电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 1 -
1,试用 A
r
表示一个沿 z 方向的均匀恒定磁场
0
B
r
写出 A
r
的两种不同表示式 证明两者之差是无旋场解
0
B
r
是沿 z 方向的均匀的恒定磁场 即
z
eBB
r
r
=
0
且 AB
rr
×?=
0
在直角坐标系中
z
x
y
y
zx
x
y
z
e
y
A
x
A
e
x
A
z
A
e
z
A
y
A
A
rrr
r
)()()(
+
+
=×?
如果用 A
r
在直角坐标系中表示
0
B
r
即
=
=
=
0
0
0
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A
x
y
zx
y
z
由此组方程 可看出 A
r
有多组解 如
解 1 )(,0
0
xfyBAAA
xZy
+?===
即
x
exfyBA
r
r
)]([
0
+?=
解 2 )(,0
0
ygxBAAA
Yzx
+===
即
y
eygxBA
r
r
)]([
0
+=
解 1 和解 2 之差为
yx
eygxBexfyBA
rr
r
)]([)]([
00
+?+?=?
则
z
x
y
y
zx
x
y
z
e
y
A
x
A
e
x
A
z
A
e
z
A
y
A
A
rrr
r
]
)(
)(
[]
)()(
[]
)(
)(
[)(
+
+
=?×?
0
这说明两者之差是无旋场
2,均匀无穷长直圆柱形螺线管 每单位长度线圈匝数为 n 电流强度为 I 试用唯一性定理求管内外磁感应强度 B
解 根据题意 得右图 取螺线管的中轴线为 z 轴本题给定了空间中的电流分布 故可由
∫
×
= '
4
3
0
dV
r
rJ
B
r
r
r
π
μ
求解磁场分布 又 J
r
在导线上 所以
∫
×
=
3
0
4 r
rlJd
B
r
r
r
π
μ
1 螺线管内 由于螺线管是无限长理想螺线管 故 由电磁学的有关知识知 其内部磁电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 2 -
场是均匀强磁场 故只须求出其中轴线上的磁感应强度 即可知道管内磁场
由其无限长的特性 不妨取场点为零点 以柱坐标计算
xyx
ezeaear
rrrr
''sin'cos=
yx
eadeadld
rr
r
'cos''sin'+=
)''sin'cos()'cos''sin'(
xyxyx
ezeaeaeadeadrld
rrrrrr
r
×?+=×∴
zyx
edaedazedaz
rrr
'''sin'''cos'
2
+=
取由 ''' dzzz +? 的以小段 此段上分布有电流 'nIdz
∫
+
+
=∴
2
3
22
2
0
])'([
)'''sin'''cos'('
4
za
edaedazedaznJdz
B
zyx
rrr
r
π
μ
In
a
z
a
z
d
nI
enI
za
dza
d
z 0
2
3
2
0
2
3
22
22
0
0
]1)
'
[(
)
'
(
2
])'([
'
'
4
μ
μ
π
μ
π
=
+
=?
+
=
∫∫∫
∞+
∞?
∞
∞?
r
2)螺线管外部,由于是无限长螺线管 不妨就在 xoy 平面上任取一点 )0.,(?ρP 为场点
)( a>ρ
222
')'sinsin()'coscos(' zaaxxr +?+?=?=∴ρρ
rr
)'cos(2'
222
ρρ++= aza
('=?= xxr
rrr
x
ea
r
)'coscosρ?
zy
ezea
rr
')'sinsin(ρ
yx
eadeadld
rr
r
'cos''sin'+=
zyx
edaaedazedazrld
rrrr
r
')]'cos([''sin'''cos'
2
ρ+=×∴
+?+=∴
∫∫∫∫
∞
∞?
∞
∞?
'
''sin'
''
''cos'
'[
4
3
2
0
3
2
0
0
dze
r
daz
ddze
r
daz
dnIB
yx
rr
r
π
μ
ππ
]'
)'cos(
'
3
22
0
∫∫
∞
∞?
+
z
edz
r
aa
d
rρ
π
由于磁场分布在本题中有轴对称性 而螺线管内部又是匀强磁场 且螺线管又是无限长 故不会有磁力线穿出螺线管 上述积分为 0 所以 0=B
r
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 3 -
3,设有无穷长的线电流 I 沿 z 轴流动 以 z<0 空间充满磁导率为 μ 的均匀介质 z>0 区域为真空 试用唯一性定理求磁感应强度 B 然后求出磁化电流分布解 本题的定解问题为
×?=×?
=
<?=?
>?=?
==
=
01
0
02
021
2
2
01
2
11
)0(,
)0(,
zz
z
AA
AA
zJA
zJA
rr
rr
rr
rr
μμ
μ
μ
由本题具有轴对称性 可得出两个泛定方程的特解为
∫
∫
=
=
r
lId
xA
r
lId
xA
r
r
r
r
r
r
π
μ
π
μ
4
)(
4
)(
2
0
1
由此可推测本题的可能解是
<
>
=
)0(,
2
)0(,
2
0
ze
r
I
ze
r
I
B
θ
θ
π
μ
π
μ
r
r
r
验证边界条件 1 0)(,
12021
==
=
BBnAA
z
rr
r
rr
即
题中 0,=?=
θ
eeen
zz
rrrr
且 所以边界条件 1 满足
2 0)(,
11
1201
0
02
=?××?=×?
==
HHnAA
zz
rr
r
rr
即
μμ
本题中介质分界面上无自由电流密度 又
θ
θ
πμ
πμ
e
r
IB
H
e
r
IB
H
r
r
r
r
r
r
2
2
2
2
0
1
1
==
==
,0
12
=?∴ HH
rr
满足边界条件 0)(
12
=?× HHn
rr
r
综上所述 由唯一性定理可得 本题有唯一解
<
>
=
)0(,
2
)0(,
2
0
ze
r
I
ze
r
I
B
θ
θ
π
μ
π
μ
r
r
r
在介质中 M
B
H
r
r
r
=
0
μ
故在 z<0 的介质中
2
0
2
H
B
M
r
r
r
=
μ
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 4 -
即
θθθ
μ
μ
ππμ
μ
π
e
r
I
e
r
I
e
r
I
M
rrr
r
)1(
222
00
==
∴ 介质界面上的磁化电流密度
rzM
e
r
I
ee
r
I
nM
rrrr
r
r
)1(
2
)1(
2
00
=×?=×=
μ
μ
πμ
μ
π
α
θ
总的感应电流 )1()1(
2
0
2
0 0
==?=
∫∫
μ
μ
μ
μ
π
π
θθ
Iedre
r
I
ldMJ
M
rr
rr
电流在 z<0 的空间中 沿 z 轴流向介质分界面
4,设 x<0 半空间充满磁导率为 μ 的均匀介质 x>0 空间为真空 今有线电流 I 沿 z 轴流动 求磁感应强度和磁化电流分布解 假设本题中得磁场分布仍呈轴对称 则可写作
π
μ
e
r
I
B
v
v
2
′
=
其满足边界条件
0)(
0)(
12
12
==?×
=
α
v
vv
v
vv
v
HHn
BBn
即可得 在介质中
μπ
μ
μ
e
r
IB
H
v
v
v
2
2
′
==
而 Me
r
I
M
B
H
v
v
v
v
v
′
=?=
μπ
μ
μ
00
2
2
∴在 x<0 的介质中
μμ
μμ
π
μ
e
r
I
M
v
v
0
0
2
′
=
则
∫
= ldMI
M
vv
取积分路线为 BACB →→→ 的半圆
,
eAB
v
Q ⊥ AB∴ 段积分为零
0
0
2
)(
μμ
μμμ?′
=
I
I
M
π
μ
e
r
II
B
M
v
v
2
)(
0
+
=∴
∴由
π
μ
π
μ
e
r
I
Be
r
II
M
v
v
v
22
)(
0
′
==
+
可得
0
0
2
μμ
μμ
μ
+
=′
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 5 -
∴空间
πμμ
μμ
e
r
I
B
v
v
0
0
+
=
II
M
0
0
μμ
μμ
+
= 沿 z 轴
5,某空间区域内有轴对称磁场 在柱坐标原点附近已知 )
2
1
(
22
0
ρ≈ zCBB
z
其中
B
0
为常量 试求该处的
ρ
B
提示 用,0= B
r
并验证所得结果满足 0H
r
×?
解 由 B
v
具有轴对称性 设
zz
eBeBB
vv
v
+=
ρρ
其中 )
2
1
(
22
0
ρ= zcBB
z
0= B
v
Q
0)(
1
=
+
∴
z
B
z
B
ρ
ρ
ρρ
即 02)(
1
=?
czB
ρ
ρ
ρρ
AczB +=∴
2
ρρ
ρ
(常数 )
取 0=A 得 ρ
ρ
czB =
z
ezcBeczB
vv
v
)]
2
1
([
22
0
ρρ
ρ
+=∴ 1
0,0 == Dj
vv
Q 0=×?∴ B
v
即 0)( =
θ
ρ
ρ
e
B
z
B
z
v
2
代入 1 式可得 2 式成立 ∴ ρ
ρ
czB = c为常数
6,两个半径为 a 的同轴线圈形线圈 位于 Lz ±= 面上 每个线圈上载有同方向的电流 I
1 求轴线上的磁感应强度
2 求在中心区域产生最接近于均匀的磁场时的 L 和 a 的关系提示 用条件 0
2
2
=
z
B
z
解 1 由毕 萨定律 L 处线圈在轴线上 z 处产生得磁感应强度为电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 6 -
,
11 zz
eBB
v
v
=
∫∫
+
=
×
= θ
π
μ
α
π
μ
d
Lza
Ia
r
rlId
B
z
2
3
22
2
0
3
0
1
])([
4
sin
4
v
v
2
3
22
2
0
])[(
1
2
1
azL
Ia
+?
= μ
同理 L 处线圈在轴线上 z 处产生得磁感应强度为
zz
eBB
v
v
22
=
2
3
22
2
02
])[(
1
2
1
azL
IaB
z
++
= μ
∴ 轴线上得磁感应强度
zzz
e
azLazL
IaeBB
vv
v
++
+
+?
==
2
3
22
2
3
22
2
0
])[(
1
])[(
1
2
1
μ
2 0=×? B
v
Q
0)()(
2
==×?×?∴ BBB
vvv
又 0= B
v
0,0
2
2
2
=
=?∴
z
B
z
B
v
代入 1 式中 得
622
2
5
222322
2
1
222
2
1
22
])[(
])[()(6])[(])[()(])[(
azL
azLzLazLazLzLazL
+?
+++?
++
622
2
5
222322
2
1
222
2
1
22
])[(
])[()(6])[(])[()(])[(
azL
azLzLazLazLzLazL
+?
++++
++++++
0
取 z 0 得
0)(12])(2)(2[)(
2
2
5
22
2
1
222
2
1
22322
=+++?+?+
LaLaLLaLaL
222
5 aLL +=∴
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 7 -
aL
2
1
=∴
7,半径为 a 的无限长圆柱导体上有恒定电流 J 均匀分布于截面上 试解矢势 A
r
的微分方程 设导体的磁导率为
0
μ 导体外的磁导率为 μ
解 定解问题为
×?=×?
=
∞<
>=?
<?=?
外内内外内外内
AA
AA
A
arA
arJA
aa
vv
vv
v
v
vv
μμ
μ
11
)(,0
)(,
0
0
2
0
2
选取柱坐标系 该问题具有轴对称性 且解与 z 无关 令
z
erAA
v
v
)(
内内
=
z
erAA
v
v
)(
外外
代入定解问题得
=
=
0)
)
(
1
)
)(
(
1
0
r
rA
r
rr
J
r
rA
r
rr
外内
μ
得
43
21
2
ln)(
ln
4
1
)(
CrCrA
CrCJrrA
+=
++?=
外内
μ
由 ∞<
=0
)(
r
rA
内
得 0
1
=C
由外内
AA
vv
×?=×?
μμ
11
0
得
2
3
2
JaC
μ
=
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 8 -
由
aa
AA
内外
vv
= 令 0==
aa
AA
内外
vv
得 aJaCJaC ln
2
,
4
1
2
4
2
02
μ
μ ==
=
∴
r
a
aJA
raJA
ln
2
)(
4
1
2
22
0
vv
vv
μ
μ
外内
8,假设存在磁单极子 其磁荷为 Q
m
它的磁场强度为
3
0
4 r
rQ
H
m
r
r
πμ
= 给出它的矢势的一个可能的表示式 并讨论它的奇异性
解
r
mm
e
r
Q
r
rQ
H
v
v
v
2
0
3
0
1
44 πμπμ
==
由
r
m
e
r
Q
HBA
v
vvv
2
0
4π
μ ===×? 得
=
=
=
0])([
1
0)](
sin
1
[
1
4
])(sin[
sin
1
2
θ
φθ
πφ
θ
θθ
θ
φ
θ
φ
r
r
m
A
rA
rr
rA
r
A
r
r
QA
A
r
(1)
令,0==
θ
AA
r
得
r
Q
A
m
π
θ
θ
θ
φ
4
sin
)(sin =
θ
θ
π
θ
π
θ
θ
φ
θ
φ
sin
cos1
4
4
sin
sin
0
r
Q
A
d
r
Q
A
m
m
=∴
=∴
∫
显然
φ
A 满足 1 式
∴ 磁单极子产生的矢势
φ
θ
θ
π
e
r
Q
A
m
v
v
sin
cos1
4
=
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 9 -
讨论 当 0→θ 时 0→A
v
当
2
π
θ → 时
φ
π
e
r
Q
A
m
v
v
4
→
当 πθ → 时 ∞→A
v
故 A
v
的表达式在 πθ = 具有奇异性 A
v
不合理
9,将一磁导率为 μ 半径为 R
0
的球体 放入均匀磁场
0
H
r
内 求总磁感应强度 B
r
和诱导磁矩 m
r
解 根据题意 以球心为原点建立球坐标 取
0
H
v
的方向为
z
e
v
此球体在外界存在的磁场的影响下极化 产生一个极化场 并与外加均匀场相互作用 最后达到平衡 保持在一个静止的状态 呈现球对称本题所满足的定解问题为
=
∞<
=
=
=
>=?
<=?
∞=
=
θ?
μ
μ
cos
)(,,
,0
,0
0
0
00
0
2
0
2
2
1
21
21
2
1
RH
RR
RR
RR
RR
Rm
Rm
mm
mm
m
m
由泛定方程和两个自然边界条件得
∑
∞
=
=
0
)(cos
1
n
n
n
nm
PRa θ?
∑
∞
=
+
+?=
0
1
0
)(coscos
2
n
n
n
n
m
P
R
d
RH θθ?
由两个边界条件有
+
=
+?=
∑∑
∑∑
∞
=
+
∞
=
∞
=
+
∞
=
0
2
0
000
1
1
0
0
1
0
00
0
0
)(cos
)1(
cos)(cos
)(coscos)(cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
R
dn
HPnRa
P
R
d
RHPRa
θμθμθμ
θθθ
得电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 10 -
≠==
+
=
+
=
)1(,0
2
2
3
3
00
0
0
1
0
00
1
nda
RHd
H
a
nn
μμ
μμ
μμ
μ
>?
+
+?=
<
+
=
∴
00
2
3
0
0
0
0
00
0
,cos
2
cos
,cos
2
3
2
1
RRH
R
R
RH
RRRH
m
m
θ
μμ
μμ
θ?
θ
μμ
μ
+
==
+
=
+
+
==
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
2
3
sin
2
3
cos
2
3
1
HHB
HeHeHH
rm
vvv
v
vv
v
μμ
μμ
μ
μμ
μ
θ
μμ
μ
θ
μμ
μ
θ
+
+==
+
+=
+
+
+==
]
)(3
[
2
]
)(3
[
2
sin]
2
1[cos]
2
2
1[
3
0
5
03
00
0
0
00202
3
0
5
03
0
0
0
0
0
3
3
0
0
0
0
3
3
0
0
0
2
2
R
H
R
RRH
RHHB
R
H
R
RRH
RH
eH
R
R
eH
R
R
H
rm
vvvv
vvv
vvvv
v
vv
v
μ
μμ
μμ
μμ
μμ
μμ
θ
μμ
μμ
θ
μμ
μμ
θ
>?
+
+
<
+
=∴
)(],
)(3
[
2
)(,
2
3
0
3
0
5
03
00
0
0
00
00
0
0
RR
R
H
R
RRH
RH
RRH
B vvvv
v
v
v
μ
μμ
μμ
μ
μμ
μμ
当 B
v
在 R>R
0
时 表达式中的第二项课看作一个磁偶极子产生的场
θ
μμ
μμ
cos
2
0
2
3
0
0
0
2
H
R
R
m
+
∴ 中 可看作偶极子 m
v
产生的势即 RH
R
R
H
R
R
R
Rm
vv
v
v
+
=?
+
=
0
2
3
0
0
0
0
2
3
0
0
0
3
2
cos
24
1
μμ
μμ
θ
μμ
μμ
π
HRm
v
v
3
0
0
0
2
4?
+
=∴
μμ
μμ
π
10,有一个内外半径为 R
1
和 R
2
的空心球 位于均匀外磁场
0
H
r
内 球的磁导率为 μ 求空电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 11 -
腔内的场 B
r
讨论
0
μμ >> 时的磁屏蔽作用解 根据题意 以球心为原点 取球坐标 选取
0
H
v
的方向为
z
e
v
在外场
0
H
v
的作用下 球壳极化 产生一个附加场 并与外场相互作用 最后达到平衡 B
v
的分布呈现轴对称定解问题
=
∞<
=
=
==
>=?
<<=?
<=?
∞=
=
==
==
θ?
μ
μ
μ
μ
cos
,
,
,0
,0
,0
0
0
00
3
2
21
2
1
2
3
1
2
23
1
21
232121
3
2
1
RH
RRRR
RR
RRR
RR
Rm
Rm
RR
mm
RR
mm
RRmmRRmm
m
m
m
由于物理模型为轴对称 再有两个自然边界条件 故 三个泛定方程的解的形式为
∑
∞
=
=
0
)(cos
1
n
n
n
nm
PRa θ?
∑
∞
=
+
+=
0
1
)(cos)(
2
n
n
n
nn
nm
P
R
c
Rb θ?
∑
∞
=
+
+?=
0
1
0
)(coscos
3
n
n
n
n
m
P
R
d
RH θθ?
因为泛定方程的解是把产生磁场的源
0
H
v
做频谱分解而得出的 分解所选取的基本函数系是其本征函数系 )}(cos{ θ
n
P 在本题中 源的表示是
)(coscos
100
θθ RPHRH?=?
所以上面的解中 )0(,0 ≠==== ndcba
nnnn
故 解的形式简化为
θθ?
θ?
θ?
coscos
cos)(
cos
2
1
0
2
1
1
1
3
2
1
R
d
RH
R
c
Rb
Ra
m
m
m
+?=
+=
=
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 12 -
代入衔接条件 得
=
=
+?=+
+=
)
2
(
2
2
(
3
2
1
1
3
2
1
00
3
1
1
101
2
2
1
20
2
2
1
21
2
1
1
1111
R
c
b
R
d
H
R
c
ba
R
d
RH
R
c
Rb
R
c
RbRa
μμμ
μμ
解方程组得
3
200
3
1
2
0
3
2000
3
2000
1
)2)(2()(2
)(3)2(3
RR
RHRH
a
μμμμμμ
μμμμμμ
++
++
=
3
200
3
1
2
0
3
2000
1
)2)(2()(2
)2(3
RR
RH
b
μμμμμμ
μμμ
++
+
=
3
200
3
1
2
0
3
1
3
2000
1
)2)(2()(2
)(3
RR
RRH
c
μμμμμμ
μμμ
++
=
3
20
3
200
3
1
2
0
3
1
3
2000
6
2000
1
)2)(2()(2
)(3)2(3
RH
RR
RRHRH
d +
++
++
=
μμμμμμ
μμμμμμ
而 )3,2,1(,
00
=== iHB
i
mii
μμ
vv
z
eaB
v
v
101
μ?=∴
00
3
2
1
2
0
00
3
2
1
]
)(
)(2
)2)(2(
)(1
1[ H
R
R
R
R
v
μ
μμ
μμμμ
++
=
当
0
μμ >> 时
1
)(2
)2)(2(
2
0
00
≈
++
μμ
μμμμ
0
1
=∴B
v
即球壳腔中无磁场 类似于静电场中的静电屏障
11,设理想铁磁体的磁化规律为
000
,MMHB μμ +=
rr
是恒定的与 H
r
无关的量 今将一个电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 13 -
理想铁磁体做成均匀磁化球
0
M 为常值 浸入磁导率为 'μ 的无限介质中 求磁感应强度和磁化电流分布解 根据题意 取球心为原点 做球坐标 以
0
M
v
的方向为
z
e
v
本题具有球对称的磁场分布满足的定解问题为
=
∞<
=
′?
=
>=?
<=?
∞=
=
=
0
cos
,
,0
,0
2
1
0
21
021
2
1
0
00
0
2
0
2
Rm
Rm
R
mm
RRmm
m
m
M
RR
RR
RR
θμ
μ
μ
∴
∑
∞
=
=
0
)(cos
1
n
n
n
nm
PRa θ?
∑
∞
=
+
=
0
1
)(cos)(
2
n
n
n
n
m
P
R
b
θ?
代入衔接条件 对比 )(cosθ
n
P 对应项前的系数 得
)1(,0 ≠== nba
nn
μμ
μ
+′
=
2
00
1
M
a
3
0
00
1
2
R
M
b
μμ
μ
+′
=
)(,cos
2
0
00
1
RRR
M
m
<
+′
=∴ θ
μμ
μ
)(,cos
2
0
2
3
000
2
RR
R
RM
m
>
+′
= θ
μμ
μ
由此
μμ
μμ
μμ
+′
′
=+=<
2
2
,
00
00110
M
MHBRR
v
rvv
,
0
RR > ]
)(3
[
2
3
0
5
0
3
00
2
2
R
M
R
RRMR
B
m
vrvv
v
+′
′
=?′?=
μμ
μμ
μ
>?
+′
′
<
+′
′
=∴
)(],
)(3
[
2
)(,
2
2
0
3
0
5
0
3
00
0
00
RR
R
M
R
RRMR
RR
M
B
vrvv
v
v
μμ
μμ
μμ
μμ
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 14 -
又 0)()(
012
0
其中 αααμ
vvv
vv
v
+=?×
MR
BBn
代入 B
v
的表达式 得
θ
μμ
μ
α eM
M
vv
sin
2
3
0
0
′
′
12,将上题的永磁球置入均匀外磁场
0
H
r
中 结果如何解 根据题意 假设均匀外场
0
H
v
的方向与
0
M
v
的方向相同 定为坐标 z 轴方向定解问题为
=
∞<
=
=
>=?
<=?
∞=
=
=
θ?
θμ
μ
μ
cos
cos
,
,0
,0
0
0
000
0
2
0
2
2
1
0
21
021
2
1
RH
M
RR
RR
RR
Rm
Rm
R
mm
RRmm
m
m
解得满足自然边界条件的解是
)(,cos
01
1
RRRa
m
<= θ?
)(,coscos
0
2
1
0
2
RR
R
d
RH
m
>+?= θθ?
代入衔接条件
001
3
0
1
000
2
0
1
0001
2
Ma
R
d
H
R
d
RHRa
μμμμ =++
+?=
得到
0
0000
1
2
3
μμ
μμ
+
=
HM
a
3
0
0
0000
1
2
)(
R
HM
d
μμ
μμμ
+
+
=
)(,cos
2
3
0
0
0000
1
RRR
HM
m
<
+
=∴ θ
μμ
μμ
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 15 -
)(,cos
2
)(
cos
0
2
3
0
0
0000
0
2
RR
R
RHM
RH
m
>
+
+
+?= θ
μμ
μμμ
θ?
]sin
2
3
cos
2
3
[
0
0000
0
0000
1
1
θ
θ
μμ
μμ
θ
μμ
μμ
e
HM
e
HM
H
rm
vv
v
+
+
==∴
μμ
μμ
+
=
0
0000
2
3 HM
vv
)(,
2
2
2
3
00
0
2
0
0
0
0
001
RRMHMHB <
+
+
+
=+=
vvvvv
μμ
μ
μμ
μμ
μμ
+
+
==
rm
e
R
RHM
HH
v
v
)cos
2
2
)(
cos[(
2
3
0
0
0000
02
2
θ
μμ
μμμ
θ?
35
0
2
3
0
0
0000
0
)(3
])sin
2
)(
sin(
R
m
R
RRm
He
R
RHM
H
v
vr
r
v
v
+=
+
+
+
θ
θ
μμ
μμμ
θ
]
)(3
[
35
00202
R
m
R
RRm
HHB
v
vr
r
vvv
+== μμ
0
3
0
0
03
0
0
00
22
HRR
M
m
v
v
v
μμ
μμ
μμ
μ
+
+
+
=
13,有一个均匀带电的薄导体壳 其半径为 R
0
总电荷为 Q 今使球壳绕自身某一直径以角速度 ω 转动 求球内外的磁场 B
r
提示 本题通过解
m
或A
r
的方程都可以解决 也可以比较本题与 5 例 2 的电流分布得到结果解 根据题意 取球体自转轴为 z 轴 建立坐标系定解问题为
=
∞<
=
=
=
>=?
<=?
∞=
=
=
0
)(,
4
sin
)(
1
,0
,0
2
1
21
0
12
2
1
0
00
00
0
2
0
2
Rm
Rm
mm
RR
mm
m
m
RR
RR
R
Q
R
RR
RR
μ
μ
π
θω
θ
θ
其中
0
4
sin
R
Q
π
θω
σ = 是球壳表面自由面电流密度解得满足自然边界条件的解为电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 16 -
)(,cos
)(,cos
0
2
1
01
2
1
RR
R
b
RRRa
m
m
>=
<=
θ?
θ?
代入衔接条件
=+
=?
0
2
4
3
0
1
1
0
2
0
1
01
R
b
a
R
Q
R
b
Ra
π
ω
解得
0
1
6 R
Q
a
π
ω
=
π
ω
12
2
0
1
RQ
b =
)(,cos
6
0
0
1
RRR
R
Q
m
<?=∴ θ
π
ω
)(,cos
12
02
2
0
2
RR
R
RQ
m
>= θ
π
ω
000
1
6
sin
6
cos
6
1
R
Q
e
R
Q
e
R
Q
H
rm
π
ω
θ
π
ω
θ
π
ω
θ
v
vv
v
=?==∴
ω
π
μ
μ
v
rv
0
0
101
6 R
Q
HB ==
]
)(3
[
4
1
sin
12
cos
12
2
353
2
0
3
2
0
2
2
R
m
R
RRm
e
R
RQ
e
R
RQ
H
rrm
r
vv
v
vv
v
=+==
π
θ
π
ω
θ
π
ω
其中
ω
vv
3
2
0
QR
m =
]
)(3
[
4
35
0
202
R
m
R
RRm
HB
r
vv
v
vv
==
π
μ
μ
14,电荷按体均匀分布的刚性小球 其总电荷为 Q 半径为 R
0
它以角速度 ω 绕自身某以直径转动 求
1 它的磁矩
2 它的磁矩与自转动量矩之比 设质量 M
0
是均匀分布的
解 1 磁矩
∫
×= dVxJxm )(
2
1 v
v
vv
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 17 -
又
r
Rx eR
v
v
v
== )(
3
4
)(
3
0
R
R
Q
vxJ
v
vvv
v
×== ω
π
ρ
∫∫
×=××=∴ φθθ
π
ω
φθθω
π
φ
ddrdRee
R
Q
ddrdRRR
R
Q
m
r
24
3
0
2
3
0
sin)(
4
3
2
1
sin)(
4
3
2
1 vv
v
v
r
v
又 )sincos(cossin
yxzr
eeeeee
vvvvvv
φφθθ
θφ
+=?=×
∫∫∫
+=∴
ππ
φθθφφθθ
π
ω
2
000
24
3
0
0
sin)sincos(cos[sin
8
3
R
yxz
ddrdReee
R
Q
m
vvvv
ωφθθ
π
ω
ππ
vv
5
sin
8
3
2
0
2
000
43
3
0
0 QR
ddrdRe
R
Q
R
z
==
∫∫∫
2)自转动量矩
∫∫∫∫
××=×=×== dVRR
R
M
dmvRPdRLdL )(
4
3
3
0
0
v
v
v
v
vvvvv
ω
π
5
2
sin
4
3
sin)sincos(cos[sin
4
3
sin)(sin
4
3
sin)sin(
4
3
sin)(
4
3
2
00
2
000
34
3
0
0
2
000
24
3
0
0
22
3
0
0
22
3
0
0
22
3
0
0
0
0
ω
φθθ
π
ω
φθθφφθθ
π
ω
φθθθω
π
φθθθω
π
φθθω
π
ππ
ππ
θ
φ
vv
vvv
v
vv
vvv
RM
ddrdR
R
M
ddrdReee
R
M
ddrdReR
R
M
ddrdReeR
R
M
ddrdReeeR
R
M
R
R
yxz
r
rzr
==
+=
=
×?=
××=
∫∫∫
∫∫∫
∫
∫
∫
0
2
00
2
0
2
5
2
5
M
Q
RM
QR
L
m
==∴
ω
ω
v
v
v
v
15,有一块磁矩为 m
r
的小永磁体 位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中求作用在小永磁体上的力 F
r
.
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 18 -
解 根据题意 因为无穷大平面的 μ 很大 则可推出在平面上 所有的 H
v
均和平面垂直类比于静电场 构造磁矩 m
r
关于平面的镜像 m′
r
则外场为
=
=
=
23
0
4
cos
4 r
m
R
Rm
B
m
me
π
θ
π
μ
v
v
v
)sincos(
4
]
sincos2
[
4
3
0
33
0 θθ
θθα
π
μθθ
π
μ ee
r
m
e
r
e
r
m
B
rre
vvrv
v
+==∴
m
v
∴ 受力为
zare
e
a
m
BmF
v
v
v
v
)cos1(
64
3
)(
2
4
0
2
2
α
π
μ
αθ
+?==
=
=
- 1 -
1,试用 A
r
表示一个沿 z 方向的均匀恒定磁场
0
B
r
写出 A
r
的两种不同表示式 证明两者之差是无旋场解
0
B
r
是沿 z 方向的均匀的恒定磁场 即
z
eBB
r
r
=
0
且 AB
rr
×?=
0
在直角坐标系中
z
x
y
y
zx
x
y
z
e
y
A
x
A
e
x
A
z
A
e
z
A
y
A
A
rrr
r
)()()(
+
+
=×?
如果用 A
r
在直角坐标系中表示
0
B
r
即
=
=
=
0
0
0
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A
x
y
zx
y
z
由此组方程 可看出 A
r
有多组解 如
解 1 )(,0
0
xfyBAAA
xZy
+?===
即
x
exfyBA
r
r
)]([
0
+?=
解 2 )(,0
0
ygxBAAA
Yzx
+===
即
y
eygxBA
r
r
)]([
0
+=
解 1 和解 2 之差为
yx
eygxBexfyBA
rr
r
)]([)]([
00
+?+?=?
则
z
x
y
y
zx
x
y
z
e
y
A
x
A
e
x
A
z
A
e
z
A
y
A
A
rrr
r
]
)(
)(
[]
)()(
[]
)(
)(
[)(
+
+
=?×?
0
这说明两者之差是无旋场
2,均匀无穷长直圆柱形螺线管 每单位长度线圈匝数为 n 电流强度为 I 试用唯一性定理求管内外磁感应强度 B
解 根据题意 得右图 取螺线管的中轴线为 z 轴本题给定了空间中的电流分布 故可由
∫
×
= '
4
3
0
dV
r
rJ
B
r
r
r
π
μ
求解磁场分布 又 J
r
在导线上 所以
∫
×
=
3
0
4 r
rlJd
B
r
r
r
π
μ
1 螺线管内 由于螺线管是无限长理想螺线管 故 由电磁学的有关知识知 其内部磁电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 2 -
场是均匀强磁场 故只须求出其中轴线上的磁感应强度 即可知道管内磁场
由其无限长的特性 不妨取场点为零点 以柱坐标计算
xyx
ezeaear
rrrr
''sin'cos=
yx
eadeadld
rr
r
'cos''sin'+=
)''sin'cos()'cos''sin'(
xyxyx
ezeaeaeadeadrld
rrrrrr
r
×?+=×∴
zyx
edaedazedaz
rrr
'''sin'''cos'
2
+=
取由 ''' dzzz +? 的以小段 此段上分布有电流 'nIdz
∫
+
+
=∴
2
3
22
2
0
])'([
)'''sin'''cos'('
4
za
edaedazedaznJdz
B
zyx
rrr
r
π
μ
In
a
z
a
z
d
nI
enI
za
dza
d
z 0
2
3
2
0
2
3
22
22
0
0
]1)
'
[(
)
'
(
2
])'([
'
'
4
μ
μ
π
μ
π
=
+
=?
+
=
∫∫∫
∞+
∞?
∞
∞?
r
2)螺线管外部,由于是无限长螺线管 不妨就在 xoy 平面上任取一点 )0.,(?ρP 为场点
)( a>ρ
222
')'sinsin()'coscos(' zaaxxr +?+?=?=∴ρρ
rr
)'cos(2'
222
ρρ++= aza
('=?= xxr
rrr
x
ea
r
)'coscosρ?
zy
ezea
rr
')'sinsin(ρ
yx
eadeadld
rr
r
'cos''sin'+=
zyx
edaaedazedazrld
rrrr
r
')]'cos([''sin'''cos'
2
ρ+=×∴
+?+=∴
∫∫∫∫
∞
∞?
∞
∞?
'
''sin'
''
''cos'
'[
4
3
2
0
3
2
0
0
dze
r
daz
ddze
r
daz
dnIB
yx
rr
r
π
μ
ππ
]'
)'cos(
'
3
22
0
∫∫
∞
∞?
+
z
edz
r
aa
d
rρ
π
由于磁场分布在本题中有轴对称性 而螺线管内部又是匀强磁场 且螺线管又是无限长 故不会有磁力线穿出螺线管 上述积分为 0 所以 0=B
r
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 3 -
3,设有无穷长的线电流 I 沿 z 轴流动 以 z<0 空间充满磁导率为 μ 的均匀介质 z>0 区域为真空 试用唯一性定理求磁感应强度 B 然后求出磁化电流分布解 本题的定解问题为
×?=×?
=
<?=?
>?=?
==
=
01
0
02
021
2
2
01
2
11
)0(,
)0(,
zz
z
AA
AA
zJA
zJA
rr
rr
rr
rr
μμ
μ
μ
由本题具有轴对称性 可得出两个泛定方程的特解为
∫
∫
=
=
r
lId
xA
r
lId
xA
r
r
r
r
r
r
π
μ
π
μ
4
)(
4
)(
2
0
1
由此可推测本题的可能解是
<
>
=
)0(,
2
)0(,
2
0
ze
r
I
ze
r
I
B
θ
θ
π
μ
π
μ
r
r
r
验证边界条件 1 0)(,
12021
==
=
BBnAA
z
rr
r
rr
即
题中 0,=?=
θ
eeen
zz
rrrr
且 所以边界条件 1 满足
2 0)(,
11
1201
0
02
=?××?=×?
==
HHnAA
zz
rr
r
rr
即
μμ
本题中介质分界面上无自由电流密度 又
θ
θ
πμ
πμ
e
r
IB
H
e
r
IB
H
r
r
r
r
r
r
2
2
2
2
0
1
1
==
==
,0
12
=?∴ HH
rr
满足边界条件 0)(
12
=?× HHn
rr
r
综上所述 由唯一性定理可得 本题有唯一解
<
>
=
)0(,
2
)0(,
2
0
ze
r
I
ze
r
I
B
θ
θ
π
μ
π
μ
r
r
r
在介质中 M
B
H
r
r
r
=
0
μ
故在 z<0 的介质中
2
0
2
H
B
M
r
r
r
=
μ
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 4 -
即
θθθ
μ
μ
ππμ
μ
π
e
r
I
e
r
I
e
r
I
M
rrr
r
)1(
222
00
==
∴ 介质界面上的磁化电流密度
rzM
e
r
I
ee
r
I
nM
rrrr
r
r
)1(
2
)1(
2
00
=×?=×=
μ
μ
πμ
μ
π
α
θ
总的感应电流 )1()1(
2
0
2
0 0
==?=
∫∫
μ
μ
μ
μ
π
π
θθ
Iedre
r
I
ldMJ
M
rr
rr
电流在 z<0 的空间中 沿 z 轴流向介质分界面
4,设 x<0 半空间充满磁导率为 μ 的均匀介质 x>0 空间为真空 今有线电流 I 沿 z 轴流动 求磁感应强度和磁化电流分布解 假设本题中得磁场分布仍呈轴对称 则可写作
π
μ
e
r
I
B
v
v
2
′
=
其满足边界条件
0)(
0)(
12
12
==?×
=
α
v
vv
v
vv
v
HHn
BBn
即可得 在介质中
μπ
μ
μ
e
r
IB
H
v
v
v
2
2
′
==
而 Me
r
I
M
B
H
v
v
v
v
v
′
=?=
μπ
μ
μ
00
2
2
∴在 x<0 的介质中
μμ
μμ
π
μ
e
r
I
M
v
v
0
0
2
′
=
则
∫
= ldMI
M
vv
取积分路线为 BACB →→→ 的半圆
,
eAB
v
Q ⊥ AB∴ 段积分为零
0
0
2
)(
μμ
μμμ?′
=
I
I
M
π
μ
e
r
II
B
M
v
v
2
)(
0
+
=∴
∴由
π
μ
π
μ
e
r
I
Be
r
II
M
v
v
v
22
)(
0
′
==
+
可得
0
0
2
μμ
μμ
μ
+
=′
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 5 -
∴空间
πμμ
μμ
e
r
I
B
v
v
0
0
+
=
II
M
0
0
μμ
μμ
+
= 沿 z 轴
5,某空间区域内有轴对称磁场 在柱坐标原点附近已知 )
2
1
(
22
0
ρ≈ zCBB
z
其中
B
0
为常量 试求该处的
ρ
B
提示 用,0= B
r
并验证所得结果满足 0H
r
×?
解 由 B
v
具有轴对称性 设
zz
eBeBB
vv
v
+=
ρρ
其中 )
2
1
(
22
0
ρ= zcBB
z
0= B
v
Q
0)(
1
=
+
∴
z
B
z
B
ρ
ρ
ρρ
即 02)(
1
=?
czB
ρ
ρ
ρρ
AczB +=∴
2
ρρ
ρ
(常数 )
取 0=A 得 ρ
ρ
czB =
z
ezcBeczB
vv
v
)]
2
1
([
22
0
ρρ
ρ
+=∴ 1
0,0 == Dj
vv
Q 0=×?∴ B
v
即 0)( =
θ
ρ
ρ
e
B
z
B
z
v
2
代入 1 式可得 2 式成立 ∴ ρ
ρ
czB = c为常数
6,两个半径为 a 的同轴线圈形线圈 位于 Lz ±= 面上 每个线圈上载有同方向的电流 I
1 求轴线上的磁感应强度
2 求在中心区域产生最接近于均匀的磁场时的 L 和 a 的关系提示 用条件 0
2
2
=
z
B
z
解 1 由毕 萨定律 L 处线圈在轴线上 z 处产生得磁感应强度为电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 6 -
,
11 zz
eBB
v
v
=
∫∫
+
=
×
= θ
π
μ
α
π
μ
d
Lza
Ia
r
rlId
B
z
2
3
22
2
0
3
0
1
])([
4
sin
4
v
v
2
3
22
2
0
])[(
1
2
1
azL
Ia
+?
= μ
同理 L 处线圈在轴线上 z 处产生得磁感应强度为
zz
eBB
v
v
22
=
2
3
22
2
02
])[(
1
2
1
azL
IaB
z
++
= μ
∴ 轴线上得磁感应强度
zzz
e
azLazL
IaeBB
vv
v
++
+
+?
==
2
3
22
2
3
22
2
0
])[(
1
])[(
1
2
1
μ
2 0=×? B
v
Q
0)()(
2
==×?×?∴ BBB
vvv
又 0= B
v
0,0
2
2
2
=
=?∴
z
B
z
B
v
代入 1 式中 得
622
2
5
222322
2
1
222
2
1
22
])[(
])[()(6])[(])[()(])[(
azL
azLzLazLazLzLazL
+?
+++?
++
622
2
5
222322
2
1
222
2
1
22
])[(
])[()(6])[(])[()(])[(
azL
azLzLazLazLzLazL
+?
++++
++++++
0
取 z 0 得
0)(12])(2)(2[)(
2
2
5
22
2
1
222
2
1
22322
=+++?+?+
LaLaLLaLaL
222
5 aLL +=∴
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 7 -
aL
2
1
=∴
7,半径为 a 的无限长圆柱导体上有恒定电流 J 均匀分布于截面上 试解矢势 A
r
的微分方程 设导体的磁导率为
0
μ 导体外的磁导率为 μ
解 定解问题为
×?=×?
=
∞<
>=?
<?=?
外内内外内外内
AA
AA
A
arA
arJA
aa
vv
vv
v
v
vv
μμ
μ
11
)(,0
)(,
0
0
2
0
2
选取柱坐标系 该问题具有轴对称性 且解与 z 无关 令
z
erAA
v
v
)(
内内
=
z
erAA
v
v
)(
外外
代入定解问题得
=
=
0)
)
(
1
)
)(
(
1
0
r
rA
r
rr
J
r
rA
r
rr
外内
μ
得
43
21
2
ln)(
ln
4
1
)(
CrCrA
CrCJrrA
+=
++?=
外内
μ
由 ∞<
=0
)(
r
rA
内
得 0
1
=C
由外内
AA
vv
×?=×?
μμ
11
0
得
2
3
2
JaC
μ
=
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 8 -
由
aa
AA
内外
vv
= 令 0==
aa
AA
内外
vv
得 aJaCJaC ln
2
,
4
1
2
4
2
02
μ
μ ==
=
∴
r
a
aJA
raJA
ln
2
)(
4
1
2
22
0
vv
vv
μ
μ
外内
8,假设存在磁单极子 其磁荷为 Q
m
它的磁场强度为
3
0
4 r
rQ
H
m
r
r
πμ
= 给出它的矢势的一个可能的表示式 并讨论它的奇异性
解
r
mm
e
r
Q
r
rQ
H
v
v
v
2
0
3
0
1
44 πμπμ
==
由
r
m
e
r
Q
HBA
v
vvv
2
0
4π
μ ===×? 得
=
=
=
0])([
1
0)](
sin
1
[
1
4
])(sin[
sin
1
2
θ
φθ
πφ
θ
θθ
θ
φ
θ
φ
r
r
m
A
rA
rr
rA
r
A
r
r
QA
A
r
(1)
令,0==
θ
AA
r
得
r
Q
A
m
π
θ
θ
θ
φ
4
sin
)(sin =
θ
θ
π
θ
π
θ
θ
φ
θ
φ
sin
cos1
4
4
sin
sin
0
r
Q
A
d
r
Q
A
m
m
=∴
=∴
∫
显然
φ
A 满足 1 式
∴ 磁单极子产生的矢势
φ
θ
θ
π
e
r
Q
A
m
v
v
sin
cos1
4
=
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 9 -
讨论 当 0→θ 时 0→A
v
当
2
π
θ → 时
φ
π
e
r
Q
A
m
v
v
4
→
当 πθ → 时 ∞→A
v
故 A
v
的表达式在 πθ = 具有奇异性 A
v
不合理
9,将一磁导率为 μ 半径为 R
0
的球体 放入均匀磁场
0
H
r
内 求总磁感应强度 B
r
和诱导磁矩 m
r
解 根据题意 以球心为原点建立球坐标 取
0
H
v
的方向为
z
e
v
此球体在外界存在的磁场的影响下极化 产生一个极化场 并与外加均匀场相互作用 最后达到平衡 保持在一个静止的状态 呈现球对称本题所满足的定解问题为
=
∞<
=
=
=
>=?
<=?
∞=
=
θ?
μ
μ
cos
)(,,
,0
,0
0
0
00
0
2
0
2
2
1
21
21
2
1
RH
RR
RR
RR
RR
Rm
Rm
mm
mm
m
m
由泛定方程和两个自然边界条件得
∑
∞
=
=
0
)(cos
1
n
n
n
nm
PRa θ?
∑
∞
=
+
+?=
0
1
0
)(coscos
2
n
n
n
n
m
P
R
d
RH θθ?
由两个边界条件有
+
=
+?=
∑∑
∑∑
∞
=
+
∞
=
∞
=
+
∞
=
0
2
0
000
1
1
0
0
1
0
00
0
0
)(cos
)1(
cos)(cos
)(coscos)(cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
R
dn
HPnRa
P
R
d
RHPRa
θμθμθμ
θθθ
得电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 10 -
≠==
+
=
+
=
)1(,0
2
2
3
3
00
0
0
1
0
00
1
nda
RHd
H
a
nn
μμ
μμ
μμ
μ
>?
+
+?=
<
+
=
∴
00
2
3
0
0
0
0
00
0
,cos
2
cos
,cos
2
3
2
1
RRH
R
R
RH
RRRH
m
m
θ
μμ
μμ
θ?
θ
μμ
μ
+
==
+
=
+
+
==
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
2
3
sin
2
3
cos
2
3
1
HHB
HeHeHH
rm
vvv
v
vv
v
μμ
μμ
μ
μμ
μ
θ
μμ
μ
θ
μμ
μ
θ
+
+==
+
+=
+
+
+==
]
)(3
[
2
]
)(3
[
2
sin]
2
1[cos]
2
2
1[
3
0
5
03
00
0
0
00202
3
0
5
03
0
0
0
0
0
3
3
0
0
0
0
3
3
0
0
0
2
2
R
H
R
RRH
RHHB
R
H
R
RRH
RH
eH
R
R
eH
R
R
H
rm
vvvv
vvv
vvvv
v
vv
v
μ
μμ
μμ
μμ
μμ
μμ
θ
μμ
μμ
θ
μμ
μμ
θ
>?
+
+
<
+
=∴
)(],
)(3
[
2
)(,
2
3
0
3
0
5
03
00
0
0
00
00
0
0
RR
R
H
R
RRH
RH
RRH
B vvvv
v
v
v
μ
μμ
μμ
μ
μμ
μμ
当 B
v
在 R>R
0
时 表达式中的第二项课看作一个磁偶极子产生的场
θ
μμ
μμ
cos
2
0
2
3
0
0
0
2
H
R
R
m
+
∴ 中 可看作偶极子 m
v
产生的势即 RH
R
R
H
R
R
R
Rm
vv
v
v
+
=?
+
=
0
2
3
0
0
0
0
2
3
0
0
0
3
2
cos
24
1
μμ
μμ
θ
μμ
μμ
π
HRm
v
v
3
0
0
0
2
4?
+
=∴
μμ
μμ
π
10,有一个内外半径为 R
1
和 R
2
的空心球 位于均匀外磁场
0
H
r
内 球的磁导率为 μ 求空电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 11 -
腔内的场 B
r
讨论
0
μμ >> 时的磁屏蔽作用解 根据题意 以球心为原点 取球坐标 选取
0
H
v
的方向为
z
e
v
在外场
0
H
v
的作用下 球壳极化 产生一个附加场 并与外场相互作用 最后达到平衡 B
v
的分布呈现轴对称定解问题
=
∞<
=
=
==
>=?
<<=?
<=?
∞=
=
==
==
θ?
μ
μ
μ
μ
cos
,
,
,0
,0
,0
0
0
00
3
2
21
2
1
2
3
1
2
23
1
21
232121
3
2
1
RH
RRRR
RR
RRR
RR
Rm
Rm
RR
mm
RR
mm
RRmmRRmm
m
m
m
由于物理模型为轴对称 再有两个自然边界条件 故 三个泛定方程的解的形式为
∑
∞
=
=
0
)(cos
1
n
n
n
nm
PRa θ?
∑
∞
=
+
+=
0
1
)(cos)(
2
n
n
n
nn
nm
P
R
c
Rb θ?
∑
∞
=
+
+?=
0
1
0
)(coscos
3
n
n
n
n
m
P
R
d
RH θθ?
因为泛定方程的解是把产生磁场的源
0
H
v
做频谱分解而得出的 分解所选取的基本函数系是其本征函数系 )}(cos{ θ
n
P 在本题中 源的表示是
)(coscos
100
θθ RPHRH?=?
所以上面的解中 )0(,0 ≠==== ndcba
nnnn
故 解的形式简化为
θθ?
θ?
θ?
coscos
cos)(
cos
2
1
0
2
1
1
1
3
2
1
R
d
RH
R
c
Rb
Ra
m
m
m
+?=
+=
=
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 12 -
代入衔接条件 得
=
=
+?=+
+=
)
2
(
2
2
(
3
2
1
1
3
2
1
00
3
1
1
101
2
2
1
20
2
2
1
21
2
1
1
1111
R
c
b
R
d
H
R
c
ba
R
d
RH
R
c
Rb
R
c
RbRa
μμμ
μμ
解方程组得
3
200
3
1
2
0
3
2000
3
2000
1
)2)(2()(2
)(3)2(3
RR
RHRH
a
μμμμμμ
μμμμμμ
++
++
=
3
200
3
1
2
0
3
2000
1
)2)(2()(2
)2(3
RR
RH
b
μμμμμμ
μμμ
++
+
=
3
200
3
1
2
0
3
1
3
2000
1
)2)(2()(2
)(3
RR
RRH
c
μμμμμμ
μμμ
++
=
3
20
3
200
3
1
2
0
3
1
3
2000
6
2000
1
)2)(2()(2
)(3)2(3
RH
RR
RRHRH
d +
++
++
=
μμμμμμ
μμμμμμ
而 )3,2,1(,
00
=== iHB
i
mii
μμ
vv
z
eaB
v
v
101
μ?=∴
00
3
2
1
2
0
00
3
2
1
]
)(
)(2
)2)(2(
)(1
1[ H
R
R
R
R
v
μ
μμ
μμμμ
++
=
当
0
μμ >> 时
1
)(2
)2)(2(
2
0
00
≈
++
μμ
μμμμ
0
1
=∴B
v
即球壳腔中无磁场 类似于静电场中的静电屏障
11,设理想铁磁体的磁化规律为
000
,MMHB μμ +=
rr
是恒定的与 H
r
无关的量 今将一个电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 13 -
理想铁磁体做成均匀磁化球
0
M 为常值 浸入磁导率为 'μ 的无限介质中 求磁感应强度和磁化电流分布解 根据题意 取球心为原点 做球坐标 以
0
M
v
的方向为
z
e
v
本题具有球对称的磁场分布满足的定解问题为
=
∞<
=
′?
=
>=?
<=?
∞=
=
=
0
cos
,
,0
,0
2
1
0
21
021
2
1
0
00
0
2
0
2
Rm
Rm
R
mm
RRmm
m
m
M
RR
RR
RR
θμ
μ
μ
∴
∑
∞
=
=
0
)(cos
1
n
n
n
nm
PRa θ?
∑
∞
=
+
=
0
1
)(cos)(
2
n
n
n
n
m
P
R
b
θ?
代入衔接条件 对比 )(cosθ
n
P 对应项前的系数 得
)1(,0 ≠== nba
nn
μμ
μ
+′
=
2
00
1
M
a
3
0
00
1
2
R
M
b
μμ
μ
+′
=
)(,cos
2
0
00
1
RRR
M
m
<
+′
=∴ θ
μμ
μ
)(,cos
2
0
2
3
000
2
RR
R
RM
m
>
+′
= θ
μμ
μ
由此
μμ
μμ
μμ
+′
′
=+=<
2
2
,
00
00110
M
MHBRR
v
rvv
,
0
RR > ]
)(3
[
2
3
0
5
0
3
00
2
2
R
M
R
RRMR
B
m
vrvv
v
+′
′
=?′?=
μμ
μμ
μ
>?
+′
′
<
+′
′
=∴
)(],
)(3
[
2
)(,
2
2
0
3
0
5
0
3
00
0
00
RR
R
M
R
RRMR
RR
M
B
vrvv
v
v
μμ
μμ
μμ
μμ
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 14 -
又 0)()(
012
0
其中 αααμ
vvv
vv
v
+=?×
MR
BBn
代入 B
v
的表达式 得
θ
μμ
μ
α eM
M
vv
sin
2
3
0
0
′
′
12,将上题的永磁球置入均匀外磁场
0
H
r
中 结果如何解 根据题意 假设均匀外场
0
H
v
的方向与
0
M
v
的方向相同 定为坐标 z 轴方向定解问题为
=
∞<
=
=
>=?
<=?
∞=
=
=
θ?
θμ
μ
μ
cos
cos
,
,0
,0
0
0
000
0
2
0
2
2
1
0
21
021
2
1
RH
M
RR
RR
RR
Rm
Rm
R
mm
RRmm
m
m
解得满足自然边界条件的解是
)(,cos
01
1
RRRa
m
<= θ?
)(,coscos
0
2
1
0
2
RR
R
d
RH
m
>+?= θθ?
代入衔接条件
001
3
0
1
000
2
0
1
0001
2
Ma
R
d
H
R
d
RHRa
μμμμ =++
+?=
得到
0
0000
1
2
3
μμ
μμ
+
=
HM
a
3
0
0
0000
1
2
)(
R
HM
d
μμ
μμμ
+
+
=
)(,cos
2
3
0
0
0000
1
RRR
HM
m
<
+
=∴ θ
μμ
μμ
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 15 -
)(,cos
2
)(
cos
0
2
3
0
0
0000
0
2
RR
R
RHM
RH
m
>
+
+
+?= θ
μμ
μμμ
θ?
]sin
2
3
cos
2
3
[
0
0000
0
0000
1
1
θ
θ
μμ
μμ
θ
μμ
μμ
e
HM
e
HM
H
rm
vv
v
+
+
==∴
μμ
μμ
+
=
0
0000
2
3 HM
vv
)(,
2
2
2
3
00
0
2
0
0
0
0
001
RRMHMHB <
+
+
+
=+=
vvvvv
μμ
μ
μμ
μμ
μμ
+
+
==
rm
e
R
RHM
HH
v
v
)cos
2
2
)(
cos[(
2
3
0
0
0000
02
2
θ
μμ
μμμ
θ?
35
0
2
3
0
0
0000
0
)(3
])sin
2
)(
sin(
R
m
R
RRm
He
R
RHM
H
v
vr
r
v
v
+=
+
+
+
θ
θ
μμ
μμμ
θ
]
)(3
[
35
00202
R
m
R
RRm
HHB
v
vr
r
vvv
+== μμ
0
3
0
0
03
0
0
00
22
HRR
M
m
v
v
v
μμ
μμ
μμ
μ
+
+
+
=
13,有一个均匀带电的薄导体壳 其半径为 R
0
总电荷为 Q 今使球壳绕自身某一直径以角速度 ω 转动 求球内外的磁场 B
r
提示 本题通过解
m
或A
r
的方程都可以解决 也可以比较本题与 5 例 2 的电流分布得到结果解 根据题意 取球体自转轴为 z 轴 建立坐标系定解问题为
=
∞<
=
=
=
>=?
<=?
∞=
=
=
0
)(,
4
sin
)(
1
,0
,0
2
1
21
0
12
2
1
0
00
00
0
2
0
2
Rm
Rm
mm
RR
mm
m
m
RR
RR
R
Q
R
RR
RR
μ
μ
π
θω
θ
θ
其中
0
4
sin
R
Q
π
θω
σ = 是球壳表面自由面电流密度解得满足自然边界条件的解为电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 16 -
)(,cos
)(,cos
0
2
1
01
2
1
RR
R
b
RRRa
m
m
>=
<=
θ?
θ?
代入衔接条件
=+
=?
0
2
4
3
0
1
1
0
2
0
1
01
R
b
a
R
Q
R
b
Ra
π
ω
解得
0
1
6 R
Q
a
π
ω
=
π
ω
12
2
0
1
RQ
b =
)(,cos
6
0
0
1
RRR
R
Q
m
<?=∴ θ
π
ω
)(,cos
12
02
2
0
2
RR
R
RQ
m
>= θ
π
ω
000
1
6
sin
6
cos
6
1
R
Q
e
R
Q
e
R
Q
H
rm
π
ω
θ
π
ω
θ
π
ω
θ
v
vv
v
=?==∴
ω
π
μ
μ
v
rv
0
0
101
6 R
Q
HB ==
]
)(3
[
4
1
sin
12
cos
12
2
353
2
0
3
2
0
2
2
R
m
R
RRm
e
R
RQ
e
R
RQ
H
rrm
r
vv
v
vv
v
=+==
π
θ
π
ω
θ
π
ω
其中
ω
vv
3
2
0
QR
m =
]
)(3
[
4
35
0
202
R
m
R
RRm
HB
r
vv
v
vv
==
π
μ
μ
14,电荷按体均匀分布的刚性小球 其总电荷为 Q 半径为 R
0
它以角速度 ω 绕自身某以直径转动 求
1 它的磁矩
2 它的磁矩与自转动量矩之比 设质量 M
0
是均匀分布的
解 1 磁矩
∫
×= dVxJxm )(
2
1 v
v
vv
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 17 -
又
r
Rx eR
v
v
v
== )(
3
4
)(
3
0
R
R
Q
vxJ
v
vvv
v
×== ω
π
ρ
∫∫
×=××=∴ φθθ
π
ω
φθθω
π
φ
ddrdRee
R
Q
ddrdRRR
R
Q
m
r
24
3
0
2
3
0
sin)(
4
3
2
1
sin)(
4
3
2
1 vv
v
v
r
v
又 )sincos(cossin
yxzr
eeeeee
vvvvvv
φφθθ
θφ
+=?=×
∫∫∫
+=∴
ππ
φθθφφθθ
π
ω
2
000
24
3
0
0
sin)sincos(cos[sin
8
3
R
yxz
ddrdReee
R
Q
m
vvvv
ωφθθ
π
ω
ππ
vv
5
sin
8
3
2
0
2
000
43
3
0
0 QR
ddrdRe
R
Q
R
z
==
∫∫∫
2)自转动量矩
∫∫∫∫
××=×=×== dVRR
R
M
dmvRPdRLdL )(
4
3
3
0
0
v
v
v
v
vvvvv
ω
π
5
2
sin
4
3
sin)sincos(cos[sin
4
3
sin)(sin
4
3
sin)sin(
4
3
sin)(
4
3
2
00
2
000
34
3
0
0
2
000
24
3
0
0
22
3
0
0
22
3
0
0
22
3
0
0
0
0
ω
φθθ
π
ω
φθθφφθθ
π
ω
φθθθω
π
φθθθω
π
φθθω
π
ππ
ππ
θ
φ
vv
vvv
v
vv
vvv
RM
ddrdR
R
M
ddrdReee
R
M
ddrdReR
R
M
ddrdReeR
R
M
ddrdReeeR
R
M
R
R
yxz
r
rzr
==
+=
=
×?=
××=
∫∫∫
∫∫∫
∫
∫
∫
0
2
00
2
0
2
5
2
5
M
Q
RM
QR
L
m
==∴
ω
ω
v
v
v
v
15,有一块磁矩为 m
r
的小永磁体 位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中求作用在小永磁体上的力 F
r
.
电动力学习题解答参考 第三章 静磁场
- 18 -
解 根据题意 因为无穷大平面的 μ 很大 则可推出在平面上 所有的 H
v
均和平面垂直类比于静电场 构造磁矩 m
r
关于平面的镜像 m′
r
则外场为
=
=
=
23
0
4
cos
4 r
m
R
Rm
B
m
me
π
θ
π
μ
v
v
v
)sincos(
4
]
sincos2
[
4
3
0
33
0 θθ
θθα
π
μθθ
π
μ ee
r
m
e
r
e
r
m
B
rre
vvrv
v
+==∴
m
v
∴ 受力为
zare
e
a
m
BmF
v
v
v
v
)cos1(
64
3
)(
2
4
0
2
2
α
π
μ
αθ
+?==
=
=
