<决策理论和方法>习题 1998年第一章 概论一、什么是决策? 什么是决策分析? 决策问题的特点是什么? 决策问题有哪些要素?
用决策树表示下列问题:
火灾保险易腐品进货问题油井钻探问题,某公司拥有一块可能有油的土地,该公司可以自己钻井,也可以出租给其它公司开采; 若出租土地,租约有两种形式,①无条件出租,租金45万元 ②有条件出租,租金依产量而定,产量在20万桶或以上时,每桶提成5元; 产量不足20万桶时不收租金,
设钻井费用为75万元,有油时需另加采油设备费25万元,油价为15元/桶.(为
了简化,可以将油井产量离散化,分为4种状态,无油,产油5万桶,产油20万桶,产油50万桶)
* 设油井钻探问题如下,每次钻井费用10万元,有油时售油收入100万元,有油的概率为0.2,无油的概率为0.8.问无油时该继续钻井否? 若该,钻几次仍无油时停止钻井?
第二章 主观概率和先验分布(Subjective Probability & Prior Distribution)
为什么要引入主观概率? 试比较主、客观概率的异同.
如何设定先验分布?
1,阅读<决策分析> §6.3.4
两人一组,一人充当决策人,一人充当决策分析人,就来年国民经济增长率的先验分布进行对话,并画出对话所得的图形曲线,互换角色,就就来年通涨率的先验分布进行对话.
设某个决策人认为产品售出400件的可能性是售出800件的可能性的1/3,是售出1200件的可能性的1/2,与售出1600件的可能性相同,售出800件的可能性售出1200件的可能性的两倍,是售出1600件的可能性的3倍; 售出1200件的可能性比售出1600件的可能性的大2倍,求该决策人关于产品销售量的主观概率分布.
第三章 效用、损失和风险 (Utility,Loss & Risk)
什么是效用? 基数效用与序数效用有何区别? 采用效用进行决策分析有何利弊?
二、某人请3个朋友吃饭,他不知道究竟能来几人,设各种状态的主观概率如下表所示,设此人的效用函数u=x-2y-z.其中x是为朋友预订的客饭有人吃的份数,y
状态
θ1
θ2
θ3
θ4
来客人数
0
1
2
3
1/8
1/4
1/4
3/8
是来了吃不到饭的客人数,z是预订了客饭没有人吃的份数,求他该为朋友订几份客饭? (设每人吃一份,不得分而食之)
某人有资产1000用于购买股票,A种股票有70%的机会增值一倍30%的可能连本丢掉; B种股票有60%的机会增值一倍40%的可能连本丢掉,设此人的效用U与收益X的函数关系是U(x)=ln(x+3000).决策人用m购A种股票,1000- m购B种股票.求m.
某厂考虑两种生产方案产品A可以0.3的概率获利5万元,以0.2的概率获利8万元,以0.5的概率获利9万元; 产品B肯定可以获利8万元,决策人甲的效用函数为线性,即U1(x)= x; 决策人乙的效用函数
U2(x)= x/5 当 0≤x≤5
4x-10- x/5 当5≤x≤10
画出两个决策人的效用曲线.
甲乙两个决策人分别作何选择?
若生产AB两种产品均需另加5万元的固定成本,甲乙两个决策人又该作何选择?
画出你的关于货币的效用曲线并作简要说明.
把一副扑克牌的四张A取出,牌面向下洗匀后排在桌面上.你可以从下列两种玩法中任选一种:
先任意翻开一张再决定,a)付出35元,叫停; 或者 b)继续翻第二张,若第二张为红你可收入100元,第二张为黑则付出100元;
⑵ 任意翻开一张,若此牌为红你可收入100元,为黑则付出100元;
画出此问题的决策树设某决策人的效用函数u=,他该选何种玩法?
(Peterberg Paradox)一个人付出C元即可参加如下的赌博:抛一枚硬币,若第N次开始出现正面,则由庄家付给2元,在这种赌博中,参加者的期望收益为
= = ∞
但是,很少有人愿意出较大的C,试用效用理论对此加以证明.
第四章 贝叶斯分析 (Bayesean Analysis)
1,风险型和不确定型决策问题的区别何在? 各有哪些求解方法?
什么是贝叶斯分析? 贝叶斯分析的正规型与扩展型有何区别?
用Molnor的六项条件逐一衡量下列原则,①Minmax②Minmin③Hurwitz④Savage-Hiehans⑤Laplace
不确定型决策问题的损失矩阵如下表,用上题所列五种原则分别求解.(在用Hurwitz原则求解时,讨论λ的取值对结果的影响)
a1
a2
a3
a4
θ1
-4
-10
-12
-8
θ2
-18
-24
-6
-13
θ3
-6
0
-6
-10
θ4
-14
-8
-10
-4
某决策问题的收益矩阵如下表,试用①最大可能值原则②Bayes原则③E-V原则④贝努里原则(U=0.1C)分别求解
θi
θ1
θ2
θ3
θ4
θ5
θ6
θ7
π(θi)
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.1
0.1
a1
2
3
7
6
1
2
1.5
a2
4
8
6
9
3
4
2
a3
6
4
3
10
12
6
5
五、油井钻探问题(续第二章二之3)
1,设各种状态的主观概率分布如下表且决策人风险中立,决策人该选择什么行动?
产油量
50万桶
20万桶
5万桶
无油
θi
θ1
θ2
θ3
θ4
π(θi)
0.1
0.15
0.25
0.5
若可以通过地震勘探(试验费12万元)获得该地区的地质构造类型xj (j=1,2,3,4)的信息.设已知P(x|θ)如下表
θi \ xj
x1
x2
x3
x4
θ1
7/12
1/3
1/12
0
θ2
9/16
3/16
1/8
1/8
θ3
11/24
1/6
1/4
1/8
θ4
3/16
11/48
13/48
5/16
①求后验概率; ②画决策树;
③进行贝叶斯分析,求贝叶斯规则;
④讨论正规型贝叶斯分析的求解步骤;
⑤求完全信息期望值EVPI和采样信息期望值EVSI.
1,医生根据某病人的症状初步诊断病人可能患A、B、C三种病之一,得这三种病的概率分别是0.4、0.3、0.3,为了取得进一步的信息,要求病人验血,结果血相偏高,得A、B、C三种病血相偏高的可能性分别是0.8、0.6、0.2,验血后医生判断患者得A、B、C三种病的概率各是多少?
(续1)若得A、B、C三种病的白血球计数的先验分布分别是在[8000,1000],[7000,9000],[6000,8500]区间上的均匀分布,化验结果是8350-8450.求此时病人患三种病的可能性各是多少?
七、某公司拟改变产品的包装,改变包装后产品的销路不能确定,公司经理的估计是
销路差θ
销路一般θ
销路好θ
π(θ)
0.2
0.3
0.5
销路与收益的关系如下表
θ
θ
θ
改变包装
-40
0
600
包装不变
0
0
0
为了对销路的估计更有把握,公司先在某个地区试销改变了包装的产品.根据以往的经验,试销的结果与产品在将来的实际销路有如下关系:
x i θi
x1
x2
x3
θ
0.8
0.2
0
θ
0.2
0.4
0.4
θ
0
0.1
0.9
画出该决策问题的决策树;
确定与各种试销结果相应的贝叶斯行动;
分析试销费用与是否试销的关系.
第五章 随机优势(Stochastic Dominance)
一、用随机优势原则求解决策问题有何利弊?
二、决策人面临两种选择:①在[-1,1]上均匀分布;②在[-A,B]上均匀分布其中⑴A=B=2; ⑵A=0.5,B=1.5; ⑶A=2,B=3,试用FSD和SSD判别在上述三种情况下①与②何者占优势.(设决策人的效用函数u∈U)
三、已知收益如下表,用优势原则筛选方案,(设决策人的效用函数u∈U)
θi
π(θi)
a1
a2
a3
a4
θ1
0.1
2
-1
-1
-1
θ2
0.2
1
2
1
2
θ3
0.3
0
1
1
0
θ4
0.4
4
0
1
0
四、决策人的效用函数u∈U.试分析他对下表所示的决策问题应作何选择.
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
a1
0
3
3
1
3
3
a2
2
1
4
2
2
2
多准则决策分析(MCDM)
第八章 多属性效用函数（Multi-attribution utility function）
某企业拟在若干种产品中选一种投产，每种产品的生产周期均为两年,现仅考虑两种属性,第一年的现金收益X和第二年的现金收益Y,设现金收益可以精确预计; 企业的偏好是 ①X、Y是互相偏好独立的;②x (x x’(x≥x’ ;③y (y y’(y≥y’④(100,400)((200,300),(0,600) ((100,200),设有下列产品对:
,(0,100) (100,100) (2).(0,400) (200,200)
(3),(100,500) (200,300) (4),(0,500) (150,200)
每对产品只能生产其中之一,企业应该作何选择,为什么?
二、表一、表二分别给出了两个不同的二属性序数价值函数,分别判断X是否偏好独立于Y,Y是否偏好独立于X.
表一 表二
Y
Y
y1
y2
y3
y4
y1
y2
y3
y4
x1
8
10
9
12
x1
12
9
8
5
X
x2
2
11
9
14
X
x2
13
11
10
9
x3
1
3
2
4
x3
10
8
7
4
x4
7
6
5
2
某人拟从甲地到乙地.他考虑两个因素,一是费用C,一是旅途花费的时间t,设①他对c、t这两个属性是互相效用独立的,②费用及时间的边际效用都是线性的,且边际效用随费用和时间的增加而减少,③他认为(20,4) ( (10,5),(20,5) ((10,6);
求此人的效用函数若此人面临3种选择:a,乘火车,3小时到达,30元钱; b,自己开车,有3/4的机会4小时到达化汽油费10元,1/4的机会6小时到达化汽油费12元; c,先化2元乘公共汽车到某地搭便车,1/4的机会5小时到达,1/2的机会6小时到达,1/4的机会8小时到达,求他应作何种选择.
第十章 多属性决策问题(Multi-attribution Decision-making Problem)
即:有限方案的多目标决策问题(MCDP with finite alternatives)
现拟在6所学校中扩建一所,通过调研和分析,得到两个目标的属性值表如下:
(费用和学生平均就读距离均愈小愈好)
方案序号
1
2
3
4
5
6
费用(万元)
60
50
44
36
44
30
就读距离(km)
1.0
0.8
1.2
2.0
1.5
2.4
试用加权和法分析应扩建哪所学校,讨论权重的选择对决策的影响.
设w1=2w2,用TOPSIS法求解.
二、(续上题)若在目标中增加一项,教学质量高的学校应优先考虑,但是各学校教学质量的高低难以定量给出,只能给出各校教学质量的优先关系矩阵如下表,设w1=w2=w3,用基于相对位置的方案排队法求解.
1
2
3
4
5
6
1
1
1
0
1
1
1
2
0
1
0
0
0
1
3
1
1
1
1
1
1
4
1
1
0
1
1
1
5
0
0
0
0
1
0
6
0
0
0
0
1
1
某人拟在六种牌号的洗衣机中选购一种,各种洗衣机的性能指标如下表所(表中所列为洗5kg衣物时的消耗).设各目标的重要性相同,试用适当的方法求解,
序号
价格(元)
耗时(分)
耗电(度)
用水(升)
1
1018
74
0.8
342
2
850
80
0.75
330
3
892
72
0.8
405
4
1128
63
0.8
354
5
1094
53
0.9
420
6
1190
50
0.9
405
六方案四目标决策问题的决策矩阵如下表,各目标的属性值越大越好,
W=(0.3,0.2,0.4,0.1),α=0.7,d1=15,d3=2.0×10,
用ELECTRE法求解.
序号
y1
y2
y3
y4
1
20
0.3
1.3×10
3
2
13
0.5
4.0×10
3
3
15
0.1
2.2×10
5
4
30
0.7
1.0×10
2
5
5
0.9
4.0×10
7
6
40
0
1.0×10
1
第十一章 多目标决策问题(Multi-objective Decision-making Problem)
风险型决策问题有三个属性四个备选方案两种自然状态,后果如下表:
θi
π(θi)
a1
a2
a3
a4
θ1
1/3
(40,4,250)
(30,5,500)
(20,8,300)
(45,6,300)
θ2
2/3
(20,5,400)
(40,7,600)
(45,1,500)
(30,8,600)
各属性的边际效用如下图
设决策人认为属性x最重要,属性y次之,试用字典序法求解并讨论解的合理性.
<决策分析>P219之例11.1,若决策人的目的改为
试求解并作图.
试画出逐步进行法(STEM)的计算机求解的程序框图.
举一随机性多目标决策问题的实例.
多目标规划问题 max f1= 2x1+ x2
f1=-4x1+ x2
-2x1+ x2≤1
- x1+2x2≤8
x1+ x2≤10
2x1- x2≤8
4x1+3x2≥8
x1,x2≥0
画出可行域X和X在目标空间的映象Y的图形.
求出所有非劣解;
在目标空间标出理想点;
设ω1=ω2求,,及最佳调和解.
六、MADP和MODP各有什么特点? 哪些方法可以同时适用于求解这两类问题?
第十二章 群决策(Group Decision)
1.Arrow不可能定理有什么现实意义?
什么是投票悖论?
什么是策略行为?
二、群由30人组成,现要从a、b、c、d四个候选人中选出一人担任某职务,已知群中成员的偏好是:
其中8位成员认为 a(b(c(d
其中4位成员认为 b(c(d(a
其中6位成员认为 b(d(a(c
其中5位成员认为 c(d(a(b
其中5位成员认为 d(a(c(b
其中2位成员认为 d(c(b(a
用你所知道的各种方法分别确定由谁入选.
你认为选谁合适?为什么?
三、某个委员会原有编号为1、2、3的三个成员,备选方案集为{a,b,c}.三个成员的偏好序分别是,
c(1b(1a
b(2a(2c
a(3c(3b
求群体序,
若委员会新增两个成员(编号为4,5),原来成员的偏好序不变,新增的两个成员应如何表达偏好?
原来成员的偏好序不变时,成员4,5联合能否控制委员会的排序结果?为什么?
四、谈判问题的可行域和现况点如图所示,
试用下列方法求解:
Nash谈判模型; 2.K-S模型; 3.中间-中间值法;
4,给出均衡增量法的求解步骤.
五、简述群决策与多目标决策的异同.
