第三章 随机变量与分布函数解：令表在n次移动中向右移动的次数，则服从二项分布，
以表时刻时质点的位置，则
。
的分布列为
。
的分布列为
。
解：，
所以的概率分布为
。
解,（1）,。
（2）,。
证：，且
是一个密度函数。
解：（1）
（2）
（3）
解：7+24+38+24+7=100，， ，查表得。由题设得
令，解得，即。由对称性得 。再令，解得，即。由对称性得。
解：（1），而，令解得。
（2）由得，从而 =0.995，而所以。
证：（1）设，所以，非降。
（2）设，由概率的可加性得
。
由此得 ，
右连续。
（3）
。
由单调性得与均存在且有穷，由及上式得。
证： .
∴不等式成立。
10、证法一：定义则是的分布函数。由题设得，对任意有，即有。由此得。逐一类推可得，若，则，或者。从而对有理数，若与都属于[0,1]，则有。再由的左连续性可得，对任意无理数，若与都属于[0,1]，则。
因为区间与[0,1]的长度相等，由题设得
.
由此及上段证明得，对任意有，即为
∴ 服从[0,1]上均匀分布。
证法二：如同证法一中定义的分布函数，由单调知它对[0,1]上的L－测试几乎处处可微。设，当时，由题设得
等式两端都除以，再令可得，由存在可推得也存在，而且。从而对任意有。当时显然有。一点的长度为0，由题设得。由上所述可知是连续型随机变量，是其密度函数，从而定出。至此得证服从[0,1]均匀分布。
11、证：（1）
若令,，则有
这就证明了正态分布是单参数的指数族。
（2）
若令，则
所以正态分布是单参数的指数族。
（3）。
若令，则，所以是单参数的指数族。
（4）关于上的均匀分布，其密度函数为
是定义在的函数，由于它是的分段表示的函数，所以无法写成形式 ，故关于不是一个单参数的指数族。
12、证：分别对固定的和有
。
由上式显然可得对每个变元非降，左连续，而且满足(2.6)及(2.7)，即，但有
,
这说明当取时(2.5)式不成立。所以不是分布函数。
13、证：必要性：
令，得。设
要积分收敛，必须，由此得应有以及。利用可得
∴
从而题中所列条件全部满足。
以上诸步可逆推，充分性显然。
14、解：设是密度函数，则由得。又
，
所以应有。
反之，若，可积且，显然有且，即是密度函数。
所以为使是密度函数，必须而且只需满足且。
15、解：（1）
（2）。
（3）的边际分布，当时，当时有
.
（4）
.
（5）当时；当时有
.
（6）,
利用（2）的结果可得
.
16、解：作变换，令，则椭圆区域为
记
则，且
当时，，由此得。
17、证：设多项分布为
,（1）
。 （2）
利用（2）可以把（1）改写成
（3）
由边际分布的定义并把（3）代入得
由二项式定理得
（4）
把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得
从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。
18、解：（1）的密度函数为，当时；当时，注意积分取胜有选取，得
.
（2）的密度函数为，当时；当时，
令，当时，当时，所以
其中用到函数与函数的关系式。
19、证：我们有
,
,
代入的表达式得 (1)
又有
(2)
由（1），（2）知是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为
,
.
20、解：
（1）为求的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：其中利用到独立性。
（a）
；
(b)
；
(c)
(2)因为，所以
（3）
21、解：（1）边际分布的密度函数为，当时；当时，
同理，当时；当时。，所以与独立。
（2）边际密度函数为，当时；当时
当时；当时
在区域中均有，所以与不独立。
22、证：当时,与的联合分布密度为
；
其余。当时，
；
其余。由于三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当时，；当时，；当时，；当时，；在其余区域内，诸边际密度函数均取0值。由于?故两两独立；但当时有，故不相互独立。
23、证：当时，
，
其余。同理当时，其余当 时有，所以与不独立。
现试能动分布函数来证与独立。的分布函数记为，则当时，
；
同理可求得的分布函数，得
联合分布函数记为，则当时
同理得当时；当时
=
合起来写得
不难验证对所有都成立，所以与独立。
24、证：（1）由褶积公式及独立性得
这就证明了具有普阿松分布，且参数为
（2）
证毕。
25、证：由题设得
，
。
，
，
同理可证 ，.
所以与相互独立。用同样的方法可片与也相互独立。但
，
，
所以只两两独立而不相互独立。
26、解：，
由此得（1），
（2）。
27、解：（1）由知，以概率1取有限值。当时，
；
当时，
；
当时，
。
（2）
（3）当时，；当时，
。
28、解：设直径为随机变量d，则
。
圆面积。当时，
；
当时；当时。由此对求导（利用对参数积分求导法则）得圆面积的分布密度为，当或时；当时 。
29、解：与的密度函数为
（1）
由卷积公式及独立性得的分布密度函数为 y
（2） 2 C
把（2）与（1）比较知，在（2）中应有，
，满足此不等式组的解 构成 D
图中平面区域平形四边形ABCD，当时 1 B
,当时。所以当
时（2）中积分为
A 0 1 x
当时，（2）中积分为
;
对其余的y有。
30、解：,
由求商的密度函数的公式得
,
服从柯西分布。
31、解：作变换，令，得。由与独立知，它们的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为
所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）。
32、解：当时由独立性得
当时。求导得的密度函数为，当时；当时
33、解：设在内任意投两点，其坐标分别为，则的联合分布密度为
。
设，则的分布函数为，当时；当时；当时，
，
积分S为平面区域ABCDEF的面积，其值为 y
，所以 E D
.
34、证：由独立性得，的概率密度为 Fz C
0 A Bz a x
的分布函数为，当时，
作球面坐标变换，，则，
由此式对s求导可得，当时，S的密度函数为
35、证：（3.14）式为
。
令，则，由得，的密度函数为，当时
与仍独立。记，则由商的密度函数公式得T的密度函数为
，
令，则，得
36、解：U的分布函数为，当时；当时有
对求导可得U的密度函数为，当时；当时。
37、证：（U，V）联合分布函数为
当时作变换，，反函数有两支
，
考虑到反函数有两支，分别利用两组
对求导，得（U，V）的联合密度为（其余为0）
若令，
则U服从指数分布，V服从柯西分布，且，所以U，V两随机变量独立。
38、证：当时，与的密度函数分别为
当时，。设。当或时，（U，V）联合密度为；当时，作变换，得，而，所以
由此知U服从分布服从分布，且U与V相互独立。
39、解：令，当或时，U，V联合密度；当且时作变换，则，
由此得U服从分布，V服从(0,1)分布，且U与V相互独立。
40、解:（2.22）式为
设。作变换，则，,。U，V的联合密度函数为
设U，V的边际分布密度函数分别为，欲U与V独立，必须且只需，由的表达式可知，这当且仅当时成立。U，V相互独立与相互独立显然是等价的，所以相互独立的充要条件是。当时，得
，
。
41、解：（1）因为指数中二次项的系数分别为，所以与(2.22)式（见上题解答）比较知，可设其配方后的形式为
。
比较系数得
此方程组有唯一解，由此得
（2）与（2.22）式比较得，。
（3） ,。
（4），它服从。
42、解：.
.
的边际密度函数为（积分时在指数中对z配方）
令，利用得
。
43、证：以f记的密度函数，则的联合密度为。作变换，令，得。若改记s为x，t为y，则由此可得的联合密度为。另一方面，由卷积公式得和的密度分别为
,.
故由与独立得
。
令（此处用了），则有
。
由假定知有二阶导数，上式对x求导得
再对y求一次导数得
.
对任意u,v，选择x,y使则由上式得.
由u,v的任意性得常数，因而，即有.
所以，从而,均匀正态分布。
44、解：（1）将弦的一端A固定，另一端B在圆周上等可能分布，记表示沿逆时针方向弧长，则在上服从均匀分布，
（2）假定弦垂直于某直径，取该直径为x轴，圆心为坐标原点，记表示弦的中点坐标，则在[-1,1]上服从均匀分布，
（3）以圆心为原点建立直角坐标系XOY，记弦中点的坐标为，则在圆内2服从均匀分布，记，则
三种解法的随机变量虽都服从均匀分布，但由于随机变量不同，所以就得出了不同的结论。
45、证：（1）若，则，必存在某个使，亦有，从而，
（1）
反之，若，必存在某个使亦有，即，从而，
。 （2）
由（1），（2）式即得（和集的逆像等于每个集逆像的和）
。
（2）若，则，即属于每个，得（对任一），从而，
。 （3）
反之，若，则属于每个，亦有属于每个，即，从而，
。 （4）
由（3），（4）式即得（交集的逆像等于每个集逆像的交）
。
（3）若，则，亦有，从而，所以。反之，若，则，亦有，即，从而，所以。
由以上证明可得，即互为对立事件的逆像也是互为对立的事件。
46、证：必要性。设是随机变量，则对有，又，
.
充分性。记，现证M是中域。
（1），故。
（2）若,由上题得,故对余集运算封闭。
（3）设，由上题（1）中结论得，关于可列并集运算封闭。
由(1)－(3)知，M是域的集类。由条件知，,
,
其中S{A}表示由集类A产生的域。由此得证是一随机变量。
以表时刻时质点的位置，则
。
的分布列为
。
的分布列为
。
解：，
所以的概率分布为
。
解,（1）,。
（2）,。
证：，且
是一个密度函数。
解：（1）
（2）
（3）
解：7+24+38+24+7=100，， ，查表得。由题设得
令，解得，即。由对称性得 。再令，解得，即。由对称性得。
解：（1），而，令解得。
（2）由得，从而 =0.995，而所以。
证：（1）设，所以，非降。
（2）设，由概率的可加性得
。
由此得 ，
右连续。
（3）
。
由单调性得与均存在且有穷，由及上式得。
证： .
∴不等式成立。
10、证法一：定义则是的分布函数。由题设得，对任意有，即有。由此得。逐一类推可得，若，则，或者。从而对有理数，若与都属于[0,1]，则有。再由的左连续性可得，对任意无理数，若与都属于[0,1]，则。
因为区间与[0,1]的长度相等，由题设得
.
由此及上段证明得，对任意有，即为
∴ 服从[0,1]上均匀分布。
证法二：如同证法一中定义的分布函数，由单调知它对[0,1]上的L－测试几乎处处可微。设，当时，由题设得
等式两端都除以，再令可得，由存在可推得也存在，而且。从而对任意有。当时显然有。一点的长度为0，由题设得。由上所述可知是连续型随机变量，是其密度函数，从而定出。至此得证服从[0,1]均匀分布。
11、证：（1）
若令,，则有
这就证明了正态分布是单参数的指数族。
（2）
若令，则
所以正态分布是单参数的指数族。
（3）。
若令，则，所以是单参数的指数族。
（4）关于上的均匀分布，其密度函数为
是定义在的函数，由于它是的分段表示的函数，所以无法写成形式 ，故关于不是一个单参数的指数族。
12、证：分别对固定的和有
。
由上式显然可得对每个变元非降，左连续，而且满足(2.6)及(2.7)，即，但有
,
这说明当取时(2.5)式不成立。所以不是分布函数。
13、证：必要性：
令，得。设
要积分收敛，必须，由此得应有以及。利用可得
∴
从而题中所列条件全部满足。
以上诸步可逆推，充分性显然。
14、解：设是密度函数，则由得。又
，
所以应有。
反之，若，可积且，显然有且，即是密度函数。
所以为使是密度函数，必须而且只需满足且。
15、解：（1）
（2）。
（3）的边际分布，当时，当时有
.
（4）
.
（5）当时；当时有
.
（6）,
利用（2）的结果可得
.
16、解：作变换，令，则椭圆区域为
记
则，且
当时，，由此得。
17、证：设多项分布为
,（1）
。 （2）
利用（2）可以把（1）改写成
（3）
由边际分布的定义并把（3）代入得
由二项式定理得
（4）
把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得
从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。
18、解：（1）的密度函数为，当时；当时，注意积分取胜有选取，得
.
（2）的密度函数为，当时；当时，
令，当时，当时，所以
其中用到函数与函数的关系式。
19、证：我们有
,
,
代入的表达式得 (1)
又有
(2)
由（1），（2）知是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为
,
.
20、解：
（1）为求的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：其中利用到独立性。
（a）
；
(b)
；
(c)
(2)因为，所以
（3）
21、解：（1）边际分布的密度函数为，当时；当时，
同理，当时；当时。，所以与独立。
（2）边际密度函数为，当时；当时
当时；当时
在区域中均有，所以与不独立。
22、证：当时,与的联合分布密度为
；
其余。当时，
；
其余。由于三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当时，；当时，；当时，；当时，；在其余区域内，诸边际密度函数均取0值。由于?故两两独立；但当时有，故不相互独立。
23、证：当时，
，
其余。同理当时，其余当 时有，所以与不独立。
现试能动分布函数来证与独立。的分布函数记为，则当时，
；
同理可求得的分布函数，得
联合分布函数记为，则当时
同理得当时；当时
=
合起来写得
不难验证对所有都成立，所以与独立。
24、证：（1）由褶积公式及独立性得
这就证明了具有普阿松分布，且参数为
（2）
证毕。
25、证：由题设得
，
。
，
，
同理可证 ，.
所以与相互独立。用同样的方法可片与也相互独立。但
，
，
所以只两两独立而不相互独立。
26、解：，
由此得（1），
（2）。
27、解：（1）由知，以概率1取有限值。当时，
；
当时，
；
当时，
。
（2）
（3）当时，；当时，
。
28、解：设直径为随机变量d，则
。
圆面积。当时，
；
当时；当时。由此对求导（利用对参数积分求导法则）得圆面积的分布密度为，当或时；当时 。
29、解：与的密度函数为
（1）
由卷积公式及独立性得的分布密度函数为 y
（2） 2 C
把（2）与（1）比较知，在（2）中应有，
，满足此不等式组的解 构成 D
图中平面区域平形四边形ABCD，当时 1 B
,当时。所以当
时（2）中积分为
A 0 1 x
当时，（2）中积分为
;
对其余的y有。
30、解：,
由求商的密度函数的公式得
,
服从柯西分布。
31、解：作变换，令，得。由与独立知，它们的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为
所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）。
32、解：当时由独立性得
当时。求导得的密度函数为，当时；当时
33、解：设在内任意投两点，其坐标分别为，则的联合分布密度为
。
设，则的分布函数为，当时；当时；当时，
，
积分S为平面区域ABCDEF的面积，其值为 y
，所以 E D
.
34、证：由独立性得，的概率密度为 Fz C
0 A Bz a x
的分布函数为，当时，
作球面坐标变换，，则，
由此式对s求导可得，当时，S的密度函数为
35、证：（3.14）式为
。
令，则，由得，的密度函数为，当时
与仍独立。记，则由商的密度函数公式得T的密度函数为
，
令，则，得
36、解：U的分布函数为，当时；当时有
对求导可得U的密度函数为，当时；当时。
37、证：（U，V）联合分布函数为
当时作变换，，反函数有两支
，
考虑到反函数有两支，分别利用两组
对求导，得（U，V）的联合密度为（其余为0）
若令，
则U服从指数分布，V服从柯西分布，且，所以U，V两随机变量独立。
38、证：当时，与的密度函数分别为
当时，。设。当或时，（U，V）联合密度为；当时，作变换，得，而，所以
由此知U服从分布服从分布，且U与V相互独立。
39、解：令，当或时，U，V联合密度；当且时作变换，则，
由此得U服从分布，V服从(0,1)分布，且U与V相互独立。
40、解:（2.22）式为
设。作变换，则，,。U，V的联合密度函数为
设U，V的边际分布密度函数分别为，欲U与V独立，必须且只需，由的表达式可知，这当且仅当时成立。U，V相互独立与相互独立显然是等价的，所以相互独立的充要条件是。当时，得
，
。
41、解：（1）因为指数中二次项的系数分别为，所以与(2.22)式（见上题解答）比较知，可设其配方后的形式为
。
比较系数得
此方程组有唯一解，由此得
（2）与（2.22）式比较得，。
（3） ,。
（4），它服从。
42、解：.
.
的边际密度函数为（积分时在指数中对z配方）
令，利用得
。
43、证：以f记的密度函数，则的联合密度为。作变换，令，得。若改记s为x，t为y，则由此可得的联合密度为。另一方面，由卷积公式得和的密度分别为
,.
故由与独立得
。
令（此处用了），则有
。
由假定知有二阶导数，上式对x求导得
再对y求一次导数得
.
对任意u,v，选择x,y使则由上式得.
由u,v的任意性得常数，因而，即有.
所以，从而,均匀正态分布。
44、解：（1）将弦的一端A固定，另一端B在圆周上等可能分布，记表示沿逆时针方向弧长，则在上服从均匀分布，
（2）假定弦垂直于某直径，取该直径为x轴，圆心为坐标原点，记表示弦的中点坐标，则在[-1,1]上服从均匀分布，
（3）以圆心为原点建立直角坐标系XOY，记弦中点的坐标为，则在圆内2服从均匀分布，记，则
三种解法的随机变量虽都服从均匀分布，但由于随机变量不同，所以就得出了不同的结论。
45、证：（1）若，则，必存在某个使，亦有，从而，
（1）
反之，若，必存在某个使亦有，即，从而，
。 （2）
由（1），（2）式即得（和集的逆像等于每个集逆像的和）
。
（2）若，则，即属于每个，得（对任一），从而，
。 （3）
反之，若，则属于每个，亦有属于每个，即，从而，
。 （4）
由（3），（4）式即得（交集的逆像等于每个集逆像的交）
。
（3）若，则，亦有，从而，所以。反之，若，则，亦有，即，从而，所以。
由以上证明可得，即互为对立事件的逆像也是互为对立的事件。
46、证：必要性。设是随机变量，则对有，又，
.
充分性。记，现证M是中域。
（1），故。
（2）若,由上题得,故对余集运算封闭。
（3）设，由上题（1）中结论得，关于可列并集运算封闭。
由(1)－(3)知，M是域的集类。由条件知，,
,
其中S{A}表示由集类A产生的域。由此得证是一随机变量。
