第 4章 电路定理
1 叠加定理
2 替代定理
3 戴维宁定理和诺顿定理
重点,
掌握各定理的内容、适用范围及如何应用
4 最大功率传输定理
1,叠加定理在线性电阻电路中,某处电 压 或电 流 都是电路中各个独立电源单独作用时,在该处分别产生的电压或电流 的叠加 。
4.1 叠加定理
2,定理的证明求解电路中的 i2和 u1
2221
2211
21
)( iRiiR
iRiRu
iii
s
s
s
ss
ss
i
RR
RR
u
RR
R
u
RR
iR
RR
u
i
21
21
21
1
1
21
1
21
2
222 iii
111 uuu
R1
is
R2
u1 i2
us
+
–
+ –
i1
R1
is
R2
u1’’ i2’’+ –
s
s
u
RR
R
u
RR
u
i
21
1
21
1
2
s
s
i
RR
RR
u
RR
iR
i
21
21
21
1
2
1
R1
R2
u1’ i2’
us
+
–
+ –
ss
ss i
RR
RRu
RR
Ru
RR
iR
RR
ui
21
21
21
1
1
21
1
21
2,
结论 结点电压和支路电流均为各电源的一次函数,均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
3,几点说明
a,叠加定理只适用于线性电路。
b,一个电源作用，其余电源为零电压源为零 —短路。
电流源为零 —开路。
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
三个电源共同作用
R1
is1
R2 R3
1
2i? 3i?
is1单独作用
=
+
us2单独作用 us3单独作用
+ R1 R2
us2
R3
+
–
1
3i?2
i? R1 R2
us3
R3
+
–
1
2i 3i
c,功率不能叠加 (功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数 )。
d,u,i 叠加时要注意各分量的参考方向。
e,含受控源 (线性 )电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立电源，受控源应始终保留。
4,叠加定理的应用例 1 求电压 U.
8?
12V
3A
+
– 6?
3?2?
+
－
U
8? 3A 6?
3?2?
+
－
U”
8?
12V
+
– 6?
3?2?
+
－
U’
画出分电路图
＋
电压源单独作用：
VU 43912
电流源单独作用,VU 63)3//6( VU 264
解例 2 ＋
－
10V
2A＋
－
u
2?
3? 3?
2?求电流源的电压和发出的功率
＋
－
10V
＋
－
U’
2?
3? 3?
2? 2A＋
－
U’’
2?
3? 3?
2?
＋
V210)5253(u
V8.42)]3//2()3//2[(u
V8.6?u W6.1328.6P
画出分电路图为两个简单电路电压源单独作用：
电流源单独作用：
例 3 u
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3A3?6?
6V
＋ －计算电压 u。
画出分电路图 1?
3A
3?6?
＋ －u’
＋
Vu 93)13//6(
V8)12(66 iu
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3?6?
6V
＋ －
u,i,
A2)36/()126(i
Vuuu 1789
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，
也可以一次几个独立源同时作用。使分析计算简便即可。
3A电流源单独作用：
其余电源同时作用：
例 4 计算电压 u电流 i。
画出分电路图 u’
＋
－
10V
2i’＋－
1?2? ＋
－
i’ ＋
)12/()210( ii
V6321 iiiu
A2i
Vu 826
u
＋
－
10V
2i＋－
1?i 2? ＋
－
5A
02)5(12 iii A1i
V2)1(22 iu
Ai 112 )(
受控源始终保留
10V电源作用：
5A电源作用：
u”
2i”＋－
1?
i,
2? ＋
－
5A
例 5
无源线性网络
uS
i
－＋
iS
封装好的电路如图，已知下列实验数据：
A2
A1,V1
i
iu SS
响应时，当
A1
A2,V1
i
iu SS
响应时，当
？响应时，－求 iiu SS A5,V3
解 根据叠加定理，有：
SS ukikiii 21
代入实验数据，得,221 kk
12 21 kk 1
1
2
1
k
k
Aiui SS 253
研究激励和响应关系的实验线性电路中,当所有激励 (电压源和电流源 )都同时增大或缩小 K倍时,响应 (电压和电流 )也同样增大 缩小 K倍 。
5,齐性定理这里的激励是指独立电源，并且必须全部激励同时增大或缩小 K倍，否则将导致错误的结果。当电路中只有一个激励时,响应必与该激励成正比。
注意例采用倒退法：设 i'=1A。
RL=2? R1=1? R2=1? us=51V； 求电流 i 。
+
–
2V2A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–us'=34V
3A8A21A
5A13A
iR1 R1 R1
R2 RL+
–
us R2R2
i '=1A
AKiiuuK 5.113451',3451'
s
s 有则解用齐性定理分析梯形电路特别有效
4.2 替代定理在电路中如已求得 NA于 NB两个一端口网络连接端口的电压 up电流 ip,那么就可以用一个 us=up的电压源,或一个
is=ip的电流源替代其中的一个网络,而使另一个网络的内部电压,电流均维持不变 。
1.替代定理
NA NB
a
＋
up
-
d
i
p
NA NB
a
＋
up
-
d
i
p
NA
＋
up
-
+
-
uS N
A
i
p
iS
2,定理的证明
uS
+ -
uS
- +
NA NB
a
＋
up
-
d
b cip
NA NB
a
＋
up
-
d
ip
iS
iS
令 uS=up
则 ubd=0
令 iS=ip
b
例 求图示电路的支路电压和电流。
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
10?
i2i1 ＋
－
u解
A
i
10
1010551 1 01
//)(/
Aii 653 12 / Aii 452 13 /
Viu 6010 2
替代
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
i2i1 ＋
－
60V
替代以后有：
Ai 105601 1 01 /)(
Ai 415603 /
替代后各支路电压和电流完全不变。
替代前后 KCL,KVL关系相同,其余支路的 u,i关系不变 。 用 uk替代后,其余支路电压不变 (KVL),其余支路电流也不变,故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用 ik替代后,
其余支路电流不变 (KCL),其余支路电压不变,故第 k条支路 uk也不变 (KVL)。
原因
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
3.替代后其余支路及参数不能改变。
2.替代后电路必有唯一解。
例 试求 I1。
解 用替代：
6?
5?
+
–
7V
3? 6?
I1
–
+
1?
＋
－
2?
+
－
6V 3V
4A
4?
2?
4?
4A＋
－
7V
I1
AI 5.261542 42671
3,替代定理的应用
4.3 戴维宁定理和诺顿定理实际工程中,常常碰到只需研究某一支路的电压,电流或功率的问题 。 对所研究的支路来说,
电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与 电阻并联支路 ),使分析和计算简化 。 戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法 。
1,戴维宁定理一个含独立电源,线性电阻和受控源的一端口 （ 含源一端口 ）,对外电路来说,可以用一个电压源和电阻的串联组合等效臵换,此电压源的激励电压等于一端口的开路电压,
电阻等于一端口内全部独立电源臵零后的输入电阻 。
NS
a
b
i
u
i a
b
Req
Uoc +
-
u
2,诺顿定理一个含独立电源,线性电阻和受控源的一端口 （ 含源一端口 ）,对外电路来说,可以用一个电流源和电阻的并联组合等效臵换；此电流源的激励电流等于一端口短路电流,电阻等于一端口内全部独立电源臵零后的输入电阻 。
NS
1
1’
i
u
isc R
eq
i +
u
-
1
1’
3.定理的证明
+
a
b
Ns
i
+
–u N
'
a
b
Ns i+
–
u
a
b
Ns +
–u
’=uoc
a
b
N0
iS=i+
–
u”R
eq
替代叠加
Ns中独立源臵零
i
uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Req
ocuu iRu eq
iRu
uuu
eqoc
+
a
b
Ns +
–u
’=uoc
a
b
N0
iS=i+
–
u”R
eq
诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到 。
诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明 。
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和 △－ Y
互换的方法计算等效电阻；
1
当网络内部含有受控源时，可采用外加电源法（加压求流或加流求压）。
2
a
b
N0
i+
–
u
Req
a
b
N0
i+
–
uR
eq i
uR
eq?
4,输入电阻的计算方法开路电压，短路电流法。3
iSC
Uoc
a
b
+
–
Req
sc
oc
eq i
u
R?
a
b
Ns +
–uoc
a
b
Ns iSC
(1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路,外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变 (伏
-安特性等效 )。
(2) 当一端口内部含有受控源时,控制量与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中 。
注：
戴维宁定理和诺顿定理在电路分析中应用广泛。在一个复杂的电路中，如果对某一些端口内部的电压、电流无求解需要，就可应用这两个定理将这些一端口简化。特别是仅对电路的某一元件感兴趣时，这两个定理尤为适用。
戴维宁等效电路和诺顿等效电路统称为一端口的等效发电机。
例 1 计算 Rx分别为 1.2?,5.2?时的 I 。
IRx
a
b
+ –
10V
4?
6?
6?
4?
解 保留 Rx支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
+
Uoc
_ (1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10? 6/(4+6)
= -4+6=2V
I a
b
Uoc
+
–
RxReq
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
+
Uoc
_
(2) 求等效电阻 Req
Req=4//6+6//4=4.8?
(3) Rx =1.2?时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
Rx =5.2?时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A
Req
求 U0 。
3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
a
b
+– 6I
例 2.
Uoc
a
b
+
–
Req
3? U0
-
+
解
(1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
Uoc=9V
+
–
Uoc
A136 9I
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9? (2/3)I0=6I0
Req = U0 /I0=6?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+– 6I I0
独立电源臵零
(2) 求等效电阻 Req
方法 1：加压求流 +
-
9V
方法 2：开路电压、短路电流
(Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
I=-6I/3=-2I I=0
Isc=I1=9/6=1.5A
Req = Uoc / Isc =9/1.5=6?
3?
6?
I+
–
9V Isc
a
b
+– 6I
I1
独立源保留
(3) 等效电路 a
b
Uoc
+
–
Req
3? U0
-
+
6?
9VV3936
3
0U
计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。
40? 20?20?
60V40V40V
＋
－
－
＋
－
＋
1
1’
3A
isc
求图示一端口电路的等效发电机。例 4-6
解,求短路电流 isc
1
1’
-1A
8?
- 1 AA)2040404020603(sci
8
20
1
40
1
20
1
1
eqR
+
uoc
-
例 4-7
解,求开路电压 uoc
求图示一端口电路的等效发电机。 ic=0.75i1
112 75.1 iiii c
1
401020105 2313 ii
mA101?i V351020 23oc iu
5k?
20k?
iC
i1
i2
1
1’
+
-
40V
isc
mA1475.1 1
1
i
iii csc
k Ω5.2
sc
oc
eq i
uR
mA8105 40 31i
求短路电流 isc
V35oc?u
2.5k?
14mA
1
1’
3.5V
1
1’
2.5k?
+
-
5k?
20k?
iC
i1
i2
1
1’
+
- 40V
例 4-8
解,求开路电压 uoc
图示惠斯通电桥,G为检流计，其电阻为 RG。当 R3
为 500Ω时，电桥平衡,G中无电流。求 R3＝ 501Ω，
即电桥不平衡时,RG为 50Ω,100Ω,200Ω,500Ω
时,G中的电流 IG。
1,3 8 6 m V
5V
50001000
5000
501100
501
oc
u
7.9 1 6
5 0 0 01 0 0 0
1 0 0 05 0 0 0
5 0 11 0 0
1 0 05 0 1
eqR
5V
5k?R3
1 1’
+
-
1k?100?
G+ uoc -
等效电路5V
5k?R3
1 1’
+
- G
1k?100?
GR
I 7.916 10386.1
3
G
可求当 RG为 50Ω,100Ω,200Ω,500Ω时，电流 IG分别为 1.434 μA,1.363 μA,1.241 μA,0.978 μA。
+
-
1
1’
917?
RG1.386mV
IG
例 4-9
解,求戴维宁等效电路若用具有内电阻 RV的直流电压表分别在端子 a,b和 b、
c处测量电压，试分析电压表内电阻引起的测量误差。
RV V
+
U
-
b
c
+
- Uoc
Req
RV
SbcOC URR
RUU
21
2
U为 b,c处的实际测量电压
21
21
RR
RRR
eq
+
-
US
a
b
c
R1
R2
OC
eqV
V U
RR
RU
Uoc为 b,c处的电压真值
RV V
+
U
-
b
c
+
- Uoc
Req
RV
%100
%100)1(
( % )
eqV
eq
eqV
V
oc
oc
RR
R
RR
R
U
UU
当 R1＝ 20kΩ,R2＝ 30kΩ，
RV＝ 500kΩ时，
δ＝－ 2.34%
+
-
US
a
b
c
R1
R2
相对测量误差
4.4 最大功率传输定理一个电源向负载传输功率,当所接负载不同时,电源传输给负载的功率就不同,讨论负载为何值时能从电源获取最大功率,及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的 。
i
US
+
–
u+
–
RS
RL
2)(
LS
S
LL RR
URP
0
)(
)(2)(
d
d
4
2
2
L
L?
LS
LSLLS
S RR
RRRRRU
R
P
SL RR?
S
S
L R
U
P
4
2
m a x?
最大功率匹配条件对 P求导：
负载 RL所获得的传输功率为 i
US
+
–
u+
–
RS
RL
最大功率问题可推广至可变化的负载 RL从含源一端口获得功率的情况 。
一个含源一端口电路,当所接负载不同时,一端口电路传输给负载的功率就不同,讨论负载为何值时能从电路获取最大功率,及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的 。
NS
i +
–
u 负载应用戴维宁定理当 RL＝ Req时,RL将获得最大功率
eq
L R
UP
4
2
OC
m a x?
i
US
+
–
u+
–
RS
RL
例 问 RL为何值时，可获得最大功率，并求最大功率。由电源发出的功率有多少百分比传输给 RL。
(2) 求等效电阻 Req 5.2
eqR
V10?ocU
＋
－
20V
5Ω
5Ω RL
＋
－
10V
2.5Ω
RL
(1) 求开路电压 Uoc
解,求戴维宁等效电路 ＋
Uoc
－
(3) 最大功率
W10
5.24
10 2
m a x?
L
eqL
P
RR
（ 4）由电源发出的功率有多少百分比传输给 RL。
A2
5.25.2
10?
eq
OC
L RR
UI
A312I
20V电压源中的电流电压源发出的功率
W60320SP
由电源发出的功率有 1/6传输给 RL,即 16.67%
＋
－
10V
2.5Ω
RL
IL
＋
－
20V
5Ω
5Ω RL
I
IL
求 IL
注 (1) 最大功率传输定理用于一端口电路给定,
负载电阻可调的情况 ;
(2) 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是 50%;
(3) 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便,
1 叠加定理
2 替代定理
3 戴维宁定理和诺顿定理
重点,
掌握各定理的内容、适用范围及如何应用
4 最大功率传输定理
1,叠加定理在线性电阻电路中,某处电 压 或电 流 都是电路中各个独立电源单独作用时,在该处分别产生的电压或电流 的叠加 。
4.1 叠加定理
2,定理的证明求解电路中的 i2和 u1
2221
2211
21
)( iRiiR
iRiRu
iii
s
s
s
ss
ss
i
RR
RR
u
RR
R
u
RR
iR
RR
u
i
21
21
21
1
1
21
1
21
2
222 iii
111 uuu
R1
is
R2
u1 i2
us
+
–
+ –
i1
R1
is
R2
u1’’ i2’’+ –
s
s
u
RR
R
u
RR
u
i
21
1
21
1
2
s
s
i
RR
RR
u
RR
iR
i
21
21
21
1
2
1
R1
R2
u1’ i2’
us
+
–
+ –
ss
ss i
RR
RRu
RR
Ru
RR
iR
RR
ui
21
21
21
1
1
21
1
21
2,
结论 结点电压和支路电流均为各电源的一次函数,均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
3,几点说明
a,叠加定理只适用于线性电路。
b,一个电源作用，其余电源为零电压源为零 —短路。
电流源为零 —开路。
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
三个电源共同作用
R1
is1
R2 R3
1
2i? 3i?
is1单独作用
=
+
us2单独作用 us3单独作用
+ R1 R2
us2
R3
+
–
1
3i?2
i? R1 R2
us3
R3
+
–
1
2i 3i
c,功率不能叠加 (功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数 )。
d,u,i 叠加时要注意各分量的参考方向。
e,含受控源 (线性 )电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立电源，受控源应始终保留。
4,叠加定理的应用例 1 求电压 U.
8?
12V
3A
+
– 6?
3?2?
+
－
U
8? 3A 6?
3?2?
+
－
U”
8?
12V
+
– 6?
3?2?
+
－
U’
画出分电路图
＋
电压源单独作用：
VU 43912
电流源单独作用,VU 63)3//6( VU 264
解例 2 ＋
－
10V
2A＋
－
u
2?
3? 3?
2?求电流源的电压和发出的功率
＋
－
10V
＋
－
U’
2?
3? 3?
2? 2A＋
－
U’’
2?
3? 3?
2?
＋
V210)5253(u
V8.42)]3//2()3//2[(u
V8.6?u W6.1328.6P
画出分电路图为两个简单电路电压源单独作用：
电流源单独作用：
例 3 u
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3A3?6?
6V
＋ －计算电压 u。
画出分电路图 1?
3A
3?6?
＋ －u’
＋
Vu 93)13//6(
V8)12(66 iu
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3?6?
6V
＋ －
u,i,
A2)36/()126(i
Vuuu 1789
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，
也可以一次几个独立源同时作用。使分析计算简便即可。
3A电流源单独作用：
其余电源同时作用：
例 4 计算电压 u电流 i。
画出分电路图 u’
＋
－
10V
2i’＋－
1?2? ＋
－
i’ ＋
)12/()210( ii
V6321 iiiu
A2i
Vu 826
u
＋
－
10V
2i＋－
1?i 2? ＋
－
5A
02)5(12 iii A1i
V2)1(22 iu
Ai 112 )(
受控源始终保留
10V电源作用：
5A电源作用：
u”
2i”＋－
1?
i,
2? ＋
－
5A
例 5
无源线性网络
uS
i
－＋
iS
封装好的电路如图，已知下列实验数据：
A2
A1,V1
i
iu SS
响应时，当
A1
A2,V1
i
iu SS
响应时，当
？响应时，－求 iiu SS A5,V3
解 根据叠加定理，有：
SS ukikiii 21
代入实验数据，得,221 kk
12 21 kk 1
1
2
1
k
k
Aiui SS 253
研究激励和响应关系的实验线性电路中,当所有激励 (电压源和电流源 )都同时增大或缩小 K倍时,响应 (电压和电流 )也同样增大 缩小 K倍 。
5,齐性定理这里的激励是指独立电源，并且必须全部激励同时增大或缩小 K倍，否则将导致错误的结果。当电路中只有一个激励时,响应必与该激励成正比。
注意例采用倒退法：设 i'=1A。
RL=2? R1=1? R2=1? us=51V； 求电流 i 。
+
–
2V2A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–us'=34V
3A8A21A
5A13A
iR1 R1 R1
R2 RL+
–
us R2R2
i '=1A
AKiiuuK 5.113451',3451'
s
s 有则解用齐性定理分析梯形电路特别有效
4.2 替代定理在电路中如已求得 NA于 NB两个一端口网络连接端口的电压 up电流 ip,那么就可以用一个 us=up的电压源,或一个
is=ip的电流源替代其中的一个网络,而使另一个网络的内部电压,电流均维持不变 。
1.替代定理
NA NB
a
＋
up
-
d
i
p
NA NB
a
＋
up
-
d
i
p
NA
＋
up
-
+
-
uS N
A
i
p
iS
2,定理的证明
uS
+ -
uS
- +
NA NB
a
＋
up
-
d
b cip
NA NB
a
＋
up
-
d
ip
iS
iS
令 uS=up
则 ubd=0
令 iS=ip
b
例 求图示电路的支路电压和电流。
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
10?
i2i1 ＋
－
u解
A
i
10
1010551 1 01
//)(/
Aii 653 12 / Aii 452 13 /
Viu 6010 2
替代
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
i2i1 ＋
－
60V
替代以后有：
Ai 105601 1 01 /)(
Ai 415603 /
替代后各支路电压和电流完全不变。
替代前后 KCL,KVL关系相同,其余支路的 u,i关系不变 。 用 uk替代后,其余支路电压不变 (KVL),其余支路电流也不变,故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用 ik替代后,
其余支路电流不变 (KCL),其余支路电压不变,故第 k条支路 uk也不变 (KVL)。
原因
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
3.替代后其余支路及参数不能改变。
2.替代后电路必有唯一解。
例 试求 I1。
解 用替代：
6?
5?
+
–
7V
3? 6?
I1
–
+
1?
＋
－
2?
+
－
6V 3V
4A
4?
2?
4?
4A＋
－
7V
I1
AI 5.261542 42671
3,替代定理的应用
4.3 戴维宁定理和诺顿定理实际工程中,常常碰到只需研究某一支路的电压,电流或功率的问题 。 对所研究的支路来说,
电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与 电阻并联支路 ),使分析和计算简化 。 戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法 。
1,戴维宁定理一个含独立电源,线性电阻和受控源的一端口 （ 含源一端口 ）,对外电路来说,可以用一个电压源和电阻的串联组合等效臵换,此电压源的激励电压等于一端口的开路电压,
电阻等于一端口内全部独立电源臵零后的输入电阻 。
NS
a
b
i
u
i a
b
Req
Uoc +
-
u
2,诺顿定理一个含独立电源,线性电阻和受控源的一端口 （ 含源一端口 ）,对外电路来说,可以用一个电流源和电阻的并联组合等效臵换；此电流源的激励电流等于一端口短路电流,电阻等于一端口内全部独立电源臵零后的输入电阻 。
NS
1
1’
i
u
isc R
eq
i +
u
-
1
1’
3.定理的证明
+
a
b
Ns
i
+
–u N
'
a
b
Ns i+
–
u
a
b
Ns +
–u
’=uoc
a
b
N0
iS=i+
–
u”R
eq
替代叠加
Ns中独立源臵零
i
uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Req
ocuu iRu eq
iRu
uuu
eqoc
+
a
b
Ns +
–u
’=uoc
a
b
N0
iS=i+
–
u”R
eq
诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到 。
诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明 。
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和 △－ Y
互换的方法计算等效电阻；
1
当网络内部含有受控源时，可采用外加电源法（加压求流或加流求压）。
2
a
b
N0
i+
–
u
Req
a
b
N0
i+
–
uR
eq i
uR
eq?
4,输入电阻的计算方法开路电压，短路电流法。3
iSC
Uoc
a
b
+
–
Req
sc
oc
eq i
u
R?
a
b
Ns +
–uoc
a
b
Ns iSC
(1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路,外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变 (伏
-安特性等效 )。
(2) 当一端口内部含有受控源时,控制量与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中 。
注：
戴维宁定理和诺顿定理在电路分析中应用广泛。在一个复杂的电路中，如果对某一些端口内部的电压、电流无求解需要，就可应用这两个定理将这些一端口简化。特别是仅对电路的某一元件感兴趣时，这两个定理尤为适用。
戴维宁等效电路和诺顿等效电路统称为一端口的等效发电机。
例 1 计算 Rx分别为 1.2?,5.2?时的 I 。
IRx
a
b
+ –
10V
4?
6?
6?
4?
解 保留 Rx支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
+
Uoc
_ (1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10? 6/(4+6)
= -4+6=2V
I a
b
Uoc
+
–
RxReq
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
+
Uoc
_
(2) 求等效电阻 Req
Req=4//6+6//4=4.8?
(3) Rx =1.2?时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
Rx =5.2?时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A
Req
求 U0 。
3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
a
b
+– 6I
例 2.
Uoc
a
b
+
–
Req
3? U0
-
+
解
(1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
Uoc=9V
+
–
Uoc
A136 9I
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9? (2/3)I0=6I0
Req = U0 /I0=6?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+– 6I I0
独立电源臵零
(2) 求等效电阻 Req
方法 1：加压求流 +
-
9V
方法 2：开路电压、短路电流
(Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
I=-6I/3=-2I I=0
Isc=I1=9/6=1.5A
Req = Uoc / Isc =9/1.5=6?
3?
6?
I+
–
9V Isc
a
b
+– 6I
I1
独立源保留
(3) 等效电路 a
b
Uoc
+
–
Req
3? U0
-
+
6?
9VV3936
3
0U
计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。
40? 20?20?
60V40V40V
＋
－
－
＋
－
＋
1
1’
3A
isc
求图示一端口电路的等效发电机。例 4-6
解,求短路电流 isc
1
1’
-1A
8?
- 1 AA)2040404020603(sci
8
20
1
40
1
20
1
1
eqR
+
uoc
-
例 4-7
解,求开路电压 uoc
求图示一端口电路的等效发电机。 ic=0.75i1
112 75.1 iiii c
1
401020105 2313 ii
mA101?i V351020 23oc iu
5k?
20k?
iC
i1
i2
1
1’
+
-
40V
isc
mA1475.1 1
1
i
iii csc
k Ω5.2
sc
oc
eq i
uR
mA8105 40 31i
求短路电流 isc
V35oc?u
2.5k?
14mA
1
1’
3.5V
1
1’
2.5k?
+
-
5k?
20k?
iC
i1
i2
1
1’
+
- 40V
例 4-8
解,求开路电压 uoc
图示惠斯通电桥,G为检流计，其电阻为 RG。当 R3
为 500Ω时，电桥平衡,G中无电流。求 R3＝ 501Ω，
即电桥不平衡时,RG为 50Ω,100Ω,200Ω,500Ω
时,G中的电流 IG。
1,3 8 6 m V
5V
50001000
5000
501100
501
oc
u
7.9 1 6
5 0 0 01 0 0 0
1 0 0 05 0 0 0
5 0 11 0 0
1 0 05 0 1
eqR
5V
5k?R3
1 1’
+
-
1k?100?
G+ uoc -
等效电路5V
5k?R3
1 1’
+
- G
1k?100?
GR
I 7.916 10386.1
3
G
可求当 RG为 50Ω,100Ω,200Ω,500Ω时，电流 IG分别为 1.434 μA,1.363 μA,1.241 μA,0.978 μA。
+
-
1
1’
917?
RG1.386mV
IG
例 4-9
解,求戴维宁等效电路若用具有内电阻 RV的直流电压表分别在端子 a,b和 b、
c处测量电压，试分析电压表内电阻引起的测量误差。
RV V
+
U
-
b
c
+
- Uoc
Req
RV
SbcOC URR
RUU
21
2
U为 b,c处的实际测量电压
21
21
RR
RRR
eq
+
-
US
a
b
c
R1
R2
OC
eqV
V U
RR
RU
Uoc为 b,c处的电压真值
RV V
+
U
-
b
c
+
- Uoc
Req
RV
%100
%100)1(
( % )
eqV
eq
eqV
V
oc
oc
RR
R
RR
R
U
UU
当 R1＝ 20kΩ,R2＝ 30kΩ，
RV＝ 500kΩ时，
δ＝－ 2.34%
+
-
US
a
b
c
R1
R2
相对测量误差
4.4 最大功率传输定理一个电源向负载传输功率,当所接负载不同时,电源传输给负载的功率就不同,讨论负载为何值时能从电源获取最大功率,及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的 。
i
US
+
–
u+
–
RS
RL
2)(
LS
S
LL RR
URP
0
)(
)(2)(
d
d
4
2
2
L
L?
LS
LSLLS
S RR
RRRRRU
R
P
SL RR?
S
S
L R
U
P
4
2
m a x?
最大功率匹配条件对 P求导：
负载 RL所获得的传输功率为 i
US
+
–
u+
–
RS
RL
最大功率问题可推广至可变化的负载 RL从含源一端口获得功率的情况 。
一个含源一端口电路,当所接负载不同时,一端口电路传输给负载的功率就不同,讨论负载为何值时能从电路获取最大功率,及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的 。
NS
i +
–
u 负载应用戴维宁定理当 RL＝ Req时,RL将获得最大功率
eq
L R
UP
4
2
OC
m a x?
i
US
+
–
u+
–
RS
RL
例 问 RL为何值时，可获得最大功率，并求最大功率。由电源发出的功率有多少百分比传输给 RL。
(2) 求等效电阻 Req 5.2
eqR
V10?ocU
＋
－
20V
5Ω
5Ω RL
＋
－
10V
2.5Ω
RL
(1) 求开路电压 Uoc
解,求戴维宁等效电路 ＋
Uoc
－
(3) 最大功率
W10
5.24
10 2
m a x?
L
eqL
P
RR
（ 4）由电源发出的功率有多少百分比传输给 RL。
A2
5.25.2
10?
eq
OC
L RR
UI
A312I
20V电压源中的电流电压源发出的功率
W60320SP
由电源发出的功率有 1/6传输给 RL,即 16.67%
＋
－
10V
2.5Ω
RL
IL
＋
－
20V
5Ω
5Ω RL
I
IL
求 IL
注 (1) 最大功率传输定理用于一端口电路给定,
负载电阻可调的情况 ;
(2) 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是 50%;
(3) 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便,
