定积分的几何应用一、平面图形的面积
1 直角坐标系作为一般情况讨论，设平面图形由 [ a,b ]
上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x )
))()(( xgxf?及两条直线 x =a,x =b 所围成在 [a,b ] 上任取典型小区间 [ x,x+dx ]
与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量 dA
dA 可用高为 )()( xgxf?
底为 dx 的矩形面积近似表示 即
dxxgxfdA )]()([
故
b
a
dxxgxfA )]()([
a b
)( xfy?
)( xgy?
x dxx?
当 dx 很小时
1
2
2 xy 2xy?
所围成的图形的面积解 为确定图形的存在区间由联立方程组解得交点 A（ -1,1） B（ 1,1）
]1,1[x 22
1
2 x
x
故?
1
1
2
2 )1
2
( dxx
x
A
1
1
3 )
3
1a rct a n2(
xx3
2
例 1 求两曲线
xy 22? 4 xy 所围图形的面积解 首先定出图形所在的范围
xy xy 2 42 解得交点为（ 2,-2）和（ 8,4）
若取 x 为积分变量 在 [x,x+dx] 上取部分量则对于 x 的不同值 局部量的位置不同 其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂如下图例 2 计算以 y 为变量计算将会简单在 [-2,4] 上任取一小区间 ],[ dyyy?
其上相应的窄条左、右曲边分别为
4,21 2 yxyx
18)
2
14( 24
2
dyyyA
但若将这一面积看作是分布在区间 [ -2,4] 上由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化上述问题的一般情况是平面区域由 [c,d] 上连续的曲线
)(),( yxyx
))()(( yy
及直线 y = c,y = d 所围成则其面积为
d
c
dyyyA )]()([
c
d
dyy?
y
)( yx
)( yx
当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数方程的形式给出时，只须对面积计算公式作变量代换即可。
)( t
b
a
dtttyd xA
|)()(|
计算时应注意积分限在换元中应保持与原积分限相对应。
)(
)(
ty
tx
例 3 求椭圆
s in
c o s
by
ax
)20( 的面积解 由对称性 面积 A等于椭圆在第一象限内的部分的面积的 4倍即
a
y d xA
0
4
0
2
2s in4
abdab
设 f ( x ) 在 [ a,b ] 上连续，在 ( a,b ) 内有
0)( xf 证明 存在唯一的 ),( ba
使曲线 f（ x ）与两直线 ax? )(?fy?
所围图形的面积 1S 是 y = f ( x ) 与两直线
bx? )(?fy? 所围图形面积 2S 的 3倍
)(?f
1S
2S证
a
dxxffS )]()([1
b
dxfxfS
)]()([2
例 4
t
a
b
t
dxtfxfdxxftftF )]()([3)]()([)(
t
a
b
t
tbtfdxxfdxxfattftF ))((3)(3)())(()(则
b
a
dxafxfaF 0)]()([3)(
b
a
dxxfbfbF 0)]()([)(
故由零点定理知 ),( ba 0)(F使 又
0))(2)(()33)(()( tbabtftbattftF
唯一故?
令
2 极坐标系某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的若曲线由极坐标方程 )(),( rr 给出极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形而是由射线与
)(?rr?及曲线所围成的称为曲边扇形的区域有关与?
很小时当?d 的变化不大)(?r
A? 可用半径为 )(?r 圆心角为?d
由于曲边扇形的面积分布故面积元素为
drA )(
2
1 2
drdA )(
2
1 2
d?
d
)(?rr?的圆扇形的面积来近似例 5 求双纽线 2co s22 a? 所围平面图形的面积,
解 由对称性知总面积 =4倍第一象限部分面积
14 AA?
daA 2co s214 40 2,2a?
2cos22 a?
xy?
例 6 求心形线 )co s1( ar 所围平面图形的面积 )0(?a,
解
d
dadA 22 )co s1(21
利用对称性知
d2)c o s1(
0
2
2
12 aA
d)c o sc o s21( 2 02a
通过以上几例可见在实际计算中应充分利用所求量的 对称性 和 等量关系 来简化计算。
2s in
4
1s in2
2
32a?
0
.23 2a
xo
y
0MA?
nMB?1M
2M 1?nM设 A,B 是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点
BMM
MMMA
nn
i
,,
,,,
1
10
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长 ||
1
1?
n
i
ii MM 的极限存在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长,
二、平面曲线弧长的概念
① 直角坐标情形 设曲线弧为 )( xfy?
)( bxa,其中 )( xf
在 ],[ ba 上有一阶连续导数取积分变量为 x,在 ],[ ba
上任取小区间 ],[ dxxx?,
以对应小切线段的长代替小弧段的长
xo
y
a bx dxx?
dy
小切线段的长 22 )()( dydx? dxy 21
弧长元素 dxyds 21 弧长,1 2 dxys b
a
例 7 计算曲线 2
3
3
2
xy? 上相应于 x 从 a 到 b
的一段弧的长度,
解,21xy dxxds 2)(1 21
所求弧长为
dxxs ba 1
].)1()1[(32 2323 ab a
b
例 8 计算曲线 dny nx 0 s i n 的弧长 )0( nx,
解 nn
xny 1s i n,s in
n
x?
dxys ba 21 dxnxn 0 s in1
ntx? n d tt
0 s in1
dtttttn
0
22
2co s2s i n22co s2s i n
dtttn 0 2c o s2s in.4n?
曲线弧为,)( )(
ty
tx
)( t
其中 )(),( tt 在 ],[ 上具有连续导数,
22 )()( dydxds
222 ))](()([ dttt
dttt )()( 22
弧长,)()( 22 dttts
② 参数方程情形例 9 求星形线 3
2
3
2
3
2
ayx )0(?a 的全长,
解 星形线的参数方程为
tay
tax
3
3
s i n
c o s
)20( t
根据对称性 14ss? 第一象限部分的弧长
dtyx 2
0
224
dttta?
2
0
co ss i n34,6a?
例 10 证明正弦线 xay s i n? )20( x 的弧长等于椭圆
tay
tx
s i n1
c o s
2
)20( t 的周长,
证 设正弦线的弧长等于 1s
dxys 20 21 1
dxxa 20 22 c o s1
,c o s12 0 22 dxxa
设椭圆的周长为 2s
,20 222 dtyxs
根据椭圆的对称性知
dttats 0 2222 c o s1s in2
dtta 0 22 c o s12
dxxa 0 22 c o s12,1s?
故原结论成立,
③ 极坐标情形曲线弧为 )(?rr? )(
其中 )(?r 在 ],[ 上具有连续导数,
s i n)(
c o s)(
ry
rx?
)(
22 )()( dydxds,)()( 22 drr
弧长,)()( 22 drrs
例 11 求阿基米德螺线?ar? )0(?a 上相应于
从 0 到?2 的弧长,
解,ar
drrs )()( 22
20 daa 222 20a d12?
.)412l n (4122 22 a
求心形线 )c o s1( ar 的全长解 s in),c o s1( arar
darrds |2co s|222
由对称性
dass
0
1 2co s222 22co s8
0
da
02s i n8 a? a8?
例 12
求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积,
（注意恰当的 选择积分变量 有助于简化积分运算）
平面曲线弧长的概念弧微分的概念求弧长的公式直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下小结
1,设曲线 )( xfy? 过原点及点 )3,2(,且
)( xf 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与 x 轴和曲线 )( xfy? 围成的面积是另一条平行线与 y 轴和曲线 )( xfy? 围成的面积的两倍，求曲线方程,
2,闭区间 ],[ ba 上的连续曲线
)( xfy? 是否一定可求长？
思考题
12 2 SS x dxxfS 02 )(?
x dxxfxySxyS 021 )(
])([2)( 00 xx dxxfxydxxf
,2)(3 0 xydxxfx 两边同时对 求导x
)( xfy?
x
y
o
1S
2S
),( yx
yxyxf 22)(3 yyx 2
积分得,2 cxy?
因为曲线 )( xfy? 过点 )3,2(29 c
思考题 1 解答
,292 xy 因为 )( xf 为单调函数所以所求曲线为,223 xy?
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．
思考题 2 解答练 习 题一,填空题：
1,由曲线 eyey
x
,及 y 轴所围成平面区域的面积是 __ __ __ __ __ __ _ _,
2,由曲线
2
3 xy 及直线 xy 2? 所围成平面区域的面积是 __ __ _,
3,由曲线 1,1,1,1
2
xxyxxy 所围成平面区域的面积是 _ __ __ __,
4,计算 xy 2
2
与 4 xy 所围的区域面积时，选用
____ 作变量较为简捷,
5,由曲线
xx
eyey
,与直线 1?x 所围成平面区域的面积是 ______ _ __,
6 曲线 2xy? 与它两条相互垂直的切线所围成平面图形的面积 S,其中一条切线与曲线相切于点
),( 2aaA,0?a,则当?a __ 时，面积 S 最小,
二,求由下列各曲线所围成的图形的面积：
1,、
x
y
1
与直线 xy? 及 2?x 。
2,?y
2
x 与直线 xy? 及 xy 2? 。
3,)c o s2(2 ar
4,摆线 )c o s1(,)si n( tayttax )20( t 及
x 轴；
5,?c o s3?r 及?c o s1r 的公共部分；
6,笛卡尔叶形线 a x yyx 3
33
,
三,求抛物线 34
2
xxy 及其在点 )3,0(? 和
)0,3( 处的切线所围成的图形的面积,
四,求位于曲线
x
ey? 下方，该曲线过原点的切线的左方以 轴及 x 上方之间的图形的面积,
五,求由抛物线 axy 4
2
与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值,
练习题答案一,1,1 ； 2,
3
32； 3,2 ；
4,y ； 5,2
1
e
e ； 6,
2
1
,
二,1,2ln
2
3； 2,
6
7； 3,
2
a? ；
4,
2
3 a? ； 5,?
4
5； 6,
2
2
3
a,
三、
4
9
,四、
2
e
,五、
2
3
8
a,
练 习 题一,填空题,
1,曲线 xy ln? 上相应于 83 x 的一段弧长为
____________ ；
2,渐伸线 )si n( c o s tttax,)c o s( si n tttay 上相应于 变到从 0t
的一段弧长为 ______ ；
3,曲线 1r 自
4
3
至
3
4
一 段 弧 长 为
____________,二,计算半立方抛物线 32 )1(
3
2
xy 被抛物线
3
2 xy?
截得的一段弧的长度,
三,计算星形线 tax 3c o s?,tay 3s i n? 的全长,
四,求心形线 )c o s1( ar 的全长,
五,证明：曲线 xy si n? )20( x 的弧长等于椭圆
22
22
yx 的周长,
六,在摆线 ),si n( ttax )c o s1( tay 上求分摆线第一拱成 3:1 的点的坐标,
练习题答案一,1,
2
3
ln
2
1
1? ； 2,
2
2
a； 3,
2
3
ln
12
5
,
二,]1)
2
5
[(
9
8
2
3
,
三,a6,四,a8,
六,)
2
3
,)
2
3
3
2
(( aa,
1 直角坐标系作为一般情况讨论，设平面图形由 [ a,b ]
上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x )
))()(( xgxf?及两条直线 x =a,x =b 所围成在 [a,b ] 上任取典型小区间 [ x,x+dx ]
与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量 dA
dA 可用高为 )()( xgxf?
底为 dx 的矩形面积近似表示 即
dxxgxfdA )]()([
故
b
a
dxxgxfA )]()([
a b
)( xfy?
)( xgy?
x dxx?
当 dx 很小时
1
2
2 xy 2xy?
所围成的图形的面积解 为确定图形的存在区间由联立方程组解得交点 A（ -1,1） B（ 1,1）
]1,1[x 22
1
2 x
x
故?
1
1
2
2 )1
2
( dxx
x
A
1
1
3 )
3
1a rct a n2(
xx3
2
例 1 求两曲线
xy 22? 4 xy 所围图形的面积解 首先定出图形所在的范围
xy xy 2 42 解得交点为（ 2,-2）和（ 8,4）
若取 x 为积分变量 在 [x,x+dx] 上取部分量则对于 x 的不同值 局部量的位置不同 其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂如下图例 2 计算以 y 为变量计算将会简单在 [-2,4] 上任取一小区间 ],[ dyyy?
其上相应的窄条左、右曲边分别为
4,21 2 yxyx
18)
2
14( 24
2
dyyyA
但若将这一面积看作是分布在区间 [ -2,4] 上由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化上述问题的一般情况是平面区域由 [c,d] 上连续的曲线
)(),( yxyx
))()(( yy
及直线 y = c,y = d 所围成则其面积为
d
c
dyyyA )]()([
c
d
dyy?
y
)( yx
)( yx
当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数方程的形式给出时，只须对面积计算公式作变量代换即可。
)( t
b
a
dtttyd xA
|)()(|
计算时应注意积分限在换元中应保持与原积分限相对应。
)(
)(
ty
tx
例 3 求椭圆
s in
c o s
by
ax
)20( 的面积解 由对称性 面积 A等于椭圆在第一象限内的部分的面积的 4倍即
a
y d xA
0
4
0
2
2s in4
abdab
设 f ( x ) 在 [ a,b ] 上连续，在 ( a,b ) 内有
0)( xf 证明 存在唯一的 ),( ba
使曲线 f（ x ）与两直线 ax? )(?fy?
所围图形的面积 1S 是 y = f ( x ) 与两直线
bx? )(?fy? 所围图形面积 2S 的 3倍
)(?f
1S
2S证
a
dxxffS )]()([1
b
dxfxfS
)]()([2
例 4
t
a
b
t
dxtfxfdxxftftF )]()([3)]()([)(
t
a
b
t
tbtfdxxfdxxfattftF ))((3)(3)())(()(则
b
a
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b
a
dxxfbfbF 0)]()([)(
故由零点定理知 ),( ba 0)(F使 又
0))(2)(()33)(()( tbabtftbattftF
唯一故?
令
2 极坐标系某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的若曲线由极坐标方程 )(),( rr 给出极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形而是由射线与
)(?rr?及曲线所围成的称为曲边扇形的区域有关与?
很小时当?d 的变化不大)(?r
A? 可用半径为 )(?r 圆心角为?d
由于曲边扇形的面积分布故面积元素为
drA )(
2
1 2
drdA )(
2
1 2
d?
d
)(?rr?的圆扇形的面积来近似例 5 求双纽线 2co s22 a? 所围平面图形的面积,
解 由对称性知总面积 =4倍第一象限部分面积
14 AA?
daA 2co s214 40 2,2a?
2cos22 a?
xy?
例 6 求心形线 )co s1( ar 所围平面图形的面积 )0(?a,
解
d
dadA 22 )co s1(21
利用对称性知
d2)c o s1(
0
2
2
12 aA
d)c o sc o s21( 2 02a
通过以上几例可见在实际计算中应充分利用所求量的 对称性 和 等量关系 来简化计算。
2s in
4
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2
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0
.23 2a
xo
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2M 1?nM设 A,B 是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点
BMM
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nn
i
,,
,,,
1
10
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长 ||
1
1?
n
i
ii MM 的极限存在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长,
二、平面曲线弧长的概念
① 直角坐标情形 设曲线弧为 )( xfy?
)( bxa,其中 )( xf
在 ],[ ba 上有一阶连续导数取积分变量为 x,在 ],[ ba
上任取小区间 ],[ dxxx?,
以对应小切线段的长代替小弧段的长
xo
y
a bx dxx?
dy
小切线段的长 22 )()( dydx? dxy 21
弧长元素 dxyds 21 弧长,1 2 dxys b
a
例 7 计算曲线 2
3
3
2
xy? 上相应于 x 从 a 到 b
的一段弧的长度,
解,21xy dxxds 2)(1 21
所求弧长为
dxxs ba 1
].)1()1[(32 2323 ab a
b
例 8 计算曲线 dny nx 0 s i n 的弧长 )0( nx,
解 nn
xny 1s i n,s in
n
x?
dxys ba 21 dxnxn 0 s in1
ntx? n d tt
0 s in1
dtttttn
0
22
2co s2s i n22co s2s i n
dtttn 0 2c o s2s in.4n?
曲线弧为,)( )(
ty
tx
)( t
其中 )(),( tt 在 ],[ 上具有连续导数,
22 )()( dydxds
222 ))](()([ dttt
dttt )()( 22
弧长,)()( 22 dttts
② 参数方程情形例 9 求星形线 3
2
3
2
3
2
ayx )0(?a 的全长,
解 星形线的参数方程为
tay
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3
3
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c o s
)20( t
根据对称性 14ss? 第一象限部分的弧长
dtyx 2
0
224
dttta?
2
0
co ss i n34,6a?
例 10 证明正弦线 xay s i n? )20( x 的弧长等于椭圆
tay
tx
s i n1
c o s
2
)20( t 的周长,
证 设正弦线的弧长等于 1s
dxys 20 21 1
dxxa 20 22 c o s1
,c o s12 0 22 dxxa
设椭圆的周长为 2s
,20 222 dtyxs
根据椭圆的对称性知
dttats 0 2222 c o s1s in2
dtta 0 22 c o s12
dxxa 0 22 c o s12,1s?
故原结论成立,
③ 极坐标情形曲线弧为 )(?rr? )(
其中 )(?r 在 ],[ 上具有连续导数,
s i n)(
c o s)(
ry
rx?
)(
22 )()( dydxds,)()( 22 drr
弧长,)()( 22 drrs
例 11 求阿基米德螺线?ar? )0(?a 上相应于
从 0 到?2 的弧长,
解,ar
drrs )()( 22
20 daa 222 20a d12?
.)412l n (4122 22 a
求心形线 )c o s1( ar 的全长解 s in),c o s1( arar
darrds |2co s|222
由对称性
dass
0
1 2co s222 22co s8
0
da
02s i n8 a? a8?
例 12
求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积,
（注意恰当的 选择积分变量 有助于简化积分运算）
平面曲线弧长的概念弧微分的概念求弧长的公式直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下小结
1,设曲线 )( xfy? 过原点及点 )3,2(,且
)( xf 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与 x 轴和曲线 )( xfy? 围成的面积是另一条平行线与 y 轴和曲线 )( xfy? 围成的面积的两倍，求曲线方程,
2,闭区间 ],[ ba 上的连续曲线
)( xfy? 是否一定可求长？
思考题
12 2 SS x dxxfS 02 )(?
x dxxfxySxyS 021 )(
])([2)( 00 xx dxxfxydxxf
,2)(3 0 xydxxfx 两边同时对 求导x
)( xfy?
x
y
o
1S
2S
),( yx
yxyxf 22)(3 yyx 2
积分得,2 cxy?
因为曲线 )( xfy? 过点 )3,2(29 c
思考题 1 解答
,292 xy 因为 )( xf 为单调函数所以所求曲线为,223 xy?
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．
思考题 2 解答练 习 题一,填空题：
1,由曲线 eyey
x
,及 y 轴所围成平面区域的面积是 __ __ __ __ __ __ _ _,
2,由曲线
2
3 xy 及直线 xy 2? 所围成平面区域的面积是 __ __ _,
3,由曲线 1,1,1,1
2
xxyxxy 所围成平面区域的面积是 _ __ __ __,
4,计算 xy 2
2
与 4 xy 所围的区域面积时，选用
____ 作变量较为简捷,
5,由曲线
xx
eyey
,与直线 1?x 所围成平面区域的面积是 ______ _ __,
6 曲线 2xy? 与它两条相互垂直的切线所围成平面图形的面积 S,其中一条切线与曲线相切于点
),( 2aaA,0?a,则当?a __ 时，面积 S 最小,
二,求由下列各曲线所围成的图形的面积：
1,、
x
y
1
与直线 xy? 及 2?x 。
2,?y
2
x 与直线 xy? 及 xy 2? 。
3,)c o s2(2 ar
4,摆线 )c o s1(,)si n( tayttax )20( t 及
x 轴；
5,?c o s3?r 及?c o s1r 的公共部分；
6,笛卡尔叶形线 a x yyx 3
33
,
三,求抛物线 34
2
xxy 及其在点 )3,0(? 和
)0,3( 处的切线所围成的图形的面积,
四,求位于曲线
x
ey? 下方，该曲线过原点的切线的左方以 轴及 x 上方之间的图形的面积,
五,求由抛物线 axy 4
2
与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值,
练习题答案一,1,1 ； 2,
3
32； 3,2 ；
4,y ； 5,2
1
e
e ； 6,
2
1
,
二,1,2ln
2
3； 2,
6
7； 3,
2
a? ；
4,
2
3 a? ； 5,?
4
5； 6,
2
2
3
a,
三、
4
9
,四、
2
e
,五、
2
3
8
a,
练 习 题一,填空题,
1,曲线 xy ln? 上相应于 83 x 的一段弧长为
____________ ；
2,渐伸线 )si n( c o s tttax,)c o s( si n tttay 上相应于 变到从 0t
的一段弧长为 ______ ；
3,曲线 1r 自
4
3
至
3
4
一 段 弧 长 为
____________,二,计算半立方抛物线 32 )1(
3
2
xy 被抛物线
3
2 xy?
截得的一段弧的长度,
三,计算星形线 tax 3c o s?,tay 3s i n? 的全长,
四,求心形线 )c o s1( ar 的全长,
五,证明：曲线 xy si n? )20( x 的弧长等于椭圆
22
22
yx 的周长,
六,在摆线 ),si n( ttax )c o s1( tay 上求分摆线第一拱成 3:1 的点的坐标,
练习题答案一,1,
2
3
ln
2
1
1? ； 2,
2
2
a； 3,
2
3
ln
12
5
,
二,]1)
2
5
[(
9
8
2
3
,
三,a6,四,a8,
六,)
2
3
,)
2
3
3
2
(( aa,
