重点难点第十章　二阶线性偏微分方程的分类
重点：二阶线性偏微分方程的基本概念；
分类方法和偏微分方程的标准化.
难点：常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法；
偏微分方程求解 。
本章知识点提要：
1本章主要描述了二阶线性偏微分方程的分类方法.
从理论上证明了，对于二阶线性偏微分方程

若设判别式为 ，则二阶线性偏微分方程分为三类：
当 时，方程称为双曲型;
当 时，方程称为抛物型;
当 时，方程称为椭圆型;
2二阶线性偏微分方程的标准化通过自变量变换使得二阶线性偏微分方程转化为标准类型,其变换对应于特征线方程：

该常微分方程的特征曲线族分别对应于（1）两个实函数族；（2）一个实函数族；（3）一对共轭复函数族,
（1）双曲型偏微分方程
因为双曲型方程对应的判别式，所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，通过自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式

称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式,
（2）抛物型偏微分方程：判别式，特征曲线是一族实函数曲线．
通过自变量变换，则原偏微分方程变为

上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
（3）椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式，特征曲线是一组共轭复变函数族．通过自变量变换，则偏微分方程变为

称为椭圆型偏微分方程的标准形式．
3.二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简
(1)双曲型 
(2)抛物型 
(3)椭圆型 
解题思路求方程的通解．
【解】此方程是双曲型的第二标准形，我们可将其化成第一标准形的形式，由特征方程求特征线．于是：
即 
有 由复合函数求导法则



所以方程可以化简为，从而解得 ，其中为任意函数。原方程的通解为 ．