第四章 不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动第一节 流体微团运动分析第二节 有旋流动和无旋流动第三节 无旋流动的速度势函数第四节 二维平面流动的流函数第五节 基本的平面有势流动第六节 平面势流的叠加流动欢迎进入第四章的学习流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度的流动，无旋流动是指 的流动。
实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，
船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。
但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的紊流运动，
更是充满着尺度不同的大小旋涡。
0 0
流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单 得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对工程中的某些问题，在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二维平面势流理论。
第一节 流体微团运动分析刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流 动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，
在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。
一、表示流体微团运动特征的速度表达式在运动流体中，在时刻 t 任取一正交六面体流体微团，其边长分别为 d x,d
y
,d z,
如图 4 - 1 所示。当选取该流体微团上的 F( x,
y
,z ) 点为参考点时，则该点的速度分量分别为 u ( x,
y
,z ),v ( x,
y
,z ),w ( x,
y
,z ),其他各点的速度均可利用泰勒级数展开并略去二阶及以上无穷小量得到。因此 C( x +d x,
y
+ d
y
,z + d z ) 点的速度分量可表示为
zzuyyuxxuuu c ddd
zzvyyvxxvvv c ddd
zzwyywxxwww c ddd
图 4-1 分析流体微团运动用图为了把流体微团的速度进行分解，并以数学形式表达出来，现将上式进行改造。在第一式右边
y
x
v d
2
1
、
z
x
w d
2
1
，在第二式右边
x
y
u
d
2
1
、
z
y
w
d
2
1
，
在第三式右边
x
z
u d
2
1
、
y
z
v d
2
1
，重新整理后可得到
yyuxvzxwzuzxwzuyxvyuxxuuu c d21d21d21d21d
zzvywxyuxvzywzvxyuxvyvvv c d21d21d21d21dy
xxwzuzzvywyzvywxzuxwzzwww c d21d21d21d21d
剪切变形速率,,,,,,
引入记号，并赋予运动特征名称：
线变形速率,,,
xx?
、
yy?
、
zz?
，
z
w
y
v
x
u
zzyyxx?
,,
xy? yx? yz? zy? xz? zx?
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
xzzx
zyyz
yxxy
2
1
2
1
2
1
（ 4-1）
（ 4-2）
于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为旋转角速度,,,
x? y? z?
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
z
y
x
2
1
2
1
2
1
（ 4-3）
xyyxzww
zxzxyvv
yzzyxuu
yxzyzxzzc
xzyzyxyyc
zyxzxyxxc
ddddd
ddddd
ddddd
（ 4-4）
式 (4 - 4) 表明，在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：①以流体微团中某点的速度作整体平移运动 ( u,v,w ) ；②绕通过该点轴的旋转运动 (
x?
、
y?
、
z?
) ；
③微团本身的变形运动 ( 线变形
xx?
、
yy?
、
zz?
和剪切变形
xy?
、
yz?
、
zx?
) 。
二、流体微团运动的分解为进一步分析流体微团的分解运动及其几何特征，对式 (4-4)有较深刻的理解，现在分别说明流体微团在运动过程中所呈现出的平移运动、线变形运动、角变形运动和旋转运动。
为简化分析，仅讨论在 平面上流体微团的运动。假设在时刻,流体微团 ABCD为矩形，其上各点的速度分量如图 4-2所示。由于微团上各点的速度不同，经过时间,势必发生不同的运动，
微团的位置和形状都将发生变化，现分析如下。
xoy
t
td
1．平移运动由图 4 - 2 可知，微团上 A,B,C,D 各点的速度分量中均有 u 和 v 两项，在经过 d t 时间后，矩形微团
A B C D 向右、向上分别移动 u d t,v d t 距离，即平移到新位置，形状不变，如图 4 - 3( ) 所示。式 (4 - 4) 中的第一项即为该流体微团平移运动的运动速度。
图 4-2 分析流体微团平面运动用图
a
2．线变形运动在图 4 - 2 中，比较 B 与 A,C 与 D 点在
x
方向及 D 与 A,C 与 B 点在
y
方向的速度差可得：
x
x
u
uu dAB
，
x
x
u
uu dDC
；
y
y
v
vv d
AD
，
y
y
v
vv d
BC
。由此可知，流体线段 AB 和
DC
在
d
t
时间内将伸长 ( 或缩短 )
tx
x
u
dd
，同样,AB 和
BC
线段将伸长 ( 或缩短 )
ty
y
v
dd
。
定义单位时间内单位长度流体线段的伸长 ( 或缩短 ) 量为流体微团的线变形速率，则沿
x
轴方向的线变形速率为
xx
x
u
txtx
x
u
)d(ddd
同理可得流体微团沿
y
轴方向和沿 z 轴方向的线变形速率分别为
y
v
yy
，
z
w
zz
上述即为式 (4 - 1) 及其物理意义。式 (4 - 4) 中的第二项所表示的便是该线变形运动所引起的速度变化。
将
x
、
y
,z 方向的线变形速率加在一起，有
z
w
y
v
x
u
zzyyxx
（ 4 - 5 ）
对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团在运动中体积不变。而三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。因此，不可压缩流体的连续性方程也是流体不可压缩的条件。在图 4 - 3( ) 中示出了该流体微团的平面线变形。
b
图 4-3 流体微团平面运动的分解 (a) 返回图 4-3 流体微团平面运动的分解 (b)
返回图 4-3 流体微团平面运动的分解 (c)
返回图 4-3 流体微团平面运动的分解 (d)
返回
3．角变形运动在图 4 - 2 中，比较 D 和 A,C 和 B 在
x
方向及 B 和 A,C 和 D 在
y
方向的速度差可得：
y
y
u
uu d
AD
，
y
y
u
uu d
BC
；
x
x
v
vv d
AB
，
x
x
v
vv d
DC
。由此可知，若速度增量均为正值，流体微团在 d
t
时间内则发生图 4 - 3( ) 所示的角变形运动。由图可见，由于 D 点和 A 点,C 点和 B 点在
x
方向的运动速度不同，致使 AD 流体边在 d
t
时间内顺时针转动了
d
角度；由于 B 点和 A 点,C 点和 D 点在
y
方向的速度不同，
致使 AB 流体边在 d
t
时间内逆时针转动了 d
角度。于是，两正交流体边 AB 和 AD 在
d
t
时间内变化了 (
d
+
d
) 角度。显然，微元角度
d
和
d
可由下列公式求得
t
x
v
xtx
x
v
ddddt g dd
t
y
u
yty
y
u
ddddt g dd
c
通常把两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量定义为角变形速度，而把该夹 角变化的平均值在单位时间内的变化量 ( 角变形速度的平均值 ) 定义为剪切变形速率。则在
xy
平面上，将流体微团的剪切变形速率记为
xy?
(
yxxy
),因此有同理，也可得到
yz
平面和
zx
平面上的剪切变形速率
yz?
和
zx?
。于是，过流体微团任一点 A 的三个正交微元流体面上的剪切变形速率分别为上述即为式 (4 - 2) 及其物理含义。式 (4 - 4) 中的第三、第四项所表示的便是由该剪切变形所引起的速度变化。
y
u
x
v
tyxxy 2
1
d
) / 2dd(
yuxvyxxy 21
zvywzyyz 21
xwzuxzzx 21
4．旋转运动由图 4 - 3 ( c ) 可知，流体微团在 d
t
时间内出现了角变形运动。若微元角度
d
=
d
，则流体微团只发生角变形；
若
d
= -
d
，即
yuxv
，则流体微团只发生旋转，不发生角变形，如图 4 - 3( ) 所示。一般情况下，
dd?
，流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动。
d
在旋转运动中，用符号
表示流体微团旋转角速度的大小，其定义为：过流体微团上 A 点的任两条正交微元流体边在其所在平面内旋转角速度的平均值，称作 A 点流体微团的旋转角速度在垂直该平面方向的分量。如图
4 - 3 ( c ) 所示，在
xy
平面上，过 A 点的两正交流体边
AB
和
AD
，
AB
边在 d
t
时间内逆时针旋转了微元角度
d
，
AD
边在 d
t
时间内顺时针旋 转了微元角度
d
，通常规定以逆时针旋转为正，则该两条正交微元流体 边在
xy
平面内的旋转角速度的平均值为,于是得流体微团沿
z
轴方向的旋 转角速度分量为
y
u
x
v
tz 2
1
d
d-d
2
1
td d/)-d(21
同理可求得流体微团沿
x
轴方向和
y
轴方向旋转角速度的分量 和 。
于是，以流体微团 A 点为轴的旋转角速度 的三个分量分别为
(4 - 6)
写成矢量形式为
（ 4 - 7 ）
上述即为式 (4 - 3) 及其物理含义。式 (4 - 4) 中的第五、第六项所表示的便是由该旋转运动所引起的速度变化。
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
z
y
x
2
1
2
1
2
1
222
zyx
)(21 Vkji zyx
x? y?
综上所述，在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动，与此相对应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率和剪切变形速率。
第二节 有旋流动和无旋流动一、有旋流动和无旋流动的定义二、速度环量和旋涡强度一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。
如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关，在图 4-4(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图 4-4(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
图 4-4 流体微团运动无旋流动有旋流动判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足根据式（ 4-3），则有
0 zyx
,zvyw,
x
w
z
u
y
u
x
v
（ 4-8）
二、速度环量和旋涡强度
1．速度环量为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力学中重要的基本概念之一 —— 速度环量。
在流场中任取封闭曲线 k，如 图 4-5所示。速度沿该封闭曲线的线积分称为速度沿封闭曲线 k的环量，简称速度环量，用 表示，即式中 —— 在封闭曲线上的速度矢量；
—— 速度与该点上切线之间的夹角。
速度环量是个标量，但具有正负号。
V?
K K
svsV dc o sd
（ 4-9）
V?
图 4-5 沿封闭曲线的速度环量在封闭曲线 k
上的速度矢量速度 与该点上切线之间的夹角
V?
速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为 K的正方向，
即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧，如图 4-5
所示。当沿顺时针方向绕行时，式（ 4-9）应加一负号。
实际上，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线 K运动的总的趋势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。
由于 和,则
kwjviuV kzjyixs dddd
zwyvxusV dddd
代入式（ 4-9），得
K K zwyvxusV )ddd(d
（ 4-10）
2．旋涡强度沿封闭曲线Ｋ 的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系，现仅以平面流动为例找出这个关系。如图 4-
6所示，在平面 上取一微元矩形封闭曲线，其面积,流体在 A点的速度分量为 和,则 B、
C和 D点的速度分量分别为：
XOY
yxA ddd? u v
xxuuu dB
xxvvv dB
yyuxxuuu ddC
yyvxxvvv ddC
yyuuu dD
yyvvv dD
图 4-6 沿微元矩形的速度环量
xxuu d
xxvv d
yyuxxuu dd
yyvxxvv dd
yyuu d
yyvv d
于是，沿封闭曲线反时针方向 ABCDA的速度环量将,,,和,,,各值代入上式，略去高于一阶的无穷小各项，再将式（ 4-3）的第三式代入后，得然后将式（ 4-11）对面积积分，得
yvvxuuyvvxuu d2d2d2d2d ADDCCBBA
Au Bu Cu Du Av Bv Cv
Dv
AyxyuxvΓ z d2ddd
（ 4-11）
AΓ z d2?
（ 4-12）
于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理：
沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称之为旋涡强度 I，即和式中 —— 在微元面积 的外法线 上的分量。
AI n d2d
AI n d2?
（ 4-13）
n
Ad n?
由式（ 4-11）可导出另一个表示有旋流动的量，
称为涡量，以 表示之。它定义为单位面积上的速度环量，是一个矢量。它在 Z轴方向的分量为对于流体的空间流动，同样可求得 X和 Y轴方向涡量的分量 和 。于是得即
Ω?
zz y
u
x
v
A
ΓΩ?2
d
d?
zz
yy
xx
y
u
x
v
Ω
x
w
z
u
Ω
z
v
y
w
Ω
2
2
2
VΩ2
（ 4-14）
（ 4-15）
也就是说，在有旋流动中，流体运动速度 的旋度称为涡量。
由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。
下面举两个简单的例子来说明速度环量和旋涡强度的物理意义，以及有旋流动和无旋流动的区别。
V?
【 例 4-1】 一个以角速度 按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动，如 图 4-7所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动,(解 )
【 例 4-2】 一个流体绕 O点作同心圆的平面流动，
流场中各点的圆周速度的大小与该 点半径成反比，即,其中 C为常数，如 图 4-8所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。 (解 )
rCV?
【 解 】 在流场中对应于任意两个半径 和 的圆周速度各为 和,沿图中画斜线扇形部分的周界 ABCDA的速度环量可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积于是上式正是斯托克斯定理的一个例证。
以上结论可推广适用于圆内任意区域内。
1r
2r
11 rV 22 rV
)()( 212211221122DACDBCABA B C D A rrrVrVrVrVΓΓΓΓΓ
)(2d 21222
1
rrrrA r
r
AΓ?2A B C D A?
返回例题图 4-7 有旋流动中速度环量的计算 图 4-8 无旋流动中速度环量的计算返回例题
【 解 】 沿扇形面积周界的速度环量可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心 O的区域内，例如 。若包有圆心 ( )，
该处速度等于无限大，应作例外来处理。现在求沿半径的圆周封闭曲线的速度环量上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有 旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心 O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。
01
1
2
2
DACDBCABA B C D A rr
Cr
r
CΓΓΓΓΓ
ADCBA 0?r
2
0
2d 常数CrrCΓ
返回例题第三节 无旋流动的速度势函数如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度 在任意时刻处处为零，即满足 的流动为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。
一、速度势函数引入二,速度势函数的性质
0 V?
一、速度势函数引入由数学分析可知,是 成为某一标量函数 全微分的充分必要条件。则函数 称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函数 的流动为有势流动，简称势流。根据全微分理论，势函数 的全微分可写成于是得
0 V? zwyvxu ddd
)( tzyx,，，?
zzyyxx dddd
zwyvxu?
,,（ 4-16）
按矢量分析对于圆柱坐标系，则有于是从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，
只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。
g r a d kzjyixkwjviuV
zvrvrv zr?
,，
1
zvrvrv zr dddd
（ 4-17）
（ 4-18）
二、速度势函数的性质
（ 1）不可压缩流体的有势流动中，势函数 满足拉普拉斯方程，势函数 是调和函数。
将式（ 4-16）代入到不可压缩流体的连续性方程（ 3-28）
中，则有式中 为拉普拉斯算子，式（ 4-19）称为拉普拉斯方程，所以在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。
022
2
2
2
2
2
zyx
(4-19)
2
2
2
2
2
22 zyx
0 zwyvxu
从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形 式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。
（ 2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 值之差。而与曲线的形状无关。
根据速度环量的定义，沿任意曲线 AB的线积分这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。
对于任意封闭曲线，若 A点和 B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，即 。
AB
B
A
B
A
B
A
AB dw d zv d yudxsdV )(
0AB
第四节 二维平面流动的流函数一、流函数的引入对于流体的平面流动，其流线的微分方程为,将其改写成下列形式
（ 4-20）
在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程，
即或 （ 4-21）
由数学分析可知，式（ 4-21）是（ ）成为某函数全微分的充分必要条件，以 表示该函数，则有
（ 4-22）
函数称为流场的流函数。由式（ 4-22）可得
（ 4-23）
vyux dd?
0dd yuxv
0 yvxu
y
v
x
u
yuxv dd
yuxvyyxx ddddd
），（ yx?
xvyu?
,
由式 (4-22)，令,即 常数，可得流线微分方程式 (4-20)。
由此可见,常数的曲线即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标（ ）代入流函数,便可得到一条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。
对于极坐标系，可写成
（ 4-24）
（ 4-25）
在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数一样，可由曲线积分得出。
至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数,
由式（ 4-23）或式（ 4-24）就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数 。
这里需说明，等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的。
0d
），（ yx?
00 yx，
rvr 1 rv?
ddd rvrv r
），（ yx?
二、流函数的性质
（ 1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数 永远 满足连续性方程。
将式（ 4-23）代入式（ 4-21）得即流函数永远满足连续性方程。
（ 2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数 满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。
对于平面无旋流动，,则将式（ 4-23）代入上式因此，不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程，也是一个调和函数。
因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求解一个满足边界条件的 的拉普拉斯方程,
yxxy
22
0?z?
0 yuxv
022222 yx
（ 3）平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数 的物理意义。
如图 4-9所示，在两流线间任一曲线
AB，则通过单位厚度的体积流量为
（ 4-26）
由式（ 4-26）可知，平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。
图 4-9 说明流函数物理意义用图
2
1
2
1
2
1
2
1
dd)d(d
x
x
y
y
x
x
y
y
V xxyyxvyuq
12
,
),(
22
11
d
yx
yx
三,和 的关系
（ 1）满足柯西 -黎曼条件如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，比较式（ 4-16）和式（ 4-23），可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系
（ 4-27）
（ 4-28）
这是一对非常重要的关系式，在高等数学中称作柯西 -黎曼条件。因此,和 互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题。
当势函数 和 流函数二者知其一时，另一个则可利用式（ 4-27）的关系求出，而至多相差一任意常数。
xyyx?
,
0 yyxx
（ 2）流线与等势线正交。
式（ 4-28）是等势线簇
[ 常数 ]和流线簇
[ 常数 ]互相正交的条件，若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必然构成正交网格，称为流网，如图 4-10
所示。
），（ yx?
），（ yx?
图 4-10 流网
0 yyxx
【 例 4-3】 有一不可压流体平面流动的速度分布为 。①该平面流动是否存在流函数和速度势函数；②若存在，试求出其表达式；③若在流场中 A
（ 1m,1m） 处的绝对压强为 1.4× 105Pa，流体的密度
1.2kg/m3，则 B（ 2m,5m） 处的绝对压强是多少？
【 解 】 （ 1）由不可压流体平面流动的连续性方程该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。
由于是平面流动该流动无旋，存在速度势函数。
yvxu 44,
0)4()4( yyxxyvxu
0 yx
044
2
1
2
1
y
x
x
y
y
u
x
v
z?
（ 2）由流函数的全微分得：
积分由速度势函数的全微分得：
积分
（ 3）由于,因此,A和 B处的速度分别为由伯努里方程可得
yxxyyuxvyyxx d4d4ddddd
Cxy 4?
yyxxyvxuyyxx d4d4ddddd
Cyx )(2 22?
222 vuV
)(32)14()14( 22222A smV
)(464)54()24( 22222B smV
2BB2AA 2121 VpVp
)(8.13 97 40)46 432(2.121104.1)(21 52B2AAB PaVVpp
第五节 基本的平面有势流动流体的平面有势流动是相当复杂的，很多复杂的平面有势流动可以由一些简单的有势 流动叠加而成。所以，我们首先介绍几种基本的平面有势流动，它包括 均匀直线流动,点源和点汇,点涡等一、均匀直线流动流体作均匀直线流动时，流场中各点速度的大小相等，方向相同，即 和 。由 式 （ 4-16） 和式 （ 4-23）,得于是速度势和流函数各为以上两式中的积分常数 和 可以任意选取，而不影响流体的流动图形（称为流谱）。
0uu? 0vv?
00,vxyvuyxu
10000 dddd Cyvxuyvxuyyxx
20000 d)d(dd Cyuxvyuxvyyxx
1C 2C
若令,即得均匀直线流动的速度势和流函数各为
（ 4-29）
（ 4-30）
由式 （ 4-29） 和式 （ 4-30） 可知，等势线簇（ 常数）和流线簇（ =常数）互相垂直，如 图 4-11
所示。各流线与轴的夹角等于 。
由于流场中各点的速度都相等，根据伯努里方程（ 3-41），
得常数如果均匀直线流动在水平面上，或流体为气体，一般可以忽略重力的影响，于是常数即流场中压强处处相等。
021 CC
yvxu 00
yuxv 00
yvxu 00?
yuxv 00
001-tg uv
gpz?
p
图 4-11 均匀直线流的流谱二、平面点源和点汇如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向各方流出，则这种流动称为点源，这个点称为源点 （ 图 4-12，
a） ；若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点，则这种流动称为点汇，这个点称为汇点 （ 图 4-12,b） 。显然，这两种流动的流线都是从原点 O发出的放射线，即从源点流出和向汇点流入都只有径向速度 。现将极坐标的原点作为源点或汇点，则
rv r?
rv
0v
rv r dd
图 4-12 点源和点汇的流谱点源点汇
back
根据流动的连续性条件，流体每秒通过任一半径为 的单位长度圆柱面上的流量 都应该相等，即常数由此得
（ 4-31）
式中 是点源或点汇在每秒内流出或流入的流量，称为点源强度或点汇强度。对于点源,与 同向,取正号；对于点汇,与异向,取负号，于是积分得式中积分常数 是任意给定的，现令 。又由于,于是得速度势
（ 4-32）
当 时，速度势 和 速度都变成无穷大，源点和汇点都是奇点。所以速度势 和速度 的表达式（ 4-31）和式（ 4-32）只有在源点和汇点以外才能应用。
r
Vq
Vr qrv 12?
r
qv V
r?2?
Vq
rv r
vr rVq
Vq
r
rq V d
2d
Crq V ln2
C 0?C 22 yxr
22ln2ln2 yxqrq VV
0?r? rv
rv
现在求流函数，由式（ 4-25）
积分得 (令式中的积分常数为零 )
（ 4-33）
等势线簇（ 常数，即 常数）是同心圆簇（在 图 4-12中用虚线表示）与流线簇（ 常数，即 常数）成正交。而且除源点或汇点外，整个平面上都是有势流动。
如果 平面是无限水平面，则根据伯努里方程（ 3— 41）
式中 为 在处的流体压强，该处的速度为零。
将式（ 4-31）代入上式，得
（ 4-34）
由式（ 4-34）可知，压强 随着半径 的减小而降低。当时,。 图 4-13表示当 时，点汇沿半径 的压强分布。
d2dddd Vrr qrvrvrv
x
yqq VV 1-tg
22
r
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g
p
g
v
g
p r
2
2
pr
22
2 1
8 r
qpp V
p r
2/1220 )8/( pqrr Vrr00?p
r
图 4-13 点汇沿半径的压强分布三、点涡设有一旋涡强度为 的无限长直线涡束，该涡束以等角速度 绕自身轴旋转，并带动涡束周围的流体绕其环流。由于直线涡束为无限长，所以可以认为与涡束垂直的所有平面上的流动情况都一样。也就是说，这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理。由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆，如 图 4-14所示。根据斯托克斯定理可知，
沿任一同心圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度，即常数于是
（ 4-35）
因此涡束外的速度与半径成反比。若涡束的半径,则成为一条涡线，这样的流动称为点涡，又称为纯环流。但当时，,所以涡点是一个奇点。
I
Irv2
02 rvrv,
00?r
00?rv
图 4-14 点涡的流谱现在求点涡的速度势和流函数。由于由积分后得速度势
（ 4-36）
又由于由积分后得流函数
（ 4-37）
当 时，环流为反时针方向，如 图 4-14所示；当 时，环流为顺时针方向。
由式（ 4-36）和式（ 4-37）可知，点涡的等势线簇是经过涡点的放射线，而流线簇是同心圆。而且除涡点外，整个平面上都是有势流动。
rrvrv r
2
10
,
d2d1dd rrrr
x
y1-tg
22
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20
1
,
rrrrrr d2d1dd
rln2
0 0Γ?
设涡束的半径为,涡束边缘上的速度为,压强为 ； 时的速度显然为零，而压强为 。代入伯努里方程（ 3-41），得涡束外区域内的压强分布为
（ 4-38）
由式（ 4-38）可知，在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，涡束外缘上的压强为或
（ 4-39）
所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。又由式（ 4-38）可知，在 处，压强,显然这是不可能的。所以在涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域，称为涡核区。由式（ 4-39）可得涡核的半径
0r 00 2 rv
0pr?p
22
22 1
82 rp
vpp
202
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0
1
82 rp
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1
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1
rvpp?
0?rp
常数 gVgpz 2 2?
由于涡核内是有旋流动，故流体的压强可以根据欧拉运动微分方程求得。平面定常流动的欧拉运动微分方程为将涡核内任一点的速度 和 代入上两式，得以 和 分别乘以上两式，然后相加，得或积分得
x
p
y
uv
x
uu
1
y
p
y
vv
x
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1
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xd yd
yypxxpyyxx dd1)dd(2
pyx d1d2 22
2
）（
CvCrCyxp 222222 212121 ）（
在 处，,代入上式，得最后得涡核区域内的压强分布为
（ 4-40）
或
（ 4-40a）
于是涡核中心的压强而涡核边缘的压强所以可见，涡核内、外的压强降相等，都等于用涡核边缘速度计算的动压头。涡核内、外的速度分布和压强分布如 图 4-15所示。
0rr? 00 vvpp、
2020200200 2121 vpvvpvpC
220 21 vvpp
22202 21 rrpp
20220 rpvpp c
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1
2
1 rpvpp
2
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1
2
1
2
1 rvpppppp
cc ）（
图 5-14 涡流中涡核内、外的速度和压强分布第六节 平面势流的叠加流动从上节可以看到，只有对一些简单的有势流动，
才能求出它们流函数和势函数，但当流动较复杂时，
根据流动直接求解流函数和势函数往往十分困难。
我们可以将一些简单有势流动进行叠加，得到较复杂的流动，这样一来，为求解流动复杂的流场提供了一个有力的工具。因此，本节先介绍势流的叠加原理，然后再介绍几种典型的有实际意义的叠加流动。
一、势流叠加原理前面我们知道，速度势函数和流函数都满足拉普拉斯方程。凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上都称为调和函数，所以速度势函数和流函数都是调和函数。根据调和函数的性质，即若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数，可将若干个速度势函数 (或流函数 )线性组合成一个代表某一有势流动的速度势函数 (或流函数 )。现将若干个速度势函数,,,… 叠加，得
（ 4-41）
而 （ 4-42）
显然，叠加后新的速度势函数也满足拉普拉斯方程。同样，
叠加后新的流函数也满足拉普拉斯方程，即
（ 4-43）
1? 2? 3?
321
0)( 32221232122
03222122
这个叠加原理方法简单，在实际应用上有很大意义，可以应用这个原理把上一节所讨论的几个简单的基本平面有势流动叠加成所需要的复杂有势流动。
将新的速度势函数 分别对,和 取偏导数，就等于新的有势流动的速度分别在,和 轴方向上的分量：
（ 4-44）
或
（ 4-45）
即
（ 4-46）
x y z
zzzz
yyyy
xxxx
321
321
321
321
321
321
wwww
vvvv
uuuu
X Y Z
321 VVVV
由此可见，叠加后所得的复杂有势流动的速度为叠加前原来的有势流动速度的矢量和。
由此，可得出一个重要结论：叠加两个或多个不可压平面势流流动组成一个新的复合流动，只要把各原始流动的势函数或流函数简单地代数相加，就可得到该复合流动的势函数或流函数。该结论称为势流的叠加原理。
二、螺旋流螺旋流是点涡和点汇的叠加。将式（ 4-36）和式 （ 4-32）
相加以及将式（ 4-37）和式（ 4-33）相加即得新的有势流动的速度势和流函数
（ 4-47）
（ 4-48）
式中 取反时针方向为正。于是得等势线方程常数或
（ 4-49）
流线方程为 常数或
（ 4-50）
显然，等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇
（图 4-16）,称为螺旋流。流体从四周向中心流动。
）（ rqΓ V ln21
）（ VqrΓ ln21
rqΓ V ln?
Vq
Γ
Cr e1?
VqrΓ ln
Γq VCr e
2
图 4-16 螺旋流的流谱研究螺旋流在工程上有重要意义。例如旋流燃烧室、旋风除尘设备及多级离心泵反导叶中的旋转气流即可看成是这种螺旋流。
螺旋流的速度分布为
（ 4-51）
（ 4-52）
（ 4-53）
代入伯努里方程（ 3-41），得流场的压强分布
（ 4-54）
r
Γ
rv
2
1?
r
q
rv
V
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2
22
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4 r
qΓvvV V
r
2
2
2
1
22
221
11
8 rr
qΓpp V ）（
三、偶极流将流量各为 的点源和 的点汇相距 2a距离放在 X轴上，叠加后的流动图形如 图 4-17所示，它的速度势和流函数各为
（ 4-55）
（ 4-56）
由流线方程（ 4-56） 常数，得 常数，所以流线是经过源点 A和汇点 B的圆簇，而且从源点流出的流量全部流入汇点。
222221 lnln2lnln2 yaxyax
qrrq VV ）（）（）（
22
22
ln4 yax yaxq V ）（ ）（?
22 21 VV qq ）（
Vq? Vq?
图 4-17 点源和点汇的叠加常数
现在分析一种在点源和点汇无限接近的同时，流量无限增大（即 ），以至使 保持一个有限常数值 的极限情况。在这种极限情况下的流动称为偶极流,称为偶极矩或偶极强度。偶极流是有方向的，一般规定由点源指向点汇的方向为正向。如 图 4-18所示，偶极流指向 轴方向，
这时的偶极矩 取正值。
偶极流的速度势可由式（ 4-55）根据上述极限条件求得，
将式（ 4-55）改写成
Vqa,02 Vaq2 M
M
M
X
2
21
2
1
21 1ln2ln2lnln2 r
rrq
r
rqrrq VVV
）（
常数常数
图 4-18 偶极流的流谱从 图 4-19中可知，当 A点和 B点向原点 O无限接近时，,而且当,时,
，,又由于当 为无穷小时，可以略去高阶项，得 。因此，偶极流的速度势或
（ 4-57）
121 c os2?arr 02?aVq MaqV?2
rrr 21 021
4321ln
432
）（
)1ln (
2
1
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V
q
a
VV
2
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c o s
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r
M?
222 22 yx
xM
r
xM
图 4-19 推导偶极流用图在图 4-19中,BC为从 B点向 AP所作的垂线，则又当,,,所以,代入式 （ 4-56）
得偶极流的流函数或
（ 4-58）
令式（ 4-58）等于常数,于是得流线方程
（ 4-59）
即流线簇是半径为,圆心为（ 0,），且与轴在原点相切的圆簇，如图 4-18中实线所示。
又令式（ 4-57）等于常数，得等势线方程
（ 4-60）
即等势线簇是半径为,圆心为（,0）且与轴在原点相切的圆簇，如图 4-18中虚线所示。
12 s i n2s i nBC ar
02?a 0?asin s in2ar?
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2
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C
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24C
M?
24 C
M
四、绕圆柱体无环量流动将均匀直线流与偶极流叠加，可以得到绕圆柱体无环量流动。设有一在无穷远处速度 为,平行于 X轴、由左向右流的均匀直线流，与在坐标原点 O上偶极矩为 M、方向与 X轴相反的偶极流叠加，如 图 4-20所示，组合流动的流函数为
（ 4-61）
流线方程
（ 4-62）
选取不同的常数值,可得到如图 4-20所示的流动图形。对的所谓零流线的方程为或
，
V
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1
212 yxV
MyV
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yMyV
Cyx yMyV 222?
C
0 C?
0121 22
yxV
MyV
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VMyx?222
图 4-20 均匀流绕圆柱体无环量流动由此可知，零流线是一个以坐标原点为圆心、半径 的圆周与正负 X轴 和 所构成的图形。该流线到 A点处分为两段，沿上、下两个半圆周流到 B点，又重新汇合。这个平面组合流动的流函数为
(4-63)
同样，也可得到它的速度势
(4-64)
以上两式中,≥,这是因为 的圆柱体内的流动没有实际意义。
VMr?20
BB? AA?
s i n11 2
2
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2
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yx
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c o s1 2
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r
rV
r 0r
0rr?
流场中任一点的速度分量为
(4-65)
在,处，,。这表示，在离开圆柱体无穷远处是速度为 的均匀直线流动。在 图 4-20中的 A点（,
0）和 B点 (,0)处，,A点为前驻点,B点为后驻点。
用极坐标表示的速度分量为
（ 4-66）
2s i n
)(
2
2c o s1
)(
)(
1
2
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0
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2
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2
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r
r
V
r
v
r
r
V
r
v
r
沿包围圆柱体圆周的速度环量为所以，均匀直线流绕圆柱体的平面流动是没有速度环量的。
因此，一个速度为 的均匀直线流绕半径为 的圆柱体无环量的平面流动，可以用由这个均匀直线流与偶极矩的偶极流叠加而成的平面组合流动来代替。
当,在圆柱面上
（ 4-67）
这说明，流体在圆柱面上各点的速度都是沿切线方向的，也就是说理想流体绕圆柱体无环量的平面流动不会与圆柱面发生分离。
2
0
2
2
0 0ds i n1d
r
rrVsvΓ
V 0r
202 rVM
0rr?
s i n2
0
Vv
v r
由式（ 4-67）可知，在圆柱面上的速度是按照正弦曲线规律分布的，如 图 4-21所示。在 （图 4-20中的 B点）和
（图 4-20中的 A点）处,；在 处，达到最大值,与圆柱体的半径无关，而等于无穷远处速度的两倍。
由伯努里方程（ 3-41）可求得不可压缩理想流体的圆柱面上压强分布的公式，即将式（ 4-67）代入上式，得
(4-68)
在工程上常用无量纲的压强系数来表示流体的压强分布，它定义为
(4-69)
将式（ 4-68）代入上式，得
(4-70)
0
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v
90
Vv 2m ax?
22
2
1
2
1
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)s i n41(21 22 Vpp
2
2
1
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V
v
V
ppC
p
222 s i n41)180(s i n41s i n41?pC
无穷远处流体的压强图 4-21 均直流绕圆柱体无环量流动中圆柱面上的速度分布根据式（ 4-70）计算出理论无量纲压强系数曲线如 图 4-22
中实线所示。注意,在计算时,角是从前驻点 A（ ）起沿顺时针方向增加。在前驻点 A（ ）上，速度等于零，
压强达到最大值,；垂直于来流方向的最大截面 ( )
上，速度增加到最大值，压强降到最小值,；在后驻点 B（ ）上，速度又降到零，压强又回升到最大值,。这种流动在圆柱面上的压强分布上下、前后都是对称的，因此流体作用在圆柱面上的压强合力等于零。由于流体作用在圆柱面上的压强合力可分为与来流方向垂直的升力和与来流方向平行的阻力。因此，无黏性的理想流体绕圆柱体无环量流动时，圆柱体上既不承受升力，也不承受阻力。不承受升力与实际情况是相符合的，但是不承受阻力则与实际情况大不相符,这就是著名的达朗伯 （ J,R,d‘Alembert）
疑题．
0
0
1?pC?90
3pC
1 8 0
1?pC
事实上，有黏性的实际流体绕圆柱体无环量流动时，在圆柱面上流动方向的压强分布是不对称的。这是由于实际流体存在着黏性，当流体绕流圆柱体时，从前驻点开始在圆柱面上逐渐形成一层边界层（在第五章中讲述）。流体在圆柱体的前半部的流动是降压增速，边界层处于较稳定状态。到圆柱体的后半部变为升压减速流动，容易发生边界层分离，
在圆柱体后面形成尾涡区，压强下降。破坏了圆柱体面上前后压强分布的对称性，使圆柱体前后产生压强差，形成压差阻力。 图 4-22中所示的实验所得的亚临界雷诺数下（层流）
的压强分布曲线（虚线）比超临界雷诺数下（紊流）的压强分布曲线（点划线）更远离理论曲线。根据实验所得，在亚临界雷诺数下层流边界层的分离和超临界雷诺数下紊流边界层的分离分别发生在大约 和 附近。84?120
图 4-22 压强系数沿圆柱面的分布理论线超临界亚临界
5107.6Re
51086.1Re
实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，
船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。
但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的紊流运动，
更是充满着尺度不同的大小旋涡。
0 0
流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单 得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对工程中的某些问题，在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二维平面势流理论。
第一节 流体微团运动分析刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流 动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，
在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。
一、表示流体微团运动特征的速度表达式在运动流体中，在时刻 t 任取一正交六面体流体微团，其边长分别为 d x,d
y
,d z,
如图 4 - 1 所示。当选取该流体微团上的 F( x,
y
,z ) 点为参考点时，则该点的速度分量分别为 u ( x,
y
,z ),v ( x,
y
,z ),w ( x,
y
,z ),其他各点的速度均可利用泰勒级数展开并略去二阶及以上无穷小量得到。因此 C( x +d x,
y
+ d
y
,z + d z ) 点的速度分量可表示为
zzuyyuxxuuu c ddd
zzvyyvxxvvv c ddd
zzwyywxxwww c ddd
图 4-1 分析流体微团运动用图为了把流体微团的速度进行分解，并以数学形式表达出来，现将上式进行改造。在第一式右边
y
x
v d
2
1
、
z
x
w d
2
1
，在第二式右边
x
y
u
d
2
1
、
z
y
w
d
2
1
，
在第三式右边
x
z
u d
2
1
、
y
z
v d
2
1
，重新整理后可得到
yyuxvzxwzuzxwzuyxvyuxxuuu c d21d21d21d21d
zzvywxyuxvzywzvxyuxvyvvv c d21d21d21d21dy
xxwzuzzvywyzvywxzuxwzzwww c d21d21d21d21d
剪切变形速率,,,,,,
引入记号，并赋予运动特征名称：
线变形速率,,,
xx?
、
yy?
、
zz?
，
z
w
y
v
x
u
zzyyxx?
,,
xy? yx? yz? zy? xz? zx?
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
xzzx
zyyz
yxxy
2
1
2
1
2
1
（ 4-1）
（ 4-2）
于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为旋转角速度,,,
x? y? z?
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
z
y
x
2
1
2
1
2
1
（ 4-3）
xyyxzww
zxzxyvv
yzzyxuu
yxzyzxzzc
xzyzyxyyc
zyxzxyxxc
ddddd
ddddd
ddddd
（ 4-4）
式 (4 - 4) 表明，在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：①以流体微团中某点的速度作整体平移运动 ( u,v,w ) ；②绕通过该点轴的旋转运动 (
x?
、
y?
、
z?
) ；
③微团本身的变形运动 ( 线变形
xx?
、
yy?
、
zz?
和剪切变形
xy?
、
yz?
、
zx?
) 。
二、流体微团运动的分解为进一步分析流体微团的分解运动及其几何特征，对式 (4-4)有较深刻的理解，现在分别说明流体微团在运动过程中所呈现出的平移运动、线变形运动、角变形运动和旋转运动。
为简化分析，仅讨论在 平面上流体微团的运动。假设在时刻,流体微团 ABCD为矩形，其上各点的速度分量如图 4-2所示。由于微团上各点的速度不同，经过时间,势必发生不同的运动，
微团的位置和形状都将发生变化，现分析如下。
xoy
t
td
1．平移运动由图 4 - 2 可知，微团上 A,B,C,D 各点的速度分量中均有 u 和 v 两项，在经过 d t 时间后，矩形微团
A B C D 向右、向上分别移动 u d t,v d t 距离，即平移到新位置，形状不变，如图 4 - 3( ) 所示。式 (4 - 4) 中的第一项即为该流体微团平移运动的运动速度。
图 4-2 分析流体微团平面运动用图
a
2．线变形运动在图 4 - 2 中，比较 B 与 A,C 与 D 点在
x
方向及 D 与 A,C 与 B 点在
y
方向的速度差可得：
x
x
u
uu dAB
，
x
x
u
uu dDC
；
y
y
v
vv d
AD
，
y
y
v
vv d
BC
。由此可知，流体线段 AB 和
DC
在
d
t
时间内将伸长 ( 或缩短 )
tx
x
u
dd
，同样,AB 和
BC
线段将伸长 ( 或缩短 )
ty
y
v
dd
。
定义单位时间内单位长度流体线段的伸长 ( 或缩短 ) 量为流体微团的线变形速率，则沿
x
轴方向的线变形速率为
xx
x
u
txtx
x
u
)d(ddd
同理可得流体微团沿
y
轴方向和沿 z 轴方向的线变形速率分别为
y
v
yy
，
z
w
zz
上述即为式 (4 - 1) 及其物理意义。式 (4 - 4) 中的第二项所表示的便是该线变形运动所引起的速度变化。
将
x
、
y
,z 方向的线变形速率加在一起，有
z
w
y
v
x
u
zzyyxx
（ 4 - 5 ）
对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团在运动中体积不变。而三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。因此，不可压缩流体的连续性方程也是流体不可压缩的条件。在图 4 - 3( ) 中示出了该流体微团的平面线变形。
b
图 4-3 流体微团平面运动的分解 (a) 返回图 4-3 流体微团平面运动的分解 (b)
返回图 4-3 流体微团平面运动的分解 (c)
返回图 4-3 流体微团平面运动的分解 (d)
返回
3．角变形运动在图 4 - 2 中，比较 D 和 A,C 和 B 在
x
方向及 B 和 A,C 和 D 在
y
方向的速度差可得：
y
y
u
uu d
AD
，
y
y
u
uu d
BC
；
x
x
v
vv d
AB
，
x
x
v
vv d
DC
。由此可知，若速度增量均为正值，流体微团在 d
t
时间内则发生图 4 - 3( ) 所示的角变形运动。由图可见，由于 D 点和 A 点,C 点和 B 点在
x
方向的运动速度不同，致使 AD 流体边在 d
t
时间内顺时针转动了
d
角度；由于 B 点和 A 点,C 点和 D 点在
y
方向的速度不同，
致使 AB 流体边在 d
t
时间内逆时针转动了 d
角度。于是，两正交流体边 AB 和 AD 在
d
t
时间内变化了 (
d
+
d
) 角度。显然，微元角度
d
和
d
可由下列公式求得
t
x
v
xtx
x
v
ddddt g dd
t
y
u
yty
y
u
ddddt g dd
c
通常把两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量定义为角变形速度，而把该夹 角变化的平均值在单位时间内的变化量 ( 角变形速度的平均值 ) 定义为剪切变形速率。则在
xy
平面上，将流体微团的剪切变形速率记为
xy?
(
yxxy
),因此有同理，也可得到
yz
平面和
zx
平面上的剪切变形速率
yz?
和
zx?
。于是，过流体微团任一点 A 的三个正交微元流体面上的剪切变形速率分别为上述即为式 (4 - 2) 及其物理含义。式 (4 - 4) 中的第三、第四项所表示的便是由该剪切变形所引起的速度变化。
y
u
x
v
tyxxy 2
1
d
) / 2dd(
yuxvyxxy 21
zvywzyyz 21
xwzuxzzx 21
4．旋转运动由图 4 - 3 ( c ) 可知，流体微团在 d
t
时间内出现了角变形运动。若微元角度
d
=
d
，则流体微团只发生角变形；
若
d
= -
d
，即
yuxv
，则流体微团只发生旋转，不发生角变形，如图 4 - 3( ) 所示。一般情况下，
dd?
，流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动。
d
在旋转运动中，用符号
表示流体微团旋转角速度的大小，其定义为：过流体微团上 A 点的任两条正交微元流体边在其所在平面内旋转角速度的平均值，称作 A 点流体微团的旋转角速度在垂直该平面方向的分量。如图
4 - 3 ( c ) 所示，在
xy
平面上，过 A 点的两正交流体边
AB
和
AD
，
AB
边在 d
t
时间内逆时针旋转了微元角度
d
，
AD
边在 d
t
时间内顺时针旋 转了微元角度
d
，通常规定以逆时针旋转为正，则该两条正交微元流体 边在
xy
平面内的旋转角速度的平均值为,于是得流体微团沿
z
轴方向的旋 转角速度分量为
y
u
x
v
tz 2
1
d
d-d
2
1
td d/)-d(21
同理可求得流体微团沿
x
轴方向和
y
轴方向旋转角速度的分量 和 。
于是，以流体微团 A 点为轴的旋转角速度 的三个分量分别为
(4 - 6)
写成矢量形式为
（ 4 - 7 ）
上述即为式 (4 - 3) 及其物理含义。式 (4 - 4) 中的第五、第六项所表示的便是由该旋转运动所引起的速度变化。
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
z
y
x
2
1
2
1
2
1
222
zyx
)(21 Vkji zyx
x? y?
综上所述，在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动，与此相对应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率和剪切变形速率。
第二节 有旋流动和无旋流动一、有旋流动和无旋流动的定义二、速度环量和旋涡强度一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。
如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关，在图 4-4(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图 4-4(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
图 4-4 流体微团运动无旋流动有旋流动判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足根据式（ 4-3），则有
0 zyx
,zvyw,
x
w
z
u
y
u
x
v
（ 4-8）
二、速度环量和旋涡强度
1．速度环量为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力学中重要的基本概念之一 —— 速度环量。
在流场中任取封闭曲线 k，如 图 4-5所示。速度沿该封闭曲线的线积分称为速度沿封闭曲线 k的环量，简称速度环量，用 表示，即式中 —— 在封闭曲线上的速度矢量；
—— 速度与该点上切线之间的夹角。
速度环量是个标量，但具有正负号。
V?
K K
svsV dc o sd
（ 4-9）
V?
图 4-5 沿封闭曲线的速度环量在封闭曲线 k
上的速度矢量速度 与该点上切线之间的夹角
V?
速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为 K的正方向，
即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧，如图 4-5
所示。当沿顺时针方向绕行时，式（ 4-9）应加一负号。
实际上，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线 K运动的总的趋势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。
由于 和,则
kwjviuV kzjyixs dddd
zwyvxusV dddd
代入式（ 4-9），得
K K zwyvxusV )ddd(d
（ 4-10）
2．旋涡强度沿封闭曲线Ｋ 的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系，现仅以平面流动为例找出这个关系。如图 4-
6所示，在平面 上取一微元矩形封闭曲线，其面积,流体在 A点的速度分量为 和,则 B、
C和 D点的速度分量分别为：
XOY
yxA ddd? u v
xxuuu dB
xxvvv dB
yyuxxuuu ddC
yyvxxvvv ddC
yyuuu dD
yyvvv dD
图 4-6 沿微元矩形的速度环量
xxuu d
xxvv d
yyuxxuu dd
yyvxxvv dd
yyuu d
yyvv d
于是，沿封闭曲线反时针方向 ABCDA的速度环量将,,,和,,,各值代入上式，略去高于一阶的无穷小各项，再将式（ 4-3）的第三式代入后，得然后将式（ 4-11）对面积积分，得
yvvxuuyvvxuu d2d2d2d2d ADDCCBBA
Au Bu Cu Du Av Bv Cv
Dv
AyxyuxvΓ z d2ddd
（ 4-11）
AΓ z d2?
（ 4-12）
于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理：
沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称之为旋涡强度 I，即和式中 —— 在微元面积 的外法线 上的分量。
AI n d2d
AI n d2?
（ 4-13）
n
Ad n?
由式（ 4-11）可导出另一个表示有旋流动的量，
称为涡量，以 表示之。它定义为单位面积上的速度环量，是一个矢量。它在 Z轴方向的分量为对于流体的空间流动，同样可求得 X和 Y轴方向涡量的分量 和 。于是得即
Ω?
zz y
u
x
v
A
ΓΩ?2
d
d?
zz
yy
xx
y
u
x
v
Ω
x
w
z
u
Ω
z
v
y
w
Ω
2
2
2
VΩ2
（ 4-14）
（ 4-15）
也就是说，在有旋流动中，流体运动速度 的旋度称为涡量。
由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。
下面举两个简单的例子来说明速度环量和旋涡强度的物理意义，以及有旋流动和无旋流动的区别。
V?
【 例 4-1】 一个以角速度 按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动，如 图 4-7所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动,(解 )
【 例 4-2】 一个流体绕 O点作同心圆的平面流动，
流场中各点的圆周速度的大小与该 点半径成反比，即,其中 C为常数，如 图 4-8所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。 (解 )
rCV?
【 解 】 在流场中对应于任意两个半径 和 的圆周速度各为 和,沿图中画斜线扇形部分的周界 ABCDA的速度环量可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积于是上式正是斯托克斯定理的一个例证。
以上结论可推广适用于圆内任意区域内。
1r
2r
11 rV 22 rV
)()( 212211221122DACDBCABA B C D A rrrVrVrVrVΓΓΓΓΓ
)(2d 21222
1
rrrrA r
r
AΓ?2A B C D A?
返回例题图 4-7 有旋流动中速度环量的计算 图 4-8 无旋流动中速度环量的计算返回例题
【 解 】 沿扇形面积周界的速度环量可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心 O的区域内，例如 。若包有圆心 ( )，
该处速度等于无限大，应作例外来处理。现在求沿半径的圆周封闭曲线的速度环量上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有 旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心 O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。
01
1
2
2
DACDBCABA B C D A rr
Cr
r
CΓΓΓΓΓ
ADCBA 0?r
2
0
2d 常数CrrCΓ
返回例题第三节 无旋流动的速度势函数如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度 在任意时刻处处为零，即满足 的流动为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。
一、速度势函数引入二,速度势函数的性质
0 V?
一、速度势函数引入由数学分析可知,是 成为某一标量函数 全微分的充分必要条件。则函数 称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函数 的流动为有势流动，简称势流。根据全微分理论，势函数 的全微分可写成于是得
0 V? zwyvxu ddd
)( tzyx,，，?
zzyyxx dddd
zwyvxu?
,,（ 4-16）
按矢量分析对于圆柱坐标系，则有于是从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，
只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。
g r a d kzjyixkwjviuV
zvrvrv zr?
,，
1
zvrvrv zr dddd
（ 4-17）
（ 4-18）
二、速度势函数的性质
（ 1）不可压缩流体的有势流动中，势函数 满足拉普拉斯方程，势函数 是调和函数。
将式（ 4-16）代入到不可压缩流体的连续性方程（ 3-28）
中，则有式中 为拉普拉斯算子，式（ 4-19）称为拉普拉斯方程，所以在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。
022
2
2
2
2
2
zyx
(4-19)
2
2
2
2
2
22 zyx
0 zwyvxu
从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形 式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。
（ 2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 值之差。而与曲线的形状无关。
根据速度环量的定义，沿任意曲线 AB的线积分这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。
对于任意封闭曲线，若 A点和 B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，即 。
AB
B
A
B
A
B
A
AB dw d zv d yudxsdV )(
0AB
第四节 二维平面流动的流函数一、流函数的引入对于流体的平面流动，其流线的微分方程为,将其改写成下列形式
（ 4-20）
在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程，
即或 （ 4-21）
由数学分析可知，式（ 4-21）是（ ）成为某函数全微分的充分必要条件，以 表示该函数，则有
（ 4-22）
函数称为流场的流函数。由式（ 4-22）可得
（ 4-23）
vyux dd?
0dd yuxv
0 yvxu
y
v
x
u
yuxv dd
yuxvyyxx ddddd
），（ yx?
xvyu?
,
由式 (4-22)，令,即 常数，可得流线微分方程式 (4-20)。
由此可见,常数的曲线即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标（ ）代入流函数,便可得到一条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。
对于极坐标系，可写成
（ 4-24）
（ 4-25）
在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数一样，可由曲线积分得出。
至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数,
由式（ 4-23）或式（ 4-24）就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数 。
这里需说明，等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的。
0d
），（ yx?
00 yx，
rvr 1 rv?
ddd rvrv r
），（ yx?
二、流函数的性质
（ 1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数 永远 满足连续性方程。
将式（ 4-23）代入式（ 4-21）得即流函数永远满足连续性方程。
（ 2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数 满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。
对于平面无旋流动，,则将式（ 4-23）代入上式因此，不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程，也是一个调和函数。
因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求解一个满足边界条件的 的拉普拉斯方程,
yxxy
22
0?z?
0 yuxv
022222 yx
（ 3）平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数 的物理意义。
如图 4-9所示，在两流线间任一曲线
AB，则通过单位厚度的体积流量为
（ 4-26）
由式（ 4-26）可知，平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。
图 4-9 说明流函数物理意义用图
2
1
2
1
2
1
2
1
dd)d(d
x
x
y
y
x
x
y
y
V xxyyxvyuq
12
,
),(
22
11
d
yx
yx
三,和 的关系
（ 1）满足柯西 -黎曼条件如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，比较式（ 4-16）和式（ 4-23），可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系
（ 4-27）
（ 4-28）
这是一对非常重要的关系式，在高等数学中称作柯西 -黎曼条件。因此,和 互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题。
当势函数 和 流函数二者知其一时，另一个则可利用式（ 4-27）的关系求出，而至多相差一任意常数。
xyyx?
,
0 yyxx
（ 2）流线与等势线正交。
式（ 4-28）是等势线簇
[ 常数 ]和流线簇
[ 常数 ]互相正交的条件，若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必然构成正交网格，称为流网，如图 4-10
所示。
），（ yx?
），（ yx?
图 4-10 流网
0 yyxx
【 例 4-3】 有一不可压流体平面流动的速度分布为 。①该平面流动是否存在流函数和速度势函数；②若存在，试求出其表达式；③若在流场中 A
（ 1m,1m） 处的绝对压强为 1.4× 105Pa，流体的密度
1.2kg/m3，则 B（ 2m,5m） 处的绝对压强是多少？
【 解 】 （ 1）由不可压流体平面流动的连续性方程该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。
由于是平面流动该流动无旋，存在速度势函数。
yvxu 44,
0)4()4( yyxxyvxu
0 yx
044
2
1
2
1
y
x
x
y
y
u
x
v
z?
（ 2）由流函数的全微分得：
积分由速度势函数的全微分得：
积分
（ 3）由于,因此,A和 B处的速度分别为由伯努里方程可得
yxxyyuxvyyxx d4d4ddddd
Cxy 4?
yyxxyvxuyyxx d4d4ddddd
Cyx )(2 22?
222 vuV
)(32)14()14( 22222A smV
)(464)54()24( 22222B smV
2BB2AA 2121 VpVp
)(8.13 97 40)46 432(2.121104.1)(21 52B2AAB PaVVpp
第五节 基本的平面有势流动流体的平面有势流动是相当复杂的，很多复杂的平面有势流动可以由一些简单的有势 流动叠加而成。所以，我们首先介绍几种基本的平面有势流动，它包括 均匀直线流动,点源和点汇,点涡等一、均匀直线流动流体作均匀直线流动时，流场中各点速度的大小相等，方向相同，即 和 。由 式 （ 4-16） 和式 （ 4-23）,得于是速度势和流函数各为以上两式中的积分常数 和 可以任意选取，而不影响流体的流动图形（称为流谱）。
0uu? 0vv?
00,vxyvuyxu
10000 dddd Cyvxuyvxuyyxx
20000 d)d(dd Cyuxvyuxvyyxx
1C 2C
若令,即得均匀直线流动的速度势和流函数各为
（ 4-29）
（ 4-30）
由式 （ 4-29） 和式 （ 4-30） 可知，等势线簇（ 常数）和流线簇（ =常数）互相垂直，如 图 4-11
所示。各流线与轴的夹角等于 。
由于流场中各点的速度都相等，根据伯努里方程（ 3-41），
得常数如果均匀直线流动在水平面上，或流体为气体，一般可以忽略重力的影响，于是常数即流场中压强处处相等。
021 CC
yvxu 00
yuxv 00
yvxu 00?
yuxv 00
001-tg uv
gpz?
p
图 4-11 均匀直线流的流谱二、平面点源和点汇如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向各方流出，则这种流动称为点源，这个点称为源点 （ 图 4-12，
a） ；若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点，则这种流动称为点汇，这个点称为汇点 （ 图 4-12,b） 。显然，这两种流动的流线都是从原点 O发出的放射线，即从源点流出和向汇点流入都只有径向速度 。现将极坐标的原点作为源点或汇点，则
rv r?
rv
0v
rv r dd
图 4-12 点源和点汇的流谱点源点汇
back
根据流动的连续性条件，流体每秒通过任一半径为 的单位长度圆柱面上的流量 都应该相等，即常数由此得
（ 4-31）
式中 是点源或点汇在每秒内流出或流入的流量，称为点源强度或点汇强度。对于点源,与 同向,取正号；对于点汇,与异向,取负号，于是积分得式中积分常数 是任意给定的，现令 。又由于,于是得速度势
（ 4-32）
当 时，速度势 和 速度都变成无穷大，源点和汇点都是奇点。所以速度势 和速度 的表达式（ 4-31）和式（ 4-32）只有在源点和汇点以外才能应用。
r
Vq
Vr qrv 12?
r
qv V
r?2?
Vq
rv r
vr rVq
Vq
r
rq V d
2d
Crq V ln2
C 0?C 22 yxr
22ln2ln2 yxqrq VV
0?r? rv
rv
现在求流函数，由式（ 4-25）
积分得 (令式中的积分常数为零 )
（ 4-33）
等势线簇（ 常数，即 常数）是同心圆簇（在 图 4-12中用虚线表示）与流线簇（ 常数，即 常数）成正交。而且除源点或汇点外，整个平面上都是有势流动。
如果 平面是无限水平面，则根据伯努里方程（ 3— 41）
式中 为 在处的流体压强，该处的速度为零。
将式（ 4-31）代入上式，得
（ 4-34）
由式（ 4-34）可知，压强 随着半径 的减小而降低。当时,。 图 4-13表示当 时，点汇沿半径 的压强分布。
d2dddd Vrr qrvrvrv
x
yqq VV 1-tg
22
r
XOY
g
p
g
v
g
p r
2
2
pr
22
2 1
8 r
qpp V
p r
2/1220 )8/( pqrr Vrr00?p
r
图 4-13 点汇沿半径的压强分布三、点涡设有一旋涡强度为 的无限长直线涡束，该涡束以等角速度 绕自身轴旋转，并带动涡束周围的流体绕其环流。由于直线涡束为无限长，所以可以认为与涡束垂直的所有平面上的流动情况都一样。也就是说，这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理。由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆，如 图 4-14所示。根据斯托克斯定理可知，
沿任一同心圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度，即常数于是
（ 4-35）
因此涡束外的速度与半径成反比。若涡束的半径,则成为一条涡线，这样的流动称为点涡，又称为纯环流。但当时，,所以涡点是一个奇点。
I
Irv2
02 rvrv,
00?r
00?rv
图 4-14 点涡的流谱现在求点涡的速度势和流函数。由于由积分后得速度势
（ 4-36）
又由于由积分后得流函数
（ 4-37）
当 时，环流为反时针方向，如 图 4-14所示；当 时，环流为顺时针方向。
由式（ 4-36）和式（ 4-37）可知，点涡的等势线簇是经过涡点的放射线，而流线簇是同心圆。而且除涡点外，整个平面上都是有势流动。
rrvrv r
2
10
,
d2d1dd rrrr
x
y1-tg
22
rrvrv r?
20
1
,
rrrrrr d2d1dd
rln2
0 0Γ?
设涡束的半径为,涡束边缘上的速度为,压强为 ； 时的速度显然为零，而压强为 。代入伯努里方程（ 3-41），得涡束外区域内的压强分布为
（ 4-38）
由式（ 4-38）可知，在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，涡束外缘上的压强为或
（ 4-39）
所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。又由式（ 4-38）可知，在 处，压强,显然这是不可能的。所以在涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域，称为涡核区。由式（ 4-39）可得涡核的半径
0r 00 2 rv
0pr?p
22
22 1
82 rp
vpp
202
220
0
1
82 rp
vpp
202
22
00
1
82
1
rvpp?
0?rp
常数 gVgpz 2 2?
由于涡核内是有旋流动，故流体的压强可以根据欧拉运动微分方程求得。平面定常流动的欧拉运动微分方程为将涡核内任一点的速度 和 代入上两式，得以 和 分别乘以上两式，然后相加，得或积分得
x
p
y
uv
x
uu
1
y
p
y
vv
x
vu
1
yu xv
x
px
12
y
py
12
xd yd
yypxxpyyxx dd1)dd(2
pyx d1d2 22
2
）（
CvCrCyxp 222222 212121 ）（
在 处，,代入上式，得最后得涡核区域内的压强分布为
（ 4-40）
或
（ 4-40a）
于是涡核中心的压强而涡核边缘的压强所以可见，涡核内、外的压强降相等，都等于用涡核边缘速度计算的动压头。涡核内、外的速度分布和压强分布如 图 4-15所示。
0rr? 00 vvpp、
2020200200 2121 vpvvpvpC
220 21 vvpp
22202 21 rrpp
20220 rpvpp c
2
0
22
00 2
1
2
1 rpvpp
2
0
22
000 2
1
2
1
2
1 rvpppppp
cc ）（
图 5-14 涡流中涡核内、外的速度和压强分布第六节 平面势流的叠加流动从上节可以看到，只有对一些简单的有势流动，
才能求出它们流函数和势函数，但当流动较复杂时，
根据流动直接求解流函数和势函数往往十分困难。
我们可以将一些简单有势流动进行叠加，得到较复杂的流动，这样一来，为求解流动复杂的流场提供了一个有力的工具。因此，本节先介绍势流的叠加原理，然后再介绍几种典型的有实际意义的叠加流动。
一、势流叠加原理前面我们知道，速度势函数和流函数都满足拉普拉斯方程。凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上都称为调和函数，所以速度势函数和流函数都是调和函数。根据调和函数的性质，即若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数，可将若干个速度势函数 (或流函数 )线性组合成一个代表某一有势流动的速度势函数 (或流函数 )。现将若干个速度势函数,,,… 叠加，得
（ 4-41）
而 （ 4-42）
显然，叠加后新的速度势函数也满足拉普拉斯方程。同样，
叠加后新的流函数也满足拉普拉斯方程，即
（ 4-43）
1? 2? 3?
321
0)( 32221232122
03222122
这个叠加原理方法简单，在实际应用上有很大意义，可以应用这个原理把上一节所讨论的几个简单的基本平面有势流动叠加成所需要的复杂有势流动。
将新的速度势函数 分别对,和 取偏导数，就等于新的有势流动的速度分别在,和 轴方向上的分量：
（ 4-44）
或
（ 4-45）
即
（ 4-46）
x y z
zzzz
yyyy
xxxx
321
321
321
321
321
321
wwww
vvvv
uuuu
X Y Z
321 VVVV
由此可见，叠加后所得的复杂有势流动的速度为叠加前原来的有势流动速度的矢量和。
由此，可得出一个重要结论：叠加两个或多个不可压平面势流流动组成一个新的复合流动，只要把各原始流动的势函数或流函数简单地代数相加，就可得到该复合流动的势函数或流函数。该结论称为势流的叠加原理。
二、螺旋流螺旋流是点涡和点汇的叠加。将式（ 4-36）和式 （ 4-32）
相加以及将式（ 4-37）和式（ 4-33）相加即得新的有势流动的速度势和流函数
（ 4-47）
（ 4-48）
式中 取反时针方向为正。于是得等势线方程常数或
（ 4-49）
流线方程为 常数或
（ 4-50）
显然，等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇
（图 4-16）,称为螺旋流。流体从四周向中心流动。
）（ rqΓ V ln21
）（ VqrΓ ln21
rqΓ V ln?
Vq
Γ
Cr e1?
VqrΓ ln
Γq VCr e
2
图 4-16 螺旋流的流谱研究螺旋流在工程上有重要意义。例如旋流燃烧室、旋风除尘设备及多级离心泵反导叶中的旋转气流即可看成是这种螺旋流。
螺旋流的速度分布为
（ 4-51）
（ 4-52）
（ 4-53）
代入伯努里方程（ 3-41），得流场的压强分布
（ 4-54）
r
Γ
rv
2
1?
r
q
rv
V
r?
2
22
22
222
4 r
qΓvvV V
r
2
2
2
1
22
221
11
8 rr
qΓpp V ）（
三、偶极流将流量各为 的点源和 的点汇相距 2a距离放在 X轴上，叠加后的流动图形如 图 4-17所示，它的速度势和流函数各为
（ 4-55）
（ 4-56）
由流线方程（ 4-56） 常数，得 常数，所以流线是经过源点 A和汇点 B的圆簇，而且从源点流出的流量全部流入汇点。
222221 lnln2lnln2 yaxyax
qrrq VV ）（）（）（
22
22
ln4 yax yaxq V ）（ ）（?
22 21 VV qq ）（
Vq? Vq?
图 4-17 点源和点汇的叠加常数
现在分析一种在点源和点汇无限接近的同时，流量无限增大（即 ），以至使 保持一个有限常数值 的极限情况。在这种极限情况下的流动称为偶极流,称为偶极矩或偶极强度。偶极流是有方向的，一般规定由点源指向点汇的方向为正向。如 图 4-18所示，偶极流指向 轴方向，
这时的偶极矩 取正值。
偶极流的速度势可由式（ 4-55）根据上述极限条件求得，
将式（ 4-55）改写成
Vqa,02 Vaq2 M
M
M
X
2
21
2
1
21 1ln2ln2lnln2 r
rrq
r
rqrrq VVV
）（
常数常数
图 4-18 偶极流的流谱从 图 4-19中可知，当 A点和 B点向原点 O无限接近时，,而且当,时,
，,又由于当 为无穷小时，可以略去高阶项，得 。因此，偶极流的速度势或
（ 4-57）
121 c os2?arr 02?aVq MaqV?2
rrr 21 021
4321ln
432
）（
)1ln (
2
1
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1
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c o s21ln
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r
aq V
q
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V
q
a
VV
2
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22
c o s
r
rM
r
M?
222 22 yx
xM
r
xM
图 4-19 推导偶极流用图在图 4-19中,BC为从 B点向 AP所作的垂线，则又当,,,所以,代入式 （ 4-56）
得偶极流的流函数或
（ 4-58）
令式（ 4-58）等于常数,于是得流线方程
（ 4-59）
即流线簇是半径为,圆心为（ 0,），且与轴在原点相切的圆簇，如图 4-18中实线所示。
又令式（ 4-57）等于常数，得等势线方程
（ 4-60）
即等势线簇是半径为,圆心为（,0）且与轴在原点相切的圆簇，如图 4-18中虚线所示。
12 s i n2s i nBC ar
02?a 0?asin s in2ar?
20202
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2
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222 22 yx
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r
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2
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14 C
M
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2
2
2
2 44
C
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C
Mx
24C
M?
24 C
M
四、绕圆柱体无环量流动将均匀直线流与偶极流叠加，可以得到绕圆柱体无环量流动。设有一在无穷远处速度 为,平行于 X轴、由左向右流的均匀直线流，与在坐标原点 O上偶极矩为 M、方向与 X轴相反的偶极流叠加，如 图 4-20所示，组合流动的流函数为
（ 4-61）
流线方程
（ 4-62）
选取不同的常数值,可得到如图 4-20所示的流动图形。对的所谓零流线的方程为或
，
V
2222
1
212 yxV
MyV
yx
yMyV
Cyx yMyV 222?
C
0 C?
0121 22
yxV
MyV
0?y
VMyx?222
图 4-20 均匀流绕圆柱体无环量流动由此可知，零流线是一个以坐标原点为圆心、半径 的圆周与正负 X轴 和 所构成的图形。该流线到 A点处分为两段，沿上、下两个半圆周流到 B点，又重新汇合。这个平面组合流动的流函数为
(4-63)
同样，也可得到它的速度势
(4-64)
以上两式中,≥,这是因为 的圆柱体内的流动没有实际意义。
VMr?20
BB? AA?
s i n11 2
2
0
22
2
0 r
r
rV
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22
2
0
22 12 yx
rxV
yx
xMxV
c o s1 2
2
0 r
r
rV
r 0r
0rr?
流场中任一点的速度分量为
(4-65)
在,处，,。这表示，在离开圆柱体无穷远处是速度为 的均匀直线流动。在 图 4-20中的 A点（,
0）和 B点 (,0)处，,A点为前驻点,B点为后驻点。
用极坐标表示的速度分量为
（ 4-66）
2s i n
)(
2
2c o s1
)(
)(
1
2
2
0
222
2
0
2
2
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0
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r
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xyVu 0?v
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2
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2
0
r
r
V
r
v
r
r
V
r
v
r
沿包围圆柱体圆周的速度环量为所以，均匀直线流绕圆柱体的平面流动是没有速度环量的。
因此，一个速度为 的均匀直线流绕半径为 的圆柱体无环量的平面流动，可以用由这个均匀直线流与偶极矩的偶极流叠加而成的平面组合流动来代替。
当,在圆柱面上
（ 4-67）
这说明，流体在圆柱面上各点的速度都是沿切线方向的，也就是说理想流体绕圆柱体无环量的平面流动不会与圆柱面发生分离。
2
0
2
2
0 0ds i n1d
r
rrVsvΓ
V 0r
202 rVM
0rr?
s i n2
0
Vv
v r
由式（ 4-67）可知，在圆柱面上的速度是按照正弦曲线规律分布的，如 图 4-21所示。在 （图 4-20中的 B点）和
（图 4-20中的 A点）处,；在 处，达到最大值,与圆柱体的半径无关，而等于无穷远处速度的两倍。
由伯努里方程（ 3-41）可求得不可压缩理想流体的圆柱面上压强分布的公式，即将式（ 4-67）代入上式，得
(4-68)
在工程上常用无量纲的压强系数来表示流体的压强分布，它定义为
(4-69)
将式（ 4-68）代入上式，得
(4-70)
0
180 0?
v
90
Vv 2m ax?
22
2
1
2
1
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)s i n41(21 22 Vpp
2
2
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2
1?
V
v
V
ppC
p
222 s i n41)180(s i n41s i n41?pC
无穷远处流体的压强图 4-21 均直流绕圆柱体无环量流动中圆柱面上的速度分布根据式（ 4-70）计算出理论无量纲压强系数曲线如 图 4-22
中实线所示。注意,在计算时,角是从前驻点 A（ ）起沿顺时针方向增加。在前驻点 A（ ）上，速度等于零，
压强达到最大值,；垂直于来流方向的最大截面 ( )
上，速度增加到最大值，压强降到最小值,；在后驻点 B（ ）上，速度又降到零，压强又回升到最大值,。这种流动在圆柱面上的压强分布上下、前后都是对称的，因此流体作用在圆柱面上的压强合力等于零。由于流体作用在圆柱面上的压强合力可分为与来流方向垂直的升力和与来流方向平行的阻力。因此，无黏性的理想流体绕圆柱体无环量流动时，圆柱体上既不承受升力，也不承受阻力。不承受升力与实际情况是相符合的，但是不承受阻力则与实际情况大不相符,这就是著名的达朗伯 （ J,R,d‘Alembert）
疑题．
0
0
1?pC?90
3pC
1 8 0
1?pC
事实上，有黏性的实际流体绕圆柱体无环量流动时，在圆柱面上流动方向的压强分布是不对称的。这是由于实际流体存在着黏性，当流体绕流圆柱体时，从前驻点开始在圆柱面上逐渐形成一层边界层（在第五章中讲述）。流体在圆柱体的前半部的流动是降压增速，边界层处于较稳定状态。到圆柱体的后半部变为升压减速流动，容易发生边界层分离，
在圆柱体后面形成尾涡区，压强下降。破坏了圆柱体面上前后压强分布的对称性，使圆柱体前后产生压强差，形成压差阻力。 图 4-22中所示的实验所得的亚临界雷诺数下（层流）
的压强分布曲线（虚线）比超临界雷诺数下（紊流）的压强分布曲线（点划线）更远离理论曲线。根据实验所得，在亚临界雷诺数下层流边界层的分离和超临界雷诺数下紊流边界层的分离分别发生在大约 和 附近。84?120
图 4-22 压强系数沿圆柱面的分布理论线超临界亚临界
5107.6Re
51086.1Re
