电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 1 -
1,根据算符?的微分性与矢量性 推导下列公式
BABAABABBA
rrrrrrrrrr
)()()()()(+×?×++×?×=
AAAAA
rrrrr
)(
2
1
)(
2
=×?×
解 1 BABAABABBA
vvvvvvvvvv
)()()()()(+×?×++×?×=
首先 算符?是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题
将作用于 BA
vv
和又?是一个矢量算符 具有矢量的所有性质因此 利用公式 bacbcabac
v
vv
v
vv
v
vv
)()()(=×× 可得上式 其中右边前两项是?作用于
A
v
后两项是?作用于 B
v
2 根据第一个公式 令 A
v
B
v
可得证
2,设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明
.)(
)(
)(
du
Ad
uuA
du
Ad
uuA
u
du
df
uf
r
r
r
r
×?=×?
=
=?
证明
1
u
du
df
e
z
u
du
df
e
y
u
du
df
e
du
df
e
z
uf
e
y
uf
e
x
uf
uf
zyx
x
u
zyx
=
+
+?=
+
+
=?
rrrrrr )()()(
)(
2
du
Ad
u
z
u
dz
uAd
y
u
du
uAd
x
u
du
uAd
z
uzA
y
uA
x
uA
uA
z
y
xz
y
x
rr
r
rr
r
r
r
=
+
+
=
+
+
=
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
3
=
+
+
=
=×?
z
x
y
y
zx
x
y
z
zyux
zyx
e
y
A
x
A
e
x
A
z
A
e
z
A
y
A
uAuAA
zyx
eee
uA
r
r
r
r
rr
r
r
r
rrr
rrr
r
)()()(
)()(
)(
)(
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 2 -
du
Ad
ue
y
u
du
Ad
x
u
du
Ad
e
x
u
du
Ad
z
u
du
Ad
e
z
u
du
Ad
y
u
du
Ad
z
x
y
y
zx
x
y
z
r
r
r
r
r
rr
r
r
r
×?=
+
+
= )()()(
3,设
2'2'2'
)()()( zzyyxxr?+?+?= 为源点
'
x 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从源点指向场点
1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 )(
'''
'
z
e
y
e
x
e
zyx
+
+
=?
rrr
与对场变数求微商 )(
z
e
y
e
x
e
zyx
+
+
=?
rrr
的关系
)0.(0,0,
11
,
3
'
333
''
≠===×==?==? r
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
r
rr
rrrrr
(最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节 )
2 求均为常矢量及其中及
000
,)],sin([)]sin([),(,)(,,EkarkErkErararr
rr
rr
rr
r
rr
rrrrrr
××
证明 3
)()()(
'''
=
+
+
=
z
zz
y
yy
x
xx
r
r
0
'''
=
=×?
zzyyxx
zyx
eee
r
zyx
rrr
r
])'()'()')][(()[()(
zyxzyxzzyyxx
ezzeyyexxe
z
e
y
e
x
eaeaeara
vrvvvvvvvrv
+?+?
+
+
++=
])'()'()')[((
zyxzyx
ezzeyyexx
z
a
y
a
x
a
vrv
+?+?
+
+
=
aeaeaea
zzyyxx
vvvv
=++=
ararrarara
vvvrvvvvvv
+×?×++×?×= )()()()()(
aararra
vrvvvvv
+×?×+= )()()(
arara
vvvvv
+×?×+= )()(
))(sin()](sin([)]sin([
000
ErkErkrkE
r
r
rr
r
r
r
rr
+=
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 3 -
0
])sin()sin()sin([ Eerk
z
erk
y
erk
x
zyx
rr
r
rr
r
rr
r
+?
+?
=
))(cos())(cos(
0
EkrkEekekekrk
zzyyxx
rr
r
rr
rrrr
r
=++?=
000
)sin()]sin([)]sin([ ErkErkrkE
r
r
rr
r
r
r
rr
×+×=?×?
4,应用高斯定理证明
∫∫
×=×?
SV
fSdfdV
rrr
应用斯托克斯 Stokes 定理证明
∫∫
=?×
LS
ldSd φφ
rr
证明 1)由高斯定理
∫∫
=
SV
gSdgdV
r
r
r
即
∫∫
++=
+
+
S
zzyyxx
V
z
y
x
dSgdSgdSgdV
z
g
y
g
x
g
)(
而 dVkf
y
f
x
jf
x
f
z
if
z
f
y
dVf
xyzxyz
V
])()()[(
rrrr
+
+
=×?
∫∫
∫
+?
+?
= dVifjf
z
kfif
y
jfkf
x
yxxzzy
)]()()([
rrrrrr
又 ])()()[( kSdfdSfjdSfdSfidSfdSffSd
y
S
xxyxzzxzyyz
S
r
rr
rr
∫∫
+?+?=×
∫
+?+?=
zyxyxzxzy
dSifjfdSkfifdSjfkf )()()(
rr
r
rr
r
若令 ifjfHkfifHjfkfH
yxZxzyzyx
rr
r
rr
r
=?=?=,,
则上式就是
∫∫
=
SV
HSddVH
rrr
,高斯定理 则证毕
2)由斯托克斯公式有
∫∫
×?=?
Sl
Sdfldf
rrrr
∫∫
++=?
l
zzyyxx
l
dlfdlfdlfldf )(
rr
∫∫
+
+
=?×?
S
zxyyzxxyz
S
dSf
y
f
x
dSf
x
f
z
dSf
z
f
y
Sdf )()()(
rr
而
∫∫
++=
l
zkyjxi
l
dldldlld )( φφφφ
r
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 4 -
∫∫
+
+
=?×
S
yxxzzy
S
kdS
x
dS
y
jdS
z
dS
x
idS
y
dS
z
Sd
r
rrr
)()()(
φφφφφφ
φ
∫
+
+
=
zyx
dSi
y
j
x
dSk
x
i
z
dSj
z
k
y
)()()(
rr
r
rr
r
φφφφφφ
若令
kzjyix
fff φφφ ===,,
则证毕
5,已知一个电荷系统的偶极矩定义为
,),()(
'''
∫
=
V
dVxtxtP
rr
r
ρ
利用电荷守恒定律 0=
+
t
J
ρ
r
证明 P
r
的变化率为
∫
=
V
dVtxJ
dt
Pd
''
),(
r
r
r
证明
∫∫
=
=
VV
dVxjdVx
tt
P
''''''
'
r
r
r
r
r
ρ
∫∫∫
===
V
x
V
x
dVjxjdVjxjxdVxj
t
P
''''''''''''''''
)((])()([)(
rrrr
r
∫∫
=
S
x
SdjxdVj
rr
'
若 )0(,0)(,==?∞→
∫
S
jSdjxS
rrr
则
同理
∫∫
=
=
''
)(,)( dVj
t
dVj
t
zzyy
ρρ
rr
即
∫
=
V
dVtxj
dt
Pd
''
),(
r
r
r
6,若 m
r
是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量
3
R
Rm
A
r
r
r
×
= 的旋度等于标量
3
R
Rm
r
r
=? 的梯度的负值 即
=×? A
r
其中 R 为坐标原点到场点的距离 方向由原点指向场点证明
m
r
m
rr
m
r
m
R
m
R
Rm
A
vvvvv
v
v
v
])
1
[()]
1
([
1
)(
1
)()]
1
([
)
(
3
+=?××=
×
×?=×?
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 5 -
)0(,
1
)( ≠= r
r
m
v
r
mm
rr
m
r
m
R
Rm 1
)()()
1
()]
1
([)]
1
([)(
3
×?××?×?==
=?
vvvv
v
v
r
mm
r
1
)(])
1
[(=
vv
=×?∴ A
v
7 有一内外半径分别为 r
1
和 r
2
的空心介质球 介质的电容率为 ε 使介质内均匀带静止自由电荷
f
ρ 求
1 空间各点的电场
2 极化体电荷和极化面电荷分布解 1
∫∫
=? dVSdD
f
S
ρ
rr
,(r
2
>r>r
1
)
f
rrrD ρ
π
π )(
3
4
4
3
1
32
=?即
)(,
3
)(
12
3
3
1
3
rrrr
r
rr
E
f
>>
=∴
r
r
ε
ρ
由 )(,)(
3
4
2
3
1
3
2
00
rrrr
Q
SdE
f
f
S
>?==?
∫
ρ
ε
π
ε
rr
)(,
3
)(
2
3
0
3
1
3
2
rrr
r
rr
E
f
>
=∴
r
r
ρ
ε
0
1
时 Err
r
<
2) EEEP
e
rrrr
)(
0
0
0
00
εε
ε
εε
εχε?=
=
)(
3
]
3
)(
[)()(
3
3
10
3
3
1
3
00
r
r
r
rr
r
rr
EP
ffP
rrr
rr
=
===∴ ρ
ε
εε
ρ
ε
εεεερ
ff
ρ
ε
εε
ρ
ε
εε
)()03(
3
00
=?
=
nnP
PP
21
=σ
考虑外球壳时 r r
2
n从介质 1 指向介质 2 介质指向真空 0
2
=
n
P
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 6 -
frrfnP
r
rr
r
r
rr
P ρ
ε
ε
ρ
ε
εεσ
3
2
3
1
3
20
3
3
1
3
01
3
)1(
3
)(
2
=
==
=
r
考虑到内球壳时 r r
2
0
3
)(
13
3
1
3
0
=
=
=rrfP
r
r
rr r
ρ
ε
εεσ
8 内外半径分别为 r
1
和 r
2
的无穷长中空导体圆柱 沿轴向流有恒定均匀自由电流 J
f
导体的磁导率为 μ 求磁感应强度和磁化电流解
f
lS
f
ISdD
dt
d
IldH =?+=?
∫∫
rrrr
当 0,0,
1
===< BHIrr
f
rr
故时
当 r
2
>r>r
1
时 )(2
2
1
2
rrjSdjrHldH
f
S
f
l
=?==?
∫∫
ππ
rrrr
rj
r
rr
r
rrj
B
f
f
r
rv
×
=
=
2
2
1
2
2
1
2
2
)(
2
)(
μ
μ
当 r>r
2
时 )(2
2
1
2
2
rrjrH
f
=ππ
rj
r
rr
B
f
r
rr
×
=
2
2
1
2
20
2
)(μ
)
2
()1()
)
()(
2
2
1
2
00
0
r
rr
rjHHMJ
fMM
××=
×?=×?=×?=
r
rrrr
μ
μ
μ
μμ
χ
)(,)1()1(
21
00
rrrjH
f
<<?=×=
rr
μ
μ
μ
μ
指向介质从介质 21(),(
12
nMMn
M
rr
rr
×=α
在内表面上 0)
2
)1(,0
12
2
1
2
0
21
=
==
=rr
r
rr
MM
μ
μ
故 )(,0
12
rrMn
M
==×=
r
rr
α
在上表面 r r
2
时
)1(
2
2
)(
0
2
1
2
2
2
1
2
11
222
=×
×?=×?=?×=
==
μ
μ
α
rfrrfrrM
j
r
rr
rj
r
rr
r
r
MnMn
r
r
r
r
r
r
r
rr
f
j
r
rr
r
2
2
1
2
2
0
2
)1(
=
μ
μ
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 7 -
9 证明均匀介质内部的体极化电荷密度
P
ρ 总是等于体自由电荷密度
f
ρ 的 倍)1(
0
ε
ε
证明
f
f
P
EEP ρ
ε
ε
ε
ρ
εεεεεερ )1()()()(
0
000
=====
rrr
10 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等 方向相反 (但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律 )
证明
1 线圈 1 在线圈 2 的磁场中的受力
∫
×
=
2
3
12
12220
2
4
l
r
rldI
B
v
v
v
π
μ
21112
BldIFd
vvv
×=
∫∫∫∫
××
=
××
=∴
1212
3
12
1221210
3
12
1222110
12
)(
4
)(
4
llll
r
rldldII
r
rldIldI
F
v
rv
v
vv
v
π
μ
π
μ
)()(
4
12
21
3
12
12
3
12
12
12
210
∫∫
=
ll
ldld
r
r
r
r
ldld
II
vv
vv
vv
π
μ
1
2 线圈 2 在线圈 1 的磁场中受的力同 1 可得
∫∫
=
21
)()(
4
12
3
21
21
3
21
21
21
210
21
ll
ldld
r
r
r
r
ldld
II
F
vv
vv
vvv
π
μ
2
分析表达式 1 和 2
1 式中第一项为
0)
1
()(
212212
12
2
2
12
12
2
3
12
12
12
3
12
12
12
===?=?
∫∫∫∫∫∫∫
llllll
r
ld
r
dr
ld
r
r
ldld
r
r
ldld
一周
vv
v
vv
v
vv
同理 对 2 式中第一项
∫∫
=?
21
0)(
3
21
21
21
ll
r
r
ldld
v
vv
∫∫
==∴
12
)(
4
21
3
12
12210
2112
ll
ldld
r
rII
FF
vv
r
vv
π
μ
11,平行板电容器内有两层介质 它们的厚度分别为 l
1
和 l
2
电容率为
21
εε 和 今再两板接上电动势为 Ε的电池 求
1 电容器两板上的自由电荷密度
f
ω
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 8 -
2 介质分界面上的自由电荷密度
f
ω
若介质是漏电的 电导率分别为
21
σσ 和 当电流达到恒定时 上述两问题的结果如何解 在相同介质中电场是均匀的 并且都有相同指向
则,
)00
f221121
2211
==?=?
Ε=+
σεε 介质表面上EEDD
ElEl
nn
故
1221
1
2
1221
2
1
,
εε
ε
εε
ε
ll
E
ll
E
+
Ε
=
+
Ε
=
又根据
fnn
DD σ=?
21
n 从介质 1 指向介质 2
在上极板的交面上
1
21 f
DD σ=? D
2
是金属板 故 D
2
0
即
1221
21
1
1
εε
εεε
σ
ll
D
f
+
==
而 0
2
=
f
σ
)0(,
'
1
'
1
'
2
'
2
'
1
3
=?=?= DDDDD
f
是下极板金属 故σ
13
1221
21
ff
ll
σ
εε
εεε
σ?=
+
=∴
若是漏电 并有稳定电流时
2
2
2
1
1
1
,
σσ
j
E
j
E
r
r
r
r
==
又
===
Ε=+
积稳定流动 电荷不堆,
2121
2
2
2
1
1
1
jjjj
j
l
j
l
nn
r
rr
σσ
得
+
Ε
==
+
Ε
==
+
Ε
==
1221
1
2
2
2
1221
2
1
1
1
2
2
1
1
21
:,
σσ
σ
σ
σσ
σ
σ
σσ
ll
j
E
ll
j
E
ll
jj 即
1221
2`1
3
σσ
σε
σ
ll
D
f
+
Ε
==
上
1221
12
2
σσ
σε
σ
ll
D
f
+
Ε
=?=
下电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 9 -
Ε
+
=?=
1221
1212
32
σσ
σεσε
σ
ll
DD
f
中
12,证明
1 当两种绝缘介质得分界面上不带面自由电荷时 电场线的曲折满足
1
2
1
2
tan
tan
ε
ε
θ
θ
=
其中
21
εε 和 分别为两种介质的介电常数
21
θθ 和 分别为界面两侧电场线与法线的夹角
2 当两种导电介质内流有恒定电流时 分界面上电场线曲折满足
1
2
1
2
tan
tan
σ
σ
θ
θ
=
其中
21
σσ 和 分别为两种介质的电导率证明 (1)根据边界条件
112212
sinsin,0)( θθ EEEEn ==?× 即
vv
由于边界面上 0=
f
σ 故 0)(
12
= DDn
vv
v
即
111222
coscos θεθε EE =
1
2
1
2
1
1
2
2
,
ε
ε
θ
θ
ε
θ
ε
θ
==∴
tg
tgtgtg
即有
(2)根据 EJ
vv
σ= 可得 电场方向与电流密度同方向
由于电流 I 是恒定的 故有
1
2
2
1
coscos θθ
jj
=
即
1
22
2
11
coscos θ
σ
θ
σ EE
= 而 0)(
12
=?× EEn
vv
v
即
1122
sinsin θθ EE =
故有
2
1
2
1
σ
σ
θ
θ
=
tg
tg
13 试用边值关系证明 在绝缘介质与导体的分界面上 在静电情况下 导体外的电场线总是垂直于导体表面 在恒定电流的情况下 导体内电场线总是平行于导体表面证明 1 导体在静电条件下达到静电平衡
0
1
导体内 E
v
∴
而 0)(
12
=?× EEn
vv
v
0
2
=×∴ En
v
v
故
0
E
v
垂直于导体表面电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 10 -
3 导体中通过恒定电流时 导体表面 0=
f
σ
∴导体外 0,0
22
== DE
vv
即
而 0:,0)(
10112
=?=?== EnDnDDn
f
v
v
v
v
vv
v
εσ 即
0
1
=?∴ En
v
v
导体内电场方向和法线垂直 即平行于导体表面
14 内外半径分别为 a 和 b 的无限长圆柱形电容器 单位长度电荷为
f
λ 板间填充电导率为 σ 的非磁性物质
1 证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消 因此内部无磁场
2 求
f
λ 随时间的衰减规律
3 求与轴相距为 r 的地方的能量耗散功率密度
4 求长度为 l 的一段介质总的能量耗散功率 并证明它等于这段的静电能减少率
1 证明 由电流连续性方程 0=
+
t
J
f
ρr
据高斯定理 D
f
r
=ρ
0=
+∴
t
D
J
r
r
即 0=
+
t
D
J
r
r
0.0)( =
+∴=
+∴
t
D
J
t
D
J
r
r
r
r
即传到电流与位移电流严格抵消
(2)解 由高斯定理得
∫∫
=? dldlrD
f
λπ
r
r
2
r
f
r
f
e
r
Ee
r
D
r
r
r
r
πε
λ
π
λ
2
,
2
==∴
又 EDEJ
t
D
J
rrrr
r
r
εσ ===
+,,0
t
eEE
t
E
E
ε
σ
εσ
=
==
+∴
0
,0
rr
r
r
r
t
r
r
f
ee
r
e
r
rr
ε
σ
πε
λ
πε
λ?
=∴
22
0
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 11 -
t
ff
e
ε
σ
λλ
=∴
0
3 解
r
e
rtt
D
J
f
t
f
π
λ
ε
σ
π
λ
ε
σ
2
)
2
(
0
=
=
=
r
r
能量耗散功率密度 σ
πε
λ
σ
ρ
222
)
2
(
1
r
JJ
f
==
5 解
单位体积 rdrldV π2?=
∫
==
b
a
ff
a
b
l
rdrl
r
P ln
2
2)
2
(
2
2
2
πε
σλ
πσ
πε
λr
静电能
a
b
l
dr
r
l
dVEDW
f
b
a
f
b
a
ln
22
1
22
1
2
1
22
==?=
∫∫
πε
λ
πε
λ
rr
减少率
a
b
l
ta
b
l
t
W
fff
ln
2
ln
2
2
2
πε
σλλ
πε
λ
=
=
- 1 -
1,根据算符?的微分性与矢量性 推导下列公式
BABAABABBA
rrrrrrrrrr
)()()()()(+×?×++×?×=
AAAAA
rrrrr
)(
2
1
)(
2
=×?×
解 1 BABAABABBA
vvvvvvvvvv
)()()()()(+×?×++×?×=
首先 算符?是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题
将作用于 BA
vv
和又?是一个矢量算符 具有矢量的所有性质因此 利用公式 bacbcabac
v
vv
v
vv
v
vv
)()()(=×× 可得上式 其中右边前两项是?作用于
A
v
后两项是?作用于 B
v
2 根据第一个公式 令 A
v
B
v
可得证
2,设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明
.)(
)(
)(
du
Ad
uuA
du
Ad
uuA
u
du
df
uf
r
r
r
r
×?=×?
=
=?
证明
1
u
du
df
e
z
u
du
df
e
y
u
du
df
e
du
df
e
z
uf
e
y
uf
e
x
uf
uf
zyx
x
u
zyx
=
+
+?=
+
+
=?
rrrrrr )()()(
)(
2
du
Ad
u
z
u
dz
uAd
y
u
du
uAd
x
u
du
uAd
z
uzA
y
uA
x
uA
uA
z
y
xz
y
x
rr
r
rr
r
r
r
=
+
+
=
+
+
=
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
3
=
+
+
=
=×?
z
x
y
y
zx
x
y
z
zyux
zyx
e
y
A
x
A
e
x
A
z
A
e
z
A
y
A
uAuAA
zyx
eee
uA
r
r
r
r
rr
r
r
r
rrr
rrr
r
)()()(
)()(
)(
)(
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 2 -
du
Ad
ue
y
u
du
Ad
x
u
du
Ad
e
x
u
du
Ad
z
u
du
Ad
e
z
u
du
Ad
y
u
du
Ad
z
x
y
y
zx
x
y
z
r
r
r
r
r
rr
r
r
r
×?=
+
+
= )()()(
3,设
2'2'2'
)()()( zzyyxxr?+?+?= 为源点
'
x 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从源点指向场点
1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 )(
'''
'
z
e
y
e
x
e
zyx
+
+
=?
rrr
与对场变数求微商 )(
z
e
y
e
x
e
zyx
+
+
=?
rrr
的关系
)0.(0,0,
11
,
3
'
333
''
≠===×==?==? r
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
r
rr
rrrrr
(最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节 )
2 求均为常矢量及其中及
000
,)],sin([)]sin([),(,)(,,EkarkErkErararr
rr
rr
rr
r
rr
rrrrrr
××
证明 3
)()()(
'''
=
+
+
=
z
zz
y
yy
x
xx
r
r
0
'''
=
=×?
zzyyxx
zyx
eee
r
zyx
rrr
r
])'()'()')][(()[()(
zyxzyxzzyyxx
ezzeyyexxe
z
e
y
e
x
eaeaeara
vrvvvvvvvrv
+?+?
+
+
++=
])'()'()')[((
zyxzyx
ezzeyyexx
z
a
y
a
x
a
vrv
+?+?
+
+
=
aeaeaea
zzyyxx
vvvv
=++=
ararrarara
vvvrvvvvvv
+×?×++×?×= )()()()()(
aararra
vrvvvvv
+×?×+= )()()(
arara
vvvvv
+×?×+= )()(
))(sin()](sin([)]sin([
000
ErkErkrkE
r
r
rr
r
r
r
rr
+=
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 3 -
0
])sin()sin()sin([ Eerk
z
erk
y
erk
x
zyx
rr
r
rr
r
rr
r
+?
+?
=
))(cos())(cos(
0
EkrkEekekekrk
zzyyxx
rr
r
rr
rrrr
r
=++?=
000
)sin()]sin([)]sin([ ErkErkrkE
r
r
rr
r
r
r
rr
×+×=?×?
4,应用高斯定理证明
∫∫
×=×?
SV
fSdfdV
rrr
应用斯托克斯 Stokes 定理证明
∫∫
=?×
LS
ldSd φφ
rr
证明 1)由高斯定理
∫∫
=
SV
gSdgdV
r
r
r
即
∫∫
++=
+
+
S
zzyyxx
V
z
y
x
dSgdSgdSgdV
z
g
y
g
x
g
)(
而 dVkf
y
f
x
jf
x
f
z
if
z
f
y
dVf
xyzxyz
V
])()()[(
rrrr
+
+
=×?
∫∫
∫
+?
+?
= dVifjf
z
kfif
y
jfkf
x
yxxzzy
)]()()([
rrrrrr
又 ])()()[( kSdfdSfjdSfdSfidSfdSffSd
y
S
xxyxzzxzyyz
S
r
rr
rr
∫∫
+?+?=×
∫
+?+?=
zyxyxzxzy
dSifjfdSkfifdSjfkf )()()(
rr
r
rr
r
若令 ifjfHkfifHjfkfH
yxZxzyzyx
rr
r
rr
r
=?=?=,,
则上式就是
∫∫
=
SV
HSddVH
rrr
,高斯定理 则证毕
2)由斯托克斯公式有
∫∫
×?=?
Sl
Sdfldf
rrrr
∫∫
++=?
l
zzyyxx
l
dlfdlfdlfldf )(
rr
∫∫
+
+
=?×?
S
zxyyzxxyz
S
dSf
y
f
x
dSf
x
f
z
dSf
z
f
y
Sdf )()()(
rr
而
∫∫
++=
l
zkyjxi
l
dldldlld )( φφφφ
r
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 4 -
∫∫
+
+
=?×
S
yxxzzy
S
kdS
x
dS
y
jdS
z
dS
x
idS
y
dS
z
Sd
r
rrr
)()()(
φφφφφφ
φ
∫
+
+
=
zyx
dSi
y
j
x
dSk
x
i
z
dSj
z
k
y
)()()(
rr
r
rr
r
φφφφφφ
若令
kzjyix
fff φφφ ===,,
则证毕
5,已知一个电荷系统的偶极矩定义为
,),()(
'''
∫
=
V
dVxtxtP
rr
r
ρ
利用电荷守恒定律 0=
+
t
J
ρ
r
证明 P
r
的变化率为
∫
=
V
dVtxJ
dt
Pd
''
),(
r
r
r
证明
∫∫
=
=
VV
dVxjdVx
tt
P
''''''
'
r
r
r
r
r
ρ
∫∫∫
===
V
x
V
x
dVjxjdVjxjxdVxj
t
P
''''''''''''''''
)((])()([)(
rrrr
r
∫∫
=
S
x
SdjxdVj
rr
'
若 )0(,0)(,==?∞→
∫
S
jSdjxS
rrr
则
同理
∫∫
=
=
''
)(,)( dVj
t
dVj
t
zzyy
ρρ
rr
即
∫
=
V
dVtxj
dt
Pd
''
),(
r
r
r
6,若 m
r
是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量
3
R
Rm
A
r
r
r
×
= 的旋度等于标量
3
R
Rm
r
r
=? 的梯度的负值 即
=×? A
r
其中 R 为坐标原点到场点的距离 方向由原点指向场点证明
m
r
m
rr
m
r
m
R
m
R
Rm
A
vvvvv
v
v
v
])
1
[()]
1
([
1
)(
1
)()]
1
([
)
(
3
+=?××=
×
×?=×?
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 5 -
)0(,
1
)( ≠= r
r
m
v
r
mm
rr
m
r
m
R
Rm 1
)()()
1
()]
1
([)]
1
([)(
3
×?××?×?==
=?
vvvv
v
v
r
mm
r
1
)(])
1
[(=
vv
=×?∴ A
v
7 有一内外半径分别为 r
1
和 r
2
的空心介质球 介质的电容率为 ε 使介质内均匀带静止自由电荷
f
ρ 求
1 空间各点的电场
2 极化体电荷和极化面电荷分布解 1
∫∫
=? dVSdD
f
S
ρ
rr
,(r
2
>r>r
1
)
f
rrrD ρ
π
π )(
3
4
4
3
1
32
=?即
)(,
3
)(
12
3
3
1
3
rrrr
r
rr
E
f
>>
=∴
r
r
ε
ρ
由 )(,)(
3
4
2
3
1
3
2
00
rrrr
Q
SdE
f
f
S
>?==?
∫
ρ
ε
π
ε
rr
)(,
3
)(
2
3
0
3
1
3
2
rrr
r
rr
E
f
>
=∴
r
r
ρ
ε
0
1
时 Err
r
<
2) EEEP
e
rrrr
)(
0
0
0
00
εε
ε
εε
εχε?=
=
)(
3
]
3
)(
[)()(
3
3
10
3
3
1
3
00
r
r
r
rr
r
rr
EP
ffP
rrr
rr
=
===∴ ρ
ε
εε
ρ
ε
εεεερ
ff
ρ
ε
εε
ρ
ε
εε
)()03(
3
00
=?
=
nnP
PP
21
=σ
考虑外球壳时 r r
2
n从介质 1 指向介质 2 介质指向真空 0
2
=
n
P
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 6 -
frrfnP
r
rr
r
r
rr
P ρ
ε
ε
ρ
ε
εεσ
3
2
3
1
3
20
3
3
1
3
01
3
)1(
3
)(
2
=
==
=
r
考虑到内球壳时 r r
2
0
3
)(
13
3
1
3
0
=
=
=rrfP
r
r
rr r
ρ
ε
εεσ
8 内外半径分别为 r
1
和 r
2
的无穷长中空导体圆柱 沿轴向流有恒定均匀自由电流 J
f
导体的磁导率为 μ 求磁感应强度和磁化电流解
f
lS
f
ISdD
dt
d
IldH =?+=?
∫∫
rrrr
当 0,0,
1
===< BHIrr
f
rr
故时
当 r
2
>r>r
1
时 )(2
2
1
2
rrjSdjrHldH
f
S
f
l
=?==?
∫∫
ππ
rrrr
rj
r
rr
r
rrj
B
f
f
r
rv
×
=
=
2
2
1
2
2
1
2
2
)(
2
)(
μ
μ
当 r>r
2
时 )(2
2
1
2
2
rrjrH
f
=ππ
rj
r
rr
B
f
r
rr
×
=
2
2
1
2
20
2
)(μ
)
2
()1()
)
()(
2
2
1
2
00
0
r
rr
rjHHMJ
fMM
××=
×?=×?=×?=
r
rrrr
μ
μ
μ
μμ
χ
)(,)1()1(
21
00
rrrjH
f
<<?=×=
rr
μ
μ
μ
μ
指向介质从介质 21(),(
12
nMMn
M
rr
rr
×=α
在内表面上 0)
2
)1(,0
12
2
1
2
0
21
=
==
=rr
r
rr
MM
μ
μ
故 )(,0
12
rrMn
M
==×=
r
rr
α
在上表面 r r
2
时
)1(
2
2
)(
0
2
1
2
2
2
1
2
11
222
=×
×?=×?=?×=
==
μ
μ
α
rfrrfrrM
j
r
rr
rj
r
rr
r
r
MnMn
r
r
r
r
r
r
r
rr
f
j
r
rr
r
2
2
1
2
2
0
2
)1(
=
μ
μ
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 7 -
9 证明均匀介质内部的体极化电荷密度
P
ρ 总是等于体自由电荷密度
f
ρ 的 倍)1(
0
ε
ε
证明
f
f
P
EEP ρ
ε
ε
ε
ρ
εεεεεερ )1()()()(
0
000
=====
rrr
10 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等 方向相反 (但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律 )
证明
1 线圈 1 在线圈 2 的磁场中的受力
∫
×
=
2
3
12
12220
2
4
l
r
rldI
B
v
v
v
π
μ
21112
BldIFd
vvv
×=
∫∫∫∫
××
=
××
=∴
1212
3
12
1221210
3
12
1222110
12
)(
4
)(
4
llll
r
rldldII
r
rldIldI
F
v
rv
v
vv
v
π
μ
π
μ
)()(
4
12
21
3
12
12
3
12
12
12
210
∫∫
=
ll
ldld
r
r
r
r
ldld
II
vv
vv
vv
π
μ
1
2 线圈 2 在线圈 1 的磁场中受的力同 1 可得
∫∫
=
21
)()(
4
12
3
21
21
3
21
21
21
210
21
ll
ldld
r
r
r
r
ldld
II
F
vv
vv
vvv
π
μ
2
分析表达式 1 和 2
1 式中第一项为
0)
1
()(
212212
12
2
2
12
12
2
3
12
12
12
3
12
12
12
===?=?
∫∫∫∫∫∫∫
llllll
r
ld
r
dr
ld
r
r
ldld
r
r
ldld
一周
vv
v
vv
v
vv
同理 对 2 式中第一项
∫∫
=?
21
0)(
3
21
21
21
ll
r
r
ldld
v
vv
∫∫
==∴
12
)(
4
21
3
12
12210
2112
ll
ldld
r
rII
FF
vv
r
vv
π
μ
11,平行板电容器内有两层介质 它们的厚度分别为 l
1
和 l
2
电容率为
21
εε 和 今再两板接上电动势为 Ε的电池 求
1 电容器两板上的自由电荷密度
f
ω
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 8 -
2 介质分界面上的自由电荷密度
f
ω
若介质是漏电的 电导率分别为
21
σσ 和 当电流达到恒定时 上述两问题的结果如何解 在相同介质中电场是均匀的 并且都有相同指向
则,
)00
f221121
2211
==?=?
Ε=+
σεε 介质表面上EEDD
ElEl
nn
故
1221
1
2
1221
2
1
,
εε
ε
εε
ε
ll
E
ll
E
+
Ε
=
+
Ε
=
又根据
fnn
DD σ=?
21
n 从介质 1 指向介质 2
在上极板的交面上
1
21 f
DD σ=? D
2
是金属板 故 D
2
0
即
1221
21
1
1
εε
εεε
σ
ll
D
f
+
==
而 0
2
=
f
σ
)0(,
'
1
'
1
'
2
'
2
'
1
3
=?=?= DDDDD
f
是下极板金属 故σ
13
1221
21
ff
ll
σ
εε
εεε
σ?=
+
=∴
若是漏电 并有稳定电流时
2
2
2
1
1
1
,
σσ
j
E
j
E
r
r
r
r
==
又
===
Ε=+
积稳定流动 电荷不堆,
2121
2
2
2
1
1
1
jjjj
j
l
j
l
nn
r
rr
σσ
得
+
Ε
==
+
Ε
==
+
Ε
==
1221
1
2
2
2
1221
2
1
1
1
2
2
1
1
21
:,
σσ
σ
σ
σσ
σ
σ
σσ
ll
j
E
ll
j
E
ll
jj 即
1221
2`1
3
σσ
σε
σ
ll
D
f
+
Ε
==
上
1221
12
2
σσ
σε
σ
ll
D
f
+
Ε
=?=
下电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 9 -
Ε
+
=?=
1221
1212
32
σσ
σεσε
σ
ll
DD
f
中
12,证明
1 当两种绝缘介质得分界面上不带面自由电荷时 电场线的曲折满足
1
2
1
2
tan
tan
ε
ε
θ
θ
=
其中
21
εε 和 分别为两种介质的介电常数
21
θθ 和 分别为界面两侧电场线与法线的夹角
2 当两种导电介质内流有恒定电流时 分界面上电场线曲折满足
1
2
1
2
tan
tan
σ
σ
θ
θ
=
其中
21
σσ 和 分别为两种介质的电导率证明 (1)根据边界条件
112212
sinsin,0)( θθ EEEEn ==?× 即
vv
由于边界面上 0=
f
σ 故 0)(
12
= DDn
vv
v
即
111222
coscos θεθε EE =
1
2
1
2
1
1
2
2
,
ε
ε
θ
θ
ε
θ
ε
θ
==∴
tg
tgtgtg
即有
(2)根据 EJ
vv
σ= 可得 电场方向与电流密度同方向
由于电流 I 是恒定的 故有
1
2
2
1
coscos θθ
jj
=
即
1
22
2
11
coscos θ
σ
θ
σ EE
= 而 0)(
12
=?× EEn
vv
v
即
1122
sinsin θθ EE =
故有
2
1
2
1
σ
σ
θ
θ
=
tg
tg
13 试用边值关系证明 在绝缘介质与导体的分界面上 在静电情况下 导体外的电场线总是垂直于导体表面 在恒定电流的情况下 导体内电场线总是平行于导体表面证明 1 导体在静电条件下达到静电平衡
0
1
导体内 E
v
∴
而 0)(
12
=?× EEn
vv
v
0
2
=×∴ En
v
v
故
0
E
v
垂直于导体表面电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 10 -
3 导体中通过恒定电流时 导体表面 0=
f
σ
∴导体外 0,0
22
== DE
vv
即
而 0:,0)(
10112
=?=?== EnDnDDn
f
v
v
v
v
vv
v
εσ 即
0
1
=?∴ En
v
v
导体内电场方向和法线垂直 即平行于导体表面
14 内外半径分别为 a 和 b 的无限长圆柱形电容器 单位长度电荷为
f
λ 板间填充电导率为 σ 的非磁性物质
1 证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消 因此内部无磁场
2 求
f
λ 随时间的衰减规律
3 求与轴相距为 r 的地方的能量耗散功率密度
4 求长度为 l 的一段介质总的能量耗散功率 并证明它等于这段的静电能减少率
1 证明 由电流连续性方程 0=
+
t
J
f
ρr
据高斯定理 D
f
r
=ρ
0=
+∴
t
D
J
r
r
即 0=
+
t
D
J
r
r
0.0)( =
+∴=
+∴
t
D
J
t
D
J
r
r
r
r
即传到电流与位移电流严格抵消
(2)解 由高斯定理得
∫∫
=? dldlrD
f
λπ
r
r
2
r
f
r
f
e
r
Ee
r
D
r
r
r
r
πε
λ
π
λ
2
,
2
==∴
又 EDEJ
t
D
J
rrrr
r
r
εσ ===
+,,0
t
eEE
t
E
E
ε
σ
εσ
=
==
+∴
0
,0
rr
r
r
r
t
r
r
f
ee
r
e
r
rr
ε
σ
πε
λ
πε
λ?
=∴
22
0
电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律
- 11 -
t
ff
e
ε
σ
λλ
=∴
0
3 解
r
e
rtt
D
J
f
t
f
π
λ
ε
σ
π
λ
ε
σ
2
)
2
(
0
=
=
=
r
r
能量耗散功率密度 σ
πε
λ
σ
ρ
222
)
2
(
1
r
JJ
f
==
5 解
单位体积 rdrldV π2?=
∫
==
b
a
ff
a
b
l
rdrl
r
P ln
2
2)
2
(
2
2
2
πε
σλ
πσ
πε
λr
静电能
a
b
l
dr
r
l
dVEDW
f
b
a
f
b
a
ln
22
1
22
1
2
1
22
==?=
∫∫
πε
λ
πε
λ
rr
减少率
a
b
l
ta
b
l
t
W
fff
ln
2
ln
2
2
2
πε
σλλ
πε
λ
=
=
