经济计量学精要（第二版）：经济计量学精要(第二版)

下载在经济学、金融学、管理学、营销学以及一些相关学科的研究中，定量分析用得越来越多，
对于这些领域的初学者来说，掌握一至两门经济计量方面的课程是必要的 — 这个领域的研究变得十分流行。本章的目的旨在给初学者一个经济计量学的概貌。
1.1 什么是经济计量学简单地说,经济计量学 (E c o n o m e t r i c s)就是经济的计量。虽然，对诸如国民生产总值( G N P)、
失业、通货膨胀、进口、出口等经济概念的定量分析十分重要，但从下面的定义中，我们不难看出经济计量学的研究范围更为宽泛：
经济计量学 是利用经济理论、数学、统计推断等工具对经济现象进行分析的一门社会科学 。 1
经济计量学 运用数理统计知识分析经济数据，对构建于数理经济学基础之上的数学模型提供经验支持，并得出数量结果 。 2
1.2 为什么要学习经济计量学从上述定义我们知道经济计量学涉及经济理论、数理经济学、经济统计学(即经济数据)，
以及数理统计学等相关学科，但它是一门有其自己研究方向的一门独立学科。
从本质上说，经济理论所提出的命题和假说，多以定性描述为主。例如，微观经济理论中提到的：在其他条件不变的情况下(经济学中著名的 Ceteris paribus从句)，一种商品价格的上升会引起该商品需求量的减少。因而得出结论：商品的价格与该商品的需求量呈反方向变动 —
这就是著名的向下倾斜的需求曲线，简称需求法则。但是，该理论本身却无法度量价格和需求量这两个变量之间的数量关系，也就是说，它不能告诉我们商品的价格发生某一变动时，该商品的需求量增加或减少了多少。经济计量学家的任务就是提供这样的数量估计。换一种说法，
经济计量学是依据观测和试验，对大多数经济理论给出经验的解释。如果在研究或试验中发现，
当每单位商品的价格上升一美元，引起该商品需求量的下降，比如说下降 1 0 0个单位，那么，
我们不仅验证了需求法则，而且还提供了价格和需求量这两个变量之间的数量估计。
第 1 章
■ 经济计量学的特征及研究范围
1 Arthur S.Goldberg e r,Econometric Theory,Wi l e y,New Yo r k,1 9 6 4,p,1,
2 P.A Samuelson,T,C.Koopmans,and J.R.N.Stone,,Report of the Evaluative Committee for
E c o n o m e t r i c a”,E conometrica,vol,22,no,2,April 1954,pp.141-146.
数理经济学 (mathematical economics)主要关心的是用数学公式或数学模型来描述经济理论，而不考虑对经济理论的度量和经验解释。而经济计量学家感兴趣的却是对经济理论的经验确认。下面我们将会讲到，经济计量学家通常采用数理经济学家提供的数学模型，但把它们用于经验检验。经济统计学家主要关心的是收集、处理经济数据并将这些数据绘制成图表的形式。
这是经济统计学家的工作：他或她收集 G N P、失业、就业、价格等数据，这些数据就成为经济计量分析的原始数据。但经济统计学家却不关心用这些收集到的数据来检验经济理论。
虽然，数理统计学提供了许多分析工具，但由于经济数据独特的性质，即许多数据的生成并非可控制试验的结果，因此，经济计量学经常需要使用特殊的方法。类似于气象学，经济计量学所依据的数据不能直接控制。所以，由公共和私人机构收集的消费、收入、投资、储蓄、
价格等方面的数据从本质上说是非试验性的。这就产生了数理统计学不能正常解决的一些特殊问题。而且，这些数据很可能包含了测量的误差，或是遗漏数据或是丢失数据。这就要求经济计量学家去运用特殊的方法来处理这些测量误差。
对于主修经济学和商业专业的学生来说，学习经济计量学有实用性。毕业以后，在其工作中，或许被要求去预测销售量、利息率、货币供给量或是估计商品的需求函数、供给函数以及价格弹性等等。在经济学家以专家的身份出现在联邦政府调节机构中之前，通常代表当事人或公众。而汽油和电的价格是由政府调节机构规定的，因此，这就要求经济学家能估计提议的价格的上涨对需求量 (如用电量 )的冲击。在这种情况下，经济学家需要建立一个关于用电量的需求函数，并根据这个需求函数估计需求的价格弹性，即，价格变动的百分比所引起需求量改变的百分比。掌握经济计量学知识对于估计这些需求函数是很有帮助的。
客观地说，在经济学和商科专业的学习与培训中，经济计量学已成为不可或缺的一部分。
1.3 经济计量学的方法论一般说来，用经济计量方法研究经济问题可分为如下步骤：
(1) 理论或假说的陈述；
(2) 收集数据；
(3) 建立数学模型；
(4) 建立统计或经济计量模型；
(5) 经济计量模型参数的估计；
(6) 检查模型的准确性：模型的假设检验；
(7) 检验来自模型的假说；
(8) 运用模型进行预测。
为了阐明经济计量学的方法论，我们来考虑这样一个问题：经济形势会影响人们进入劳动力市场的决定吗？也就是说，经济形势是否对人们的工作意愿有影响？假设用失业率
(Unemployment Rate,UNR)来度量经济形势，用劳动力参与率( Labor Forle Participation Rate,
L F P R)来度量劳动力的参与,U N R和 LFPR 的数据由政府按时公布，那么，如何回答这个问题呢？我们按上述步骤进行分析。
1.3.1 理论或假说的陈述首先要了解经济理论对这一问题的阐述是怎样的。在劳动经济学中，关于经济形势对人们工作意愿的影响有两个相对立的假说。一个是 受挫-工人假说 [discouraged-worker hypothesis
( e ff e c t ) ]，该假说提出当经济形势恶化时，表现为较高的失业率，许多失业工人放弃寻找工作
2部分 经济计量学精要 下载的愿望并退出劳动市场。另一个是 增加-工人假说 [added-worker hypothesis (eff e c t ) ]，该假说认为当经济形势恶化时，许多目前并未进入劳动市场的二手工人(比如带孩子的母亲)可能会由于养家的人失去工作而决定进入劳动市场，即使这些工作的报酬很低，只要可以弥补由于养家人失去工作而造成的收入方面的一些损失就行。
劳动力参与率的增加或减少依赖于增加工人和受挫工人的力量对比。如果增加工人的影响占主导地位，则 L F P R将升高，即使是在失业率很高的情况下。相反地，如果是受挫工人的影响占主导力量，那么 L F P R将会下降。我们是如何发现这一结果的呢？这只是一个实践问题。
1.3.2 收集数据由于实验的目的，我们需要这两个变量的数量信息。一般来说，有三种统计数据可用于实践分析：
(1) 时间序列数据
(2) 横截面数据
(3) 合并数据(时间序列数据与横截面数据的联合)
1,时间序列数据这种数据是按时间序列排列收集得到的。比如 G N P、失业、就业、货币供给、政府赤字等。
数据是按照一定的时间间隔收集的 — 每日(比如股票)，每周(比如货币供给)，每月(比如失业率)，每季度(比如 G N P)，每年(比如政府预算)。这些数据可能是 定量的 ( q u a n t i t a t i v e )(比如价格、
收入、货币供给等)，也可能是 定性的 ( q u a l i t a t i v e )，(比如男或女，失业或就业，已婚或未婚，
白人或黑人等)。我们将会发现，定性的变量(又称为虚拟变量)与定量的变量同样重要。
2,横截面数据横截面数据 (cross-sectional data)是指一个或多个变量在某一时点上的数据的集合。例如美国人口调查局每 1 0年进行的人口普查数据(最近的一次是在 1 9 9 0年 4月 1日)，以及密执安大学进行的夏季居民开支调查数据。这些民意调查的结果由 G A l l u p,Harris 和其他的一些调查机构处理。
3,合并数据合并数据 (pooled data)中既有时间序列数据又有横截面数据。例如，如果我们收集 2 0年间
1 0个国家有关失业率方面的数据，那么，这个数据集合就是一个合并数据，每个国家的 2 0年间的失业率数据是时间序列数据，而 2 0个不同国家每年的失业率数据又组成横截面数据。
在合并数据中有一类特殊的数据，称为 p a n e l数据 (panel data)，又称 纵向数据 ( o n g i t u d i n a l
or micropanel data)。即同一个横截面单位，比如说，一个家庭或一个公司，在不同时期的调查数据。例如，美国商业局在一定时期间隔内对住房的调查。在每一时期的调查中，同样的(或居住在同一地区的)家庭被调查，以观察自上一次调查以来，其住房和经济状况是否有变化。纵向数据就是通过重复上述过程而得到的，它可对研究家庭行为的动态化提供非常有用的信息。
4,数据来源成功的经济计量研究需要大量高质量的数据。幸运的是国际互联网为我们提供了大量详实的数据。附录 1 A列出了一些网址，提供了各类微观和宏观的经济数据。学生必须熟悉这些网站并学会下载数据。当然，这些数据会不断更新，因此可得到最新的数据。
为了便于分析，这里给出一组时间序列数据。表 1 - 1给出了美国 1 9 8 0? 1 9 9 6年间城市劳动力参与率( Civilian Labor Force Participation Rate,CLFPR)和城市失业率( Civilian Unemployment
Rate,CUNR)数据。城市失业率是指城市失业人口占城市劳动力的百分比。 1
与物理学不同，许多收集的经济数据(比如 G N P、货币供给、道 -琼斯指数、汽车销售量等)
第 1章 经济计量学的特征及研究范围 介绍 3下载
1 我们仅考虑集合城市劳动力参与率及城市失业率，还有其他可用的数据，比如年龄，性别，种族构成等。
是非试验性的，因为数据收集机构(比如政府)或许并不直接监控这些数据。因而，劳动力参与和失业的数据来源于劳动力市场上参与者提供给政府的信息。在某种意义上，政府是数据的消极收集者。在收集数据的过程中，政府或许并不知道受挫 -工人、增加 -工人假说及其他有关的一些假说。因此，收集到的数据可能是几种因素综合的结果，会影响不同个人劳动力参与的决策。也就是说，同样的数据适用于不止一个理论。
表 1-1 城市劳动力参与率 ( C L F P R )，城市失业率 ( C U N R )与真实的小时平均工资 ( A H E 8 2 )①
年 C L F P R (%) C U N R (%) A H E 8 2 / $
① A H E 8 2代表 1 9 8 2年的平均小时工资 (用美元计算 )
资料来源,Economic Report of the Pre s i d e n t,1 9 9 7,CLFPR from Table B-37,p.343,CUNR from Table B-
40,p.346,and AHE82 from Table B-45,p.352.
1.3.3 建立劳动力参与的数学模型为了观察 CLFPR 与 C U N R的变动关系，首先我们作 散点图 (scatter diagram,or scatterg r a m )，
见图 1 - 1。从图上可以看出,CLFPR 与 C U N R呈反方向变动,(将一切情形都考虑到，或许还说明受挫工人效果比增加工人效果强 )1。第一次估计，不妨通过这些散点做一直线并写出两者之间的简单数学模型：
C L F P R＝ B1＋ B2C U N P ( 1 - 1 )
注,Y＝ CLFPR X＝ C U N R
式( 1 - 1)表明城市劳动力参与率与城市失业率呈线性关系。 B1和 B 2为线性函数的 参数
( p a r a m e t e r s )。 2B1为 截距 ( i n t e r c e p t )，其值为当 C U N P为零时 C L F P R的值。 3B2为 斜率 ( s l o p e )，它是每一单位 C U N P的变动所引起的 C L F P R的变动率。更一般地，斜率度量了式右边变量每变动
4部分 经济计量学精要 下载
1 关于这一点，参见 Shelly Lungerg,The Added Worker Eff e c t,” Journal of Labor Economics,v o l,3,J a n u a r y
1985,pp.11 - 3 7,
2 一般说来，参数是一个不确定的量，可能取一组不同的值。在统计学中，通常用均值和方差等参数来描述随机变量的概率分布函数，在本书第 2章中将详细地进行讨论。
3 在第 5章，我们将给出回归分析中截距这一概念的一个更为准确的解释。
一单位所引起的式左边变量的改变量。斜率值可正(若增加工人的效果大于受挫工人效果的影响)可负(若受挫工人效果的影响占主导力量)。在图 1 - 1中，此时的斜率为负。
1.3.4 建立劳动力参与的统计或经济计量模型式( 1 - 1)给出了描述城市劳动力参与率与城市失业率关系的纯数学模型，数理经济学家或许对它感兴趣，但它对经济计量学家的吸引力却是有限的。因为这样一个模型假设了变量之间的关系是精确的和确定的，也就是说，给定一个 C U N R的值，有惟一一个 C L F P R的值与之对应。
在现实中，很难发现经济变量之间存在如此精确的关系。更一般地，变量之间的关系往往是不确切的或是统计的。
我们可以通过图 1 - 1的散点图清楚地看到这一点。虽然两变量之间存在着反方向变动关系，
但两变量并非准确的或完全的线性关系，如果我们通过这 1 7个数据点作一条直线，并不是所有的点都准确地落在这条直线上 — 别忘了两点确定一条直线。 1为什么这 1 7个数据点没有全都落在这条由数学模型所设定的直线上呢？记住这些数据是非试验性收集到的。因此，如前面所提到的那样，除了增加和受挫工人假说外，还有其他许多因素影响劳动力进入市场的决定。所以，
我们所观察到的城市劳动力参与率与城市失业率之间的关系很可能是不确切的。
我们把所有其他影响劳动力参与率的因素都包括在变量 u中，于是有：
C L F P R＝ B1＋ B2C U N P＋ u (1 - 2)
其中,u代表 随机误差项 (random error term)，简称 误差项 (error term)。 2u 包括了所有影响城市劳动力参与率但并未在模型中具体给出的因素(除了城市失业率)以及其他的随机因素。在本书第二部分中，我们将会看到经济计量学中的误差项与纯数理经济学的误差项有区别。
式( 1 - 2)就是一个统计的、或经验的、或经济计量模型。更准确地说，它是一个 线性回归模型 (linear regression model)，这也正是本书所讨论的主题。在这个模型中，式左边的变量称为应变量 (dependent variable)，式右边的变量称为 自变量 (independent variable)或 解释变量
(explanatory variable)。线性回归分析的主要目标就是解释一个变量(应变量)与其他一个或多个变量(解释变量)之间的行为关系，当然这种关系并非完全准确。
值得注意的是式( 1 - 2)所描述的经济计量模型是来自于式( 1 - 1)所表示的数学模型。这表明数理经济学和经济计量学是互相补充的学科。这一点可以从本书开始给出的经济计量学的定义中清楚地看到。
在继续下文之前，有一个概念值得我们注意 — 因果关系 ( c a u s a t i o n )。在式( 1 - 2)这一回归模型中，我们说城市劳动力参与率是应变量，城市失业率是自变量或解释变量。这两个变量之第 1章 经济计量学的特征及研究范围 介绍 5下载
CUNR(X)
图 1-1 城市劳动力参与率 (百分比) 与城市失业率 (百分比) 回归分析
1 我们甚至试图通过这些数据点做一条抛物线，但结果与线性假定并没有什么实质性的不同。
2 在统计语言中，随机误差项有两种英文表示,random error,stochastic error
间存在因果关系(即城市失业率是原因，城市劳动力参与率是结果 )吗？换句话说，回归包含因果关系吗？并不一定。正如 Kendall 和 Stuart 所说,“统计关系，无论有多强，有多紧密，也绝不能建立起因果关系：因果关系的概念必须排除在统计学之外” 。在本例中，是根据经济理论
(比如受挫工人假说)在应变量和解释变量之间来建立起原因-结果这样的关系。如果不能建立起因果关系，不妨称之为断定的关系 — 即给定城市失业率，我们能够预测城市劳动力参与率。
1.3.5 经济计量模型参数的估计利用表 1 - 1给出的数据如何 估计 ( e s t i m a t e s )式( 1 - 2)中的参数 B1,B2呢？即如何确定这些 参数
( p a r a m e t e r s )的具体数值呢？这是本书第二部分的重点，在那里，我们将用适当的方法，尤其是普通最小二乘法来计算。运用最小二乘法和这些数据，得到下面的结果：
＝ 69.935 5-0.645 8CUNR ( 1 - 3 )
注意我们在 C L F P R上加一符号 ∧ 提醒大家：式( 1 - 3)是式( 1 - 2)的估计式。图 1 - 1是根据真实数据估计得到的回归直线。
从式( 1 - 3)可知,B1的估计值约为 7 0,B2约为－ 0,6 4。因此，平均地，如果失业率上升一个单位(比如说一个百分点)，则城市劳动力参与率将下降 0,6 4个百分点；也就是说，当经济状况恶化时，劳动力参与率将平均净减少 0,6 4个百分点，这或许表明了受挫工人效应占主导力量。
我们讲“平均”是因为前面提到的误差项 u可能会导致变量之间的关系有些出入，这一点可以从图 1 - 1清楚地看到：真实数据点并未落在估计的回归线上。回归直线上的点与真实数据点的距离称为残差。简言之，估计的回归直线(式( 1 - 3) )给出了平均城市劳动力参与率与城市失业率之间的关系——每一单位城市失业率的变化所引起的城市劳动力参与率的平均改变量是多少。
常数 6 9,9 3即当城市失业率为零时城市劳动力参与率的平均值。也就是说，当充分就业时(即不存在失业)，城市适龄工作人口的 6 9,9 3%将参与就业。 1
1.3.6 检查模型的准确性：模型的假设检验式( 1 - 3)所描述模型的准确性如何呢？通常，人们在进入劳动力市场之前，会根据一些因素，
比如说失业率的大小来考虑劳动市场的状况。例如,1 9 8 2年(不景气的一年)城市失业率约为 9,7%，
而 1 9 9 6年仅为 5,4%。显然，失业率为 5,4%，与失业率为 9,7%时相比，人们更可能进入劳动力市场。但还有其他一些因素影响人们进入劳动力市场的决定。比如每小时工资或收入也是重要的决定变量。至少在短期内，工资越高越能吸引工人进入劳动力市场。其他因素也类似。为进一步说明其重要性，在表 1 - 1中我们还给出了以美元为计量单位的真实平均小时工资( A H E 8 2)的数据。现在加上 A H E 8 2这一影响因素，考虑下面这个模型：
C L F P R＝ B1＋ B2C U N P＋ B3A H E 8 2＋ u ( 1 - 4 )
式( 1 - 4)是一个多元线性回归模型，而式( 1 - 2)是一个简单的(双变量)线性回归模型。在双变量模型中，仅有一个解释变量，而在多元回归模型中有若干个(或称多元)解释变量。值得注意的是，
在多元回归模型中，即式 ( 1 - 4 )中，同样包括误差项 u，这是因为无论模型中有多少个解释变量，
都不能完全解释应变量的行为。一个多元回归模型究竟需要包括多少个解释变量，须根据具体情况而定。当然，基本的经济理论通常会告诉我们哪些变量需要包括到模型之中，但是需要提醒注意的是，正如前面所提到的：回归并不意味存在因果关系；一个或多个解释变量是否与应变量存在因果关系，必须根据相关理论来判定。
如何估计式( 1 - 4)中的参数呢？我们将在第 5章和第 6章讨论完双变量模型之后，在第 7章中
6部分 经济计量学精要 下载
1 然而，这仅是截据这一概念的机械的解释。我们将在第 5章中阐述截据的概念。
给予详细说明。首先考虑双变量模型是因为它是多元回归模型的基础。在随后的第 7章中将会看到，多元回归模型在许多方面是双变量模型的直接延伸。
用普通最小二乘估计法估计得到回归方程(式( 1 - 4) )：
＝ 9 7,9-0.446 CUNP-3,8 6 A H E 8 2 (1 - 5)
这个结果很有意思，因为两个斜率系数均为负数。负的城市失业率表明失业率每增加 1%，
城市劳动力参与率将平均减少 0,4 4%(假设平均小时工资为一常数 )。这个结果又一次支持了受挫工人假说。另一方面，若城市失业率为一常数，则平均小时工资每增加一个百分点，城市劳动力参与率将平均减少 3,8 6%。 1 负的平均小时工资系数有经济意义吗？为什么不期望该系数为正 (即小时工资越高，则劳动力市场的吸引力也就越高 )呢？我们可通过微观经济两个孪生概念，
收入效应和替代效应，来验证系数为负。 2
我们选择哪一个模型呢？式 ( 1 - 3 )还是式 ( 1 - 5 )呢？既然式 ( 1 - 5 )包含 ( 1 - 3 )，而且增加了一个分析变量 (收入 )，所以我们可能选择式 ( 1 - 5 )。毕竟，式 ( 1 - 2 )暗含地假定了除失业率以外其余变量均为常数。但是，我们的分析在哪才是尽头呢？例如，劳动力参与率可能还依赖于家庭财富，
六岁以下孩子的个数 (这一点对于已婚妇女考虑进入劳动市场特别重要 )，孩子日托的便利程度，
宗教信仰，福利事业的好坏，事业保险等等。即使这些变量的数据都可得到，我们也不会把他们都包括到模型中来，因为建模的目的不是包纳现实中的所有因素，而仅仅是一些显著因素。
如果我们试图在回归模型中包括每一个可以想像到的变量，那么这个模型将会极为庞大以至于没有任何实际用处。最终选择的模型应该是对现实的合理的复制。在第 1 4章中我们将进一步讨论这个问题，并且探讨如何建立和发展模型。
1.3.7 检验来自模型的假设模型最终确定之后，我们进行 假设检验 (hypothesis testing)。即验证估计的模型是否有经济含义，以及用模型估计的结果是否与经济理论相符。例如，受挫工人假说假设劳动力参与与失业率之间负相关。这个假说与结果相符吗？我们统计的结果与假说相一致，因为估计得到的城市失业率系数为负。
然而，假设检验或许更复杂。在这个例子中，假设得知在先前的研究中，城市失业率的系数约为- 1，那么得到的结果还会与假设一致吗？如果以式 ( 1 - 3 )这个模型为基础，我们可能得到一个结果，但是如果以式 ( 1 - 5 )模型为基础，则可能得到另一个结果。怎样解决这个问题呢？我们会在适当的章节中利用一些必要的工具来解决诸如此类的问题，但是需要提醒注意的是：根据某一特定的假说所得到的结果将依赖于最终所选择的模型。
还有一点，在回归分析中，我们不仅对模型参数的估计感兴趣，而且对检验来自于某个经济理论(或先验经验)的假设感兴趣。
1.3.8 运用模型进行预测经过上述多个阶段，很自然地提出这样一个问题,我们用估计的模型干什么呢？比如说式 ( 1 - 5 )所表示的模型。一般地，我们用模型进行 预测 (prediction,forecasting)。举个例子,
假设现在有 1 9 9 7年的城市失业率和平均小时工资的数据,分别是 5,2和 1,2。 将其带入式 ( 1 - 5 )，
得到 1 9 9 7年城市劳动力参与率的预测值为 4 9,2 6%。即，如果 1 9 9 7年的失业率为 5,2%,真实第 1章 经济计量学的特征及研究范围 介绍 7下载
1 式 ( 1 - 5 )中的城市失业率系数和平均小时工资系数称为偏回归系数,我们将在第 7章中讨论偏回归系数的确切含义。
2 可查阅任意一本微观经济学的标准教科书。一种直接判断结果的方法是：假设夫妇双方都参加工作，则在不影响家庭收入的前提下某一方收入的大量提高，将会促使另一方撤出劳动市场。
小时工资为 1 2美元，则该年的城市劳动力参与率约为 4 9%。当然，当得到 1 9 9 7年的城市劳动力参与率的真实值后，可与估计值做一比较，两者之间的差距代表了预测误差,从本质上说，我们希望预测误差尽可能小，这是否总是可能呢？我们将在第 6章和第 7章中回答这个问题。
总结一下经济计量分析的步骤,
序 号 步 骤 例 子
1 理论的陈述 增加或受挫工人假说
2 收集数据 表 1 - 1
3 理论的数学模型 C L F P R =B1+B2C U N R
4 理论的经济计量模型 C L F P R =B1+B2C U N R +u
5 参数估计 C L F P R = 6 9,9－ 0,6 4 6 C U N R
6 检查模型的准确性 C L F P R = 9 7,9－ 0,4 4 6 C U N R－ 3,8 6 A H E 8 2
7 假设检验 B2< 0或 B2> 0
8 预测 给定 CUNR 和 A H E 8 2值，预测 CLFPR 的值虽然我们仅用劳动经济学中的一个例子来阐述经济计量学的方法论，但需指出的是我们可用同样的步骤来分析任何领域中不同变量之间的定量关系。事实上，回归分析已用于政治、国际关系、心理学、社会学、气象学和其他许多领域。
1.4 全书结构以上我们粗略地介绍了经济计量学的特性及研究范围。本书共分四个部分。
第一部分包括第2章、第3章和第4章。主要是为那些淡忘了统计知识的读者介绍概率和统计的基础知识。本章假定读者知道一些统计学的入门知识。
第二部分向读者介绍经济计量学的基本分析工具，称之为古典的线性回归模型 ( C L R M )。
读者必须对古典线性回归模型有一个完整的理解，这样才能进行经济和商业领域的研究。
第三部分介绍了回归分析在实践中的运用，并讨论了当古典回归模型的假设不满足时须解决的各类问题。
第四部分讨论了联立方程模型(第 1 5章)。
在联立方程模型中，我们所关心的是方程中的应变量以及这些变量之间的关系。一个熟悉的例子是微观经济学中所提到的需求和供给函数。因为均衡数量和均衡价格是由需求曲线和供给曲线的交点决定的，因此我们必须同时考虑需求函数和供给函数。我们将在第 1 5章中讨论均衡价格和均衡数量是如何确定的。
通览全书，初学者需要时刻注意，大多数论题的讨论是直接的，不牵涉数学定理和推论等。 1学生需记住：经济计量学入门课程就像已学过的统计入门课程一样，经济计量学主要讨论的也是估计和假设检验，所不同的或者说更有意思、更有用的是被估计或检验的参数并不仅仅是均值和方差，而且还有变量之间的关系，这也正是经济学和其他社会科学所关心的。
最后一点值得提出的是，通过运用一些价格便宜的计算机软件包，会使初学者易于掌握经济计量学这门课程。读者将会在本书的学习中遇到这样的软件。一旦熟悉了一两个标准的软件，
你将会意识到学习经济计量学很有意思而且会对经济学有更好的理解。
8部分 经济计量学精要 下载
1 一些定理和推论可参见本书作者著《经济计量学基础,(Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New
Yo r k,1 9 9 5,)
习题
1.1 假设地方政府决定在其管辖区内提高居民财产税税率。那么，将对居民住房的价格有何影响？根据本章所讨论的八个步骤来回答问题。
1.2 怎样理解经济计量学在商业和经济领域进行决策的作用？
1.3 假设你是联邦储备局主席的经济顾问，若联储主席询问你，对增加货币供给来刺激经济有何建议，那么，在你的意见中将会考虑哪些因素？在你的意见中如何运用经济计量学？
1.4 为了减少对外国石油供应的依赖，政府考虑将对汽油收取联邦税，假设福特汽车公司雇佣你分析税收增加对汽车需求量的影响，你将如何向公司提出建议？
1.5 经济计量学与纯数理经济学有何区别？它与经济理论又有何区别？
1.6 表 1 - 2给出了美国 1 9 8 0? 1 9 9 6年间消费者价格指数( C P I),5 0 0只股票的指数( S & P)，3
月期国债利率 (3-m T bill)的数据。
表 1-2 消费者价格指数 (CPI,1982~1984=100),标准普尔综合指数 (S&P500,1941? 1 9 4 3 = 1 0 0 )
及 3月期国债利率 (3-m T bill,%)
年份 C P I S & P 5 0 0 3-m T bill
1 9 8 0 8 2,4 11 8,7 8 11,5 0 6
1 9 8 1 9 0,9 1 2 8,0 5 1 4,0 2 9
1 9 8 2 9 6,5 11 9,7 1 1 0,6 8 6
1 9 8 3 9 9,6 1 6 0,4 1 8,6 3
1 9 8 4 1 0 3,0 1 6 0,4 6 9,5 8
1 9 8 5 1 0 7,6 1 8 6,8 4 7,4 8
1 9 8 6 1 0 9,6 2 3 6,3 4 5,9 8
1 9 8 7 11 3,6 2 8 6,8 3 5,8 2
1 9 8 8 11 8,3 2 6 5,7 9 6,6 9
1 9 8 9 1 2 4,0 3 2 2,8 4 8,1 2
1 9 9 0 1 3 0,7 3 3 4,5 9 7,5 1
1 9 9 1 1 3 6,2 3 7 6,1 5,4 2
1 9 9 2 1 4 0,3 4 1 5,7 4 3,4 5
1 9 9 3 1 4 4,5 4 5 1,4 1 3,0 2
1 9 9 4 1 4 8,2 4 6 0,3 3 4,2 9
1 9 9 5 1 5 2,4 5 4 1,6 4 5,5 1
1 9 9 6 1 5 6,9 6 7 0,8 3 5,0 2
资料来源,Economic Report of the Pre s i d e n t,1 9 9 7,Tables B-60,p.368,B-71,p.382,and B-93,p.406.
(a) 以时间为横轴，以上述三个变量为纵轴作图。当然，你可以以3个变量分别作图。
(b) 你预计 CPI 与 S & P指数之间的关系如何？ C P I与3月期国债利率的关系如何？为什么？
(c) 对每一个变量，根据散点图目测其回归直线。
1.7 表 1 - 3给出了德国马克与美元之间的汇率 (一美元兑换多少德国马克 )，以及两个国家的消费者价格指数。
表 1-3 马克对美元的汇率及德国和美国消费者价格指数 ( C P I )
年份 G M / $ 美国 C P I 德国 C P I
1 9 8 0 1,8 1 7 5 8 2,4 8 6,7
1 9 8 1 2,2 6 3 2 9 0,9 9 2,2
1 9 8 2 2,4 2 8 1 9 6,5 9 7,1
1 9 8 3 2,5 5 3 9 9 9,6 1 0 0,3
第 1章 经济计量学的特征及研究范围 介绍 9下载
(续 )
年份 G M / $ 美国 C P I 德国 C P I
1 9 8 4 2,8 4 5 5 1 0 3,0 1 0 2,7
1 9 8 5 2,9 4 2 0 1 0 7,6 1 0 4,8
1 9 8 6 2,1 7 0 5 1 0 9,6 1 0 4,7
1 9 8 7 1,7 9 8 1 11 3,6 1 0 4,9
1 9 8 8 1,7 5 7 0 11 8,3 1 0 6,3
1 9 8 9 1,8 8 0 8 1 2 4,0 1 0 9,2
1 9 9 0 1,6 1 6 6 1 3 0,7 11 2,2
1 9 9 1 1,6 6 1 0 1 3 6,2 11 6,2
1 9 9 2 1,5 6 1 8 1 4 0,3 1 2 0,9
1 9 9 3 1,6 5 4 5 1 4 4,5 1 2 5,2
1 9 9 4 1,6 2 1 6 1 4 8,2 1 2 8,6
资料来源,Economic Report of the Pre s i d e n t,1995,GM/$ from Table B-11 2,p,4 0 2 ; C P I ( 1 9 8 2 ~ 1 9 8 4 = 1 0 0 )
from Table B-11 0,p,4 0 0,
(a) 以时间(年)为横轴，以汇率( E R)与两个的消费者价格指数为纵轴作图。
(b) 求相对价格比率( R P R) (两国消费者价格指数之比)。
(c) 作 E R与 R P R的关系图。
(d) 通过散点图作回归直线。
附录1A 万维网上的经济数据 1
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经济统计摘要室：提供产出、收入、失业、就业、工资、生产和商业活动、价格与货币、
信用和证券市场以及国际统计数据。
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政府信息共享工程：提供地区经济信息； 1 9 9 0年人口和住房普查； 1 9 9 2年经济普查；
1 9 8 2,1 9 8 7,1 9 9 2年农业普查； 1 9 9 1? 1 9 9 5年美国进出口数据； 1 9 9 0年同等就业机会信息。
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国家统计局经济研究 (National Bureau of Economic Research,NBER)主页：高级私人经济研究结构，提供资产价值，劳动力，生产率，货币供给，商业循环指示器等。 N B E R还与其他网站有许多联系。
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panel 研究,提供一些具有代表性的个人和家庭纵向调查的数据。这些数据自从 1 9 6 8年起，
每年收集一次。
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网上经济学家资料：提供有关经济活动的综合信息和数据。该网站对经济学者非常有用。
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联邦网景：提供联邦政府各部门几乎所有信息。
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We b E C：提供详细的经济事件与经济数据。
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经济分析局主页：这是美国商业部门调查机构，发行杂志《商业调查,(S u rvey of Curre n t
B u s i n e s s)，提供各种经济活动数据。
10部分 经济计量学精要 下载
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商业周期站点：提供 2 5 6组不同的经济时间序列数据。
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C I A出版物：提供世界事件年鉴 ( World Fact Book)和国际统计手册 (Hand book of
International statistics)。
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能源信息管理 ( D O E )：提供各类燃料的经济信息和数据。
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F R E D数据库,St.Louis 联邦储备银行公布经济和社会的历史数据，包括货币利率和商业乘数，汇率等。
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国际商业管理：提供大量的贸易统计网站以及跨国项目等。
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S TA - U S A数据库：由国家贸易数据银行提供最详细的国际贸易数据以及出口信息。另外，
还提供其他国家的人口统计、政治、社会和经济状况方面的数据。
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网上统计资源：提供经济指数，消费者价格等数据。
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劳动统计学：提供有关就业、失业和收入的数据以及其他有关统计的网站。
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美国人口调查局主页：提供有关收入、就业、收入分布的数据。
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社会调查：提供从 1 9 7 2起美国家庭个人的调查数据。有大约 35 000人次回答约 2 500个不同的问题。
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贫困研究机构：一些大学中的研究中心提供的有关贫困和社会不平等调查数据。
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社会安全管理：这是一个官方的网站，提供各类数据。
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第 1章 经济计量学的特征及研究范围 介绍 11下载
1 摘自 Annual Editions:Microeconomics 98/99,ed.Don Cole,Dushkin/McGraw-Hill,Connecticut,1998。需强调的是列出的这些网址只是一部分而已。此处提供的数据在不断地更新。
下载这一部分包括 3章内容。主要回顾了理解经济计量学所必备的统计理论基础知识。
第 2章回顾了概率、概率密度和随机变量等基本概念。
第 3章讨论了经济计量学中广泛应用的 4个重要概率分布,( 1 )正态分布； ( 2 ) 2分布； ( 3 )t分布； ( 4 )F分布。概括了上述 4个分布的主要特征。通过几个具体例子阐明了这些概率分布是构建许多统计理论及实践的基础。
第 4章介绍了古典统计学的两个重要分支：估计与假设检验。对这两个概念的正确理解对以后的学习大有帮助。
这一部分的写作风格是非正规的，但其信息量却是充实的，因为我们的目的是帮助读者温习统计学的基础知识。读者在学习经济计量学之前，
可能对统计学有不同程度的了解，这 3章内容将完整而自成体系地对统计学作一简要介绍。
我们将通过几个具体的例子来说明文中出现的一些基本概念。
第一部分概率与统计基础下载本章和随后两章主要是回顾一些基本的统计概念。这些概念对于理解此书是十分必要的。
对于有一定统计学基础的学生来说，这 3章可作为复习课程；对于那些淡忘了统计学知识学生来说，这 3章与本书剩余部分的内容一起构成一个统一的框架。建议那些统计知识较薄弱的学生，在学习的过程中阅读有关的参考书(在本章的最后给出了部分参考书目)。注意：第 2章到第
4章讨论的内容并不完善，也决不是基础统计学教程。它仅仅是通向经济计量学的一座桥梁。
2.1 一些符号我们可以用简单的数学符号表示一些数学表达式。
2.1.1 求和符号通常用希腊字符∑表示求和，其表达式为：
其中 i为求和指数，等式的左边代表“把变量 X从第一个值( i= 1)加到第 n(i=n)个值” 。 Xi代表变量 X的第 i个值。完整的求和符号为：
通常简单地记为：
当求和的上限和下限已知或容易决定时，可表示为：
即对所有的 X的值求和。我们将会交替使用这些符号。
2.1.2 求和符号的性质
1,若 k为常数，则有,
X
X
∑
X
i∑
X
i
= X
1
i=1
i=n
∑ + X2
+L + X
n
第 2 章
■ 基本统计概念的回顾第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 15
即常数的 n次求和等于该常数的 n倍。因此有：
其中,n= 4,k= 3。
2,若 k为常数，
即可将常数放在求和符号前。
3,
即对两个变量的和求和等于对两个变量分别求和的和。
4,
其中 a,b 为常数，利用性质 1、性质 2、性质 3可得。
我们将在本书中经常使用求和符号。
现在讨论概率论中的一些重要概念。
2.2 试验、样本空间、样本点和事件
2.2.1 试验第一个重要概念是 统计试验 或 随机试验 (statistical or random experiment)。,随机试验是指至少有两个可能结果，但不确定哪一个结果会出现的过程。,1
2.2.2 样本空间或总体随机试验所有可能结果的集合称为 总体 或 样本空间 (population or sample space)。
在这个例子中，全部的结果，或样本空间(总体)为 4— 没有其他合乎逻辑的可能的结果
(a∑ +bXi ) = na + b Xi∑
(Xi∑ +Yi)= Xi∑ + Yi∑
kX
i∑ = k Xi∑
3 = 4 ×3 = 12
i=1
4
∑
k = nk
i=1
i =n
∑
抛一枚硬币，掷一颗骰子和从一副纸牌中抽取一张，都是随机试验的例子。在这些随机试验中，暗含地假定了必须满足一定的条件。例如，假定硬币和骰子是正规的，
没有注铅。抛一枚硬币可能出现正面朝上或正面朝下，掷一颗骰子，朝上的一面可能是 1,2,3,4,5,6中的某一个。注意，试验之前并不能确定哪一个结果会出现。通过这些试验或许可以建立一条规律 (比如抛一枚硬币 1 000次，正面朝上有多少次？ )或是检验硬币是否注铅 (如果抛币 1 0 0次，正面朝上 7 0次，你会认为该枚硬币注铅了吗？ )。
例 2.1
考虑这样一个试验，抛两枚同样的硬币。 H代表正面朝上,T代表正面朝下。
则有四种结果,H H,H T,T H,T T。其中,H H代表第一枚硬币和第二枚硬币都正面朝上,H T代表第一枚硬币正面朝上，第二枚硬币正面朝下。如此类推。
例 2.2
1 Paul Newbold,Statistics for Business and Economics,4thed.,Prentic-Hall,Englewood Cliff s,N,J,,1 9 9 5,p,7 5,
下载
(不必担心硬币会立起来)。
在这里，样本空间有 4种结果组成：( O1,O2,O3,O4)。
2.2.3 样本点样本空间(或总体)的每一元素，即每一种结果称为 样本点 (sample point)。在例 2,2中,H H，
H T,T H,T T均为一样本点，同样在例 2,3中,O1,O2,O3,O4也均为样本点。
2.2.4 事件随机试验的可能结果组成的集合称为 事件 ( e v e n t s )，它是样本空间的一个子集。
如果两个事件不能同时发生，则两个事件称为是 互斥的 (mutually exclusive)。在例 2,3中，如果
O1发生，即在两次游戏中均获胜，那么其他三种结果就不可能发生。如果我们确信一个事件的发生与另一事件的发生的可能性相同，则两个事件称为 等可能性的 (equally likely)。例如，抛一枚硬币，
正面朝上和正面朝下是等可能出现的。如果可穷举试验的所有可能结果，事件称为 穷举事件
(collectively exhaustive)。在抛两枚硬币的例子中，因为 H H,H T,T H,T T是仅有的可能结果，因此它是一个穷举事件。同样的，在例 2,3中,O1,O2,O3,O4是仅有的可能结果，因此它也是一个穷举事件，当然，除非遇到下雨或自然灾害，就像 1 9 8 9年在旧金山举行世界锦标赛期间发生地震那样。
2.3 随机变量虽然试验的结果可用文字来描述，比如正面朝上或正面朝下，或是黑桃 A等，但是如果将试验的结果数量化，即将试验结果和具体数字对应起来，则更为简单。在随后我们将会看到，
为了统计的方便这种替代是大有益处的。
16部分 第一部分 概率与统计基础 下载在一种双回合游戏中,O1表示两个回合全部获胜； O２ 表示第一回合获胜，第二回合失败； O3表示第一回合失败，但第二回合获胜； O4表示两个回合均失败。
例 2.3
事件 A表示抛两枚硬币一枚正面朝上，一枚正面朝下。从例 2,2中我们可以看到，只有 H T和 T H属于事件 A(注,H T和 T H是样本空间 H H,H T,T H,T T的一个子集 )。事件 B表示两枚均正面朝上。很明显，只有 H H属于事件 B( H H也是样本空间 H H,H T,T H,T T的一个子集 )。
例 2.4
再来看例 2,2。我们不用 H H,H T,T H,TT 描述试验结果，若“变量”表示了抛两枚硬币正面朝上的个数。 1有如下情况：
第一枚硬币 第二枚硬币 正面朝上次数
T T 0
T H 1
T H 1
H T 1
H H 2
例 2.5
1 一般地，变量是任意一个可变的量。更准确地说，变量是指在一个给定的集合内，可以取任一值的量。
* 1英寸 = 0,2 5 4 m
第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 17
我们称变量“正面朝上个数”为一 随机变量 (stochastic or random variable，用符号 r,v表示)。
更一般地，把取值由试验结果决定的变量称为随机变量。在上例中，随机变量 r,v可取 3个不同的值 — 0,1,2 。在例 2,3中，随机变量(获胜的次数)，同样可取 3个不同值 — 0,1,2。
习惯上，通常用大写字母 X,Y,Z或 X1,X2,X3等表示随机变量。
随机变量可能是连续的，也可能是离散的。 离散型随机变量 (discrete random variable)只能取到有限多个(或是可列有限多个)数值。抛两枚硬币正面朝上的次数仅能取 0,1,2，所以它是一个离散型随机变量。与此类似，获胜的次数也是一个离散型随机变量，因为它仅能取 0,1，
2三个值。另一方面,连续型随机变量 (continuous random variable)可以取某一区间范围内的任意值。例如，人的身高就是一个连续型随机变量，它可以取在 6 0? 7 2英寸范围内的任一值。类似的，体重、降雨量、温度等都可看做是连续型随机变量。
2.4 概率定义了试验、样本空间、样本点、事件和随机变量之后，现在我们来看另一重要概念 —
概率。首先我们定义事件的概率，然后扩展到随机变量的概率。
2.4.1 事件的概率：古典定义或先验定义如果一随机试验的 n个结果互斥且每个结果等可能发生，并且事件 A含有 m个基本结果，则事件 A的发生的概率 ( p r o b a b i l i t y )即 P(A)就是：
( 2 - 1 )
这个定义有两个特征：
(1) 试验的结果必须互斥 — 即它们不能同时发生。
(2) 试验的每个结果等可能发生 — 例如，掷一颗骰子出现任何一个数字的机会均等。
类似地，抛一枚硬币，正面朝上的概率为 1 / 2。因为共有两种可能的结果,H和 T，而且每一种结果等可能发生。同样，在一副有 5 2张的扑克中，抽取任意一张的概率为 1 / 5 2。(为什么？)抽取一张是黑桃的概率为 1 3 / 5 2。(为什么？)
上述例子说明为什么概率的古典定义又称为 先验定义 (priori definition)。因为这些概率来自于纯粹的演绎推理。我们没有必要抛一枚硬币来证明正面朝上的概率为 1 / 2，因为它们是合乎逻辑的仅有的结果。
但是古典定义有其缺陷。如果试验的结果不是有限的或不是等可能发生的，又会怎样呢？举个例子，次年国民生产总值的概率为多少呢？或次年经济衰退的概率有多大？古典定义无法回答类似这样的问题。一个更为广泛运用的定义 — 概率的频率定义,1能够解决诸如此类的问题。
P(A)=_mn
= 有利于事件 A的基本结果的个数所有基本结果总数下载掷一颗骰子，有六种可能的结果,1,2,3,4,5,6。这些结果互斥，因为不可能同时出现两个或更多个数字同时朝上的结果。而且，这六种结果等可能发生。因而，根据古典概率的定义，任何一个数字朝上的概率为 1 / 6— 因为共有六种可能结果，每种结果等可能发生，这里,m= 1,n= 6。
例 2.6
1 还有一种概率的定义，称为主观概率，它是贝叶斯统计的基础。在这种主观的或“信仰程度”概率定义下，我们可问这样的问题：伊拉克将建立民主政府的概率有多大？美国在三年一次的划艇世界锦标赛上获得冠军的概率有多大？股票市场在 2 0 0 0年崩溃的概率是多少？
2.4.2 概率的频率定义或经验定义为了介绍这个概念，我们先来看下面这个例子。
表 2-1 200个学生微观经济学考试分数的分布分 数 区间均值点 频数 频率
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) = ( 3 ) / 2 0 0
0? 9 5 0 0
1 0? 1 9 1 5 0 0
2 0? 2 9 2 5 0 0
3 0? 3 9 3 5 1 0 0,0 5 0
4 0? 4 9 4 5 2 0 0,1 0 0
5 0? 5 9 5 5 3 5 0,1 7 5
6 0? 6 9 6 5 5 0 0,2 5 0
7 0? 7 9 7 5 4 5 0,2 2 5
8 0? 8 9 8 5 3 0 0,1 5 0
9 0? 9 9 95_ _1 0 _ _ _ _ _ __0,0 5 0
总计,2 0 0 1,0
我们能把频率当作概率吗？直观地看，如果观察次数足够多，则把频率视为概率是合理的。
这正是概率的经验(或频率)定义的本质所在。
更正规的，如果在 n次试验(或 n个观察值)中,m次有利于事件 A，假定试验的次数 n足够多
(技术上讲，是有限的)，那么，事件 A的概率 P(A)就简单地等于 m/n (即频率),1需要注意的是，
与概率的古典定义不同，我们无须要求试验的结果互斥，也不要求每种结果等可能发生。
简言之，如果试验的次数足够多，频率就很好地测度了(事件发生的)真实概率。因此，在表 2 - 1中，我们把第 4列中的频率看做概率。
概率的性质事件的概率有如下一些重要性质：
(1) 事件的概率在 0? 1之间。因而，事件 A的概率满足：
0≤ P(A)≤ 1 (2 - 2)
若 P(A)= 0，即事件 A不会发生；若 P(A)= 1，则事件 A必定发生。一般概率值介于 0? 1之间，
如表 2 - 1中的概率值。
(2) 若事件 A,B,C，?为互斥事件，则事件和的概率等于事件概率之和，用符号表示为：
P(A + B + C +? )= P(A)+ P(B)+ P(C)+? (2 - 3)
3,若事件 A,B,C,?为互斥事件，且为一完备事件组，则事件和的概率为 1。用符号表示为：
18部分 第一部分 概率与统计基础 下载表 2-1 给出了 2 0 0个学生微观经济学的考试成绩的分布，表 2 - 1就是一个 频率分布 (frequency distribution)的例子，在这个例子中，表示了考试分数的分布。表中第 3列的数字称为 频数 (absolute frequencies)，第 4列的数字称为 频率 ( r e l a t i v e
f r e q u e n c i e s )，即频数除以出现的总数 (在本例中为 2 0 0 )。因此，分数位于 7 0? 7 9之间的频数为 4 5，但频率为 0.225,即用 4 5除以 2 0 0得到。
例 2.7
1 究竟多少算是足够多，需要依据问题的具体情况而定。有时 3 0次就认为相当多了。在总统竞选的民意调查中，
对最终结果的预测需要 8 0 0个样本(人次)就可认为是相当精确的了，虽然实际上投票的人数超过数百万。
第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 19
P(A + B + C +? )= P(A)+ P(B)+ P(C)+? =1 (2 - 4)
还有一些常用的性质：
(1) 事件 A,B,C，?称为相互独立的事件，如果事件积的概率等于事件概率的积，用符号表示：
P(A B C? )= P(A)P(B)P(C)? (2 - 5)
其中,P(A B C?)表示事件 A,B,C，?同时发生或联合发生，因此,P(A B C?)称为联合概率
(joint probability)。与联合概率相对应,P(A),P(B),P(C)，?称为非条件概率 ( u n c o n d i t i o n a l )，
或边缘概率 ( m a rg i n a l )或单独概率 ( i n d i v i d u a l )。在 2 - 6节中将详细讨论。
(2) 如果事件 A,B,C，? 不是互斥事件，则式( 2 - 5)需要重新定义。若事件 A,B不是互斥事件，则有：
P(A + B)= P(A)+ P(B)－ P(A B) (2 - 6)
其中,P(A B)为事件 A,B同时发生的联合概率。当然，如果 A,B互斥，则 P(A B)= 0(为什么？)即为式( 2 - 3)。式( 2 - 6)很容易推广到两个以上事件的情况。
若有事件 A,B。现在我们想求在事件 B发生的情况下，事件 A发生的概率。这种概率称为在事件 B发生条件下事件 A的条件概率( conditional probability)。用符号 P(A｜ B)表示，我们用下面的公式来计算：
P(A｜ B)= (2 - 7)
即给定事件 B事件 A发生的条件概率等于事件 A,B的联合概率与事件 B的边缘概率之比。
即，
P(B｜ A)= (2 - 8)P(AB)P(A)
P(AB)
P(B)
下载在例 2,6中，我们知道任一数字朝上的概率均为 1 / 6，因为共有六种等可能发生结果。由于 1,2,3,4,5,6组成一完备事件组，则 P( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 1。因为
P( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) =P( 1 ) +P( 2 ) +? +P( 6 ) = 1 / 6 + 1 / 6 + 1 / 6 + 1 / 6 + 1 / 6 + 1 / 6 = 1。
例 2.8
假设同时抛两枚硬币。那么两枚均正面朝上的概率是多少？令事件 A表示第一枚正面朝上，事件 B表示第二枚正面朝上，因此现在要求概率 P(A B)。一般地认为第 一 枚 正 面 朝 上 的 概 率 独 立 于 第 二 枚 正 面 朝 上 的 概 率,因 而 有,
P(A B)= P(A)P(B)=( 1 / 2 ) ( 1 / 2 )=1 / 4,这里抛币一次正面朝上的概率为 1 / 2。
例 2.9
从一副扑克中抽取一张，则是红心或是皇后的概率是多少？很显然，抽红心和抽皇后不是互斥事件，因为 4张皇后中有一张是红心。因而有：
P(或是红心或是皇后 )= P(红心 ) +P(皇后 )－ P(既是红心又是皇后 )
= 13/52 + 4/52-1 / 5 2
= 4/13
例 2.10
令事件 A代表学生是男生，事件 B代表主修会计学的学生。因此，我们要求概率 P(A｜ B)。
从条件概率的公式得：
P(A｜ B)=
=
=0,6 2 5
从给出的数据我们很容易得到 P(A)= 3 0 0 / 5 0 0 = 0,6，即抽取一人是男生的非条件概率为 0,6，显然与上面求得的 0,6 2 5不同。
这个例子告诉我们一个非常重要的结论：一般条件概率不等于非条件概率。 1
2.4.3 随机变量的概率我们给出了样本结果或样本空间中事件的概率，同样也可给出随机变量的概率。因为随机变量只不过是样本空间基本结果的数字表示，比如例 2,5。在本书中，我们关注的主要是随机变量，比如 G N P、货币供给、价格、工资等，因此，需要知道如何给出随机变量的概率。下面，
我们就来讨论随机变量的概率分布。
2.5 随机变量与概率密度函数根据随机变量 X的概率分布函数或概率密度函数( P D F)，可以知道随机变量的取值及与之相对应的概率。为了便于理解，我们首先看离散型随机变量的概率密度函数，然后再考虑连续型随机变量的情形。
2.5.1 离散型随机变量的概率密度函数前面讲过，离散型随机变量仅可取有限个(或有限可列个)数值。为了理解离散型随机变量的概率密度函数 ( P D F )，再看例 2,5。
(100/500)
(160/500)
P(AB)
P(B)
20部分 第一部分 概率与统计基础 下载会计入门班有 5 0 0个学生，其中男生 3 0 0人，女生 2 0 0人。在这些学生中,1 0 0
个男生和 6 0个女生计划主修会计学。现在，随机抽取一人，发现这个学生计划主修会计学。那么，这个学生是男生的概率是多少？
例 2.11
随机变量 X代表抛两枚硬币正面朝上的次数，现考虑下表：
在这个例子中，随机变量 X取 3个不同值 0,1,2。
X取 0值的概率为 1 / 4 (即抛两枚硬币没有一次正面朝上 )，
因为共有 4种可能结果，只有 1个有利于结果 T T。同样的，在四种可能结果中，只有一个有利于“两枚均正面朝上”,因而，其概率也为 1 / 4。另一方面，两种结果
H T,T H有利于事件“有一枚正面朝上”,因而，其概率为 2 / 4 = 1 / 2。注意：这里我们是用概率的古典定义给出这些概率值。
例 2.12
正面朝上的次数 P D F
X f(X)
0 1 / 4
1 1 / 2
2 1 / 4
_ _ _ _ _ _ _
1,0 0
1 但是需要指出的是：如果事件 A,B相互独立，即 P(A B) =P(A)· P(B)，则 P(A|B) = =P(A)· P(B) /P(B) =P(A)。
也就是说，如果两事件是相互独立的，则事件 A在给定条件 B下的条件概率等于其非条件概率。
P(AB)
P(B)
第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 21
上表给出了变量 X的可能值以及与之相对应的概率值。我们用函数 f(X)表示 概率分布或概率密度函数 (probability distribution or probability density function,P D F )— 它给出了变量 X取不同值时的概率。由于在上面这个例子中，变量 X是离散型随机变量，所以，上表中的 P D F称为 离散型随机变量的概率密度函数 (PDF of a discrete random variable)。附带地提醒一句，上表中的概率和为 1，因为这三种结果完全包括了所有的可能情况。 (回顾 2,4节性质 3 )。
更正规的，函数
f(X) 当 i = 1,2,3?,n
当 X ≠ xi (2 - 9)
称为离散型随机变量的概率密度函数。其中,P (X = xi)表示离散型随机变量 X取 xi时的概率值。因此，在上例中,P(X= 2)表示随机变量“正面朝上的次数”为 2时的概率。图 2 - 1给出离散型概率密度函数的几何图形。
图 2-1,抛两枚硬币正面朝上”的概率密度函数 (例 2,1 2 )
2.5.2 连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数 (PDF of a continuous random variable)的概念与离散型随机变量的相类似，所不同的是，现在我们度量的是随机变量在某一特定范围或区间内的概率。
令 X代表一连续型随机变量 — 身高，用英寸来度量，假设我们欲求“人的身高”在某一区间内(比如说 6 0? 6 8英寸)的概率，进一步假定随机变量“身高”的概率密度函数见图 2 - 2。 1
图 2 - 2中的阴影部分给出了身高在 6 0? 6 8英寸的概率。(实践中，我们如何度量这个概率呢？在第3章中给予讨论)。有一点需要指出：连续型随机变量取某一特定值(比如取值 6 3英寸)
的概率为 0。我们总是在一个区间内度量连续型随机变量的概率，比如说，在区间 6 2,5? 6 3,5
英寸内。
2.5.3 累积分布函数与随机变量 X的概率密度函数相对应,F(X)称为 累积分布函数 (cumulative distribution
=P(X=xi)
0
下载概率密度正面朝上的次数身高在 6 0? 6 8英寸的概率身高(英寸)
概率密度图 2-2 连续型随机变量的概率密度函数
1 在第3章中将会看到，图示的概率密度函数是著名的正态概率分布。
f u n c t i o n,C D F)，定义如下：
F(X)= P(X≤ X) (2 - 1 0)
其中,P(X≤ X )表示随机变量 X取小于或等于 x的概率。(当然，对于连续型随机变量取某一特定值的概率为 0)。因此,P(X≤ 2)表示变量 X 取小于或等于 2的概率。
根据累积分布函数的定义，累积分布函数仅仅是当 X的值小于或等于某一给定 x 时的概率密度函数的“累积”或简单求和。即，
(2 - 11)
其中,表示对 X的值小于或等于给定的 x的所有概率密度函数求和。因此，在本例中，
X取小于 2的概率为 5 / 1 6，但 X 取小于 3的概率为 11 / 1 6。当然,X取小于 4的概率为 1。(为什么？)
f (X )
x
∑
F(X) = f (X )
x
∑
22部分 第一部分 概率与统计基础 下载抛币 4次，求随机变量 (正面朝上的次数 )的概率密度函数和累积分布函数。
P D F C D F
正面朝上的次数( X) X值 f (x) (PDF) X值 f (x) (CDF)
0 0≤ X < 1 1 / 1 6 X≤ 0 1 / 1 6
1 1≤ X < 2 4 / 1 6 X≤ 1 5 / 1 6
2 2≤ X < 3 6 / 1 6 X≤ 2 11 / 1 6
3 3≤ X < 4 4 / 1 6 X≤ 3 1 5 / 1 6
4 4≤ X < 5 1 / 1 6 X≤ 4 1
例 2.13
正面朝上的次数图 2-3 离散型随机变量的累积分布函数 (例 2,1 3 )
图 2-4 连续型随机变量的累积分布函数第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 23
图 2 - 3给出了例 2,1 3的累积分布函数。因为例 2,1 3中的随机变量是离散型的，故其累积分布函数也是非连续的，称之为 分段函数 (step function)。如果随机变量是连续型的，则其累积分布函数是一条连续的曲线，如图 2 - 4所示。
2.6 多元随机变量的概率密度函数到目前为止，我们一直关注的是单变量或一元随机变量的概率密度函数。例 2,1 2和 2,1 3都是单变量概率密度函数，因为在那里仅仅考虑一个随机变量，比如说“抛两枚硬币正面朝上的次数”或“抛币四次正面朝上的次数” 。但是我们不必仅限于此，我们可以用不止一个的随机变量来描述一个试验的结果，在此情况下，求得的概率密度称为 多元(多维)概率密度
(multivariable probability distributions)。最简单的多元概率密度函数是双变量概率密度函数。
我们用一个具体例子来说明。
表 2-2 双变量的频数分布：债券等级 (X)与债券收益 (Y)
等级 (X) 1 2 3
收益 (Y) (%) ( B b b ) ( B b ) ( B ) 总计
8,5 1 3 5 0 1 8
11,5 2 1 4 2 1 8
1 7,5 0 1 1 3 1 4
合计 1 5 2 0 1 5 5 0
表 2-3 双变量概率密度等级 (X) 1 2 3
收益 (Y) (%) ( B b b ) ( B b ) ( B ) 总计
8,5 0,2 6 0,1 0 0,0 0 0,3 6
11,5 0,0 4 0,2 8 0,0 4 0,3 6
1 7,5 0,0 0 0,0 2 0,2 6 0,2 8
合计 0,3 0 0,4 0 0,3 0 1,0 0
在这个例子中，有两个随机变量 X(债券等级)和 Y(债券收益)。从上表可知有 1 3种债券等级为 1(也即 3个 B)，其收益率为 8,5%。与此类似，有 1 4种债券等级为 2(也即 2个 B)，其收益率为
11,5%，等等。换句话说，表 2 - 2给出了两个变量 X和 Y的频数分布。
我们把表 2 - 2中的每一个数值都除以 5 0，将频数转化为相对频率，即概率(为了简单起见，
假设总体或样本空间仅由 5 0种债券组成)。其结果见表 2 - 3。
表 2 - 3提供了一个 双变量或联合概率密度函数 (bivariate or joint probability density function,
or joint PDF)。表中每一值均为 联合概率 (joint probability)— 即变量 X取一给定值(例如取 2)与变量 Y取一给定值(例如取 11,5%)时的概率。通常用 f (X,Y)表示联合概率密度函数。因为在本例中 X,Y 仅取离散值，故这是一个离散型联合概率密度函数。
更正规的，令 X,Y是两个离散型随机变量，那么函数：
f (X,Y) = P (X = x,Y = y) ( 2 - 1 2 )
= 0 当 X ≠ x,Y ≠ y 时下载表 2 - 2给出了 5 0支债券的债券等级 (X)及收益率 (Y)数据，其中 X有三个不同水平：
X= 1 ( B b b ),X=2(Bb),X= 3 ( B )。根据标准普尔债券等级评定,B b b,B b,B都是中等信用的债券； B b的信用略高于 B，而 B b b又略高于 B b。即字母越少，股票的风险越大。
例 2.14
24部分 第一部分 概率与统计基础称为离散型联合概率密度函数。它给出了当 X取 x，且 Y取 y的概率，其中 x,y为给定的某一具体值。因此，在上例中，当 X取 3且 Y取 1 7,5%时的(联合)概率为 0,2 6。用同样的方法可以得知其他的联合概率。
两个连续型随机变量的联合概率可类似地定义，只是数学表达式比较复杂，有兴趣的读者可阅读有关的参考书。
2.6.1 边缘概率密度函数我们已经学习了单变量的概率密度函数，例如 f (X),f (Y)，以及双变量的或联合概率密度函数,f(X,Y)。它们之间有联系吗？是的，的确有。
与联合概率密度函数 f(X,Y)相对应,f (X),f (Y)称为 单变量，非条件或边缘概率密度函数
(univariate,unconditional,individual,or marginal PDFs)。当 X 取一给定值(例如取 2)而无论 Y 取值如何时的概率称为 X的边缘概率，其概率密度称为 X的边缘概率密度函数。如何计算边缘概率密度函数呢？很容易。我们看表 2 - 3的总计这一行,X取 1的概率为 0,3 0，不管 Y取值如何； X取 2的概率为 0,4 0，不管 Y取值如何； X取 3的概率为 0,3 0，不管 Y值如何。因此,X的边缘概率见表 2 - 4。同样，
也给出了 Y 的边缘概率。需要指出的是,f (X) [或 f (Y ) ]的概率密度函数之和为 1。(为什么？)
表 2-4 X与 Y的边缘概率分布
X(债券等级 ) f(X) Y(债券收益 %) f(Y)
1 0,3 0 8,5 0,3 6
2 0,4 0 11,5 0,3 6
3 0,3 0 1 7,5 0,2 8
总计 1,0 0 总计 1,0 0
读者很容易注意到：求 X的边缘概率仅需将 X相对应的联合概率相加。即把表 2 - 3中的各列相加。同样的方法，把表 2 - 3中的各行相加我们可以得到 Y的边缘概率。一旦计算出边缘概率，
那么可以直接地求出边缘概率密度函数。
2.6.2 条件概率密度函数继续我们的债券等级－收益一例，现在假设我们想知道在债券等级为 1的条件下，收益为
8,5%的概率是多少？换句话说，在给定 X= 1的条件下,Y= 8,5%的概率是多少？这就是我们所说的 条件概率 (conditional probability)(回忆一下我们先前有关事件的条件概率的讨论)。我们可从下面定义的 条件概率密度函数 (conditional probability density function)中得此概率。
f (Y｜ X ) = P ( Y = y｜ X = x) ( 2 - 1 3 )
其中,f ( Y｜ X )代表 Y的条件概率密度函数；它给出了在给定 X=x(例如取 1)条件下 Y取 y 值
(例如,8,5%)的概率。类似地，给出 X的条件概率密度函数：
f ( X｜ Y ) = P ( X = x｜ Y = y ) ( 2 - 1 4 )
注意：上面的两个条件概率密度函数都是对离散型随机变量而言的。因此，称之为离散型条件概率密度函数。连续型条件概率密度函数可类似定义，只不过其数学表达式有些复杂。
下面讨论计算条件概率密度函数的一种简单方法：
f ( X｜ Y ) = ( 2 - 1 5 )
=
f (Y | X ) = ( 2 - 1 6 )
= X与 Y的联合概率
X的边缘概率
f (X,Y)
f (X)
X与 Y的联合概率
Y的边缘概率
f (X,Y)
f (Y)
下载第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 25
用语言描述就是，在给定另一变量取值条件下某变量的条件概率密度函数等于这两个变量的联合概率与另一变量的边缘或非条件概率密度函数之比。 [与在事件 B发生条件下事件 A的条件概率，即 P ( X｜ Y )，相比较。 ]
来看我们的这个例子，现欲求 f (Y= 8,5｜ X= 1 ),则有：
f ( Y = 8,5｜ X=1) ＝
＝ 0.26/0.30 (从表 2 - 3得知)
≈ 0,8 6 6 7
从表 2 - 3中可知 Y 取 8,5%的非条件概率是 0,3 6，但在债券等级为 1的条件下,Y 取 8,5%的概率增加到 0,8 7(近似值)。
在第5章中将会看到，在回归分析中，我们关注的是研究一个变量在给定另一个(或更多个)
变量取值条件下的行为。因此，条件概率密度函数的知识对于建立回归分析非常重要。
2.6.3 统计独立性在回归分析的研究中，另一个非常重要的概念是 独立随机变量 (independent random
v a r i a b l e s)，它与前面讨论过的事件的独立性有关。我们用一个具体的例子解释这个概念。
现考虑概率 f (X = 1,Y = 1 ),f ( X = 1 ),f ( Y = 1 )。由表 2 - 5得知其概率值分别为 1 / 9,1 / 3
和 1 / 3。其中，第一个为联合概率，而剩下的两个为边缘概率。但是，此例中的联合概率等于两个边缘概率之积。在这种情况下，我们称这两个变量具有 统计独立性 ( s t a t i s t i c a l l y
i n d e p e n d e n c e )。更一般地，两个变量 X和 Y称为统计独立的，当且仅当它们的联合概率密度函数可以表示成为其边缘概率密度函数之积。用符号表示为：
f ( X,Y ) = f ( X ) f ( Y ) (2 - 1 7)
读者容易验证：在表 2 - 5给出的其他任意 X和 Y值的组合，其联合概率密度函数都等于各自的边缘概率密度函数之积；即这两个变量是统计独立的。需要牢记的是：对于所有的 X和 Y值组合式( 2 - 1 7)均成立。
表 2-5 两随机变量的统计独立性
X f ( Y )
1 2 3
1 1 / 9 1 / 9 1 / 9 3 / 9
Y 2 1 / 9 1 / 9 1 / 9 3 / 9
3 1 / 9 1 / 9 1 / 9 3 / 9
f (X) 3 / 9 3 / 9 3 / 9 1
f (Y=8.5,X=1)
f (X=1)
下载一个袋子中放着分别写有 1,2,3的三个球。现从袋子中有放回地随机抽取两球
(即每次抽取一个，然后放回再抽取一个 )。令变量 X表示第一次抽取球的数字,Y代表第二次抽取球的数字。 表 2 - 5给出这两个变量的联合概率密度函数和边缘概率密度函数。
例 2.15
在例 2,1 4中的债券等级与债券收益是独立随机变量吗？让我们用式 ( 2 - 1 7 )给出的独立变量的定义来检验。令 X= 1 ( B b b ),Y= 8,5%。从表 2 - 3可知,f ( X =1,Y = 8,5 ) = 0,2 6 ;
f ( X =1 ) = 0.30,f ( Y =8.5 ) = 0.36。显然，在此情况下,0,2 6≠ ( 0,3 0 )× ( 0,3 6 )。因此，
债券等级与债券收益不是独立的随机变量，这也并不让人感到惊奇。 (为什么？ )
例 2.16
2.7 概率密度的特征虽然概率密度函数给出了随机变量的取值及其相应概率，但是通常我们并不对整个概率密度函数感兴趣。因此，在例 2,1 2中，我们或许不想知道“没有正面朝上”,,一次正面朝上”或是“两次正面朝上”的概率，我们关注的是抛币若干次“正面朝上”的平均次数。换句话说，
我们感兴趣的是一些综合指标，更专业地说，是概率密度的 矩 ( m o m e n t s ) 。两个最常用的综合指标(或矩)是期望值(概率密度的一阶矩)和方差(概率分布的二阶矩)。
2.7.1 期望值：集中趋势的度量离散型随机变量的 期望值 (expected value)用符号 E(X)表示(读作 X的期望值)，其定义为：
(2 - 1 8)
其中 f ( X )是 X的概率密度函数,表示对所有 X求和。 1
用文字描述即为随机变量的期望值是其各可能取值的加权平均，与各可能取值对应的概率为权重。或者说，随机变量的期望值就是该变量的可能取值与其概率之积的累加。随机变量的期望值也称为均值，更准确地应称为 总体均值 (population mean value)。 (随后会讨论其中原因。 )
运用式( 2 - 1 8)的期望值定义求出期望值为 3,5。这样的结果奇怪吗？因为这是一个离散型随机变量，仅能在 1，
2,3,4,5,6中取一个值。在本例中，
期望值或均值为 3,5，表示如果掷骰子若干次，平均而言，得到的数为 3,5(介于 3? 4之间)。
图 2 - 5表示了上例中期望值。
X
∑
E(X) = Xf (X )
X
∑
26部分 第一部分 概率与统计基础 下载掷一个骰子若干次。求每个数字出现的期望值？参见前面讨论过的例 2,6。结果见表 2 - 6。
例 2.17
表 2-6 随机变量 (正面朝上数字) 的期望值正面朝上的数字 ( 1 ) 概率 ( 2 ) 数字×概率 ( 3 )
X f (X) X f (X)
1 1 / 6 1 / 6
2 1 / 6 2 / 6
3 1 / 6 3 / 6
4 1 / 6 4 / 6
5 1 / 6 5 / 6
6 1 / 6 6 / 6
E ( X ) = 2 1 / 6 = 3,5
1 / 6
图 2-5 离散型随机变量 (例 2,1 7 )的期望值,E(X)
1 连续型随机变量的期望可类似定义，所不同的是求和符号,∑”换成积分符号,∫” 。
第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 27
期望的性质下面给出期望值的一些重要性质，在后面的学习中，你会发现这些性质非常有用：
(1) 常数的期望值是其自身。若 b为一常数，则有：
E ( b ) = b ( 2 - 1 9 )
例如，若 b=2,则 E( 2 ) = 2。
(2) 两随机变量和的期望值等于两变量期望值之和。 8给定随机变量 X和 Y，有，
E (X+Y ) =E (X ) +E (Y ) ( 2 - 2 0 )
(3) 但是,E (X / Y )≠ ( 2 - 2 1 )
即两随机变量之比的期望值不等于该两个变量的期望值之比。
(4) 同样，一般情况，
E (XY ) ≠ E (X )E (Y ) ( 2 - 2 2 )
即一般而言，两随机变量积的期望值不等于两变量期望之积。但是，有例外的情况，如果随机变量 X和 Y相互独立，则有：
E (X Y )= E (X )E (Y ) (2-23)
回想一下变量 X 与 Y 相互独立的概念：当且仅当 f ( X,Y ) = f (X ) f (Y )时 X与 Y 称为相互独立的。也就是说，两个变量的联合概率密度函数等于各变量的概率密度函数的乘积。
(5) 若 a为常数，则有：
E (a X )= a E ( X ) ( 2 - 2 4 )
即随机变量的常数倍的期望值等于该变量期望的常数倍。
(6) 若 a,b为常数，那么，
E (a X+b )=a E ( X ) +E(b)
= a E ( X ) + b ( 2 - 2 5 )
我们利用性质 ( 1 ),( 2 )和 ( 5 )可得到。
例如,E ( 4X+7)= 4E ( X ) + 7
2.7.2 方差：离散程度的度量期望值简单地给出了随机变量密度的中心，但却没有表明单个值在均值附近是如何分散或分布的。最常用的度量这种分散程度的工具是 方差 ( v a r i a n c e )。下面我们给出方差的定义。
E(X)
E(Y)
下载在债券等级一例中，债券等级的期望值是多少？我们很容易从表 2 - 4中得到。
把变量 X的各可能值与其相对应的概率之积相累加即得债券等级的期望值。
1 ( 0,3 0 ) + 2 ( 0,4 0 ) + 3 ( 0,3 0 ) = 2,0
因此，债券等级的期望值为 2，恰为 B b值。
例 2.18
在前一例中，债券收益的期望值是多少？我们仍旧可以从表 2 - 4中得到。把变量 Y(收益 )的各可能值与其相对应的概率之积相累加即得债券收益的期望值。
8,5 ( 0,3 6 ) + 11,5 ( 0,3 6 ) + 1 7,5 ( 0,2 8 ) = 1 2,1 0
这就是债券收益的期望。
例 2.19
1 这条性质可以推广到两个以上的变量。因此有，
E(X+Y + Z + W)= E(X) +E(Y)+ E(Z)= E(W)
随机变量 X的期望值为 E (X )，为了简便，用符号 ux表示期望值 (u为希腊字母 )。则方差定义为：
v a r (X )= x2 = E (X－ u x )2 ( 2 - 2 6 )
其中希腊字母 x2 是常用的方差符号。式 ( 2 - 2 6 )表明随机变量的方差等于该变量与其均值之差的平方的期望值。因而，方差表明了随机变量 X的各取值与其期望值或均值的偏离程度。如果所有 X的值恰好都等于 E (X )，则方差为零，但如果 X的值偏离均值幅度很大，则方差也相对较大。如图 2 - 6。注意方差不能为负。 (为什么？ )
图 2-6 同期望值的连续型随机变量的概率密度函数
x
2 的正的方根
x 称为 标准差 (standard deviation,s.d).
式 ( 2 - 2 6 )给出了方差的定义式。通常我们用下式计算方差：若 X 是离散型随机变量，
( 2 - 2 7 )
可用类似的公式计算连续型随机变量的方差。
式 ( 2 - 2 7 )表明，对于离散型随机变量，计算其方差，需先求出变量 X 与其期望值之差，然后求其平方，再乘以其相应概率，对变量 X 的每一取值重复上述过程，最后把所有求得的值相加即得。
表 2-7 随机变量 X (正面朝上的数字) 的方差正面朝上的数字 概率
X f ( X ) ( X － ux )2 f (X)
1 1 / 6 ( 1-3,5 )2( 1 / 6 )
2 1 / 6 ( 2-3,5 )2( 1 / 6 )
3 1 / 6 ( 3-3,5 )2( 1 / 6 )
4 1 / 6 ( 4-3,5 )2( 1 / 6 )
5 1 / 6 ( 5-3,5 )2( 1 / 6 )
6 1 / 6 ( 6-3,5 )2( 1 / 6 )
求和 =2.916 7
var(X) = (X?u
x
)
X
∑
2
f (X )
28部分 第一部分 概率与统计基础 下载连续型随机变量仍以例 2,1 7为例，在那里我们求得变量 (重复掷一颗骰子得到的正面朝上的数字 )的期望值为 3,5，现求其方差。我们建立表 2 - 7。
例 2.20
最小方差最大方差第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 29
因此，其方差为 2.916 7。取正的平方根，得其标准差，约为 1.707 8。
方差的性质：
(1) 常数的方差为零。根据定义，一个常数没有变异性。
(2) 如果 X 与 Y是两个相互独立的随机变量，那么，
var ( X + Y ) = var ( X ) + var ( Y ) ( 2 - 2 8 )
var ( X－ Y ) = var ( X ) + var ( Y )
即两独立随机变量的和或差的方差等于两变量方差的和。
(3) 如果 b是一常数，那么，
var ( X + b ) = var ( X ) ( 2 - 2 9 )
即将变量加上一个常数不改变该变量的方差。例如,var (X+7) = var (X)。
(4) 如果 a为一常数，那么，
var ( a X ) = a2var ( X ) ( 2 - 3 0 )
即随机变量常数倍的方差等于该变量方差的常数平方倍。例如,var (5 X ) = 25 var ( X )。
(5) 如果 a,b为常数，那么，
var ( a X +b ) = a2var ( X ) ( 2 - 3 1 )
由性质 ( 3 )和性质 ( 4 )得到。例如,var(5 X +9) = 25 var ( X )。
(6) 如果 X 与 Y 相互独立,a,b为常数，那么，
var (a X +b Y ) = a2var ( X ) +b2var ( Y ) ( 2 - 3 2 )
由前面的性质可得到。例如，
var (3 X +5 Y ) = 9var( X ) +25 var( Y )
2.7.3 协方差期望值和方差是描述单变量概率密度函数最常用的数字特征 — 前者给出了中心值，后者描述了单个值是围绕中心分布的程度。但是，一旦超出单变量概率密度函数的情况 (比如例
2,1 4 )，就需要考虑除了期望值和方差之外，其他 多维随机变量概率分布函数的数字特征
(characteristics of multivariate DDFs)，比如 协方差 ( c o v a r i a n c e ),相关系数 ( c o r r e l a t i o n )。
令随机变量 X 和 Y 的期望分别为 ux,uy，其协方差为：
cov ( X,Y ) = E [ ( X － ux )( Y－ uy ) ] ( 2 - 3 3 )
= E ( X Y ) － ux uy
式 ( 2 - 3 3 )表明，协方差是一种特殊形式的期望值，它是两变量同时变动的度量，我们从下面的例中可以看到。
式 ( 2 - 3 3 )给出了协方差的定义式，通常用下式来计算协方差，这里假设 X与 Y是离散型随机变量。
( 2 - 3 4 )
注意在这个式子中有两个求和符号，这是因为协方差是对两个变量的所有取值求和。对于连续型随机变量可用类似的公式计算协方差，只不过用积分符号代替求和符号。
一般而言，两随机变量的协方差可正可负。如果两个变量同方向变动 (比如，一个变量增加，另一个变量也增加 )，则协方差为正，比如例 2,2 1；如果两个变量反方向变动 (比如，一个变量增加，另一个变量却减少 )，则协方差为负。
cov( X,Y) = (X?u
x
)
Y
∑
X
∑ (Y? uy
)f (X,Y)
= XYf(X,Y)? u
x
u
y
Y
∑
X
∑
下载协方差的性质下面来看协方差的一些重要性质，在以后的学习中，我们会发现在回归分析中，这些性质相当重要。
(1) 若随机变量 X,Y 相互独立，则其协方差为零。
很容易验证这条性质。如果两变量是独立的，则：
E ( X Y ) =E ( X ) E ( Y )= ux uy ( 2 - 3 5 )
把上式带到式 ( 2 - 3 3 )中，得到两个变量的协方差为零。
(2) cov ( a + b X,c + d Y ) = b d cov ( X,Y ) ( 2 - 3 6 )
其中,a,b,c,d 为常数。
(3) cov ( X,X ) = var ( X ) ( 2 - 3 7 )
即变量与其自身的协方差就是变量的方差，可以从方差和协方差的定义加以验证。
2.7.4 相关系数在前面讨论的债券等级一例中，我们得到债券等级与债券收益之间的协方差为 + 2,3 4，表明这两个变量正相关。但是计算结果 2,3 4并未告诉我们两变量之间的正相关程度有多大。如果我们关注的是两变量的相关程度，则可用 (总体 )相关系数来刻画两变量之间的相关程度。相关系数定义如下：
( 2 - 3 8 )
其中希腊字母 代表相关系数。
从式 ( 2 - 3 8 )很容易看出，两变量的相关系数等于它们的协方差与其各自的标准差之比。相关系数是刻画两个随机变量线性相关程度的一个数字特征，即两变量之间线性相关程度有多大。
1,相关系数的性质相关系数有如下一些重要性质：
(1) 与协方差相同，相关系数可正可负。如果两变量之间的协方差为正，则其相关系数为正，
反之，若两变量之间的协方差为负，则其相关系数为负。简言之，相关系数与协方差同号。
(2) 相关系数介于- 1到 1之间。用符号表示为：
=
cov( X,Y)
σ
x
σ
y
30部分 第一部分 概率与统计基础 下载计算例 2,1 4中变量 X (债券等级 )和变量 Y (债券收益 )的协方差。利用式 ( 2 - 3 4 )。
首先用表 2 - 3给出的数据计算 X Y f ( X,Y )：
X Y f ( X,Y ) = (8.5) (1) (0.26)+(8.5)(2)(0.10)+(8.5)(3)(0.00)
+ ( 11.5)(1)(0.04) +(11,5 ) ( 2 ) ( 0,2 8 ) + ( 11.5)(3)(0.04)
+ ( 1 7,5 ) ( 1 ) ( 0,0 ) + ( 1 7,5 ) ( 2 ) ( 0,0 2 ) + ( 1 7,5 ) ( 3 ) ( 0,2 6 )
= 26.54
由例 2,1 8和例 2,1 9可知,E ( X )= ux = 2,0,E ( Y ) =uy = 1 2,1 0。因而有：
cov ( X,Y ) = 26.54－ (2.0) (12.10) = 2.34
即债券等级与债券收益的协方差为正。这个结果我们不难理解，看看我们是如何编制债券等级的：等级 3代表了风险最大的债券 (也即 B级 )。因此，风险越高，期望收益就越大。
Y
∑
X
∑
Y
∑
X
∑
例 2.21
第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 31
－ 1 ≤ ≤ 1 ( 2 - 3 9 )
如果相关系数为 1，则表示两变量完全正相关，如果相关系数为－ 1，则表示两变量完全负相关。通常 介于－ 1,1之间。
图 2-7 给出了相关系数的一些典型图案。
图 2-7 相关系数 的典型图形注意：仅从协方差 2,3 4，我们无法知道两变量间的协方差是高还是低。但是，根据相关系数的大小就能够进一步确认变量之间的相关程度。由于 最大为 1，所以观察值 0,8 4 4表明两变量高度正相关，因为 0,8 4 4接近于 1。
相关系数的用法将在第6章回归分析中讨论。
2,相关变量的方差前面我们讨论了两独立变量和或差的方差的计算式。但是，如果随机变量不是独立的 (即是相关的 )，情况有会怎样呢？在此情况下，有如下计算公式：
下载
ρ接近－ 1
=+1
=0 但 =0
a)
d) e)
g) h)
f)
b) c)
=-1
接近 +1
ρ为正但接近 0 ρ为负但接近于 0
仍以债券等级一例为例，在例 2,2 1中我们得到债券等级与债券收益之间的协方差为 2,3 4。从表 2 - 4中给出的各变量的概率密度函数，读者能够很容易求得 X (债券等级 )和 Y (债券收益 )的标准差分别为 0,7 7和 3,6 0。因此，本例中的相关系数为：
=
2.34
(0.77)(3.60)
≈ 0.844
例 2.22
var ( X + Y ) = var ( X ) + var ( Y ) + 2cov ( X,Y ) ( 2 - 4 0 )
var ( X－ Y ) = var ( X ) + var ( Y )－ 2cov ( X,Y ) ( 2 - 4 1 )
当然，如果两变量之间的协方差为 0，则 var ( X + Y ),var ( X－ Y )均等于 var ( X ) + var( Y )。
留给读者练习：求债券等级一例中 X + Y 的方差？
式 ( 2 - 4 0 )更一般的情况是：
var ( a X + b Y ) = a2var ( X ) + b2var ( Y ) + 2 a b cov ( X,Y ) ( 2 - 4 2 )
同理，式 ( 2 - 4 1 )更一般的情况是：
var ( a X－ b Y ) = a2var ( X ) + b2var ( Y )－ 2 a b cov ( X,Y ) ( 2 - 4 3 )
其中,a,b 为常数。
例如，
var (5 X± 7 Y ) = 25var ( X ) + 49var ( Y ) ± 2(35)cov ( X,Y ) ( 2 - 4 4 )
= 25var (X) + 49var ( Y ) ± 70 cov ( X,Y )
2.7.5 条件期望值在回归分析中，另一个特别重要的概念是 条件期望值 (conditional expectation)，它与前面讨论的随机变量的期望值 — 称为 非条件期望值 (unconditional expectation)— 不同。下面我们来解释这两个概念的差别。
回到债券等级一例 (例 2,1 4 )，在该例中，债券等级 X 可取值 1,2,3，债券收益 Y 可取值
8,5%,11,5%,1 7,5%。 X 的期望值是多少呢？从表 2 - 4得其期望值为 2,0，同样可得到 Y 的期望值为 1 2,1 0%。这些期望值称为非条件期望值。
但现在考虑这样一个问题：已知债券等级为 1，求债券收益的均值？换一种表达方式，即为，给定 X = 1,求 Y 的条件期望值？更专业地，求 E ( Y｜ X = 1 )？这就是 Y 的条件期望值，
类似地，求 E ( X｜ Y = 8.5)？即已知债券收益为 8,5%，求 X 的条件期望值？
从上面的讨论中，很清楚地看到，在计算随机变量的非条件期望值时，不必考虑其他任一变量的信息，但是在计算条件期望值时，必须考虑。
下面给出条件期望值的定义：
E ( X｜ Y = y ) = ( 2 - 4 4 )
这里，给出的是离散型随机变量的条件期望值计算公式。 f ( X｜ Y = y )是变量 X 的条件概率密度函数,表示对所有的 X 求和。与 ( 2 - 4 4 )相比，前面讨论过的 E ( X )称为非条件期望值。把式 ( 2 - 4 4 )与式 ( 2 - 1 8 )作比较，很清楚地看到，条件期望值 E ( X｜ Y = y )与非条件期望值的计算公式很相像，所不同的是在条件期望值中的密度函数是条件概率密度函数，而不像在非条件期望值中用的是非条件期望值。
同样，我们给出变量 Y的条件期望值：
E ( Y｜ X = x ) = ( 2 - 4 5 )
我们用一个具体例子来说明如何计算条件期望值。
计算表明，在给定 X = 1条件下,Y 的条件期望值为 8,8 9%，而在前面计算过,Y 的非条件期望值为 1 2,1 0%。对于这个结果我们不应感到惊讶 — 在已知债券等级是最高一级 (三个 B )的条件下，我们预期的债券收益当然会低一些。正如前面看到的条件概率密度函数通常不同于边缘概率密度函数一样，一般条件期望值也不同于非条件期望值。
在结束有关概率分布特性的讨论之前，我们再来看另外两个概念 — 概率密度函数的 偏度
( s k e w n e s s )和 峰度 ( k u r t o s i s )。偏度和峰度是用于描述概率密度函数形状的数字特征。偏度 (S)是
Yf (Y | X = x)
Y
∑
X
∑
Xf(X | Y = y)
Y
∑
32部分 第一部分 概率与统计基础 下载第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 33
对称性的度量，峰度 ( K )是一概率密度函数高低或胖瘦的度量，见图 2 - 8。
图 2 - 8
a )偏度 b )峰度在度量偏度和峰度之前，首先需要了解概率密度函数的三阶矩与四阶矩。我们已经知道随机变量 X 的一阶矩是 E ( X )= ux，即 X 的均值，二阶中心矩是 E (X－ ux)2(即 X 的方差 )。按照这种方式，三阶中心矩和四阶中心矩表示为：
三阶中心矩,E (X－ ux )3
四阶中心矩,E (X－ ux )4
一般 r 阶中心矩可表示为：
下载在债券等级一例中，求 E ( Y｜ X = 1 )？即求在已知债券等级为 1的条件下，债券收益的期望值。
利用式 ( 2 - 4 5 )，得到 1，
E (Y｜ X = 1 )= ∑ Y f ( Y｜ X = 1 )
= 8.5 f ( Y = 8,5｜ X = 1 ) + 11.5 f ( Y = 11,5｜ X =1)+17.5 f ( Y = 1 7,5｜ X = 1 )
= 8,5 ( 0,8 7 ) + 11,5 ( 0,1 3 ) + 1 7,5 ( 0 )
= 8,8 9
例 2.23
右偏
a)
b)
左偏常峰态高峰态低峰态对称
1 f(Y= 8,5 |X= 1 ) =f(Y= 8,5,X= 1 ) /f(X= 1 ) = 0,8 7。即条件概率密度函数等于联合概率密度函数与边缘概率密度函数之比，参见等式 ( 2 - 1 6 )。
r 阶中心矩,E (X－ ux)r
给出这些定义以后，通常运用下列公式计算偏度和峰度,
S = ( 2 - 4 6 )
S=
因为，对于对称的概率密度函数，其三阶矩为零，因此这样的一个概率密度函数，其偏度
S 为零。一个最重要的例子就是正态分布，我们将在下一章详细讨论。如果偏度 S 的值为正，
则其概率密度为正偏或右偏；如果 S 的值为负，则其概率密度为负偏或左偏。
K= ( 2 - 4 7 )
K=
概率密度函数的峰度 K 小于 3时，成为低峰态的 (胖的或短尾的 )，峰度 K 大于 3时，称为尖峰态的 (瘦的或长尾的 )，见图 2-8。正态分布的峰度 K 为 3，这样的概率密度函数称为常峰态的。
在随后的章节中将大量使用正态分布，因此，对其偏度 S ( = 0 )和峰度 K ( = 3 )的了解将有助于比较其他的概率分布函数。
直接扩展式 ( 2 - 2 7 )，即可得到三阶矩和四阶矩的计算公式，
三阶矩,( 2 - 4 8 )
四阶矩,( 2 - 4 9 )
其中 X 是离散型随机变量。对于连续型随机变量，我们将求和符号换成积分符号 ( ∫ )即可。
2.8 从总体到样本为了计算概率分布的特性，比如期望值、方差、协方差、相关系数、条件期望值等等，我们显然需要概率密度函数，也即整个样本空间或总体 (即概率密度函数 )。因此，要想知道在某一时刻，居住在纽约市所有居民的平均收入，显然需要知道纽约全部人口。虽然在理论上，某一时点上的居住在纽约的居民是有限的，但在实际中很难收集总体中每一个成员的信息 (用概
(X∑? u
x
)
4
f (X)
(X∑? u
x
)
3
f (X )
四阶矩两阶矩的平方
E(X? u
x
)
4
[E(X?u
x
)
2
]
2
三阶矩的平方两阶矩的立方
=
[E(X?u
x
)
3
]
2
[E(X?u
x
)
2
]
3
34部分 第一部分 概率与统计基础 下载考虑表 2 - 6给出的概率密度函数。已知期望值和方差分别为 3,5,2.916 7。三阶中心矩和四阶中心矩的计算如下：
X f ( X ) (X-ux )3 f ( X ) ( X-ux )4 f ( X )
1 1 / 6 ( 1-3,5 )3 ( 1 / 6 ) ( 1-3,5 )4 (1/6)
2 1 / 6 ( 2-3,5 )3 ( 1 / 6 ) ( 2-3,5 )4 ( 1 / 6 )
3 1 / 6 ( 3-3,5 )3 ( 1 / 6 ) ( 3-3,5 )4 ( 1 / 6 )
4 1 / 6 ( 4-3,5 )3 ( 1 / 6 ) ( 4-3,5 )4 ( 1 / 6 )
5 1 / 6 ( 5-3,5 )3 ( 1 / 6 ) ( 5-3,5 )4 ( 1 / 6 )
6 1 / 6 ( 6-3,5 )3 ( 1 / 6 ) ( 6-3,5 )4 ( 1 / 6 )
求和,0 1 4,7 3 2
根据偏度和峰度的定义，读者可以验证这里的偏度为 0 (很令人惊讶吗？ )，峰度为 1.731 7。因此，虽然这个概率密度函数以均值呈中心对称，但它却是低峰态分布，即比正态分布略“胖”一些，我们可从图 2 - 6明显地看出来。
例 2.24
第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 35
率的语言，也即结果 )。实践中我们所能做到的是从总体中抽取一个“有代表性的”或“随机的”样本，然后计算抽样样本的人均收入。 1
但是，从样本中得到的平均收入等于总体真实的平均收入吗？很可能不同。类似的，如果我们从抽样总体中计算收入的方差，那么，它等于总体真实的方差吗？同样，很可能不同。
那么，如果仅仅有来自于总体的一两个样本，怎样才能知道总体的数字特征呢？比如期望，
方差等等。通览本书，你会发现，实际上，我们都无一例外地依赖于来自某个总体的一个或多个样本。
这个重要问题的答案将是本书第 4章讨论的重点。但首先我们必须求出与各种总体数字特征相对应的 样本矩 (sample moments)。
2.8.1 样本均值随机变量 X 代表某汽车销售商每天销售汽车的数量。若 r.v X 服从某一概率密度函数。而且，我们想求每月前十天，该汽车销售商出售汽车的平均数量 (即期望值 )。假设该汽车销售商已从业十年，但在过去的十年里，没有时间细看每月前十天销售数量。若该销售商从过去的数据中随机抽取某月销售量，并记下该月前十天的汽车销售数量,9,11,11,1 4,1 3,9,8,9，
1 4,1 2。这就是一个包括十个样本值的样本。注意该汽车销售商共有 1 2 0个月的数据，如果他决定抽取另外一个月，则可能得到另外十个不同值。
如果该销售商把十个样本值相加求和再除以 1 0 (样本容量 )，即为样本均值。
随机变量的样本均值通常用符号 X_表示，定义如下：
( 2 - 5 0 )
其中 表示从 1到 n 对所有的 X值相加,n 为样本容量。
上面定义的样本均值就是总体均值 (期望 E ( X ) )的 估计量 ( e s t i m a t o r )。估计量可以简单地理解为估计总体 (比如总体均值 )的规则或公式。在第3章中，我们将讨论怎样用样本均值 X_估计期望值 E ( X )。
在本例中，样本均值为：
我们称样本均值是总体均值的 估计值 ( e s t i m a t e )。估计值简单地说就是估计量的取值，例如在本例中是 11。在这个例子中，每月前十天汽车销售的平均数量为 11，但这个值并不一定等于 E ( X )。要计算 E ( X )，需要考虑其他 11 9个月前十天的汽车销售量。简言之，我们需要考虑整个的概率密度函数。但是，在第3章中你会看到，一般地，样本估计值 (比如 11 )很好的近似了真实的 E ( X )。
2.8.2 样本方差在上例中给出的 1 0个样本值并不全都等于样本均值 11。这种变异性可用样本方差 (S 2x )来度量。它是总体方差 2x 的估计量。 样本方差 ( s a m p l e v a r i a n c e ) 的定义如下：
( 2 - 5 1 )S
x
2
=
(Xi? X)
2
n?1
i =1
n
∑
X =
9 +11 +11 +L+ 12
10
=11
Xi
i=1
n
∑
X =
Xi
n
i=1
n
∑
下载
1 随机样本的准确定义将在后面给出。(参见第 3章)
即样本方差等于每个 X 与其均值差的平方除以 n－ 1再求和。 1 (n－ 1 )称为自由度，它的准确定义将在第3章给出。 2 S 2x 的正的平方根 Sx 称为 样本标准差 (sample standard deviation,样本 s,d )。
由上例中给出的 1 0个样本值求得其样本方差为：
样本标准差 。注意 4,8 9是总体方差的估计值,2,2 1是总体标准差的估计值。再一次强调，估计值是样本估计量的取值。
2.8.3 样本协方差类似式 ( 2 - 3 3 )总体协方差的定义,两随机变量之间的 样本协方差 (sample covariance)的定义如下：
样本 ( 2 - 5 2 )
即样本协方差为两随机变量与其各自的 (样本 )均值求差再除以自由度,( n － 1 ),(如果样本容量足够大，可用 n 作除数 )然后对其差积求和。式 ( 2 - 5 2 )定义的样本协方差是总体协方差的估计量。本例中给出的样本协方差的数值即为总体协方差的估计值：
样本协方差 cov ( X,Y )=63 294/9=7 026.20
因此，本例中的股票价格与消费者价格的协方差为正。有些分析家认为投资股票可以预防通货膨胀，也就是说，当通货膨胀加剧时，股票的价格也会上升。虽然对于这一结论缺乏经验的证据，但 1 9 8 0? 1 9 8 9年期的确是这样的。
表 2-8 1980-1989年道 -琼斯指数均值 (X)与消费者价格指数 (Y)的样本协方差及样本相关系数
Y X (Y－ Yˉ )( X-ˉ X )
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
8 9 1,4 8 2,4 ( 8 9 1,4－ 1 504.4) ( 8 2,4－ 1 0 4,6 4 )
9 3 2,4 2 9 0,9 ( 9 3 2,4 2－ 1 504.4) ( 9 0,9－ 1 504.4)
8 8 4,3 6 9 6,5 — —
1 190.34 9 9,6 — —
1 178.48 1 0 3,9 — —
1 328.23 1 0 7,6 — —
1 792.76 1 0 9,6 — —
2 275.99 11 3,6 — —
2 060.82 11 8,3 — —
2 508.91 1 2 4,0 — —
15 044 1 046.4 ≈ 63 234
Yˉ =15 044/10=1 504.4 样本方差 v a r (Y ) = 3 6 8,8 7 0
X =1 046.4/10=104.64 样本方差 v a r (X ) = 1 6 1,1 8
资料来源,Data on Y and X are from the Economic Report of the President,1 9 9 6,Tables B-91,p.384,and B-
56,p.343,respectively.
cov( X,Y) =
(Xi? X)(Yi?Y )∑
n?1
Sx = 4.89 = 2.21
S
x
2
=
(9?11)
2
+(11?11)
2
+ L+ (12? 11)
2
9
= 44/9=4.89
36部分 第一部分 概率与统计基础 下载设有两变量 X(股票价格 )和 Y(消费者价格 )构成的二元总体。进一步假设从该二元总体中得一随机样本,见表 2 - 8的第一、第二列。在这个例子中,股票价格用道 -琼斯指数均值来度量,消费者价格用消费者价格指数 ( C P I )度量。表中其他各值我们随后讨论。
例 2.25
1 如果样本容量很大，式 ( 2 - 5 1 )中的分子可以用 n除，而不是 n－ 1。
2 在式 ( 2 - 5 1 )中，用除数 n－ 1的原因是，式 ( 2 - 5 1 )给出了真实的 2x的一个无偏估计量。也就是说，如果重复使用式 ( 2 - 5 1 )，平均而言，根据式 ( 2 - 5 1 )计算的样本方差将等于真实的总体方差。估计量是无偏的定义我们将在第 4章给出。
第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 37
2.8.4 样本相关系数式 ( 2 - 3 8 )定义了两随机变量的总体相关系数。类似地，样本相关系数定义如下，通常用符号 r 表示样本相关系数。
( 2 - 5 3 )
因此,样本相关系数 (sample correlation)与总体相关系数有相同的性质；它们均位于- 1与 1
之间。
由表 2 - 8给出的数据，读者很容易计算出 X,Y 的样本标准差，然后求出 的估计值 r,
所以，在这个例子中，股票价格与消费者加价格高度相关，因为计算出的相关系数接近于 1。
2.8.5 样本偏度与样本峰度根据式 ( 2 - 4 6 )和式 ( 2 - 4 7 )，用样本三阶矩和四阶矩来计算样本偏度与峰度。样本三阶矩 (与样本方差的计算公式相对照 )为：
( 2 - 5 4 )1
样本四阶矩为：
( 2 - 5 5 )
利用表 2 - 8给出的数据，读者可计算出样本三阶矩和四阶矩，然后可以验证道 -琼斯指数均值的样本偏度和峰度分别为 0.467 3和 1.545 6，表明道 -琼斯指数均值的分布是正偏的，比正态分布略“胖”一些。
2.9 小结本章介绍了概率、随机变量、概率密度、概率密度的数字特征 (矩 )等一些基本概念。我们的目的并不是教授统计学,而是复习和回顾在本书后面讨论中所必须了解的一些基本统计概念，
因此，对这些概念的讨论更多的是直观的。
本章介绍了一些重要公式。这些公式告诉我们如何计算随机变量的概率以及如何估计概率分布的数字特征，比如期望值 (均值 )、方差、协方差、相关系数、条件期望值等等。在介绍公式的同时，我们仔细地区分了总体矩与样本矩，并给出相应的计算公式。因此，随机变量的期望值 E ( X )是总体矩，即是知道总体的所有取值情况下 X 的均值。另一方面,ˉ X 是样本矩，即它是来自于总体的一个样本，并非全部总体的 X 的均值。在统计学中，总体和样本的两分性非常重要，因为在许多实际运用过程中，我们仅有来自于总体的一两个样本，而且常常是通过这些样本矩来推断总体矩。如何利用样本对总体进行推断，我们将在随后的两章中讨论。
(X?X)
4
∑
n?1
(X?X)
3
∑
n?1
r =
7 026.20
(12.696)(607,40)
= 0.9111
1 如果样本足够大，可用除数 n代替 n－ 1
下载参考文献正如本章前言部分提到的那样，本章只是对统计学的一些基本概念做一个简要和直观的介绍，它并不是统计学基本教程。因此，建议读者手边能有一两本好的统计学教科书。下面介绍一些参考文献：
1.N e w b o l d,P a u l,Statistics for Business and Economics,Prentice-Hall,Englewood Cliff s,N,J,
这本书提供大量的实例，没有复杂的数学计算。
2.Hoel,Paul G.,I n t roduction to Mathematial Statistcs,Wi l e y,New Yo r k,
这本书简单介绍了数理统计学的各方面的知识。
3,Mood,Alexander M.,Graybill,Franklin A.,and Boes,Duane C.:I n t roduction to the Theory
of Statistics,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 7 4,
这是一本标准的高级统计学教材。
4,Mosteller,F.,Rourke,R.,and Thomas,G.:P robability with Statistical Applications,A d d i s i o n -
We s l e y,R e a d i n g,M a s s,
5,DeGrott,Morris H.:Pobability and Statistics(2nd ed.),Addison-We s l e y,R e a d i n g,M a s s,
习题
2.1 解释概念
(a) 样本空间 (b) 样本点 (c) 事件 (d) 互斥事件 (e) 概率密度函数 (f) 联合概率密度函数 (g) 边缘概率密度函数 (h) 条件概率密度函数 (i) 统计独立性
2.2 事件 A,B 能否既为互斥事件同时又相互独立？
2.3 什么是概率密度函数的矩？最常用的矩有哪些？
2.4 解释概念
(a) 期望值 (b) 方差 (c) 标准差 (d) 协方差 (e) 相关 (f) 条件期望值
2.5 解释概念
(a) 样本均值 (b) 样本方差 (c) 样本标准差 (d) 样本差协方差 (e) 样本相关系数
2.6 为什么说区分总体矩和样本矩很重要？
2.7 按照 ( a )填空。
(a) 期望值或均值是集中趋势的度量。 (b) 方差是,,,,,,,,,,,,的度量。 (c) 协方差是,,,,,,,,,,,,的度量。 (d) 相关系数是,,,,,,,,,,,,,,,的度量。
2.8 随机变量 X 的均值为 $ 5 0,标准差为 $ 5,那么，方差为 $ 2 5。对吗？为什么？
2.9 判断正误并解释原因。
(a) 虽然随机变量的期望值可正可负，但其方差总为正。 (b) 两变量的协方差与相关系数同号。 (c) 一个随机变量的条件期望值和非条件期望值意义相同。 (d) 若两变量相互独立，则其相关系数必定为零。 (e) 若两变量的相关系数为零，则它们相互独立。
2.10 下列各式代表什么？
(a) (b) a为常数 (c) (d)
(e) (f) (g) (h)
2,11 用求和符号表示下列各式：
( a ) x1+ x2+? + x5 (b) x1+2 x2+3 x3+4 x4+5 x5 (c) ( x12+ y12 )+( x22+ y22 ) +? +( xk2+ yk2 )
(4x
2
3)
i=1
3
∑2
i=1
10
∑3
i
i=1
3
∑(i + 4)
i=1
4
∑
xi
j=1
2
∑
i=1
3
∑ yi(2xi+3yi)
i=1
2
∑ayi
i=1
6
∑x
i?1
i=1
4
∑
38部分 第一部分 概率与统计基础 下载第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 39下载
2.12 利用等式 求下列各式。
(a) (b) (c)
2.13 可以证明等式 成立，利用该等式计算下列各式。
(a) (b) (c)
2.14 随机变量的概率密度函数如下：
X f ( X ) X f ( X )
0 b 3 4b
1 2b 4 5b
2 3b
(a) 求 b? 为什么？ (b) 求 P ( X≤ 2 )； P (X≤ 3 )； P ( 2≤ X≤ 3 )？ (c) 求 X 的期望 E ( X )？ (d) 求 X 的方差 var( X )？
2.15 随机变量的变差系数用 V 表示，其定义为：
V= =
计算习题 2,1 4中的 V 值。如果 X 的单位为美元，那么 V 的单位是什么？ (注：实际中,V
通常以百分比的形式表示 )。
2.16 下表给出了某项投资 1年后预期的回报率及相应概率。
(a) 求投资回报率的期望值？
(b) 求投资回报率的方差和标准差？
(c) 求投资回报率的偏度系数和峰度系数？
(d) 求累积概率密度函数及回报率小于等于 1 0%的概率？
2.17 下表给出了变量 X,Y 的联合概率密度函数
X
Y 1 2 3
1 0,0 3 0,0 6 0,0 6
2 0,0 2 0,0 4 0,0 4
3 0,0 9 0,0 4 0,0 4
4 0,0 6 0,1 2 0,1 2
(a) 求 X 和 Y 的边缘 (非条件 )分布 f ( X ),f ( Y )？
(b) 求条件概率密度函数,f ( X｜ Y ),f (Y｜ X )？
(c) 求条件期望值 E (X｜ Y ),E (Y｜ X )？
(d) 求 E ( X ),E ( Y )？
(e) 求出的条件期望值与非条件期望值相同吗？
(f) X 与 Y 相互独立吗？你是如何判断的？
2.18 下表给出了随机变量 X,Y 的联合概率密度函数，其中 X 表示投资项目 A的 1年期报
X的期望
X的标准差
E(X)
x
4k
2
k =1
10
∑k
2
10
20
∑k
2
k=1
10
∑
k
2
=
n(n +1)(2n +1)
6
k =1
n
∑
3k
k=10
100
∑k
k =10
100
∑k
k =1
500
∑
k =
n(n + 1)
2
k =1
n
∑
报酬率 X (%) f (X )
－ 2 0 0,1 0
－ 1 0 0,1 5
1 0 0,4 5
2 5 0,2 5
3 0 0,0 5
总计 1,00
酬率,Y 表示项目 B的 1年期报酬率。
X (%)
Y (%) － 1 0 0 2 0 3 0
2 0 0,2 7 0,0 8 0,1 6 0,0 0
5 0 0,0 0 0,0 4 0,1 0 0,3 5
(a) 计算项目 A的期望值的报酬率。
(b) 计算项目 B的期望值的报酬率。
(c) 变量 X 与 Y 相互独立吗？ (提示,E ( X Y ) = )
2.19 已知 E ( X ) = 8,var ( X ) = 4，求下列各式的期望值及方差？
(a) Y =3 X +2 (b) Y =0.6 X － 4 (c) Y = X /4 (d) Y= a X +b,其中 a,b 为常数
2.20 证明,var( X ) =E [ X－ E ( X ) ]2= E ( X )2－ [ E ( X ) ]2= E ( X )2－ uX2
(a) cov( X,Y )= E [( X－ uX )( Y－ uY )]= E ( X Y )－ uX uY
其中,uX = E ( X ),uY = E (Y)
如何用文字表述上列各式？
2.21 利用等式 ( 2 - 3 8 )给出的总体相关系数的定义，证明：
var( X + Y )=var( X )+var( Y ) + 2 σX σY ( 2 - 4 0 a )
var( X－ Y )=var( X )+var( Y )－ 2 σX σY ( 2 - 4 1 a )
2.22 考虑上题给出的等式 ( 2 - 4 0 a )。令 X 代表债券的收益率 (比如说,I B M ),Y 代表另一种债券的收益率 (比如说，一般物品 )。令 X2 = 1 6,Y2 = 9,=－ 0,8。求 X + Y 的方差。它比 v a r
( X )+var( Y )大还是小。在此例中，是否同等投资于两种债券 (即多样化 )比完全投资于其中一种的收益大？这个问题是现代有价证券理论的精华所在。 (参见 Richard Brealey,Steward Myers,
Priciples of Corporate finace,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 8 1 )
2.23 100个人中，有 5 0人是民主党成员,4 0人是共和党成员,1 0人是无党派人士。在这三类人中阅读,Wall Street》杂志的比例分别是 3 0%,6 0%,4 0%。若有一人正在读该杂志，问这个人是共和党成员的概率是多少？
2.24 表 2 - 9给出了美国 1 9 7 9至 1 9 8 8年新成立公司与破产公司的数据。
表 2-9 美国 1 9 7 9 - 1 9 8 8年期间新成立公司 ( X )与破产公司 ( Y )数目年份 Y X 年份 Y X
1 9 7 9 524 565 7 564 1 9 8 4 634 911 52 078
1 9 8 0 533 520 11 742 1 9 8 5 662 047 57 253
1 9 8 1 581 242 16 794 1 9 8 6 702 738 61 616
1 9 8 2 566 942 24 908 1 9 8 7 685 572 61 622
1 9 8 3 600 400 31 334 1 9 8 8 685 095 57 099
资料来源,Economic Report of the Pre s i d e n t,1 9 9 0,Table C-94,p.402.
(a) 求新成立公司数目的均值和方差？ (b) 求破产公司数目的均值是和方差？ (c) 求
X 与 Y 的协方差与相关系数？ (d) 这两个变量相互独立吗？ (e) 如果两个变量相关，是否可以认为一个变量是另一个变量的“原因” 。即是新公司的进入导致原有公司的破产，还是原有公司的破产导致新公司的进入？
2.25 在例 2,1 4中，求 var( X + Y )。你如何解释这个方差？
X
i
Y=1
2
∑
X=1
4
∑ Yi
f(X
i
Y
i
)
40部分 第一部分 概率与统计基础 下载第 2章 基本统计概念的回顾 介绍 41
2.26 参见习题 1,6中的表 1 - 2，
(a) 计算 S & P 5 0 0与 C P I的协方差以及 C P I与 3月期国债利率的协方差，这是样本协方差还是总体协方差？ (b) 计算 S & P 5 0 0与 C P I的相关系数以及 C P I与 3月期国债利率的相关系数，先验地，你认为这些相关系数是正还是负，为什么？ (c) 如果 C P I与 3月期国债利率正相关，是否意味着以 C P I来衡量的通货膨胀是较高国债利率的原因？
2.27 参见习题 1,6中的表 1 - 3，令 E R代表德国马克对美元的汇率 (即一美元兑换多少德国马克 ),R P R代表美国消费者价格指数与德国消费者价格指数之比。你预期 E R与 R P R是正相关还是负相关？为什么？写出计算步骤。如果知道 E R与 1 / R P R的相关关系，你会改变答案吗？为什么？
下载下载在前面的章节中我们讲到随机变量可以用其概率密度函数的一些数字特征(或矩)来描述，
比如期望值和方差。但是，由于随机变量种类繁多，因此假设知道其概率密度函数实际上是较高的要求。但在实际中，一些随机变量经常发生，因此统计学家能够确定其概率密度函数并归纳出其性质。这里，我们主要关注的是一些基本的概率密度函数。但是，在任何一本标准的统计学教科书上，你都会发现统计学家还对其他的一些概率密度函数作了仔细的研究。
本章主要讨论的 4种概率分布是：
(1) 正态分布； (2) 2分布； (3) t分布； (4) F分布。
我们将考察上述各概率密度的主要特征、性质及其用途。读者必须掌握本章的全部内容，
因为，这些概率分布是经济计量理论和实践的核心内容。
3.1 正态分布对于连续型随机变量而言,正态分布 (normal distribution)是最重要的一种概率分布，稍具统计知识的读者都会熟悉其“钟型”形状(见图 2 - 2)。经验表明：对于其值依赖于众多微小因素且每一因素均产生微小的或正或负影响的连续型随机变量来说，正态分布是一个相当好的描述模型。比如考虑体重这一随机变量，它就近似服从正态分布，因为遗传、骨骼结构、饮食、锻炼、新陈代谢等都对人的体重有影响，但又没有一种因素起到压到一切的主导作用。与此相类似，人的身高、考试分数等都近似地服从正态分布。
为了简便，通常用：
X? N(u,2) (3 - 1)1
表示随机变量 X 服从正态分布。符号?表示随机变量服从什么样的分布,N表示正态分布，括号内的参数 u,2称为正态分布的(总体)均值(或期望)和方差。需要指出的是,X是一个连续型随机变量，可取区间(－ ∞,＋ ∞)内的任意一值。
第 3 章
■ 一些重要的概率分布
1 正态变量的概率密度函数：
其中,e x p { }表示以 e为底的指数形式,e=2.718 28,pi=3.141 59。 μ和 2分别是正态分布的参数,均值和方差。
f ( X) =
1
2pi
exp?
1
2
X?u?
2
第 3章 一些重要的概率分布 介绍 43下载图 3-1 正态曲线下的区域
3.1.1 正态分布的性质
(1) 正态分布曲线(见图 2 - 2)以均值 u为中心，对称分布。
(2) 正态分布的概率密度函数呈中间高、两边低，在均值 u处达到最高，向两边逐渐降低，
即随机变量在远离均值处取值的概率逐渐变小。例如，某人身高超过 7,5英寸的概率非常小。
(3) 正态曲线下的面积约有 6 8%位于 u ± 两值之间；约有 9 5%的面积位于 u ± 2 之间；而约有 9 9,7%的面积位于 u ± 3 之间。这些区域可用作概率的度量。
(4) 正态分布可由两个参数 u,2来描述，即一旦知道 u,2的值就利用脚注 1给出的数学公式求得随机变量 X 落于某一区间的概率。幸运的是，我们不必利用这个公式进行如此繁琐的计算，可以根据附录 A中的表 A - 1很容易查到这些概率值。随后解释如何使用该表。
(5) 两个(或多个)正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布 — 在经济计量学中，这是正态分布的一个特别重要的性质。
令：
X? N( uX,X2 )
Y? N(uY,Y2 )
假定 X和 Y相互独立。 1
现在考虑这两个变量的线性组合,W＝ a X+b Y
其中 a,b为常数(例如,W＝２ X＋ 4Y)。则，
W? N(uW,YW2 ) ( 3 - 2 )
其中，
uW =(a uX＋ b uY) ( 3 - 3 )
W
2 = (a2
YX
2 +b2
Y
2 ) (3-4)
注意：在式( 3 - 3)中，利用了第 2章讨论过的独立随机变量期望和方差的一些性质(见 2,7节)。 2
6 8%(近似)
9 5%(近似)
9 9,7%(近似)
1 如果两个变量的联合概率密度函数等于其各自边缘概率密度函数之积，那么，这两个变量相互独立。即，
对于所有的 X和 Y,f(X Y) =f(X)f(Y)成立。
2 需要指出的是：如果 X,Y 服从正态分布，但不相互独立，则它们的线性组合 W 仍服从正态分布，期望与式 ( 3 - 3 )给出的期望相同，但方差为：
2
W=a
2 2
X+b
2 2
Y+ 2a bc o v (X,Y)
与此同时，可把式( 3 - 2)推广到两个以上随机变量的线性组合的情形。
(6) 正态分布的偏度( S)为 0，峰度( K)为 3。
3.1.2 标准正态分布虽然正态分布完全可由其两个数字特征 — (总体)均值和方差来描述，但是，两个正态分布可能因为期望或方差的不同，或是期望和方差均不同而相区别。(见图 3 - 2)
如何比较图 3 - 2中所描绘的各种不同的正态分布呢？既然这些正态分布由于期望或方差的不同或是期望和方差均不相同而有差别，我们不妨定义一个新的变量 Z：
如果变量 X的均值为 u，方差为,则根据式( 3 - 4)的定义，变量 Z的均值为 0，方差为 1。在统计学中，我们称之为 单位 或 标准正态变量 (unit,or standard normal variable)。即若 X? N(u，
2)，那么变量 Z就是单位正态变量或标准正态变量，也就是说，标准正态变量的均值为 0，方差为 1，用符号表示为：
Z? N(0,1) (3 - 5)1
因此，任一给定均值和方差的正态变量都可转化为标准正态变量，我们会发现，这种标准化会大大简化计算。
图 3 - 2
a) 不同均值，同方差 b) 同均值，不同方差 c) 不同均值，不同方差
Z =
X?u
44部分 第一部分 概率与统计基础 下载令 X表示在曼哈顿非商业区一花商每日出售玫瑰花数量,Y表示在曼哈顿商业区一花商每日出售玫瑰花的数量，假定 X和 Y服从正态分布，且相互独立，并有,X
N( 1 0 0,6 4 ),Y? N( 1 5 0,8 1 )，求两天内两花商出售玫瑰花数量的期望及方差？
W＝ 2X＋ 2Y
因此，根据式 ( 3 - 3 )，得
E(w)＝ E( 2X+ 2Y) = 5 0 0，
Va r (w) = 4 v a r (X) + 4 v a r (Y) = 5 8 0
因此,W服从均值为 5 0 0，方差为 5 8 0的正态分布，即 W? N( 5 0 0,5 8 0 )。
例 3.1
1 利用正态分布的性质，很容易证明：正态变量的线性函数仍服从正态分布。
u1 u2
a)
u1=u2
b)
u1 u2
c)
第 3章 一些重要的概率分布 介绍 45下载图 3 - 3 a和 3 - 3 b分别给出标准正态分布的概率密度函数和累积分布函数,(见 2,5节中 P D F和
C D F的定义 )如同任何一种累积分布函数，标准正态分布的累积分布函数给出了标准正态变量取小于或等于某一 z值的概率 (即,P(Z≤ z) )，其中 z为某一给定的 Z值。
我们通过下面的几个具体例子来说明如何使用标准正态分布表。
变量 x表示面包房每日出售的面包量，假定它服从均值为 7 0、方差为 9的正态分布，即 X? N( 7 0,9 )，求任给一天，出售面包数量大于 7 5条的概率。
服从标准正态分布，现求 P(Z> 1,6 7 )。 1
附录 A中表 A - 1给出 Z值从 0到 3,0 9的标准正态分布的累积概率密度函数。例如，从该表可知,Z位于区间 ( 0,1,3 )的概率为 0.403 2(40.32%)，位于 ( 0,2,5 )的概率为 0,4 9 3 8
( 4 9,3 8%)。由正态分布的对称性可知,Z位于区间 (-1,3,0 )的概率也为 0.403 2,位于 (-2,5,0 )
的概率为 0.493 8。正是由于这种对称性，在标准正态分布表中一般仅给出 Z取正值的情形。
也就是说，标准正态密度函数，在 Z=0 的左右面积均为 0,5，整个面积 (或概率 )为 1。
根据正态分布表得：
P( 0≤ Z≤ 1.67)=0.452 5,
因此，
P(Z>1.67)=0.500 0－ 0.425 7=0.047 5
即每天出售面包的数量超过 7 5条的概率为 0.047 5。 (参见图 3 - 3 a )
Z =
75? 70
3
≈1.67
例 3.2
继续例 3,2,现假定要求每天出售面包数量小于或等于 7 5条的概率。
读者很容易验证这个概率为,0.500 0+0.452 5=0.952 5 ( 见图 3 - 3 b )。
例 3.3
现求每天出售面包数量在 6 5条与 7 5条之间的概率。
为求此概率，先要计算查表 A - 1，得，
P(－ 1,6 7≤ Z≤ 0)=0.452 5
P( 0≤ Z≤ 1.67)=0.452 5
由正态分布的对称性得到，
P(－ 1,6 7≤ Z≤ 1.67)=0.905 0
即每天出售面包的数量介于 6 5条与 7 5条之间的概率约为 9 0,5%(见图 3 - 3 a )。
Z
1
=
65? 30
3
≈?1.67
Z
2
=
75? 70
3
≈ 1.67
例 3.4
1 写 P(Z≥ 1,6 7)或 P(Z> 1,6 7)没有什么实质差别，因为，在第 2章我们已经讲过，连续型随机变量取某一特殊值(比如 1,6 7)的概率为零。
图 3 - 3
a) 标准正态变量的 PDF b) 标准正态变量的 C D F
上面的例子表明：一旦知道某一正态变量的期望与方差，先将其转化为标准正态变量，然后根据正态分布表求得相应的概率。的确很神奇，仅仅通过一个标准正态分布表就够能处理任一正态分布变量，而无论其均值和方差是多少。
正如前面讲到的那样，正态分布是最重要的理论概论分布，因为许多(连续型)随机变量都服从正态分布或近似正态分布，我们将在 3,2节中详细讨论。在此之前，先来看在使用正态分布时遇到的一些实际问题。
表 3-1 来自 N( 0,1 ),N( 2,4 )的 2 5个随机数
N( 0,1 ) N( 2,4 ) N( 0,1 ) N( 2,4 )
46部分 第一部分 概率与统计基础 下载现求每天出售面包数量大于 7 5条或小于 6 5条的概率。
如果读者已经掌握前面各例，就很容易求得其概率为 0,0 9 5 (见图 3 - 3 a )。
例 3.5
a)
b)
3.1.3 从正态总体中随机抽样在统计学中，正态分布运用得十分广泛，因此，知道怎样从一正态总体中抽取一随机样本就很重要。假设我们想从一均值为 0，方差为 1,[即标准正态分布,N(0,1)]正态分布中抽取一个有 2 5个观察值的随机样本，如何得到这样一个随机样本呢？
许多统计软件包都有从常用的概率分布获取随机机样本的程序，称之为 随机数字生成器
(random number generators)。例如，利用 M I N TA B统计软件，我们可从 N(0,1)正态总体中得到
2 5个随机数字，见表 3 - 1的第 1列，该表第 2列是来自正态总体 N( 2,4 )的一个随机样本 1，当然，
你可以利用有关统计软件生成许多个随机样本。
3.1.4 靴襻抽样法与从某一概率分布中生成若干随机样本不同,我们可从这个概率分布中生成一个随机样本，
然后，从这个样本再生成若干样本，这种“在样本中抽样”的方法，称为 靴襻抽样法 (b o o t s t r a p
s a m p l i n g)，靴襻抽样法的本质就是利用自身的资源(也即一个给定的样本)。
为了阐明这种方法,我们来看表 3 - 2。表中第一列给出了来自标准正态分布 N( 0,1 )的一个随机样本,共有 2 5个观察值。现在想从这 2 5个样本观察值中再抽取另外一个同样有 2 5个观察值的随机样本,如何完成呢？从这 2 5个观察值中随机抽取一个,记录其值,然后放回,然后再随机抽取一个,按此过程,我们可从原始样本中获得另外一个随机样本。这里关键之处是：每次从原始样本中抽取一个,然后将其放回，再抽取下一个。这个过程称为“重复抽样” 。表中第 2,3,4列给出了利用靴襻抽样法得到的三个新的随机样本。注意：在靴襻抽样法得到的 2,3,4列样本中，原始样本中的一些数字可能只出现一次,或多次,也可能一次也不出现。例如,1列原始样本中的第 6个数- 2,1 6 1,它在样本 2中出现 3次,但原始样本中的最后一个数 0,3 6 8 2 2,在样本 2中一次也没有出现。这就是靴襻抽样法的特点。
表 3-2 来自 N( 0,1 )的靴襻样本
N( 0,1 ) 靴襻 1 靴襻 2 靴襻 3
第 3章 一些重要的概率分布 介绍 47下载
1 M I N TA B统计软件可从一给定均值和方差的正态总体中生成一随机样本。实际上，一旦从标准正态总体中得到一个随机样本，就很容易将它转化成不同均值和方差的正态分布。令 Y=a+b Z,其中 Z是标准正态变量,Y 的概率分布如何呢？由于 Y是 Z的线性组合，因此,Y也服从正态分布(为什么？)。其特征数又是什么呢？
E(Y)=E(a+b Z)=a+b E(Z)=a 因为,E(Z)= 0(为什么？)
Va r (Y) = v a r (a+b Y) =b2v a r (Z) =b2 因为,v a r (Z) = 1 (为什么？ )
6 因此,Y~N(a,b2)。于是，若将 Z乘以 a再加上 b，就可得到一个来自于均值为 a、方差为 b2的正态总体的随机样本。因而，若 a= 2,b= 2，则 Y~N(2,4)。
48部分 第一部分 概率与统计基础
(续 )
N( 0,1 ) 靴襻 1 靴襻 2 靴襻 3
3.2 样本均值 X-的抽样分布或概率分布在前一章，我们介绍了样本均值是总体均值的估计量 [见式( 2 - 5 0)]，但由于样本均值是依据某一给定样本而定，因此其值也会因随机样本的不同而变化。也就是说，样本均值也可看作是随机变量，并且有其自己的概率分布函数，我们是否能够求出样本均值的概率分布函数呢？答案是肯定的，如果样本是随机抽取得到的话。在第 2章中我们直观地描述了随机抽样的含义，
即总体中每一个体有同等机会被选入样本。但是，在统计学中,随机抽样 (random sampling)有更特殊的意义。我们称 X1,X2,?,Xn构成一容量为 n的随机样本，如果所有的 XS是从同一概率密度
(即每个 Xi有相同的概率密度函数)中独立抽取得到的。因而称 XS为 独立同分布随机变量
(independently and identically distributed random variables,i.i.d.random variables)。以后，随机样本都表示独立同分布随机样本。为了简便，有时用英文缩写 i,i,d,来表示独立同分布随机样本。
因此，如果 Xi~N(u,2)且每个 Xi独立抽取得到，则称 X1,X2,?,Xn是 i,i,d,随机变量，正态概率密度函数是其共同的概率密度。对于这个定义，需注意两点：一是，样本中每一个 X有相同的概率密度函数，二是，样本中的每一个 X是独立抽取得到的。
定义了随机样本这一重要概念之后，现在讨论统计学中另一个非常重要的概念 — 估计量
(比如样本均值)的抽样分布或概率密度 [sampling,or probability,distribution of an estimator
(e.g.,the sample mean)]。正确理解这一概念对于理解第 4章统计推断以及随后几章的内容十分重要，由于许多学生对这一概念的理解有些迷惑，因此，我们不妨用具体的实例来解释。
表 3-3 来自 N( 1 0,4 )的 2 0个样本均值样本均值 (X
_
i)
9,6 4 1 1 0,1 3 4
1 0,0 4 0 1 0,2 4 9
9,1 7 4 1 0,3 2 1
1 0,4 8 0 9,4 0 4
11,3 8 6 8,6 2 1
9,7 4 0 9,7 3 9
9,9 3 7 1 0,1 8 4
1 0,2 5 0 9,7 6 5
1 0,3 3 4 1 0,4 1 0
求和 = 2 0 1,0 5
正态分布的均值为 1 0，方差为 4，即 N( 1 0,4 )。从这个正态总体中抽取 2 0个随机样本，每个样本包括 2 0个观察值。对抽取的每一个样本，得到其样本均值 X
_
，
因而共有 2 0个样本均值，见表 3 - 3。
例 3.6
X =
201.05
20
=10.052
=
X =
X
i
∑
n
var( X
i
) =
(∑ X
i
X)
2
19
= 0.339
注,=
=
下载
1 一个估计量(比如样本均值)的抽样分布与任一随机变量的概率分布类似，只是此时的随机变量恰好是一个估计量，或者说，抽样分布就是当随机变量是一估计量时的概率分布，比如期望与方差，在后面的工作中你将遇到若干个这样的抽样分布。
2 证明：
因为，
第 3章 一些重要的概率分布 介绍 49
表 3-4 20个样本均值的频率分布样本均值范围 频数 频率
8,5? 8,9 1 0,0 5
9,0? 9,4 1 0,0 5
9,5? 9,9 5 0,2 5
1 0,0? 1 0,4 8 0,4 0
1 0,5? 1 0,9 4 0,2 0
11,0? 11,4 1 0,0 5
合计 2 0 1,0 0
表 3 - 4给出了样本均值的频率分布，称为样本均值的经验抽样分布或概率分布。 1图 3 - 4的条线图描绘了样本均值的经验分布。
图 3-4 来自 N( 1 0,4 )总体的 2 0个样本均值的分布如果把图中各条线相连，就得到了频率多边形，其形状与正态分布的图形类似，如果我们列出更多这样的样本，那么频率多边形与正态分布的钟形曲线相类似吗？也就是说，样本均值的抽样分布确实服从正态分布吗？的确如此。
这里所依据的统计理论是：若 X1,X2,?,Xn是来自于均值为 u，方差为 2的正态总体的一随机样本。则样本均值,X
_
也服从正态分布，其均值为 u，方差为 2/ n 即
X
_
~ N(u,2/n) (3 - 6)
换句话说，样本均值 X
_
(u的估计量 )的抽样(或概率)分布，同样服从正态分布。其均值与每一个 Xi的均值相同，但方差等于 Xi的方差( = 2)除以样本容量 n。 2你会发现，当 n > 1时，样本均样本均值 (X )
X = (X
1
+ X
2
+L+ X
n
)/ n
E(X) = [E(X
1
)+ E(X
2
) +L+ E(X
n
)]
= [u + u +L+]/ n
2
= u
Var(X) = var( X
1
+ X
2
+ L+ X
n
)/ n
2
= [var(X
1
)+ var( X
2
) + Lvar(X
n
)]/ n
2
= (
2
+
2
+L+
2
)/n
2
=n
2
/n
= /n
下载
50部分 第一部分 概率与统计基础 下载值的方差比任意一个 Xi的方差都小。
回到刚才的例子中，则 X
_
的期望值,E(X
_
)，为 1 0，方差为 4 / 2 0 = 0,2 0。若取表 3 - 3中 2 0个样本的样本均值 X
__
,(称为总平均数 )，它应该接近于 E(X
_
i)，样本方差应该约等于 0,2 0。从表 3 - 3中可知，
X
_
=10.052,约等于期望值 1 0，方差 v a r (X
_
i)为 0,3 3 9，却与 0,2 0相差甚远，为什么呢？
注意：表 3 - 3中给出的数据仅仅来源于 2 0个样本，前面我们强调过如果有更多的样本 (每一样本有 2 0个观察值 )，那么，得到的结果将接近理论均值 1 0和方差 0,2。有这样的一个理论结果是令人鼓舞的。我们无须做诸如表 3 - 3那样的抽样实验，那太消耗时间了。我们仅以一个来自于正态分布的随机样本为依据，就能说，样本均值的期望等于真实的均值 u。在第 4章中，将会看到,知道某一特定的估计量服从某一特定的概率分布将有助于建立从样本到总体之间的联系。
这里略去计算过程，仅给出如下结果：
(3 - 7)
即 Z是一个标准正态变量。因而，很容易从标准正态分布表中计算某一给定样本均值大于或小于某一给定的总体均值的概率。我们来看下面的一个例子：
中心极限定理刚才讲到从正态总体中抽样，其样本均值同样服从正态分布。但是如果从其他总体中抽样，
情况又如何呢？这里有统计学中著名的 中心极限定理 (central limit theorem,CLT)：如果 X1,X2? Xn是来自(均值为 u方差为 2的)任一总体的随机样本，随着样本容量无限增大，则其样本均值 X
_
趋于正态分布，其均值为 u，方差为 2/n。 1 当然，如果 X恰来自于正态分布，则无论样本容量为多大，
其样本均值均服从正态分布，见图 3 -5，为了更清晰地描述，我们将连续型随型变量 X在区间( a,b)
上的 均匀或矩形,概率密度函数 (uniform,or rectangular,probability density function)定义为：
(3 - 8)f(X)= 1
b?a
a < x < b
= 0
Z=
X?u
n
令 X代表某一型号汽车每消耗一加伦汽油所行驶的距离 (英里 )。已知 X? N( 2 0，
4 )。则对于由一个有 2 5辆汽车组成的随机样本，求：
( a )每消耗一加伦汽油所行驶的平均距离大于 2 1英里的概率。
( b )每消耗一加伦汽油所行驶的平均距离小于 1 8英里的概率。
( c )每消耗一加伦汽油所行驶的平均距离介于 1 9和 2 1英里之间的概率。
由于 X服从均值为 2 0，方差为 4的正态分布，则 也服从正态分布，其均值为
2 0，方差为 4 / 2 5。结果有，
即 Z服从标准正态分布，因此，现在要求：
(a) P(X > 21) = P Z >
21? 20
0.4
= P(Z > 2.5) = 0.006 2
(b) P(X <18) = P Z <
18?20
0.4
= P(Z < 5) ≈ 0
(c) P(19≤ X ≤ 21) = P?2.5 ≤ Z ≤ 2.5( ) = 0.987 6
Z =
X? 20
4/25
=
X?20
0.4
~ N(0,1)
X
例 3.7
其他
1 实际中，如果样本容量接近 3 0，正态近似就已经很好了。在随后章节中将会看到，当样本容量大于 3 0时，
t分布近似正态分布。
≤ ≤ ≤ ≤
图 3 - 6给出均匀分布函数的图形。从图中可以看出，对于均匀分布的随机变量在其区间范围内任取一值的概率都相等，均为 1 /(b－ a)。若变量是离散型随机变量，则 X在区间 (a,b)取任一值的概率与 X取所有值的概率都相等，事实上，我们在前面已经遇到过这种分布(见图 3 - 5)。掷一颗骰子，得到 1至 6中任何一个数字的概率均为 1 / 6。
根据统计理论可以证明：均匀分布的均值和方差为：
(3 - 9)
(3 - 1 0)
图 3-5 中心极限定理图 3 - 6
a )均匀分布的概率密度函数 U(a,b) b)标准均匀分布的概率密度函数 U( 0,1 )
为了阐明中心极限定理，从 U(0,1)总体中抽取 2 0个随机样本，每个样本有 2 5个观察值。
我们把在区间( 0,1)上的均匀分布称为 标准均匀分布 (standard uniform distribution)，对每一个
var( X) =
(b? a)
2
12
E(X) =
a + b
2
第 3章 一些重要的概率分布 介绍 51下载
a) 来自正态总体的样本
b) 来自非态总体的样本正态总体非正态总体
X
_
的抽样分布
(若 n很大，近似正态)
X
_
的抽样分布
(正态)
a) b)
样本，计算样本均值，共得到 2 0个样本均值，见表 3 - 5。
表 3-5 来自标准均匀分布总体的 2 0个样本均值样本均值( X
_
)
0,5 4 0 5 7 0,4 1 6 1 7
0,4 11 6 9 0,4 8 8 9 9
0,4 3 4 4 6 0,5 1 3 7 3
0,5 1 3 5 6 0,5 1 2 6 4
0,4 6 0 1 0 0,5 7 3 4 6
0,4 7 0 4 7 0,5 1 8 4 8
0,4 6 5 3 4 0,4 8 0 8 7
0,4 2 5 9 2 0,5 8 5 6 0
0,5 7 2 2 0 0,5 6 8 4 3
0,4 7 9 0 9 0,4 1 6 8 3
我们不是独立地看每一个样本均值，而是在一个更宽的区间范围内来考察。见图 3 - 7，该图表明，虽然每一个 Xi来自非正态分布总体，但样本均值 X
_
都近似正态分布，当然，如果样本扩大到 50,100或更多的话，则样本均值会更近似于正态分布，这也即是中心极限定理的含义。
在本例中，因为 a=0,b= 1，因此可以根据式( 3 - 9)和式( 3 - 1 0)验证，来自标准均匀分布总体的 X i的期望和方差分别为 0,5和 0,0 83 3。根据中心极限定理,E(X
_
) = 0,5,v a r (X
_
)=0.083 3
/ 2 5 = 0,0 033(注,v a r (X
_
) = 2/n)。这个结果与表 3 - 7进行的抽样试验相吻合吗？我们知道 2 0个样本的总的均值( X
__
)为 0.492 4，近似等于 E(X
_
) = 0,5，方差为 0.003 2，近似等于期望方差 0.003 3。 1正如刚才强调过的，如果样本容量足够大，则可以得到更好的近似值。
上述讨论的结论是：若样本容量足够大，则来自于任意分布总体的随机样本，其样本均值近似服从正态分布，见式( 3 - 6)。 2
上述进行的抽样试验又称为 蒙特卡洛试验 或 蒙特卡洛模拟 (Monte Carlo experiments or
s i m u l a t i o n s)，它是研究统计模型的一个非常有用而又经济的方法；在经济计量学中，我们将大量地使用这一方法。
图 3-7 来自标准均匀分布 U( 0,1 )的 2 0个样本均值的分布
52部分 第一部分 概率与统计基础 下载样本均值
1 样本方差的计算公式为,。
2 在统计还有一个更著名的理论,L i n b e rg Fell理论：若 Xs相互独立，且每一个 Xs有自己的概率密度函数(并非所有的概率密度函数均不同)，则在一定条件下，当样本容易无限增大时样本均值仍然近似服从正态分布。
( X i? X)∑
2
/(n?1)
第 3章 一些重要的概率分布 介绍 53下载
3.3 Ｘ
2分布统计学中另一个常用的概率分布是 2分布 [ C h i s q u a r e ( 2) distribution]。它与正态分布很相似。我们知道如果随机变量 X服从均值为 u，方差为 2的正态分布，即 X? N(u,2)，则随机变量 Z= (X－ u) / 是标准正态变量，即 Z? N(0,1)。统计理论证明：标准正态变量的平方服从 自由度 (degrees of freedom,d.f.)为 1的 2分布，用符号表示为，
Z2= 2( 1 ) (3 - 11)
其中 2的下标( 1)表示自由度( d,f,)为 1。正如均值、方差是正态分布的参数一样，自由度是
2分布的参数。在统计学中，自由度有不同的含义，但这里我们定义自由度是平方和中独立观察值的个数。 1 在式( 3 - 11)中，自由度仅为 1，这是因为我们考虑的仅仅是一个标准正态变量的平方。
图 3-8 2变量的密度函数现令 Z1,Z2,?,ZK为 K个独立的标准正态变量(即每一个变量均是均值为 0，方差为 1的正态变量)，对所有的变量 ZS平方，则它们的平方和服从自由度为 K的 2分布，即
( 3 - 1 2 )
注意：这里的自由度为 k，因为在式( 3 - 1 2)的平方和中，有 K个独立的观察值。
2分布的几何图形见图 3 - 8。
2分布的性质
(1) 如图 3 - 8示,与正态分布不同,2分布只取正值(它是平方和的分布)且取值范围从 0到无限大。
Z
i
2
= Z
1
2
+ Z
2
2
+ L+ Z
k
2
∑ ~ (k )
2
1 一般地，自由度的个数是指用于计算某个特征数(比如样本期望或样本方差)的独立观察值的个数；例如，
随机变量 X的样本方差定义为 S 。在这种情况下，我们称其自由度为( n－ 1)，也就是说，如果我们用与计算样本方差相同的样本来计算样本均值时，将失去一个自由度，也即只有 n－ 1个独立的观察值，我们举一个例子进一步说明，若 X可取三个不同值,1,2,3，则样本均值为 2。由于 恒成立，所以，在差值( 1－ 2)，( 2－ 2)和( 2－ 3)中只可任取 2个，因为第三值必须满足条件 。因此，在此情况下，虽然有三个观察值，但自由度仅为 2。(X i? X ) = 0∑
(X i? X ) = 0∑
S = (Xi? X )
2
∑ /(n? 1)
54部分 第一部分 概率与统计基础 下载
(2) 如图 3 - 8示，与正态分布不同,2分布是斜分布，其偏度取决于自由度的大小，自由度越小，越向右偏，但随着自由度的增大，逐渐呈对称，接近正态分布。参见第 3,6节。
( 3 ) 2分布的期望为 k，方差为 2k。 k为 2的自由度，这是 2分布的一条特殊性质，即 2分布的方差是其均值的两倍。
( 4 ) 若 E1,E2分别为自由度为 k1,k2的两个相互独立的 2变量，则其和( Z1+Z2)也是一个 2变量，
其自由度为( k1+k2)。
附录 A中表 A - 4给出了 2分布表。我们将在后面的章节中讨论 2分布在回归分析中的作用，
先介绍一下如何使用 2分布表。
3.4 t分布本书运用最广泛的一个概率分布是 t分布 (t d i s t r i b u t i o n ),t分布又称为 学生 t分布 (Student's t
d i s t r i b u t i o n ),1它与正态分布也密切相关。
介绍 t分布之前，先回忆一下,若 X
_
N(u,2/n)，则变量 Z服从标准正态分布：
(3 - 1 3)
这里，假定 u和 已知。但是，现在假定仅知道 u及 2的估计量值 S2[见式( 2 - 5 1)]。我们用样本标准差( S)代替总体标准差( )，得到一个新的变量
(3 - 1 4)
统计理论表明：变量 t服从自由度为( n-1)的学生 t分布。与 2分布类似,t分布也与参数自由度有关。这里，自由度为 n-1。注意：在用式( 2 - 5 1)计算 S2之前，首先要计算样本均值 X
_
。但是
t =
X?u
S n
Z=
(X?u)
n
~ N(0,1)
若自由度为 3 0，求观察到的 2分布值大于 1 3,1 8的概率？大于 4 9的概率？大于
5 0,8 9的概率？
从附录 A中表 A - 4可查得所求概率分别为 0,9 9 5,0,9 5和 0,0 1。因而，当自由度为 3 0,2分布值接近 5 1的概率非常小，但对于同样的自由度,2分布值较近 1 4的概率就非常大，约为 9 9,5%。
例 3.8
随机样本来自方差为 2的正态总体，其样本容量为 n，样本方差为 S2。可以证明：
即样本方差与总体方差的比值与自由度 (n－ 1 )的积服从自由度为 (n－ 1 )的 2分布。假定来自正态总体 ( 2= 8 )的一随机样本，样本容量为 2 0，若样本方差 S2= 1 6，
求得此样本方差的概率是多少？
我们将相应的数值代入上式,得 1 9× ( 1 6 / 8 ) = 3 8。查附录 A中表 A - 4得,当自由度为 1 9
时,如果真实方差 2= 8,则获此 2分布值 (为 3 8 )的概率为 0,0 0 5。这里有一个疑问：这个特殊的随机样本是否来自于方差为 8的正态总体呢？我们将在下一章给予详细地解答。
( n? 1)
S
2
2
~
(n?1)
2
例 3.9
1 学生是 W,S,G o s s e t的笔名,W,S,G o s s e t是一位统计学家，他于 1 9 0 8年发现了这一概率分布。
由于是用同样的样本来计算 X
_
，所以只有( n-1)个，而非 n个独立的观察值来计算 S2，也就是说，
失去了一个自由度。
总之，从正态总体抽取随机样本，若该正态总体的均值为 u，但方差 2用其估计量 S2代替，
则其样本均值服从 t分布。 t分布随机变量通带用符号 tk表示，其中 k表示自由度(为了避负为样本变量 n混淆，我们一般地用下标 k表示自由度)附录 A中表 A - 2给出了对应不同自由度的 t分布值 (t
v a l u e )，稍后将介绍 t分布表的使用。
t分布的性质
(1) t分布与正态分布类似，具有对称性，见图 3 - 9。
(2) t分布均值，与标准正态分布均值相同，为 0，但方差为 k/ (k－ 2 )。因此，在求 t分布的方差时定义自由度必须大于 2。
我们知道标准正态分布方差总为 1，这表明 t分布方差总比标准正态分布方差大，见图 3 - 9，
换句话说,t分布比正态分布略“胖”一些。
但是当 k增大时,t分布的方差接近于标准正态分布方差值 1。因此，如果自由度 k= 1 0，则 t
分布方差为 1 0 / 8 = 1,2 5；如果自由度 k＝ 3 0，则其方差为 3 0 / 2 8 = 1,0 7；如果自由度 k= 1 0 0，则其方差为 1 0 0 / 9 8 = 1,0 2，仅比 1略大一些 。因此我们可以得出结论：与 2分布类似，随着自由度的逐渐增大时,t分布近似正态分布。但需注意的是，即使 k仅为 3 0,t分布的方差已与标准正态分布方差相差不大。因此，对于 t分布，并不要求其样本容量很大，才能近似正态分布。
图 3-9 不同自由度下的 t分布在说明如何使用 t分布表之前，我们先来看一些具体的实例。
第 3章 一些重要的概率分布 介绍 55下载
(正态 )
再回到例 3,2。在 1 5天内，出售面包的平均数量为 1 4条 (样本方差为 4条 )。假定真实的出售量为 7 0条，求 1 5内出售面包平均数量为 7 4条的概率？
如果我们知道真实的标准差,则可通过标准正态分布变量 Z来回答这个问题。
但是，现在仅知道真实标准差的估计量 S，我们利用式 ( 3 - 1 4 )来计算 t值，并用附录
A中的表 A - 2回答这个问题：
注意：在本例中，自由度为 1 4 = ( 1 5－ 1 ) (为什么？ )。
当自由度为 4 4时，查表 A - 2得,t值大于等于 2,1 4 5的概率为 0,0 2 5 ( 2,5%),t值大于等于 2,6 2 4的概率为 0,0 1 ( 1%),t值大于等于 3,7 8 7的概率为 0,0 0 1 ( 0,1%)，因此,t
值大于等于 3,8 7 3的概率小于 0,0 0 1。
t =
74? 70
4 15
= 3.873
例 3.10
56部分 第一部分 概率与统计基础 下载从上述各例可知，一旦根据式( 3 - 1 4)计算出 t值(自由度已知)，就可利用 t分布表计算出给定某一 t值的概率,t分布表在回归分析中的进一步应用，还将在后面作介绍。
上例中其它条件保持不变，现假定 1 5天内出售面包的平均数量为 7 2条，求获此数量的概率？
接照上例步骤，读者容易求得此时的 t值为 1,9 3 6，再查表 A - 2得，当自由为 1 4
时,t值大于等于 1,7 6 1的概率为 0,0 5 ( 5%)，大于等于 2,1 4 5的概率为 0,0 2 5 ( 2,5%)；
因此,t值大于等于 1,9 3 6的概率位于 2,5%与 5%之间。
例 3.11
现假定 1 5天内，出售面包的平均数量为 6 8条，样本方差为 4，若真实的平均出售量为 7 0条，求出售包平均数量为 6 8条的概率？
将相应数字代入式 ( 3 - 1 4 )，得到此时 t值为－ 1,9 3 6。由 t分布的对称性可知,t
值小于等于－ 1,9 3 6的概率与 t值大于等于 1,9 3 6的概率相同，则根据上例可知，所求概率在 2,5%与 5%之间。
例 3.12
现求每天出售面包的平均数量在 6 8条与 7 2条之间的概率？
从例 3,11和 3,1 2可知，求平均出售量大于 7 2或小于 6 8的概率即为求 t值大于
1,9 3 6或小于－ 1,9 3 6的概率。 1从前几例可知，这两个概率都介于 0,0 2 5与 0,0 5之间，
因此，总的概率值介于 0,0 5与 0,1 0之间。在此例中，我们需计算 |t| > 1,9 3 6的概率，
其中,|t|表示 t的绝对值，即不考虑 t值的符号。 2
例 3.13
下面是 1 9 6 7? 1 9 9 0年间学生能力测试分数表：
男 女语言能力 (平均分 ) 4 4 0,4 2 4 3 4,5 0
( 1 4 2,0 8 ) ( 3 0 3,3 9 )
数学 (平均分 ) 5 0 0,0 4 5 3,6 7
( 4 6,6 1 ) ( 8 3,8 8 )
注：括号内的数字是方差值，数据来源于高校成绩统计,《纽约时报》,1 9 9 0,8,2 8，表 B -
5。第 5章的表 5 - 5给出了实际数据。
由 1 0位男生语言能力测试分数组成的随机样本。其样本均值和方差分别为 4 4 0,6 0
和 1 3 7,6 0,若真实均值为 4 4 0,4 2 (全部 1 9 6 7? 1 9 9 0年期间 ),求样本均值为 4 4 0,6 0的概率？
根据 t分布知识，我们可回答这个问题。把相应的数值代入式 ( 3 - 1 4 )，得：
在这个例子中,自由度为 9 (为什么？ )。 从表 A - 2中查得获此 t值的概率大于 0,2 5 ( 2 5%)。
t =
440.60? 440.42
137.60
10
例 3.14
1 这里需要仔细：比如－ 2,0小于－ 1,9 3 6，－ 2,3小于－ 2,0
2 例如,2的绝对值与－ 2的绝对值均为 2。
第 3章 一些重要的概率分布 介绍 57下载
3.5 F分布
F分布 (F d i s t r i b u t i o n )是经济计量学中又一种重要的概率分布。其定义如下：令随机样本
X1,X2,?,Xm来自均值为 uX，方差为 X2的正态总体，其样本容量为 m；随机样本 Y1,Y2,?,Yn为来自均值为 uY，方差为 Y2为的正态总体，其样本容量为 n。且这两个样本相互独立。假定想知道这两个正态总体是否同方差？即 X2= Y2？由于我们不能直接观察两个总体的方差，但假定知道它们的估计量如下：
(3 - 1 5)
(3 - 1 6)
现考虑比值：
(3 - 1 7)1
如果两总体方差真实值确实相等，则根据式( 3 - 1 7)计算出的 F值将接近于 1，但如果两总体方差真实值不相等，则 F值不等于 1；两总体方差相差越大,F值就越大。
统计理论表明：如果 X2= Y2(即两总体同方差)，则比值 F服从分子自由度为( m－ 1)，分母自由度为( n－ 1) 2的 F分布 3。由于 F分布常用于比较两总体的方差，因此,F1分布又称为 方差比分布 (variance ratio distribution)，通常用符号 表示，其中的双下标表明了 分子与分母自由度
(numerator and denominator d.f.)。 [在此例中,k1= (m－ 1),k2= (n－ 1 ) ]4
F分布的性质
( 1 ) 与 2分布类似,F分布也是斜分布，向右偏，其取值范围也为 0到无限大(见图 3 - 1 0)。
(2) 与 2分布类似，当自由度 k1,k2逐渐增大时,F分布近似正态分布。
( 3 ) t分布变量的平方服从分子自由度为 1，分母自由度为 k的 F分布，即
t 2k =F1,k (3 - 1 8)
在第 7章中我们将会看到这个性质的重要用处。
附录 A中表 A - 3给出了 F分布表。后面我们将看到 F分布在回归分析中的特殊用途，首先介绍一下 F分布表的使用。
F
k
1
,k
2
F =
SX
2
SY
2
=
(Xi? X)/(m?1)∑
(Yi? Y )/(n?1)∑
SY
2
=
(Yi? Y)
n? 1
∑
SX
2
=
( Xi? X )
m? 1
∑
1 通常，在计算 F值时，将方差大的值放在分子上，这就是为什么 F值总是大于或等于 1。如果一个变量，
比如说 W，服从分子自由度为 m，分母自由度为 n的 F分布，那么变量 ( 1 /W)同样也服从 F分布，但此时，
分子的自由度为 n，分母的自由度为 m。更特殊地其中 为显著水平，我们将在第 4章中讨论。
2 注意：此时分子平方和，,的自由度为 (m－ 1 )，虽然有 m个观察值。因为，在计算样本均值 时失去了一个自由度。同样，分母平方和，,的自由度为 (n－ 1 )。因为，在计算样本均值 时失去了一个自由度。
3 更准确的,服从 F分布。但是，如果 2x= 2y，则 F值由式( 3 - 1 7)给出。
4 F分布有 2个自由度。因为,F分布是两个独立变量与其各自自由度商的比值的分布。
SX
2
/ X
2
SY
2
/ Y
2
X
(Yi? Y)
2
∑X
(Xi? X)
2
∑
F(1? ),m,n =
1
F,m,n
正如 F分布与 t分布存在特定的关系一样,F分布与 2分布也存在一定关系，
F(m,n)= ( 2m) /m 当 n→ ∞ ( 3 - 1 9 )
即,2变量与其自由度之比近似为分母自由度为 m，分子自由度很大(技术上说，无限大)
的 F变量；
因此，对于大容量样本，我们可用 2分布来代替 F分布；同样，也可用 F分布代替 2分布。
例如，从 F分布表中，可观察到，在 5%的显著水平下,F3,1 2 0＝ 2,6 8。从 2分布表中可观察到对自由度为 3，在显著水平为 5%下的 2临界值为 7.814 73，因此，( 7.814 73)/ 3＝ 2.604 9，与 2,6 8相差不大。若现在我们考虑 F3,∞，从 F分布表可查得，在 5%的显著水平下,F值为 2,6 0，几乎与
(X23/ 3)相等。
同时，也可以将等式( 3 - 1 9)写为：
m Fm,n= 2m 当 n→ ∞ ( 3 - 1 9 a )
即，若分子自由度充分大(技术上说，无限大)，则 Fm,n值的 m倍，等于自由度为 m的 2分布值。
58部分 第一部分 概率与统计基础 下载回到 S,A,T一例中,(例 3,1 4 )，假定男、女生的语言能力的测试分数均服从正态分布，进一步假定它们的均值和方差来自于一个大容量总体。根据两个样本方差，能否认为两总体同方差？
因为男、女生的语言能力测试分数均为正态变量，因此，根据式 ( 3 - 1 7 )计算 F值，
其中，分子自由度为 2 3，分母自由度为 2 3。 (注：在计算 F值时，通常把方差值大的放在分子上 )虽然附录 A中表 A - 3并未给出自由度为 2 3时的 F值，但当分子、
分母自由度均为 2 4时,F值约为 2,1 4的概率介于 1%? 5%之间。如果我们认为这个概率值太小 (详细的讨论见下章 )，则可认为两总体方差不相等；即，男生的语言能力测试分数的方差与女生的不同。记住：如果两总体方差相等，则 F值为 1。但若不相等，则 F值将大于 1。
F =
303.39
142.08
= 2.1353
例 3.15
图 3 - 1 0
3.6 t分布,F分布,2分布与正态分布的关系在继续新的内容之前，需要指出,t分布,2分布,F分布，及正态分布之间存在着密切的关系。因此，对它们之间的关系作一小结是必要的，因为，在后面的学习中我们也将会用得到这些关系。
( 1 ) 若自由度充分大(至少为 3 0)，则 t分布近似标准正态分布。
( 2 ) 若分母自由度充分大,F值的 m倍( m为分子自由度)近似自由度为 m的 2分布。
( 3 ) 若 Z? N(0,1)和 2m相互独立，且 2分布的自由度为 m，则
(3 - 2 0)
即，标准正态变量与 2变量与其自由度比值的平方根之比值服从自由度为 m的 t分布。在本书第 6章中我们将介绍这个公式的使用。
( 4 ) 根据式( 3 - 1 8)，已经知道
t 2k=F1,k
( 5 ) 若自由度充分大，则 2分布近似标准正态分布。
(0,1) (3 - 2 1)
其中 k为 2分布的自由度。举例见习题 3,7。
3.7 小结本章主要讨论了四种特殊的概率分布 — 正态分布,2分布,t分布及 F分布，并且概括了各个分布的一些重要性质，特别地介绍了这些概率分布的适用条件。在本书随后的章节中，您将会看到这四种概率分布在整个经济计量理论和实践中的重要作用。因此，对这四种概率分布的熟练掌握将是学习下面内容的基础，读者可以在今后的学习过程中，不时地翻回本章，仔细考虑这些分布的特殊之处。
习题
3.1 概念解释
(a) 自由度 (b) 估计量的抽样分布 (c) 标准差
Z = 2
2
2 k?1 ~ N
Z
2
/ m
= tm
第 3章 一些重要的概率分布 介绍 59下载两班做同样的经济计量学测试。其中，一个班级共有 1 0 0名学生，另一班级共有
1 5 0名学生，该老师从第一个班级随机抽取 2 5个学生，从第二个班级随机抽取 3 1个学生，观察得到两个班级学生考试平均分数的样本方差分别为 1 0 0和 1 3 2。假设学生考试平均分数这一随机变量服从正态分布，那么是否能够认为两班级分数平均值同方差。
因为这两个随机样本来自两个正态总体，并且相互独立。利用式 ( 3 - 1 7 )计算 F值，
它服从自由度为 3 0,2 4的 F分布。查 F分布表得当分子自由度为 3 0、分母自由度为 2 4时,F值大于等于 1,3 1的概率为 2 5%。如果我们认为这个概率相当大，就可得出结论：两总体同方差。
F =
132
100
=1.32
例 3.16
3.2 若随机变量 X? N(8,1 6)，判断正误：
(a) P(X> 1 2)= 0,1 6 (b) P ( 1 2 <X<14) =0.09 (c) P (X－ u> 2,5 ) = 0,0 0 6 2
3.3 继续上题
(a) 求来自该总体的一随机样本的样本均值 X
_
的概率分布； (b) (a)题的答案与样本容量有关吗？为什么？ (c) 假设样本容量为 2 5，求样本均值为 6的概率？
3.4 正态分布与 t分布有什么区别？什么时候可用 t分布？
3.5 假定随机变量服从 t分布。
(a) 当自由度为 2 0，求 t值大于 1,3 2 5的概率？ (b) 求 t值小于 1,3 2 5的概率？ (c) 求 t值大于或小于 1,3 2 5的概率？ (d),求 t的绝对值大于 1,3 2 5的概率？”与( c)有区别吗？
3.6 判断正误：
若自由度充分大，则 X分布,X2分布,F分布都近似标准正态分布。
3.7 假定 k＝ 5 0，利用式( 3 - 2 1)求解下列各题：
(a) 利用 2分布表求 2值大于 8 0的概率？ (b) 利用正态近似求此概率？ (c) 现假定自由度为 1 0 0，利用 2分布表计算此概率。
利用正态分布近似 2分布，你得出什么样的结论？
3.8 在统计学中，中心极限定理有何重要作用？
3.9 列举运用 2分布和 F分布的例子。
3.10 变量 X代表某一行业(由 1 0 0个公司组成)的利润，假定 X服从均值为 1 5 0万美元，标准差为 120 000美元的正态分布，计算：
(a) P(X< 1 0 0万美元) (b) P(8 0万美元 <X< 1 3 0万美元)
3,11 在习题 3,1 0中，若有 1 0%的公司的利润超过某一值，求此利润值？
3.12 假定经济计量学考试的平均分服从均值为 7 5的正态分布，现有一随机样本(由学生总数的 1 0%组成)，发现该样本的平均分数超过 8 0，求此平均分数的标准差？
3.13 若一管牙膏的重量服从正态分布，其均值为 6,5盎司，标准差为 0,8盎司。生产每管牙膏的成本为 5 0美分。若在质检中发现其中一管牙膏的重量低于 6盎司，则需重新填充，重新填充每管牙膏的平均成本为 2 0美分。另一方面，若牙膏的重量超过 7盎司，则公司将每管损失 5
美分的利润，现检查 1 0 0 0支牙膏，
(a) 有多少管被发现重量少于 6盎司？ (b) 在 (a) 情况下，重新填充而耗费的成本为多少？ (c) 有多少管牙膏重量多于 7盎司？在此情况下，将损失多少利润？
3.14 若 X? N(1 0,3),Y? N(1 5,8)，且 X和 Y相互独立，求下列各式概率分布？
(a) X+Y (b) X－ Y (c) 3 X (d) 4 X+ 5Y
3.15 接上题，现假设 X与 Y正相关，相关系数为 0,6，求上面各式的概率分布？
3.16 令 X,Y代表两支股票的收益率，设 X? N(1 5,2 5),Y? N(8,4)，且 X与 Y的相关系数为
－ 0,4。假设你持相同两支股票的比例相同。求股票收益率的概率分布？是仅投资于其中一支股票的收益大还是同时投资两种股票的收益大呢？为什么？
3.17 回到例 3,1 4。随机样本包括 1 0位女生的 S,A,T数学分数，样本方差为 8 5,2 1。已知真实的方差为 8 5,2 1。求获此样本方差的概率？你用哪个分布回答这个问题？用此分布有哪些假定条件？
3.18 10位经济学家预测来年 G D P的增长率。假定随机变量“预测”服从正态分布。
(a)已知样本方差比总体方差大 X个百分点的概率是 0,1 0。求 X。 (b)若样本方差位于总体方差的 X和 Y之间的概率是 0,9 5，求 X和 Y。
3.19 称 1 0个谷箱的重量如下：(单位：盎司)
60部分 第一部分 概率与统计基础 下载
16.13 16.02 15.90 15.83 16.00
15.79 16.01 16.04 15.96 16.20
(a)求样本均值和样本方差？ (b)若真实的均值为 1 6盎司，则得此样本均值的概率是多少？
你用的是哪种概率分布？为什么？
3.20 两所大学微观经济学考试成绩如下：
X_1= 7 5,S21= 9,0,n1= 5 0
X_2= 7 0,S22= 7,2,n2= 5 0
其中,X_S表示样本的平均分数； S2S表示样本方差； NS表示样本容量。如何检验假设：两总体同方差？你将使用何种概率分布？用此分布有那些假定条件？
3.21 蒙特卡罗模拟。从自由度为 1 0的 t分布中抽取 2 5个随机样本，每个样本包括 2 5个观察值。计算每个样本的样本均值。求样本均值的抽样分布？并用图形加以说明。
3.22 重复习题 3,2 1，但现在是自由度为 8的 2分布。
3.23 重复习题 3,2 1，但现在是分子自由度为 1 0，分母自由度为 1 5的 F分布。
3.24 利用式( 3 - 1 9）,在 5%的显著水平下，比较 2( 1 0 )与 F1 0,1 0,F1 0,2 0与 F1 0,6 0。你得出什么结论？
第 3章 一些重要的概率分布 介绍 61下载下载具备了概率、随机变量、概率密度、概率密度的特征(比如期望值、方差、协方差、相关、
条件期望值)的基础知识之后，我们将要讨论统计学中另一个重要内容：统计推断。一般地说，
统计推断是根据来自总体的样本对总体(概率密度函数)的种种统计特征作出判断。
4.1 统计推断的含义前面已经讲过，总体和样本在统计学中是两个非常重要的概念。总体是指我们所关注现象出现的可能结果的全体(例如，纽约的人口)。样本是总体的一个子集(例如，曼哈顿的人口，曼哈顿是纽约的五大城区之一)。更宽泛地说，统计推断研究的是总体与来自总体的样本之间的关系。我们通过一个具体的例子来说明统计推断的含义。
纽约股票交易市场( N Y S E)共有 1 758支股票( 1 9 9 0年 9月 4日)。假定某一天，我们从这 1 758
支股票中随机选取 5 0支，并计算这 5 0支股票价格与收入比的平均值 — 即 P/E比值。(例如，一支股票的价格为 5 0美元，估计年收益为 5美元，则 P/E为 1 0；也就是说，股票以 1 0倍的年收益出售。) 1在统计推断中，提出这样一个问题：根据 5 0支股票的平均 P/E值，能否说这个 P/E值就是总体的 1 758支股票的平均 P/E值呢？换句话说，如果令 X表示一支股票的 P/E值,X_表示 5 0支股票的平均 P/E值( )，我们能否得知总体的均值,E(X)呢？统计推断的实质就是从样本值( X
_
)归纳出总体值 E(X)的过程。
4.2 估计和假设检验：统计推断的两个孪生分支从上面的讨论中可以看到统计推断是按下述过程进行的。首先有某一受关注的总体，比如说 N Y S E的 1 750支股票，并且想要研究该总体某一方面的统计特征，比如说 P/E值。当然，并不是研究每一支股票的 P/E值，我们只关心平均的 P/E值。由于若要收集所有这 1 758支股票的
P/E值，需要大量的计算，花费大量的时间和财力。因此，我们可以抽取一随机样本，比如 5 0
支股票，求样本中每一支股票的 P/E值，然后再计算样本的平均 P/E值,X
_
。 X
_
就称为总体平均
= Xi
i =1
50
∑ / 50
第 4 章
■ 统计推断：估计与假设检验
1 样本容量究竟取多大是另一类问题。统计学的另一个分支 — 抽样理论深入地讨论了这类问题。但需要指出的是：如果样本确实是随机样本，就无须抽取一个容量非常大的样本。事实上，在美国总统选举投票中，其样本容量仅为 1 000或 1 500人，占美国总人口的比例非常小。
第 4章 统计推断：估计与假设检验 介绍 63下载
P/E[也即 E(X)]的估计量,E(X)称为总体参数(回顾第 2章：一个总体可由其参数来描述)。例如，
均值和方差是描述正态分布的参数，估计量的某一取值称为估计值(例如,X_值为 1 0)。因此，
估计是统计推断的第一步。
得到参数的估计值后，接下来要判定估计值的“优度”,因为估计值很可能不等于真实的参数值：如果有两个或更多个随机样本，计算这些样本的均值 X
_
，则得到的估计值很可能不相同。我们把不同样本估计值的差异称为抽样误差。 1那么，是否存在一个判定估计量优劣的标准呢？在 4,4节中我们将讨论判定估计量优劣的一些常用标准。
估计是统计推断的一个方面，假设检验则是统计推断的另一方面。在假设检验中，我们可对某一参数的假定值进行先验判断或预期，比如说，以往的经验或专家的意见告诉我们 1 758
支股票总体的平均 P/E值为 1 2，假定根据某一随机样本(样本容量为 5 0)，计算出 P/E的估计值为
11。那么,11接近于假设值 1 2吗？ 显然，两个数值并不相等。但是这里有一个重要问题,11
与 1 2显著不同吗？我们知道由于抽样的差异很可能导致样本估计值与总体真实值不同。,从统计上说”,或许 11并不与 1 2不同？在此情况下，我们能够拒绝假设：真实平均 P/E值为 1 2。但是如何作出判定呢？这就是假设检验的内容，我们将在 4,5中详细讨论。
4.3 参数估计在前面的章节中，我们讨论了几种理论概率密度。通常假定某一随机变量 X服从某种概率密度，但并不知道其分布的参数值。举个例子，如果 X服从正态分布，我们想知道其两个参数，
均值 E(X) =uX，及方差 2。为了估计这些未知参数，一般的步骤是：假定有来自某一总体，样本容量为 n的随机样本，根据样本估计总体的未知参数。因此，可将样本均值作为总体均值(或期望)的估计量，样本方差作为总体方差的估计量。这个过程称为估计问题。估计问题有两类：
点估计 (point estimation)和 区间估计 (interval estimation)。
假定随机变量 X(P/E值)服从某一未知均值和方差的正态分布。但是，若有来自该正态总体的一随机样本( 5 0个 P/E值)，见表 4 - 1。
如何根据这些样本数据计算总体的均值 uX(=E(X) )和方差 2呢？更具体的，假定现在仅仅关注 uX。 2那么，如何计算 uX呢？根据表 4 - 1的数据,5 0个 P/E的样本均值为 11,4，显然我们可以选择 X
_
作为 uX的估计值。我们称这个单一数值为 uX的点估计值，称计算公式 为 uX
的点估计量。注意：点估计量是一个随机变量，因为其值随样本的不同而不同。(回顾例 3 - 6的抽样试验)那么，某一特殊的估计值(比如 11,5)的可信度有多大呢？虽然 X_可能是总体均值的
“最好的”估计值，但是某个区间，比如 8? 1 0，更可能包括了总体均值。这也正是区间估计的基本思想。下面我们讨论区间估计。
区间估计的主要思想源于估计量抽样分布(或概率分布)的概念。我们知道，如果随机变量
X~N(uX,2)，则
(4 - 1)
或，
(4 - 2)Z = (X?uX )
/ n
~ N(0,1)
X ~ N u
X
,
2
n
X = X
i
/50
i=1
50
∑
1 注意：抽样误差不是任意的，它是由于随机样本而导致的。不同的样本包括的元素是不同的。因此，在根据样本分析时，抽样误差是不可避免的。
2 可根据类似的方法估计 2。
64部分 第一部分 概率与统计基础也即，样本均值的抽样分布也服从正态分布。 1
前面我们已经讲过，通常 2未知，但可用其估计量 代替，则有：
(4 - 3)
服从自由度为 (n－ 1 )的 t分布。
在 P/E一例中，共有 5 0个样本观察值，因此，此时的自由度为 4 9。查附录 A中的 t分布表(表
A - 2)，我们发现没有给出自由度为 4 9时的 t分布，但从其他书上可查到：
P(－ 2.009 6≤ t≤ 2.009 6)= 0,9 5 ( 4 - 4 )
见图 4 - 1，也即区间(－ 2.009 6,2.009 6)包括 t值的概率为 9 5%。 2－ 2.009 6和 2.009 6称为 临界 t值 (critical t v a l u e s)。表明了在临界值区间内，位于 t分布曲线下区域的比例(见图 4 - 1)。把式
(4 - 3)代到式( 4 - 4)中，得到：
(4 - 5)
整理得：
( 4 - 6 )
式( 4 - 6)即为真实 uX的一个区间估计量。
10.63≤ uX≤ 12.36(近似值) (4 - 7)
即为 uX的 9 5%的置信区间，见图 4 - 2。
图 4-1 t分布 ( d,f,= 4 9 )
在统计学中，称式 ( 4 - 6 )为未知的总体均值 uX的一 个 9 5 % 的 置 信 区 间 。 0,9 5 称 为 置 信 系 数
(confidence coeff i c i e n t )。一般的，式 ( 4 - 6 )表示随机区间 (X
_
±2.009 6S/ )包括真实 uX的概率为 0,9 5。
(X_-2.009 6S/ )称为区间的 下限 (lower limit)，
(X_+ 2.009 6S/ )称为区间的 上限 (upper limit)。
需要特别强调一点：式 ( 4 - 6 )给出的区间是随机的区间，因为它依赖于 X_和 S/ 的取值，而 X_和
S/ 的值随样本的不同而变化。虽然总体均值 uX是未知的，但是它取某一固定值，因而它是非随机的。所以，我们不能说 uX位于区间 ( 4,6 )的概率是
0.95，只能说这个区间包括真实 uX的概率是 0.95。简言之，区间是随机的，而参数 uX不是随机的。
回到 P/E一例，根据表 4 - 1知,n= 5 0,X_= 11,5,S=3.045 6。把这些值代入式( 4 - 6)，得：
式 ( 4 - 7 )表明，如果建立类似式 ( 4 - 7 )这样的置信区间 1 0 0次，将有 9 5次的区间包括真实的
n
n
n
n
n
P X?
2.0096S
n
≤ux ≤ X +
2.0096S
n
= 0.95
P(?2.0096≤
(X?ux)
S / n
≤ 2.0096) = 0.95
t =
X?u
X
S / n
S
2
= (Xi? X)∑
2
/( n?1)
表 4-1 假设的样本 ( 5 0支股票的 P/E比值 )
P/E 频数
6 2
7 2
8 5
9 6
1 0 5
11 7
1 2 5
1 3 4
1 4 3
1 5 4
1 6 6
1 8 1
合计,5 0
均值 = 11,5
样本方差 =9.275 5
样本标准差 =3.045 6
中位数 =众数 = 11 a
1 如果 X不服从正态分布，但若样本容量足够大，则根据中心极限定理，样本均值 X
_
服从正态分布。
2 t值取决于自由度和显著水平，例如，同样的自由度,P(－ 2,6 8≤ t≤ 2,6 8)= 0,9 9。
≤ ≤
≤≤
下载第 4章 统计推断：估计与假设检验 介绍 65
uX。 1 同时，在 P/E一例中的下限和上限分别为 1 0,6 3和 1 2,3 6。
因此,与点估计(比如 11,5)相比,区间估计提供了在某一置信度下(比如 9 5%)真实参数的取值范围。
更一般地，假定随机变量 X服从某一概率分布，若要对其参数进行估计，比如说，总体均值 uX。选取容量为 n的随机样本,X1,X2,?,Xn，并根据样本计算两个统计量(或估计量) L和 U：
P(L≤ uX≤ U)= 1－ 0＜ a＜ 1 (4 - 8)
也即，从 L到 U的随机区间包括真实 uX的概率为( 1－ )。 L称为区间的下限,U称为区间的上限。这个区间称为 uX的置信区间。( 1－ )称为置信系数。如果 = 0,0 5，则置信系数为 0,9 5，
表示如果我们建立一个置信系数为 9 5%的置信区间，那么重复建立这样的区间 1 0 0次，预期有
9 5次包括了真实的 uX。在实践中，通常将( 1－ )表示成百分比的形式，例如 9 5%。在统计学中，
称为 显著水平 (level of significance)，或 犯第一类错误的概率 (probability of committing a type I
e r r o r )，我们将在 4,5节中详细讨论。
既然知道了置信区间是怎样建立的，那么置信区间有什么用处呢？在 4,5节中将会看到，
建立置信区间使假设检验 — 统计推断的一个分支 — 更为容易。
4.4 点估计量的性质在 P/E一例中，我们用样本均值作为 uX的点计量，同时还得到了 uX的区间估计量。但我们知道除了样本均值以外，样本中位数或样本众数同样可用作 uX的点估计量，为什么要选择样本均值为 uX的估计量呢？ 2从表 4 - 1可知，样本中位数与样本众数均为 11。
在实践中，样本均值是度量总体均值最广泛使用的统计量,因为它满足了下面的一些统计性质：
(1) 线性( l i n e a r i t y)
(2) 无偏性 ( u n b i a s e d n e s s )
(3) 有效性 ( e ff i c i e n c y )
(4) 最优线性无偏估计量( B L U E)
(5) 一致性 ( c o n s i s t e n c y )
下面，我们来讨论这些性质。
4.4.1 线性若估计量是样本观察值的线性函数，则称该估计量是线性估计量。显然，样本均值是一个线性估计量，因为 X_是观察值 XS的线性函数：(注,XS仅以一次幂的形式出现。)
P/E比值
1 这里需要特别注意。我们不能说每个特定区间包括真实的 uX的概率是 0,9 5。因此，在古典的假设检验方法下，类似 P(1 0,6 3≤ uX≤ 1 2,3 6)= 0,9 5的表达式是不允许的。对区间式( 4 - 7)正确的解释是：如果重复多次建立类似的区间，那么其中 9 5%的区间包括真实均值；某一个特定的区间仅仅是区间估计量的一种实现形式。
2 中位数就是把总体 P D F二等分的随机变量的取值，也即总体的所有取值一半大于该二等分值，一半小于该二等分值。根据样本求中位数，必须将样本按升序排列；中位数就是该顺序排列的中间值。例如，如果有观察值 7,3,6,11,5，按升序排列为 3,5,6,7,11。则中位数是 6。众数也是描述随机变量常用值之一。例如，如果有观察值 3,5,7,5,8,5,9。则众数为 5，因为它出现的次数最多。
图 4-2 总体平均的 P/E的 9 5%的置信区间下载
66部分 第一部分 概率与统计基础在统计学中，处理线性估计量比非线性估计量更为容易。
4.4.2 无偏性如果总体某个参数有若干个估计量(即可用几种不同的方法估计参数)，并且如果平均而言，
其中的一个或几个估计量与参数真实值相一致，就称这些估计量是无偏估计量。换种说法，如果重复使用某种方法，得到的估计量的均值与真实参数值一致，那么，这个估计量就是无偏估计量。更正规地，估计量，比如 X_，称为无偏估计量，如果有：
E(X_)=uX (4 - 9)
参见图 4 - 3。如果情况不是这样，则称该估计量是有偏的估计量，比如图 4 - 3中的估计量 X*。
图 4-3 总体均值 uX的无偏估计量 X
_
和有偏估计量 X *
4.4.3 有效性虽然无偏性是令人想望的性质，但却不是充分的。如果我们有两个或更多的无偏估计量？
该作何选择呢？
假定随机变量 X的取值构成一随机样本，样本的容量为 n,并且每个 X? N(uX,2)，令 X
_
,Xm e d
分别表示样本均值和样本中位数。已知：
X_~N(uX,2/n) (4 - 1 0)
可以证明，若样本容量足够大，
X =
X
i
n
i=1
n
∑ =
1
n
(X
1
+ X
2
+L + X
n
)
无偏估计量 有偏估计量若 Xi? N(uX,2)，已知 X_是来自该正态总体，样本容量为 n的随机样本的样本均值，并且 E(X_) =uX,v a r (X_) = 2。因此，样本均值 X_是真实 uX的无偏估计量：如果从正态总体中重复抽取 n个样本，并计算每个样本的样本均值 X_，则平均而言,X_等于真实的 uX。但是需谨慎的是，我们不能仅通过一个样本 (比如表 4 - 1这个样本 )就认为计算的样本均值 11,5一定就与真实的均值相一致。
例 4.1
若 Xi? N(uX,2)，假定从该正态总体中随机抽取容量为 n的样本。 Xm e d表示样本中位数。可以证明 E(Xm e d)=uX，即样本中位数也是真实均值的无偏估计量。需要注意：无偏性是一个重复抽样的性质；也就是说，如果抽取若干个容量为 n的随机样本，计算每个样本中位数，则样本中位数的平均值接近 uX。我们不能保证一个中位数估计值(比如根据表 4 - 1计算得到的样本中位数 11)一定等于真实均值。
例 4.2
E(X) =
X
E(X
*
) ≠
X
下载
Xm e d? N(uX,(pi/ 2 ) ( 2/n) ) (4 - 11)
其中,pi= 3,1 4 2(近似值)。也即，对大样本而言，样本中位数也服从均值为 uX正态分布，但方差是样本均值 X
_
方差的( pi/ 2)倍,从图 4 - 4可以清楚地看出样本中位数的方差略大于样本均值的方差。
实际上，如果求样本均值和中位数之比：
(近似值) (4 - 1 2)
表明样本中位数的方差是样本均值方差的 1,5 7 1倍。
图 4-4 有效估计量一例 (样本均值 )
根据图 4 - 4及上述讨论，究竟选择哪一个估计量呢？一般地会选择 X_，因为虽然两个估计量都是无偏估计量，但 X_的方差比 Xm e d的方差小。所以，在重复抽样中，如果用 X_估计 uX比用 Xm e d
更准确。简言之,X
_
提供了一个比 Xm e d更为准确的总体均值的估计值。用统计语言，我们称 X
_
是有效估计量。用更正规的语言表达：若仅考虑惟一一个参数估计量，则方差最小的估计量是最好的或称为有效的估计量。
4.4.4 最优线性无偏估计量在经济计量学中，最常遇到的一个统计性质就是最优线性无偏估计量( best linear unbiased
e s t i m a t o r,B L U E)。如果一个估计量是线性的和无偏的，并且在参数的所有线性无偏估计量中，这个估计量的方差最小，则称这个估计量是最优线性无偏估计量。显然，这条性质包括了线性，无偏性及最小方差性，在第 6章和第 7章中我们将会看到这些性质的重要作用。
4.4.5 一致性为了解释一致性，假定 X~N(uX,2)，从该正态总体中抽取一容量为 n的随机样本。现考虑 uX
的两个估计量：
(4 - 1 3)
(4 - 1 4)
第一个估计量就是常用的样本均值。我们知道
E(X_)=uX
可以证明：
X
*
=
Xi
n +1
∑
X =
Xi
n
∑
var( X
med
)
var( X)
=
pi
2
2
/ n
2
/ n
=
pi
2
=1.571
第 4章 统计推断：估计与假设检验 介绍 67下载样本均值的分布样本中位数的分布
uX
E(X ) = u
X
E(X
med
)u
X
68部分 第一部分 概率与统计基础 下载
(4 - 1 5)1
既然 E(X*)不等于 uX，显然 X*是一个有偏的估计量。
但是，假定我们增大样本容量，情况又会怎样呢？估计量 X
_
与 X*的差别仅仅在于前者的分母为 n而后者的分母为 n+ 1。但是随着样本容量增大，发现两个估计量的差别不大。也就是说，
随着样本容量的增加,X*也将近似于真实的 uX，在统计学中，我们称这样的估计量为一致估计量。更正规的表述是：估计量(比如 X*)称为一致估计量，如果随着样本容量的逐渐增大，该估计量接近参数的真实值。在后面的章节中我们将会看到，有些时候我们或许不能得到参数的无偏估计量，但却能得到一个一致估计量。 2图 4 - 5描绘了估计量的一致性。
图 4-5 随着样本容量的增大，总体均值估计量 X*的变化
4.5 统计推断：假设检验详细地研究了统计推断的分支之一 — 参数估计之后，现在讨论统计推断的另一重要分支，
假设检验。虽然在前面已经讨论了假设检验的一般属性，但在这里，我们将更深入地讨论假设检验。
再来看表 4－ 1的 P/E一例。在 4,3节中，根据 5 0个 P/E值组成的随机样本，我们对 uX(真实的但未知的 1 758支股票的平均 P/E值)建立了一个 9 5%的置信区间。现在改变策略，不是建立一个
E(X
*
)=
n
i
n+1
u
X
1 很容易证明：
这里我们用到：每一个 X有相同的均值。
2 注意无偏估计量与一致估计量的不同之处。如果给定样本容量，从某正态分布总体抽取若干个随机样本，
并根据随机样本估计总体参数，那么，无偏性要求平均而言，能够得到真实的参数值。另一方面，在建立一致估计量时，要看估计量随着样本容量的增加而产生的变化。如果样本容量足够大且估计量接近真实参数值，那么，这个估计量就是一致估计量。
E(X
*
) =
1
n +1
EX
1
+ EX
2
+L+ EX
n{ }
=
1
n +1
u
X
+ u
X
+ L+u
X
{ }
=
n
n +1
u
X
uX
第 4章 统计推断：估计与假设检验 介绍 69下载置信区间，而是假设真实的 uX取某一特定值，比如 uX＝ 1 3。现在我们的任务就是去“检验”这个假设。 1如何检验该假设呢？ — 也即是接受还是拒绝该假设？
用假设检验的语言，类似 uX= 1 3的假设称为零假设。通常用符号 H0表示。因而,H0,uX= 1 3。
零假设通常与备择假设成对出现。用符号 H1表示备择假设，备择假设有以下几种形式：
H1,uX>13,称为单边备择假设。
H1,uX<13,也称为单边备择假设。
H1,uX≠ 1 3，称为双边备择假设。即真实均值既不大于也不小于 1 3。 2
为了检验零假设(与备择假设)，我们根据样本数据(比如，根据表 4 - 1得到的样本平均 P/E值
11,5)以及统计理论建立判定规则来判断样本信息是否支持零假设。如果样本信息支持零假设，
我们就不拒绝 H0，但如果不支持零假设，则拒绝 H0，在后一种情况下，我们接受备择假设，
H1。
如何建立判定规则呢？有两个互补的方法：( 1)置信区间法( 2)显著性检验法。我们将通过
P/E一例来阐述这两种方法。这里，
H0,uX = 1 3
H1,uX≠ 13 (双边假设)
4.5.1 置信区间法根据表 4 - 1提供的样本数据计算出样本均值为 11,5。从 4,3节讨论中,我们知道样本均值服从均值为 uX，方差为 2/n的正态分布。但是由于真实的方差是未知的，所以用样本方差来代替，
在这种情况下，样本均值服从 t分布，见式( 4 - 3)。根据 t分布，我们得到 uX的一个 9 5%的置信区间：
1 0,6 3≤ uX≤ 12.36 (近似值) (4 - 7)
置信区间提供了在某一置信度下(比如 9 5%)真实的 uX取值范围。因此，如果这个区间不包括零假设中的值，比如 uX＝ 1 3，那么我们会拒绝零假设吗？答案是肯定的。我们以 9 5%的置信度拒绝该零假设。
从上面的讨论中，可以清楚地看到置信区间与假设检验密切相关。用假设检验的语言，不等式( 4 - 7)描述的置信区间称为 接受区域 (acceptance region) (参见图 4 - 2)，接受区域以外的称为零假设的 临界区域 (critical region)或 拒绝区域 (region of rejection)。接受区域的上界和下界称为 临界值 (critical values)。用这种语言表述为：如果参数值在零假设下位于接受区域内，则不拒绝零假设。但如果落在接受区域以外(也即落在拒绝区域内)，则拒绝零假设。在这个例子中，拒绝零假设 H0,uX= 1 3，因为这个值落在临界区域，它比接受区域的上界 1 2,3 6大，也即这是一个小概率事件 — 不到 2,5%。简言之，如果参数值超过上临界值或低于下临界值，那么就拒绝零假设。现在你就会清楚为什么接受区域的边界称为临界值。因为它们是接受或拒绝零假设的分界线。
4.5.2 第一类错误和第二类错误：一个偏离在 P/E一例中，我们拒绝 H0,uX= 1 3，因为样本均值 X_= 11.5 看似与零假设不一致，这是否意味着表 4－ 1给出的样本不是来自于均值为 1 3的正态总体呢？或许事实的确如此。别忘了不等式( 4 - 7)的置信区间的置信度仅为 9 5%而并非 1 0 0%。如果真的如此，那么拒绝 H0,uX= 1 3，就可
1 假设就是“为了调查或讨论的目的，我们认为某件事是正确的”( w e b s t e r’ s)或是“基于某种原因之上的假定，或为了进一步调查而基于某些已知事实的一个出发点。,(牛津英汉词典)
2 零假设和备择假设有不同的表述方式。例如，零假设 H0,uX≥ 1 3,备择假设 H1,uX< 1 3。
70部分 第一部分 概率与统计基础 下载能犯错误。在这种情况下，我们说犯了 第一类错误 。也即弃真错误。同样的原因，假定零假设
H0,uX= 1 2，在这种情况下，根据不等式( 4 - 7)，我们应该不拒绝这个零假设。但是表 4 - 1这个样本很可能不是来自均值为 1 2的正态总体。因而，我们会犯 第二类错误,也即取伪错误。
我们想尽可能减小这两种错误。但是，不幸的是，对于任一给定样本，我们不可能同时做到犯这两种错误的概率都很小。解决这一问题的古典方法是假定在实际中第一类错误比第二类错误更严重(由统计学家 N e y m a n和 P e a r s o n提出的)。因此，先固定犯第一类错误的概率在一个很低的水平上，比如说 0,0 1或 0,0 5，然后在考虑如何减小犯第二类错误的概率。 1
犯第一类错误的概率通常用符号 表示，称为显著水平,2犯第二类错误的概率用符号 表示。则：
第一类错误 = =犯弃真错误的概率第二类错误 = =犯取伪错误的概率不犯第二类错误的概率( 1- )；也就是说，当 H0为假时，拒绝 H0，称为 检验的功效 ( p o w e r
of test)。
假设检验的标准或古典方法是：给定某一水平的,比如 0,0 1或 0,0 5，然后使检验的功效最大，也即使 最小。这个求解过程很复杂，有兴趣的同学可以参阅有关参考书。需要指出的是：在实际中，古典方法仅仅给出了 值，而没有过多考虑 值。
读者或许发现：前面讨论的置信系数( 1- )就是 1减去“犯第一类错误的概率,,因此，
9 5%的置信系数表示接受零假设犯第一类错误的概率至多为 5%。简言之,5%的置信水平与 9 5%
的置信系数的意义相同。
我们用另一个例子进一步阐明假设检验的置信区间法。
坛子里的花生的重量服从标准正态分布，但均值与标准差均是未知的，均值和标准差的度量单位为盎司 *。随机选取 2 0个坛子发现其样本均值和样本标准差分别为 6,5盎司和 2盎司。检验零假设：真实均值为 7,5盎司；备择假设：真实均值不是 7,5盎司。给定显著水平 = 1%。
解答,令 X代表坛子中花生的重量，因此 X? N(uX,2)，两个参数 uX和 2均是未知的。由于真实方差是未知的，所以它服从自由度为 1 9的 t分布：
( 4 - 1 6 )
从附录 A中表 A - 2的 t分布表可知，自由度为 1 9时，
P(－ 2,6 8 1≤ uX≤ 2,6 8 1 ) = 0,9 9 ( 4 - 1 7 )
根据式 ( 4 - 1 6 )可得：
( 4 - 1 8 )
将 X_= 6,5,S= 2,n= 20代入式 ( 4 - 1 8 )，我们得到了 uX的一个 9 9%的置信区间。
5,2 2≤ uX≤ 7.78 (近似值 ) ( 4 - 1 9 )
由于式 ( 4 - 1 9 )的区间包括了零假设值 7.5,因此,我们不拒绝零假设,真实的 uX= 7,5。
P
X? 2.681S
20
≤ u
X
≤
X + 2.681S
20
= 0.99
t =
X?u
X
S / 20
~t
19
例 4.3
1 这个过程听起来随意性很大，因为它没有仔细考虑两种错误的相对严重性。有关的详细讨论参见 R o b e r t
L,Wi n k l e r,I n t roduction to Bayesian Inference and Decision,Holt,Rinerhart and Wi n s t o n,New Yo r k，
1 9 7 2,C h a p,7。
2 也称为(统计)检验的尺度。
* 1盎司 =28.349 52g
≤ ≤
图 4 - 6
a) uX9 9%的置信区间 b) uX的 9 5%的置信区间 (例 4,3，例 4,4 )
例 4,3,4,4表明，决定接受或拒绝零假设的关键在于自由度以及犯第一类错误的概率。
4.5.3 显著性检验显著性检验 (test of significance approach)是一种两者择一的假设检验，但它却是完备的。显著性检验是一种较为简洁的假设检验方法。我们仍通过 P/E一例说明这种检验方法的一些基本要点。
根据式( 4 - 3)可知：
服从自由度为 (n－ 1 )的 t分布。在具体应用中，我们可知 X_,S,n。惟一未知的是 uX。但是如果设定 uX为某一值，正如在零假设下设定 uX为某一给定值,则可以求出式( 4 - 3)右边的值，因此，我们得到惟 一 个 t值。由于式( 4 - 3)中的 t服从自由度为( n－ 1)的 t分布，因此，根据 t分布很容易求得获此 t值的概率。如果 X
_
与 uX的差别不大(绝对值形式)，则根据式( 4 - 3)可知，| t|也会很小 ( |t|表示 t的绝对值)。如果 X_=uX，则 t值为 0，在此情况下，我们接受零假设。因此，随着| t|值偏离 0，我们也将逐渐地趋向拒绝零假设：根据 t分布表，对给定自由度，| t|值越大，则获此| t|
值的概率就越小。因而，随着| t|的逐渐增大，就越倾向于拒绝零假设。但在能拒绝零假设之前，
最大的| t|值是多少呢？答案取决于置信水平,即犯第一类错误的概率，以及自由度。
这就是显著性检验方法的基本思想。这里的关键之处是检验统计量 — t统计量 — 以及在假定 uX为某一给定值下该 t统计量的概率分布。相应的，在本例中的检验是 t检验，因为我们用
t=
X? u
X
S / n
第 4章 统计推断：估计与假设检验 介绍 71下载
uX= 7,5在此区间
uX= 7,5在此区间在例 4,3中，若置信水平 a为 5%；即决定冒更大的风险犯第一类错误。那么，
情况如何呢？
解答：根据 t分布表,当 a＝ 5%,自由度为 1 9时,t的临界值为 - 2,0 9 3和 +2.093,因为，
P(－ 2,0 9 3≤ uX≤ 2,0 9 3 ) = 0,9 5 ( 4 - 2 0 )
按照例 4,3的步骤，读者能够求得：
5,5 6≤ uX≤ 7.44 (近似值 ) ( 4 - 2 1 )
从图 4 - 7 ( b )中可以看出，这个区间不包括 7,5，因此，拒绝零假设,uX＝ 7,5。
式 ( 4 - 1 9 )与式 ( 4 - 2 1 )的不同之处在于后者的置信区间比前者略窄一些，得到这个结论我们并不应该感到奇怪，因为在建立不等式 ( 4 - 2 1 )时，我们愿意冒较大的风险去犯第一类错误，即弃真错误。
例 4.4
a)
b)
的是 t分布(对于 t分布的详细讨论参见 3,4节)。
在 P/E例中,X_= 11,5,S＝ 3.045 6,n＝ 5 0。令 H0,uX= 1 3,H1,uX≠ 1 3，因此有：
根据这个 t值能否拒绝零假设？在没有设定置信水平以前，无法回答这个问题。假定 ＝
5%。由于备择假设是双边假设，因此，可以将犯第一类错误的风险均分在 t分布的两侧 — 两个拒绝区域 — 如果计算的 t值位于任何一个拒绝区域，就能够拒绝零假设。
当自由度为 4 9时，在 5%的显著水平下，临界的 t值为- 2.009 6和 2.009 6，见图 4 - 1：获此 t值小于或等于－ 2.009 6的概率为 2,5%，获此 t值大于或等于 2.009 6的概率也为 2,5%。
图 4 - 1表明，本例中计算的 t值约为－ 3,5，显然该 t值位于 t分布的左侧拒绝区域。因此，拒绝零假设，即真实的平均 P/E值为 1 3：如果该假设为真，则获此 t值的概率不超过 5%— 犯第一类错误的概率。实际上，这个概率小于 2,5%。(为什么？)
用显著性检验的语言，经常遇到下面两个术语：
( 1 ) 检验(统计量)是统计显著的。
( 2 ) 检验(统计量)是统计不显著的。
当我们说检验是统计显著的，一般是指能够拒绝零假设，即观察到的样本值与假设值不同的概率非常小，小于 (犯第一类错误的概率)。同样的，当我们说检验是统计不显著的，是指不能拒绝零假设。在此情况下，观察到的样本值与假设值不同可能受抽样影响较大(即观察到的样本值与真实值不同的概率大于 )。
当拒绝零假设时，我们就说是统计显著的，当不能拒绝零假设时，就说不是统计显著的。
图 4-7 t检验的显著性
a )双边检验 b )右侧单边检验 c )左侧单边检验
t =
(11.5?13)
3.045 6/ 50
=?3.482 6
72部分 第一部分 概率与统计基础 下载
a)
=2.5%
=5%
=5%
=2.5%
b)
c)
单边检验 (one-tail test)或双边检验 (two-tail test)
到目前为止，在我们考虑的例子中，备择假设都是双边的，或双侧的。因此，如果零假设是“平均 P/E值等于 1 3”,则备择假设下为“平均 P/E不等于 1 3” 。在此情况下，如果检验统计量落在拒绝区域，那么就拒绝零假设。我们从图 4 - 7(a)中可清楚地看到。
然而，有些时候备择假设是单边假设。举个例子，在 P/E一例中,H0,uX= 1 3,H1,uX< 1 3。
那么如何检验这个假设呢？
单边检验与前面讨论过的双边检验类似，只是在单边检验中，仅仅需要决定统计量单一的临界值,而不是两个临界值，见图 4 - 7。从图 4 - 7可以看出，现在犯第一类错误的概率仅仅集中在该概率分布( t分布)的一侧。当自由度为 4 9,在 5%的显著水平下，根据 t分布表，得到单边的 t临界值为 1.676 6(右侧)或- 1.676 6(左侧)，如图 4 - 7示。在 P/E 一例中,计算的 t值为- 3.482 6(约等于-
3,5)。由于 t值在图 4 - 7(c)的临界区域内,因此该 t值是统计显著的。也即拒绝零假设：真实 P/E 值等于(或大于) 1 3；发生 P/E 值等于(或大于) 1 3的概率比选择的犯第一类错误的概率 5%小的多。表
4 - 2总结了单边检验和双边检验。
在实践中，是用置信区间法还是用显著性检验法，主要是取决于个人的选择与习惯。在置信区间方法中，我们对真实参数指定一个似乎合理的区间值,并查明参数假设值是落在该区间内还是落在区间外。如果落在区间内，我们就不拒绝零假设，但若落在区间外，则能够拒绝零假设。在显著检验方法中，我们不是对未知参数规定一个似乎合理的区间值，而是通过零假设给参数设定一个特殊值，再计算检验统计量，比如 t统计量，并求其抽样分布及该统计量取这个特殊值的概率。如果这个概率很低，比如说小于 5%或 1%，我们则拒绝零假设，如果概率值大于所选择的显著水平,则不拒绝零假设。
表 4-2 t检验小结零 H0 假设备择假设 H1 临界区域，拒绝 H0，若
uX=u0 uX＞ u0
uX=u0 uX＜ u0
uX=u0 uX≠ u0
注,u0表示在零假设下的 uX的某一取值。表中最后一列给出了 t临界值,t统计量的第一个下标代表了显著水平，第二个下标代表了自由度。
4.5.4 显著水平 的选择与 p 值假设检验的古典方法的不足之处在于选择 的任意性。虽然一般常用的 值有1 %、5 %和
1 0%，但是这些值并不是固定不变的。前面我们指出，只有在检查犯第一类错误和第二类错误后果的时候，才选择相应的 。在实践中，最好是用 p值 (即，概率值 ),p值 (p v a l u e)也称为统计量的精确置信水平。它可定义为拒绝零假设的最低置信水平。
我们用一个例子来说明。已知，当自由度为 2 0时，计算得到 t值为 3,5 5 2。根据附录 A中 t分布表，求出得此 t值的概率值( p值)为 0,0 1(单边的)或 0,0 0 2(双边的)。也即在 0,0 0 1(单边)或( 0,0 0 2
双边)水平下,t值是统计显著的。
在零假设：真实的 P/E值为 1 3下，我们得到 t值为－ 3,5。
P(t<－ 3,5)=0.000 5
这就是 t统计量的 p值。我们说在 0.005或 0.05%显著水平下，这个 t值是统计显著的。换句话说，
| t |=
X? u
0
S / n
>?t
/2,d.f.
t =
X?u
0
S / n
<?t
,d,f.
t =
X?u
0
S / n
> t
,d,f.
第 4章 统计推断：估计与假设检验 介绍 73下载如果给定 =0.000 5，则在这个显著水平下，我们能够拒绝零假设,uX＝ 1 3。显然，这个 p值是一个非常小的概率值，它比常用的 值小的多。事实上，在这个例子中，犯第一类错误的概率仅为
0.0005(单边)。因此，比选择 ＝0.00 5更能拒绝零假设。一则规律,p值越小，越能拒绝零假设。
用 p值的优点是避免了在选择显著水平 (1%,5%,1 0%)时的任意性。举个例子，如果检验统计量的 p值为 0,1 3 5，如果接受 = 1 3,5%，那么，这个 p就是统计显著的(也即在此显著水平下拒绝零假设)。同样的，犯弃真错误的概率为 1 3,5%。
现在,许多统计软件都能计算各种统计量的 p值，而且在很多的研究报告中,也都给出了 p值。
4.5.5 2显著性检验和 F显著性检验除了 t检验外，在后面的章节中我们还将遇到建立在 2分布和 F分布之上的显著性检验。由于这些检验的基本原理相同，所以这里我们仅仅通过一两个例子来说明 2检验和 F检验的机理，
在后面的章节中，我们还会看到这些检验进一步的应用。
1,2检验在第 3章中(见例 3,9)中已经证明了，如果 S2表示来自方差为 2的正态总体，容量为 n的随机样本的样本方差，那么，
(4 - 2 2)
即，样本方差与总体方差的比值与( n－ 1)的乘积服从自由度为( n－ 1)的 2分布。如果已知自由度 n及样本方差 S2，总体方差 2未知，则根据 2分布可对未知的总体方差 2建立一个( 1－ ）
的置信区间，其机制与 t 检验类似。
但是如果在零假设 H0下，给定 2一个具体的值，则利用式( 4 - 2)可以直接计算 2值，并根据
2分布表进行显著性检验。我们用一个例子来说明。
表 4 - 3总结了 2检验的各种类型的零假设及备择假设。
表 4-3 2检验小结零 H0 假设备择假设 H1 临界区域，拒绝 H0，若
X
2=
0
2
X
2＞
0
2
X
2=
0
2
X
2＜
0
2
X
2=
0
2
X
2≠
0
2
或注,02是 X2在零假设下的取值。最后一列给出了临界的 2值。 2第一个下标表示显著水平，第二个下标代表了自由度。
<
(1? /2),(n?1)
2
(n? 1)S
2
0
2
>
/2,( n?1)
2
(n? 1)S
2
0
2
<
(1? ),(n?1)
2
(n? 1)S
2
0
2
>
,( n?1)
2
(n?1)S
2
2
~
(n?1)
2
74部分 第一部分 概率与统计基础 下载假定随机样本来自正态总体，样本容量为 3 5，样本方差 S2＝ 1 2。检验零假设：
真实的方差为 9；备择假设：真实的方差不等于 9。给定显著水平 = 5%。
这里,H0,2= 9,H1,2≠ 9
解：把相应数字代入式 ( 4 - 2 2 )，得,2= 3 0 ( 1 2 / 9 ) = 4 0。根据附录 A中的 2分布表，
得此 2值的概率为 0,1 0 (自由为 3 0 )。由于这个概率值大于 5%的显著水平，所以不能拒绝零假设：真实方差值为 9。
例 4.5
2,F检验在第 3章中我们讨论过，如果 X,Y是来自两正态总体的随机样本，自由度分别为 m和 n，则变量：
服从自由度为( m－ 1)和( n－ 1)的 F分布。这里假定两正态总体同方差。换句话说,H0：
X
2=
Y
2。我们用式( 3 - 1 7)的 F检验检验该零假设。我们来看下面的一个例子。
表 4 - 4总结了 F检验。
表 4-4 F统计量小结零 H0 假设备择假设 H1 临界区域，拒绝 H0，若
1
2=
2
2
1
2＞
2
2
1
2=
2
2
1
2≠
2
2
或注,1,12,22是两个总体的方差。
2,S12,S22是两个样本的方差。
3,ndf,ddf分别代表了分子自由度和分母自由度。
4,在计算 F值时，将样本方差值较大的放在分子上。
5,表中最后一列给出了临界的 F值。在 F下标中，第一个表示显著水平，第二个表示分子和分母自由度。
6,
作为本章的概括，我们对统计检验的步骤做一总结：
第一步：表述零假设 H0和备择假设 H1
(例如,H0,uX= 1 3,H1,uX≠ 13 )。
第二步：选择检验统计量(例如,X
_
)。
第三步：确定检验统计量的概率分布 [例如,X_? N(uX,2/n)]。
第四步：选择显著水平,即，犯第一类错误的概率,(但需记注有关 p的讨论 )。
第五步：选择置信区间法或显著检验方法。
置信区间法。根据检验统计量的概率分布，建立一个 1 0 0(1－ )%的置信区间，如果该区间
F(1? )/2,ndf,ddf=
1
F /2,ddf,ndf
< F(1? /2),ndf,ddf
S1
2
S2
2
> F /2,ndf,ddf
S1
2
S2
2
> F,ndf,ddf
F =
SX
2
SY
2
=
(Xi? X)
2
/(m?1)∑
(Yi? Y) /(n? 1)∑
第 4章 统计推断：估计与假设检验 介绍 75下载参考习题 3,1 4男女学生 S,A,T数学分数一例。男女学生 S,A,T分数的方差分别为 4 6,6 1和 8 3,8 8。其样本观察值分别为 2 4和 2 3。假设这些方差代表了来自于一更大总体的样本。检验假设：男女生 S,A,T数学分数总体同方差。 ( = 1%)
解答：这里,F值为 8 3,8 8 / 4 6,6 2 = 1,8 0 (近似值 )。该 F值服从自由度均为 2 3的 F
分布，根据 F分布表，自由度为 2 4 (表中未给出自由度为 2 3的值 )，在 1%的显著水平下，临界的 F值为 2,6 6。由于计算的 F值为 1,8 0，小于 2,7 4，故它不是统计显著的。
也即，在 = 1%，不能拒绝两总体同方差。
例 4.6
(也即接受区域)包括零假设值，则接受零假设，但若该区间不包括零假设值，则拒绝零假设。
显著检验法。根据这一检验方法，在零假设下，得到相关的统计量(例如 t 统计量)，并根据相应的概率分布(比如 F分布或 2分布)计算该统计量取某一特殊值的概率。如果这一概率值小于事先选择的显著水平 值，则拒绝零假设，但若大于,则接受零假设。如果你不想事先选择,
则可依据该统计量的 p值。
需提醒注意的是，无论是用置信区间法或是显著性检验法，错误地拒绝或接受零假设的概率为 %。
本章讨论的假设检验方法将贯穿本书。
4.6 小结根据样本信息对总体参数进行估计和借助样本信息进行假设检验是(古典)统计统断的两个主要分支。本章主要讨论了这两个方面的一些最基本的问题。
习题
4.1 区别概念
(a) 点估计量与区间估计量 (b) 零假设与备择假设 (c) 第一类错误与第二类错误 (d)
置信系数与显著水平 (e) 第二类错误与检验功效
4.2 解释概念
(a) 统计推断 (b) 抽样分布 (c) 接受区域 (d) 检验统计量 (e) 检验临界值 (d) 显著水平 (e) p值
4.3 解释概念
(a) 无偏估计量 (b) 最小方差估计量 (c) 最优的或最有效的估计量 (d) 线性估计量
(e) 最优线性无偏估计量( B L U E)
4.4 判断正误说明理由。
(a) 参数的估计量是随机变量，但参数本是非随机的或是固定的。 (b) 参数的无偏估计量，总是等于参数本身，(比如说 uX无偏估计量等于 uX)。 (c) 最小方差估计量不一定是无偏的。 (d) 有效估计量的方差最小。 (e) 估计量是最优线性无偏估计量，仅当抽样分布是正态分布时成立。 (f) 接受区域与置信区间是同一回事。 (g) 当拒绝可能为假的零假设时，
才发生第一类错误。 (h) 当拒绝可能为真的零假设时，才发生第二类错误。 (i) 中心极限定理表明样本均值总是服从正态分布。 (k) 显著水平与 p值是同一回事。
4.5 阐述置信区间法与显著性检验法的不同之处。
4.6 假定样本的自由度为 4 0，得到 t值为 1,3 5。,由于 p值介于显著水平 5%与 1 0%之间(单边)，
所以它不是统计显著的。,你认为这句话对吗？为什么？
4.7 求下列 Z值的临界值
(a) = 0,0 5(双边检验) ( b) = 0,0 5(单边检验) ( c) = 0,0 1(双边检验) (d) = 0,0 2(单边检验)
4.8 求下列 t临界值
(a) n= 4,= 0,0 5 (双边检验 ) (b) n＝ 4,= 0,0 5(单边检验) (c) n＝ 1 4,= 0,0 1(双边检验)
(d) n＝ 1 4,= 0,0 1(单边检验) (e) n= 6 0,= 0,0 5(双边检验) (f) n= 2 0 0,= 0,0 5(双边检验)
4.9 假定一个国家的平均国民收入服从均值 u=1 000美元，方差 2＝ 10 000的正态分布。
(a) 求平均国民收入介于 8 0 0美元? 1 200美元之间的概率？ (b) 求平均国民收入超过 1 200
美元的概率？ (c) 求平均国民收入低于 8 0 0美元的概率？ (e)“平均国民收入超过 5 000美元的
76部分 第一部分 概率与统计基础 下载概率几乎为零”为真吗？
4.10 继续习题 4,9，假设现有一容量为 1 000的随机样本，样本均值 X_(平均收入)为 9 0 0美元。
(a) 若 u＝ 1 000美元，求获此样本均值的概率？ (b) 根据样本均值，对 u建立一个 9 5%的置信区间，该区间是否包括 u＝ 1 000。如果不包括，你得出什么结论？ (c) 用显著性检验方法，决定你是否拒绝假设 u＝ 1 000美元，你用什么检验，为什么？
4,11 假设坛子中花生的数量服从均值为 u，方差为 2的正态分布。对不同时期的质量检查表明：有 5%的坛子花生重量低于 6,5盎司,1 0%高于 6,8盎司。
(a) 求 u,2？ (b) 求花生重量大于 7盎司的坛子占总数的百分比？
4.12 下面的随机样本来自均值为 u，方差为 2的正态总体：
8,9,6,1 3,11,8,1 2,5,4,1 4
(a) 检验零假设 H0,u= 5，备择假设,H1,u≠ 5 ( =5%) (b) 检验零假设 H0,u= 5，备择假设,H1,u>5 ( =5%) (c) 求(a)的 p值？
4.13 假定有一来自正态总体(均值为 u，标准差为 )的随机样本，样本容量为 1 0。经计算得其样本均值 X_＝ 8，样本标准差 S＝ 4，对总体均值建立一个 9 5%的置信区间。你用哪种概率分布？为什么？
4.14 若 X? N(u= 8,2= 3 6)。根据 2 5个样本观察值，知样本均值 X_= 7,5。
(a) 求 X_的抽样分布？ (b)求 P(X_≤ 7,5)？ (c) 根据( b)的计算结果，这个样本值是否来自上述总体？
4.15 计算下列各 p值？
(a)t≥ 1.72,d.f=24 (b)Z≥ 2.9 (c)F≥ 7.59,d.f.= 3,20 (d)2≥ 1 9,d,f,= 3 0
注 如果不能得到准确的 p值，求最优的近似值。
4.16 经计算得 t统计量为 0,6 8(d,f = 3 0)。“由于即使在 1 0%的显著水平下，该 t值仍不是统计显著的，因此可安全地接受相应的假设。,你认为对吗？求获此统计量的 p值？
4.17 若 X? N(u,2)，现有来自总体的随机样本 X1,X2,X3。考虑下面的 u的估计量：
(a) u1是 u的无偏估计量吗？ u2呢？ (b)若 u1,u2均为 u的无偏估计量，你将选择哪一个估计量？ (提示：比较两估计量的方差)。
4.18 参见第 3章的习题 3,1 0。假定现有 1 0个公司组成的随机样本，其平均利润为 900 000
美元，标准差为 100 000美元。
(a) 对整个行业的真实平均利润建立 9 5%的置信区间？ (b) 你将用哪种分布？为什么？
4.19 参考第 3章例 3,9。
(a)求 2的置信区间？( = 5%) (b)检验假设：真实的 2= 8,2。
4.20 1 6辆汽车先使用标准燃料，再用石油燃料(汽油中混有甲烷)。一氧化氮( N Ox)的排放量如下：
燃料种类 平均 N Ox的排放量 N Ox排放量的标准差标准燃料 1,0 7 5 0.579 6
汽油 1,1 5 9 0.613 4
资料来源,Michael O.Finkelstein,Bruce Levin,S t a t i s t i c s for L a w e r s,S p r i n g e r- Verlag,New Yo r k,1 9 9 0，
p,2 3 0,
(a) 如何检验假设：两总体的标准差相同？
(b) 你用的是什么检验？用此检验有哪些基本假定？
u
1
=
X
1
+X
2
+ X
3
3
,u
2
=
X
1
6
+
X
2
3
+
X
3
2
第 4章 统计推断：估计与假设检验 介绍 77下载下载第二部分共包括五章内容，旨在向对读者介绍经济计量学的基础工具—
线性回归模型。
第 5章通过最简单的线性回归模型 — 双变量模型探讨了线性回归的基本思想；区别了总体回归模型与样本回归模型 (用后者估计前者 )，并介绍了常用估计方法 — 最小二乘法。
第 6章讨论了假设检验。在统计学中，假设检验用来探求回归模型中参数的估计值是否与参数的假设值相一致。我们对古典线性回归模型 ( C L R M )
进行假设检验。本章讨论了为什么要用古典线性回归模型，并且指出古典线性回归模型是研究其他回归模型的起点。在本书的第三部分中，我们将重新考虑古典线性回归模型的基本假设，看看当一个或几个假设不满足时，
古典回归模型会有什么变化。
第 7章，我们把前面两章建立起的双变量回归模型的思想推广到多元回归模型之中，即模型中的解释变量不止一个。虽然，在许多方面，多元回归模型是双变量模型的推广，但在对模型系数的解释以及假设检验的过程等方面，还是存在着一些差异。
线性回归模型，无论它是双变量模型还是多变量模型，我们仅要求模型的参数是线性的，而进入模型的变量本身并不要求是线性的。在第 8章中就讨论了参数是线性 (或能够转化成线性 )而变量并非线性的模型。我们将通过若干具体的例子，指出什么时候以及如何使用这些模型。
有些时候，进入模型的解释变量是定性的，比如性别、颜色、宗教信仰等。通过第 9章的讨论，您将了解如何使这些变量变为可以“度量”的变量，并且通过考虑这些变量的影响，知道它们是如何丰富线性回归模型的。
整个第二部分，我们都努力将理论用于实践。虽然,“用户友好”回归软件的运用使你无须知道太多的理论就会可以对回归模型进行估计，但是，
别忘了“一知半解是危险的” 。因此，即使理论很枯燥，它对理解和解释回归结果也是绝对必要的，此外，我们省略了所有的数学推导，这将会使理论变得简单一些。
第二部分线性回归模型下载第一章我们讲到在对经济现象(例如需求法则)建立经济计量模型时，经济计量学大量地使用了回归分析这一统计技术，本章和下章将通过最简单的线性模型“—”双变量模型来介绍回归分析的基本思想，在随后的几章中，我们将讨论对双变量模型的修正及推广。
5.1 回归的含义回归分析是用来研究一个变量 (称之为 被解释变量 (explained variable)或 应变量 ( d e p e n d e n t
v a r i a b l e ) )与另一个或多个变量 (称为 解释变量 (explanatory variable)或 自变量 ( i n d e p e n d e n t
v a r i a b l e ) )之间的关系。
我们也许对研究商品的需求量与该商品的价格、消费者的收入以及其他同类商品的价格之间的关系感兴趣；也许对研究产品的销量(比如，汽车)与用于产品宣传的广告费之间的关系感兴趣；也许对研究国防开支与国民生产总值( G N P)之间的关系感兴趣；在上述各例中，或许存在某一基本理论，它规定了我们为什么期望一个变量是非独立的或说它与其他一个或几个变量有关。在第一例中，需求法则就提供了这样一个理论基础 — 一种产品的需求量依赖于该产品的价格以及其他几个变量。
为了统一符号，从现在起，我们用 Y代表应变量,X代表自变量或解释变量。如果有多个解释变量，我们将用适当的下标，表示各个不同的 X。(例如,X1,X2,X3等等)。
时刻记住第 1章中的告诫是非常重要的：虽然，回归分析是用来处理一个应变量与另一个或多个自变量之间的关系，但它并不一定表明因果关系的存在；也就是说，它并不意味着自变量是原因，而应变量是结果。两个变量是否存在因果关系，必须以(经济)理论为判定基础，正如前面讲到的需求法则，它表明：当所有其他变量保持不变时，一种商品的需求量依赖于(反向)该商品的价格。这里，微观经济理论暗示了价格是原因，而需求量是结果。总之，回归并不意味着存在因果关系，因果关系的判定或推断必须依据经过实践检验的相关理论。
回归分析可以用来：
(1) 通过已知变量的值来估计应变量的均值。
(2) 对独立性进行假设检验 — 根据经济理论建立适当的假设。例如，对前面提到的需求函数，你可以检验假设：需求的价格弹性为－ 1,0；即需求曲线具有单一的价格弹性。也就是说，在其他影响需求的因素保持不变的情况下，如果商品的价格上涨 1%，平均而言，商品的需求量将减少 1%。
第 5 章
■ 线性回归的基本思想：双变量模型第 5章 线性回归的基本思想：双变量模型 介绍 81
(3) 通过自变量的值，对应变量的均值进行预测。因此，对于前面讨论的 S,A,T一例，我们可以通过学生的数学成绩来预测其语言表达能力的平均分数。(见表 5 - 5)
(4) 上述多个目标的综合。
5.2 总体回归函数：一个假设的例子为了说明上面提到的回归分析的用途，我们以需求法则为例。回忆一下，需求法则是说当影响需求量的其他变量保持不变时(经济学中著名的“其他条件不变”)，商品的需求量与其价格呈反方向变动关系。这些其他的变量包括消费者的收入、偏好、同类商品的价格、以及互补商品的价格等等。
下面我们来考虑对,w i d g e t》教科书的需求。假设有一小镇，镇上共有 5 5个人，表 5 - 1给出了这些消费者对,w i d g e t》一书的需求量。
表 5-1 对 w i d g e t需求表价格 需求量 消费者数量 平均需求量
(X) (Y)
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
从表 5 - 1中可以看出：当每本书的价格为 1美元时，有 7个消费者愿意购买此书，他们对读书的需求量分别在 4 5到 5 1本之间,7个消费者的平均需求量为 4 8本，这一数值是通过对 7个人的需求量求算术平均数而得到。类似地，当每本书的价格为 7美元时，有 5个消费者愿意购买此书，
他们对读书的需求量分别在 3 2到 4 0之间，在此价格下的平均需求量为 3 6个单位。表中其他数值可类似地解释。
以需求量( Y)为纵轴，以价格( X)为横轴，对表中的数据作散点图(见图 5 - 1)。从散点图可以看出：任一给定 X，有若干个 Y与之对应，例如，当 X＝ 1时，有 7个值与他对应，当 X＝ 4时，相应地有 6个 Y值，等等。换句话说，一个 X与一个 Y总体(与 X有关的 Y值的全体)有关。(回顾第 2章中对总体的定义)
这个散点图能说明什么问题呢？给人的第一印象是，当 X增加时,Y一般减少。反之，当 X
减少时,Y一般增加，如果把注意力集中在图中圈起的点(即与 XS相应的 Y的总体均值)，这种趋势就显得更加明显。这些在图中圈起的点给出了 预期均值 (expected mean)或者 总体均值
(population mean)或者与 X相对应的 Y的 总体平均值 (population average value)。我们可以认为，
平均的 Y值随 X线性减少(即是一条直线)。我们称该直线为 总体回归直线 (Population Regression
L i n e,P R L)。总体回归直线给出了与每个自变量(这里是 X)相对应的应变量的均值，在我们的这个例子中，可以看到，当 X为 2美元时，平均的需求量为 4 6个单位，虽然从表 5 - 1中得知在此价格下的需求量在 4 4到 4 8单位之间不等。简言之，总体回归直线告诉我们对应于每一个 X值(或任一个自变量)相应的 Y(或任何一个应变量)的均值。
下载图 5 - 1画出的总体回归直线是线性的，我们也可用函数的形式来表示：
E(Y｜ Xi) =B1+B2Xi (5 - 1)
这是直线的数学表达式，在式( 5 - 1)中,E(Y｜ Xi)表示给定 X值相应的(或条件的) Y的均值，
在第 2章中，我们讲过这是 Y的 条件期望 (conditional expectation)或 条件均值 (c o n d i t i o n a l
expected value)。下标 i代表第 i个子总体。因而,E(Y｜ Xi= 2 ) = 4 6，即在第 2个子总体中,Y的期望值或均值为 4 6。
表 5 - 1中最后一列给出了 Y值的条件期望。需提醒注意的是,E(Y｜ Xi)是 Xi的函数(在此例中是线性函数)。这意味着 Y依赖于 Xi，一般称之为 Y对 X的回归。回归可简单地定义为在给定 X值的条件下 Y值分布的均值。换句话说，总体回归直线经过 Y的条件期望值。式( 5 - 1)是 总体回归函数 (Population Regression Function,PRF)的数学形式。在本例中，总体回归函数是线性函数(线性更专业的定义将在 5,6节中给出)。
在式( 5 - 1)中,B1,B2为 参数 (p a r a m e t e r s)，也称为 回归系数 (regression coeff i c i e n t s)。 B1又称为 截距 (i n t e r c e p t),B2又称为 斜率 (s l o p e)。斜率度量了 X每变动一单位,Y的均值的变化率。例如，
如果斜率为－ 2，那么，当价格每提高 1美元,Y的(期望)均值将减少 2个单位；即，平均而言，
需求量将下降 2个单位。 B1是当 X为 0时的 Y的均值。我们将在后面的章节中对截距作更多的解释。
如何求斜率和截距的估计值(或数值)呢？我们将在 5,8节中探讨这个问题。
在继续下面内容之前，关于术语还有一点需提醒大家注意。在第 1章中已经强调过我们所关注的是：在给定自变量的条件下，应变量的行为。因此，回归分析是 条件回归分析
(conditional regression analysis)。我们无需每时每刻都加上“条件”二字。所以，往后，表达式 E Y(Y | Xi)将简写为 E(Y)，读者必须清楚后者是前者的简略写法。当然，在容易混淆的地方，
我们仍将沿用完整的符号。
5.3 总体回归函数误差的设定我们刚才讨论过，总体回归函数给出了对应于每一个自变量的应变量的平均值。让我们再看一下表 5 - 1。当 X＝ 1美元时，相应的 Y的均值为 4 8。但是，在这个价格水平下，从 7个人中随机抽取一个，则他的需求量并非一定等于 4 8。更具体地说，从这一组中取最后一人，则他的需求量为 5 1个单位，位于均值之上。同样从这一组中选取第一个人，则其需求量为 4 5个单位，在平均值之下。我们如何解释在某一价格下，个人的需求量呢？最好的方法是说个人的需求量等
82部分 第二部分 线性回归模型 下载价格图 5 - 1
总体回归线第 5章 线性回归的基本思想：双变量模型 介绍 83
于在平均的需求量上加上或减去某一数量。用数学公式表示为：
Yi=B1+B2Xi+ui (5 - 2)
其中,ui表示 随机误差项 (stochastic,random error term)或简称为误差项。 1
我们在第 1章中已经遇到过这一概念。误差项是一随机变量，因为其值不能先验地知道。
在第 2章中讲到，我们通常用概率分布(例如，正态分布式 t分布)来描述随机变量。
如何解释式( 5 - 2)呢？我们可以说在某一价格水平上，个人的需求量，比如第 i个人的需求量，可看做两部分之和：( 1) (B1+B2Xi)，第 i个子总体的平均需求量，也即在此价格水平下总体回归直线上相对应的点。这一部分称为系统的或决定的部分。( 2)ui，称为非系统的或随机的部分
(也就是说，他由价格以外的因素所决定)。
为了更清晰地理解，我们来看图 5 - 2(是根据表 5 - 1中的数据得到的)。
图 5 - 2
从图中可以看出，当 X＝ 2美元时，某一消费者的需求量为 4 8个单位，但在此价格水平下的平均需求量为 4 6个单位。因而,该消费者的需求量超过系统部分(即该子总体的均值) 2个单位。
也就是说,ui为 2个单位；当 X＝ 7美元时，随机抽取的一消费者的需求量为 3 2个单位，但在此价格水平下的平均需求量为 3 6个单位。因而，该消费者的需求量低于系统部分 4个单位，其 ui
为－ 4个单位。
式( 5 - 2)称为 随机总体回归方程 (stochastic PRF)，式( 5 - 1)称为 决定的(或非随机的)总体回归方程 (deterministic or nonstochastic PRF)，后者表示对于具体价格，各个 Y值的均值是多少。而前者告诉我们由于误差项 ui的存在，个人需求量在其均值附近是如何变化的。
5.4 随机误差项的性质
(1) 随机误差项可能代表了模型中并未包括的变量的影响。例如在 w i d g e t一例中，它可能代表了诸如消费者收入，同类竞争产品的价格等因素的影响。
(2) 即使模型中包括了所有决定需求量的有关变量，需求量的内在随机性也一定会发生，
这是我们做何种努力都无法解释的。毕竟，即使人类行为是理性的，也不可以完全可预测的。
正因为如此,ui或许反映了人类行为中的一些内在随机性。
(3) ui也可以代表测量误差，例如，对需求量 Y的样本观察值，由于在数据统计时的四舍五下载价格
1 英文,s t o c h a s t i c”来自于希腊词,s t o k h o s”,意思是“公牛的眼睛” 。向标盘投掷飞标就是一个随机过程，即该过程可中标也可未中。在统计学中，这一词暗合随机变量的结果由随机试验决定。
入，都不可避免地会产生误差。
(4) Occam的剃刀原则“简单优于复杂” — 说明应该尽可能地简单，只要不遗漏重要的信息。因此，应使我们建立的模型越简单越好。 1即使知道其他变量可能会对 Y有影响，我们也把这些次要的因素归入随机项 ui。
可能会由于上述一个或几个原因导致个人需求量偏离群体均值(即系统部分)。在随后的分析中，我们将会看到，随机误差项在回归分析中有着至关重要的作用。
5.5 样本回归函数如何估计式( 5 - 1)总体回归函数呢，也就是说，如何求得参数 B1,B2呢？如果告知表 5 - 1中的数据，即整个总体，那么这会是一项较为易做的工作。我们只要求出相对每一个 X的 Y的条件均值，然后再联立求解即可。不幸的是，在实际中，我们很少能拥有整个总体数据。通常，我们仅有来自总体的一个样本(回顾第 1章，第 2章有关总体和样本的讨论)。这里，我们的任务就是根据样本提供的信息来估计总体回归函数。如何完成这一工作呢？
表 5-2 来自表 5 - 1总体的随机样本 表 5-3 来自表 5 - 1总体的另一随机样本
Y X Y X
4 9 1 5 1 1
4 5 2 4 7 2
4 4 3 4 6 3
3 9 4 4 2 4
3 8 5 4 0 5
3 7 6 3 7 6
3 4 7 3 6 7
3 3 8 3 5 8
3 0 9 3 2 9
2 9 1 0 3 0 1 0
图 5-3 样本回归直线假设你重未见到过表 5 - 1，你仅有表 5 - 2提供的数据，这些数据是从表 5 - 1中对每一个 X随机
84部分 第二部分 线性回归模型 下载价格
× =第 1样本
○ =第 2样本
1 模型是现实的简单化。如果我们真想把现实转化为模型，那么模型将会变的非常复杂以至于没有任何实际的意义了。因此，在建立模型时，对现实进行提炼是很必要的。
第 5章 线性回归的基本思想：双变量模型 介绍 85
抽取一个 Y值得到的，与表 5 - 1不同的是，此时对于每一个 X值仅有一个 Y值与之对应，现在面临的一个重要问题是：根据表 5 - 2提供的样本数据，我们能够估计出相应于每一个 X值，总体 Y的均值吗？换句话说，我们能根据样本数据来估计总体回归函数吗？读者可能会想，我们或许不能“准确地”估计总体回归函数，因为存在抽样波动或是抽样误差(参见第 4章)。为了更清楚地看此问题，我们假设有另一个来自表 5 - 1总体的随机样本，见表 5 - 3。对表 5 - 2,5 - 3中的数据作图，得图 5 - 3所示的散点图。
通过散点，可以清晰地得到两条很好地“拟合”了样本数据的直线，称之为 样本回归线
(sample regression lines,SRL)，这两条样本回归线哪一条代表了“真实的”总体回归直线呢？
如果不看图 5 - 1，那么我们将无法确定图 5 - 3中哪一条直线代表了真实的总体回归线。如果再有一个样本，还可得到第三条样本回归线。恐怕每一条样本回归线都代表了总体回归线，但由于抽样的不同，每一条直线也最多是对真实总体回归线的近似。总之，我们可能从 K个不同的样本中得到 K条不同的样本回归直线，所有的这些样本回归线不可能都相同。
与从总体回归线得到总体回归函数类似，可用 样本回归函数 (sample regression function,
S R F)来表示样本回归线。
(5 - 3)
其中，
表示总体条件均值,E(Y|Xi)的估计量； b1表示 B1的估计量； b2表示 B2的估计量； ^ 读作
“帽” 。
前面讲过，估计量或样本统计量是用以表示如何估计总体参数的公式。估计量的某一取值称为估计值(回顾第 4章中有关点估计量与区间估计量的讨论)。
从图 5 - 3的散点图中不难看出：并非所有的样本数据都准确地落在各自的样本回归线上。
因此，与建立随机总体回归函数一样，我们需要建立随机的样本回归函数：
Yi=b1+b2Xi+ei (5 - 4)
其中,ei是 ui的估计量。
我们称 ei为 残差项 (residual term)，或简称为 残差 (r e s i d u a l)。从概念上讲，它与 ui类似，可看做 ui的估计量。样本回归函数中生成 ei的原因与总体回归函数中生成 ui的原因相同。
总之，回归分析的主要目的是根据样本回归函数
Yi=b1+b2Xi+ei
来估计总体回归函数，
Yi=B1+B2Xi+ui
因为，通常我们的分析是根据来自某一总体的单独的一个样本。但是，由于抽样的不同，
所以对总体回归函数的估计仅仅是近似估计。见图 5 - 4。
对于图中的某个给定 Xi，有一个(样本)观察值 Yi与之对应。利用样本回归函数形式，观察值
Yi可以表示为：
(5 - 5)
利用总体回归函数形式，观察值 Yi可以表示为：
Yi=E(Y｜ Xi) +ui (5 - 6)
显然，在图 5 - 4中,过高地估计了真实均值 E(Y｜ Xi)。同样的道理，对图中点 A右侧任一
Y值，样本回归函数低估了真实的总体回归函数。但是，读者很容易发现：由于存在抽样波动，
这些过高或过低的估计是不可避免的。
)
Y
i
Y
i
=
)
Y
i
+ e
i
Y i
Y i = b1 + b2Xi
下载图 5-4 总体回归线与样本回归线一个重要的问题是：既然样本回归函数仅仅是总体回归函数的近似，我们能否找到一种方法(或过程)能够使这种近似尽可能接近真实值？也就是说，一般情况我们很难获得整个总体的数据，那么如何建立样本回归函数，使得 b1,b2尽可能接近 B1,B2呢？在 5,8节中将会看到，确实可以找到一个“最适合”的样本回归函数，它将尽可能“忠实地”反映总体回归函数。的确，我们总是幻想可以这样做，即使实际上无法确定真实的总体回归函数。
5.6,线性”回归的特殊含义本书主要关注诸如式 ( 5 - 1 )所描述的线性模型。由于对“线性”这一概念有两种不同的解释，
因此，弄清楚线性的确切含义是非常必要的。
图 5 - 5
a )线性需求曲线 b )非线性需求曲线
5.6.1 解释变量线性线性的第一个，也是最“本质”的含义是应变量的条件均值是自变量的线性函数。例如式( 5 - 1)、
式( 5 - 2)以及相应的样本形式式( 5 - 3)和式( 5 - 4)。 1按照这种解释，下面的函数形式不是线性的：
86部分 第二部分 线性回归模型 下载价格该直线上各点上 B2的斜率相同价格 价格该曲线上各点上 B2的斜率不同
1 函数 Y=f(X)称为线性的，如果( 1)X仅以一次方的形式出现；也就是说，诸如 X2,等都排除在外。( 2)X
不与其他变量相乘或相除(例如,X Y,X/Y,其中 Y是另一变量)。
X
第 5章 线性回归的基本思想：双变量模型 介绍 87
E(Y) =B1+B2X2i (5 - 7)
(5 - 8)
因为，在式( 5 - 7)中 X以平方的形式出现，而在式( 5 - 8)中 X以其倒数形式出现。由于回归模型中的解释变量线性，所以解释变量每变动一单位，被解释变量的变化率为一常量，也就是说，
斜率保持不变。但对于非线性回归模型，斜率是变化的。 1这一点从图 5 - 5中可清楚看到。
图 5 - 5表明，对于式( 5 - 1)回归方程，无论 X的值如何变化，斜率，即 E(Y)的变化率保持不变，
为 B2。但是，对于式( 5 - 8)回归方程,Y的均值的变化率随回归线上的点的不同而变化，实际上，
这里的回归线是一条曲线。 2
5.6.2 参数线性线性的第二解释是因变量的条件均值是参数 BS的线性函数；在这个线性函数中，解释变量之间并不一定是线性的。与解释变量线性函数类似，函数称为参数线性的，如果参数，比如说 B2，
仅以 1次方形式出现。按照这一定义，模型( 5 - 7) (5 - 8)均为线性模型。因为 B1,B2以线性形式进入模型，
而与变量是否呈线性无关。但是，下面的模型就是非线性的，因为 B2以平方的形式出现：
E(Y) =B1+B22Xi (5 - 9)
在本书中，我们主要关注参数线性的模型。因此，从现在起，线性回归( linear regresion)是指参数线性的回归(即参数仅以一次方的形式出现在模型中)，而解释变量并不一定是线性的。 3
5.7 从双变量回归到多元线性回归到目前为止，我们仅考虑了 双变量回归模型 (two-variable regression)，或者简单地说是回归模型。在这类模型中，应变量仅是一个解释变量的函数。我们仅仅是通过双变量模型来介绍回归分析的基本思想，很容易将回归的概念推广到应变量是多个解释变量函数的情况。举个例子，若对 w i d g e t的需求是价格( X2)、消费者收入( X3)以及竞争产品价格( X4)的函数的话，那么，
我们写出推广的需求函数：
E(Y) =B1+B2X2i+B3X3i+B4X4i (5 - 1 0)
即,E(Y) =E(Y｜ X2i,X3i,X4i)
式( 5 - 1 0)就是 多元线性回归 (multiple linear regression)的一个例子。这个回归方程中有不止一个的自变量或解释变量用以解释应变量的行为。该模型表明：对 w i d g e t需求量的条件均值是价格、消费者收入及竞争产品价格的线性函数。单个消费者的需求函数(即随机的总体回归函数)为：
Yi=B1+B2X2i+B3X3i+B4X4i+ui
= E(Y) +ui (5 - 11)
式( 5 - 11)表明：由于随机误差项 ui的存在，个人需求量不同于群体的平均需求量。正如前面讲过的，即使在多元回归分析中，也需引进误差项，因为我们不能把所有可能影响需求量的因素都考虑进去。
E(Y) = B1 + B2
1
Xi
下载
1 考虑函数 Y＝ a+b X,dY/ dX=b。再考虑函数 Y=a+b X2,dY/ dX= 2bX，它不是常数，其值随 X的变化而变化。
dY/ dX(Y对 X的导数)度量了每单位 X的变化所引起的 Y的变化率。几何上，导数是函数的斜率。
2 学过微积分的读者知道在线性模型中，斜率(即 Y对 X的导数)为一常数，等于 B2，但在非线性模型中，式
(5 - 8)，斜率等于－ B2(1 /X2i)，显然，该斜率值依赖于 X值的变化，因而它不是一个常数。
3 这也并不意味着像式( 5 - 9)那样的非线性模型不能被估计，或是在实际中不能运用。事实上，在高级经济计量学教程中，对这类模型有很深地研究。
88部分 第二部分 线性回归模型 下载注意：式( 5 - 1 0)和式( 5 - 11)都是参数线性的，因此，它们都是线性回归模型。而进入模型的解释变量本身不需要是线性的。不过在 w i d g e t一例中，却是线性的。
5.8 参数的估计：普通最小二乘法前面已经讲过，必须根据样本回归函数来估计总体回归函数，因为，在实际中，我们仅有来自某一总体的一两个样本。那么，如何估计总体回归方程呢？又如何判定估计的总体回归方程是否是真实的总体回归方程的一个“好的”估计呢？我们将在本章回答第一个问题，至于第二个问题，暂时放一放，留在下一章解答。
为了介绍总体回归方程估计的基本思想，我们考虑最简单的线性回归模型，即双变量线性回归模型(即研究因变量 Y与一个自变量 X之间的关系)。在第 7章，我们将把分析扩展到多元回归模型，在那里，将研究应变量与多个自变量之间的关系。
5.8.1 普通最小二乘法虽然，有若干不同的方法来求样本回归函数(即真实总体回归函数的估计量)，但是，在回归分析中，用得最为广泛的方法是 最小二乘法 (ordinary least squares,OLS),1一般称为普通最小二乘法( O L S)。我们将交错使用术语“最小二乘法”与“普通最小二乘法” 。在介绍这种方法之前，我们先解释一下 最小二乘原理 (least squares principle)。
最小二乘原理回顾式( 5 - 2)所描述的双变量总体回归方程：
Yi=B1+B2Xi+u1
由于总体回归方程不能直接观察(为什么？)，我们用下面的样本回归函数来估计它。
Yi=b1+b2Xi+ei
因而,
ei=实际的 Yi－估计的 Yi
=Yi－ i
=Yi－ b1－ b2Xi [利用式 ( 5 - 3 ) ] ( 5 - 1 2 )
从式( 5 - 1 2)可以看出,残差是 Yi的真实值与估计值之差，而后者可从式( 5 - 3)中得到。这一点可从图 5 - 4中清晰地看到。
估计总体回归函数的最优方法是，选择 B1,B2的估计量 b1,b2，使得残差 ei尽可能的小。虽然，可用几种不同的方法完成上述过程，但在回归分析中，用的最为广泛的方法之一是 普通最小二乘法 (ordinary least squares,OLS)，即选择参数 b1,b2，使得全部观察值的 残差平方和
(residual sum of squares,RSS)最小。
用数学形式表示为：
( 5 - 1 3 )
总之，最小二乘原理就是所选样本回归函数使得所有 Y的估计值与真实值差的平方和最
min,ei
2
= (Yi?
)
Y i)∑∑
2
= (Yi? b1? b2 Xi)
2
∑
)
Y
1 除了名字以外，这种方法并没有什么普通的。事实上，我们将会看到，这种方法有一些特殊的性质。之所以称为普通最小二乘法是因为还有另一种方法，称之为广义最小二乘法( G L S)，普通最小二乘法是它的一个特例。
第 5章 线性回归的基本思想：双变量模型 介绍 89
小。 1
在阐述如何实现这个最小化过程之前，先来看一个具体的例子。
5.8.2 实例分析：对 w i d g e t的需求让我们再来看 w i d g e t一例中的的需求表(表 5 - 2)，为了方便起见，我们将该表加以复制并加以其他的计算，得到表 5 - 4。回忆一下，表 5 - 4给出了来自(总体)需求表 5 - 1的随机样本。根据表
5 - 4中的数据作图 5 - 6。该图表明：实际的样本回归直线以最小二乘法的方式拟合了样本数据(这种方法的内在机理我们稍后会加以解释)。真实 Y的值与估计的 Y值的垂直距离即为 ei。在 O L S估计中，这些垂直距离平方和即为 R S S( )，见式( 5 - 1 3)。普通最小二乘法就是使 R S S最小化的过程。
从式( 5 - 1 3)可以看出,R S S( )是 b1和 b2的函数。给定一组数据，比如表 5 - 4提供的数据，
选择不同的 b1,b2值将会得到不同的 eS，因而使得 R S S不同：只需随意地旋转图 5 - 6中的样本回归函数，就可以看出。每一次旋转，都将得到一个不同的截矩( b1)和一个不同的斜率( b2)。(试着画出经过散点图的几条回归线)
图 5-6 真实 Y值与估计 Y值之差。普通最小二乘法 ( O L S )是使离差的平方和最小这是否意味着给定一组数据，我们无法拟合一个确定的样本回归函数呢？也就是说，不可能求得惟一的 b1,b2使得 R S S最小？其实这正是 O L S法的魅力所在。因为，对于一组数据，它给出了惟一的 b1,b2。根据表 5 - 4提供的数据，求的 b1,b2的值分别为 49.667 0和－ 2.157 6，见图
5 - 6。(回顾：估计量的某一取值称为估计值)。
在实际中，如何确定这些值呢？这仅仅是一个的数学问题，需要用到差分知识。这里不再详细讨论，可以证明,b1,b2是使式( 5 - 1 3)中的 R S S最小化，求解下面的两个联立方程得到的,2
ei
2
∑
ei
2
∑
价格
1 注意,ei越小，其平方和也就越小。这里考虑 ei的平方而非 ei，是因为这样一个过程可以避免残差的符号问题。需要提醒一点的是 ei的符号可正可负。
2 本章最后的附录中给出了详细的证明过程。
下载
90部分 第二部分 线性回归模型 下载第 5章 线性回归的基本思想：双变量模型 介绍 91
(5 - 1 4)
(5 - 1 5)
其中,n为样本容量，这些联立方程称之为 正规方程 (normal equation)。
在式( 5 - 1 4)和( 5 - 1 5)中，参数 bS是未知的，但可以根据样本求得变量 Y和 X的平方和，交叉乘积和等等。现求解这些联立方程(运用中学学过的代数运算)，求得 b1,b2：
(5 - 1 6)
它是总体截距 B1的估计量。
(5 - 1 7)
它是总体斜率 B2的估计量。
式中,；即小写字母代表了变量与其均值的偏差。
式( 5 - 1 7)给出了计算斜率的几种不同方法，你可以选择适当的方法求解。不过，在计算机时代，任何一种方法在计算时都不成问题。
式( 5 - 1 6)、( 5 - 1 7)给出的估计量称为 最小二乘估计量 (OLS estimators)，因为它们是用 O L S法求得的。
回到 w i d g e t一例中，表 5 - 4提供了计算 O L S估计量 b1,b2所需的全部数据，我们得到估计的需求函数：
(5 - 1 8)
它就是图 5 - 6描述的样本回归函数。
5.8.3 对估计的需求函数的解释对估计出的需求函数解释如下：在其他条件保持不变的情况下，如果 w i d g e t的价格上升，
比如说上升 1美元，平均而言，则对 w i d g e t的需求量下降 2,1 6个单位(也即需求曲线的斜率
－ 2,1 6)。类似地，如果 w i d g e t的价格为 0，则平均的需求量为 4 9,7个单位。(也即需求曲线的截距为 4 9,7个单位)。当然，这只是截距这一概念在数学上机械地解释。在现实中，产品的价格绝对不为 0，除非它是“自由享用”商品，比如空气(但是注意：没有污染的空气却不是免费的)。
通览全书，你会发现截距一般都没有什么特殊的经济含义。
在继续下面内容之前，我们先给出普通最小二乘估计量的一些有趣的性质。
(1) 运用 O L S法得出的样本回归线经过样本均值点，即
(5 - 1 9)
(2),即残差的均值总为零，我们可以利用这条性质检验计算的准确与否。(证明见习题 5,11)。
(3) 对残差与解释变量的积求和，其值为零；也就是说，这两个变量不相关(参见第 2章中相关的定义)。
(5 - 2 0)
这条性质也可用来检查最小二乘法计算的结果。
ei∑ Xi = 0
e = ei∑ /n
Y
i
= b
1
+ b
2
X
)
Y i = 49.667? 2.157 6 Xi
xi = Xi? X,yi = Yi? Y
b
2
=
x
i∑ yi
x
i
2
∑
=
(X
i
X)(Y
i
Y)∑
(X
i
X)
2
∑
=
X
i
Y
i
nXY∑
X
i
2
nX
2
∑
b
1
= Y? b
2
X
Y
i
X
i
=∑ b
1
X
i∑ + b2
X
i
2
∑
Y
i
=∑ mb
1
+ b
2
X
i∑
下载
92部分 第二部分 线性回归模型 下载
5.9 实例既然已经讨论了 O L S法，并且了解了如何对总体回归函数进行估计，现在我们来看一些具体实例。
表 5-5 S.A.T分数美国高年级学生平均学生智能测试结果,1 9 6 7? 1 9 9 0,1 9 6 7? 1 9 7 1的数据为估计值词汇 数学 a
年度 男生 女生 总计 男生 女生 总计
1 9 6 7 4 6 3 4 6 8 4 6 6 5 1 4 4 6 7 4 9 2
1 9 6 8 4 6 4 4 6 6 4 6 6 5 1 2 4 7 0 4 9 2
1 9 6 9 4 5 9 4 6 6 4 6 3 5 1 3 4 7 0 4 9 3
1 9 7 0 4 5 9 4 6 1 4 6 0 5 0 9 4 6 5 4 8 8
1 9 7 1 4 5 4 4 5 7 4 5 5 5 0 7 4 6 6 4 8 8
1 9 7 2 4 5 4 4 5 2 4 5 3 5 0 5 4 6 1 4 8 4
1 9 7 3 4 4 6 4 4 3 4 4 5 5 0 2 4 6 0 4 8 1
1 9 7 4 4 4 7 4 4 2 4 4 4 5 0 1 4 5 9 4 8 0
1 9 7 5 4 3 7 4 3 1 4 3 4 4 9 5 4 4 9 4 7 2
1 9 7 6 4 3 3 4 3 0 4 3 1 4 9 7 4 4 6 4 7 2
1 9 7 7 4 3 1 4 2 7 4 2 9 4 9 7 4 4 5 4 7 0
1 9 7 8 4 3 3 4 2 5 4 2 9 4 9 4 4 4 4 4 6 8
1 9 7 9 4 3 1 4 2 3 4 2 7 4 9 3 4 4 3 4 6 7
1 9 8 0 4 2 8 4 2 0 4 2 4 4 9 1 4 4 3 4 6 6
1 9 8 1 4 3 0 4 1 8 4 2 4 4 9 2 4 4 3 4 6 6
1 9 8 2 4 3 1 4 2 1 4 2 6 4 9 3 4 4 3 4 6 7
1 9 8 3 4 3 0 4 2 0 4 2 5 4 9 3 4 4 5 4 6 8
1 9 8 4 4 3 3 4 2 0 4 2 6 4 9 5 4 4 9 4 7 1
1 9 8 5 4 3 7 4 2 5 4 3 1 4 9 9 4 5 2 4 7 5
1 9 8 6 4 3 7 4 2 6 4 3 1 5 0 1 4 5 1 4 7 5
1 9 8 7 4 3 5 4 2 5 4 3 0 5 0 0 4 5 3 4 7 6
1 9 8 8 4 3 5 4 2 2 4 2 8 4 9 8 4 5 3 4 7 6
1 9 8 9 4 3 4 4 2 1 4 2 7 5 0 0 4 5 4 4 7 6
1 9 9 0 4 2 9 4 1 9 4 2 4 4 9 9 4 5 5 4 7 5
资料来源,The College Board,The New York Times,Aug,28,1990,p.B-5.
有一个由 2 1 2个家庭组成的随机样本，根据 O L S法得到的回归方程如下,1
其中,Y表示家庭支付的联邦收入税,X表示家庭收入，它们均以美元度量。
在这个例子中,b1=－ 1,9 2 4,b2= 0,1 9。回归结果表明：在其他条件不变的情况下，家庭收入每增加 1 000美元，平均而言，税收将增加 1 9 0美元。也可以说，家庭收入每增加 1个单位，比如说,1美元，税收将平均地增加 0,1 9美元或 1 9美分。
只不过在此例中，收入是以数以千记的美元来度量的。
前面已经提到过，在大多数情况下，截距没有什么明显的经济含义，本例亦如此。字面上解释截距就是家庭收入为零时的税赋。这并没有什么经济意义，除非我们把这个数字解释为“负的”收入税；换句话说，就是在此情况下，政府实际付给家庭 1 924美元！
)
Y i =?1.924 + 0.19Xi
例 5.1
1 参见 Richard G.Lipsey,Peter O.Steiner,Douglas D.Purvis,E c o n o m i c s,8 th ed.,Harper & Row,New Yo r k,1 9 8 7。
其中的符号有所变化。注意：为了简便，有时用,O L S回归”表示通过 O L S法得到的回归函数。
第 5章 线性回归的基本思想：双变量模型 介绍 93下载表 5 - 5给出 1 9 6 7? 1 9 9 0年期间男女学生的词汇及数学分数。假设我们想根据男生的数学分数 (X)来预测男生的词汇分数 (Y)。利用表 5 - 5提供的数据，运用 O L S法，
得到下面的回归结果：
( 5 - 2 2 )
因为该数据为时间序列，所以把时间 t作为变量的下标。这里共有 2 4年的数据
(t＝ 2 4 )。
这个回归结果有什么意义呢？这里，斜率为 1.641 8，意指如果男生的数学分数每增加 1分，平均而言，其词汇分数将增加 1,6 4分。这两个变量看似正相关。截距 － 3 8 0,4 8，没有什么实际意义，因为即使数学分数为零，词汇分数也不可能为负。当然，也有例外,B o a r d大学在举行 S,A,T考试中，如果考生数学分数为零，
则作为惩罚，他或她的词汇分数将为 － 3 8 0分。
)
Y
t
=?380.48+1.641 8X
t
例 5.2
女生的词汇分数 (Y)与数学分数 (X)之间的关系根据表 5 - 5提供的数据，运用 O L S法，得到如下回归结果：
( 5 - 2 3 )
这里 b1=－ 3 3 6,0 6,b2=1.698 5。即，当其他条件保持不变时，女生的数学分数每提高 1分，平均而言，其词汇分数平将提高 1,7 0分，这个增加值稍大于男生的增加值。同样，截距 － 3 3 6也没有什么实质意义。
)
Y i =?336.06+1.698 5Xt
例 5.3
奥肯定律布鲁金斯学会主席，前总统经济顾问委员会主席奥肯 (Arthur Okun)根据美国
1 9 4 7 - 1 9 6 0年的数据，得到如下回归方程，称之为奥肯定律：
其中,Yt表示失业率的变动率 (百分数 )，
Xt表示实际产出的增长率 (百分数 )，用实际 G N P度量，
2,5是对美国历史地观察得到的长期产出增长率。
在这个回归方程中，截距为零，斜率为 － 0,4。奥肯定律是说实际 G N P的增长每超过 2,5%一个百分点，失业率将降低 0,4个百分点。
奥肯定律被用来预测为使失业率减少到一定的百分点而所需的实际 G N P的增长率。因此，实际 G N P的增长率为 5％ 时，将使失业率减少一个百分点，或者说若使增长率达到 7,5%，则需减少失业率 2个百分点 (验证这些结论 )。
通过这个例子，我们可以了解回归结果是如何被运用到政策当中去的。
)
Y i =?0.4( Xt? 2.5)
例 5.4
关于计算式( 5 - 2 2)和( 5 - 2 3)中的回归结果是根据表 5 - 5提供的数据，利用普通最小二乘法 [式( 5 - 1 0)，
(5 - 1 7)]计算得到的。显然手工计算将是繁锁而耗时的。如今，我们可以用统计软件很快地估计类似式( 5 - 2 2)、( 5 - 2 3)那样的回归模型。在第 1章中已经提到过，在本书中，我们会不断地使用这些统计软件。因此，在适当的地方，还将给出利用这些软件得出的回归结果，以便使读者更好地了解它们。
5.10 小结本章介绍了回归分析的基本思想。从总体回归函数( P R F)开始，建立了线性总体回归函数的概念。这也是本书所关注的主要内容。线性回归是指参数线性的，而不论变量线性与否。我们还介绍了随机的总体回归函数，并且详细讨论了随机误差项的一些特性及作用。当然，总体回归函数只是建立在理论之上的，或者说是理想化的，因为，在实际中，我们仅仅可能从某一总体中获得一个或若干个样本。这也正是讨论样本回归函数( S R F)的重要意义之所在。
本章还讨论了如何获得样本回归函数。在此介绍了最常用的普通最小二乘法，并给出估计总体回归函数参数的相应计算公式。
94部分 第二部分 线性回归模型 下载名义汇率与相对价格间的关系参考习题 1,7中的表 1 - 3给出的数据。令 Y代表德国马克对美元的汇率 ( G M / $ )，
X代表美国与德国的消费者价格指数之比，即 X表示了两个国家的相对价格。利用表 1 - 3给出的数据，得到如下结果：
( 5 - 2 5 )
在这个回归方程中，斜率为－ 4,3 1 8，表明在 1 9 8 0? 1 9 9 4年期间，相对价格每上升一单位，平均而言，马克对美元的汇率下降 4,3 2个单位，也即美元将会贬值，
因为一美元将兑换更少的德国马克。斜率的经济含义是：如果价格在美国上涨得比在德国上涨得快，则美国国内的消费者将转向消费德国产品，因此，对马克的需求上升；从而导致马克的增值。这就是购买力平价理论 (或称单一价格法则 )的实质。
截距 6,6 8 2表示若相对价格为零，则马克对美元汇率的均值为 6,6 8 2，即 1美元可以兑换 6,6 8 2德国马克。但是，这种解释也并没有什么经济意义。 (为什么？ )
)
Y
t
= 6.682? 4.318 X
t
例 5.5
M B A毕业生的基本年薪 ( A S P )与 G M AT分数之间的关系 ( 1 9 9 4年 )
参考习题 5,1 7给出的数据，得出如下的回归结果：
( 5 - 2 6 )
从式 ( 5 - 2 6 )看,G M AT分数越高，则 M B A毕业生的基本年薪就越高。斜率
6 4 8,0 8表示 G M AT分数每提高 1分，平均而言,M B A毕业生基本年薪将增加 6 4 8美元，负的截距没有实际意义，因为基本年薪不可能为负值当然，除 G M AT分数之外，还有其他一些影响 A S P的因素。在第 7章中，我们将根据习题 5,1 7的数据建立一个多元回归模型，从而考虑更多的变量。
AS
)
P
i
=?335 983 + 648.08GMAT
i
例 5.6
第 5章 线性回归的基本思想：双变量模型 介绍 95下载我们用一个数值例子及若干具体实例阐述了普通最小二乘法。
下一个重要的工作是如何判定用 O L S法得到的样本回归函数的优度，这也正是下一章所要讨论的内容。
习题
5.1 解释概念
(a) 总体回归函数( P R F) (b) 样本回归函数( S R F) (c) 随机的总体回归函数 (d) 线性回归模型 (e) 随机误差项( ui) (f) 残差项( ei) (g) 条件期望 (h) 非条件期望 (i) 回归系数或回归参数 (j) 回归系数的估计量
5.2 随机的总体回归函数与随机的样本回归函数有何区别？
5.3 评论“既然我们不能观察到总体回归函数，为什么还要研究它呢？”
5.4 判断正误并说明理由。
(a)随机误差项与 ui与残差项 ei是一回事。 (b)总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值。 (c)线性回归模型意味着变量是线性的。 (d)在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果。 (e)随机变量的条件均值与非条件均值是一回事。 (f)式( 5 -
2 2)中的回归系数 B是随机变量，但式( 5 - 4)中的回归系数 bS是参数。 (g)方程( 5 - 1)中的斜率 B2
度量了 X每变动 1单位,Y的倾斜度。 (h)在实际中，双变量回归模型没有什么用，因为应变量的行为不可能仅由一个解释变量来解释。
5.5 下表列出了若干对自变量与应变量。对每一对变量，你认为它们之间的关系如何？是正的？负的？还是无法确定？也就是说，其斜率是正还是负，或都不是？并说明理由。
应变量 自变量
(a) G N P 利率
(b) 个人储蓄 利率
(c) 小麦产出 降雨量
(d) 美国国防开支 前苏联国防开支
(e)棒球明星本垒打的次数 其年薪
(f) 总统声誉 任职时间
(g) 学生第一年考试成绩平均分数 其 S,A,T分数
(h) 学生经济计量学成绩 其统计学成绩
(i) 日本汽车的进口量 美国人均国民收入
5.6 判别下列模型是否为线性回归模型：
(a)Yi=B1+B2( 1 /Xi) (b)Yi=B1+B2l nXi+ui (c)l nYi=B1+B2Xi+ui (d)l nYi=B1+B2l nXi+ui (e)
Yi=B1+B2B3Xi+ui (f)Yi=B1+B23Xi+ui
注 自然对数表示以 e为底的常用对数。
5.7 下表给出了每周家庭的消费支出 Y(美元)与每周家庭的收入(美元)的数据。
每周收入 (X) 每周消费支出 (Y)
8 0 5 5,6 0,6 5,7 0,7 5
1 0 0 6 5,7 0,7 4,8 0,8 5,8 8
1 2 0 7 9,8 4,9 0,9 4,9 8
1 4 0 8 0,9 3,9 5,1 0 3,1 0 8,11 3,11 5
1 6 0 1 0 2,1 0 7,11 0,11 6,11 8,1 2 5
1 8 0 11 0,11 5,1 2 0,1 3 0,1 3 5,1 4 0
2 0 0 1 2 0,1 3 6,1 4 0,1 4 4,1 4 5
2 2 0 1 3 5,1 3 7,1 4 0,1 5 2,1 5 7,1 6 0,1 6 2
2 4 0 1 3 7,1 4 5,1 5 5,1 6 5,1 7 5,1 8 9
2 6 0 1 5 0,1 5 2,1 7 5,1 7 8,1 8 0,1 8 5,1 9 1
(a) 对每一收入水平，计算平均的消费支出,E(Y|Xi)，即条件期望值。 (b) 以收入为横轴，消费支出为纵轴作散点图。 (c) 在该散点图上，作出( a)中的条件均值点。 (d) 你认为
X与 Y之间,X与 Y的均值之间的关系如何？ (e) 写出其总体回归函数及样本回归函数。 (f)
总体回归函数是线性的还是非线性的？
5.8 根据上题中给出的数据，对每一个 X值，随机抽取一个 Y值，结果如下：
Y 7 0 6 5 9 0 9 5 11 0 11 5 1 2 0 1 4 0 1 5 5 1 5 0
X 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0
(a) 以 Y为纵轴,X为横轴作图。 (b) 你认为 Y与 X之间是怎样的关系？ (c) 求样本回归函数？按照表 5 - 4的形式写出计算步骤？ (d) 在同一个图中，作出样本回归函数以及从习题
5,7中得到的总体回归函数。 (e) 总体回归函数与样本回归函数相同吗？为什么？
5.9 假定有如下的回归结果：
其中,Y表示美国的咖啡的消费量(每天每人消费的杯数)
X表示咖啡的零售价格(美元 /磅)
t表示时间
(a) 这是一个时间序列回归还是横截面序列回归？ (b) 画出回归线。 (c) 如何解释截距的意义？它有经济含义吗？ (d) 如何解释斜率？ (e) 你能求出真实的总体回归函数吗？
(g) 需求的价格弹性定义为：价格每变动百分之一所引起的需求量变动的百分比，用数学形式表示为：
弹性＝斜率×
即，弹性等于斜率与 X与 Y比值之积，其中 X表示价格,Y表示需求量。根据上述回归结果，
你能求出对咖啡需求的价格弹性吗？如果不能，计算此弹性还需要其他什么信息？
5.10 下表给出了消费者价格指数( 1 9 8 2? 1 9 8 4 = 1 0 0)及 5 0 0支股票的标准普尔指数(基准指数,1 9 4 1? 1943 =10)
(a) 以 C P I指数为横轴,S & P指数为纵轴作图。 (b) 你认为 C P I指数与 S & P指数之间关系如何？ (c)考虑下面的回归模型,(S & P)t=B1+B2C P It+ut 根据表中的数据，运用普通最小二乘法估计上述方程并解释你的结果。 (d) (c)中的结果有经济意义吗？ (e)你知道为什么 1 9 8 8年 S & P指数下降了吗？
5,11 证明：,从而证明,＝ 0
5.12 证明
5.13 证明 ；即残差 ei与 Yi的估计值之积的和为零。
5.14 下表给出了 1 9 8 8年 9个工业国的名义利率( X)与通货膨胀率( Y)的数据，
国家 Y(%) X(%)
澳大利亚 11,9 7,7
加拿大 9,4 4,0
法国 7,5 3,1
德国 4,0 1,6
意大利 11,3 4,8
墨西哥 6 6,3 5 1,0
瑞典 2,2 2,0
英国 1 0,3 6,8
美国 7,6 4,4
资料来源,Rudiger Dormbush,Stanley Fischer《宏观经济学》,第五版,1 9 9 0，第 6 5 2页。原始数据来自国际货币基金组织出版的《国际金融统计,。
ei∑
)
Y i = 0
ei∑ xi = 0
eei∑ = 0
X
Y
)
Y t = 2.6911?0.479 5 Xt
96部分 第二部分 线性回归模型 下载第 5章 线性回归的基本思想：双变量模型 介绍 97
(a)以利率为纵轴，通货膨胀率为横轴作图。 (b)用 O L S法进行回归分析，写出求解步骤。
(c)如果实际利率不变，则名义利率与通胀率的关系如何？即在 Y对 X的回归中，斜率如何？对名义利率、通胀率及实际利率之间关系的讨论可参见有关的宏观经济学教材，比如 D o r n b u s h
与 F i s h e r的《宏观经济学》,还可查阅以美国著名的经济学家 Irving Fisher命名的 F i s h e r方程。
5.15 实际汇率( R E)定义为名义汇率( N E)与本国价格与外国价格之比的乘积。
因此，美国对德国的实际汇率为：
R EU S= N EU S( U SC P I/ G e r m a nC P I)
(a)利用习题 1,7中表 1 - 3给出的数据，计算 R EU S。 (b)利用你熟悉的回归分析软件，对下面回归模型进行估计。
N EU S=B1+ B2R EU S+u ( 1 )
(c)先验地，你预期名义汇率与真实汇率的关系如何？你可以从有关国际贸易和宏观经济学的书中查阅有关购买力平价的理论。 (d)回归的结果验证了你的先验预期吗？如果没有，可能的原因是什么呢？ *(e)估计如下形式的回归方程：
1 n N EU S=A1+ A21 n R EU S+u ( 2 )
其中,1 n表示自然对数，即以 e为底的常用对数。( 1)式的回归结果和( 2)式的回归的结果相同吗？说明理由。
5.16 参考题 5,1 0。下表给出了 1 9 9 0? 1 9 9 6年间的 C P I指数与 S & P 5 0 0指数的数据。
(a)重复习题 5,1 0(a)到( e)的各个问题。 (b)你认为估计的回归模型有什么不同？ (c)现将两组数据联合起来，再进行回归分析。 (d)三个回归模型存在显著差异吗？
年 份 C P I 指 数
1 9 9 0 1 3 0,7 3 3 4,5 9
1 9 9 1 1 3 6,2 3 7 6,1 8
1 9 9 2 1 4 0,3 4 1 5,7 4
1 9 9 3 1 4 4,5 4 5 1,4 1
1 9 9 4 1 4 8,2 4 6 0,3 3
1 9 9 5 1 5 2,4 5 4 1,6 4
1 9 9 6 1 5 9,6 6 7 0,8 3
资料来源：总统经济报告,1 9 9 7,C P I指数见表 B - 6 0，第 3 8 0页； S & P指数见表 B - 9 3，第 4 0 6页。
5.17 下表给出了美国 3 0所知名学校的 M B A学生 1 9 9 4年基本年薪( A S P),G PA分数(从 1到 4
共四个等级),G M AT分数以及每年学费的数据。
(a)用双变量回归模型分析 G PA是否对 A S P有影响？ (b)用合适的回归模型分析 G M AT分数是否与 A S P有关系？ (c)每年的学费与 A S P有关吗？你是如何知道的？如果两变量之间正相关，是否意味着进到最高费用的商业学校是有利的。 (d)你同意高学费的商业学校意味着高质量的 M B A成绩吗？为什么？
表 5-6 1994年 M B A毕业生平均初职薪水学 校 A S P /美元 G PA G M AT 学费/美元
H a r v a r d 102 630 3,4 6 5 0 23 894
S t a n f o r d 100 800 3,3 6 6 5 21 189
C o l u m b i a n 100 480 3,3 6 4 0 21 400
D a r t m o u t h 95 410 3,4 6 6 0 21 225
W h a r t o n 89 930 3,4 6 5 0 21 050
N o r t h w e s t e r n 84 640 3,3 6 4 0 20 634
C h i c a g o 83 210 3,3 6 5 0 21 656
M I T 80 500 3,5 6 5 0 21 690
下载
(续)
学 校 A S P /美元 G PA G M AT 学费 /美元
Vi rg i n i a 74 280 3,2 6 4 3 1 7 8 3 9
U C L A 74 010 3,5 6 4 0 1 4 4 9 6
B e r k e l e y 71 970 3,2 6 4 7 1 4 3 6 1
C o r n e l l 71 970 3,2 6 3 0 2 0 4 0 0
N Y U 70 660 3,2 6 3 0 2 0 2 7 6
D u k e 70 490 3,3 6 2 3 2 1 9 1 0
Carriegie Mellon 59 890 3,2 6 3 5 2 0 6 0 0
North Carolina 69 880 3,2 6 2 1 1 0 1 3 2
M i c h i g a n 67 820 3,2 6 3 0 2 0 9 6 0
Te x a s 61 890 3,3 6 2 5 8 5 8 0
I n d i a n a 58 520 3,2 6 1 5 1 4 0 3 6
P u r d u e 54 720 3,2 5 8 1 9 5 5 6
Case We s t e r n 57 200 3,1 5 9 1 1 7 6 0 0
G e o rg e t o w n 69 830 3,2 6 1 9 1 9 5 8 4
Michigan State 41 820 3,2 5 9 0 1 6 0 5 7
Penn State 49 120 3,2 5 8 0 11 4 0 0
Southern Methodist 60 910 3,1 6 0 0 1 8 0 3 4
Tu l a n e 44 080 3,1 6 0 0 1 9 5 5 0
I l l i n o i s 47 130 3,2 6 1 6 1 2 6 2 8
L o w a 41 620 3,2 5 9 0 9 3 6 1
M i n n e s o t a 48 250 3,2 6 0 0 1 2 6 1 8
Wa s h i n g t o n 44 140 3,3 6 1 7 11 4 3 6
附录 5A 最小二乘估计量的推导从式( 5 - 1 3)开始：
(5 A - 1)
利用偏微分，得
(5 A - 2)
(5 A - 3)
根据最优化的一阶条件，令上述两式为零，于是有：
(5 A - 4)
(5 A - 5)
即为正文中的式( 5 - 1 4)和式( 5 - 1 5)。
联力求解这两个方程，即得式( 5 - 1 6)和( 5 - 1 7)。
YiXi∑ = b1 Xi + b2 Xi
2
∑∑
Yi∑ = nb1 + b2 Xi∑
e
i
2
/?b
2
= 2 (Y
i
b
1
b
2
X
i
) (?X
i
)∑∑
e
i
2
/?b
1
= 2 (Y
i
b
1
b
2
X
1
) (?1)∑∑
ei
2
= (Yi? b1? b2X1)∑∑
98部分 第二部分 线性回归模型 下载下载在前面一章里，我们介绍了最小二乘法。通过表 5 - 2给出的样本的数据，运用最小二乘法，
求得下面的需求函数：
= 4 9,6 6 7－ 2.157 6Xi ( 5 - 1 8 )
这是统计推断的估计阶段，我们现在把注意力转向统计推断的另一个阶级 — 假设检验。
在此，提出一个重要问题：式( 5 - 1 8)给出的估计回归直线的“优度”如何？也就是说，怎样判别它确实是真实的总体回归函数的一个好的估计量呢？如何仅仅根据表 5 - 2给出的一个样本，来确定估计的回归函数(即样本回归函数)确实是真实总体回归函数的一个好的近似呢？
我们无法清楚地回答这个问题，除非对总体回归函数知道的更多一些。式( 5 - 2)表明,Yi依赖于 Xi与 ui。现在假设 Xi值是给定的或是已知的 — 回顾在第 5章中，我们的分析是条件回归分析，是以给定 Xs为条件。简言之，我们把 X看作是非随机的。随机误差项 u当然是随机的(为什么？)。由于 Y的生成是在随机误差项( u)上加上一个非随机项( X)，因而 Y也就变成了随机变量。
所有这些意味着：只有假定随机误差项是如何生成的，才能判定样本回归函数对真实回归函数拟合的好坏。到目前为止，在求普通最小二乘估计量的过程中，没有涉及 ui是如何生成的，因为 O L S估计量的生成与随机误差项的假定无关。但是，在对样本回归函数进行假设检验时，如果不知道误差项的生成过程，假设检验将无法进行，随后将会看到，只有对 ui的生成做一些特殊的假定，才能完成假设检验。这正是将要讨论的 古典线性回归模型 (Classical Linear
Regression Model,CLRM)。我们将沿用第 5章中介绍的双变量回归模型来解释其基本思想。在第 7章中，我们还将把这一思想推广到多元回归模型之中。
6.1 古典线性回归模型古典线性回归模型有如下一些基本假定：
A6.1 解释变量 (X)与扰动误差项不相关。但是，如果 X是非随机的,(即其值为固定数值 )，
则该假定自动满足。
这个假定对我们来说并不陌生，在第 5章中，我们已经明确，回归分析是条件回归分析，
是以给定 X值为条件的。从根本上说，我们一直假定 X是非随机的。这个假定主要是为了处理第 1 5章中的联立方程回归模型的问题。
A6.2 扰动项的期望或均值为零。即，
E(ui)= 0 (6 - 1)
)
Y i
第 6 章
■ 双变量模型：假设检验该假定表明：平均地看，随机扰动项对 Yi没有任何影响，也就是说，正值与负值相互抵消。图
6 - 1给出了它的直观图形。
A6.3 同方差 (h o m o s c e d a s t i c)假定，即每个 ui的方差为一常数 2。
Va r (ui) = 2 (6 - 2)
图 6 - 2 a给出了这一假定的几何图形。该假定可简单地理解为,与给定 X相对应的每个 Y的条件分布同方差；也即,每个 Y值以相同的方差,分布在其均值周围。 1如果不是这种情况,则称为异方差,见图 6 - 2 b。
b图表明,每个 Y的方差不同。(与图 6 - 2 a对照)。古典线性回归模型对方差的假定见图 6 - 2 a。
图 6-1 扰动项的条件分布
A6.4 无自相关 (no autocorrelation)假定，即两个误差项之间不相关。其数学数形式为，
c o v (ui,uj)=0 i≠ j ( 6 - 3 )
这里,c o v表示协方差(见第 2章),i和 j表示任意的两个误差项。(注：如果 i=j，则式( 6 - 3)就给出了的方差的表达式)。
图 6 - 3给出了自相关的几种图形。假定 6,4表明：两误差项之间没有系统的关系。如果某一个误差项 u大于其均值，并不意味着另一个误差项也在均值之上(对正相关而言)，或者，如果一个误差项小于均值，也并不意味着另一个误差项一定在均值之上，反之亦反(对于负相关而言)。
简言之，无自相关假定表明误差项 ui是随机的。
图 6 - 2
a )同方差 b )异方差
100部分 第二部分 线性回归模型 下载需求量价格
均值
1 由于 X值是假设给定的或是非随机的，因此,Y中惟一变化的部分来自于 u。因此，给定 Xi,ui与 Yi同方差。
简言之,ui的(条件)方差等于 Yi的(条件)方差 2。但是，注意：在第 2章中讨论过,Y的非条件方差为 E[Yi
－ E(Y) ]2。与之相对,Y的样本非条件方差为 。(Y
i
Y)∑ /( n?1)
a) b)
第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 101
图 6-3 自相关
a )无自相关 b) 正的自相关 c )负的自相关读者或许对这些假定感到迷惑，为什么需要这些假定呢？它们的现实意义如何呢？如果这些假定不为真，情况又会怎样呢？如何知道某一回归模型确实满足所有这些假定呢？这些问题显然是很重要的，但是，在这一专题的开始阶段，我们不能对所有这些问题都给出满意的答案。
事实上，本书的整个第三部分都是围绕着(古典线性回归模型的)一个或若干个假定不满足时，
会发生什么情况而展开的。需要记住的是：对任何一门科学的探求，我们都会做一些假定，因为这样会有助于我们逐步地建立专题问题，而不是因为这些假定是现实所必需的。这里，类比法将会对我们的学习有所帮助。经济系的学生在学习不完全竞争模型之前，总是先学完全竞争的模型。因为对完全竞争模型的学习可以使学生更好地理解不完全竞争模型，而并不是因为完全竞争模型是现实所必需的。此外，也有一些市场是完全竞争的，例如股票市场和外汇市场。
6.2 普通最小二乘估计量的方差与标准差上述这些假定的一个直接结果是：它们使我们能够估计式( 5 - 1 6)和( 5 - 1 7)给出的这些 O L S估计量的方差及标准差。在第 4章已经讨论过基本的估计理论，包括(点)估计量，抽样分布以及估计量的方差及标准差的概念。回顾这些知识，我们知道式( 5 - 1 0)和( 5 - 11)式给出的 O L S估计量是随机变量，因为它们的值随样本的不同而变化。很自然地，我们想了解这些估计量的抽样差异性，即它们随着样本的变化是如何变化的。这种抽样差异性通常由估计量的方差或其标准差来度量。式( 5 - 1 6)，式( 5 - 1 7)给出的 O L S估计量的 方差 (v a r i a n c e)及 标准差 (standard error),1
(6 - 4)
(注：这个公式中既有小写的 x，又有大写的 X。)
(6 - 5)
( 6 - 6 )
( 6 - 7 )
其中,v a r表示方差,s e表示标准差,2是扰动项 ui的方差。根据同方差假定，每一个 ui具有相同的方差 2。
一旦知道了 2，就很容易计算等式右边的项，从而可以求得 O L S估计量的方差与标准差。
同方差 2，由下式来估计：
se(b2) = var(b2)
var( b2 ) =
2
xi
2
∑
se(b1) = var( b1)
var( b
1
) =
X
i
2
∑
n x
i
2
∑
2
下载
1 证明见 Damodar N,Gjarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5,p p,9 5 - 9 6。
a) b) c)
102部分 第二部分 线性回归模型
(6 - 8)
其中,是 2的估计量(回顾一下，用符号 ^表示一个估计量),是残差平方和( R S S)，即 Y
的真实值与估计值差的平方和,。
(n－ 2)称为自由度，在第 3章中已经讲过，它可以简单地看作是独立观察值的个数。 1
一旦计算出 ei，就很容易求得,同时有，
(6 - 9)
即,的正平方根称为 估计值的标准差 (standard error of the estimate)或是 回归标准差 (s t a n d a r d
error of the regression)，它是 Y值偏离估计的回归直线的标准方差。 2估计值的标准差通常用作对估计回归线的 拟合优度 (goodness of fit)的简单度量，我们将在 6,6节中详细讨论。
6.2.1 Wi d g e t一例中的方差和标准差利用上述公式，计算 w i d g e t一例的方差及标准差，见表 6 - 1，必要的原始数据已在表 5 - 4中给出。
6.2.2 widget需求函数小结估计的对 w i d g e t的需求函数如下：
(6 - 1 6)
se=(0.746 4) (0.120 3)
其中，括号内的数字表示估计的标准差。有些时侯，回归结果是以上面的形式给出(在 6,7节中，
更多地使用了这种形式)。
表 6-1 widget一例中计算估计量 公式 结果 式注：原始数据见表 5 - 4，在计算估计量的方差时，用 2的无偏估计量 代替他。
该表达式直接给出了估计的参数值及其标准差。例如，它告诉我们需求函数的斜率(即，价格变量的系数)为－ 2.157 6，其标准差为 0.120 3— 它度量了来自于不同样本的 b2差异性。如何利用这一结果呢？比如，我们能说计算 b2位于真实值 B2的某个误差范围内吗？如果可以，那么，
)
2
)
Y
i
= 49.667 0? 2.1576X
i
)
2
)
=
)
2
ei
2
∑
(Yi?Y )
2
∑
ei
2
∑
)
2
)
2
=
ei
2
∑
n? 2
1 注意，只有计算出,才能求出 ei，但是要计算 ei，必须先求 b1和 b2。在估计这两个未知参数时，我们失去 2个自由度，因此，虽然有几个观察值，但自由度仅为 (n－ 2 )。
2 注意回归标准差 ( )与样本标准差 (Sy)的区别。后者是依据 Y的均值来度量的，计算公式为：
S
y
=
(Y
i
Y )
2
n?1
∑
)
)
Y
i
)
2
)
而前者是依据由样本回归得到的估计值( )来度量的，参见脚注 1。 Y
i
下载第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 103下载在某一置信区间内，能否确定样本回归函数( 6 - 1 6)对真实总体回归函数的拟合优度？当然，这是假设检验的内容。
但是，在讨论假设检验之前，需要了解更多的理论。特别地，既然 b1和 b2是随机变量，必须求得它们的 抽样 (S a m p l i n g)或 概率分布 (Probability distribution)：回顾第 3章、第 4章讲到的随机变量的概率密度。在 6,5节中，我们将会看到，一旦确定了这两个估计量的抽样分布，那么假设检验就是举手之劳的事了。这里，我们先要回答的一个重要问题：为什么要用 O L S法？
6.3 普通最小二乘估计量的性质
O L S法得到如此广泛的使用，是因为它有一些理想的理论性质。高斯 — 马尔柯夫定理说明了这一点：若满足古典线性回归模型的基本假定，则在所有无偏估计量中,O L S估计量具有最小方差性；即 O L S估计量是 最优线性无偏 (Best Linear Unbiased Estimator,BLUE)估计量。
我们已在第 4章中讨论过最优线性无偏估计量的性质。简言之,O L S估计量 b1和 b2满足：
(1) 线性；即 b1和 b2是随机变量 Y的线性函数。见式( 5 - 1 6)和式( 5 - 1 7)。 1
(2) 无偏性； 2即，
E (b1) =B1
E (b2) =B2
E( ) = 2
因此，平均地看,b1和 b2将与其真实值 B1和 B2相一致,将与真实的 2相一致。
(3) 最小方差性 3即，
b1的方差小于其他任何一个 B1的无偏估计量的方差。
b2的方差小于其他任何一个 B2的无偏估计量的方差。
根据这个性质，如果我们使用 O L S法，将能够更准确地估计 B1和 B2，虽然，其他的方法也能得到 B1和 B2的线性无偏估计量。
我们得出结论,O L S估计量有许多有用的统计性质。正因为如此，在回归分析中,O L S法才会如此广泛地应用。
蒙特卡罗试验在理论上,O L S估计量是无偏估计量，但是，在实际中，如何知道它们是不是无偏的呢？
让我们来做如下的蒙特卡罗试验( Monte Carlo Experiment)。
假定已知如下信息：
Yi=B1+B2Xi+ui
= 1,5 + 2,0Xi+ui
其中,ui? N( 0,4)。
即已知真实的截距和斜率分别为 1,5和 2,0，随机误差项服从均值为 0，方差为 4的正态分布，
现假定 X有 1 0个观察值,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1 0。
利用这些信息，可进行如下分析。利用统计软件，从 N(0,4)正态分布中生成 1 0个 ui值。根
)
2
)
2
1 考虑,。令 因此，有,表明,b2是 y的线形函数，因为,y以 1
次方的形式出现。注意，这里我们把 xi看作非随机变量。
2 证明见 Damodar N.Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5,p p,9 7 - 9 8。
3 证明见脚注 6。
b
2
= ∑
i
y
ii
= x
i
/ x
i
2
∑b2 = xi∑,yi / xi
2
∑
据给定的 B1和 B2,以及 1 0个 X值和 11 0个生成的 ui值，通过上述等式可以得到 1 0个 Y值。称此样本为样本 1。回到正态分布表，生成另外 1 0个 ui值，得到另外 1 0个 Y值，称为样本 2，按此方式，
假定我们得到 2 0多个样本。
对每个样本进行回归，得到 b1,b2以及 。因此，可得到 2 1个不同的 b1和 b2和 。试验及试验结果见表 6 - 2。
表 6-2 蒙特卡罗试验,1,5 + 2,0Xi+ui； u~N( 0,4 )
b1 b2
根据表 6 - 2给出的数据，可计算出平均的 b1和 b2及 的值分别为 1.452 6,1.966 5和 4.474 3,
但相应的真实系数分别为 1,5,2,0和 4。
从这个试验我们得出什么样的结论呢？如果反复地运用最小二乘法，则平均地看，估计值将等于其真实值(总体参数)。也即 O L S估计量是无偏的。在此例中，若做更多次抽样试验(多于
2 1次)，将会得到更接近于真实值的估计值。
6.4 OLS估计量的抽样分布或概率分布既然已经了解了如何计算 O L S估计量以及其标准差，也对这些估计量的统计性质进行了研究，接下来就需要求出这些估计量的抽样分布。如果不具备上述知识，就无法辨别这些估计量接近其总体真实值的程度如何。至于估计量抽样分布的一般定义，我们已在第 3章中讨论过。
(见 3 - 2节)
为了求得 O L S估计量 b1和 b2的抽样分布，我们需要在古典线性回归模型的的基本假定上再增加一条假定，即：
)
2
)
2
)
2
)
2
104部分 第二部分 线性回归模型 下载第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 105下载
A6.5 在总体回归函数 Yi=B1+B2Xi+ui中，误差项 ui服从均值为零，方差为 2的正态分布，即，
ui~ N( 0,2) ( 6 - 1 7 )
这个假定的理论基础是什么呢？在统计学中有一个非常著名的定理：即在第 3章中介绍过的 中心极限定理 (Central Limit Theorem,C LT) (参见 3,2节)。
中心极限定理的内容是：独立同分布随机变量，随着变量个数的无限增加，其和的分布近似服从正态分布。
回顾第 5章讨论过的误差项 ui的特性。误差项代表了在回归模型中没有单列出来的所有其他影响因素。因为在众多的影响因素中，每种因素对 Y的影响可能都很微弱。如果所有这些影响因素都是随机的，且用 ui代表所有这些影响因素之和，那么根据中心极限定理，能够假定误差项服从正态分布。我们已经假定了 u的均值为 0，而且其方差满足同方差性假定，即为常数 2。
因此，得到式( 6 - 1 7)。
但是,u服从正态分布的假定是如何帮助我们求得 b1和 b2的概率分布呢？这里，要用到第 3
章讨论过的正态变量的另外一条性质，即正态变量的线性函数仍服从正态分布。这是否意味着：
如果证明了 b1和 b2是正态变量的线性函数，那么,b1和 b2就服从正态分布吗？你猜对了！的确可以证明这两个 O L S估计量确实是正态变量 ui的线性函数。 1
我们知道正态分布随机变量有两个特征数，均值和方差，那么，正态变量 b1和 b2的均值和方差是什么呢？
b1? N(B1,2b
1
) (6 - 1 8)
其中，
其中，
简言之,b1和 b2分别服从均值为 B1和 B2、方差为式( 6 - 4)和式( 6 - 6)的正态分布。
图 6 - 4给出了这些估计量分布的几何图形。
6.5 假设检验让我们回到 w i d g e t一例，式( 6 - 1 6)给出了估计的需求函数，假定价格对需求量没有影响，
即，零假设为：
H0:B2= 0
在回归分析中，这样一个,0” 零假设 (,Z e r o” null hypothesis)，也称之为 稻草人假设
(straw man hypothesis)。故意地选择这样一个假设，是为了看 Y究竟是否与 X有关。如果一开始
X与 Y就无关，那么再检验假设,B2=－ 2或 B2为其他任何值就没有意义了。当然，如果零假设为真，则就没有必要把 X包括到模型之中。因此，如果 X确实属于这个模型，那么，我们就期望拒绝,0”零假设 H0而接受备择假设 H1，比如说,B2≠ 0。
我们的数字结果显示,b2=-2.157 6。因此，在 w i d g e t一例中，零假设是靠不住的。但是，
b
2
2
= var(b
2
) =
2
x
i
2
∑
b
2
~ N(B
2
,
b
2
2
)
b
1
2
= var(b
1
) =
X
i
2
2
∑
n x
i
2
∑
1 在脚注 5中，已经证明了,。即 b2是 y的线性函数。但 Y本身又是 ui的线性函数，这一点可以从式 ( 5 - 2 )可以看出。 (注,Bs和 X为常量或是非随机的 )。如果假定 u服从正态分布，则 u的线性函数 Y也服从正态分布。但由于 b2是 y的线性函数，因此，最终 b2是 u的线性函数，所以,b2服从正态分布。同理可证，
b1也服从正态分布。
b
2
=
i∑ yi
106部分 第二部分 线性回归模型 下载不能仅仅看数值结果，因为由于抽样波动性，所得数值会因样本的变化而不同。显然，需要某一正式的检验过程拒绝或不拒绝零假设。我们该如何进行呢？
图 6 - 4
现在这已不成什么问题，根据式( 6 - 1 9),b2服从均值为 B2，方差为 的正态分布。
那么，根据第 4章第 4,5节关于假设检验的讨论，可以选择：
(1) 置信区间法
(2) 显著性检验法对 B2和 B1的参数 b1,b2，进行假设检验。
由于 b2服从均值为 B2，方差为 的正态分布，则变量 Z服从标准正态分布，
(6 - 2 0)
根据第 3章中介绍的标准正态分布的一条特殊性质，即正态分布的 9 5%的区域位于( u－
2 u +2 )之间。因此，如果零假设为 B2＝ 0，计算得到的 b2=－ 2.157 6，我们就能够根据标准正态分布 Z，求得获此 b2的概率。如果这个概率非常小，我们就能拒绝零假设，但是，如果这个概率值较大，比如说，大于 1 0%，我们就不可以拒绝零假设。
为了用式( 6 - 2 0)，必须知道真实的 2。而 2是未知的，但可以根据式( 6 - 8)用 来估计它。
如果在式( 6 - 2 0)中用 来代替,则式( 6 - 2 0)的右边服从自由度为( n-2)的 t分布，而不是标准正态分布，即
(6 - 2 1)
更一般地，
(6 - 2 2)
注意：在计算 时失去了两个自由度。
因此，在此情况下，为了检验零假设，需用 t分布来代替(标准)正态分布，但假设检验的过程不变。
6.5.1 置信区间法在 w i d g e t一例中，共有 1 0个观察值，因而，自由度为( 1 0－ 2)= 8。假定置信水平 为 5%(犯第一类错误的概率)。由于备择假设是双边的，从附录 A中表 A - 2的 t分布表得：
P( -2,3 0 6≤ t≤ 2,3 0 6） = 0,9 5 (6 - 2 3)
即 t值(自由度为 8)位于上、下限之间的概率为 9 5%；这个上、下限就是 t的临界值。将式( 6 - 2 1)代到式( 6 - 2 3)，得到，
)
2
b
2
B
2
se(b
2
)
~ t
n?2
b
2
B
2
)
/ x
i
2
∑
~ t
n?2
)
)
2
Z =
b
2
B
2
se(b
2
)
=
b
2
B
2
/ x
i
2
∑
~ N(0,1)
2
/ x
i
2
∑
2
/ x
i
2
∑
第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 107下载
(6 - 2 4)
重新整理式( 6 - 2 4)，得
(6 - 2 5)
或，更一般地，
P[b2－ 2,3 0 6 s e (b2)≤ B2≤ b2+ 2,3 0 6 s e (b2) ] = 0,9 5 (6 - 2 6)
式( 6 - 2 6)给出了 B2的一个 9 5%的 置信区间 (confidence interval)。重复应用上述过程，求得的 1 0 0
个这样的区间中将有 9 5个包括真实 B2。用假设检验的语言，把这样的置信区间称为( H0的) 接受区域 (region of acceptance)，把置信区间以外的区域称为( H0的) 拒绝区域 (rejection region)
图 6 - 5(a)给出了 9 5%置信区间的几何图形。
根据第 4章的讨论，如果这个区间(即接受区域)包括零假设值 B2，则不拒绝零假设。但如果零假设值落在置信区间以外(即拒绝区域)，则拒绝零假设。需时刻记住的是：无论做何种决定，
都会以一定的概率(比如说 5%)犯错误。
剩下的工作，就是求 w i d g e t一例的具体数值了。但现在已很容易，因为我们已得到
s e(b2)=0.120 3，将这个值代入式 ( 6 - 2 6)，得到一个 9 5%的置信区间，
－ 2.157 6－ 2,3 0 6(0.120 3)≤ B2≤－ 2.157 6+2.306(0.120 3)
即,－ 2.435 0≤ B2≤－ 1,8 8 0 2 (6 - 2 7)
图 6 - 5
a )B2的 9 5%的置信区间 b) widget一例中的斜率的 9 5%的置信区间因为，这个区间没有包括零假设值 0，所以拒绝零假设：价格对 w i d g e t的需求量没有影响。
换言之，价格确实决定了需求量。
值得注意的一点是：正如第四章中所讨论的，虽然式( 6 - 2 6)式为真，但不能说，某一特定的区间 [比如式( 6 - 2 6)]包括真实 B2的概率为 9 5%。因为，与式( 6 - 2 6)不同，式( 6 - 2 7)是固定的，而不是一个随机的区间。所以,B2位于式( 6 - 2 7)这个区间的概率为 1或 0。只能说如果建立像式( 6 -
2 7)那样的区间 1 0 0个，有 9 5个这样的区间将包括真实 B2；我们不能保证某一特定区间一定包括
B2。
与上述过程相同，读者可以验证，截距 B1的 9 5%的置信区间为
4 7,9 4 6≤ B1≤ 5 1,3 8 8 (6 - 2 8)
如果,H0:B1= 0,H1:B1≠ 01显然，这个零假设将被拒绝，因为上述 9 5%的置信区间不包括 0，
另一方面，如果零假设值为真,B1= 5 0，则不能拒绝该假设，因为有 9 5%的置信区间包括这个
a)
b2
b)
值。
6.5.2 假设检验的显著性检验法这种假设检验方法的关键是求 t统计量(参见第 4章)及在零假设下的 t统计量的抽样分布。决定接受还是拒绝零假设，是根据从样本数据求得的检验统计量的值而定的。
回顾 t统计量，
它服从自由度为( n－ 2)的 t分布。如果有：
H0:B2=B*2
其中,B*2是 B2的某一给定值，(例如,B*2= 0)，则，
(6 - 2 9)
式( 6 - 2 9)很容易根据样本数据求出。由于式( 6 - 2 9)右边所有的量均为已知，因此，可用计算出的 t值作为检验统计量，它服从自由度为( n－ 2)的 t分布。与此相对应的检验过程称为 t检验。 1
在具体运用 t检验时，需要知道：
(1) 对于双变量模型，自由度总为( n－ 2)。
(2) 虽然在经验分析中常用的 有 1%,5%或 1 0%，但置信水平 是由个人任意选取。 2
(3) 可用于单边或双边检验(参见表 4 - 2及图 4 - 7)。
6.5.3 Wi d g e t需求的继续
(1) 双边检验( two-tailed test)。
提出,H0:B2= 0,H1:B2≠ 0
利用式( 6 - 2 9)，
根据 t分布表，求得 t的临界值(双边)为(见图 6 - 6)：
图 6-6 t分布图显著水平 0,0 1 0,0 5 0,1 0
t临界值 3,3 5 5 2,3 0 6 1,8 6 0
t =
2.1576?0
0.120 3
=?17.94
t =
b
2
B
2
*
se(b
2
)
t =
b
2
B
2
se(b
2
)
108部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 置信区间法与显著性检验法的区别在于，前者不知道真实的 B2值，因而，通过建立一个 ( 1－ )的置信区间来猜测它。而另一方面，在显著性检验方法中，我们假设真实 B2为某一具体值 ( =B*2)，从而探求样本值
b2是否“充分地”按近假设值 B*2。
2 需要提醒注意：在第 4章中有关置信水平中 p值 (即准确的置信水平 )的讨论。给出检验统计量的 p值是选择置信水平的一种好的方法。
第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 109下载表 4 - 2给出了双边 t检验的情况，如果计算得到的| t|值超过了 t临界值，则将拒绝零假设。因此，在此例中，我们拒绝零假设,B2= 0，因为计算的| t|值为 1 7,9 4，甚至在 1%显著水平下，也远远超过了 t临界值。我们得到了与置信区间法相同的结论。这并不值得奇怪，因为置信区间和显著性检验法只不过是“同一枚硬币的正反两面” 。
同时，我们得到 t统计量( 1 7,9 4)的 p值(概率值)。它甚至远远小于 0.000 2的显著水平。根据
t分布表，可知 t值大于等于 4,5 0 1的概率为 0,0 0 2(自由度为 8，双边检验)；由于 1 7,9 4远大于
4,5 0 1，因此得此 t值的概率一定小于 0,0 0 2。(利用计算机求解，求得获此 t值( 1 7,9 4)的概率约为
0.000 000 5。)
(2) 单边检验( one-tailed test)
由于预期需求函数中的价格系数为负，因此，实际的假设为,H0:B2= 0,H1:B2< 0。
这里的备择假设是单边的。
t检验过程与前面讲过的相同，只是，犯第一类错误的概率不是均等地分布在 t分布的两侧，
而是仅集中于一侧，或左侧或右侧。在此例中，为左侧(为什么？)。从 t分布表得到 t临界值(左边的)为：
在 w i d g e t一例中，在零假设 B2= 0下，
t=－ 1 7,9 4 ( 6 - 3 0 )
因为在 1%显著水平下，该 t值比 t临界值- 2,8 9 6小得多，根据表 4 - 2中的规则，我们拒绝零假设：真实的价格系数为 0(参见图 6 - 7)。 1换言之，我们能够接受备择假设：价格系数为负。这也与经济理论相符合(参见图 6 - 7(b) )。无须赘言，我们可用同样的方法对真实的截距进行 t检验。
图 6-7 t单边检验显著水平 0,0 1 0,0 5 0,1 0
t临界值 － 2,8 9 6 － 1,8 6 0 － 1,3 9 7
1 有的作者称计算的 t值是高度的统计显著的。这可简单地理解为获此 t值的概率极小。(前面已经看到,p
值为 0.000 000 5。)
a)
b)
6.5.4 检验 2的显著性,2检验回顾例 3,9，样本方差 S2服从在回归中,是 的估计量。因而，假定随机样本来自正态总体，可以证明，
( 6 - 3 1 )
它服从自由度为( n－ 2)的 2分布。因此，如果在零假设下，给定 的值，就能用 2检验来检验真实的 。我们仍用 w i d g e t一例来说明。
在 w i d g e t一例中,= 1,1 9 3 9。假设真实的 为 1,5。我们能接受这个假设吗？利用式( 6 - 3 1),求得
( 6 - 3 2 )
根据附录 A - 4的 2分布表，查得 2值大于或等于 6,3 7的概率在 0,7 5 ~ 0,5 0之间。(自由度为 8)，这比通常用的 0,0 1或 0,0 5略高，借助计算机，我们求得获此 2值( 6 - 3 7)的 p值约为 0,6 1。因而，若在显著水平 为 0,0 5或 0,1 0下，我们不能拒绝假设：真实 2为 1,5。换言之，样本值 1,9 3 9与真实值 1,5不是有显著差别的。
上述讨论表明，一旦知道给定估计量所服从的概率分布(或抽样分布)，那么，对这一估计量的真实值进行假设检验将会很容易。
6.6 拟合优度的检验：判定系数 r 2
上一节中的分析表明，根据 t检验，估计的斜率和截距均为统计显著的，这说明式( 6 - 1 6)样本回归函数很好地拟合了数据。当然，并非每一个 Y值都准确落在了估计的总体回归线上。也就是说，并非所有的 都为 0；从表 5 - 4可以看到，有些 e值为正，有些则为负。能否建立一个“拟合优度”的度量规则，从而辨别估计的回归线拟合真实 Y值的优劣？的确可以，我们称之为 判定系数 (c o e fficient of determination)，用符号 r2表示。下面来看如何计算 r2？
回顾，
(5 - 5)
将式( 5 - 5)稍微变形，得到：
= + (即 ei) (6 - 3 3)
(Yi与其均值的偏差) ( 与其均值的偏差) (残差)
用小写字母表示与均值的偏差，得到：
(6 - 3 4)
(注：,所以，,即真实 Y值的均值等于估计 Y值的均值。)
或,yi=b2xi+ei (6 - 3 5)1
现对( 6 - 3 4)式两边同时平方再求和，经过数学变形后，得到：
(6 - 3 6)
或等价地，
(6 - 3 7)2y
i
2
∑ = b2
2
x
i
2
∑ + ei
2
∑
y
i
2
∑ =
)
y
i
2
∑ + ei
2
∑
)
Y = Yyi = Yi? Y,e = 0
y
i
=
)
y
i
+ e
i
)
Y
i
(Y
i
)
Y
t
)
(
)
Y
i
Y)(Y
i
Y)
Y
i
=
)
Y
i
+ e
i
e
i
= Y
i
)
Y
i
8(1.193 9)
1.5
= 6.367 5
2
)
2
2
2
(n?2)
2
2
~
( n?1)
2
2
)
2
(n?1)S
2
2
~
(n?1)
2
110部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 S R F,Yi=b1+b2Xi+ei，用偏差形式(即每一个变量表示为与其样本均值的偏差)变为 。用偏差的形式，截距 b2并在模型中出现。
2 对式( 6 - 3 4)两边平方再求和，得到由于,。 注,xi = Xi? X
)
y
i∑ ei
= b
2
,x
i∑ ei
= 0
y
i
2
∑ =
)
y
i
2
∑ + ei
2
∑ + 2
)
y
i∑ ei
= b
2
2
x
i
2
∑ + ei
2
∑
y
i
= b
2
x
i
+ e
i
,
)
y
i
= b
2
x
i
第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 111
注：
随后将会看到，这是一个重要的关系。
式( 6 - 3 6)中出现的各种平方和定义如下：
表示 总离差平方和 (total sum of squares,TSS),1
表示 回归平方和 (explained sum of squares,ESS)，
表示 残差平方和 (residual sum of squares,RSS)。
则式( 6 - 3 6)可简化成为，
T S S = E S S + R S S (6 - 3 8)
式( 6 - 3 8)表明,Y值与其均值的总离差可以分解为两个部分：一部分归于回归线，另一部分归于随机因素，因为并不是所有的真实观察值 Y都落在拟合的直线上，我们可以从图 6 - 8中清楚地看到这一点。
现在，若要选择好的拟合样本回归函数，则要求 E S S比 R S S大得多：若所有真实的 Y值都落在拟合的样本回归线上，则 R S S将为 0；另一方面，如果样本回归线拟合的不好，则 R S S将比
E S S大得多；这里，存在的极端的情形是，如果 X不能解释 Y，则 E S S将为 0，而 R S S等于 T S S。
但也存在相反的情况。一般典型地情况是,E S S和 R S S均不为零，如果 E S S相对地比 R S S大，则样本回归函数将能在很大程度上解释 Y的变动；如果 R S S比 E S S相对大一些，则样本回归函数只能部分解释 Y的变动。所有这些定性分析，从直觉上易于理解，但是，能否从定量的角度来分析呢？如果把式( 6 - 3 8)两边同除以 T S S，得到，
(6 - 3 9)
定义，
(6 - 4 0)
我们称 r2为判定系数，通常用来度量回归线的拟合优度。用文字表述即为，判定系数度量了回归模型对 Y的变动解释的比例(或百分比)。
图 6-8 Yi中总变动的分解
r
2
=
ESS
TSS
1 =
ESS
TSS
+
RSS
TSS
e
i
2
∑
)
y
i
2
∑
y
i
2
∑
)
y
1
= b
2
x
i
1 术语离差与方差不同。离差表示变量与其偏差的平方和。方差表示离差除以相应的自由度。简言之，方差 =离差 /自由度。
下载下面给出 r2的两条性质：
(1) 非负性(为什么？)。
(2) 0≤ r2≤ 1，因为部分( E S S)不可能大于整体( T S S),1若 r2＝ 1，表示线性模型完全解释 Yi的变动，若 r2＝ 0，则表示 Y与 X之间无任何关系。
6.6.1 r 2的计算公式根据式( 6 - 4 0)，式( 6 - 3 9)可改写为
(6 - 4 1)
因此，
(6 - 4 2)
还有几个等价的公式计算 r2，参见习题 6,5。
6.6.2 Wi d g e t一例中的 r 2
根据表 5 - 4中的数据，利用式( 6 - 4 2)，我们得到 Wi d g e t一例中的 r2值：
(6 - 4 3)
因为,r2最大为 1，所以，计算的 r2值已经相当大了。在需求函数中，价格变量 X能以 9 8%的程度解释需求量的变动。因此，在此例中，可以认为样本回归函数( 6 - 1 6)相当好地拟合了总体回归函数。
6.6.3 相关系数 r
在第 2章 2,8节中，我们介绍了 样本相关系数 (sample coefficient of correlation)r，它是度量两变量 X与 Y之间线性相关程度的指标,r可由式( 2 - 5 3)计算得到，也可写为
(6 - 4 5)
(6 - 4 4)
但是，相关系数也能够根据判定系数 r2来计算：
(6 - 4 6)
许多回归软件都有计算 r2程序,因此很容易求得 r。惟一的问题是关于 r的符号。但根据问题的实际意义很容易决定 r的符号。在 w i d g e t一例中,由于预期需求量与价格负相关,因此,r值应为负。一般而言,r与斜率同号,我们可从式( 5 - 1 7)和式( 6 - 4 5)中清楚地看到这一点。因此，在 Wi d g e t一例中，
(6 - 4 7)
根据表 5 - 4数据并利用式( 6 - 4 5)，读者很容易验证上式给出的 r值。在 2,8节中我们已经讨论了 r的性质以及 r可能的几种图形(见图 2 - 7)。
r =? 0.9757 =?0.987 8
r = ± r
2
r =
(X
i
X∑ )(Y
i
Y)
(X
i
X)
2
∑ (Yi
Y)
2
∑
=
x
i∑ yi
x
i
2
y
i
2
∑∑
r
2
= 1?
9.551 5
393.60
= 0.975 7
r
2
= 1?
e
i
2
∑
y
i
2
∑
1 = r
2
+
RSS
TSS
= r
2
+
e
i
2
∑
y
i
2
∑
112部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 假定回归模型中包括截距项。更详细的讨论见习题 6,1 5。
第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 113
在回归分析中，判定系数 r2比相关系数 r更有意义。判定系数告诉我们解释变量对应变量变化的解释程度，因而它全面地度量了一个变量决定另一个变量变动的程度。但是,r却不能。
除此之外，我们还将看到，在多元回归分析中，对 r的解释也是不确定的。
6.7 回归分析结果的报告有不同种的方式报告回归分析的结果，但在本书，我们将沿用如下形式，仍以 w i d g e t一例为例：
(6 - 4 8)
*表示非常小在方程( 6 - 4 8)中，第一组括号内的数表示估计的回归系数的标准差，第二组括号内的数表示在零假设：每个回归系数的真实值为零下，根据式( 6 - 2 2)估计的 t值的 t值。(即 t值是估计的系数与其标准差之比)。第三组括号内的数表示( t值的) p值。 1从现在起，如果没有特别地规定零假设，习惯地假定为“零”零假设(即假定总体参数为零)。如果拒绝该零假设(即检验统计量是显著的)，则表示真实的总体参数值不为零。
用上述形式报告回归结果的一个优点是，可以一目了然地看到每一个估计的系数是否是统计独立的，即是否显著不为零。通过列出 p值，能够决定估计的 t值的精确的显著水平。因此，
估计的斜率的 t值为－ 1 7,9 3 5，其 p值几乎为 0。这意味着如果零假设为真，即真实的价格系数为零，则得此 t值为 1 7,9 3 5(绝对值)的概率几乎为 0。因而拒绝零假设。正如我们第四章中所讲的，
p值越低，拒绝零假设的证据就越充分。
p值的一个优点在于无须规定显著水平 在某一任意的水平，比如1 %,5%或 1 0%。在
Wi d g e t一例中，实际的 p值为 0.000 000 5。在此显著水平下，如果拒绝零假设，即价格系数为零，那么，犯错误的机会为 0.000 005。
当然，任何其他的零假设(除了“零”零假设以外)都很容易用前面讨论过的 t检验来检验。
因此，如果零假设为真实的截距为 4 9，备择假设 H1≠ 4 9，则 t值为：
读者很容易验证，在 5%的显著水平下，根据双边 t检验(临界值 t0,0 2 5,8= 2,3 0 6)，这个 t值是统计不显著的。前面已经讲过,“零”零假设是最基本的一种稻草人假设。
图 6 - 9
t =
49.667 0? 48
0.746 4
= 0.893
)
Y
t
= 49.667 0? 2.157 6 X
t
r
2
= 0.9757
se = (0.7464)(0.1203) d.f,=8
t = (66.542)(?17.935) p = (0.000)
*
(0.000)
*
下载
1 本书末尾给出的 t分布表能够用电子表(对若干数字计算出 p值)来代替。对正态分布,2分布以及 F分布表也是如此。
值
114部分 第二部分 线性回归模型 下载
6.8 正态性检验在结束 Wi d g e t一例之前，我们需要看一下式( 6 - 4 8)的回归结果。别忘了该统计检验过程是建立在假定误差项 ui服从正态分布的基础之上的。既然我们不能直接地观察真实的误差项 ui，
那么如何从本例中证实 ui确实服从正态分布呢？我们有 ui的近似值 — 残差 ei，因此，可通过 ei
来获悉 ui的正态性。对正态性的检验方法有若干种，这里，仅介绍三种相对简单的检验方法。 1
6.8.1 残差直方图残差直方图是用于获悉随机变量的概率密度函数( P D F)的形状如何。在横轴上，我们将变量值(即 O L S的残差)划分为若干适当的区间，在每一个区间，建立高度与观察值个数(即频率)相一致的长方形。在 Wi d g e t一例中，得到如图 6 - 9所示的直方图。如果把钟型正态曲线叠加在直方图上，你就会对所关注变量概率分布的性质有所了解。在 Wi d g e t一例中，由于我们仅有 1 0个观察值，因而随机误差项的残差直方图近似正态分布的图形。
一种好的实践方法就是作出回归残差直方图，这样可以粗略地了解其概率分布的形状。
6.8.2 正态概率图另一种研究随机变量概率密度函数相对简单的图形方法是正态概率图( Norma Probability
Plot,NPP)(在专用的正态概率纸上作图 )。在横轴上( X轴),标出所关注变量的值，在纵轴上( Y轴),
标出该变量服从正态分布所对应的均值。因此，若该变量的确来自正态总体，则正态概率图将近似为一直线。图 6 - 1 0给出了利用 M I N TA B软件作出 Wi d g e t一例的正态概率图(残差)。
图 6-10 Wi d g e t回归方程的残差
M i n i t a b计算出每一观察值发生的概率(假定是正态分布)并将所得概率值取对数。纵坐标是概率值，横坐标是数据值。最小二乘直线拟合了图中的数据点。该直线估计了总体累积分布函数。图中给出了总体参数 u和 的估计值( M I N TA B参考手册，第 1 - 2 6页)。
前面已经提到，如果在正态概率图中拟合线近似为一条直线，那么，我们所关注的变量服从正态分布。在图 6 - 1 0中,Wi d g e t回归方程的残差就近似正态分布，因为这条直线看似很好地拟合了数据点。
M I N TA B也可作 A n d e r s o n - D a r l i n g正态检验，称之为 A2统计量( A2 s t a t i s t i c)。该正态检验假
1 对检验正态性的各种方法的详细讨论参见 G.Barrie Wdtherill,R e g ression Analysis with Applications，
Chapman and Hall,London,1986,Chapter 8。
残差第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 115
设变量服从正态分布。从图 6 - 1 0可以看出，在 Wi d g e t一例中，计算的 A2统计量为 0,2 5 0，获此
A2值的概率为 0,6 6 4(相当大)，因此，我们不能拒绝零假设，即残差服从正态分布。从图 6 - 1 0中还得知该(正态)分布的均值为 0，标准差约为 0,4 7。
6.8.3 Jarque－ B e r a检验目前，另一种常用的正态性检验是 J a r q e - B e r a(J B)检验,1在许多统计软件中也都包括这种检验方法。它是依据 O L S残差，对大样本的一种检验方法(或称为渐近检验)。首先计算偏度系数 S(对概率密度函数对称性的度量)及峰度系数 K(对概率密度函数的“胖瘦”的度量)。(参见第
2章)；对于正态分布变量，偏度为 0，峰度为 3，(见图 2 - 8)
J a r q e和 B e r a建立了如下检验统计量：
(6 - 4 9)
其中,n为样本容量,S为偏度,K为峰度。
他们证明了：在正态性假定下，式( 6 - 4 9)给出的 J B统计量渐近地服从自由度为 2的 2分布，用符号表示为，
(6 - 5 0)
其中,a s y表示渐近地。
从式( 6 - 4 9)可以看出，如果变量服从正态分布，则 S为 0,K为 3，因而 J B统计量的值为零。
但是如果变量不是正态变量，则 J B统计量将为一个逐渐增大值。我们很容易从 2分布表计算出
J B统计量的值。在某一显著水平下，根据式( 6 - 4 9)计算的值超过临界的 2值，则将拒绝正态分布的零假设；但如果没有超过临界的 2值，则不能拒绝零假设。当然，若计算出 2值的 p值，则将知道得此 2值精确的概率。
由于在 Wi d g e t一例中，仅有 1 0个观察值，严格地说,J B检验是无效的。但若机械地运用
J B检验，则得到 J B统计量的值为 0.516 9(p值为 0.772 2)。这表明计算得到的 J B统计量不是统计显著的。因此，我们不能拒绝零假设,w i d g e t回归的残差服从正态分布。当然，这个结论并不是很准确，因为样本容量太小了。
同时我们得到 Wi d g e t一例中的偏度系数为－ 0.461 4，表明残差是负偏的，(参见图 6 - 9)；峰度系数为 2.376 3，表明残差的分布比正态分布略胖。 2
总之，在实际中，在古典回归模型假定下，用上述一两种方法对正态性进行检验是很重要的。因为假设检验的过程在很大程度上依赖于正态性这个假定，尤其是当样本容量很小时。
6.9 关于计算：回归分析的软件在本章和前面的几章中，给出了若干计算公式。我们可用已过时的计算器来计算各种公式。
但是，计算机为我们提供了极大的方便。今天,不仅有许多好的商业回归软件，而且许多读者还已经拥有了计算机，当然这要归功于个人电脑的普及。因此，在计算机时代，人们很少再在计算器来做如此复杂的工作了。或许你会用它来做一些简单的回归习题，不过那也只是为了熟悉本章所出现的各种公式罢了。许多回归软件中已能计算这些公式。目前，较为流行的软件有
E T,E V I E W S,L I M D E P,S H A Z A M,T S P,S A S,S P S S以及 M I N TA B。本书的大部分实例都是用上述
JBasy ~ (2)
2
JB =
n
6
S
2
+
(K? 3)
2
4
下载
1 参见 C,M,J a r q u e,A,K,B e a r,,A Test for Normality of Observations and Regression Residuals”,
International Statistical Review,v o l,5 5,1 9 8 7,p p,1 6 3 - 1 7 2。
2 有关偏度和峰度的详细讨论见本书第 2章。
的一些软件来分析的。
6.10 实例：美国进口支出我们将通过一个建立在具体经济数据之上的实例，来对上面讨论的双变量模型做一概括。
表 6 - 3给出了 1 9 6 8 ~ 1 9 8 7年间美国的进口支出(或外国商品，包括耐用的或非耐用的)及个人可支配收入( P D I) (税后收入)的数据。以 1 9 8 2年的美元价为基准度量单位。用恒定的美元值，以消除通货膨胀的影响。
凯恩斯著名的消费函数理论表明：个人的消费支出( P C E)与 P D I正相关。由于对外国物品的消费是总消费支出的一部分，因此，可以认为进口支出与 P D I正相关。模型的形式为：
(6 - 5 1)
(其中,Y表示进口的消费支出,X表示 P D I，下标 t表示样本数据为一时间序列)拟合表 6 - 3给出的数据，看一看这两个变量之间是否呈线性关系。对 X,Y作散点图，见图 6 - 11。
表 6-3 U.S进口商品支出 (Y)与个人可支配收入 (X),1 9 6 8 ~ 1 9 8 7①
年 Y X 年 Y X
资料来源：总统经济报告,1 9 8 9。数据 Y见表 B - 2 1，第 3 3 1页，数据 X见表 B - 2 7，第 3 3 3页。
① 单位为亿美元( 1 9 8 2)。
图 6 - 11
散点图表明：两变量之间的关系近似为线性关系，因此，线性模型( 6 - 2 1)可能是适当的。
在随后的一章中，我们将讨论：如果模型违背了古典线性回归模型的某些假定，我们将对模型重新讨论。现在，继续我们的分析！
Yt = B1 +B2Xt + t
116部分 第二部分 线性回归模型 下载第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 117
在求 O L S结果之前，先看一下经济理论是如何解释 B1,B2的。 B2(回归)数学的意义表示直线的斜率，但从经济学的角度讲，它表示出口商品的边际消费倾向( M a rginal Propensity to
Spend,MPS)，即 P D I每增加 1美元所引起的出口商品平均支出的变化量。例如,M P S为 0,2 5，
即如果 P D I每增加 1美元，则对出口商品的平均消费支出将增加 2 5美分。经济理论表明 M P S应为正，但小于 1，即 0 <B2< 1。这是因为，随着收入的增加，我们不会将增加的所有收入都用于消费，其中一部分将用作储蓄。
截距 B1又有何意义呢？我们知道，截距是当 X取 0值时的 Y值。在此例中，它表示 P D I为零时，进口商品的平均消费支出。一般来说，在此情况下的消费支出也应该为零(为什么？)。然而不幸的是，估计出的截距往往不为零。因此，虽然在某些情况下，可给出截距特殊的经济意义(当遇到这类情况时，我们会对截距谈得更多一些。)，但是，一般地，它都没有什么具体的经济意义，只不过是一个数字实体。
回归所需的原始数据在习题 6,1 6中给出，这里我们用 S H A Z A M统计软件进行计算，表 6 - 4
给出了实际的计算结果。
表 6-4 进口支出 / P D I回归结果 ( S H A Z A M )
(续)
下载按照式( 6 - 4 8)的形式，得到如下回归结果：
=－ 261.09+0.245 23Xt r2=0.938 8
se=(31.327) (0.014 8) d.f.=18 (6-52)
t=(－ 8.334) (16.599 6)
p 值 =(0.000)* (0.000)*
注 *表示值很小。
回归直线见图 6 - 11。
6.10.1 对回归结果的解释回归方程( 6 - 5 2)以及图 6 - 11表明：与预期相同，进口支出与 P D I正相关。斜率 0,2 4 5 2表示进口商品的边际消费倾向为 2 4美分，即 P D Z每增加 1美元，平均而言，对进口商品的消费支出将增加 2 4美分。与预期相同,M P S也为正且小于 1。
截距－ 2 6 1表示当 P D I为零时，平均支出为负的 2 6 1美元。我们已经强调过，截距可能没有什么明显的经济意义，本例亦如此。
r2值为 0,9 3 8 8，意味着模型能够以 9 4%的比例解释进口产品支出的变动。也就是说，仅通过一个解释变量 P D I就能很好解释应变量的变化。由于 r2最大为 1，因此，观察到的 r2值已经很大了，表明：所选择的模型很好地拟合了实际数据。
6.10.2 回归结果的显著性检验估计的回归系数是统计显著的吗？也就是说，回归系数显著不为零吗？我们立刻可从估计的回归式( 6 - 5 2)中得到答案。首先，来看斜率。在零假设：真实斜率为零下，计算得到的 t值为
1 6,6 1 6。(参见 6,7节)。我们拒绝零假设吗？正如前面讨论的那样，(对于某一给定置信水平)如果计算得到的 t值超过 t的临界值,那么就拒绝假设。在本例子中，自由度为 1 8(为什么？)，若选择置信水平 = 5%，并有备择假设 H1— 真实的 B2大于零。(为什么这样假设？) — 则右侧的 t临界值为
t0,0 5,1 8= 1,7 4 3
由于计算得到的 t值 1 6,6 2远大于 t临界值，根据 t检验，能够拒绝零假设，即 P D I对进口商品支出无影响。(得此 t值的准确 p值为 1,1 2 5 / 1 01 2)。若用 置信区间法 (confidence interval approach)，可得到相同的结论。根据式( 6 - 2 6)建立区间，
p[b2－ t 2,dfse(b2)≤ B2≤ b2+t 2,dfse(b2)]=(1－ ) (6 - 5 3)
如果 = 5%，则 t 2,18= 2,1 0 1，式( 6 - 5 3)变为，
)
Y
t
118部分 第二部分 线性回归模型 下载第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 119
[0.245 23-2,1 0 1(0.014 759)]≤ B2≤ [0.245 3+2.101(0.014 59)]
即为，
0.241 2≤ B2≤ 0.276 2 (6 - 5 4)
即为 B2的 9 5%的置信区间。显然,9 5%的置信区间(或是接受区域)不包括零假设值,B2= 0，它位于拒绝区域内。因而，拒绝该零假设。
简言之，用置信区间法和 t检验法得到相同的结论。这并没有什么可奇怪的(为什么？)。
留给读者证明：用置信区间法或 t检验法得到截距也是统计显著的，虽说本例的截距并没有什么经济含义。读者还需作出其正态概率图看一看误差项是否服从正态分布。
6,11 预测根据 1 9 6 8? 1 9 8 7年的历史数据，我们得到了式( 6 - 5 2)进口需求函数(确切地说，是对进口商品的消费支出)，能用它来进行预测吗？也就是说，给定一个 P D I值，能预测平均地消费支出吗？(称之为均值预值)答案是肯定的。
假定变量 X(P D I)取某一值 X0，(比如 1 9 8 8年的 X0=2 800美元)现在估计 1 9 8 8年的 E(Y|X0)，即相应 P D I的平均消费支出。
现令
=E(Y｜ X0)的估计量如何得到这个估计值呢？在 C L R M假定下，将相应的 X值代入式( 6 - 5 2)得到，
=－ 261.09+0.245 23(2 800)
= 4 2 5,5 5 6 (6 - 5 6)
即预测的 1 9 8 8年对进口产品的平均支出为 4 2 6亿美元( 1 9 8 2)。
虽然经济计量理论表明在 C L R M的假定下,或更一般的 是真实均值的无偏估计量
(也即总体回归线的一个点)，但对任一给定样本,不可能等于其真实均值(为什么？)。两者之差称为预测误差。为了估计这个误差，需要求出 的抽样分布。 1在 C L R M假定下，可以证明 服从正态分布，其均值，方差分别为：
均值 =E(Y｜ X0)＝ B1+B2X0 (6 - 5 7)
方差= (6 - 5 8)
其中,表示回归函数式( 6 - 5 2)中 X的样本均值，
表示 X的真实值与均值的偏差平方和，
2表示 u
i的方差，
n表示样本容量。
式( 6 - 5 8)的正平方根为 的标准差,s e ( )。
在实际中,2未知，若用其无偏估计量 代替，则 服从自由度为( n－ 2)的 t分布，(为什么？)因此，我们可用 t分布对与 X0相关的真实(即总体)均值 Y建立一个 1 0 0(1－ )%的置信区间：
(6 - 6 0)
var
)
Y
1988
= 475.48
1
20
+
(2 800? 2 096.7)
2182851
=131.5243
)
Y
0
)
2
)
Y
0
)
Y
0
x
i
2
∑
X
2
1
n
+
(X
0
X )
x
i
2
∑
)
Y
0
)
Y
0
)
Y
0
)
Y
0
)
Y
1988
)
Y
1988
)
Y
0
下载
1 注意 是一个估计量，因此他有抽样分布。
)
Y
0
因此，
(6 - 6 1)
注,=2 096.7，
上述结果表明：若 P D I的估计值为 2 8 0 0亿美元，则预测的平均消费支出为 4 2 5,4 7亿美元。
这个预测值的标准差约为 11,4亿美元。
现在假定我们要对 1 9 8 8年总体平均的消费支出建立一个 9 5%的置信区间。根据式( 6 - 5 9)得：
4 2 5,5 5 6－ 2,1 0 1(11.468 4)≤ E(Y｜ X0=2 800)≤ 4 2 5,5 5 6 + 2,1 0 1(11.468 4)
即，
401.460 9≤ E(Y｜ X0=2 800)≤ 4 4 9,6 5 1 (6 - 6 2)
注：自由度为 1 8，在 5%显著水平上，双边的 t值为 2,1 0 1
若 1 9 8 8年,P D I的值为 2 800亿美元，式( 6 - 6 2)表明：虽然 1 9 9 8年的平均进口消费支出惟一的一个最优估计值为 4 2 5,5 6亿美元，但预期该值以 9 5%的置信度，落在区间 4 0 1,4 6亿美元至
4 4 9,6 5亿美元之间。
如果对每一个 X值，我们得到诸如式( 6 - 2 2)一个 9 5%的置信区间，则可以得到对应于每个 X，
也就是对应于整条总体回归线的真实平均消费支出的置信区间或者说置信带，从图 6 - 1 2中可以很容易看到这一点。
从图 6 - 1 2中，还可发现其他一些有趣的事实。当 X0= 时，置信带的宽度最小，这一点很容易从式( 6 - 5 8)方差的计算式中得以证明。但是，随着 X0逐渐远离,置信带将迅速加宽(即预测的误差将会增加)，这表明：随着 X0逐渐远离,历史回归的预测能力将显著地减弱。因此，在用“外推”历史回归线来预测 Y的均值时，需要格外谨慎。就实践而言，不宜用式( 6 - 5 2)的进口支出回归方程来预测 2 0 0 1年的平均进口支出。
图 6-12 进口支出均值的 9 5%的置信区间
6.12 实例名义汇率与相对价格的关系
X
X
X
x
i
2
∑ = 2 182 851,
)
2
= 475.48
X
se(
)
Y
0
) = 131.5243=11.468 40
120部分 第二部分 线性回归模型 下载个人可支配收入/ 10亿美元第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 121
回到例 5,5。式( 6 - 4 8)完整的回归结果如下：
= 6,6 8 2－ 4,3 1 8Xt r2=0.582 8
se=(1.222) (1.133) d,f,= 1 3
t=(5.47) (－ 3,8 1 ) (6 - 6 3)
p值 =0.000 1 0.002
从上面的回归结果可以看出：截距和斜率都显著不为零，因为 p值都很小。比如，与变量
Xt相关的 t系数的 p值为 0,0 0 2，表示得到 t值等于或小于－ 3,8 1的概率仅为 0,0 0 2。如果零假设：
真实的斜率为零为真，那么，计算的斜率值应该与零值差别不大，而在此情况下的 t值会接近零。 [注,t= (b2－ B2) / s e (b2) ]。但是事实并非如此，计算的 B2与零值相差甚远；事实上，它与零值相差大约 3,8 1个标准差。 1因此，我们拒绝零假设：真实的 B2为零。在拒绝零假设的过程中，
我们犯第一类错误的概率非常小，约为 0,0 0 2。
r2值为 0,5 2 8，表示两个国家的相对价格解释了马克对美元汇率变动的 5 3%。由于 r2的最大值为 1，所以这个 r2值比较低。我们会担心“较低”的 r2值吗？不会。原因留到下一章解释。
6.12.1 人均消费支出与人均可支配收入表 6 - 5给出了美国 1 9 8 0? 1 9 9 5年间人均消费支出( Per capita Consumption Expecnditure,
P C E)和人均可支配收入( Per capita Disposable Personal Income,PDPI)的数据。为了观察 P C E与
P D P I间的关系，得到下面 O L S回归结果：
=－ 3 116+1.095 1PDPI
se=(453.5) (0.026 6) r2= 0,9 9 2
t= (－ 6.87) (41.08)
p= ( 0,0 0 0*) (0.000*)
*表示值很小。
与预期相同，人均消费支出与人均可支配收入正相关。斜率可解释为边际消费倾向( M P C)— 每增加一美元的可支配收入所增加的平均消费支出。
由于 p值很小，所以斜率是高度统计显著的。值得惊讶的是这个 M P C明显比 1大，因为，
在 0,5%的显著水平下(自由度为 1 4),t
值是显著的(单边检验)。根据经济理论,M P C小于 1。为什么本例中的
M P C会大于 1呢？的确这是一个很有意思的问题。
6.12.2 MBA工资的回顾参考例 5,6。完整的回归结果如下：
t =
(1.0951?1.0)
0.026 6
= 3.575 2
)
Y
t
下载资料来源：总统经济报告,1 9 9 7，表 B - 2 9，第 3 3 3页。
表 6-5 美国 1980 ~ 1995 PCI 与 P D P I(美元,1 9 9 2 )
年份 P C E ' 9 2 P D P I ' 9 2
1 在零假设 B2= 0下,t值变为 b2/ s e (b2)。因此，这时的 t值表明了 b2偏离零值的方差有多少。事实上，| t|值越大，拒绝零假设的证据就越充分。
=－ 33 598+ 6 4 8,0 8 G M AT
se=(45 702) ( 7 3,1 6 )
t= (－ 7,3 5 ) ( 8,8 6 )
p= ( 0,0 0 0 )* ( 0,0 0 0 )* r2= 0,7 3 7 ( 6 - 6 5 )
*表示值很小。
读者很容易验证斜率显著不为零，因为计算所得的 p值很小。或许，要得到一个高的
G M AT分数，的确需要付出代价。
6.13 小结上一章我们讨论了如何对双变量线性回归模型的参数进行估计。本章主要讨论了如何对估计的模型进行统计推断。虽然，双变量模型是最简单地的线性回归模型，但在这两章中介绍的基本思想是后面所要讨论的多元回归模型的基础。我们将会发现，在许多方面，多元回归模型是双变量模型直接的推广。
习题
6.1 解释概念
(a) 最小二乘 (b) O L S估计量 (c) 估计量的方差 (d) 估计量的标准差 (e) 同方差性
(f) 异方差性 (g) 自回归 (h) 总离差平方和( T S S) (i) 回归平方和( E S S) (j) 残差平方和
(R S S) (k) 判定系数 r2 (l) 估计值的标准差 (m) BLUE (n) 显著性检验 (o) t检验
(p) 单边检验 (q) 双边检验 (r) 统计显著的
6.2 判断正误并说明理由
(a) O L S就是使误差平方和最小化的估计过程。( b)计算 O L S估计量无需古典线性回归模型的基本假定。 (c) 高斯 -马尔柯夫定理是 O L S的理论依据。 (d) 在双变量回归模型中，若扰动项 ui服从正态分布，则 b2可能是 B2的更为准确的估计值。 (e) 只有当 ui服从正态分布时，
O L S估计量 b1,b2也才服从正态分布。 (f) r2是 T S S / E S S的比值。 (g) 给定显著水平 及自由度，若计算得到的 |t|值超过临界的 t 值，我们将接受零假设。 (h) 相关系数 r与斜率 b2同号。
6.3 完成下列个空缺
(a) 若 B2= 0,b2/ s e (b2)=..,(b) 若 B2= 0,t=b2/..,(c) r2位于,,,与,,,之间。 (e) T S S = R S S +,,,
(f) d.f.(RSS)=d.f (...)+d.f (RSS) (g) 称为,.,(h) (i)
6.4 考虑下面的回归模型：
=－ 66.105 8+0.065 0Xi r2=0.946 0
se=(10.750 9) ( ) n= 2 0
t=( ) ( 1 8,7 3 )
完成空缺。如果 = 5%，你能接受假设：真实的 B2为零吗？你是用单边检验还是双边检验，
为什么？
6.5 证明下列 r2的计算公式是恒等的：
6.6 证明,ei∑ = nY? nb1? nb2 X = 0
r
2
= 1?
e
i
2
∑
y
i
2
∑
=
)
y
i
2
∑
y
i
2
∑
=
b
2
2
x
i
2
∑
y
i
2
∑
=
(y
i
)
y
i
)∑
2
y
i
2
∑( )
)
y
i
2
∑( )
)
Y
i
)
y
i
2
= b
2∑ (...)yi
2
= (Y
i
,..)
2
∑∑
)
2
122部分 第二部分 线性回归模型 下载第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 123
6.7 Dale Baies和 Larry Peppers 1根据美国 1 9 6 2 ~ 1 9 7 7年的数据。得到对汽车的需求函数如下：
=5 807+3,2 4Xt r2= 0,2 2
s e = ( 1,6 3 )
式中,Y表示零售私人汽车数量(千辆),X表示真实的可支配收入(以 1 9 7 2年为标准，单位为亿美元。)
注：未给出 b1的标准差,s e。
(a) 对 B2建立一个 9 5%的置信区间。 (b)检验假设：该置信区间包括 B2= 0。如果不包括，
你将接受零假设吗？ (c)在 H0:B2= 0下，计算 t值，在 5%的显著水平下，是统计显著的吗？你将选择双边 t检验还是单边的？为什么？
6.8 现代投资分析的特征线涉及如下回归方程：
r1=B1+B2rm t+ut
其中 r表示股票或债卷的收益率
rm表示有价证券的收益率(用市场指数表示，比如 S&P500 )
t表示时间在投资分析中,B2称为债券的安全系数,是用于度量市场的风险程度，即市场的发展对公司财产有怎样的影响。
依据 1 9 5 6? 1 9 7 6年间 2 4 0个月的数据,F o g l e r和 Ganpathy 得到 I B M股票的回归方程；市场指数是用在芝加哥大学建立的市场有价证券指数,2
=0.726 4+1.059 8rm t r2=0.471 0
se=(0.300 1) (0.072 8)
(a) 解释估计的斜率与截距。 (b) 如何解释 r2？ (c) 安全系数 大于 1的证券称为不稳定证券。建立适当的零假设及备择假设，并用 t检验进行检验( = 5%)。
6.9 下面数据是依据 1 0对 X和 Y的观察值得到的。； ；；
假定满足所有的古典线性回归模型的假定，求
(a) b1和 b2？ (b) b1和 b2的标准差？ (c) r2？ (d) 对 B1,B2分别建立 9 5%的置信区间？ (e) 利用置信区间法，你可以接受零假设,B2= 0吗？
6.10 依据美国 1 9 7 0? 1 9 8 3年的数据，得到下面的回归结果：
G N Pt=－ 787.472 3+ 8.086 3M1t r2=0.991 2
se=( ) (0.219 7)
t= (－ 1 0,0 0 0 1 ) ( )
其中,G N P是国民生产总值(单位是亿美元),M1是货币供给(单位是百万美元)
注,M1包括现金、活期存款、旅游支票等。
(a) 填充括号内缺省的参数。 (b) 货币学家认为：货币供给对 G N P有显著的正面影响，
你如何检验这个假设？ (c) 负的截距有什么意义？ (d) 假定 1 9 8 4年 m1为 5 5 2亿美元，预测该年平均的 G N P？
6,11 政治的商业周期：经济事件会影响总统选举吗？为了检验称之为政治商业周期理论，
Y
i
2
=133 300∑X
i
2
= 315 400∑
X
i∑ Yi
= 204 200X
i∑ = 1680Yi∑ = 1110
)
r
t
)
Y
t
下载
1 参见 Dale G.Bails,Larry C.Peppers,Business Fluctuations,Forecasting Techniques and Applications，
1 9 8 2,p,1 4 7,
2 参见 H.Russell Fogler 与 Sundaram Ganapathy,Financial Econometrics,1 9 8 2,p.13,
Gary Smity1依据 1 9 2 8? 1 9 8 0年间，每四年总统选举的数据得到如下回归结果：
= 5 3,1 0－ 1,7 0Xt
t=(3 4,1 0) ( -2,6 7) r2= 0,3 7
其中,Y表示收到的公众投票( %),X表示失业率的变化 — 选取年的失业率减去上一年的失业率。
(a) 先验地，你预期 X的符号为正还是负？ (b) 该回归结果证实了政治商业周期理论吗？
写出你的求证过程。 (c) 1 9 8 4? 1 9 8 8年的总统选取的结果是否验证了该理论？ (d) 如何计算 b1和 b2的标准差？
6.12 为了研究美国制造业设备利用与通货膨胀之间的关系,Thomas A,Gittings2根据 1 9 7 1
1 9 8 8每年的数据得到下面的回归结果：
=－ 7 0,8 5+ 0.888 0Xt
t= (－ 5.89) (5.90) r2= 0,6 8 5
其中,Y表示通货膨胀的变化(以批发价格指数来度量),X表示设备利用率。
(a) 先验地，你认为 X与 Y正相关吗？为什么？ (b) 如何解释该回归方程中的斜率？ (c)
估计的斜率值是统计上显著的吗？ (d) 它是否显著不为 1？ (e) 定义设备自然利用率为当 Y
为零时的 X的值。求设备自然利用率。
6.13 表 6 - 6给出了 1 9 7 4 ~ 1 9 8 6年间制造业中的税后利润 X(亿美元)以及三月期现金利息 Y(亿美元)的数据。
表 6-6 美国制造业中现金利息 (Y)与税后利润 (X)，
年份 Y X 年 Y X
百万美元 百万美元资料来源,Business Statistics,1986,U.S.Department of Commerce,Bureau of Economic Analysis,
December 1987,p.72.
(a) 你预期现金与税后利润的关系如何？ (b) 作 Y与 X间的散点图 (c) 该散点图是否与你的预期相符？ (d) 如果是的，运用 O L S进行回归，并求出一般统计量。 (e) 对真实斜率建立一个 9 9%置信区间并检验假设：真实的斜率为零；即现金利息与税后利润之间不相关。
表 6-7 真实小时工资指数与小时产出指数 ( 1 9 9 7 = 1 0 0 )
年份 Y X 年 Y X
资料来源,Economic Report of the President,1989,Table B-46,p.360.
)
Y
t
)
Y
t
124部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 Gary Smity,《统计推论,(Statistical Reasoning),1 9 8 5，第 4 8 8页。符号略有改动。原始数据出自,R a y
C.Fair,经济事件对总统选举的影响”,,经济与统计评论,(The Review of Economics and Statistics ),1 9 7 8，
5，第 1 5 9 ~ 1 7 3页。
2 Thomas A,Gittings,,Capacity Utilization and Inflation,” Economic Perspectives,Federal Reserve Bank
of Chicago,May/June 1989,p.4.
第 6章 双变量模型：假设检验 介绍 125
6.14 收入－生产率关系。
表 6 - 7给出 1 9 7 3 ~ 1 9 8 7年间美国商业部提供的小时真实工资数 Y(1 9 9 7 = 1 0 0)与小时产出 X。
(a)经济理论表明收入与生产率之间存在正相关。作出 X与 Y间的散点图看是否支持该理论？ (b) 如果是，运用普通最小二乘法进行回归分析。 (c) 是收入是生产力的函数还是生产力是收入的函数？你是如何决定的？
表 6-8 证券收益率 (Y)与市场收益率 (X)
Y X Y X
6 7,5 1 9,5 1 9,2 8,5
－ 3 5,2 － 2 9,3 － 4 2,0 － 2 6,5
6 3,7 6 1,9 1 9,3 4 5,5
3,6 9,5 2 0,0 1 4,0
4 0,3 3 5,3
6.15 通过原点的回归：无截距的回归模型。有下列一种情况，假定的变量之间存在如下形式的总体回归函数：
Yi=B2Xi+ ui
在这个模型中,截距为零。因此,称此模型为通过原点的回归模型或零一截距模型。可以证明：
注意：由于回归经过原点，因此,这里不能再用常用的判定系数 r2的计算公式。 1
(a) 与双变量模型相比较，指出它们的区别？ (b) 为什么在此模型中的自由度是( n－ 1)而不是( n－ 2)? (c)考虑表 6-8中的数据,其中 Y表示证券的收益率,X表示市场指数的收益率 (10年为一期)。
(1) 对这些数据拟合出一条经过原点的直线。
(2) 拟合出有截距的回归模型。
(3) 根据上述结果，你认为哪个模型更好？为什么？
6.16 式( 6 - 5 2)的进口支出与 P D I回归的原始数据如下：利用这些数据，验证式( 6 - 3 2)给出的回归结果。由于舍入误差，计算出的两个结果会稍有不同。
=253.08 =2 096.7
=2 182 900 =535 300； n= 2 0
6.17 参考表 5 - 5中给出的 S,A,T数据。假定想根据下面的回归方程，通过女生的数学分数来预测男生的数学分数：
Yt=B1+B2Xt+ut
其中,Y,X分别代表男，女生的数学分数。
(a) 估计上述回归方程，求常用的统计量。 (b) 检验假设,Y与 X不相关。 (c) 假定
1 9 9 1年，预期女生的数学分数为 4 6 0，预测该年男生的平均分数。 (d) 对(c)的预测值建立一
(Y
i
Y)∑ (X
i
X)(X
i
X)
2
∑
(Y
i
Y)
2
∑ = 139.830XY
b
2
=
X
i
Y
i∑
X
i
2
∑
var( b
2
) =
2
X
i
2
∑
)
2
=
e
i
2
∑
n?1
下载
1 参见 Dennis J.Aigner,Basic Econometrics,1 9 7 1,p p,8 5 - 9 0。
个 9 5%的置信区间。
6.18 重复习题 6,1 7，但令 Y和 X分别代表男、女生词汇分数。这里假定 1 9 9 1年女生的词汇分数为 4 2 5。
6.19 考虑下面的回归结果,1
=－ 0,1 7 + 5,2 6Xt =0.10 D－ W = 2,0 1
其中,Y表示本年度 1月份到次年 1月份股票价格指数的实际收益
X表示上一年总股息与上一年股票价格指数之比
t表示时间注,1,D-W统计量，参见第 1 2章。
时间为 1 9 2 6 ~ 1 9 8 2年。
2,表示经过校正的判定系数。 D-W值是用以度量自相关的指标，我们将在随后的章节中作出解释。
(a)如何解释上述回归方程？ (b)如果你接受上面的结论，是不是意味着：当股息 /价格的比率高时，最好的投资战略是对股票进行投资？ (c)如果你想知道 (b)的答案，参阅 S h i l l e’ s
的分析。 2
R
2
R
2
)
Y
t
126部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 参见 Robert J.Shiller,Market Vo l a t i t y,MIT Press,1 9 8 9,p p,3 2 - 3 6。
2 Ibid,
下载在双变量线性回归模型中，我们仅考虑了一个自变量或解释变量。本章我们将把模型扩展到有多个解释变量影响应变量的情形。包含多个解释变量的回归模型，称为 多元回归模型
(Multiple Regression Model)。多元是指有多种因素(即变量)对应变量有影响。
举个例子，考虑 8 0年代在某些州出现的由于存贷款机构的破产所导致的存贷危机。假定我们想要建立一个模型来解释破产这个应变量。像破产这样的现象很复杂以至很难仅仅只用一个变量来解释它，因此需要多个解释变量。比如，原始资本与总资产的比率，超过 9 0天的贷款与总资产的比率，非自然增加贷款与总资产的比率，重议价贷款与总资产的比率；净收入与总资产的比率等等。 1
勿庸赘言，我们可以举出许多多元回归的例子。实际上，许多回归模型都是多元回归模型，
因为很少有经济现象能够仅用一个解释变量就能解释清楚。
本章讨论多元回归模型旨在探求下列问题的答案：
(1) 如何估计多元回归模型？多元回归模型的估计过程与双变量模型有何不同？
(2) 对多元回归模型的假设过程与双变量模型有何不同？
(3) 多元回归有没有一些在双变量模型中未曾遇到过的独特的特性？
(4) 既然一个多元回归模型能够包括任意多个解释变量，那么，对于具体的情况，我们如何决定解释变量的个数？
为了回答这些以及与此相关的问题，我们先考虑最简单的多元回归模型，三变量模型，也即在此模型中，有一个应变量 Y，两个自变量 X2,X3。一旦清楚地理解了三变量模型，就很容易将模型扩展到四个、五个或更多个变量的情形，只不过计算复杂了一些而已(但在计算机时代，这并不是一个什么可怕的问题)。有意思的是，三变量模型本身在许多方面就是双变量模型的直接扩展。从下面的讨论中不难看到这一点。
7.1 三变量线性回归模型将双变量总体回归模型( P R F)推广，便可写出不含随机项的三变量总体回归模型：
E(Yt) =B1+B2X2t+B3X3t (7 - 1)2
第 7 章
■ 多元回归：估计与假设检验
1 事实上，这是联邦储备在对破产银行的研究中考虑的几个变量。
2 方程( 7-1)还可写为,E(Yt)=B1X1t+B2X2t+B3X3t，这里可理解为对每个观察值,X1t=1。方程( 7-1)中为了符号的方便，参数的下标与估计量的下标相一致。
其随机形式为：
Yt=B1+B2X2t+B3X3t+ut (7 - 2)
=E(Yt) +ut (7 - 3)
式中 Y— 应变量； X2,X3— 解释变量； u— 随机扰动项； t— 第 t个观察值。
在此例中的数据是横截面数据，下标 i表示了第 i个观察值。注意，我们将随机项 u引入到三变量模型中，或者更一般地，引入到多元回归模型中，其原因与第 2章讨论的双变量的情形相同。
B1是截距。与以前一样，它表示了当 X2,X3为零时的 Y平均值。 B2,B3称为偏回归系数，随后解释它们的含义。
根据第5章的讨论，我们知道式( 7 - 1)给出了在给定 X2,X3值的情况下的 Y的条件均值。因此，
与双变量情形相同，多元回归分析也是条件回归分析，是在给定解释变量的值的条件下，得到
Y的均值：回顾总体回归函数( P R F)给出了在给定解释变量 X2,X3时的 Y总体的(条件)均值。 1
多元模型随机的形式，式( 7 - 2)，表明任何一个 Y值可以表示成为两部分之和：
(1) 系统成分或决定成分，( B1+B2X2t+B3X3t)，也就是 Y的均值 E(Yt)，(即回归线上的点)。 2
(2) 非系统成分 t，是由除 X2,X3以外其他因素决定的。
所有这些都与双变量情形类似；惟一需要强调的是：现在的解释变量有两个而不是一个。
注意：模型( 7 - 1)或相对应的随机形式( 7 - 2)是一个线性回归模型 — 即模型的参数 B之间是线性的。在第 5章讲过，本书仅仅关注参数之间是线性的情况；在这类线性模型中，变量之间可能是线性的，也可能不是(更详细的讨论见第８章)。
偏回归系数的含义前面讲到,B1,B2称为 偏回归系数 (partial regression coeff i c i e n t s)或 偏斜率系数 (partial slope
c o e ff i c i e n t s)。其意义如下,B2度量了在 X3保持不变的情况下,X2每变动一单位,Y的均值 E(Y)的改变量。同样的,B3度量了在 X2保持不变的情况下,X3每变动一单位,Y的均值 E(Y)的改变量。
这是多元回归一个特殊的性质；在双变量情形下，由于仅有一个解释变量，无须担心模型中出现其他变量。而在多元回归中，我们想要知道 Y平均值的变动有多大比例“直接”来源于 X2的变动，多大比例“直接”来源于 X3的变动。这一点对于理解多元回归的内在逻辑很重要。我们以一个简单的例子来说明，假定有如下总体回归函数：
E(Yt)＝ 1 5－ 1,2X2t+ 0,8X3t ( 7 - 4 )
令 X3取值为 1 0，将其代入式( 7 - 4)，得
E(Yt)=1 5－ 1,2X2t+ 0,8(1 0)
=(1 5 + 8)－ 1,2X2t (7 - 5)
= 2 3－ 1,2X2t
这里，斜率 B2＝－ 1,2表示当 X3为常数时,X2每增加一个单位,Y的平均值将减少 1,2个单位 —
在这个例子中,X3为常数 1 0(若取其他常数也一样)。 3这个斜率就称为偏回归系数。 4同样地，如果 X2为常数，比如说,X2＝ 5，得到
E(Yt)= 1 5－ 1,2 ( 5 ) + 0,8X3t (7 - 6)
= 9 + 0,8X3t
128部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 与双变量模型不同的是，我们不能给出其图形，因为三个变量 Y,X2,X3，需用三维图，很难设想在二维平面上画出三维图会是怎样的。但展开联想，可以勾画出形如 5 - 1的图形。
2 从图形上看，这种情形下的总体回归线表示了一个平面 。
3 可以证明，无论 X3取任何常数，结果都一样。因为常数与其系数的乘积仍为常数，只不过增加了截距值。
4 数学基础较好的学生，立刻可以看出 B2是 E(Y)关于 X2的偏导数,B3是 E(Y)关于 X3的偏导数。
第 7章 多元回归：估计与假设检验 介绍 129
下载这里，斜率 B3＝ 0,8，表示当 X2为常量时,X3每增加 1个单位,Y的平均值将增加 0,8个单位，如果 X2为其他常量，结果不变。这个斜率系数也是偏回归系数。
简言之，偏回归系数反映了当模型中的其中一个解释变量为常量时，另一个解释变量对应变量均值的影响。多元回归的这个独特性质不但能使我们引入多个解释变量，而且能够“分离”
出每个解释变量 X对应变量 Y的影响。
7.2 多元线性回归模型的若干假定与双变量模型相同，首先要对多元回归模型的参数进行估计。为了这个目的，我们仍在第
6章介绍的古典线性回归模型的框架下利用普通最小二乘法( O L S)对参数进行估计。
特别地，对模型 (7-2)，作如下假定,(参见 6.1节 )
A7.1 X2,X3与扰动项 u不相关。但是，如果 X2,X3是非随机变量 (也即 X2,X3在重复抽样中取某固定数值)，这个假定将自动满足。
由于我们的回归分析是条件回归分析，即在给定 X值条件下的回归分析，因此假定 7,1是不必要的。但是在处理第 1 5章中的联立方程回归模型时，将会看到有些变量可能与误差项相关。
A7.2 零均值假定：
E(ui) = 0 ( 7 - 7 )
A7.3 同方差假定，即 u的方差为一常量：
Va r (ui) = s2 ( 7 - 8 )
B7.4 无自相关假定
c o v (ui,uj) = 0,i≠ j ( 7 - 9 )
A7.5 解释变量之间不存在线性相关关系。即两个解释变量之间无确切的线性关系，这是一个新的假定，我们随后解释。
A7.6 为了假设检验，假定随项误差 u服从均值为零,(同 )方差为 s2的正态分布。即，
ui~N( 0,s2) ( 7 - 1 0 )
除了假定 7,5外，其他的假定的基本原理都与前面讨论的双变量线性回归模型相同，正如在前面章节中提到的那样，这些假定是为了保证能够使用 O L S法来估计模型的参数。在第三部分中，我们将重新检查这些假定，看看若在实际中其中一条或几条假定不满足时，会发生什么情况。
假定 7,5表明了解释变量 X2与 X3之间不存在完全的线性关系，用统计学语言，称为 非共线性
(no collinearity)或 非多重共线性 (no multicolliearity)。
一般地，非完全共线是指变量 X2不能表示为另一变量 X3的完全线性函数。因而，若有：
X2i= 3 + 2X3i
或
X2i= 4X3i
则这两个变量之间是共线性的，因为 X2,X3之间存在完全的线性关系，假定 7,5表明不存在共线性。逻辑很简单，举个例子，如果 X2＝ 4X3，则将它代入式( 7 - 1)，会发现：
E(Yi)=B1+B2( 4X3i) +B3X3i
=B1+ ( 4B2+B3)X3i (7 - 11)
=B1+A X3i
130部分 第二部分 线性回归模型 下载式中，
A= 4B2+B3 (7 - 1 2)
模型( 7 - 11)是一个双变量模型，而非三变量模型。即使能够对模型( 7 - 11)估计，也无法从估计的
A值得到 B2,B3的值。注意：方程( 7 - 1 2)是有两个未知数的方程，而求 B2和 B3的估计值需要两个
(独立)的方程。
我们得出的结论是：在存在完全共线性的情况下，不能估计偏回归系数 B2和 B3的值；换句话说，不能估计解释变量 X2和 X3各自对因变量 Y的影响。但是，这也没有什么奇怪的，因为在模型中确实没有两个独立的解释变量。
虽然在实际中，很少有完全共线性的情况，但是 高度完全共线性 (high perfect collinearity)
或 近似完全共线性 (near perfect collinearity)的情况还是很多的。在后面的章节中(参见第 1 0章)
我们将详细讨论这类情况。现在仅考虑两个或多个解释变量之间不存在完全的线性关系的模型。
7.3 多元回归参数的估计我们用 O L S法估计模型( 7 - 2)的参数，有关 O L S法的一些性质已在第 5章和第 6章中讨论过。
7.3.1 普通最小二乘估计量要求 O L S估计量，首先需写出与总体回归模型( 7 - 2)相对应的样本回归模型，
Yt=b1+b2X2t+b3X3t+et (7 - 1 3)
其中,e为残差项，简称残差(与总体回归模型中的误差项 u相对应),b是总体系数 B的估计量。
更具体地，
b1＝ B1的估计量 b2=B2的估计量 b3=B3的估计量样本回归方程：
=b1+b2X2t+b3X3t (7 - 1 4)
方程( 7 - 1 4)是估计的总体回归线(实际上是一个平面)。
在第 5章中已经解释过,O L S原则是选择未知参数值使得残差平方和( R S S) 尽可能小。
首先，将模型( 7 - 1 3)重写：
et=Yt－ b1－ b2X2t－ b3X3t (7 - 1 5)
同时将两边平方再求和，得
R S S,(7 - 1 6)
最小二乘法就是使 R S S(Y t的真实值与估计值之差平方和)最小化。
式( 7 - 1 6)最小化过程将用到偏微分。这里不再详细推导，得到下面的正规方程,1[比较与之相对应的双变量模型的正规方程( 5 - 1 4)和( 5 - 1 5)。 ]
(7 - 1 7)
(7 - 1 8)
其中，求和符号表示是从 1到 n。这里有三个方程，三个未知数 — 已知应变量 Y和两个解释变量 X的值,b 未知。通常可由三个方程求解三个未知数。对上面方程作简单的代数变换，得到三个 O L S估计量的表达式如下：
Y
t
X
2t
= b
1
X
2t
+ b
2
X
2t
2
+ b
3
X
2t
X
3t∑∑∑∑
Y = b
1
+ b
2
X
2
+ b
3
X
3
e
t
2
∑ = Yt
b
1
b
2
X
2t
b
3
X
3t
( )∑
2
e
t
2
∑
)
Y
t
1 详细的数学推导参见附录7A。
其中,小写字母表示其值与其样本均值之差。(例如,)
读者可能会注意到上述表达式与双变量模型中给出的相应的表达式( 5 - 1 6) (5 - 1 7)相类似。同样的，这些方程有如下特征：( 1)式( 7 - 2 1)和式( 7 - 2 2)是对称的，将式( 7 - 2 2)中的 X2换为 X3即得式
(7 - 2 2)。( 2)式( 7 - 2 1)与式( 7 - 2 2)的分母相同。
7.3.2 OLS估计量的方差与标准差得到截距及偏回归系数的 O L S估计量之后，我们就可以推导出这些估计量方差及标准差
(与双变量模型相同)。这些方差或标准差表示了估计量由于样本的改变而发生的变化。与双变量模型相同，需要标准差是出于两个主要目的：( 1)建立真实参数值的置信区间。( 2)检验统计假设。下面给出相关的公式，证明略去：
在所有这些表达式中,表示总体误差项 ut的(同)方差，其 O L S估计量：
(7 - 2 9)
式( 7 - 2 9)是双变量模型 [式( 6 - 8)]的直接的扩展，只不过此时的自由度为 n-3。这是因为在估计
R S S,时，必须先求出 b1,b2,b3,也就是说，它们“消耗”了三个自由度。以此类推，
在 4个解释变量情形下，自由度为( n－ 4)；当解释变量是 5个时，自由度为( n－ 5)；需要提醒注意的是 b2的正的平方根是估计值的标准差或称回归标准差(即 Y值偏离估计回归线的标准差)，
即：
(7 - 3 0)
如何计算 呢？由于,因此在计算 时，首先要求,我们很容易求出 。但计算 R S S有一个更简便的方法(见附录 7 A,2)，
)
Y
t
)
Y
t
e
t
2
∑
e
t
2
= Y
t
)
Y
t( )
2
∑et
2
∑
)
=
)
2
e
t
2
∑
)
2
=
e
t
2
∑
n? 3
2
( 7 - 2 3 )
(7 - 2 4)
(7 - 2 5)
(7 - 2 6)
(7 - 2 7)
(7 - 2 8)
var b
1( )
=
1
n
+
X
2
2
x∑
3t
2
+ X
3
2
x
2t
2
2X
2
X
3
x
2t
x
3t∑∑
x∑
2t
2
x∑
3t
2
x
2t
x
3t∑( )
2
σ
2
se b
1
( ) = var b
1
( )
var b
2( )
=
x
3t
2
∑
x
2t
2
∑( ) x3t
2
∑( )? x 2tx3t∑( )
2
σ
2
se b
2( )
= var b
2( )
var b
2
( ) =
x
2t
2
∑
x
2t
2
∑( ) x3t
2
∑( )? x 2t
x
3t∑( )
2
σ
2
se b
3
( ) = var b
3
( )
y
t
= Y
t
Y
(7 - 2 0)
(7 - 2 1)
(7 - 2 2)
b
1
= Y? b
2
X
2
b
3
X
3
b
2
=
y
t
x
2t∑( ) x 3t
2
∑( )? yt
x
3t∑( ) x2t
x
3t∑( )
x
2t
2
∑( ) x3t
2
∑( )? X2t
x
3t∑( )
2
b
3
=
y
t
x
3t∑( ) x2t
2
∑( )? ytx 2t∑( ) x 2tx3t∑( )
x
2t
2
∑( ) x3t
2
∑( )? x2t
x
3t∑( )
2
第 7章 多元回归：估计与假设检验 介绍 131
下载
132部分 第二部分 线性回归模型
(7 - 3 1)
也就是说，一旦估计出偏斜率的值，就很容易求得 。
7.3.3 多元回归 O L S估计量的性质在双变量模型中，我们看到在古典线性回归模型的基本假定下,O L S估计量是最优线性无偏估计量。这个性质对于多元回归同样成立。因此，根据 O L S估计的每一个回归系数都是线性的和无偏的 — 平均而言，它与真实值相一致。在所有线性无偏估计量中,O L S估计量具有最小方差性，所以 O L S估计量比其他线性无偏估计量更准确地估计了真实的参数值。
从上面的讨论中，不难发现，三变量模型在许多方面是双变量模型的推广，只不过估计公式略显复杂。解释变量的个数如果多于三个，那么得到的计算公式将会更复杂。在那种情况下，
不管你愿不愿意，都必须用矩阵代数来计算。当然，在本书中将不会遇到用矩阵代数计算的情况，不过现在很少有人徒手计算，还是让计算机做这些复杂的工作吧！
7.4 实例：未偿付抵押贷款债务 (美国,1 9 8 0? 1 9 8 5年 )
我们花一些时间用一个数字例子来说明上面讨论的理论。看表 7 - 1提供的数据。这些数据包括非农业未尝付抵押贷款( Y，亿美元)，个人收入( X2，亿美元)，新住宅抵押贷款费用( X3,%)，
抵押贷款费用包括对常规抵押贷款和手续费收取的利率。为了讨论的方便，我们把这些变量简称为抵押债务( Y)，收入( X2)，抵押费用( X3)。
先验地，预期抵押债务与收入正相关，因为个人收入越高，则其借贷购买新房的能力就越强，因此,X2的系数 B2预期为正；预期抵押债务与抵押费用负相关，原因很简单，在其他条件保持不变时，如果购房费用上升，则对住房的需求将下降，从而减少了对新的抵押贷款的需求。
相应地,X3的系数 B3预期为负。我们将会看到，这些先验的或理论的预期通常会有助于对回归分析的结果进行估计。
表 7-1 美国抵押贷款债务，个人收入，抵押贷款费用年 份 非农业抵押贷款债务 个 人 收 入 新抵押贷款费用
/亿美元 /亿美元 (%)
1 9 8 0 1 3 6 5,5 2 2 8 5,7 1 2,6 6
1 9 8 1 1 4 6 5,5 2 5 6 0,4 1 4,7 0
1 9 8 2 1 5 3 9,3 2 7 1 8,7 1 5,1 4
1 9 8 3 1 7 2 8,2 2 8 9 1,7 1 2,5 7
1 9 8 4 1 9 5 8,7 3 2 0 5,5 1 2,3 8
1 9 8 5 2 2 2 8,3 3 4 3 9,6 11,5 5
1 9 8 6 2 5 3 9,9 3 6 4 7,5 1 0,1 7
1 9 8 7 2 8 9 7,6 3 8 7 7,3 9,3 1
1 9 8 8 3 1 9 7,3 4 1 7 2,8 9,1 9
1 9 8 9 3 5 0 1,7 4 4 8 9,3 1 0,1 3
1 9 9 0 3 7 2 3,4 4 7 9 1,6 1 0,0 5
1 9 9 1 3 8 8 0,9 4 9 6 8,5 9,3 2
1 9 9 2 4 0 11,1 5 2 6 4,2 8,2 4
1 9 9 3 4 1 8 5,7 5 4 8 0,3 7,2 0
1 9 9 4 4 3 8 9,7 5 7 5 3,1 7,4 9
1 9 9 5 4 6 2 2,0 6 11 5,1 7,8 7
资料来源：,总统经济报告,(Economic Report of the Present),1 9 9 7年，抵押贷款债务的数据摘自表 B - 7 3，
第 3 8 6页，个人收入的数据摘自表 B - 2 8，第 3 3 2页，新抵押贷款费用的数据摘自 B - 7 1，第 3 8 2页。
e
t
2
∑
e∑
t
2
= y
t
2
∑? b2
y
t
x
2t
b
3
y
t
x
3t∑∑
下载定义了 Y,X2,X3，现在想要用 O L S法估计式( 7 - 2)。首先需要知道这些变量的各种平方和与交差乘积和的值。表 7 - 2给出了这些必要的数据。当然，现在已不用徒手计算了。在附录
7 A,4中，我们给出根据表 7 - 1的数据得到的回归结果 [模型( 7 - 2)]。这里给出用 E V I E W S统计软件得到的回归结果，我们将逐步地对回归结果作出解释。
表 7-2 回归方程( 7 - 3 2)的原始数据
n= 1 6
7.4.1 回归结果根据附录 7 A,4给出的计算结果，得到下列回归方程。(注：这里保留小数点后四位数)首先用式( 6 - 4 8)的形式写出回归结果，然后按步骤讨论：
= 155.681 2 ＋ 0.825 8X2t － 56.439 3X3t ( 7 - 3 2 )
s e= (578.328 8) (0.063 5) (31.454 3)
t=(0.269 2) (12.991 0) (－ 1.794 3) R2=0.989 4
p值= (0.792 0) (0.000 0)* (0.096 0)校正的 R2=0.987 8
*表示很小，几乎为零。
在计算 t值时，假定相应的总体系数为零。
7.4.2 对回归结果的解释回归结果表明,X2的偏回归系数 0.824 8表示了在其他变量(也即抵押贷款费用)保持不变时，
收入每增加 1美元，抵押贷款债务平均地将增加 3 8美分。与预期相同，这两个变量之间正相关。
同样地，部分斜率系数－ 56.439 4表示在其他变量 (也即收入 )保持不变时，抵押贷款费用每上升 1个百分点，则平均的抵押贷款债务将下降 56亿美元。与预期相同，这两个变量之间负相关。
截距 155.681 2表示如果收入和抵押贷款费用都为零时，平均的抵押贷款债务量约为 1 5 7亿美元。但是，在本例中，截距没有什么经济意义。
对估计的抵押贷款债务函数，可以得到什么结论呢？到目前这个阶段，我们仅能够说估计的函数有经济意义。但是，估计参数的统计显著性如何呢？估计的回归方程的优度如何呢？我们将在下面的分析中给出答案。
7.5 估计的多元回归方程的拟合优度：多元判定系数 R2
在双变量模型中，我们知道式( 6 - 4 0)定义的 r2是用来度量拟合的样本回归直线( S R L)的拟合优度；也就是说,r2给出了单个解释变量 X对应变量 Y变动的解释比例或解释的百分比。 r2的概念可以推广到包含若干个解释变量的回归模型之中。因此，在三变量模型中，我们想知道,X2
和 X3一起对应变量 Y变动的解释程度(解释比例)。我们将度量这个信息的量称为 多元判定系数
(Multiple Coefficient of Determination)，用符号 R2表示；从概念上讲，它与 r2类似。
与双变量模型相同，有如下恒等式：
T S S = E S S + R S S ( 7 - 3 3 )
)
Y
t
X
3t∑ =167.968
x
3t
2
= 1742.89∑
x
2t
x
3t
=?40293∑
X
2t∑ =65 660.8
x
2t
2
= 21965732.96∑
y
t
x
3t
=?38.337∑
Y
t∑ = 47 235.2
y
t
2
=19 223 091∑
y
t
x
2 t
= 20 411719∑
第 7章 多元回归：估计与假设检验 介绍 133
下载
134部分 第二部分 线性回归模型 下载其中，
T S S =总离差平方和( = y2t)
E S S＝回归平方和
R S S＝残差平方和同样地，与双变量模型类似,R2定义如下：
( 7 - 3 4 )
即,R2是回归平方和与总离差平方和的比值；与双变量模型惟一不同的是现在的 E S S值与多个解释变量有关。
可以证明,1
(7 - 3 5)
前面已经给出：
( 7 - 3 1)
因此，
(7 - 3 6)2
所有这些量都可以根据表 7 - 2提供的数据求得。当然，计算机将会很快地求得结果。根据附录 7 A,4的计算结果,R2为 0.989 4，它表示约 9 9%的抵押贷款债务的变化可以由个人收入和抵押贷款费用这两个变量来解释。与 r2相同,R2的值也在 0与 1之间(为什么？) R2越接近于 1，表示估计的回归直线拟合得越好； R2近似等于 1，表示回归直线非常好地拟合了样本数据。
R2的正的平方根，称为 多元相关系数 (c o e fficient of multiple correlation)，与双变量模型的 r相类似。正如 r度量了 Y与 X的线性相关程度一样,R度量了 Y与所有解释变量的线性相关程度。虽然
r可正可负，但 R却总取正值。但是，在实际中，很少用到 R。在本例中,。
7.6 多元回归的假设检验：一般的解释虽然 R2度量了估计的回归直线的拟合优度，但是 R2本身却不能告诉我们估计的回归系数是否在统计上是显著的，即是否显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些则可能不是。如何判断呢？
具体地，假定想要检验假设：个人收入对抵押贷款债务没有影响。换句话说,要检验零假设：
H0:B2= 0。如何进行该假设检验呢？根据第 6章中讨论的对双变量模型的假设检验,要回答这个问题，
需要求 B2的估计量 b2的抽样分布。那么 b2的抽样分布是什么呢？ b1和 b2的抽样分布又是什么呢？
在双变量模型中，如果假定误差项 u服从正态分布，则 O L S估计量 b1,b2服从正态分布。在
A 7,6假定中我们已经规定了即使对多元回归，仍假定 u服从均值为 0，方差为 2的正态分布。在这个假定以及 7,2节列出的其他基本假定满足的条件下，可以证明,b1,b2,b3均服从均值分别为 B1,B2,B3正态分布。式( 7 - 2 3)，( 7 - 2 5)和( 7 - 2 7)分别给出了它们的方差。
但是，与双变量模型相同，如果用真实的但不可观察的 2的无偏估计量 代替 2，则 O L S
估计量服从自由度为( n－ 3)的 t分布，而不是正态分布。即
)
2
R = 0.9894 = 0.9947
R
2
=
b
2
y
t
x
2t
+b
3
y
t
x
3t∑∑
y
t
2
∑
RSS = y
t
2
∑? b2
y
t
x
2t
b
3t
y
t
x
3t∑∑
ESS = b
2
y
t
x
2t
+ b
3
y
t
x
3t∑∑
R
2
=
ESS
TSS
1 参见附录 7A.2。
2 R2也可以公式,来计算。1?
RSS
TSS
= 1?
e
t
2
∑
y
t
2
∑
第 7章 多元回归：估计与假设检验 介绍 135
注意：此时的自由度为( n－ 3)，因为在计算 R S S，,即而 时，首先需要估计截距及两个部分斜率，也就是说，失去了 3个自由度。
用 代替 2使得 O L S估计量服从 t分布，同样在建立置信区间以及对真实的部分斜率进行假设检验时，也可以用 代替 2。其内在机制在许多方面与双变量模型相类似，我们用抵押贷款债务一例来说明。
7.7 对回归参数进行假设检验假定对式( 7 - 3 2)的回归结果，做如下假设：
H0,B2＝ 0,H1,B2≠ 0
也即，在零假设下，个人收入对贷款债务无影响。在备择假设下，个人收入对抵押贷款债务有
(正的或负的)影响。因此备择假设是双边假设。
在上述零假设下，我们知道：
(注,B2= 0)
即服从自由度为( n－ 3)= 1 3的 t分布。根据附录 7 A,4中的数据，可得
( 7 - 4 0 )
服从自由度为 1 3的 t分布。
根据计算的 t值，能否拒绝零假设：个人收入对抵押贷款债务没有影响。要回答这个问题，
可用置信区间法或显著性检验法(与双变量模型讨论的相同)。
7.7.1 显著性检验法回忆一下，在显著性检验方法中，我们需要建立一个统计量，求其抽样分布，选择一个显著水平,并决定在所选显著水平下检验统计量的临界值。然后将从样本得到的统计量值与其临界值作比较，如果统计量的值超过临界值，则拒绝零假设。 1 我们可以将这种检验方法推广到多元回归模型中。
回到上面的例子，我们知道在这个问题中，检验统计量是 t统计量，它服从自由度为( n－
3)的 t分布，因此，我们用 t显著性检验。实际的机制很简单。假定选择 ＝ 0,0 5或 5%。由于备择假设是双边的，因此求得的 t临界值是在 / 2＝ 2,5%的显著水平下(为什么？)。此时的自由度为
1 3。查 t分布表得：
P(－ 2,1 6 0≤ t≤ 2,6 0 )＝ 0,9 5 (7 - 4 1)
t =
0.82 582
0.06357
=12.9 910
( 7 - 3 8 )t = b2? B2
se b
2( )
=
b
2
se b
2
( )
)
2
)
2
)
2
e
i
2
∑
(7 - 3 7)
( 7 - 3 8 )
( 7 - 3 9 )
t =
b
1
B
1
se b
1( )
~ t n? 3( )
t =
b
2
B
2
se b
2( )
~ t n? 3( )
t =
b
3
B
3
se b
3
( )
~ t n? 3( )
1 如果检验统计量是一个负值，那么就考虑其绝对值，如果其绝对值超过临界值，则拒绝零假设。
下载
136部分 第二部分 线性回归模型 下载即 t值位于临界值－ 2,1 6 0与 2,1 6 0之间的概率为 9 5%。
根据式( 7 - 4 0)可知，在零假设 H0:B2= 0下，计算的 t值接近 1 3，显然超过 t临界值 2,1 6 0。因此，
拒绝零假设并得出结论：个人收水对抵押贷款债务有影响。
1,p值实际上，我们无需选择显著水平,因为在附录 7 A,4的结果中已经给出估计的 t统计量的 p
值。在本例中,p 值为 0.000 0，几乎为零。因此，如果零假设 B2＝ 0为真，那么得此 t值大于或等于 1 3的概率几乎为零。这就是为什么能够拒绝零假设的原因。事实上，根据 p 值比根据任选的显著水平 更有理由拒绝零假设。 1
2,单边或双边检验由于先验地，预期收入系数为正，因此，这里实际上用得是单边检验。在 5%的显著水平下，单边检验的 t值为 1,7 7 1。因为计算的 t值约为 1 3仍远大于 1,7 7 1，所以拒绝零假设并得出结论：个人收入对抵押贷款债务有正向冲击。另一方面，双边检验的结果只是简单地告诉我们个人收入对抵押贷款债务可能有正向的或反向的影响。因此，一定要注意你是如何规定零假设和备择假设的：在选择这些假设时要以经济理论为依据。
7.7.2 置信区间法假设检验的置信区间法的基本思想已在前面的章节中讨论过。这里，我们仅以一个数字例子来说明。前面已经得到：
P(－ 2,1 6 0≤ t≤ 2,1 6 0)= 0,9 5 (7 - 4 1)
还知道：
( 7 - 3 8 )
如果将( 7 - 3 8)式代入到( 7 - 4 1)式，得，
整理得：
( 7 - 4 2 )
这就是在 7,5%显著水平下 B2的置信区间。回忆一下置信区间法，如果置信区间(也称接受区域)
包括了零假设值，那么将不能拒绝零假设。另一方面，如果零假设值在置信区间之外，则拒绝零假设。但需时刻注意的是，无论做何种决定，你犯错误的概率为 5%。
对本例，相应的式( 7-4 2)为
0.825 8－ 2,1 6 0(0.063 6)≤ B2≤ 0.825 8+2.160(0.063 6)
即，
0.688 5≤ B2≤ 0.963 1 (7 - 4 3)
即为 B2的 9 5%的置信区间。由于该置信区间不包括零假设值，所以拒绝零假设：如果建立了类似式( 7 - 4 3)的置信区间，那么 1 0 0个这样的置信区间中将有 9 5个包括真实的 B2值。我们不能说某一特定的区间( 7 - 4 3)包括或不包括 B2的概率为 9 5%。
勿庸赘言，可用两种不同的方法假设检验模型( 7 - 3 2)中的其他任何一个系数。我们来看抵
t =
b
2
B
2
se b
2
( )
1 附录 7A.4给出的 p值是双边检验的结果。要想得到单边检验的 p值，只需将表中的数值二等分。
第 7章 多元回归：估计与假设检验 介绍 137
下载押贷款费用这个变量的系数，它在统计上是显著的吗？也即，它显著不为零吗？这依赖于我们如何建立零假设和备择假设。由于预期抵押贷款费用的系数为负，因此，需建立如下零假设和备择假设：
H0:B3= 0,H1:B3< 0 (7 - 4 4)
即，用单边 t检验。从 t分布表可知，在 5%显著水平下，单边 t临界值为 1,7 7 1(自由度为 1 3)。式
(7 - 3 2)回归结果中的 t值为 1,7 9，它超过了 t临界值，所以能够拒绝零假设：抵押成本对抵押贷款无影响。 1事实上，由式( 7 - 3 2)回归结果中的 p值，我们能在 0,0 4 8(= 0,0 9 2 / 2)的显著水平下拒绝零假设，这是获此 t值 1,7 9的精确的显著水平。 2这个显著水平也是能够拒绝零假设的最低的显著水平。再一次的指出：如果能够得到 p值，可用它来代替任意选择的显著水平 。
但是，如果备择假设为,B3≠ 0(也即双边检验)，那么就不能够拒绝零假设：抵押贷款费用对抵押贷款债务没有影响。因为，双边检验的 t临界值为 2,1 6 0，它比计算的 t值 1,7 9大。你会看到慎重地建立零假设与备择假设有多么重要。
7.8 对联合假设的检验从式( 7 - 3 2)回归结果可以看出：部分斜率系数 b2和 b3各自均在统计上是显著的；也即每个部分斜率系数均显著不为零。但是现考虑下面的零假设：
H0,B2=B3= 0 (7 - 4 5)
这个零假设成为 联合假设 (joint hypothesis)，即 B2,B3联合或同时为零(而不是各自的或单独的为零)。这个假设表明两个解释变量一起对应变量 Y无影响；也就是说，抵押贷款债务独立于个人收水平以及抵押贷款费用。换句话说,X2与 X3对 Y无任何影响，等同于：
H0,R2= 0 (7 - 4 6)
也即，两个解释变量对应变量变化的解释比例为零(回忆 R2的定义)。因此，假设( 7 - 4 5)与假设( 7 -
4 6)是等价的。对这两个中任何一个假设进行检验称为对估计的总体回归线的显著性检验，即检验 Y是否与 X2和 X3线性相关。
如何对( 7 - 4 5)假设进行检验呢？这里有一个迷惑之处：既然 B2,B3各自均显著不为零，那么它们一定也联合或集体显著不为零，也即能够拒绝( 7 - 4 5)这个零假设。换句话说，既然个人收入和抵押贷款费用每一个都对抵押贷款数量有显著的影响，那么它们一起也一定会对抵押贷款有显著性影响。但是，这里需小心的是：在实践中的许多多元回归模型中，一个或多个解释变量各自对应变量没有影响，但集体却对应变量有影响，对于这一点我们将在第 1 0章中结合多重共线性问题更详细地讨论。这意味着前面讨论的 t检验虽然对于检验单个回归系数的统计显著性是有效的，但是对联合假设却是无效的。
那么如何对类似式( 7 - 4 5)这样的假设进行检验呢？我们可用方差分析( analysis of variance，
A N O VA)的技术来完成。下面介绍方差分析技术，首先看下面恒等式：
T S S = E S S + R S S (7 - 3 3)
即，
(7 - 4 7)yt2 = b2 yt x2t + b3 yt x3t + et2∑∑∑∑
1 与前面讲过的一样，如果检验统计量为负值，我们就考虑其绝对值。比如说，如果检验统计量的绝对值超过临界值，则将拒绝零假设。
2 (7-32)回归结果给出的 p值是双边检验的结果。因此，对于单边检验，需将这个 p值除以 2。
式( 7 - 4 7)将 T S S分解为两个部分，一部分( E S S)由回归模型来解释，另一部分( R S S)不能由模型解释。对 T S S的各个组成部分进行的研究称为方差分析。
正如第 4章中所讲的，每一个平方和都与其自由度有关 — 即计算的平方和是依据独立观察值的数目。于是上面的这些平方和的自由度为：
平 方 和 自 由 度
T S S n－ 1(对所有模型，为什么？)
R S S n－ 3(三变量模型)
E S S 2(三变量模型 ) *
* 求 E S S自由度的一个简便方法是用 T S S的自由度减 R S S的自由度 。
表 7-3 三变量回归模型的方差分析表方 差 来 源 平 方 和 ( S S ) 自 由 度 ( d,f,)
来自回归( E S S) 2
来自残差( R S S) n－ 3
总离差( T S S) n－ 1
注,M S S＝平方和的平均值。
我们建立方差分析表，见表 7 - 3。
现在，若满足 C L R M基本假定(以及 A 7,6假定)，零假设为,H0:B2=B3= 0，可以证明变量：
服从分子自由度为 2，分母自由度为 n－ 3的 F分布。(参见第3章有关 F分布的讨论及第4章有关 F
分布的使用)。一般地，如果回归模型有 k个解释变量(包括截距)，则 F值的分子自由度为( k－ 1)，
分母自由度为 n－ k。 1
如何利用式( 7 - 4 9)给出的 F值来检验联合假设,X2和 X3对 Y没有影响呢？我们可从式( 7 - 4 9)中得到答案。如果分子比分母大，也即如果 Y被回归解释的部分(即由 X2和 X3解释的 Y的变动)比未被回归解释的部分大，则 F值将大于 1。因此，随着解释变量对应变量 Y的变动的解释比例逐渐增大,F值也将逐渐增大。因此,F值越大，就越有理由拒绝零假设：两个(或多个)解释变量对应变量 Y无影响。
当然，这种直观的原因可用假设检验的语言加以正规化。在第 3章我们讲过，根据式( 7 - 4 9)
可计算出 F值，并在所选显著水平下，将其与 F临界值(分子自由度为 2，分母自由度为 n－ 3)作比较。如果计算的 F值超过 F临界值，则拒绝零假设：所有的解释变量同时为零。如果 F值不超过 F临界值，则不能拒绝零假设：解释变量对因变量无任何影响。
我们仍用抵押贷款的一例来说明。表 7 - 4给出了对应表 7 - 3的具体数值，该结果是用 E V I E W
( 7 - 4 8 )
( 7 - 4 9 )
y
t
2
∑
e
t
2
∑
n? 3
e
t
2
∑
b
2
y
t
x
2t
+ b
3
y
t
x
3 t∑∑( )/2b2 yt x2t + b3 yt x3t∑∑
MSS =
SS
d.f.
138部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 一个简单地记忆方法是,F值的分子自由度等于模型中偏斜率的个数，分母自由度等于 n减去所需估计参数的个数(即，偏斜率系数加上截距)。
第 7章 多元回归：估计与假设检验 介绍 139
下载软件计算得到(见附录 7 A,4)。 1从表 7 - 4的计算结果可知，估计的 F值为 608.918 5，约为 6 0 9，在零假设 B2=B3= 0，若满足古典线性回归模型的基本假定，那么,F值服从分子自由度为 2，分母自由度为 3的 F分布。
如果零假设为真，则得此 F值大于或等于 6 0 9的概率是多少呢？计算机计算结果表明，获此 F值的 p值为 0.000 00，几乎为零。因此，能够拒绝零假设：收入和抵押贷款费用一起对抵押贷款债务没有影响。更肯定地说，个人收入和抵押贷款费用确实影响了抵押贷款债务。 2
表 7-4 抵押贷款债务一例的方差分析表方 差 来 源 平方和( S S) 自由度 ( d,f,) M S S = S S / d,f,
来自回归( E S S) 1 9 0 2 0 0 5 8 2 19 020 258/2=9 510 029
来自残差( R S S) 20 303 3 1 3 203 033/2=15 618
总离差( T S S) 19 233 091 1 5
F=9 510 029/15618=608.916①
① 数值已经经过四舍五入，因此这个 F值与计算机输出结果略有出入。
在我们这个例子中，不仅拒绝假设,B2和 B3分别是统计非显著的，而且拒绝假设,B2和 B3
联合地是统计非显著的。然而，这种情况并不总是发生。我们将会遇到不是所有的解释变量各自都对应变量有影响(也就是，有的 t值可能是统计不显著的)但是它们却联合地对应变量有影响
(即 F检验将拒绝零假设：所有斜率同时为零)的情况。我们将会看到，当存在多重共线性时，
上述情况就会发生。有关多重共线性问题更详细的讨论见第十章。
F与 R2之间的重要关系判定系数 R2与方差分析中用到的 F值之间有如下重要关系：(参见习题 7,1 6)
(7 - 5 0)
式中 n为观察值的个数； k为包括截距在内的解释变量的个数。
式( 7 - 5 0)表明了 F与 R2之间的关系。这两个统计量同方向变动。当 R2＝ 0(即 Y与解释变量 X不相关)时,F为 0。 R2值越大,F值也越大。当 R2取其极限值 1时,F值为无穷大。
因此，前面讨论过的 F检验(用于度量总体回归直线的显著性)也可用于检验 R2的统计显著性—
即 R2是否显著不为零。换句话说，检验零假设( 7 - 4 5)与检验零假设(总体的) R2为零是等价的。
用 R2的形式进行 F检验的一个优点是便于计算。我们仅仅需知道 R2值即可，而许多统计软件都给出 R2的值。因此，对总体回归方程显著性的 F检验可以用 R2的形式，见式( 7 - 5 0)。相应的，
表 7 - 3的方差分析表也可等价地表示为表 7 - 5：
表 7-5 用 R2形式表示的方差分析表方 差 来 源 平方和 ( S S ) 自由度 ( d,f,) M S S = S S / d,f,
来自回归( E S S) 2
来自残差( R S S) n－ 3
总离差( T S S) n－ 1
注,1,在计算 F值时，无需将 R2和( 1－ R2)分别乘以,因为 可被约去，见式( 7 - 5 0)。
2.在 k个变量的模型中，自由度分别为( k－ 1)和( n－ k)。
y
t
2
∑yt
2
∑
y
t
2
∑
1? R
2
( ) yt
2
∑( )
n? 3( )
1? R
2
( ) y
t
2
∑
R
2
y
t
2
∑( )/2R
2
y
t
2
∑
F =
R
2
/ k?1( )
1? R
2
( )/ n? k( )
1 与其他统计软件不同,E V I E W S虽然给出了 F值，但不提供方差分析表。但是从附录 7 A,4给出的结果，不难求得方差分析表，因为，我们可用给出的 Y的标准方差来计算 T S S。我们还有 R S S数据，因此，可计算出
ESS。当然，各个不同的自由度也是已知的。
2 如果选择 ＝ 1%，则 F临界值为 6,7 0（分子自由度为 2，分母自由度为 1 3）,显然，计算的 F值 6 0 9几乎是 F临界值 6.70的 91倍。
在这个例子中,R2＝ 0,9 8 9。因此，根据式( 7 - 5 0)：
( 7 - 5 1 )
这里的 F值与附录 7 A,4中计算机输出结果几乎相同，只是舍入误差略有不同。
按照表 7 - 5的形式建立方差分析表，留给读者实践。
7.9 从多元回归模型到双变量模型：设定误差我们再来看表 7 - 1提供的抵押贷款债务的数据。假定某人认为住房对他很重要以至于认为抵押贷款费用不像个人收入那么重要。因此，他或她决定把抵押贷款费用这一解释变量( X3)从回归方程( 7 - 2)中略去，仅仅简单地做 Y(抵押贷款债务)对 X(个人收入)的回归，得到如下结果：
=－ 861.7+0.929 3X2t
se=(122.5) (0.028 7) R2= 0,9 8 7
t= (－ 7.03) (32.38) 校正的 R2= 0,9 8 6 (7 - 5 2)
p值 =(0,0 0 0)* (0,0 0 0)*
*表示值很小。
如果把双变量回归结果( 7 - 5 2)与三变量回归结果( 7 - 3 2)作比较，你会发现有几个不同：
(1) 虽然抵押贷款债务仍与个人收入高度相关，但是两个回归方程中收入变量的系数不同，
分别为 0.825 8[式 ( 7 - 3 2 ) ],0.929 3[式( 7 - 5 2)]，而且这种差别在统计上是显著的。(你能证明吗？)
(2) 两回归模型中的截距相差很大。
(3) 两回归模型中的 R2一个为 0,9 8 7，另一个为 0,9 8 9，看似差别不大。这是完全可能的，而且随后我们还将看到,这种有限的差别可能在统计上还是显著的，也即显著不为零。
两个回归结果为什么会不同呢?别忘了在式( 7 - 3 2)中，我们推导个人收入对抵押贷款债务的影响时,是在假设抵押贷款费用是常数的条件下;而在式( 7 - 5 2)中，只是简单地略去了抵押贷款费用这个变量。换句话说,式( 7 - 3 2)中的个收入对抵押贷款债务的影响是净影响或净效果,而在式( 7 - 5 2)中的抵押贷款费用的影响并未略掉。因而,式( 7 - 5)中的个人收入系数反应了总效果 — 直接的个人收入效果与间接的抵押贷款费用的效果。两个回归结果的这种差异性很好地反映了偏回归系数的“偏”的含义。
在对式( 7 - 3 2)回归结果的讨论中，我们发现个人收入和抵押贷款费用无论是各自地，还是是集体地都对抵押贷款债务有重要影响。因此，从式( 7 - 3 2)的回归模型中将抵押贷款变量略去，
会导致 (模型的)设定偏差 (m o d e l)s p e c i f i c a t i o n)或 设定误差 (specification error)，更具体说是从模型中略去重要变量的设定误差。
在第 1 4章中将详细讨论模型的设定误差，但这里需要特别指出的是：在依据经验建立模型时需格外仔细。在建立模型时，要以经济理论为依据并充分利用以往的工作经验。一旦建立起模型，就不要任意地从模型中删除某个解释变量。
7.10 两个不同的 R2的比较：校正的判定系数检查双变量回归模型 [式( 7 - 5 2)]与三变量回归模型 [式( 7 - 3 2)]的 R2值，我们注意到前一个方程的 R2值( 0,9 8 7)比后一个方程的 R2值( 0,9 8 9)小。结果总是这样的吗？是的！判定系数 R2的一个重要性质就是模型中的解释变量的个数越多,R2值就越大。那么，若想用更大的比例解释应变量的变动，那么仅仅需要不断地增加解释变量的个数就可以了！
)
Y
t
F =
0.9894/2
1?0.9 894( )/13
= 606.78
140部分 第二部分 线性回归模型 下载第 7章 多元回归：估计与假设检验 介绍 141
下载但是，不能完全照搬这个“建议” 。这是因为在 R2的定义( E S S / T S S)中并没有考虑到自由度。
注意：在一个有 k个变量的模型中(包括截距),E S S的自由度为( k－ 1)。因此，如果模型中有 5个解释变量(包括截距)，则 E S S的自由度为 4，如果模型有 1 0个解释变量(包括截距)，则 E S S的自由度为 9，但是 R2的计算公式并未考虑不同模型自由度的不同 [ T S S的自由度总为( n－ 1) (为什么？) ]。因此，比较相同应变量但不同个数解释变量的两回归模型的样本判定系数 R2，就像是拿苹果与桔子比。
因而，我们需要这样一个拟合优度的度量指标，它能根据模型中解释变量的个数进行调整。
定义校正的 判定系数 R2(adjusted R2)如下：(参见附录 7 A,3)
(7 - 5 3)
这里需要指出的是前面讨论的判定系数 R2也称为非校正的判定系数。
校正的判定系数有如下性质：
(1) 若 k> 1，则 。即，随着模型中解释变量的增加，校正判定系数越来越小于非校正判定系数 R2，这似乎是对增加解释变量的“惩罚” 。
(2) 虽然非校正的判定系数 总为正，但校正的判定系数 R2可能为负。例如，若回归模型中,k= 3,n= 3 0,R2＝ 0,0 6，则 R2为－ 0.009 6。
目前，许多统计软件都可以计算 R2和 。校正判定系数可以使我们对同应变量不同解释变量 (个数不同 )的两回归模型作比较。 1
在抵押贷款债务一例中，校正判定系数 为 0.987 8，比非校正的判定系数 R20.989 4略小。
7,11 什么时候增加新的解释变量在实际中，为了解释某一现象，研究者往往面对如何取舍若干解释变量的问题。通常的做法是：只要校正判定系数 值增加(即使 值可能小于非校正判定系数 R2的值)，就可以增加解释变量。但是什么时候校正的判定系数 值开始增加呢？可以证明：如果增加变量的系数的| t |值大于 1,就会增加，这里的 t值是在零假设：总体的系数为零下计算得到的。
在抵押贷款债务一例中，已经知道 =0.986 0(双变量模型),0.987 8(三变量模型)。校正判定系数值增加了，但这并没有什么可奇怪的，因为变量 X3的 t值 [见式( 7 - 3 2)]超过 1。因此，可将 X3增加到模型中去。同时,X3的 t值不仅比 1大，而且根据单边检验的结果，它还在统计显著的。 2
7.12 回归模型的结构稳定性检验,C h o w检验当回归模型涉及时间序列数据时，应变量 Y与解释变量 X之间可能会发生结构变化。有些时候，结构的变化可能是由于内部因素(例如，在 1 9 7 3年,1 9 7 9年以及 1 9 9 0? 1 9 9 1年的海湾战争期间，由 O P E C石油卡特尔组织发起的石油禁运)，有些时候，结构的变化可能是由于政策的变化(例如,1 9 7 3年间，由固定汇率制转换为浮动汇率制)所导致的，或是由于国会采取的某些行动(里根政府推行的新税收政策)，或是由于其他的原因。
如何发现模型中确实发生了结构变化呢？具体地,我们考虑表 7 - 6提供的数据,它给出了
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
R
2
= 1? 1? R
2
( )
n? 1
n? k
1 在第 8章中将会看到：如果两个回归模型应变量不同，则不能直接比较它们的判定系数 R2和校正的判定系数 。
2 但是无论某 t值是否在统计上是显著的，只要增加变量的系数的| t|值大于 1，校正的判定系数 就会增加。R 2
R
2
1 9 7 0 ~ 1 9 9 5年间美国个人可支配收入与个人储蓄的数据，假定我们想要估计一个简单的储蓄方程,即个人储蓄( Y)对个人可支配收入( X)的变化。根据数据，可以得到 Y关于 X的 O L S回归方程。
但是如果这样做，就隐含地假定了在 2 6年间 Y与 X的关系没有发生太大的变化。这可能是一个过于理想的假定，比如，在 1 9 8 2年，美国遭受到了和平期间最严重的经济衰退，当年的城市失业率高达 9,7%，是自 1 9 4 8年以来失业率最高的一年。类似这种事件会扰乱收入和储蓄之间的关系。为了观察这种情况是否发生，我们把数据分为两个时期,1 9 7 0 ~ 1 9 8 1年和 1 9 8 2 ~ 9 9 5年。得到三种可能的回归方程：
时期,1 9 7 0? 1 9 9 5年 Yt=A+B Xt+u1t n= 2 6 (7 - 5 4)
时期,1 9 7 0? 1 9 8 1年 Y t= A 1+B 2Xt+ u2t n1= 1 2 (7 - 5 5)
时期,1 9 8 2? 1 9 9 5年 Y t= B 1+B 2Xt+ u3t n3= 1 4 (7 - 5 6)
(注,n=n1+n2)
式( 7 - 5 4)回归假定了两个时期没有差别，因此，估计的是整个时期的 Y与 X之间的关系。( 7 - 5 5)回归与( 7 - 5 6)回归假定了 Y与 X的关系在两个时期是不同的。
利用表中数据，得到如下回归结果：
=62.422 6+0.037 6Xt (7 - 5 4 a)
t= (4.891 7) (8.893 7) R2=0.767 2 d,f,= 2 4 S1=232 48.30
=1.106 1+0.080 3Xt (7 - 5 5 a)
t= (0.087 3) (9.601 5) R2=0.902 1 d,f,= 1 0 S2=178 5.032
=153.494 7+0.014 8Xt (7 - 5 6 a)
t= (4.692 2) (1.770 7) R2=0.207 1 d,f,= 1 2 S3=100 05.22
注,S1,S2,S3分别表示各个回归方程的残差平方和( R S S)，这里仅给出了 t值 。
表7-6 美国个人可支配收入与个人储蓄年 份 个 人 储 蓄 个人可支配收入 年 份 个 人 储 蓄 个人可支配收入
1 9 7 0 61.000 00 727.100 0 1 9 8 3 167.000 0 2 522.400
1 9 7 1 68.600 00 790.200 0 1 9 8 4 235.700 0 2 810.000
1 9 7 2 63.600 00 855.300 0 1 9 8 5 206.200 0 3 002.000
1 9 7 3 89.600 00 965.000 0 1 9 8 6 196.500 0 3 187.600
1 9 7 4 97.600 00 1 054.200 1 9 8 7 168.400 0 3 363.100
1 9 7 5 104.400 00 1 159.200 1 9 8 8 189.100 0 3 640.800
1 9 7 6 96.400 00 1 276.000 1 9 8 9 187.800 0 3 894.500
1 9 7 7 92.500 00 1 401.400 1 9 9 0 208.700 0 4 166.800
1 9 7 8 112.600 0 1 580.100 1 9 9 1 246.400 0 4 343.700
1 9 7 9 130.100 0 1 769.500 1 9 9 2 272.600 0 4 613.700
1 9 8 0 161.800 0 1 973.300 1 9 9 3 214.400 0 4 790.200
1 9 8 1 199.100 0 2 200.200 1 9 9 4 189.400 0 5 021.700
1 9 8 2 205.200 0 2 374.300 1 9 9 5 249.300 0 5 320.800
资料来源：,总统经济报告,(Economic Report of the Pre s i d e n t),1 9 9 7，所有数据的单位均为亿美元，数据摘自表 B - 2 8，第 3 3 2页。
观察上述回归结果，可以看出收入和储蓄间的关系在不同时期有所不同。这表明合并的回归( 7 - 5 4 a)或许不是很准确(即拟合所有 2 6个观察值，得到一个共同的回归方程，而不考虑两个时期可能有差别)。两个不同时期回归结果的差异可能是由于结构的变化，这种结构的变化或许是由于截距( B1和 A1在统计可能是不同的)或斜率( B2,A2在统计可能是不同的)的不同，或是斜率与截距都不同。我们如何判定呢？
)
Y
t
)
Y
t
)
Y
t
142部分 第二部分 线性回归模型 下载第 7章 多元回归：估计与假设检验 介绍 143
下载这就要用到 C h o w检验。 1C h o w检验假定：
(1) u2t~ N ( 0,σ2),u3t~ N ( 0,σ2)即( 7 - 5 5)和( 7 - 6 6)回归方程中的随机误差项服从同方差正态分布。
(2) 两随机误差项 u1t和 u2t相互独立。
C h o w检验步骤如下：
(1) 估计( 7 - 5 4)回归方程，如果不存在结构变化，则是一个准确的回归方程。求当自由度为
(n 1+ n 2－ k )时的 R S S 及 S 1，其中,k是估计参数的个数。在这个例子中,S 1＝
23 248.30。我们称 S 1为限制的残差平方和( R S SR)，因为它是在假定 A1＝ B1,A2＝ B2的条件下(也即回归方程( 7 - 5 5)与( 7 - 5 6)无差别)得到的。
(2) 估计( 7 - 5 5)回归方程，并求在自由度为( n1－ k)时的 R S S,S2。在本例中,S2＝ 1 785.032。
(3) 估计( 7 - 5 6)回归方程，并求在自由度为( n2－ k)时的 R S S,S3，在本例中,S3＝ 10 005.22。
(4) 由于两组样本相互独立，所以可将 S2与 S3相加，得到非限制残差平方和( R S SU R)
R S SU R=S2+S3,d,f,=n1+n2－ 2k
在本例中,R S SU R=S2+S3＝ 11 790.252
(5) C h o w检验的思想是：如果模型中确实不存在结构变化 [也即，( 7 - 5 5)回归方程与( 7 -5 6)相同 ]，那么 R S SR与 R S SU R不是统计不同的。因此，如果得到如下的 F值
(7 - 5 7)
那么根据 C h o w检验，在零假设：两个回归方程( 7 - 5 5)与( 7 - 6 6)统计相同的(即不存在结构的变化)下，式( 7 - 5 7)给出的 F值服从分子自由度为 k，分母自由度为( n1+n2－ 2k)的 F分布。
(6) 因此，如果计算的 F值没有超过 F临界值，那么不能拒绝参数是稳定性(即不存在结构变动)的零假设。在这种情况下，我们可以使用( 7 - 5 4)回归方程。相反地，如果计算的 F值超过了 F临界值，则拒绝参数是稳定的假设，并得出结论：回归方程( 7 - 5 5)与( 7 - 5 6)是不同的，在这种情况下，回归方程( 7 - 5 4)的参数值是不确定的。
再来看这个例子，我们发现：
(7 - 5 8)
根据 F分布表，可得在 1%的显著水平下,F临界值为 7,7 2(分子自由度为 2，分母自由度为 2 2)。
因此，得到 F值大于等于 1 0,6 9的概率小于 1%：精确地说,p值仅为 0.00 057。
因此，得出结论：储蓄 -收入回归方程( 7 - 5 5)与( 7 - 6 0)是不同的，即储蓄函数经历了一个结构的变动。这可能由于里根时期的经济政策或是其他别的因素。那么显然，( 7 - 5 4)回归就没有什么意义了。
在运用 C h o w检验时，需要注意以下的一些限制条件：
(1) 必须满足上面讲到的假定条件。例如，必须确认回归方程( 7 - 5 5)与( 7 - 5 6)的误差项是否相同。在第 11章中，将讨论如何处理异方差情况。
(2) C h o w检验的结果仅仅告诉我们两回归方程( 7 - 5 5)和( 7 - 5 6)是否不同，而无法得知导致这种差异的原因。在第 9章关于虚拟变量的讨论中，将对这个问题作出回答。
F =
2 324.80?11790.252( )/2
11790.252( )/22
=10.69
F =
RSS
R
RSS
UR
( )/ k
RSS
UR
/ n
1
+ n
2
2k( )
1 参见 Gregory C.Chow的《两线性方程回归系数相同性检验,(Tests of Equality Between Sets of Coefficients in
Two Linear Regressions)，见《经济计量学家,(Econometrica)，第 28卷，第 3期,1960年，第 591-605页。
144部分 第二部分 线性回归模型 下载
(3) C h o w检验假定知道结构发生变化的时间点。在本例中，是在 1 9 8 2年。但是，如果不清楚这个信息，我们需要用其它的方法。 1
在本书后面章节将会看到，( 7 - 5 7)回归中给出的 F检验有着更广泛的用途。
7.13 实例为了概括本章，我们考虑几个多元回归的例子。旨在向读者介绍多元回归在实际中的应用。
表 7-7 制造业中杠杆作用解 释 变 量 系数(括号内的是 t 值) 解 释 变 量 系数(括号内的是 t 值)
公司税率 2,4 个人税率 － 1,2
(1 0,5) (4,8)
资本利得税率 0,3 非债务避税 － 2,4
(1,3) (－ 4,8)
通货膨胀率 1,4
(3,0)
n= 4 8(观察值个数) R2= 0,8 7
资料来源,Randall Johnston Pozdena,《税收政策与企业资本结构,( Tax Policy and Corporate Capital
S t r u c t u r e ),《经济评论,(Economic Review)，旧金山联邦储备银行,1 9 8 7年秋，表 1，第 4 5页。
注,1,作者并未给出估计的截距值。
2,校正判定系数是根据式( 7 - 5 3)计算得到的。
3,各系数的标准差可由系数除以其 t值得到(例如,2.4/10.5=0.228 6即是公司税率系数的标准差。)
根据经济理论可知,系数 B2,B4,B6为正,B3,B5为负。 3根据美国 1 9 3 5? 1 9 8 2年间制造业的数据,P o z d e n a以列表式(表 7 - 7)给出了 O L S结果。(有的时候回归结果用列表形式给出,以便阅读。)
对回归结果的讨论第一个需要指出的事实是：上述回归结果中，所有系数的符号与经济理论预期相符。举个例子，公司税率对杠杆利率有正的影响 — 假定其它条件保持不变，公司税率每增加一个百分点，平均而言，杠杆利率(即债务产权的比率)将上升 2,4个百分点。同样地，在其它条件不变时，
如果通货膨胀率每上升每一个百分点，平均而言，杠杆利率将上升 1,4个百分点。其它的偏回归系数可类似地解释。
R
2
= 0.85
P o z d e n a估计了下面的回归方程,2
其中，
Y＝杠杆利率（＝债务 /产权） X2＝公司税率 X3＝个人税率 X4＝
资本利得税率 X5＝非债务的避税 X6＝通货膨胀率例 7.1 税收政策会影响公司资本结构吗
1 详细的讨论参见 Willam H.Greene的《经济计量分析,(Econometric Analysis)，第 3版,P r e n t i c e - H a l l,新泽西，
1997年，第 355页。
2 资料来源,Randall Johnston Pozdena的《税收政策与企业资本结构,(Tax Policy and Corporate Capital
Structure),《经济评论,(Economic Review)，旧金山联邦储备银行,1987年秋，第 37~51页。
3 参见 P o z d e n a的文章（脚注 1 4）对各个系数预期符号的理论分析。需要指出的是，美国债务利率是税后利率，但是收入利率是税前利率，这就是为什么公司宁愿负债也不愿将资本投资到新企业的原因之一。
第 7章 多元回归：估计与假设检验 介绍 145
下载在每一个偏回归系数的下面给出了在零假设(每一个总体偏回归系数分别为零)下的 t值。所以我们能够很容易地检验这个零假设和(双边的)备择假设：每一个真实的总体系数不为零。因此，在这个例子中，我们用双边 t检验。自由度为 4 2。(注：表 7 - 7并未给出截距值，虽然它也被估计了)。如果选择显著水平 ＝ 5%，则双边 t检验值约为 2,0 2 1(d,f,= 4 0)。(注：虽然 t分布表并未给出自由度为 4 2时的精确的 t值，但这已是一个很好的近似值)，如果选择显著水平 α= 1%，则双边的 t检验值为 2,7 0 4，看表 7 - 7给出的 t值，在 1%的显著水平下，显著不为零。在 1%或 5%的显著水平下，资本所得税的系数都是不显著的。因此，除此变量外，能够拒绝各个零假设：每一个偏回归系数为零。换句话说，除了一个解释变量之外，所有其他的解释变量各自均对债务 /产权比例有影响。这里指出：如果一个估计的系数在 1%显著水平下是统计显著的，则它在 5%的水平下同样是统计显著的，但是，反之，则不成立。
整个估计的回归直线的显著性如何呢？即，能否接受零假设：所有的偏斜率同时为零或，
等价地,R2= 0？这个假设很容易用式( 7 - 5 0)来检验，在此例中，
( 7 - 6 0 )
它服从自由度为 5和 4 2的 F分布，如果 ＝ 0,0 5，从 F分布表可知,F临界值为 2,4 5。( d,f,= 5,4 0，
因为 F分布表没有分母自由度为 4 0时相应的 F值)。在 ＝ 0,0 1，相应的 F临界值为 3,5 1，计算的 F
值 5 6远远大于上面任何一个 F临界值。因此，拒绝零假设：所有的偏斜率同时为零，或等价地，
R2＝ 0，集体地，所有 5个变量都影响应变量。个别地，只有 4个变量对应变量有影响，例 7,1再一次强调了,(单个 )t检验与(联合) F检验完全不同。 1
F =
R
2
/ k?1( )
1? R
2
( )/ n? k( )
=
0.87/5
0.13/42
= 56.22
为了解释牙买加对进口的需求,J,G a f a r2根据 1 9年的数据得到下面的回归结果：
=－ 5 8,9 +0,2 0X2t－ 0,1 0X3t
s e = (0.0 092) ( 0,0 8 4 ) R2= 0,9 6 ( 7 - 6 1 )
t= ( 2 1,7 4 ) (－ 1,1 9 0 4 ) = 0,9 5 5
其中,
Y＝进口量
X2＝个人消费支出
X3＝进口价格 /国内价格经济理论表明 Y与 X2之间正相关,Y与 X3之间负相关，这与回归结果相符。在
5%的显著水平上,X2的回归系数在统计上是显著的，但 X3的系数却不是。但是由于（ X3的） t的绝对值大于 1，因而如果将 X3从模型中略去，校正的判定系数 将减少（为什么？） 。联合地,X2和 X3可以解释牙买加进口数量 9 6%的变化。
R
2
R
2
)
Y
t
例 7.2 牙买加对进口的需求
1 我们知道在双变量线性回归模型中，在两个变量之间存在着如下关联：
tk2=F1,k
也就是说，具有 k个自由度的 t值的平方等于分子具有 1个自由度并且分母自由度为 k的 F值（见式( 3 - 1 8)）。
2 参见 J,G a f a r的《发展中经济的贬值与国际收支调整：以牙买加为例,(Devaluation and the Balance of
Payments Adjustment in a Developing Economy:An Analysis Relating to Jamaica),《应用经济学,(A p p l i e d
Economics)，第 29卷,1981，第 151-165页。符号略有变动。
146部分 第二部分 线性回归模型为了解释英国对酒精饮料的需求,T,M c G u i n n e s s1根据 2 0年的年数据得到了下面的回归结果：
=－ 0,0 1 4－ 0,3 5 4X2t+0.001 8X3t+ 0,6 5 7X4t+0.005 9X5t
s e = ( 0,0 1 2 ) ( 0,2 6 8 8 ) ( 0,0 0 0 5 ) ( 0,2 6 6 ) (0.003 4)
t= (－ 1,1 6 ) ( 1,3 2 ) ( 3,3 9 ) ( 2,4 7 ) ( 1,7 3 )
R2= 0,6 8 9 ( 7 - 6 2 )
其中，
Y＝每一个成年人纯酒精消费的年变化
X2=酒精饮料的真实价格指数的年变化
X3=个人真实的可支配收入的年变化
X4=
X5=在酒精饮料上的广告支出费用的年变化理论表明，除了变量 X2以外，所有解释变量都与应变量 Y正相关。这也与回归结果相一致，虽然有的回归系数是统计不显著的。在 5%的显著水平下,（自由度为 1 5，为什么？） t临界值为 1,7 3（单边）和 2,1 3 1（双边） 。考虑变量广告支出 X5
的系数，由于预期广告支出与对酒精饮料的需求正相关（不然的话，这对广告行业就是一个坏消息）,于是可以建立假设,H0:B5= 0,H1:B5> 0。因此我们可以用单边 t
检验。在 5%的显著水平下，计算得到的 t值近似统计显著的。
留给读者计算 F值，并检验假设：所有的偏斜率系数同时为零。
许可证颁发数量年变化量成年人人口
)
Y
t
例 7.3 英国对酒精饮料的需求在第一章中，我们给出了 ( 1 - 5 )回归方程，但并未对回归结果的统计显著性进行讨论。现在我们已经具备了必要的工具来讨论这个回归结果。完整的回归结果如下：
= 9 7,9 3 6－ 0.446 3C U N Rt－ 3.858 9A H E8 2t
s e = ( 5,5 1 3 ) ( 0,0 9 4 9 ) ( 0,7 5 5 2 )
t= ( 1 7,1 6 ) (－ 4,7 0 ) (－ 5,11 )
p值 = ( 0,0 0 0 ) * ( 0,0 0 0 ) * ( 0,0 0 0 ) * R2= 0,8 ( 7 - 6 3 )
F= 4 0,8 8 校正的 R2= 0,8
*表示值很小。
回归结果表明，每个估计的回归系数各自均统计显著的，因为计算出的 p值很小。也就是说，每个系数显著不为零。集体的,C U N R和 A H E也是统计显著的，
因为获得 F值为 4 0 (自由度为 2和 1 4 )的概率非常小。
与预期相同，城市失业率对城市劳动参与率有负的影响，表明失业工人效果占统治地位。隐含着的经济理论已经在第 1章中解释过。 A H E 8 2的系数为负，表明在收入效应和替代效应中，前者占统治地位。
CLFP
)
R
t
例 7.4 城市劳动参与率，失业率以及平均小时工资
1 参见 T.McGninness的《英国对酒精饮料需求的经济计量分析,(An Econometric Analysis of Total Demand of
Alcoholic Beverages in the United Kingdom),《工业经济,(Journal of Industrial Economics),1980，第 29卷，
第 85-109页，符号略有变动。
下载
7.14 小结本章我们讨论了最简单的多元回归模型，三变量线性回归模型 — 一个应变量，两个解释变量。虽然在许多方面，三变量模型是双变量线性回归模型的直接扩展，但是通过三变量模型，
我们介绍了一些新的概念，比如偏回归系数，校正的和非校正的多元判定系数，多重共线性等。
就多元回归参数估计而言，我们仍然是在普通最小二乘估计的框架下进行参数估计的。与双变量模型相同，多元回归的 O L S估计量也具有很好的统计性质 — 最优线性无偏估计( B L U E)
的高斯 -马尔科夫性质。
在扰动项服从均值为零，方差为 2的假定下，与双变量模型相同，每个估计的系数都服从正态分布(均值等于真实的总体值，方差见文中给出的计算公式)。不幸的是，在具体实践中，
2是未知的，需要估计求出，而这个未知参数的 O L S估计量是 。如果用 代替 2，那么，
与双变量模型相同，每个估计的回归系数服从 t分布，而不是正态分布。
每个多元回归系数服从自由度为 (n－ k)的 t分布(其中 k是包括截距在内的需要估计的参数的个数)，意味着我们能够用 t分布对每个多元回归系数的统计显著性进行检验假设。我们可以用两种不同的检验方法 — 显著性检验法和置信区间法进行假设检验。在这方面，多元回归模型与双变量模型并没有什么不同，只是自由度有所限制。
但是，当检验假设：所有的偏斜率系数同时为零时，前面提到的单个 t检验就没有用了。
这里需要用方差分析表及 F检验。同时，检验假设：所有的偏斜率系数同时为零与检验假设：
样本判定系数 R2为零是等价的。因此,F检验也可以由于后者。我们还证明了 F检验( Chow 检验)是如何用于检查回归模型的结构稳定性的。
本章我们通过一些具体的数字例子介绍了这些概念并讨论了它们在经济实践中的具体运用。
习题
7.1 解释概念
(a) 偏回归系数 (b) 多元判定系数,R2 (c) 完全共线性 (d) 完全的多重共线性 (e)
单个假设检验 (f) 联合假设检验 (g) 校正判定系数
7.2 按步聚解释下类过程。
(a) 对单个多元回归系数的显著性检验 (b) 对所有的部分斜率系数的显著性检验
7.3 判断正误并说明理由。
(a) 校正的判定系数和非校正的判定系数仅当非校正判定系数为 1时才相等。 (b) 判定所有解释变量是否对应变量有显著影响的方法是看是否每个解释变量都是显著的 t统计量；如果不是，则解释变量整体是统计不显著的。 (c) 当 R2=1,F= 0 ;当 R2= 0,F= ∞。 (d) 当自由度大于 1 2 0时，在 5%显著水平下，(双边检验的) t临界值与在 5%显著水平下的(标准正态变量) Z临界值相同，均为 1,9 6。 (e) 在模型 Yi=B1+B2X2i+B3X3i+ui中，如果 X2和 X3负相关且 B3> 0,则从模型中略去解释变量 X3将使 b1 2的值减小 [也即,E(b1 2) < (B2) ]。其中 b1 2是 Y仅对 X2的回归方程中的斜率系数。
(f) 当我们说估计的回归系数在统计上是显著的，意思是说它显著不为 1。 (g) 要计算 t临界值，
仅仅需知道自由度。 (h) 整个多元回归模型在统计上是显著的意味着模型中任何一个单独的变量均是统计显著的。 (j) 就估计和假设检验而言，单方程回归与多元回归没有什么区别。
(k) 无论模型中包括多少个解释变量，总离差平方和的自由度总为( n－ 1)。
7.4 求下列情况下 的。
(a) = 8 0 0,n= 2 5,k= 4(包括截距) (b) = 1 2 0 0,n= 1 4,k= 3(不包括截距)
7.5 求下列情况的 t临界值
e
i
2
∑ei
2
∑
)
2
R
2
)
2
)
2
第 7章 多元回归：估计与假设检验 介绍 147
下载
148部分 第二部分 线性回归模型 下载自由度 ( d,f,) 显著水平 ( 2%) H1
1 2 5 双边
2 0 1 右边
3 0 5 左边
2 0 0 5 双边
7.6 求下列情况的 F临界值。
分子自由度 分母自由度 显著水平 (%)
5 5 5
4 1 9 1
2 0 2 0 0 5
7.7 已知下列数据：
Y X2 X3
1 1 2
3 2 1
8 3 - 3
根据上表数据，估计下列回归方程：
(a) Yi=A1+A2X2i+ui (b) Yi=C1+ C3X3i+ui (c) Yi=B1+B2X2i+B3X3i+ui
注：不必担心估计标准差 。
(1) A2=B2？为什么？
(2) C3=B3？为什么？
从这个习题中，你能得出什么样的结论？
7.8 下面给出依据 1 5个观察值得计算得到的数据：
= 3 6 7,6 9 3； = 4 0 2,7 6 0； = 8,0； =66 042.269
=84 855.096； = 2 8 0,0； =74 778.346
=4 250.9； =4 796.0
小写字母代表了各值与其样本均值的离差。
(a) 估计三个多元回归系数。 (b) 估计它们的标准差。 (c) 求 R2与？ (d) 估计 B2，
B39 5%的置信区间。 (e) 在 ＝ 5%下，检验估计的每个回归系数的统计显著性(双边检验)。
(f) 检验在 = 5%下所有的部分系数都为零。给出方差分析表。
7.9 下表给出了三变量模型的回归的结果：
方差来源 平方和 ( S S ) 自由度 ( d,f,) 平方和的均值 ( M S S )
来自回归 ( E S S ) 65 965 — —
来自残差 ( R S S ) — — —
总离差 ( T S S ) 6 6,0 4 2 1 4
(a) 样本容量是多少？
(b) 求 R S S？
(c) E S S与 R S S的自由度各是多少？
(d) 求 R2与？
(e) 检验假设,X2和 X3对 Y的无影响。你用什么假设检验？为什么？
(f) 根据以上信息，你能否确定 X2和 X3各自对 Y的贡献吗？
7.10 以 R2形式重写习题 7,9中的方差分析表。
R
2
R
2
x
2i
x
3i∑yi
x
3i∑
y
i
x
2i∑x3i
2
∑x2i
2
∑
y
i
2
∑X3X2Y
第 7章 多元回归：估计与假设检验 介绍 149
下载
7,11 为了确定对空调价格的影响因素,B,T,katchford 1根据 1 9个样本数据得到回归结果如下：
=－ 6 8,2 6 + 0,0 2 3X2i+ 1 9,7 2 9X3i+ 7,6 5 3X4i R2= 0,8 4
s e = ( 0,0 0 5 ) ( 8,9 9 2 ) ( 3,0 8 2 )
式中 Y— 空调的价格/美元
X2— 空调的 B TO比率
X3— 能量效率
X4— 设定数
(a) 解释回归结果。 (b) 该回归结果有经济意义吗？ (c)在显著水平 = 5%下，检验零假设,B T U比率对空调的价格无影响，备择假设检设,B T U比率对价格有正向影响。 (d)你会接受零假设：三个解释变量在很大程度上解释了空调价格的变动吗？详细写出计算过程。
7.12 根据美国 1 9 6 5－Ⅰ Q至 1 9 8 3 -Ⅱ Q数据 (n= 2 6 ),James Doti与 Esmael Adibi2得到下面的回归方程用以解释美国的个人的消费支出( P C E)：
=－ 1 0,9 6 + 0,9 3 X2t－ 2,0 9 X3t
t=(－ 3,3 3)(2 4 9,0 6)(－ 3,0 9) R2=0.999 6
F=93 753.7
式中 Y— 个人消费支出 /亿美元
X2— 可支配(税后)收入 /亿美元
X3— 银行支付的主要利率( %)
(a)求边际消费倾向( M P C)？ — 每额外增加 1美元个人可支配收入所增加的消费支出的数量。 (b) M P C显著不为 1吗？给出检验过程。 (c) 模型中包括主要利率变量的理论基础是什么？先验地,你预期这个变量的符号为负吗？ (d) b3显著不为零吗？ (e) 检验假设 R2= 0。
(f) 计算每个系数的标准差。
7.13 对本章例 7,2，检验假设,X2和 X3一起对 Y无影响。你用什么检验？在此检验下有哪些假定条件？
7.14 表 7 - 8给出 1 9 8 0? 1 9 9 6年美国的城市劳动参与率、失业率等数据。
(a) 建立一个合适的回归模型解释城市男性劳动力参与率与城市男性失业率及真实的平均小时工资之间的关系。 (b)重服( a)过程，但此时的变量为女性城市劳动参与率。 (c)重复
(a)过程，但此时用当前平均小时工资。 (d)重复( b)过程，但此时用当前平均小时工资。
(e)如果 (a)和 (c)的回归结果不同，你如何解释？ (f)如果 (b)和 (d)的回归结果不同，你如何使回归结果合理化？
表 7-8 劳动力参与数据年份 C L F P R M① C L F P R F② U N R M③ U N R F④ A H E 8 2⑤ A H E⑥
1 9 8 0 7 7,4 5 1,5 6,9 7,4 7,7 8 6,6 6
1 9 8 1 7 7,0 5 2,1 7,4 7,9 7,6 9 7,2 5
1 9 8 2 7 6,6 5 2,6 9,9 9,4 7,6 8 7,6 8
1 9 8 3 7 6,4 5 3,9 9,9 9,2 7,7 9 8,0 2
1 9 8 4 7 6,4 5 3,6 7,4 7,6 7,8 0 8,3 2
1 9 8 5 7 6,3 5 4,5 7,0 7,4 7,7 7 8,5 7
1 9 8 6 7 6,3 5 5,3 6,9 7,1 7,8 1 8,7 6
1 9 8 7 7 6,2 5 6,0 6,2 6,2 7,7 3 8,9 8
1 9 8 8 7 6,2 5 6,6 5,5 5,6 7,6 9 9,2 8
)
Y
t
)
Y
2
1 参见 B.T,katchford,(The Value of Information for Selected Appliance),(Journal of Marketing Research)，第 17
卷,1980年，第 14-25页。符号略有变动。
2 参见 James Doti与 Esmael Adibi的《经济计量分析：运用方法,(Econometric Analysis:An Applications
Approach),Pretice-Hall,Englewood,N.J.,1988年，第 188页。符号略有改动。
150部分 第二部分 线性回归模型 下载
(续)
年份 C L F P R M① C L F P R F② U N R M③ U N R F④ A H E 8 2⑤ A H E⑥
1 9 8 9 7 6,4 5 7,4 5,2 5,4 7,6 4 9,6 6
1 9 9 0 7 6,4 5 7,5 5,7 5,5 7,5 2 1 0,0 1
1 9 9 1 7 5,8 5 7,4 7,2 6,4 7,4 5 1 0,3 2
1 9 9 2 7 5,8 5 7,8 7,9 7,0 7,4 1 1 0,5 7
1 9 9 3 7 5,4 5 7,9 7,2 6,6 7,3 9 1 0,8 3
1 9 9 4 7 5,1 5 8,8 6,2 6,0 7,4 0 11,1 2
1 9 9 5 7 5,0 5 8,9 5,6 5,6 7,4 0 11,4 4
1 9 9 6 7 4,9 5 9,3 5,4 5,4 7,4 3 11,8 2
资料来源：,总统经济报告,(Economic Report of the President),1 9 9 7年
① C L F P R M,城市劳动力参与率，男性，( %)表 B - 3 7。
② C L F P R F,城市劳动力参与率，女性，( %)表 B - 3 7。
③ O N R M：城市失业率，男性，( %)表 B - 4 0。
④ O N R M，城市失业率，女性，( %)表 B - 4 0。
⑤ A H E 8 2，平均小时工资，( 1 9 8 2美元价)，表 B - 4 5。
⑥ A H E，平均小时工资，(当前美元价)，表 B - 4 5。
7.15 利用式( 7 - 5 3)回答下面问题：
R2值 n k
0,8 3 5 0 6 —
0,5 5 1 8 9 —
0,3 3 1 6 1 2 —
0,1 2 1 2 0 0 3 2 —
通过上表，你认为 R2与 有什么关系？
7.16 利用式( 7 - 5 0)建立 R2与 之间的关系。
7.17 对例 7,3，计算 F值。如果 F值是显著的，这意味着什么？
7.18 对例 7,2，建立方差分析表并检验假设 R2= 0，( = 1%)。
7.19 参考习题 5,1 7给出的数据。
(a) 建立一个多元回归模型，解释 M B A毕业生的平均初职工资，并且求出回归结果。 (b) 如果模型中包括了 G PA和 G M AT分数这两个解释变量，先验地，你可能会遇到什么问题，为什么？
(c)如果学费这一变量的系数为正并且在统计上是显著的，是否表示进入最昂贵的商业学校学习是值得的。学费这个变量可用什么来代替？ (d)假定做 G M AT分数对 G PA的回归分析，并且发现两变量之间显著正相关。那么，你对多重共线性问题有何看法？ (e)对( a)建立方差( A N O VA)分析表并检验假设：所有偏回归系数均为零。 (f) 用 R2值，对( e)建立 A N O VA表进行分析。
7.20 图 7 - 1表示抵押贷款债务回归结果的正态概率图。
(a) 根据图 7 - 1，你能判定式( 7 - 3 2)中的误差项服从正态分布吗？为什么？ (b) 观察到的
R
2
R
2
R
2
图 7-1 正态概率图
Anderson-Darling A2值 0,3 8 1在统计上是显著的吗？如果是的，有什么意义？如果不是，你得出什么结论。 (c) 根据表中的数据，你能确定误差项的均值与方差吗？
附录 7A.1 OLS估计量的推导对式( 7 - 1 6)分别对 b1,b2求偏导，并令所求偏导为零，得到：
简化上面这些等式得到式( 7 - 1 7)，( 7 - 1 8)和( 7 - 1 9)。用小写字母表示各值与其均值的离差。
(例 x2i=X2i－ X2i)，即可得到式( 7 - 2 0) (7 - 2 1) (7 - 2 2)。
附录 7A.2 式 ( 7 - 3 1 )的推导三变量样本回归模型：
Yi=b1+b2X2i+b3X3i+ei (7 A,2 - 1)
表示成离差形式：
yi=b1+b2x2i+b3x3i+ei (7 A,2 - 2)
(注,= 0)
因此，
ei=yi－ b1－ b2x2i－ b3x3i (7 A,2 - 3)
则有，
(7 - 3 1)
附录 7A.3 式 ( 7 - 5 3 )的推导回顾(参见脚注 9)
(7 A,3 - 1)
校正判定系数定义如下：
(7 A,3 - 2)
R
2
= 1?
RSS/(n?k)
TSS /(n? 1)
=1?
RSS(n?1)
TSS( n? k)
R
2
=1?
RSS
TSS
e
i
2
∑ = (eiei)∑
= e
i∑ (yi
b
1
b
2
x
2i
b
3
x
3i
)
= e
i∑
y
i
b
2
e
i
x
2i
b
3
e
i
x
3i∑∑
= e
i∑ yi
= (∑ y
i
b
2
x
2i
b
3
x
3i
)(y
i
)
= y
i
2
b
2∑ yi∑ x 2i
b
3
y
i
x
3i∑
= y
i
2
(b
2∑
y
i∑
x
2i
+ b
3
y
i
x
3i∑
)
=?
e
e
i
2
∑
b
1∑
= 2 (Y
i
b
1
b
2
X
2i
b
3
X
3i
)∑ (?1) = 0
e
i
2
∑
b
2∑
= 2 (Y
i
b
1
b
2
X
2i
b
3
X
3i
)∑ (?X
2i
) = 0
e
i
2
∑
b
3∑
= 2 (Y
i
b
1
b
2
X
2i
b
3
X
3i
)∑ (?X
3i
) = 0
第 7章 多元回归：估计与假设检验 介绍 151
下载
152部分 第二部分 线性回归模型 下载注意其自由度。
现将式( 7 A,3 - 1)代入到式( 7 A,3 - 2)中，经过代数运算，得注意：如果不考虑 R S S的自由度( =n－ k)和 T S S的自由度 ( =n－ 1 )，虽然，
附录 7A.4 EVIEWS计算结果 (抵押贷款债务一例 )
R
2
= R
2
R
2
=1? (1? R
2
)
n?1
n? k
第 Ⅰ 部分第 Ⅱ 部分下载到目前为止，我们已经讨论了参数线性模型和变量线性模型。但是，在本书中我们所关注的是参数线性模型，而并不要求变量 Y与 X一定是线性的。本章我们将会看到，实际上用以描述许多经济现象的参数线性 /变量线性 ( L I P / L I V )回归模型可能并不是十分准确的。
举个例子，假定对式 ( 6 - 4 8 )给出的 L I P / LVP widget需求函数，我们想要估计需求的价格弹性，即，价格每变动 1%所引起的需求量变动的百分比。从式 ( 6 - 4 8 )中，我们无法估计出这个弹性，因为模型中的斜率仅仅给出了价格每变动一单位所引起的 (平均的 )需求变动的绝对量，但这并不是弹性。然而，对 8,1节所讨论对数线性模型而言，却很容易计算出这样一个弹性。我们会看到，这个模型虽然其参数之间是线性的，但是变量之间却不是线性的。
我们再来看一个例子，假定我们想要求某个经济变量的增长率,1 比如国民生产总值
( G N P )、货币供给、失业率等。在 8,4节中，你会看到可以用半对数模型 (参数线性，但变量非线性 )来度量这个增长率。
需要注意的一点是，即使在参数线性回归模型的限制下，回归模型的形式也有多种。
本章将特别讨论下面几种形式的回归模型：
(1) 对数线性模型 (不变弹性模型 )。 ( 8,1节 )
(2) 半对数模型。 ( 8,4节,8,5节 )
(3) 双曲函数模型。 ( 8,6节 )
(4) 多项式回归模型。 ( 8,7节 )
所有这些模型的一个重要特征是：它们都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。
在第 5章中，我们已经讨论过参数之间是线性的模型和变量之间是线性的模型的定义。扼要地说，对于变量之间是线性的模型来说，解释变量每变动一个单位，应变量的变化率为一常数，但是对于变量之间是非线性的回归模型来说，斜率并不是保持不变的。
为了介绍这些基本概念，我们还是从双变量模型着手，然后扩展到多元回归模型。
第 8 章
■ 回归方程的函数形式
1 如果 Yt和 Yt－ 1是某个变量（比如说 G N P）在 t期和 t－ 1期的值（比如说,1 9 9 7和 1 9 9 6）,那么 Y在这两个时期间的增长率为：
它可以简单地理解为 Y的相对或比例变动再乘以 1 0 0。在 8,4节中将会看到半对数回归模型是如何用于度量在一个较长时期内变量的增长率的。
Y
t
Y
t? 1
Y
t?1
100
8.1 如何度量弹性：对数线性模型我们再来看第 5、第 6章讨论的对 w i d g e t需求一例。但是现在考虑如下形式的需求函数。
(为使代数形式简洁，随后再引进随机误差项 ui。 )
( 8 - 1 )
在这个模型中，变量 Xi是非线性的。 1但可将式 ( 8 - 1 )做恒等变换表示成另一种形式：
l nYi= l nA+B2l nXi ( 8 - 2 )
其中,l n表示自然对数，即以 e为底的对数。现在若令
B1= l nA ( 8 - 3 )
可以将式 ( 8 - 2 )写为：
l nYi=B1+B2l nXi ( 8 - 4 )
为了估计，可将模型 ( 8 - 4 )写为：
l nYi=B1+B2l nXi+ui ( 8 - 5 )
这是一个线性模型，因为参数 B1和 B2是以线性形式进入模型的 2。有趣的是，这个模型还是对数形式变量的线性模型。 (原始模型 ( 8 - 1 )变量 X是非线性的 )，因此，我们将形如式
( 8 - 5 )的模型称为 双对数 ( d o u b l e - l o g )模型 (因为两个变量都以对数形式出现 )或 对数-线性 ( l o g -
l i n e a r )模型 (因为以对数形式出现的变量之间是线性的 )。
注意一个“明显的”非线性模型是如何通过适当的变换转变为线性 (参数之间 )模型的，
这里的变换是对数变换。现令,则模型 ( 8 - 5 )可写为：
( 8 - 6 )
这与我们在前面章节中讨论的模型相似；它不仅是参数线性的，而且变形后的变量 Y*与 X*
之间也是线性的。
对于变形的模型 ( 8 - 6 )，如果它满足古典线性回归模型的基本假定，则很容易用普通最小二乘法来估计它，并且得到的估计量是最优线性无偏估计量 3。
在经验工作中，双对数模型 (对数线性模型 )应用的非常广泛，其原因在于，它有一个很吸引人的特性：斜率 B2度量了 Y对 X的弹性，即给 X一个 (很小 )的变动所引起 Y变动的百分比。
如果用符号?Y代表 Y的一个小的变动,?X代表 X的一个小的变动，定义弹性 E为：
E= = =
=斜率× ( 8 - 7 )4
因此，如果 Y代表了商品的需求量,X代表了单位价格，则 E就是需求的价格弹性。
X
Y
Y
X
X
Y
Y/Y100
X / X100
Y的变动 %
X的变动 %
Y
i
*
= B
1
+ B
2
X
i
*
+ u
i
Y
i
*
= ln Y
i
,X
i
*
= ln X
i
Y
i
= AX
i
B
2
154部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 利用微积分，可以证明,=A B2X(B2- 1 )。这表明,Y的变化率依赖于 X，并不独立于 X；也就是说,Y
的变化率不是一个常数。那么，根据定义，模型（ 8 - 1）变量 X不是线性的。
2 因为,B1= l nA，所以 A可以表示为,A= a n t i l o g (B1),用数学的语言就是非线性变换。但是，在实际中，
截距 A并没有什么经济含义。
3 任何一个统计软件都可对对数进行运算。因此，并不存在额外的计算负担。
4 用积分的形式,E= 。其中,dY/ dX表示 Y对 X的导数，即 Y对 X的变化率。Y/?X是 dY/ dX的近似。
注：对于变形的模型（ 8 - 6）,B2=,即是 Y对 X的弹性。正如本章附录注释，对数形式的改变量就是相对改变量，例如,。lnY =
Y
Y
Y
*
X
*
=
lnY
ln X
=
Y / Y
X / X
=
Y
X
X
Y
dY
dX
X
Y
dY
dX
我们还可用图形来说明。图 8 - 1 a描绘了函数式 ( 8 - 1 )，图 8 - 2 b是对式 ( 8 - 1 )做对数变形后的图形。图 8 - 1 b中的直线的斜率就是价格弹性的估计值,(－ B2)。我们可从图 8 - 1 a中明显地看出对数线性模型的这个重要特征。由于回归线是一条直线 (Y和 X都是对数形式 )，所以它的斜率 (－ B2)为一常数。对于这个模型，又由于斜率等于其弹性，所以弹性为一常数 —
它与 X的取值无关 1。
由于这个特殊的性质，双对数模型 (对数线性模型 )又称为 不变弹性模型 ( c o n s t a n t
elasticity model)。我们将在本书中交替使用这些不同的名称术语。
例 8.1 对 widget需求。
在 ( 6 - 4 8 )式中，我们给出了对 w i d g e t的需求函数。但是回顾一下散点图，不难发现，需求量和价格之间是近似线性关系的，因为并非所有的样本点都恰好落在直线上。
当然,( 6 - 4 8 )式只是为了教学的方便。让我们来看一下，如果用对数线性模型拟合表
5 - 4给出的数据，情况又会怎样？为了方便，这里列出具体的数据，见表 8 - 1。
图 8-1 不变弹性模型表 8-1 对 w i d g e t需求需求量 Y 价格 X l nY l nX
4 9 1 3.891 8 0.000 0
4 5 2 3.806 7 0.693 1
4 4 3 3.784 2 1.098 6
3 9 4 3.663 6 1.386 3
3 8 5 3.637 6 1.609 4
3 7 6 3.610 9 1.791 8
3 4 7 3.526 4 1.945 9
3 3 8 3.496 5 2.079 4
3 0 9 3.401 2 2.197 2
2 9 1 0 3.367 3 2.302 6
O L S回归结果如下：
( 8 - 8 )
从回归结果可知,价格弹性约为－ 0,2 3，表明价格提高 1个百分点，平均而言，需求量
ln Y
i
= 3.9617? 0.2272lnX
i
se = (0.041 6) (0.0250)
t = (95.233) (?9.0880) r
2
=0.911 6
第 8章 回归方程的函数形式 介绍 155下载
1 但是，需谨慎的是，一般，弹性和斜率是两个不同的概念。从式 ( 8 - 7 )可以清楚地看到，弹性等于斜率乘以 X/Y的比值。仅仅是对于双对数模型（对数线性模型）,斜率才等于弹性。
价格（对数）
[式（ 8-8） ]
价格
a) b)
(续 )
将下降 0,2 3个百分点。根据定义，如果产品的价格弹性的绝对值小于 1，则称该产品是缺乏弹性的。因此，在 w i d g e t一例中，价格是缺乏弹性的，因为弹性系数的绝对值为 0,2 3。
截距值 3,9 6表示了 l nX为零时,l nY的平均值。同样，这里的截距没有什么具体的经济含义 1。
r2=0.916 6，表示 l o gX解释了变量 l o gY的 9 1%的变动。
图 8 - 1 b描绘了式 ( 8 - 8 )所表示的回归直线。
对数线性模型的假设检验就假设检验而言，线性模型与对数线性模型并没有什么不同。在随机误差项服从正态分布 (均值为 0，方差为 2)的假定下，每一个估计的回归系数均服从正态分布。或者，如果用 2
的无偏估计量 2代替它，则每一个估计的回归系数服从自由度为 (n－ k)的 t分布，其中 k为包括截距在内的参数的个数。在双变量模型中,k为 2，在三变量模型中,k为 3，如此等等。
根据式 ( 8 - 8 )的回归结果，读者很容易检验每一个估计的参数在 5%的显著水平下，都显著不为零。因为在 5%的显著水平下,t值分别为 9,0 8 (b2),9 5,2 6 (b1)，均超过了 t临界值
2,3 0 6 (自由度为 8，双边检验 )。而且获此 t值的概率 (即 p值 )非常小。
8.2 线性模型与对数线性模型的比较下面将要讨论的是一个非常重要的实际问题。我们已经根据样本数据拟合了对 w i d g e t
的需求的线性模型 ( 6 - 4 8 )以及对数线性模型 ( 8 - 8 )。那么，将选择哪个模型呢？虽然经济理论告诉我们价格与需求量负相关，但是并未提供足够的信息告示这两者之间具体的函数形式。也就是说，经济理论本身并未提供强有力的信息告诉我们是要拟合线性模型、对数线性模型还是其他的模型。那么，回归模型的函数形式就成为一个经验性问题。在选择模型的过程中，是否有规律可循呢？
规律之一是根据数据作图。如果散点图表明两个变量之间的关系近似线性的 (也即是一条直线 )，那么假定模型是线性的就比较合适。但如果散点图表明变量之间的关系是非线性的，则需要作 l o gY对 l o gX的图形，如果这个图形表明它们之间是近似线性的，则假定模型是对数线性模型就比较合适。不幸的是，这条规律只适用于双变量情况，对于多变量的情况就不太适合。因为在多维空间中作散点图比较困难。因此，我们需要其他的规则。
为什么不根据 r2来选择模型呢？也就是说，选择 r2值最高的模型。虽说从直观上感觉是可行的，但是这个标准有其自身的问题。首先，在第 7章中讲过，要比较两个模型的 r2值，
应变量的形式必须是相同的。 2 在线性模型中,r2度量了 X对 Y变动解释的比例，但是在对数线性模型中,r2度量了 l o gX对 l o gY变动的解释比例。 Y的变动与 l o gY的变动从概念上说是不同的。对数形式度量了一个数的相对变化 (或是变化的百分比 )，而数字形式度量了该数的绝对变化。 3 因此，对于线性模型 ( 6 - 4 8 ),X解释了 Y变化的 9 8%，但是对于对数线性模型，
l o gX解释了 l o gY变化的 9 1%。若要比较这两个 r2值，可用习题 8,1 6讨论的方法。
156部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 因为当 l nX为零时,l nY=3.961 7，所以如果对这个数求反对数，为 52.546 6。因而，若价格的对数值为零，则对 wiget 的平均需求量约为 5 3个单位。对线性模型（ 6 - 4 8）,这个数字为 4 9,6 6 7，约等于 5 0。
2 而与应变量或解释变量的形式无关；它们可以是线性的，也可以不是线性的。
3 若一个数从 4 5到 5 0，则绝对变化为 5，但相对变化为（ 5 0－ 4 5） / 4 5 = 0,111 1或约为 11%。
即使两个模型中的应变量相同，从而两个 r2值可直接比较，我们也建议不要根据最高 r2值这一标准 (high r2 value criterion)来选择模型。这是因为，正如在第 7章中所指出的那样,r2(R2)值可以通过增加进入模型的解释变量的个数而不断增大。研究人员并不是把重点放在模型的 r2值上，
而是考虑诸如进入模型中的变量之间的相关性 (即以经济理论为基础 )、预期的解释变量系数的符号、统计显著性以及类似弹性系数这样的衍生度量工具等因素。这些应该成为选择模型的基本准则。如果按照这些标准，所选模型比其他模型更好，而且若所选模型恰好有较高的 r2值，
那么就可以认为所选模型是合适的。但是切记要避免仅仅根据 r2值的大小来选择模型。
比较式 ( 8 - 8 )对数线性需求函数与式 ( 6 - 4 8 )线性需求函数，不难发现两个模型的斜率均为负值。而且，这两个斜率都是统计显著的。但是，我们不能直接比较这两个斜率，因为在 L I V模型中，斜率度量了价格每变动一单位所引起需求量的绝对变化率，而在对数线性模型中，斜率度量的是价格弹性 — 价格每变动 1%所引起需求量变动的百分比。
如果我们能够计算出 L I V的价格弹性，那么就有可能比较这两个斜率。式 ( 8 - 7 )表明弹性等于斜率乘以 X与 Y的比值 — 即价格与需求量的比值。虽然，对于线性模型，斜率是一个常数 (为什么？ )，比如在我们的例子中斜率为－ 2.156 7，但是弹性却因线性需求曲线上的点的不同而变化，因为 X与 Y的比值因不同的点而变化。从表 8 - 1中可以看到，有 1 0组不同的价格和需求量。因此，原则上可以计算出 1 0个不同的弹性系数。然而，在实践中，线性模型的弹性系数通常是用平均弹性系数来计算的，即 X和 Y的样本均值的比值。
平均弹性系数 = ( 8 - 9 )
其中,和 是 X和 Y的样本均值。根据表 8 - 1提供的数据,= 5,5,= 3 7,8。因而，对 w i d g e t一例，
平均弹性系数 =
有趣的是，对于对数线性需求函数，价格弹性为－ 0.227 2，无论在何种价格水平上来测度价格弹性，价格弹性均保持不变(参见图 8 - 1 b)。这正是为什么称对数线性模型为不变弹性模型的原因。而在另一方面，对于 L I V模型，其弹性系数却随着需求曲线上的点的不同而发生变化 1。
对线性模型而言，其弹性系数随着需求曲线上的点的不同而变化，而对对数线性模型而言，它在需求曲线上任何一点的弹性系数都是相同的。因此，在这两类模型之间进行选择模型时，我们可以根据这个特点作出判断。因为，在实践中，这些假定都是极端的。很可能在需求曲线上的一小段上的价格弹性是不变的，而在曲线的其他部分上价格弹性却又是个变量。
8.3 多元对数线性回归模型双变量对数线性回归模型很容易推广到模型中解释变量不止一个的情形。例如，我们可将三变量对数模型表示如下：
l nYi= B1+ B2l nX2i+ B3l nX3i+ ui ( 8 - 1 0 )
在这个模型中，偏斜率系数 B2,B3又称为偏弹性系数 2。因此,B2是 Y对 X2的弹性 (X3保持不变 )，即在 X3为常量时,X2每变动 1%,Y变化的百分比。由于此时 X3为常量，所以我们称此弹
2.576?
5.5
37.8
=?0.314
Y X Y X
Y
X
×
X
Y
第 8章 回归方程的函数形式 介绍 157下载
1 注意一个有趣的事实：对 L I V模型，其斜率为一常量，而弹性系数却是一个变量。但是，对于对数线性模型，其弹性系数为一常量，而斜率却是一个变量（从脚注 2给出的公式中即可得到） 。
2 学过微积分的同学知道,Y对 X2的弹性定义为 l nY对 l nX2的偏导数,同样地,B3是 Y对 X3的弹性。
B
2
=
lnY
ln X
2
=
Y / Y
X
2
/ X
2
=
Y
X
2
X
2
Y
性为偏弹性。类似地,B3是 Y对 X3的 (偏 )弹性 (X2保持不变 )。简而言之，在多元对数线性模型中，
每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，应变量对某一解释变量的偏弹性。
例 8.2 柯布-道格拉斯生产函数在模型 ( 8 - 1 0 )中，令 Y表示产出,X2表示劳动投入,X3表示资本投入。这样，式 ( 8 -
1 0 )就是一个生产函数 — 反映产出与劳动力和资本投入之间的关系的函数。这就是著名的 柯布 -道格拉斯生产函数 (Cobb-Douglas(C-D)production function)(C-D函数 )。我们来看表 8 - 2，它给出了 1 9 5 5? 1 9 7 4年间墨西哥的产出 Y,(用国内生产总值 G D P度量，以
1 9 6 0年不变价，单位为百万比索 )、劳动投入 X2(用总就业人数度量，单位为千人 )以及资本投入 X3(用固定资本度量，以 1 9 6 0年不变价，单位为百万比索 )的数据。
根据表 8 - 2提供的数据，得到如下回归结果 1：
( 8 - 11 )
*表示值很小。
* *表示 F的 p值，也很小。
表 8-2 实际 G D P，就业人数，实际固定资本 — 墨西哥年份 G D P① 就业人数 ② 固定资产 ③
1 9 5 5 114 043 8 310 182 11 3
1 9 5 6 12 0410 8 529 193 749
1 9 5 7 129 187 8 738 205 192
1 9 5 8 134 705 8 952 215 130
1 9 5 9 139 960 9 171 225 021
1 9 6 0 150 511 9 569 237 026
1 9 6 1 157 897 9 527 248 897
1 9 6 2 165 286 9 662 260 661
1 9 6 3 178 491 10 334 275 466
1 9 6 4 199 457 10 981 295 378
1 9 6 5 212 323 11 746 315 715
1 9 6 6 226 977 11 521 337 642
1 9 6 7 241 194 11 540 363 599
1 9 6 8 260 881 12 066 391 847
1 9 6 9 277 498 12 297 422 382
1 9 7 0 296 530 12 955 455 049
1 9 7 1 306 712 13 338 484 677
1 9 7 2 329 030 13 738 520 553
1 9 7 3 354 057 15 924 561 531
1 9 7 4 374 977 14 154 609 825
资料来源,Victor J.Elias S o u rces of Growth:A Study of Seven Latin American Economies，
(International Center for Economic Growth,ICS Press,San Francisco,1992.数据摘自表 E 5,E 1 2,E 1 4。
① 1 9 6 0年不变价，单位为百万比索。
② 单位为千人。
③ 1 9 6 0年不变价，单位为百万比索。
ln
)
Y
t
=?1.652 4 + 0.3397lnX
2t
+0.864 0ln X
3t
se=(0.6062) (0.1857) (0.09343)
t = (?2.73) (1.83) (9.06)
p = (0.014)(0.085) (0.000)*
R
2
= 0.995
158部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 该回归结果是用 M I N TA B统计软件得到的。
值
(续)
对回归方程 ( 8 - 11 )解释如下。偏斜率系数 0.339 7表示产出对劳动投入的弹性。具体说，这个数字表明在资本投入保持不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，
平均产出将增加 3 4%。类似地，在劳动投入保持不变的条件下，资本投入每增加一个百分点，产出将平均增加 0,8 5个百分点。如果将两个弹性系数相加，我们将得到一个重要的经济参数 — 规模报酬参数 (returns to scale parameter)，它反映了产出对投入的比例变动。如果两个弹性系数之和为 1，则称 规模报酬不变 (constants return to
s c a l e ) (例如，同时增加劳动和资本为原来的两倍，则产出也是原来的两倍 )；如果弹性系数之和大于 1，则称 规模报酬递增 (increasing returns to scale)(例如，同时增加两倍的投入，则产出是原产出的两倍多 )。如果弹性系数之和小于 1，则称 规模报酬递减
(decreasing returns to scale)(例如，同时增加两倍的投入，则产出小于原产出的两倍 )。
在本例中，两个弹性系数之和为 1.185 7，表明墨西哥经济的特征是规模报酬递增的。
虽然资本对产出的影响看似大于劳动力对产出的影响,但是根据单边检验的结果，
这两个系数各自均是统计显著的。 (注：这里用单边检验，因为我们预期劳动力和资本对产出影响都是正向的 )。
估计的 F值也是高度相关的 (因为 p值几乎为零 )，因此能够拒绝零假设：劳动力与资本对产出无影响。
R2值为 0,9 9 5，表明 (对数 )劳动力和资本解释了大约 9 9,5%的 (对数 )产出的变动。
很高的解释程度表明了模型 ( 8 - 11 )很好地拟合了样本数据。
例 8.3 对能源的需求表 8 - 3给出了 1 9 6 0? 1 9 8 2年间 7个 O E C D国家 (美国、加拿大、德国、英国、意大利、日本、法国 )的总最终能源需求指数 (Y)、实际的 G D P (X2)、实际能源价格 (X3)的数据。所有指数均以 1 9 7 0年为基准 ( 1 9 7 0 = 1 0 0 )。利用表 8 - 3提供的数据，得到下面的对数线性需求函数：
l n =1.549 5+0.997 2lnX2t-0.331 5lnX3t
se= (0.090 3) (0.019 1) (0.024 3)
t= (17.17) (52.09) (13.61)
p值 = (0.000) * (0.000) * (0.000)* ( 8 - 1 2 )
*表示值很小。
回归结果表明，能源的需求与收入 (用实际 G D P度量 )正相关，与实际价格负相关；这与经济理论相符。收入弹性的估计值为 0,9 9，表示在其他条件保持不变的条件下，实际收入每增加一个百分点，对能源的平均需求量将增加 0,9 9%。同样地，在其他因素保持不变的条件下，能源价格每上涨 1%，则对能源的平均需求量将降低 0,3 3
R
2
= 0.994
R
2
= 0.994
F =1688
)
Y
t
第 8章 回归方程的函数形式 介绍 159下载
(续)
个百分点。由于这个系数的绝对值小于 1，因此，可以认为能源的需求对价格是缺乏弹性的，这并没有什么可奇怪的，因为能源是最基本的消费品。
校正的和未校正的 R2值都很高。 F值为 1 688，也很高；若 B2=B3= 0为真，则获此 F
值的概率几乎为零。因此，我们能够认为收入和能源价格对能源的需求有很强的影响。
表 8-3 OCED国家对能源的需求年份 最终需求 实际的 G D P 实际的能源价格
1 9 6 0 5 4,1 5 4,1 111,9
1 9 6 1 5 5,4 5 6,4 11 2,4
1 9 6 2 5 8,5 5 9,4 111,1
1 9 6 3 6 1,7 6 2,1 11 0,2
1 9 6 4 6 3,6 6 5,9 1 0 9,0
1 9 6 5 6 6,8 6 9,5 1 0 8,3
1 9 6 6 7 0,3 7 3,2 1 0 5,3
1 9 6 7 7 3,5 7 5,7 1 0 5,4
1 9 6 8 7 8,3 7 9,9 1 0 4,3
1 9 6 9 8 3,3 8 3,8 1 0 1,7
1 9 7 0 8 8,9 8 6,2 9 7,7
1 9 7 1 9 1,8 8 9,8 1 0 0,3
1 9 7 2 9 7,2 9 4,3 9 8,6
1 9 7 3 1 0 0,0 1 0 0,0 1 0 0,0
1 9 7 4 9 7,3 1 0 1,4 1 2 0,1
1 9 7 5 9 3,5 1 0 0,5 1 3 1,0
1 9 7 6 9 9,1 1 0 5,3 1 2 9,6
1 9 7 7 1 0 0,9 1 0 9,9 1 3 7,7
1 9 7 8 1 0 3,9 11 4,4 1 3 3,7
1 9 7 9 1 0 6,9 11 8,3 1 4 4,5
1 9 8 0 1 0 1,2 11 9,6 1 7 9,0
1 9 8 1 9 8,1 1 2 1,1 1 8 9,4
1 9 8 2 9 5,6 1 2 0,6 1 9 0,9
资料来源,Richard D.Prosser,,Demand Elasticities in OECD:Dynamic Aspects,” E n e rg y
E c o n o m i c s,January 1985.p.10.
8.4 如何测度增长率：半对数模型在本章前言中曾提到，通常经济学家、工商业家和政府对某一经济变量的增长率很感兴趣。比如说，政府预算赤字规划就是根据预计的 G N P增长率这一最重要的经济活动指标而确定的。类似地，联储根据未偿付消费者信贷的增长率 (自动贷款、分期偿还贷款等等 )
这一指标来监视其货币政策的运行效果。
本节将介绍回归分析是如何用于测度这些增长率的。
160部分 第二部分 线性回归模型 下载例 8.4 1973? 1987年间美国未偿付消费者信贷的增长表 8 - 4给出了美国 1 9 7 3? 1 9 8 7年间未偿付消费者信贷的数据。
我们现在要求在此期间的未偿付消费者信贷的增长率 (Y)。我们来看货币、银行及金融等课程中介绍过的复利计算公式：
Yt= Y0 ( 1+ r)t ( 8 - 1 3 )1
其中,Y0— Y的初始值
Yt— 第 t期的 Y值
r— Y的增长率 (复利率 )
将式 ( 8 - 1 3 )变形，对等式两边取对数，得：
l nYt= l nY0+tln (1+r) ( 8 - 1 4 )
现令
B1= l nY0 ( 8 - 1 5 )
B2=ln (1+r) ( 8 - 1 6 )
因此，模型 ( 8 - 1 4 )可表示为：
l nYt=B1+B2t ( 8 - 1 7 )
若引进随机误差项，得到,2
l nYt=B1+B2t+ut ( 8 - 1 8 )
形如式 ( 8 - 1 8 )的回归模型称为半对数模型，因为仅有一个变量以对数形式出现 (在这个例子中，应变量以对数形式出现 )。如何解释这类模型呢？在解释半对数模型之前，
注意，在满足 O L S基本假定的条件下，能够用普通最小二乘法来估计模型 ( 8 - 1 8 )。根据表 8 - 4提供的数据，得到如下回归结果：
l n =12.007+0.094 6t ( 8 - 1 9 )
se = (0.031 9) (0.003 5)
t = (376.40) (26.03) r2=0.982 4
图 8 - 2 a描绘了估计的回归直线。
表 8-4 美国未偿付消费者信贷 (Y)*
年份 Y 年份 Y
1 9 7 3 190 601 1 9 8 1 366 597
1 9 7 4 199 365 1 9 8 2 381 11 5
1 9 7 5 204 963 1 9 8 3 430 382
1 9 7 6 228 162 1 9 8 4 5 11 768
1 9 7 7 263 808 1 9 8 5 592 409
1 9 7 8 308 272 1 9 8 6 646 055
1 9 7 9 347 507 1 9 8 7 685 545
1 9 8 0 349 386
注,*单位为百万美元。
资料来源：,总统经济报告》,1 9 8 9年，摘自表 B - 7 5，第 3 9 6页 。
)
Y
t
第 8章 回归方程的函数形式 介绍 161下载
1 假定在你的存折上的存款 Y0= 1 0 0美元，假设年利率为 6%，即 r= 6%。在第 1年年末，银行存款将增加到
Y1= 1 0 0（ 1 + 0,0 6） = 1 0 6；在第 2年年末，存款为 Y2= 1 0 6（ 1 + 0,0 6） = 1 0 0（ 1 + 0,0 6） 2= 11 2,3 6，因为在第 2年，你不但得到最初的 1 0 0美元的利息，而且还有第 1年所得的利息。第 3年，存款为 1 0 0（ 1 + 0,0 6 )3= 119.101 6，等等。
2 加上误差项是因为复利率的计算公式并未完全拟合表 8 - 4的数据。
(续)
对式 ( 8 - 1 9 )回归结果解释如下。斜率 0.094 6表示，平均而言,l o gY(未偿付消费者信贷 )的年增长率为 0.094 6。用一般的语言解释，即为 Y的年增长率为 9,4 6%，因为，
在诸如式 ( 8 - 1 9 )这样的半对数模型中，斜率度量了给定解释变量的绝对变化所引起的
Y的比例变动或相对变动 1。将此相对改变量乘以 1 0 0，就得到增长率 (参见脚注 1 )。在这个例子中，相对变化率为 0.094 6，因而增长率为 9,4 6%。
正因如此，所以半对数模型又称为增长模型，通常我们用这类模型来测度许多变量的增长率，包括经济变量和其他一些非经济变量。
对截距 1 2,0 0 7解释如下。根据式 ( 8 - 1 5 )，显然有：
b1= l nY0的估计值 = 1 2,0 0 7
因此，若取 1 2,0 0 7的反对数，得：
antilog (12.007)≈ 163 911,7 ( 8 - 2 0 )
即是当 t= 0时的 Y值，也即 Y的初期值。从表 8 - 4可知,1 9 7 3年底，即初期值为 190 000(百万美元 )。因而，我们或许能将截距值 163 912(百万美元 )解释为 1 9 7 3年初始时期的未偿付消费者信贷量。但别忘了在前面，我们多次指出：通常截距没有特别实际的意义。
图 8-2 未偿付消费者信贷的增长率
a )半对数模型 b )线性模型
8.4.1 单利增长率与复利增长率注意观察式 ( 8 - 1 6 )：
b2=B2的估计值 = l n ( 1 +r)
因此，
a n t i l o g (b2) = (1+r)
于是，
r= 1-a n t i l o g (b2) ( 8 - 2 1 )
由于 r是复利增长率，因此一旦计算出 b2值，就很容易根据式 ( 8 - 2 1 )估计出 Y的复利增长率。在这个例子中，
162部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 利用微分，可以证明,=
Y的相对变化
Ｙ 的绝对变化B2 =
dlnY
dt
=
1
Y
dY
dt
=
dY
Y
dt
(未偿付消费者信贷 )
(时间 )
a) b)
(时间 )
(未偿付消费者信贷 )
r=antilog (0.094 6)－ 1 = 1,0 9 2 2－ 1=0.099 2 ( 8 - 2 2 )
即在样本区间内，未偿付消费者信贷的年增长率为 9,9 2%。
在前面求得 Y的增长率为 9,4 6%，但现在却为 9,9 2%。这有什么区别呢？ 9,4 6%是单利增长率 [或者，更一般地，将形如回归式 ( 8 - 1 9 )的斜率系数乘以 1 0 0 ]，而 9,9 2%是复利 (一段时期内 )增长率。
然而，在实际中，我们通常列出的是 单利增长率 (instantaneous growth rate)，虽然 复利增长率 (compound growth rate)很容易计算。
8.4.2 线性趋势模型有时为了计算的简便，研究人员对下面的模型进行估计：
Yt=B1+B2t+ut ( 8 - 2 3 )
即 Y对时间 t的回归，其中 t按时间先后顺序计算。这类模型称为线性趋势模型，时间 t
称为趋势变量 1。若上式中的斜率为正，则称 Y有向上的趋势，若斜率为负，则称 Y有向下的趋势。
根据表 8 - 4提供的数据，拟合的回归方程如下：
=98 084+35 289t
se=(23 095) (2 540.1) ( 8 - 2 4 )
t=(4.247 0) (13.893) r2=0.936 9
p值 = (0.000)* (0.000)*
*表示值很小。
回归结果表明，在样本区间内，未偿付消费者信贷的年绝对增长率为 35 289(百万美元 )。因此，在此期间，未偿付消费者信贷有一个向上的趋势。 (参见图 8 - 2 b )。
在实际中，线性趋势模型和增长模型都应用的很广泛。但相比较而言，增长模型更有用一些。人们通常关注的是经济变量的相对变化而不是绝对变化，比如说,G N P，货币供给等等。
同时要注意的是不能比较两个模型的 r2值，因为两个模型的应变量不相同 (参见习题
8,1 6 )。用统计的语言来说，根据 t显著性检验，两个模型的回归结果都相当好。
回顾对数线性模型 (或双对数模型 )，斜率也即是 Y对相关解释变量的弹性系数。对增长模型和线性趋势模型，我们也可以测度其弹性系数。事实上，一旦知道回归模型的函数形式，就能根据式 ( 8 - 7 )给出的弹性的基本定义来计算弹性系数。本章最后的表 8 - 8总结了本章介绍过的各种模型的弹性系数。
注意：近来，新一代时间序列经济计量学家对诸如模型 ( 8 - 1 8 ),( 8 - 2 3 )中的趋势变量法提出了疑问。他们认为这样引进时间变量 t，只有当随机项 ut在上述模型中是固定不变时才能成立。我们将在随后的章节中解释固定不变这一概念的准确的含义，但是，如果 ut的均值和方差不随时间的变化而变化，就可以认为 ut是固定不变的。在古典线性回归模型中，
已经假设了 ut的均值为零，方差为一常量 2。当然，在实际应用中，我们要检查这些假定是否是有效的。我们将在本书后面的章节讨论这个问题。
8.5 线性对数模型：解释变量是对数形式在上一节，我们讨论了应变量是对数形式而解释变量是线性形式的增长模型。为了描
)
Y
i
第 8章 回归方程的函数形式 介绍 163下载
1 趋势描述了变量持续向上或向下运动的行为。
述的方便，称之为 对数-线性模型 (log-lin model)或 增长模型 (growth model)。本节我们将考虑应变量是线性形式而解释变量是对数形式的模型。相应地，我们称之为 线性-对数模型 ( l i n
- log model)。
我们用一个具体例子来介绍这个模型。
例 8.5 美国 GNP与货币供给间的关系 (1973~1987年 )
假定联储很关注货币供给的变动对 G N P的影响 (货币供给是由 F E D控制的 )。表 8 - 5
给出了 G N P和货币供给 (用 M2度量 )的数据。
现考虑下面模型：
Yt=B1+B2l nX2t+ut ( 8 - 2 5 )
其中,Y= G N P,X=货币供给。
与对数线性模型相比，对数线性模型中的应变量是对数形式，解释变量是线性形式。在解释线性对数模型之前，先给出模型 ( 8 - 2 5 )的回归结果：
=-16 329.0+2 584.8lnXt ( 8 - 2 6 )
t = (-23.494) (27.549) r2=0.983 2
按照通常的解释，斜率系数 2 585表示货币供给每增加一个百分点,G N P的绝对变化量为 2 5 8 7亿美元。用日常的语言如何解释呢？
回顾一下：对数形式的变化称为相对变化。因此，模型 ( 8 - 2 5 )中的斜率系数度量了 1：
B 2= = ( 8 - 2 7 )
与前面相同，其中,?Y和?X表示了 Y和 X的一个 (小的 )改变量。式 ( 8 - 2 7 )也可以写为：
( 8 - 2 8 )
式 ( 8 - 2 8 )表明,Y的绝对变化量等于 B2乘以 X的相对变化量。若将后者乘以 1 0 0，则式
( 8 - 2 8 )给出了 X每变动一个百分点,Y的绝对变动量。因而，若?X / X每变化 0,0 1个单位
(或 1%)，则 Y的绝对变化量为 0,0 1 (B2)。若在实际中，求得 B2= 6 7 4，则 Y的绝对改变量为 0,0 1 ( 6 7 4 ) = 6,7 4。因此，在用 O L S方法估计形如式 ( 8 - 2 5 )的回归方程时，需将估计的斜率系数 B2乘以 0,0 1，或除以 1 0 0。
我们再来看模型 ( 8 - 2 6 )给出的 G N P /货币供给的回归结果，不难发现货币供给每增加一个百分点，平均而言,G N P将增加 2 5,8 4亿美元 (注：将估计的斜率值除以 1 0 0 )。
因而，形如式 ( 8 - 2 5 )的线性对数模型常用于研究解释变量每变动 1%，相应应变量的绝对变化量的情形。无须赘言，形如 ( 8 - 2 5 )的模型可以有不止一个的对数形式的解释变量。
每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，某一给定变量 X每变动 1%所引起的应变量的绝对改变量。
Y =B
2
X
X
Y
X/X
Y 的绝对变化量
X的相对变化量
)
Y
t
164部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 如果 Y=B1+B2l nX，用微分，可以证明：
因此,=式 ( 8 - 2 7 )B
2
= X
dY
dX
=
dY
dX/X
dY
dX
= B
2
1
X
8.6 双曲函数模型形如下式的模型称为双曲函数模型：
( 8 - 2 9 )
这是一个变量之间是非线性的模型，因为 X是以倒数形式进入模型的，但这个模型却是参数线性模型，因为模型中参数之间是线性的 1。
这个模型的一个显著特征是，随着 X的无限增大,( 1 /Xi)将接近于零 (为什么？ ),Y将逐渐接近 B1渐进值 (asymptotic value)或极值。因此，当变量 X无限增大时，形如式 ( 8 - 2 9 )的回归模型将逐渐靠近其渐进线或极值。
图 8 - 3给出了双曲函数模型的一些可能的形状。
表 8-5 美国 G N P与货币供给年份 G N P /亿美元 M2
1 9 7 3 1 359.3 8 6 1,0
1 9 7 4 1 472.8 9 0 8,5
1 9 7 5 1 598.4 1 023.2
1 9 7 6 1 782.8 1 163.7
1 9 7 7 1 990.5 1 286.7
1 9 7 8 2 249.7 1 389.0
1 9 7 9 2 508.2 1 500.2
1 9 8 0 2 723.0 1 633.1
1 9 8 1 3 052.6 1 795.5
1 9 8 2 3 166.0 1 954.0
1 9 8 3 3 405.7 2 185.2
1 9 8 4 3 772.2 2 363.6
1 9 8 5 4 014.9 2 562.6
1 9 8 6 4 240.3 2 807.7
1 9 8 7 4 526.7 2 901.0
资料来源：,总统经济报告》,1 9 8 9,G N P数据摘自表 B - 1，第 3 0 8页,M2数据摘自表 B - 6 7，第 3 8 5页。
注,G N P数据根据年利率进行了季节调整
M2=通货 +活期存款 +旅游支票 +其他可核对存款 +短期 R P s与欧元 + M M M F余额 + M M D A s +储蓄与小额存款这些都是平均每天的数据，经过季节调整。
图 8-3 双曲函数模型,Yi=B1+B2( 1 /Xi)
Y
i
= B
1
+ B
2
1
X
i
+ u
i
第 8章 回归方程的函数形式 介绍 165下载
1 如果令 =（ 1 /Xi）,则式（ 8 - 2 9）不仅参数之间是线性的，而且变量之间也是线性的。X
i
*
a) b) c)
在图 8 - 3 a中，若 Y表示生产的平均固定成本 ( A F C )，也即总固定成本除以产出,X代表产出，则根据经济理论，随着产出的不断增加,A F C将逐渐降低 (因为总固定成本不变 )，
最终接近其渐进线 (X=B1)。
图 8 - 3 b的一个重要用途是它描绘了 恩格尔消费曲线 (Engel expenditure curve)(以德国统计学家恩格尔的名字命名,1 8 2 1 ~ 1 8 9 6 )。该曲线表明：消费者对某一商品的支出占其总收入或总消费支出的比例。若 Y表示消费者在某一商品上的消费支出,X表示消费者总收入，
则该商品有如下特征,( 1 )收入有一个临界值或阈值，在此临界值之下，不能购买某商品
(比如汽车 )。在图 8 - 3 b中，收入的临界水平是- (B2/B1)。 ( 2 )消费有一个满足水平，在此水平之上，无论消费者的收入有多高，也不会有任何消费 (即使是百万富翁通常也不会在同一时间内拥有两辆以上的汽车 )。在图 8 - 3 b中，消费的满足水平为渐进线 X=B1。双曲函数是描述这类商品最合适的模型。
图 8 - 3 c的一个重要用途是宏观经济学中著名的 菲利普斯曲线 (Philips curve)，菲利普斯根据英国货币工资变化的百分比 (Y)与失业率 (X)的数据，得到了形如图 8 - 3 c的一条曲线 1。从图中可以看出，工资的变化对失业水平的反映是不对称的：失业率每变化一个单位，则在失业率低于自然失业率 UN水平时的工资上升的比在当失业率在自然失业率水平以上时快。
B1表明了渐进线的位置。菲利普斯曲线这条特殊的性质可能是由于制度的因素，比如工会交易势力、最少工资、失业保险等等。
例 8.6 1958~1969年美国的菲利普斯曲线由于菲利普斯曲线的历史重要性，也为了阐明双曲函数模型，我们来看一个具体实例。表 8 - 6给出了美国 1 9 5 8 ~ 1 9 6 9年间小时收入指数 (Y) 和城市失业率 (X)的数据。
模型 ( 8 - 2 9 )拟合了表 8 - 6给出的数据，回归结果如下：
( 8 - 3 0 )
t =(－ 0.257 2) (4.399 6) r2=0.659 4
图 8 - 4 a给出了该回归线。
图 8-4 1958~1969年美国的菲利普斯曲线
)
Y
t
=?0.259 4 + 20.588 0
1
X
t
166部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 菲利普斯（ A,W,P h i l l i p s）,,英国失业与货币工资变动率之间的关系（ 1 8 6 1 ~ 1 9 5 7）,(The Relation
between Unemployment and the Rate of Money Wages in the United Kingdom,1 8 6 1 ~ 1 9 5 7 )《经济学家》
(E c o n o m i c a),1 9 5 8年 9月，第 2 8 3 - 2 9 9页。
收入变化率 见式 见式失业率失业率收入变化率
a) b)
(续)
从图中可以看出，最低工资为－ 0,2 6%，它显著不为零 (为什么？ )。因此，无论失业率有多高，工资的增长率至多为零。
作为比较，我们给出根据相同数据得到的线性的回归结果：
( 8 - 3 1 )
t=(6.462 5) (-3.260 5) r2=0.515 3
观察这两个模型。在线性模型 ( 8 - 3 1 )中，斜率为负，因为在其他条件保持不变时，
失业率越高，收入的增长率越低。然而，在双曲函数模型中，斜率却为正，这是因为
X以倒数形式进入模型的 (也就是说，负负为正 )。换句话说，在双曲函数模型中的正的斜率与在线性模型中负的斜率的作用相同。线性模型表明，失业率每上升 1%，平均而言，无论如何度量 X，收入的变化率为一常数，约为 -0,7 9。而另一方面，在双曲函数模型中，收入的变化率却不是常数，它依赖于 X(即失业率 )的水平 (参见表 8-8) 1。
后一种模型看似更符合经济理论。由于在两个模型中的应变量相同，因此我们可以比较 r2值。双曲函数模型的 r2值比线性模型的大，这表明前者比后者更好地拟合了样本数据。
图 8-5 成本 -产出关系这个例子表明，一旦遇到的不是 L I V / L I P模型，而是参数线性而变量却不一定是线性的模型，我们需要根据具体情况来仔细地选择合适的模型。在选择时，现象背后的经济理论对选择适当的模型有很大的帮助。不可否认，建立模型需要经济理论和实际经验。而后者来源于不断的实践。
8.7 多项式回归模型本节讨论的这类回归模型在生产与成本函数这个领域中被广泛地使用。图 8 - 5描绘了总成本函数 (是产出的函数 )曲线和边际成本 (M C)及平均成本 (A C)曲线。
Y表示总成本 (T C）,X表示产出，总成本函数可表示为：
( 8 - 3 2 )Y
i
= B
1
+ B
2
X
i
+ B
3
X
i
2
+ B
4
X
i
3
)
Y
t
= 8.014 7? 0.788 3X
t
第 8章 回归方程的函数形式 介绍 167下载
1 见表 8 - 8，双曲函数模型的斜率为－ B2( 1 /X2i )，显然不是常数。
见式产出 产出形如式 ( 8 - 3 2 )的函数又称为 立方函数 (cubic function)，一般也称,三次多项式函数 ( t h i r d -
degree polynomial)— 变量 X的最高次幂代表了多项式函数的次 (此时的最高次为 3 )。
注意：在这类多项式函数中，等式右边只有一个解释变量，但却以不同的次幂出现，
因而，可把它们看做多元回归模型 1。 (引入随机误差项，则模型 ( 8 - 3 2 )就成为回归模型。 )
虽然，模型 ( 8 - 3 2 )的变量之间是非线性的，但其参数 B却是线性的，因此它是线性回归模型。所以我们可用普通最小二乘法来估计形如 ( 8 - 3 2 )的模型。惟一的担心是：可能出现自相关问题，因为 X的不同次方项是函数相关的。但这种担心没什么必要，因为 X2和 X3是 X
的非线性函数，因而并未违背不完全共线性的假定，也即变量之间不完全共线性。简言之，
多项式回归模型可以用普通最小二乘法估计并且不会带来任何特别的估计问题。
表 8-6 美国小时收入指数年变化的百分比 (Y)与失业率 (%) (X)
年份 Y X 年份 Y X
1 9 5 8 4,2 6,8 1 9 6 4 2,8 5,2
1 9 5 9 3,5 5,5 1 9 6 5 3,6 4,5
1 9 6 0 3,4 5,5 1 9 6 6 4,3 3,8
1 9 6 1 3,0 6,7 1 9 6 7 5,0 3,8
1 9 6 2 3,4 5,5 1 9 6 8 6,1 3,6
1 9 6 3 2,8 5,7 1 9 6 9 6,7 3,5
资料来源：,总统经济报告》,1 9 8 9,Y的数据摘自表 B - 3 9，第 3 5 2页,X的数据摘自表 B - 4 4，第 3 5 8页。
例 8.7 总成本函数：为了说明多项式模型，考虑表 8 - 7给出的成本-产出数据根据这些数据，用普通最小二乘法得到的回归结果如下：
se=(6.375 3) (4.778 6) (0.985 7) (0.059 1)
R2=0.998 3 ( 8 - 3 3 )
如果边际成本的曲线和平均成本的曲线为 U型，根据价格理论可知，模型中的系数有如下先验值 2：
1,B1,B2和 B4都大于零。
2,B3< 0
3,B32< 3B2B4
式 ( 8 - 3 3 )回归结果与这些预期一致。
表 8-7 成本 -产出数据
Y( $ ) 1 9 3 2 2 6 2 4 0 2 4 4 2 5 7 2 6 0 2 7 4 2 9 7 3 5 0 4 2 0 总成本
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 产出
8.8 不同函数形式模型小结本章我们讨论了几种回归模型，这些模型的参数之间是线性的，但变量之间却不一定是线性的。对每一种模型，我们指出了其特殊的性质并强调了其适用条件。表 8 - 8总结了
)
Y
i
= 141.7667+ 63.4776 X
i
12.9615 X
i
2
+ 0.939 6 X
i
3
168部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 当然，如果需要的话，可以将模型中引入其他变量以及它的不同次幂。
2 参见 Alpha C.Chiang 的《经济数学的基本方法,(Fundamental Methods of Mathematical Economics)。
第三版,M c G r a w - H i l l,纽约,1 9 8 4，第 2 0 5? 2 5 2页。这些限制条件是为了保证有经济意义，即总成本曲线必须向上倾斜（投入越大，产出越高）,边际成本必须为正。
讨论过的不同函数形式模型的一些显著特征，比如斜率系数和弹性系数。虽然，对双对数模型而言，其斜率系数与弹性系数相同，但对于其他模型，情况却不如此。但对每一种模型，我们可以根据弹性系数的基本定义 [见式 ( 8 - 7 ) ]来计算其弹性系数的大小。
表 8-8 不同函数形式模型小结模 型 形 式 斜率 = 弹性 =
线性模型 Y=B1+B2X B2 *
双对数模型 B2
对数 -线性模型 l nY=B1+B2X B2Y B2( X )*
线性 -对数模型 Y=B1+B2l nX *
双曲函数模型 *
注,*表示弹性系数是一个变量，其值依赖于 X或 Y或 X与 Y。在实际中，若没有给出具体的 X,Y，则用 来测度弹性系数。
从表 8 - 8可以看出，对变量之间是线性的模型，其斜率为一常数，而弹性系数是一个变量，但对双对数模型，弹性系数是一常数，而斜率为一变量。表 8 - 8中的其他模型，斜率和弹性系数都是变量。
8.9 小结本章我们讨论了几种参数之间是线性的模型或是可通过适当的变形成参数线性的模型
(但变量之间并不一定是线性的 )。这些不同的模型都有其自己特殊的性质和特征。主要的 5
种模型如下：
(1) 双对数模型。应变量和解释变量都是对数形式。
(2) 对数 -线性模型。应变量是对数形式，但解释变量是线性形式。
(3) 线性 -对数模型。解释变量是对数形式，但应变量是线性形式。
(4) 双曲函数模型。应变量是线性形式，但解释变量是倒数形式 1。
(5) 多项式模型。解释变量以不同次方形式进入模型。
当然，研究人员可以将上述不同形式的模型联合起来。因而，就可以得到多元回归模型，即应变量是对数形式，有些解释变量是对数形式，有些解释变量是线性形式。
我们研究了这些不同模型的性质，并给出了不同模型的适用条件。无须赘言，我们将在本书后面章节中遇到这些模型。
在选择模型时，不应过分强调而且不要仅仅根据一个统计量，比如 R2来判定。模型的建立需要正确的理论，合适有用的数据，对各种不同模型统计性质的完整的理解以及经验判断。由于理论本身不非完美的，因此也就没有完美的模型，我们只期望选择模型时能够合理地权衡上述各项标准。
习题
8.1 简要解释下列概念
(a) 双对数模型 (b) 对数 -线性模型 (c) 线性 -对数模型 (d) 弹性系数 (e) 均值弹性
X,Y
B
2
1
XY
*?B
2
1
X
2
Y = B
1
+ B
2
1
X
B
2
1
X
*B
2
1
X
B
2
Y
X
ln Y = B
1
+ B
2
ln X
B
2
X
Y
dY
dX
X
Y
dY
dX
第 8章 回归方程的函数形式 介绍 169下载
1 也可以是应变量是倒数形式，而解释变量是线性形式，见习题 8,1 5和 8,2 0。
8.2 什么是斜率系数和弹性系数？两者之间有什么联系？
8.3 填充下表：
模型 适用条件
8.4 完成下列各句：
(a) 在双对数模型中，斜率测度了 (b) 在线性 -对数模型中，斜率测度了
(c) 在对数 -线性模型中，斜率测度了 (d) Y对 X的弹性定义为 (e) 价格弹性的定义为 (f) 需求称为富有弹性的，如果价格弹性的绝对值，需求称为缺乏弹性的，如果价格弹性的绝对值
8.5 判断正误并说明理由。
(a) 双对数模型的斜率和弹性系数相同。 (b) 对于变量之间是线性的模型 ( L I V )而言，
斜率系数是一个常数，弹性系数是一个变量。但双对数模型的弹性系数是一个常数，而斜率是一个变量。 (c) 双对数模型的 R2值可以与对数 -线性模型的相比较，但不能与线性 -
对数模型的相比较。 (d) 线性 -对数模型的 R2值可以与线性模型相比较，但不能与双对数模型或对数线性模型的相比较。 ( e ) 模型 A,l n =-0,6 + 0,4X； r 2= 0,8 5；模型 B：
=1,3 + 2,2X； r2= 0,7 3模型 A更好一些，因为它的 r2大。
8.6 恩格尔曲线表明了一个消费者对某一商品的消费支出占总收入的比重。令 Y表示在某一商品上的消费支出,X表示消费者收入，考虑下面的模型：
(a) Yi=B1+B2Xi+ui (b) Yi=B1+B2( 1 /Xi) +ui (c) lnYi=B1+B2l nXi+ui (d) lnYi=B1+B2( 1 /Xi) +ui
(e) Yi=B1+B2l nXi+ui
你将选择哪个模型？ (提示：解释各个斜率，求出各个支出对收入的弹性系数的表达式 )
8.7 根据几个经济时间序列数据 ( U S )，增长模型 ( 8 - 1 8 )的回归结果如下：
时间序列 B1 B2 r2
实际 G N P ( 1 9 5 4 ~ 1 9 5 8 ) 7.249 2 0.030 2 0.983 9
( 1 9 8 2美元 ) t= ( 5 2 9,2 9 ) ( 4 4,3 1 8 )
劳动力参与率 4.105 6 0,0 5 3 0.946 4
( 1 9 7 3 ~ 1 9 8 7 ) t=(1 290.8) ( 1 5,1 4 9 )
S & P 5 0 0指数 3.696 0 0.045 6 0.863 3
( 1 9 5 4 ~ 1 9 8 7 ) t= ( 5 7,4 0 8 ) ( 1 4,2 1 9 )
S & P 5 0 0指数 3,7 11 5 0,0 11 4 0.852 4
( 1 9 5 4 ~ 1 9 8 7，季数据 ) t= ( 11 4,6 1 5 ) ( 2 7,8 1 9 )
(a) 求各单利增长率。 (b) 求各复利增长率 (c) 对 S & P数据，为什么两个斜率不相同？如何协调这个差距？
8.8 参考式 ( 8 - 3 3 )给出的三次方形式的总成本函数 (T C)，
(a) 边际成本函数 (M C)是指产出每变化一单位，总成本的改变量；也即，总成本对产出的变化率。 (专业地，它是总成本对产出的导数。 )根据式 ( 8 - 3 3 )推倒出边际成本函数。
(b) 平均可变成本 (AV C)是总可变成本 (T V C)除以总产出。根据式 ( 8 - 3 3 )推倒出平均可变成本
)
Y
)
Y
-
-
-
-
ln Y
i
= B
1
+ B
2
ln X
i
ln Y
i
= B
1
+ B
2
X
i
Y
i
= B
1
+ B
2
ln X
i
Y
i
= B
1
+ B
2
1
X
i
170部分 第二部分 线性回归模型 下载函数。 (c) 平均成本 (A C)是总成本除以总产出。根据式 ( 8 - 3 3 )推倒出平均成本函数。
(d) 作出上述各种成本曲线，并验证这些成本曲线与课本上的标准成本曲线相类似。
8.9 下面的模型是参数之间线性的吗？如果不是，有什么方法使之成为参数线性模型？
(a) (b)
8.10 根据 11个年观察值，得到下面的回归模型：
模型 A,=2.691 1-0.479 5Xt
se=(0.121 6) (0.114 0) r2=0.662 8
模型 B,l n =0.777 4-0.253 0lnXt
se=(0.015 2) (0.049 4) r2=0.744 8
其中,Y表示每人每天消费咖啡的杯数,X表示咖啡的价格 (美元 /磅 )。
(a) 解释这两个模型的斜率系数。 (b) 已知 。根据这些值估计模型
A的价格弹性。 (c) 求模型 B的价格弹性？ (d) 从估计的弹性看，你是否能说咖啡的需求对价格是缺乏弹性的？ (e) 如何解释模型 B的截距？ (提示：取反对数 ) (f)“由于模型 B的 r2值比模型 A的大，所以模型 B比 A好。,这句话对吗？为什么？
8,11 参考式 ( 8 - 11 )给出的 C - D生产函数：
(a) 解释劳动投入 (X2)的系数。它显著不为 1吗？ (b) 解释资本投入 (X1)的系数。它显著不为 0吗？显著不为 1吗？ (c) 截距- 3.338 5有什么意义？ (d) 检验假设,B2=B3= 0。
8.12 Mohsen Bahami-Oskooee和 Margaret Malixi 1在研究 28个不发达国家 (LDCs)对国际储备
(即外汇储备，例如美元或国际货币基金组织的特别提款权 )需求时，得到下面的回归结果：
l n (R / P)=0.122 3+0.407 9ln(Y / P)+0.504 0ln B P-0.091 8ln E X
t = (2.512 8) (17.637 7) (15.243 7) (-2.749 9)
R2=0.826 8
F =1 151
n =1 120
其中，
R— 美元的名义储备水平
P— 美国价格平减指数
Y— 名义 G N P (美元 )
B P— 收支平衡的变化
E X— 汇率的变化
(注：括号内的是 t值。回归分析是依据 2 8个国家从 1 9 7 6到 1 9 8 5年每年的季度数据，总样本容量为 1 120。 )
(a) 先验地，你认为各个系数的符号如何？你的预期与结果一致吗？ (b) 解释各个偏斜率系数的意义？ (c) 检验各个偏回归系数的统计显著性 (即，零假设：每个实际或总体回归系数为零 )。 (d) 如何检验假设：所有的偏斜率系数同时为零？
8.13 根据英国 1 9 5 0 ~ 1 9 6 6年每年的工资变化百分比 (Y)以及每年的失业率 (X)的数据，
得到下面的回归结果：
Y = 2.43,X = 1.11
)
Y
t
)
Y
t
Y
i
=
X
i
B
1
+B
2
X
i
2
Y
i
=
1
B
1
+B
2
X
i
第 8章 回归方程的函数形式 介绍 171下载
1 参见 Mohsen Bahami-Oskooee 与 M a rgaret Malixi的《汇率的流动性与 L D C s对国际储备的需求》
(Exchange Rate Flexibility and the LDCs Demand for International Reserves),《数量经济学,(Journal of
Quantitative Economics)，第 4卷，第 2期,1 9 8 8年 7月，第 3 1 7 - 3 2 8页。
=-1.428 2+8.724 3
se=(2.065 7) (2.847 8) r2=0.384 9
F ( 1,1 5 ) = 9,3 9
(a) 解释系数 8.744 3的意义。 (b) 检验假设：估计的斜率系数不为零。你将用什么假设？ (c) 如何用 F检验来检验上述假设？ (d) 已知,求 Y的变化率？
(e) 求 Y对 X的弹性？ (f) 如何检验假设：实际的 r2为零。
8.14 表 8 - 9给出了德国 1 9 7 1 ~ 1 9 8 0年间消费者价格指数 Y( 1 9 8 0 = 1 0 0 )及货币供给,X(亿德国马克 )的数据。
(a) 回归
(1) Y对 X (2) LnY对 l nX (3) LnY对 X (4) Y对 l nX
(b) 解释各回归结果。 (c) 对每一个模型求 Y对 X的变化率。 (d) 对每一个模型求 Y
对 X的弹性，对其中的一些模型，求均值 Y对均值 X的弹性。 (e) 根据这些回归结果，你将选择哪个模型？为什么？
表 8-9 德国消费者价格指数 (Y) (1 9 8 0 = 1 0 0)与货币供给 (X)*
年份 Y X 年份 Y X
1 9 7 1 6 4,1 11 0,0 2 1 9 8 0 1 0 0,0 2 3 7,9 7
1 9 7 2 6 7,7 1 2 5,0 2 1 9 8 1 1 0 6,3 2 4 0,7 7
1 9 7 3 7 2,4 1 3 2,2 7 1 9 8 2 111,9 2 4 9,2 5
1 9 7 4 7 7,5 1 3 7,1 7 1 9 8 3 11 5,6 2 7 5,0 8
1 9 7 5 8 2,0 1 5 9,5 1 1 9 8 4 11 8,4 2 8 3,8 9
1 9 7 6 8 5,6 1 7 6,1 6 1 9 8 5 1 2 1,0 2 9 6,0 5
1 9 7 7 8 8,7 1 9 0,8 0 1 9 8 6 1 2 0,7 3 2 5,7 3
1 9 7 8 9 1,1 2 1 6,2 0 1 9 8 7 1 2 1,1 3 5 4,9 3
1 9 7 9 9 4,9 2 3 2,4 1
资料来源,International Economic Conditions,Annual Ed,June 1988,The Federal Reserve Bank of St.Louis，
p,2 4,
*单位是德国马克。
8.15 根据下面的数据估计模型：
Y 8 6 7 9 7 6 6 9 6 5 6 2 5 2 5 1 5 1 4 8
X 3 7 1 2 1 7 2 5 3 5 4 5 5 5 7 0 1 2 0
(a) 解释 B2的含义。 (b) 求 Y对 X的变化率？ (c) 求 Y对 X的弹性？ (d) 用相同的数据，估计下面的回归模型
(e) 你能比较这两个模型的 r2值吗？为什么？ (f) 如何判定哪一个模型更好一些？
8.16 当因变量不同时，比较两个 r2值。 1 假定你想要比较 ( 8 - 1 9 )增长模型与 ( 8 - 2 4 )线性趋势模型的 r2值。具体过程如下：
(a) 求 l n t，即从模型 ( 8 - 1 9 )中求出每个观察值的对数。 (b) 求步骤 ( a )得到的值的反
Y
i
=B
1
+B
2
1
X
i
+u
i
1
Y
i
= B
1
+ B
2
X
i
+ u
i
Y = 4.8%,X =1.5%
1
X
t
)
Y
t
172部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 详细细节和具体的计算可参阅,Damodar N.Gujarati《经济计量学基础,(Basic Econometrics)，第 3
版,M c G r a w - H i l l,纽约,1 9 9 5，第 2 0 9 - 2 1 0页。
对数。 (c) 计算根据步骤 ( b )得到的 r2值与根据习题 ( 6 - 5 )定义的 r2值。 (d) 这个 r2值就可以与线性模型 ( 8 - 2 4 )的 r2值相比较。
8.17 根据表 8 - 5提供的 G N P /货币供给数据，得到下面的回归结果 (Y= G N P,X=货币供给 )：
模 型 截 距 斜 率 r2
双对数模型 0.551 3 0.988 2 0.992 6
t=(3.165 2) ( 4 1,8 8 9 )
对数 -线性模型 6.861 6 0.000 57 0.949 3
(增长模型 ) t= ( 1 0 0,0 5 ) ( 1 5,5 9 7 )
线性 -对数模型 -163 29.0 258 4.8 0.983 2
t= (-2 3,4 9 4 ) ( 2 7,5 4 9 )
线性模型 1 0 1,2 0 1.532 3 0.991 5
( L I V模型 ) t= ( 1,3 6 9 ) ( 3 8,8 6 7 )
(a) 解释每一个模型斜率的意义。 (b) 对每一个模型，估计 G N P对货币供给的弹性，
并解释该弹性。 (c) 所有的 r2值可直接比较吗？如果不能，哪些可以直接比较？ ( d )
你将选择哪个模型？在选择模型时，你考虑的标准有哪些？ (e) 货币学家认为，货币供给的变化率与 G N P之间存在一一对应的关系。上述结果证实了这个观点吗？你将如何验证？
8.18 参考表 8 - 3给出的能源需求数据。我们用线性模型拟合数据，而不是对数 -线性模型：
Yt=B1+B2X2 t+B3X3t+ut
(a) 估计回归系数，求标准差,R2以及校正的 R2。 (b) 解释各回归系数。 (c) 估计的各个偏回归系数是统计显著的吗？用 p值回答这个问题。 (d) 建立 A N O VA表，并检验假设,B2=B3= 0。 (e) 计算收入弹性和价格弹性 (用 Y,X2,X3的均值 )。这些弹性如何才能与式 ( 8 - 1 2 )给出的收入和价格弹性相比较？ (f) 按照习题 8,1 6的步骤，比较线性模型和对数 -线性模型的 R2值。 (g) 对上面的变量线性模型的残差作正态概率图。你得出什么结论？ (h) 对对数 -线性模型的残差作正态概率图，判断残差是否近似正态分布。 (i) 如果 ( g )和 ( h )的结论不同，你将选择哪个回归模型，为什么？
8.19 美国互助基金对投资顾问 (见表 8 - 1 0 )：
(a) 你将选择哪种回归模型？为什么？ (b) 你所选择的模型有哪些特征？
表 8-10 互助基金的管理费用计划费用 Y(%) 资产净值 X/ (亿美元 ) 费用 Y(%) 资产净值 X/ (亿美元 )
0.520 0 0,5 0,4 11 5 3 0,0
0.508 0 5,0 0.402 0 3 5,0
0.486 4 1 0,0 0.394 4 4 0,0
0.460 0 1 5,0 0.388 0 4 5,0
0.439 8 2 0,0 0.382 5 5 5,0
0.423 8 2 5,0 0.373 8 6 0,0
8.20 为了解释在大的商业银行的商业贷款行为,Bruce J.Summers 运用下面的模型 1：
( 1 )
其中,Y表示商业或工业贷款 ( C & I )，单位为百万美元，按每月计量。分析的数据
Y
t
=
1
A+Bt
第 8章 回归方程的函数形式 介绍 173下载
1 参见 Bruce J.Summers,,A Time Series Analysis of Business Loans at Large Commercial Banks,”
Economic Review,Federal Reserve Bank of St.Louis,M a y / J u n e,1 9 7 5,p p,8 - 1 4,
从 1 9 6 6年到 1 9 6 7年的月数据，共有 2 4个观察值。
作者为了作回归分析，用了下面模型：
( 2 )
( 3 )
t= ( 9 6,1 3 ) (-2 4,5 2 )
D W = 0,0 4 * ( 4 )
t = (196.70) (-66.52) D W = 0,0 3 *
*表示杜宾 -瓦特森 ( D - W )统计量 (参见第 1 2章 )。
( a )为什么用模型 ( 2 )而不用模型 ( 1 )？ ( b )这两个模型有什么性质？ ( c )解释模型 ( 3 )和模型 ( 4 )的斜率的含义。它们是统计显著的吗？ ( d )怎样求这两个回归方程截距和斜率的标准差？ ( e )在 C & I活动中，纽约银行和非纽约银行的行为有所不同吗？如何检验这种差别，如果可以的话，写出正规的检验步骤。
附录 8A 对 数考虑数字 5和 2 5。我们知道
2 5 = 52 ( 8 A - 1 )
我们称指数 2是以 5为底 2 5的对数。
若
Y=bx(b> 0 ) ( 8 A - 2 )
则,l o gbY = X ( 8 A - 3 )
式 ( 8 A - 2 )成为指数函数，式 ( 8 A - 3 )成为对数函数。因此，指数函数和对数函数可以相互转换。
虽然任何一个正数都可以作底数，但在实际中，用的最为广泛的是以 1 0和 e=2.718 28...
为底数。
以 1 0为底的对数成为常用对数。
l o g1 01 0 0 = 2,l o g1 03 0≈1,4 8
也即，在前一种情况下,1 0 0 = 1 02，在后一种情况下,3 0 = 1 01,4 8。
以 e为底的对数成为自然对数。
l o ge1 0 0≈4.601 5,l o ge3 0≈3.401 2
所有这些都可用计算器来计算。
按照惯例，以 1 0为底的对数常用符号 l o g表示，以 e为底的对数常用符号 l n表示。因此，
上面各例，我们可以写为 log100,log30或 ln100,ln30。
常用对数和自然对数之间有一个固定的关系：
l nX= 2,3 0 2 6 l o gX ( 8 A - 4 )
即 X的自然对数等于其常用对数乘以 2.302 6。于是，
ln30= 2.302 6log30=2.302 6(1.48)=3.401 2(近似值 )
因此，是用常用对数还是自然对数并没有什么关系。但是在数学中，常用以 e为底的
R
2
= 0.97
)
1
Y
t
= 26.179? 0.14t
R
2
= 0.84
1
Y
t
=52.00? 0.20t
1
Y
t
=A+Bt
174部分 第二部分 线性回归模型 下载自然对数。因此，在本书中出现的对数均为自然对数，除非有特别的说明。当然，我们可以根据式 ( 8 A - 4 )作相应的转换。
需要牢记的是：没有定义负数的对数。因而,l o g (-5 ),l n (-5 )没有意义。
对数的一些性质如下：若 A,B是任意两个正数，可以证明：
1,ln( A B) = l nA+ l nB ( 8 A - 5 )
即,A,B乘积的对数等于 A的对数与 B的对数之和。
2,Ln(A / B) = l nA－ l nB ( 8 A - 6 )
即,A与 B商的对数等于 A的对数与 B的对数之差。
3,ln( A± B)≠ l nA± l nB ( 8 A - 7 )
即,A与 B的和或差的对数不等于 A的对数与 B的对数的和或差。
4,ln( Ak) =kl nA ( 8 A - 8 )
即,A的 K次方的对数等于 A的对数的 K倍。
5,lne= 1 ( 8 A - 9 )
即,e的自然对数为 1 (就像 1 0的常用对数为 1一样 )。
6,ln 1=0 ( 8 A - 1 0 )
即,1的自然对数为 0 ( 1的常用对数也为 0 )。
7,若 Y= l nX,则 ( 8 A - 11 )
即 Y对 X的导数等于 1 /X。
图 8 A - 1描绘了指数函数和对数函数。
图 8A-1 指数和对数函数：
( a )指数函数 ( b )对数函数虽然只有正数才有对数，但是对数值可正可负。很容易证明：
0 <Y< 1，则 l nY< 0； Y= 1，则 l nY= 0； Y> 1，则 l nY> 0
虽然图 8 A - 1 ( b )中的对数曲线正向倾斜的 (表明数值越大，对数值越大 )，但是曲线却以一个递减的比率增长 (用数学的语言，其二阶导数为负 )。因而,ln(10)=2.302 6(近似值 ),ln(20)=2.995 7(近似值 )。也就是说，数值变为两倍，但对数值并不是两倍。
这就是为什么把对数变换称为非线性变换的原因。这也可以从式 ( 8 A - 11 )中得到证明，
若 Y= l nX,dY/ dX= 1 /X。也即导数不是一个常量 (回顾变量之间是线性的定义 )。
dY
dX
=
1
X
第 8章 回归方程的函数形式 介绍 175下载
a) b)
0<Y<1 那么 ln Y<0
Y=1 那么 ln Y=0
Y>1 那么 ln Y>0
下载到目前为止，在我们所考虑的线性回归模型中，解释变量 X都是定量变量。但是，情况并非总是如此，有些时候，解释变量却是定性的变量；我们把这类定性变量称为虚拟变量。这些变量还有其他的一些名称，比如，指标变量、二元变量、分类变量、二分变量。本章我们将介绍如何将虚拟变量引入模型并使模型更加丰富和完善。
9.1 虚拟变量的性质通常在回归分析中，应变量不仅受一些定量变量的影响 (比如，收入、产出、成本、价格、
重量、温度等 )，而且还受一些定性变量的影响 (比如，性别、种族、肤色、宗教、民族、罢工、
政团关系、婚姻状况 )。举个例子，一些研究者在研究报告中指出，在其他条件不变的情况下，
女大学教师的收入比相应的男教师的收入低，类似地，女学生的 S,A,T.的数学平均分数比相应的男生低。 (参见表 5 - 5。 )无论这种差别的原因如何，在遇到这类问题时，都应该把性别这个定性变量作为解释变量包括到模型之中。当然，我们还可列举其他的一些例子。
这样的定性变量通常表明了具备或不具备某种性质，比如，男性或女性，黑人或白人，
天主教徒或非天主教徒，公民或非公民。把这些定性因素“定量化”的一个方法是建立人工变量，并赋值 0和 1,0表示变量不具备某种属性,1表示变量具备某种属性。例如,1可代表男性,0代表女性； 1代表某人是大学毕业,0代表某人不是大学毕业； 1代表某人是民主党成员,0代表某人是共和党成员，如此等等；我们将这类取值为 0,1的变量称为 虚拟变量
(dummy variable)。我们用符号 D表示虚拟变量，而不是常用的符号 X。用以强调该变量是定性的变量。
虚拟变量与定量变量一样可用于回归分析。事实上，一个回归模型的解释变量可以仅仅是虚拟变量。解释变量仅是虚拟变量的模型称为 方差分析模型 ( a n a l y s i s - o f - v a r i a n c e
m o d e l s ) ( A N O VA )。我们来看下面的一个例子：
Yi=B1+B2Di+ui ( 9 - 1 )
其中 Y=初职年薪模型 ( 9 - 1 )与我们前面讨论过的双变量模型类似，只是这里的解释变量不是定量变量 X，而是虚拟变量 D；上面已经讲过，从现在起，用 D表示虚拟变量。
，大学毕业
，其他 (比如，非大学毕业 )Di =
1
0
第 9 章
■ 包含虚拟变量的回归模型假定随机扰动项满足古典线性回归模型 ( C L R M )的基本假定，根据模型 ( 9 - 1 )得到,1
非大学毕业生的初职年薪的期望为：
E(Yi｜ Di= 0 ) =B1+B2( 0 ) =B1 ( 9 - 2 )
大学毕业生的初职年薪的期望为：
E(Yi｜ Di= 1 ) =B1+B2( 1 ) =B1+B2 ( 9 - 3 )
从这些回归中可以看出，截距 B1表示非大学毕业生的平均初职年薪,“斜率”系数 B2表明大学毕业生的平均初职年薪与非大学生的差距是多少； (B1+B2)表示大学毕业生的平均初职年薪。
用普通最小二乘法很容易检验零假设：大学教育没有任何益处 (即 B2= 0 )，并可根据 t检验值判定 b2是否是统计显著的。
例 9.1 大学毕业生和非大学毕业生的初职年薪表 9 - 1给出了 1 0个不同教育水平的人的初职年薪数据。
表 9-1 初职年薪数据初职年薪 Y 教育 ( 1 =大学教育,初职年薪 Y 教育 ( 1 =大学教育，
/千美元 0 =非大学教育 ) /千美元 0 =非大学教育 )
2 1,2 1 1 8,5 0
1 7,5 0 2 1,7 1
1 7,0 0 1 8,0 0
2 0,5 1 1 9,0 0
2 1,0 1 2 2,0 1
模型 ( 9 - 1 ) O L S回归结果如下：
= 1 8,0 0 + 3,2 8Di
s e = ( 0,3 1 ) ( 0,4 4 ) ( 9 - 4 )
t= ( 5 7,7 4 ) (7.444) r2=0.873 7
p值 = ( 0,0 0 0 ) ( 0,0 0 0 )
从回归结果可以看出，估计的非大学毕业生的平均初职年薪为 18 000美元 ( =b1)，
大学毕业生的平均初职年薪为 21 280美元 (b1+b2)。根据表 9 - 1提供的数据，很容易计算出非大学毕业生和大学毕业生的平均年薪分别为 18 000美元和 21 280美元，正好与它们的估计值相同。
根据括号中的 t值，很容易验证 b2是统计显著的 (也即显著不为零 )，表明非大学毕业生和大学毕业生的初职年薪有差距。实际上也确实如此，学历越高，收入越高！
图 9 - 1描绘了式 ( 9 - 4 )的回归结果。从图中可以看出，回归函数是一个分段函数 — 非大学毕业生的平均初职年薪是 18 000美元，而大学毕业生的平均初职年薪突升到 21 280美元 (上升了 3 280美元 )；两类不同受教育水平的个人年薪在其各自的均值附近波动。
)
Y
i
第 9章 包含虚拟变量的回归模型 介绍 177下载
1 由于虚拟变量通常取 0和 1，所以它是非随机的；也就是说，虚拟变量的取值是固定的。而且由于我们一直假设解释变量 X是非随机的，因此就模型（ 9 - 1）而言，一个或若干个解释变量是虚拟变量并不会带来任何特殊的问题。简言之，虚拟变量不会有新的估计问题，我们可以用普通最小二乘法对包含虚拟变量的模型的参数进行估计。
例 9.2 工作权利法对工会会员的影响为了研究工作权利法的效果 (该法使工会的劳资谈判合同合法化 ),B r e n n a n等人 1
建立了工会会员 (属于工会的工人占所有工人的百分比 )对工作权利法 ( 1 9 8 0年 )的函数模型。这项研究包括了 5 0个州，其中 1 9个州制定了工作权利法,3 1个州允许有工会会员制度 (即工会允许进行劳资谈判 )。回归结果如下：
= 2 6,6 8－ 1 0,5 1Di
se=(1.00) (1.58) r2=0.497 0 ( 9 - 5 )
t=(26.68) (6.65)
p值 =(0.000) (0.000)
其中，
Y — 工会成员占工人的比例 ( 1 9 8 0 )
D,制定工人工作权利法的州，未制定工人工作权利法的州从回归结果可以看出，在实施工人工作权利法的州中，工会会员占工人总数的比例为 2 6,6 8%，而在未实施工人权利法的州中，工会会员占工人总数的比例为
1 6,1 7%( 2 6,6 8- 1 0,5 1 )。这个差别是显著的，因为虚拟变量的系数显著不为零 (验证这一点 )。这些结果表明在实施工人权利法的州的工会会员占工人总数的比例比未实施工人权利法的州的比例高，这也并不值得奇怪。
在社会学、心理学、教育学及市场研究等领域，形如 ( 9 - 4 ),( 9 - 5 )的 A N O VA模型用得很广泛，而在经济学中一般用得很少。在许多的经济研究中，回归模型中的解释变量有些是定量的，
有些是定性的。我们将这种回归模型称为协方差模型 ( A N C O VA )。在本章后面的部分，我们将主要讨论这类模型。
图 9-1 不同教育水平下的初职年薪
=
1
0
)
Y
i
178部分 第二部分 线性回归模型 下载教育大学毕业非大学毕业
1 参见 Michael J Brennan and Tomas M.Carroll,P reface to Quantitative Economics and Econometrics,4th ed,
S o u t h - Western Publishing,Cincinnati,Ohio,1987.符号稍有变动。
9.2 包含一个定量变量，一个两分定性变量的回归模型考虑下面的一个 A N C O VA模型：
Yi=B1+B2Di+B3Xi+ui ( 9 - 6 )
其中 Yi — 大学教师的年薪 Xi — 教龄模型 ( 9 - 6 )包含了一个定量的变量 X(教龄 )和一个定性变量 (性别 ) (有两类，男教师和女教师 )。
对模型 ( 9 - 6 )解释如下。与平常一样，假定 E(ui) = 0，则，
男教师平均年薪：
E (Yi｜ Xi,Di= 0 ) =B1+B3Xi ) ( 9 - 7 )
女教师平均年薪：
E (Yi｜ Xi,Di= 1 ) = (B1+B2) +B3Xi ) ( 9 - 8 )
图 9 - 2描绘了这两种不同的情况。 (为了说明的方便，假定 B1> 0 )
图 9-2 根据表 9 - 2数据的回归结果总之，模型 ( 9 - 6 )表明男、女教师的平均年薪对教龄的函数具有相同的斜率 (B3)，但截距不同。换句话说，男教师的平均年薪水平与女教师的平均年薪水平不同 (多了 B2)，但男、女教师平均年薪对教龄的变化率相同。如果斜率相同的假定是有效的,1 那么，很容易检验零假设：回归方程 ( 9 - 7 )和 ( 9 - 8 )有相同的截距 (也即没有性别歧视 )，并根据 t检验结果判定 b2的统计显著性。如果 t检验表明 b2是统计显著的，我们就可以拒绝零假设：男、女教师的平均年薪水平相同。
在继续这个模型之前，先给出虚拟变量的一些性质：
(1) 为了区别男、女两类的不同，我们仅引入了一个虚拟变量,Di。 Di= 1代表男性,Di= 0
则表示女性，因为这里只有两种可能的结果。因此，一个虚拟变量足可以区分两个不同的种类。
若模型包含截距项，则模型 ( 9 - 6 )可写为：
Yi=B1+B2Xi+B3D1i+B4D1i+ui ( 9 - 9 )
，男教师
，女教师Di =
1
0
第 9章 包含虚拟变量的回归模型 介绍 179下载
1 这个假设的有效性可按照 9,6节的步骤进行检验。
教龄其中,Y与 X与前面的定义相同，
我们无法估计模型 ( 9 - 9 )，因为 D1i与 D2 i存在完全共线性 (即完全的线性关系 )。为了更清楚地了解这一点，假定有这样的一个样本，该样本包括三个男教师，两个女教师。其数据矩阵如下：
数据矩阵右边的第一列代表了共同的截距,B1。现在很容易验证,D1= ( 1-D2)或 D2= 1－ D1，
也即 D1,D2完全共线性。在第 7章已经讨论过，当存在完全共线性或多重共线性时，不可能得到参数的惟一估计值。
解决完全共线性问题有许多不同的方法。但是最简单的一种就是按照模型 ( 9 - 6 )那样，指定一个虚拟变量，也即若有定性变量有两不同类，例如，性别，就可以仅将模型引入一个虚拟变量。在这种情况下，数据矩阵中就不会有 D2列，这样就可以避免完全共线性问题。一般的规则是：如果一个定性的变量有 m类，则要引进 (m-1 )个虚拟变量。在这个例子中，性别有两类，
因而在模型 ( 9 - 6 )中仅引进一个虚拟变量。如果不遵循这个规则，就会陷入 虚拟变量陷阱
(dummy variable trap)，也即 完全多重共线性 (perfect multicollinerarity)情形。
(2) 虚拟变量的赋值是任意的。在这个例子中，令 D= 1，代表女教师,D= 0，代表男教师；
当然，赋值可根据习惯而定。
(3) 赋值为 0的一类常称为 基准类 ( b a s e ),对比类 (bench mark),控制类 ( c o n t r o l ),对比
( c o m p a r i s o n )或者 遗漏类 (omitted category)等等。因此，在模型 ( 9 - 6 )中女教师就是基准类。注意,(共同的 )截距 B1是基准类的截距，因为若取 D= 0 (仅有男教师 )，对 ( 9 - 6 )回归，得到的截距为
B1。同样地，对于基准类的选择也是根据研究的目的而定的。
(4) 虚拟变量 D的系数称为 差别截距系数 ( d i fferential intercept coeff i c i e n t )，因为它表明了取值为 1的类的截距值与基准类截距值的差距。因此，在模型 ( 9 - 8 )中,B2表明了在男教师收入回归方程中的截距与女教师收入回归方程中截距的差别是多少。
例 9.3 实例一则：教师年薪与教龄、性别的关系。
为了说明 A N C O VA模型，我们来看表 9 - 2中数据。
根据该数据，得到的 O L S回归结果如下：
=17.969+1.370 7Xi+3.333 6Di
se=(0.191 9) (0.035 6) (0.155 4) ( 9 - 1 0 )
t= (93.612 0) (38.454) (21.455) R2=0.993 3
对回归结果的解释如下。当性别变量为常量时，平均年薪将增加 1 371美元。当教龄变量保持不变时，男教师的平均年薪比女教师多 3 334美元。由于虚拟变量的系数是统计显著的 (为什么？ )，因此我们能够说两类教师的平均年薪不同，虽然男女教师平均年薪对教龄有相同的年增长率,1 337美元。 1
，女教师
，男教师D2i =
1
0
，男教师
，女教师D1i =
1
0
180部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 也有可能两类教师的年薪关于教龄的增长率也不同。在 9,6节中，我们将探讨如何发现实际的情况究竟是怎样的。
男男女男女
X1
X2
X3
X4
X5
(续)
根据 ( 9 - 1 0 )的回归结果，可以推导出男女教师的平均年薪函数：
女教师平均年薪：
=17.969+1.370 7Xi ( 9 - 11 a )
男教师平均年薪：
=(17.969+3.333 6)+1.370 7Xi ( 9 - 11 a )
=21.302 6+1.370 7Xi
图 9 - 2描绘了上述回归结果。
表 9-2 大学教师的年薪、教龄及性别初职年薪 教龄 性别 ( 1 =男性,初职年薪 教龄 性别 ( 1 =男性，
Y/千美元 X2 0 =女性 ) Y/千美元 X2 0 =女性 )
2 3,0 1 1 2 5,0 5 0
1 9,5 1 0 2 8,0 5 1
2 4,0 2 1 2 9,5 6 1
2 1,0 2 0 2 6,0 6 0
2 5,0 3 1 2 7,5 7 0
2 2,0 3 0 3 1,5 7 1
2 6,5 4 1 2 9,0 8 0
2 3,1 4 0
注意，两条回归直线是平行的，因为我们 (隐含地 )假定了两类教师的平均年薪对教龄的变化率是相同的。所不同的是初职年薪，女教师的为 1 7 9 6 9美元，男教师为
2 1 3 0 3美元，而这两个数值正是上述两条回归直线的两个截距 (截距度量了解释变量取零值时的应变量的平均值 )。 1
例 9.4 不同规模报酬对产出的影响为了研究对于同一资本条件下，企业经营不同的产品是否会带来不同的收益率，
J.A.Dalton 2 根据 4 8个企业的数据，得到如下的回归结果：
= 1,3 3 9 + 1,4 9 0Di+ 0,2 4 6X2i－ 9,5 0 7X3i-0,0 1 6X4i
se=(1.380) (0.056) (4.244) (0.017) R2= 0,2 6 ( 9 - 1 2 )
t=(1.079) (4.285) (-2.240) (-0,9 4 1 )
p值 =(0.143 3) (0.000) (0.015 1) (0.175 9)
式中 Yi— 规模报酬率 Di— 1，企业的产品有差别
X2— 市场份额 X3— 企业数目 X4— 行业增长率回归结果表明，当变量 X保持不变时，存在产品差别的企业的规模报酬率比没有产品差别企业的高 1,4 9个百分点。但是，由于虚拟变量的系数不是统计显著的 (为什么？ )，所以用统计学的语言，我们不能说在 X为常量时，两组企业的平均报酬率水平有任何差别。
)
Y
i
)
Y
i
)
Y
i
第 9章 包含虚拟变量的回归模型 介绍 181下载
1 一般的，截距没有实际的经济意义，但是在某些情况下，截距有特殊的含义；在这个例子中，截距代表了教师的平均初职年薪。
2 参见 J.A.Dalton and S.L.Levin,,Market Power:Concentration and Market Share,” Industrial Org a n i z a t i o n
R e v i e w,Vo l,5,1 9 7 7,p p,2 7 - 3 6,符号略有变动。
9.3 虚拟变量有多种分类的情况假定根据横截面数据，我们想要做个人假期旅游的年支出对其收入与受教育水平的回归。
由于教育这个变量是一个定性的变量，因此，假定教育水平有如下几等：未达到中学水平，中学水平，大学水平。与前面的情况不同，这里教育变量有三种分类。因此，根据虚拟变量的个数应比变量的分类数少一个的规则，我们引入两个虚拟变量来表示三种不同的教育水平。
假定教育水平不同的三个群体有相同的斜率，但截距不同，我们用下面的模型：
Yi=B1+B2D2i+B3D3i+B4Xi+u ( 9 - 1 3 )
式中 Yi— 用于假期旅游的年支出
Xi— 年收入
D2,中学教育 D3,大学教育，其他,其他注意，在对上面虚拟变量的赋值中，我们将“未达到中学水平”视为基准类。 1 因此，截距 B1代表了这一类的截距。差别截距 B2,B3表明了其他两类的截距与基准类的截距的差距有多大。假定 E(u) = 0 (标准假定 )，从 ( 9 - 1 3 )的回归结果可得：
未达到中学水平的平均旅游支出：
E(Yi｜ D2= 0,D3= 0,Xi) =B1+B4Xi ( 9 - 1 4 )
中学水平的平均旅游支出：
E(Yi｜ D2= 1,D3= 0,Xi) = (B1+B2) +B4Xi ( 9 - 1 5 )
大学毕业的平均旅游支出：
E(Yi｜ D2= 0,D3= 1,Xi) = (B1+B3) +B4Xi ( 9 - 1 5 )
图 9 - 3描绘了上述三条回归直线 (根据例 9,5中的数据 )。
对模型 ( 9 - 1 3 )估计之后，根据 t检验的结果，很容易验证差别截距 B2,B3各自均是统计显著的 (也即显著不为零 )。
这里有一个问题：为什么不分别对式 ( 9 - 1 4 ),( 9 - 1 5 )和 ( 9 - 1 6 )进行回归，而是对式 ( 9 - 1 3 )进行回归呢？对式 ( 9 - 1 4 ),( 9 - 1 5 )和 ( 9 - 1 6 )进行回归并不存在什么问题。但是，如果对它们进行回归，
那么，如何发现这三个回归有什么差别呢？我们随后将讨论这个问题 (参见 9,6节 )。但对式 ( 9 -
1 3 )回归的一个优点是能够从这一个回归方程中推导出式 ( 9 - 1 4 )及 ( 9 - 1 5 )和 ( 9 - 1 6 )。
图 9-3 旅游支出与不同教育水平下收入的关系
=
1
0
=
1
0
182部分 第二部分 线性回归模型 下载收入/千美元
1 当然，其他任何一类都可作为基准类。虽然特殊的研究目标或许表明了哪一类应作为基准类，但是这种选择纯粹是个人的行为。
第 9章 包含虚拟变量的回归模型 介绍 183
例 9.5 假设一例 (旅游支出与收入和教育的关系 )
为了解释模型 ( 9 - 1 3 )，我们来看表 9 - 3给出的数据。根据这些假设的数据得到下面的回归结果：
=-1.286 0+0.172 2Xi-0.068 0D2i+0.447 2D3i
se=(0.269 4) (0.014 7) (0.170 8) (0.395 6) ( 9 - 1 7 )
t= (-4.773 8) (11.728 0) (-0.398 2) (1.130 4) R2=0.996 5
p值 =(0.000) (0.000) (0.349 0) (0.141 2)
表 9-3 旅游支出 (Y)、收入 (X)、受教育水平
Y/千美元 X/千美元 中学教育 D2= 1 大学教育 D3= 1
6,0 4 0 0 1
3,9 3 1 1 0
1,8 1 8 0 0
1,9 1 9 0 0
7,2 4 7 0 1
3,3 2 7 1 0
3,1 2 6 1 0
1,7 1 7 0 0
6,4 4 3 0 1
7,9 4 9 0 1
1,5 1 5 0 0
3,1 2 5 1 0
3,6 2 9 1 0
2,0 2 0 0 0
6,2 4 1 0 1
注：当 D2=D3= 0，观察值表示了未中学毕业。 (为什么？ )
回归直线见图 9 - 3。
回归结果表明，在其他条件不变时，随着收入的增加，比如说收入增加一美元，
平均的旅游支出将增加 1 7美分。我们更关注的是受教育水平对旅游支出的影响。由于在 5%的显著水平下，两个虚拟变量均是统计不显著的 (检查这个结果 )，因而，在收入不变时，受教育水平看似对平均旅游支出没有显著影响。换句话说，三组的截距并没有显著不同。因此，在图 9 - 3中，虽说各个截距的数值不同，但是从统计上说，它们是相同的。
9.4 包含一个定量变量，两个定性变量的回归模型虚拟变量的技术可以推广到解释变量中有不止一个定性变量的情形。让我们回到大学教师年薪 ( 9,6 )一例中，但是现在假定除了教龄、性别以外，肤色也是一个重要的决定因素。为了简便，假定肤色有两种，白种和非白种。我们可将模型 ( 9 - 6 )重写为：
Yi=B1+B2D2i+B3D3i+B4Xi+ui ( 9 - 1 8 )
式中 Yi— 年薪
Xi— 教龄
，白种
，非白种D3i =
1
0
，男教师
，男教师D2i =
1
0
)
Y
i
下载
184部分 第二部分 线性回归模型
1 选自 Wilhite and John Theilmann,Campaign Contributions by Political Parties:Ideology Versus Wi n n i n g,”
Atlantic Economic Journal Vol,XVII,June 1989,pp.11 - 2 0,
注意：性别和肤色这两个定性变量各自均有两类，因此它们每一个都需要一个虚拟变量
(以避免虚拟变量陷阱 )，这里的基准类是“非白种女教师” 。
假定 E(ui) = 0，则根据模型 ( 9 - 1 8 )得到不同的平均年薪函数如下：
非白种女教师平均年薪：
E(Yi｜ D2= 0,D3= 0,Xi) =B1+B4Xi ( 9 - 1 9 )
非白种男教师平均年薪：
E(Yi｜ D2= 1,D3= 0,Xi) = (B1+B2) +B4Xi ( 9 - 2 0 )
白种女教师平均年薪：
E(Yi｜ D2= 0,D3= 1,Xi) = (B1+B3) +B4Xi ( 9 - 2 1 )
白种男教师平均年薪：
E(Yi｜ D2= 1,D3= 1,Xi) = (B1+B2+B3) +B4Xi ( 9 - 2 2 )
再一次地，假定上述回归的截距是不同的，但斜率都相同，为 B4。
利用 O L S法对模型 ( 9 - 1 8 )进行估计，我们可以根据回归结果检验各种假设。例如，若差别斜率 b3(B3的估计量 )是统计显著的，则意味着肤色对教师薪水有影响。类似地，若差别斜率 b2
是统计显著的，则表明性别也对教师薪水有影响。最终地，若两个差别斜率都是统计显著的，
则表示性别和肤色都是教师薪水的重要决定因素。因此，不用对每个方程 (性别和肤色 )进行回归就能判定存在那些可能的影响因素，因为可以很容易从 ( 9 - 1 8 )推导出这些单个的回归结果。
9.5 模型的推广读者可能想到，我们可将模型扩展到包括多个定量变量和多个定性变量的情形。但是必须注意的是：每个虚拟变量 (相对定性变量 )的个数要比该变量的分类数少一。我们来看下面的一个例子。
例 9.6 政党对竞选活动的资助 1
Wilhite 和 John Theilmann在研究 1 9 8 2年政党对国会选举的资助中，得到如下回归结果，见表 9 - 4。在这个回归方程中，应变量是 PA RT Y $ (政党对当地侯选人的资助 )，
$ G A P,V G A P和 P U是三个定量变量,O P E N,D E M O C R AT和 C O M M是三个定性变量，
每一个定性变量分为两类。
该回归结果说明了什么呢？ $ G A P越大 (也即竞争对手有巨额资助 )，政党对当地候选人的资助就越少。 V G A P越大，也即竞争对手在以前的竞选中获胜的次数越多，
则国会对该候选人的资助就越少 (这个预期并不是建立在 1 9 8 2年的选举结果之上的 )。
公开的竞争可能从国会中吸引更多的资助以确保在国会中的席位，该预期与回归结果一致。政党越忠诚 ( P U )，得到国会的资助就越多。由于民主党的竞选财力比共和党的少，因此，预期虚拟变量 D E M O C TAT的符号为负，事实也的确如此 (共和党的竞选资助回归方程的截距比其竞争对手的小 )。虚拟变量 C O M M的符号预期为正，因为如果你也投票选取，而且有幸成国会中分发竞选资金的一员，那么你很可能将资金更多地拨给你所投票的那个政党。
下载
(续)
表 9-4 政党资助解释变量 系 数 解释变量 系 数
$ G A P － 8,1 8 9 * D E M O C R AT -9,9 8 6 *
( 1,8 6 3 ) ( 0,5 5 7 )
V G A P 0.032 1 C O M M 1,7 3 4 *
(0.022 3)
O P E N 3,5 8 2 * R2 0,7 0
(0.729 3)
P U 1 8,1 8 9 * F 1 8 8,4
( 0,8 4 9 )
资料来源,Wilhite and John Theilmann,Campaign Contributions by Political Parties:Ideology
Versus Wi n n i n g,” Atlantic Economic Journal,Vo l,X V I I,J u n e 1 9 8 9,p p 11 -
2 0,p,1 5,Ta b l e 2 ( a d a p t e d ),
注：括号内的数字是标准差
*表示在 0,0 1的显著水平下是显著的。
$ G A P— 度量候选人财政
V G A P— 在以前竞选中不同政党获得投票的差距
P U— 根据《国会季刊》所计算的政党团结指数
9.6 回归模型中的结构稳定性：虚拟变量法 1
回顾第 7章的 7,1 2节，我们利用 C h o w检验判定在 1 9 7 0~ 1 9 9 5期间，储蓄 -收入关系是否在严重萧条之后于 1 9 8 2年经历了一个结构变动。如果没有结构变动，则可用整个样本区间的数据拟合回归方程 ( 7 - 5 4 )，但是如果存在结构变动，我们则将用式 ( 7 - 5 5 )和 ( 7 - 5 6 )分别对两个时期
( 1 9 7 0 ~ 1 9 8 1年,1 9 8 2 ~ 1 9 9 5年 )的数据进行拟合。
事实上，在 7,1 2节中，用 C h o w检验验证了在样本区间内，储蓄 -收入关系之间确实存在一个结构变动。但是,C h o w检验并未告诉我们不同的两个回归结果究竟是截距值的不同还是斜率的不同，或是两者均不同。再来看式 ( 7 - 5 5 )和 ( 7 - 5 6 )，这里为了方便，我们从新将两式记为：
1 9 7 0 ~ 1 9 8 1年：
Yt=A1+A2Xt+u1t ( 9 - 2 3 )
1 9 8 2 ~ 1 9 9 5年：
Yt=B1+B2Xt+u2t ( 9 - 2 4 )
式中 Y— 储蓄
X— 收入
，民主党成员或共和党成员
，其他 (也即非两党成员 )。COMM =
1
0
，民主党成员
，其他DEMOCRAT =
1
0
，公开席位竞选
，其他OPEN =
1
0
第 9章 包含虚拟变量的回归模型 介绍 185下载
1 材料选自作者的论文《用虚拟变量检验两线性回归方程系数之间是否相等：一个注解》及《用虚拟变量检验两线性回归方程系数之间是否相等：一个归纳》,发表于《美国统计学家,（ American Statistician）,
第 2 4卷,1 9 7 0年，第 50-52,18-21页。
u— 随机误差项回归方程 ( 9 - 2 3 )和 ( 9 - 2 4 )代表了下面 4种可能的结果,(参见图 9 - 4 )
图 9-4 两个回归结果可能出现的不同的情况
(1) A1=B1,A2=B2; 即两回归相同。我们称之为一致回归。在这种情况下，无须单独建立两个回归方程。
(2) A1≠ B1,但 A2=B2；也即两回归仅仅位置不同 (截距不同 )。我们称之为平行回归。 [参见图 9 - 4 ( b ) ]
(3) A1=B1,A2≠ B2；也即两回归截距相同，但斜率不同。我们称之为并发回归。 [参见图 9-4 (c)]
(4) A1≠ B1,A2≠ B2；也即两回归完全不同。我们称之为相异回归。 [参见图 9 - 4 ( d ) ]
在储蓄 -收入一例中，如何知道储蓄和收入之间的关系是上述哪种情况呢？虚拟变量技术能够解决这个问题。我们来看下面的回归：
Yt=C1+C2Dt+C3Xt+C4(DtXt) +ut ( 9 - 2 5 )
其中 Y— 个人储蓄
X— 个人可支配收入为了明确 ( 9 - 2 5 )回归方程的意义，假定 E (ut) = 0，得到：
E (Yt｜ Dt= 0,Xt ) =C1+C3Xt ( 9 - 2 6 )
E (Yt｜ Dt= 1,Xt ) = (C1+C2) + (C3+C4)Xt ( 9 - 2 7 )
式 ( 9 - 2 6 )和 ( 9 - 2 7 )分别是萧条前和萧条后的 (平均 )储蓄函数。换句话说，式 ( 9 - 2 6 )与式 ( 9 - 2 3 )
相同，式 ( 9 - 2 7 )与式 ( 9 - 2 4 )相同：
A1=C1,A2=C3
B1= (C1+C2),B2= (C3+C4)
因此，从单一的回归方程 ( 9 - 2 5 )可以很容易得到两个不同阶段的回归方程，这再一次证明
,观察值从 1 9 8 2年开始
,其他 (也即观察值直到 1 9 8 1年，见表 9 - 5 )Dt =
1
0
186部分 第二部分 线性回归模型 下载
a) 一致回归 b) 平行回归
d) 相异回归c) 并发回归了虚拟变量技术的灵活性。
在式 ( 9 - 2 5 )中,C2是 差别截距 ( d i fferential intercept)。与前面相同,C4是 差别斜率
( d i fferential slope coeff i c i e n t )，它表明萧条后的储蓄函数与萧条前的储蓄函数的斜率的差距有多大。 1 注意此时的虚拟变量作乘项，用以区分两个阶段的斜率，这与虚拟变量作加项用以区分两阶段的截距相类似。
例 9.7 1970~1995，美国储蓄 -收入关系在表 7 - 6的基础上，我们增加了虚拟变量，见表 9 - 5，根据模型 ( 9 - 2 5 )，利用表 9 - 5
提供的数据得到下面的回归结果,2
= 1,0 2 + 1 5 2,4 8Dt+0.080 3Xt－ 0.065 5(DtXt)
se=(20.16) (33.08) (0.014 5) (0.015 9) ( 9 - 2 8 )
t=(0.05) (4.61) (5.54) (-4,1 0 )
p值 =(0.960) (0.000 0)* (0.000 0)* (0.000 0)* R2= 0,8 2 2
= 0,8 6 6
F= 5 4,7 8
*表示值很小。
表 9-5 美国个人储蓄和个人可支配收入年份 个人储蓄 个人可支配收入 虚拟变量 虚拟变量与 D P I的乘积
1 9 7 0 6 1,0 7 2 7,1 0 0,0
1 9 7 1 6 8,6 7 9 0,2 0 0,0
1 9 7 2 6 3,6 8 5 5,3 0 0,0
1 9 7 3 8 9,6 9 6 5,0 0 0,0
1 9 7 4 9 7,6 1 054.2 0 0,0
1 9 7 5 1 0 4,4 1 159.2 0 0,0
1 9 7 6 9 6,4 1 273.0 0 0,0
1 9 7 7 9 2,5 1 401.4 0 0,0
1 9 7 8 11 2,6 1 580.1 0 0,0
1 9 7 9 1 3 0,1 1 769.5 0 0,0
1 9 8 0 1 6 1,8 1 973.3 0 0,0
1 9 8 1 1 9 9,1 2 200.2 0 0,0
1 9 8 2 2 0 5,5 2 347.3 1 * 2 734.3
1 9 8 3 1 6 7,0 2 522.4 1 2 522.4
1 9 8 4 2 3 5,7 2 810.0 1 2 810.0
1 9 8 5 2 0 6,2 3 002.0 1 3 002.0
1 9 8 6 1 9 6,5 3 187.6 1 3 187.6
1 9 8 7 1 6 8,4 3 363.1 1 3 363.1
1 9 8 8 1 8 9,1 3 640.8 1 3 640.8
1 9 8 9 1 8 7,8 3 894.5 1 3 894.5
1 9 9 0 2 0 8,7 4 166.8 1 4 166.8
1 9 9 1 2 4 6,4 4 343.7 1 4 343.7
1 9 9 2 2 7 2,6 4 613.7 1 4 613.7
1 9 9 3 2 1 4,4 4 790.2 1 4 790.2
1 9 9 4 1 8 9,4 5 021.7 1 5 021.7
1 9 9 5 2 4 9,3 5 320.8 1 5 320.8
*D= 1,1 9 8 2年开始的观察值 。
资料来源：,总统报告》,1 9 9 7年，数据单位为亿美元，摘自表 B - 2 8，第 3 3 2页。
R
2
)
Y
t
第 9章 包含虚拟变量的回归模型 介绍 187下载
1 一般地，差别斜率系数告诉我们取值为 1的一类的斜率与基准类的斜率的差别有多大。
2 我们假定 v a r (u1t) = v a r (u2t) = v a r (u3t) = 2。在 C h o w检验时，也作同样的假定。
(续)
( 9 - 2 8 )回归结果可用来解释任何其他一个多元回归。读者很容易验证，差别截距和差别斜率各自均是统计显著的 (因为 p值很小 )，这表明了萧条前和萧条后的储蓄函数明显不同。这一点可从图 9 - 5中清楚地看到 (参见图 9 - 4 d )。
图 9-5 美国储蓄 -收入关系 ( 1 9 7 0 ~ 1 9 8 7年 )
利用式 ( 9 - 2 6 )和 ( 9 - 2 7 )，可推导出两个时期的储蓄函数：
平均储蓄函数,1 9 7 0 ~ 1 9 8 1年
=1.02+0.080 3Xt ( 9 - 2 9 )
平均储蓄函数,1 9 8 2 ~ 1 9 9 5年
=(1.02+152.48)+(0.080 3－ 0.065 5) Xi
=153.5+0.014 8Xt ( 9 - 3 0 )
从回归方程 ( 9 - 2 9 )和 ( 9 - 3 0 )中可以看出,1 9 7 0 ~ 1 9 8 1年 期间的截距并不显著不为零；
但 1 9 8 2 ~ 1 9 9 5期间的截距显著为正。另一方面，虽然两个时期的斜率 (度量了边际储蓄倾向,M P S )都为正而且是统计显著的，但是前一时期的斜率比后一时期的斜率更大：在第一时期，平均而言，每增加一美元收入储蓄将增加 8美分；但是在第二时期，平均而言，每增加一美元收入储蓄仅增加了 2美分。或许这反映了 1982年经济萧条的严重性。
如果将虚拟变量法和 C h o w检验法做一比较，我们会发现虚拟变量法的一些优点。第一，除了舍入误差外，式 ( 7 - 5 5 a )和 ( 9 - 2 9 )，式 ( 7 - 5 6 a )和式 ( 9 - 3 0 )几乎相同。第二，与 C h o w检验法不同，
虚拟变量法无须估计三个回归方程 ( 7 - 5 4 ),( 7 - 5 5 )和 ( 7 - 5 6 )，只需运行方程 ( 9 - 2 8 )，因为两个阶段的回归方程可以很容易通过这个单方程推导出来。第三，从 ( 7 - 5 5 a )和 ( 7 - 5 6 a )方程中，不易看出这两个回归显著不同；但是，从不同的虚拟变量和截距系数，我们可以指出两回归方程差别的原因。
例 9.8 美国菲利普斯曲线如何为了进一步说明差别截距和差别斜率在检验两回归结果不同时的作用,1 回顾式 ( 8 -
3 0 )描述的菲利普斯曲线 ( 1 9 5 8 ~ 1 9 6 9年 )。后来经济学家发现工资变化率与失业率之间的反向关系不在存在了。一些经济学家甚至认为菲利普斯曲线根本不存在。为了验证事实
)
Y
t
)
Y
t
188部分 第二部分 线性回归模型 下载
1 这个技术可以推广到比较多个回归结果的情形。例如，如果我们要比较三个回归方程，则需引入两个虚拟变量（比较的虚拟变量的分类数少一） 。
可支配个人收入
(续)
是否真的如此，我们将表 8-6中的样本数据延续到 1977年，则估计的回归方程为：
Yt=B1+B2Dt+B3 +B4D4 +ut ( 9 - 3 1 )
式中 Y — 小时工资指数的年变化率
X— 失业率回归结果如下：
= 1 0,0 7 8－ 1 0,3 3 7Dt－ 1 7,5 4 9 + 3 8,1 3 7Dt
se=(1.402 4) (1.685 9) (8.337 3) (9.399 9) ( 9 - 3 2 )
t=(7.186 0) (－ 6.131 4) (－ 2.104 9) (4.057 2) R2=0.0878 7
p值 =(0.000) (0.000) (0.026) (0.000)
回归结果表明，差别截距和差别斜率各自均显著不为零，这表明从 1 9 6 9年，菲利普斯曲线有一个显著的可观察到的变化。为了更清楚地看到这一点，我们从式 ( 9 - 3 2 )
推导出两个不同时期的回归结果：
1 9 5 8 ~ 1 9 6 9年的菲利普斯曲线：
= ( 1 0,0 7 8－ 1 0,3 3 7 ) + (－ 1 7,5 4 9 + 3 8,1 3 7 ) ( 9 - 3 3 ) = ( 8 - 3 0 )
=－ 0,2 5 9 + 2 0,5 8 8
1 9 7 0 ~ 1 9 7 7年菲利普斯曲线：
= 1 0,0 7 8－ 1 7,5 4 9 ( 9 - 3 4 )
特别值得注意的是 1 9 7 0 ~ 1 9 7 7年 期间的菲利普斯曲线是正向倾斜的！ (注：变量 X
以倒数形式进入模型，因此在其他条件不变时，斜率应该为正，比如 1 9 5 8 ~ 1 9 6 9年期间的菲利普斯曲线 )。这表明失业率越高，小时工资却增加得更快。这一结论无法用经济理论来解释。看起来菲利普斯曲线真的失灵了。 1
9.7 虚拟变量在季节分析中的应用许多用月度或季度数据表示的经济时间序列，呈现出季节变化的规律性 (季节模式 ( s e a s o n
p a t t e r n s ) )。例如，圣诞前后商店的销售量，节假日期间家庭对货币的需求 (现金余额 )，夏天对冰激凌、软饮料的需求，假期对旅游的需求等等。通常可以从时间序列中将季节因素或成分除去，这样就可以将注意力集中在其他的成分上，比如说长期趋势成分 (稳定的增加或减少 )。 2把季节成分从时间序列从除去的过程称为消除季节成分或季节调整时间序列。美国政府公布的一些重要的经济时间序列数据就是经过季节调整后得到的。
从时间序列中消除季节成分的方法有多种，但我们仅介绍其中的一种方法 — 虚拟变量法。 3
1
X
t
)
Y
t
1
X
t
1
X
t
)
Y
t
1
X
t
1
X
t
)
Y
t
,1 9 6 9年以前的观察值
，其他 (也即从 1 9 7 0 ~ 1 9 7 7年的观察值 )Dt =
1
0
1
X
t
1
X
t
第 9章 包含虚拟变量的回归模型 介绍 189下载
1 不仅仅是在美国，现在有大量的经验证据表明在许多工业化国家，菲利普斯曲线都失灵了。
2 一个时间序列包括四个组成部分：季节变动成分，循环变动成分，长期趋势成分，不规则变动成分。
3 其他的方法有：移动平均率法，联系相关法和平均年百分率法等 。有关非技术细节，参见 Paul Neebold
Statistics for Business and Economics,4th ed.,Prentice-Hall,Englewood Cliffs,N.J.,1995,C h a p,1 7,
我们用下面的一个例子来说明。
例 9.9 澳大利亚支出 -消费关系,1977年第一季度 ~1980第四季度。
表 9 - 6给出了澳大利亚从 1 9 7 7年第一季度到 1 9 8 0第四季度的 Y[衣服、硬件、电器、
家具的零售价，称为个人消费支出 ( P C E ) ]和 X[个人可支配收入 ( P D I ) ]的季度数据。考虑下面的模型：
表 9-6 澳大利亚个人消费支出 P C E(Y),P D I(X)*
年份季节 Y X D2 D3 D4
1 9 7 7第一季度 1 6,6 3 1 3 6,5 0 0 0
第二季度 1 9,9 1 1 3 2,1 1 0 0
第三季度 1 9,4 1 1 5 7,5 0 1 0
第四季度 2 4,0 1 1 7 7,7 0 0 1
1 9 7 8第一季度 1 7,5 5 1 5 2,4 0 0 0
第二季度 2 1,9 7 1 5 0,7 1 0 0
第三季度 2 0,9 0 1 7 3,0 0 1 0
第四季度 2 5,6 1 1 9 9,8 0 0 1
1 9 7 9第一季度 1 9,4 6 1 7 9,1 0 0 0
第二季度 2 2,7 2 1 6 7,4 1 0 0
第三季度 2 2,1 4 1 9 1,6 0 1 0
第四季度 2 7,4 2 2 2 7,0 0 0 1
1 9 8 0第一季度 2 1,4 2 1 8 7,3 0 0 0
第二季度 2 5,4 1 1 8 5,0 1 0 0
第三季度 2 5,4 9 2 1 9,2 0 1 0
第四季度 3 2,0 7 2 6 1,5 0 0 1
*单位为千万美元澳大利亚元资料来源,New South Wa l e s大学的 Eric Sowey博士提供。
Yt=B1+B2D2t+B3D3t+B4D4t+B5Xt+ut ( 9 - 3 5 )
其中,Y和 X的定义与前面的相同,D的定义如下：
假定变量“季节”分四类 (一年有四个季节 )，因此需要引入三个虚拟变量；在这个例子中，令第一季度为基准类：
第一季度的平均消费支出：
E (Yt｜ D2= 0,D3= 0,D4= 0,Xt) =B1+B5Xt ( 9 - 3 6 )
第二季度的平均消费支出：
E (Yt｜ D2= 1,D3= 0,D4= 0,Xt) = (B1+B2) +B5Xt ( 9 - 3 7 )
第三季度的平均消费支出：
E (Yt｜ D2= 0,D3= 1,D4= 0,Xt) = (B1+B3) +B5Xt ( 9 - 3 8 )
第四季度的平均消费支出：
E (Yt｜ D2= 0,D3= 0,D4= 1,Xt) = (B1+B4) +B5Xt ( 9 - 3 9 )
表 9 - 6给出了虚拟变量是如何建立的。
根据模型 ( 9 - 3 5 )得到回归结果如下：
=3.270 6+4.212 8D2t+1.186 6D3t+3.530 6D4t+0.094 6Xt
se=(0.934 5) (0.372 9) (0.390 1) (0.470 6) (0.005 5)
)
Y
t
,第四季度数据
，其他D4t =
1
0
,第三季度数据
，其他D3t =
1
0
,第二季度数据
，其他D2t =
1
0
190部分 第二部分 线性回归模型 下载
(续)
t=(3.499 8) ( 11,2 9 6 ) (3.041 7) (7.502 3) ( 1 7,2 7 8 ) ( 9 - 4 0 )
p值 = ( 0,0 0 2 ) ( 0,0 0 0 ) ( 0,0 0 5 ) ( 0,0 0 0 ) ( 0,0 0 0 )
R2=0.98 70
回归结果表明，所有的差别截距各自均是统计显著的，这表明不同季节的 Y的平均水平不同，表现出四个明显的“季节” 。例如，第四季度的 Y的平均值比第一季度
(基准季度 )的高 3,5 (千万 )。 P D I的系数是统计显著的，而且符号为正，这并没有什么可奇怪的，因为，我们先验地预期 P C E与 P D I之间是正向关系。
这里需要注意的是，在式 ( 9 - 4 0 )的回归结果中暗含地假定了季节因素 (如果存在的话 )仅仅影响截距，而不影响斜率。但是如何知道事实的确如此呢？我们可以用上一节讨论的差别截距和差别斜率法来验证。
我们来看看在本例中上述方法是如何得以应用的。将模型 ( 9 - 3 5 )扩展为：
Yt=B1+B2D2t+B3D3t+B4D4t+B5Xt+B6(D2tXt) +B7(D3tXt) +B8(D4tXt) +ut ( 9 - 4 1 )
仔细观察多重虚拟变量是如何生成的。差别斜率系数 B6,B7,B8，告诉我们第二、第三、
第四季度的斜率与基准 (也即第一 )季度 B5的差别有多大。用模型 ( 9 - 4 1 )拟合表 9 - 6提供的澳大利亚的数据，得到如下回归结果，见表 9 - 7。
比较回归结果 ( 9 - 4 0 )和 ( 9 - 4 2 )，我们发现戏剧性的变化。收入变量 P D I的系数在两个回归中都是正的和统计显著的，而且值相等。但是，各差别截距在式 ( 9 - 4 0 )回归结果中是统计显著的，
而在式 ( 9 - 4 2 )回归结果中却是统计不显著的。不仅如此，在式 ( 9 - 4 2 )中，没有一个偏斜率是统计显著的。
表 9-7 澳大利亚经济模型 (9 - 4 1)的回归结果解释变量 系 数 解释变量 系 数
b1(常数 ) 4.452 6 Xt 0.087 4 ( 9 - 4 2 )
t=(1.819 3)* (5.893 1)*
D2t 2.408 2 D2tXt 0,0 11 1
(0.693 32) (0.520 84)
D3t -0.423 36 D3tXt 0.009 5
(-0.122 13) (0.806 7)
D4t 2.289 1 D4tXt 0.007 5
(0.708 19) (0.423 37)
R2=0.987 5
注：括号内给出的是 t值
*表示在 5%的显著水平下是统计显著的 (单边检验 )。
一个重要的问题是：我们相信哪个结果呢 — 是式 ( 9 - 4 0 )还是 ( 9 - 4 2 )？模型 ( 9 - 4 0 )是直接依据假定：四个季度的截距 (而不是斜率 )不同。换句话说，这个回归结果是建立在假定四条回归直线 (每个季度一条 )是平行的基础上的 (参见图 9 - 4 b )。而另一方面，模型 ( 9 - 4 2 )更一般地假定所有的回归线是不相似的 (见图 9 - 4 b )。如果回归结果 ( 9 - 4 2 )为真，而我们却用了模型 ( 9 - 4 0 )，那么就犯了 模型设定偏差 (model specification error 或者 model specification bias)，也即用错误的模型拟合了数据。这种设定偏差的后果可能是严重的。 (更多的分析见第 1 3章 )在实践中，最好用一般的模型 ( 9 - 4 2 )。如果所有的差别斜率均是统计不显著的，那么可用模型 ( 9 - 4 0 )看看差别截距是否是统计显著的。当然，如果各个差别截距是统计不显著的，那么基准类与其他类就没有第 9章 包含虚拟变量的回归模型 介绍 191下载差别，也就是一致回归的情况，见图 9 - 4 a。
按照这种方法，综合得出的结论是：四个季度的平均 P C E对 P D I的变化率是相同的，但是四个季度的平均 P C E的水平是不同的，见图 9 - 6。简言之，我们应选择模型 ( 9 - 4 0 )。
图 9-6 澳大利亚 P C E - P D I关系图
9.8 小结本章我们介绍了取值为 0,1的虚拟变量是如何引入到回归模型中的。我们通过不同的例子说明了虚拟变量从本质上说是“数据分类器”,它根据样本的属性 (性别、婚姻状况、种族、宗教等等 )将样本分为各个不同的子群体并对每个子群体进行回归分析。各个子群体的应变量对解释变量 (定性变量 )的不同反应表现为各子群体的截距或斜率系数存在差别。
虽然虚拟变量技术非常有用，但在使用时仍许谨慎。第一，如果回归模型包含了一个常数项 (大多数模型都包含常数项 )，那么虚拟变量的个数必须比每个定性变量的分类数少一。第二，
虚拟变量的系数必须与基准类相关 — 取值为零的一类。最后，若模型包含多个定性变量，而且每个定性变量有多种分类，则引入模型的虚拟变量将消耗大量的自由度。因此，应当权衡进入模型的虚拟变量的个数以免超过样本观察值的个数。
本章我们还讨论了模型设定偏差的情况，也即用错误的模型拟合了样本数据。如果各个子群体的截距和斜率都不同，那么我们应当建立一个斜率和截距均不同的模型。在这种情况下，
如果仅仅是截距不同将很可能导致设定误差。因此，在具体的分析中经验是至关重要的，尤其在缺乏足够的经济理论指导的情况下。有关设定误差的进一步讨论见第 1 3章。
习题
9.1 简要解释下列概念
192部分 第二部分 线性回归模型 下载个人可支配收入 (PDI)
第 9章 包含虚拟变量的回归模型 介绍 193下载
(a) 分类变量 (b) 定性变量 (c) 方差分析模型 ( A N O VA) (d) 协方差模型 ( A N O C VA )
(e) 虚拟变量陷阱 (f) 不同截距的虚拟变量 (g) 不同斜率的虚拟变量
9.2 下面的变量是定性的还是定量的？
(a) 美国国际收支差额 (b) 政党联盟 (c) 美国对中国的出口 (d) 联合国会员 ( e )
C P I (消费者价格指数 ) (f) 教育 (g) 欧共体公民 (h) 关贸组织成员 (i) 美国国会成员
(j) 社会保障受益者
9.3 如果现在有月度数据，在对下面的假设进行检验时，你将引入几个虚拟变量？
(a) 一年中的每月均呈现季节波动趋势。 (b) 只有 2月,4月,6月,8月,1 0月,1 2月呈现季节波动的趋势。
9.4 在估计下面的模型中，你预见会出现什么问题？
(a) Yt=B0+B1D1t+B2D2t+B3D3t+B4D4t+ut
其中，
(b) GNPt=B1+B2Mt+B3Mt-1+B4(Mt-Mt-1) +ut
其中,G N Pt=第 t期国民生产总值
Mt=第 t期的货币供给
Mt-1=第 t-1期的货币供给
9.5 判断正误并说明理由。
(a) 在模型 Yi=B0+B1Xi+B2Di+u中，令 Di取值 ( 0,2 )而不是 ( 0,1 )，那么 B2的值将二等分,t值也将二等分。 (b) 引入虚拟变量后，用普通最小二乘法得到的估计量只有当大样本时才是无偏的。
9.6 考虑下面的模型：
Yi=B0+B1Xi+B2D2i+B3D3i+ui
其中 Y— M PA毕业年收入
X— 工龄
(a) 你预期各系数的符号如何？ (b) 如何解释截距 B2,B3？ (c) 若 B2>B3，你得出什么结论？
9.7 继续上题，但现考虑下面的模型：
Yi=B0+B1Xi+B2D2 i+B3D3i+B4(D2iXi) +B5(D3iXi) +ui
(a) 这个模型与习题 9,6的模型有什么区别？ (b) 如何解释截距 B4,B5？ (c) 若 B4,B5
各自均是统计显著的，你将选择这个模型还是习题 9,6的模型？如果不是，你会犯哪类错误？
*(d) 如何检验假设,B4=B5= 0？ (选做题，参见第 1 4章的有限的 O L S法 )
9.8 H.C.Huang,J.J.Siegfried和 F.Zardonshty 1 根据美国 1 9 6 1第一季度 ~ 1 9 7 7第二季度的季度数据估计了对咖啡的需求函数如下,(括号内的数字为 t值 )
l n =1.278 9－ 0.164 7lnPt+0.515 5lnIt+0.148 3lnP't
t= (-2.14) (1.23) (0.55)
-0.008 9T-0.096 1D1t-0.157 0D2t-0.009 7D3t R2= 0,8 0
t= (-3.36) (-3.74) (-6.03) (-0,3 7 )
)
Q
t
，沃顿 M B A
，其他D3 =
1
0
，哈佛 M B A
，其他D2 =
1
0
，第 i季的观察值,i= 1,2,3,4
，其他Dit =
1
0
1 H,C,H u a n g,J,J,S i e g f r i e d和 F,Z a r d o s h t y《美国对咖啡的需求,1 9 6 3 - 1 9 7 7》,,经济学和商业季刊》
(Q u a rterly Review of Economics and Business) 1 9 8 0年 8月，第 3 6 - 5 0页。
式中,Q— (按人口 )平均消费咖啡量
P — 每磅咖啡的相对价格 (以 1 9 6 7年为不变价 )
I— (按人口 )平均 P D I，单位为美元 (以 1 9 6 7年为不变价 )
P' — 每磅茶的相对价格 (以 1 9 6 7年为不变价 )
T— 时间趋势,T= 1 ( 1 9 6 1年第一季度 )至 T= 6 6 ( 1 9 7 7年第二季度 )
D1— 1，第一季度
D2— 1，第二季度
D3— 1，第三季度
l n— 自然对数
(a) 如何解释 P,I,P'的系数。 (b) 咖啡的需求对价格是富有弹性的吗？ (c) 咖啡和茶是互补品还是替代品？ (d) 如何解释 T的系数？ (e) 求美国咖啡消费的增长率或衰减率？如果对咖啡的消费有一个下降的趋势，你将对此作何解释？ (f) 求对咖啡需求的收入弹性？ (g) 如何检验假设：对咖啡需求的收入弹性显著不为 1？ (h) 在这个例子中，虚拟变量代表了什么？ (i) 如何解释模型中的虚拟变量？ (j) 哪些虚拟变量是统计显著的？
(k) 美国咖啡消费是否存在明显的季节变动趋势？如果存在的话？如何解释？ (l) 在这个例子中，基准类是什么？如果你选择其他的基准类，结果会有什么变化？ (m) 上述模型仅仅引入了差别斜率虚拟变量，这里隐含的假定是什么？ (n) 假定某人认为这个模型设定有误，
因为该模型假定了各个变量的斜率在不同季节保持不变。你将如何修该这个模型从而考虑到差别斜率虚拟变量？ (o) 如果有具体数据的话，你将如何用公式表示出咖啡的需求函数？
9.9 Paul W.Bauer 和 Thomas J.Zlatoper在研究决定开往 C l e v e l a n d的直接机票的因素中得到下面的回归结果 (表形式 )用以解释单程头等舱、二等舱和经济舱机票 (因变量是单程机票 )的价格。解释变量定义如下：
C a r r i e r s— 载客人数
P a s s— 总乘客人数
M i l e s— 从出发地到 C l e v e l a n d的距离
P o p— 出发地人口
I n c— 出发地人均收入
C o r p— 潜在商业交通代理
S t o p =
(a) 在这个模型中，引入变量载客人数和载客人数的平方为解释变量的理论依据是什么？
载客人数符号为负和载客人数平方符号为正表明了什么？ (b) 引入距离和距离的平方为解释变量的理论依据是什么？观察到的这些变量符号有经济意义吗？ (c) 观察到的人口变量的符号为负，这有什么含义？ (d) 为什么在所有的回归结果中人均收入变量的符号均为负？
(e) 为什么,s t o p”变量在“头等舱”和“二等舱”回归方程中的符号为正，而在“经济舱”回归方程中符号为负。 (f) 虚拟变量“洲际航线”的符号始终为负。这表明了什么？ (g) 估计每个回归系数的显著性。注：由于观察值的个数足够大，因此在 5%的显著水平下，可用正态分布近似 t分布。分别利用单边和双边检验。 (h) 为什么虚拟变量,S l o t”仅仅在“经济舱”
回归方程中是统计显著的？ (i) 由于“头等舱”,经济舱”的观察值的个数相同，均为 3 2 3个，
，洲际航线
，其他CO
1
0
，向东的航线
，其他EA
1
0
，若出发地有中转站
，其他Hub
1
0
，供餐
，其他Meal
1
0
，虚拟变量
，其他Slot
1
0
194部分 第二部分 线性回归模型 下载能否将它们加总起来 ( 6 4 6个 )作一个回归方程？如果可以，如何区别“二等舱”和“经济舱”
的观察值 (提示：用虚拟变量 )。 (j) 对上表中的回归结果作出评价。
解释变量 头等舱 二等舱 经济舱
C a r r i e r s -1 9,5 0 -2 3,0 0 -1 7,5 0
*t= (-0,8 7 8 ) (-1,9 9 ) (-3,6 7 )
C a r r i e r s2 2,7 9 4,0 0 2,1 9
( 0,6 3 2 ) ( 1,8 3 ) ( 2,4 2 )
M i l e s 0,2 2 3 0.277 0.079 1
( 5,1 3 ) ( 1 2,0 0 ) ( 8,2 4 )
M i l e s2 -0.000 009 7 -0.000 052 -0.000 014
(-0,4 9 5 ) (-4,9 8 ) (-3,2 3 )
P o p -0.005 98 -0.001 14 -0.000 868
(-1,6 7 ) (-4,9 8 ) (-1,0 5 )
I N C -0.001 95 -0.001 87 -0.004 11
(-0,6 8 6 ) (-1,0 6 ) (-6,0 5 )
C o r p 3,6 2 1,2 2 -1,0 6
( 3,4 5 ) ( 2,5 1 ) (-5,2 2 )
P a s s -0.000 818 -0.000 275 0,8 5 3
(-0,7 7 1 ) (-0,5 2 7 ) ( 3,9 3 )
S t o p 1 2,5 0 7,6 4 -3,5 8
( 1,3 6 ) ( 2,1 3 ) (-2,6 0 )
S l o t 7,1 3 -0,7 4 6 1 7,7 0
( 0,2 9 9 ) (-0,0 6 7 ) ( 3,8 2 )
H u b 11,3 0 4,1 8 -3,5 0
( 0,9 0 ) ( 0,8 1 ) (-1,6 2 )
M e a l 11,2 0 0,9 4 5 1,8 0
( 1,0 7 ) ( 0,1 7 7 ) ( 0,8 1 3 )
E A -1 8,3 0 5,8 0 -1 0,6 0
(-1,6 0 ) ( 0,7 7 5 ) (-3,4 9 )
C O -6 6,4 0 -5 6,5 0 -4,1 7
(-5,7 2 ) (-7,6 1 ) (-1,3 5 )
常数项 2 1 2,0 0 1 2 6,0 0 11 3,0 0
( 5,2 1 ) ( 5,7 5 ) ( 1 2,4 0 )
R2 0,8 6 3 0,8 7 1 0,7 9 9
观察值个数 1 6 3 3 2 3 3 2 3
资料来源,Paul W.Bauer 和 Thomas J.Zlatoper《经济评论,（ Economic Review）,C l e v e l a n d联邦储备银行，第 2 5卷，第一期,1 9 8 9年，表 2,3,4，第 6 - 7页。
9.10 在 5 1个学生 (其中男生 3 6人，女生 1 5人 )的体重 (W)对身高 (H)的回归分析中，得到下面结果,1
1,=-232.065 51+5.566 2Hi
t= (-5.206 6) (8.624 6)
2,=-122.962 1+23.823 8SiD+3.740 2Hi
t= (-2.588 4) (4.014 9) (5.161 3)
3,=-107.950 8+3.510 5Hi+2.007 3SiD+0.326 3HiD
t= (-1.226 6) (2.608 7) (0.018 7) (0.203 5)
其中体重的单位为磅，身高的单位为英寸。
)
W
i
)
W
i
)
W
i
第 9章 包含虚拟变量的回归模型 介绍 195下载
1 Alert Zuker收集了数据并作了各种不同的回归分析。
S(性别 )
D(虚拟变量 )— 乘积或差别斜率虚拟变量
(a) 你将选择哪个回归,1还是 2，为什么？ (b) 如果实际较为理想的回归是 2，而你却选择了 1，你犯了哪类错误？ (c) 回归 2中的性别这个虚拟变量表明了什么？ (d) 模型 2
中，差别截距是统计显著的，但在模型 3中，差别斜率却是统计不显著的？如何解释这种变化？ (e) 在模型 2与模型 3之间，你选择哪一个？为什么？ (f) 在模型 2与模型 3中，变量身高的系数几乎相等，但性别这一虚拟变量的系数相差很大。对此你有什么想法？
为了回答问题 ( d ),( e ),( f )，这里给出了下面的相关矩阵。
解释：例如，身高和性别的相关系数是 0.627 6，性别和交互虚拟变量的相关系数是 0.997 1。
H S D
H 1 0.627 6 0.675 2
S 0.627 6 1 0.997 1
D 0.675 2 0.997 1 1
9,11 下表给出了未经季节调整的衣服和附属品零售季度数据 ( 1 9 8 3 ~ 1 9 8 6年 )：
服装公司的销售量
(单位：百万美元)
年份 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
1 9 8 3 4 190 4 927 6 843 6 912
1 9 8 4 4 521 5 522 5 350 7 204
1 9 8 5 4 902 5 912 5 927 7 987
1 9 8 6 5 458 6 359 6 501 8 607
资料来源,Business Statistics,1 9 8 6,U.S.Department of Commerce,A Supplement of the
S u rvey of C u rrent Business,p.37(quarterly averages computed from monthly data).
考虑下面的模型：
销售量 t=B1+B2D2t+B3D3t+B4D4t+ut
式中 D2— 1，第二季度； 0，其他
D3— 1，第三季度； 0，其他
D4— 1，第四季度； 0，其他
(a) 对上述回归方程进行估计。
(b) 解释各个系数的含义。
(c) 如何利用估计的回归结果消除季节变动的成分？(选做题)
9.12 利用习题 9,11的数据，但现在估计下面的模型：
销售量 t=B1D1t+B2D2t+B3D3t+B4D4t+ut
(a) 这个模型与习题 9,11的模型有何区别？ (b) 估计这个模型，是否需要略去截距项？
换句话说，你是否作通过原点的回归方程？ (c) 比较本题与上题的回归结果，你决定选择哪个模型？为什么？
9.13 参考本章例 9,3。如何建立回归模型使得初职年薪的截距和斜率因男女教师的不同而不同？
9.14 参考模型 ( 9 - 1 2 )。如何解释模型中的非虚拟变量？
9.15 如何对模型 ( 9 - 1 3 )进行调整使得斜率系数也可能不同？
9.16 考虑下面的模型：
，男生
，女生=
1
0
196部分 第二部分 线性回归模型 下载
Yi=B1+B2D2i+B3D3i+B4(D2iD3i) +B5Xi+ui
式中 Y— 大学教师的年薪
X— 教龄
(a) (D2iD3i)表示交互项。它有什么意义？ (c) B4有什么意义？ (d) 求 E (Yi｜ D2= 0，
D3= 1,Xi)，并作出解释。
9.17 在模型 ( 9 - 1 )中，假定利用表 9 - 1给出的数据,对模型 ( 9 - 1 )回归,将此回归结果与式 ( 9 - 4 )相比较,你能得出什么结论？
9.18 继续上题，但现在假定再对模型 ( 9 - 1 )进行估计并对回归结果比较，你得出什么结论？
9,1 9 表 9 - 8美国 1 9 8 5年第一季度至 1 9 9 1年第一季度的给出了税后公司利润和净利润 (亿美元 )的季度数据，
(a) 作 (Y)对税后利润 (X)的回归，看看两者之间是否相关？ (b) 如果红利支付呈现出季节变动的趋势，将模型引入一个适当的虚拟变量并对其进行估计。在建立模型当中，如何考虑截距和斜率会随季节的不同而变化？ (c) 在不考虑季节因素时，何时作 Y对 X的回归？
9.20 参考例 9,3。利用表 9 - 2提供的数据，并用虚拟变量技术看看大学男女教师的年薪增长率是否不同。如果情况果真如此，你对方程 ( 9 - 1 0 )作何评论。
表 9-8 美国税后公司利润年份 -季度 红利 税后利润 年份 -季度 红利 税后利润
1 9 8 5 - 1 8 7,2 1 2 5,2 1 9 8 8 - 3 11 7,5 2 1 3,4
1 9 8 5 - 2 9 0,8 1 2 4,8 1 9 8 8 - 4 1 2 1,0 2 2 6,0
1 9 8 5 - 3 9 4,1 1 2 9,8 1 9 8 9 - 1 1 2 4,6 2 2 1,3
1 9 8 5 - 4 9 7,4 1 3 4,2 1 9 8 9 - 2 1 2 7,1 2 0 6,2
1 9 8 6 - 1 1 0 5,1 1 0 9,2 1 9 8 9 - 3 1 2 9,1 1 9 5,7
1 9 8 6 - 2 11 0,7 1 0 6,0 1 9 8 9 - 4 1 3 0,7 2 0 3,0
1 9 8 6 - 3 11 2,3 11 0,0 1 9 9 0 - 1 1 3 2,3 1 9 9,1
1 9 8 6 - 4 111,0 11 9,2 1 9 9 0 - 2 1 3 2,5 1 9 3,7
1 9 8 7 - 1 1 0 8,0 1 4 0,2 1 9 9 0 - 3 1 3 3,8 1 9 6,3
1 9 8 7 - 2 1 0 5,5 1 5 7,9 1 9 9 0 - 4 1 3 6,2 1 9 9,0
1 9 8 7 - 3 1 0 5,1 1 6 9,1 1 9 9 1 - 1 1 3 7,8 1 8 9,7
1 9 8 7 - 4 1 0 6,3 1 7 6,0 1 9 9 1 - 2 1 3 6,7 1 8 2,7
1 9 8 8 - 1 1 0 9,6 1 9 5,5 1 9 9 1 - 3 1 3 8,1 1 8 9,6
1 9 8 8 - 2 11 3,3 2 0 7,2 1 9 9 1 - 4 1 3 8,5 1 9 0,3
资料来源,U.S.Department of Commerce,Bureau of Economic Analysis,Business Statistics,1963-
9 1,dividend and after-tax profits are in billions of dollars and are obtained from p.A-11 0,
，大学毕业
，非大学毕业Di =
2
0
，大学毕业
，非大学毕业Di =
1
0
，白种人
，其他D3 =
1
0
，男教师
，女教师D2 =
1
0
第 9章 包含虚拟变量的回归模型 介绍 197下载下载这一部分共包括五章内容 (从第 1 0章到第 1 4章 )，讨论了线性回归模型在实际应用中存在的若干问题。第二部分建立起的古典线性回归模型 ( C L R M )
虽应用广泛，但却是建立在若干假设基础之上的，而在具体的实践中这些假定并不一定满足。在第三部分中，我们将讨论在具体应用中，一个或若干个 C L R M假定不满足时所发生的情形。
第 1 0章讨论多重共线性 — 两个或多个解释变量相关时所发生的情形。
回顾古典线性回归模型的假定之一：解释变量不与其他解释变量完全线性相关。本章指出：只要解释变量不完全线性相关，普通最小二乘估计量
( O L S )仍然是最优线性无偏估计量。
第 11章讨论异方差 — 违背古典线性回归模型假定之一，误差项方差为常数时的情形。本章指出：如果违背误差项方差为常数这一假定，则 O L S
估计量虽然是无偏的，但却不是有效的。简言之,O L S估计量不是最优线性无偏估计量。本章还指出：怎样通过一些简单变换来消除异方差问题。
第 1 2章讨论自相关 — 违背古典线性回归模型假定之一，误差项之间相关。与异方差情形相同，如果存在自相关，则 O L S估计量虽然是无偏的，
但却不是有效的，所以 O L S估计量也不是最优线性无偏估计量。本章指出如何对数据进行适当的变换使自相关问题最小化。
第 1 3章讨论模型的选择 — 古典线性回归模型的一些不成文假定，即如何确定所选择的模型是“正确的”模型。本章讨论回归模型的各种错误设定所导致的后果并提出适当的修补措施。
第 1 4章讨论了在实践中广泛应用的一些重要回归模型。主要有,( 1 )有限最小二乘模型,( 2 )动态回归模型,( 3 )应变量为定性变量的回归模型。通过对这些模型的讨论表明：在处理各种实际问题中，线性回归模型是一种非常灵活的工具。本章还讨论了伪回归，即应变量和解释变量之间的关系可能是表面的而非真实的。在本章的最后简短地介绍了在金融领域中常用的随机游走模型。
与前面的章节一样，我们仍用一些数字的和具体的经济实例来阐述在这 5章中所出现的一些重要概念。
第三部分实践中的回归分析下载第 7章中我们列出了古典线性回归模型 ( C L R M )的假设之一：不存在完全的多重共线性 —
也即多元回归中的各个解释变量,XS，之间不存在完全的线性关系。在那一章里，我们直观地解释了完全多重共线性的含义，并说明了在总体多元回归模型 ( P R F )中为什么要假定不存在完全多重共线性。本章我们主要讨论多重共线性。实际上，在实际中很少遇到完全多重共线性的情况，常常是 接近 或 高度多重共线性 (near or very high multicollinearity)的情况，在这些情况下，
解释变量是接近线性相关的。重要的是要弄清楚这些相关的变量会对普通最小二乘估计带来什么问题。本章试图回答以下问题：
(1) 多重共线性的性质是什么？
(2) 多重共线性是否真的是一个问题？
(3) 多重共线性的理论后果是什么？
(4) 多重共线性的实际后果是什么？
(5) 在实际中，如何发现多重共线性？
(6) 消除多重共线性的弥补措施有哪些？
表 10-1 对 w i d g e t s的需求
Y X2 X3 X4
(数量 ) (价格 /美元 ) (每周收入 /美元 ) (每周收益 /美元 )
4 9 1 2 9 8 2 9 7,5
4 5 2 2 9 6 2 9 4,9
4 4 3 2 9 4 2 9 3,5
3 9 4 2 9 2 2 9 2,8
3 8 5 2 9 0 2 9 0,2
3 7 6 2 8 8 2 8 9,7
3 4 7 2 8 6 2 8 5,8
3 3 8 2 8 4 2 8 4,6
3 0 9 2 8 2 2 8 1,1
2 9 1 0 2 8 0 2 7 8,8
10.1 多重共线性的性质：完全多重共线性的情况为了回答这几个问题，我们先考虑一个简单的数字例子，我们构造这个例子是为了归纳出第 1 0 章
■ 多重共线性第 10章 多重共线性 介绍 201
多重共线性的一些基本要点。回顾第 6章中对 w i d e g t s的需求函数。表 5 - 4中的数据已经复制在表
1 0 - 1的前两列中，并且还加上了一些额外信息。
在表 1 0 - 1给出了两列收入数据，比方说,X3是由某一位研究人员所估计的，而 X4则是由另一位研究人员所估计的。为了对两者加以区分，我们把 X3称为收入而把 X4称为收益。
既然对于大多数商品而言，除了价格以外，消费者的收入也是一个重要的因素，我们把需求函数加以扩展，写成：
Yi=A1+A2X2i+A3X3i+ui ( 1 0 - 1 )
Yi=B1+B2X2i+B3X4i+ui ( 1 0 - 2 )
这两个需求函数的不同之处在于对收入的不同测度。先验地，或者依据理论，我们预计 A2
和 B2是负值 (为什么？ )，而 A3和 B3是正值 (为什么？ )。 1
当我们尝试着运用表 1 0 - 1中的数据来进行回归时，计算机“拒绝”估计回归。 2 这是怎么回事呢？其实并没有什么。作价格 (X2)和收入 (X3)的关系图，见图 1 0 - 1。如果我们作 X3对 X2的回归，则得到如下方程：
X3i= 3 0 0－ 2X2i R2( =r2) = 1,0 0 ( 1 0 - 3 )
换句话说，收入变量 (X3)与价格变量 (X2)完全线性相关；也即存在完全共线性 (或者说是多重共线性 )。 3
图 10-1 收入 (X3)与价格 (X2)散点图由于存在完全共线性，所以我们不能对方程 ( 1 0 - 1 )进行回归估计。若把方程 ( 1 0 - 3 )代入方程 ( 1 0 - 1 )中，有：
Yi=A1+A2X2i+A3 ( 3 0 0－ 2X2i) +ui ( 1 0 - 4 )
= (A1+ 3 0 0A3) + (A2－ 2A3)X2 i+ui
=C1+C2X2i+ui
1 按照经济理论，对于大多数经济货物而言，收入系数将会是正值。但对于“劣等”商品而言，这一系数将会是负值。
2 通常地，你将得到一则计算机信息，表明 X，或者数据矩阵并未正确加以定义；也就是说，它无法加以转换。在矩阵代数中这样的矩阵被称作是奇异矩阵。简言之，计算机无法进行运算操作。
3 共线性指的是变量之间的存在单一的完全线性关系，但多重共线性是指变量之间存在多种这样的关系。
从现在起，我们在用多重共线性来概括这两种情形。通过上下文可以了解是仅有一个亦或是有多个线性关系。
价格
X3
X3=300-2X2
X2
下载其中，
C1=A1+ 3 0 0A3 ( 1 0 - 5 )
C2=A2－ 2A3 ( 1 0 - 6 )
难怪我们不能估计方程 ( 1 0 - 1 )，从式 ( 1 0 - 4 )可以看出，这并不是多元回归，而是 Y对 X2的一个简单的双变量回归。现在，我们虽然可以估计方程 ( 1 0 - 4 )并获得 C1和 C2的估计值，但根据这些变量我们无法求得原始参数 A1,A2和 A3的估计值，因为这里只有两个方程 ( 1 0 - 5 )和 ( 1 0 - 6 )，但未知参数却有 3个。 (根据初等代数的知识，我们知道，估计 3个变量通常需要 3个方程。 )
式 ( 1 0 - 4 )的估计结果已在式 ( 6 - 4 8 )中给出，为了方便起见，我们将其引用如下：
= 4 9,6 6 7－ 2.157 6X2i
se=(0.746) (0.120 3)
t=(66.538) (－ 1 7,9 3 5 ) ( 1 0 - 7 )
r2=0.975 7
我们可以看到,C1= 4,9 6 6 7,C2=-2.157 6。我们无法根据这两个值推出 3个未知变量 A1,A2
和 A3的值。 1
以上讨论的结论是：当解释变量之间存在完全线性相关或者完全多重共线性时，我们不可能获得所有参数的惟一估计值。既然我们不能获得它们的惟一估计值，也就不能根据某一样本做任何统计推论 (也即假设检验 )。
坦率地说，在完全多重共线性的情况下，不可能对多元回归模型中的某一单个回归系数进行估计和假设检验。这是一个死胡同。当然，正如方程 ( 1 0 - 5 ) ( 1 0 - 6 )所示的那样，我们可以求得原始系数的一个线性组合 (也即和或者差 )的估计值，但却无法获得每个系数的估计值。
10.2 接近或者不完全多重共线性的情形多重共线性是一个极端情形。在用经济数据进行分析时，两个或多个解释变量之间并不完全线性相关，但却接近完全线性相关。也就是说，共线性的程度可能很高，但并不是完全的共线性。这就是接近，或不完全，或者高度多重共线性的情形。关于“高度”共线性的含义我们将在稍后加以解释。 从现在起，我们所说的多重共线性是指不完全多重共线性。 正如我们在
1 0,1节所看到的那样，完全多重共线性的情形是一个“死胡同” 。
为了弄清楚接近 (不完全 )多重共线性的含义，我们回到表 1 0 - 1，但这一次，我们以收益作为收入变量来进行回归。回归的结果如下：
= 1 4,5 3 7-2.797 5X2i-0.319 1X4i
se=(120.06)(0.8122)(0.400 3)
t=(1.210 7)(-3.444 4)(-0.797 1) ( 1 0 - 8 )
R2=0.977 8
这些结果是比较有意思的，原因如下：
(1) 尽管不能估计回归方程 ( 1 0 - 1 )，但我们能够估计回归方程 ( 1 0 - 2 )，虽说两种收入变量之间的差别是相当小的，这一点从表 1 0 - 1的最后两列能够直观地看出来。 2
Y
i
)
Y
i
202部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 当然，如果 A1,A2和 A3的任何一个值是固定的，则另外两个 A的值是可以通过所估计的 C来求得的。但是这些值不是惟一的，因为 A是从 3个中任取的一个。重申一遍，根据两个已知变量 (两个 C)无法求得 3个未知变量 ( 3个 A)的值。
2 我们可以揭开“庐山真面目了” 。在表 1 0 - 1第 4列中的收益数据是通过下列关系而得来的,X4i=X3i+ui其中
u是从随机数表中获得的随机数。这 1 0个随机数 u的值如下：- 0,5，- 1,1，- 0,5,0,8,0,2,1,7，- 0,2，
0,6，- 0,9和- 1,2。
第 10章 多重共线性 介绍 203
(2) 与预期相同，方程 ( 1 0 - 7 )和 ( 1 0 - 8 )中的价格系数都是负的，并且两者之间的数值差异并不大。每一价格系数都显著地不为零 (为什么？ )。但是，相对而言，方程 ( 1 0 - 7 )中的价格系数的| t|值略大于方程 ( 1 0 - 8 )中相应的 |t|值。或者说，方程 ( 1 0 - 7 )的价格系数的标准差 ( s e )略小于方程 ( 1 0 - 8 )中系数的标准差。
(3) 方程 ( 1 0 - 7 )的 R2值为 0.975 7，而方程 ( 1 0 - 8 )的 R2值为 0.977 8，增加量只有 0.002 1，这一增加量并未表现出是一个大的增加量。可以证明,R2值的这一增加量是统计不显著的。 1
(4) 收入 (收益 )变量的系数是统计不显著的，但更为重要的是，它的符号是错误的：对于大多数商品来说，收入对于商品的需求量具有正向影响,除了劣等商品以外 。
(5) 尽管收入变量是不显著的，但若检验假设,B2=B3= 0 (也即假设 R2= 0 )，则根据方程 ( 7 -
5 0 )给出的 F检验，很容易拒绝该假设。换句话说，价格和收益集体地或联合地对商品的需求有显著影响。
如何解释这些“奇怪”的结果呢？作价格 X2与收入 X4的关系图 (参见图 1 0 - 2 )。从图中可以看到，与图 1 0 - 1不同，尽管价格和收益并不完全线性相关，但两个变量之间却存在高度的依存关系。这一点可以从下面的回归方程中更清楚地看出：
X4i= 2 9 9,9 2-2.005 5X2i+ei
se=(0.674 8)(0.108 8) ( 1 0 - 9 )
t= ( 4 4 4,4 4 ) (-1 8,4 4 )
r2=0.977 0
回归结果表明：价格与收益高度相关；相关系数为- 0,9 8 8 4 (即 r2的负平方根 )。也即接近完全线性相关，或是接近完全多重共线性。如果相关系数为- 1，如方程 ( 1 0 - 3 )，则是完全多重共线性的情形。特别需要注意的是：在方程 ( 1 0 - 3 )中，我们没有加上 ei这一项，因为 X2i和 X3i之间线性关系是完全的，但在方程 ( 1 0 - 9 )中却加上 ei这一项以表明 X4i和 X2i之间线性关系是不完全的。
图 10-2 收益 (X4)和价格 (X2)关系在结束这一节的讨论时，需要指出的是：在只有两个解释变量的情形下，相关系数 r可用作共线性程度的测度。但当解释变量多于两个时，相关系数则不能充分测度共线性。
下载
1 这是解释变量对拟合方程的“边际”或者“增量”贡献的问题。对这一问题的详细讨论见第 1 4章第 1 4,1节。
此外，还可参阅 Damodar N Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New York,1995,pp.250-253。
价格收益
= 2 9 9,9 2-2.005 5X2? X 4
X4
X2
10.3 多重共线性的理论后果到目前为此，我们已经讨论了完全和不完全多重共线性的性质。下面我们讨论多重共线性引起的后果。但需记住：从现在起我们仅考虑不完全多重共线性的情形，因为讨论完全多重共线性有些不切实际。
我们知道，在古典线性回归模型 ( C L R M )的假定下，普通最小二乘 ( O L S )估计量是最优线性无偏估计量 ( B L U E )：在所有线性无偏估计量中，普通最小二乘估计量具有最小方差性。引人注意的是，即使共线性是不完全的，普通最小二乘估计量仍然是最优线性无偏估计量，即使多元回归方程的一个或多个偏回归系数是统计不显著的。在方程 ( 1 0 - 8 )中，价格系数是统计显著的，但收入系数却是统计不显著的。但在方程 ( 1 0 - 8 )中所用的普通最小二乘法仍保持其最优线性无偏估计量的性质。 1既然如此，我们为什么还“大惊小怪”地讨论多重共线性呢？这主要有如下几个原因：
(1) 的确如此，即使是在接近共线性的情形下，普通最小二乘法估计量仍然是无偏的。但要记住的是，无偏性是一个重复抽样的性质。也就是说，保持 X不变，如果得到一些样本并用普通最小二乘法计算这些样本估计量，则其平均值收敛于估计量的真实值。但这并不是某个样本估计值的性质。在现实中，我们无法得到大量的重复样本。
(2) 接近共线性也并未破坏普通最小二乘估计量的最小方差性：在所有线性无偏估计量中，
普通最小二乘法估计量的方差最小。然而这并不意味着在任何给定的样本中普通最小二乘法估计量的方差会很小 (与估计量的值本身相比而言 )，这一点在方程 ( 1 0 - 8 )中表现得非常清楚。的确，收入系数估计量是最优线性无偏估计量，但与估计值相比，样本的方差如此之大以至于计算的 t值 (在零假设：真实收入系数为零 )仅有- 0.797 1。这将使我们接受假设，也即收入对于
w i d g e t s的需求量没有任何影响。简言之，最小方差并不意味着方差值也较小。
(3) 即使变量 X与总体 (也即 P R F )不线性相关，但却可能与某一样本线性相关，例如表 1 0 - 1。
从这个意义上说，多重共线性本质上是一个样本 (回归 )现象。在假定概率分布函数时，我们认为模型中所有变量 XS都对应变量 Y有独立的或单独的影响。但也有可能出现这种情形，即在用某个样本估计总体 P R F时，部分或者所有变量 XS高度共线以至于无法区分它们各自对应变量 Y
的影响。也就是说，虽然理论表明所有的 XS都是重要的，但是样本却令人失望。之所以会这样是因为大多数经济数据都不是通过试验获得。有些数据，比如国民生产总值、价格、失业率、
利润、红利等等，是以其实际发生值为依据，而并非试验得到。如果这些数据能够通过试验获得，那么从一开始我们就不允许共线性的存在。既然如此，如果两个或者多个解释变量之间存在接近共线性，那么我们也“巧妇难为无米之炊” 。 2
10.4 多重共线性的实际后果在接近或者高度多重共线性的情形下，正如对 w i d g e t需求的一例那样，我们可能遇到如下一个或者多个后果：
(1) 普通最小二乘法估计量的方差和标准差较大。这一点可以从回归方程 ( 1 0 - 7 )和 ( 1 0 - 8 )中清楚地看到。我们前面讨论过，由于在价格 (X2)和收益 (X4)之间存在高度共线性，当方程 ( 1 0 - 8 )
同时包括这两个变量时，与方程 ( 1 0 - 7 )相比，价格变量系数的标准差显著地增加了。我们知道，
204部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 因为不完全多重共线性本身并未违背我们在第 7章中所罗列的假设，普通最小二乘法估计量仍具有最优线性无偏估计量这一性质。
2 J,J o h n s t o n,Econometric Methods,2d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 7 2,p,1 6 4,
第 10章 多重共线性 介绍 205
如果估计量的标准差增加了，则对估计量真实值的估计就变难了。也就是，普通最小二乘法估计量的 精确度 ( p r e c i s i o n )就下降了。
( 2 ) 置信区间变宽。由于标准差较大，所以总体参数的置信区间也就变大了。
( 3 ) t值不显著。在检验假设：真实的 B3= 0 (回归方程 ( 1 0 - 8 ) )，我们计算出 t值,b3/ s e (b3)，并与 t临界值作比较。但是，如前所述，当存在高度共线时，由于估计的标准差急剧地增加，因而使得 t值变小。因此，在这重情况下，我们会很自然地接受零假设，即真实的总体系数为零。
因而，在回归方程 ( 1 0 - 8 )中，由于 t值为- 0,7 9 7 1，我们也许会断然得出结论：在 w i d g e t s一例中，
收入对于需求的数量没有任何影响。
(4) R2值较高，但 t值则并不都显著。从回归方程 ( 1 0 - 8 )可以清楚地看出,R2值很高，约为
0,9 8，但只有价格变量的 t值是显著的。根据 F (检验 )值，我们能够拒绝假设：价格和收益变量同时对 w i d g e t s的需求没有任何影响。
(5) 普通最小二乘估计量及其标准差对数据的微小变化非常敏感；也就是说，它们趋于不稳定。让我们回到表 1 0 - 1。假设我们稍微改变一下收益变量 X的数据。第一，第五和第十个观察值现在分别为 2 9 5,2 8 7和 2 7 4，其他数据不变。这一变化的结果如下：
= 1 0 0,5 6－ 2.516 4X2i-0.169 95X4i
se=(48.030) (0.359 06) (0.160 4)
t=(2.093 6) (－ 7.008 3) (－ 1.059 7) ( 1 0 - 1 0 )
R2=0.979 1
比较方程 ( 1 0 - 8 )和方程 ( 1 0 - 1 0 )，我们注意到，数据的一个较小变化却导致了回归方程的较大变化。相对而言，方程 ( 1 0 - 1 0 )中的标准差变小了，从而导致 t值的绝对值增大了；与以前相比，
收入变量的系数也变小了。
为什么会有这一变化呢？在方程 ( 1 0 - 8 )中,X2和 X4之间的相关系数为- 0.988 4，而在方程
( 1 0 - 1 0 )中相关系数为- 0.943 1。换句话说，从方程 ( 1 0 - 8 )到方程 ( 1 0 - 1 0 ),X2和 X4之间的共线性程度降低了。尽管相关系数降低的程度不大，但回归结果的变化却是值得注意的。而这正是接近完全共线性引起的后果。
(6) 回归系数符号有误。如回归方程 ( 1 0 - 8 )和 ( 1 0 - 1 0 )所示，收益变量的符号是“错误”的，
因为按照经济理论，我们知道对于大多数商品而言，收入效应是正的。当然，对于劣等品而言，
这并不是“错误”的符号。
(7) 难以衡量各个解释变量对回归平方和 ( E S S )或者 R2的贡献。 我们仍用 w i d g e t s一例来说明。
在方程 ( 1 0 - 7 )中，我们用仅价格 (X2)来拟合需求量 (Y)，得到 R2为 0.975 7。而在方程 ( 1 0 - 8 )中，我们用价格和收益来拟合 Y，得到 R2为 0.977 8。现在如果我们仅用 X4来拟合 Y，则我们可以得到如下结果：
=-263.74+1.043 8X4i
se=(26.929) (0.093 2)
t= (－ 9.794) (11,2 0 0 ) ( 1 0 - 11 )
R2=0.940 0
你会发现，仅收益 X4就解释了需求量变化的 9 4%。此外，收益系数不仅在统计上是显著的，而且其符号也是正的，与理论预期一致。
如前所述，在多元回归方程 ( 1 0 - 8 )中,R2值为 0.977 8。哪一部分归于 X2，哪一部分归于 X4
呢？我们并不能精确地加以区分，因为这两个变量高度共线性以至于当一个变量变化时，另一个变量也几乎是自动地随之变化，回归方程 ( 1 0 - 9 )清楚地表明了这一点。因此，在高度共线性情况下，很难衡量每一个解释变量对总体 R2的贡献。
Y
i
Y
i
下载问题是，我们此前所阐述的多重共线性的后果能否严格地确定下来呢？当然可以！这里我们略去证明，感兴趣的同学可以参阅有关参考书。 1
10.5 多重共线性的测定如前节所述，当多重共线性程度较高时，利用普通最小二乘法求参数估计值会产生一系列的严重后果。那么，如何解决多重共线性问题呢？在解决这一问题之前，我们首先需要确定是否存在共线性问题。简言之，我们关心的是多重共线性存在与否以及多重共线性的程度。我们知道多重共线性是一个样本特性 (sample specific)，它是一个样本现象。因此，下面的一些警告是必要的,2
(1) 多重共线性是一个程度问题而不是存在与否的问题。
(2) 由于多重共线性是在假定解释变量是非随机的条件下出现的问题，因而它是样本的特征，而不是总体的特征。
因此，我们不仅可以“检测多重共线性”,而且可以测度任何给定样本的多重共线性程度。
需要补充的是：我们并没有多重共线性的单一测度方法，因为对于非试验数据，我们无法确定其共线性的性质与程度。我们所具有是一些经验法则，或者说是在具体应用中能够给我们提供一些有关多重共线性存在与否的线索。比如：
(1) R2较高但 t值显著的不多。如在前面讲到的那样，这是多重共线性的“经典” ( c l a s s i c )特征。如果 R2较高，比如说超过了 0,8，在大多数情况下 F检验将会拒绝零假设，即部分斜率系数联合 ( j o i n t l y )或同时 ( s i m u l t a n e o u s l y )为零。但各自的 t检验表明，没有或几乎没有部分斜率系数是统计显著不为零的。式 ( 1 0 - 8 )回归结果就充分地证实了这一点。
( 2 ) 解释变量两两高度相关 (high pairwise correlations)。例如，如果在多元回归方程包括 6
个解释变量，运用式 ( 6 - 4 4 )计算这些变量两两之间的相关系数，如果有些相关系数很高，比方说超过 0,8，则可能存在较为严重的共线性。遗憾的是，这一标准并不十分可靠，因为解释变量两两相关系数可能较低 (表明无高度共线性 )，但是却有可能存在共线性，因为 t值中很少是统计显著的。 3
(3) 检验解释变量相互之间的样本相关系数。假设我们有三个解释变量,X2,X3和 X4。我们以 r2 3,r2 4和 r3 4来分别表示 X2与 X3,X2与 X4以及 X3与 X4之间的两两相关系数。假设 r2 3= 0,9 0，表明
X2和 X3之间高度共线性。现在来考虑相关系数,r2 3,4，我们称之为 偏相关系数 (partial correlation
c o e ff i c i e n t )，它是在变量 X4为常数的条件下,X2和 X3之间的相关系数 (这一概念有些类似于我们在第 7章所讨论过的偏回归系数 )。假设 r2 3,4= 0,4 3，也就是说，在变量 X4保持不变的条件下,X2
和 X3之间的相关系数仅为 0,4 3，但是若不考虑 X4的影响，这一相关系数为 0,9 0。于是，根据偏相关系数，我们不能判断 X2与 X3之间的共线性程度一定很高。
因此，在存在多个解释变量的情形下，依赖简单的两两相关系数来判断多重共线性可能会
“误入歧途” 。不幸的是，用偏相关系数代替简单的两两相关系数并未提供一个检验多重共线性存在与否的确切依据。而后者仅仅是检验多重共线性性质的另一手段。 4
206部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 证明可参阅 Damodar N Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5,p p,3 2 7 -
3 3 2。
2 Jan Kmenta,Elements of Econometrics,2d ed.,Macmillan,1 9 8 6,p p,4 3 1。
3 更详细的讨论参阅 Damodar N Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5，
p p,3 3 5 - 3 3 6。
4 参阅 Damodar N Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5,p p,3 3 5 - 3 3 6。
第 10章 多重共线性 介绍 207
(4) 从属 ( s u b s i d i a r y )或者辅助 ( a u x i l i a r y )回归。既然多重共线性是由于一个或多个解释变量是其他解释变量的线性 (或接近线性 )组合，那么检验模型中哪个变量与其他变量高度共线性的方法就是作每个变量对其他剩余变量 ( r e m a i n i n g )的回归并计算相应的 R2值。其中的每一个回归都被称作是从属或者辅助回归，从属于 Y对所有变量的回归。
例如，考虑 Y对 X2,X3,X4,X5,X6,X7— 这 6个解释变量的回归。如果回归结果表明存在多重共线性，比方说,R2值很高，但解释变量的系数很少是统计显著的，那么，究其根源，
即找出哪些变量可能是其它变量的线性 (或接近线性 )组合。具体步骤如下：
(1) 作 X2对其他剩余解释变量的回归，并求样本决定系数，记为 。
(2) 作 X2对其他剩余解释变量的回归，并求样本决定系数，记为 。
对模型中剩余的解释变量继续以上步骤。在这个例子中，总共有 6个这样的辅助回归。
我们如何判断哪些解释变量是共线性的呢？估计的 值介于 0和 1之间 (为什么？ )。如果某个解释变量不是其他变量的线性组合，则该回归方程的 值不会显著不为零。根据方程 ( 7 - 5 0 )，
我们知道应该如何去检验假设：某个样本决定系数显著为零。
假定我们想要检验假设,= 0，也即 X2与剩余 5个解释变量并不存在共线性。根据式 ( 7 -
5 0 )，即：
其中 n是观察值的个数,k是包括截距在内的解释变量的个数。具体说明如下。
在这个例子中，假设有一个容量为 5 0的随机样本，对每个解释变量作剩余变量的回归。各辅助回归的 R2值如下：
=0.90 (X2对于其他变量的回归 )
=0.18 (X3对于其他变量的回归 )
=0.36 (X4对于其他变量的回归 )
=0.86 (X5对于其他变量的回归 )
=0.09 (X6对于其他变量的回归 )
=0.24 (X7对于其他变量的回归 )
表 1 0 - 2给出 F检验的结果。
如表所示，变量 X2,X4,X5和 X7看来与其他变量共线性，尽管共线性程度 (用 R2度量 )差别很大。由此得出的结论是：,看似”较低的 R2，比如 0,3 6，却可能是统计显著不为零。
我们将在 1 0,7节中给出辅助回归的一个具体经济实例。
辅助回归技术的一个缺陷是它的计算较繁琐。如果一个回归方程包含若干个解释变量，则我们不得不计算好几个辅助回归方程，因此，这种方法没有实用价值。但需要指出的是：现在已有许多统计软件可以用来计算辅助回归方程。
(5) 方差膨胀因素 (the variance inflation factor)。即使模型并未包括太多的解释变量，从各个辅助回归方程中获得的 R2值也未必可以用于诊断共线性。我们可以从第 7章中讨论过的一个三变量回归方程中更清楚地看到。方程 ( 7 - 2 5 )和 ( 7 - 2 7 )给出了计算两个部分斜率系数 b2和 b3方差的公式。通过简单的代数变换，这些方差公式可以写为：
( 1 0 - 1 2 )var( b
2
) =
2
x
2i
2
(1? R
2
2
)∑
=
2
x
2i
2
∑
VIF
R
7
2
R
6
2
R
5
2
R
4
2
R
3
2
R
2
2
F =
R
2
/(k?1)
(1? R
2
) /(n? k)
R
2
2
R
i
2
R
i
2
R
3
2
R
2
2
下载表 10-2 检验 R2的显著性 (方程 7 - 5 0 )
R2值 F值 F值是否显著？
0,9 0 7 9,2 0 是 ①
0,1 8 1,9 3 否
0,3 6 4,9 5 是 ①
0,8 6 5 4,0 6 是 ①
0,0 9 0,8 7 否
0,2 4 2,8 7 是 ②
① 显著水平为 1%
② 显著水平为 5%
本例中 n= 5 0,k= 6
( 1 0 - 1 3 )
(证明见习题 1 0,2 1 )在这些公式中,是 X2与 X3之间 (辅助 )回归方程的样本决定系数 (注意，
X2与 X3之间的 R2值等于 X3与 X2之间的 R2值 )
在上述公式中，
( 1 0 - 1 4 )
方程 ( 1 0 - 1 4 )右边的表达式形象地称作方差膨胀因素 ( V I F )，因为随着 R2的增加,b2和 b3的方差 (标准差 )也增加了或者说是膨胀了 (你看出这一点了吗？ )。更极端地，如果样本决定系数为
1 (也即完全多重共线性 )，则这些方差和标准差将会没有意义 (为什么？ )。当然，如果 R2为零，
那么就不存在共线性,V I F的值为 1 (为什么？ )。我们也就不必担心由于方差 (标准差 )较大而带来的问题。
现在一个重要的问题是，假设在辅助回归方程中,值很高 (但小于 1 )，表明存在较高程度的共线性。但是从方程 ( 1 0 - 1 2 ),( 1 0 - 1 3 )和 ( 1 0 - 1 4 )可以清楚地看到，比如说,b2的方差不仅仅取决于 V I F，而且还取决于 ui的方差 2和 X2的方差 。因此，以下情形是很有可能的,值很高，比如说是 0,9 1，但是 2较低或者 较高，或者是两种情况同时出现，以至于 b2的方差较低,t值较高。换句话说，较高的 R2可能被一个较低的 2值或者较高的 值所抵消。当然，高和低仅是相对而言。
所有这些都表明，辅助回归方程中的 可能只是多重共线性的一个 表面指示器 ( s u r f a c e
i n d i c a t o r )。如上所述，它并不一定扩大估计量的标准差。更正规地表述为,“较高的 既不是较高标准差的必要条件也不是充分条件。多重共线性本身并不必然导致较高的标准差。,1
从上面讨论的各种多重共线性的检验方法中，我们能得出哪些结论呢？检验多重共线性有许多种不同的方法，但却没有一种检验方法能够使我们彻底解决多重共线性问题。记住一点：
多重共线性是一个程度的问题，它是与样本相关的一种现象。有些时候，可以“容易”地检验出多重共线性，但有些时候，我们却必须综合运用上面讨论的各种手段来诊断这一问题的严重程度。总之，没有一个简单的方法解决这个问题。
对多重共线性检验的研究还将继续。现在，已有一些新方法，比如 病态指数 ( c o n d i t i o n
i n d e x )等。对这些方法的讨论已超出本书研究的范围，有兴趣的同学可参阅有关参考书。 2
10.6 多重共线性必定不好吗在我们讨论多重共线性补救措施之前，需要回答一个重要的问题：多重共线性必然是一个
“恶魔”吗？答案取决于研究的目的。如果研究是为了用模型来预测解释变量的未来均值，则多重共线性本身未必是一件坏事。回到对 w i d g e t s的需求方程 ( 1 0 - 8 )中，尽管收益变量不是统计
R
i
2
R
i
2
x
2i
2
∑
x
2i
2
∑
R
i
2
x
2i
2
∑
R
i
2
VIF =
1
(1? R
2
2
)
R
2
2
var(b
3
) =
2
x
3i
2
(1? R
2
2
)∑
=
2
x
3i
2
∑
VIF
208部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 G,S,M a d d a l a,I n t roduction to Econometrics,M a c m i l l a n,New Yo r k,1 9 8 8,p,2 6 6。但是,M a d d a l a也曾说,“如果 R2i较低，则我们的境遇会好一些。,
2 关于条件指数的简单讨论，参见 Damodar N Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,,M c G r a w - H i l l,N e w
Yo r k,1 9 9 5,p p,3 3 8,
第 10章 多重共线性 介绍 209
显著的，但总体 R2值,0.977 8，还是略高于略去了收益变量的方程 ( 1 0 - 7 )中的 R2值。因此，出于预测的目的，方程 ( 1 0 - 8 )略好于方程 ( 1 0 - 7 )。通常，预测人员都是根据解释能力 (用 R2度量 )来选择模型的。这是否是一个好的标准呢？如果我们假定表 1 0 - 1中价格和收益数据之间所观察到共线性一直保持下去，则它也许是一个好的判定标准。在方程 ( 1 0 - 9 )中，我们已经证明了 X4和
X2(收益和价格 )是如何相关的。如果同样的关系一直继续下去，则方程 ( 1 0 - 8 )可以用于预测。但那仅仅是如果。如果在另一样本中，两个变量的共线性程度并没有那么高，显然，依据方程
( 1 0 - 8 )的预测就没有什么价值。
另一方面，如果研究不仅仅是为了预测，而且还要可靠地估计所选模型的各个参数，则严重的共线性将是一件“坏事”,因为它将导致估计量的标准差增大。然而，正如我们前面指出的那样，如果是为了比较准确地估计一组系数 (例如，两个系数的和或者差 )，那么，即使存在多重共线性，也能够达到目的。在这种情形下，多重共线性或许不是什么问题。因而，在方程
( 1 0 - 7 )中，斜率- 2.157 6是 (A2-2A3)的估计值 (我们可以用普通最小二乘法准确地估计，虽说不能单独地估计出 A2和 A3的值 )。
也存在着一些“令人愉快的”情形：尽管存在高度共线性，但在常用的显著水平，如 5%
的显著水平下，根据 t检验，估计的 R2和大多数单个回归系数都是统计显著的。正如 J o h n s t o n所指出的那样：
这倒是有可能产生的，如果各个系数正好在数值上远超过其真实值，那么尽管标准差扩大了，效应依然显示出来而且 (或者 )由于真实值本身很大，以至于即使估计值过低，仍然表现出是统计显著的。
在继续下面的讨论之前，让我们花点时间来看一个具体的经济例子以说明上述讨论的几个要点。
10.7 一个扩充例子,1 9 6 0至 1 9 8 2年期间美国的鸡肉需求表 1 0 - 3给出了美国 1 9 6 0至 1 9 8 2年期间有关数据：平均每人鸡肉消费量 (Y)，每人实际 (即通货膨胀调整后的 )可支配收入 (X2)，鸡肉的实际零售价格 (X3)，猪肉实际零售价格 (X4)，牛肉实际零售价格 (X5)
表 10-3 鸡肉需求的原始数据 ①
Y② X 2③ X 3④ X 4⑤ X 5⑥
27.800 00 397.500 0 42.200 00 50.7000 0 78.300 00
29.900 00 413.300 0 38.100 00 52.0000 0 79.200 00
29.800 00 439.200 0 40.300 00 54.0000 0 79.200 00
30.800 00 459.700 0 39.500 00 55.3000 0 79.200 00
31.200 00 492.900 0 37.300 00 54.7000 0 7 7,4 0 0 0 0
33.300 00 528.600 0 38.100 00 63.7000 0 80.200 00
35.600 00 560.300 0 39.300 00 69.8000 0 80.400 00
36.400 00 624.600 0 37.800 00 65.9000 0 83.900 00
36.700 00 666.400 0 38.400 00 64.5000 0 85.500 00
38.400 00 717.800 0 40.100 00 70.0000 0 93.700 00
40.400 00 768.200 0 38.600 00 73.2000 0 106.10 00
40.300 00 843.300 0 39.800 00 67.8000 0 104.80 00
41.800 00 9 11.600 0 39.700 00 79.1000 0 114.00 00
40.400 00 931.100 0 52.100 00 95.4000 0 124.10 00
下载
1 J,J o h n s t o n,Econometric Methods,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 8 4,p,2 4 9。
(续 )
Y② X 2③ X 3④ X 4⑤ X 5⑥
40.700 00 102 1.500 48.900 00 94.2000 0 127.60 00
40.100 00 116 5.900 58.300 00 123.500 0 142.90 00
42.700 00 134 9.600 57.900 00 129.900 0 143.60 00
44.100 00 144 9.400 56.500 00 117.600 0 139.20 00
46.700 00 157 5.500 63.700 00 130.900 0 165.50 00
50.600 00 175 9.100 61.600 00 129.800 0 203.30 00
50.100 00 199 4.200 58.900 00 128.000 0 219.60 00
51.700 00 225 8.100 66.400 00 141.000 0 221.60 00
52.900 00 247 8.700 70.400 00 168.200 0 232.60 00
① 实际价格是由名义价格除以消费者食品价格指数而获得的。
② Y— 平均每人鸡肉消费量 (磅 ) *
③ X2— 实际可支配收入 (美元 )
④ X3— 每磅鸡肉实际零售价格 (美分 )
⑤ X4— 每磅猪肉实际零售价格 (美分 )
⑥ X5— 每磅牛肉实际零售价格 (美分 )
资料来源,Y来自城市数据库 ( C I T I B A S E ),X2到 X5来自美国农业部。这些数据均由作者的学生罗伯特 J,费雪
(Robert J,Fisher)收集。
从理论上说，商品的需求通常是消费者实际收入、该商品实际价格以及竞争 ( c o m p e t i n g )商品或互补 ( c o m p l e m e n t a r y )商品的实际价格的函数。估计的需求函数如下：应变量 (Y)是平均每人鸡肉消费量的自然对数。
解释变量 系 数 标准差 s e t值 值常数 2.189 8 0.155 7 14.06 3 0.000 0
l nX2 0.342 6 0.083 3 4,114 0 0.000 3
l nX3 -0.504 6 0,110 9 -4,5 5 0 0.000 1 ( 1 0 - 1 5 )
l nX4 0.148 6 0.099 7 1.490 3 0,7 6 7
l nX5 0.091 1 0.100 7 0.904 6 0.187 8
R2=0.982 3 R2=0.978 4
由于我们拟合的是对数 -线性需求函数，因此，所有的系数都是 Y对相应 X变量的偏弹性
(partial elasticities)。因而，需求的收入弹性约为 0,3 4，需求的自价格弹性约为- 0,5 1，需求 (猪肉 )的交叉弹性约为 0,1 5，需求 (牛肉 )的交叉弹性约为 0,0 9。
回归结果表明：需求的收入和自价格弹性各自都是统计显著的，但两个交叉弹性则不是显著的。顺便指出的是：由于收入弹性小于 1，所以鸡肉并非是奢侈消费品。鸡肉的需求对于其自身价格是缺乏弹性的，因为其弹性系数的绝对值小于 1。
尽管两个交叉价格弹性是正的，表明其它两种肉类与鸡肉相互竞争的，但是它们却不是统计显著的。因而，看来鸡肉的需求并不受猪肉和牛肉价格变化的影响。但这也许是一个草率的结论，因为我们不得不考虑多重共线性的可能性。因此，让我们来考虑在 1 0,5节中所讨论的多重共线性的检验方法。
鸡肉需求函数共线性的检验 [方程 ( 1 0 - 1 5 ) ]
相关矩阵 (correlation matrix)。表 1 0 - 4给出了 4个解释变量 (对数形式 )之间的两两相关系数。
210部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
* 1磅 =0.453 592 37kg。
第 10章 多重共线性 介绍 211
从表中可以看出，解释变量之间的两两相关系数都很高，实际收入与牛肉价格之间的两两相关系数约为 0,9 8；猪肉价格与牛肉价格之间的两两相关系数约为 0,9 5；实际收入与鸡肉价格之间的两两相关系数为 0,9 1，等等。尽管两两相关系数很高，并不表明需求函数中一定存在着共线性，只是有可能性存在。
辅助回归 。当我们对每个解释变量与其他剩余解释变量进行回归时，发现存在共线性问题。
这一点可以从表 1 0 - 5中所给出的结果看出来。如该表所示，表中所有的 R2值都超过了 0,9 4；根据式 ( 7 - 5 0 )F检验，所有这些 R2都是统计显著的 (参见习题 1 0,2 4 )，表明回归方程 ( 1 0 - 1 5 )中的每个解释变量都与其它解释变量高度共线性。
表 10-4 方程 ( 1 0 - 1 5 )中解释变量两两相关系数
l nX2 l nX3 l nX4 l nX5
l nX2 1 0.907 2 0.972 5 0.979 0
l nX3 0.907 2 1 0.946 8 0.933 1
l nX4 0.972 5 0.946 8 1 0.954 3
l nX5 0.979 0 0.933 1 0.954 3 1
注：相关矩阵是对称的。因而,l nX4和 l nX3之间的相关系数等于 l nX3和 l nX4之间的相关系数。
表 10-5 辅助回归
l n =0.946 0 - 0.832 4lnX3 + 0.948 3lnX4 + 1.017 6lnX5
t=(2.556 4) (-3.490 3) (5.659 0) (6.784 7)
R2=0.984 6
l n =1.233 2 - 0.469 2lnX2 + 0.669 4lnX4 + 0.595 5lnX5
t=(8.005 3) (-3.490 3) (4.865 2) (3.784 8)
R2=0.942 8
l n =-1.012 7 + 0.661 8lnX2 + 0.828 6lnX3 - 0.469 5lnX5
t= (-3.710 7) (5.659 0) (4.865 2) (-2.287 9)
R2=0.975 9
l n = - 0.705 7 + 0.695 6lnX2 + 0.721 9lnX3 - 0.459 8lnX5
t= (-2.236 2) (6.784 7) (3.784 8) (-2.287 0)
R2=0.976 4
因此，很有可能在方程 ( 1 0 - 1 5 )中我们没有发现猪肉和牛肉价格变量的系数在统计上是显著的。但是，这与我们先前讨论过的高度多重共线性的理论后果是一致的。有意思的是，尽管存在高度共线性，但是实际收入和自身价格变量的系数却是统计上显著的。这也许可以从约翰斯顿 ( J o h n s t o n )所提及的事实 (参见脚注 1 5 )中得到很好地解释。
这一例子表明，在存在高度共线性的情形下，判断一个解释变量是否独自显著时，我们应特别小心。我们将把这一例子带入到下一节，在该节中我们将考虑多重共线性的补救措施。
10.8 如何对付多重共线性：补救措施假定根据 1 0,5节中讨论的一种或者多种检验方法，发现存在着多重共线性。我们采取什么方法减少共线性的严重程度而不是彻底地消除它？不幸的是，与共线性检验一样，并不存在万无一失的补救措施，只有一些经验的法则。之所以如此是因为多重共线性是某一特定样本的特征而并不是总体的特征。此外，尽管存在着接近共线性，普通最小二乘估计量仍然保持最优线性无偏估计量的性质。的确也存在这样的情况：一个或者多个回归系数是统计不显著的，或者它们中的一些系数的符号是错误的。如果研究人员专心于削弱共线性的严重程度，则可尝试用以下的一种或者多种方法。需要注意的是，如果特定的样本是“性状不佳”的，则没有太多的
)
X
5
)
X
4
)
X
3
)
X
2
下载补救措施。本着这一告诫，让我们来考虑在经济计量学文献中所讨论过的各种补救措施。
10.8.1 从模型中删掉不重要的解释变量对待严重的多重共线性问题，最简单的解决方法似乎就是删掉一个或者多个共线性变量。
因而，在对鸡肉的需求函数 ( 1 0 - 1 5 )中，既然三个价格变量高度相关，为什么不从模型中删掉猪肉价格和牛肉价格变量呢？
但是这一补救措施也许比“疾病” (多重共线性 )本身还糟糕。当我们构建一个经济模型，
如回归方程 ( 1 0 - 1 5 )，总是以一定的经济理论为基础。在我们的这个例子中，依据经济理论，我们预期所有这三个价格都对鸡肉的需求有着一定的影响，因为这三种肉产品在某种程度上是竞争性产品。因此，从经济学的角度上说，回归方程 ( 1 0 - 1 5 )是一个恰当的需求函数。遗憾的是，
根据表 1 0 - 3所给的特定样本得出的回归结果，我们并不能确定猪肉和牛肉价格各自对鸡肉需求数量的影响。但是从模型中删掉这些变量将会导致所谓的,模型设定误差,( s p e c i f i c a t i o n
e r r o r )，我们将在第 1 3章中详细讨论。随后我们将会看到，如果为了消除共线性问题而从模型中删除一个解释变量，并对缺少这一变量的模型估计，则所估计的参数可能是有偏的。为了更清楚地了解，我们给出删除猪肉和牛肉价格变量之后的回归结果：
l n =2.032 8+0.451 5lnX2－ 0.372 2lnX3 ( 1 0 - 1 6 )
t=(17.497) (18.284) (-5.864 7)
R2=0.980 1； =0.978 1
回归结果表明：与方程 ( 1 0 - 1 5 )相比，收入弹性增大了，但是价格弹性的绝对值却下降了。
换句话说，简化了的模型的估计系数是有偏的 (第 1 3章对此有更详细的阐述 )。
上述讨论表明：存在着一个两难的问题 ( t r a d e - o ff )：为了削弱共线性的严重程度，我们得到的系数估计值可能是有偏的。建议不要仅仅因为共线性很严重就从一个经济上可行的模型中删除变量。所选的模型是否符合经济理论当然是一个重要的问题，我们将在第 1 3章中详细讨论。
顺便提及的是：回归方程 ( 1 0 - 1 5 )中猪肉价格系数的 t值大于 1。因此，根据第 7章的讨论 (见 7,11
节 )，如果我们从模型中删除这一变量，调整后的 R2将会下降，实际情况也是这样。
10.8.2 获取额外的数据或者新的样本既然多重共线性是一个样本特征，那么在包括同样变量的另一样本中，共线性也许不像第一个样本那样高。关键是我们是否能够得到另一个样本，因为收集数据的费用很高。
有的时候仅仅通过获得额外的数据 — 增加样本的容量 — 就能够削减共线性的程度。这一点可以从式 ( 1 0 - 1 2 )和式 ( 1 0 - 1 3 )中很容易地看出来。例如，在公式
( 1 0 - 1 2 )
中，对于给定的 2和 R2，如果 X3样本容量增加了，则 通常将会增加 (为什么？ )，结果 b3的方差将会减小，标准差也随之减小。
我们考虑下面的消费支出 (Y)对于收入 (X2)和财富 (X3)的回归方程,(这里有 1 0个观察值 1)：
=24.337+0.871 64X2i－ 0.034 9X3i
se=(6.280 1) (0.314 38) (0.030 1) ( 1 0 - 1 7 )
t=(3.875) (2.772 6) (－ 1.159 5)
Y
i
x
3i
2
∑
var(b
3
) =
2
x
3i
2
(1? R
2
2
)∑
R
2
Y
212部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 我非常感谢阿尔伯特·扎克 (Albert Zucker)提供了式 ( 1 0 - 1 7 )和式 ( 1 0 - 1 8 )的回归结果。
第 10章 多重共线性 介绍 213
R2=0.968 2
回归结果表明：在 5%的显著水平下，财富系数不是统计显著的。
但是当样本容量增加到 4 0个观察值时，我们得到如下回归结果：
=2.090 7+0.729 9X2i+0.060 5X3i
t=(0.871 3) (6.001 4) (2.064 1) ( 1 0 - 1 8 )
R2=0.967 2
现在，在 5%的显著水平下，财富系数是统计显著的。
当然，与获得一个新样本一样，出于成本和其他一些因素的考虑，获取变量的额外数据也许并不可行。但是，如果不存在这些限制的话，那么，毫无疑问，这一补救措施肯定是可行的。
10.8.3 重新考虑模型有些时候，所选模型并未加以仔细考虑 — 或许是一些重要的变量被省略了，或许是没有正确地选择模型的函数形式。比如，在对鸡肉的需求函数中，需求函数也可能是变量之间呈线性的模型 ( L I V )，而不是对数线性形式的。很可能在 L I V模型中共线性程度不像在对数线性型模型中那么高。
再来看对鸡肉的需求函数，我们 L I V模型拟合表 1 0 - 3中的数据，结果如下：
= 3 7,2 3 2-0.005 01X2-0,6 11 2X3+0.198 4X4+0.069 5X5 ( 1 0 - 1 9 )
t=(10.015) (1.024 1) (-3.753 0) (3.113 7) (1.363 1)
R2=0.942 6 =0.929 8
与方程 ( 1 0 - 1 5 )相比，在变量线性模型中，收入系数是统计不显著的，但猪肉价格系数却是显著的。如何解释这一变化呢？也许在收入和价格变量之间存在高度共线性。事实上，根据表 1 0 - 5
我们不难确认。在前面我们已经指出：在存在高度共线性的情形下，不可能准确估计各个回归系数 (也就是说，标准差较小 )。
在第 1 3章中，我们将更为详细地讨论模型的设定与选择问题，需要记住的一点是：模型的不恰当设定可能是 (错误的 )回归模型存在共线性的原因。
10.8.4 先验信息有些时候，某一个特定的现象，如需求函数，需要反复地调查。根据以往的研究，我们或许知道有关参数值的某些信息。而这些信息可以用于当前的样本。具体地说，假设在过去估计过的对 w i d e g e t s的需求函数中，收入系数为 0,9，并且是统计显著的。但如前所述，利用表 1 0 - 1
中的数据，我们无法估计收益 (作为收入的度量 )对需求数量的单独影响。如果可以相信收入系数的过去值 ( 0,9 )没有多少改变的话，则我们可以重新估计方程 ( 1 0 - 8 )，结果如下：
需求量 =B1+B2价格 +B3收益 +ui=B1+B2价格 + 0,9收益 +ui ( 1 0 - 2 0 )
需求量- 0,9收益 =B1+B2价格 +ui
其中，我们利用了先验信息 B3= 0,9。
假定先验信息是“正确的”,则我们已经“解决”了共线性问题，因为在方程 ( 1 0 - 2 0 )的右边现在仅有一个解释变量，因此也就不会有共线性问题。为了估计方程 ( 1 0 - 2 0 )，我们只需将需求量的观察值减去 0,9乘以相应的收益观察值并将所得的差作为解释变量，用它对价格变量进行回归。 1
R
2
Y
Y
i
下载
1 注意，多重共线性经常在时间序列数据中出现，因为经济变量随经济周期而变化。在这里，可用截面数据对时间序列模型中的一个或者多个参数进行估计。
从直观上看，这是一个好的方法，但是其缺陷在于要获得外生的 ( e x t r a n e o u s )或先验的信息并不总是可行的。更为致命的是，即使我们能够获得这一信息，但要假设先验信息在当前研究的样本中依然有效，这一假设未免要求“太高” 。当然，如果预期各个样本之间的收入效应不会有太大的变化，并且我们确实有关于收入系数的先验信息，那么这一补救措施是行之有效的。
10.8.5 变量变换偶尔地，通过对模型中变量的变换能够降低共线性程度。举例来说，在对美国总消费支出的研究中，总消费支出作为总收入和总财富的函数，我们可以采取人均的形式，也就是说，作人均消费支出对人均收入和人均财富的函数。有可能在总消费函数中存在严重的共线性问题，
而在人均消费函数中其共线性问题却并没有那么严重。当然，谁也不能保证这样的一个变换总能够有助于问题的解决。
为了说明简单变量变换是如何有助于减少共线性程度的，考虑如下回归结果,(根据美国
1 9 6 5 ~ 1 9 8 0年期间的数据 ),1
=-1 0 8,2 0 + 0,0 4 5X2t+0.931 X3t ( 1 0 - 2 1 )
t=N.A.* (1.232) (1.844)
R2=0.989 4
* N,A,=不是有效的其中 Y — 进口 (十亿美元 )；
X2— 国民生产总值 (十亿美元 )；
X3— 消费者价格指数 ( C P I )。
从理论上说，进口与 G N P (作为收入的一个测度 )和国内价格正相关。
回归结果表明：在 5%的显著水平下 (双边检验 )，收入和价格系数各自均不是统计显著的。 2
但是根据 F检验，我们能够拒绝零假设：两个 (部分 )斜率系数联合为零 (验证一下 )，显然表明，
回归方程 ( 1 0 - 2 1 )存在着共线性。为了解决这一问题，萨尔瓦多 ( S a l v a t o r e )得到以下回归方程：
( 1 0 - 2 2 )
t= N,A,*
R2=0.914 2
* N,A,=不是有效的这表明，实际进口与实际收入显著正相关。这样，通过将名义变量转换为“实际”变量 (也即变换原始变量 )显然削弱了共线性问题。 3
10.8.6 其他补救措施以下补救措施只是建议性的。在文献中还有其他一些“补救措施”,例如时间序列数据和截面数据的结合 (combining time series and cross-sectional data)，要素分析或者 主成分分析
(factor or principal componet analysis)和 岭回归法 (ridge regression)。但是若对这些方法详细讨
Y
t
X
3t
=?1.39 +0.202
X
2t
X
3t
Y
t
214部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 参见 Dominick Salvatore,Managerial Economics,McGraw-Hill,New York,1989,pp.156-157。符号略作改动。
2 但要注意的是，根据单边 t检验，在 5%的显著水平下，价格系数是显著的。
3 一些作者反对按这种方式变换变量。详细情况参见 K u h,J,R,M e y e r,,Correlation and Regression
Estimates When the Data Are Ratios,” E c o n o m e t r i c a,pp.400-416,October 1955。另见 G,S,M a d d a l a,
I n t roduction to Econometrics,Macmillan,New York,pp.172-174。
第 10章 多重共线性 介绍 215
论不但会使我们偏离本书 的主题，而且也需要一些超出本书要求的统计学知识。
10.9 小结古典线性回归模型的一个重要假定是：解释变量之间不存在完全的线性关系，或称多重共线性。尽管在实践中很少有完全多重共线性，但接近或者高度多重共线性的情形却经常发生。
因此，在实践中多重共线性这一术语是指两个或者多个变量高度线性相关。
多重共线性引起的后果有：在存在完全多重共线性时，我们无法估计单个回归系数或者它们的标准差。虽然在高度多重共线性时，可以估计单个回归系数，并且普通最小二乘估计量仍保持最优线性无偏估计的性质。但是与其系数值相比，一个或者多个系数的标准差会很大，从而导致 t值变小。因此，根据估计的 t值，我们认为系数并不显著不为零。换句话说，
我们无法估计那些 t值较低的变量的边际或者单个贡献：在多元回归模型中，解释变量的斜率是偏回归系数，它测度了在其他变量不变的情况下，该变量对应变量的 (边际或者单个 )影响。然而，如果只是为了比较精确地估计一组系数，则只要共线性不是完全的，就总能够办到。
本章我们介绍了几种检测多重共线性的方法，并指出它们各自的优缺点。我们也讨论了各种用来“解决”多重共线性问题的补救措施并指出它们各自的优劣之处。
由于多重共线性是样本的特征，因此我们无法预知哪种检测多重共线性的方法或者哪种补救措施在任何情况下均适用。
习题
10.1 什么是共线性?什么是多重共线性?
10.2 完全和不完全多重共线性的区别是什么?
10.3 在某物体重量对高度的回归模型中 (一个高度用英尺度量，另一个高度用英寸度量 )，
直观地解释为什么普通最小二乘法无法估计该回归方程的系数。
10.4 考虑模型
Yi=B1+B2Xi+B3X 2i+B4X 3i+ui
其中,Y=生产的总成本,X=产出。,既然 X2和 X3是 X的函数，则该模型中存在着共线性。,
你认为对吗？为什么？
10.5 参考方程 ( 7 - 2 1 ),( 7 - 2 2 ),( 7 - 2 5 )和 ( 7 - 2 7 )。设 x3i= 2x2i，说明为什么无法估计这些方程。
10.6 不完全多重共线性的理论后果是什么？
10.7 不完全多重共线性的实际后果是什么？
10.8 什么是方差膨胀因素 ( V I F )？根据式 ( 1 0 - 1 4 )，你能说出 V I F的最小可能值和最大可能值是多少吗？
10.9 补全下列各句。
(a) 在存在接近多重共线性的情况下，回归系数的标准差会趋于 而 t值会趋于 。
(b) 在存在完全多重共线性的情况下，普通最小二乘估计量是,其方差 。
(c) 在其它情况不变条件下,V I F越高，则普通最小二乘估计量的 越高。
10.10 判断正误并说明理由。
(a) 尽管存在着完全多重共线性，普通最小二乘估计量仍然是最优线性无偏估计量下载
( B L U E )。 (b) 在存在高度多重共线性的情况下，无法估计一个或多个偏回归系数的显著性。
(c) 如果辅助回归表明某一 R 2i 较高，则表明一定存在高度共线性。 (d) 较高的两两相关系数并不一定表明存在着高度多重共线性。 (e) 如果分析的目的仅仅是为了预测，则多重共线性并无妨碍。
1 0,11 在用诸如失业、货币供给、利率、消费支出等经济时间序列数据进行回归分析时，
常常怀疑存在多重共线性，为什么？
10.12 考虑下面的模型：
Yi=B1+B2Xt+B3Xt-1+B4Xt-2+B5Xt-3+ut
式中 Y— 消费；
X— 收入；
t— 时间。
该模型表明,t时期的消费支出是该期收入以及前两期收入的线性函数。这类模型称为分布滞后模型 (distributed lag models)，也称为动态模型 (dynamic models)(也就是说，模型涉及时间的变化 )。 (我们将在第 1 4章中简要讨论这类模型 )。
(a) 你是否预期这类模型中存在多重共线性，为什么？
(b) 如果你怀疑存在多重共线性，那么如何“消除”它呢？
10.13 考虑如下数据集：
Y -1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 0
X2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11
X3 1 3 5 7 9 11 1 3 1 5 1 7 1 9 2 1
假设你想作 Y对 X2和 X3的多元回归，
(a) 你能估计模型的参数吗？为什么？ (b) 如果不能，你能够估计哪个参数或者参数的组合？
10.14 表 1 0 - 6给出了美国 1 9 7 1 ~ 1 9 8 6年期间的年数据。
表 1 0 - 6
年度 Y① X 2② X 3③ X 4④ X 5⑤ X 6⑥
1 9 7 1 102 27 11 2,0 1 2 1,3 7 7 6,8 4,8 9 79 367
1 9 7 2 108 72 111,0 1 2 5,3 8 3 9,6 4,5 5 82 153
1 9 7 3 113 50 111,1 1 3 3,1 9 4 9,8 7,3 8 85 064
1 9 7 4 877 5 11 7,5 1 4 7,7 103 8.4 8,6 1 86 794
1 9 7 5 853 9 1 2 7,6 1 6 1,2 114 2.8 6,1 6 85 846
1 9 7 6 999 4 1 3 5,7 1 7 0,5 125 2.6 5,2 2 88 752
1 9 7 7 110 46 1 4 2,9 1 8 1,5 137 9.3 5,5 0 92 017
1 9 7 8 111 64 1 5 3,8 1 9 5,3 155 1.2 7,7 8 96 048
1 9 7 9 105 59 1 6 6,0 2 1 7,7 172 9.3 1 0,2 5 98 824
1 9 8 0 897 9 1 7 9,3 2 4 7,0 191 8.0 11,2 8 99 303
1 9 8 1 853 5 1 9 0,2 2 7 2,3 212 7.6 1 3,7 3 10 0397
1 9 8 2 798 0 1 9 7,6 2 8 6,6 226 1.4 11,2 0 99 526
1 9 8 3 917 9 2 0 2,6 2 9 7,4 242 8.1 8,6 9 100 834
1 9 8 4 103 94 2 0 8,5 3 0 7,6 267 0.6 9,6 5 105 005
1 9 8 5 110 39 2 1 5,2 3 1 8,5 284 1.1 7,7 5 107 150
1 9 8 6 114 50 2 2 4,4 3 2 3,4 302 2.1 6,3 1 109 597
① Y — 售出新客车的数量 /千辆，未作季度调整；
② X2— 新车，消费者价格指数,1 9 6 7 = 1 0 0，未作季度调整；
③ X3— 所有物品所有居民的消费者价格指数,1 9 6 7 = 1 0 0，未作季度调整；
216部分 第三部分 实践中的回归分析 下载第 10章 多重共线性 介绍 217
④ X4— 个人可支配收入 ( P D I ) / 1 0亿美元，未作季度调整；
⑤ X5— 利率,%，金融公司直接支付的票据利率；
⑥ X6— 城市就业劳动力 /千人，未作季度调整；
数据来源：,商业统计》,1 9 8 6年,《当代商业概览》增刊，美国商业部。
考虑下面的客车总需求函数：
l nYt=B1+B2l nX2t+B3l nX3t+B4l nX4t+B5l nX5t+B6l nX6t+ut
其中,l n表示自然对数
(a) 同时引入价格指数 X2和 X3的原因是什么？
(b) 为什么在需求函数中引入“城市就业劳动力”？
(c) 本模型中利率的作用是什么？
(d) 你如何解释各部分斜率系数的经济意义？
(e) 求上述模型的普通最小二估计值。
10.15 习题 1 0,1 4中是否存在多重共线性？你是如何知道的？
10.16 如果习题 1 0,1 4中存在共线性问题，估计各辅助回归方程，并找出哪些变量是高度共线性的。
10.17 继续前一题，如果存在严重的共线性，你会除去哪一变量，为什么？如果除去一个或多个变量，你可能会犯哪类错误？
10.18 在除去一个或多个解释变量后，最终的客车需求函数是什么？这个模型在哪些方面好于包括所有解释变量的原始模型。
10.19 你认为还有其他哪些变量可以更好地解释美国的汽车需求？
10.20 R,Leighton Thomas在研究英国 1 9 6 1? 1 9 8 1年期间砖、瓷、玻璃和水泥工业的生产函数时，得到如下结果,1
(1) log =－ 5,0 4 + 0,8 8 7 l o gK+ 0,8 9 3 l o gH
se=(1.40) (0.087) (0.137) R2= 0,8 7 8
(2) logQ=-8.57+0.027 2t+ 0,4 6 0 l o gK+ 1,2 8 5 l o gH
se=(2.99) (0.020 4) (0.333) (0.324) R2= 0,8 8 9
式中 Q— 固定成本的生产指数；
K— 1 9 7 5年重置成本的总资本存量；
H— 工作的小时数；
t— 时间趋势，作为技术的一种测度方法。
括号中的数字是估计的标准差。
(a) 解释这两个回归方程。 (b) 在回归方程 1中验证在 5%的显著水平下，部分斜率系数是统计显著的。 (c) 在回归方程 2中验证在 5%的显著水平下,t和 l o gK的系数各自均是统计不显著的。 (d) 如何解释模型 2中变量 l o gK的不显著性？ (e) 如果得知 t和 K之间的相关系数为 0,9 8 0，则你能够得出什么结论？ (f) 在模型 2中即使 t和 K各自都是不显著的，你是接受还是拒绝假设：模型 2中所有的部分斜率系数同时为零？你使用何种检验？ (g) 在模型 1中，规模收益是什么？
10.21 确定方程 ( 1 0 - 1 2 )和 ( 1 0 - 1 3 )。 (提示：找出 X2和 X3之间的相关系数，例如 R2。 )
Q
下载
1 R,Leighton Thomas,I n t ro d u c t o ry Econometrics,Theory and Applications,Longman,London,1985,p p,
2 4 4 - 2 4 6。
10.22 表 1 0 - 7给出了以美元计算的每周消费支出 (Y)，每周收入 (X2)和财富 (X3)等的假想数据。
表 10-7 每周消费支出 (Y)，每周收入 (X2)和财富 (X3)假想数据
Y X2 X3
7 0 8 0 8 1 0
6 5 1 0 0 100 9
9 0 1 2 0 127 3
9 5 1 4 0 142 5
11 0 1 6 0 163 3
11 5 1 8 0 187 6
1 2 0 2 0 0 225 2
1 4 0 2 2 0 220 1
1 5 5 2 4 0 243 5
1 5 0 2 6 0 268 6
(a) 作 Y对 X2和 X3的普通最小二乘回归。 (b) 这一回归方程中是否存在着共线性？
你是如何知道的？ (c) 分别作 Y对 X2和 X3的回归，这些回归结果表明了什么？ ( d )
作 X3对 X2的回归。这一回归结果表明了什么？ (e) 如果存在严重的共线性，你是否会除去一个解释变量？为什么？
10.23 利用表 1 0 - 1所给数据估计方程 ( 1 0 - 2 0 )，并比较你的结果。
10.24 验证表 1 0 - 5中所有 R2值是统计显著的。
218部分 第三部分 实践中的回归分析 下载下载古典线性回归模型 ( C L R M )的一个重要假设是进入总体回归方程 ( P R F )的随机扰动项 ui同方差，也就是说，它们具有相同的方差 2。如果不是这样 — ui的方差为,也即方差随观察值不同而异 (注意 2的下标 )— 这就是异方差性，或称非同方差，非常量方差。
古典线性模型强调同方差假定，但在实际操作中我们无法保证这一假设总能够满足。因此，
本章主要讨论当同方差假定不满足时会发生什么情况。特别地，我们探求下列问题的答案：
(1) 异方差的性质是什么？
(2) 异方差的后果是什么？
(3) 如何检验异方差的存在？
(4) 如果存在异方差，有哪些补救措施？
11.1 异方差的性质为了更好地解释同方差和异方差的区别，我们来看一个双变量线性回归模型，其中，应变量 Y是个人储蓄，解释变量 X是个人可支配收入或税后收入 ( P D I )。先来看图 11 - 1。
图 11 - 1
i
2
第 11 章
■ 异 方 差储蓄
a)同方差个人可支配收入 个人可支配收入
b)异方差储蓄图 11 - 1 ( a )表明，随着个人可支配收入的增加，储蓄的平均水平也增加，但是储蓄的方差在所有可支配收入水平上保持不变。 (回忆一下，总体回归方程给出了对应解释变量某一给定水平下的应变量的均值。 )这是 同方差 (homosce dasticity)或者 等方差 (equal variance)情形。另一方面，如图 11 - 1 ( b )所示，尽管随着个人可支配收入的增加，平均储蓄水平也增加，但在各个 P D I水平上，
储蓄的方差并非保持 — 随着个人可支配收入的上升而增加。这就是 异方差 ( h e t e r o s c e d a s t i c i t y )或者 非同方差 (unequal variance)情形。换句话说，图 11 - 1 ( b )表明，平均而言，高收入者比低收入者储蓄得多，但高收入者的储蓄变动也较大。这种情况在现实中不仅是可能的，而且我们只要稍稍看一下美国储蓄与收入统计数据，就很容易证实这一点。毕竟，对低收入者而言，他们能够剩下用作储蓄的收入是非常有限的。因此，在收入对储蓄的回归分析中，预期与高收入家庭有关的误差 (也就是 ui的方差 )的方差比与低收入家庭有关的误差的方差要大一些。
用符号表示异方差为：
( 11 - 1 )
再次到提醒注意 2的下标，表明 ui的方差不再是固定的，而是随着观察值的不同而变化。
研究人员发现，异方差问题多存在于 横截面数据 (cross-sectional data)中而非时间序列数据。
1在横截面数据中，我们通常处理的是一定时间点上总体单位，例如个别消费者或是其家庭成员、公司、行业，或者区域上分区、县、州或城市等等。而且，这些单位具有不同的规模，如小公司、中等公司或者大公司，或是低收入、中等收入或高收入。换言之，可能存在着 规模效应 (scale eff e c t )。而在时间序列数据中，变量趋于具有相似的数量等级，因为我们通常收集某一时期同一个实体的数据。例如，从 1 9 6 0年到 1 9 9 0年的国民总产值、储蓄、失业率等等。
我们用两个具体的例子来说明异方差问题。
例 11.1 放松管制后纽约股票交易所 (NYSE)的经纪人佣金。
1 9 7 5年四五月间，债券交易委员会 (Securities and Exchange Commission,S E C )
废除了对于纽约股票交易所股票交易固定佣金率的规定，允许股票经纪人在竞争的基础上索取佣金。表 11 - 1给出了从 1 9 7 5年 4月到 1 9 7 8年 1 2月间经纪人对机构投资者索要的平均每股佣金的季度数据。
表 11-1 纽约股票交易所佣金率趋势
(单位：美分)
月份 年度 X1 X2 X3 X4
4月 1 9 7 5 5 9,6 4 5,7 2 7,6 1 5,0
6月 5 4,5 3 6,8 2 1,3 1 2,1
9月 5 1,7 3 4,5 2 0,4 11,5
1 2月 4 8,9 3 1,9 1 8,9 1 0,4
3月 1 9 7 6 5 0,3 3 3,8 1 9,0 1 0,8
6月 5 0,0 3 3,4 1 9,5 1 0,9
9月 4 6,7 3 1,1 1 8,4 1 0,2
1 2月 4 7,0 3 1,2 1 7,6 1 0,0
3月 1 9 7 7 4 4,3 2 8,8 1 6,0 9,8
6月 4 3,7 2 8,1 1 5,5 9,7
9月 4 0,4 2 6,1 1 4,5 9,1
E(u
i
2
) =
i
2
220部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 严格地说，这是不正确的。在所谓的 A R C H (自回归条件异方差 )模型中，在时间序列数据中也能观察到异方差。这是一个较深的专题，在本书中不予讨论。有关 A R C H模型的讨论，可参见 G.S,Maddala，
I n t roduction to Econometrics,M a c m i l l a n,New Yo r k,1 9 8 8,p p,2 1 8 - 2 1 9。
(续)
(续 )
月份 年度 X1 X2 X3 X4
1 2月 4 0,4 2 5,4 1 4,0 8,9
3月 1 9 7 8 4 0,2 2 5,0 1 3,9 8,1
6月 4 3,1 2 7,0 1 4,4 8,5
9月 4 2,5 2 6,9 1 4,4 8,7
1 2月 4 0,7 2 4,5 1 3,7 7,8
名称 n 平均值 标准差 方差 最小值 最大值
X1 1 6 4 6,5 5.676 7 3 2,2 2 3 4 0,2 5 9,6
X2 1 6 3 0,6 7 3 5.501 6 3 0,2 6 8 2 4,5 4 5,7
X3 1 6 1 7,4 4 4 3.723 4 1 3,8 6 4 1 3,7 2 7,6
X4 1 6 1 0,0 9 4 1.783 4 3,1 8 0 6 7,8 1 5,0
注,X1— 佣金率，美分 /股 ( 0至 1 9 9股 )
X2— 佣金率，美分 /股 ( 2 0 0至 2 9 9股 )
X3— 佣金率，美分 /股 ( 1 0 0 0至 9 9 9 9股 )
X4— 佣金率，美分 /股 ( 1 0 0 0 0股以上 )
数据来源,S,Tinic and R,We s t,,The Securities Industry Under Negotiated Brokerage
Commissions in the Structure and Performance of NYSE Member Firms”,The Bell
Journal of Economics,v o l,11,n o,1,Spring 1980.
注意表中两个有趣的特征。放松管制以来，佣金率有下降的趋势。然而，更令人感兴趣的是平均佣金率存在着显著的不同，并且对四类机构投资者所索取的佣金的方差也存在着显著的差异。最小的机构投资者 (那些股票交易量介于 0至 1 9 9股的机构投资者 )平均每股需付 4 6,5美分，其方差为 3 2,2 2，而最大的机构投资者平均每股只需付
1 0,1美分，方差只有 3,1 8。读者能够从图 11 - 2中清楚地看到。
图 11-2 纽约股票交易所每股佣金注：根据表 11 - 1提供的数据第 11章 异 方 差 介绍 221下载
0~199股
200~999股
1 000~9 999股
10 000股以上时间
(续)
如何来解释这种差异呢？显然，这里存在着规模效应 — 交易量越大，则交易的总成本就越低，因而平均成本也就越低。经济学家们会说，表 11 - 1中所给的经纪行业数据中存在着规模经济 (但这也并不一定，参见例 11,7和本章第 6节 )。但即使在经纪行业中存在着规模经济，那为什么四类的佣金率的方差会不同呢？换句话说，为什么存在着异方差？为了吸引大机构投资业务，比如养老基金、共同基金等，经纪公司相互之间竞争激烈，因而他们索要的佣金率并没有多大差异。小的机构投资者也许就没有大机构投资者那样的谈判能力，因而他们支付的佣金率也就存在着较大的差异。这或许能够解释在表 11 - 1数据中所观察到的异方差 (当然，也许还有其他的原因 )。
现在如果我们想建立一个回归模型来解释佣金率对股票交易数量 (和其他变量 )的函数，那么与高交易量客户相关的误差项方差将会低于与低交易量客户相关的误差项方差。
例 11.2 美国工业的研究与发展费用支出、销售和利润。
我们给出一个纯横截面数据的例子 (可能存在异方差 )，考虑表 11 - 2所给出的数据。 1
包括美国 1 8个行业 1 9 8 8年的销售、利润及研究与发展 ( R & D )支出数据，所有数据单位都是百万美元。由于每个行业包括若干不同子类，各子类所包括公司的规模又各不相同，如果作研究和发展支出对销售量和利润的回归，则很难保证同方差假定，其原因在于行业分类的多样性。
现在假设我们想知道研究与发展支出与销售的相关关系。我们考虑如下模型：
R & Di=B1+B2销售额 i+ui ( 11 - 2 )
先验地，我们预期两个变量呈正相关关系 (为什么？ )，这与图 11 - 3中的散点图看似一致。该图描绘了 R & D支出与销售的关系。
对方程 ( 11 - 2 )利用普通最小二乘法，得到回归结果如下：
R & Di=192.99+0.031 9销售额 i
se=(990.99) (0.0083) ( 11 - 3 )
t=(0.194 8) (3.843 4) r2=0.478 3
图 11 - 3描绘了这条回归线。
表 11-2 1988年美国研究与发展 ( R & D )支出费用
(单位:百万美元)
序号 行 业 销售额 R & D费用支出 利 润
1 容器与包装 6 375.3 6 2,5 1 8 5,1
2 非银行金融机构 11 626.4 9 2,9 1 569.5
3 服务行业 14 655.1 1 7 8,3 2 7 4,8
4 金属与采掘业 21 896.2 2 5 8,4 2 828.1
5 住房与建筑业 26 408.3 4 9 4,7 2 2 5,9
6 一般制造业 32 405.6 1 083.0 3 751.9
7 闲暇时间行业 35 107.7 1 620.6 2 884.1
8 纸与林产品行业 40 295.4 4 2 1,7 4 645.7
222部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 与该表所给数据相比，表 11 - 1的数据既有时间序列数据又有横截面数据：四个交易类的任一给定月度数据都是横截面数据，而任给一类从 1 9 7 5年 4月到 1 9 7 8年 1 2月的数据又都是时间序列数据。
(续)
(续 )
序号 行 业 销售额 R & D费用支出 利 润
9 食品行业 70 761.6 5 0 9,2 5 036.4
1 0 健康护理业 80 552.8 6 620.1 13 869.9
11 宇航业 95 294.0 3 918.6 4 487.8
1 2 消费品 101 314.1 1 595.3 10 278.9
1 3 电器与电子产品 116 141.3 6 107.5 8 787.3
1 4 化学工业 122 315.7 4 454.1 16 438.8
1 5 聚合物 141 649.9 3 163.8 9 761.4
1 6 办公设备与计算机 175 025.8 13 210.7 19 774.5
1 7 燃料 230 614.5 1 703.8 22 626.6
1 8 汽车行业 293 543.0 9 528.2 18 415.4
注：行业是按销售额递增的次序排列的。
资料来源,Business We e k,Special 1989 Bonus Issue,R&D Scorecard,p p,1 8 0 - 2 2 4,
图 11-3 1988年美国工业研究与发展 ( R & D )费用支出与销售额从图 11 - 3可以看出：平均而言,R & D支出费用随着销售额的增加而增加。但是，引人注意的是：随着销售的增加,R & D支出费用的变动幅度也增大了，也即存在着异方差。如果我们把从回归方程中得到的残差对各个观察值作图 (图 11 - 4 )，则可以更明显地看到这一点：因为观察值是按照销售额升序排列的，所以这就等于间接地将残差对销售额作图。
图 11-4 R&D回归方程 ( 11 - 3 )中的残差第 11章 异 方 差 介绍 223下载
〔等式 （ 11-3） 〕
销售额/百万美元从图 11 - 4中可以很清楚地看到，残差的绝对值随着销售额的增加而增加。这再一次表明，
在这个例子中同方差假定是无法站住脚的。因此，我们将不得不重新考虑回归方程 ( 11 - 3 )，因为该方程是建立在同方差假定基础之上的。我们将在本章的后半部分解决这个问题。
特别需要指出的是，尽管残差 ei与扰动项 ui很相像，但二者并不相同。因此，根据可观察到的 ei的变化，我们并不能直接推出 ui的方差也是变化的。但是，随后我们将会看到，在实际中，我们很少能够观察到 ui，因此，我们只能够处理 ei。换句话说，通过对 ei进行图形检验，来推得有关 ui的图形。
假设在 R & D回归方程中，根据图 11 - 3和图 11 - 4，我们认为出现了异方差情况。接着该怎么办呢？是不是基于同方差假定所得到的式 ( 11 - 3 )回归结果毫无用处呢？ 1 为了回答这一问题，我们必须知晓在异方差情况下普通最小二乘法会出现什么异常。下面我们讨论这个问题。
11.2 异方差的后果我们知道在古典线性回归模型的假设下，普通最小二乘法估计量是最优线性无偏估计量，
也就是说，在众多线性无偏估计量中，最小二乘估计量具有最小方差性 — 它是有效估计量。
现在假定我们解除同方差假定，允许扰动方差随观察值而异，但其他假定保持不变。下面给出异方差的后果，证明从略。 2
(1) OLS估计量仍然是线性的。
(2) OLS也是无偏的。
(3) 但它们不再具有最小方差性。也就是说，它们不再是有效的。即使对大样本也如此。
简言之，无论是小样本还是大样本,O L S估计量都不再是最优线性无偏估计量。
(4) 根据常用估计 O L S估计量方差的公式得到的方差通常是有偏的。先验地，我们无法辨别是正的偏差还是负的偏差。如果 O L S高估了估计量的真实方差，则会产生正的偏差，而如果
O L S低估了估计量的真实方差，则会产生负的偏差。
(5) 方差的产生是由于,也即 不再是真实 的无偏估计量。 [注,d,f,(自由度 )
在双变量模型中是 (n－ 2 )，在三变量模型中是 (n－ 3 )，等等 ]别忘了，在计算 O L S估计量的方差时已经用了 。
(6) 因此，建立在 t分布和 F分布之上的置信区间和假设检验是不可靠的。如果仍用传统的假设检验方法，则有可能得出错误的结论。
简言之，在存在异方差的情况下，通常所用的假设检验已经不再可靠，因为有可能得出错误的结论。
回到模型 ( 11 - 3 )所给出的 R & D回归结果，如果存在着异方差或是有迹象表明存在异方差 (关于异方差存在性的正规检验方法将在本章第 3节予以讨论 )，那么，在解释回归结果时必须非常小心。从 ( 11 - 3 )回归可以看出：,显然”,销售变量的系数显著不为零，因为其 t值为 3,8 3，在 1%
的显著水平下，是“显著地”的 (对于自由度为 1 6，在 0,0 1显著水平下，单边 t临界值为 2,9 2 1 )。
实际上,值小于 0.000 1。但如果确实存在异方差，那么我们就不能相信估计得到的标准差，
0.008 3，因而也就不能相信计算的 t值。这就促使我们去检查是否确实存在着异方差问题。
2
2
e
i
2
/d.f.∑?
2
224部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 作为实际问题，在进行回归时，我们通常假定古典线性回归模型所有的假设都得到满足。只是在我们检查回归结果时，我们才开始寻找一些“线索”,这些线索或许能够告诉我们古典线性回归模型的一个或者多个假定也许是不满足的。这并不完全是一个坏的策略，何必“对礼物吹毛求疵”呢？
2 证明可参阅,D a m o n d,N,G u j a r a t i,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5，
C h a p,11。
上述讨论表明：异方差是一个潜在的严重问题，因为它可能破坏常用的 O L S估计以及假设检验过程。因此，在具体的研究中，尤其是涉及横截面数据时，很重要的一点是首先要判断是否存在异方差问题。
但是，在讨论异方差的检验之前，我们应该知道为什么在异方差的情形下 O L S估计量是无效的。
考虑双变量回归模型。回顾第 5章的内容，在运用普通最小二乘法的过程中我们要使残差平方和 ( R S S )最小：
现在考虑图 11 - 5
图 11 - 5
该图形描绘了某一假设总体 Y对变量 X的所选值间的关系。从图中可以看出，给定 X，对应每一 (子 )总体 Y的方差是不同的，这表明存在异方差。假设对应每一个 X值随机地选取一个 Y值。
将所选的 Y值圈起来。根据方程 ( 5 - 1 3 )可知，利用普通最小二乘法，每一个 e2i 都有同样的权重，
无论它是来自于一个较大方差的总体还是来自于一个较小方差的总体 (比较点 Yn和点 Y1)。这么做似乎并不明智，我们应该给那些取自较小方差总体的观察值以更大的权重，而给那些取自较大方差总体的观察值以更小的权重。这能够使我们更为精确地估计总体回归函数。这就是 加权最小二乘法 (weighted least squares)，稍后我们讨论。
11.3 异方差的检验：如何知道存在异方差问题尽管理论上容易列举异方差的后果，但对具体情况检验异方差问题却绝非易事。这一点容易理解，因为只有当我们有了与所选 X相对应的整个 Y总体时，才能知道 2i (如表 5 - 1给出的
w i d g e t s一例的假设的总体 )。然而，不幸的是，我们很少能够得知整个总体。更一般地，我们仅仅知道一个样本。典型地，我们仅有与给定变量 X值相对应的单独的一个 Y值。而根据单独的这个 Y值无法确定对应于给定 X值的 Y的条件分布的方差。 1
为了更清楚地看到这一点，我们再来看表 11 - 2给出的 R & D数据。对每一个行业，只有一个
R & D数据。仅从这个 R & D数据，根本无法求出该行业的 R & D的方差。例如，对于电器和电子
e
i
2
= (Y
i
b
i
b
2
X
i
)∑∑
第 11章 异 方 差 介绍 225下载
1 注意，给定 X值,u的方差和 Y的方差是一样的。换句话说,u的条件方差 (对应于给定的 X值 )与 Y的条件方差是相同的，参见第 6章脚注 1。
a )
a )
总体回归函数样本回归函数
b )
行业，其总的 R & D支出约为 6 107(百万美元 )。但是，该行业中包括了 1 7 1个公司。除非我们知道关于每个公司的信息，否则我们无法说出该行业 R & D支出费用的变化。也就是说，如果将
6 1 0 7除以 1 7 1得到大约 3 8 (百万美元 )作为该行业的平均 R & D支出费用，那么我们无法确定 R & D
支出费用是如何围绕这一均值分布的。换句话说，我们无法确定该行业的 R & D支出费用的方差是多少。对于表 11 - 2中的其他 1 7个行业也是如此。
因此，根据表 11 - 2的数据，如果作 R & D对销售的回归，正如方程 ( 11 - 3 )那样，我们无法知道与每个观察值 (也就是每个 R & D数据 )有关的 2i 值：回归方程 ( 11 - 3 )是基于假设 — 表 11 - 2中每个观察值都具有同样的 (也就是同方差 )方差 2。而这一方差是通过 估计得到的。这里，我们的任务就是判定这一假设是否正确。
现在我们处于“进退维谷”的地步。如果存在着异方差但我们却假定了不存在，那么根据普通最小二乘法可能得出误导性结论，因为 O L S估计量不是最优线性无偏估计量。但是由于大多数数据来自同一个样本，因而我们又没有其他的方法能够求出与每个观察值有关的真实误差
2
i 。如果我们能够找出真实的
2
i,就可能解决异方差问题 (参见本章第 4节 )。那么，经济计量学家能做什么呢？
与多重共线性的情形相同，并没有严格的规则用来检验异方差；我们所有的只是一些检测工具，这些检测工具可以帮助我们检验异方差。下面介绍其中的一些检测工具。
11.3.1 根据问题的性质所考察问题的性质往往提供是否存在异方差的信息。例如，根据普雷斯 ( P a r i s )和霍撒克
(Houthakker) 1关于家庭预算的开创性著作，他们发现在消费对收入的回归中，残差方差随收入的增加而增加。现在一般相类似的调查研究通常假设不同扰动项的方差是不等的。事实上，在涉及不均匀单位的横截面数据中，异方差可能是常有的情况而不是例外。例如，在与销售、利率等相关的投资支出的横截面数据分析中，如果把小、中和大型的公司聚集在一起加以抽样，
就很可能存在异方差。类似地，在对与产出相关的平均成本的横截面数据研究中，也很可能存在异方差，如果样本包括了小、中和大型公司。 (参见例 11,8 )
11.3.2 残差的图形检验在回归分析中，常常对拟合回归方程中的残差进行分析。将残差对其相应的观察值描图，
或是对一个或多个解释变量描图，或是对估计的 Yi的均值,描图。根据这样的 残差图
(residual plot)可以为我们判断古典线性回归模型中的一个或者多个假定是否满足提供线索，我们将简要地加以说明。
我们已看到了图 11 - 4，该图描绘了从回归方程 ( 11 - 3 )中所得的残差与销售的关系。从图中可以看出，残差的 (绝对 )值随销售量的增加而增加。实际上，该图是一个放大器的形式。或许数据中存在着异方差。
有时我们不是将残差对销售描图，而是将残差的平方 对销售描图。尽管 与 不同，它经常可以用它来替代后者，尤其对大样本。 2
在利用 R & D回归方程 ( 11 - 3 )的数据将残差平方对销售描图之前，我们先考虑一下当将 对变量 X描图时可能遇到的异方差的各种模式。参见图 11 - 6。在图 11 - 6 a中，变量 X与 之间没有可观察到的系统模式，表明数据中可能不存在异方差。另一方面，从图 11 - 6 b到 e可以看出残差
e
i
2
e
i
2
u
i
2
e
i
2
e
i
2
Y
i
2
= e
i
2
∑ /(n? 2)
226部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 S,J.Paris,H,S,H o u t h a k k e r,The Analysis of Family Budgets,Cambridge University,New Yo r k,1 9 5 5,
2 e2i与 u2i之间的关系，参见 E,Malinvaud,Statistical Methods of Econometrics,N o r t h - H o l l a n d,
A m s t e r d a m,1 9 7 0,p p,8 8 - 8 9,
平方与解释变量 X之间的系统关系；例如，图 11 - 6 c表明，两者之间存在着线性关系。而图 11 -
6 d和 e则表明存在着四次方关系。因此，在实践中，如果残差平方呈现出图 11 - 6 b到 e中的任意一种，则数据中很可能存在着异方差。
图 11-6 e2模式注意，上述散点图只不过是一个检测工具，一旦怀疑存在异方差，再继续分析时我们应该更为谨慎。
同时，提出一些实际的问题。比方说，假设现有一个包括四个变量的多元回归方程。那么我们该如何继续下去呢？最直观的方法是将 对每个变量描图。可能只有一个变量表现出图
11 - 6中 ( b到 e )的某个模式。有时我们可以寻找一个捷径。将 对 Y的估计均值 描图，而不是将 与每个变量描图。由于 是 XS的线性组合 (为什么？ ),对 的散点图可能会呈现出图 11 -
6 ( b到 e )某种模式，表明数据中可能存在异方差。这就避免了将残差平方对单个变量描图的烦琐过程，尤其是当模型中的解释变量很多时。
假定我们将 对一个或者多个解释变量或是 描图，进一步假定作出的散点图表明存在着异方差。那么接下来该怎么办呢？在 11,4节中，我们将介绍如果 与解释变量或是 相关，如何从原始数据进行变换，使得变换后的数据不存在异方差。
我们回到 R & D一例。在图 11 - 7中，将从回归方程 ( 11 - 3 )中估计得到的残差平方对模型中的解释变量，销售描图。 1
该图与图 11-6 (b)很相似，这清楚地表明了残差平方与销售是系统相关的。该散点图表明在 R & D回归方程 ( 11 - 3 )中可能存在异方差问题。
11.3.3 帕克检验 (Park test)2
上面给出的图形检验比较直观，我们可以加以规范。如果存在着异方差，异方差方差 2i可
Y
i
e
i
2
Y
i
e
i
2
Y
i
e
i
2?
Y
i
e
i
2
Y
i
e
i
2
e
i
2
第 11章 异 方 差 介绍 227下载
a) b) c)
e)d)
1 注意，我们是将 e2i而不是 ei对 X或者 描图，正如我们在第 6章中脚注 1 3所指出的那样,ei与 X以及 之间都是零相关。
2 R.E.Park,,Estimation with Heterosceastic Errors Terms”,Econometrica,vol.34,no.4,October 1966,p,8 8 8,
Y
i
Y
i
能与一个或者多个解释变量系统相关。为了弄清楚情况是否果真如此，可以作 2i对一个或者多个解释变量的回归。例如在双变量模型中，我们可以运行下面的回归方程：
=B1+B2l nXi+vi ( 11 - 4 )
其中,vi是残差项。这就是帕克检验。这里所选择的特殊函数形式 ( 11 - 4 )是为了方便起见。
图 11-7 与销售,R & D回归方程 ( 11 - 3 )
不幸的是，回归方程 ( 11 - 4 )是不可操作的，因为我们并不知道异方差方差 。如果知道的话，可以很容易解决异方差的问题 (参见 11,4节 )。帕克建议用 ei来代替 ui，运行如下回归方程：
l n = B1+B2l nXi+vi ( 11 - 5 )
如何来获得 呢？我们可以从原始的回归方程中获得 的值，比如模型 ( 11 - 3 )。
帕克检验的步骤如下：
(1) 作普通最小而乘回归，不考虑异方差问题。
(2) 从原始回归方程中得残差 ei，并求其平方，再取对数形式 (计算机能够做到这一点 )。
(3) 利用原始模型中的一个解释变量作形如式 ( 11 - 5 )的回归；如果有多个解释变量，则对每个解释变量都做形如式 ( 11 - 5 )的回归。或者作 对 Y的估计值 的回归。 1
(4) 检验零假设 B2= 0；也即不存在异方差。如果 ln 和 Xi之间是统计显著的，则拒绝零假设：
不存在异方差，在这种情况下需要采取一些补救措施，我们将在 11,4节中讨论。
(5) 如果接受零假设，则回归方程中的 B1可以解释为同方差 2。
例 11.3 R&D回归与帕克检验。
我们来解释 R & D回归方程 ( 11 - 3 )。把从这个回归方程中得到的残差用于回归模型
( 11 - 5 )，得到如下结果：
=5.687 7+0.701 4ln销售额 i
se=(6.635 2) (0.603 3) ( 11 - 6 )
t =(0.857 2) (1.162 6) r2=0.077 9
显然，在 5%的显著水平下 (单边检验 )，估计的斜率系数是统计不显著的。
我们能否因此而接受假设,R & D数据中不存在有异方差问题。我们还不能这么
ln? e
i
2
e
i
2
Y
i
e
i
2
e
i
2
e
i
2
e
i
2
i
2
e
i
2
ln
i
2
228部分 第三部分 实践中的回归分析 下载销售额
1 在运行回归方程 ( 11 - 5 )时，需要考虑选择合适的函数形式。有些时候，作 对 Xi的回归可能是合适的，
有些时候，作 l n 对 Xi的回归可能是合适的。e
i
2
e
i
2
(续)
快下结论。因为帕克所选择的特殊函数形式，回归方程 ( 11 - 5 )，只是建议性的，其他的函数形式也许会使我们得出不同的结论 (在第 1 3章中，我们将更多的讨论如何选择
“合适”模型 )。帕克检验存在一个比较严重的问题，就是在回归方程 ( 11 - 5 )中，误差项 vi本身可能存在着异方差！我们又回到问题起点。在判定 R & D回归方程中不存在异方差之前，我们需要更多的检验。
11.3.4 Glejser检验 (Glejser test)1
G l e j s e r检验实质上与帕克检验很相似。从原始模型中获得残差 ei之后,G l e j s e r建议作 ei的绝对值 |ei|对 X的回归。 G l e j s e r建议的一些函数形式如下：
( 11 - 7 )
( 11 - 8 )
( 11 - 9 )
每种情形的零假设都是不存在异方差，也即,B2= 0。如果零假设被拒绝，则表明可能存在着异方差。
例1 1.4 R&D回归与 Glejser 检验根据回归方程 ( 11 - 3 )的残差估计这些模型，得到的结果如下：
= 5 7 8,5 7 + 0,0 11 9销售额 i
t=(0.852 5) (2.093 1) r2=0.215 0 ( 11 - 1 0 )
=-507.02+7.972 0
t= (-0.503 2) (2.370 4) r2=0.259 9 ( 11 - 11 )
=-227 3.7-1 9 9 2 5 0 0 0
t=(3.760 1) (-1.617 5) r2=0.140 5 ( 11 - 1 2 )
根据 G l e j s e r检验，模型 ( 11 - 1 0 )和 ( 11 - 11 )表明拒绝零假设：不存在异方差，因为在 5%的显著水平下 (双边检验 )，斜率系数都是统计显著的。而模型 ( 11 - 1 2 )表明接受同方差的假设。
对 G l e j s e r检验有一点需要特别注意：与帕克检验一样，在 G l e j s e r所建议的回归方程中，误差项本身可能就存在异方差和系列相关问题 (关于系列相关，参见第 1 2章 )。然而，对于大样本，
上述模型能够很好地检测异方差问题。因此,G l e j s e r检验可用作大样本的检测工具。在 R & D一例中，仅仅有 1 8个观察值，因此，在解释回归方程 ( 11 - 1 0 ),( 11 - 11 ),( 11 - 1 2 )时必须特别地谨慎。
11.3.5 White检验 (White's General Heteroscedasticity Te s t )2
怀特 ( W h i t e )提出了异方差一般检验方法，这一检验方法在实际中很容易应用。假定有如
1
销售额 iei
e
i
e
i
e
i
= B
1
+ B
2
1
X
i
+ v
i
e
i
= B
1
+ B
2
X
i
+v
i
e
i
= B
1
+ B
2
X
i
+ v
i
第 11章 异 方 差 介绍 229下载
1 H,G l e j s e r,,A New Test for Heteroscedasticity,” Journal of the American Statistical Association ( J A S A ),
vol,64,1 9 6 9,3 1 6 - 3 2 3,
2 H,White.,A Heteroscedasticity Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test of
H e t e r o s c e d a s t i c i t y”,E c o n o m e t i c a v o l,4 8,n o,4,1 9 8 0,p p,8 1 7 - 8 1 8,
销售额 i
下模型：
Yi=B1+B2X2i+B3X3i+ui ( 11 - 1 3 )
W h i t e检验步骤如下：
(1) 首先用普通最小二乘法估计回归方程 ( 11 - 1 3 )，获得残差 ei。
(2) 然后作如下辅助回归：
=A1+A2X2 i+A3X3i+A4 +A5 +A6X2iX3i+vi ( 11 - 1 4 )
即作残差平方 对所有原始变量、变量平方以及变量交叉乘积的回归。也可以加入原始变量的更高次幂。 vi是辅助回归方程中的残差项。
(3) 求辅助回归方程 ( 11 - 1 4 )的 R2值。在零假设：不存在异方差 (也就是，方程 ( 11 - 1 4 )中的所有斜率系数都为零 )下,W h i t e证明了，从方程 ( 11 - 1 4 )中获得的 R2值与样本容量 ( =n)的积服从 2
分布，自由度等于方程 ( 11 - 1 4 )中解释变量的个数 (不包括截距项 )。
n· R2~ 2 d,f,( 11 - 1 5 )
在模型 ( 11 - 1 4 )中，自由度 d,f,为 5。
(4) 如果从方程 ( 11 - 1 5 )中得到的 2值超过了所选显著水平下的 2临界值，或者说计算 2值的值很低，则可以拒绝零假设：不存在异方差。而另一方面，如果计算的 2值的 值很大，则不能拒绝零假设。
例 11.5
为了说明 W h i t e检验，我们来看习题 11,1 8中表 11 - 1 5的数据。在回归方程 ( 11 - 1 3 )
中,Y代表婴儿死亡率,X2代表人均 G N P,X3代表受初等教育占人口的百分比 (作为文化程度的指标 )。先验地，我们预期人均 G N P和教育指标对婴儿死亡率有着负面的影响 (为什么？ )。回归结果如下：
= 111,7 8-0.004 2X2i-0.489 8X3i
se=(23.35) (0.001 6) (0.286 5)
t=(4.79) (-2.53) (-1.71) R2= 0,4 9 2 ( 11 - 1 6 )
p= ( 0,0 0 0 )① (0.022) (0.106) = 0,4 3 3
① 表示一个很小的值。
与预期相同,X2和 X3的系数均为负。根据单边 t检验 (为什么要用单边检验？ )，两个斜率系数 t值的 p值分别为 0,0 11和 0,0 5 3 (是方程 ( 11 - 1 6 )中 p值的一半 )。
正如习题 11,1 8所示，表 11 - 5给出的是 2 0个国家的数据，其中有 5个国家是属于低收入国家,5个国家是中等偏下收入国家,5个国家是中等偏上收入国家,5个国家是高收入国家。其中，收入的划分是按照世界银行的划分方法。由于我们的样本是来自经济条件差异很大的国家，因此，先验地，我们预期存在异方差。为了检验我们的预期，我们使用 W h i t e检验，利用模型 ( 11 - 1 4 )。回归的结果在习题 11,1 9中给出，回归结果表明 R2值为 0,6 4 9。然后，利用方程 ( 11 - 1 5 )，得到，
2 0 ( 0,6 4 9 ) = 1 2,9 8 ( 11 - 1 7 )
在零假设：不存在异方差下，方程 ( 11 - 1 7 )所给出的值服从自由度为 5的 2分布。得此
2值的 值约为 0.023 35，这一值是很小。因此，根据 W h i t e检验，我们可以下判定存在异方差。
怀特检验的一个缺陷是它太一般化了。如果有好几个解释变量的话，则在回归方程中要包括这些变量，变量的平方 (或者更高次幂 )以及它们的交叉乘积项，这会迅速地降低自由度。因此，在引入太多变量时，必须谨慎一些。有时，我们可以去掉变量的交叉乘积项。
R
2
Y
i
e
i
2
X
3i
2
X
2i
2
e
i
2
230部分 第三部分 实践中的回归分析 下载除了检验异方差以外,W h i t e还提供了一种统计方法用于修正形如回归方程 ( 11 - 1 3 )的估计标准差。我们将在本章第 5节中详细讨论。
11.3.6 异方差的其他检验方法上面只是讨论了检验异方差的一些常用的方法。 下面给出了异方差的检验的一些其他方法，
这里我们不在详细讨论。
(1) 斯皮尔曼 ( S p e a r m a n )秩相关检验 (参见题 11,1 3 )。
(2) 戈德费尔德 -匡特 ( G o l d f e l d - Q u a n d t )检验。
(3) 巴特莱特 ( B a r t l e t t )方差同质性检验。
(4) 匹克 ( P e a k )检验。
(5) 布鲁尔什 -培甘 ( B r e u s c h - P a g a n )检验。
(6) CUSUMSQ检验。
感兴趣的读者可以查阅有关这方面的参考书。 1
11.4 观察到异方差该怎么办：补救措施我们在前面已经看到，异方差的存在并不破坏普通最小二乘法估计量的无偏性，但是估计量却不再是有效的，即使对大样本也是如此。缺乏有效性，就使通常假设检验程序的值不可靠。
因此，如果怀疑存在异方差或者已经检测到了异方差的存在，则寻求补救的措施就很重要。
例如，在 R & D一例中，根据 G l e j s e r检验，表明在回归方程 ( 11 - 3 )中可能存在异方差问题。
如何解决这一问题呢？是否存在这样方法，将模型 ( 11 - 3 )加以“变换”,使得“变换”后的模型具有同方差性？但是采取什么样的变换形式呢？答案取决于 ( 1 )误差的真实值 是已知的 ( 2 )误差的真实值 是未知的。
11.4.1 加权最小二乘法 ( W L S )
我们考虑双变量总体回归函数
Yi=B1+B2Xi+ui ( 11 - 1 8 )
其中 Y，比方说是 R & D支出,X是销售量。从现在起，假设误差 2i是已知的，也就是说，
每个观察值的误差是已知的。对模型作如下“变换”,
( 11 - 1 9 )
这里将回归等式 ( 11 - 1 8 )的两边都除以“已知”的 i。 i是方差 2i的平方根。
令，
( 11 - 2 0 )
我们将 vi称作是“变换”后的误差项。 vi满足同方差吗？如果是，则变换后的回归方程 ( 11 -
1 9 )就不存在异方差问题了。假设古典线性回归模型中的其它假设均能满足，则方程 ( 11 - 1 9 )中各参数的 O L S估计量将是最优线性无偏估计量，我们就可以按常规的方法进行统计分析了。
证明误差项 vi同方差性并不困难。根据方程 ( 11 - 2 0 )，有：
v
i
=
u
i
i
Y
i
i
= B
1
1
i
+ B
2
X
i
i
+
u
i
i
i
2
i
2
第 11章 异 方 差 介绍 231下载
1 S p e a r m a n秩相关检验,G o l d f e l d - Q u a n d t检验和 B r e u s h - P a g a n检验参见 D a m o d a r,N,G u j a r a t i,B a s i c
E c o n o m e t r i c s,3 e d,M c G r a w - H i l l,New Yo r k,1 9 9 5,C h a p 11,
( 11 - 2 1 )
因此，
，由于 是已知的。 ( 11 - 2 2 )
，由方程 ( 11 - 1 )
= 1
显然它是一个常量。简言之，变换后的误差项 vi是同方差的。因此，变换后的模型 ( 11 - 1 9 )
不存在异方差问题，我们可以用常规的 O L S方法加以估计。
在实际估计回归方程 ( 11 - 1 9 )中，你需要给计算机一个指令，将 Y和 X的每个观察值都除以
“已知”的,然后再对这些变换后的数据进行 O L S回归 (现在大多数计算机软件包都能够实现这一点 )。由此获得的 B1,B2的 O L S估计量就称为 加权最小二乘 (weighted least squares,WLS)估计量； Y和 X的每个观察值都以其 (异方差 )标准差 为权数 (也就是说，除以 )。这种加权的过程就称为加权最小二乘法 (WLS) 1 (参见习题 11,1 4 )。
11.4.2 为未知时的情况尽管从直观上看加权二乘法很简单，但有一个重要的问题：如何知道或者如何找出真实的误差方差,？前面我们已经指出，在经济计量学的研究中，有关误差方差的信息是极少的。
因此，如果想要使用 W L S方法，常借助于似乎可靠的关于 的假设，把原来的回归模型变换为能够满足同方差假定的模型。然后才可以对变换后的模型运用 O L S法，因为 W L S只不过是对变换过的数据用 O L S法。 2
当 未知时，紧接着的一个实际问题就是，对于这个未知的误差方差我们要做何假设？
怎样才能应用 W L S法？在此，我们考虑双变量模型所出现的几种可能情况；我们也很容易将其推广到多元回归的情形。
情形 1：误差与 Xi成比例：平方根变换 。在用常规的 O L S法估计之后，我们将回归所得的残差对解释变量 X描图，如果观察到图案与图 11 - 8相似，则表明误差与解释变量 X线性相关，或者说与 X成比例。
也就是，
( 11 - 2 3 )
这表明误差方差与 X成比例，或者说与 Xi线性相关；常数 (注意 没有下标 )是比例因子。
在式 ( 11 - 2 3 )假定下，将模型 ( 11 - 1 8 )作如下变换：
( 11 - 2 4 )Yi
X
i
= B
1
1
X
i
+ B
2
X
i
X
i
+
u
i
X
i
22
E(u
i
2
) =
2
X
i
i
2
i
2
i
2
i
2
ii
i
=
1
i
2
(
i
2
)
i
2
=
1
i
2
E(u
i
2
)
E(v
i
2
) = E
u
i
2
i
2
v
i
2
=
u
i
2
i
2
232部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 注意回归方程 ( 11 - 1 9 )的技术要点。为了估计它，需要给计算机一个指令，让回归线经过原点，因为方程 ( 11 - 1 9 )中没有“明确”的截距 — 方程的第一项是 B1 ( 1/ i )。但是,( 1/ i )的斜率系数实际上是截距系数 B1。 (你看出这一点了吗？ )对经过原点回归的讨论，参见习题 6,1 5。
2 注意,在 O L S中,是最小化 但是在 W L S中,是最小化,前提是 为已知。注意在 W L S中我们是如何将大方差的观察值加以“压缩”的,因为误差方差越大,除数越大。i
e
i
i
2
=∑
Y
i
b
1
b
2
X
i
i
∑e
i
2
= (Y
i
b
1
b
2
X
i
)
2
∑∑
其中 。也就是说，将模型 ( 11 - 1 8 )的两边同时除以 Xi的平方根。方程 ( 11 - 2 4 )就是平方根变换 (square root transformation)的一个例子。
图 11-8 误差与变量 X成比例根据等式 ( 11 - 2 2 )的思路，很容易证明变形后的回归方程的误差方差 vi是同方差的，因此，
我们可以应用 O L S法来估计方程 ( 11 - 2 4 )。事实上，这里我们正在使用 W L S法 (为什么？ )1。有一点需要特别指出，为了估计方程 ( 11 - 2 4 )，我们必须使用过原点的回归进行估计。大多数标准回归软件包都能够做到这一点。 (关于过原点的回归的详细讨论，参见习题 6,1 5。 )
例 11.6 变换后的 R&D回归方程。
对 R & D数据，先前的检验表明可能存在异方差问题。根据图 11 - 4，看起来误差与销售变量成比例。因此我们接受式 ( 11 - 2 3 )的假定以及估计方程 ( 11 - 2 4 )，得到如下结果：
se=(381.13) (0.007 1) ( 11 - 2 5 )
t= (-0.647 2) (5.172 3) r2=0.625 8
将 W L S结果与回归方程 ( 11 - 3 )中给出的 O L S结果相比较，我们可以得出什么结论呢？
首先，读者也许会认为这两种结果无法比较，因为这两个模型中的被解释变量和解释变量是不相同的。但是，实际中的差异并没有那么明显，因为在求得方程 ( 11 - 2 5 )
后，我们可将方程两边同乘以,将其转化成：
( 11 - 2 6 )
该方程就可以与回归方程 ( 11 - 3 )直接进行比较了。两个方程的斜率系数相差很小。
但是需注意的是，在方程 ( 11 - 2 5 )中,X的系数比方程 ( 11 - 3 )相应的系数更为显著 (为什
Y
i
=?246.68 + 0.0368X
i
X
i
Y
i
X
i
=?246.68
1
X
i
+ 0.036 8 X
i
v
i
= u
i
X
i
= B
1
1
X
i
+ B
2
X
i
+ v
i
第 11章 异 方 差 介绍 233下载
1 由于,因此,也即同方差。注意变量 X是非随机的。E(v
i
2
) =
E(u
i
2
)
X
i
=
2 Xi
X
i
=
2
v
i
= u
i
X
i
,v
i
2
=
u
i
2
X
i
(续)
么？ )，这表明在回归方程 ( 11 - 3 )中,O L S法实际上高估了 X系数的标准差。正如在前面指出的那样，当存在异方差时，标准差的 O L S估计量是有偏的，而我们却无法知道它是偏高还是偏低。在这个例子中，它是偏高的，也就是说，它高估了标准差。就截距而言，它在两种情形下都是不显著的。
看来，式 ( 11 - 2 3 )的假定适合 R & D一例，方程 ( 11 - 2 5 )所给出的 W L S回归结果更具有说服力，因为我们已经考虑到了异方差问题。
问题是：如果模型中包括多个解释变量，情况又会怎样？在这种情况下，我们可以使用任何一个解释变量将模型变换成形如方程 ( 11 - 2 4 )那样的模式。比方说，我们可以根据图形找出合适的解释变量 (参见习题 11,7 )。但是如果有多个解释变量都可以的话，又会怎样呢？在这种情况下，我们就不使用任何解释变量，而是利用估计的 Yi的均值 作为变换变量，因为 是解释变量 X的线性组合。
情形 2：误差方差与 X2i 成比例 。如果所估计的残差呈现如图 11 - 9所示的模式，则表明误差方差并不是与 X线性相关，而是随着 X的平方按比例增加。用符号表示，
( 11 - 2 7 )
在这种情况下，我们需将方程的两边都除以 Xi，而不是 Xi的平方根，变换如下：
( 11 - 2 8 )
其中 vi=ui / Xi
图 11-9 误差方差与 X2成比例按照前面的方法，读者可以很容易地验证方程 ( 11 - 2 8 )中的误差项 v是同方差的。因此，用
O L S法估计方程 ( 11 - 2 8 ),(这其实是 W L S估计 )可以得到最优线性无偏估计量 (注意：古典线性回归中的其它假设依然不变 )。
Y
i
X
i
= B
1
1
X
i
+ B
2
+
u
i
X
i
= B
1
1
X
i
+ B
2
+ v
i
E(u
i
2
) =
2
X
i
2
Y
i
Y
i
234部分 第三部分 实践中的回归分析 下载注意方程 ( 11 - 2 8 )中的一个值得关注的特性：原始方程中的斜率系数现在变成了“截距”,
而原始方程中的截距现在则变成了“斜率”系数。但这一变化仅仅只是为了估计，一旦我们估计出方程 ( 11 - 2 8 )，将方程的两边同时乘以 Xi，则又回到了原始模型。
11.4.3 重新设定模型除了“推测” 2i以外，有时我们重新设定总体回归函数 ( P R F )，即选择一个不同的函数形式 (参见第 8章 )，这样也能够消除异方差。举例来说，如果我们不选择变量线性回归函数 ( L I V )
的形式，而是用对数形式来估计模型，这样也常常能够消除异方差。即，如果我们估计：
l nYi=B1+B2l nXi+ui ( 11 - 2 9 )
在这个变换形式中的异方差问题也许就没那么严重,因为对数变换压缩了测定变量的尺度，
从而把两个变量值间的 1 0倍差异缩小为 2倍差异。例如,9 0是 9的 1 0倍，但 ln90 (=4.499 8)只有
ln2 (=2.197 2)的两倍。
正如我们在第 8章所看到的那样，对数线性或者双对数模型的一个显著优点是，斜率系数
B2度量的是 Y对 X的弹性，也即,X每变化百分之一时的 Y变化的百分比。
在一个具体的例子中，是用线性变量模型还是对数线性模型要根据具体的理论以及其他一些因素来决定，我们将在第 1 3章中详细讨论。但如果选择两者中的任何一个并没有太大的差别，
并且在线性变量模型中异方差问题有比较严重时，则不妨试一试双对数模型。
例 11.7 R&D对数线性模型对于 R & D数据，其对数线性回归模型如下：
=-7.364 7+1.322 2lnXi
se=(1.848 0) (0.168 04) ( 11 - 3 0 )
t= (-3.985 2) (7.868 7) r2=0.794 7
回归结果表明：在对数线性模型中,R & D支出与销售正相关，并且是显著相关的。估计的弹性系数表明，在其他条件保持不变的情况下，销售量每增加 1%，平均而言,R & D支出将增加 1,3 2%。
在习题 11,9中，要求读者检证上述回归结果并检查是否存在异方差。如果回归方程 ( 11 - 3 0 )不存在异方差问题，则该模型显然优于变量线性模型，因为后者存在着异方差问题，需要对变量进行变换。
顺便指出：我们此前所讨论的消除异方差的变换方法也称为 方差稳定变换 ( v a r i a n c e
stabilizing transformations)。
为了作出我们所讨论的补救措施的结论，需要重申的是，以前所有讨论过的变换都是一种特别的变换；在不知道真实 2i的确切信息的情况下，我们通常的做法是推测它会是什么样。究竟选择前面讨论的哪种变换，取决于问题的性质和异方差的严重程度。还要注意的是，有时候误差也许与模型中所包括的任何一个解释变量都不相关。相反，它可能与我们在建模型过程中可以考虑进去但实际上并未考虑进去的一个变量相关。在这种情形下，可以用这一变量来对模型加以变换。当然，按照逻辑，如果一个变量是属于模型的，则它在最开始就应该被包括进去。
第 1 3章对此会有更详细的论述。
11.5 White 异方差校正后的标准差和 t统计量前面我们已经指出，在存在异方差的情况下,O L S估计量尽管是无偏的，但却是无效的。
ln
Y
i
第 11章 异 方 差 介绍 235下载因此，按常规方法计算得到的估计量的标准差和 t统计量都值得怀疑。 W h i t e建立了一种估计方法，利用这种方法得到的标准差和回归系数考虑到了异方差的存在。因而，我们可以继续使用
t检验和 F检验，只不过这时的 O L S估计量是渐近有效的，也即对大样本是有效的。 1
下面讨论在存在异方差的情况下，用常规的 O L S法计算标准差和 t统计量会导致什么样的后果，我们来看婴儿死亡一例 [回归方程 ( 11 - 1 6 ) ]。利用 E V I E W S统计软件包，得到 ( W h i t e )异方差校正后的回归函数如下：
= 111.781 3－ 0.004 2X2i－ 0.498 8X3i
se=(38.726 4) (0.001 4) (0.424 2)
t=(2.886 4) (－ 3.032 1) (－ 1.154 6) R2=0.492 3 ( 11 - 3 1 )
p值 =(0.010 3) (0.007 5) (0.264 2) =0.432 5
将未校正异方差回归方程 ( 11 - 1 6 )与回归方程 ( 11 - 3 1 )相比较，我们可以看到一些显著的变化。
尽管两个回归方程中回归系数的值都是一样的，但标准差却不相同。在回归方程 ( 11 - 3 1 )中，截距的标准差和变量 X3的标准差都显著变大，但变量 X2的标准差却略微减少。因此，我们无法再认为变量 X3对婴儿死亡率有显著影响。严格地说，虽然我们的样本观察值只有 2 0个，也许还不够大到足于使用 W h i t e方法，但它确实应证了如果怀疑存在异方差，那么，最好还是把它考虑进去。
11.6 实例我们通过两个具体实例来结束本章的讨论，以此来说明在实际工作中异方差的重要性。
例 11.8 规模经济或异方差纽约股票交易所 ( N Y S E )最初是极力反对对经纪佣金率放松管制的。事实上，在引入放松管制以前 ( 1 9 7 5年 5月 1日 ),N Y S E向股票交易委员会 ( S E C )提交了一份经济计量研究报告，认为在经纪行业中存在着规模经济，因此 (由垄断决定的 )固定佣金率是公正的 2。 N Y S E所提交的经济计量分析基本上是围绕着以下回归函数来进行的,3
t=(2.98) (40.39) (－ 6.54) R2= 0,9 3 4 ( 11 - 3 2 )
其中,Y=总成本,X=股票交易的数量。从模型 ( 11 - 2 6 )可以看出：总成本与交易量正相关。但是由于交易量的二次方项系数为负，并且是“统计显著的”,这意味着总成本是以一个递减的速率在增加。因此,N Y S E认为在经纪行业中存在着规模经济，
从而证明了 N Y S E的垄断地位是正当的。
然而美国司法部反托拉斯局却认为模型 ( 11 - 3 2 )中所声称的规模经济只是幻想，因为回归函数 ( 11 - 3 2 )存在着异方差问题。这是因为在估计成本函数时,N Y S E并未考虑到样本中所包括的小公司与大公司的差别，也就是说,N Y S E并没有考虑到规模因素。
假设误差项与交易量成比例 (参见方程 ( 11 - 2 3 ) )，反托拉斯局重新估计了方程 ( 11 - 3 2 )，
Y
i
= 476 000 + 31.348X
i
(1.083×10
6
)X
i
2
R
2
Y
t
236部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 关于 W h i t e异方差校正后的标准差的推导已超出了本书的范围。感兴趣的读者可以参考 Jack Johnston,
John Dinardo,Econometrics Methods,4 th edition,New Yo r k,1 9 9 7,C h a p 6,
2 一些经济学家提出了规模经济的论点来为一些行业的垄断正名，尤其是自然垄断行业 (例如，电力和煤气设备等 )。
3 回归方程 ( 11 - 3 2 )和 ( 11 - 3 3 )中所给出的结果摘自 H,Machael Mann,,The New York Exchange,A Cartel at
the End of its Reign” in Almarin Phillips,P romoting Competition in Regulated Industries,B r o o k i n g s
I n s t i t u t i o n,Washtington D.C.,1975,p.324.
(续)
得到如下回归结果,1
t=(32.3) (7.07) (0.503) ( 11 - 3 3 )
从式 ( 11 - 3 3 )可以看出，二次项不仅是统计不显著的，而且其符号也发生了变化。 2
因此，在经纪行业中并不存在规模经济，这就推翻了 N Y S E的垄断佣金结构的论点。
上述例子表明：方程 ( 11 - 3 2 )中所隐含的同方差假定的潜在危害有多大。设想一下，如果
S E C接受了方程 ( 11 - 3 2 )的表面值并允许 N Y S E像 1 9 7 5年 5月 1日以前那样垄断地确定佣金率，那么情况会怎样 !
例 11.9 公路容量能力与经济增长
David A.Aschauer根据表 11 - 3提供的结果证明了：拥有较好的陆地交通基础设施的经济将受益于更高的生产率和更快的人均收入增长。 3 由于是对美国的 4 8个州进行了调查研究，所以假定误差项可能不满足同方差假定” 。 4
表 11-3 人均收入增长与高速公路运载能力解释变量 O L S W L S1 W L S2 W L S3
常量 -7,6 9 -7,9 4 -8,1 9 -7,6 2
s e = ( 1,0 6 ) ( 1,0 8 ) ( 1,0 9 ) ( 1,0 8 )
l nX3(以 1 9 6 0年计算 ) -1,5 9 -1,6 4 -1,6 9 -1,5 8
s e = ( 0,1 8 ) ( 0,1 9 ) ( 0,1 9 ) ( 0,1 8 )
l nX2 0,3 0 0,3 0 0,3 1 0,3 0
s e = ( 0,0 6 ) ( 0,0 6 ) ( 0,0 6 ) ( 0,0 6 )
X4 -0,0 0 9 － 0,1 0 0 － 0,0 11 -0,0 0 8
s e = ( 0,0 0 3 ) ( 0,0 0 3 ) ( 0,0 0 3 ) ( 0,0 0 3 )
D -3 1,0 0 -3 2,0 0 - 3 3,0 0 -3 1,0 0
s e = ( 0,0 8 ) ( 0,0 8 ) ( 0,0 8 ) ( 0,0 8 )
R2= 0,6 7 0,4 9 0,4 6 0,7 3
注,1,解释变量 Y：从 1 9 6 0年到 1 9 8 0年的人均收入 (按 1 9 7 2年的美元价计算 )的年平均增长率。
2,X2— 以 1 9 6 0年为基年的人均收入水平 (按 1 9 7 2年的美元价计算 )
3,X3— 高速公路总距离 (从 1 9 6 0年到 1 9 8 0年的平均水平 )。
4,X4— 1 9 8 2年低质量高速公路所占比例。
5,D— 虚拟变量，中西部地区为 1，其它地区为 0。
6,W L S1— 以 l nX2的平方根为权数的加权最小二乘法。 (参见方程 ( 11 - 2 4 ) )
7,W L S2— 以 l nX2水平为权数的加权最小二乘法。
8,W L S3— 以 l nX2水平为权数的加权最小二乘法。
资料来源,David,A,Aschauer，,Highway Capacity and Economic Growth,” Economic Perspectives,Federal
Reserve Bank of Chicago,p p,1 4 - 2 3,September/October 1990,table 1,p,1 8，符号略作调整。
Y
t
= 342 000 + 25.57X
i
+(4.34 ×10
6
)X
i
2
第 11章 异 方 差 介绍 237下载
1 实际机制与估计方程 ( 11 - 2 4 )是一致的。一旦估计出这个方程，则将其乘以 就可以得到原始方程，
即方程 ( 11 - 3 3 )。
2 N Y S E则认为反托拉斯局所使用的特定异方差假设是无效的。但其他替代形式的假设依然支持反托拉斯局的结论，即在经纪行业中并不存在规模经济。详细的讨论参见脚注 1 9中 M a n n的文章。
3 这一例子和表 11 - 3中所给出的统计结果摘自 David,A,Aschauer,,Highway Capacity and Economic
G r o w t h,” Economic Perspectives,Federal Reserve Bank of Chicago,p p,1 4 - 2 3,September/October 1990.
4 异方差的拼写究竟是,h e t e r o s c e d a s t i c i t y”还是,h e t e r o s k e d a s t i c i t y”？应该是后面一个，但是前面的一个已经在文献中得到了广泛的承认以至于很少看到后面一个的拼写了。
X
i
(续)
令人高兴的是，在这个例子中，假定存在异方差是因为通过各种不同的方法校正异方差对 O L S结果影响不大。从这个例子可以看出：如果存在着异方差，那么我们应该对这个问题作更深入的研究，而不是假定这个问题不存在。正如前面指出的那样，
也如 N Y S E规模经济例子所说明的那样，异方差是一个潜在的严重的问题，决不能掉以轻心。在安全的一边犯错误会更好一些。
11.7 小结古典线性回归模型的一个重要假设是扰动项 ui有相同的方差 (也即同方差假定 )。如果该假设不满足，则可能出现异方差问题。异方差并不破坏 O L S估计量的无偏性，但这些估计量不再是有效的。换言之,O L S估计量不再是最优线性无偏估计量。如果异方差 已知，则用加权最小二乘法 ( W L S )可以得到最优线性无偏估计量。
忽视异方差的存在，而继续使用常用的 O L S法进行估计参数 (这依然是无偏的 )、建立置信区间和进行假设检验，则很可能得出错误的结论，正如 N Y S E一例那样。这是因为所估计的标准差很可能是有偏的，从而导致了 t值也可能是有偏的。这样，在具体应用中确定是否存在异方差问题至关重要。对异方差检验有几种不同的方法，例如将估计残差对一个或者多个解释变量描图,P a r k检验,G l e j s e r检验，秩相关检验等等。
如果通过一种或者多种检验表明存在着异方差问题，则需要补救措施。如果误差 是已知的，则我们可以使用 W L S法来获得最优线性无偏估计量。不幸的是，在实践中，很难获得有关真实的误差方差信息。所以我们不得不通过一些合理可行的假设来变换数据，使得变换后模型的误差项是同方差的。然后再使用将 O L S法，这实际上等同于 W L S法。当然，要获得恰当的变换形式需要一定的技巧和经验。但是如果不进行变换，异方差的问题是无法得到解决的。
习题
11.1 异方差的含义是什么？它对下面各项有何影响？
(a) OLS估计量及其方差？ (b) 置信区间？ (c) 显著性 t检验和 F检验的使用？
11.2 以简单的理由来说明以下判断是对是错：
(a) 在存在异方差情况下，普通最小二乘法 ( O L S )估计量是有偏的和无效的。 (b) 如果存在异方差,通常用的 t检验和 F检验是无效的。 (c) 在存在异方差情况下,常用的 O L S法总是高估了估计量的标准差。 (d) 如果从 O L S回归中估计的残差呈现系统模式，则意味着数据中存在着异方差。
11.3 在如下回归中，你是否预期存在着异方差？
Y X 样 本
(a) 公司利润 净财富,财富》前 5 0 0强
(b) 公司利润的对数 净财富的对数,财富》前 5 0 0强
(c) 道琼斯工业平均指数 时间 1 9 6 0 ~ 1 9 9 0年 (年平均 )
(d) 婴儿死亡率 人均收入 1 0 0个发达国家和发展中国家
(e) 通货膨胀率 货币增长率 美国、加拿大和 1 5个拉美国家
11.4 从直观上解释，当存在异方差时，加权最小二乘法 ( W L S )优于 O L S法？
11.5 简要解释下列异方差诊断方法的逻辑关系：
i
2
i
2
238部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
(a) 图形法 (b) Park检验 (c) Glejser检验
11.6 在双变量总体回归函数中，假设误差方差有如下结构你如何变换模型从而达到同方差的目的？你将如何估计变换后的模型？列出估计步骤。
11.7 考虑如下两个回归方程 (根据 1 9 4 6到 1 9 7 5年美国数据 )1 (括号中给出的是标准差 )：
=26.19+0.624 8GNPt-0.439 8Dt
se=(2.73) (0.006 0) (0.073 6) R2= 0,9 9 9
se=(2.22) (0.006 8) (0.059 7) R2= 0,8 7 5
式中 C— 总私人消费支出
G N P— 国民生产总值
D— 国防支出
T— 时间
H a n u s h e k和 J a c k s o n研究的目的是确定国防支出对经济中其它支出的影响。
(a) 将第一个方程变换成第二个方程的原因是什么？ (b) 如果变换的目的是为了消除或者减弱异方差，那么对误差项要作哪些假设？ (c) 如果存在异方差，是否已成功地消除异方差？你是如何知道的？ (d) 变换过回归方程是否一定要通过原点？为什么？ (e) 能否将两个回归方程中的 R2加以比较？为什么？
11.8 在研究人口密度对离中心商业区距离的回归函数中,M a d d a l a根据 1 9 7 0年巴尔蒂摩地区 3 9个人口普查区的有关数据得到如下回归结果 2：
l nYi= 1 0,0 9 3-0,2 3 9Xi
t=(54.7) (-12.28) R2= 0,8 0 3
t=(47.87) (-1 5,1 0 )
式中 Y— 普查区的人口密度
X— 离中心商业区的距离 (英里 )
(a) 如果存在异方差，作者在其数据中作了哪些假设？ (b) 从变换后的 ( W L S )回归函数中，你如何知道异方差已被消除或减弱了？ (c) 你如何解释回归结果？它是否有经济意义？
11.9 参考表 11 - 2给出的 R & D数据。回归方程 ( 11 - 3 0 )给出了对数形式的 R & D和销售的回归结果。
(a) 根据表 11 - 2提供的数据，验证这个回归结果。 (b) 分别将残差的绝对值和残差平方值对销售量描图。是否表明存在着异方差？ (c) 对回归的残差进行 P a r k检验和 G l e j s e r检验。你得出什么结论？ (d) 如果在双对数模型中发现了异方差，你会选择用哪种 W L S变换来消除它？ ( e )
如果对线性回归函数 ( 11 - 3 )，有证据表明存在着异方差。而在对数 -对数模型中没有证据表明存在异方差，那么，你将选择哪个模型，为什么？ (f) 能够比较两个回归方程的 R2吗？为什么？
11.10 参考表 11 - 2中提供的 R & D数据，现考虑如下回归方程：
R & Di=A1+A2p r o f i t si+ui
l n R & Di=B1+B2ln profitsi+ui
lnY
i
X
i
= 9.932
1
X
i
0.2258X
i
C
GNP
t
= 25.92
1
GNP
t
+0.624 6? 0.4315
D
GNP
t
C
t
E(u
i
2
) =
2
X
i
4
第 11章 异 方 差 介绍 239下载
1 这些结果取自 Eric A.Hanushek,John E,Jackson,Statistical Methods for Social Scientists,A c a d e m i c，
New Yo r k,1 9 7 7,p,1 6 0。
2 G,S,M a d d a l a,I n t roduction to Econometrics,M a c m i l l a n,New Yo r k,1 9 8 8,p,1 7 5 - 1 7 7,
(a) 估计两个回归方程。 (b) 求每个回归方程的残差的绝对值和残差平方，并分别将它们对解释变量描图。你是否诊断到存在异方差？ (c) 用 G l e j s e r检验和 P a r k检验验证你在 ( b )中定性分析得到的结论。 (d) 如果有迹象表明存在着异方差，你如何变换数据以削减异方差？
给出必要的计算步骤。
11,11 考虑图 11 - 1 0，该图描绘了从 1 9 7 4年到 1 9 8 5年期间一些国家的国内生产总值 ( G D P )
增长的百分率与投资 / G D P率之间的关系。 1 这些国家分为不同的三类 — 实际利率为正的国家，
实际利率为适中负值的国家，以及实际利率为较大负值的国家。
(a) 建立合适模型解释 G D P增长的百分率与投资 / G D P百分比之间的关系。 (b) 从图中你能发现数据中存在异方差吗？你是如何正规地检测异方差的存在的。 (c) 若怀疑存在异方差，
那么，你如何变换回归函数以消除异方差？ (d) 假设你通过加入虚拟变量来扩展模型以便考虑到这三类国家“质”的不同。写出该回归方程。如果根据数据能够估计这一扩展模型，你会预期扩展的模型中存在异方差吗？为什么？
11.12 1964年，对 9 966名经济学家的调查数据如下：
年龄 /岁 中值工资 /美元 年龄 /岁 中值工资 /美元
2 0 ~ 2 4 7 800 5 0 ~ 5 4 15 000
2 5 ~ 2 9 8 400 5 5 ~ 5 9 15 000
3 0 ~ 3 4 9 700 6 0 ~ 6 4 15 000
3 5 ~ 3 9 11 500 6 5 ~ 6 9 14 500
4 0 ~ 4 4 13 000 7 0 + 12 000
4 5 ~ 4 9 14 800
资料来源：,The Structure of Economists’Employment and Salaries,” Committee on the National Science
Foundation Report on the Economics Profession,American Economics Review,
vol.55,no.4,December 1965,p.36.
(a) 建立适当的模型解释平均工资与年龄间的关系。为了分析的方便，假设中值工资是年龄区间中点的工资。 (b) 假设误差与年龄成比例，变换数据求得 W L S回归方程。 (c) 现假设误差与年龄的平方成比例，求 W L S回归方程。 (d) 哪一个假设看来更可行？
11.13 异方差的 S p e r m a n秩相关检验。该检验包括以下步骤，可以用 R & D回归方程 ( 11 - 3 )
加以说明。
(a) 从回归方程 ( 11 - 3 )中求得残差 ei。 (b) 求残差的绝对值,|ei|。 (c) 将销售 Xi和 |ei|或者按降序 (从高到低 )或者升序 (从低到高 )排列。 (d) 对于每个观察值，取两列间的差，称之为 di。 (e) 计算 S p e r a r m a n秩相关系数 rS，定义为其中,n=样本中观察值的个数。
如果在 |ei|和 Xi之间存在系统关系，则二者之间的秩相关系数将是统计显著的，在这种情况有理由怀疑存在异方差。
给定零假设：真实总体秩相关系数为零，且 n> 8，则可以证明服从自由度为 (n-2 )的学生 t分布。
r
S
(n? 2)
1? r
S
2
~ t
n?2
r
S
= 1? 6
d
i
2
∑
n(n
2
1)
240部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 参见 World Development Report,1989,the World Bank,Oxford University Press,New Yo r k,p,3 3,
图 11-10 1974到 1 9 8 5年 3 3个发展中国家的实际利率，投资，生产率和增长率因此，在实际应用中，根据 t检验，若秩相关系数是显著的，则可以接受假设：存在异方差。用这个方法检验本章的 R & D数据，确认数据存在着异方差。
11.14 加权最小二乘法。考虑表 11 - 4中的数据。
(a) 估计 O L S回归方程
Yi=B1+B2Xi+ui
表 11-4 美国制造业平均赔偿与就业规模所决定的生产率之间的关系就业规模 (平均就业人数 ) 平均赔偿 Y/美元 平均生产率 X/美元 赔偿的标准方差 i /美元
1 ~ 4 3 396 9 335 7 4 4
5 ~ 9 3 787 8 584 8 5 1
1 0 ~ 1 9 4 013 7 962 7 2 8
2 0 ~ 4 9 4 104 8 275 8 0 5
5 0 ~ 9 9 4 146 8 389 9 3 0
1 0 0 ~ 2 4 9 4,2 4 1 9 418 1 081
2 5 0 ~ 4 9 9 4 387 9 795 1 243
5 0 0 ~ 9 9 9 4 538 10 281 1 308
1 000~2 499 4 843 11 750 1 11 2
数据来源,The census of Manufacturing,U.S Department of Commerce,1 9 5 8,(表中的数字由
D,N,G u j a r a t i计算 )
(b) 估计 W L S
Y
i
i
= B
1
1
i
+ B
2
X
i
i
+
u
i
i
第 11章 异 方 差 介绍 241下载实际利率为正实际利率为适中负值（ 0-5%）
实际利率为较大负值韩国阿尔及利亚新加坡南斯拉夫菲律宾马拉维委内瑞拉委内瑞拉乌拉圭秘鲁阿根廷 赞比亚扎伊尔尼日利亚牙买加加纳投资的平均生产投资/ GDP (%)直线代表了样本均值里昂 智利塞内加尔坦桑尼亚土尔其巴西印度斯里兰卡印度尼西亚 泰国 马来西亚突尼斯厄瓜多尔厄瓜多尔巴基斯坦
(确保运行的 W L S通过原点。 )计算两个回归方程的结果。你认为哪个回归方程更好？为什么？
11.15 证明方程 ( 11 - 2 8 )中的误差项 vi是同方差的。
11.16 在平均工资对就业人数的回归分析中 (包括 3 0个公司的一随机样本 )，得到如下回归结果,1
= 7,5 + 0,0 0 9N ( 1 )
t=N.A,(16.10) R2= 0,9 0
t= (14.43) (76.58) R2= 0,9 9 ( 2 )
(a) 你如何来解释这两个回归方程？ (b) 从方程 ( 1 )到 ( 2 )，作者作了哪些假设？他是否担心存在异方差？ (c) 你能将两个回归方程中的斜率和截距联系起来吗？ (d) 你能比较两个回归方程中的 R2吗？为什么？
11.17 根据总成本函数 ( 11 - 3 0 )，你能推导出平均成本函数、边际成本函数吗？如果方程
( 11 - 3 3 )是真实的 (异方差调整之后 )总成本函数，你又如何推导出相应的平均成本函数和边际成本函数？解释两个模型之间的差异。
11.18 表 11 - 5给出了 2 0个国家五项社会经济指标的有关数据，分成四个人均收入等级：低收入 (每年 5 0 0美元以下 )，中等偏低收入 (年收入在 5 0 0到 2 200美元之间 )，中等偏上收入 (年收入在 2 3 0 0到 5 500美元之间 )，以及高收入 (年收入超过 5 500美元 )。表中前五个国家属于低收入国家，其次五个国家属于中等偏低收入国家，以此类推。
(a) 假设你想在模型 ( 11 - 1 6 )中加入补充解释变量人口增长率 X4和每日卡路里 ( c a l o r i e )吸收量
X5。根据推理，你预期这些变量对婴儿的死亡率 Y有什么影响？ (b) 估计上述回归方程并检验你的预期是否正确。 (c) 如果在上述方程中遇到了多重共线性问题，你怎么办？可以采取任何你认为正确措施。
11.19 按照 ( W h i t e )回归方程 ( 11 - 1 4 )的过程校正了异方差之后，方程 ( 11 - 1 6 )的回归结果如下：
(注：为了节省空间，我们只给出了 t统计量和它们的 值。这些结果是通过 M I N I TA B 软件包获得的 )
表 11-5 20个国家的婴儿死亡率国 家 I M O R① P C G N P② P E D U③ P O P G R O W T H④ C S P C⑤
坦桑尼亚 1 0 4 1 6 0 6 6 3,5 2 192
尼泊尔 1 2 6 1 8 0 8 2 2,6 2 052
马里 1 6 8 2 3 0 2 3 2,4 2 073
尼日利亚 1 0 3 2 9 0 7 7 3,3 2 146
加纳 8 8 4 0 0 7 1 3,4 1 759
菲律宾 4 4 6 3 0 1 8 2,5 2 372
科地瓦尔 5 3 7 7 0 2 2 4,0 2 562
危地马拉 5 7 9 0 0 7 7 2,9 2 307
土耳其 7 5 1 280 11 7 2,3 3 229
马来西亚 2 3 1 940 1 0 2 2,6 2 730
阿尔及利亚 7 2 2 360 9 6 3,1 2 715
乌拉圭 2 3 2 470 11 0 0,6 2 648
韩国 2 4 3 600 1 0 1 1,2 2 907
希腊 1 2 4 800 1 0 4 0,5 3 688
W
N
= 0.008+ 7.8
1
N
W
242部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 参见 Dominick Salvatore,Managerial Economics,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 8 9,p,1 5 7,
(续)
国 家 I M O R① P C G N P② P E D U③ P O P G R O W T H④ C S P C⑤
委内瑞拉 2 5 3 250 1 0 7 2,8 2 494
西班牙 9 7 740 11 3 0,5 7 740
以色列 11 8 650 9 5 1,7 3 061
澳大利亚 9 12 340 1 0 6 1,4 3 326
英国 9 12 810 1 0 6 0,2 3 256
美国 1 0 19 840 1 0 0 1,0 3 645
① I M O R— 婴儿死亡率 (每千个出生婴儿中 ),1 9 8 8。
② P C G N P— 人均 G N P ( 1 9 8 8年美元 )。
③ P E D U— 初等教育入学年龄集团所占百分率,1 9 8 7。
④ P O P G R O W T H— 人口增长率,1 9 8 0? 1 9 8 8年平均值。
⑤ C S P C— 人均每日卡路里供应量,1 9 8 6。
资料来源,World bank,world Development Report,1990.
t =(4.86) (-0.59) (-2.45) (1.27) (1.62) (0.35)
p值 =(0.000) (0.566) (0.028) (0.223) (0.127) (0.731) R2= 0,6 4 9
(a) 你如何解释上述回归方程？ (b) 回归方程 ( 11 - 1 7 )给出了 W h i t e异方差检验的结果，该结果表明回归方程 ( 11 - 1 6 )存在着异方差问题。你将对数据采取什么变换以消除异方差？ (提示：
参考第 11,4节 )给出必要的计算步骤。 (c) 你如何确定 ( b )中所选的模型是否存在异方差问题？
11.20 (a)利用表 11 - 5提供的数据建立一个多元回归模型用以解释表中所示的 2 0个国家的每日卡路里吸入量。 ( b )该模型是否存在着异方差问题？给出必要的检验。 (c) 如果存在着异方差，求 W h i t e异方差校正后的标准差和 t统计量 (看看你的软件是否能做到这一点 )，与 ( a )中的结果相比较并作出评论。
Y
t
= 498 7? 0.4718X
2i
0.844 2 X
3i
+ 0.000 010 2X
2i
2
+ 0.443 5X
3i
2
+ 0.002 6 X
2i
X
3i
第 11章 异 方 差 介绍 243下载下载在上一章中，我们对放松古典线性回归模型( C L R M)的假设之一 — 同方差假定的后果进行了考察。本章，我们考虑放松 C L R M另一假设 — 总体回归函数( P R F)的扰动项 ui无 序列相关
(serial correlation)或 自相关 ( a u t o c o r r e l a t i o n )。我们曾在第 6章中对这一假设作过简单讨论，本章将深入讨论这一问题，以寻求以下问题的答案：
(1) 自相关有什么性质？
(2) 自相关的理论与实际结果是什么？
(3) 由于非自相关假设与不可观察的扰动项 ui有关，那么，如何判断在给定情况下存在自相关？简言之，在实际中，如何诊断自相关？
(4) 如果发现自相关的后果比较严重，如何采取措施加以补救？
本章对自相关的讨论在许多方面与上一章的异方差问题相类似。在存在异方差和自相关的情况下，普通最小二乘法估计量，尽管是线性的和无偏的，但却不是有效的。也即，它们都不是最优线性无偏估计量。
本章重点讨论自相关问题，在此假设 C L R M中的其他假定保持不变。
12.1 自相关的性质自相关一词可以定义为,“在时间(如在时间序列数据中)或者空间(如在横截面数据中)按顺序所列观察值序列的各成员间存在着相关” 。 1
正如异方差的产生通常是与横截面数据有关，自相关问题通常是与时间序列数据有关(也即，数据按照时间顺序排列)。根据上述定义，在横截面数据中也可能产生自相关问题，这种情况下，称为 空间相关 (spatial correlation)。
在古典线性回归模型中假定在扰动项 ui中不存在自相关。用符号表示为：
E(uiuj)=0 i≠ j (1 2 - 1)
也就是说，两个不同误差项 ui和 uj的乘积的期望为零。 2简单地说，古典模式假定任一观察值的扰动项不受其他观察值的扰动项的影响。例如，在讨论产出对劳动和资本投入回归(也即生产函数)的季度时间序列数据时，譬如说，某一季度工人罢工影响了产出，但却没有理由设第 12 章
■ 自 相 关
1 Maurice G.Kendall和 William R.Buckland,A D i c t i o n a ry of Statistical Te r m s,H a f n e r,New Yo r k,1 9 7 1，
p,8.
2 如果 i=j，方程 ( 1 2 - 1 )就变成了 E(u2i)，也即 ui的方差，根据同方差假定，等于 σ2。
想这一“中断”会持续到下一个季度。换言之，如果本季度产出降低，但并不意味着下一季度产出也下降。类似地，在分析家庭消费支出与家庭收入的横截面数据时，一个家庭收入增加对其消费支出的影响并不会影响另一个家庭的消费支出。
但是如果存在这种依赖关系，便产生了自相关问题。用符号表示，
E(uiuj)≠ 0 i≠ j (1 2 - 2)
在这种情形下，本季度由于罢工引起生产“中断”可能对下一季度的产出有影响(事实上，
产出可能增加以弥补上一季度生产的不足)；或者，某一家庭消费支出的增加可能马上影响不愿比别人逊色的另一家庭消费支出的增加(这就是空间相关的例子)。
图 1 2 - 1给出了自相关和非自相关的类型。在纵轴上，同时给出了 ui(总体扰动项)及相应的
(样本扰动项) ei，因为，与异方差情形相同，我们无法观察到前者而只能通过后者来推导前者的行为。图 1 2 - 1 a到 d表明了 u中存在可辨别的模式，而图 1 2 - 1 e则表明不存在系统模式，表示支持古典线性回归模型( 1 2 - 1)关于无自相关的假定。
图 12-1 自相关的模型大家很自然会提出这样的问题：为什么会产生自相关呢？这里面有许多原因，其中几个如下：
12.1.1 惯性大多数经济时间序列的一个显著特征就是 惯性 ( i n e r t i a )或者说是 迟缓性 ( s l u g g i s h n e s s )。众所周知，时间序列，例如国民生产总值、就业、货币供给、价格指数等等，都呈现商业循环
(在经济活动中重复发生或者自我维持波动)。当经济恢复开始时，由萧条的底部开始，大多数的经济序列向上移动。在向上移动的过程中，序列某一时点的值会大于其前期值。这里有一种
“动力”存在，继续向上，直到某些事件发生(例如税收的增加或者利率的提高或者两者同时增加)才使序列移动减慢下来。因此，在涉及时间系列数据的回归方程中，连续的观察值之间很可能是相关的。
第 12章 自 相 关 介绍 245下载
a) b) c)
d) e)
u′ e u′ e u′ e
u′ eu′ e
246部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
12.1.2 模型设定误差有时候，形如图 1 2 - 1 a到 d的自相关的发生并不是因为连续观察值之间相关，而是由于回归模型没有“正确的”设定。模型的不恰当设定意味着或是由于本应包括在模型中的重要变量未包括进模型中(这是过低设定的情形)，或是模型选择了错误的函数形式 — 本应该使用对数线性模型但却用了线性变量模型( L I V)。如果发生这样的 模型设定误差 (model specification errors)，
则从不正确的模型中得到的残差将会呈现系统模式。一个简单的检验方法是将略去的变量包括到模型中，判定残差是否仍然呈现系统模式。如果它们并不存在着显著模式，那么系列相关可能是由于模型设定的错误。下一章会就这个问题进行详细的讨论(另见习题 1 2,1 3和 1 2,1 8)。
12.1.3 蛛网现象许多农产品的供给都呈现出所谓的 蛛网现象 (the cobweb phenomenon)，即供给对价格的反应滞后了一个时期，因为供给决策的实现需要一定的时间 — (有一孕育期 )。因此，种植谷物的农民本年度的计划是受上一年度价格的影响，所以他们的供给函数为：
供给 t=B1+B2Pt－ 1+ut (1 2 - 3)
假设在 t时期末，价格 Pt竟然低于 Pt－ 1，于是，在( t+ 1)末时期，农户们决定比 t时期少生产一些。显然，在这种情形下，扰动项 ut并不设想它是随机的，因为，如果农民在第 t年生产多了，
则他们很可能会在第( t+ 1)年少生产一些，这样下去，就会形成蛛网模式。
12.1.4 数据加工在实证分析中，通常原始数据是要经过加工的。例如，在季度数据的时间序列回归中，数据通常是通过月度数据推导而来的，即将 3个月的数据简单加总并除以 3。这样平均的结果，消除了月度数据的波动性，而这种“平滑”过程本身就可能导致扰动项的系统模式，从而引入自相关。 1
在继续下面的讨论之前，需要指出的是：虽然大多数经济时间序列都因在一个时期内或者上升或者下降而表现出正的自相关，而不像图 1 2 - 2 b那样表现为一上一下的恒常运动，但是，
自相关可能是负的，也可能是正的。
图 1 2 - 2
a )正的自相关 b )负的自相关
1 需要指出的是，有的时候我们用求平均或者其他数据处理方法是因为周数据或者月度数据存在着许多测量误差。因此，求平均的过程能够得到更为精确的估计值。但是这一过程的副作用就是它可能会引入自相关。
a) b)
第 12章 自 相 关 介绍 247
12.2 自相关的后果假设误差项呈现如图 1 2 - 1 a到 b或图 1 2 - 2所示的其中一种模式。那么会产生什么后果呢？换言之，放松假设( 1 2 - 1)，使用 O L S法会导致什么后果呢？ 1
(1) 最小二乘估计量仍然是线性的和无偏的。
(2) 但却不是有效的。简言之，通常所用的普通最小二乘( O L S)估计量并不是最优线性无偏估计量( B L U E)。
(3) O L S估计量的方差是有偏的。有时候，用来计算方差和 O L S估计量标准差的公式会严重低估真实的方差和标准差，从而导致 t值变大。这会使得从表面上看某个系数显著不为零，但是事实却并非如此。
(4) 因此，通常所用的 t检验和 F检验一般来说是不可靠的。
(5) 计算得到的误差方差,= R S S / d,f,(残差平方和 /自由度)，是真实 2的有偏估计量，在有些情形下，它很可能是低估了真实的 2。
(6) 因此，通常计算的 R2不能测度真实 R2。
(7) 通常计算的预测的方差和标准差可能也是无效的。
正如读者所看到的那样，自相关产生的后果与异方差产生的后果很相似，在实践中，这些后果同样也是严重的。因此，与异方差情况相同，在具体的应用中，我们必须确定我们是否存在自相关问题。
12.3 自相关的诊断说到 自相关的诊断 (detecting autocorrelation)，我们遇到了与在异方差情形时一样的两难选择。在这里，我们并不知道误差的 σ2的真实值，因为真实的 ui是无法观察的。还有一个问题就是，我们不但不知道真实的 ui是什么，而且如果它们是相关的，我们也不知道其产生机制：我们仅仅有它们的替代物 et。因此，与异方差情形一样，我们不得不根据从标准 O L S法中得到的 et
来“了解”自相关的存在与否。带着这一告诫，我们介绍自相关的几种诊断方法，我们用第 6
章中遇到的一个例子来加以说明。
表 12-1 从回归方程 ( 6 - 5 2 )中所获得的残差
et et－ 1 D=et－ et－ 1 D2 et2 S i g net
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
e1 16.364 2 — — — 267.787 3 +
e2 13.370 5 16.364 2 － 2.993 7 8.962 3 178.770 1 +
e3 2.921 2 13.370 5 － 10.449 3 109.187 7 8.533 4 +
e4 3.433 8 2.921 2 0.512 6 0.262 7 11.790 7 +
2
在回归方程 ( 6 - 5 2 )中，我们给出了 1 9 6 8年到 1 9 8 2年期间与个人可支配收入
( P D I )相关的美国进口支出函数的结果，所有的数据都是以 1 9 8 2年美元价计算 ( 1 0
亿美元 )。在表 1 2 - 1中，我们给出了残差，残差的一期滞后值以及残差的符号。我们用表中提供的数据说明所要讨论的各种不同的诊断检验方法。
例 12.1 美国进口支出函数
1 证明可参见,Damodar N.Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,1 9 9 5,C h a p,1 2.
下载
(续 )
et et－ 1 D=et－ et－ 1 D2 et2 S i g net
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
e5 11.012 8 3.433 8 7.579 0 57.441 9 121.281 8 +
e6 9.354 8 11.012 8 － 1.658 0 2.748 9 87.512 5 +
e7 7.712 3 9.354 8 － 1.642 5 2.697 8 59.479 5 +
e8 － 24.721 8 7.712 3 － 32.434 0 105 1.967 0 6 11.165 0 －
e9 0.283 7 － 24.721 8 25.005 5 625.273 8 0.080 5 +
e1 0 13.696 6 0.283 7 13.412 8 179.904 0 187.595 6 +
e11 3.677 2 13.696 6 － 10.019 3 100.386 5 13.522 2 +
e1 2 － 3.607 2 3.677 2 － 7.284 4 53.063 2 1 3,0 11 9 －
e1 3 － 28.324 1 － 3.607 2 － 24.716 9 610.924 8 802.254 5 －
e1 4 － 31.635 5 － 28.324 1 － 3,3 11 4 10.965 6 100 0.807 0 －
e1 5 － 43.999 0 － 31.635 5 － 12.363 5 152.855 7 193 5.913 －
e1 6 － 28.563 3 － 43.999 0 15.435 7 238.261 5 815.861 6 －
e1 7 6.519 3 － 28.563 3 35.435 7 123 0.790 0 42.348 7 +
e1 8 5.417 4 6.519 3 － 1.101 9 1.214 1 29.348 7 +
e1 9 25.760 3 5.417 4 20.342 8 413.830 2 663.590 9 +
e2 0 41.326 8 25.760 3 15.566 5 242.316 0 170 7.901 0 +
总计 0 509 3.140 0 855 8.8
注：数据四舍五入至小数点后四位数。
12.3.1 图形法与异方差情形相同，通过对 O L S残差 e的直观检验判断误差项 u中是否存在自相关。有几种不同的检验残差方法。我们可以将残差对时间描图，如图 1 2 - 3所示，该图描绘了表 1 2 - 1的进口支出函数的残差。这种图形称为 时间序列图 (time-sequence plot) (另见表 6 - 3)。
对于图 1 2 - 3的检验表明：残差 e并不是如图 1 2 - 1 e所示那样随机分布。事实上，它们呈现一种明显的变动行为 — 开始，它们通常是正的，接着变成负值，再又变成正值。如果将 t时间的残差与滞后一期的残差值描图，也即将表 1 2 - 1中第 1列的 et对第 2列中的 et－ 1描图(如图 1 2 - 4所示)，
则会看得更清楚。该图表明存在着正的自相关：大多数残差都分布在第一象限(西北方向)和第三象限(东南方向)。
图 12-3 回归方程 ( 6 - 5 2 )的残差
248部分 第三部分 实践中的回归分析 下载时间第 12章 自 相 关 介绍 249
图 12-4 回归方程 ( 6 - 5 2 )的残差 et和 et－ 1
12.3.2 游程检验既然图形已表明在进口支出数据中可能存在着 (正的 )自相关，我们可以利用一些正式的方法来补充定性的猜测。图 1 2 - 3和表 1 2 - 1给出的残差检验表明一些正的残差后面是一些负的残差，
再又有一些正的残差。如果残差果真是随机的，那么我们能够观察到这种模式吗？直观地看是不可能的。我们可以用 游程检验 (runs test)，一种非参数检验方法来加以验证。 1
为了说明这一检验，我们记录下残差的符号 ( +或者－ )，表 1 2 - 1的第 6列给出了不同残差的符号。我们用下面的方式写出这些符号：
(+ + + + + + +)(－ )(+ + +)(－ － － － － )(+ + + +) ( 1 2 - 4 )
这样，有 7个正的残差跟着一个负的残差，再跟着 3个正的残差，再跟着 5个负的残差，再跟着 4个正的残差，总共是 2 0个残差。我们现在将,游程 ( r u n )”定义为同一符号或属性(例如+
或- )的一个不间断历程。进一步定义,游程”的长度 (length of the run)为游程中正负交替的个数。在式 ( 1 2 - 4 )所示的序列中共有 5个游程 — 一个 7个正值的游程 (也就是说长度为 7 )，一个仅为 1个负值的游程 (也就是说长度为 1 )，一个 3个正值的游程 (也就是说长度为 3 )，一个 5个负值的游程 (也就是说长度为 5 )以及一个 4个正值的游程 (也就是说长度为 4 ) (为了有更好的观察效果，
我们已用括号区分开不同的游程 )。
通过考察一个随机观察次序中这些游程的表现形式，我们可以得出随机游程检验。我们要问的问题是：与预期相比，从这 2 0个观察值中所观察到的 5个游程是太多了还是太少了？如果游程太多了，它意味着 e在频繁地变换着符号，表明存在负的序列相关 (比较图 1 2 - 2 b )。类似地，
如果游程太少，则意味着正的自相关，如图 1 2 - 2 a所示。
令 N— 观察值的总个数 ( =N1+N2)；
N1— ＋号 (也就是正的残差 )的个数；
N2— －号 (也就是负的残差 )的个数；
1 在非参数检验中，我们对观察值的 (概率 )分布不作任何假设。
下载
250部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
k— 游程个数。
接着，在残差是独立的假设下，史威德 ( S w e d )和艾森哈特 ( E i s e n h a r t )建立了一些特殊的表格，这些表格给出了在 N个观察值的随机次序下预期游程的临界值。这些表格在附录 A，表 A - 6
中给出。
S w e d - E i s e n h a r t临界的游程临界值 (Swed-Eisenhart critical runs test)。我们用上面的这个例子说明这些表格。这里，有 N= 2 0,N 1= 1 4 ( 1 4个正值 ),N2= 6 ( 6个负值 )以及 k= 5。对于
N1= 1 4,N2= 6,5%的临界的游程值为 5。现在如果实际游程个数等于或者小于 5，则我们可以拒绝这一假设，即式 ( 1 2 - 4 )中 e是随机的。在我们的例子中，实际的游程个数是 5。因此，我们拒绝零假设,e是随机的。换言之，我们可以下结论说，我们的进口支出数据中存在着自相关问题。
注意 S w e d - E i s e n h a r t表格最多为 4 0个观察值,2 0个正值及 2 0个负值。但如果实际样本更大的话，我们就无法使用这些表格了。但是在这种情形下，游程的分布可以由正态分布来近似。
这一情形下的详细内容可以查阅有关参考书。 1
12.3.3 杜宾－瓦尔森 d检验 2
诊断自相关最为著名的检验是由杜宾和瓦尔森提出的，杜宾－瓦尔森 d统计量，定义为：
( 1 2 - 5 )
它是逐次残差差的平方和对残差平方和的比值。注意在 d统计量分子的容量为 (n－ 1 )，因为在求逐次差时失去一个观察值。
d统计量的一个最大优点是简单易行，它以 O L S残差为基础，而许多回归软件包都可以对残差进行计算。通常，统计结果在给出 R2，校正的 R2( ),t比例,F比例等的同时，也给出杜宾－瓦尔森 d统计量。 (参见表 6 - 4所给出的 S H A Z A M结果 )。
对进口支出一例，利用表 1 2 - 1所给的数据，可以很容易地计算出 d统计量。首先，将该表第 1列中的残差减去第 2列中残差的滞后值，再将差的平方求和，然后除以表中第 5列残差的平方和。计算 d所需的必要原始数据都在表 1 2 - 1中给出。当然，这一切现在已由计算机来完成。
在我们的这个例子中，计算的 d值为：
( 1 2 - 6 )
在继续说明如何利用 d值判定自相关存在与否之前，注意作为 d统计量最基础的一些假设是
d =
5093.14
8 558.8
= 0.595 1
R
2
d =
(e
t
e
t?1
)
2
t=2
n
∑
e
t
2
t=1
n
∑
我们再来看一个例子。参考抵押债务回归方程 ( 7 - 3 2 )，附录 7 A,4给出了回归结果。从这一结果中，你可以验证,n= 1 6,n1(＋残差数 ) = 7,n2(－残差数 ) = 9，游程个数 = 4。现在从 S w e d - E i s e n h a r t表格中，我们注意到,5%的临界值为 4和 1 4，意味着如果观察到的数等于或小于 4或等于或大于 1 4，则表明存在着自相关。也就是说，
我们的抵押债务回归方程存在着自相关问题。
例 12.2 抵押债务
1 详细内容参见,Damodar N.Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,1 9 9 5,p,4 1 9 - 4 2 0,
2 J,Dubin,G.S,Wa t s o n,,Testing for Serial Correlation in Least-Squares Regression,” B i o m e t r i k a,v o l,3 8，
1 9 5 1,p,1 5 9 - 1 7 7,
第 12章 自 相 关 介绍 251下载非常重要的：
(1) 回归模型包括一个截距项。因此,d统计量无法用来判定那些通过原点的回归模型的自相关问题。 1
(2) 变量 X是非随机变量，也就是说，在重复取样中是固定的。
(3) 扰动项 ut的产生机制是：
ut= ut－ 1+vt － 1≤ ≤ 1 ( 1 2 - 7 )
这表明在 t时期内的扰动项或者说误差项依赖于它的第 (t－ 1 )期的值以及一个纯粹的随机项 (vt)，
依赖过去值的程度是由 来测度。 称为 自相关系数 ( c o e fficient of autocorrelation)，它介于－ 1和
1之间。 (注意：自相关系数总是处于－ 1和 1之间的。 )方程 ( 1 2 - 7 )中所描述的机制，称为 马尔可夫一阶自回归 (Markov fist-order autoregressive scheme)或者简称为一阶自回归，通常标记为
A R ( 1 )方案 [ A R ( 1 ) s c h e m e ]。自回归这一名称是恰当的，因为方程 ( 1 2 - 7 )可以解释为 ut对其滞后一期值的回归。这里是一阶，因为只涉及 ut和它的上一期值，也就是说，最大间隔是一个时期。 2
(4) 在回归方程中，并没有把应变量的滞后值作为解释变量。换言之，该检验对下面的模型是不适用的：
Yt=B1+B2Xt+B3Yt－ 1+ut ( 1 2 - 8 )
其中 Yt－ 1是应变量 Y的一期滞后值。形如式 ( 1 2 - 8 )的回归方程称为 自回归模型 ( a u t o r e g r e s s i v e
m o d e l s )— 变量以其一期滞后值作为解释变量而进行的回归。 (我们将在第 1 4章简单讨论这类模型 )
假设以上条件都满足，则根据进口支出回归方程的 d值 0.595 1，能否对自相关作出判断呢？
在回答这个问题之前，我们可以证明对大样本来说，式 ( 1 2 - 5 )可以近似地表达为 (见题 1 2,2 0 )：
d≈ 2 ( 1－ ) ( 1 2 - 9 )
并且：
( 1 2 - 1 0 )
即为自相关系数 的估计量。由于－ 1≤ ≤ 1，因此，式 ( 1 2 - 9 )包含如下关系：
值 d 值(近似)
1,=－ 1 (完全负相关) d = 4
2,= 0 (无自相关) d = 2
3,= 1 (完全正相关) d = 0
简言之，
0≤ d≤ 4 ( 1 2 - 11 )
也就是说，计算的 d值必然介于 0与 4之间。
根据以上讨论我们可以得出：如果计算的 d值接近于零，则表明存在着正的自相关，如果接近于 4，则表明存在着负的自相关。 d值越接近于 2，则说明越倾向于无自相关。当然，这些
=
e
t
e
t?1
t=2
n
∑
e
t
2
t =1
n
∑
1 然而,R,W,Farebrother已计算出模型中不存在截距项时的 d 值。参见,,The Durbin-Watson Test for
Serial Correlation When There Is No Intercept in the Regression,” E c o n o m e t r i a,v o l,4 8,1 9 8 0,p,1 5 5 3－
1 5 6 3,
2 如果说模型是
ut= 1ut － 1+ 2ut － 2+vt
则它将是 A R ( 2 )或者说二阶自回归过程，如此等等。注意：除非我们假设 u的生成过程，否则很难解决自相关问题。这类似于异方差的情形，在异方差情况下，我们对不可观察的误差方差 i2的生成也作了一些假设。对于自相关，在实践中,A R ( 1 )假设证明是非常有用的。
只是很宽泛的临界点，当我们把计算的 d值看作是能够明确说明是正的，负的或无自相关的指标时，我们需要更为具体的临界值。换言之，是否存在一个与 t分布和 F分布中那样的临界值，
从而对自相关作明确的判定？
图 12-5 杜宾－瓦尔森 d统计量遗憾的是，与 t分布或 F分布不同，这里有两个而不是一个临界的 d值。 1 杜宾和瓦尔森给出了下限 dL和上限 dU，所以，如果根据方程 ( 1 2 - 5 )计算出的 d值位于这些界限之外，我们便可以断定是否存在正的或负的序列相关。这些上限和下限，或者说上临界值和下临界值取决于观察值的个数
n，和解释变量的个数 k。 n可取到从 6到 2 0 0； k最大可达 2 0，杜宾和瓦尔森已经给出了在 1%和 5%
的显著水平下的 D-W表，参见附录 A，表 A-5。我们可用图 12-5很好地说明杜宾－瓦尔森检验。
D - W检验的步骤如下：
(1) 进行 O L S回归并获得残差 et。
(2) 根据方程 ( 1 2 - 5 )计算 d值。大多数计算软件已能够实现。
(3) 给定样本容量及解释变量的个数，从 D - W表中查到临界的 dL和 eU。
(4) 按照表 1 2 - 2中的规则进行判定，为了便以参考，已在图 1 2 - 5中对照画出。
表 12-2 D-Wd检验：判定规则零 假 设 决 策 条 件无正的自相关 拒绝 0＜ d ＜ d L
无正的自相关 无法决定 0≤ d ≤ d U
无负的自相关 拒绝 4－ d L＜ d ＜4
无负的自相关 无法决定 4－ d U ≤ d ≤4－ d L
无正的或者负的自相关 不拒绝 d U ＜ d ＜4－ d U
回到例 1 2,1中,d=0.595 1。从 D - W表中可以看到，对于 n= 2 0,k= 1，在 5%的显著水平下：
dL= 1,2 0 1和 dU= 1,4 11。由于 0.595 1远低于下临界值 1,2 0 1，根据表 1 2 - 2中的判定规则，我们可以得出结论：在进口支出回归方程的残差中存在着正的自相关。根据游程检验和图形检验 (图 1 2 -
3及 1 2 - 4 )我们可以得出同样的结论。
252部分 第三部分 实践中的回归分析 下载拒绝 H0，存在着正的自相关无法判断区域拒绝 H0*，存在着负的自相关无法判断区域接受 H0或者 H0*,
为了进一步说明杜宾－瓦尔森 d统计量，我们再来看抵押债务回归方程 ( 7 - 3 2 )。
根据附录 7 A,4中所给的计算机输出结果，知道 d=0.402 0。现在对 n= 1 6,k= 2，临界的 d值为 0,9 8 2和 1,5 3 9 ( 5%的显著水平下 )或 0,7 3 7和 1,2 5 2 ( 1%的显著水平下 )。由于计算的 d值低于这两个下限，因此可以得出结论：残差存在着正的 (一阶 )序列相关，
从而再一次验证了根据游程检验所得出的结论。
例 12.3 抵押债务
1 我们并不想介绍技术细节，然而需要记住的是,d的关键值取决于解释变量所取的值，而后者显然在样本与样本之间是不同的。
第 12章 自 相 关 介绍 253下载尽管 d检验运用的十分广泛，然而它的一个缺陷是：如果计算得到的 d值落入非决策区域或者说是盲区 (见图 1 2 - 5 )，那么我们就无法作出是否存在自相关的结论。为了解决这一问题，一些学者 1提出了对 d检验的修正方案，但是相当复杂，已超出了本书的范围。计算机软件
S H A Z A M可以进行精确的 d检验 (也就是说真实的临界值 ),如果 d统计量落入了非决策区域的话，
则可以使用这个软件。正如我们看到的那样，自相关的后果可能非常严重，因此，如果 d统计量落入了非决策区域，那么假定存在自相关并对条件进行校正可能是鲁莽的。当然，在这种情形下也可以使用非参数检验和图形检验。
在结束 d检验的讨论之前，再次需要强调的是：如果 d检验本身所需条件都不满足的话，那么就无法使用这种检验方法了。特别需要指出的是,d检验不能对形如式 ( 1 2 - 8 )的自回归模型进行序列相关检验。如果在这类模型中应用了 d检验，则所计算得到的 d值通常会在 2左右。因此，
在这类模型中，检验序列相关就具有内在的偏误。但是如果在实证分析中使用了这样的模型，
为了检验自相关问题，杜宾建立了 h统计量 (h s t a t i s t i c )，详细的讨论参见习题 1 2,1 6。
12.4 补救措施由于序列相关可能导致非常严重的后果,并且进一步检验的成本也很高,因此,如果根据前面讨论的一种或者多种诊断检验发现存在自相关问题,则有必要寻找一些补救措施。补救措施取决于我们对误差项 ut相互依赖的性质的了解。为了使讨论尽可能地简单,我们仍以双变量模型为例：
Yt=B1+B2Xt+ut ( 1 2 - 1 2 )
假设误差项服从 A R ( 1 )过程：
ut= ut－ 1+vt － 1≤ ≤ 1
其中,v满足 OLS 假定，并且 是已知的。
现在如果我们能够对模型 ( 1 2 - 1 2 )作变换，使得变换后模型的误差项是序列独立的，然后再用 O L S法进行估计，则得到最优线性无偏估计量，当然 C L R M的其他假定也需要满足。在处理异方差问题时我们使用了同样的方法，我们的目标是对模型加以变换，使得在变换后模型的误差项是同方差的。
为了弄清楚如何使变换后模型的误差项不具有自相关性，我们将回归方程 ( 1 2 - 1 2 )中的变量滞后一期，写为：
Yt－ 1=B1+B2Xt－ 1+ut－ 1 ( 1 2 - 1 3 )2
方程 ( 1 2 - 1 3 )的两边同时乘以,得到：
Yt－ 1= B1+ B2Xt－ 1+ ut－ 1 ( 1 2 - 1 4 )
现在将方程 ( 1 2 - 1 2 )与方程 ( 1 2 - 1 4 )相减，得到：
参考方程 ( 1 0 - 1 6 )所描述的对鸡肉的需求函数。计算的 d值为 1.875 6。对于 n= 2 3，
k= 2,临界的 d值为 1,1 6 8和 1,5 4 3 ( 5%的显著水平下 )或 0,9 3 8和 1,2 9 1 ( 1%的显著水平下 )。
因此，我们不能拒绝零假设：数据中不存在自相关。在这个例子中，正的残差数为
7，负的残差数为 1 6，游程数为 9，根据游程检验也不能拒绝零假设 (证明留给读者 )。
例 12.4 对鸡肉的需求
1 有些作者认为，杜宾－瓦尔森 d统计量的上限 dU近似真实的显著极限。因此，如果计算出的 d位于 dU之下，
则可以假设存在着 (正的 )自相关。参见,E,J,Hannan,R,D,Te r r e l l,,Testing for Serial Correlation
after Least Squares Regression,” E c o n o m e t r i a,v o l,3 6,n o,2,1 9 6 8,p,1 3 3 - 1 5 0。
2 如果 t时期回归方程 ( 1 2 - 1 2 )是正确的，则第 (t－ 1 )期也必然是正确的。
254部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
(Yt- Yt－ 1) =B1( 1- ) +B2(Xt- Xt－ 1) +vt ( 1 2 - 1 5 )
其中利用了方程 ( 1 2 - 7 )。
由于方程 ( 1 2 - 1 5 )中的误差项 vt满足标准 O L S假定，方程 ( 1 2 - 1 5 )就是一种变换形式，使得变换后的模型无序列相关。如果我们将方程 ( 1 2 - 1 5 )写成：
Yt* =B1* +B2*Xt* +vt ( 1 2 - 1 6 )
其中，
Yt* = (Yt－ Yt－ 1)
Xt* = (Xt－ Xt－ 1)
B1* =B1( 1－ )
对变换后的模型使用 O L S法，因而获得的估计量具有 B L U E性质。同时需要指出的是：对变换后的模型使用 O L S得到的估计量称为 广义最小二乘 (generalized least squares)估计量 ( G L S )：上一章处理异方差问题时，我们也应用了 G L S，只不过在那里，我们称为 W L S (加权最小二乘法 )。
我们将方程 ( 1 2 - 1 5 )或 ( 1 2 - 1 6 )称为是 广义差分方程 (generalized difference equation)。 [广义差分方程的特殊情况 (即 p取特殊值 )我们稍后将会讨论到。 ]广义差分方程包括 Y对 X的回归，不是用原来的形式，而是以差分的形式。差分形式是通过将变量的当期值减去前期值的一个比例
( =p)而得到的。例如，若 p= 0,5，我们就用该变量当期值减去前期值的 0,5倍。在这个差分过程中，由于第一个观察值没有前期值而丢失一个观察值，为了避免丢失这个观察值，可以对 Y和
X的第一个观察值作如下变换：
( 1 2 - 1 7 )
这一变换称为 P r a i s - Wi n s t e n变换 ( P r a i s - Winsten transformation)。但是，在实践中，如果样本容量很大，则无需进行这个变换，可以用方程 ( 1 2 - 1 5 ) (此时有 n－ 1个观察值 )。
对于广义差分方程 ( 1 2 - 1 5 )有几点需要指出：首先，这里我们考虑的仅仅是双变量模型，但是这种差分变换可以推广到多个解释变量的情形 (参见习题 1 2,1 9 )。其次，到目前为止，我们仅仅假设了 A R ( 1 )，如方程 ( 1 2 - 7 )，但是差分变换可以很容易地推广到更高阶，例如 A R ( 2 )，
A R ( 3 )，等等；在变换过程中并不涉及新的问题，只不过计算复杂了一些。 1
看起来广义差分方程 ( 1 2 - 1 5 )中的自相关问题已经有了“解决方法” 。不过我们还有一个问题：要成功的应用差分过程，必须知道真实的自相关参数 。当然，它是未知的。为了利用方程 ( 1 2 - 1 5 )，我们必须通过一些方法来估计未知的 。这一情况与异方差情形类似。在那里，我们并不知道真实的 2i，因此不得不做一些可行的假设。当然，如果它是已知的，就可以直接使用加权最小二乘法 ( W L S )。
12.5 如何估计的估计方法不是惟一的，下面我们介绍其中的几种。
12.5.1 = 1：一阶差分法既然 介于 0和± 1之间，所以在广义差分方程 ( 1 2 - 1 5 )中假设 可以取－ 1到 + 1之间的任何值。
H i l d r e t h和 L u2就提出过这样一种方案。但是，究竟是用哪一个特殊的 值呢？因为即使是在－ 1
Y
1
*
= 1?
2
(Y
1
)
X
1
*
= 1?
2
(X
1
)
1 有关高阶自回归过程的讨论可参见,C,Chatfield,The Analysis of Time Series,An Intro d u c t i o n,3 d
e d,,C h a p m a n & H a l l,New Yo r k,1 9 8 4,
2 G,Hildreth and J,Y,Lu,,Demand Relations with Autocorrelated Disturbances,” Michigan State
U n i v e r s i t y,Agricultural Experiment Station,Technical Bulletin 276,November 1960.
第 12章 自 相 关 介绍 255下载和＋ 1之间,也有成百上千个值可以选择。在应用经济计量学中，广泛采用 = 1；也就是说，
误差项之间是完全正自相关的，这对一些经济时间序列来说可能是正确的。如果可以接受这个假设，则广义差分方程 ( 1 2 - 1 5 )就变为一阶差分方程：
Yt－ Yt－ 1=B2(Xt－ Xt－ 1) +vt
或，
Yt=B2?Xt+vt ( 1 2 - 1 8 )
其中,?是一阶差分算子 (就像期望算子一样 )。在估计方程 ( 1 2 - 1 8 )时，首先需要对被解释变量和解释变量同时求差分，然后再对变换后的模型进行回归。
注意一阶差分方程 ( 1 2 - 1 8 )的一个重要特征：模型中没有截距。因此，为了估计方程 ( 1 2 -
1 8 )，需要用通过原点的模型 (参见题 6,1 5 )。很自然，在这种情形下，我们无法直接估计出截距项 (但是注意,)。
我们通过进口支出回归方程来说明一阶差分变换。回归的结果与通过其他变换得到的回归结果一起在表 1 2 - 4中给出，以便比较。稍后我们将对这些变换的结果进行讨论。需要牢记的是：
一阶差分变换是明确地建立在 = 1这一假定之上的。如果情况不是这样，则不提倡使用这一变换。但是，如何知道 的确等于 1呢？答案如下。
12.5.2 从杜宾－瓦尔森 d 统计量中估计前面已建立了 d与 之间的近似关系：
d= 2 ( 1－ ) ( 1 2 - 1 9 )
则有：
既然 d统计量可由大多数回归软件包计算出来，那么，我们可以根据方程 ( 1 2 - 1 9 )很容易地得到 的近似估计值。
一旦从方程 ( 1 2 - 1 9 )估计出 值，我们就可以将其应用于广义差分方程 ( 1 2 - 1 5 )；对进口支出一例,d=0.595 1。因此，
( 1 2 - 2 0 )
这一 值显然不等于一阶差分方程的假定 = 1。根据这个 值得到的回归结果也在表 1 2 - 4中给出。
虽说这种方法很容易使用，但只有当样本容量很大时才能得到较理想的 值。对于小样本，
T h e i l和 N a g a r提出了 的另一种估计方法。参见习题 1 2,2 1。
12.5.3 从 O L S残差 et中估计 p
回顾一阶自回归：
ut= ut－ 1+vt
由于 u是无法直接观察得到，我们可以用相对应的样本误差 e代替，并进行如下回归：
et= et－ 1+vt ( 1 2 - 2 1 )
其中 是 的估计量。统计理论表明,尽管对小样本而言,是真实 的有偏估计量,但是随着样容量的增加,这个偏差会逐渐消失。 1因此,如果样本容量足够大,可以利用从方程 ( 1 2 - 2 1 )中得到的,并用它对数据进行变换,如方程 ( 1 2 - 1 5 )所示。方程 ( 1 2 - 2 1 )的一个优点在于它简单易行,因为我们利用常用的 O L S法就可以获得残差。回归所需的数据在表 1 2 - 1中给出，回归 ( 1 2 - 2 1 )结果如下：
=0.739 9et－ 1? e t

≈1?
0.5951
2
≈ 0.7025
= 1?
d
2
b
1
= Y? b
2
X
1 技术上，认为 是 的一致估计量。
256部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
se=(0.193 27)
t=(3.794 7) r2=0.443 5 ( 1 2 - 2 2 )
因此，所估计得的 为 0.733 9，与从杜宾－瓦尔森 d统计量中所获得的 值略有差异。顺便提及,C o c h r a n e - O r c u t t法又完善了上述方法。
12.5.4 的其他估计方法除了我们此前所讨论过的方法以外，还有其他一些估计 的方法：
(1) Cochrane-Orcutt迭代法； (2) Cochrane-Orcut两步法； (3) Durbin两步法； (4) Hidreth-Lu
搜索法； (5) 最大似然法。
这里不再对上述方法进行讨论，有兴趣的读者可以查阅有关参考书。 1(见本章的部分习题 )
无论使用哪种方法，如方程 ( 1 2 - 1 5 )所示，我们利用获得的 值对数据进行变换并作 O L S回归。 2虽说大多数计算机软件包都能够以最少的指令来完成变换过程，但我们还是在表 1 2 - 3中给出变换后的数据；为了说明的方便，我们使用了从方程 ( 1 2 - 2 2 )中获得的 值,0.739 9。
在结束本部分的讨论之前，我们来考虑运用如下方法处理进口支出数据所得的结果,( 1 )
运用一阶差分变换,( 2 )根据 d统计量的进行变换,( 3 )根据方程 ( 1 2 - 2 2 )进行的变换。结果在表
1 2 - 4中给出。关于这些结果有几点需要注意。
(1) 初始回归存在着自相关,但是根据游程检验，各种变换以后的回归不再有自相关问题。 3
(2) 尽管说，从一阶差分变换中所估计的 值与从 d统计量和方程 ( 1 2 - 2 2 )所估计的 值并不相同，但是如果回归分析不包括第一个观察值的话，则所估计的斜率和截距系数的差别不大。然而，截距和斜率值却显著地与从通常的 O L S回归中所得的截距和斜率不同。
表 12-3 美国进口支出数据：初始的数据和变换后的数据 ( = 0,7 3 3 9 )
Y① t Y(t－ 1 ) Y(t－ 1 ) d② 1 X③ t X(t－ 1 ) X(t－ 1 ) d④ 2
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 )
1 3 5,7 — (92.248 8)⑤ 4 3,4 5 155 1.3 — (105 4.569 6)⑥ 4 9 6,7 3
1 4 4,6 1 3 5,7 99.522 4 4 5,0 8 159 9.8 155 1.3 113 7.723 4 6 2,0 8
1 5 0,9 1 4 4,6 106.049 6 4 4,8 5 166 8.1 159 9.8 117 3.293 4 9 4,8 1
1 6 6,2 1 5 0,9 110.670 0 5 5,5 3 172 8.4 166 8.1 122 3.385 5 0 5,0 2
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
3 6 7,9 3 5 1,1 257.496 7 11 0,4 0 2 542.8 2 469.8 1 811,3 5 1 731.448 7
4 1 2,3 3 6 7,9 269.817 9 1 4 2,4 8 2 640.9 2 542.8 1 864.890 7 7 6,0 1
4 3 9,0 4 1 2,3 302.380 8 1 3 6,6 2 2 686.3 2 640.9 1 936.836 7 4 9,4 6
注：如果回归包括第一个观察值，则做 P r a i d - Wi n s t e n变换；如果它不包括在回归中，则舍去第一观察值。
表中所有其他剩余项均可以类似方式填入。
① Yt— 美国进口支出 ( 1 9 8 2年,1 0亿美元 )
② d1— 第 1列和第 3列之差 (至小数点后两位数 )
③ Xt— 美国 P D I ( 1 9 8 2年,1 0亿美元 )
④ d2— 第 5列和第 7列之差 (至小数点后两位数 )
⑤
⑥ 1? p2(Y
1
)
1? p
2
(Y
1
)
1 对于这些方法的讨论，参见 Damodar N.Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k，
1 9 9 5,p,4 3 1 - 4 3 3。
2 对于大样本，使用各种不同的方法所获得的 的估计值的差异会缩小。
3 我们也可以从变换后的回归方程中获得杜宾－瓦尔森 d统计量。但是经济计量理论表明,从变换后的回归中所计算的 d统计量可能并不适合于自相关检验,因为如果我们将它用作这一目的,这将表明初始误差项并不遵循 A R ( 1 )。它可能遵循,比方说是 A R ( 2 )。而游程检验则并不存在着这样的问题,因为它是非参数检验。
第 12章 自 相 关 介绍 257下载表 12-4 根据变换后数据得到的进口支出回归结果回归变换方法 从中所估计的 截距 斜率 R2 变换后的回归中还存在自相关吗？
初始回归 = 0 － 2 6 1,0 9 0,2 4 5 2 0,9 3 8 8 是的； d= 0,5 9 0 1
(假设 ) t= (－ 8,3 3 4 5 ) ( 1 6,6 1 6 )
第一差分 = 1 0.328 6 0,9 6 8 3 否 ②
(假设 ) t=① (6.446 8)
方程 ( 1 2 - 1 5 )③ = 0,7 0 2 5 － 4 0 5,6 5 0.310 0 0,9 7 2 9 否 ②
(从杜宾的 d) t= (－ 5,2 4 5 ) ( 9,1 8 6 8 )
方程 ( 1 2 - 1 5 )④ = 0,7 0 2 5 － 3 0 2,0 7 0.267 4 0.967 9 否 ②
(从杜宾的 d) t= (－ 5,6 0 6 ) ( 1 0,6 3 5 )
方程 ( 1 2 - 2 2 )③ = 0,7 3 3 9 － 4 3 0,0 3 0.320 2 0.973 7 否 ②
t= (－ 5,0 9 6 ) (8.788 4)
方程 ( 1 2 - 2 2 )④ = 0,7 3 3 9 － 3 0 7,3 7 0,2 7 0 2 0,9 6 8 2 否 ②
t= (－ 5,3 9 8 2 ) ( 1 0,1 8 9 )
注：括号中的数值为 t值。
所有回归都是由 S H A Z A M计算机软件包来完成的。
① 在这一模型中没有截距。 (为什么？ )
② 根据对于所估计得的残差的游程检验。
③ 不包括第一观察值。
④ 包括第一观察值 (也就是 P r a i s - Wi n s t e n变换 )。
(3) 然而，如果通过 P r a i s - Wi n s t e n变换纳入第一个观察值，则情况会有显著的变化。变换后的斜率系数非常接近于初始的 O L S的斜率，并且变换后模型的截距也非常接近于初始截距。因此，对于小样本而言，包括第一个观察值是很重要的。否则，变换后模型的估计系数将不会有包括第一个观察值的模型那样有效 (也就是说，有较大的标准差 )。
(4) 各种回归中的 r2值不能直接比较，因为各模型中的解释变量不是一样的。此外，对于一阶差分模型，通常计算的 r2是没有意义的。
如果我们接受了建立在 P r a i s－ Wi n s t e n变换之上的回归结果 (进口支出一例 )，并将这些结果与初始回归结果 (存在自相关 )相比较，我们会看到，初始的截距和斜率系数的 t值 (绝对值 )在变换后的回归中有所下降。换句话说，初始模型低估了标准差。但是根据自相关的理论后果，
这一结果并不令人感到吃惊。幸运的是，在这个例子中，即使校正了自相关，估计的 t值也依然是统计显著的。 1但是情况并不总是这样。
12.6 小结本章要点如下：
(1) 在存在自相关情形下 O L S估计量，尽管是无偏的，但不是有效的。简言之，它们不是最优线性无偏估计量。
(2) 在马尔可夫一阶自回归,A R ( 1 )假定下，通常计算的 O L S估计量的方差和标准差可能存在着严重的偏差。
(3) 结果，标准 t显著性检验和 F显著性检验可能存在着严重的误导性。
(4) 因此，重要的是知道在具体情况下是否存在着自相关问题。在所有诊断自相关的方法中，我们考虑了如下三种：
1 严格地说，如果样本容量很大，这一陈述则是正确的。这是因为我们并不知道真实的 值，利用估计的值来变换数据时，经济理论表明，在大样本情形下，通常的统计检验过程是有效的。
a,残差图形检验
b,游程检验
c,杜宾－瓦尔森 d检验
(5) 如果发现了自相关，我们建议通过适当的变换消除自相关。我们用几个具体的例子说明了实际机制。
习题
12.1 简要解释下列名词：
(a) 自相关 (b) 一阶自相关 (c) 空间相关
12.2 马尔可夫一阶自相关假定有何重要意义？
1 2,3 在 A R ( 1 )假定下，古典线性回归模型的假定之一，总体概率分布函数中的误差项不相关的后果是什么？
1 2,4 在存在 A R ( 1 )自相关的情形下，什么估计方法能够产生 B L U E估计量？简述这个方法的具体步骤。
12.5 在存在 A R ( 1 )的情形下，估计自相关参数 有哪些不同的方法？
12.6 诊断自相关有哪些不同的方法？说明每一种方法所隐含的假设。
12.7 杜宾－瓦尔森 d统计量虽广泛使用，但它有什么缺陷？
12.8 判断正误并说明理由。
(a) 当存在自相关时,O L S估计量是有偏的并且也是无效的。 (b) 在形如方程 ( 1 2 - 8 )的自回归模型中，也就是模型中的一个解释变量是被解释变量的一期滞后值，此时杜宾－瓦尔森 d
统计量检验是无效的。 (c) 杜宾－瓦尔森 d统计量检验假设误差项的同方差。 (d) 消除自相关的一阶差分变换假定自相关系数 必须等于 1。 ( e )两个模型，一个是一阶差分形式，一个是水平形式，这两个模型的 R2值是不可以直接比较的。
12.9 Prais-Wi n s t e n变换有什么重要意义？
12.10 完成下表：
样本数 解释变量数 杜宾－瓦尔森 d统计量 自相关证据
2 5 2 0,8 3 有
3 0 5 1,2 4
5 0 8 1,9 8
6 0 6 3,7 2
2 0 0 2 0 1,6 1
1 2,11 利用游程检验检验以下情形中的自相关 (利用 S w e d - E i s e n h a r t表 )
样本数 ＋号数 －号数 游程数 自相关
1 5 11 7 2
3 0 1 5 1 5 2 4
3 8 2 0 1 8 6
1 5 8 7 4
1 0 5 5 1
12.12 对第 8章给出的菲利蒲斯曲线回归 ( 8 - 3 0 )，估计的 d统计量为 0,6 3 9 4。
(a) 残差中是否存在一阶自相关？如果有，是正的还是负的？ (b) 如果存在自相关，根据 d统计量估计自相关系数。 (c) 利用估计的 值，对表 8 - 6中的数据进行变换，并估计广义差分方程 ( 1 2 - 1 5 ) (也就是说，对变换后的数据用 O L S法 )。 (d) 在 ( c )中，估计的回归存在自相关
258部分 第三部分 实践中的回归分析 下载吗？你使用的是哪一种检验？
1 2,1 3 在研究工人在价值增值中所占份额 (也即说劳动力的份额 )的变化中，根据 1 9 4 9年到
1 9 6 4年期间美国的数据,1得到如下回归结果,(t比例值在括号中 )
模型 A,=0.452 9－ 0,0 0 4 1t； r2=0.528 4； d=0.825 2
t= (－ 3.970 8)
模型 B,=0.478 6－ 0.001 27t+ 0.000 5t2； r2=0.528 4； d= 1,8 2
t= (－ 3.272 4) (2.777 7)
其中 Y=劳动份额,t=时间
(a) 在模型 A中存在序列相关吗？模型 B呢？ (b) 如果在模型 A中存在序列相关而模型 B
中却并不存在,则前者存在序列相关的原因何在？ (c) 这个例子告诉我们在自相关的检验中，
d统计量有哪些优点？
12.14 杜宾两阶段法估计 。 2将广义差分方程 ( 1 2 - 1 5 )写成如下形式：
Yt=B1( 1－ ) +B2Xt－ B2Xt－ 1+ Yt－ 1+vt
第一阶段，杜宾建议以 Y作为被解释变量,Xt,Xt－ 1和 Yt－ 1作为解释变量来进行回归。 Yt－ 1的系数将会提供 的一个估计量。因此估计得到的 是一致估计量；也就是说，对大样本，它是真实 值的一个较好估计值。
第二阶段，利用从第一阶段中获得的 对数据变换，并估计广义差分方程 ( 1 2 - 1 5 )。
将杜宾两阶段法应用于本章所讨论过的美国进口支出数据，并将得到的结果与表 1 2 - 4中得的结果加以比较。
12.15 考虑如下回归模型,3
=-49.466 4+0.885 44X2t+0.0925 3X3t； R2=0.997 9； 0.875 5
t= (-2.239 2) (70.293 6) (2.693 3)
其中,Y=个人消费支出 ( 1 9 8 2年 1 0亿美元 )
X2=个人可支配收入 ( 1 9 8 2年 1 0亿美元 ) ( P D I )
X3=道·琼斯工业平均股票指数根据 1 9 6 1年到 1 9 8 5年期间美国数据。
(a) 在回归的残差中存在一阶自相关吗？你是如何知道的？
(b) 利用杜宾两阶段过程，将上述回归转换成方程 ( 1 2 - 1 5 )，结果如下：； R2=0.981 6； d= 2,2 8
t= (30.72) ( 2,6 6 )
自相关的问题解决了吗？你是如何知道的？
(c) 比较初始回归和变换后的回归,P D I的 t值急剧下降，这一变化表明了什么？
(d) 根据变换后模型获得的 d值能否确定变换后的数据存在自相关？
12.16 杜宾 h统计量。在形如方程 ( 1 2 - 8 )的自回归模型中：
Yt=B1+B2Xt+B3Yt－ 1+vt
通常 d的 d统计量无法用来诊断自相关。对于这类模型，杜宾建议用 h统计量来代替 d统计量，
h统计量定义为：
Y
t
*
=?17.97 + 0.89 X
2t
*
+ 0.09X
3t
*
Y
t
Y
t
Y
t
1 参见 Damodar N.Gujarati,,L a b o u r’ s Share in Manufacturing Industries,” Industrial and Labor
Relations Review,v o l,2 3,n o,1,October 1969,p,6 3 - 7 5,
2 J.Durbin,,Estimation of Parameters in Time-Series Regression Models,” Journal of the Royal Statistical
S o c i e t y,s e r,B,v o l,2 2,1 9 6 0,p,1 3 9 - 1 5 3,
3 参见 Dominick Salvator,Managerial Economics,M c G r a w - H i l l,New Yo r k,1 9 8 9,p,1 3 8,1 4 8,
第 12章 自 相 关 介绍 259下载
260部分 第三部分 实践中的回归分析其中,n — 样本数—
自相关系数 的估计量
v a r (b3) — 滞后变量 Y的系数 B3的估计量的方差杜宾已经证明，对于大样本而言，给定 = 0这一零假设,h统计量的分布服从：
h=N( 0,1 )
也就是说，它服从标准正态分布，也即以零为均值，以 1为方差的正态分布。因此，如果所计算的 h统计量超过了 h值的临界值，则拒绝 = 0这一零假设；如果它没有超过临界的 h值，
则不能拒绝无 (一阶 )自相关这一零假设。顺便提及，进入 h公式中的 可以利用本章所讨论过的任意一种方法获得。
现在考虑 1 9 4 8? 1 9 4 9年到 1 9 6 4? 1 9 6 5年期间印度的货币需求函数如下：
1 n =1.602 7－ 0.102 41nRt+0.686 9 1nYt+ 0.528 4 1nMt－ 1
se=(1.240 4) (0.367 8) (0.342 7) (0.200 7) R2=0.922 7
式中,M— 实际现金余额 R— 长期利率 Y— 实际国民收入
(a) 对于这一回归，求 h统计量并检验假设：上述回归中并不存在一阶自相关。 (b) 对于同一回归，杜宾－瓦尔森 d统计量为 1.862 4。说明为什么在这种情况下并不适合用 d统计量。但注意你可以使用 d统计量估计 ( = 1-d/ 2 )。
12.17 考虑表 1 2 - 5中所给数据：
表 12-5 美国股票价格指数和 G N P数据年份 Y X 年份 Y X
1 9 7 0 4 5,7 2 1 015.5 1 9 7 9 5 8,3 2 2 508.2
1 9 7 1 5 4,2 2 1 102.7 1 9 8 0 6 8,1 0 2 732.0
1 9 7 2 6 0,2 9 1 212.8 1 9 8 1 7 4,0 2 3 052.6
1 9 7 3 5 7,4 2 1 359.3 1 9 8 2 6 8,9 3 3 166.0
1 9 7 4 4 3,8 4 1 472.8 1 9 8 3 9 2,6 3 3 405.7
1 9 7 5 4 5,7 3 1 598.4 1 9 8 4 9 2,6 3 3 772.2
1 9 7 6 5 4,4 6 1 782.8 1 9 8 5 1 0 8,0 9 4 019.2
1 9 7 7 5 3,6 9 1 990.5 1 9 8 6 1 3 6,0 0 4 240.3
1 9 7 8 5 3,7 0 2 249.7 1 9 8 7 1 6 1,7 0 4 526.7
注,Y— N Y S E复合普通股票价格指数,( 1 9 6 5年 1 2月 3 1日 = 1 0 0 )
X— G N P (单位,1 0亿美元 )
数据来源：,总统经济报告,1 9 8 9》,Y列数据来自第 4 1 6页表 B - 9 4,X列数据来自第 3 0 8页表 B - 1。
(a) 估计 O L S回归,Yt= B1+B2Xt+ut。 (b) 根据 d统计量确定在数据中是否存在一阶自相关。
(c) 如果存在，用 d值来估计自相关系数。 (d) 利用估计的 对数据变换，用 O L S法估计广义差分方程 ( 1 2 - 1 5 ),( 1 )舍去第一个观察值； ( 2 )包括第一个观察值。 (e) 重复 ( b )，但根据形如方程 ( 1 2 - 2 1 )的残差中估计 值。利用估计的 值，估计广义差分方程 ( 1 2 - 1 5 )。 (f) 利用一阶差分法将模型变换成方程 ( 1 2 - 1 8 )的形式，并对变换后的模型进行估计。 (g) 比较 ( d ),( e )和 ( f )的回归结果。你能得出什么结论？在变换后模型中还存在自相关吗？你是如何知道的？
12.18 利用题 1 2 - 1 7中所给的数据，得到如下回归结果：
= 8 8,5 4 3－ 0.045 4Xt+0.000 013 1X2t R2=0.957 7； d= 1,6 7
t=(8.379 2) (－ 5.080 8) (8.004 5)
其中 X2表示 G N P的平方。
Y
t
M
t
h =?
n
1? n? var(b
3
)
下载第 12章 自 相 关 介绍 261下载
(a) 在这个回归中存在一阶自相关吗？如果不存在，并且在没有包括 G N P平方项的题 1 2,1 7
中发现了自相关，那么你得出什么结论？这两个回归之间有什么差别？ (b) 在这个回归中为什么 G N P项是负的而 G N P平方项却是正的？这说明了什么？ (c) 先验地，你预期股票价格指数与 G N P之间存在着正的还是负的关系？
12.19 考虑如下模型：
Yt=B1+B2X2t+B3X3t+B4X4t+ut
假设误差项遵循 A R ( 1 )，也即方程 ( 1 2 - 7 )。如何变换模型使得变换后的模型不存在自相关？ [提示：扩展方程 ( 1 2 - 1 5 ) ]
1 2,2 0 建立方程 ( 1 2 - 9 ) (提示：扩展方程 ( 1 2 - 1 5 )并利用方程 ( 1 2 - 1 0 )。并且注意到对于大样本而言,与 大致相同。 )
1 2,2 1 以 d统计量之上的 T h e i l－ N a g a r的 。 T h e i l－ N a g a r1认为，在小样本中不应用 ( 1－
d/ 2 )来估计,而是：
其中,n— 样本数；
d— 杜宾－瓦尔森 d统计量；
k— 要估计的系数个数 (包括截距项 )。
证明对于较大的 n而言，这一 的估计值等于以简单公式 ( 1－ d/ 2 )所得的 值。
12.22 蒙特卡罗 (Monte Carlo)试验。考虑如下模型：
Yt= 1,0 + 0,9Xt+ut ( 1 )
其中 X取值为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,1 0。假设有：
ut= ut－ 1+vt ( 2 )
= 0,9ut－ 1+vt
其中 vt? N( 0,1 )，假设 u0= 0。
(a) 生成 1 0个 vt值，再根据方程 ( 2 )生成 1 0个 ut值。 (b) 利用 1 0个 X值和上一步所生成的 1 0个 ut值生成 1 0个 Y值。 (c) 用 ( b )部分生成的 1 0个 Y值对 1 0个 X值进行回归，求出 b1和 b2。 (d) 将你所计算的
b1和 b2分别与其真实值 1和 0,9相比较，结果如何？ (e) 从这个例子中你得出什么结论？
12.23 继续习题 1 2,2 2。现在假设 = 0,1。你观察到了什么结果？从题 1 2,2 3和 1 2,2 2中你能够得出什么结论？
=
n
2
(1? d /2)+k
2
n
2
k
2
e
t
2
∑et?1
2
∑
1 参见 H,Theil和 A,L,Nagar,,Testing the Independence of Regression Disturbances”,Journal of the
American Statistical Association,v o l,5 6,1 9 6 1,p,7 9 3 - 8 0 6,
下载在前面几章中我们考虑了单方程线性回归模型，例如，对 w i d g e t s需求函数、菲利蒲斯曲线、进口支出函数。在给出这些模型时，我们隐含地假定了所选择的模型是“对现实的真实反映”；也就是说，它正确地反映了所要研究的现象。更专业地说，我们假定所选模型中不存在设定偏差或者设定误差。设定误差的产生是由于估计了“不正确的”模型，尽管是不经意地。
然而，在实践中，寻找一个真实正确的模型就好像寻找圣杯一样。我们可能永远都无法知道真实的模型是什么，我们所希望的是寻找一个能够“相对”精确反映现实的模型。
正是由于实践的重要性，我们需要对如何建立经济计量模型进行深入的探讨。特别地，我们考虑下列问题：
(1),好的”或者“正确的”模型有那些性质？
(2) 假设一个无所不知的经济计量学家已经建立了一个“正确”的模型用以分析某种经济现象。然而，由于数据的可获得性，出于对成本的考虑，或者是疏忽等其他原因，研究人员使用了另一个模型，因此，与“正确”模型相比，就犯了设定误差。那么，在实践中可能会犯哪几种类型的设定误差呢？
(3) 设定误差的后果是什么？
(4) 如何诊断设定误差？
(5) 如果已经犯了设定误差，可以采取哪些补救措施重新回到“正确的”模型？
13.1,好的”模型具有的特性离开了参考标准或者指导方针,我们就无法确定在实证分析中所选择的模型是不是,好的”,
“恰当的”,或“正确的” 。著名经济计量学家哈维 (A.C.Harvey) 1 列出了如下标准。根据这些标准，我们可以判断一个模型的好坏。
节省性 ( p a r s i m o n y )。一个模型永远也无法完全把握现实；在任何模型的建立过程中，一定程度的抽象或者简化是不可避免的。简单优于复杂 ( O c c a m ’s razor寓意 )或者节俭原则表明模型应尽可能的简单。
可识别性 ( i d e n t i f i a b i l i t y )。即对给定的一组数据，估计的参数必须具有惟一值，或者说，
第 13 章
■ 模型选择：标准与检验
1 A,C,哈维 (A,C,Harvey),The Economic Analysis of Time Series,Wiley,New Yo r k,1 9 8 1,p p,5 - 7。以下的讨论主要依据这一本书。另见 D,F,Hendry,J,E,Richard,,On the Formulation of Empirical Models in
Dynamic Econometrics,” Journal of Econometrics,v o l,2 0,October 1982,p p,3 - 3 3,
每个参数只有一个估计值。
拟合优度 (goodness of fit)。回归分析的基本思想是用模型中所包括的解释变量来尽可能地解释被解释变量的变化。比如我们可用校正的样本决定系数 R2来度量拟合度,1 R2越高，则认为模型就越好。
理论一致性 (theoretical consistency)。无论拟合度有多高，一旦模型中的一个或者多个系数的符号有误，该模型就不能说是一个好的模型。因而，在某种商品的需求函数中，如果价格系数为正 (需求曲线的斜率为正！ )，或者如果收入系数为负 (除非这一商品为劣等商品 )，那么回归结果就值得怀疑，即使模型的 R2值很高，比如说 0,9 2。简言之，在构建模型时，我们必须有一些理论基础来支撑这一模型,“没有理论的测量”经常能够导致非常令人失望的结果。
预测能力 (predictive power)。正如诺贝尔奖得主米尔顿·弗里德曼 (Milton Friedman)所指出的那样,“对假设 (模型 )的真实性惟一有效的检验就是将预测值与经验值相比较” 。 2 因而，
在货币主义模型和凯恩斯模型两者之间选择时，根据这一标准，我们应该选择理论预测能够被实际经验所验证的模型。
虽然建立“好的”模型没有一个统一的方法，但是我们建议读者在建立经济计量模型时应牢记这些标准。
13.2 设定误差的类型正如前面所指出的那样，模型应该尽可能简单，它应该包括理论上所建议的关键变量而将一些次要影响因素包括在误差项 u中。本节我们讨论几种导致模型失效的 设定误差 ( s p e c i f i c a t i o n
e r r o r s )。
13.2.1 遗漏相关变量：,过低拟合”模型在本章引言中曾提及，由于种种原因，研究者遗漏了一个或多个本应该包括在模型中的解释变量。那么，这对常用的普通最小二乘 ( O L S )估计过程会有什么影响呢？
我们来看具体的一例子。在第 6章中我们曾给出了从 1 9 6 8年到 1 9 8 7年期间美国进口支出函数，见式 ( 6 - 5 2 )，在第 1 2章中我们又进一步讨论了这个函数。现在，假定“真实”的进口支出函数如下：
Yt =B1+B2X2t+B3X3t+ut ( 1 3 - 1 )
式中 Y— 进口支出；
X2— 个人可支配收入 ( P D I )；
X3— 时间或趋势变量，取值从 1,2，?到 2 0。
式 ( 1 3 - 1 )表明：除了 P D I以外，还有一个变量,X3也影响进口支出。它可能是人口、偏好、技术等因素，我们用一个“包罗万象”的变量 — 时间或者趋势变量表示这些影响因素。 3
但是，这里，我们不是估计回归方程 ( 1 3 - 1 )，而是估计下面的方程：
Yt=A1+A2X2t+vt ( 1 3 - 2 )
第 13章 模型选择：标准与检验 介绍 263
下载
1 除了样本决定系数 R2以外，还有其他的标准也可用来判断一个模型的拟合度。对于这些标准的详细讨论，
参见 G.S Maddala,I n t roduction to Econometrics,M a c m i l l a n,New Yo r k,1 9 8 8,p p,4 2 5-4 2 9,
2 Milton Friedman,,The Methodology of Positive Economics,” in Essays in Positive Economics，
University of Chicago Press,1953,p,7,
3 在时间序列数据中,一个非常普遍的做法是引入一个趋势变量代表那些无法准确表达的其他变量的影响。
但是要注意第 8章第 4节给出的警告。
式 ( 1 3 - 2 )与式 ( 1 3 - 1 )类似，只是去掉了“相关”变量 X3。 v与 u一样也是一个随机误差项。注意：我们用 Bs代表“真实”回归式 ( 1 3 - 1 )的参数，用 As表示“不正确设定”回归方程 ( 1 3 - 2 )的参数：与式 ( 1 3 - 1 )相比，式 ( 1 3 - 2 )就错误地设定了模型。因此，如果式 ( 1 3 - 1 )是正确的模型，那么式 ( 1 3 - 2 )就犯了从模型中排除重要变量的设定误差。我们将这种设定误差称作 遗漏变量偏差
(omitted variable bias)。它会产生什么后果呢？我们先用一般的形式陈述遗漏变量的后果，然后再用进口支出数据加以说明。
遗漏变量 X3可能会产生如下后果：
(1) 如果遗漏变量 X3与模型中的变量 X2相关，则 a1和 a2是有偏的；也就是说，其均值或期望值与真实值不一致。 1 用符号表示，
E (a1) ≠B1 E(a2) ≠B2
其中 E表示期望 (参见第 2章 )。事实上，可以证明,2
E (a2) =B2+B3b3 2 ( 1 3 - 3 )
E (a1) =B1+B3 ( -b3 2 ) ( 1 3 - 4 )
其中,b3 2是遗漏变量 X3对变量 X2的斜率系数。显然，除非式 ( 1 3 - 3 )中的最后一项为零，否则,a2
将是有偏估计量，偏差的程度取决于最后一项。如果 B3和 b3 2都是正的，则 a2将会有一个向上的偏差 — 平均而言，它高估了真实的 B2。另一方面，如果 B3是正的,b3 2是负的，或是 B3为负，
b3 2为正，则 a2将会有一个向下的偏差 — 平均而言，它低估了真实的 B2。类似地，如果式 ( 1 3 -
4 )中的最后一项是正的，则 a1将有一个向上的偏差；如果它是负的，则有一个向下的偏差。
(2) a1和 a2是不一致的，也就是说，无论样本容量有多大，偏差都不会消失。
(3) 如果 X2与 X3不相关，则 b3 2为零。则根据式 ( 1 3 - 3 )可以看出 a2是无偏的和一致的。 [在第 4
章中曾指出，如果估计量是无偏的 (这是一个小样本性质 )，它也是一致的 (这是一个大样本性质 )。反之，却不一定成立；估计量可以是一致的但却不一定是无偏的。 ] 但是,a1仍然是有偏的，除非式 ( 1 3 - 4 )中的 等于零。即使在这种情况下，下面给出的 ( 4 )到 ( 6 )结论仍然成立 3。
(4) 根据式 ( 1 3 - 2 )得到的误差方差是真实误差方差 2的有偏估计量。换言之，从真实模型 ( 1 3 - 1 )
估计得到的误差方差与从错误设定模型 ( 1 3 - 2 )中估计得到的误差方差不相同；前者是真实 σ2的一个无偏估计量，而后者却不是。
(5) 此外，通常估计的 a2的方差 ( = )是真实估计量 b2的方差的有偏估计量。即使是
b3 2等于零 (也即 X2与 X3不相关 )，这一方差仍然是有偏的，可以证明,4
E [var (a2)]=var (b2) + ( 1 3 - 5 )
也就是说,a2方差的期望值并不等于 b2的方差：由于式 ( 1 3 - 5 )的第二项总为正 (为什么？ )，
因此平均而言,var ( a2)高估了 b2的真实方差。这就意味着它将有一个正的偏差。
(6) 因此，通常的置信区间和假设检验过程也就不再可靠。对式 ( 1 3 - 5 )而言，置信区间将会变宽，因此，我们可能会“更频繁地”接受零假设：系数的真实值为零 (或者其它零假设 )。
这里不再给出上述各个结论的证明，我们用进口支出函数一例来说明错误设定模型的后果。
B
3
2
x
3i
2
∑
(n? 2) x
2i
2
∑
2
/ x
2t
2
∑
X
3
X
2
X
3
264部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 技术要点：根据“非多重共线性”假设,X2与 X3是否应该是非相关的？回顾第 7章可知，变量之间不存在完全共线性这一假设是仅对总体回归函数 ( P R F )而言，但却无法保证样本中变量之间不相关。
2 证明参阅 Damondar N.Gujarati,Basic Econometrics,3d ed,M c G r a w - H i l l,New Yo r k,1 9 9 5,p,2 0 5,
3 然而，先验地，没有理由假设 等于零。
4 证明参见 Jan Kmenta,Elements of Eonometrics,2d ed.,Macmillan,New Yo r k,1 9 8 6,p p,4 4 4-4 4 5。注：
只有当 b3 2= 0时才成立。在我们的这个例子中却不是这样，这一点可以从随后的方程 ( 1 3 - 8 )中看出来。
X
3
例 13.1 进口支出函数利用表 6 - 3给出的数据，再加上时间趋势变量，式 ( 1 3 - 1 )的回归结果如下：
=-859.92+0.647 0X2t-2 3,1 9 5X3t
s e = ( 111.96) (0.0745) (4.2704) ( 1 3 - 6 )
t= (-7.6806) (8.6846) (-5,4 3 1 6 )
= 1 8 4,0 5； R2= 0,9 7 7 6； =0.975 0 d= 1,3 6
而错误设定式 ( 1 3 - 2 )的回归结果已由第 6章的式 ( 6 - 5 2 )给出，如下：
=-2 6 1,0 9 + 0,2 4 5 2X2t
se=(31.327) (0.0148) ( 1 3 - 7 )
t= (-8.334) (16.5676)
= 4 7 5,4 8； R2= 0,9 3 8 8； = 0,9 3 5 4； d= 0,5 9 5 1
注意两个回归结果的几个特点：
(1) 错误设定式 ( 1 3 - 7 )表明,P D I每增加一美元，平均而言，用于进口货物上的支出将会增加 2 4美分；也就是说，进口支出的边际倾向为 2 4美分。而真实模型 ( 1 3 - 6 )表明：由于考虑到趋势变量的影响，因而,P D I每增加一美元，平均而言，用于进口货物的支出将会增加大约 6 5美分。在这个例子中，错误设定方程低估了真实的边际进口支出倾向，也就是说，它有一个向下的偏差。如果作 X3对 X2的回归，得到斜率系数 b3 2，
则很容易得到这一向下的偏差：
t= (-23.999) (34.177) r2= 0,9 8 4 8 ( 1 3 - 8 )
斜率系数 b3 2为 0.017 3。从式 ( 1 3 - 6 )可知，估计的 B2=0.647 0,B3=-2 3,1 9 5。因此，
根据式 ( 1 3 - 3 )有 1,B2+B2b3 2=0.647 0+(－ 23.195)(0.017 3)=0.245 2，与从错误设定式
( 1 3 - 7 )中得到的值大致相等。注意,B3(遗漏变量的真实值 )和 B3 2(遗漏变量对模型中变量回归的斜率系数 )的乘积决定了偏差的性质，是向上或是向下。因而，错误地从模型中略去变量 X3，如方程 ( 1 3 - 2 )及方程 ( 1 3 - 7 )，不仅忽略了 X3对 Y的影响 (B3)，而且也忽略了 X3对于 X2的影响 (b3 2)。因此,“单独的”变量 X2就不得不肩负起遗漏变量对 Y的影响，从而无法表现变量 X2对 Y的真实影响 (0.647 0对比着 0.245 2)。
(2) 截距也是有偏的，但在这里它高估了真实的截距值 (注意- 2 6 1是大于- 8 5 9
的 )。
(3) 从两个模型中所估计的误差方差也明显不同，分别是 1 8 4和 4 7 5。
(4) 截距和斜率 (X2的 )的标准差也明显不同。
所有这些结果都与前面的讨论一致。你会发现，如果根据错误设定方程 ( 1 3 - 7 )来进行假设检验的话，则得出的结论是令人怀疑的。毫无疑问，从模型中略去相关变量可能产生非常严重的后果。因此，在建立模型时，必须小心谨慎。需要对研究现象中所蕴含的经济理论作深入的了解，从而把相关的变量都包括进模型中。如果模型中未包括这些相关变量，则我们就会“过低拟合”或者“过低设定”模型；换言之，我们遗漏了一些重要的变量。
在进一步讨论之前，注意“正确”模型 ( 1 3 - 6 )和“不正确”模型 ( 1 3 - 7 )中的杜宾 -瓦尔森 d
X
3t
=?25.817 + 0.0173X
2t
R
2
2
Y
t
R
2
2
Y
t
第 13章 模型选择：标准与检验 介绍 265
下载
1 注意技术要点。由于在真实模型中 b2和 b3是真实 B2和 B3的无偏估计量，所以，在模型 ( 1 3 - 3 )中，用的是参数的估计值；也就是说，事实上我们是用表达式 b2+b3b3 2而不是 ( 1 3 - 3 )。由于在真实模型中 E(b3) =B3，所以，这里我们用的是 b3。
值，分别为 1,3 6比 0.595 1。为什么会有差异呢？这又表明什么呢？稍后，我们回答这些问题。
例 13.2 经纪行业中的规模经济在例 11,8中，我们看到纽约股票交易所 ( N Y S E )认为的规模经济是虚假的而非真实的，原因在于样本中把小公司和大公司混在一起，产生了异方差问题 [参见方程 ( 11 - 3 2 ) ]：
当交易成本除以交易量时，我们通过方程 ( 11 - 3 3 )表明了所谓的规模经济是如何消失的。
我们可以从设定误差的角度来证明这个例子中所观察到的规模经济是虚假的而非真实的。假设我们继续用回归方程 ( 11 - 3 2 )，但现加入了 6个虚拟变量代表不同规模的公司。回归结果由表 1 3 - 1给出。令人吃惊的是，平方项的系数为正 (并且在 1 0%的显著水平下是统计显著的 )，表明总成本是以一个递增的速率在增加的，这与 N Y S E在回归方程 ( 11 - 3 2 )中所得的结果形成鲜明的对比。换言之，在经纪行业中存在的是规模不经济。从表 1 3 - 1中的结果可以看到，几个虚拟变量的系数是统计显著的，这表明由于没有考虑到交易量的影响,N Y S E犯了模型设定错误。
13.2.2 包括不相关变量：,过度拟合”模型有的时候，研究人员会采取“大杂烩”的方式将所有的变量都包括进模型中，也不管它们是不是理论上所需要的。,过度拟合”或者“过度设定”模型 (也就是说包括非必须变量 )的逻辑思想是只要包括了理论上的相关变量，那么，包括一个或多个不必要的或“无意义”的变量也不会有太大的影响 — 非相关变量是指没有具体的理论表明应该把这些变量包括到模型中。
这样的非相关变量经常被不经意地包括到模型中,因为研究人员不能确定它们在模型中的作用。
如果经济理论不完善，这种现象也会发生。在这种情况下，当然会增加 R2值 (若增加变量系数的 t值的绝对值大于 1，则校正后的 R2也会增加 )，从而增加模型的预测能力。
模型中包括非相关变量会导致什么后果呢？我们仍用简单的双变量和三变量模型加以说明。假设：
Yi=B1+B2X2i+ui ( 1 3 - 9 )
是正确设定的模型，但是，某研究者却加入了多余的变量 X3，估计了以下的模型：
Yi=A1+A2X2i+A3X3i+vi ( 1 3 - 1 0 )
这里，设定误差是过度拟合了模型，也就是说，包括进了不必要的变量 X3，不必要是指先验地，它对于 Y没有任何影响。式 ( 1 3 - 1 0 )的估计结果如下：
表 13-1 NYSE经纪成本函数解释变量 系 数 t
截距 3 8 4,5 3 9 1,9 0 6①
X2 2 6,7 6 0 8,1 2 0④
X22 0,8 7 7× 1 0－ 6 1,8 8 6①
D1 6 7 0,5 3 0 1,7 7 5①
D2 1 6 0 4,4 7 8 2,7 3 0③
D3 － 2 0 2,2 1 4 0,1 8 5
D4 5 760.251 2,4 9 0②
D5 2 543.144 0,7 1 0
D6 19 488.135 3,6 9 0④
R2= 0,9 4； n= 3 4 7个公司数据来源,Richard R,West and Seha M,Ti n i c,“Minimum Commission Rates on New York Stock Exchange
Tr a n s a c t i o n s,” Bell Jouranl of Economics,Vo l,2,n o,2,p,5 9 3,Autumn 1971.
266部分 第三部分 实践中的回归分析 下载注,D1= 1，交易量为 40 000到 100 000。
D2= 1，交易量为 100 000到 200 000。
D3= 1，交易量为 200 000到 500 000。
D4= 1，交易量为 500 000到 1 000 000。
D5= 1，交易量为 1 000 000到 1 800 000。
D6= 1，交易量超过 1 800 000。
X2=交易数。
① 显著水平为 0,1 0。 ② 显著水平为 0,0 1。
③ 显著水平为 0,0 0 5。 ④ 显著水平为 0,0 0 0 5。
( 1 )“不正确”模型 ( 1 3 - 1 0 )的 O L S估计量是无偏的 (也是一致的 )。也就是说,E (a1) =B1，
E(a2) =B2和 E(a3)=0 (注：由于 X3本不属于真实模型，因而 B2的值预期为零。 )
(2) 从回归方程 ( 1 3 - 1 0 )中所得的 2的估计量是正确估计值。
(3) 标准的置信区间和假设检验仍然是有效的。
(4) 但是，从回归方程 ( 1 3 - 1 0 )中估计的 a却是无效的 — 通常，它们的方差比从真实模型
( 1 3 - 9 )中估计的 b的方差大。因此，建立在 a的标准差之上的置信区间比建立在 b的标准差之上的置信区间宽，尽管，前者的假设 -检验是有效的。但是，估计的系数值没有根据正确模型所估计的真实值那么精确。简言之,O L S估计量是线性无偏估计量，但不是最优线性无偏估计量。
注意：到目前为止，我们讨论了两类不同的设定误差。如果略去某一相关变量 (过低拟合的情况 )，则模型中剩余变量的系数通常是有偏的和不一致的，估计的误差方差也是不正确的，
估计量的标准差是有偏的，因此，通常所用的假设 -检验过程是无效的。另一方面，若模型中包括了一个无关变量 (过度拟合的情况 )，则仍然可以得到无偏的和一致估计量，估计的误差方差也是正确的，标准的假设 -检验过程仍然是有效的。模型中包括多余变量的一个主要问题是估计系数的方差会变大，因而，对有关真实参数的推断就没那么精确，因为置信区间扩大了。
在某些情况下，我们就会接受零假设：真实的系数值为零，因为置信区间变宽了；也就是说，
我们会无法认识到被解释变量与解释变量之间的显著关系。
从上述讨论中得到的一个未获保证的的结论是：包括不相关变量比排除相关变量要好一些。但是我们并不鼓励这样做，因为正如前面所指出的那样，不必要变量的增加会减少估计量的有效性 (即更大的标准差 )，也可能导致多重共线性问题 (为什么？ )，更不用说对自由度的损失了。
一般地，最优的方法是仅仅包括那些在理论上对应变量有直接影响的解释变量，并且这些解释变量不能够由模型中其他变量解释。 1
例 13.3 经纪行业中的规模经济除了方程 ( 11 - 3 2 )以外,N Y S E还估计了下面的回归方程,2
=381.229+33.344 5Xi-( 2,9 2 6× 1 0-6)Xi2 +(2.687 3× 1 0-1 3)X3i
t=(2.090 0) (18.231 8) (－ 1.693 9) (1.072 4) R2= 0,9 3 4 ( 1 3 - 11 )
其中 Y=成本,X=股票交易数。
由于式 ( 1 3 - 11 )中的立方项是统计不显著的，所以,N Y S E认为它是一个多余变量。
因此，它选择了回归方程 ( 11 - 3 2 )来验证其发现：经纪行业存在着规模经济。
Y
i
第 13章 模型选择：标准与检验 介绍 267
下载
1 Michael D,Intriligator,Econometric Models,Techniques and Applications,P r e n t i c e - H a l l,E n g l e w o o d
C l i ff s,N.J.,1978,p,1 8 9,另外别忘了奥卡姆的剃刀原则。
2 这些结果摘自,Richard R,We s t与 Seha M,Ti n i c,,Minimum Commission Rates on New York Stock
E x c h a n g e d,” Bell Journal of Economics,v o l,2,n o,2,Autumn 1971,p,5 9 1,
(续)
假设接受 N Y S E回归结果的表面值，留意包括“不必要的”立方项是如何增加平方项的标准差，从而降低了 t值的。这与我们刚刚讨论过的理论后果完全一致。当然，
我们应该有所选择地接受 N Y S E的回归结果，因为我们已经看到，这个回归方程可能存在着异方差问题，或是遗漏变量问题，或者两个问题都存在。因此，计算出来的标准差和 t值可能是不可靠的。
13.2.3 不正确的函数形式我们现在考虑另外一种设定误差，我们用进口支出函数 ( 1 3 - 1 )来说明。假设模型所包括的变量 Y,X2,X3都是理论上正确的变量。现在考虑如下形式的进口支出函数：
l nYt =A1+A2l nX2t+A3X3 t+vt ( 1 3 - 1 2 )
在方程 ( 1 3 - 1 )中的变量也进入回归方程 ( 1 3 - 1 2 )中，只是变量间的函数关系有所不同；在回归方程 ( 1 3 - 1 2 )中,Y的 (自然 )对数是 X2(自然 )对数的线性函数，也是 X3的线性函数。注意：在方程 ( 1 3 - 1 2 )中,A2度量的是进口支出对 P D I的弹性，而在方程 ( 1 3 - 1 )中,B2度量的仅仅是进口支出与 P D I的变化率 (斜率 )。显然，这两者是不同的。在第 8章中曾介绍过，要获得 Y对 X2的弹性，
必须将 B2乘以 X2/Y，显然，这个弹性依赖于所选择的 X2与 Y的值。然而，对模型 ( 1 3 - 1 2 )而言，这个弹性系数是不变的，无论 X2取何值。而且，在方程 ( 1 3 - 1 )中,B3给出了每个时期内进口支出的 (绝对 )变化率，而在回归方程 ( 1 3 - 1 2 )中，趋势变量的系数给出了 Y的相对变化率 (回顾第 8章的半对数模型 )。同样，这两者也不是一样的。
现在的一个难题是：如何在模型 ( 1 3 - 1 )和 ( 1 3 - 1 2 )中进行选择，因为经济理论并没有告诉我们应变量与解释变量之间的函数形式。因此，如果回归方程 ( 1 3 - 1 2 )是真实的模型，而我们却用方程 ( 1 3 - 1 )来拟合数据，则很可能导致模型设定误差，如果情况相反，同样我们可能会错误设定模型，虽然在这两种情形下都包括了相关的变量。由于没有一个很好的理论基础，因此，如果我们选择了错误的函数形式，则所估计的系数可能是真实系数的有偏估计。
例 13.4 对数线性进口需求函数为了扼要地说明这一点，我们给出根据模型 ( 1 3 - 1 2 )拟合的结果：
l n =-23.727+3.897 5lnX2t-0.052 6X3t
se=(4.431 4) (0.603 1) (0.016 7) ( 1 3 - 1 3 )
t= (-5.3542) (6.4623) (-3.154 0)
R2=0.976 3； =0.973 5 d= 1,2 9
回归结果表明：进口支出对 P D I的弹性约为 3,9%，也就是说，在其他条件不变的情况下，个人可支配收入增加 1%，平均而言，进口支出将增加 3,9%。然而，对于线性模型 ( 1 3 - 1 )而言，计算的 Y对 X2的弹性约为 5,3 6，这显然比对数线性模型所得的弹性大得多。 1 而且，模型 ( 1 3 - 6 ) [模型 ( 1 3 - 1 )的估计量 ]表明：进口支出在研究时期内以 2 3 0
亿 /年的速率减少，而方程 ( 1 3 - 1 3 )却表明它是以 5,3%／年的速率在下降，这两个数值无法比较。并且，方程 ( 1 3 - 6 )和 ( 1 3 - 1 3 )中的 R2值也无法进行比较，因为这两个模型中的被解释变量是不相同的。
R
2
Y
t
268部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 这一弹性是根据 计算而来，其中 和 是 X2和 Y的样本均值。Y X 2b2(X 2 / Y )
这个例子清楚地表明：在建立模型时，不仅把理论上相关的变量包括到模型中很重要，而且这些变量之间的函数形式也是很重要的。在双变量回归中，根据散点图很容易选择被解释变量与解释变量之间的函数形式，然而，一旦我们离开了双变量世界，就不再可能将 Y与所有的解释变量同时在图中画出。毕竟，稿纸只是二维的。在后面有关诊断的讨论中，我们将介绍一种检验工具，博克斯 -考克斯 ( B o x - C o x )变换。
尽管还有几种其他类型的设定错误，但是，由于篇幅所限我们不再讨论。上述讨论已足够提醒我们：在建立模型时，必须小心谨慎。当然，也没必要为此而感到绝望，因为经济计量技术主要是以经验为基础，并将随着时间的推移逐渐完善。
13.3 诊断设定误差：设定误差的检验知道设定误差的后果是一回事，而发现犯这类误差又是另一回事，因为我们并非故意犯这类错误。通常，设定误差是不经意产生的，或是由于理论的薄弱使得无法建立准确的模型，或是由于没有正确的数据来检验理论上正确的模型，或是由于被解释变量与解释变量之间的函数形式从理论上来说就不是很明确。实际的问题并不在于犯了这些错误，而在于如何检测出犯了这类错误。一旦确认已经犯了这类设定偏差，则补救措施也就不言而喻了。例如，如果能够证明模型中遗漏了某个解释变量，显然，有效的补救措施就是将这一变量重新纳入模型，当然这个变量的数据是可以得到的。下面，我们讨论几种检验设定错误的方法。
13.3.1 诊断非相关变量的存在假设模型包括 4个变量：
Yi=B1+B2X2i+B3X3 i+B4X4i+ui ( 1 3 - 1 4 )
如果经济理论表明所有这 3个 X变量都对 Y有影响，那么就应该把它们都包括在模型中，即使实证检验发现一个或多个解释变量的系数是统计不显著的。在这种情况下，不会产生非相关变量问题。但是，有时候仅仅是为了避免产生遗漏变量偏差，我们将控制变量 ( c o n t r o l
v a r i a b l e s )引入模型。那么可能会出现这种情况：如果控制变量是统计不显著的，并且从模型中删除这些控制变量并未对点估计值或假设检验的结果有太大的影响，则从模型中去掉这些控制变量可能会使模型更好。但需提醒注意的是：必须经过试验。 1 假定在模型 ( 1 3 - 1 4 )中 X4是这种意义上的控制变量，我们无法确定它是否真的属于模型。一个简单的确认方法是估计回归方程
( 1 3 - 1 4 )并检验 b4(也即 B4的估计量 )的显著性。在 B4= 0这一零假设下，我们知道 t=b4/ s e (b4)服从自由度为 (n－ 4 )的 t分布 (为什么？ )。因此，如果计算的 t值没有超过给定显著水平下的 t临界值，
则不拒绝零假设，在这种情况下,X4可能就是一个多余变量。 2 当然，如果拒绝零假设，则该变量就很可能是属于模型的。
例 13.5 NYSE回归，方程 (13-11)
这就是为什么在 N Y S E一例中，不用方程 ( 1 3 - 11 )，而用方程 ( 11 - 3 2 )的原因。因为在方程 ( 1 3 - 11 )中，立方项的 t值仅为 1.072 4：这个回归结果是通过对 3 4 7个公司拟合得到的。因此，利用正态分布近似 t分布 (为什么？ )，临界的 t值为 1.96 (在 5%的显著水平上 )和 1.65 (在 1 0%的显著水平上 )。 (但别忘了，在 N Y S E回归中存在着异方差问题。 )
第 13章 模型选择：标准与检验 介绍 269
下载
1 在这种情况下，研究者应该告诉读者原始模型 (包括丢掉变量 )的结果。
2 我们说“可能”是因为如果解释变量之间存在着共线性，则相关系数的标准差会变大，因此会使估计的
t值变小。
但是，假定我们并不确定 X3和 X4都是相关变量。在这种情况下，我们应该检验零假设：
B3=B4= 0。根据第 7章中讨论的 F检验，这很容易做到。 (详细内容参见第 1 4章,1 4,1节的有约束最小二乘的讨论。 )
因此，诊断非相关变量的存在与否并不很困难。重要的一点是，在检验的过程中，我们头脑中要有一个“真正”的模型。有了这个模型，我们就能够通过常用的 t检验和 F检验来判定一个或者多个变量是否真正相关。然而需要记住的是：我们不能够用 t检验和 F检验来重复地建立一个模型；也就是说，我们不能说最开始 Y是与 X2相关的，因为 b2在统计上是显著的，接着将模型加入 X3，如果 b3是统计显著的，就将这个变量保留在模型中。这样一个过程被称作是逐步回归 (stepwise regression)。 1 我们不推荐用“数据挖掘” (data mining)的方法，因为如果说从一开始 X3就属于模型的话，则它早就应该被包括进去。在初始回归中排除 X3将会犯相关变量遗漏的错误,并且会带来严重的后果。记住：建模必须以理论为指导，否则会陷入死胡同。
13.3.2 对遗漏变量和不正确函数形式的检验理论应该成为模型的基础，这就产生了一个问题：什么是理论上正确的模型呢？比如，第
8章讨论的菲利浦斯曲线一例，尽管我们预期工资变化率与失业率负相关，但究竟哪种函数关系是正确的呢？
Yt=B1+B2Xt+ut B2< 0
或
l nYt=B1+B2l nXt+ut B2< 0
或
Yt=B1+B2 +ut B2> 0
正如本章引言中所说，我们不能明确回答这个问题。实践中我们按照如下步骤去判断：首先根据理论或调查以及先前的工作经验，建立了一个自认为抓住了问题的本质的模型。然后对这个模型进行实证检验，并对回归结果进行仔细的分析。别忘了前面讨论的衡量“好”的模型的标准。在这个阶段，我们才能知道所选模型是否恰当。通常，判定模型是否恰当，主要是根据以下一些参数：
(1) R2和校正后的 R2( )
(2) 估计的 t值
(3) 与预期相比，估计系数的符号
(4) 杜宾 -瓦尔森 d统计量或者趋势统计量
(5) 预测误差如果这些结果都很好，则可以接受所选模型，认为它较好地代表了现实情况。
如果结果并不令人满意，或是 R2值太低，或是只有几个系数是统计显著的，或是符号与预期有误，或是杜宾 -瓦尔森 d统计量太低 (表明在数据中可能存在着正的自相关 )，或是预测误差相对较大，那么，我们就要考虑模型是否恰当并寻求补救措施：或许我们省略了某个重要的变量，或是使用了错误的函数形式，或是没有用一阶差分时间系列 (参见第 1 2章 )去消除序列相关，
等等。为了究其“病因”,我们可以用以下的一些方法。
13.3.3 残差检验在前面曾指出，残差 ei(在时间序列中是 ei)的检验是目测自相关或异方差存在的一个好的方
R
2
1
X
t
270部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 有关逐步回归的讨论参见 Norman Draper和 Harry Smith,Applied Regression Analysis,2d ed.,Wi l e y,1 9 8 1,C h a p,6,
法。但是残差也可以用于模型设定误差的检验，比如检验是否遗漏了某个重要变量或使用了不正确的函数形式。为了理解这一点，我们再来看模型 ( 1 3 - 1 )和 ( 1 3 - 2 )。第一个方程将进口支出与 P D I和时间趋势联系起来，第二个方程则去掉了时间趋势变量。如果方程 ( 1 3 - 1 )是正确的，
也就是说趋势变量 X3确实属于模型，但我们却使用了模型 ( 1 3 - 2 )，则隐含地认为模型 ( 1 3 - 2 )误差项为：
vt=B3X3t+ut ( 1 3 - 1 5 )
因为它不仅要反映真实的随机项 u，而且还要反映变量 X3。难怪在这种情形下根据方程 ( 1 3 - 2)
所估计的残差会显示出一些系统模式 (就是因为模型 ( 1 3 - 1 2 )排除了变量 X3)。这可以从图 1 3 - 1中清楚地看到，该图描绘了回归方程 ( 1 3 - 2 )的残差。残差图清楚地表明了残差并没有显示出随机模式。但是，如果我们作正确模型 [方程 ( 1 3 - 1 ) ]的残差图，情况会有所不同 (见图 1 3 - 2 )。
图 13-1 回归方程 ( 1 3 - 7 )的残差图 13-2 回归方程 ( 1 3 - 6 )的残差现在残差比以前更随机地分布。但即使是这样，散点图还只是展示了一种可察觉的模式。
我们是否省略了其他的变量呢？是否并没有省略某个重要变量，但式 ( 1 3 - 1 )的函数形式，或相第 13章 模型选择：标准与检验 介绍 271
下载时间时间对应的式 ( 1 3 - 6 )，却没有正确设定呢？不幸的是，我们的理论还没有完善到能够告诉我们孰对孰错的地步。
例 1 3,6 进口支出函数的另一种设定形式。假设我们将模型 ( 1 3 - 1 )做如下修改：
Yt=B1+B2X2t+B3X3t+B4 +ut ( 1 3 - 1 6 )
其中，我们加入了趋势变量 X3的平方项。从第 8章我们知道，回归方程 ( 1 3 - 1 6 )是一个关于 X3的二次多项式。回归结果如下：
=-764.68+0.598 4X2t-2 6,5 4 9X3t+0.291 2
se=(89.475) (0.058 5) (3.391 0) (0.080 4) ( 1 3 - 1 7 )
t= (-8.546 3) (10.231) (-7.8292) (3.623 6)
R2=0.987 7； =0.985 4； d=2.098 3
对于这个模型的解释是：在其他情况不变的条件下,P D I每增加 1美元，平均而言，进口支出增加 6 0美分；也就是说花费在进口货物上的边际倾向为 0,6 0美分，这与从模型 ( 1 3 - 6 )中所获得的结果在统计上并没有多大区别，后者的结果为 0,6 5美分 (你能证明这一点吗？ )。在没有趋势平方项的模型 ( 1 3 - 6 )中，我们看到：平均来说，进口支出是以 2 4 0亿美元／年这一固定的速率下降的。而在模型 ( 1 3 - 7 )中，进口支出不是以一个固定的速率下降，而是以一个变化的速率下降。 1然而有一点值得我们注意，从模型 ( 1 3 - 7 )得到的残差却是随机分布的，这可以从图 1 3 - 3中看出来。
图 13-3 从方程 ( 1 3 - 7 )中所得的残差
1,再次使用杜宾 -瓦尔森 d统计量在第 1 2章中，我们讨论了杜宾 -瓦尔森 d统计量在检测自相关时的作用。同样的 d统计量也可以用于检验设定错误。然而，我们如何能够确定估计的 d值是反映了自相关还是反映了设定误差呢？为了回答这一问题，我们来看根据不同形式的进口支出函数所计算得到的 d值。
R
2
X
3t
2?
Y
t
X
3t
2
272部分 第三部分 实践中的回归分析 下载时间
1 如果你有一个像 Y=a+b X+c X2这样的一般二次方程，则当 X变化时,Y是以一个递增的速率还是以一个递减的速率增加将取决于 a,b,c的符号和 X的值。关于这些，参见蒋中一,《数理经济学基本方法》,第 3
版，麦克格罗－希尔出版公司，纽约,1 9 8 4年，第 9章。
模 型 d值 d是否显著？
( 1 3,7 ) 0.595 1 是 ①
( 1 3,6 ) 1,3 6 3 3 无法确定 ②
( 1 3,1 7 ) 2.098 3 否 ③
① 对于 n= 2 0,k= 1,dL= 1,2 0 1,dU= 1,4 11 (5%的显著水平 )
② 对于 n= 2 0,k= 2,dL= 1,11 0,dU=1.537 (5%的显著水平 )
③ 对于 n= 2 0,k= 3,dL= 0,9 9 8,dU=1.676 (5%的显著水平 )
从表中可以看出，从没有趋势变量的模型到包括趋势变量的模型，再到包括了趋势变量的平方项的模型，在前两个模型中存在自相关问题，而在第三个模型中却消失了。我们可以将这个例子中的 d值不仅用于测度自相关，而且还可以测度设定误差。 1
有一点需要注意，有的时候 d统计量，如果显著的话，表明存在着自相关，尤其是当数据是时间序列数据时。但是，它或许表明存在着设定误差。正如我们的例子那样，一个简单的检验方法是：确定原始模型重新设定后，原来显著的 d统计量是否会变成不显著的。
2,其他检验设定误差的方法残差图和杜宾 -瓦尔森 d检验都是比较简单的检验方法。还有其他一些复杂程度不一的检验方法，这里，我们只是罗列出来并不详细讨论,2
(1) 拉姆齐 ( R a m s e y ) R E S E T检验 (设定误差检验 )
(2) 似然比例检验
(3) 瓦尔德 ( Wa l d )检验
(4) 拉格朗日乘数检验
(5) 霍斯曼 ( H a u s m a n )检验
(6) 博克斯－考克斯变换 (Box-Cox transformation)(以确定回归模型的函数形式 )
13.4 用于预测的模型选择在第 1章我们就曾经提到，回归分析的目的之一就是预测应变量的未来值。为了预测，选择模型有那些标准呢？我们用一个具体例子加以说明。习题 11,1 8中表 11 - 5提供了婴儿死亡率
( I M O R )、人均 G N P ( P C G N P )、初等教育入学年龄组所占百比例 ( P E D U ) (作为识字率的指标 )、
人口增长率 ( P O P G R O W T H )、以及日常热量摄取量 ( C S P C )的数据。假设我们想要根据这些变量中的一个或者多个来预测婴儿死亡率。我们并不确定哪些变量会影响婴儿死亡率。因此，我们考虑下面这些模型：
模型 A,I M O R =f ( P C G N P,P E D U,P O P G R O W T H,C S P C )
模型 B,I M O R =f ( P C G N P,P E D U,C S P C )
模型 C,I M O R =f ( P C G N P,P E D U,P O P G R O W T H )
模型 D,I M O R =f ( P C G N P,P E D U,C S P C )
其中 f是函数符号。
上面的哪些模型的预测效果较好呢？也就是说，哪些模型预测的误差最小呢？记住，这里我们不是讨论根据样本内 ( i n - s a m p l e )数据得到的结果。如果是那样的话，我们可以用常用的 R2
第 13章 模型选择：标准与检验 介绍 273
下载
1 参见 Damodar N.Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5,p,4 6 2。
2 参见 Damodar N.Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5,p,4 6 2,C h a p,1 3。
对于这些检验的较为高级的讨论可以参见,Thomas B Fomby,R Carter Hill,Stanley R.Johnson,
Advanced Econometric Methods,S p r i n g e r- Ve r l a g,New Yo r k,1 9 8 4,C h a p,1 8。
值来判断。
有多种判断回归模型预测效果的标准。最常用的两种是 A k a i k e的信息标准 ( i n f o r m a t i o n
c r i t e r i o n ) ( A I C )和 S c h w a r z的信息标准 ( S I C )。这些标准的定义如下：
A I C = ( 1 3 - 1 8 )
S I C = ( 1 3 - 1 9 )
其中,e是自然对数 (e≈ 2.718 3),n是样本中观察值的总数,k是模型中变量的总数 (包括截距项 ),是样本残差平方和 ( R S S )。这些公式都给出了预测误差方差的估计值。 (有关预测误差的细节，参见第 6章第 6,1 0节。 )
上述两个公式前面的因子可认为是自由度处罚因子 (freedom penalty factor) 1：模型中解释变量的个数越多，则处罚越重。相对来说,S I C标准对自由度的处罚比 A I C标准更重 (你能验证这一点吗？ )无论是用 A I C标准还是 S I C标准，从预测的角度来看，度量值越低，模型的预测会越好 (为什么？ )。
再来看上面的 4个模型，利用 E V I E W S统计软件得到各个模型的 A I C值和 S I C值。 (注意：
E V I E W S给出的是 A I C和 S I C的对数值。但是由于在两种测度是一一对应的关系，因而不会产生太大的问题。 )
模型 l n A I C l n S I C
A 7.331 9 7.580 9
B 7.220 2 7.369 5
C 7.262 7 7.461 8
D 7.258 7 7.457 8
由于模型 B中 A I C值和 S I C最低，所以，从预测的角度来看，模型 B最好。
13.5 小结本章讨论的要点如下：
(1) 古典线性回归模型假定实证分析中所使用的模型是“正确设定的” 。
(2) 模型的正确设定有几种含义，例如：
a,模型没有排除理论上的相关变量。
b,模型没有包括非相关变量。
c,模型的函数形式是正确的。
(3) 如果一个或多个理论上的相关变量被排除在模型之外，则模型中剩余解释变量的系数通常是有偏的和不一致的,O L S估计量的误差方差和标准差也都是有偏的。因此，至少可以说，
传统的 t检验和 F检验的结果是不可靠的。
(4) 使用错误的函数形式，会有类似的后果。
(5) 相对来说，如果模型中包括了非相关变量，则后果没有那么严重，主要表现在：估计的系数仍然是无偏的和一致的，估计量的误差方差和标准差也是正确的，而且，传统的假设检验过程仍然是有效的。但估计的标准差会相对变大，这意味着模型中的参数估计值并不是很精确。从而导致置信区间会变宽。
e
t
2
∑
n
k /n
e
t
2
∑
n
e
2k
n
e
t
2
∑
n
274部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 这一术语出自 Francis X,Diebold,Elements of Fore c a s t i n g,South Western Publishing Company，
C i n c i n n a t i,O h i o,1 9 9 8,p,2 4。
(6) 本章讨论了几种诊断工具以帮助我们确定在具体应用中是否存在设定错误。这些工具包括残差的图形检验和杜宾 -瓦尔森 d统计量检验。我们还提到了其他的一些检验方法，如拉姆齐 ( R a m s y )的 R E S E T检验，拉格朗日乘数检验，霍斯曼 ( H a u s m a n )检验和博克斯-考克斯 ( B o x -
C o x )变换。 1
(7) 最后，本章还讨论了评估模型预测能力的 A I C标准和 S I C标准。这些标准都主要针对样本外的预测误差：样本外的预测误差越小，则模型越好。
寻找理论上正确的模型可能相当麻烦，但需牢记几个实践标准，例如,( 1 )过度节俭； ( 2 )
可识别； ( 3 )拟合优度； ( 4 )理论一致性； ( 5 )预测能力。
建模既是一门艺术也是一门科学。仅靠经济计量学知识和计算机统计软件并不足于确保我们成功。 2
习题
13.1 设定误差的含意是什么？
13.2 设定误差产生的原因是什么？
13.3,好的”经济计量模型有哪些属性？
13.4 设定误差有哪些类型？它们是否可能同时发生？
13.5 模型遗漏相关变量的后果是什么？
13.6 我们说一个变量是“相关”或者是“不相关”,这意味着什么？
13.7 模型中包括非相关变量的后果是什么？
1 3,8,从模型中遗漏一个或者多个相关变量比在模型中包括一个或者多个非相关变量的后果更为严重。,对此，你是否同意，为什么？
13.9 在求简单凯恩斯乘数的过程中，作 G N P对投资回归，发现它们之间存在着某种关系。
现在，你认为在模型中包括了“非相关”变量“国家和地方税收”,它对模型并无太大影响。但出乎意料的是，投资变量却不显著了。一个非相关变量是如何做到这样的？
13.10 如果你将在以下两个模型中进行选择，那么你将选择哪一个？一个模型满足所有的统计标准但却并不满足经济理论，另一个模型符合已有的经济理论但却不能满足几项统计标准。
1 3,11 考虑表 8 - 7中给出的假想的成本与产出数据。根据这些数据，我们获得了以下几个成本函数 (见表 1 3 - 2 )：
表 13-2 根据表 8 - 7中的数据得到的成本函数成本函数类型 截 距 X X2 X3 R2 d
线性 1 6 6,4 6 7 1 9,9 3 3 — — 0.840 9 0,7 1 6
s e = ( 1 9,0 2 1 ) ( 3,0 6 6 )
平方型 2 2 2,3 8 3 -8,0 2 5 2,5 4 2 0.928 4 1,0 3 8
s e = ( 2 3,4 8 8 ) ( 9,8 0 9 ) ( 0,8 6 9 )
立方型 1 4 1,7 6 7 6 3,4 7 8 -1 2,9 6 2 0,9 3 9 0.998 3 2,7 0
s e = ( 6,3 7 5 ) ( 4,7 7 8 ) ( 0,9 8 6 ) ( 0,0 5 9 )
第 13章 模型选择：标准与检验 介绍 275
下载
1 有关这些及其他检验方法的讨论参见 L,G,Godfrey,Misspecification Tests in Econometrics,The Larange
Multiplier Principle and Other Appro a c h e s,Cambridge University Press,New Yo r k,1 9 8 8。
2 C,W,J,Granger编著的,Modeling Economic Series,Readings in Econometric Methodology,Clarendon,
Oxford,U.K.1990,p.2.。这是一本非常有意思的书，它给出了主要的一些经济计量学家们有关建模的艺术与科学的观点。
(a) 观察值为 1 0，解释变量个数分别为 1,2和 3时，在 α= 5%的显著水平上，杜宾－瓦尔森 d
统计量的临界值各是多少？ (b) 在线性成本函数中是否存在着“自相关”？如果存在，意味着什么？ (c) 在平方型成本函数中是否存在着“自相关”？如果存在，意味着什么？ ( d )
在立方型成本函数中是否存在着自相关，如果不存在，则对在线性和平方型成本函数中所观察到的自相关现象，你作何解释？ (e) 这三个成本函数的边际成本是多少？ (f) 从经济学的角度来衡量，哪个成本函数有意义，为什么？
1 3,1 2 表 1 3 - 3给出了 1 9 5 8年到 1 9 7 2年期间，中国台湾制造业部门实际总成本，劳动投入和资本投入的数据。假设理论上正确的生产函数是科布－道格拉斯函数，如下：
l nYt=B1+B2l nX2t+B3l nX3 t+ut
其中 l n为自然对数。
表 1 3 - 3
年份 Y X2 X3 X4
1 9 5 8 8 911,4 2 8 1,5 120 573 1
1 9 5 9 10 873.2 2 8 4,4 122 242 2
1 9 6 0 11 132.5 2 8 9,0 125 263 3
1 9 6 1 12 086.5 3 7 5,8 128 539 4
1 9 6 2 12 767.5 3 7 5,2 131 427 5
1 9 6 3 16 347.1 4 0 2,5 134 267 6
1 9 6 4 19 542.7 4 7 8,0 139 038 7
1 9 6 5 21 075.9 5 5 3,4 146 450 8
1 9 6 6 23 052.0 6 1 6,7 153 714 9
1 9 6 7 26 128.2 6 9 5,7 164 783 1 0
1 9 6 8 29 563.7 7 9 0,3 176 864 11
1 9 6 9 33 376.6 8 1 6,0 188 146 1 2
1 9 7 0 38 354.3 8 4 8,4 205 841 1 3
1 9 7 1 46 868.3 8 7 3,1 221 748 1 4
1 9 7 2 54 308 9 9 9,2 239 715 1 5
数据来源,Thomas Pei-Fan Chen,,Economic Growth and Structure Change in Taiwan,1952-1972,A
Production Function Approach,Unpublished Ph.D thesis,Department of Economics，
Graduate Center,City University of New Yo r k,June 1976,Table 2。
注,Y— 实际总产出，单位：百万新台币。
X2— 劳动投入，单位：千人。
X3— 实际资本投入，单位：百万新台币。
X4— 时间或者趋势变量。
(a) 估计样本期间内台湾的科布 -道格拉斯生产函数并阐述所得的结果。 (b) 假设资本数据一开始无法获得，因此有人估计了以下生产函数。
l nYt=C1+C2l nX3t+vt
其中 v为误差项。在这一情形下存在着什么样的设定误差？其后果是什么？用手头的数据加以说明。
(c) 现在假设劳动力投入数据一开始无法获得，假设你估计的是以下模型：
l nYt=C1+C2l nX3t+wt
其中 w为误差项。这种设定误差的后果是什么？用表 1 3 - 3中的数据来说明。
1 3,1 3 继续练习题 1 3,1 2。由于数据为时间序列，因而在数据中可能存在自相关。用杜宾 -
瓦尔森 d统计量来检验这一可能性。如果在数据中的确存在 (一阶 )自相关，用估计的 d值对数据做变换，并根据变换后数据，求回归结果。两个结果是否有质的区别？
276部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
13.14 考虑如下模型：
模型 I：消费 i =B1+B2收入 i+ui
模型 I I：消费 i =A1+A2财富 i+vi
(a) 你如何确定哪个模型是“正确的”模型？ (b) 假设你同时以收入和财富来对消费进行回归。这如何帮助你确定选择哪个模型？ (c) 你预期在收入与财富之间是否会存在完全共线性？为什么？ (d) 如果在收入与财富之间存在高度但不是完全的共线性，假设把两个变量都用来解释消费，你预期会产生什么后果？在这种情况下，你如何在模型 I和模型 I I之间取舍？
13.15 参考第 6章习题 6,1 5，该题讨论了经过原点的回归 (也就是说零截距 )模型。如果真实的模型存在截距项，而你却用通过原点的回归模型来估计，这会导致什么样的设定误差？用习题 6,1 5中的数据来说明这一类型误差的后果。
1 3,1 6 表 1 3 - 4给出了 1 9 5 4年到 1 9 8 1年期间美国普通股实际收益率 (Y)，产出增长率 (X2)和通货膨胀 (X3)的有关数据，所有数据均以百分比的形式给出。
表 1 3 - 4
年份 Y X2 X3 年份 Y X2 X3
1 9 5 4 5 3,0 6,7 － 0,4 1 9 6 8 6,8 2,8 4,3
1 9 5 5 3 1,2 2,1 0,4 1 9 6 9 -1 3,5 -0,2 5,0
1 9 5 6 3,7 1,8 2,9 1 9 7 0 -0,4 3,4 4,4
1 9 5 7 -1 3,8 -0,4 3,0 1 9 7 1 1 0,5 5,7 3,8
1 9 5 8 4 1,7 6,0 1,7 1 9 7 2 1 5,4 5,8 3,6
1 9 5 9 1 0,5 2,1 1,5 1 9 7 3 -2 2,6 - 0,6 7,9
1 9 6 0 -1,3 2,6 1,8 1 9 7 4 -3 7,3 -1,2 1 0,8
1 9 6 1 2 6,1 5,8 0,8 1 9 7 5 3 1,2 5,4 6,0
1 9 6 2 -1 0,5 4,0 1,8 1 9 7 6 1 9,1 5,5 4,7
1 9 6 3 2 1,2 5,3 1,6 1 9 7 7 -1 3,1 5,0 5,9
1 9 6 4 1 5,5 6,0 1,0 1 9 7 8 -1,3 2,8 7,9
1 9 6 5 1 0,2 6,0 2,3 1 9 7 9 8,6 -0,3 9,8
1 9 6 6 -1 3,3 2,7 3,2 1 9 8 0 － 2 2,2 2,6 1 0,2
1 9 6 7 2 1,3 4,6 2,7 1 9 8 1 － 1 2,2 - 1,9 7,3
数据来源,Jason Benderly,Burton Zwick,,Inflation,Real Balance,Output and Real Stock Returns”,
American Economic Review,v o l,7 5,n o,5,December 1985,p,111 7。
(a) 用 X3对 Y进行回归。 (b) 用 X2和 X3对 Y进行回归。 (c) Eugene Fama教授指出,“实际股票收益和通货膨胀之间的简单的负相关关系是虚假的 (或者说是错误的 )，因为它是两个结构关系的结果：一是在当前实际股票收益和预期产出增长率之间的正相关关系，另一是在预期产出增长率和当前通货膨胀之间的负相关关系” 。根据这个观点评论以上两个回归结果。
(d) 就 1 9 5 6年到 1 9 7 6年期间的数据进行 ( b )部分的回归，同时省略 1 9 5 4年和 1 9 5 5年的数据，因为这两年的股票收益行为异常。将获得的回归结果与在 ( b )部分的回归结果相比较，如果两者存在着差异的话，就两者的差异作评论。 (e) 假设你想就 1 9 5 6年到 1 9 8 1年的数据作回归，但是想区分 1 9 5 6年到 1 9 7 6年和 1 9 7 7年到 1 9 8 1年这两个时期，你将如何进行这一回归？ (提示：考虑虚拟变量 )
13.17 表 1 3 - 5给出了 1 9 6 0年到 1 9 8 2年期间 O E C D国家 — 美国、加拿大、德国、法国、英国、意大利和日本这几个国家的总最终能源需求 (Y)，实际国内生产总值,GDP (X2)和实际能源价格 (X3)等几个变量指数的数据。 (所有的指数都是以 1 9 7 3年为 1 0 0 ) (另见表 8 - 3 )
第 13章 模型选择：标准与检验 介绍 277
下载年份 Y X2 X3 年份 Y X2 X3
1 9 6 0 5 4,1 5 4,1 111,9 1 9 7 2 9 7,7 9 4,3 9 8,6
1 9 6 1 5 5,4 5 6,4 11 2,2 1 9 7 3 1 0 0,0 1 0 0,0 1 0 0,0
1 9 6 2 5 8,5 5 9,4 111,1 1 9 7 4 9 7,4 1 0 1,4 1 2 0,1
1 9 6 3 6 1,7 6 2,1 11 0,2 1 9 7 5 9 3,5 1 0 0,5 1 3 1,0
1 9 6 4 6 3,6 6 5,9 1 0 9,0 1 9 7 6 9 9,1 1 0 5,3 1 2 9,6
1 9 6 5 6 6,8 6 9,5 1 0 8,3 1 9 7 7 1 0 0,9 1 0 9,9 1 3 7,7
1 9 6 6 7 0,3 7 3,2 1 0 5,3 1 9 7 8 1 0 3,9 11 4,4 1 3 3,7
1 9 6 7 7 3,5 7 5,7 1 0 4,3 1 9 7 9 1 0 6,9 11 8,3 1 4 4,5
1 9 6 8 7 8,3 7 9,9 1 0 4,3 1 9 8 0 1 0 1,2 11 9,6 1 7 9,0
1 9 6 9 8 3,8 8 3,8 1 0 1,7 1 9 8 1 9 8,1 1 2 1,1 1 8 9,4
1 9 7 0 8 8,9 8 6,2 9 7,7 1 9 8 2 9 5,6 1 2 0,6 1 9 0,9
1 9 7 1 9 1,8 8 9,9 1 0 0,3
数据来源,Richard D,Prosser,,Demand Elasticities in OECD:Dynamic Aspects,” E n e rgy Eco
n o m i c s,J a n u a r y 1 9 8 5,p,1 0,
( a )估计以下模型：
模型 A,l nYt=B1+B2l nX2t+B3l nX3t+ul t
模型 B,l nYt=A1+A2l nX2t+A3l nX3 (t-1 )+A4l nX3t+u2t
模型 C,l nYt=C1+C2l nX2t+C3l nX3t+C4l nX( 3t-1 )+u3t
模型 D,l nYt=D1+D2l nX2t+D3l nX3t+D4l nY(t-1 )+u4t
其中 u为误差项。注意模型 B和 C称为动态模型 — 明确考虑了不同时期变量的变化。模型
B和 C称为分布滞后模型，因为一个解释变量对于被解释变量的影响扩散到了多个时期，这里是两个时期。模型 D称为自回归模型，因为其中的一个解释变量是被解释变量的一个滞后值。
(动态模型将在第 1 4章中予以讨论 )
(c) 如果你只估计了模型 A，而真实模型是 B,C或 D，则会犯什么样的设定误差？
(d) 由于以上模型都是线性对数形式的，因此，其斜率系数也就代表了弹性系数。模型 A
的收入弹性 (也就是说对于 G D P而言 )和价格弹性是多少？你将如何估计其它三个模型的弹性？
(e) 由于在模型 D中滞后的 Y变量以解释变量的形式出现，在对模型 D进行 O L S估计时你预计会出现什么问题？ (提示：回顾 C L R M的假定条件 )
13.18 证明从方程 ( 1 3 - 6 )中得到的边际进口倾向,0.647 0和从方程 ( 1 3 - 1 7 )中得到的边际进口倾向,0.598 4不是显著不同的。
1 3,1 9 参考习题 1 3,1 2。假设加入代表技术的趋势变量 X4来扩展科布 -道格拉斯函数模型。
进一步假设 X4是统计显著的。在这种情形下，犯了哪种设定误差？如果 X4在统计上是不显著的，
则又会如何？给出必要的计算。
1 3,2 0 对鸡肉需求的考虑。如果方程 ( 1 0 - 1 5 )是正确的鸡肉需求函数，而我们却用了方程
( 1 0 - 1 5 )，则会导致何种设定误差？这一设定误差的后果是什么？给出必要的解释。
13.21 在百兹摩星期五,4 7 8美国 3 8 5宗案卷 ( 1 9 8 6年 )中，一宗涉及到北卡罗莱纳延长服务公司工资歧视的案卷，原告为一群黑人工人，他们给出了一个多重回归模型以表明：平均而言，
黑人工人所获得的薪水低于白人工人所获得的薪水。当案卷到达地区法院时，法庭却拒绝了原告的申诉，理由是在他们的回归中并没有包括影响工资的所有变量。然而高级法院却重新扭转了地区法院的判决。它认为,1
278部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 摘自 Michael O,Finkelstain和 Bruce levin,Statistics for Lawyers,Springer- Verlag,New Yo r k,1 9 8 9，
p,3 7 4。
地区法院错误地认为，申诉者们的回归分析“作为歧视的证明是无法接受的”,因为它们并没有包括影响工资的所有变量。地区法院关于回归分析的证据的看法显然是不正确的。尽管从分析模型中遗漏变量会使分析的检验能力比不遗漏变量要低一些，但是却很难说，由于缺少一些次要的因素，用以分析的主要因素就“一定不能作为歧视的证据” (同前 )。通常，未能包括所有变量会影响分析的检验能力，但却不会影响它作为证据的资格。
你认为高级法院的判决是正确的吗？详细地说明你的观点，提醒注意设定错误的理论和实际后果。
1 3,2 2 根据 A I C和 S I C标准选择以下两个模型：在第 7章第 7,4节中所讨论的加入抵押成本的抵押债务模型和不加入抵押成本的模型。
第 13章 模型选择：标准与检验 介绍 279
下载下载本章我们介绍在实际研究中非常有用的 4个专题。这些专题是：
(1) 有限最小二乘法
(2) 动态经济模型
(3) 分对数模型
(4) 伪回归我们将通过具体的几个例子来加以说明。
14.1 有限最小二乘法在估计线性回归模型的参数时，我们使用了普通最小二乘法 ( O L S )。 O L S法的基本思想是估计未知参数使残差平方和 ( R S S ) 最小。在这个最小化过程中，并没有对参数加任何限制。
例如，在三变量模型
Yi=B1+B2X2i+B3X3i+ui
中，我们并未假设 B2= 2 (或者其他一些值 )或者 (B2+B3) = 1 (或是其他限制 )。换言之，至今为止，
我们是“自由地”估计这些变量的，也即没有任何限制：无论 最小值是多少，我们都予以接受。换句话说，我们通过给定样本获得回归参数的最优值，而不加以任何限制或者约束。
因此，迄今为止，我们所使用的最小二乘法可称为 无限制条件的最小二乘法 (unrestricted least
squares) (ULS)。
但是，有些时候，经济理论表明在回归模型中的系数满足一定的限制条件。例如，前面遇到过的科布－道格拉斯生产函数：
l nYi= B1+ B2l nX2i+ B3l nX3i+ ui ( 1 4 - 1 )
式中 Y— 产出
X2— 劳动投入
X3— 资本投入
l n— 自然对数现在，如果规模收益不变 (例如，投入增加一倍，产出也同时增加一倍 )，根据经济理论有：
B2+B3= 1 ( 1 4 - 2 )
e
i
2
∑
e
i
2
∑
第 14 章
■ 单方程回归模型：几个补充专题也就是说，两个产出-投入弹性之和等于 1。 1 则方程 ( 1 4 - 2 )就是一个 线性恒等约束 ( l i n e a r
equality restriction)的例子。 2
我们如何知道在具体研究中,科布－道格拉斯型生产函数存在规模收益不变呢？也就是说，
如何知道约束方程 ( 1 4 - 2 )是有效的呢？更具体地，我们来看习题 1 3,1 2给出的台湾制造业的投入-产出数据。在习题 1 3,1 2中，要求用科布－道格拉斯生产函数拟合数据。拟合结果如下 (也就是说，无约束最小二乘法 )：
l n =-8.401 0+0.673 1lnX2t+1.181 6lnX3t
se=(2.717 7) (0.153 14) (0.302 04) R2= 0,9 8 2 4 ( 1 4 - 3 )
t= (-3.091 2) (4.395 2) (3.912 1)
现在，估计的弹性之和为 (b2+b3)=(0.673 1+1.181 6)=1.854 7。从数学上说，该值大于 1，但是从统计上说，却并不一定大于 1，原因在于抽样的波动性。换言之，线性约束方程 ( 1 4 - 2 )可能仍是统计有效的。我们如何确认这一点呢？有几种不同的方法回答这一问题，但是，常用的方法是 有限最小二乘法 (restricted least squares,R L S )。
若约束方程 ( 1 4 - 2 )的确是有效的，则有：
B2= 1－ B3 ( 1 4 - 4 )
(也可以表达为 B3= 1－ B2)。因此，我们可将回归方程 ( 1 4 - 1 )表示成
l nYt=B1+ ( 1－ B3) l nX2t+B3l nX3t+ut=B1+ l nX2t+B3( l nX3t－ l nX2t) +ut
也即，
( l nYt－ l nX2t) =B1+B3 ( l nX3t－ l nX2t) +ut ( 1 4 - 5 )
或
l n ( 1 4 - 6 )
其中,(Yt/X2 t)表示产出与劳动的比值 (也就是劳动生产率 ),(X3t /X2t)表示资本与劳动的比值 (即每单位劳动力所拥有的资本量 )，这些比值具有重要的经济意义。
方程 ( 1 4 - 6 )表明，劳动生产率的对数是资本／劳动比对数的线性函数。注意方程 ( 1 4 - 6 )的几个特点：
(1) 它表明了如何将经济理论所蕴含的限制条件，例如方程 ( 1 4 - 2 )或方程 ( 1 4 - 4 )直接加入到方程中。
(2) 它只要求估计两个未知系数，而方程 ( 1 4 - 1 )却要求估计三个未知系数。
(3) 一旦从方程 ( 1 4 - 6 )中估计出 B3，则可以很容易从方程 ( 1 4 - 4 )中估计出 B2。显然，这个过程能够保证 B2+B3= 1。 (为什么？ )
方程 ( 1 4 - 5 )或者 ( 1 4 - 6 )所概述的过程称为有限最小二乘法 ( R L S )，因为我们根据相关理论考虑到了某些限制条件，并将数据加以变换后才应用最小二乘法。前面已经指出，通常的 O L S法可以称作无约束最小二乘法 ( U L S )。
利用回归方程 ( 1 4 - 1 )和 ( 1 4 - 6 )如何检验约束方程 ( 1 4 - 4 )的有效性呢？为了回答这个问题，我们首先给出式 ( 1 4 - 6 )的回归结果。
Y
t
X
2t
= B
1
+ B
3
ln
X
3t
X
2t
+ u
t
Y
t
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 281下载
1 B2是劳动投入对产出的弹性，它度量的是在资本投入保持不变的条件下，劳动投入每变化百分之一，产出变化的百分比。我们知道在双对数模型中，斜率系数也是弹性。
2 如果 B2+B3< 1，就是线性不等约束 (linear inequality restriction)的例子。解决这种约束问题，需要利用数学规划技术，它已超出本书讨论的范围。
例 14.1 台湾的 RLS科布 -道格拉斯生产函数
l n =5.506 7－ 0.321 56 ln R* 2=0.942 8
se=(0.880 82) (0.154 76) ( 1 4 - 7 )
t=(6.251 8) (-2.077 7)
方程 ( 1 4 - 7 )是一个有限最小二乘回归，因为它考虑了方程 ( 1 4 - 2 )所附加的限制条件。注意 R L S回归 ( 1 4 - 7 )中的这些特点：
(1) 由于估计的 B3为－ 0.321 5，根据模型 ( 1 4 - 7 )很容易得到 B2的估计值为 1－
(-0.321 5)=1.321 5；也就是说估计的产出－劳动弹性为 1,3 2%。因为，估计的弹性之和为 1。 (为什么？ )
(2) 虽然在回归 ( 1 4 - 7 )中的 b3是统计显著的 (验证一下 )，但其值却是负的。它没有什么经济意义，因为经济理论表明，一般而言，资本/劳动比例越高，劳动生产率也越高。
(3) RLS回归中的 R2 (记为 R* 2)值低于原始回归 ( 1 4 - 3 ) ( U L S )中的 R2值。一般来说这是正确的。 (参见本例末尾的注释 )
与预期相背，估计的 B3值为负，这表明：对于台湾制造业而言,B2+B3= 1这一约束 — 它表明规模收益不变 — 看来是无效的。但这只是一个定性推断。我们可以给出判定约束条件有效性的一个更为直接的检验方法：
令
R2=无限制回归 ( 1 4 - 3 )的 R2
R* 2=限制回归 ( 1 4 - 7 )的 R2
m=线性限制数 (在此例中为 1) 1
k=无限制回归 ( 1 4 - 3 )参数的个数 (在此例子中为 3 )
n=观察值的个数假定误差项 u服从正态分布，可以证明：
F= ( 1 4 - 8 )
服从分子和分母自由度分别为 m和 (n－ k)的 F分布。因此，在具体的应用中，如果从方程 ( 1 4 - 8 )中计算得到的 F值大于给定显著水平下的临界的 F值，则根据理论所附加的特定约束条件是无效的 (从统计上说 )。另一方面，如果计算得到的 F值小于临界的 F
值，则可以接受：约束条件是有效的。在这种情形下,R L S回归就优于 U L S回归。
上述 F检验的步骤如下：
(1) 估计 U L S回归 (也即普通最小二乘 ( O L S )回归结果 )并获得 R2。
(2) 估计 R L S回归并获得相应的决定系数，记为 R* 2。
(3) 求出约束条件个数 (m)和无约束回归中所要估计系数的个数 (k)，并求出 F值。
零假设为：约束条件是有效的。
(4) 如果从方程 ( 1 4 - 8 )所获得的 F值没有超过选定显著水平下 (也就是说，犯第一类错误的概率 )的临界的 F值，则可以接受零假设 (也即给定的约束条件是有效的 )。但是如果 F值超过了临界的 F值，则附加的约束条件是无效的。特别注意：约束条件在理论上或许是有效的，但在具体的研究中却不一定。
(R
2
R
*2
)/m
(1? R
2
)/(n?k)
~ F
m,(n?k)
X
3t
X
2t
Y
t
X
2t
282部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 这种方法可以很容易地推广到有多个线性约束条件的情形。
(续 )
回到我们的例子中来，方程 ( 1 4 - 8 )相应的 F值为：
( 1 4 - 9 )
在 5%和 1%显著水平下的临界的 F值分别为 4,7 5和 9.33 (自由度分别为 1和 1 2 )。显然，计算得到 F值远远超过了 F临界值，因此我们拒绝零假设：在研究期间内，就台湾经济而言，制造业中规模收益不变。有证据表明它是规模收益递增的。
注：方程 ( 1 4 - 7 )的 R2的实际值为 0.249 3。但是,R* 2=0.942 8可直接与方程 ( 1 4 - 3 )给出的 R2= 0,9 8 2 4相比。我们知道，要比较两个 R2值，解释变量的必须是相同的。
方程 ( 1 4 - 8 )给出了 F检验的一般步骤，它可以用于研究多个线性约束条件的情形。我们所要做的全部工作只不过是估计有约束和无约束回归方程，并利用方程 ( 1 4 - 8 )所给出的 F检验。
如果 F统计量是显著的，则我们拒绝有约束最小二乘回归，而使用无约束最小二乘回归。但是，
如果 F检验是不显著的，则我们选择 R L S而不是无约束的 O L S。
例 14.2 对鸡肉需求回到方程 ( 1 0 - 1 5 )和 ( 1 0 - 1 6 )所描述的对鸡肉的需求函数。这两个需求函数的差别在于方程 ( 1 0 - 1 6 )不包括解释变量猪肉价格和牛肉价格，但猪肉和牛肉可能是鸡肉的竞争产品。因此，方程 ( 1 0 - 1 5 )是无约束回归，而方程 ( 1 0 - 1 6 )则是有约束回归，因为我们明确假设这些变量对鸡肉的需求没有影响。回归方程 ( 1 0 - 1 5 )的样本决定系数 R2=0.982 3，
而 R L S方程 ( 1 0 - 1 6 )的样本决定系数 R *2=0.980 1。因此，根据方程 ( 1 4 - 8 )得到：
(注意,m= 2,n= 2 3,k= 5 )服从分子和分母的自由度分别为 2和 1 8的 F分布。观察 F分布表发现，即使在 1 0%的显著水平下，这一 F值也是不显著的。显然，看来猪肉和牛肉的价格对鸡肉的需求并没有显著的影响。因此,RLS回归 (10-16)比 ULS回归 (10-15)好。
在继续讨论之前，对于上述一例有几点需要指出：在第 1 0章对多重共线性的讨论中曾指出，
如果不正确地从模型中略去某个变量，则模型中剩余变量的系数将是有偏的 (参见第 1 3章 )。现在的问题是：究竟哪一个是正确的模型呢，是方程 ( 1 0 - 1 5 )还是方程 ( 1 0 - 1 6 )？由于 F检验表明可以接受 R L S回归 ( 1 0 - 1 6 )，所以我们可以认为正确的模型是 ( 1 0 - 1 6 )。因此，这个例子并不存在偏差问题。而且，正如第 1 3章中所指出的那样，如果式 ( 1 0 - 1 6 )是正确的模型，而我们却把“多余的”变量 (猪肉和牛肉的价格 )包括进模型，即估计了模型 ( 1 0 - 1 5 )，那么,O L S估计量仍然是无偏的，只不过它们的方差会变大。
14.2 动态经济模型：自回归模型和分布滞后模型迄今为止，我们所讨论的模型都假设被解释变量 Y与解释变量 X是同时期 ( c o n t e m p o r a n e o u s )
的，也即在同一时点。这一假设对截面数据是成立的，但对时间序列数据却不成立。因此，在消费支出对个人可支配收入 ( P D I )的回归中 (涉及到时间序列数据 )，消费支出有可能取决于前一期和当期的 P D I。也就是说，在 Y和 X之间可能存在滞后关系 ( l a g g e d )。
令,Yt=t期的消费支出,Xt=t期的 P D I,Xt -1= (t-1 )期的 P D I,Xt-2= (t-2 )期的 P D I。现在考虑
F =
(0.982 3? 0.980 1)/2
(1? 0.9823)/(25?5)
= 1.118 6
F =
(0.982 4? 0.9428)/1
(1? 0.982 4)/(15? 3)
= 27.13
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 283下载模型
Yt=A+B0Xt-B1Xt－ 1+B2Xt-2+u ( 1 4 - 1 0 )
模型 ( 1 4 - 1 0 )表明，由于滞后项 Xt-1和 Xt-2，消费支出与 P D I不是同期的。类似式 ( 1 4-1 0 )这样的模型称为 动态模型 (dynamic models)(也就是说，涉及到跨时期变化 )，因为解释变量每单位变化的影响分散在几个时期内，在方程 ( 1 4 - 1 0 )中是三个时期。
更专业地，我们把形如方程 ( 1 4 - 1 0 )这样的动态模型称为 分布滞后模型 (distributed lag
m o d e l s )，因为解释变量每单位变化的影响分布到了多个时期。为了进一步说明这一点，我们考虑以下假想的消费函数 1：
Yt=常数 + 0,4Xt+ 0,3Xt- 1+ 0,2Xt-2 ( 1 4 - 11 )
假定某人一年增加了薪金 1 000美元，而且假定增加是“持久的”,就是薪金的增加长期不变。如果其消费函数形如方程 ( 1 4 - 11 )，则在第一年，他或她会增加消费支出 4 0 0美元 ( 0,4× 1 0 0 0 )，
在第二年再增加支出 3 0 0美元 ( 0,3× 1 000)，在第三年又支出 2 0 0美元 ( 0,2× 1 000)。这样到第三年末，其消费支出将会增加 ( 2 0 0 + 3 0 0 + 4 0 0 )，即 9 0 0美元；剩余的 1 0 0美元用作储蓄。
与下面的消费函数相比：
Yt=常数 + 0,9Xt-1 ( 1 4 - 1 2 )
尽管，增加的 1 000美元收入对消费的最终影响在两种情形下是相同的，但是在方程 ( 1 4 -
1 2 )中这种影响只滞后了一年，而在方程 ( 1 4 - 11 )中这种影响却分布到三年。因而，称形如式 ( 1 4 -
11 )的方程为分布滞后模型。这一点从图 1 4 - 1中可以清楚地看到。
图 14-1 分布滞后模型一例很自然会提出这样一个问题：为什么会出现滞后现象呢？也就是说，为什么被解释变量会对滞后解释变量变化有反应呢？原因如下：
心理上的原因。 由于习惯势力 (惰性 )，在价格下降或收入增加后，人们并不会立即改变他们的消费习惯。例如，那些因中彩而顷刻间成为百万富翁的人不可能立即改变他长期习惯了的生活方式，因为他还不知道该如何应付这突如其来的巨额财富，更不用说去应付那些闻风而来的金融计划者、新认的亲戚、税务律师等等。
技术上的原因。 每次新一代的个人电脑 ( P C )一问世，市场上现用的 P C机的价格都会急剧下降。因而，未来的计算机消费者就心存观望，花一定时间从容考察各种竞争品牌的特点与价格以后，才去购买。而且，他们不急于购买，还在希望价格下降得更低一点，或者希望出现更
284部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 这个例子取自 Henri Theil,Introduction to Econometrics,Pretice-Hall,Englewood Cliffs,N.J.,1978,p.332.
时间有用的新产品。对汽车也如此。比方说,1 9 9 9款汽车面市，则 1 9 9 8款汽车的价格会有较大幅度的下降。那些想要替换旧车的消费者可能会等待 1 9 9 9新款宣布上市后用较低的价格来购买 9 8款的汽车。
制度上的原因。 由于大多数集体议价协议都是多年期的契约，因此，工会工人们不得不等待现存契约到期后再商谈一个新的工资率，即使签约以来通货膨胀率一直以较大的幅度增加。
类似地，一个职业球员也不得不等待他的契约期满后方可商谈另一个新契约，即使自签约以来，
他的“能力”有了很大的提高。当然，也有球员尝试着重新商谈契约的，并且有些的确也获得了成功。
由于上述这些以及其他的一些原因,“滞后”在经济学中很重要。这一点清楚地反映在经济学的短期／长期分析方法上。在短期内，价格或者收入弹性的绝对值通常会小于长期内的价格或收入弹性值，因为解释变量变化之后，需要花时间去作必要的调整。
将方程 ( 1 4 - 1 0 )一般化，得到 k期滞后分布模型：
Yt=A+B0Xt+B1Xt-1+B2Xt-2+? +BkXt-k+ut ( 1 4 - 1 3 )
在这个方程中，解释变量每单位变化的影响分布到了 k个时期 1。在方程 ( 1 4 - 1 3 )中,Y不仅对变量 X本期值、前一期值的变化有反映，而且还对变量的前若干时期值的变化有反应。
在方程 ( 1 4 - 1 3 )中，系数 B0称为 短期乘数 (short-run multiplier)或者 即期乘数 ( i m p a c t
m u l t i p l i e r )，因为它给出了变量 X每单位的变化所引起的同时期 Y的平均变动量。如果 X维持同样的变动水平，则 (B0+B1)给出了下一时期 Y变化的平均值，同理,(B0+B1+B2)则给出了再下一时期 Y变化的平均值，以此类推。这些系数之和称为 中期乘数 (interim,or intermediate multiplier).
最后，在 k期后，得到
( 1 4 - 1 4 )
称为 长期乘数 (long-run multiplier)或者 总乘数 (total multiplier)。因而，方程 ( 1 4 - 11 )消费函数的短期乘数为 0,4，中期乘数为 ( 0,4 + 0,3 ) = 0,7，而长期乘数为 ( 0,4 + 0,3 + 0,2 ) = 0,9。长期地看 (这里为三个时期 )，平均而言,P D I每变化一单位将导致消费支出变化 0,9单位。简言之，长期边际消费倾向 ( M P C )为 0,9，而短期 M P C仅为 0,4，中期 M P C为 0,7。由于解释变量较前期的影响可能小于中期或近期的影响，所以一般而言，预期 B0大于 B1，而 B1大于 B2，如此等等。换言之，
我们预期各个 B值从本期往前递减，这对估计滞后分布模型会有所帮助。
分布滞后模型的估计我们如何估计形如方程 ( 1 4 - 1 3 )的分布滞后模型呢？能否仍使用常用的 O L S法？原则上说，
是可以的，因为在重复抽样过程中，我们假设 Xt是非随机的，或是固定的，因而 Xt-1及其他所有
X的滞后值也都是非随机的或固定的。所以，模型 ( 1 4 - 1 3 )本身并没有违背古典线性回归模型
( C L R M )的任何假定。但是，在具体应用中还存在着一些实际问题。
(1) 对滞后的最大长度没有事先的指导或设想。
(2) 如果引入了太多期滞后变量，则自由度可能会是一个严重的问题。如果我们有 2 0个观察值，引入 1 0个滞后变量，则自由度仅为 8— 1 0个滞后变量就损失 1 0个自由度 — 当期变量损失一个自由度，截距项也损失一个自由度。显然，随着自由度的减少，统计推断就会变得越来越不可靠。如果模型中的解释变量不止一个，并且每个解释变量都有其自己的分布滞后结构，
则问题会变得越来越复杂。在这种情形下，我们会很快地“消耗”自由度 — 注意对每一个估
B
i
= B
0
+ B
1
i =0
k
∑ + B2
+L+ B
k
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 285下载
1 时期这一术语是广义的，它可以是一天、一个星期、一个月、一年或者是任何合适的时间段。
计系数，都将失去一个自由度。
(3) 在大样本情形下，虽然无需过多考虑自由度，但可能会遇到多重共线性问题，因为大多数经济变量的连续值是趋于相关的，有时相关程度还很高。在第 1 0章我们曾指出，多重共线性会导致估计不准确，也就是说，估计系数的标准差会变大。结果，根据常规计算的 t值，往往认为滞后系数是统计不显著的。产生的另一个问题是，有的时候，滞后项系数的符号会出现正负交错的情况，这使得我们很难解释这些系数，从下面的例子将会看到这一点。
例 14.3 具体一例：圣·路易斯 (St.Louis) 模型为了确定名义国民生产总值 (GNP) 是用货币供给 (货币主义 )，还是用政府支出
(凯恩斯主义 )来解释，圣·路易斯联邦储备银行建立了一个模型，这就是著名的圣·
路易斯模型。这个模型的其中一个版本是
=常数＋ ( 1 4 - 1 5 )
其中,—
t时期的名义 G N P增长率—
t时期的货币供给 (M1)增长率—
t时期充分就业或高就业下政府支出的增长率样本数据是从 1 9 5 3年第一季度到 1 9 7 6年第四季度的季度数据,和 各使用了四个滞后值。回归结果如下,1 为了阅读的方便，用表格的形式给出回归结果 (表 1 4 - 1 )
表 14-1 圣·路易斯模型系数 估 计 系 数 估 计
A0 0,4 0 ( 2,9 6 ) * B0 0,0 8 ( 2,2 6 ) *
A1 0,4 1 ( 5,2 6 ) * B1 0,0 6 ( 2,5 2 ) *
A2 0,2 5 ( 2,1 4 ) * B2 0,0 0 ( 0,0 2 )
A3 0,0 6 ( 0,7 1 ) B3 － 0,0 6 (－ 2,2 0 )
A4 － 0,0 5 (－ 0,3 7 ) B4 － 0,0 7 (－ 1,8 3 ) *
1,0 6 ( 5,5 9 ) * 0,0 1 ( 0,4 0 )
R2= 0,4 0 d= 1,7 8
注：括号内的数字为 t值。
* 显著水平为 5%(单边 )。原文中并没有给出截距项。
对表 1 4 - 1所给的结果有几点需要注意：
(1) 根据 t检验，并非所有的滞后系数均是统计显著的。但是我们无法得知确实是不显著，
还是由于多重共线性的影响。
(2) 的第四个滞后变量的符号为负，这在经济学上很难解释，因为货币供给的其他滞后系数都对 产生正向影响。但这一负值是统计不显著的，尽管我们不知道这是否是多重共线性˙ Y
˙
M
B
i
i=0
4
∑Ai
i=0
4
∑
˙
E
˙
M
˙
E
t
˙
M
t
˙
Y
t
A
i
i=0
4
∑
˙
M
t?i
+ B
i
i= 0
4
∑
˙
E
t?i
+u
t
˙
Y
t
286部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 这些结果，除了符号略有改动外，均取自 Keith M,Carlson的,Does the St.Louis Equation Now Believe in
Fiscal Policy”,R e v i e w,Federal Bank of St.Louis,v o l,6 0,n o,2,F e b r u a r y,1 9 7 8,Table IV,p,1 7。注：
可类似得到。Bi
i=0
4
∑
˙
E
t?i
A
i
i=0
4
∑
˙
M
t?i
= A
0
˙
M
t
+ A
1
˙
M
t?1
+ A
2
˙
M
t?2
+ A
3
˙
M
t?3
+ A
4
˙
M
t? 4
所致。 的第三和第四个滞后变量不仅为负而且也是统计显著的。同样，经济学难以解释这一负值，因为无法解释为什么政府支出增长率在第三和第四期有负向影响而在前两个时期的影响却是正向的？
(3) 每单位变化，对名义 G N P的短期影响为 0,4 0，而长期影响为 1,0 6 (即各个 A系数加总 )，
并且它是统计显著的。对此的解释是，货币供给持续增长 1%，名义 G N P在五个季度的增长率约为 1%。类似地，政府支出增长率每增长 1%，对名义 G N P的短期影响为 0,0 8，并且是统计显著的，但其长期影响仅为 0,0 1 (B系数的加总 )而且还是统计不显著的。
这隐含地表明，货币供给增长率的变化对 G N P增长率的变化有着持久的影响 (几乎是一对一 )，但政府支出增长率的变化却不是如此。简言之，圣·路易斯模型支持了货币主义的理论，
所以圣·路易斯模型常常被称作是货币主义模型。
从统计学的观点来看，一个明显的问题是为什么圣·路易斯模型的每个解释变量仅包括四期滞后值呢？一些不显著的系数是否是由于多重共线性所致？在没有检验初始数据和确定引入更多个滞后项会发生什么结果之前，我们无法回答这些问题。但是，读者可以想象，沿着这个方向探索下去不会有丰硕的成果，因为如果引入了多个滞后项，难免会产生多重共线性的问题。
显然，我们需要一种方法，它不仅能避免多重共线性问题，而且还能告诉我们模型中可以包括多少个滞后变量。
14.3 用于分布滞后模型的夸克方法 1
一种既能减少分布滞后模型中滞后项个数又能解决多重共线性问题的创造性方法就是夸克所采用的 适应性预期 (adaptive expectations)模型，和 部分或存量调整模型 (the partial or stock
adjustment models)。这里，我们不去深究这些模型的技术细节,2 所有这些模型的一个显著特点是，形如方程 ( 1 4 - 1 3 )的分布滞后模型可以简化成如下“简单”形式,3
Yt=C1+C2Xt+C3Yt-1+vt ( 1 4 - 1 6 )
其中 v为误差项。这种模型称为 自回归模型 (autoregressive model)，因为被解释变量的滞后值作为解释变量出现在方程的右边。在方程 ( 1 4 - 1 3 )中，我们需要对截距项，解释变量的当期及
k期滞后项进行估计。因此，如果 k= 1 5，我们将共估计 1 7个参数，自由度的损失是相当大的，
尤其是对容量不太大的样本。但是在回归方程 ( 1 4 - 1 6 )中，只需估计三个未知变量，截距项及两个斜率系数，大大地减少了自由度的损失。也就是说，回归方程 ( 1 4 - 1 3 )中的所有滞后项都由单独的一个 Y的滞后值来代替。
当然，没有“免费的午餐” 。在将模型 ( 1 4 - 1 3 )中估计的参数个数减少到只有三个的过程中，
也产生了一些新的问题。首先，由于 Yt是随机的,Yt-1也是随机的。因此，要用 O L S来估计模型，
必须确保误差项 vt与滞后变量 Yt-1不相关；否则，可以证明,O L S估计量不仅是有偏的，而且也是不一致的。然而，如果 vt和 Yt-1不相关，则可以证明,O L S估计量是有偏的 (对小样本而言 )，
˙
M
˙
E
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 287下载
1 参见 L,M,Koyck,Distributed Lags and Investment Analysis,N o r t h - H o l l a n d,A m s t e r d a m,1 9 5 4； P,Cagan,
,The Monetary Dynamics of Hyper Inflation,” in M.Friedman(ed.,),University of Chicago,C h i c a g o,1 9 5 6 (对适应性预期模型 )； Marc Nerlove,,Distributed Lags and Demand for Agricultural and Other Commodities,
Handbook No.141,U.S,Department of Agricultural,June 1958(对部分或存量调整模型 )。
2 有关技术细节可参见,Damodar N,Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k，
1 9 9 5,C h a p,1 6。
3 事实上，方程 ( 1 4 - 1 3 )中的滞后项的个数可以远远地超过 k个，从技术上是无限的。顺便指出，注意夸克模型和其他两个模型都隐含地假定了 B系数的值是递减的；也就是说，从数值上讲,B0会大于 B1，而后者又会大于 B2，如此等等。这是一个可行的假设，因为较远的过去不可能和当前具有相同的影响。
但是这一偏差会随着样本容量的增大而逐渐消失。也就是说，对大样本而言,O L S估计量是一致估计量 (从理论上说是渐进的一致估计量 )。其次，如果 vt是序列相关的 (例如，它服从一阶马尔可夫过程,vt= vt-1+wt，其中- 1≤ ≤ 1，并且误差项 t满足 O L S假定 )，则 O L S估计量是有偏的和不一致的，传统的 t检验和 F检验也是无效的。因此在形如方程 ( 1 4 - 1 6 )的自回归模型中，非常重要的一点是我们确定误差项 vt是否服从一阶马尔可夫或者 AR (1)过程。第三，在第 1 2章中曾指出，在自回归模型中，传统的杜宾 -瓦尔森 d检验不再适用了。在这种情况下，可以利用习题 1 2,1中的杜宾 h统计量检验一阶自回归，或者我们可以进行趋势检验。
在继续说明模型 ( 1 4 - 1 6 )之前，需要指出的是：变量 Xt的系数 C2给出了单位 Xt的变化对 Yt的短期影响，而 C2/ ( 1-C3)则给出了单位 Xt的 (持续 )变化对于 Yt的长期影响；这等同于将模型中所有
B系数加总，如方程 ( 1 4 - 1 4 )所示 1。换句话说，回归 ( 1 4 - 1 6 )中 Y的滞后项起着模型 ( 1 4 - 1 3 )中所有滞后 X项的作用。
例 14.4 调整后的基础货币增长率对名义 G N P增长率的影响，美国,1 9 6 0 ~ 1 9 8 8年为了弄清楚名义 G N P增长率与调整后的基础货币 (AMB) 2增长率之间的关系，约瑟夫 H,哈斯拉格 (Joseph H,Haslag)和苏格特 E,海因 (Scott E,Hein) 3得到了以下回归结果：
= 0,0 0 4 + 0,2 3 8 A M Bt-1+ 0,7 5 9Yt-1 杜宾的 h= 3,3 5
se=(0.004) (0.067) (0.054) ( 1 4 - 1 7 )
t=(1.000) (3.552) (14.056)
(注意：作者并没有给出 R2值。 )
注：变量上面一点表示了增长率。
注意：这里,H a s l a g和 H e i n使用了滞后一期的 A M B (这里是一年 )作为解释变量，而没有使用当期的 A M B，但这么做并不会产生任何问题，因为 A M B在很大程度上是由联邦储备系统决定的。除此之外，如果 A M Bt是非随机的，则 A M Bt-1也是非随机的，这满足标准的 C L R M假定。
现在，我们来解释模型 ( 1 4 - 1 7 )。
从方程 ( 1 4 - 1 7 )可知,A M B的短期影响是 0,2 3 8；也即 A M B每变化一个百分点，平均而言，
将导致名义 G N P变动 0,2 3 8个百分点。这一影响看来是统计显著的，因为计算的 t值是显著的。
但是，长期影响为
( 1 4 - 1 8 )
接近于 1。因此，从长期来看,A M B (持续的 )每变动 1%，将导致名义 G N P变动大约一个百分点；也就是说,A M B增长率与名义 G N P增长率之间存在着一对一的关系。
模型 ( 1 4 - 1 7 )的惟一问题是估计的 h值是统计显著的。正如在练习题 1 2,1 6中所指出的那样，
0.238
(1? 0.759)
= 0.988
˙
Y
t
288部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 详细的讨论参见,Damodar N,Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5，
C h a p,1 6。
2 基础货币 ( M B )，有时也称为高能货币，在美国它包括现金和商业银行总储备金。 A M B考虑了联邦储备银行所要求的储备金率的变化；在美国，所有的商业银行都要求保留与顾客储蓄相对应的一定数量的现金或者现金等价物。储备金率是现金和现金等价物与总储蓄的比例。联邦储备系统不时地改变这一比例以达到一定的政策目标，例如抑制通货膨胀或者控制利息率等等。
3 参见 Joseph H,Haslag和 Scott E,Hein，,Reserve Requirements,the Monetary Base and Economic Activity”,
Economic Review,Federal Reserve Bank of Dallas,March 1989,p,1 3。回归结果是以适应性模型 ( 1 4 -
1 5 )的形式给出。
对大样本而言,h统计量服从标准正态分布。因此，在 5%显著水平下，双边检验的 Z临界值 (标准正态 )为 1,9 6，而在 1%显著水平下，双边检验 Z临界值为 2,5 8。由于观察到 h值为 3,3 5，超过了这些临界值，看来回归 ( 1 4 - 1 7 )中的残差是自相关的，因此模型 ( 1 4 - 1 7 )所给出的结果需谨慎对待。但是注意,h统计量是一个大样本统计量，而模型 ( 1 4 - 1 7 )的样本容量为 2 9，并不算很大。
但无论如何，方程 ( 1 4 - 1 7 )只是用于教学目的，用以说明用夸克模型，适应性预期模型和存量调整模型估计分布滞后模型的内在机制。
例 14.5 保证金与股票市场不稳定性为了估算保证金 (这限制了经纪人和交易商提供给顾客的信贷数量 )的短期和长期影响，吉卡斯 A,哈都维利斯 (Gikas A,Hardouvelis) 1根据从 1 9 3 1年 1 2月到 1 9 8 7年 1 2月，
共 6 7 3个月，股票的月度数据 (包括标准普尔 ( S & P )指数 )，得到以下回归结果：
= 0,11 2-0,11 2mt+ 0,1 8 6 t-1
se=(0.015) (0.024) ( )* R2= 0,4 4 ( 1 4 - 1 9 )
其中,t是从 (t-11 )期到 t期计算的月度超额名义股票收益率 (名义收益率减去前一个月月末一个月期的债券收益率 )的标准方差，这是不稳定性的一个度量指标； mt是从 (t-11 )期到 t期的官方平均保证金；括号中的数字是异方差和自相关校正后的标准差。不幸的是,H a r d o u v e l i s并没有给出 t-1系数的标准差，也没有给出 h统计量。但作者已经在他的结果中就自相关进行了校正。
* 作者并没有给出标准差。
与预期相同，保证金系数的符号为负，表明当保证金增加时，在股票市场上的投机活动会减少，从而减少了不稳定性。－ 0,11 2表明如果保证金增加一个百分点，则 S & P股票的不稳定性将会减少 0,11个百分点。当然，这是短期影响。长期影响是
-
显然高于 (绝对值 )短期影响，但是高出的幅度并不大。
动态建模的方法很多，并且处理这类模型各种新的经济计量技术也不断出现。上述的讨论仅仅是向读者粗略地介绍了动态建模的概念。有关动态建模更详细的讨论可参阅有关的参考书。 2
14.4 解释变量是虚拟变量的情形在第 9章中，我们详细地讨论一个或多个解释变量是虚拟变量 (或定性变量 )，但应变量是定量变量的回归模型。在本节考虑的模型中，被解释变量也是虚拟变量；而解释变量或是虚拟变量，或是定量变量，或是既有虚拟变量又有定量变量。
假设我们要研究成年男性劳动力参与状况，这里解释变量包括失业率、平均工资率、家庭收入、教育水平等。则某个人要么是劳动力，要么不是劳动力。因此，被解释变量，劳动力参与率，可能取两个值,1，如果该人是劳动力；或 0，如果该人不是劳动力。我们来看另一个例子，假设我们想确定一个国家是否属于国际货币基金组织 ( I M F )，它可以是好几个因素的函数。
那么，某个国家要么属于 I M F，要么不属于 I M F。因此，被解释变量,I M F成员，就是一个虚拟
0.112
(1? 0.186)
≈?0.138
t
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 289下载
1 参见 Gikas A,Hardouvelis,,M a rgin Requirements and Stock Market Vo l a t i l i t y”,Q u a rterly Review，
vol.,3,no.2,Summer 1988,Table 4,p.86,and footnote21,p.88。
2 A,C,Harvey,The Econometric Analysis of Time Series,2d ed.,MIT,C a m b r i g e,M a s s,1 9 9 0。需提醒初学者的是，这本书难度较大。
变量。如果该国属于 I M F，则取值为 1；否则取值为 0。再来看另一个例子，美国假释局正在考虑假释一个未到期的罪犯。假释变量是一个虚拟变量，因为该局可能同意也可能不同意假释；
同意假释的决定则是根据罪犯犯罪的类型，罪犯服刑期间的表现，是否患有精神病等若干因素。
读者可以举出许多这样的例子。这些例子的一个显著特征是：应变量只有“是”或“不是”
两种反应，也就是说，它在性质上是,二分变量,( d i c h o t o m o u s )。如何估计这些模型呢？能否直接使用普通最小二乘法呢？我们通过一个具体例子来回答这类及其相关问题。
例 14.6 个性化教育系统 (PSI)对于中级宏观经济学课程成绩的影响表 1 4 - 2给出了以下一些数据资料：被解释变量，中级宏观经济学考试成绩 (Y)，
并且，若成绩为 A，则 Y= 1；若成绩为 B或 C，则 Y= 0，解释变量,G PA =入学的平均成绩,T U C E = 新生入学后宏观经济学考试成绩，如果使用了个性化教育系统
(personalized system of instructions)这一新方法，则 P S I = 1，否则为 0。
表 14-2 32个学生的平均成绩及相关数据观察号 Y G PA T U C E P S I 观察号 Y G PA T U C E P S I
1 0 2,6 6 2 0 0 1 7 0 2,7 5 2 5 0
2 0 2,8 9 2 2 0 1 8 0 2,8 3 1 9 0
3 0 3,2 8 2 4 0 1 9 0 3,1 2 2 3 1
4 0 2,9 2 1 2 0 2 0 1 3,1 6 2 5 1
5 1 4,0 0 2 1 0 2 1 0 2,0 6 2 2 1
6 0 2,8 6 1 7 0 2 2 1 3,6 2 2 8 1
7 0 2,7 6 1 7 0 2 3 0 2,8 9 1 4 1
8 0 2,8 7 2 1 0 2 4 0 3,5 1 2 6 1
9 0 3,0 3 2 5 0 2 5 1 3,5 4 2 4 1
1 0 1 3,9 2 2 9 0 2 6 1 2,8 3 2 7 1
11 0 2,6 3 2 0 0 2 7 1 3,3 9 1 7 1
1 2 0 3,3 2 2 3 0 2 8 0 2,6 7 2 4 1
1 3 0 3,5 7 2 3 0 2 9 1 3,6 5 2 1 1
1 4 1 3,2 6 2 5 0 3 0 1 4,0 0 2 3 1
1 5 0 3,5 3 2 6 0 3 1 0 3,1 0 2 1 1
1 6 0 2,7 4 1 9 0 3 2 1 2,3 9 1 9 1
资料来源,L,Spector和 M,Mazzeo,,Probit Analysis and Economic Education,” Journal of
Economic Education,v o l,11,1 9 8 0,p,3 7 - 4 4。
S p e c t o r和 M a z z e o研究的主要目标是评估新教学方法 ( P S I )对最终成绩的效果。
假定对如下模型使用 O L S法拟合表 1 4 - 2所给数据：
Yi=B1+B2G PAi+B3T U C E +B4P S I +ui ( 1 4 - 2 0 )
其中应变量的取值为 1或 0，取决于是否获得 A级成绩。这样得到的最终模型，也即方程 ( 1 4 - 2 0 )称为线性概率模型 ( L P M )，因为 E (Yi)可以解释为条件概率 (参见第 2章 )，
也即在给定解释变量取值的条件下，事件 Y(即某个学生得 A )发生的概率 1 。因此，我们方程 ( 1 4 - 2 0 )可以表示为两个等价的形式：
E (Y= 1 | G PA,TUCE,PSI)=B1+B2G PAi+B3T U C Ei+B4P S Ii ( 1 4 - 2 1 )2
290部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 有关证明参见 Damodar N,Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5，
C h a p,1 5。
2 注意,E (Y| G PA,TUCE,PSI)=1· P (Y= 1 | G PA,TUCE,PSI)+0.P(Y= 0 | G PA,TUCE,PSI)=P (Y= 1 | G PA,
TUCE,PSI)
(续 )
或
P (Y= 1 | G PA,TUCE,PSI)=Pi=B1+B2G PAi+B3T U C Ei+B4P S Ii ( 1 4 - 2 2 )
其中 P代表概率。则
( 1 4 - 2 3 )
给出了某学生在给定解释变量取值的条件下得 A的概率的估计值。
一个重要的问题是：迄今为止，我们只考虑解释变量为数量型变量的线性回归模型。而模型 ( 1 4 - 2 0 )并非如此，因为 Y是一个虚拟变量，则使用 O L S法估计方程 ( 1 4 - 2 0 )会不会有什么问题呢？的确会有问题。可以证明，使用 O L S估计模型 ( 1 4 - 2 0 )带来以下问题,1
(1) 模型 ( 1 4 - 2 0 )中的误差项 ui不服从正态分布，事实上它服从二项 (概率 )分布。如果仅仅只是估计参数的话，并不需要正态分布的假设，但对假设检验却是需要的。但是，在实际中，如果样本容量足够大，模型 ( 1 4 - 2 0 )中误差项服从二项分布并不会造成很大的障碍。这是因为，统计理论表明，随着样本容量的增加，二项分布趋于正态分布。
(2) OLS估计的另一个问题是误差项 ui是异方差的。 但在实践中这也不是一个很严重的问题，
因为我们可以通过适当的变换使误差项成为同方差的。
(3) 模型 ( 1 4 - 2 0 )的真正问题是由于它给出的是事件 Y发生的概率 (例如获得 A这一事件 )，所以取值必须介于 0和 1之间 (为什么？ )。但是根据回归方程 ( 1 4 - 2 3 )获得这一概率时，并不能保证所估计的 Pi一定会介于 0,1之间。例如，如果估计的某个 Pi为负，则它就没有实际意义，同样如果大于 1，也没有实际意义。
(4) 模型 ( 1 4 - 2 0 )或者其等价方程 ( 1 4 - 2 1 )的另一问题是它假定每单位解释变量变化的概率变化率是一个常数，由斜率值给出。因而,B2表示了 G PA增加一单位，则获得 A的概率增加了 B2
个单位，而无论初始 G PA的值是多少，这在实践中可能是一个不切实际的假设。事实上，如果考虑到“收益递减”规律，我们可能会预期获得 A的概率将会以一个递减的速率增加。
正是由于这些原因，尤其是第三个原因，所以通常不用 O L S法估计形如方程 ( 1 4 - 2 0 )的模型。
但是，在讨论其他估计方法之前，我们用表 1 4 - 2提供的数据来说明模型 ( 1 4 - 2 0 )，看一看在这个例子中是否存在问题 ( 3 )。对模型 ( 1 4 - 2 0 )直接用 O L S法进行估计，得到如下结果：
se=(0.523 9) (0.161 96) (0.019) (0.139 17) ( 1 4 - 2 4 )
t= (-2.859 4) (2.846 1) (0.538 7) (2.720 0) R2=0.415 9
(注意：这些结果并没有校正异方差。 )
对模型解释如下：在其它情况不变的条件下,G PA每增加 1分，平均而言，获得 A级的概率将增加 0,4 6，而无论初始的 G PA为多少。类似地，对于那些已经接受了 P S I的学生来说，他们获得 A级的概率将增加 0,3 8。显然，在这个例子中 T U C E对获得 A级的概率并没有明显的影响。
因此，这一新的教学方法看来是有效的。
现在如果将方程 ( 1 4 - 2 4 )右边解释变量的值带入，则会得到获得 A级概率的实际估计值。例如，如果是第 2 2个学生，将对应的值带入方程，得到：
-1.540 2+0.477 8 (3.62)+0.010 7 (28)+0.3731 (1)=0.853 54
也即该学生获得 A级的概率为 0,8 6。如果取第 3 2个学生，进行类似的计算，求得概率为 0,1 7 8 1。
P
i
(Y = 1)=?1.498 0 + 0.4639GPA
i
+ 0.011TUCE
i
+ 0.3786PSI
i
P
i
= b
1
+ b
2
GPA
i
+b
3
TUCE
i
+ b
4
PSI
i
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 291下载
1 有关证明参见 Damodar N,Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5，
Chap.15 p.542-544。
但是，如果取第一个学生，并进行同样的计算，你会发现概率为- 0.055 3，是个负的概率！实际上若表中的每个学生都进行同样的计算，将会发现有五个学生得到 A级的概率为负！也就是说，有 1 5%的情况，概率值是负值。正是由于这个原因，所以我们并不提倡用 L P M方法来估计应变量具有“二分性的”的模型。
14.5 分对数模型还有其他的抉择模型 ( a l t e r n a t i v e s )吗？在文献中讨论得比较多的有另外两种方法，分对数模型和概率模型。由于两个模型给出的结果大致相同，因此我们仅仅讨论分对数模型，因为相对来说它在数学上比较简单 1。我们仍用上面的一个例子来说明分对数模型。这里仍假定 Pi为获得 A等级成绩的概率。现考虑如下模型：
=B1+B2G PAi+B3T U C Ei+B4P S Ii+ui ( 1 4 - 2 5)
由于 Pi是获得 A等级成绩的概率，则 ( 1-Pi)则是没有获得 A级的概率。比例 Pi/ ( 1-Pi)称为 差别比率 (odds ration)。该差别比率的自然对数称作分对数，因此，模型 ( 1 4 - 2 5 )称为分对数模型。 2
根据分对数模型可知差别比率的对数是解释变量的线性函数。在我们这个例子中解释变量为
G PA,T U C E和 P S I。在模型 ( 1 4 - 2 5 )中，斜率系数，比如说,B2给出了 G PA每单位的变化，所引起的差别比率对数的改变量。注意，与 L P M不同，分对数模型并不直接给出概率值。稍后我们将说明如何计算概率。
分对数模型有什么特点呢？首先，模型的数学形式保证了从分对数模型中所估计出概率的值总是介于 0,1之间。其次，与 L P M不同，在这个模型中，解释变量每变化一个单位，获得 A
级的概率不是线性增加的 (即不是以一个固定值增加 )，事实上，当解释变量变得越来越小时，
概率则以越来越小的速率接近于零，当解释变量变得越来越大时，概率则以越来越小的速率接近于 1，如图 1 4 - 2所示。
图 14-2 分对数和概率累积分布函数
ln
P
i
1? P
i
292部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 有关概率模型和分对数模型的讨论，参见 Damodar N,Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-
H i l l,New Yo r k,1 9 9 5,C h a p,1 6。
2 分对数模型名称来源于逻辑斯蒂概率分布函数，有关逻辑斯蒂概率分布函数的讨论参见 Damodar N.
G u j a r a t i,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5,p,5 5 4 - 5 5 6。
概率分对数
14.5.1 分对数模型的估计：个体数据分对数模型 ( 1 4 - 2 5 )与第 8章讨论过的半对数模型类似。看起来可用常用的 O L S方法进行估计。不幸的是，情况并非如此，因为要用 O L S法估计方程 ( 1 4 - 2 5 )，必须知道被解释变量 l nPi
/ ( 1-Pi)的值，而显然它是未知的。事实上，我们的最终目标是确定在给定解释变量的值的情形下 P是多少。那么如何估计形如方程 ( 1 4 - 2 5 )这样的模型呢？答案取决于用于分析数据的类型。
如果我们有个体观察数据，则可以使用最大似然法 ( M L )来估计模型。如果是分组数据 (如表 1 4 -
3 )，则可以使用 O L S法。由于 G PA的数据是以每个学生的形式给出，所以可以使用 M L方法来估计模型 ( 1 4 - 2 5 )中的参数。这里，我们不打算详细讨论这一方法，它超出本书的范围，但是需要指出的是有许多计算机软件包可用 M L法估计分对数模型。对于本例，我们用的是 S H A Z A M软件。我们首先给出 M L估计的结果。稍后我们给出当数据类型是分组数据时，如何使用 O L S法。
根据 S H A Z A M程序，得到模型 ( 1 4 - 2 5 )的回归结果如下,1
=－ 13.021+2.826 1GPAi + 0,0 9 5 T U C Ei +2.378 7PSIi
se=(4.931 0) (1.262 9) (0.142 155) (1.064 5)
t= (-2.640 7) (2.237 8) (0.722 6) (2.234 5) ( 1 4 - 2 6 )
M a d d a l aR2=0.382 1
对回归结果解释如下：在其他条件不变的情况下,G PA上升一单位，平均而言，获得 A级的分对数 (或差别比率的对数 )将上升 2,8个单位。 2 类似地，在其它条件不变的情况下，平均而言，对于那些接受 P S I的学生来说，获得 A级的差别比率 (对数 )上升 2,3 8单位。显然,T U C E对
G PA有可检验到的影响。
我们如何计算获得 A级的实际概率呢？为了求这个概率值，我们首先说明如何计算任意一个学生的分对数值。将表 1 4 - 2中对应每个学生的解释变量的值代入方程 ( 1 4 - 2 6 )，获得 l nPi/ ( 1-
Pi)的值。例如，对于第一个学生而言，计算的分对数值为
=-3.600 7 ( 1 4 - 2 7 )
现在若取方程 ( 1 4 - 2 7 )的反对数，得：
=e{-3.617 4} ( 1 4 - 2 8 )
其中 e{ }表示 e的 { }次幂，这里,{ }内的值为－ 3,6 1 7 4。对于方程 ( 1 4 - 2 8 )做简单的代数变换得到：
Pi = =0.026 6 ( 1 4 - 2 9 )
注,e{-3.617 4}≈0.026 8 ( 1 4 - 3 0 )
也就是说，对于给定的解释变量值，该学生获得 A级的概率为 3%。若取第 3 0个学生，并进行类似的计算，他或者她的分对数值为 2.850 4，根据这个值可以估计得到概率为 0.945 34。这意味着该生获得 A级的概率为 9 5%。作为一般规则分对数值越高，则获得 A级的可能性就越大，
因而获得 A级的概率也就越大。在习题 1 4,1 7中，要求其他 3 0个学生获得 A级的概率，这些学生
e{?3.6174}
1+ e{?3.617 4}
P
i
1? P
i
ln
P
i
1? P
i
ln
P
i
1? P
i
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 293下载
1 一些技术要点：在以下回归中所给出的标准差和 t值是渐近的，也就是说，它们是对大样本而言的。其次，
对于分对数模型而言，通常的 R2不再有意义。有其它几个衡量指标，例如 M a d d a l a,C r a g g - U h l e r和
M c F a d d e nR2。在本例中,M a d d a l aR2和 M c F a d d e nR2两者的值大致相同的，但 C r a g g - U h l e rR2值为 0.536 4。
2 特别需要注意的是，斜率系数给出的是对于一单位解释变量的变化，差别比率对数的变化而不是概率本身的变化。后一变化计算起来有些困难。有关细节可以参阅 Damodar N,Gujarati,,B a s i c
E c o n o m e t r i c s,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5,p,5 5 9 - 5 6 0。
的成绩在表 1 4 - 2中给出。
14.5.2 分对数估计：分组数据例 14.7 住房所有权的分对数估计假定我们要研究住房所有权对家庭收入的函数。现有表 1 4 - 3中给出的假想数据。
共有 5 8 0个家庭，但与表 1 4 - 2不同的是，并没有有关单个家庭收入与住房所有权状况的数据。实际上，是把这 5 8 0个家庭分成 1 0个收入等级，有每个等级的家庭总数及实际拥有住房的家庭的数据，我们把这样的数据称为 分组数据 (grouped data)。而表 1 4 - 2
中的数据则是微观或个体数据。现在取 ni对 Ni的比值，得：
( 1 4 - 3 1 )
也就是相对频率 (参见第 2章 )，它可用作真实概率 Pi的估计量，尤其当 Ni非常大时。 1
因此在分对数模型中：
( 1 4 - 3 2 )
Pi=拥有住房的概率,Xi=收入，如果把从方程 ( 1 4 - 3 1 )得到 Pi带到方程 ( 1 4 - 3 2 )，则方程左边就很容易计算得到，这样 O L S就可以直接用于方程 ( 1 4 - 3 2 )。根据表 1 4 - 3所给的数据，并利用表第 4列中给出的 pi，得到方程 ( 1 4 - 3 2 )的回归结果如下：
( 1 4 - 3 3 )
表 14-3 Xi(收入 ),Ni(收入为 Xi的家庭数 )和 ni(拥有住房的家庭数 )
X Ni ni
(千美元 )
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
2 6 4 0 8 0,2 0
2 8 5 0 1 2 0,2 4
3 0 6 0 1 8 0,3 0
3 3 8 0 2 8 0,3 5
3 5 1 0 0 4 5 0,4 5
4 0 7 0 3 6 0,5 1
4 5 6 5 3 9 0,6 0
5 0 5 0 3 3 0,6 6
5 5 4 0 3 0 0,7 5
6 0 2 5 2 0 0,8 0
5 8 0 2 6 9
正如回归结果所表明的那样，如果收入增加了一单位 (这里是 1 000美元 )，拥有住房的差别比率的对数将增加 0,0 8个单位。当然，实际上我们可以计算任何给定收入水平下拥有住房的概率。例如，令 X= 2 6，得：
p
i
=
n
i
N
i
ln
˙ p
i
1? ˙ p
i
=?3.243 8 + 0.0792X
i
se= (0.170 8) (0.0041)
t = (?18.992) (19.317) R
2
= 0.979 1
ln
P
i
1? P
i
= B
1
+ B
2
X
i
+u
i
p
i
=
n
i
N
i
294部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 回忆我们在第 2章关于概率的讨论，事件的概率是随着样本无限增大的相对频率的极限。
(续 )
因此，从方程 ( 1 4 - 2 9 )中可得：
pi(给定 X=26)=0.234 2 (14-34)
这里，实际概率为 0,2 0。其它概率可类似计算 (参见习题 1 4,1 8 )。
方程 ( 1 4 - 3 3 )有一个技术要点：这个回归存在异方差问题。对于以分组数据为基础的分对数模型而言的确如此。但是这个问题很容易解决，详细内容参阅有关参考书。 1
掌握了分对数模型，读者可以很容易地处理被解释变量为虚拟变量或二元变量的模型。事实上，我们甚至可以对被解释变量和解释变量都是虚拟变量的模型进行回归。不仅如此，而且我们还可以考虑那些被解释变量为三元变量 (例如属于共和党或者民主党或者第三党 )，甚至被解释变量分更多类的模型。这类模型称为 多值回归模型 (multinominal regression)，但它已超出本书范围。 2
下面我们给出分对数模型的一个有趣应用。
例 14.8 预测银行破产根据 1 9 8 2年 1 2月到 1 9 8 4年 1 2月间 6 8 6 9次例行检查所得出的银行例行报告数据，
罗伯特·阿维莱 (Robert Av e r y )和特伦斯·贝尔顿 ( Terrence Belton)3估计了一个风险指数 (也就是一个分对数函数 )用来预测银行倒闭：如果在例行检查后的一年之内破产了的话,则认为该银行已经倒闭了。这些结果在表 1 4 - 4中给出。
表 14-4 分对数模型：预测银行倒闭解释变量 系数 t值常数 -2,4 2 0 3,0 7
K TA -0,5 0 1 -4,8 9
P D 0 9 0 M A 0,4 2 8 5,1 6
L N N A C C A 4,3 1 0 4,3 1
R E N E G A 0,6 2 9 1,0 7
N C O F S A 0,2 2 3 1,6 0
N E T I N C A 0,3 3 1 2,6 8
注,K TA.— 原始资本对总资产的百分比。
P D 0 9 0 M A.,— 超过 9 0天的贷款对总资产的百分比。
L N N A C C A.— 非增值贷款对总资产的百分比。
R E N E G A.— 重新议定贷款对于总资本的百分比。
N C O F S A.— (每年 )净损耗贷款对总资产的百分比。
N E T I N C A.— (每年 )净收入对总资产的百分比。
数据来源,Robert Av e r y和 Terrence Belton,,A Comparison of Risk-Based Capital and Risk-
Based Deposit Insurance,” Economic Review,Federal Reserve Bank of Cleveland，
1 9 8 7,fourth quarter。
ln
p
i
1? p
i
=?1.184 6
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 295下载
1 Damodar N,Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5,p,5 5 8 - 5 6 1。
2 关于逻辑斯蒂模型的一般讨论，参见 David M,Hosmer,Stanley Lemesshow,Applied Logistic
R e g re s s i o n,Wi l e y,New Yo r k,1 9 8 8。
3 结果来自 Robert Av e r y和 Terrence Belton,,A Comparison of Risk-Based Capital and Risk-Based Deposit
I n s u r a n c e,” Economic Review,Federal Reserve Bank of Cleveland,1 9 8 7,fourth quarter,p,2 0 - 2 2。
回归结果表明，在其他情况不变的条件下，如果 K TA，原始资本 (也就是股东股票 )对总资产的比率，每增加一个百分点，则银行倒闭的差别比率的对数增加 0,5 0 1，这是一个比较合理的结果。类似地，如果 L N N A C C A，非增值贷款对总资产的百分比，每增加一个百分点，则银行倒闭差别比率的对数增加 4,3 1 0。其他系数也可以类似地加以解释。 R E N E G A和 N C O F S A都是统计不显著的，并且 N C O F S A的符号也不正确。 (为什么？ )
Robert Av e r y和 Terrence Belton得出的结论是：
尽管模型的总体拟合表明，预测银行倒闭是很困难的，平均而言，预测样本中破产银行破产的概率为 0,2 4，这一数字比预测样本中非破产银行破产的概率高 6 9倍。因此，这一模型显然具有区分高风险银行和低风险银行的能力。
14.6 伪回归现象有时，从时间序列模型得到的回归结果从表面上看是很好的，但进一步细究则发现结果是值得怀疑的。我们通过一个具体例子来说明 伪回归 (spurious regression)现象。表 1 4 - 5给出了从
1 9 7 0年第一季度到 1 9 9 1年第四季度美国国内生产总值 ( G D P )，个人可支配收入 ( P D I )，个人消费支出 ( P C E )，利润、红利等数据，所有的数据的单位都是 1 0亿美元 ( 1 9 8 7年美元价 )，共有 8 8
个观察值。这里我们仅考虑 P C E和 P D I，表中给出的其它数据将在本章习题中用到。
利用表 1 4 - 5提供的数据并作 P C I对 P D I的回归，回归结果如下：
P C Ft=-171.441 2+0.967 2PDIt R2=0.994 0； d=0.531 6
t= (-7.480 9) (119.871 1) ( 1 4 - 3 5 )
回归结果看似令人“难以置信”； R2值非常高,P D I的 t值也非常高,P D I的边际倾向
( M P C )为正并且很高。惟一的缺陷是 d值较低。 G r a n g e r和 N e w b o l d指出，若 R2>d，则很可能存在伪回归现象，也就是说，实际上,P C E和 P D I之间可能并不存在任何有意义的关系。 1
为什么方程 ( 1 4 - 3 5 )中的回归结果可能是虚假的呢？为了便于理解，我们引入 平稳时间序列
(stationary time series)的概念。我们首先根据表 1 4 - 5中 P C E和 P D I的数据作散点图，如图 1 4 - 3所示。从图 1 4 - 3可以看出 P C E和 P D I这两个时间序列在样本期间都呈上升趋势。这样的图形通常表明该时间序列可能是不平稳的。这意味着什么呢？宽泛地说，随机过程称为平稳的，如果其均值和方差在长时期内为常数，并且两个不同时期的协方差仅仅依赖于这两个时期的“距离”
或时滞而不依赖于计算协方差的实际时点。 2
表 14-5 1970年第一季度到 1 9 9 1年第四季度美国的宏观经济数据季度 G D P P D I P C E 利润 红利
1 9 7 0 - 1 2 872.8 1 990.6 1 800.5 4 4,7 2 4,5
1 9 7 0 - 2 2 860.3 2 020.1 1 087.5 4 4,4 2 3,9
1 9 7 0 - 3 2 896.6 2 045.3 1 824.7 4 4,9 2 3,3
1 9 7 0 - 4 2 873.7 2 045.2 1 821.2 4 2,1 2 3,1
1 9 7 1 - 1 2 942.9 2 073.9 1 849.9 4 8,8 2 3,8
1 9 7 1 - 2 2 947.4 2 098.0 1 863.5 5 0,7 2 3,7
1 9 7 1 - 3 2 966.0 2 106.6 1 876.9 5 4,2 2 3,8
1 9 7 1 - 4 2 980.8 2 121.1 1 904.6 5 5,7 2 3,7
296部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 C,W,J,G r a n g e r和 P,N e w b o l d,,Spurious Regression in Econometrics,” Journal of Econometrics,
vol.2,no.2,July 1974,p,111 - 1 2 0。
2 任何时间序列数据都可以被看成是由一个随机的过程和一个具体的数据集所产生的，例如如表 1 4 - 5的数据，可以看作是一个随机过程的实现。
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 297下载
(续 )
季度 G D P P D I P C E 利润 红利
1 9 7 2 - 1 3 037.3 2 129.7 1 929.3 5 9,4 2 5,0
1 9 7 2 - 2 3 089.7 2 149.1 1 963.3 6 0,1 2 5,5
1 9 7 2 - 3 3 125.8 2 193.9 1 989.1 6 2,8 2 6,1
1 9 7 2 - 4 3 175.3 2 272.0 2 032.1 6 8,3 2 6,5
1 9 7 3 - 1 3 253.3 2 300.7 2 063.9 7 9,1 2 7,0
1 9 7 3 - 2 3 267.6 2 315.2 2 062.0 8 1,2 2 7,8
1 9 7 3 - 3 3 264.3 2 337.9 2 073.7 8 1,3 2 8,3
1 9 7 3 - 4 3 289.1 2 382.7 2 067.4 8 5,0 2 9,4
1 9 7 4 - 1 3 259.4 2 334.7 2 050.8 8 9,0 2 9,8
1 9 7 4 - 2 3 267.7 2 304.5 2 059.0 9 1,2 3 0,4
1 9 7 4 - 3 3 239.1 2 315.0 2 065.5 9 7,1 3 0,9
1 9 7 4 - 4 3 226.4 2 313.7 2 039.9 8 6,8 3 0,5
1 9 7 5 - 1 3 154.0 2 282.5 2 051.8 7 5,8 3 0,0
1 9 7 5 - 2 3 190.4 2 390.3 2 086.9 8 1,0 2 9,7
1 9 7 5 - 3 3 249.9 2 354.4 2 11 4,4 9 7,8 3 0,1
1 9 7 5 - 4 3 292.5 2 389.4 2 137.0 1 0 3,4 3 0,6
1 9 7 6 - 1 3 356.7 2 424.5,2 179.3 1 0 8,4 3 2,6
1 9 7 6 - 2 3 369.2 2 434.9 2 194.7 1 0 9,2 3 5,0
1 9 7 6 - 3 3 381.0 2 444.7 2 213.0 11 0,0 3 6,6
1 9 7 6 - 4 3 416.3 2 459.5 2 242.0 11 0,3 3 8,3
1 9 7 7 - 1 3 466.4 2 463.0 2 271.3 1 2 1,5 3 9,2
1 9 7 7 - 2 3 525.0 2 490.3 2 280.8 1 2 9,7 4 0,0
1 9 7 7 - 3 3 574.4 2 541.0 2 302.6 1 3 5,1 4 1,4
1 9 7 7 - 4 3 567.2 2 556.2 2 331.6 1 3 4,8 4 2,4
1 9 7 8 - 1 3 591.8 2 587.3 2 347.1 1 3 7,5 4 3,5
1 9 7 8 - 2 3 707.0 2 631.9 2 394.0 1 5 4,0 4 4,5
1 9 7 8 - 3 3 735.6 2 653.2 2 404.5 1 5 8,0 4 6,6
1 9 7 8 - 4 3 779.6 2 680.9 2 421.6 1 6 7,8 4 8,9
1 9 7 9 - 1 3 780.8 2 699.2 2 437.9 1 6 8,2 5 0,5
1 9 7 9 - 2 3 784.3 2 697.6 2 435.4 1 7 4,1 5 1,8
1 9 7 9 - 3 3 807.5 2 715.3 2 454.7 1 7 8,1 5 2,7
1 9 7 9 - 4 3 814.6 2 728.1 2 465.4 1 7 3,4 5 7,6
1 9 8 0 - 1 3 830.8 2 742.9 2 464.6 1 7 4,3 5 7,6
1 9 8 0 - 2 3 732.6 2 692.0 2 414.2 1 4 4,5 5 8,7
1 9 8 0 - 3 3 733.5 2 722.5 2 440.3 1 5 1,0 5 9,3
1 9 8 0 - 4 3 808.5 2 777.0 2 469.2 1 5 4,6 6 0,5
1 9 8 1 - 1 3 860.5 2 783.7 2 475.5 1 5 9,5 6 4,0
1 9 8 1 - 2 3 844.4 2 776.7 2 476.1 1 4 3,7 6 8,4
1 9 8 1 - 3 3 864.5 2 814.1 2 487.4 1 4 7,6 7 1,9
1 9 8 1 - 4 3 803.1 2 808.8 2 468.8 1 4 0,3 7 2,4
1 9 8 2 - 1 3 756.1 2 795.0 2 484.0 11 4,4 7 0,0
1 9 8 2 - 2 3 771.1 2 824.8 2 488.9 11 4,0 6 8,4
1 9 8 2 - 3 3 754.4 2 829.0 2 502.5 11 4,6 6 9,2
1 9 8 2 - 4 3 759.6 2 832.6 2 539.3 1 0 9,9 7 2,5
1 9 8 3 - 1 3 783.3 2 843.6 2 556.5 11 3,6 7 7,0
1 9 8 3 - 2 3 886.5 2 867.0 2 604.0 1 3 3,0 8 0,5
1 9 8 3 - 3 3 944.4 2 903.0 2 639.0 1 4 5,7 8 3,1
1 9 8 3 - 4 4 012.1 2 960.6 2 678.2 1 4 1,6 8 4,2
1 9 8 4 - 1 4 221.8 3 123.6 2 824.9 1 2 5,2 8 7,2
(续 )
季度 G D P P D I P C E 利润 红利
1 9 8 4 - 2 4 144.0 3 065.9 2 741.1 1 5 2,6 8 2,2
1 9 8 4 - 3 4 166.4 3 102.7 2 754.6 1 4 1,8 8 1,7
1 9 8 4 - 4 4 194.2 3 11 8,5 2 784.8 1 3 6,3 8 3,4
1 9 8 5 - 1 4 221.8 3 123.6 2 824.9 1 2 5,2 8 7,2
1 9 8 5 - 2 4 254.8 3 189.6 2 849.7 1 2 4,8 9 0,8
1 9 8 5 - 3 4 309.0 3 156.5 2 893.3 1 2 9,8 9 4,1
1 9 8 5 - 4 4 333.5 3 178.7 2 895.3 1 3 4,2 9 7,4
1 9 8 6 - 1 4 390.5 3 227.5 2 922.4 1 0 9,2 1 0 5,1
1 9 8 6 - 2 4 387.7 3 281.4 2 947.9 1 0 6,0 11 0,7
1 9 8 6 - 3 4 412.6 3 272.6 2 993.7 111,0 11 2,3
1 9 8 6 - 4 4 427.1 3 266.2 3 012.5 11 9,2 111,0
1 9 8 7 - 1 4 460.0 3 295.2 3 011,5 1 4 0,2 1 0 8,0
1 9 8 7 - 2 4 515.3 3 241.7 3 046.8 1 5 7,9 1 0 5,5
1 9 8 7 - 3 4 559.3 3 285.7 3 075.8 1 6 9,1 1 0 5,1
1 9 8 7 - 4 4 625.5 3 335.8 3 074.6 1 7 6,0 1 0 6,3
1 9 8 8 - 1 4 655.3 3 380.1 3 128.2 1 9 5,5 1 0 9,6
1 9 8 8 - 2 4 704.8 3 386.3 3 147.8 2 0 7,2 11 3,3
1 9 8 8 - 3 4 779.7 3 443.1 3 170.6 2 1 3,4 11 7,5
1 9 8 8 - 4 4 779.7 3 473.9 3 202.9 2 2 6,0 1 2 1,0
1 9 8 9 - 1 4 809.8 3 473.9 3 200.9 2 2 1,3 1 2 4,6
1 9 8 9 - 2 4 832.4 3 450.9 3 208.6 2 0 6,2 1 2 7,1
1 9 8 9 - 3 4 845.6 3 446.9 3 241.1 1 9 5,7 1 2 9,1
1 9 8 9 - 4 4 859.7 3 493.0 3 241.6 2 0 3,0 1 3 0,7
1 9 9 0 - 1 4 880.8 3 531.4 3 258.8 1 9 9,1 1 3 2,3
1 9 9 0 - 2 4 832.4 3 545.3 3 258.6 1 9 3,7 1 3 2,5
1 9 9 0 - 3 4 903.3 3 547.0 3 281.2 1 9 6,3 1 3 3,8
1 9 9 0 - 4 4 855.1 3 529.5 3 251.8 1 9 9,0 1 3 6,2
1 9 9 1 - 1 4 824.0 3 514.8 3 241.1 1 8 9,7 1 3 7,8
1 9 9 1 - 2 4 840.7 3 537.4 3 252.4 1 8 2,7 1 3 6,7
1 9 9 1 - 3 4 862.7 3 539.9 3 271.2 1 8 9,6 1 3 8,1
1 9 9 1 - 4 4 868.0 3 547.5 3 271.1 1 9 0,3 1 3 8,5
注,G D P— 国内生产总值，单位,1 0亿美元 (1987 年美元价 )
P D I— 个人可支配收入，单位,1 0亿美元 ( 1 9 8 7年美元价 )
P C E— 个人消费支出，单位,1 0亿年美元 ( 1 9 8 7年美元价 )
利润 — 公司税后利润，单位,1 0亿美元 ( 1 9 8 7年美元价 )
红利 — 公司净红利支出，单位,1 0亿美元 ( 1 9 8 7年美元价 )
数据来源,U.S Department of Commerce,Bureau of Economic Analysis,Business Statistics,1 9 6 3 - 1 9 9 1,J u n e
1 9 9 2。
用符号表示，令 Yt代表随机时间序列，如果它满足以下条件，则该时间序列是平稳的 1：
均值,E (Yt) =u ( 1 4 - 3 6 )
方差,E (Yt-u)2= 2 ( 1 4 - 3 7 )
协方差,k=E [ (Yt -u ) ( Yt + k?u )] ( 1 4 - 3 8 )
其中 k表示 Yt期与 Yt + k期的协方差 (或者自协方差 )，也即相隔 k期两个 Y值之间的协方差。如果 k= 0，则为 0，这就是 Y的方差 ( = 2)；如果 k= 1，则 1是两个相邻 Y值之间的协方差，这也正是
298部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 在时间序列文献中，这样的随机过程被称作是弱平稳随机过程，在许多实际工作中，弱平稳随机过程这一假定是很有用的。在强平稳随机过程中，我们要考虑更高阶的矩，也就是说二次以上的矩。
我们在第 1 2章讨论自相关时遇到的协方差类型。
假设我们将 Y的原点从 Yt移到 Yt+m(比方说，在这个例子中从 1 9 7 0 - 1移到 1 9 7 4 - 1 )。若 Yt是平稳的，则 Yt+m的均值、方差和自协方差应该和 Yt相同。简言之，如果一个时间序列是平稳的，其均值、方差和自协方差都是相同的 (无论在什么时期去度量 )。
如果一个时间序列不是上述定义的平稳时间序列，则称为非平稳时间序列 (需要记住的是，
我们讨论的仅仅是弱稳定 )。
我们来看图 1 4 - 3的 P C E和 P D I时间序列图，我们似乎觉得这两个时间序列并不是平稳的。
如果情形果真是这样，则在回归 ( 1 4 - 3 5 )中，我们是以一个非平稳时间序列来拟合另一个非平稳时间序列，这会产生伪回归现象。
图 14-3 1970~1979年美国的 P D I和 P C E (季度数据 )
现在的问题是如何来验证我们的“印象” — P C E和 P D I这两个时间序列确实是非平稳的？
14.6.1 非平稳检验：单元根检验非平稳检验的方法有多种。这里，我们介绍一种比较新的检验方法，单元根检验 (unit root
t e s t )。其检验步骤如下 (具体的技术细节从略 ),1 设 Yt代表利率这一随机时间序列 (例如 P C E )
(1) 估计回归方程：
Yt=A1+A2t+A3Yt-1+ut ( 1 4 - 3 9 )
其中?是一阶差分符号，在第 1 2章已经遇到过，其中 t是趋势变量，取值为 1,2等等 (在我们这个例子到 8 8 ),Yt-1为变量 Y的一期滞后值。 2
(2) 零假设为 Yt-1的系数 A3为零，这等价于时间序列是非平稳的。我们称这个假设为单元根假设。 3
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 299下载年份
1 详细的讨论参见 Damodar N,Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New Yo r k,1 9 9 5，
C h a p,2 1。
2 回归方程 ( 1 4 - 3 9 )也可以不包括截距和趋势变量，尽管通常都包括。
3 为了直观地说明为什么使用单元根这一术语，我们作如下说明,Yt=A1+A2t+C Yt-1+ut。现在在方程的两边同时减去 Yt-1得到( Yt-Yt-1) =A1+A2t + C Yt-1-Yt-1，也就是?Yt=A1+A2t + ( C-1 )Yt-1=A1+A2t+A3Yt-1，其中 A3=C-1。这样，如果 C等于 1，则回归方程 ( 1 4 - 3 9 )中的 A3将为零。这也就是单元根这一术语的由来。
(3) 为了检验 A3的估计值 a3为零，通常我们都会使用很熟悉的 t检验。但不幸的是，这里，
我们不能这么做，因为严格来说,t检验只有当时间序列是平稳的才有效。但是可以使用另一种检验方法,τ检验，它的临界值由这一方法的提出者根据蒙特卡罗模拟给出。在文献中,τ检验也被称作是 D i s k e y－ F u l l e r ( D F )检验。 1 若在应用中，估计得到的 A3的 值 (绝对值 )大于临界值的
D-F 值，将拒绝单元根假设，也就是说，我们判定该时间序列是稳定的。另一方面，若计算的
τ值 (绝对值 )小于临界的 τ值，则不能拒绝单元根假设。在这种情况下，该时间序列是非平稳的。
下面，我们将单元根检验用于表 1 4 - 5给出的 P C E和 P D I时间序列。与方程 ( 1 4 - 3 9 )相对应，
有：
P C Et=93.392+0.798 7t-0.044 5PCEt-1 ( 1 4 - 4 0 )
t( =τ)=(1.678) (1.360) (-1.376) R2=0.022 1
P D It=326.63+2.875 2t- 0,1 5 6 9 P D It-1 ( 1 4 - 4 1 )
t (=τ)=(2.755) (2.531) (-2.588) R2=0.075 7
我们现在关注的是滞后 P C E和 P D I的 τ值。 M a c K i n n o n计算得到在 1%,5%,1 0%显著水平下，
临界的 D F值分别为- 4,0 6 7，- 3.460 0和- 3.244 7。 2 滞后的 P C E和 P D I变量的 值 (绝对值 )比上述任何一个 值都小，由此得出结论,P C E和 P D I时间序列是非平稳的 (也就是说有一个单元根 )。
因此，方程 ( 1 4 - 3 5 )给出的 O L S回归结果可能是虚假的 (也即没有意义的 )。顺便指出：如果用通常的 t检验，则滞后 P D I的 t值是统计显著的。但是根据 τ检验 (当时间序列是非动态的 )，这一结论是错误的。
14.6.2 协整时间序列回归 ( 1 4 - 3 5 )可能是伪回归这一结论或许表明所有类似方程 ( 1 4 - 3 5 )的时间序列回归都是虚假的。如果事实的确如此，那么在作时间序列回归分析时要特别谨慎。但没有理由绝望。即使时间序列 P C E和 P D I不是平稳的，这两个变量之间仍然可能存在一种 (长期 )稳定的或均衡的关系。如果是这样的话，我们就说该时间序列是 协整的 ( c o i n t e g r a t i o n )。 3 但是，如何确定这一点呢？我们来看下面的例子。
从 P C E - P D I回归方程 ( 1 4 - 3 5 )中，得到残差,et：
et= P C Et+171.441 2-0.967 2PDIt ( 1 4 - 4 2 )
把 et看作一个时间序列，利用单元根检验 [参见方程 ( 1 4 - 3 9 ) ]，得到如下结果 (注意：在这一回归中无需引入截距和趋势变量 (为什么？ ) )
êt=－0.275 3et-1 ( 1 4 - 4 3 )
t( =τ) = (-3.779) r2=0.142 2
E n g l e和 G r a n g e e r计算的临界 τ值为- 2.589 9 (5%)，- 1.949 3(5%)和- 1.617 7(10%)。 4 从 ( 1 4 - 1 3 )得到的 τ的绝对值为 3,7 7 9，远超过这些临界的 τ值。由此得出结论：时间序列 et是平稳的。因而我们可以说，尽管时间序列 P C E和 P D I各自并不是平稳的，但它们的线性组合 [如方程 ( 1 4 - 4 2 )所示 ]却是平稳的。也就是说，这两个时间序列是协整的，换言之，这两个变量之间存在着长期
300部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 D,A,Dickey和 W,A,Fuller,,Distribution of Estimator for Autoregressive Time Series with a Unit Root,”
Journal of the American Statistical Association,v o l,7 4,June 1979,p,4 2 7 - 4 3 1。
2 J,G,MacKinnon,,Critical Values of Cointegration Te s t s,” in R,F,Engle,C,W,J,Granger,L o n g - R u n
Economic Relationships,Readings in Cointegration,,Oxford University Press,New Yo r k,1 9 9 1，
C h a p,1 3。现在，计算机软件包例如 E V I E W S，可以计算 值。
3 有关协整的文献非常多，也比较专深。我们这里的讨论只是起一个抛砖引玉的作用。
4 R.F.英格 (R,F,Engle)和 C,W,J,格朗 (C,W,J,Granger)，同前。
的或均衡的关系。这是一个令人欣慰的结果，因为它意味着回归结果 ( 1 4 - 3 5 )是真实的而不是虚假的。
总之，在处理时间序列数据时，我们必须确保要么每个时间序列是平稳的，要么它们是协整的。否则就可能陷入伪 (无意义的 )回归分析。
下面，我们考虑另一类非平稳时间序列 — 随机游走模型，已经证实：在金融、投资和国际贸易领域，随机游走模型非常有用。
14.6.3 随机游走模型金融时间序列，例如 S & P 5 0 0股票指数、道 -琼斯指数、外汇汇率等等通常被认为是服从
“随机游走”的，这主要是就这种意义而言的，即根据变量的今天的值并不能使我们预测这些变量的明日值。因此，知道今天股票的价格 (比方说是康柏计算机或者 I B M )，却很难知道明天它会是多少。也就是说，股票价格行为本质上是随机的 — 今天的价格等于昨天的价格加上一个随机冲击。 1
为了剖析一个随机游走模型，考虑如下简单模型：
Yt=Yt-1+ut ( 1 4 - 4 4 )
其中 ut是均值为零方差固定为 2的随机误差项，让我们假设我们在时间 0开始值为 Y0。现在我们可以写成：
Yt-1=Yt-2+ut-1 ( 1 4 - 4 5 )
利用递回关系 ( 1 4 - 4 4 )重复方程 ( 1 4 - 4 5 )所做，我们可以写成：
Yt=Y0+ ( 1 4 - 4 6 )
其中加总是从 t= 1到 t=T,T是观察总次数。现在可以很容易地核实
E (Yt) =Y0 ( 1 4 - 4 7 )
因为每个 ut的期望值都为零，而且也很容易核实
var ( Yt)=var (ut+ut-1+? +u) =T 2 ( 1 4 - 4 8 )
其中我们利用了这一事实，即 u是随机的，每个都有同样的方差 2。
正当方程 ( 1 4 - 4 8 )所示,Yt的方差不仅不是固定的，而且是随着 T的增加而不断地增加的。
因此，依据我们前面所给出的静态时间序列的定义，方程 ( 1 4 - 4 4 )中所给的 (随机游走 )变量 Yt是非静态时间序列 (这里，非静态是指在方差中 )。但是注意方程 ( 1 4 - 4 4 )中所给的模型的一个有意思的特征。如果你将它写成：
Yt= (Yt-Yt-1) =ut ( 1 4 - 4 9 )
如以前一样，其中?是操作数的一阶差分，我们看到,Y的一阶差分是静态的，因为 E
(?Yt) =E (ut) = 0并且有 var (?Yt) = v a r (ut) = 2。因此，如果方程 ( 1 4 - 4 4 )中的 Y表示，比方说是股票价格，则这些价格可能是非静态的，但是它们的一阶差分却纯粹是随机的。
我们可以将随机游走模型 ( 1 4 - 4 4 )调整为：
Yt=d+Yt-1+ut ( 1 4 - 5 0 )
其中 d为一常数。这就是带漂移项的 随机游走模型 (Random walk model with drift)或带常数项的随机游走模型,d为漂移参数。
留给读者证明：
E (Yt) =Y0+T d ( 1 4 - 5 1 )
u
t∑
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 301下载
1 随机游走经常与醉鬼游走相比较。在离开酒馆时，醉鬼在时间 t移动一个随机的距离 ut，如果他或者她无限地走下去，他或者她最终会离酒馆越来越远。
var ( Yt) =T 2 ( 1 4 - 5 2 )
也就是说，对于带漂移项的随机游走模型来说，均值和方差都随着时间不断增加。再一次，
我们又有了一个非平稳的随机变量 — 无论是均值还是方差都是非平稳的。如果 d是正的，从模型 ( 1 4 - 5 0 )中看到,Y的均值会随时间不断地增加。如果 d是负的，则 Y的均值会不断地减少。
在任何一种情形下,Y的方差都是随时间不断地增加。一个随机变量，如果它的均值和方差是与时间有关的，则我们说它服从 随机趋势 (stochastic trend)。这与我们在第 8章中所讨论的线性趋势模型是 [参见方程 ( 8 - 2 3 ) ]相对照的，在那里我们假设变量 Y服从 确定性趋势 ( d e t e r m i n i s t i c
t r e n d )。
如果用随机游走模型进行预测，我们获得如图 1 4 - 4所示的图形。图 1 4 - 4 a表明的是不带漂移项的随机游走模型，而图 1 4 - 4 a所示的是带漂移项的随机游走模型。我们能够看到，在图 1 4 - 4 a
中平均预测值在整个未来都保持着 YT时的水平，但是由于方差的增加，围绕均值的置信区间则在不断地加大。在图 1 4 - 4 b中，假设漂移项参数是正的，则平均预测值随时间是增加的。预测误差也在增加。
图 14-4 利用随机游走模型进行预测资料来源,Adapted from Robert S,Pindyck and Daniel L,Rubinfeld,Econometric Models and Economic
Forecasts 4th ed.,McGraw-Hill,New York,1998,pp,491-492.
总之，我们一直是想提醒读者在建立涉及时间序列数据的模型时需要谨慎。如果被解释变量 Y和解释变量 X是非平稳的，则较高的 R2和较高的 t值可能会使你误以为你已经找出了两者之间的一种有意思的关系。事实上，较高的 R2可能仅仅反映了这一事实，即两个变量拥有相同的趋势，因此它们之间没有任何真正的关系。这就是伪回归现象。根据 G r a n g e r和 N e w b o l d的理解，
302部分 第三部分 实践中的回归分析 下载置信区间置信区间
a)
b)
判断伪回归是的一个依据是：在涉及时间序列数据的回归中,R2值远大于杜宾 -瓦尔森 d值。因此，要注意这一点。
14.7 小结在这一章里，我们讨论了四个很有实践意义的专题。第一个专题是有限最小二乘法 ( R L S )。
如果经济理论表明回归模型的一个或者多个参数必须满足一个或者多个线性约束,R L S方法把这类约束直接加入到估计过程之中。我们将 R L S回归结果与 U L S回归结果 (或者说普通的 O L S回归结果 )相比较，包括比较有限回归和无限制回归的 R2值。在约束条件是有效的这一零假设下，
通过方程 ( 1 4 - 8 )说明了 F检验如何帮助我们决定是否拒绝零假设。若不拒绝零假设，则说明理论上所表明的约束条件是有效的；但若拒绝零假设,则说明理论上所表明的约束条件是无效的。
在这种情况下，我们可以使用无约束的或者标准的 O L S法。
我们讨论的第二个专题是动态建模，就是把时间或者滞后因素引入模型。在这类模型中，
被解释变量的当前值依赖于一个或者多个解释变量的滞后值。这种依赖可能是是由于心理、技术或者制度等等原因。通常称这类模型为分布滞后模型。尽管说，引入一个或者多个滞后解释变量并不违背标准的 C L R M假定，但是我们不提倡用 O L S方法来估计这类模型，原因在于多重共线性问题以及每增加一个估计系数就意味着失去一个自由度。因此，对这类模型的估计通常是通过给模型的参数附加一些约束条件 (例如滞后系数值从第一项起由前往后递减 )来实现。这就是夸克模型，适应性预期模型，部分或存量调整模型所采纳的方法。这些模型的一个显著特征是它们用一个被解释变量的滞后值代替了所有解释变量的滞后值。由于被解释变量滞后值在模型中是以解释变量的形式存在，因此，这类模型称为自回归模型。尽管自回归模型在估计分布滞后系数方面取得了成功，但它并不是没有任何统计问题的。特别地，我们必须小心误差项可能存在自相关，因为在存在自相关以及在应变量滞后值作为解释变量的情形下,O L S估计量是有偏的和不一致的。
在讨论动态模型时，我们指出了它们是如何帮助我们估计解释变量对被解释变量的短期和长期影响。
接下来我们讨论的了取值为 0,1的虚拟应变量。尽管这类模型可用 O L S法加以估计 (这种情况下，称作线性概率模型 )，但我们建议最好不用，因为这类模型估计得到的概率有时可能为负或大于 1。因此，通常用分对数模型或概率模型来估计。本章，我们通过几个具体的例子说明了分对数模型。许多优秀统计软件的出现，使得估计分对数模型和概率模型不再是一件神秘和令人生畏的工作。
我们所讨论的最后一个专题是伪回归现象 (无意义回归 )。当我们用一个或者多个非平稳随机变量来回归另一个非平稳随机会变量时，就产生了伪回归。一个时间序列被称作是 (弱 )稳定的，如果它在不同时滞里的均值、方差和协方差都与时间无关。为了确定一个时间序列是否为平稳的，我们可以使用单元根检验。如果单元根检验 (或者其他检验 )表明我们所关心的时间序列是平稳的，则根据这样的时间序列得到的回归结果就不是虚假的。
我们还引入了协整的概念。两个或者多个时间序列被称作是协整的，如果尽管单独来看两个时间序列是非平稳的、但它们之间却存在着稳定的、长期的关系。如果是这样的话，则根据这样的时间序列得到的回归结果就不是虚假的。
最后我们介绍了带或者不带漂移项的随机游走模型。许多金融时间序列都认为是服从随机游走的，也就是说，它们是非平稳的，这或者反映在它们的均值上，或者反映在它们的方差上，
或者两者都有所反映。具有这些特征的变量被称作是服从随机趋势。股票价格是随机游走的一第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 303下载个典型例子。知道今天的股票价格很难预知明天的股票价格。关于明天价格的最佳的猜测是今天的价格加上或者减去一个随机误差项 (或者通常所说的冲击 )。如果我们能够非常精确地预测明天的股票价格，那我们就都将成为百万富翁了。
习题
14.1 解释下列术语：
( a )有限最小二乘法 (RLS) (b) 动态模型 ( c )分布滞后模型 ( d )自回归模型
1 4,2 通常的情形是 R* 2≤ R2；也就是说，从 R L S中获得的 R2小于或者至多等于从 U L S中所获得的 R2。你能够对此提供一个直观的理由吗？
1 4,3 如果理论上所附加的限制事实上是无效的,R L S估计量将会比无限制的 O L S估计量更加有效率。你能够直观地解释这一点吗？
14.4 考虑模型：
模型 A,Yi=B1+B2Xi+ui
模型 B,Yi=A Xi+vi
(a) 两个模型之间的区别是什么？ (b) 你如何利用 R L S来确定在给定情形下哪个是恰当的模型？ (c) 假设模型 A是正确的模型但是你却估计了模型 B。这其中涉及哪种类型的设定偏差？你如何利用 R L S来诊断这一偏差？
14.5 考虑以下模型：
Yi=B1+B2X2i+B3X3i+B4X4i+B5X5i+ui
假设你想附加限制条件 B2= 0和 B4+B5= 1，你如何建立 R L S模型？你又如何检验这些限制的有效性？
1 4,6 被解释变量对于一个或者多个解释变量反应滞后的原因是什么？给出一些分布滞后模型的例子。
1 4,7 在一个分布滞后模型里继续地也就是说如果一个增加的滞后项的 t值在统计上是显著的就加入每一个后继变量。换言之，只要增加的滞后项的 t值根据 t检验在统计上是显著的，则继续加入一个滞后项，以此来确定滞后项的数量。这种策略有什么错误？
1 4,8,由于在分布滞后模型中的连续滞后项之间很有可能是共线性的，在这样的模型中我们不应该去担心任何个别滞后项系数的统计显著性，而应该考虑滞后系数加总作为一个整体的统计显著性,”就此论断作出评论。
1 4,9,尽管分对数模型和概率模型可能会优于 L P M模型，然而在实践中，正如‘简单优于复杂’,我们应该选择 L P M原因在于其简单性。,你同意吗？为什么？
14.10 判断正误：分对数的值越大，则特定事件发生的概率越大。
1 4,11 对应于回归 ( 1 4 - 3 )，以下是 1 9 5 8年到 1 9 7 2年期间台湾经济农业部门的回归结果：
l n =-3.338 4+1.498 8lnX2 1+0.489 9 lnX3i
t= (-1.362 9) (0.539 8) (0.102 0) R2=0.889 0
附加限制条件为,B2+B3= 1，也就是说，规模收益不变，可以得出如下回归：
t=(4.108 2) (6.570 2) R* 2=0.848 9
(a) 解释这两个回归。 (b) 给定上述回归结果，你能说在台湾农业部门中是否存在着固定规模收益吗？给出计算步骤。 (c) 农业部门的结果与课文中所给的制造业部门的结果有何
ln
Y
t
X
2t
=1.7086+0.613 0ln
X
3t
X
2t
Y
t
304部分 第三部分 实践中的回归分析 下载不同？
1 4,1 2 表 1 4 - 6给出了 1 9 7 0年到 1 9 8 7年期间美国的个人消费支出 ( P C E )和个人可支配收入
( P D I )数据，所有数字的单位都是 1 0亿美元 ( 1 9 8 2年的美元价 )。
表 1 4 - 6
年份 P C E P D I 年份 P C E P D I 年份 P C E P D I
1 9 7 0 149 2.0 166 8.1 1 9 7 6 180 3.9 200 1.0 1 9 8 2 205 0.7 226 1.5
1 9 7 1 153 8.8 172 8.4 1 9 7 7 188 3.8 206 6.6 1 9 8 3 214 6.0 233 1.9
1 9 7 2 162 1.9 179 7.4 1 9 7 8 196 1.0 216 7.4 1 9 8 4 224 9.3 246 9.8
1 9 7 3 168 9.6 191 6.3 1 9 7 9 200 4.4 221 2.6 1 9 8 5 235 4.8 254 2.8
1 9 7 4 167 4.0 189 6.6 1 9 8 0 200 0.4 221 4.3 1 9 8 6 245 5.2 264 0.9
1 9 7 5 171 1.9 193 1.7 1 9 8 1 204 2.2 224 8.6 1 9 8 7 252 1.0 268 6.3
数据来源：,总统经济报告,1 9 8 9》,P C E从第 3 2 5页的表 B - 1 5中而来,P D I则从第 3 3 9页的表 B - 2 7
中来。
估计下列模型：
P C Et=A1+A2P D It+ut
P C Et=B1+B2P D It+B3P C Et-1+vt
(a) 解释这两个回归模型的结果。
(b) 短期和长期边际消费倾向 ( M P C )是多少？
14.13 利用题 1 4,1 2中的数据，考虑以下模型：
l n P C Et=A1+A2l n P D It+ut
l n P C Et=B1+B2l n P D It+B3l n P C Et-1+vt
其中 l n =自然对数。
(a) 阐述这些回归。
(b) PCE对于 P D I的短期和长期弹性是多少？
1 4,1 4 为了估量设备利用对于通货膨胀的影响，托马斯 A,吉廷斯 1 根据 1 9 7 1年到 1 9 8 8年的美国数据获得如下回归：
=-30.12+0.140 8Xt+0.236 0Xt-1
t= (-6.27) (2.60) (4.26) R2= 0,7 2 7
其中,Y= G N P隐含折算数,%(通货膨胀率的一种测度 )
Xt=制造业设备利用率,%
Xt-1=滞后一年的设备利用率
(a) 阐述上述回归。先验地，为什么在通货膨胀和设备利用之间存在着正相关。 (b) 设备利用对于通货膨胀的短期影响是多少？长期影响又是多少？ (c) 每个斜率系数是统计显著的吗？ (d) 你是否会拒绝零假设：两个斜率系数同时为零？你将利用何种检验？ (e) 如果有数据进行如下回归分析
Yt=B1+B2Xt+B3Yt-1+ut
你如何找出设备利用对于通货膨胀的短期和长期影响？你能够将这一模型的结果与吉廷斯所给出的结果作一比较吗？
14.15 表 1 4 - 7给出了喷射不同浓度的洛特纳 ( r o t e n o n e，一种农药 )对于 5 0批菊花蚜虫的影
Y
t
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 305下载
1 Thomas A,Gittings,,Capacity Utilization and Inflation”,Economic Perspectives,Federal Reserve Bank
of Chicago,May/June 1989,p,2 - 9。
响的数据。
表 1 4 - 7
浓度 (毫克／升 ) 总数 死亡
X l o g (X) Ni ni
2,6 0.415 0 5 0 6 0,1 2 0
3,8 0.579 7 4 8 1 6 0,3 3 3
5,1 0.707 6 4 6 2 4 0,5 2 2
7,7 0.886 5 4 9 4 2 0,8 5 7
1 0,2 1.008 6 5 0 4 4 0,8 8 0
注：对数是普通对数，即以 1 0为底的对数。
数据来源,D,J,Finney,P robit Analysis,Cambridge University,L o n d o n,1 9 6 4。
建立一个合适的模型表示死亡率对 log X 的函数，并对结果作评论。
1 4,1 6 考虑如下模型，这一模型也被称作是逻辑斯蒂 (概率 )分布，其中 Pi是拥有一套住房的概率,Xi为收入。
其中 e x p { }表示 e的 { }次幂。通过简单的代数变换，我们可以得到：
这就是课文中所讨论过的分对数模型。这一名称来自于上述逻辑斯蒂分布。
14.17 根据表 1 4 - 2中所给的数据和回归 ( 1 4 - 2 6 )，计算每个学生获得 A的概率。
14.18 从回归 ( 1 4 - 3 3 )中，计算表 1 4 - 3中每个收入水平上拥有住房的概率。
1 4,1 9 根据一个 2 0对夫妇的样本，巴巴拉·邦德·杰克逊 (Barbara Bund Jackson) 1获得了如下回归：
=0.945 6+0.363 8收入- 1,1 0 7保姆
(注：作者并没有给出标准差。 )
其中，
P=利用餐馆的概率，＝ 1，如果去餐馆就餐的话，否则等于 0。
收入＝以千美元计算的收入保姆＝ 1，如果雇用了保姆的话，否则等于 0
在 2 0对夫妇中，有 11对夫妇经常去餐馆就餐,6对经常雇用保姆。收入范围从低的 17 000
美元到高的 44 000美元。
(a) 解释上述分对数回归。 (b) 求收入为 44 000的夫妇需要保姆的分对数值。 ( c )对于同样的夫妇，求出他们去餐馆就餐的概率。
14.20 参考表 1 4 - 5中所给的数据。
(a) 画出利润和红利的散点图，并直观地检验一下这两个时间序列是否是稳定的。 ( b )
应用单元根检验分别检验这两个时间序列是否是平稳的。 (c) 如果利润和红利时间序列并不是平稳的，而如果你以利润来回归红利，那么回归的结果会是虚假的吗？为什么？你是如何判定的？说明必要的计算。 (d) 取这两个时间序列的一阶差分并确定这个一阶差分时间序列是
ln
P
i
1? P
i
ln
P
i
1? P
i
= B
1
+ B
2
X
i
P
i
=
1
1+ exp{?B
1
B
2
X
i
}
p
i
=
n
i
N
i
306部分 第三部分 实践中的回归分析 下载
1 参见 Barbara Bund Jackson,Multivariate Data Analysis,An Introduction,I r w i n,1 9 8 3,p,9 2。
否是平稳的。
14.21 蒙特卡罗试验。考虑以下随机游走模型：
Yt=Yt-1+ut
假设 Y0= 0并且 ut是独立的正态分布，其均值为 0，方差为 9。产生 1 0 0个 ut值，并利用这些值产生 1 0 0个 Yt值。对所获得的 Y值作散点图。根据散点图你得出什么结论？
14.22 蒙特卡罗试验。现在假设有以下模型：
Yt= 4 +Yt-1+ut
其中 Y0= 0，并且 ut与题 1 4,2 1中所述的 ut是一样的。重复题 1 4,2 1中的过程。这一试验与前一试验有何区别？
第 14章 单方程模型：几个补充专题 介绍 307下载下载本书前三部分主要讨论了单方程回归模型，这些模型在经济和商业领域的实际工作中得到广泛的运用。我们知道，在单方程模型中，一个变量
(应变量 Y)可以表示为一个或多个变量 (解释变量,X)的线性函数。在这类模型中的一个暗含假定是，如果 Y与 X之间存在因果关系，则这种关系是单向的，即解释变量是原因，被解释变量 (应变量 )是结果。
但是，有些时候经济变量之间的影响却是双向的。也就是说，一个经济变量影响另一个经济变量 (或多个变量 )，反过来，又受其他经济变量的影响。例如，在货币 (M)对利率 (r)的单方程回归模型中，暗含地假定了在利率固定不变的条件下 (由联邦储备系统规定 )，不同利率水平下的货币需求量的变化。但是，如果利率依赖于货币的需求量，情况又会怎样呢？在这种情况下，条件回归分析就不适用了，因为现在 M依赖于 r，而 r也依赖于 M。这就需要我们考虑 联立方程模型 (simultaneous equation models)—
模型中包含不止一个的回归方程，也即变量之间的影响是相互的。
在第四部分中，我们简单介绍了联立方程模型的基本知识，有关联立方程模型更详细的讨论可参阅本书最后列出的部分参考文献。
第 1 5章我们首先讨论了联立的含义并指出为什么在前面章节中广泛使用的最小二乘法在估计联立方程模型的参数是不适用的。我们还介绍了估计联立方程模型参数的两种不同方法：间接最小二乘法 ( I L S )和两阶段最小二乘法 ( 2 S L S )，并分别指出了这两种方法的优缺点。
本章我们还讨论了模型识别问题。这个问题的难点在于：在一个联立方程模型中，有两个或更多个方程看似相同以致于我们无法辨别哪一个是我们想要估计的。比如，在包括供给方程和需求方程的模型中，如果我们仅有商品价格及其需求量的数据，则很难辨别哪一个是需求函数，哪一个是供给函数。为了确认，我们需要一些额外的信息。本章我们将利用阶条件来辨别模型是否是可识别的。
本章我们仍将用一些数字例子和具体的经济实例来说明在本章出现的一些基本概念和技术方法。
第四部分联立方程模型简介下载到目前为止，我们所遇到的模型都是单方程模型，即一个应变量 Ｙ 是一个或多个解释量 X
的函数。相关的经济理论决定了为什么把 Ｙ 看做应变量，而把 X看做解释变量。换句话说，在单方程回归模型中，由 X导致了 Ｙ (如果这种因果关系存在的话 )。例如 7,4节的抵抻贷款一例，
经济理论表明了收入和抵押成本决定了对抵押贷款的需求。
但是，有些情况 Ｙ 与 X之间并不能维持这种单向关系。很可能 X不但影响 Y，而且 Y也影响 X。
如果这样的话,Ｙ 与 X之间就存在着 双向关系 ( b i l a t e r a l )或 反馈关系 ( f e e d b a c k )。显然，在这种情况下，单方程模型就无法准确地描述这种双向关系 (也即会导致结果有偏差 )。因此，我们需要多个回归方程。包括多个方程，并且变量之间存在反馈关系的回归模型称为联立方程回归模型。本章主要讨论联立方程模型的基本性质。对于联立方程更详细的讨论，读者可参阅有关参考书。 1
图 15-1 价格和需求量的相互影响第 15 章
■ 联立方程模型
1 参见,Damodar N.Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New York,1995,Chaps,18-20。
需求量需求量需求量第 15章 联立方程模型 介绍 311
15.1 联立方程模型的性质我们用几个具体的经济实例来说明联立方程模型的概念。
例 15.1 凯恩斯收入决定模型初学经济学的同学都会接触到简单的凯恩斯收入决定模型。按照标准宏观经济学教科书的规定，用 C表示消费 (支出 ),Y表示收入,I表示投资 (支出 ),S表示储蓄。简单凯恩斯收入决定模型包括以下两个方程：
消费函数,Ct=B1+B2Yt+ut ( 1 5 - 1 )
收入恒等式,Yt=Ct+It ( 1 5 - 2 )
其中,t是时间下标,u是随机误差项，并且,It=St。
简单的凯恩斯模型假定一个封闭的经济 (即没有对外贸易 )，而且没有政府的支出。 [回顾一下：通常的收入恒等式写为,Yt=Ct+It+Gt+N Xt，其中,Gt表示政府支出，
N Xt表示净出口 (出口 -进口 ) ]。模型还假定了投资支出是由外生决定的，比如说民间投资。
消费函数表明消费支出与收入线性相关；函数中加入随机误差项反映出在经验分析中，两者之间的一种近似关系。国民收入恒等式表明总收入等于消费支出与投资支出之和，而后者又等于储蓄。我们知道，消费函数中的斜率 B2代表了边际消费倾向 ( M P C )，即由额外一美元收入导致的额外消费支出的数量。凯恩斯假定 M P C为正且小于 1，这个假设是合理的，因为人们可能会将增加的收入部分地用于储蓄。
现在我们就能够看出消费支出与收入之间的反馈或联立关系。根据式 ( 1 5 - 1 )可知，收入影响消费支出，但根据式 ( 1 5 - 2 )，消费又是收入的组成部分。因此，消费和收入是相互影响的。
我们分析的目的是想知道消费和收入是如何同时决定的。因而，消费和收入是联合相关变量。
用联立方程建模的语言，称联合相关变量为 内生变量 ( e n d o g e n o u s )。在简单凯恩斯模型中，投资 I不是内生变量，因为其值是独立决定的，所以称之为 外生变量( e x o g e n o u s)或 预定变量
( p r e d e t e r m i n e d )。在更复杂的凯恩斯模型中，投资也可成为内生变量。
总之，内生变量是“被研究系统的内在组成部分，并且是在系统内决定的” 。换句话说，
“内生变量是由因果系统内其他变量所产生的变量” 。外生变量是“系统外决定的变量，外生变量不受因果系统的影响。,1
方程 ( 1 5 - 1 ),( 1 5 - 2 )表示了一个包含两个内生变量 C和 Y的双方程模型。如果有更多个内生变量，那么将有更多个方程，也即有多少个内生变量就有多少个方程。系统中有些方程是 结构
( s t r u c t u r a l )方程 或 行为 ( b e h a v l o r a l )方程,有些则是 恒等式 ( i d e n t i t y )。在简单的凯恩斯模型中，
方程 ( 1 5 - 1 )就是结构方程或行为方程，因为它描述了经济中某一部分的结构或行为 (这里是消费部分 )。结构方程中的系数 (或参数 )，例如 B1,B2，称为 结构系数 (structural coeff i c i e n t s )。方程
( 1 5 - 2 )是一个收入恒等式 (定义式 )：总收入等于总消费加上总投资。
例 15.2 需求和供给模型学过经济学的同学都知道，商品的价格 P与需求量 Q是由需求曲线和价格曲线的交点决定的。这里我们简单地假定需求曲线和供给曲线为直线 (即需求量、供给
1 W.Paul Vogt,D i c t i o n a ry of Statistics and Methodology,A Nontechnical Guide for th Social Sciences,S a g e
Publications,California,1993,pp.81,85。
下载
(续 )
量分别与价格线性相关 )，加上随机项 u1,u2，得到下面的需求和供给函数：
需求函数,( 1 5 - 3 )
供给函数,( 1 5 - 4 )
均衡条件,( 1 5 - 5 )
其中,Qd表示需求量,Qs表示供给量,t表示时间。
根据经济理论，预期 A2为负 (向下倾斜的需求曲线 ),B2为正 (向上倾斜的供给曲线 )。方程 ( 1 5 - 3 ),( 1 5 - 4 )都是结构方程，前者描述了消费者行为，后者描述了供给者行为。 A,B是结构系数。
现在就不难理解为什么价格 P和需求量 Q之间存在联立或双向关系了。举个例子，
由于影响需求的其他变量发生变化 (例如收入、财富和偏好 ),从而使得 u1t [式 ( 1 5 - 3 ) ]发生变化，如果 u1t 为正，则需求曲线向上移动，如果 u1t 为负，则需求曲线向下移动。图
1 5 - 1表明，需求曲线的移动将导致需求量和价格发生变化。类似地,u2t (由于罢工、
天气、飓风 )的变化将使供给曲线移动，因而又会影响到价格和需求量。因此，这两个变量之间的关系是双向的；因而，价格和需求变量即是联合相关变量或内生变量。
这就是我们所说的联立问题。
15.2 联立方程的偏误：普通最小二乘估计量的不一致性为什么存在联立问题呢？我们还是回到例 1 5,1的简单凯恩斯收入决定模型。假设暂时忽略消费支出和收入之间的联立性，通过普通最小二乘法仅仅估计消费函数，利用式 ( 5 - 1 7 )，得到：
( 1 5 - 6 )
在第 6章我们讨论过，如果满足古典线性回归模型的基本假定，那么利用普通最小二乘法得到的估计量是最优线性无偏估计量 ( B L U E )。 1 式 ( 1 5 - 6 )中的 b2是真实的边际消费倾向 B2的最优线性无偏估计量吗？可以证明：一般地，当存在联立问题时，普通最小二乘估计量不是最优线性无偏估计量。在我们这个例子中,b2就不是 B2的最优线性无偏估计量。而且,b2是 B2的有偏估计量；平均而言，它高估或低估了真实的 B2。详细的证明参见附录 1 5 A。不过从直观上很容易看出为什么 b2不是最优线性无偏估计量。
在第 6章中我们讨论过古典线性回归模型的假定之一：随机误差项 u与解释变量不相关。因而，如果我们要用普通最小二乘法估计消费函数 ( 1 5 - 1 )中的各个参数，则要求在凯恩斯消费函数中,Y(收入 )与误差项 ut不相关。但在这里却不是的：
Yt=Ct+It ( 1 5 - 2 )
= (B0+B1Yt+ut) +I ( 1 5 - 1 )式的 Ct带入
=B0+B1Yt+ut+It
把 B1Yt项移到等式左边，合并同类项，整理得：
Yt= ( 1 5 - 7 )B0
1? B
1
+
1
1? B
1
I
t
+
1
1? B
1
t
b
2
=
(C
t
C )∑ (Y
t
Y )
(Y
t
Y )∑
2
Q
t
d
= Q
t
s
Q
t
s
= B
1
+ B
2
P
t
+
2t
Q
t
d
= A
1
+ A
2
P
t
+
t
312部分 第四部分 联立方程模型简介 下载
1 这是 6,3节中讨论的高斯-马尔柯夫定理的核心。该定理提供了使用最小二乘法的理论依据。
第 15章 联立方程模型 介绍 313
注意观察这个等式，你会发现一条用趣的性质：国民收入 Y不但取决于投资 I，而且还取决于随机误差项 u！我们知道随机误差项 u代表了未明确包括在模型之中的各影响因素。假定消费者信心
(用密芝安大学建立的消费者信心指数度量 )是其中的一个影响因素。若消费者由于股票市场的繁荣 (比如美国 1996年,1997年 )而对经济持乐观态度，则消费者将增加消费支出，根据收入恒等式，
它将影响到收入 Y。根据消费函数，收入的增加又导致新一轮消费的增加，如此继续。这个过程的最终结果是什么呢？熟悉宏观经济学的学生将会认识到，最终结果取决于乘数 的大小。
举个例子，如果 MPC (B2)是 0.8(也就是说，每增加一美元将有 80美分用于消费 )，则乘数为 5。
这里有一点需要指出：在式 ( 1 5 - 1 )中,Y与 u是相关的，因此，我们不能用普通最小二乘法估计消费函数中的参数。如果我们坚持要用，那么估计量将是有偏的，而且甚至是不一致的
(证明见附录 1 5 A )。一般地，若估计量即使随着样本容量的无限增大，也不接近真实的参数值，
那么就称这个估计量是 非一致估计量 (inconsistent estimator)。总而言之，由于 Y与 u相关，估计量 b2是有偏的 (对小样本 )和不一致的 (对大样本 )。这正是对联立方程模型使用最小二乘法失效的原因。显然，我们需要探究新的估计方法。我们将在下一节中讨论。如果回归方程中解释变量与该方程中的随机误差项相关，那么这个解释变量也就变成了一个随机变量。在前面考虑的大部分回归模型中，我们或者假设解释变量取固定值，或者 (如果解释变量是随机变量 )假设解释变量与随机误差项不相关。在本例中，却不是这两种情况。
在继续新的内容之前，注意方程 ( 1 5 - 7 )的一条有趣性质：收入是外生变量投资 I和随机项 u
的函数。像这样把内生变量表示为外生变量和随机项的方程称为 简化方程 (reduced form
e q u a t i o n )。随后我们将会看到这种简化方程的作用。
如果将方程 ( 1 5 - 7 )带入消费函数 ( 1 5 - 1 )，我们得到了简化形式的消费函数方程：
( 1 5 - 8 )
方程 ( 1 5 - 8 )表明：内生变量 C仅仅是外生变量 I和随机项 u的函数。
15.3 间接最小二乘法从上面的讨论中可以看出，由于 Y与 u相关，我们不能用普通最小二乘法来估计消费函数中的参数 B1,B2。那么，还有其他的方法吗？观察方程 ( 1 5 - 8 )，为什么不用普通最小二乘法仅仅作 C对 I的回归呢？的确可以，因为我们假定 I是外生决定的，与 u不相关；这与原始的消费函数
( 1 5 - 1 )不同。
但是，怎样通过回归方程 ( 1 5 - 8 )来估计原始消费函数 ( 1 5 - 1 )中的参数呢？这正是我们所关注的问题。其实很简单，我们将方程 ( 1 5 - 8 )重写为：
Ct=A1+A2It+vt ( 1 5 - 9 )
其中,A1=B1/ ( 1-B2),A2=B2/ ( 1-B2),vt=ut/ ( 1-B2)。
与 u一样,v也是随机误差项。 A1,A2称为简化系数，因为它们是简化模型中的参数。不难发现，
简化系数是原始消费函数结构系数的(非线性)组合。
根据上面给出的 A,B系数之间的关系，很容易验证：
( 1 5 - 1 0 )
( 1 5 - 11 )B
2
=
A
2
1+ A
2
B
1
=
A
1
1 + A
2
C
t
=
B
1
1? B
2
+
B
2
1? B
2
I
t
+
1
1? B
2
t
1
1? B
2
下载因此，一旦估计出 A1,A2，就很容易“推导出” B1和 B2。
这种估计消费函数 ( 1 5 - 1 )参数的方法称为间接最小二乘法 ( I L S )，因为我们首先用普通最小二乘法估计出简化回归方程 ( 1 5 - 9 )，然后间接地求出原始参数的估计值。间接最小二乘估计量有什么统计性质呢？间接最小二乘估计量是一致估计量，也就是说，随着样本容量的无限增大，
间接最小二乘估计量收敛于真实总体值。但是，对于小样本或有限个样本，间接最小二乘估计量可能是有偏的。与间接最小二乘估计量相比，普通最小二乘估计量是有偏的和非一致的。 1
15.4 实例我们通过一个具体实例说明间接最小二乘法的运用。 表 1 5 - 1提供了美国 1 9 6 0? 1 9 9 4年消费、
收入和投资的数据。以 1 9 9 2年美元价计算 (也即，以 1 9 9 2年美元购买力为基准 )，单位为亿美元。
需要指出的是，为了与凯恩斯的收入决定模型保持一致，收入的数据可简单地看作是消费和投资支出之和。
按照上面讨论的间接最小二乘法，我们首先估计出简化的回归方程 ( 1 5 - 8 )。利用表 1 5 - 1提供的数据，得到下面的回归结果；我们用标准形式给出回归结果 [形如式 ( 6 - 4 8 ) ]：
=191.810 8+4.464 07It ( 1 5 - 1 2 )
se=(130.033 0) (0.207 1) r2=0.933 6
t=(1.475 0) (21.553 1)
表 15-1 美国的收入、消费和投资年份 收 入 个人消费 国内私人总投资
1 9 6 0 170 3.100 143 2.600 270.500 0
1 9 6 1 172 6.700 146 1.500 265.200 0
1 9 6 2 183 2.300 153 3.800 298.500 0
1 9 6 3 191 4.700 159 6.600 318.100 0
1 9 6 4 203 6.900 169 2.300 344.600 0
1 9 6 5 219 1.600 179 9.100 392.500 0
1 9 6 6 232 5.500 190 2.000 423.500 0
1 9 6 7 236 5.500 195 8.600 406.900 0
1 9 6 8 250 0.000 207 0.200 429.800 0
1 9 6 9 260 1.900 214 7.500 454.400 0
1 9 7 0 261 7.300 219 7.800 419.500 0
1 9 7 1 274 6.900 227 9.500 467.400 0
1 9 7 2 293 8.000 241 5.900 522.100 0
1 9 7 3 3 11 6.100 253 2.600 583.500 0
1 9 7 4 305 9.100 251 4.700 544.400 0
1 9 7 5 301 0.500 257 0.000 440.500 0
1 9 7 6 325 0.900 271 4.300 536.600 0
1 9 7 7 345 6.900 282 9.800 627.100 0
1 9 7 8 363 7.600 295 1.600 686.000 0
1 9 7 9 372 4.700 302 0.200 704.500 0
1 9 8 0 363 5.900 300 9.700 626.200 0
1 9 8 1 373 6.100 304 6.400 689.700 0
1 9 8 2 367 1.900 308 1.500 590.400 0
1 9 8 3 388 8.400 324 0.600 647.800 0
)
C
t
314部分 第四部分 联立方程模型简介 下载
1 详细证明可查阅 Damodar N.Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New York,1995,Chap.18.
第 15章 联立方程模型 介绍 315
(续 )
年份 收 入 个人消费 国内私人总投资
1 9 8 4 423 9.200 340 7.600 831.600 0
1 9 8 5 439 5.700 356 6.500 829.200 0
1 9 8 6 452 2.500 370 8.700 813.800 0
1 9 8 7 464 2.800 382 2.300 820.500 0
1 9 8 8 479 8.700 397 2.700 826.000 0
1 9 8 9 492 6.500 406 4.600 861.900 0
1 9 9 0 494 9.500 413 2.200 817.300 0
1 9 9 1 484 3.100 410 5.800 737.300 0
1 9 9 2 501 0.200 421 9.800 790.400 0
1 9 9 3 519 7.000 433 9.700 857.300 0
1 9 9 4 545 0.700 447 1.100 979.600 0
资料来源：,总统经济报告》,1 9 9 6，表 B - 2，第 2 8 2页。
注：收入 =消费支出 +国内私人总投资。所有数据均以 1 9 9 2年美元不变价计算，单位是亿美元。
因而，简化方程 ( 1 5 - 8 )中的系数 A1,A2的估计值分别为 a1=191.810 8,a2=4.464 0。现在，我们根据式 ( 1 5 - 1 0 ),( 1 5 - 11 )求得消费函数 ( 1 5 - 1 )中的参数 B1,B2的估计值为：
( 1 5 - 1 3 )
( 1 5 - 1 4 )
这就是消费函数中参数的间接最小二乘估计值。估计的消费函数为：
=35.104 4+0.816 9Yt ( 1 5 - 1 5 )
因此，估计的 M P C约为 0,8 2。
为了比较，我们给出用普通最小二乘法估计得到的回归结果，即直接作 C对 Y的回归：
=6.541 5+0.825 2Yt ( 1 5 - 1 6 )
se=(23.980 2)(0.006 6) r2= 0,9 9 7
t = (0.272 7) (124.603 1)
观察消费函数中的间接最小二乘估计值与普通最小二乘估计值的差别。虽然边际消费倾向没有明显的差别，但是截距却相差很大。究竟哪个结果为真呢？我们知道，在此例中，由于联立问题的存在，用普通最小二乘法得到的结果不仅是有偏的，而且还是不一致的。 1
看来我们总能够用间接最小二乘法估计联立方程模型中的参数。问题是能否从简化形式的估计值得到原始的结构参数：有些时候可以，有些时候却不能。答案在于模型是否可识别。下一节我们将讨论这一问题，在随后的章节中我们还将介绍估计联立方程模型参数的其他方法。
15.5 模型识别问题我们回到例 1 5,2的需求和供给模型一例中。假定我们仅仅根据价格 P和需求量 Q的数据估计需求函数，作 Q对 P的回归。我们如何知道这个回归确实估计了需求函数呢？你或许会说，
)
C
t
)
C
t
b
2
=
a
2
1+a
2
=
4.4640
1+ 4.464 0
= 0.816 9
b
1
=
a
1
1+a
2
=
191.8108
1+ 4.4640
=35.104 4
下载
1 注意：我们已经给出了 O L S回归方程 ( 1 5 - 1 6 )的标准差和 t值，但未给出 I L S的标准差和 t值。这是因为，
后者的系数 [根据式 ( 1 5 - 1 3 ),( 1 5 - 1 4 )得到 ]是 a1和 a2的非线性函数，没有一个简单的方法求非线性函数的标准差。
如果估计的斜率为负，它就是需求函数，因为价格和需求量之间呈反向变动关系。但是，如果斜率为正，又会怎样呢？你是否会说它是供给函数呢？因为价格和需求量之间是正向关系。
你会发现在需求量对价格的简单回归中的一个潜在问题：给定一组 Pt和 Qt，表示了供给曲线和需求曲线的交点，因为均衡条件是供给等于需求。为了更清楚地看到这一点，我们可以看图 1 5 - 2。图 1 5 - 2 ( a )给出了 P,Q的散点图。每一个点都表示了需求曲线和供给曲线的交点，见图
( b )。现在我们考虑单独的一个点，见图 ( c )。在通过该点的一簇曲线中，我们如何确定哪一条是需求曲线，哪一条是供给曲线？显然，需要知道额外的一些关于需求曲线和供给曲线特性的信息。例如，如果由于收入、偏好等因素导致需求曲线的移动，但供给曲线保持相对稳定，见图
1 5 - 2 ( d )，这些散点就描绘出了供给曲线。在此情况下，我们说供给曲线是可识别的。也就是说，
我们能够惟一地估计出供给曲线的参数。同样地，如果由于天气或其他外生因素导致供给曲线发生移动，但是需求曲线保持相对稳定，见图 1 5 - 2 ( e )，这些散点就描绘了需求曲线。在此情况，
我们说需求曲线是可识别的；也就是说，我们能够惟一地估计出需求曲线的参数。
因此，识别问题就成为我们能否惟一地估计出某一方程 (或是需求或供给函数 )的参数。如果能够惟一地估计出参数，那么就称该方程是 恰度识别的 (exactly identified)。如果我们不能估计出参数，我们就称该模型是 不可识别的 (unidentified,or underindentified)。有时，方程中的一个或几个参数有若干个估计值，我们就称该方程是 过度识别的 ( o v e r i d e n t i f i e d )。下面我们详细讨论每种情况。
图 15-2 供需函数与识别问题
15.5.1 不可识别我们再来看例 1 5 - 2。根据均衡条件，供给等于需求，我们得到：
A1+A2Pt+ult=B1+B2Pt+u2t ( 1 5 - 1 7 )
316部分 第四部分 联立方程模型简介 下载需求量需求量需求量 需求量需求量
a) b) c)
d) e)
第 15章 联立方程模型 介绍 317
求解方程 ( 1 5 - 1 7 )，我们得到均衡价格
( 1 5 - 1 8 )
其中，
( 1 5 - 1 9 )
( 1 5 - 2 0 )
其中,v1是随机误差项，它是 us的线性组合。符号 读作,p a i”,这里是用来表示简化形式的回归系数。
将式 ( 1 5 - 1 8 )中的 Pt代到例 1 5,2中的需求或供给方程，我们得到均衡需求量：
( 1 5 - 2 1 )
其中,( 1 5 - 2 2 )
( 1 5 - 2 3 )
其中,v2也是随机误差项。
方程 ( 1 5 - 1 9 )和 ( 1 5 - 2 1 )是简化形式的回归方程。现在需求和供给模型有四个结构参数
A1,A2,B1和 B2，但是没有惟一的方法根据,来估计这两个简化方程中的参数。根据代数知识我们知道，估计四个未知数必须有四个 (独立的 )方程。与此同时，如果求解简化方程
( 1 5 - 1 9 )和 ( 1 5 - 2 1 )，我们会发现没有解释变量，只有常量,这些常量仅仅给出了价格和需求量的平均值 (为什么？ )，通过这两个平均值我们根本无法求出四个结构参数。简言之，需求和供给函数都是不可识别的。
15.5.2 恰度识别前面讨论了用间接最小二乘法估计凯恩斯消费函数的情况,根据简化形式的回归方程 (15-12)，
我们可以获得消费函数参数的惟一值 [参见式 ( 1 5 - 3 ),( 1 5 - 4 ) ]。
为了进一步说明恰度识别，我们仍以需求和供给模型为例，但是现在我们对模型做如下修正：
需求函数,( 1 5 - 2 4 )
供给函数,( 1 5 - 2 5 )
其中，增加的变量 X定义为消费者的收入。因而，需求函数表明，需求量是价格和消费者收入的函数；需求理论一般将价格和收入作为决定需求量的两个主要决定因素。把收入变量包括进模型中将会对消费者行为提供额外的信息。这里假定了消费者收入是内生决定的。
根据市场出清机制，需求量 =供给量，得到：
A1+A2Pt+A3Xt+u1t=B1+B2Pt+u2t ( 1 5 - 2 6 )
求解式 ( 1 5 - 2 6 )得到均衡的 Pt值如下：
( 1 5 - 2 7 )
简化形式的系数为：
( 1 5 - 2 8 )
1∏ =
B
1
A
1
A
2
B
2
P
t
=
1∏ + 2∏ Xt
+ v
1t
Q
t
d
= B
1
+ B
2
P
t
+
2t
Q
t
d
= A
1
+ A
2
P
t
+ A
3
X
t
+
1t
'∏
2∏1∏
v
2t
=
A
2 2t
B
2 1t
A
2
B
2
2∏ =
A
2
B
1
A
1
B
2
A
2
B
2
Q
t
=
2∏ + 2t
∏
v
1t
=
2t
lt
A
2
B
2
1
=
B
1
A
1
A
2
B
2
∏
P
t
=
1
+v
1t∏
下载
( 1 5 - 2 9 )
( 1 5 - 3 0 )
将均衡的 Pt值代入上述的需求和供给函数，我们得到市场出清或均衡的需求量：
( 1 5 - 3 1 )
其中，
( 1 5 - 3 2 )
( 1 5 - 3 3 )
( 1 5 - 3 4 )
由于式 ( 1 5 - 2 7 ),( 1 5 - 3 1 )都是简化形式的回归方程，因此，用普通最小二乘法可以估计它们的参数。问题是我们能否从简化形式系数中惟一地估计出结构方程中的参数呢？
观察需求和供给模型 ( 1 5 - 2 4 ),( 1 5 - 2 5 )，共包括五个结构参数,A1,A2,A3,B1和 B2。但是我们仅有四个方程，即四个简化形式的系数 (四个 )。因此，我们无法求得所有五个结构系数的惟一值。但哪一个系数值可以惟一确定呢？读者可以验证，供给函数的参数能够惟一确定：
( 1 5 - 3 5 )
( 1 5 - 3 6 )
因此，供给函数是恰度识别的。但需求函数却是不可识别的，因为我们无法估计其参数 — 系数 A。
一个有趣的事实是：正是由于需求函数中这个增加的变量才使得我们能够识别供给函数。
为什么呢？把收入变量包括进需求函数为我们提供了一些关于函数变动的额外信息，参见图
1 5 - 2 ( d )。该图表明，稳定的供给曲线与移动的需求曲线的交点是如何使我们能够识别供给曲线的。
怎样使需求函数可识别呢？假定我们把滞后一期的价格 Pt-1作为增加变量进入到供给函数
( 1 5 - 2 5 )之中。也就是说供给不仅依赖于当期价格，而且还依赖于上期价格。对许多农产品而言，
这完全是不合理的假定。由于在 t期，已经知道 Pt-1的值，我们可把它看作是外生变量或预定变量。因而，新的模型为：
需求函数,=A1+A2Pt+A3Xt+u1t ( 1 5 - 3 7 )
供给函数,=B1+B2Pt+B3Pt-1+u2t (15-38)
在市场出清的条件下，利用式 ( 1 5 - 3 7 ),( 1 5 - 3 8 )，读者可以求得简化形式的回归方程并能验证此时的需求和供给函数都是可识别的；每一个简化方程包括 Xt和 Pt两个解释变量，由于这两个变量都是由外生决定的，因而它们与随机误差项不相关。再一次提醒注意：变量的进入或排除是如何帮助我们识别模型的，也即如何得到惟一的参数值。因而，将变量 Pt－ 1排除在需求函数之外使得我们能够识别需求函数，正如将变量 Xt(收入 )排除在供给函数之外一样，也是为了使我们能够识别供给函数。可以得到一个推论：联立方程系统中，如果一个方程包含了系统内的所有变量 (内生的和外生的 )，那么它将不能被识别。随后我们将给出一个简单的识别规则来概括这一思想 (参见 1 5,6节 )。
Q
t
d
Q
t
d
B
2
=
4∏
2∏
B
1
=
3∏? B2 1∏
∏
v
2t
=
A
2 2t
B
2 1t
A
2
B
2
4∏ =
A
3
B
2
A
2
B
2
3∏ =
A
3
B
1
A
1
B
2
A
2
B
2
Q
t
=
3∏ + 4∏ Xt
+ v
2t
v
it
=
2t
1t
A
2
B
2
2∏ =
A
3
A
2
B
2
318部分 第四部分 联立方程模型简介 下载第 15章 联立方程模型 介绍 319
15.5.3 过度识别虽然从方程中排除某些变量或许能够使我们可以识别它，但是有时会出现过度的情况，从而导致了过度识别问题。即模型中的某一方程的参数可能有不止一个的估计值。我们来看一下这种情况是如何发生的。
我们仍以需求 -供给模型为例：
需求函数,Qt=A1+A2Pt+A3Xt+A4Wt+u1t ( 1 5 - 3 9 )
供给函数,Qt=B1+B2Pt+B3Pt- 1+u2t ( 1 5 - 4 0 )
其中，增加的变量 Wt表示消费者财富。对于许多商品，收入和财富是决定需求的重要因素。将
( 1 5 - 3 7 ),( 1 5 - 3 8 )的需求和供给模型与 ( 1 5 - 3 9 )和 ( 1 5 - 4 0 )相比较。在 ( 1 5 - 3 7 )供给函数仅仅排除了收入变量，而 ( 1 5 - 3 9 )供给函数不仅排除了收入变量还排除了财富变量。从供给函数中排除收入变量使得我们能够识别它，现在从供给函数中将收入和财富都排除出去，将导致过度识别，即供给参数 B2有两个估计值，证明如下：
令式 ( 1 5 - 3 9 )与 ( 1 5 - 4 0 )相等，可得下面的简化方程：
( 1 5 - 4 1 )
( 1 5 - 4 2 )
其中，
在需求供给模型中，我们共考虑了七个结构系数，其中四个 A，三个 B。但在简化模型 ( 1 5 - 4 3 )
中共有八个系数。即方程的个数比求知参数多，所以很显然参数有不止一个的解。读者很容易验证，事实上,B2有两个值：
或 ( 1 5 - 4 4 )
我们没有任何理由认为这两个估计值是相等的。
由于式 ( 1 5 - 4 3 )中的所有简化方程系数的分母中都包含了 B2，因此 B2的不确定将导致其他结构参数的不确定。为什么会产生这个结果呢？看来是由于有太多的信息 — 排除收入变量或财富变量的其中一个就足以识别供给方程了。这是不可识别的相反情况，在那里，信息又太少了。
这里的一个要点是：并非信息越多越好！需特别指出的是：过度识别问题并不是因为随意增加变量而发生的。有些时候经济理论会告诉我们哪些变量应从模型之中排除，哪些变量应包括到模型之中，从而判定模型是不可识别的还是可识别的 (恰度识别或过度识别 )。
总之，联立方程模型中的方程或是不可识别的，或是恰度识别的，或是过度识别的！对于
B
2
=
6∏
2∏
B
2
=
7∏
3∏
( 1 5 - 4 3 )
2∏ =?
A
3
A
2
B
2
4∏ =
B
3
A
2
B
2
6∏ =
A
3
B
2
A
2
B
2
8∏ =
A
2
B
3
A
2
B
2
v
2t
=
A
2 2t
B
2 1t
A
2
B
2
1∏ =
B
1
A
1
A
2
B
2
3∏ =
A
4
A
2
B
2
5∏ =
A
2
B
1
A
1
B
2
A
2
B
2
7∏ =
A
4
B
2
A
2
B
2
v
1t
=
2t
1t
A
2
B
2
Q
t
=
5
+
6∏∏ XT
+
7∏ Wt
+
8∏ Pt?1
+ v
2t
P
t
=
1∏ + 2∏ XT
+
3∏ Wt
+
4∏ Pt?1
+v
1t
下载不可识别的模型我们无能为力，只有假定它是正确的。不可识别不是一个可以通过增大样本容量而得到解决的统计问题。你能观察图 1 5 - 2 ( a )中每一年的四个点的图形，但是你无法知道由这四个点所生成的需求和供给曲线的斜率。如果方程是恰度识别的，我们可利用间接最小二乘法来估计其参数。如果方程是过度识别的，用间接最小二乘法将得不到惟一的参数值。幸运的是，
我们可以利用两阶段最小二乘法 ( 2 S L S )来估计过度识别方程的参数。 在介绍两阶段二乘法之前，
我们先来看是否存在系统的方法判定方程是不可识别的，恰度识别的或是过度识别的。用简化方程来判定识别问题相当麻烦，尤其是当模型包括若干个方程的时候。
15.6 模型识别的判定规则：识别的阶条件为了理解阶条件，我们先介绍下面的符号：
m— 模型中内生变量 (联合相关 )的个数
k — 不包括在该方程中的所有变量 (内生变量和外生变量 )的个数。
则，
(1) 若 k=m-1，方程恰度识别。
(2) 若 k>m-1，方程过度识别。
(3) 若 k<m-1,方程不可识别。
运用阶条件，我们只需数清楚模型中内生变量的个数 ( =模型中方程的个数 )以及不包括在方程中的变量的总数 (内生的和外生的 )。虽然，识别的阶条件仅仅是必要条件而非充分条件，
但在实际中还是非常有用的。
对式 ( 1 5 - 3 9 )和 ( 1 5 - 4 0 )的供给和需求模型用阶条件，此时 m= 2，供给函数不包括变量 Xt和
Wt(即 k= 2 )。由于 k>m-1，所以供给方程是过度识别的。需求函数不包括 Pt－ 1，由于 k=m-1，所以需求方程是恰度识别的。但这只是较为简单的情况。如果我们想根据简化模型的系数 ( 1 5 - 4 3 )
来估计需求函数的参数，则估计值不是惟一的，因为进入计算的 B2有两个取值 [见式 ( 1 5 - 4 3 ) ]。
但用两阶段最小二乘法就可避免出现这种情况。
15.7 对过度识别方程的估计：两阶段最小二乘法我们考虑下面的模型：
收入函数,Yt=A1+A2Mt+A3It+A4Gt+u1t ( 1 5 - 4 5 )
货币供给函数,Mt=B1+B2Yt+u2t ( 1 5 - 4 6 )
其中 Y — 收入；
M — 货币；
I — 投资支出；
G — 政府的商品和劳物支出；
u1,u2— 随机误差项。
在这个模型中,I和 G是外生给定的。
根据数量论和凯恩斯收入决定理论，收入函数表明了收入是由货币供给、投资支出和政府支出决定的。货币供给函数表明，货币供给是联邦储备银行根据收入水平决定的。显然，这是一个联立问题，因为收入和货币供给之间存在着反馈。
利用阶条件，我们可以判定收入方程是不可识别的 (因为它包括了所有变量 )，但货币供给方程却是过度识别的，因为它排除了系统内的两个变量 (注：在这个模型中,m= 2 )。
320部分 第四部分 联立方程模型简介 下载第 15章 联立方程模型 介绍 321
由于收入方程是不可识别的，因此我们无法估计其参数。货币供给方程又怎样呢？由于它是过度识别的，所以若用间接最小二乘法估计其参数，则不能得到惟一的估计值；事实上,B2
确有两个值。如果用普通最小二乘法又如何呢？由于 Y与随机误差项 u2之间可能相关，根据我们前面的讨论,O L S估计值将是不一致的。那么，我们将作何选择呢？
假定在货币供给函数中，我们找到一个 替代变量 (surrogate or proxy)或 工具变量
( i n s t r u m e n t a l )来代替 Y，这个变量虽与 Y相像，但却与 u2不相关。若能得到这样一个变量，那么就可直接用普通最小二乘法来估计货币供给函数中的参数了。 (为什么？ )但是如何得到这样的一个工具变量呢？答案是用两阶段最小二乘法。正如其名，这种方法分作两个阶段应用普通最小二乘法：
第一阶段，首先作 Y对每个预定变量的回归 (注意是整个模型中的所有预定变量，而并非只是该方程的 )以剔除 Y与随机误差项 u2之间可能存在的相关因素。在此例中，就是作 Y对 I(国内私人总投资 )和 G(政府支出 )的回归：
( 1 5 - 4 7 )
其中,w是随机误差项。根据式 ( 1 5 - 4 7 )，得到：
( 1 5 - 4 8 )
其中,是在给定 I和 G值条件下的 Y的估计值。注意,系数上的∧表明了它们是真实的 的估计值。
因此，我们可以将式 ( 1 5 - 4 7 )写为：
Yt = + wt ( 1 5 - 4 9 )
式 ( 1 5 - 4 9 )表明 (随机的 )Y由两部分组成,[根据式 ( 1 5 - 4 7 )，它是预定变量 I和 G的线性组合 ]和随机部分 wt。根据最小二乘理论,与 wt不相关 (为什么？参见习题 5,1 3 )。
第二阶段，过度识别的货币供给函数现在可写为：
Mt=B1+B2( +wt) +u2t ( 1 5 - 5 0 )
=B1+B2 + (u2t+B2wt) =B1+B2 +vt
其中,vt=u2t+B2wt
比较方程 ( 1 5 - 5 0 )和 ( 1 5 - 4 6 )，形式很相像，所不同的是用 代替 Yt，这种形式有什么优点呢？能够证明，虽然在原始的货币供给函数 ( 1 5 - 4 6 )中 Y可能与随机误差项 u2相关，(因而导致
O L S失效)，但是式 ( 1 5 - 5 0 )中的 与 vt却是渐进无关的 (对于大样本，或更准确地，随着样本容量无限增大 )。因而可对式 ( 1 5 - 5 0 )用普通最小二乘法。这是对 ( 1 5 - 4 6 )式直接用普通最小二乘法的改进，因为在那种情况下，估计值可能是有偏的和不一致的。 1
15.8 2SLS：一个数字例子继续货币供给和收入模型一例。表 1 5 - 2给出了 Y(收入，用 G D P来度量 ),M(货币供给，用
M2度量 ),I(投资，用国内私人总投资,G P D I，来度量 )和 G(联邦政府支出 )的数据。单位为亿美元。利率以百分比形式给出 (用 6月期国债利率来度量 )。所有的数据是年度数据，即从 1 9 7 0年到
1 9 9 4年。
)
Y
)
Y
t
)
Y
t
)
Y
t
)
Y
t
)
Y
t
)
Y
t
)
Y
t
∏
∏
)
Y
t
)
Y
t
=
1∏ + 2∏ It
+
3∏ Gt
Y
t
=
1∏ + 2∏ It
+
3∏ Gt
+w
t
下载
1 进一步的讨论参见 Damodar N.Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New York,1995.Chap.20.
表 15-2 美国宏观经济数据时间 G D P G D P I G o v e r n m e n t M 2 T B
1 9 7 0 103 5.600 150.200 0 115.900 0 628.100 0 6.562 000
1 9 7 1 112 5.400 176.000 0 117.100 0 712.700 0 4,5 11 000
1 9 7 2 123 7.300 205.600 0 125.100 0 805.200 0 4.466 000
1 9 7 3 138 2.600 242.900 0 128.200 0 861.000 0 7.178 000
1 9 7 4 149 6.900 245.600 0 139.900 0 908.500 0 7.926 000
1 9 7 5 163 0.600 225.400 0 154.500 0 102 3.700 6.122 000
1 9 7 6 181 9.000 286.600 0 162.700 0 116 3.700 5.266 000
1 9 7 7 202 6.900 356.600 0 178.400 0 128 6.500 5.510 000
1 9 7 8 229 1.400 430.800 0 194.400 0 138 8.600 7.572 000
1 9 7 9 255 7.500 480.900 0 215.000 0 149 6.900 10.01 700
1 9 8 0 278 4.200 465.900 0 248.400 0 162 9.300 11.37 400
1 9 8 1 3 11 5.900 556.200 0 284.100 0 179 3.300 13.77 600
1 9 8 2 324 2.100 501.100 0 313.200 0 195 3.200 11.08 400
1 9 8 3 351 4.500 547.100 0 344.500 0 218 7.700 8.750 000
1 9 8 4 390 2.400 715.600 0 372.600 0 237 8.400 9.800 000
1 9 8 5 418 0.700 715.100 0 410.100 0 257 6.000 7.660 000
1 9 8 6 442 2.200 722.500 0 435.200 0 282 0.300 6.030 000
1 9 8 7 469 2.300 747.200 0 455.700 0 292 2.300 6.050 000
1 9 8 8 504 9.600 773.900 0 457.300 0 308 3.500 6.920 000
1 9 8 9 543 8.700 829.200 0 477.200 0 324 3.000 8.040 000
1 9 9 0 574 3.800 799.700 0 503.600 0 335 6.000 7.470 000
1 9 9 1 591 6.700 736.200 0 522.600 0 345 7.900 5.490 000
1 9 9 2 624 4.400 790.400 0 528.000 0 351 5.300 3.570 000
1 9 9 3 655 0.200 871.100 0 522.100 0 358 3.600 3.140 000
1 9 9 4 693 1.400 101 4.400 516.300 0 361 7.000 4.660 000
注,G D P：国内总产出，亿美元，表 B - 1，第 2 8 0页
G D P I：国内私人总投资，亿美元，表 B - 1，第 2 8 0页
G o v e r n m e n t：联邦政府支出，亿美元，表 B - 1，第 2 8 1页
M 2：货币供给，表 B - 6 5，第 3 5 5页
T B,6月期国债利率，表 B - 6 5，第 3 6 0页资料来源：,总统经济报告》,1 9 9 6
阶段 1回归 。为了估计货币供给函数 ( 1 5 - 4 6 )的参数，我们首先作 Y(收入 )对变量 I和 G的回归，
这里 I和 G是外生决定的。回归结果如下：
=-333.178 9+2.030 7It+8.718 8Gt
se= (151.174 1) (1.005 4) (1.655 0) R2=0.974 2 ( 1 5 - 5 1 )
t= (-2.203 9) (2.019 8) (5.268 2)
读者可对回归结果作出解释。注意，所有的系数在 5%的显著水平上都是统计显著的。
阶段 2回归 。估计货币供给函数，作 M对估计的 Y( 1 5 - 4 8 )的回归，而不是对原始 Y的回归。
结果如下：
= 115.032 7+0.560 5
se=(54.402 1) (0.013 6) r2=0.986 3 ( 1 5,5 2 )1
t= ( 2,114 4) (40.973 5)
)
Y
t
)
M
t
)
Y
t
322部分 第四部分 联立方程模型简介 下载
1 这些标准差正确地反映了随机误差项 vt的性质。感兴趣的同学可参阅 Damodar N.Gujarati,B a s i c
E c o n o m e t r i c s,3d ed.,McGraw-Hill,New York,1995,p,705。
第 15章 联立方程模型 介绍 323
注：右边的 Y上有一“∧。,
O L S回归 。为了比较，我们给出 O L S的(显然，这里用 O L S法是不适合的)回归结果：
=146.817 9+0.551 5
se=(53.323 5) (0.013 3) r2=0.986 6 ( 1 5 - 5 3 )
t=(2.753 3) (41.245 8)
比较 2 S L S和 O L S的回归结果，你可能会说回归结果没有很大的差别。在这个例子中可能如此，但是不能保证所有的情况都如此。除此之外，我们知道，从理论上说,2 S L S比 O L S要好，尤其是对大样本。
在结束讨论联立方程模型之前，还需提及的是：除了 2 S L S和 O L S之外还有其他的估计模型的方法 (完全信息的最大概似法,the method of full information maximum likehood)。但对这些方法的讨论已超出本书的范围。 1 本章我们主要的目的是介绍联立方程模型的基本框架，让读者知道我们遇到的不仅仅是单方程回归模型。
15.9 小结与前面几章讨论的单方程模型相比，对于联立方程模型，变量在一个方程中是(内生的)应变量，而在另一个方程中却以解释变量的形式出现。因而，变量之间存在着反馈。这种反馈就产生了联立问题，使得用 O L S法在估计单方程参数时失效。这是因为以解释变量形式出现的内生变量在另一个方程中可能与该方程中的随机误差项相关。 这就违背了使用 O L S法的假定之一：
解释变量要么是固定的或非随机的，要么是随机的，但与误差项不相关。正是由于这个原因，
使用 O L S法得到的估计值将是有偏的和不一致的。
除了联立问题之外，联立方程模型还有识别问题。识别问题是指我们不能惟一地估计方程中的参数。因此，在估计联立方程模型之前，必须判定模型中的方程是否可识别。
一种判定模型是否可识别的较烦琐的方法是利用模型的简化形式。简化方程描述了应变量仅仅是外生变量或预定变量 (即变量的值由模型之外决定 )的函数。如果在简化形式的参数与原始方程的参数之间一一对应，那么原始的方程就是可识别的。
判定模型是否可识别的一种简单方法是利用阶条件。阶条件就是数清模型中方程的个数以及模型中变量的个数 (内生变量和外生变量之和 )。然后根据方程中排除的变量 (但包括在模型其他方程中 )的个数，利用阶条件判定模型是不可识别的、恰度识别还是过度识别的。如果不能估计出参数值，则该方程是不可识别的；如果能够得到参数的惟一值，则该方程是恰度识别的；另一方面，如果方程中的一个或多个参数有不止一个的估计值，则该方程是过度识别的。
如果方程是不可识别的，那么我们也就无能为力了。我们只有改变模型的假定 (也就是说，
建立一个新的模型 )。如果模型是恰度识别的，利用间接最小二乘法 ( I L S )能够估计该方程，然后根据简化形式的参数求出原始方程的参数。间接最小二乘估计量是一致的，即随着样本容量的无限增加，估计量将收敛于其真实值。过度识别方程的参数可利用两阶段最小二乘法 ( 2 S L S )
估计。其基本思想是用一个与随机误差项不相关的变量代替与误差项相关的解释变量。这样的一个变量称为替代变量或工具变量。与 I L S估计量一样,2 S L S估计量也是一致估计量。
习题
15.1 什么是联立问题？
)
Y
t
)
M
t
下载
1 有兴趣的读者可参阅 William H.Greene,Econometric Analysis,3d ed.,Prentice-Hall,New Jersey,1997,
Chap,16。
15.2 什么是内生变量和外生变量？
15.3 为什么 O L S方法一般不适用于估计联立方程模型中的单方程？
15.4 如果用 O L S方法估计联立方程模型中的方程，结果会怎样？
15.5 简化形式的方程有什么作用？
15.6 什么是结构或行为方程？
15.7 什么是间接最小二乘法？什么时候使用它？
15.8 什么是识别问题？为什么它是重要的？
15.9 识别的阶条件是什么？
15.10 为什么说识别的阶条件是必要而非充分条件？
1 5,11 解释概念,( 1 )不可识别 ( 2 )恰度识别 ( 3 )过度识别
15.12 如何估计不可识别方程？
15.13 用什么方法估计恰度识别的方程？
15.14 2SLS用于估计那类方程？
15.15 2SLS也能用于估计恰度识别的方程吗？
15.16 考虑下面的双方程模型：
Y1t=A1+A2Y2t+A3X1t+u1t
Y2t=B1+B2Y1t+B3X2t+u2t
其中,Y是内生变量,X是外生变量,u是随机误差项。
(a) 求简化形式回归方程？
(b) 判定哪个方程是可识别的。
(c) 对可识别方程，你将用那种方法进行估计，为什么？
(d) 假定，先验地知道 A3= 0。那么你将如何回答上述问题，为什么？
15.17 考虑下面的模型：
Y1t=A1+A2Y2t+A3X1t+u1t
Y2t=B1+B2Y1t+u2t
其中,Y是内生变量,X是外生变量,u是随机误差项。根据这个模型，得到简化形式的回归模型如下：
Y1t= 6 + 8X1t
Y2t= 4 + 1 2X1t
(a) 从这些简化方程中，你能估计出那些结构参数？
(b) 如果，先验地知道 (1) A2=0 (2) A1= 0，你的答案将作何修改？
15.18 考虑下面的模型：
Rt=A1+A2Mt+A3Yt+u1t
Yt=B1+B2Rt+u2t
其中,Y=收入 (用 G D P来度量 ),R=利率 (用 6月期国债利率,%),M=货币供给 (用 M2度量 )。
假定 M外生给定。
(a) 该模型之后的经济原理是什么？ (提示：可参阅有关宏观经济学的教科书 )
(b) 上述方程可识别吗？
(c) 利用表 1 5 - 2给出的数据，估计可识别方程的参数。
15.19 考虑下面改进过的习题 1 5,1 8的模型：
Rt=A1+A2Mt+A3Yt+u1t
Yt=B1+B2Rt+B3It+u2t
I为增加的变量，代表投资 (用国内私人总投资来度量 )。假定 M和 I外生给定。
324部分 第四部分 联立方程模型简介 下载第 15章 联立方程模型 介绍 325
(a) 上述方程哪一个是可识别的？
(b) 利用表 1 5 - 2提供的数据，估计可识别方程的参数。
(c) 你对本题和上一题的不同结果有什么看法？
附录 15A OLS估计量的不一致性为了证明 OLS 估计量 b2是 B2的不一致估计量 (由于 Yt与 ut相关 )，我们先看 OLS 估计量
( 1 5 - 6 )：
( 1 5 A - 1 )
其中,yt= (Yt- )
现将式 ( 1 5 - 1 )带入，得：
( 1 5 A - 2 )
其中最后一步用到，,(为什么？ )
对式 ( 1 5 A - 2 )取期望：
( 1 5 A - 3 )
不幸的是，我们不能轻易地估计出第二项的期望，因为期望的运算符 E是一个线性运算符。 [注：
E(A/B)≠ E(A) /E(B) ]直观上很清楚，除非式 ( 1 5 A - 3 )中的第二项为零，否则 b2是 B2的有偏估计量。
b2不仅是有偏的，而且还是不一致的。估计量称为一致估计量，如果它的概率极限等于其真实 (总体 )值。 1 运用概率极限的性质 2，可以得到：
( 1 5 A - 4 )
这里用了概率极限的性质 — 常数的概率极限等于常数本身,比值的概率极限等于极限概率的比值。
随着 n的无限增大，可以证明：
p l i m (b2) =B2+ ( 1 5 A - 5 )
其中,2是 u的方差,是 Y的方差。
因为 B2 ( M P C )位于 0,1之间，且方程 ( 1 5 A - 5 )中的两个方差项均为正，所以显然 b2的概率极限比 B2大，也就是说,b2过高的估计了 B2，而且无论样本容量如何，这个偏差总是存在的。
y
2
1
1? B
2
(
2
y
2
)
plim( b
2
) = plim(B
2
)+ plim[
y
t t∑
y
t
2
∑
] = B
2
+ plim[
y
t t
/n∑
y
t
2
∑ /n
]
= B
2
+
plim( y
t t
/n∑ )
plim( y
t
2
∑ / n)
E(b
2
) = B
2
+ E[
y
t t∑
y
t
2
∑
]
Y
t
y
t∑ / yt
2
= 1∑y
t∑ = 0
b
2
=
(B
1
+ B
2
Y
t
+
t
)y
t∑
y
t
2
∑
= B
2
+
y
t t∑
y
t
2
∑
Y
b
2
=
(C
t
C ∑ )(Y
t
Y )
(Y
t
Y )
2
∑
=
C
t
y
t∑
y
t
2
∑
下载
1 如果 lim P{|b2-B2| <d} = 1，其中 d>0,n是样本容量，我们就称 b2是 B2的估计量，简写为,n→ ∞ plim(b2) =B2。
更详细的内容参见 Damodar N.Gujarati,Basic Econometrics,3d ed.,McGraw-Hill,New York,1995,
p p,7 8 2 - 7 8 3。
2 虽然 E (A/B)≠ E(A) /E(B)，但是,p l i m (A/B) = p l i m (A) / p l i m (B),
n→ ∞
下载表 A-1 标准正态分布下的面积表 A-2 t分布的百分数点表 A-3 F分布的上百分点表 A-4 X2分布的上百分点表 A-5 杜宾 -瓦尔森 d统计量：在显著水平 0,0 5与 0,0 1上的 dL与 dU的显著点表 A-6 游程检验中的各游程的临界值表 A-1 标准正态分布下的面积
Z 0,0 0 0,0 1 0,0 2 0,0 3 0,0 4 0,0 5 0,0 6 0,0 7 0,0 8 0,0 9
0,0 0.000 0 0.004 0 0.008 0 0.012 0 0.016 0 0.019 9 0.023 9 0.027 9 0.031 9 0.035 9
0,1 0.039 8 0.043 8 0.047 8 0.051 7 0.055 7 0.059 6 0.063 6 0.067 5 0.071 4 0.075 3
0,2 0.079 3 0.083 2 0.087 1 0.091 0 0.094 8 0.098 7 0.102 6 0.106 4 0,110 3 0,114 1
0,3 0,117 9 0.121 7 0.125 5 0.129 3 0.133 1 0.136 8 0.140 6 0.144 3 0.148 0 0.151 7
0,4 0.155 4 0.159 1 0.162 8 0.166 4 0.170 0 0.173 6 0.177 2 0.180 8 0.184 4 0.187 9
0,5 0.191 5 0.195 0 0.198 5 0.201 9 0.205 4 0.208 8 0.212 3 0.215 7 0.219 0 0.222 4
0,6 0.225 7 0.229 1 0.232 4 0.235 7 0.238 9 0.242 2 0.245 4 0.248 6 0.251 7 0.254 9
0,7 0.258 0 0.261 1 0.264 2 0.267 3 0.270 4 0.273 4 0.276 4 0.279 4 0.282 3 0.285 2
0,8 0.288 1 0.291 0 0.293 9 0.296 7 0.299 5 0.302 3 0.305 1 0.307 8 0.310 6 0.313 3
0,9 0.315 9 0.318 6 0.321 2 0.323 8 0,3 2 6 4 0.328 9 0.331 5 0.334 0 0.336 5 0.338 9
1,0 0.341 3 0.343 8 0.346 1 0.348 5 0.350 8 0.353 1 0.355 4 0.357 7 0.359 9 0.362 1
1,1 0.364 3 0.366 5 0.368 6 0.370 8 0.372 9 0.374 9 0.377 0 0.379 0 0.381 0 0.383 0
1,2 0.384 9 0.386 9 0.388 8 0.390 7 0.392 5 0.394 4 0.396 2 0.398 0 0.399 7 0.401 5
1,3 0.403 2 0.404 9 0.406 6 0.408 2 0.409 9 0,4 11 5 0.413 1 0.414 7 0.416 2 0.417 7
1,4 0.419 2 0.420 7 0.422 2 0.423 6 0,4 2 5 1 0.426 5 0.427 9 0.429 2 0.430 6 0.431 9
1,5 0.433 2 0.434 5 0.435 7 0.437 0 0.438 2 0.439 4 0.440 6 0.441 8 0.442 9 0.444 1
1,6 0.445 2 0.446 3 0.447 4 0.448 4 0.449 5 0.450 5 0.451 5 0.452 5 0.453 5 0.454 5
1,7 0.445 4 0.456 4 0.457 3 0.458 2 0.459 1 0.459 9 0.460 8 0.461 6 0.462 5 0.463 3
1,8 0.464 1 0.464 9 0.465 6 0.466 4 0.467 1 0.467 8 0.468 6 0.469 3 0.469 9 0.470 6
1,9 0.471 3 0.471 9 0.472 6 0.473 2 0.473 8 0.474 4 0.475 0 0.475 6 0.476 1 0.476 7
2,0 0.477 2 0.477 8 0.478 3 0.478 8 0.479 3 0.479 8 0.480 3 0.480 8 0.481 2 0.481 7
2,1 0.482 1 0.482 6 0.483 0 0.483 4 0.483 8 0.484 2 0.484 6 0.485 0 0.485 4 0.485 7
2,2 0.486 1 0.486 4 0.486 8 0.487 1 0.487 5 0.487 8 0.488 1 0.488 4 0.488 7 0.489 0
2,3 0.489 3 0.489 6 0.489 8 0.490 1 0.490 4 0.490 6 0.490 9 0.491 1 0.491 3 0.491 6
2,4 0.491 8 0.492 0 0.492 2 0.492 5 0.492 7 0.492 9 0.493 1 0.493 2 0.493 4 0.493 6
附 录 A
■ 统 计 表
Z
0.4750例
Pr (0≤ Z≤ 1.96)=0.4750
Pr (Z≥ 1.96)=0.5-0.4750=0.025
0 1.96
(续 )
Z 0,0 0 0,0 1 0,0 2 0,0 3 0,0 4 0,0 5 0,0 6 0,0 7 0,0 8 0,0 9
2,5 0.493 8 0.494 0 0.494 1 0.494 3 0.494 5 0.494 6 0.494 8 0.494 9 0.495 1 0.495 2
2,6 0.495 3 0.495 5 0.495 6 0.495 7 0.495 9 0.496 0 0.496 1 0.496 2 0.496 3 0.496 4
2,7 0.496 5 0.496 6 0.496 7 0.496 8 0.496 9 0.497 0 0.497 1 0.497 2 0.497 3 0.497 4
2,8 0.497 4 0.497 5 0.497 6 0.497 7 0.497 7 0.497 8 0.497 9 0.497 9 0.498 0 0.498 1
2,9 0.498 1 0.498 2 0.498 2 0.498 3 0.498 4 0.498 4 0.498 5 0.498 5 0.498 6 0.498 6
3,0 0.498 7 0.498 7 0.498 7 0.498 8 0.498 8 0.498 9 0.498 9 0.498 9 0.499 0 0.499 0
注：本表给出了正态分布的右侧面积 (也即 Z≥ 0 )。但是由于正态分布关于 Z= 0对称，所以左侧面积与右侧面积相等。例如,P( - 1,9 6≤ Z≤ 0)=0.475 0。因此,P( - 1,9 6≤ Z≤ 1.96)=2(0.475 0) = 0,9 5。
表 A-2 t分布的百分数点
P r 0,2 5 0,1 0 0,0 5 0,0 2 5 0,0 1 0,0 0 5 0,0 0 1
d f 0,5 0 0,2 0 0,1 0 0,0 5 0,0 2 0,0 1 0 0,0 0 2
1 1,0 0 0 3,0 7 8 6,3 1 4 1 2,7 0 6 3 1,8 2 1 6 3,6 5 7 3 1 8,3 1
2 0,8 1 6 1,8 8 6 2,9 2 0 4,3 0 3 6,9 6 5 9,9 2 5 2 2,3 2 7
3 0,7 6 5 1,6 3 8 2,3 5 3 3,1 8 2 4,5 4 1 5,8 4 1 1 0,2 1 4
4 0,7 4 1 1,5 3 3 2,1 3 2 2,7 7 6 3,7 4 7 4,6 0 4 7,1 7 3
5 0,7 2 7 1,4 7 6 2,0 1 5 2,5 7 1 3,3 6 5 4,0 3 2 5,8 9 3
6 0,7 1 8 1,4 4 0 1,9 4 3 2,4 4 7 3,1 4 3 3,7 0 7 5,2 0 8
7 0,7 11 1,4 1 5 1,8 9 5 2,3 6 5 2,9 9 8 3,4 9 9 4,7 8 5
8 0,7 0 6 1,3 9 7 1,8 6 0 2,3 0 6 2,8 9 6 3,3 5 5 4,5 0 1
9 0,7 0 3 1,3 8 3 1,8 3 3 2,2 6 2 2,8 2 1 3,2 5 0 4,2 9 7
1 0 0,7 0 0 1,3 7 2 1,8 1 2 2,2 2 8 2,7 6 4 3,1 6 9 4,1 4 4
11 0,6 9 7 1,3 6 3 1,7 9 6 2,2 0 1 2,7 1 8 3,1 0 6 4,0 2 5
1 2 0,6 9 5 1,3 5 6 1,7 8 2 2,1 7 9 2,6 8 1 3,0 5 5 3,9 3 0
1 3 0,6 9 4 1,3 5 0 1,7 7 1 2,1 6 0 2,6 5 0 3,0 1 2 3,8 5 2
1 4 0,6 9 2 1,3 4 5 1,7 6 1 2,1 4 5 2,6 2 4 2,9 7 7 3,7 8 7
1 5 0,6 9 1 1,3 4 1 1,7 5 3 2,1 3 1 2,6 0 2 2,9 4 7 3,7 3 3
1 6 0,6 9 0 1,3 3 7 1,7 4 6 2,1 2 0 2,5 8 3 2,9 2 1 3,6 8 6
1 7 0,6 8 9 1,3 3 3 1,7 4 0 2,11 0 2,5 6 7 2,8 9 8 3,6 4 6
1 8 0,6 8 8 1,3 3 0 1,7 3 4 2,1 0 1 2,5 5 2 2,8 7 8 3,6 1 0
1 9 0,6 8 8 1,3 2 8 1,7 2 9 2,0 9 3 2,5 3 9 2,8 6 1 3,5 7 9
2 0 0,6 8 7 1,3 2 5 1,7 2 5 2,0 8 6 2,5 2 8 2,8 4 5 3,5 5 2
2 1 0,6 8 6 1,3 2 3 1,7 2 1 2,0 8 0 2,5 1 8 2,8 3 1 3,5 2 7
2 2 0,6 8 6 1,3 2 1 1,7 1 7 2,0 7 4 2,5 0 8 2,8 1 9 3,5 0 5
2 3 0,6 8 5 1,3 1 9 1,7 1 4 2,0 6 9 2,5 0 0 2,8 0 7 3,4 8 5
2 4 0,6 8 5 1,3 1 8 1,7 11 2,0 6 4 2,4 9 2 2,7 9 7 3,4 6 7
2 5 0,6 8 4 1,3 1 6 1,7 0 8 2,0 6 0 2,4 8 5 2,7 8 7 3,4 5 0
2 6 0,6 8 4 1,3 1 5 1,7 0 6 2,0 5 6 2,4 7 9 2,7 7 9 3,4 3 5
2 7 0,6 8 4 1,3 1 4 1,7 0 3 2,0 5 2 2,4 7 3 2,7 7 1 3,4 2 1
2 8 0,6 8 3 1,3 1 3 1,7 0 1 2,0 4 8 2,4 6 7 2,7 6 3 3,4 0 8
2 9 0,6 8 3 1,3 11 1,6 9 9 2,0 4 5 2,4 6 2 2,7 5 6 3,3 9 6
3 0 0,6 8 3 1,3 1 0 1,6 9 7 2,0 4 2 2,4 5 7 2,7 5 0 3,3 8 5
4 0 0,6 8 1 1,3 0 3 1,6 8 4 2,0 2 1 2,4 2 3 2,7 0 4 3,3 0 7
6 0 0,6 7 9 1,2 9 6 1,6 7 1 2,0 0 0 2,3 9 0 2,6 6 0 3,2 3 2
1 2 0 0,6 7 7 1,2 8 9 1,6 5 8 1,9 8 0 2,3 5 8 2,6 1 7 3,1 6 0
∞ 0,6 7 4 1,2 8 2 1,6 4 5 1,9 6 0 2,3 2 6 2,5 7 6 3,0 9 0
注：每栏上端所示较小概率为单侧面积；下端较大的概率为双侧面积。
资料来源,E.S,Pearson和 H,O,H a r t l e y,eds,Biometrika Tables for Statisticians,vol.1,3ded.,table 12,Cambridge
University Press,New York,1996,Reproduced by permission of the editors and trustees of Biometrika,
附录 A 统 计 表 介绍 329
下载
t
0 1.725
0.05
例:
Pr (t＞ 2.086)=0.025
Pr (t＞ 1.725)=0.05 自由度 =20
Pr(| t |＞ 1.725)=0.10
自由度
330部分 附 录表 A-3 F分布的分子 N1的自由度
P r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 1 2
0,2 5 5,8 3 7,5 0 8,2 0 8,5 8 8,8 2 8,9 8 9,1 0 9,1 9 9,2 6 9,3 2 9,3 6 9,4 1
1 0,1 0 3 9,9 4 9,5 5 3,6 5 5,8 5 7,2 5 8,2 5 8,9 5 9,4 5 9,9 6 0,2 6 0,5 6 0,7
0,0 5 1 6 1 2 0 0 2 1 6 2 2 5 2 3 0 2 3 4 2 3 7 2 3 9 2 4 1 2 4 2 2 4 3 2 4 4
0,2 5 2,5 7 3,0 0 3,1 5 3,2 3 3,2 8 3,3 1 3,3 4 3,3 5 3,3 7 3,3 8 3,3 9 3,3 9
2 0,1 0 8,5 3 9,0 0 9,1 6 9,2 4 9,2 9 9,3 3 9,3 5 9,3 7 9,3 8 9,3 9 9,4 0 9,4 1
0,0 5 1 8,5 1 9,0 1 9,2 1 9,2 1 9,3 1 9,3 1 9,4 1 9,4 1 9,4 1 9,4 1 9,4 1 9,4
0,0 1 9 8,5 9 9,0 9 9,2 9 9,2 9 9,3 9 9,3 9 9,4 9 9,4 9 9,4 9 9,4 9 9,4 9 9,4
0,2 5 2,0 2 2,2 8 2,3 6 2,3 9 2,4 1 2,4 2 2,4 3 2,4 4 2,4 4 2,4 4 2,4 5 2,4 5
3 0,1 0 5,5 4 5,4 6 5,3 9 5,3 4 5,3 1 5,2 8 5,2 7 5,2 5 5,2 4 5,2 3 5,2 2 5,2 2
0,0 5 1 0,1 9,5 5 9,2 8 9,1 2 9,0 1 8,9 4 8,8 9 8,8 5 8,8 1 8,7 9 8,7 6 8,7 4
0,0 1 3 4,1 3 0,8 2 9,5 2 8,7 2 8,2 2 7,9 2 7,7 2 7,5 2 7,3 2 7,2 2 7,1 2 7,1
0,2 5 1,8 1 2,0 0 2,0 5 2,0 6 2,0 7 2,0 8 2,0 8 2,0 8 2,0 8 2,0 8 2,0 8 2,0 8
4 0,1 0 4,5 4 4,3 2 4,1 9 4,11 4,0 5 4,0 1 3,9 8 3,9 5 3,9 4 3,9 2 3,9 1 3,9 0
0,0 5 7,7 1 6,9 4 6,5 9 6,3 9 6,2 6 6,1 6 6,0 9 6,0 4 6,0 0 5,9 6 5,9 4 5,9 1
0,0 1 2 1,2 1 8,0 1 6,7 1 6,0 1 5,5 1 5,2 1 5,0 1 4,8 1 4,7 1 4,5 1 4,4 1 4,4
0,2 5 1,6 9 1,8 5 1,8 8 1,8 9 1,8 9 1,8 9 1,8 9 1,8 9 1,8 9 1,8 9 1,8 9 1,8 9
5 0,1 0 4,0 6 3,7 8 3,6 2 3,5 2 3,4 5 3,4 0 3,3 7 3,3 4 3,3 2 3,3 0 3,2 8 3,2 7
0,0 5 6,6 1 5,7 9 5,4 1 5,1 9 5,0 5 4,9 5 4,8 8 4,8 2 4,7 7 4,7 4 4,7 1 4,6 8
0,0 1 1 6,3 1 3,3 1 2,1 11,4 11,0 1 0,7 1 0,5 1 0,3 1 0,2 1 0,1 9,9 6 9,8 9
0,2 5 1,6 2 1,7 6 1,7 8 1,7 9 1,7 9 1,7 8 1,7 8 1,7 8 1,7 7 1,7 7 1,7 7 1,7 7
6 0,1 0 3,7 8 3,4 6 3,2 9 3,1 8 3,11 3,0 5 3,0 1 2,9 8 2,9 6 2,9 4 2,9 2 2,9 0
0,0 5 5,9 9 5,1 4 4,7 6 4,5 3 4,3 9 4,2 8 4,2 1 4,1 5 4,1 0 4,0 6 4,0 3 4,0 0
0,0 1 1 3,7 1 0,9 9,7 8 9,1 5 8,7 5 8,4 7 8,2 6 8,1 0 7,9 8 7,8 7 7,7 9 7,7 2
0,2 5 1,5 7 1,7 0 1,7 2 1,7 2 1,7 1 1,7 1 1,7 0 1,7 0 1,6 9 1,6 9 1,6 9 1,6 8
7 0,1 0 3,5 9 3,2 6 3,0 7 2,9 6 2,8 8 2,8 3 2,7 8 2,7 5 2,7 2 2,7 0 2,6 8 2,6 7
0,0 5 5,5 9 4,7 4 4,3 5 4,1 2 3,9 7 3,8 7 3,7 9 3,7 3 3,6 8 3,6 4 3,6 0 3,5 7
0,0 1 1 2,2 9,5 5 8,4 5 7,8 5 7,4 6 7,1 9 6,9 9 6,8 4 6,7 2 6,6 2 6,5 4 6,4 7
0,2 5 1,5 4 1,6 6 1,6 7 1,6 6 1,6 6 1,6 5 1,6 4 1,6 4 1,6 3 1,6 3 1,6 3 1,6 2
8 0,1 0 3,4 6 3,11 2,9 2 2,8 1 2,7 3 2,6 7 2,6 2 2,5 9 2,5 6 2,5 4 2,5 2 2,5 0
0,0 5 5,3 2 4,4 6 4,0 7 3,8 4 3,6 9 3,5 8 3,5 0 3,4 4 3,3 9 3,3 5 3,3 1 3,2 8
0,0 1 11,3 8,6 5 7,5 9 7,0 1 6,6 3 6,3 7 6,1 8 6,0 3 5,9 1 5,8 1 5,7 3 5,6 7
0,2 5 1,5 1 1,6 2 1,6 3 1,6 3 1,6 2 1,6 1 1,6 0 1,6 0 1,5 9 1,5 9 1,5 8 1,5 8
9 0,1 0 3,3 6 3,0 1 2,8 1 2,6 9 2,6 1 2,5 5 2,5 1 2,4 7 2,4 4 2,4 2 2,4 0 2,3 8
0,0 5 5,1 2 4,2 6 3,8 6 3,6 3 3,4 8 3,3 7 3,2 9 3,2 3 3,1 8 3,1 4 3,1 0 3,0 7
0,0 1 1 0,6 8,0 2 6,9 9 6,4 2 6,0 6 5,8 0 5,6 1 5,4 7 5,3 5 5,2 6 5,1 8 5,11
例,
Pr (F＞ 1.59)=0.25
Pr (F＞ 2.42)=0.10 N1=10
Pr (F＞ 3.14)=0.05 N2=9
Pr (F＞ 5.26)=0.01
分母 N2的自由度下载分子 N1的自由度
1 5 2 0 2 4 3 0 4 0 5 0 6 0 1 0 0 1 2 0 2 0 0 5 0 0 ∞ P r
9,4 9 9,5 8 9,6 3 9,6 7 9,7 1 9,7 4 9,7 6 9,7 8 9,8 0 9,8 2 9,8 4 9.85 0,2 5
6 1,2 6 1,7 6 2,0 6 2,3 6 2,5 6 2,7 6 2,8 6 3,0 6 3,1 6 3,2 6 3,3 6 3,3 0,1 0 1
2 4 6 2 4 8 2 4 9 2 5 0 2 5 1 2 5 2 2 5 2 2 5 3 2 5 3 2 5 4 2 5 4 254 0,0 5
3,4 1 3,4 3 3,4 3 3,4 4 3,4 5 3,4 5 3,4 6 3,4 7 3,4 7 3,4 8 3,4 8 3.48 0,2 5
9,4 2 9,4 4 9,4 5 9,4 6 9,4 7 9,4 7 9,4 7 9,4 8 9,4 8 9,4 9 9,4 9 9,4 9 0.10 2
1 9,4 1 9,4 1 9,5 1 9,5 1 9,5 1 9,5 1 9,5 1 9,5 1 9,5 1 9,5 1 9,5 19.5 0,0 5
9 9,4 9 9,4 9 9,5 9 9,5 9 9,5 9 9,5 9 9,5 9 9,5 9 9,5 9 9,5 9 9,5 99.5 0,0 1
2,4 6 2,4 6 2,4 6 2,4 7 2,4 7 2,4 7 2,4 7 2,4 7 2,4 7 2,4 7 2,4 7 2.47 0,2 5
5,2 0 5,1 8 5,1 8 5,1 7 5,1 6 5,1 5 5,1 5 5,1 4 5,1 4 5,1 4 5,1 4 5,1 3 0,1 0 3
8,7 0 8,6 6 8,6 4 8,6 2 8,5 9 8,5 8 8,5 7 8,5 5 8,5 5 8,5 4 8,5 3 8.53 0,0 5
2 6,9 2 6,7 2 6,6 2 6,5 2 6,4 2 6,4 2 6,3 2 6,2 2 6,2 2 6,2 2 6,1 26.1 0,0 1
2,0 8 2,0 8 2,0 8 2,0 8 2,0 8 2,0 8 2,0 8 2,0 8 2,0 8 2,0 8 2,0 8 2.08 0,2 5
3,8 7 3,8 4 3,8 3 3,8 2 3,8 0 3,8 0 3,7 9 3,7 8 3,7 8 3,7 7 3,7 6 3,7 6 0,1 0 4
5,8 6 5,8 0 5,7 7 5,7 5 5,7 2 5,7 0 5,6 9 5,6 6 5,6 6 5,6 5 5,6 4 5.63 0,0 5
1 4,2 1 4,0 1 3,9 1 3,8 1 3,7 1 3,7 1 3,7 1 3,6 1 3,6 1 3,5 1 3,5 13.5 0,0 1
1,8 9 1,8 8 1,8 8 1,8 8 1,8 8 1,8 8 1,8 7 1,8 7 1,8 7 1,8 7 1,8 7 1.87 0,2 5
3,2 4 3,2 1 3,1 9 3,1 7 3,1 6 3,1 5 3,1 4 3,1 3 3,1 2 3,1 2 3,11 3,1 0 0,1 0 5
4,6 2 4,5 6 4,5 3 4,5 0 4,4 6 4,4 4 4,4 3 4,4 1 4,4 0 4,3 9 4,3 7 4,3 6 0,0 5
9,7 2 9,5 5 9,4 7 9,3 8 9,2 9 9,2 4 9,2 0 9,1 3 9,11 9,0 8 9,0 4 9.02 0,0 1
1,7 6 1,7 6 1,7 5 1,7 5 1,7 5 1,7 5 1,7 4 1,7 4 1,7 4 1,7 4 1,7 4 1.74 0,2 5
2,8 7 2,8 4 2,8 2 2,8 0 2,7 8 2,7 7 2,7 6 2,7 5 2,7 4 2,7 3 2,7 3 2,7 2 0,1 0 6
3,9 4 3,8 7 3,8 4 3,8 1 3,7 7 3,7 5 3,7 4 3,7 1 3,7 0 3,6 9 3,6 8 3,6 7 0,0 5
7,5 6 7,4 0 7,3 1 7,2 3 7,1 4 7,0 9 7,0 6 6,9 9 6,9 7 6,9 3 6,9 0 6.88 0,0 1
1,6 8 1,6 7 1,6 7 1,6 6 1,6 6 1,6 6 1,6 5 1,6 5 1,6 5 1,6 5 1,6 5 1.65 0,2 5
2,6 3 2,5 9 2,5 8 2,5 6 2,5 4 2,5 2 2,5 1 2,5 0 2,4 9 2,4 8 2,4 8 2,4 7 0,1 0 7
3,5 1 3,4 4 3,4 1 3,3 8 3,3 4 3,3 2 3,3 0 3,2 7 3,2 7 3,2 5 3,2 4 3,2 3 0,0 5
6,3 1 6,1 6 6,0 7 5,9 9 5,9 1 5,8 6 5,8 2 5,7 5 5,7 4 5,7 0 5,6 7 5.65 0,0 1
1,6 2 1,6 1 1,6 0 1,6 0 1,5 9 1,5 9 1,5 9 1,5 8 1,5 8 1,5 8 1,5 8 1.58 0,2 5
2,4 6 2,4 2 2,4 0 2,3 8 2,3 6 2,3 5 2,3 4 2,3 2 2,3 2 2,3 1 2,3 0 2,2 9 0,1 0 8
3,2 2 3,1 5 3,1 2 3,0 8 3,0 4 2,0 2 3,0 1 2,9 7 2,9 7 2,9 5 2,9 4 2,9 3 0,0 5
5,5 2 5,3 6 5,2 8 5,2 0 5,1 2 5,0 7 5,0 3 4,9 6 4,9 5 4,9 1 4,8 8 4.86 0,0 1
1,5 7 1,5 6 1,5 6 1,5 5 1,5 5 1,5 4 1,5 4 1,5 3 1,5 3 1,5 3 1,5 3 1.53 0,2 5
2,3 4 2,3 0 2,2 8 2,2 5 2,2 3 2,2 2 2,2 1 2,1 9 2,1 8 2,1 7 2,1 7 2,1 6 0,1 0 9
3,0 1 2,9 4 2,9 0 2,8 6 2,8 3 2,8 0 2,7 9 2,7 6 2,7 5 2,7 3 2,7 2 2,7 1 0,0 5
4,9 6 4,8 1 4,7 3 4,6 5 4,5 7 4,5 2 4,4 8 4,4 2 4,4 0 4,3 6 4,3 3 4.31 0,0 1
附录 A 统 计 表 介绍 331
下载分母 N2的自由度
F
0 3.14 5.26
5%面积
1% 面积上百分点
332部分 附 录 下载
(续 )
分子 N1的自由度
P r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 1 2
0,2 5 1,4 9 1,6 0 1,6 0 1,5 9 1,5 9 1,5 8 1,5 7 1,5 6 1,5 6 1,5 5 1,5 5 1,5 4
1 0 0,1 0 3,2 9 2,9 2 2,7 3 2,6 1 2,5 2 2,4 6 2,4 1 2,3 8 2,3 5 2,3 2 2,3 0 2,2 8
0,0 5 4,9 6 4,1 0 3,7 1 3,4 8 3,3 3 3,2 2 3,1 4 3,0 7 3,0 2 2,9 8 2,9 4 2,9 1
0,0 1 1 0,0 7,5 6 6,5 5 5,9 9 5,6 4 5,3 9 5,2 0 5,0 6 4,9 4 4,8 5 4,7 7 4,7 1
0,2 5 1,4 7 1,5 8 1,5 8 1,5 7 1,5 6 1,5 5 1,5 4 1,5 3 1,5 3 1,5 2 1,5 2 1,5 1
11 0,1 0 3,2 3 2,8 6 2,6 6 2,5 4 2,4 5 2,3 9 2,3 4 2,3 0 2,2 7 2,2 5 2,2 3 2,2 1
0,0 5 4,8 4 3,9 8 3,5 9 3,3 6 3,2 0 3,0 9 3,0 1 2,9 5 2,9 0 2,8 5 2,8 2 2,7 9
0,0 1 9,6 5 7,2 1 6,2 2 5,6 7 5,3 2 5,0 7 4,8 9 4,7 4 4,6 3 4,5 4 4,4 6 4,4 0
0,2 5 1,4 6 1,5 6 1,5 6 1,5 5 1,5 4 1,5 3 1,5 2 1,5 1 1,5 1 1,5 0 1,5 0 1,4 9
1 2 0,1 0 3,1 8 2,8 1 2,6 1 2,4 8 2,3 9 2,3 3 2,2 8 2,2 4 2,2 1 2,1 9 2,1 7 2,1 5
0,0 5 4,7 5 3,8 9 3,4 9 3,2 6 3,11 3,0 0 2,9 1 2,8 5 2,8 0 2,7 5 2,7 2 2,6 9
0,0 1 9,3 3 6,9 3 5,9 5 5,4 1 5,0 6 4,8 2 4,6 4 4,5 0 4,3 9 4,3 0 4,2 2 4,1 6
0,2 5 1,4 5 1,5 5 1,5 5 1,5 3 1,5 2 1,5 1 1,5 0 1,4 9 1,4 9 1,4 8 1,4 7 1,4 7
1 3 0,1 0 3,1 4 2,7 6 2,5 6 2,4 3 2,3 5 2,2 8 2,2 3 2,2 0 2,1 6 2,1 4 2,1 2 2,1 0
0,0 5 4,6 7 3,8 1 3,4 1 3,1 8 3,0 3 2,9 2 2,8 3 2,7 7 2,7 1 2,6 7 2,6 3 2,6 0
0,0 1 9,0 7 6,7 0 5,7 4 5,2 1 4,8 6 4,6 2 4,4 4 4,3 0 4,1 9 4,1 0 4,0 2 3,9 6
0,2 5 1,4 4 1,5 3 1,5 3 1,5 2 1,5 1 1,5 0 1,4 9 1,4 8 1,4 7 1,4 6 1,4 6 1,4 5
1 4 0,1 0 3,1 0 2,7 3 2,5 2 2,3 9 2,3 1 2,2 4 2,1 9 2,1 5 2,1 2 2,1 0 2,0 8 2,0 5
0,0 5 4,6 0 3,7 4 3,3 4 3,11 2,9 6 2,8 5 2,7 6 2,7 0 2,6 5 2,6 0 2,5 7 2,5 3
0,0 1 8,8 6 6,5 1 5,5 6 5,0 4 4,6 9 4,4 6 4,2 8 4,1 4 4,0 3 3,9 4 3,8 6 3,8 0
0,2 5 1,4 3 1,5 2 1,5 2 1,5 1 1,4 9 1,4 8 1,4 7 1,4 6 1,4 6 1,4 5 1,4 4 1,4 4
1 5 0,1 0 3,0 7 2,7 0 2,4 9 2,3 6 2,2 7 2,2 1 2,1 6 2,1 2 2,0 9 2,0 6 2,0 4 2,0 2
0,0 5 4,5 4 3,6 8 3,2 9 3,0 6 2,9 0 2,7 9 2,7 1 2,6 4 2,5 9 2,5 4 2,5 1 2,4 8
0,0 1 8,6 8 6,3 6 5,4 2 4,8 9 4,5 6 4,3 2 4,1 4 4,0 0 3,8 9 3,8 0 3,7 3 3,6 7
0,2 5 1,4 2 1,5 1 1,5 1 1,5 0 1,4 8 1,4 7 1,4 6 1,4 5 1,4 4 1,4 4 1,4 4 1,4 3
1 6 0,1 0 3,0 5 2,6 7 2,4 6 2,3 3 2,2 4 2,1 8 2,1 3 2,0 9 2,0 6 2,0 3 2,0 1 1,9 9
0,0 5 4,4 9 3,6 3 3,2 4 3,0 1 2,8 5 2,7 4 2,6 6 2,5 9 2,5 4 2,4 9 2,4 6 2,4 2
0,0 1 8,5 3 6,2 3 5,2 9 4,7 7 4,4 4 4,2 0 4,0 3 3,8 9 3,7 8 3,6 9 3,6 2 3,5 5
0,2 5 1,4 2 1,5 1 1,5 0 1,4 9 1,4 7 1,4 6 1,4 5 1,4 4 1,4 3 1,4 3 1,4 2 1,4 1
1 7 0,1 0 3,0 3 2,6 4 2,4 4 2,3 1 2,2 2 2,1 5 2,1 0 2,0 6 2,0 3 2,0 0 1,9 8 1,9 6
0,0 5 4,4 5 3,5 9 3,2 0 2,9 6 2,8 1 2,7 0 2,6 1 2,5 5 2,4 9 2,4 5 2,4 1 2,3 8
0,0 1 8,4 0 6,11 5,1 8 4,6 7 4,3 4 4,1 0 3,9 3 3,7 9 3,6 8 3,5 9 3,5 2 3,4 6
0,2 5 1,4 1 1,5 0 1,4 9 1,4 8 1,4 6 1,4 5 1,4 4 1,4 3 1,4 2 1,4 2 1,4 1 1,4 0
1 8 0,1 0 3,0 1 2,6 2 2,4 2 2,2 9 2,2 0 2,1 3 2,0 8 2,0 4 2,0 0 1,9 8 1,9 6 1,9 3
0,0 5 4,4 1 3,5 5 3,1 6 2,9 3 2,7 7 2,6 6 2,5 8 2,5 1 2,4 6 2,4 1 2,3 7 2,3 4
0,0 1 8,2 9 6,0 1 5,0 9 4,5 8 4,2 5 4,0 1 3,8 4 3,7 1 3,6 0 3,5 1 3,4 3 3,3 7
0,2 5 1,4 1 1,4 9 1,4 9 1,4 7 1,4 6 1,4 4 1,4 3 1,4 2 1,4 1 1,4 1 1,4 0 1,4 0
1 9 0,1 0 2,9 9 2,6 1 2,4 0 2,2 7 2,1 8 2,11 2,0 6 2,0 2 1,9 8 1,9 6 1,9 4 1,9 1
0,0 5 4,3 8 3,5 2 3,1 3 2,9 0 2,7 4 2,6 3 2,5 4 2,4 8 2,4 2 2,3 8 2,3 4 2,3 1
0,0 1 8,1 8 5,9 3 5,0 1 4,5 0 4,1 7 3,9 4 3,7 7 3,6 3 3,5 2 3,4 3 3,3 6 3,3 0
0,2 5 1,4 0 1,4 9 1,4 8 1,4 6 1,4 5 1,4 4 1,4 3 1,4 2 1,4 1 1,4 0 1,3 9 1,3 9
2 0 0,1 0 2,9 7 2,5 9 2,3 8 2,2 5 2,1 6 2,0 9 2,0 4 2,0 0 1,9 6 1,9 4 1,9 2 1,8 9
0,0 5 4,3 5 3,4 9 3,1 0 2,8 7 2,7 1 2,6 0 2,5 1 2,4 5 2,3 9 2,3 5 2,3 1 2,2 8
0,0 l 8,1 0 5,8 5 4,9 4 4,4 3 4,1 0 3,8 7 3,7 0 3,5 6 3,4 6 3,3 7 3,2 9 3,2 3
分母 N2的自由度
(续 )
分子 N1的自由度
1 5 2 0 2 4 3 0 4 0 5 0 6 0 1 0 0 1 2 0 2 0 0 5 0 0 ∞ P r
1,5 3 1,5 2 1,5 2 1,5 1 1,5 1 1,5 0 1,5 0 1,4 9 1,4 9 1,4 9 1,4 8 1,4 8 0,2 5
2,2 4 2,2 0 2,1 8 2,1 6 2,1 3 2,1 2 2,11 2,0 9 2,0 8 2,0 7 2,0 6 2,0 6 0,1 0 1 0
2,8 5 2,7 7 2,7 4 2,7 0 2,6 6 2,6 4 2,6 2 2,5 9 2,5 8 2,5 6 2,5 5 2,5 4 0,0 5
4,5 6 4,4 1 4,3 3 4,2 5 4,1 7 4,1 2 4,0 8 4,0 1 4,0 0 3,9 6 3,9 3 3,9 1 0,0 1
1,5 0 1,4 9 1,4 9 1,4 8 1,4 7 1,4 7 1,4 7 1,4 6 1,4 6 1,4 6 1,4 5 1,4 5 0,2 5
2,1 7 2,1 2 2,1 0 2,0 8 2,0 5 2,0 4 2,0 3 2,0 0 2,0 0 1,9 9 1,9 8 1,9 7 0,1 0 11
2,7 2 2,6 5 2,6 1 2,5 7 2,5 3 2,5 1 2,4 9 2,4 6 2,4 5 2,4 3 2,4 2 2,4 0 0,0 5
4,2 5 4,1 0 4,0 2 3,9 4 3,8 6 3,8 1 3,7 8 3,7 1 3,6 9 3,6 6 3,6 2 3,6 0 0,0 1
1,4 8 1,4 7 1,4 6 1,4 5 1,4 5 1,4 4 1,4 4 1,4 3 1,4 3 1,4 3 1,4 2 1,4 2 0,2 5
2,1 0 2,0 6 2,0 4 2,0 1 1,9 9 1,9 7 1,9 6 1,9 4 1,9 3 1,9 2 1,9 1 1,9 0 0,1 0 1 2
2,6 2 2,5 4 2,5 1 2,4 7 2,4 3 2,4 0 2,3 8 2,3 5 2,3 4 2,3 2 2,3 1 2,3 0 0,0 5
4,0 1 3,8 6 3,7 8 3,7 0 3,6 2 3,5 7 3,5 4 3,4 7 3,4 5 3,4 1 3,3 8 3,3 6 0,0 1
1,4 6 1,4 5 1,4 4 1,4 3 1,4 2 1,4 2 1,4 2 1,4 1 1,4 1 1,4 0 1,4 0 1,4 0 0,2 5
2,0 5 2,0 1 1,9 8 1,9 6 1,9 3 1,9 2 1,9 0 1,8 8 1,8 8 1,8 6 1,8 5 1,8 5 0,1 0 1 3
2,5 3 2,4 6 2,4 2 2,3 8 2,3 4 2,3 1 2,3 0 2,2 6 2,2 5 2,2 3 2,2 2 2,2 1 0,0 5
3,8 2 3,6 6 3,5 9 3,5 1 3,4 3 3,3 8 3,3 4 3,2 7 3,2 5 3,2 2 3,1 9 3,1 7 0,0 1
1,4 4 1,4 3 1,4 2 1,4 1 1,4 1 1,4 0 1,4 0 1,3 9 1,3 9 1,3 9 1,3 8 1,3 8 0,2 5
2,0 1 1,9 6 1,9 4 1,9 1 1,8 9 1,8 7 1,8 6 1,8 3 1,8 3 1,8 2 1,8 0 1,8 0 0,1 0 1 4
2,4 6 2,3 9 2,3 5 2,3 1 2,2 7 2,2 4 2,2 2 2,1 9 2,1 8 2,1 6 2,1 4 2,1 3 0,0 5
3,6 6 3,5 1 3,4 3 3,3 5 3,2 7 3,2 2 3,1 8 3,11 3,0 9 3,0 6 3,0 3 3,0 0 0,0 1
1,4 3 1,4 1 1,4 1 1,4 0 1,3 9 1,3 9 1,3 8 1,3 8 1,3 7 1,3 7 1,3 6 1,3 6 0,2 5
1,9 7 1,9 2 1,9 0 1,8 7 1,8 5 1,8 3 1,8 2 1,7 9 1,7 9 1,7 7 1,7 6 1,7 6 0,1 0 1 5
2,4 0 2,3 3 2,2 9 2,2 5 2,2 0 2,1 8 2,1 6 2,1 2 2,11 2,1 0 2,0 8 2,0 7 0,0 5
3,5 2 3,3 7 3,2 9 3,2 1 3,1 3 3,0 8 3,0 5 2,9 8 2,9 6 2,9 2 2,8 9 2,8 7 0,0 1
1,4 1 1,4 0 1,3 9 1,3 8 1,3 7 1,3 7 1,3 6 1,3 6 1,3 5 1,3 5 1,3 4 1,3 4 0,2 5
1,9 4 1,8 9 1,8 7 1,8 4 1,8 1 1,7 9 1,7 8 1,7 6 1,7 5 1,7 4 1,7 3 1,7 2 0,1 0 1 6
2,3 5 2,2 8 2,2 4 2,1 9 2,1 5 2,1 2 2,11 2,0 7 2,0 6 2,0 4 2,0 2 2,0 1 0,0 5
3,4 1 3,2 6 3,1 8 3,1 0 3,0 2 2,9 7 2,9 3 2,8 6 2,8 4 2,8 1 2,7 8 2,7 5 0,0 1
1,4 0 1,3 9 1,3 8 1,3 7 1,3 6 1,3 5 1,3 5 1,3 4 1,3 4 1,3 4 1,3 3 1,3 3 0,2 5
1,9 1 1,8 6 1,8 4 1,8 1 1,7 8 1,7 6 1,7 5 1,7 3 1,7 2 1,7 1 1,6 9 1,6 9 0,1 0 1 7
2,3 1 2,2 3 2,1 9 2,1 5 2,1 0 2,0 8 2,0 6 2,0 2 2,0 1 1,9 9 1,9 7 1,9 6 0,0 5
3,3 1 3,1 6 3,0 8 3,0 0 2,9 2 2,8 7 2,8 3 2,7 6 2,7 5 2,7 1 2,6 8 2,6 5 0,0 1
1,3 9 1,3 8 1,3 7 1,3 6 1,3 5 1,3 4 1,3 4 1,3 3 1,3 3 1,3 2 1,3 2 1,3 2 0,2 5
1,8 9 1,8 4 1,8 1 1,7 8 1,7 5 1,7 4 1,7 2 1,7 0 1,6 9 1,6 8 1,6 7 1,6 6 0,1 0 1 8
2,2 7 2,1 9 2,1 5 2,11 2,0 6 2,0 4 2,0 2 1,9 8 1,9 7 1,9 5 1,9 3 1,9 2 0,0 5
3,2 3 3,0 8 3,0 0 2,9 2 2,8 4 2,7 8 2,7 5 2,6 8 2,6 6 2,6 2 2,5 9 2,5 7 0,0 1
1,3 8 1,3 7 1,3 6 1,3 5 1,3 4 1,3 3 1,3 3 1,3 2 1,3 2 1,3 1 1,3 1 1,3 0 0,2 5
1,8 6 1,8 1 1,7 9 1,7 6 1,7 3 1,7 1 1,7 0 1,6 7 1,6 7 1,6 5 1,6 4 1,6 3 0,1 0 1 9
2,2 3 2,1 6 2,11 2,0 7 2,0 3 2,0 0 1,9 8 1,9 4 1,9 3 1,9 1 1,8 9 1,8 8 0,0 5
3,1 5 3,0 0 2,9 2 2,8 4 2,7 6 2,7 1 2,6 7 2,6 0 2,5 8 2,5 5 2,5 1 2,4 9 0,0 1
1,3 7 1,3 6 1,3 5 1,3 4 1,3 3 1,3 3 1,3 2 1,3 1 1,3 1 1,3 0 1,3 0 1,2 9 0,2 5
1,8 4 1,7 9 1,7 7 1,7 4 1,7 1 1,6 9 1,6 8 1,6 5 1,6 4 1,6 3 1,6 2 1,6 1 0,1 0 2 0
2,2 0 2,1 2 2,0 8 2,0 4 1,9 9 1,9 7 1,9 5 1,9 1 1,9 0 1,8 8 1,8 6 1,8 4 0,0 5
3,0 9 2,9 4 2,8 6 2,7 8 2,6 9 2,6 4 2,6 1 2,5 4 2,5 2 2,4 8 2,4 4 2,4 2 0,0 1
附录 A 统 计 表 介绍 333
下载分母 N2的自由度
334部分 附 录 下载
(续 )
分子 N1的自由度
P r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 1 2
0,2 5 1,4 0 1,4 8 1,4 7 1,4 5 1,4 4 1,4 2 1,4 1 1,4 0 1,3 9 1,3 9 1,3 8 1,3 7
2 2 0,1 0 2,9 5 2,5 6 2,3 5 2,2 2 2,1 3 2,0 6 2,0 1 1,9 7 1,9 3 1,9 0 1,8 8 1,8 6
0,0 5 4,3 0 3,4 4 3,0 5 2,8 2 2,6 6 2,5 5 2,4 6 2,4 0 2,3 4 2,3 0 2,2 6 2,2 3
0,0 1 7,9 5 5,7 2 4,8 2 4,3 1 3,9 9 3,7 6 3,5 9 3,4 5 3,3 5 3,2 6 3,1 8 3,1 2
0,2 5 1,3 9 1,4 7 1,4 6 1,4 4 1,4 3 1,4 1 1,4 0 1,3 9 1,3 8 1,3 8 1,3 7 1,3 6
2 4 0,1 0 2,9 3 2,5 4 2,3 3 2,1 9 2,1 0 2,0 4 1,9 8 1,9 4 1,9 1 1,8 8 1,8 5 1,8 3
0,0 5 4,2 6 3,4 0 3,0 1 2,7 8 2,6 2 2,5 1 2,4 2 2,3 6 2,3 0 2,2 5 2,2 1 2,1 8
0,0 1 7,8 2 5,6 1 4,7 2 4,2 2 3,9 0 3,6 7 3,5 0 3,3 6 3,2 6 3,1 7 3,0 9 3,0 3
0,2 5 1,3 8 1,4 6 1,4 5 1,4 4 1,4 2 1,4 1 1,3 9 1,3 8 1,3 7 1,3 7 1,3 6 1,3 5
2 6 0,1 0 2,9 1 2,5 2 2,3 1 2,1 7 2,0 8 2,0 1 1,9 6 1,9 2 1,8 8 1,8 6 1,8 4 1,8 1
0,0 5 4,2 3 3,3 7 2,9 8 2,7 4 2,5 9 2,4 7 2,3 9 2,3 2 2,2 7 2,2 2 2,1 8 2,1 5
0,0 1 7,7 2 5,5 3 4,6 4 4,1 4 3,8 2 3,5 9 3,4 2 3,2 9 3,1 8 3,0 9 3,0 2 2,9 6
0,2 5 1,3 8 1,4 6 1,4 5 1,4 3 1,4 1 1,4 0 1,3 9 1,3 8 1,3 7 1,3 6 1,3 5 1,3 4
2 8 0,1 0 2,8 9 2,5 0 2,2 9 2,1 6 2,0 6 2,0 0 1,9 4 1,9 0 1,8 7 1,8 4 1,8 1 1,7 9
0,0 5 4,2 0 3,3 4 2,9 5 2,7 1 2,5 6 2,4 5 2,3 6 2,2 9 2,2 4 2,1 9 2,1 5 2,1 2
0,0 1 7,6 4 5,4 5 4,5 7 4,0 7 3,7 5 3,5 3 3,3 6 3,2 3 3,1 2 3,0 3 2,9 6 2,9 0
0,2 5 1,3 8 1,4 5 1,4 4 1,4 2 1,4 1 1,3 9 1,3 8 1,3 7 1,3 6 1,3 5 1,3 5 1,3 4
3 0 0,1 0 2,8 8 2,4 9 2,2 8 2,1 4 2,0 5 1,9 8 1,9 3 1,8 8 1,8 5 1,8 2 1,7 9 1,7 7
0,0 5 4,1 7 3,3 2 2,9 2 2,6 9 2,5 3 2,4 2 2,3 3 2,2 7 2,2 1 2,1 6 2,1 3 2,0 9
0,0 1 7,5 6 5,3 9 4,5 1 4,0 2 3,7 0 3,4 7 3,3 0 3,1 7 3,0 7 2,9 8 2,9 1 2,8 4
0,2 5 1,3 6 1,4 4 1,4 2 1,4 0 1,3 9 1,3 7 1,3 6 1,3 5 1,3 4 1,3 3 1,3 2 1,3 1
4 0 0,1 0 2,8 4 2,4 4 2,2 3 2,0 9 2,0 0 1,9 3 1,8 7 1,8 3 1,7 9 1,7 6 1,7 3 1,7 1
0,0 5 4,0 8 3,2 3 2,8 4 2,6 1 2,4 5 2,3 4 2,2 5 2,1 8 2,1 2 2,0 8 2,0 4 2,0 0
0,0 1 7,3 1 5,1 8 4,3 1 3,8 3 3,5 1 3,2 9 3,1 2 2,9 9 2,8 9 2,8 0 2,7 3 2,6 6
0,2 5 1,3 5 1,4 2 1,4 1 1,3 8 1,3 7 1,3 5 1,3 3 1,3 2 1,3 1 1,3 0 1,2 9 1,2 9
6 0 0,1 0 2,7 9 2,3 9 2,1 8 2,0 4 1,9 5 1,8 7 1,8 2 1,7 7 1,7 4 1,7 1 1,6 8 1,6 6
0,0 5 4,0 0 3,1 5 2,7 6 2,5 3 2,3 7 2,2 5 2,1 7 2,1 0 2,0 4 1,9 9 1,9 5 1,9 2
0,0 1 7,0 8 4,9 8 4,1 3 3,6 5 3,3 4 3,1 2 2,9 5 2,8 2 2,7 2 2,6 3 2,5 6 2,5 0
0,2 5 1,3 4 1,4 0 1,3 9 1,3 7 1,3 5 1,3 3 1,3 1 1,3 0 1,2 9 1,2 8 1,2 7 1,2 6
1 2 0 0,1 0 2,7 5 2,3 5 2,1 3 1,9 9 1,9 0 1,8 2 1,7 7 1,7 2 1,6 8 1,6 5 1,6 2 1,6 0
0,0 5 3,9 2 3,0 7 2,6 8 2,4 5 2,2 9 2,1 7 2,0 9 2,0 2 1,9 6 1,9 1 1,8 7 1,8 3
0,0 1 6,8 5 4,7 9 3,9 5 3,4 8 3,1 7 2,9 6 2,7 9 2,6 6 2,5 6 2,4 7 2,4 0 2,3 4
0,2 5 1,3 3 1,3 9 1,3 8 1,3 6 1,3 4 1,3 2 1,3 1 1,2 9 1,2 8 1,2 7 1,2 6 1,2 5
2 0 0 0,1 0 2,7 3 2,3 3 2,11 1,9 7 1,8 8 1,8 0 1,7 5 1,7 0 1,6 6 1,6 3 1,6 0 1,5 7
0,0 5 3,8 9 3,0 4 2,6 5 2,4 2 2,2 6 2,1 4 2,0 6 1,9 8 1,9 3 1,8 8 1,8 4 1,8 0
0,0 1 6,7 6 4,7 1 3,8 8 3,4 1 3,11 2,8 9 2,7 3 2,6 0 2,5 0 2,4 1 2,3 4 2,2 7
0,2 5 1,3 2 1,3 9 1,3 7 1,3 5 1,3 3 1,3 1 1,2 9 1,2 8 1,2 7 1,2 5 1,2 4 1,2 4
∞ 0,1 0 2,7 1 2,3 0 2,0 8 1,9 4 1,8 5 1,7 7 1,7 2 1,6 7 1,6 3 1,6 0 1,5 7 1,5 5
0,0 5 3,8 4 3,0 0 2,6 0 2,3 7 2,2 1 2,1 0 2,0 1 1,9 4 1,8 8 1,8 3 1,7 9 1,7 5
0,0 1 6,6 3 4,6 1 3,7 8 3,3 2 3,0 2 2,8 0 2,6 4 2,5 1 2,4 1 2,3 2 2.25 2,1 8
资料来源,E.S,Pearson and H.O.Hartley,e d s,Biometrika Tables for Statisticians,vol.1,3d ed.,table
18,Cambridge University Press,New York,1966,Reproduced by permission of the editors and
trustees of B i o m e t r i k a,
分母 N2的自由度附录 A 统 计 表 介绍 335
下载
(续 )
分子 N1的自由度
1 5 2 0 2 4 3 0 4 0 5 0 6 0 1 0 0 1 2 0 2 0 0 5 0 0 ∞ P r
1,3 6 1,3 4 1,3 3 1,3 2 1,3 1 1,3 1 1,3 0 1,3 0 1,3 0 1,2 9 1,2 9 1,2 8 0,2 5
1,8 1 1,7 6 1,7 3 1,7 0 1,6 7 1,6 5 1,6 4 1,6 1 1,6 0 1,5 9 1,5 8 1,5 7 0,1 0 2 2
2,1 5 2,0 7 2,0 3 1,9 8 1,9 4 1,9 1 1,8 9 1,8 5 1,8 4 1,8 2 1,8 0 1,7 8 0,0 5
2,9 8 2,8 3 2,7 5 2,6 7 2,5 8 2,5 3 2,5 0 2,4 2 2,4 0 2,3 6 2,3 3 2,3 1 0,0 1
1,3 5 1,3 3 1,3 2 1,3 1 1,3 0 1,2 9 1,2 9 1,2 8 1,2 8 1,2 7 1,2 7 1,2 6 0,2 5
1,7 8 1,7 3 1,7 0 1,6 7 1,6 4 1,6 2 1,6 1 1,5 8 1,5 7 1,5 6 1,5 4 1,5 3 0,1 0 2 4
2,11 2,0 3 1,9 8 1,9 4 1,8 9 1,8 6 1,8 4 1,8 0 1,7 9 1,7 7 1,7 5 1,7 3 0,0 5
2,8 9 2,7 4 2,6 6 2,5 8 2,4 9 2,4 4 2,4 0 2,3 3 2,3 1 2,2 7 2,2 4 2,2 1 0,0 1
1,3 4 1,3 2 1,3 1 1,3 0 1,2 9 1,2 8 1,2 8 1,2 6 1,2 6 1,2 6 1,2 5 1,2 5 0,2 5
1,7 6 1,7 1 1,6 8 1,6 5 1,6 1 1,5 9 1,5 8 1,5 5 1,5 4 1,5 3 1,5 1 1,5 0 0,1 0 2 6
2,0 7 1,9 9 1,9 5 1,9 0 1,8 5 1,8 2 1,8 0 1,7 6 1,7 5 1,7 3 1,7 1 1,6 9 0,0 5
2,8 1 2,6 6 2,5 8 2,5 0 2,4 2 2,3 6 2,3 3 2,2 5 2,2 3 2,1 9 2,1 6 2,1 3 0,0 1
1,3 3 1,3 1 1,3 0 1,2 9 1,2 8 1,2 7 1,2 7 1,2 6 1,2 5 1,2 5 1,2 4 1,2 4 0,2 5
1,7 4 1,6 9 1,6 6 1,6 3 1,5 9 1,5 7 1,5 6 1,5 3 1,5 2 1,5 0 1,4 9 1,4 8 0,1 0 2 8
2,0 4 1,9 6 1,9 1 1,8 7 1,8 2 1,7 9 1,7 7 1,7 3 1,7 1 1,6 9 1,6 7 1,6 5 0,0 5
2,7 5 2,6 0 2,5 2 2,4 4 2,3 5 2,3 0 2,2 6 2,1 9 2,1 7 2,1 3 2,0 9 2,0 6 0,0 1
1,3 2 1,3 0 1,2 9 1,2 8 1,2 7 1,2 6 1,2 6 1,2 5 1,2 4 1,2 4 1,2 3 1,2 3 0,2 5
1,7 2 1,6 7 1,6 4 1,6 1 1,5 7 1,5 5 1,5 4 1,5 1 1,5 0 1,4 8 1,4 7 1,4 6 0,1 0 3 0
2,0 1 1,9 3 1,8 9 1,8 4 1,7 9 1,7 6 1,7 4 1,7 0 1,6 8 1,6 6 1,6 4 1,6 2 0,0 5
2,7 0 2,5 5 2,4 7 2,3 9 2,3 0 2,2 5 2,2 1 2,1 3 2,11 2,0 7 2,0 3 2,0 1 0,0 1
1,3 0 1,2 8 1,2 6 1,2 5 1,2 4 1,2 3 1,2 2 1,2 1 1,2 1 1,2 0 1,1 9 1,1 9 0,2 5
1,6 6 1,6 1 1,5 7 1,5 4 1,5 1 1,4 8 1,4 7 1,4 3 1,4 2 1,4 1 1,3 9 1,3 8 0,1 0 4 0
1,9 2 1,8 4 1,7 9 1,7 4 1,6 9 1,6 6 1,6 4 1,5 9 1,5 8 1,5 5 1,5 3 1,5 1 0,0 5
2,5 2 2,3 7 2,2 9 2,2 0 2,11 2,0 6 2,0 2 1,9 4 1,9 2 1,8 7 1,8 3 1,8 0 0,0 1
1,2 7 1,2 5 1,2 4 1,2 2 1,2 1 1,2 0 1,1 9 1,1 7 1,1 7 1,1 6 1,1 5 1,1 5 0,2 5
1,6 0 1,5 4 1,5 1 1,4 8 1,4 4 1,4 1 1,4 0 1,3 6 1,3 5 1,3 3 1,3 1 1,2 9 0,1 0 6 0
1,8 4 1,7 5 1,7 0 1,6 5 1,5 9 1,5 6 1,5 3 1,4 8 1,4 7 1,4 4 1,4 1 1,3 9 0,0 5
2,3 5 2,2 0 2,1 2 2,0 3 1,9 4 1,8 8 1,8 4 1,7 5 1,7 3 1,6 8 1,6 3 1,6 0 0,0 1
1,2 4 1,2 2 1,2 1 1,1 9 1,1 8 1,1 7 1,1 6 1,1 4 1,1 3 1,1 2 1,11 1,1 0 0,2 5
1,5 5 1,4 8 1,4 5 1,4 1 1,3 7 1,3 4 1,3 2 1,2 7 1,2 6 1,2 4 1,2 1 1,1 9 0,1 0 1 2 0
1,7 5 1,6 6 1,6 1 1,5 5 1,5 0 1,4 6 1,4 3 1,3 7 1,3 5 1,3 2 1,2 8 1,2 5 0,0 5
2,1 9 2,0 3 1,9 5 1,8 6 1,7 6 1,7 0 1,6 6 1,5 6 1,5 3 1,4 8 1,4 2 1,3 8 0,0 1
1,2 3 1,2 1 1,2 0 1,1 8 1,1 6 1,1 4 1,1 2 1,11 1,1 0 1,0 9 1,0 8 1,0 6 0,2 5
1,5 2 1,4 6 1,4 2 1,3 8 1,3 4 1,3 1 1,2 8 1,2 4 1,2 2 1,2 0 1,1 7 1,1 4 0,1 0 2 0 0
1,7 2 1,6 2 1,5 7 1,5 2 1,4 6 1,4 1 1,3 9 1,3 2 1,2 9 1,2 6 1,2 2 1,1 9 0,0 5
2,1 3 1,9 7 1,8 9 1,7 9 1,6 9 1,6 3 1,5 8 1,4 8 1,4 4 1,3 9 1,3 3 1,2 8 0,0 1
1,2 2 1,1 9 1,1 8 1,1 6 1,1 4 1,1 3 1,1 2 1,0 9 1,0 8 1,0 7 1,0 4 1,0 0 0,2 5
1,4 9 1,4 2 1,3 8 1,3 4 1,3 0 1,2 6 1,2 4 1,1 8 1,1 7 1,1 3 1,0 8 1,0 0 0,1 0 ∞
1,6 7 1,5 7 1,5 2 1,4 6 1,3 9 1,3 5 1,3 2 1,2 4 1,2 2 1,1 7 1,11 1,0 0 0,0 5
2,0 4 1,8 8 1,7 9 1,7 0 1,5 9 1,5 2 1,4 7 1,3 6 1,3 2 1,2 5 1,1 5 1,0 0 0,0 1
分母 N2的自由度表 A-4 2分布的自由度
P r 0,9 9 5 0,9 9 0 0,9 7 5 0,9 5 0 0,9 0 0
1 392 704× 1 0-1 0 1 5 7 0 8 8× 1 0-9 982 069× 1 0-9 393 214× 1 0-8 0.0 157 908
2 0.0 100 251 0.0 201 007 0.0 506 356 0.102 587 0.210 720
3 0.0 717 212 0,114 832 0.2 157 95 0.351 846 0.584 375
4 0.2 06 990 0.297 11 0 0.484 419 0.710 721 1.063 623
5 0,4 11 740 0.554 300 0.831 211 1.145 476 1.61 031
6 0.675 727 0.872 085 1.237 347 1.63 539 2.20 413
7 0.989 265 1.239 043 1.68 987 2.16 735 2.83 311
8 1.344 419 1.646 482 2.17 973 2.73 264 3.48 954
9 1.734 926 2.087 912 2.70 039 3.32 511 4.16 816
1 0 2.15 585 2.55 821 3.24 697 3.94 030 4.86 518
11 2.60 321 3.05 347 3.81 575 4.57 481 5.57 779
1 2 3.07 382 3.57 056 4.40 379 5.22 603 6.30 380
1 3 3.56 503 4.10 691 5.00 874 5.89 186 7.04 150
1 4 4.07 468 4.66 043 5.62 872 6.57 063 7.78 953
1 5 4.60 094 5.22 935 6.26 214 7.26 094 8.54 675
1 6 5.14 224 5.81 221 6.90 766 7.96 164 9.31 223
1 7 5.69 724 6.40 776 7.56 418 8.67 176 10.0 852
1 8 6.26 481 7.01 491 8.23 075 9.39 046 10.8 649
1 9 6.84 398 7.63 273 8.90 655 10.1 170 11.6 509
2 0 7.43 386 8.26 040 9.59 083 10.8 508 12.4 426
2 1 8.03 366 8.89 720 10.28 293 11.5 913 13.2 396
2 2 8.64 272 9.54 249 10.9 823 12.3 380 14.0 415
2 3 9.26 042 10.19 567 11.6 885 13.0 905 14.8 479
2 4 9.88 623 10.8 564 12.4 011 13.8 484 15.6 587
2 5 10.5 197 11.5 240 13.1 197 14.6 11 4 16.4 734
2 6 11.1 603 12.1 981 13.8 439 15.3 791 17.2 919
2 7 11.8 076 12.8 786 14.5 733 16.1 513 18.1 138
2 8 12.4 613 13.5 648 15.3 079 16.9 279 18.9 392
2 9 13.1 211 14.2 565 16.0 471 17.7 083 19.7 677
3 0 13.7 867 14.9 535 16.7 908 18.4 926 20.5 992
4 0 20.7 065 22.1 643 24.4 331 26.5 093 29.0 505
5 0 27.9 907 29.7 067 32.3 574 34.7 642 37.6 886
6 0 35.5 346 37.4 848 40.4 817 43.1 879 46.4 589
7 0 43.2 752 45.4 418 48.7 576 51.7 393 55.3 290
8 0 51.1 720 53.5 400 5 7,1 5 3 2 60.3 915 64.2 778
9 0 59.1 963 61.7 541 65.6 466 69.1 260 73.2 912
1 0 0① 67.3 276 70.0 648 74.2 219 77.9 295 82.3 581
① 当自由度大于 1 0 0时,=Z服从标准正态分布，其中,k代表自由度。
资料来源,E.S,Pearson and H.O.Hartley,eds,Biometrika Tables for Statisticians,vol.1,3ded.,table 8,Cambridge
University Press,New York,1966,Reproduced by permission of the editors and trustees of B i o m e t r i k a,
2χ
2
(2k?1)
336部分 附 录 下载例,
Pr (χ2＞ 10.85)=0.95
Pr (χ2＞ 23.83)=0.25 自由度为 20
Pr (χ2＞ 31.41)=0.05
附录 A 统 计 表 介绍 337
下载
0,7 5 0 0,5 0 0 0,2 5 0 0,1 0 0 0,0 5 0 0,0 2 5 0,0 1 0 0,0 0 5
0.1 015 308 0.454 937 1.32 330 2.70 554 3.84 146 5.02 389 6.63 490 7.87 944
0.575 364 1.38 629 2.77 259 4.60 517 5.99 147 7.37 776 9.21 034 10.5 966
1.212 534 2.36 597 4.10 835 6.25 139 7.81 473 9.34 840 11.3 449 12.8 381
1.92 255 3.35 670 5.38 527 7.77 944 9.48 773 11.1 433 13.2 767 14.8 602
2.67 460 4.35 146 6.62 568 9.23 635 11.0 705 12.8 325 15.0 863 16.7 496
3.45 460 5.34 812 7.84 080 10.6 446 12.5 916 14.4 494 16.8 11 9 18.5 476
4.25 485 6.34 581 9.03 715 12.0 170 14.0 671 16.0 128 18.4 753 20.2 777
5.07 064 7.34 412 10.2 188 13.3 616 15.5 073 17.5 346 20.0 902 21.9 550
5.89 883 8.34 283 11.3 887 14.6 837 16.9 190 19.0 228 21.6 660 23.5 893
6.73 720 9.34 182 12.5 489 15.9 871 18.3 070 20.4 831 23.2 093 25.1 882
7.58 412 10.3 410 13.7 007 17.2 750 19.6 751 21.9 200 24.7 250 26.7 569
8.43 842 11.3 403 14.8 454 18.5 494 21.0 261 23.3 367 26.2 170 28.2 995
9.29 906 12.3 398 15.9 839 19.8 11 9 22.3 621 24.7 356 27.6 883 29.8 194
10.1 653 13.3 393 17.1 170 21.0 642 23.6 848 26.1 190 29.1 413 31.3 193
11.0 365 14.3 389 18.2 451 22.3 072 24.9 958 27.4 884 30.5 779 32.8 013
11.9 122 15.3 385 19.3 688 23.5 418 26.2 962 28.8 454 31.9 999 34.2 672
12.7 919 16.3 381 20.4 887 24.7 690 27.5 871 30.1 910 33.4 087 35.7 185
13.6 753 17.3 379 21.6 049 25.9 894 28.8 693 31.5 264 34.8 053 37.1 564
14.5 620 18.3 376 22.7 178 27.2 036 30.1 435 32.8 523 36.1 908 38.5 822
15.4 518 19.3 374 23.8 277 28.4 120 31.4 104 34.1 696 37.5 662 39.9 968
16.3 444 20.3 372 24.9 348 29.6 151 32.6 705 35.4 789 38.9 321 41.4 010
17.2 396 21.3 370 26.0 393 30.8 133 33.9 244 36.7 807 40.2 894 42.7 956
18.1 373 22.3 369 27.1 413 32.0 069 35.1 725 38.0 757 41.6 384 44.1 813
19.0 372 2 3,3 3 6 7 28.2 412 33.1 963 36.4 151 39.3 641 42.9 798 45.5 585
19.9 393 24.3 366 29.3 389 34.3 816 37.6 525 40.6 465 44.3 141 46.9 278
20.8 434 25.3 364 30.4 345 35.5 631 38.8 852 41.9 232 45.6 417 48.2 899
21.7 494 26.3 363 31.5 284 36.7 412 40.1 133 43.1 944 46.9 630 49.6 449
22.6 572 27.3 363 32.6 205 37.9 159 41.3 372 44.4 607 48.2 782 50.9 933
23.5 666 28.3 362 33.7 109 39.0 875 42.5 569 45.7 222 49.5 879 52.3 356
24.4 776 29.3 360 34.7 998 40.2 560 43.7 729 46.9 792 50.8 922 53.6 720
33.6 603 39.3 354 45.6 160 51.8 050 55.7 585 59.3 417 63.6 907 66.7 659
42.9 421 49.3 349 56.3 336 63,1 671 67.5 048 71.4 202 76.1 539 79.4 900
52.2 938 59.3 347 66.9 814 74.3 970 79.0 819 83.2 976 88.3 794 91.9 517
61.6 983 69.3 344 77.5 766 85.5 271 90.5 312 95.0 231 1 0 0,4 2 5 104,215
71.1 445 79.3 343 88.1 303 96.5 782 1 0 1,8 7 9 1 0 6,6 2 9 11 2,3 2 9 11 6,3 2 1
80.6 247 89.3 342 98.6 499 1 0 7,5 6 5 11 3,1 4 5 11 8,1 3 6 1 2 4,11 6 1 2 8,2 9 9
90.1 332 99.3 341 1 0 9,1 4 1 11 8,4 9 8 1 2 4,3 4 2 1 2 9,5 6 1 1 3 5,8 0 7 1 4 0,1 6 9
2
0 10.85 23.83 31.41
25%面积95%面积
5%面积上百分点表 A-5a 杜宾 -瓦尔森 d统计量：显著水平 0,0 5的 dL与 dU的显著点
k' = 1 k' = 2 k' = 3 k' = 4 k' = 5 k' = 6 k' = 7 k' = 8 k' = 9 k' = 1 0
n dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU
6 0,6 1 0 1,4 0 0 — — — — — — — — — — — — — — — — — —
7 0,7 0 0 1,3 5 6 0,4 6 7 1,8 9 6 — — — — — — — — — — — — — — — —
8 0,7 6 3 1,3 3 2 0,5 5 9 1,7 7 7 0,3 6 8 2,2 8 7 — — — — — — — — — — — — — —
9 0,8 2 4 1,3 2 0 0,6 2 9 1,6 9 9 0,4 5 5 2,1 2 8 0,2 9 6 2,5 8 8 — — — — — — — — — — — —
1 0 0,8 7 9 1,3 2 0 0,6 9 7 1,6 4 1 0,5 2 5 2,0 1 6 0,3 7 6 2,4 1 4 0,2 4 3 2,8 2 2 — — — — — — — — — —
11 0,9 2 7 1,3 2 4 0,6 5 8 1,6 0 4 0,5 9 5 1,9 2 8 0,4 4 4 2,2 8 3 0,3 1 6 2,6 4 5 0,2 0 3 3,0 0 5 — — — — — — — —
1 2 0,9 7 1 1,3 3 1 0,8 1 2 1,5 7 9 0,6 5 8 1,8 6 4 0,5 1 2 2,1 7 7 0,3 7 9 2,5 0 6 0,2 6 8 2,8 3 2 0,1 7 1 3,1 4 9 — — — — — —
1 3 1,0 1 0 1,3 4 0 0,8 6 1 1,5 6 2 0,7 1 5 1,8 1 6 0,5 7 4 2,0 9 4 0,4 4 5 2,3 9 0 0,3 2 8 2,6 9 2 0,2 3 0 2,9 8 5 0,1 4 7 3,2 6 6 — — — —
1 4 1,0 4 5 1,3 5 0 0,9 0 5 1,5 5 1 0,7 6 7 1,7 7 9 0,6 3 2 2,0 3 0 0,5 0 5 2,2 9 6 0,3 8 9 2,5 7 2 0,2 8 6 2,8 4 8 0,2 0 0 3,111 0,1 2 7 3,3 6 0 — —
1 5 1,0 7 7 1,3 6 1 0,9 4 6 1,5 4 3 0,8 1 4 1,7 5 0 0,6 8 5 1,9 7 7 0,5 6 2 2,2 2 0 0,4 4 7 2,4 7 2 0,3 4 3 2,7 2 7 0,2 5 1 2,9 7 9 0,1 7 5 3,2 1 6 0,111 3,4 3 8
1 6 1,1 0 6 1,3 7 1 0,9 8 2 1,5 3 9 0,8 5 7 1,7 2 8 0,7 3 4 1,9 3 5 0,6 1 5 2,1 5 7 0,5 0 2 2,3 8 8 0,3 9 8 2,6 2 4 0,3 0 4 2,8 6 0 0,2 2 2 3,0 9 0 0,1 5 5 3,3 0 4
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338部分 附 录 下载
(续 )
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2 6 0,5 0 8 2,6 4 9 0,4 3 8 2,7 8 4 0,3 7 3 2,9 1 9 0,3 1 2 3,0 5 1 0,2 5 6 3,1 7 9 0,2 0 5 3,3 0 3 0,1 6 0 3,4 2 0 0,1 2 0 3,5 3 1 0,0 8 7 3,6 3 2 0,0 6 0 3,7 2 4
2 7 0,5 4 4 2,6 0 0 0,4 7 5 2,7 3 0 0,4 0 9 2,8 5 9 0,3 4 8 2,9 8 7 0,2 9 1 3,11 2 0,2 3 8 3,2 3 3 0,1 9 1 3,3 4 9 0,1 4 9 3,4 6 0 0,11 2 3,5 6 3 0,0 8 1 3,6 5 8
2 8 0,5 7 8 2,5 5 5 0,5 1 0 2,6 8 0 0,4 4 5 2,8 0 5 0,3 8 3 2,9 2 8 0,3 2 5 3,0 5 0 0,2 7 1 3,1 6 8 0,2 2 2 3,2 8 3 0,1 7 8 3,3 9 2 0,1 3 8 3,4 9 5 0,1 0 4 3,5 9 2
2 9 0,6 1 2 2,5 1 5 0,5 4 4 2,6 3 4 0,4 7 9 2,7 5 5 0,4 1 8 2,8 7 4 0,3 5 9 2,9 9 2 0,3 0 5 3,1 0 7 0,2 5 4 3,2 1 9 0,2 0 8 3,3 2 7 0,1 6 6 3,4 3 1 0,1 2 9 3,5 2 8
3 0 0,6 4 3 2,4 7 7 0,5 7 7 2,5 9 2 0,5 1 2 2,7 0 8 0,4 5 1 2,8 2 3 0,3 9 2 2,9 3 7 0,3 3 7 3,0 5 0 0,2 8 6 3,1 6 0 0,2 3 8 3,2 6 6 0,1 9 5 3,3 6 8 0,1 5 6 3,4 6 5
3 1 0,6 7 4 2,4 4 3 0,6 0 8 2,5 5 3 0,5 4 5 2,6 6 5 0,4 8 4 2,7 7 6 0,4 2 5 2,8 8 7 0,3 7 0 2,9 9 6 0,3 1 7 3,1 0 3 0,2 6 9 3,2 0 8 0,2 2 4 3,3 0 9 0,1 8 3 3,4 0 6
3 2 0,7 0 3 2,4 11 0,6 3 8 2,5 1 7 0,5 7 6 2,6 2 5 0,5 1 5 2,7 3 3 0,4 5 7 2,8 4 0 0,4 0 1 2,9 4 6 0,3 4 9 3,0 5 0 0,2 9 9 3,1 5 3 0,2 5 3 3,2 5 2 0,2 11 3,3 4 8
3 3 0,7 3 1 2,3 8 2 0,6 6 8 2,4 8 4 0,6 0 6 2,5 8 8 0,5 4 6 2,6 9 2 0,4 8 8 2,7 9 6 0,4 3 2 2,8 9 9 0,3 7 9 3,0 0 0 0,3 2 9 3,1 0 0 0,2 8 3 3,1 9 8 0,2 3 9 3,2 9 3
3 4 0,7 5 8 2,3 5 5 0,6 9 5 2,4 5 4 0,6 3 4 2,5 5 4 0,5 7 5 2,6 5 4 0,5 1 8 2,7 5 4 0,4 6 2 2,8 5 4 0,4 0 9 2,9 5 4 0,3 5 9 3,0 5 1 0,3 1 2 3,1 4 7 0,2 6 7 3,2 4 0
3 5 0,7 8 3 2,3 3 0 0,7 2 2 2,4 2 5 0,6 6 2 2,5 2 1 0,6 0 4 2,6 1 9 0,5 4 7 2,7 1 6 0,4 9 2 2,8 1 3 0,4 3 9 2,9 1 0 0,3 8 8 3,0 0 5 0,3 4 0 3,0 9 9 0,2 9 5 3,1 9 0
3 6 0,8 0 8 2,3 0 6 0,7 4 8 2,3 9 8 0,6 8 9 2,4 9 2 0,6 3 1 2,5 8 6 0,5 7 5 2,6 8 0 0,5 2 0 2,7 7 4 0,4 6 7 2,8 6 8 0,4 1 7 2,9 6 1 0,3 6 9 3,0 5 3 0,3 2 3 3,1 4 2
3 7 0,8 3 1 2,2 8 5 0,7 7 2 2,3 7 4 0,7 1 4 2,4 6 4 0,6 5 7 2,5 5 5 0,6 0 2 2,6 4 6 0,5 4 8 2,7 3 8 0,4 9 5 2,8 2 9 0,4 4 5 2,9 2 0 0,3 9 7 3,0 0 9 0,3 5 1 3,0 9 7
3 8 0,8 5 4 2,2 6 5 0,7 9 6 2,3 5 1 0,7 3 9 2,4 3 8 0,6 8 3 2,5 2 6 0,6 2 8 2,6 1 4 0,5 7 5 2,7 0 3 0,5 2 2 2,7 9 2 0,4 7 2 2,8 8 0 0,4 2 4 2,9 6 8 0,3 7 8 3,0 5 4
3 9 0,8 7 5 2,2 4 6 0,8 1 9 2,3 2 9 0,7 6 3 2,4 1 3 0,7 0 7 2,4 9 9 0,6 5 3 2,5 8 5 0,6 0 0 2,6 7 1 0,5 4 9 2,7 5 7 0,4 9 9 2,8 4 3 0,4 5 1 2,9 2 9 0,4 0 4 3,0 1 3
4 0 0,8 9 6 2,2 2 8 0,8 4 0 2,3 0 9 0,7 8 5 2,3 9 1 0,7 3 1 2,4 7 3 0,6 7 8 2,5 5 7 0,6 2 6 2,6 4 1 0,5 7 5 2,7 2 4 0,5 2 5 2,8 0 8 0,4 7 7 2,8 9 2 0,4 3 0 2,9 7 4
4 5 0,9 8 8 2,1 5 6 0,9 3 8 2,2 2 5 0,8 8 7 2,2 9 6 0,8 3 8 2,3 6 7 0,7 8 8 2,4 3 9 0,7 4 0 2,5 1 2 0,6 9 2 2,5 8 6 0,6 4 4 2,6 5 9 0,5 9 8 2,7 3 3 0,5 5 3 2,8 0 7
5 0 1,0 6 4 2,1 0 3 1,0 1 9 2,1 6 3 0,9 7 3 2,2 2 5 0,9 2 7 2,2 8 7 0,8 8 2 2,3 5 0 0,8 3 6 2,4 1 4 0,7 9 2 2,4 7 9 0,7 4 7 2,5 4 4 0,7 0 3 2,6 1 0 0,6 6 0 2,6 7 5
5 5 1,1 2 9 2,0 6 2 1,0 8 7 2,11 6 1,0 4 5 2,1 7 0 1,0 0 3 2,2 2 5 0,9 6 1 2,2 8 1 0,9 1 9 2,3 3 8 0,8 7 7 2,3 9 6 0,8 3 6 2,4 5 4 0,7 9 5 2,5 1 2 0,7 5 4 2,5 7 1
6 0 1,1 8 4 2,0 3 1 1,1 4 5 2,0 7 9 1,1 0 6 2,1 2 7 1,0 6 8 2,1 7 7 1,0 2 9 2,2 2 7 0,9 9 0 2,2 7 8 0,9 5 1 2,3 3 0 0,9 1 3 2,3 8 2 0,8 7 4 2,4 3 4 0,8 3 6 2,4 8 7
6 5 1,2 3 1 2,0 0 6 1,1 9 5 2,0 4 9 1,1 6 0 2,0 9 3 1,1 2 4 2,1 3 8 1,0 8 8 2,1 8 3 1,0 5 2 2,2 2 9 1,0 1 6 2,2 7 6 0,9 8 0 2,3 2 3 0,9 4 4 2,3 7 1 0,9 0 8 2,4 1 9
7 0 1,2 7 2 1,9 8 6 1,2 3 9 2,0 2 6 1,2 0 6 2,0 6 6 1,1 7 2 2,1 0 6 1,1 3 9 2,1 4 8 1,1 0 5 2,1 8 9 1,0 7 2 2,2 3 2 1,0 3 8 2,2 7 5 1,0 0 5 2,3 1 8 0,9 7 1 2,3 6 2
7 5 1,3 0 8 1,9 7 0 1,2 7 7 2,0 0 6 1,2 4 7 2,0 4 3 1,2 1 5 2,0 8 0 1,1 8 4 2,11 8 1,1 5 3 2,1 5 6 1,1 2 1 2,1 9 5 1,0 9 0 2,2 3 5 1,0 5 8 2,2 7 5 1,0 2 7 2,3 1 5
8 0 1,3 4 0 1,9 5 7 1,3 11 1,9 9 1 1,2 8 3 2,0 2 4 1,2 5 3 2,0 5 9 1,2 2 4 2,0 9 3 1,1 9 5 2,1 2 9 1,1 6 5 2,1 6 5 1,1 3 6 2,2 0 1 1,1 0 6 2,2 3 8 1,0 7 6 2,2 7 5
8 5 1,3 6 9 1,9 4 6 1,3 4 2 1,9 7 7 1,3 1 5 2,0 0 9 1,2 8 7 2,0 4 0 1,2 6 0 2,0 7 3 1,2 3 2 2,1 0 5 1,2 0 5 2,1 3 9 1,1 7 7 2,1 7 2 1,1 4 9 2,2 0 6 1,1 2 1 2,2 4 1
9 0 1,3 9 5 1,9 3 7 1,3 6 9 1,9 6 6 1,3 4 4 1,9 9 5 1,3 1 8 2,0 2 5 1,2 9 2 2,0 5 5 1,2 6 6 2,0 8 5 1,2 4 0 2,11 6 1,2 1 3 2,1 4 8 1,1 8 7 2,1 7 9 1,1 6 0 2,2 11
9 5 1,4 1 8 1,9 2 9 1,3 9 4 1,9 5 6 1,3 7 0 1,9 8 4 1,3 4 5 2,0 1 2 1,3 2 1 2,0 4 0 1,2 9 6 2,0 6 8 1,2 7 1 2,0 9 7 1,2 4 7 2,1 2 6 1,2 2 2 2,1 5 6 1,1 9 7 2,1 8 6
1 0 0 1,4 3 9 1,9 2 3 1,4 1 6 1,9 4 8 1,3 9 3 1,9 7 4 1,3 7 1 2,0 0 0 1,3 4 7 2,0 2 6 1,3 2 4 2,0 5 3 1,3 0 1 2,0 8 0 1,2 7 7 2,1 0 8 1,2 5 3 2,1 3 5 1,2 2 9 2,1 6 4
1 5 0 1,5 7 9 1,8 9 2 1,5 6 4 1,9 0 8 1,5 5 0 1,9 2 4 1,5 3 5 1,9 4 0 1,5 1 9 1,9 5 6 1,5 0 4 1,9 7 2 1,4 8 9 1,9 8 9 1,4 7 4 2,0 0 6 1,4 5 8 2,0 2 3 1,4 4 3 2,0 4 0
2 0 0 1,6 5 4 1,8 8 5 1,6 4 3 1,8 9 6 1,6 3 2 1,9 0 8 1,6 2 1 1,9 1 9 1,6 1 0 1,9 3 1 1,5 9 9 1,9 4 3 1,5 5 8 81,9 5 5 1,5 7 6 1,9 6 7 1,5 6 5 1,9 7 9 1,5 5 4 1,9 9 1
资料来源,This table is an extension of the original Durbin-Watson table and is reproduced from N.E.Savin
and K.J.White,,The Dubin-Watson Test for Serial Correlation with Extreme Small Samples or
Many Regressors,” E c o n o m e t r i c a,vol.45,November 1977,pp.1989-96 and as corrected by
R,W,F a r e b r o t h e r,E c o n o m e t r i c a,vol.48,September 1980,p.1554,Reprinted by permission of the
Econometric Society.
例：若 n=40,k'=4,dL=1.285,dU= 1,7 2 1。如果计算的 d值小于 1,8 5，则表明存在一阶序列相关；如果大于 1,7 2 1，则没有证据表明存在一阶序列相关；但是，如果 d位于上、下限之间，则无法确定是否存在一阶序列相关。
附录 A 统 计 表 介绍 339
下载表 A-5b 杜宾 -瓦尔森 d统计量：显著水平 0,0 1的 dL与 dU的显著点
k' = 1 k' = 2 k' = 3 k' = 4 k' = 5 k' = 6 k' = 7 k' = 8 k' = 9 k' = 1 0
n dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU
6 0,3 9 0 1,1 4 2 — — — — — — — — — — — — — — — — — —
7 0,4 3 5 1,0 3 6 0,2 9 4 1,6 7 6 — — — — — — — — — — — — — — — —
8 0,4 9 7 1,0 0 3 0,3 4 5 1,4 8 9 0,2 2 9 2,1 0 2 — — — — — — — — — — — — — —
9 0,5 5 4 0,9 9 8 0,4 0 8 1,3 8 9 0,2 7 9 1,8 7 5 0,1 8 3 2,4 3 3 — — — — — — — — — — — —
1 0 0,6 0 4 1,0 0 1 0,4 6 6 1,3 3 3 0,3 4 0 1,7 3 3 0,2 3 0 2,1 9 3 0,1 5 0 2,6 9 0 — — — — — — — — — —
11 0,6 5 3 1,0 1 0 0,5 1 9 1,2 9 7 0,3 9 6 1,6 4 0 0,2 8 6 2,0 3 0 0,1 9 3 2,4 5 3 0,1 2 4 2,8 9 2 — — — — — — — —
1 2 0,6 9 7 1,0 2 3 0,5 6 9 1,2 7 4 0,4 4 9 1,5 7 5 0,3 3 9 1,9 1 3 0,2 4 4 2,2 8 0 0,1 6 4 2,6 6 5 0,1 0 5 3,0 5 3 — — — — — —
1 3 0,7 3 8 1,0 3 8 0,6 1 6 1,2 6 1 0,4 9 9 1,5 2 6 0,3 9 1 1,8 2 6 0,2 9 4 2,1 5 0 0,2 11 2,4 9 0 0,1 4 0 2,8 3 8 0,0 9 0 3,1 8 2 — — — —
1 4 0,7 7 6 1,0 5 4 0,6 6 0 1,2 5 4 0,5 4 7 1,4 9 0 0,4 4 1 1,7 5 7 0,3 4 3 2,0 4 9 0,2 5 7 2,3 5 4 0,1 8 3 2,6 6 7 0,1 2 2 2,9 8 1 0,0 7 8 3,2 8 7 — —
1 5 0,8 11 1,0 7 0 0,7 0 0 1,2 5 2 0,5 9 1 1,4 6 4 0,4 8 8 1,7 0 4 0,3 9 1 1,9 6 7 0,3 0 3 2,2 4 4 0,2 2 6 2,5 3 0 0,1 6 1 2,8 1 7 0,1 0 7 3,1 0 1 0,0 6 8 3,3 7 4
1 6 0,8 4 4 1,0 8 6 0,7 3 7 1,2 5 2 0,6 3 3 1,4 4 6 0,5 3 2 1,6 6 3 0,4 3 7 1,9 0 0 0,3 4 9 2,1 5 3 0,2 6 9 2,4 1 6 0,2 0 0 2,6 8 1 0,1 4 2 2,9 4 4 0,0 9 4 3,2 0 1
1 7 0,8 7 4 1,1 0 2 0,7 7 2 1,2 5 5 0,6 7 2 1,4 3 2 0,5 7 4 1,6 3 0 0,4 8 0 1,8 4 7 0,3 9 3 2,0 7 8 0,3 1 3 2,3 1 9 0,2 4 1 2,5 6 6 0,1 7 9 2,8 11 0,1 2 7 3,0 5 3
1 8 0,9 0 2 1,11 8 0,8 0 5 1,2 5 9 0,7 0 8 1,4 2 2 0,6 1 3 1,6 0 4 0,5 2 2 1,8 0 3 0,4 3 5 2,0 1 5 0,3 5 5 2,2 3 8 0,2 8 2 2,4 6 7 0,2 1 6 2,6 9 7 0,1 6 0 2,9 2 5
1 9 0,9 2 8 1,1 3 2 0,8 3 5 1,2 6 5 0,7 4 2 1,4 1 5 0,6 5 0 1,5 8 4 0,5 6 1 1,7 6 7 0,4 7 6 1,9 6 3 0,3 9 6 2,1 6 9 0,3 2 2 2,3 8 1 0,2 5 5 2,5 9 7 0,1 9 6 2,8 1 3
2 0 0,9 5 2 1,1 4 7 0,8 6 3 1,2 7 1 0,7 7 3 1,4 11 0,6 8 5 1,5 6 7 0,5 9 8 1,7 3 7 0,5 1 5 1,9 1 8 0,4 3 6 2,11 0 0,3 6 2 2,3 0 8 0,2 9 4 2,5 1 0 0,2 3 2 2,7 1 4
2 1 0,9 7 5 1,1 6 1 0,8 9 0 1,2 7 7 0,8 0 3 1,4 0 8 0,7 1 8 1,5 5 4 0,6 3 3 1,7 1 2 0,5 5 2 1,8 8 1 0,4 7 4 2,0 5 9 0,4 0 0 2,2 4 4 0,3 3 1 2,4 3 4 0,2 6 8 2,6 2 5
2 2 0,9 9 7 1,1 7 4 0,9 1 4 1,2 8 4 0,8 3 1 1,4 0 7 0,7 4 8 1,5 4 3 0,6 6 7 1,6 9 1 0,5 8 7 1,8 4 9 0,5 1 0 2,0 1 5 0,4 3 7 2,1 8 8 0,3 6 8 2,3 6 7 0,3 0 4 2,5 4 8
2 3 1,0 1 8 1,1 8 7 0,9 3 8 1,2 9 1 0,8 5 8 1,4 0 7 0,7 7 7 1,5 3 4 0,6 9 8 1,6 7 3 0,6 2 0 1,8 2 1 0,5 4 5 1,9 7 7 0,4 7 3 2,1 4 0 0,4 0 4 2,3 0 8 0,3 0 4 2,4 7 9
2 4 1,0 3 7 1,1 9 9 0,9 6 0 1,2 9 8 0,8 8 2 1,4 0 7 0,8 0 5 1,5 2 8 0,7 2 8 1,6 5 8 0,6 5 2 1,7 9 7 0,5 7 8 1,9 4 4 0,5 0 7 2,0 9 7 0,4 3 9 2,2 5 5 0,3 7 5 2,4 1 7
2 5 1,0 5 5 1,2 11 0,9 8 1 1,3 0 5 0,9 0 6 1,4 0 9 0,8 3 1 1,5 2 3 0,7 5 6 1,6 4 5 0,6 8 2 1,7 7 6 0,6 1 0 1,9 1 5 0,5 4 0 2,0 5 9 0,4 7 3 2,2 0 9 0,4 0 9 2,3 6 2
2 6 1,0 7 2 1,2 2 2 1,0 0 1 1,3 1 2 0,9 2 8 1,4 11 0,8 5 5 1,5 1 8 0,7 8 3 1,6 3 5 0,7 11 1,7 5 9 0,6 4 0 1,8 8 9 0,5 7 2 2,0 2 6 0,5 0 5 2,1 6 8 0,4 4 1 2,3 1 3
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340部分 附 录 下载
(续 )
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3 6 0,6 5 8 2,11 3 0,6 0 5 2,2 1 0 0,5 5 4 2,3 1 0 0,5 0 4 2,4 1 0 0,4 5 5 2,5 1 2 0,4 0 9 2,6 1 4 0,3 6 4 2,7 1 7 0,3 2 2 2,8 1 8 0,2 8 2 2,9 1 9 0,2 4 4 3,0 1 9
3 7 0,6 8 0 2,0 9 2 0,6 2 8 2,1 8 6 0,5 7 8 2,2 8 2 0,5 2 8 2,3 7 9 0,4 8 0 2,4 7 7 0,4 3 4 2,5 7 6 0,3 8 9 2,6 7 5 0,3 4 7 2,7 7 4 0,3 0 6 2,8 7 2 0,2 6 8 2,9 6 9
3 8 0,7 0 2 2,0 7 3 0,6 5 1 2,1 6 4 0,6 0 1 2,2 5 6 0,5 5 2 2,3 5 0 0,5 0 4 2,4 4 5 0,4 5 8 2,5 4 0 0,4 1 4 2,6 3 7 0,3 7 1 2,7 3 3 0,3 3 0 2,8 2 8 0,2 9 1 2,9 2 3
3 9 0,7 2 3 2,0 5 5 0,6 7 3 2,1 4 3 0,6 2 3 2,2 3 2 0,5 7 5 2,3 2 3 0,5 2 8 2,4 1 4 0,4 8 2 2,5 0 7 0,4 3 8 2,6 0 0 0,3 9 5 2,6 9 4 0,3 5 4 2,7 8 7 0,3 1 5 2,8 7 9
4 0 0,7 4 4 2,0 3 9 0,6 9 4 2,1 2 3 0,6 4 5 2,2 1 0 0,5 9 7 2,2 9 7 0,5 5 1 2,3 8 6 0,5 0 5 2,4 7 6 0,4 6 1 2,5 6 6 0,4 1 8 2,6 5 7 0,3 7 7 2,7 4 8 0,3 3 8 2,8 3 8
4 5 0,8 3 5 1,9 7 2 0,7 9 0 2,0 4 4 0,7 4 4 2,11 8 0,7 0 0 2,1 9 3 0,6 5 5 2,2 6 9 0,6 1 2 2,3 4 6 0,5 7 0 2,4 2 4 0,5 2 8 2,5 0 3 0,4 8 8 2,5 8 2 0,4 4 8 2,6 6 1
5 0 0,9 1 3 1,9 2 5 0,8 7 1 1,9 8 7 0,8 2 9 2,0 5 1 0,7 8 7 2,11 6 0,7 4 6 2,1 8 2 0,7 0 5 2,2 5 0 0,6 6 5 2,3 1 8 0,6 2 5 2,3 8 7 0,5 8 6 2,4 5 6 0,5 4 8 2,5 2 6
5 5 0,9 7 9 1,8 9 1 0,9 4 0 1,9 4 5 0,9 0 2 2,0 0 2 0,8 6 3 2,0 5 9 0,8 2 5 2,11 7 0,7 8 6 2,1 7 6 0,7 4 8 2,2 3 7 0,7 11 2,2 9 8 0,6 7 4 2,3 5 9 0,6 3 7 2,4 2 1
6 0 1,0 3 7 1,8 6 5 1,0 0 1 1,9 1 4 0,9 6 - 5 1,9 6 4 0,9 2 9 2,0 1 5 0,8 9 3 2,0 6 7 0,8 5 7 2,1 2 0 0,8 2 2 2,1 7 3 0,7 8 6 2,2 2 7 0,7 5 1 2,2 8 3 0,7 1 6 2,3 3 8
6 5 1,0 8 7 1,8 4 5 1,0 5 3 1,8 8 9 1,0 2 0 1,9 3 4 0,9 8 6 1,9 8 0 0,9 5 3 2,0 2 7 0,9 1 9 2,0 7 5 0,8 8 6 2,1 2 3 0,8 5 2 2,1 7 2 0,8 1 9 2,2 2 1 0,7 8 6 2,2 7 2
7 0 1,1 3 1 1,8 3 1 1,0 9 9 1,8 7 0 1,0 6 8 1,9 11 1,0 3 7 1,9 5 3 1,0 0 5 1,9 9 5 0,9 7 4 2,0 3 8 0,9 4 3 2,0 8 2 0,9 11 2,1 2 7 0,8 8 0 2,1 7 2 0,8 4 9 2,2 1 7
7 5 1,1 7 0 1,8 1 9 1,1 4 1 1,8 5 6 1,111 1,8 9 3 1,0 8 2 1,9 3 1 1,0 5 2 1,9 7 0 1,0 2 3 2,0 0 9 0,9 9 3 2,0 4 9 0,9 6 4 2,0 9 0 0,9 3 4 2,1 3 1 0,9 0 5 2,1 7 2
8 0 1,2 0 5 1,8 1 0 1,1 7 7 1,8 4 4 1,1 5 0 1,8 7 8 1,1 2 2 1,9 1 3 1,0 9 4 1,9 4 9 1,0 6 6 1,9 8 4 1,0 3 9 2,0 2 2 1,0 11 2,0 5 9 0,9 8 3 2,0 9 7 0,9 5 5 2,1 3 5
8 5 1,2 3 6 1,8 0 3 1,2 1 0 1,8 3 4 1,1 8 4 1,8 6 6 1,1 5 8 1,8 9 8 1,1 3 2 1,9 3 1 1,1 0 6 1,9 6 5 1,0 8 0 1,9 9 9 1,0 5 3 2,0 3 3 1,0 2 7 2,0 6 8 1,0 0 0 2,1 0 4
9 0 1,2 6 4 1,7 9 8 1,2 4 0 1,8 2 7 1,2 1 5 1,8 5 6 1,1 9 1 1,8 8 6 1,1 6 6 1,9 1 7 1,1 4 1 1,9 4 8 1,11 6 1,9 7 9 1,0 9 1 2,0 1 2 1,0 6 6 2,0 4 4 1,0 4 1 2,0 7 7
9 5 1,2 9 0 1,7 9 3 1,2 6 7 1,8 2 1 1,2 4 4 1,8 4 8 1,2 2 1 1,8 7 6 1,1 9 7 1,9 0 5 1,1 7 4 1,9 3 4 1,1 5 0 1,9 6 3 1,1 2 6 1,9 9 3 1,1 0 2 2,0 2 3 1,0 7 9 2,0 5 4
1 0 0 1,3 1 4 1,7 9 0 1,2 9 2 1,8 1 6 1,2 7 0 1,8 4 1 1,2 4 8 1,8 6 8 1,2 2 5 1,8 9 5 1,2 0 3 1,9 2 2 1,1 8 1 1,9 4 9 1,1 5 8 1,9 7 7 1,1 3 6 2,0 0 6 1,11 3 2,0 3 4
1 5 0 1,4 7 3 1,7 8 3 1,4 5 8 1,7 9 9 1,4 4 4 1,8 1 4 1,4 2 9 1,8 3 0 1,4 1 4 1,8 4 7 1,4 0 0 1,8 6 3 1,3 8 5 1,8 8 0 1,3 7 0 1,8 9 7 1,3 5 5 1,9 1 3 1,3 4 0 1,9 3 1
2 0 0 1,5 6 1 1,7 9 1 1,5 5 0 1,8 0 1 1,5 3 9 1,8 1 3 1,5 2 8 1,8 2 4 1,5 1 8 1,8 3 6 1,5 0 7 1,8 4 7 1,4 9 5 1,8 6 0 1,4 8 4 1,8 7 1 1,4 7 4 1,8 8 3 1,4 6 2 1,8 9 6
资料来源,Savin and White,op.cit.,by permission of the Econometric Society.
注,n— 观察值的个数
k '— 解释变量的个数 (不包括常数项 )
附录 A 统 计 表 介绍 341
下载
342部分 附 录 下载表 A-6 游程检验中的各游程的临界值
N2
N1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
4 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4
5 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5
6 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6
7 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6
8 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7
9 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8
1 0 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9
11 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9
1 2 2 2 3 4 4 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 t o 1 0
1 3 2 2 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 9 1 0 1 0 1 0 1 0
1 4 2 2 3 4 5 5 6 7 7 8 8 9 9 9 1 0 1 0 1 0 11 11
1 5 2 3 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 0 1 0 11 11 11 1 2
1 6 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 9 1 0 1 0 11 11 11 1 2 1 2
1 7 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 9 1 0 1 0 11 11 11 1 2 1 2 1 3
1 8 2 3 4 5 5 6 7 8 8 9 9 1 0 1 0 11 11 1 2 1 2 1 3 1 3
1 9 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 1 0 1 0 11 11 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3
2 0 2 3 4 5 6 6 7 8 9 9 1 0 1 0 11 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 4
N2
N1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0
2
3
4 9 9
5 9 1 0 1 0 11 11
6 9 1 0 11 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3
7 11 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 1 4 1 5 1 5 1 5
8 11 1 2 1 3 1 4 1 4 1 5 1 5 1 6 1 6 1 6 1 6 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7
9 1 3 1 4 1 4 1 5 1 6 1 6 1 6 1 7 1 7 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8
1 0 1 3 1 4 1 5 1 6 1 6 1 7 1 7 1 8 1 8 1 8 1 9 1 9 1 9 2 0 2 0
11 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 7 1 8 1 9 1 9 1 9 2 0 2 0 2 0 2 1 2 1
1 2 1 3 1 4 1 6 1 6 1 7 1 8 1 9 1 9 2 0 2 0 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
1 3 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 9 2 0 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3
1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 0 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 4
1 5 1 5 1 6 1 8 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4 2 5
1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 4 2 5 2 5 2 5
1 7 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 3 2 4 2 5 2 5 2 6 2 6
1 8 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 5 2 6 2 6 2 7
1 9 1 7 1 8 2 0 2 1 2 2 2 3 2 3 2 4 2 5 2 6 2 6 2 7 2 7
2 0 1 7 1 8 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 5 2 6 2 7 2 7 2 8
注：表 A - 6 a与表 A - 6 b对 N1 ( +号 )与 N2 ( -号 )的不同值，给出游程的临界值。一个样本的游程检验，显著水平为
0,0 5,n的任一值等于或小于表 D所示临界值，或者 n的任一值等于或大于表 D 所示的临界值，则为显著。
资料来源,Sidney Siegel,Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences,McGraw-Hill Book Company,
New York,1956,table F,pp.252-253.The tables have been adapted by Siegel from the original
source,Frieda S.Swed and C.Eisenhart,,Tables for Testing Randomness of Grouping in a
Sequence of Alternatives,” Annals of Mathematical Statistics,vol.14,1943.Used by permission of
McGraw-Hill Book Company and Annals of Mathematical Statistics.
例：在由 3 0个观察值组成的序列中，有 2 0个正号 (N1= 2 0 ),1 0个负号 (N2= 1 0 )。在 5%的显著水平下，根据表 A - 6 a和表 A - 6 b知游程的临界值为 9和 2 0。因此，若游程的个数小于或等于 9或是大于或等于 2 0，则可以拒绝假设 (在 5%的显著水平下 )：所观察的序列是随机的。
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2.14 (a) b=1/15;(b) 6/15,10/15,4/15; (c) 40/15; (d) 1.5556
2.18 (a) E(X) = 1 3%; (b) E(Y) = 3 4,7%; (c) E(X Y) = 6 3 5。不是独立的，因为 E (X) E (Y) = 4 5 1,1,
E (X Y) = 6 3 5
2,2 3,0,5 5 8
2,2 4 (a) 均值 =617 710,方差 =(65 499)2
(b) 均值 =38 201,方差 =(21 935)2
(c) 协方差 =0.139 93E+ 1 0,相关系数 =0.973 97
(d) 不独立
(e) 不，因为相关并不意味着存在因果关系。
3,1 0 (a) Z=－ 4,1 7，获此 Z值的概率非常小。
(b) 概率很小。
3,11 利润约为 1.653 6百万美元。
3,1 3 ( a )约为 264; (b)52.8;(c)13.2
3,1 4 (a) N( 2 5,11); (b) N ( - 5,11); (c) N (30,27); (d) N( 11 5,2 4 8 )
3,2 0 S21/S22服从自由度为 (n1-1 )和 (n2-2 )的 F分布。 F=1.25,获此 F值的概率为 0,2 4。
4,7 (a)=1.96; (b)=1.65; (c)2.58; (d)=2.33
4,9 (a) 0.9544; (b)0.0228; (c)0.0228; (d)是
4,11 (a) μ =6.668 6; =0.102 5; (b) 约为 0.000 612
4,1 4 (a) ~N ( 8,3 6 / 2 5 )
(b) Z=-0.416 7。获此 Z值的概率约为 0,3 4。
(c) 是,因为 的 9 5%的置信区间为 ( 5,6 4 8,1 0,3 5 2 )。样本均值为 7,5,位于该置信区间内。
4,1 9 ( a ) 9 5%的置信区间为 (9.253 5,34.132 3)
(b) 因为上述区间不包括 8,2,所以拒绝假设。
5,6 (a) 是 ; (b)是 ; (c)是 ; (d)是 ; (e)不是 ; (f)不是
5,1 0 (a) 和 (b),散点图表明呈现正相关。
(c) (S&P)t=－ 1 9 5,0 8 + 3,8 2 11 C P It
se=(61.106) (0.609 7) r2=0.797 1
(d) 与预期相同,正相关。
X
X
附 录 B
■ 部分习题答案
5,1 7 A S Pi=-267 875+103 423GPAi
se=(86 042) (26 434)
t= (－ 3,110) (3.91) r2= 0,3 5 3
因为估计的 G PA的系数是统计显著的,所以它对 A S P有正的影响。
(b) ASPi=-335 983+648 GMAT
se=(45 702) (73.16)
t= (－ 7.35) (8.86) r2= 0,7 3 7
显著正相关。
(c) ASPi=22 504+2.69Tu i t i o ni
se=(9 542) (0.5 318)
t=(2.36) (5.00)
显著正相关。
6,9 (a) b1=21.22,b2= 0,5 3 4 4
(b) se(b1)=8.5913,se (b2)=0.048 4
(c) r2=0.935 8
(d) B1=(1.408,41.032)
B2=(0.422 7,0.646 0)
(e) 拒绝零假设。
6,1 3 ( a )正。
(b) 和 ( c ),散点图表明两者之间是正相关。
(d) =373.301 4+0.419 9Xt
se=(9 530.376 8) (0.115 4) r2= 0,5 4 6
(e) 0.061 6≤ B2≤ 0.778 3 因为该置信区间不包括零假设值，所以拒绝零假设。
6.18 (a) =148.134 8+0.672 7 Xt
t=(12.712 0) (25.101 8) r2=0.966 3
(b) 拒绝零假设，因为 t值相当高。
(c) =434 (近似值 )
(d) (432.915,435.085)
7.8 (a),(b),(c):
=53.159 9+0.726 6X2i+ 2,7 3 6 3X3i
se= (13.026 1) (0.0487) (0.8454) R2=0.998 8
t=(4.0429) (14.9197) (3.2367) = 0,9 9 8 6
(d) B2,(0.620 5,0.832 7)
B3,(0.894 2,4.578 4)
(e) 根据上面的置信区间,两个斜率系数各自均是统计不独立的。
(f) 根据 R2的值,估计的 F值 4 994是高度显著的。
7.9 (a) 15; (b)77; (c)2和 12; (d) R2=0.9988,=0.9986; (e) F=5 140.13,高度显著的,因而拒绝零假设 ; (f)不,需要双变量回归模型的结果。
7.10 对 k个变量的模型 (包括截距项 )，我们有,
F =
ESS/(k?1)
RSS(n? k)
=
ESS( n? k)
RSS(k? 1)
=
ESS(n? k)
(TSS?ESS)( k?1)
=
ESS/TSS(n? k)
[1? (ESS/TSS)](k? 1)
=
R
2
/(k? 1)
(1? R
2
)/(n?k)
= Eq,(7.50)
R
2
R
2
)
Y
t
)
Y
1991
)
Y
t
)
Y
t
344部分 附 录 下载附录 B 部分习题答案 介绍 345下载
8.14 (a) =38.969 0+0.2609Xt
se=(3.856 4) (0.016 7) r2=0.942 3
l n =1.404 2+0.589 0lnXt
se=(0.1568)(0.0293) r2=0.964 3
l n =3.931 6+0.002 8Xt
se=(0.046 4) (0.000 2) r2=0.924 8
=-192.97+54.213 lnXt
se=(16.380) (3.062 3) r2=0.954 3
(b) 模型 ( 1 )中,斜率给出了 X每变动一个单位,Y均值的绝对变动。模型 ( 2 )中,斜率给出了 Y对 X的弹性。模型 ( 3 )中，斜率给出了 X每变动百分之一,Y的增长率。模型 ( 4 )
中，斜率给出了 X的相对变动引起的 Y的绝对变动。
(c) 0.260 9,0.589 0(Y/X),0.002 8(Y),54.21 3 (1/X)。
(d) 0.2609(X/Y),0.5890,0.0028(X),54.213(1/Y)。
(e) 上述模型都给出了相近的答案，所以你可以自由选择。
9,11 (a) 销售额 t =4 767.8+912.25D2t+1 398.8D3t+2 909.8D4t
t=(14.714) (1.990 7) (3.052 3) (6.349 6) R2=0.779 0
(b) 第一季度平均销售量为 4 768百万美元。第二季度、第三季度、第四季度的平均销售量分别比第一季度高 9 1 2,1 3 9 9,2 9 1 0百万美元。各个季度的截距值分别为 4
7 6 7,8,5 680.05,6 166.6和 7 677.6。
10.13 (a) 不是，因为 X3= 2X2-1，也即完全共线性。
(b) 估 计,Yi=A 1+ A 2X 2i+μ i，其 中,A 1= (B 1-B 2),A2= (B 2+ 2B 3)。 回归 结 果 为,
=-1 2,0 + 2X2i。因此,(B1-B2) =-12,( B2+B3) = 2。
10.20 (a) 第一个模型的斜率系数就是弹性。第二个模型 l o gK和 l o gH的系数为弹性。模型中趋势变量的系数表示 Q的年增长率为 2,7%。
(b) 在零假设：总体系数为零下，估计的 t值分别为- 3,6,10.195 4和 6,5 1 8。在 5%的显著水平下 (双边检验 )是显著的，因为临界的 t值为 2,1 0 1。
(c) 趋势变量和 l o gK的 t值分别为 1.333 3和 1.381 4。
(d) 可能由于趋势变量与资本共线性。
(e) 即使是高度相关的，也不一定表明是共线性的。
(f) 利用 R2值和 F检验得到 F=45.384 4，其中分子和分母自由度分别为 3和 1 7。在 1%
的显著水平下，临界的 F值为 5,1 8。计算的 F值超过了临界值，所以拒绝零假设。
(g) 规模报酬为 ( 0,8 8 7 + 0,8 9 3 ) = 1,7 8，也即规模报酬增加。
11.6 在模型 Yi=B1+B2Xi+μ i中，等式两边同除以 得到：
(Yi/ ) =B1( 1 / ) +B2( 1 /Xi) +vi。在这个模型中,vi是同方差的。
11,11 (a) 令 Y= G D P的增长率 (%),X=投资 / G D P (%)。 Y对 X回归。
(b) 是。因为样本中不同的个国家经济背景不一样。
11.14 (a) =1 992.3+0.233 0Xi
t=(2.127 5) (2.333 3) r2=0.437 5
(b) ( / i)=2 416.9 (1/ i)+0.180 1(Xi/ i)
t= ( 2,1109) (1.4264) r2=0.648 1
注：两个 r2值不能比较。
1 2,11 都存在自相关。
)
Y
t
)
Y
t
X
i
2
X
i
2
X
i
2
)
Y
t
)
Y
t
)
Y
t
)
Y
t
)
Y
t
346部分 附 录 下载
12.14 第一阶段回归结果：
=-89.967+0.474 1Xt-0.412 7Xt-1+0.795 2Yt-1
t= (-1.951 3) (5.599 1) (-4.322 5) (4.578 4) R2=0.976 9
估计的 值为 0.795 2。
第二阶段回归结果：
=-320.63+0.277 4Xt
t= (-4.971 4) (9.279 8) r2=0.968 7
注：这是变形后的 Y和 X。
1 2,2 1 分子分母同除以 n2，得到
= [ ( 1-d/ 2 ) +k2/n2] / ( 1-k2/n2)
当 n趋于无穷大时,= ( 1-d/ 2 )。
13.12 (a) ln =-8.401 0+0.673 1 lnX2t+1.181 6 lnX3t
t= (-3.091 2) (4.395 2) (3.912 1) R2=0.982 4
(b) ln =2.164 1+1.241 2 lnX2t
t=(4.9023) (17.678) R2= 0,9 6 0 1
因为遗漏了资本变量，所以估计得到的产出 -劳动弹性是有偏的，利用式 ( 1 3 - 3 )可以证明这个弹性向上偏 1.259 3。
14.12 PCEt=-215.12+1.007 0PDIt
t= (-6.259) (63.725) r2=0.996 1
P C Et=-240.00+1.038 5P D It-0.021 4PCEt－ 1
t= (-6.668 3) (42.765) (-1.646 8) R2=0.996 6
(b) 短期 M P C为 1.038 5。长期的 M P C为 1.016 7。因为滞后的 P C E是统计不显著的，所以没有分布滞后影响，也就是说，长期和短期的 M P C几乎相同。
14.15 可以用 l o g i t模型。结果如下：
l n (pi/ 1-pi) =-4.833 8+3.060 9 lnXi
t= (-10.860) (11.875) r2=0.979 2
回归结果表明：剂量每增加 1个百分点，平均而言，死亡的可能性增加 3,0 6个百分点。
15.16 (a) 简化形式的回归模型为：
(b) 利用阶条件，两个方程都是恰度识别的。
(c) 用间接最小二乘法。因为它给出了结构系数的一致估计值。
(d) 第一个方程是可识别的，第二个是不可识别的。
15.17 (a) 系数 B1,B2可由简化形式的系数估计。估计值分别为- 5和 1,5。
(b) (1) 若 A2为 0，则没有联立问题。因此，两个方程都可以估计。
(2) 若 A1为 0，两个方程都可以估计。
Y
1t
=
10∏
+
11∏
X
1t
+
12∏
X
2t
+ v
1t
Y
2t
=
20∏ + 21∏ X1t
+
22∏ X2t
+ v
2t
)
Y
t
)
Y
t
)
)
)
Y
t
)
Y
t
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