Fourier 级数前面两节我们讨论了一般项是非负整数次幂的幂函数的函数项级数 ------幂级数，给出了幂级数的收敛半径和收敛域的求法，讨论了函数展开为幂级数的条件及函数展开为幂级数的直接展开法、
间接展开法。
从本节开始我们来讨论一般项是三角函数的函数项级数 ------三角级数，重点讨论如何把函数展开为三角级数的问题，它的重要应用之一是对周期信号进行频谱分析，是学习积分变换的基础，
也可利用三角级数展开式求出某些数项级数的和一、问题的提出在自然科学与工程技术问题中，常会遇到周期现象具有周期现象的量，每经过时间 T 后所取的值就重复出现，这样的量在数学上可表示成时间 t 的周期函数 f ( t + T ) = f ( t )
正弦函数是一类比较简单的周期函数，而且是应用十分广泛的一类周期函数。如在简谐振动和正弦电路电流分析中常遇到正弦型函数
)s i n ( tAy
但是在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦周期函数，它们反映了较复杂的周期运动非正弦型周期函数：巨形波
t
ttu
0,1
0,1)(
当当
o t
u
1
1?
如何深入地研究非正弦型周期函数呢？联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数，我们也想将周期函数展开成简单的周期函数如正弦函数组成的级数不同频率的正弦波逐个叠加
,7s i n714,5s i n514,3s i n314,s i n4 tttt
tu s in4
)3s i n31( s i n4 ttu
)5s i n513s i n31( s i n4 tttu
)7s i n715s i n513s i n31( s i n4 ttttu
)9s i n917s i n715s i n513s i n31( s i n4 tttttu
)7s i n715s i n513s i n31( s i n4)( tttttu
以电路计算为例，往往将以 T 为周期的函数化成一系列不同频率的正弦量之和。
1
0
1
)s i n ()s i n (
n
nn
n
nn tnAAtnAy
将周期函数按上述方式展开，其物理意义是很明确的，这就是把一个比较复杂的周期运动看成一系列不同频率的简谐振动的叠加二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
10
)s i n ()(
n nn
tnAAtf 谐波分析
10
)s i nc o sc o ss i n(
n nnnn
tnAtnAA
,2 00 Aa?令,s i n nnn Aa,co s nnn Ab,xt
1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
三角级数
2.三角函数系的正交性 三角函数系
,s i n,c o s,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1 nxnxxxxx
.],[
:
上的积分等于零任意两个不同函数在正交
,0c o s n x d x,0s in n x d x
,,,0s ins in
nm
nmnx d xmx
,,,0c o sc o s
nm
nmnx d xmx
.0c o ss in n x d xmx ),2,1,(nm其中三、函数展开成傅里叶级数问题,1.若能展开,是什么?ii ba,
2.展开的条件是什么?
1.傅里叶系数
1
0 )s i nco s(
2)( k kk kxbkxa
axf若有
.)1( 0a求
dxkxbkxadxadxxf
k kk
])s i nco s([2)(
1
0
k x d xbdxkxadxa
k
k
k
k s i nc o s2
11
0
,220 a
dxxfa )(
1
0
.)2( na求
nx d xanx d xxf co s2co s)( 0
]c o ss i nc o sc o s[
1
n x d xkxbn x d xkxa k
n k
n x d xa n 2c o s, na
nx d xxfa n c o s)(1 ),3,2,1(n
.)3( nb求
n x d xan x d xxf s i n2s i n)( 0
]s ins ins inc o s[
1
n x d xkxbn x d xkxa k
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傅里叶系数
),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
nn x d xxfb
nn x d xxfa
n
n
2
0
2
0
),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
nn x d xxfb
nn x d xxfa
n
n
或傅里叶级数
1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
问题,
1
0 )s i nc o s(
2?)( n nn nxbnxa
axf 条件以上我们是在 f ( x ) 可以展开成三角级数并可以逐项积分的前提下讨论问题的，下面我们撇开这个前提 )(2 xf为周期的函数对一般的以?
只要公式中的积分都存在，就可以定出系数
),2,1,0(na n ),2,1(nb n
并可唯一地写出 f ( x ) 的 F -----级数
1
0 )s inco s(
2~)( n nn nxbnxa
axf
至于这个级数是否收敛，如收敛是否收敛到 f ( x )
的问题,有以下定理
2.狄利克雷 (Dirichlet)充分条件 (收敛定理 )
设 )( xf 是以?2 为周期的周期函数,如果它满足条件,
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则 )( xf 的傅里叶级数收敛,
并且
( 1 ) 当 x 是 )( xf 的连续点时,级数收敛于 )( xf ;
(2) 当 x 是 )( xf 的间断点时,
收敛于
2
)0()0( xfxf;(3) 当 x 为端点x 时,
收敛于
2
)0()0( ff
.
注意,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多,
例 1 以?2 为周期的矩形脉冲的波形
tE
tE
tu
m
m
,
0,
)(
将其展开为傅立叶级数,
o t
u
mE
mE?
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
.),2,1,0( 处不连续在点 kkx
2
mm EE收敛于
2
)( mm EE,0?
).(,xfkx 收敛于时当 和函数图象为
o t
u
mE
mE?
nt d ttua n c o s)(1
0
0
c o s
1
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1
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nt d ttub n s i n)(1
00 s i n1s i n)(1 nt d tEnt d tE mm
)co s1(2 nnE m ])1(1[2 nmnE
,2,1,2,0
,2,1,12,
)12(
4
kkn
kkn
k
E m
所求函数的傅氏展开式为
1
)12s i n ()12( 4)(
n
m tn
n
Etu
),2,,0;( tt
展开步骤
① 验证 f ( x ) 满足 Dirichlet 条件，并确定 f ( x )
的所有间断点，可作图，结合图形进行分析、判断
② 根据公式计算 Fourier系数
③ 写出 Fourier 级数展开式，并注明展开式的成立范围注 求 Fourier系数一般要用分部积分法，有时甚至要多次分部积分，较麻烦且容易出错，此外，某些 an,bn 需要单独计算，容易忽略而导致错误求函数的 Fourier级数展开式，主要的工作是计算
Fourier系数，利用函数的奇偶性可简化 Fourier系数计算，
当 f ( x ) 是奇函数时
0co s)(1 n x d xxfa n ),2,1,0(n
n x d xxfb n s i n)(2 ),2,1(n
此时其 Fourier级数展开式是只含有正弦项而没有常数项和余弦项的正弦级数
1
s i n
n
n nxb
当 f ( x ) 是偶函数时
dxxfa )(20
n x d xxfa n co s)(2 ),2,1(n
),2,1(0 nb n
此时其 Fourier级数展开式是只含有常数项和余弦项而没有正弦项的余弦级数
1
0 co s
2 n n nxa
a
例 2
级数的和函数的为周期的函数是以设?Fxfxs )(2)(?
f ( x )在一个周期内的表达式为
2||
||10)(
xx
xxf?
上的表达式在写出 ],[)(xs
解
f ( x )如右图所示满足收敛定理的条件
21
21
2||
||20
)(
x
x
xx
x
xs
例 3
xxx
xxxxf
0
0)(
2
2
试求其 Fourier级数的和函数各点处的值在 10,23,)(xxs
解 为周期的函数是以?2)( xs
f ( x )在整个数轴上连续,
0)(s
)22()23( ss 4)2
2
s
)104()10(ss )310()104(
其 Fourier级数处处收敛于 f( x )本身四、小结
1.基本概念；
2.傅里叶系数；
3.狄利克雷充分条件；
4.非周期函数的傅氏展开式；
5,傅氏级数的意义 —— 整体逼近思考题若函数 )()( xx,问,)( x? 与 )( x?
的傅里叶系数 na,nb 与 n?,n? ),2,1,0(n
之间有何关系？
思考题解答
n x d xxa n co s)(1
)()co s ()(1 tdntt
n x d xx co s)(1
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傅氏级数的意义 —— 整体逼近
间接展开法。
从本节开始我们来讨论一般项是三角函数的函数项级数 ------三角级数，重点讨论如何把函数展开为三角级数的问题，它的重要应用之一是对周期信号进行频谱分析，是学习积分变换的基础，
也可利用三角级数展开式求出某些数项级数的和一、问题的提出在自然科学与工程技术问题中，常会遇到周期现象具有周期现象的量，每经过时间 T 后所取的值就重复出现，这样的量在数学上可表示成时间 t 的周期函数 f ( t + T ) = f ( t )
正弦函数是一类比较简单的周期函数，而且是应用十分广泛的一类周期函数。如在简谐振动和正弦电路电流分析中常遇到正弦型函数
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但是在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦周期函数，它们反映了较复杂的周期运动非正弦型周期函数：巨形波
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以电路计算为例，往往将以 T 为周期的函数化成一系列不同频率的正弦量之和。
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将周期函数按上述方式展开，其物理意义是很明确的，这就是把一个比较复杂的周期运动看成一系列不同频率的简谐振动的叠加二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
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.0c o ss in n x d xmx ),2,1,(nm其中三、函数展开成傅里叶级数问题,1.若能展开,是什么?ii ba,
2.展开的条件是什么?
1.傅里叶系数
1
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只要公式中的积分都存在，就可以定出系数
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至于这个级数是否收敛，如收敛是否收敛到 f ( x )
的问题,有以下定理
2.狄利克雷 (Dirichlet)充分条件 (收敛定理 )
设 )( xf 是以?2 为周期的周期函数,如果它满足条件,
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则 )( xf 的傅里叶级数收敛,
并且
( 1 ) 当 x 是 )( xf 的连续点时,级数收敛于 )( xf ;
(2) 当 x 是 )( xf 的间断点时,
收敛于
2
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注意,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多,
例 1 以?2 为周期的矩形脉冲的波形
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展开步骤
① 验证 f ( x ) 满足 Dirichlet 条件，并确定 f ( x )
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② 根据公式计算 Fourier系数
③ 写出 Fourier 级数展开式，并注明展开式的成立范围注 求 Fourier系数一般要用分部积分法，有时甚至要多次分部积分，较麻烦且容易出错，此外，某些 an,bn 需要单独计算，容易忽略而导致错误求函数的 Fourier级数展开式，主要的工作是计算
Fourier系数，利用函数的奇偶性可简化 Fourier系数计算，
当 f ( x ) 是奇函数时
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此时其 Fourier级数展开式是只含有正弦项而没有常数项和余弦项的正弦级数
1
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当 f ( x ) 是偶函数时
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2||
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上的表达式在写出 ],[)(xs
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f ( x )如右图所示满足收敛定理的条件
21
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试求其 Fourier级数的和函数各点处的值在 10,23,)(xxs
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2.傅里叶系数；
3.狄利克雷充分条件；
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5,傅氏级数的意义 —— 整体逼近思考题若函数 )()( xx,问,)( x? 与 )( x?
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思考题解答
n x d xxa n co s)(1
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