第八章 多属性效用理论(Multi-attribute Utility Theory)
主要参考文献,92,68,86,118,129
§8.1 优先序
一、二元关系
1.无差异(Indifferent to)～
2.(严格)优于(Strict preference to)
3.不劣于(preference of indifference to)
(可以用定义～，：
A～B AB且BA
AB AB且非BA
因此，在任何决策问题中，是偏好结构的基础，有必要假设关系的存在。至于是否确定实存在，则取决于能否以直接或间接的方式找到构造的途径。
(在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如成本、收益来衡量偏好，这时决策问题简化为各方案属性的比较和排序。
但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。
二、二元关系的种类(用R表示二元关系)
(传递性，若xRy,yRz则xRz
(自反性reflectivity,xRx
(非自反性：(Irreflexivity)非xRx
(对称性(Symmetry)若zRy,则yRx
(非对称性(asymmetry)若xRy，则非yRx
(反对称性(anti-symmetry)若xRy且yRx则必有x = y
(连通性(connectivity) completeness,Comparability
对x,y∈X xRy 或/和 yRx
任何次序关系必须满足传递性,传递性看似合理，实则不然，例如，
20.000～20.001 20.001～20.002 … 99.999～100,但是20≠100
连通性在仔细验证前也不能假设其成立,因为存在不可比方案; 但是,若将不可比归入无差异类，连通性就可成立.
连通性传递性 完全序
§8.2多属性价值函数一、价值函数的存在性定理8.3
X,是X上的弱序，且
① 若 ≥ ;
② 若 则 必存在唯一的0＜λ＜1使～λ+(1-λ);
则存在定义在X上的实值函数v，满足 v()＞ v()
( v() = v()
Note,1,条件①为单调性(Monotonicity),即支配性(dominance),只要某一属性值增加偏好也增加.
2,条件②为偏好空间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean).
3,v()=f() f的形式通常十分复杂，即使为线性 v 的形式仍十分复杂.
例：, 的价值函数为线性,即,=k1 =k2
且 k2=1.5k1,但是 v()≠()+()
因此,价值函数的设定相当困难.
二、加性价值函数
1.定义：
若 v()=,则称价值函数V()是加性的
2.加性价值函数的存在条件定理8.6(P133) (n≥3)
定义在YR上的价值函数 v()=v()对任何 ’,”∈Y,
’” iff v(’)≥v(”)则属性集满足互相偏好独立条件时当且仅当存在定义在Y,i=1,…,n 上的实值函数 v使
’”(’)+ …+(’) ≥(”)+ …+(”)
3.互相偏好独立的定义：
属性集Ω称为互相偏好独立,若Ω的每个非定正常子集Θ偏好独立于其补集(Ω=ΘU)
4.属性集Ω的子集Θ偏好独立于其补集的定义(P130定义8.2)
当且仅当：对特定的 若 (’,) ( ”,) 则对所有 必有(’,) ( ”,) 称属性集Ω的子集偏好独立于其补集.
5.两个属性的加性定理及偏好独立(定义8.4，定理8.4)
消去条件 对(,,(,,,(
有(,)(,),(,)(,)则必有(,)(,)
则称满足消去条件.
Thomson条件 将消去条件中的改为～.
三、其他简单形式
1.拟加性：
v()=++
+ … + () …()
条件 i=1,2,…,n弱差独立于其补集 (详见p135,定义8.7)
2.乘性(pp136-137)
若属性集Ω的每个非室子集Θ弱差独立于其补集,则
v()=+k+
+ … + () …()
§8.3多属性效用函数一、二个属性的效用函数
·后果空间X×Y，后果(x,y)，设决策人在X×Y上的偏好满足公理(1)～(6)，则可用形如 v(x,y)=(x)+ (x) 的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下)
·设决策人关于X×Y空间及P上的抽奖的偏好为u(x,y)则u(x,y)和v(x,y)代表了X×Y上相同的偏好，u(x,y)=φ(v(x,y)),其中φ(·)是保序变换
·决策人的行为符合理性行为公理时,形如 <,(,);…；,(,)>的抽奖可以用期望效用E[u(x,y)]= 来衡量其优劣,
二、效用独立(Utility Independence)
1.例：,<0.5,(100,150); 0.5,(400,150)>
,<0.5,(175,150); 0.5,(225,150)>
,<0.5,(100,250); 0.5,(400,250)>
,<0.5,(175,250); 0.5,(225,250)>
若效用独立,则(
2.定义：
若二个抽奖有公共的固定的Y的值而X中的值不同，决策人对它们的偏好与Y的取值无关，则称X是效用独立于Y。效用独立又称风险独立(若X效用独立于Y则决策人对抽奖的X上的风险态度与Y无关),更一般的定义见P147，定义8.10
3.效用独立蕴含偏好独立
(x,()(x’,() 对某个α
( <1,(x,()> <1,(x’,()>
( <1,(x,()> <1,(x’,()> 由UI，对任何β成立
( (x,() (x’,()
4.引理：
X是效用独立于Y的，当且仅当，对固定的
u(x,y)= ((y) u(x,) + ((y) ((x,y)(X(Y
其中α(y)>0,α(y),β(y)的确定与有关。
同理，Y是效用独立于X的，当且仅当对固定的
u(x,y)= ( (y) u(,y) + ((y) ((x,y)(X(Y
其中((x)>0,((x),δ(x)的确定与有关。
5,X、Y相互效用独立定理：X和Y是相互效用独立的，则：若选(,)使u(,)=0
必有 u(x,y)= u(x,)+ u(,y)+k u(x,)u(,y)
即XY相互效用独立且 u(,)=0时，u(x,y)具拟加性,
6.加性条件,
在上述假设下，再附加：对某个,(X,,(Y,
<0.5,(,); 0.5,( ,)> (<0.5,(,); 0.5,( ,)>
且 (,)( ,),(,) ( ,)
则 u(x,y)= u(x,)+ u(,y)
加性独立也可以用另一种方式来表示:
属性X、Y是加性独立的，若对所有x,x’(X,y,y’(Y
<0.5,(x,y); 0.5,( x’,y’)> (<0.5,(x,y’); 0.5,( x’,y)>
8.定理设u(x,y)是X(Y上的效用函数,且X、Y是加性独立的,则若选(,)使u(,)=0
有u(x,y)= u(x,)+ u(,y)
加性独立也是效用函数为加性的必要条件。加性独立条件很难满足。
拟加性效用函数的例某人拟度假，他根据两个属性来确定休安排假的优劣
x:每天的日照时数
y:每天的费用在与决策分析人讨论后确定了:
a,他的偏好是相互效用独立的;
b,x的边际效用是线性的，日照愈长愈好;
c,y的边际效用也是线性的，费用愈小愈好;
d,他认为下面的无差异成立：(10,16)～(8,12)
(15,16)～(12,8)
他面临的度假地有两种选择
A：x=10,y=14
B,y=15 有25%的可能性是x=13,75%的可能性是x=4
他应选择那一地点度假?
解,先选(,).由于需要(,)～( ,)
在(10,16)～(8,12)中，=8,=16 则=10,=12
令u(8,16=0),u(10,16)=1,由x边际效用的线性性u(x,16)=(x-8)/2
同样，由y边际效用的线性性以及u(8,16)=0,u(8,12)=1
可得：u(8,y)=(16-y)/4
因此：u(x,y)= u(x,)+ u(,y)+k u(x,)u(,y)
=(x-8)/2 + (16-y)/4 + k(x-8) (16-y)/8
∵(15,16)～(12,8) ∴u(15,16) = u(12,8)
即 (15-8)/2 = (12-8)/2 + (16-8)/4 +k ( 4/2 ( 8/4 得k=1/8
因此 u(x,y)= (x-8)/2 + (16-y)/4 + (x-8) (16-y)/64
主要参考文献,92,68,86,118,129
§8.1 优先序
一、二元关系
1.无差异(Indifferent to)～
2.(严格)优于(Strict preference to)
3.不劣于(preference of indifference to)
(可以用定义～，：
A～B AB且BA
AB AB且非BA
因此，在任何决策问题中，是偏好结构的基础，有必要假设关系的存在。至于是否确定实存在，则取决于能否以直接或间接的方式找到构造的途径。
(在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如成本、收益来衡量偏好，这时决策问题简化为各方案属性的比较和排序。
但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。
二、二元关系的种类(用R表示二元关系)
(传递性，若xRy,yRz则xRz
(自反性reflectivity,xRx
(非自反性：(Irreflexivity)非xRx
(对称性(Symmetry)若zRy,则yRx
(非对称性(asymmetry)若xRy，则非yRx
(反对称性(anti-symmetry)若xRy且yRx则必有x = y
(连通性(connectivity) completeness,Comparability
对x,y∈X xRy 或/和 yRx
任何次序关系必须满足传递性,传递性看似合理，实则不然，例如，
20.000～20.001 20.001～20.002 … 99.999～100,但是20≠100
连通性在仔细验证前也不能假设其成立,因为存在不可比方案; 但是,若将不可比归入无差异类，连通性就可成立.
连通性传递性 完全序
§8.2多属性价值函数一、价值函数的存在性定理8.3
X,是X上的弱序，且
① 若 ≥ ;
② 若 则 必存在唯一的0＜λ＜1使～λ+(1-λ);
则存在定义在X上的实值函数v，满足 v()＞ v()
( v() = v()
Note,1,条件①为单调性(Monotonicity),即支配性(dominance),只要某一属性值增加偏好也增加.
2,条件②为偏好空间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean).
3,v()=f() f的形式通常十分复杂，即使为线性 v 的形式仍十分复杂.
例：, 的价值函数为线性,即,=k1 =k2
且 k2=1.5k1,但是 v()≠()+()
因此,价值函数的设定相当困难.
二、加性价值函数
1.定义：
若 v()=,则称价值函数V()是加性的
2.加性价值函数的存在条件定理8.6(P133) (n≥3)
定义在YR上的价值函数 v()=v()对任何 ’,”∈Y,
’” iff v(’)≥v(”)则属性集满足互相偏好独立条件时当且仅当存在定义在Y,i=1,…,n 上的实值函数 v使
’”(’)+ …+(’) ≥(”)+ …+(”)
3.互相偏好独立的定义：
属性集Ω称为互相偏好独立,若Ω的每个非定正常子集Θ偏好独立于其补集(Ω=ΘU)
4.属性集Ω的子集Θ偏好独立于其补集的定义(P130定义8.2)
当且仅当：对特定的 若 (’,) ( ”,) 则对所有 必有(’,) ( ”,) 称属性集Ω的子集偏好独立于其补集.
5.两个属性的加性定理及偏好独立(定义8.4，定理8.4)
消去条件 对(,,(,,,(
有(,)(,),(,)(,)则必有(,)(,)
则称满足消去条件.
Thomson条件 将消去条件中的改为～.
三、其他简单形式
1.拟加性：
v()=++
+ … + () …()
条件 i=1,2,…,n弱差独立于其补集 (详见p135,定义8.7)
2.乘性(pp136-137)
若属性集Ω的每个非室子集Θ弱差独立于其补集,则
v()=+k+
+ … + () …()
§8.3多属性效用函数一、二个属性的效用函数
·后果空间X×Y，后果(x,y)，设决策人在X×Y上的偏好满足公理(1)～(6)，则可用形如 v(x,y)=(x)+ (x) 的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下)
·设决策人关于X×Y空间及P上的抽奖的偏好为u(x,y)则u(x,y)和v(x,y)代表了X×Y上相同的偏好，u(x,y)=φ(v(x,y)),其中φ(·)是保序变换
·决策人的行为符合理性行为公理时,形如 <,(,);…；,(,)>的抽奖可以用期望效用E[u(x,y)]= 来衡量其优劣,
二、效用独立(Utility Independence)
1.例：,<0.5,(100,150); 0.5,(400,150)>
,<0.5,(175,150); 0.5,(225,150)>
,<0.5,(100,250); 0.5,(400,250)>
,<0.5,(175,250); 0.5,(225,250)>
若效用独立,则(
2.定义：
若二个抽奖有公共的固定的Y的值而X中的值不同，决策人对它们的偏好与Y的取值无关，则称X是效用独立于Y。效用独立又称风险独立(若X效用独立于Y则决策人对抽奖的X上的风险态度与Y无关),更一般的定义见P147，定义8.10
3.效用独立蕴含偏好独立
(x,()(x’,() 对某个α
( <1,(x,()> <1,(x’,()>
( <1,(x,()> <1,(x’,()> 由UI，对任何β成立
( (x,() (x’,()
4.引理：
X是效用独立于Y的，当且仅当，对固定的
u(x,y)= ((y) u(x,) + ((y) ((x,y)(X(Y
其中α(y)>0,α(y),β(y)的确定与有关。
同理，Y是效用独立于X的，当且仅当对固定的
u(x,y)= ( (y) u(,y) + ((y) ((x,y)(X(Y
其中((x)>0,((x),δ(x)的确定与有关。
5,X、Y相互效用独立定理：X和Y是相互效用独立的，则：若选(,)使u(,)=0
必有 u(x,y)= u(x,)+ u(,y)+k u(x,)u(,y)
即XY相互效用独立且 u(,)=0时，u(x,y)具拟加性,
6.加性条件,
在上述假设下，再附加：对某个,(X,,(Y,
<0.5,(,); 0.5,( ,)> (<0.5,(,); 0.5,( ,)>
且 (,)( ,),(,) ( ,)
则 u(x,y)= u(x,)+ u(,y)
加性独立也可以用另一种方式来表示:
属性X、Y是加性独立的，若对所有x,x’(X,y,y’(Y
<0.5,(x,y); 0.5,( x’,y’)> (<0.5,(x,y’); 0.5,( x’,y)>
8.定理设u(x,y)是X(Y上的效用函数,且X、Y是加性独立的,则若选(,)使u(,)=0
有u(x,y)= u(x,)+ u(,y)
加性独立也是效用函数为加性的必要条件。加性独立条件很难满足。
拟加性效用函数的例某人拟度假，他根据两个属性来确定休安排假的优劣
x:每天的日照时数
y:每天的费用在与决策分析人讨论后确定了:
a,他的偏好是相互效用独立的;
b,x的边际效用是线性的，日照愈长愈好;
c,y的边际效用也是线性的，费用愈小愈好;
d,他认为下面的无差异成立：(10,16)～(8,12)
(15,16)～(12,8)
他面临的度假地有两种选择
A：x=10,y=14
B,y=15 有25%的可能性是x=13,75%的可能性是x=4
他应选择那一地点度假?
解,先选(,).由于需要(,)～( ,)
在(10,16)～(8,12)中，=8,=16 则=10,=12
令u(8,16=0),u(10,16)=1,由x边际效用的线性性u(x,16)=(x-8)/2
同样，由y边际效用的线性性以及u(8,16)=0,u(8,12)=1
可得：u(8,y)=(16-y)/4
因此：u(x,y)= u(x,)+ u(,y)+k u(x,)u(,y)
=(x-8)/2 + (16-y)/4 + k(x-8) (16-y)/8
∵(15,16)～(12,8) ∴u(15,16) = u(12,8)
即 (15-8)/2 = (12-8)/2 + (16-8)/4 +k ( 4/2 ( 8/4 得k=1/8
因此 u(x,y)= (x-8)/2 + (16-y)/4 + (x-8) (16-y)/64
