第四章 数字特征与特征函数
1、解：，令，则，且，。
采用同样的方法并利用得

 
。
2、解：设，其中，则
，由试验独立得诸相互独立，由此得
。
3、解：服从两占分布，由第二章第29题得，{事件A出现奇数次}=
P{事件A出现偶数次}，所以
，
.
4、解：设表取一球的号码数。袋中球的总数为，所以
.
.
5、解：由于是分布，所以应有，即。又由已知，即，,
。
6、解：表示摸出c个球中白球个数，摸c个球可视为不放回地摸c次。记
，则。由第二章第7题得 ，。所以，
.
7、解：设表示抽出k张卡片的号码和，表示第i次抽到卡片的号码，则，因为是放回抽取，所以诸独立。由此得，对。
，
；
，
，
。
8、解：设为所得k张卡片上号码之和。对有，由定义得
 （*）
每次抽卡片k张称为一组，对于每个固定的卡片m，在卡片m所在的组中，其余张卡片可以从剩下张卡片中任意抽取，所以m总共被抽到的次数（或所在的组数）为，转换成对m求和就得到上式。由此得
.
为求方差，先求，由定义得


其中前一个和式得来的理由同（*）式。为获得后一和式，仍考虑每次抽得的一组k张卡片。在卡片i和j所在的组中，其余张卡片可以从其余张卡片中任意抽取，所以卡片i和j同时被抽到的次数为，即得第二个和式的系数。继续运算得






.
9、证：

.
10、解：此题属于有放回抽样的情形，利用允许重复的排列计算。若n辆车的车牌号中最大号码为k，则其中应至少有一个牌号为k，所以有利场合数应为，与那些n个牌号中没有号码k的种数之差，从而有
.
∴ .
11、解：
.


.
12、解：分子平均速度为

。
分子平均动能为


。
13、证：的联合密度为，
∴ 

（利用密度函数的积分值为1，减a再加a）

（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号）

 
.
14、证：

由均值存在得，
∴ ，

以此代入的计算式即得 。