k,称为排列的一个数对称为排列的一个数对,若若 i j < i k,则称则称这两个数构成顺序这两个数构成顺序 ; 若若 i j > i k,则称这两个数构成则称这两个数构成逆序逆序,一个一个 n 阶排列中逆序的个数称为这个排列阶排列中逆序的个数称为这个排列的的 逆序数逆序数,
1,定义逆序数为奇数的排列叫做 奇排列,逆序数为偶数的排列叫做 偶排列,
下面来讨论计算排列的逆序数的方法,
2,计算方法不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数,并规定由小到大为标准次序,设
nppp?21
为这 n 个自然数的一个排列,考虑元素 pi （ i = 1,
2,···,n）,如果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有
ti 个，就说 pi 这个元素的逆序数是 ti,全体元素的逆序数之总和
,
1
21?
n
i
in ttttt?
即是这个排列的逆序数,
例 4 求排列 32541 的逆序数,
一,三阶行列式的定义
.
322311332112312213
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
三阶行列式的定义为第三节 n 阶行列式的定义
.
322311332112312213
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
,)1( 321 321 pppt aaa
二,n 阶行列式的定义定义 设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表
nnppp
t aaa?
21 21)1(?
冠以符号 (-1)t，得到形如作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积，并
an1 an2 … ann
………,..
a21 a22 … a2n
a11 a12 … a1n
的项，其中 p1p2 ··· pn 为自然数 1,2,···,n 的一
nnpppt aaa?21 21)1(
称为 n 阶行列式,记作数和共有 n! 个，因而共有 n! 项,所有这 n! 项的代个排列,t 为这个排列的逆序数,由于这样的排列
n
nppp
t
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
22221
11211
)1(
简记作 det(aij)，其中数 aij为行列式 D 的（ i,j）
元,
三,举例例 5 证明 n 阶行列式 (其中主、次对角线
,21
2
1
n
n
.1)( 21
2
1
2
1)(
n
n
nn
第一式是显然的，下面只证第二式,
1
12
1
2
1
n
,n
n
n a
a a
＝ (- 1)t a1na2,n-1 ··an1 = (- 1)t?1?2 ··?n,
t = 0 + 1 + 2 + ··· + (n - 1) = n (n - 1)/2,其中 t 为排列 n(n - 1)··2 1 的逆序数，故 证毕证毕证明证明上的元素是? i,未写出的元素都是０ )
例 6 证明下三角形行列式
.
2211
21
2221
11
nn
nnnn
aaa
aaa
aa
a
例例 6 证明下三角形行列式
.2211
21
2221
11
nn
nnnn
aaa
aaa
aa
a
由于当 j >i 时,aij= 0,故 D 中可能不为
iipa
0的元素,其下标应有 pi ≤ i,
p1 ≤ 1,p2 ≤ 2,···,pn ≤ n,
证明证明即例例 5和例和例 6的结论很重要，它们可以当的结论很重要，它们可以当时候总是想方设法把它化为三角形行列式．时候总是想方设法把它化为三角形行列式．
作公式用，以后我们在计算高阶行列式时，很多作公式用，以后我们在计算高阶行列式时，很多注意注意一,对换的定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换,
将相邻两个元素对换，叫做 相邻对换,
例如例如排列 6 3 2 1 5 4
对换
3与
5
新排列 6 5 2 1 3 4
逆 序数为 9 奇 排列逆 序数为 10 偶排列逆序数加
1
改变奇偶性第四节 对 换二,对换的性质推论 1 在全部 n 阶排列中 (n≥2 ),奇偶排列各占一半,
故有 s = t,证毕证毕设在全部 n 阶排列中有 s 个不同的奇排列和 t 个不同的偶排列,需证 s = t.
把 s 个奇排列最左边的两个数对换,则 s 个奇排列变成了 s 个不同的偶排列,所以 s ≤ t,
对 t 个偶排列作最左边两数对换,同理可得 t≤ s.
证明证明故有 s = t,证毕证毕设在全部 n 阶排列中有 s 个不同的奇排列和 t 个不同的偶排列,需证 s = t.
把 s 个奇排列最左边的两个数对换,则 s 个奇排列变成了 s 个不同的偶排列,所以 s ≤ t.
对 t 个偶排列作最左边两数对换,同理可得 t≤ s.
证明证明定理 1 一个排列中的任意两个元素对换,
排列改变奇偶性,
奇偶性不同,
证明证明设排列为 a1 ··alabb1 ··· bm,对换 a 与 b,则排列变为 a1 ··albab1 ··bm,显然,排列 a1 ··· al 和
b1 ··· bm 经对换后的逆序数并不改变,而 a,b 这两个元素的逆序数改变为,当 a<b时,经对换后 a
的逆序数增加 1 而 b 的逆序数不变 ; 当 a>b时,经对换后 a 的逆序数不变而 b 的逆数减少 1,所以排列 a1 ··· alabb1 ··bm 与排列 a1 ··· albab1 ··bm的先证相邻对换的情形先证相邻对换的情形,
推论 2 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数,
奇偶性不同,
证明证明设排列为 a1 ··alabb1 ··· bm,对换 a 与 b,则排列变为 a1 ··albab1 ··bm,显然,排列 a1 ··· al 和
b1 ··· bm 经对换后的逆序数并不改变,而 a,b 这两个元素的逆序数改变为,当 a<b时,经对换后 a
的逆序数增加 1 而 b 的逆序数不变 ; 当 a>b时,经对换后 a 的逆序数不变而 b 的逆数减少 1,所以排列 a1 ··· alabb1 ··bm 与排列 a1 ··· albab1 ··bm的先证相邻对换的情形先证相邻对换的情形,
定理 2 n 阶行列式也可定义为
,)1( 21 21 npppt naaaD
其中 t 为行标排列 nppp?21 的逆序数,
证明证明 按 行列式定义有,)1(
21 21 nnppp
t aaaD
记,)1( 211 21 npppt naaaD
由 上面的讨论知,对于 D 中任一项
nnppp
t aaa?
21 21)1(?
nqqqs naaa?21 21)1(?
总有且仅 有 D1 中的某一项与之 对应并相等； 反之对于 D1 中的任一项证明证明 按 行列式定义有
,)1( 21 21 nnpppt aaaD
记,)1( 211 21 npppt naaaD
由 上面的讨论知,对于 D 中任一项
nnppp
t aaa?
21 21)1(?
nqqqs naaa?21 21)1(?
总有且仅 有 D1 中的某一项与之 对应并相等； 反之对于 D1 中的任一项三,n 阶行列式的等价定义本节内容已结束 !
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性质 1
主要内容性质 2
性质 3
第五节 行列式的性质性质 4
性质 5
性质 6
举例设 n 阶行列式
,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
把 D 中的行与列互换,所得的 n 阶行列式记为
,
21
22212
12111
T
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
称 DT 为 D 的 转置行列式,
DT,
矩阵的转置模型矩阵的转置模型
A = 12 -13 43 15 8 -21 330 9 47 8
A T =
12 5 0-13 8 9
43 -21 471 33 8
3? 4
4? 3
性质２ 互换行列式的两行，行列式变号,
是由行列式 D =det(aij) 交换 i,j 两行得到的,即当 k?
性质２性质２ 互换行列式的两行，行列式变号互换行列式的两行，行列式变号,．设行列式
,
21
22221
11211
1
nnnn
n
n
bbb
bbb bbbD
i,j 时,bkp= akp; 当 k = i,j 时,bip= ajp,bjp= aip,于是证明证明交换 i,j 两行 记为
ji rr?
交换 i,j 两列 记为
ji cc?
推论 如果行列式有两行 (列 )完全相同，则证明 把这两行互换，有 D = -D，故 D = 0.
此行列式等于零,
是由行列式 D =det(aij) 交换 i,j 两行得到的,即当 k?
性质２性质２ 互换行列式的两行，行列式变号互换行列式的两行，行列式变号,．设行列式
,
21
22221
11211
1
nnnn
n
n
bbb
bbb bbbD
i,j 时,bkp= akp; 当 k = i,j 时,bip= ajp,bjp= aip,于是证明证明性质１ 行列式与它的转置行列式相等,
记 D = det( aij ) 的转置行列式为
,
21
22221
11211
T
nnnn
n
n
bbb
bbb bbbD
即 bij = aji ( i,j = 1,2,··,n ),
,)1()1( 2121T 2121 nppptnpppt nn aaabbbD
而由,)1( 21 21 npppt naaaD
故 DT = D,证毕证毕按定义有证明证明公因子可以提到行列式符号的外面,
第 i 行 (或列 )乘以 k,
记作 ri? k (或 ci? k)
性质 3 行列式的某一行 (列 )中所有元素都乘以同一个数 k,等于用数 k 乘以此行列式,
推论 行列式中某一行 (列 )的所有元素的两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,即
nnnn
nn
n
aaa
cbcbcb
aaa
21
2211
11211
性质 4 行列式中如果有两行 (列 )元素成比例,则此行列式等于零,
性质 5 若行列式的某一行 (列 )的元素都是
nnnn
n
n
aaa
bbb
aaa
21
21
11211
,
21
21
11211
nnnn
n
n
aaa
ccc
aaa
性质 6 把行列式的某一列 (行 )的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去,行列式不变,
例如，以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上 (记作
ci+kcj),有
nnnjnin
nji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
1
22221
11111
.
1
222221
111111
nnnjnjnin
njji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kcc
( i≠j )
性质 2，３，６介绍了行列式关于行和列的三交换运算,
ji cc?
线性运算,ji rkr
ji ckc
数乘运算,irk?
ji rr?
ick?
运算,数乘运算,它们分别记为种运算，在本教案中分别称为 交换运算,线性利用上述三种运算可简化行列式的计算，特从而得到行列式的值,
就是利用运算 ri+krj 把行列式化为上三角 形 行列式,
式中许多元素化为０,
别是利用运算 ri + krj (或 ci + kcj ) 可以把行列计算行列式常用的一种方法请做练习,
举例例 8 计算
.
3111
1311
1131
1113
,
3351
1102
4315
2113
21
DD
解例 9 计算
.
3610363
234232
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
解例 10 设
,
11
111111
1
111
nnnnkn
nk
kkk
k
bbcc
bbcc
aa
aa
D
,,
1
111
2
1
111
1
nnn
n
kkk
k
bb
bb
D
aa
aa
D
证明 D = D1D2,
证明证明 对 D1 作运算 ri +?rj,把 D1 化为下三角形 行列式，设为;11
1
11
1 kk
kkk
pppppD
对 D2 作运算 ci +?cj,把 D2 化为下三 角形行列式，设为
.11
1
11
2 nn
nnn
qqqqqD
例 11 计算 2n 阶行列式
,
2
dc
dc
ba
ba
D
n
其中未写出的元素为 0,
解解 把 D2n中的第 2n行依次与第 2n–1行,···、第 2行对调（作 2n–1次相邻对换），再把第 2n列依次与第 2n–1列,···、第 2列对调，得,
00
00
00
00
2
dc
dc
ba
ba
dc
ba
D n
余子式和代数余子式主要内容引理行列式按行 (列 )展开法则第六节 行列式按行 (列 )展开三阶行列式的几何意义行列式的计算方法一、余子式和代数余子式
Aij叫做元素 aij的 代数余子式,
定义 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第
i 行和第 j 列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的 n –1 阶行列式叫做元素 aij
的 余子式,记作 Mij；
Aij=(–1 )i+jMij,
记求余子式求余子式 模型模型
A =
2 1 -5 11 -3 0 -6
0 2 -1 21 4 -7 6 式和代数余子式
M -3 0 -62 -1 24 -7 6= A -3 0 -62 -1 24 -7 6=1 1 1 1
元素 a 的余子分别为
= 3 6 = 3 6
11
D = aijAij.
二、引理一个 n 阶行列式,如果其中第 i行所有元素除
aij 外都为 0,那么这行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积,即
D = aijAij,先证 a
ij 位于第 1 行第 1 列的情形,
,
00
21
22221
11
nnnn
n
aaa
aaaaD
二、引理二、引理一个一个 n 阶行列式阶行列式,如果其中第如果其中第 i 行所有元素除行所有元素除
aij 外都为零外都为零,那么这行列式等于那么这行列式等于 aij 与它的代数余与它的代数余子式的乘积子式的乘积,即即此时 证明证明 D = aijAij,先证 aij 位于第 1 行第 1 列的情形,
,
00
21
22221
11
nnnn
n
aaa
aaaaD
二、引理二、引理一个一个 n 阶行列式阶行列式,如果其中第如果其中第 i 行所有元素行所有元素
aij 外都为外都为 0,那么这行列式等于那么这行列式等于 aij 与它的代数与它的代数子式的乘积子式的乘积,
此 证明证明或 D = a1jA1j + a2jA2j + ··· + anjAnj (j = 1,2,···,n).
三、行列式按行 (列 )展开法则定理 3 行列式等于它的任一行 (列 )的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin (i = 1,2,···,n),
这个定理叫做 行列式按行（列）展开法则,
由行列式的
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
D
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
2
11211
00?
,00
21
11211
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
+ ··· +
得证明证明 两数之和两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和则这个行列式等于两个行列式之和,即即
nnnn nn
naaa cbcbcb aaa
21 2211
11211性质性质 5 若行列式的某一列若行列式的某一列 (行行 )的元素都是的元素都是
nnnn n
naaa bbb aaa
21 21
11211?,
21 21
11211
nnnn n
naaa ccc aaa
例 任意输入一个三阶或四阶行列式，利用行列式按行（列）展开法则计算,
例 12 行列式
11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
321
1111
n
n
nnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
d
称为 n 阶 范德蒙德 (Vandermonde) 行列式,
证明
.)(
1
nij
ji aad
证明证明 对 n 作归纳法,当 n = 2 时，
,11 1221 aaaa
结论成立,设对于 n – 1 阶范德蒙德行列式结论成立，现在来看 n 阶的情形,在 n 阶范德蒙德行列式中，第 n 行减去第 n – 1 行的 a1 倍，第 n – 1 行减去第 n –2 行的 a1 倍,也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的 a1 倍，有由或或 D = a 1jA 1 j+ a 2 jA 2j+…… + a nj A nj (j= 1,2,……,n ).
定理定理 3 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行 (列列 )的各元的各元素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和,
D = a i1A i1+ a i2A i2+…… + a in A in (i= 1,2,……,n ),
还可得下述重要推论,
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
ai1Aj1+ ai2Aj2 + ··· + ainAjn = 0,i? j,
或 a1iA1j + a2iA2j + ··· + aniAnj = 0,i? j,
证明证明 把 行列式 D = det( aij ) 按第 j 行展开，
有,
1
1
1
111
2211
nnn
jnj
ini
n
jnjnjjjj
aa
aa
aa
aa
AaAaAa
在上式中 把 ajk 换成 aik ( k = 1,2,···,n ),可得证明证明 把 行列式 D = det( aij ) 按第 j 行展开，
有,
1
1
1
111
2211
nnn
jnj
ini
n
jnjnjjjj
aa
aa
aa
aa
AaAaAa
在上式中 把 ajk 换成 aik ( k = 1,2,···,n ),可得综合 及其推论，有关于代数余子式的重要性质：
ji
jiD
DAa ij
n
k
kjki 当当
,0
,,
δ
1
或
,当当
ji
jiD
DAa ij
n
k
jkik,0
,,
δ
1
其中
.,0
,,1
δ
ji
ji
ij 当当或或 D = a 1jA 1 j+ a 2 jA 2j+…… + a nj A nj (j= 1,2,……,n ).
定理定理 3 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行 (列列 )的各元的各元素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和,
D = a i1A i1+ a i2A i2+…… + a in A in (i= 1,2,……,n ),
仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式
det(aij) 按第 i 行展开的展开式中，用 b1,b2,···,bn
依次代替 ai1,ai2,···,ain,可得
.
2211
1
,11,1
1
,11,1
111
innii
nnn
nii
n
nii
n
AbAbAb
aa
aa
bb
aa
aa
类似地，用 b1,b2,···,bn 代替 det(aij) 中的第 j 列，可得
.2211
1,1,1
11,111,111
njnjj
nnjnnjnn
njj
AbAbAb
aabaa
aabaa
四四,,三阶行列式的几何意义三阶行列式的几何意义设三阶行列式
333231
232221
131211
aaa aaa
aaa
的行是向量? 1,? 2,? 3 在直角坐标系下的坐标,即
),,,( 1312111 aaa ),,,( 2322212 aaa ).,,( 3332313 aaa
那么 ),,,( 1312111 aaa ),,,( 2322212 aaa ).,,( 13121132 AAA
设有三阶行列式
333231 232221 131211 aaa aaa aaa令证明例 13 设
,
3142
3131
5011
1253
D
D 的（ i,j）元的余子式和代数余子式依次记作 Mij
和 Aij,求
A11 + A12 + A13 + A14 及 M11 + M21 + M31 + M41,
解解 由 公式公式,
2211
1 1,11,1
1,11,1
111
innii
nnn ii
nnii
n AbAbAb
aa aa bb aa
aa
.22111,1,1 11,111,111 njnjjnnjnnjnn njj AbAbAbaabaa aabaa
可知 A11+ A12+ A13+ A14等于 用 1,1,1,1代替 D的第 1行所得的行列式，即
3142 3131
5011 1111
14131211
AAAA
计计 算算 4.
1,直接用定义计算 ;
2,利用性质化为三角形行列式 ;
3,利用展开式定理降阶,
五、行列式的计算方法到现在为止,我们已能计算任意阶的行列式,
行列式的计算是我们这一章的重点,也是同学们必须掌握的基本技能,
行列式有以下三种计算方法,
下面再举几个 n 阶行列式计算的例子,
例 设
,
1
112
223
332
221
11
nn
nnn
nnn
n
D
证明递推关系式
Dn =?nDn-1-?n-1?n-1Dn-2 ( n > 2 ).
12
223
332
221
11
nn
nnn
nnD
按 Dn 的第 n 列展开,得证明证明关系式在计算数学中常被引用,
Dn 是常见的 n 阶三对角行列式,所证的递推
.
21
121
121
121
12
n
D
例 计算 n 阶行列式
=D1+ ( n-1 ) =n+ 1,
这是一个三对角行列式,在这里?
i= 2,?i=?i=1(i= 1,2,·,n),由果可得 D
n= 2Dn-1-Dn-2.
适当移项可得关于 Dn 的递推关系式
Dn-Dn-1= Dn-1-Dn-2= Dn-2-Dn-3= ···= D2-D1.
因 D2= 4 -1 = 3,D1= 2,D2-D1= 1,所以
Dn= Dn-1+ 1 = ( Dn-2+ 1 ) + 1 = ···
的结解解下 面 验 算 此 结 论,单 击 此 处 开 始下下 面面 验验 算算 此此 结结 论论 单单 击击 此此 处处 开开 始始上例上例 设
nn nnn nnn
nD
1 112 223
332 221 11
证明递推关系式
Dn=?nDn-1-?n-1?n-1Dn-2 (n> 2 ).
例 计算 n 阶行列式
.
xaa
axa
aax
D
n
xaa
axa
anxanxanx
)1()1()1(解解
r1+r2+ ·+rnDn
=[x+ ( n-1)a]
xaa
axa
111
克拉默法则主要内容线性方程组有解的条件举例第七节 克拉默法则克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零,即
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
,
,
(1)
一、克拉默法则
,0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
那么,方程组 (1)有唯一解
,
D
Dx 1
1?,,D
Dx?2
2?,D
Dx n
n?
.
111
11111111
nnn,jnn,jn
n,j,j
j
aabaa
aabaa
D
其中 Dj (j = 1,2,···,n) 是系数行列式 D 中第 j
列的元素,用方程组右端的常数项代替后所得到的
n 阶行列式,即程,再把它们相加,得
jnk kjkjnk kjk xAaxAa 111 1
,11 nk kjknnk kjkn AbxAa
用 D 中第 j 列元素的代数余子式
A1j,A2j,··,Anj 依次乘以方程组的 n 个方证明证明程,再把它们相加,得
jnk kjkjnk kjk xAaxAa 111 1
,11 nk kjknnk kjkn AbxAa
用 D 中第 j 列元素的代数余子式
A1j,A2j,···,Anj 依次乘以方程组的 n 个方证明证明例 14 解线性方程组
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解行列式计算区行列式计算区 1 1 1 12 3 1 0
7 -2 5 7-3 2 1 6= - 4 7
1克拉默法则克拉默法则 1 1 1 12 3 1 0 07 -2 5 7 2
-3 2 1 6 5B ＝
方程组的增广矩阵为下一个
x 1 =方程组的解为 - 5 8 / 4 7
x 2 =
x 3 =
x 4 =
1 / 4 71 1 3 / 4 7
- 9 / 4 7D ＝
清 空例 15 设曲线
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
通过四点 (1,3),(2,4),(3,3),(4,-3)，求系数
a0,a1,a2,a3,
解解 把四个点的 坐标代入曲线方程，得线性方程组
.364164,32793
,4842,3
3210
3210
3210
3210
aaaa aaaa
aaaa aaaa
求解求解得 a0= 3,a1= -3/2,a2= 2,a3= -1/2,
所求 曲线为,212233 32 xxxy行列式计算区行列式计算区 1 1 1 12 3 07 -2 5 7-3 2 1 6= -47
1克拉默法则克拉默法则 1 1 1 12 3 0 07 -2 5 7 2-3 2 1 6 5B ＝ 方程组的增广矩阵为下一个 x1 =方程组的解为 -58/47x2 =x3 =x4 =1/4713/47-9/47D ＝ 清 空定理 1 如果线性方程组克拉默法则可叙述为下面的重要定理,
式 D? 0,则 (1)一定有解,且解是唯一的,
二、线性方程组有解的条件定理 1 的逆否命题为定理 1′ 如果线性方程组 (1) 无解或有无穷个不同的解,则它的系数行列式必为零,
.
,,
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa bxaxaxa
(1) 的系数行列全为零时,线性方程组 (1)叫做 齐次线性方程组,
线性方程组
b1,b2,···,bn
不全为零时,线性方程组 (1) 叫做 非齐次线性方程组 ; 当
b1,b2,···,bn
右端的常数项
.
,,
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa bxaxaxa
(1)
对于齐次线性方程组
,0
,0
,0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
(2)
x1 = x2 = ··· = xn = 0 一定是它的解,这个解叫做 齐次线性方程组 (2) 的零解,
定理 2′ 如果齐次线性方程组 (2)有非零如果一组不全为零的数是做 齐次线性方程组 (2)的非零解,齐次线性方程组 (2)一定有零解,但不一定有非零解,对于齐次线性方程组 (2) 有以下定理,
定理 2 如果齐次线性方程组 (2)的系数行列式 D? 0,则齐次线性方程组 (2)没有非零解,
解,则它的系数行列式必为零,
的解,则它叫
.0
,0,0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa xaxaxa
(2)
例 16 讨论? 为何值时,线性方程组
2
321
321
321
,
,1
xxx
xxx
xxx
有唯一解,并求出其解,
三,举例方程组的系数行列式
11 11
11?D
2),(1)( 2
由此可知,当 21 且 时,D?0,这时方程组 有唯一解,
单击这里求解单击这里求解解解例 17 问? 取何值时,齐次线性方程组
0)4(2
,0)6(2
,022)5(
zx
yx
zyx
有非零解？
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