第 二 章 矩阵及其运算第一节 矩 阵第二节 矩阵的运算第三节 逆矩阵第四节 矩阵分块法主要内容矩阵的定义几种常用的特殊矩阵矩阵的应用举例第 一 节 矩 阵第 二 章 矩阵及其运算定义 1 由 m? n 个数 aij (i = 1,2,···,m; j = 1,
( 1 )
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
叫做一个 m? n 矩阵,这 m? n 个数叫做矩阵的一、矩阵的定义元素,aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素,
2,···,n) 排成的 m 行 n 列的数表元素是实数的矩阵称为 实矩阵,元素是复数例 如
,
0124
2589
3421
,
53
15
89
03
21
３ × ４矩阵
5× 2
矩阵
A ＝ ( aij )m?n 或 A = ( aij ),
的矩阵称为 复矩阵,（ 1）式也可简记为二、几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵只有一行的矩阵称为 行矩阵 (也称为 行向量 ).
如 A = ( a11,a12,···,a1n ).
.
1
21
11
m
a
a
a
B
如只有一列的矩阵称为 列矩阵 (也称为 列向量 ),
(2) 零矩阵若一个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
行数和列数相同的矩阵称为 方阵,例如
(3) 方阵引起混淆的情况下，也可记为 Ｏ,
阵为 零矩阵,m? n 零矩阵记为 Ｏ m? n,在不会称为 n? n 方阵，常称为 n 阶方阵 或 n 阶矩阵,
nn
a
a
a
A
22
11
主对角线都为零的方阵称为 对角矩阵,如主对角线上的元素不全为零，其余的元素全
(4) 对角矩阵简记为 A= ( aij )n,
为 n 阶对角矩阵,其中未标记出的元素全为零,即
.
200
010
003
)21,d i a g ( 3,
对角矩阵对角矩阵常记为 A = diag( a11,a22,···,ann ),例如
aij = 0,i? j,i,j = 1,2,···,n,
(5) 单位矩阵主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为 单
.
1
1
1
n
n
E
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地位,它的作用与,1” 在初等代数中的作用相似,
如 EA = AE = A,
位矩阵,简记为 E 或 I,如
(6) 数量矩阵主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为 数
n
c
c
c
（ c 为常数）,
n 阶数量矩阵量矩阵,例如
(7) 三角形矩阵主对角线下 (上 ) 方的元素全为零的方阵称为
,
222
11211
nn
n
n
a
aa
aaa
.
21
2221
11
nnnn
aaa
aa
a
上三角形矩阵 下三角形矩阵上 (下 ) 三角形矩阵,例如
(8) 对称矩阵与反称矩阵在方阵 A = ( aij )n 中,如果 aij = aji (i,j = 1,2,
,
475
731
512
.
273
702
321
实对称矩阵反称矩阵
n),则称 A 为 反称矩阵,例如称 A 为 实对称矩阵,如果 aij = -aji (i,j = 1,2,···,
···,n),则称 A 为 对称矩阵,如果 A 还是实矩阵,则矩阵 A = ( aij )m× n 与 B = ( bij )p× q 如果满足
65
24
13
.
fe
dc
ba与 当 a=3,b=-1,c=4,d=2,
e=-5,f=6 时,它们相等,
则称 矩阵 A 和矩阵 B 相等,记为 A = B,例如
aij = bij,i = 1,2,···,m,j = 1,2,···,n,
B = ( bij )m× n,如果对应元素相等,即定义 两个同型矩阵 A = ( aij )m× n 与
m = p 且 n = q,则称这两个矩阵为 同型矩阵,
三、矩阵的应用举例例例 1 产品发送量矩阵产品发送量矩阵某厂向三个 商店发送四种产品的数量可列成矩阵
34333231
24232221
14131211
aaaa aaaa
aaaaA
其中 a ij 为工厂向第 i 店发送第 j 种产品的数量,
例例 2 邻接矩阵邻接矩阵四个 城市间的单向航线如图 2,1 所示,若令
a ij = 1,从 i 市到 j 市有 1 条单向航线，0,从 i 市到 j 市没有 单向航线，
1
2 3
4
图图 2,1
则 图 2,1 可用矩阵表示为
0101 0010
0001 1110)(
ijaA
例例 3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵
n 个变量 x 1,x 2,···,x n 与 m 个变量 y 1,y 2,
···,y m 之间的关系式
( 2 )
2211
22221212
12121111
,xaxaxay
,xaxaxay
,xaxaxay
nmnmmm
nn
nn
表示一个从变量 x 1,x 2,···,x n 到 变量 y 1,y 2,···,
y m 的 线性变换线性变换,其中 a ij 为常数,
例例 5 二次曲线的矩阵二次曲线的矩阵二次曲线的一般方程为
ax 2 + 2 b x y + cy 2 + 2 dx + 2 ey + f = 0,( Ⅱ )
( Ⅱ ) 的左端可以用表 x y 1
x
y
1
a b d
b c e
d e f
来表示，其中每一个数就是它所在的行和列所对应例例 4 4 线性方程组的矩阵线性方程组的矩阵设有线性方程组
)I(
.
,,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa bxaxaxa
若令
,,
21
222221
111211
21
22221
11211
mmnmm
n
n
mnmm
n
n
baaa
baaa baaaB
aaa
aaa aaaA
矩阵的加法主要内容数与矩阵相乘矩阵的乘法方阵的幂第二节 矩阵的运算矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵矩阵乘积的意义
1,定义定义 2 设 A = (aij)m× n 与 B = (bij)m× n 是两
A - B = A + (-B),
阵,显然有 A + (-A) = O,由此可定义矩阵的 差 为若记 - A = ( -aij),则称 -A 为矩阵 A 的 负矩阵 A 与矩阵 B 的和,记为 A＋ B．
个同型矩阵，称 m× n矩阵 C = (aij + bij)m× n 为矩一、矩阵的加法
2,运算规律设 A,B,C 为同型矩阵,则
(1) A + B = B + A ( 加法交换律 ) ;
(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律 );
(3) A + O = O + A = A,其中 O 与 A 是
(4) A + ( -A ) = O,
同型矩阵 ;
例 设
,A
73
01
52
,B
93
54
23
.
34
59
C
(1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因 ;
(2) 求 C 的负矩阵,例例 设,A
73 01
52,B
93 54
23,
34 59C
(1)问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因 ;
(2)求 C的负矩阵,(1)A与 B能进行加法运算 ;
阵,A和 B 都是 3× 2 矩阵,C是 2× 2 矩阵,B 与 C 不能进行加法运算,因为它们不是同型矩而 A 与 C,解解
1,定义定义 3 设 A = ( aij )m× n,k 是一个数,则
mnmm
n
n
nmij
kakaka
kakaka
kakaka
ka
21
22221
11211
）（
为数 k 与矩阵 A 的 数量乘积,简称数乘,记为 kA.
称矩阵二、数与矩阵相乘
2,运算规律设 A,B 为同型矩阵,k,l 为常数，则
(1) 1A = A;
(2) k(lA) = (kl) A;
(3) k(A + B) = kA + kB;
(4) (k + l)A = kA + lA,
矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的 线性运算,
例 设
,B,A
22
12
12
03
且
B,XA 32 求矩阵 X,例例设
,B,A 22 1212 03
且在
BAX 23
B,XA32 求矩阵 X.
两端同加上,32 BXA A2?
得
22 1212 032)(,06 18
解解定义 4 设矩阵 A = (aij)m× p,B = (bij)p× n,
p
k
kjik,ba
1
i = 1,2,···,m; j = 1,2,···,n,
则称矩阵 C 为 矩阵 A 与矩阵 B 的乘积,记作注意,只有当第一个矩阵 (左矩阵 )的列数等于第二个矩阵 (右矩阵 )的行数时,两个矩阵才能相乘,
C = AB.
cij = ai1b1j + ai2b2j + ··· + aipbpj
C = (cij)m× n,其中三、矩阵的乘法
,
431
102
311
014
,
2012
1301
BA
例 4 已知求 AB.
,
431 102
311 014,2012 1301
BA
例例 4 已知求 AB.
因为 A是 2× 4 矩阵,B是 4× 3 矩阵,A
定义有其乘积 AB = C是一个 2× 3 矩阵,由矩阵乘积的的列数等于 B的行数,所以矩阵 A与 B可以相乘,解解例 5 求矩阵
63
42
21
42
B,A
的乘积 AB 及 BA.例例 5 求矩阵
63 4221 42 B,A
的乘积 AB及 BA.解解
63 4221 42AB
21 4263 42BA
,168 3216
.00 00
由定义有定义了矩阵的乘法运算后,对于线性方程组
,
,
,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
若令
,
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
,
2
1
nx
x
x
X
,
2
1
mb
b
b
b
AX = b.
则上述线性方程组可写成如下矩阵形式,
= b.
关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点,
(1) 矩阵的乘法运算不满足交换律,
左乘 B”或,B 右乘 A”.
作乘法时,应指明它们相乘的次序,如 AB 读作
,A
中 AB和 BA 虽然都有定义,但 AB? BA,所以,在使 AB与 BA 都有定义,它们也不一定相等,
的矩阵 A 和 B,AB 有定义,但 BA 就没有定义,即
AB 有定义,BA不一定有定义,中
,
431 102
311 014,2012 1301
BA
例例 4 已知求 AB,因为 A是 2× 4 矩阵,B是 4× 3 矩阵,A
定义有其乘积 AB = C是一个 2× 3 矩阵,由矩阵乘积的的列数等于 B的行数,所以矩阵 A与 B可以相乘,
解解如例例 5 求矩阵
63 4221 42 B,A的乘积 AB及 BA.
解解 由定义有
63 4221 42AB
21 4263 42BA
,168 3216
.00 00
如
(3) 矩阵的乘法不满足消去律,即如果
,OB,CBAB
C,B,A
11
22
54
02
11
11
32
11
但 A? C,
例如
AB = CB,B? O,不一定能推出 A = C.
(2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,
例如,本节 中 A? O,B? O,但 BA = O.例例 5 求矩阵
63 4221 42 B,A的乘积 AB及 BA.
解解 由定义有
63 4221 42AB
21 4263 42BA
,168 3216
.00 00
3,运算规律
(1) Ok× mAm× p= Ok× p,Am× pOp× n= Om× n ;
(2) 设 A 是 m × n 矩阵,Em 是 m 阶单位矩
(5) k(AB) = (kA)B = A(kB).
(B + C)A = BA + CA;
(3) (AB)C = A(BC);
(4) A(B + C) = AB + AC,
EmA = A,AEn = A ;
阵,En 是 n 阶单位矩阵,则四、方阵的幂如果 A 是 n 阶方阵,那么,AA 有意义,
Am
AAA
个也有意义,因此有下述定义,
.
Am
m AAAA
个
另外还规定，
１,定义
Ａ 0 = E.
Ａ 相乘称为 Ａ 的 m 次幂,记为 Ａ m,即定义 设 A 是 n 阶方阵,m 是正整数,m 个
2,运算规律设 A 为方阵,k,l 为正整数,则阶方阵 A 与 B,一般来说 (AB)k? AkBk,
又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个 n
AkAl = Ak+l,(Ak)l = Akl,
定义,对于两个 n 阶方阵 A,B,若 AB = BA,
则称方阵是 可交换 的,
当 AB=BA时 (即 A,B为可交换的矩阵 ),有如下结论成立,
222 2)()1( BABABA
nnnnnnn BBACBACABA22211)(
22))(()2( BABABA
kkk BAAB?)()3(
例 设
,
00
10
01
A
计算 A2,A3,An (n>3).例例 设
,00 10 01
A
计算 A2,A3,An(n>3).
设
A=?E + B,
其中 E为三阶单位矩阵,,
000 100
010
B
这一步很关键这一步很关键 也很巧妙也很巧妙 !
解解例 6 证明
.c o ss i n s i nc o s
nn
nn?
n
c o ss i n
s i nc o s
例例 6 证明
.cossin sincos nn nn n cossin sincos
证明证明 用 数学归纳法,当 n = 1 时，等式显然成立,设 n = k 时 成立，即设
.cossin sincos kk kk k cossin sincos
要 证 n = k + 1 时成立,此时有线性变换的乘积线性变换的乘积设有三组变量 x 1,x 2,x 3,x 4 ； y 1,y 2,y 3 ； z 1,
z 2,它们之间的关系分别为
)1(
,
,
,
,
3432421414
3332321313
3232221212
3132121111
yayayax
yayayax
yayayax
yayayax
.
08
12
23
51
T
A
六、矩阵的转置
1,定义定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到例如矩阵
0125
8231
A
的转置矩阵为一个新矩阵,叫做 A 的 转置矩阵,记作 AT 或 A′.
矩阵的转置模型矩阵的转置模型
A = 12 -13 43 15 8 -21 330 9 47 8
A T =
12 5 0-13 8 9
43 -21 471 33 8
3? 4
4? 3
2,运算规律设 A,B,C,A1,A2,···,Ak 是矩阵，且
(A1A2 ··· Ak)T = AkT ··· A2TA1T ;
(1) (AT)T = A ;
(2) (B + C)T = BT + CT ;
(3) (kA)T = kAT;
(4) (AB)T = BTAT ;
则它们的行数与列数使相应的运算有定义,k 是数，
(5) 若 A 为 n 阶方阵,则 (Am)T = (AT)m,
A 为反称矩阵的充要条件是 AT = - A,
(6) A 为对称矩阵的充要条件是 AT = A;
m 为正整数 ;
,1 sk kijkji bac
则
A = (aij)m× s,B = (bij)s× n,
我们只证明 (4) 的第一式,设记 AB = C = (cij)m× n,BTAT = D= (dij)n× m,
证证 明明
,baabd sk kijksk jkkiij 11
而 BT 的第 i 行为 (b1i,···,bsi),AT 的第 j 列为
(aj1,···,ajs)T,因此
,1 sk kijkji bac
则
A = (aij)m× s,B = (bij)s× n,
我们只证明 (4) 的第一式,设记 AB = C = (cij)m× n,BTAT = D= (dij)n× m,
证证 明明
,baabd sk kijksk jkkiij 11
而 BT 的第 i 行为 (b1i,···,bsi),AT 的第 j 列为
(aj1,···,ajs)T,因此
,B,A
102
324
171
231
102
例 7 已知求 (AB)T,
102 324
171
231 102AB
,B,A
102 324
171
231 102
例例 77 已知求 ( AB ) T,
解法解法 11 先乘积后转置 先乘积后转置所以,AB
103 1314
170)(
T
,101317 3140
因为
,B,A
102 324
171
231 102
例例 77 已知求 ( AB ) T,
解法解法 22 先转置后乘积 先转置后乘积
21 30
12
131 027
241,
103 1314
170
( AB ) T = B T A T
例 8 设 A 为 n× 1 矩阵,且 ATA = 1,En 为 n
阶单位矩阵,B = En - 2AAT,证明,B 为对称矩阵,
且 B2 = En,
例例 8 设 A 为 n× 1 矩阵,且 ATA = 1,En 为 n阶单位矩阵,B = E
n - 2AAT,证明,B 为对称矩阵,且 B
2 = En,由于
BT = (En - 2AAT)T = En - (2AAT)T= E
n - 2(AT)TAT = En- 2AAT = B,因而矩阵 B 为对称矩阵,
B2 = (En - 2AAT)(En - 2AAT)= E
n -2AAT -2AAT + 4AATAAT= E
n -2AAT -2AAT + 4A(ATA)AT = En,
证明证明又证毕证毕七、方阵的行列式
1,定义定义 6 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式 (各元素的位置不变 ),叫做 方阵 A 的行列式,记作 |A| 或 det A,
方阵与行列式是两个不同的概念方阵与行列式是两个不同的概念,n 阶阶方阵是方阵是 n2 个数按一定方式排成的数表个数按一定方式排成的数表,而而 n 阶行阶行列式则是这些数列式则是这些数 ( 也就是数表也就是数表 A ) 按一定的运算法按一定的运算法则所确定的一个数则所确定的一个数,
注意注意
2,运算规律设 A,B 为 n 阶方阵,? 为数,则有
(1) |AT| = |A| ;
(2) |?A| =?n |A| ;
(3) |AB| = |A| |B|,
证明证明
(1) |AT| = |A| ;
(2) |?A| =?n |A| ;
(3) |AB| = |A| |B|,
只 证（ 3）,设 A = ( aij ),B = ( bij ).记 2n 阶行列式
,
10
01
00
00
1
111
1
111
BE
OA
bb
bb
aa
aa
D
nnn
n
nnn
n
注意注意
(2) 说明一个数乘以方阵所得方阵的行列式等说明一个数乘以方阵所得方阵的行列式等于这个数的于这个数的 n 次幂乘以该方阵的行列式次幂乘以该方阵的行列式,这个数不这个数不能直接提出来能直接提出来,同学们一定要注意这一点同学们一定要注意这一点,由由 (3) 可知可知,对于对于 n 阶方阵阶方阵 A,B,一般来说一般来说
AB?BA,但总有但总有 | AB | = | BA |,
(1) 即为行列式的性质即为行列式的性质 1 ;
(1) |AT| = |A| ; (2) |?A| =?n |A| ;(3) |AB| = |A| |B|,
nnnn
n
n
*
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
例 9 行列式 |A| 的各个元素的代数余子式
Aij 所构成的如下方阵称为方阵 A 的 伴随矩阵,试证
AA? = A?A = |A|E,
,EAAAaAAA ijijnk kjki* δδ1
证毕证毕设 A = (aij),记 AA? = (bij),则
bij = ai1Aj1 + ai2Aj2 + ··+ ainAjn = |A|?ij,
故 AA? = (|A|?ij ) = |A|(?ij) = |A| E,
类似地有证明证明八、共轭矩阵复数,记
.aA ij )(?
A 称为 A 的 共轭矩阵,
当 A = (aij) 为复矩阵时,用 表示 aij 的共轭aij;( 1 ) BABA;( 2 ) AA
.( 3 ) BAAB?
共轭矩阵有以下运算规律 (设 A,B 为复矩阵,?
为复数,且运算都是可行的 ):
逆矩阵的概念主要内容矩阵可逆的充要条件可逆矩阵的性质举例第三节 逆 矩 阵引例矩阵多项式补充例题引例引例 1 矩阵与复数矩阵与复数复数可以用二维有序数组来表示，如复数 a + b i可表示为 ( a,b ),因此，从结构上看复数是矩阵的特殊情形,在第二节我们也看到，矩阵与复数相仿，有加法、减法、乘法三种运算,我们知道，复数的乘法运算有逆运算，那么矩阵的乘法运算是否也有逆运算呢？ 如果有的话，这种运算如何定义，
如何计算呢？ 这就是本节所要讨论的问题,
引例引例 2 2 坐标旋转变换坐标旋转变换在平面直角坐标系 x Oy 中，将两个坐标轴同时绕原点旋转? 角 ( 逆时针为正，顺时针为负 ),
任何一点 Ｐ 在两个坐标系中的坐标分别记为
（ x,y ） 与（ u,v ）,则不难得到就得到一个新的直角坐标系 ( 见图 2,4 ),平面上引例引例 3 3 线性变换的逆变换线性变换的逆变换设给定一个线性变换
)1(
,
,
,
2211
22221212
12121111
nnnnnn
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
它的系数矩阵是一个 n 阶方阵 A,若记一、引例定义 7 设 Ａ 是 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 Ｂ,使得 AB＝ BA＝ E,（ 1）
则称矩阵 A 可逆，且称 B 是 A 的 逆矩阵,记作
B＝ A－ 1．
如果不存在满足（ 1）的矩阵 B,则称矩阵
A 是不可逆的．
二、逆矩阵的概念今后将 (1)写为 AA－ 1 = AA－ 1 =E （ 2）
三、矩阵可逆的充要条件定理 1 如果 n 阶矩阵 Ａ 可逆，则它的逆矩阵是唯一的．
设矩阵 B 与 C 都是 A 的逆矩阵，则有
AB = BA = E， AC = CA = E,
因而
B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C,证毕证毕证明证明定理定理 1 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 ＡＡ 可逆，则它的逆可逆，则它的逆矩阵是唯一的．矩阵是唯一的．
,A
| A |
A *11
定理２ n 阶矩阵 Ａ 可逆的充要条件是
|Ａ |? 0,如果 Ａ 可逆，则其中 Ａ?为矩阵 Ａ 的伴随矩阵,
设矩阵 B 与 C 都是 A 的逆矩阵，则有
AB = BA = E， AC = CA = E,
因而
B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C,证毕证毕证明证明定理定理 1 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 ＡＡ 可逆，则它的逆可逆，则它的逆矩阵是唯一的．矩阵是唯一的．
必要性必要性 若 Ａ 可逆，则两边取行列式，得 |A||A-1| = 1,因而 |Ａ |?0,
充分性充分性 若 |Ａ |?0,则例例 9 行列式 |A | 的各个元素的代数余子式A
ij 所构成的如下方阵
,AAA AAA AAAA
nnnn
nn*
21
22212 12111
称为方阵 A 的 伴随矩阵伴随矩阵,试证,11 EAA
| A |A| A |A **
AA-1 = A-1A = E,
证明证明由逆矩阵的定义可知,A 可逆，且有
.A|A|A *11 证毕证毕由推论 若 AB = E（或 BA = E），则
B = A-1,
可得下述推论：
｜ A｜｜ B｜ =｜ E｜ =１，
因而 A-1 存在，于是
B = EB= (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1,
证毕证毕证明证明 ｜ A｜｜ B｜ =｜ E｜ =１,
因而 A-1 存在，于是
B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1,
证毕证毕证明证明若 n 阶矩阵 A 的行列式不为零，即 |A|? 0，
则称 A 为 非奇异矩阵,否则称 A 为 奇异矩阵,
说明，矩阵 A 可逆与矩阵 Ａ 非奇异是等价的概念,
定理２不仅给出了矩阵可逆的充要条件，而且给出了求矩阵逆矩阵的一种方法，称这种方法为伴随矩阵法,
四、可逆矩阵的性质;1)( 11 AkkA
(2)
设 A,B,Ai (i = 1,2,···,m) 为 n 阶可逆矩阵，
k 为非零常数，则
A-1,kA,AB,A1A2 ··· Am,AT
也都是可逆矩阵，且
(1) (A-1)-1 = A;
(3) (AB)-1 = B-1A-1,
(A1A2 ··· Am)-1 = Am-1 ··· A2-1A1-1 ;
（ 4） (AT)-1 = (A-1)T ;
（ 5）;11
| A |
||A
（ 6） (Am)-1 = (A-1)m,m 为正整数,
我们只证（３）和（４）
（３） (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1
= AEA-1 = AA-1 = E.（４） A
T(A-1)T = (A-1A)T = ET = E,
所以 (AT)-1 = (A-1)T,证毕证毕证明证明 我们只证（３）和（４）
（３） (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1
= AEA-1 = AA-1 = E.（４） A
T(A-1)T = (A-1A)T = ET = E,
所以 (AT)-1 = (A-1)T,证毕证毕证明证明例 10 求二阶矩阵 的逆矩阵,
五、举例
dc
baA
解解 矩阵 A的行列式 | A| = ad–bc,伴随矩阵
.* ac bdA
利用逆矩阵公式,||1 *1 AAA 当 | A|?0 时，有
.1|| 1 *1 ac bdbcadAAA
例例 10求二阶矩阵 的逆矩阵, dc baA
最后用 |A | 去除 A 的每一个元素,即可得 A 的逆矩 b c.ad|A |,dc baA
,两调一除两调一除,法法求二阶矩阵的逆阵可用,两调一除两调一除,的方法,
其方法是,先将矩阵 A 中的主对角线上的元素调换位置,再将次对角线上的元素调换其符号,
阵,
例 11 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵：
325
121
321
)2( 2A
213
011
322
( 1 ) 1A
5341
1723
3212
4131
)3(
3
A
单 击 这 里 开 始 解 答矩阵的求逆模型矩阵的求逆模型
1 1 1
2 3 -1
0 -2 1A =
1 1 1
2 3 -1
0 -2 1
= - 5
A 1 12 3- 1 / 5 1 -3 -4-2 1 3
-4 2 1A - 1 =
元素计算区元素计算区
=3 3
= 1
下一个
A 的逆矩阵为：
清 空
.C,B,A
021
102
341
010
100
001
100
001
010
例 12 解矩阵方程 AXB = C,其中
.C,B,A 021 102 341010 100 001100 001 010
单击这里可求逆单击这里可求逆
,100 001 0101A
例例 12解矩阵方程 AXB = C,其中解解下面求 A和 B的逆矩阵,
由已知易得 X= A-1CB-1,
例 13 设
,,20 01,41 21 PAPP
求 A
n,
例例 13设,,20 01,41 21 PAPP 求 An.
解解 因为 | P| = 2,所以 P可逆,由 求二 阶矩阵逆 矩阵的,两调一除,法，得
.11 24211P
在 等式 AP= P?两边右乘 P -1,得A= P?P
-1，
于是 A2= P?P -1P?P -1= P?2P -1,···，
An= P?nP -1，
六、矩阵多项式设? (x) = a0 + a1x + ··· + amxm 为 x 的 m 次多项式,A 为 n 阶方阵，记
(A) = a0 E + a1 A + ··· + am A m,
(A) 称为 矩阵 A 的 m 次多项式,
1,定义从而 A 的多项式可以像数 x 的多项式一样相乘或分解因式,例如
( E + A )( 2E – A ) = 2E + A – A2,
( E – A )3 = E – 3A + 3A2 – A3,
因为矩阵 Ak,Al 和 E 都是可交换的，所以矩阵 A 的两个多项式? (A) 和 f (A) 总是可交换的，
即总有
(A) f (A) = f (A)? (A)，
2,性质
3,计算方法
（ 1） 如果 A = P? P –1，则 Ak = P?k P –1，从而
(A) = a0 E + a1 A + ··· + am Am
= Pa0EP –1 + Pa1?P –1 + ··· + Pam?mP –1
= P? (?)P –1,
（ 2） 如果? = diag(?1,?2,···,?n)为对角矩阵,
则,?k = diag(?1k,?2k,···,?nk)，从而
(?) = a0 E + a1? + ··· + am?m
m
n
m
m
m
n
aaa
2
1
2
1
10
1
1
1
.
)(
)(
)(
2
1
n
例 14 设,,
300
020
001
,
111
201
111
P ΛAPΛP?
求? (A) = A3 + 2A2 – 3A,
解解 111 201 111||P 计算计算 6,所以 P可逆，
从而 A= P?P -1,?(A) = P?(?)P -1.而?(1) = 0,?(2) = 10,?(3) = 0，
故?(?) = diag(0,10,0),
例例 14设,,300 020 001,111 201 111 P ΛAPΛP
求?(A) = A3+ 2A2–3A.
例 1 设方阵 A 满足,22 OEAA 证明
EAA 2?及都可逆，并求,)2(
11 EAA 及移项得
EAA 2?及 都可逆，并求,)2( 11 EAA 及变形所给的等式，得
,22 OEAA
,22 EAA
,2)( EEAA
分解因式得解解例例 1 设方阵 A 满足,22 OEAA 证明七、补充例题例 2 设
,A
321
011
324 求 B.
B,AAB 2
例例 2 设
,A 321 011 324 求 B.
已知方程变形得
B,AAB 2
,2 ABAB
,)2( ABEA
两边左乘,)2( 1 EA
得分解因式得解解例 3 设 n 阶方阵 A,B,A + B 均可逆,证明
(A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A.
证明证明
A-1 + B-1 = A-1(E + AB-1) = A-1(BB-1 + AB-1)
= A-1(B + A)B-1,
由 (A
-1 + B-1)-1 = [A-1(A + B)B-1]-1 = B(B + A)-1A.
同理可证另一个等式也成立,
(3) (AB )-1 = B-1A-1,(A 1A 2 ···A m )-1 = A m-1 ··· A 2-1A 1-1,逆阵的性质逆阵的性质 (3)可知乘积,将 A
-1 + B-1 表示成已知的可逆矩阵的例例 3 设 n 阶方阵 A,B,A + B均可逆,证明(A
-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A.
例 4 设 为 n ( n ≥ 2 )阶方阵,证明
|A?| = |A|n-1.
由于 AA? = A?A = |A|E,所以|A| |A
| = |A|n,
下面分三种情形讨论,(1) |A|?0,即 A 可逆,上式两端除以 |A| 即得 |A?| = |A|n-1.(2) |A| = 0,且 A = O,则 A
= O,结论显然成立,
证明证明例例 4 设 A 为 n ( n ≥ 2 )阶方阵,证明|A
| = |A|n-1.
分块矩阵的定义主要内容分块矩阵的运算第四节 矩阵分块法两种常用的分块法线性方程组的各种形式克拉默法则的证明对于行数和列数较高的矩阵 A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算,我们将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,
每一个小矩阵称为 A 的 子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵,
一、分块矩阵的定义例如将 3× 4 矩阵
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
分成子块的分法很多,下面举出三种分块形式,
,( 1 )
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
,( 2 )
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
.( 3 )
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
分法 (1) 可记为
,
2221
1211
AA
AA
A
其中
,aaA,aaA
,
aa
aa
A,
aa
aa
A
343322323121
2423
1413
12
2221
1211
11
即 A11,A12,A21,A22 为 A 的子块,而 A 形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵,
分块矩阵可类似写出,这里从略,
分法 (2) 及 (3) 的
,
BB
BB
B,
AA
AA
A
srs
r
srs
r
1
111
1
111
1,加法运算设矩阵 A 与 B 的行数相同、列数相同,采用相同的分块法,有二、分块矩阵的运算其中 Aij 与 Bij 的行数相同、列数相同,那么
.
BABA
BABA
BA
srsrss
rr
11
111111
,
AA
AA
A
srs
r
1
111
为常数,那么
2,数乘运算设
.
1
111
srs
r
AA
AA
A
,
BB
BB
B,
AA
AA
A
trt
r
sts
t
1
111
1
111
3,分块矩阵的乘法运算设 A 为 m× l 矩阵,B为 l× n 矩阵,分块成
,
CC
CC
AB
srs
r
1
111
其中
t
k
kjikij,,r,j,s,iBAC
1
1;1
其中 Ai1,Ai2,···,Ait 的列数分别等于 B1j,B2j,
···,Btj的行数,那么例 15 设
,B,A
0211
1401
1021
0101
1011
0121
0010
0001
求 AB.例例 15设
,B,A
0211
1401
1021
0101
1011
0121
0010
0001
解解求 AB.
把 A,B分块成
4,分块矩阵的转置设
,
AA
AA
A
srs
r
1
111 则
.
TT
1
T
1
T
11
T
srr
s
AA
AA
A
,
2
1
s
A
A
A
A
5,分块对角矩阵设 A 为 n 阶方阵,若 A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即其中 Ai ( i = 1,2,···,s ) 都是方阵,那么称 A 为 分块对角矩阵,
分块对角矩阵的性质,
(2) 若 |Ai|? 0 ( i = 1,2,···,s),则 |A|? 0,且
.
A
A
A
A
s
1
1
2
1
1
1
(1) |A| = |A1| |A2| ··· |As| ;
例 16 设,
120
130
005
A 求 A
-1,
例例 16设,120 130 005
A 求 A-1.
解解,AO OAA
2
1
120 130
005;32 1112 13;51)5(
122
111
A,A
A,A
三、两种常用的分块法
1,按行分块对于 m? n 矩阵 A 可以进行如下分块：
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
11
22221
11211
.
T
T
2
T
1
m
2,按列分块对于 m? n 矩阵 A 可以进行如下分块：
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
).,,,( 21 naaa
对于矩阵 A = ( aij )m? s 与矩阵 B = ( bij )s? n 的乘积矩阵 AB = C = ( cij )m? n,若把 A 按行分成 m
块，把 B 按列分成 n 块，便有
),,,(
21
T
T
2
T
1
n
m
bbbAB?
nmmm
n
n
bbb
bbb
bbb
T
2
T
1
T
T
22
T
21
T
2
T
12
T
11
T
1
= ( cij )m? n,
.
1
T?
s
k
kjikjiij babc?
以对角矩阵?m左乘 m? n 矩阵 A 时，把 A 按行分块，有
T
T
2
T
1
2
1
mm
m
AΛ
,
T
T
22
T
11
mm
以对角矩阵?m左乘 A的结果是 A的每一行乘以?m
中与该行对应的对角元,
以对角矩阵?n右乘 m? n矩阵 A时，把 A 按列分块，有
m
nn
aaaA
2
1
21
),,,(
,),,,( 2211 nn
以对角矩阵?n右乘 A的结果是 A的每一列乘以?n
中与该列对应的对角元,
例 17 证明矩阵 A = O 的充要条件是方阵
ATA = O,
证明证明 必要性显然，下面证明充分性,设 A = ( a
ij )m? n,把 A 用列向量表示为
,),,,( 21 naaaA
则 ),,,( 21
T
T2
T1
T n
n
aaa
a
aaAA
,
T2T1T
T22T21T2
T12T11T1
nnnn
n
n
aaaaaa
aaaaaa aaaaaa
例例 17 证明矩阵 A = O 的充要条件是方阵A
TA = O,
四、线性方程组的各种形式对于线性方程组
)1(
,
,
,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
记
,,,,)(
21
222221
111211
2
1
2
1
mmnmm
n
n
mn
ij
baaa
baaa
baaa
B
b
b
b
b
x
x
x
xaA
其中 A 称为系数矩阵,x 称为未知向量,b称为常数项向量,B 称为增广矩阵,按分块矩阵的记法，
可记
B = ( A b ),
或 B = ( A,b ) = ( a1,a2,…,an,b ),
利用矩阵的乘法，此方程组可记作
Ax = b,(2)
方程（ 2）以向量 x 为未知元，它的解称为方程组
(1) 的 解向量,
如果把系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方程组 Ax = b 可记作
mm
b
b
b
x
2
1
T
T
2
T
1
或 )3(
,
,
,
T
2
T
2
1
T
1
mm
bx
bx
bx
这就相当于把每个方程
ai1x1 + ai2x2 + ··· + ainxn = bi
记作
.),,2,1(T mibx ii
如果把系数矩阵 A 按列分成 n 块，则与 A 相乘的 x 应对应地按行分成 n 块，从而记作
,),,,(
2
1
21
b
x
x
x
aaa
n
n
即 x1a1 + x2a2 + ··· + xnan = b,（ 4）
（ 2）、（ 3）、（ 4）是线性方程组（ 1）的各种变形,今后，它们与（ 1）将混同使用而不加区分，并都称为线性方程组或线性方程,
)1(
.
,
,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Ax = b,(2)
mm
b
b
b
x
2
1
T
T
2
T
1
或 )3(
,
,
,
T
2
T
2
1
T
1
mm
bx
bx
bx
x1a1 + x2a2 + ··· + xnan = b,（ 4）
五、克拉默法则的证明克拉默法则 对于 n 个变量,n 个方程的线
)5(
,
,
,
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
如果它的系数行列式 D? 0，则它有唯一解
.),,2,1(
)(
11
2211
nj
AbAbAb
D
D
D
x njnjjjj
性方程组证明证明 把 )5(
,,,2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa
方程组（方程组（ 5）） 写成 向量方程Ax = b,
这里 A = ( aij )n? n为 n 阶方阵，因 | A | = D?0,故
A-1 存在,令 x = A
-1 b,有
Ax = AA-1 b = b，表明 x = A
-1 b 是 方程组（ 5）的解向量,
由 Ax = b,有 A-1 Ax = A-1 b,即 x = A-1 b，根据逆矩矩阵的唯一性知 x = A
-1 b 是 方程组（ 5）
的唯一的解向量,
( 1 )
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
叫做一个 m? n 矩阵,这 m? n 个数叫做矩阵的一、矩阵的定义元素,aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素,
2,···,n) 排成的 m 行 n 列的数表元素是实数的矩阵称为 实矩阵,元素是复数例 如
,
0124
2589
3421
,
53
15
89
03
21
３ × ４矩阵
5× 2
矩阵
A ＝ ( aij )m?n 或 A = ( aij ),
的矩阵称为 复矩阵,（ 1）式也可简记为二、几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵只有一行的矩阵称为 行矩阵 (也称为 行向量 ).
如 A = ( a11,a12,···,a1n ).
.
1
21
11
m
a
a
a
B
如只有一列的矩阵称为 列矩阵 (也称为 列向量 ),
(2) 零矩阵若一个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
行数和列数相同的矩阵称为 方阵,例如
(3) 方阵引起混淆的情况下，也可记为 Ｏ,
阵为 零矩阵,m? n 零矩阵记为 Ｏ m? n,在不会称为 n? n 方阵，常称为 n 阶方阵 或 n 阶矩阵,
nn
a
a
a
A
22
11
主对角线都为零的方阵称为 对角矩阵,如主对角线上的元素不全为零，其余的元素全
(4) 对角矩阵简记为 A= ( aij )n,
为 n 阶对角矩阵,其中未标记出的元素全为零,即
.
200
010
003
)21,d i a g ( 3,
对角矩阵对角矩阵常记为 A = diag( a11,a22,···,ann ),例如
aij = 0,i? j,i,j = 1,2,···,n,
(5) 单位矩阵主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为 单
.
1
1
1
n
n
E
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地位,它的作用与,1” 在初等代数中的作用相似,
如 EA = AE = A,
位矩阵,简记为 E 或 I,如
(6) 数量矩阵主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为 数
n
c
c
c
（ c 为常数）,
n 阶数量矩阵量矩阵,例如
(7) 三角形矩阵主对角线下 (上 ) 方的元素全为零的方阵称为
,
222
11211
nn
n
n
a
aa
aaa
.
21
2221
11
nnnn
aaa
aa
a
上三角形矩阵 下三角形矩阵上 (下 ) 三角形矩阵,例如
(8) 对称矩阵与反称矩阵在方阵 A = ( aij )n 中,如果 aij = aji (i,j = 1,2,
,
475
731
512
.
273
702
321
实对称矩阵反称矩阵
n),则称 A 为 反称矩阵,例如称 A 为 实对称矩阵,如果 aij = -aji (i,j = 1,2,···,
···,n),则称 A 为 对称矩阵,如果 A 还是实矩阵,则矩阵 A = ( aij )m× n 与 B = ( bij )p× q 如果满足
65
24
13
.
fe
dc
ba与 当 a=3,b=-1,c=4,d=2,
e=-5,f=6 时,它们相等,
则称 矩阵 A 和矩阵 B 相等,记为 A = B,例如
aij = bij,i = 1,2,···,m,j = 1,2,···,n,
B = ( bij )m× n,如果对应元素相等,即定义 两个同型矩阵 A = ( aij )m× n 与
m = p 且 n = q,则称这两个矩阵为 同型矩阵,
三、矩阵的应用举例例例 1 产品发送量矩阵产品发送量矩阵某厂向三个 商店发送四种产品的数量可列成矩阵
34333231
24232221
14131211
aaaa aaaa
aaaaA
其中 a ij 为工厂向第 i 店发送第 j 种产品的数量,
例例 2 邻接矩阵邻接矩阵四个 城市间的单向航线如图 2,1 所示,若令
a ij = 1,从 i 市到 j 市有 1 条单向航线，0,从 i 市到 j 市没有 单向航线，
1
2 3
4
图图 2,1
则 图 2,1 可用矩阵表示为
0101 0010
0001 1110)(
ijaA
例例 3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵
n 个变量 x 1,x 2,···,x n 与 m 个变量 y 1,y 2,
···,y m 之间的关系式
( 2 )
2211
22221212
12121111
,xaxaxay
,xaxaxay
,xaxaxay
nmnmmm
nn
nn
表示一个从变量 x 1,x 2,···,x n 到 变量 y 1,y 2,···,
y m 的 线性变换线性变换,其中 a ij 为常数,
例例 5 二次曲线的矩阵二次曲线的矩阵二次曲线的一般方程为
ax 2 + 2 b x y + cy 2 + 2 dx + 2 ey + f = 0,( Ⅱ )
( Ⅱ ) 的左端可以用表 x y 1
x
y
1
a b d
b c e
d e f
来表示，其中每一个数就是它所在的行和列所对应例例 4 4 线性方程组的矩阵线性方程组的矩阵设有线性方程组
)I(
.
,,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa bxaxaxa
若令
,,
21
222221
111211
21
22221
11211
mmnmm
n
n
mnmm
n
n
baaa
baaa baaaB
aaa
aaa aaaA
矩阵的加法主要内容数与矩阵相乘矩阵的乘法方阵的幂第二节 矩阵的运算矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵矩阵乘积的意义
1,定义定义 2 设 A = (aij)m× n 与 B = (bij)m× n 是两
A - B = A + (-B),
阵,显然有 A + (-A) = O,由此可定义矩阵的 差 为若记 - A = ( -aij),则称 -A 为矩阵 A 的 负矩阵 A 与矩阵 B 的和,记为 A＋ B．
个同型矩阵，称 m× n矩阵 C = (aij + bij)m× n 为矩一、矩阵的加法
2,运算规律设 A,B,C 为同型矩阵,则
(1) A + B = B + A ( 加法交换律 ) ;
(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律 );
(3) A + O = O + A = A,其中 O 与 A 是
(4) A + ( -A ) = O,
同型矩阵 ;
例 设
,A
73
01
52
,B
93
54
23
.
34
59
C
(1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因 ;
(2) 求 C 的负矩阵,例例 设,A
73 01
52,B
93 54
23,
34 59C
(1)问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因 ;
(2)求 C的负矩阵,(1)A与 B能进行加法运算 ;
阵,A和 B 都是 3× 2 矩阵,C是 2× 2 矩阵,B 与 C 不能进行加法运算,因为它们不是同型矩而 A 与 C,解解
1,定义定义 3 设 A = ( aij )m× n,k 是一个数,则
mnmm
n
n
nmij
kakaka
kakaka
kakaka
ka
21
22221
11211
）（
为数 k 与矩阵 A 的 数量乘积,简称数乘,记为 kA.
称矩阵二、数与矩阵相乘
2,运算规律设 A,B 为同型矩阵,k,l 为常数，则
(1) 1A = A;
(2) k(lA) = (kl) A;
(3) k(A + B) = kA + kB;
(4) (k + l)A = kA + lA,
矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的 线性运算,
例 设
,B,A
22
12
12
03
且
B,XA 32 求矩阵 X,例例设
,B,A 22 1212 03
且在
BAX 23
B,XA32 求矩阵 X.
两端同加上,32 BXA A2?
得
22 1212 032)(,06 18
解解定义 4 设矩阵 A = (aij)m× p,B = (bij)p× n,
p
k
kjik,ba
1
i = 1,2,···,m; j = 1,2,···,n,
则称矩阵 C 为 矩阵 A 与矩阵 B 的乘积,记作注意,只有当第一个矩阵 (左矩阵 )的列数等于第二个矩阵 (右矩阵 )的行数时,两个矩阵才能相乘,
C = AB.
cij = ai1b1j + ai2b2j + ··· + aipbpj
C = (cij)m× n,其中三、矩阵的乘法
,
431
102
311
014
,
2012
1301
BA
例 4 已知求 AB.
,
431 102
311 014,2012 1301
BA
例例 4 已知求 AB.
因为 A是 2× 4 矩阵,B是 4× 3 矩阵,A
定义有其乘积 AB = C是一个 2× 3 矩阵,由矩阵乘积的的列数等于 B的行数,所以矩阵 A与 B可以相乘,解解例 5 求矩阵
63
42
21
42
B,A
的乘积 AB 及 BA.例例 5 求矩阵
63 4221 42 B,A
的乘积 AB及 BA.解解
63 4221 42AB
21 4263 42BA
,168 3216
.00 00
由定义有定义了矩阵的乘法运算后,对于线性方程组
,
,
,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
若令
,
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
,
2
1
nx
x
x
X
,
2
1
mb
b
b
b
AX = b.
则上述线性方程组可写成如下矩阵形式,
= b.
关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点,
(1) 矩阵的乘法运算不满足交换律,
左乘 B”或,B 右乘 A”.
作乘法时,应指明它们相乘的次序,如 AB 读作
,A
中 AB和 BA 虽然都有定义,但 AB? BA,所以,在使 AB与 BA 都有定义,它们也不一定相等,
的矩阵 A 和 B,AB 有定义,但 BA 就没有定义,即
AB 有定义,BA不一定有定义,中
,
431 102
311 014,2012 1301
BA
例例 4 已知求 AB,因为 A是 2× 4 矩阵,B是 4× 3 矩阵,A
定义有其乘积 AB = C是一个 2× 3 矩阵,由矩阵乘积的的列数等于 B的行数,所以矩阵 A与 B可以相乘,
解解如例例 5 求矩阵
63 4221 42 B,A的乘积 AB及 BA.
解解 由定义有
63 4221 42AB
21 4263 42BA
,168 3216
.00 00
如
(3) 矩阵的乘法不满足消去律,即如果
,OB,CBAB
C,B,A
11
22
54
02
11
11
32
11
但 A? C,
例如
AB = CB,B? O,不一定能推出 A = C.
(2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,
例如,本节 中 A? O,B? O,但 BA = O.例例 5 求矩阵
63 4221 42 B,A的乘积 AB及 BA.
解解 由定义有
63 4221 42AB
21 4263 42BA
,168 3216
.00 00
3,运算规律
(1) Ok× mAm× p= Ok× p,Am× pOp× n= Om× n ;
(2) 设 A 是 m × n 矩阵,Em 是 m 阶单位矩
(5) k(AB) = (kA)B = A(kB).
(B + C)A = BA + CA;
(3) (AB)C = A(BC);
(4) A(B + C) = AB + AC,
EmA = A,AEn = A ;
阵,En 是 n 阶单位矩阵,则四、方阵的幂如果 A 是 n 阶方阵,那么,AA 有意义,
Am
AAA
个也有意义,因此有下述定义,
.
Am
m AAAA
个
另外还规定，
１,定义
Ａ 0 = E.
Ａ 相乘称为 Ａ 的 m 次幂,记为 Ａ m,即定义 设 A 是 n 阶方阵,m 是正整数,m 个
2,运算规律设 A 为方阵,k,l 为正整数,则阶方阵 A 与 B,一般来说 (AB)k? AkBk,
又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个 n
AkAl = Ak+l,(Ak)l = Akl,
定义,对于两个 n 阶方阵 A,B,若 AB = BA,
则称方阵是 可交换 的,
当 AB=BA时 (即 A,B为可交换的矩阵 ),有如下结论成立,
222 2)()1( BABABA
nnnnnnn BBACBACABA22211)(
22))(()2( BABABA
kkk BAAB?)()3(
例 设
,
00
10
01
A
计算 A2,A3,An (n>3).例例 设
,00 10 01
A
计算 A2,A3,An(n>3).
设
A=?E + B,
其中 E为三阶单位矩阵,,
000 100
010
B
这一步很关键这一步很关键 也很巧妙也很巧妙 !
解解例 6 证明
.c o ss i n s i nc o s
nn
nn?
n
c o ss i n
s i nc o s
例例 6 证明
.cossin sincos nn nn n cossin sincos
证明证明 用 数学归纳法,当 n = 1 时，等式显然成立,设 n = k 时 成立，即设
.cossin sincos kk kk k cossin sincos
要 证 n = k + 1 时成立,此时有线性变换的乘积线性变换的乘积设有三组变量 x 1,x 2,x 3,x 4 ； y 1,y 2,y 3 ； z 1,
z 2,它们之间的关系分别为
)1(
,
,
,
,
3432421414
3332321313
3232221212
3132121111
yayayax
yayayax
yayayax
yayayax
.
08
12
23
51
T
A
六、矩阵的转置
1,定义定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到例如矩阵
0125
8231
A
的转置矩阵为一个新矩阵,叫做 A 的 转置矩阵,记作 AT 或 A′.
矩阵的转置模型矩阵的转置模型
A = 12 -13 43 15 8 -21 330 9 47 8
A T =
12 5 0-13 8 9
43 -21 471 33 8
3? 4
4? 3
2,运算规律设 A,B,C,A1,A2,···,Ak 是矩阵，且
(A1A2 ··· Ak)T = AkT ··· A2TA1T ;
(1) (AT)T = A ;
(2) (B + C)T = BT + CT ;
(3) (kA)T = kAT;
(4) (AB)T = BTAT ;
则它们的行数与列数使相应的运算有定义,k 是数，
(5) 若 A 为 n 阶方阵,则 (Am)T = (AT)m,
A 为反称矩阵的充要条件是 AT = - A,
(6) A 为对称矩阵的充要条件是 AT = A;
m 为正整数 ;
,1 sk kijkji bac
则
A = (aij)m× s,B = (bij)s× n,
我们只证明 (4) 的第一式,设记 AB = C = (cij)m× n,BTAT = D= (dij)n× m,
证证 明明
,baabd sk kijksk jkkiij 11
而 BT 的第 i 行为 (b1i,···,bsi),AT 的第 j 列为
(aj1,···,ajs)T,因此
,1 sk kijkji bac
则
A = (aij)m× s,B = (bij)s× n,
我们只证明 (4) 的第一式,设记 AB = C = (cij)m× n,BTAT = D= (dij)n× m,
证证 明明
,baabd sk kijksk jkkiij 11
而 BT 的第 i 行为 (b1i,···,bsi),AT 的第 j 列为
(aj1,···,ajs)T,因此
,B,A
102
324
171
231
102
例 7 已知求 (AB)T,
102 324
171
231 102AB
,B,A
102 324
171
231 102
例例 77 已知求 ( AB ) T,
解法解法 11 先乘积后转置 先乘积后转置所以,AB
103 1314
170)(
T
,101317 3140
因为
,B,A
102 324
171
231 102
例例 77 已知求 ( AB ) T,
解法解法 22 先转置后乘积 先转置后乘积
21 30
12
131 027
241,
103 1314
170
( AB ) T = B T A T
例 8 设 A 为 n× 1 矩阵,且 ATA = 1,En 为 n
阶单位矩阵,B = En - 2AAT,证明,B 为对称矩阵,
且 B2 = En,
例例 8 设 A 为 n× 1 矩阵,且 ATA = 1,En 为 n阶单位矩阵,B = E
n - 2AAT,证明,B 为对称矩阵,且 B
2 = En,由于
BT = (En - 2AAT)T = En - (2AAT)T= E
n - 2(AT)TAT = En- 2AAT = B,因而矩阵 B 为对称矩阵,
B2 = (En - 2AAT)(En - 2AAT)= E
n -2AAT -2AAT + 4AATAAT= E
n -2AAT -2AAT + 4A(ATA)AT = En,
证明证明又证毕证毕七、方阵的行列式
1,定义定义 6 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式 (各元素的位置不变 ),叫做 方阵 A 的行列式,记作 |A| 或 det A,
方阵与行列式是两个不同的概念方阵与行列式是两个不同的概念,n 阶阶方阵是方阵是 n2 个数按一定方式排成的数表个数按一定方式排成的数表,而而 n 阶行阶行列式则是这些数列式则是这些数 ( 也就是数表也就是数表 A ) 按一定的运算法按一定的运算法则所确定的一个数则所确定的一个数,
注意注意
2,运算规律设 A,B 为 n 阶方阵,? 为数,则有
(1) |AT| = |A| ;
(2) |?A| =?n |A| ;
(3) |AB| = |A| |B|,
证明证明
(1) |AT| = |A| ;
(2) |?A| =?n |A| ;
(3) |AB| = |A| |B|,
只 证（ 3）,设 A = ( aij ),B = ( bij ).记 2n 阶行列式
,
10
01
00
00
1
111
1
111
BE
OA
bb
bb
aa
aa
D
nnn
n
nnn
n
注意注意
(2) 说明一个数乘以方阵所得方阵的行列式等说明一个数乘以方阵所得方阵的行列式等于这个数的于这个数的 n 次幂乘以该方阵的行列式次幂乘以该方阵的行列式,这个数不这个数不能直接提出来能直接提出来,同学们一定要注意这一点同学们一定要注意这一点,由由 (3) 可知可知,对于对于 n 阶方阵阶方阵 A,B,一般来说一般来说
AB?BA,但总有但总有 | AB | = | BA |,
(1) 即为行列式的性质即为行列式的性质 1 ;
(1) |AT| = |A| ; (2) |?A| =?n |A| ;(3) |AB| = |A| |B|,
nnnn
n
n
*
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
例 9 行列式 |A| 的各个元素的代数余子式
Aij 所构成的如下方阵称为方阵 A 的 伴随矩阵,试证
AA? = A?A = |A|E,
,EAAAaAAA ijijnk kjki* δδ1
证毕证毕设 A = (aij),记 AA? = (bij),则
bij = ai1Aj1 + ai2Aj2 + ··+ ainAjn = |A|?ij,
故 AA? = (|A|?ij ) = |A|(?ij) = |A| E,
类似地有证明证明八、共轭矩阵复数,记
.aA ij )(?
A 称为 A 的 共轭矩阵,
当 A = (aij) 为复矩阵时,用 表示 aij 的共轭aij;( 1 ) BABA;( 2 ) AA
.( 3 ) BAAB?
共轭矩阵有以下运算规律 (设 A,B 为复矩阵,?
为复数,且运算都是可行的 ):
逆矩阵的概念主要内容矩阵可逆的充要条件可逆矩阵的性质举例第三节 逆 矩 阵引例矩阵多项式补充例题引例引例 1 矩阵与复数矩阵与复数复数可以用二维有序数组来表示，如复数 a + b i可表示为 ( a,b ),因此，从结构上看复数是矩阵的特殊情形,在第二节我们也看到，矩阵与复数相仿，有加法、减法、乘法三种运算,我们知道，复数的乘法运算有逆运算，那么矩阵的乘法运算是否也有逆运算呢？ 如果有的话，这种运算如何定义，
如何计算呢？ 这就是本节所要讨论的问题,
引例引例 2 2 坐标旋转变换坐标旋转变换在平面直角坐标系 x Oy 中，将两个坐标轴同时绕原点旋转? 角 ( 逆时针为正，顺时针为负 ),
任何一点 Ｐ 在两个坐标系中的坐标分别记为
（ x,y ） 与（ u,v ）,则不难得到就得到一个新的直角坐标系 ( 见图 2,4 ),平面上引例引例 3 3 线性变换的逆变换线性变换的逆变换设给定一个线性变换
)1(
,
,
,
2211
22221212
12121111
nnnnnn
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
它的系数矩阵是一个 n 阶方阵 A,若记一、引例定义 7 设 Ａ 是 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 Ｂ,使得 AB＝ BA＝ E,（ 1）
则称矩阵 A 可逆，且称 B 是 A 的 逆矩阵,记作
B＝ A－ 1．
如果不存在满足（ 1）的矩阵 B,则称矩阵
A 是不可逆的．
二、逆矩阵的概念今后将 (1)写为 AA－ 1 = AA－ 1 =E （ 2）
三、矩阵可逆的充要条件定理 1 如果 n 阶矩阵 Ａ 可逆，则它的逆矩阵是唯一的．
设矩阵 B 与 C 都是 A 的逆矩阵，则有
AB = BA = E， AC = CA = E,
因而
B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C,证毕证毕证明证明定理定理 1 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 ＡＡ 可逆，则它的逆可逆，则它的逆矩阵是唯一的．矩阵是唯一的．
,A
| A |
A *11
定理２ n 阶矩阵 Ａ 可逆的充要条件是
|Ａ |? 0,如果 Ａ 可逆，则其中 Ａ?为矩阵 Ａ 的伴随矩阵,
设矩阵 B 与 C 都是 A 的逆矩阵，则有
AB = BA = E， AC = CA = E,
因而
B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C,证毕证毕证明证明定理定理 1 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 ＡＡ 可逆，则它的逆可逆，则它的逆矩阵是唯一的．矩阵是唯一的．
必要性必要性 若 Ａ 可逆，则两边取行列式，得 |A||A-1| = 1,因而 |Ａ |?0,
充分性充分性 若 |Ａ |?0,则例例 9 行列式 |A | 的各个元素的代数余子式A
ij 所构成的如下方阵
,AAA AAA AAAA
nnnn
nn*
21
22212 12111
称为方阵 A 的 伴随矩阵伴随矩阵,试证,11 EAA
| A |A| A |A **
AA-1 = A-1A = E,
证明证明由逆矩阵的定义可知,A 可逆，且有
.A|A|A *11 证毕证毕由推论 若 AB = E（或 BA = E），则
B = A-1,
可得下述推论：
｜ A｜｜ B｜ =｜ E｜ =１，
因而 A-1 存在，于是
B = EB= (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1,
证毕证毕证明证明 ｜ A｜｜ B｜ =｜ E｜ =１,
因而 A-1 存在，于是
B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1,
证毕证毕证明证明若 n 阶矩阵 A 的行列式不为零，即 |A|? 0，
则称 A 为 非奇异矩阵,否则称 A 为 奇异矩阵,
说明，矩阵 A 可逆与矩阵 Ａ 非奇异是等价的概念,
定理２不仅给出了矩阵可逆的充要条件，而且给出了求矩阵逆矩阵的一种方法，称这种方法为伴随矩阵法,
四、可逆矩阵的性质;1)( 11 AkkA
(2)
设 A,B,Ai (i = 1,2,···,m) 为 n 阶可逆矩阵，
k 为非零常数，则
A-1,kA,AB,A1A2 ··· Am,AT
也都是可逆矩阵，且
(1) (A-1)-1 = A;
(3) (AB)-1 = B-1A-1,
(A1A2 ··· Am)-1 = Am-1 ··· A2-1A1-1 ;
（ 4） (AT)-1 = (A-1)T ;
（ 5）;11
| A |
||A
（ 6） (Am)-1 = (A-1)m,m 为正整数,
我们只证（３）和（４）
（３） (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1
= AEA-1 = AA-1 = E.（４） A
T(A-1)T = (A-1A)T = ET = E,
所以 (AT)-1 = (A-1)T,证毕证毕证明证明 我们只证（３）和（４）
（３） (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1
= AEA-1 = AA-1 = E.（４） A
T(A-1)T = (A-1A)T = ET = E,
所以 (AT)-1 = (A-1)T,证毕证毕证明证明例 10 求二阶矩阵 的逆矩阵,
五、举例
dc
baA
解解 矩阵 A的行列式 | A| = ad–bc,伴随矩阵
.* ac bdA
利用逆矩阵公式,||1 *1 AAA 当 | A|?0 时，有
.1|| 1 *1 ac bdbcadAAA
例例 10求二阶矩阵 的逆矩阵, dc baA
最后用 |A | 去除 A 的每一个元素,即可得 A 的逆矩 b c.ad|A |,dc baA
,两调一除两调一除,法法求二阶矩阵的逆阵可用,两调一除两调一除,的方法,
其方法是,先将矩阵 A 中的主对角线上的元素调换位置,再将次对角线上的元素调换其符号,
阵,
例 11 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵：
325
121
321
)2( 2A
213
011
322
( 1 ) 1A
5341
1723
3212
4131
)3(
3
A
单 击 这 里 开 始 解 答矩阵的求逆模型矩阵的求逆模型
1 1 1
2 3 -1
0 -2 1A =
1 1 1
2 3 -1
0 -2 1
= - 5
A 1 12 3- 1 / 5 1 -3 -4-2 1 3
-4 2 1A - 1 =
元素计算区元素计算区
=3 3
= 1
下一个
A 的逆矩阵为：
清 空
.C,B,A
021
102
341
010
100
001
100
001
010
例 12 解矩阵方程 AXB = C,其中
.C,B,A 021 102 341010 100 001100 001 010
单击这里可求逆单击这里可求逆
,100 001 0101A
例例 12解矩阵方程 AXB = C,其中解解下面求 A和 B的逆矩阵,
由已知易得 X= A-1CB-1,
例 13 设
,,20 01,41 21 PAPP
求 A
n,
例例 13设,,20 01,41 21 PAPP 求 An.
解解 因为 | P| = 2,所以 P可逆,由 求二 阶矩阵逆 矩阵的,两调一除,法，得
.11 24211P
在 等式 AP= P?两边右乘 P -1,得A= P?P
-1，
于是 A2= P?P -1P?P -1= P?2P -1,···，
An= P?nP -1，
六、矩阵多项式设? (x) = a0 + a1x + ··· + amxm 为 x 的 m 次多项式,A 为 n 阶方阵，记
(A) = a0 E + a1 A + ··· + am A m,
(A) 称为 矩阵 A 的 m 次多项式,
1,定义从而 A 的多项式可以像数 x 的多项式一样相乘或分解因式,例如
( E + A )( 2E – A ) = 2E + A – A2,
( E – A )3 = E – 3A + 3A2 – A3,
因为矩阵 Ak,Al 和 E 都是可交换的，所以矩阵 A 的两个多项式? (A) 和 f (A) 总是可交换的，
即总有
(A) f (A) = f (A)? (A)，
2,性质
3,计算方法
（ 1） 如果 A = P? P –1，则 Ak = P?k P –1，从而
(A) = a0 E + a1 A + ··· + am Am
= Pa0EP –1 + Pa1?P –1 + ··· + Pam?mP –1
= P? (?)P –1,
（ 2） 如果? = diag(?1,?2,···,?n)为对角矩阵,
则,?k = diag(?1k,?2k,···,?nk)，从而
(?) = a0 E + a1? + ··· + am?m
m
n
m
m
m
n
aaa
2
1
2
1
10
1
1
1
.
)(
)(
)(
2
1
n
例 14 设,,
300
020
001
,
111
201
111
P ΛAPΛP?
求? (A) = A3 + 2A2 – 3A,
解解 111 201 111||P 计算计算 6,所以 P可逆，
从而 A= P?P -1,?(A) = P?(?)P -1.而?(1) = 0,?(2) = 10,?(3) = 0，
故?(?) = diag(0,10,0),
例例 14设,,300 020 001,111 201 111 P ΛAPΛP
求?(A) = A3+ 2A2–3A.
例 1 设方阵 A 满足,22 OEAA 证明
EAA 2?及都可逆，并求,)2(
11 EAA 及移项得
EAA 2?及 都可逆，并求,)2( 11 EAA 及变形所给的等式，得
,22 OEAA
,22 EAA
,2)( EEAA
分解因式得解解例例 1 设方阵 A 满足,22 OEAA 证明七、补充例题例 2 设
,A
321
011
324 求 B.
B,AAB 2
例例 2 设
,A 321 011 324 求 B.
已知方程变形得
B,AAB 2
,2 ABAB
,)2( ABEA
两边左乘,)2( 1 EA
得分解因式得解解例 3 设 n 阶方阵 A,B,A + B 均可逆,证明
(A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A.
证明证明
A-1 + B-1 = A-1(E + AB-1) = A-1(BB-1 + AB-1)
= A-1(B + A)B-1,
由 (A
-1 + B-1)-1 = [A-1(A + B)B-1]-1 = B(B + A)-1A.
同理可证另一个等式也成立,
(3) (AB )-1 = B-1A-1,(A 1A 2 ···A m )-1 = A m-1 ··· A 2-1A 1-1,逆阵的性质逆阵的性质 (3)可知乘积,将 A
-1 + B-1 表示成已知的可逆矩阵的例例 3 设 n 阶方阵 A,B,A + B均可逆,证明(A
-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A.
例 4 设 为 n ( n ≥ 2 )阶方阵,证明
|A?| = |A|n-1.
由于 AA? = A?A = |A|E,所以|A| |A
| = |A|n,
下面分三种情形讨论,(1) |A|?0,即 A 可逆,上式两端除以 |A| 即得 |A?| = |A|n-1.(2) |A| = 0,且 A = O,则 A
= O,结论显然成立,
证明证明例例 4 设 A 为 n ( n ≥ 2 )阶方阵,证明|A
| = |A|n-1.
分块矩阵的定义主要内容分块矩阵的运算第四节 矩阵分块法两种常用的分块法线性方程组的各种形式克拉默法则的证明对于行数和列数较高的矩阵 A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算,我们将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,
每一个小矩阵称为 A 的 子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵,
一、分块矩阵的定义例如将 3× 4 矩阵
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
分成子块的分法很多,下面举出三种分块形式,
,( 1 )
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
,( 2 )
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
.( 3 )
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
分法 (1) 可记为
,
2221
1211
AA
AA
A
其中
,aaA,aaA
,
aa
aa
A,
aa
aa
A
343322323121
2423
1413
12
2221
1211
11
即 A11,A12,A21,A22 为 A 的子块,而 A 形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵,
分块矩阵可类似写出,这里从略,
分法 (2) 及 (3) 的
,
BB
BB
B,
AA
AA
A
srs
r
srs
r
1
111
1
111
1,加法运算设矩阵 A 与 B 的行数相同、列数相同,采用相同的分块法,有二、分块矩阵的运算其中 Aij 与 Bij 的行数相同、列数相同,那么
.
BABA
BABA
BA
srsrss
rr
11
111111
,
AA
AA
A
srs
r
1
111
为常数,那么
2,数乘运算设
.
1
111
srs
r
AA
AA
A
,
BB
BB
B,
AA
AA
A
trt
r
sts
t
1
111
1
111
3,分块矩阵的乘法运算设 A 为 m× l 矩阵,B为 l× n 矩阵,分块成
,
CC
CC
AB
srs
r
1
111
其中
t
k
kjikij,,r,j,s,iBAC
1
1;1
其中 Ai1,Ai2,···,Ait 的列数分别等于 B1j,B2j,
···,Btj的行数,那么例 15 设
,B,A
0211
1401
1021
0101
1011
0121
0010
0001
求 AB.例例 15设
,B,A
0211
1401
1021
0101
1011
0121
0010
0001
解解求 AB.
把 A,B分块成
4,分块矩阵的转置设
,
AA
AA
A
srs
r
1
111 则
.
TT
1
T
1
T
11
T
srr
s
AA
AA
A
,
2
1
s
A
A
A
A
5,分块对角矩阵设 A 为 n 阶方阵,若 A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即其中 Ai ( i = 1,2,···,s ) 都是方阵,那么称 A 为 分块对角矩阵,
分块对角矩阵的性质,
(2) 若 |Ai|? 0 ( i = 1,2,···,s),则 |A|? 0,且
.
A
A
A
A
s
1
1
2
1
1
1
(1) |A| = |A1| |A2| ··· |As| ;
例 16 设,
120
130
005
A 求 A
-1,
例例 16设,120 130 005
A 求 A-1.
解解,AO OAA
2
1
120 130
005;32 1112 13;51)5(
122
111
A,A
A,A
三、两种常用的分块法
1,按行分块对于 m? n 矩阵 A 可以进行如下分块：
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
11
22221
11211
.
T
T
2
T
1
m
2,按列分块对于 m? n 矩阵 A 可以进行如下分块：
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
).,,,( 21 naaa
对于矩阵 A = ( aij )m? s 与矩阵 B = ( bij )s? n 的乘积矩阵 AB = C = ( cij )m? n,若把 A 按行分成 m
块，把 B 按列分成 n 块，便有
),,,(
21
T
T
2
T
1
n
m
bbbAB?
nmmm
n
n
bbb
bbb
bbb
T
2
T
1
T
T
22
T
21
T
2
T
12
T
11
T
1
= ( cij )m? n,
.
1
T?
s
k
kjikjiij babc?
以对角矩阵?m左乘 m? n 矩阵 A 时，把 A 按行分块，有
T
T
2
T
1
2
1
mm
m
AΛ
,
T
T
22
T
11
mm
以对角矩阵?m左乘 A的结果是 A的每一行乘以?m
中与该行对应的对角元,
以对角矩阵?n右乘 m? n矩阵 A时，把 A 按列分块，有
m
nn
aaaA
2
1
21
),,,(
,),,,( 2211 nn
以对角矩阵?n右乘 A的结果是 A的每一列乘以?n
中与该列对应的对角元,
例 17 证明矩阵 A = O 的充要条件是方阵
ATA = O,
证明证明 必要性显然，下面证明充分性,设 A = ( a
ij )m? n,把 A 用列向量表示为
,),,,( 21 naaaA
则 ),,,( 21
T
T2
T1
T n
n
aaa
a
aaAA
,
T2T1T
T22T21T2
T12T11T1
nnnn
n
n
aaaaaa
aaaaaa aaaaaa
例例 17 证明矩阵 A = O 的充要条件是方阵A
TA = O,
四、线性方程组的各种形式对于线性方程组
)1(
,
,
,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
记
,,,,)(
21
222221
111211
2
1
2
1
mmnmm
n
n
mn
ij
baaa
baaa
baaa
B
b
b
b
b
x
x
x
xaA
其中 A 称为系数矩阵,x 称为未知向量,b称为常数项向量,B 称为增广矩阵,按分块矩阵的记法，
可记
B = ( A b ),
或 B = ( A,b ) = ( a1,a2,…,an,b ),
利用矩阵的乘法，此方程组可记作
Ax = b,(2)
方程（ 2）以向量 x 为未知元，它的解称为方程组
(1) 的 解向量,
如果把系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方程组 Ax = b 可记作
mm
b
b
b
x
2
1
T
T
2
T
1
或 )3(
,
,
,
T
2
T
2
1
T
1
mm
bx
bx
bx
这就相当于把每个方程
ai1x1 + ai2x2 + ··· + ainxn = bi
记作
.),,2,1(T mibx ii
如果把系数矩阵 A 按列分成 n 块，则与 A 相乘的 x 应对应地按行分成 n 块，从而记作
,),,,(
2
1
21
b
x
x
x
aaa
n
n
即 x1a1 + x2a2 + ··· + xnan = b,（ 4）
（ 2）、（ 3）、（ 4）是线性方程组（ 1）的各种变形,今后，它们与（ 1）将混同使用而不加区分，并都称为线性方程组或线性方程,
)1(
.
,
,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Ax = b,(2)
mm
b
b
b
x
2
1
T
T
2
T
1
或 )3(
,
,
,
T
2
T
2
1
T
1
mm
bx
bx
bx
x1a1 + x2a2 + ··· + xnan = b,（ 4）
五、克拉默法则的证明克拉默法则 对于 n 个变量,n 个方程的线
)5(
,
,
,
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
如果它的系数行列式 D? 0，则它有唯一解
.),,2,1(
)(
11
2211
nj
AbAbAb
D
D
D
x njnjjjj
性方程组证明证明 把 )5(
,,,2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa
方程组（方程组（ 5）） 写成 向量方程Ax = b,
这里 A = ( aij )n? n为 n 阶方阵，因 | A | = D?0,故
A-1 存在,令 x = A
-1 b,有
Ax = AA-1 b = b，表明 x = A
-1 b 是 方程组（ 5）的解向量,
由 Ax = b,有 A-1 Ax = A-1 b,即 x = A-1 b，根据逆矩矩阵的唯一性知 x = A
-1 b 是 方程组（ 5）
的唯一的解向量,
