层次分析
The Analytic Hierarchy
Process (AHP)
第九章 层次分析在管理中,人们常常需要对一些情况作出决策：例如企业的决策者要决定购置哪种设备,上马什么产品；经理要从若干求职者中决定录用哪些人员；地区,部门官员要对人口,交通,经济,环境等领域的发展规划作出决策 。
在日常生活中也常会遇到,在多种类不同特征的商品中选购 。 报考学校选择志愿 。
毕业时选择工作岗位等 。
这一系列的问题,单纯靠构造一个数学模型来求解的方法往往行不通,
而用完全主观的定夺也常常表现为举棋不定,而最终选择不理想,甚至不满意的决策方案 。
面对这样的问题,运筹学者开始了对人们思维决策过程进行分析,研究 。
第九章 层次分析美国运筹学家,T.L.Saaty等人在九十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法,称之为层次分析法 （ AHP法 ）
T.L.Saaty等曾把它用于电力工业计划,运输业研究,美国高等教育事业 1985-2000展望,1985年世界石油价格预测等方面 。
第九章 层次分析这种方法的 特征,定性与定量相结合,把人们的思维过程层次化,数量化 。
AHP法作为一种决策方法是在 1982年 11月召开的中美能源,资源,环境学术会议上,
有 Saaty学生 H.Gholamnezhad首先向中国介绍的 。 以后层次分析法在中国得到很大的发展,很快应用到能源系统分析,城市规划,经济管理科研成果评价的许多领域 。
第九章 层次分析
§ 9.1 层次分析法的基本步骤运用 AHP法进行决策时，大体可以分为 4个步骤进行：
（ 1） 分析系统中各个因素的关系，
建立系统的递阶层次结构；
（ 2） 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵；
第九章 层次分析
（ 3） 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重；
（ 4） 计算各层元素对系统目标的合成权重,并进行排序 。
第九章 层次分析一,建立层次分析的结构模型：
用 AHP分析问题,首先要把问题条理化,层次化,构造层次分析的结构模型 。 这些层次大体上可分为 3类：
1,最高层：在这一层次中只有一个元素,一般是分析问题的预定目标或理想结果,因此又称 目标层 ；
第九章 层次分析
2,中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节,它可由若干个层次组成,包括所需要考虑的准则,子准则,因此又称为 准则层 ；
3,最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施,决策,方案等,因此又称为 措施层 或 方案层 。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素 。
第九章 层次分析决策目标准则 1
方案 1
准则 m1准则 2
子准则 1
方案 2
子准则 2
方案 mr
子准则 m2
…
…
…
…
… ……
第九章 层次分析注,层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。
第九章 层次分析为了避免由于支配的元素过多而给两两 比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素 一般地不要超过 9个,
若多于 9个时，可将该层次再划分为若干子层。
例 1、某顾客选购电冰箱时，对市场上正在出售的四种电冰箱考虑 6项准则作为评价依据，得到如下层次分析模型：
第九章 层次分析目标层：
准则层：
方案层：
信誉T 1
A
型式T2
B
价格T3
C
容量 T4
D
制冷级别 T5 耗电量 T6
选购电冰箱第九章 层次分析例 2、选择科研课题：
某研究单位现有 3个科研课题，限于人力物力，只能承担其中一个课题，如何选择？
考虑下列因素：
成果的贡献大小，对人材培养的作用，
课题可行性。
在成果贡献方面考察：应用价值及科学第九章 层次分析意义（理论价值，对某科技领域的推动作用）；
在课题可行性方面考虑：难易程度
（难易程度与自身的科技力量的一致性），研究周期（预计需要花费的时间），财政支持（所需经费，设备及经费来源，有关单位支持情况等）。
第九章 层次分析目标层 合理选择科研课题 A
成果贡献 B1 人才培养 B2 课题可行性 B3
课题 D1 课题 D2 课题 D3
应用价值
c1
科学意义
c2
难易程度
c3
研究周期
c4
财政支持
c5
第九章 层次分析方案层准则层例 3、设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有轮渡。
此问题中过河方式的确定取决于过河方式的效益与代价（即成本）。通常我们用费效比（效益 /代价）作为选择方案的标准。为此构造以下两个层次分析的结构模型。
第九章 层次分析准则层过河的效益 A
经济效益 B1 社会效益 B2 环境效益 B3
桥梁 D1 隧道 D2 渡船 D3
收入
c2
岸间商业
c3
节省时间
c1
当地商业
c4
建筑就业
c5
安全可靠
c6
交往沟通
c7
自豪感
c8
舒适
c9
进出方便
c10
美化
c11
第九章 层次分析方案层目标层过河的代价 A
经济代价 B1 社会代价 B2 环境代价 B3
桥梁 D1
投入资金
c1
操作维护
c2
冲击渡船业
c3
冲击生活方式c
4
交通拥挤
c5
居民搬迁
c6
汽车排废物
c7
对水的污染
c8
对生态的破坏c
9
隧道 D2 渡船 D3
第九章 层次分析目标层准则层方案层二、构造判断矩阵：
上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素 Z（目标 A或某个准则 Z）
相联系的下层元素（ x1,x2,…,xn)各在上层元素 Z之中所占的比重。
方法,每次取 2个元素，如 xi,xj，以 aij
表示 xi 和 xj 对 Z的影响之比。这里得到的 A=(aij)n× n称为两两比较的判断矩阵。
第九章 层次分析
Saaty建议用 1~9及其倒数做为标度来确定
aij的值,1~9比例标度的含义：
xi比 xj强（重要）的程度
xi/ xj 相等 稍强 强 很强 绝对强
aij 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1~9标度的理由：两两比较的心理习惯，
显然，判断矩阵 A的元素有如下特征：
第九章 层次分析
1° aij>0
2° aji=1/aij
3° aii=1
我们称判断矩阵 A为正 互反 矩阵。
第九章 层次分析例如在例 2中，准则层 B对目标层作因素两两比较，并可建立下面判断矩阵：
B1,B2为 3 B1,B3为 1
认为人才培养比另二项稍 次要,
另二项差不多相同重要。
第九章 层次分析成果贡献 B1 人才培养 B2 课题可行性 B3
判断矩阵
B1 B2 B3
B1 1 3 1
A= B2 1/3 1 1/3
B3 1 3 1
第九章 层次分析合理选择科研课题 A
成果贡献 B1 人才培养 B2 课题可行性 B3
三、单一准则下元素相对排序权重计算及判断矩阵一致性检验：
1、单一准则下元素排序：
求判断矩阵 A的最大特征值 λmax及标准化
（ 归一化 ）的特征向量 W。 W的向量为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权重。有 wi>0，
i,。
n
1i
i 1w
第九章 层次分析在构造判断矩阵时，各层元素间两两比较时,aij应有某种 传递性 质，即若甲比乙重要，乙比 丙重要，合理地应有甲比丙更重要，在数值上表示为 aij·ajk=aik
即 若 xi与 xj相比 aij=3,xj与 xk相比 ajk=2，
那么有传递性的判断应 xj与 xk相比，
ajk=6 。
第九章 层次分析
2、判断矩阵的一致性概念：
判断矩阵是各元素均为正数的矩阵这种正矩阵有下列重要性质。
第九章 层次分析定义：若正互反矩阵 A满足 aij·a jk=aik
i,j,k =1,2,…,n 则称 A为一致阵。
一致阵的重要性质,设 A是一致阵，
1° A的转置亦是一致阵；
2° A的秩为 1。（即只有一个非零特征值，其余 n-1个为 0特征值）
第九章 层次分析
3° A的最大特征根 λmax= n，其余特征根皆为零；
4° 设 u=(u1,u2,…,un)T是 A对应 λmax
的特征向量，则 aij=ui /uj i,j =1,2,…,n
5° 若 A为判断矩阵，那么 A对应于 λmax
=n 的标准化（ 归一化 ） 特征向量 u=(u1，
u2,…,un)T 就是一组排序权向量。
第九章 层次分析
5° 若 A为判断矩阵，那么 A对应于 λmax =n
的标准化（归一化）特征向量 u=(u1，
u2,…,un)T 就是一组排序权向量。
1.2 进一步地有如下定理定理 2,n阶正互反矩阵 A=（ aij)n× n是一致阵的充分必要条件为 λmax=n
n
i
i 1u
1
第九章 层次分析由于客观事物的复杂性与人的认识的多样性，我们得到的判断矩阵常常不具有传递性和一致性，但应该要求这些判断大体是一致的。
当判断矩阵过于偏离一致性时，它的可靠性值得怀疑，为此需对判断矩阵进行一致性检验。
第九章 层次分析一致性检验步骤：
ⅰ,计算一致性指标 C.I.=(λmax-n)/(n-1)
(ConsisTeney Index)
ⅱ,查找相应的平均随机一致性指标 R.I.(Random
Index)
1~15阶正互反矩阵计算 1000次得到的平均随机一致性指标：
矩阵阶数 1 2 3 4 5 6 7 8
R.I,0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41
第九章 层次分析矩阵阶数 9 10 11 12 13 14 15
R.I,1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
计算,R.I.=(λmax-n)/(n-1),λmax为 m次判断矩阵 λmax的平均值。
λmax产生方法：取定阶数 n，随机构造正互反矩阵?=（?ij)n× n,?ij在 1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9
这 17个数中随机抽取，
第九章 层次分析
(只需取 n(n-1)/2个，对角元为 1，其余按正互反性得到 ） 取充分大的子样计算所有?
的最大特征值，然后求平均即为 λmax 。
ⅲ,计算一致性比率 C.R,(consistency ratio)
C.R.= C.I./R.I.
当 C.R.<0.1时 认为判断矩阵的一致性是可接受的。
当 C.R,≥0.1时 应修正判断矩阵。
第九章 层次分析例如 对前面矩阵
1 3 1
A= 1/3 1 1/3
1 3 1
计算出 λmax=3
归一化向量 u=(3/7,1/7,3/7)T
C.I.=(λmax-3)/(3-1)=0∴ C.R.=0 是一致阵。
第九章 层次分析例：
1 2 5
A= 1/2 1 7
1/5 1/7 1
计算出 λmax=3.1189,u=(0.5415,0.3816,0.0761)T
C.I.=（ 3.1189-3） /（ 3-1） =0.05945 查表得 R.I.=0.52
C.R.=0.05945/0.52=0.1143≥0.1,应修正判断矩阵第九章 层次分析矩阵阶数 1 2 3 4 5 6 7 8
R.I,0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41
四、计算各层元素对目标层的总排序权重：
层次总排序过程,计算同一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的排序权值。
从最高层到底层逐层进行：
设已算出第 k-1层上 nk-1个元素相对于总目标的排序为
w(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1),…,w n (k-1))T
第九章 层次分析
K-1
第 k层 nk个元素对于第 k-1层上第 j个元素为准则的单排序向量
uj(k)=(u1j(k),u2j(k),…,un j(k))T j=1,2,… nk-1
其中不受第 j个元素支配的元素权重取零，
于是可得到 nk× nk-1阶矩阵
u11(k) u12(k)… u1n (k)
U(k)= u21(k) u22(k)… u2 n (k)
…… …… ……
un 1(k) un 2(k)… un n (k)
第九章 层次分析
k
kkk k-1
k-1
k-1
第 k层上各元素对总目标的总排序 w(k)为：
w(k)=(w1(k),w2(k),…,wn (k))T
w(k)=U(k)w(k-1)
分量形式,wi(k)= uij(k)wj(k-1) i=1,2,…,n
于是可得到公式,w(k)=U(k)U(k-1) …U(3)w(2)
w(2)为第二层上元素对目标的排序（即是单层排序）
第九章 层次分析
k
1
1
kn
j
各层总排序的一致性检验：
由高层向下，逐层进行检验，设第 k层中某些因素对 k-1层第 j个元素单排序的一致性指标为 C.I.j(k)，平均随机一致性指标为 R.I.j(k),(k层中与 k-1层的第 j个元素无关时，不必考虑 )，那么第 k层的总排序的一致性比率为：
C.R.(k)=[ ]/[ ] )()1(,,k
j
n
1j
k
j IRw
k?
第九章 层次分析
)()1(,,k
j
n
1j
k
j ICw
k?
当 C.R.(k)<0.1时认为第 k层，层次总排序具有满意的一致性。
第九章 层次分析
§ 9.2 几个问题的处理方法一、求正互反矩阵的最大特征值及相应特征向量：
第九章 层次分析和积法：
步骤：
ⅰ,求（每列归一化） bij=aij / akj
i,j=1,2…n
ⅱ,行求和 Mi= bij
i= 1,2,…,n
再归一化,Wi=Mi / Mj i= 1,2,……,n
ⅲ,λmax=(1/n) (AW)i/Wi
n
1k
n
1j
n
1j
n
1i
第九章 层次分析例,1 3 1 ⅰ 3/7 3/7 3/7 ⅱ M1=9/7
A= 1/3 1 1/3 B= 1/7 1/7 1/7 M2=3/7
1 3 1 3/7 3/7 3/7 M3=9/7
Mj=3
w2=1/7 Aw=(9/7,3/7,9/7)T
w3=3/7 λmax=3
显然，当 A是一致阵时,λmax=n，对归一化的 w
aij=wi/wj
第九章 层次分析
∴ w1=3/7 ⅲ?
3
1j
λmax=(1/n) (AW)i/Wi?
n
1i
和积法：
akj= wk/wj
bij=aij/ akj=wi / wk Mi= bij=(nwi)/ wk
归一化后 w即为 (w1,w2,…,wn)T
同理 λmax=n
当 A近似一致阵时，这些量是近似的。
例,1 2 5
A= 1/2 1 3
1/5 1/3 1
n
1j
第九章 层次分析
n
k 1
n
k 1
n
k1
n
k1
n
k1
用和积法：
ⅰ,1 2 5 0.5882 0.6 0.5556
A= 1/2 1 3 B= 0.2941 0.3 0.3333
1/5 1/3 1 0.1177 0.1 0.1111
ⅱ,行求和 M=(1.7438,0.9274,0.3288)T
M1+M2+M3=3
归一化,w=(0.5813,0.3091,0.1096)T
第九章 层次分析列归一化
ⅲ,Aw=(1.7475,0.9286,0.3289)T
1 1.7475 0.9286 0.3289
3 0.5813 0.3091 0.1096
3.0038
第九章 层次分析
max= + +
=
二、残缺判断与群组决策：
1、残缺判断及处理方法：
应用 AHP进行决策时，每个准则应有一个判断矩阵，需进行 [n(n-1)]/2 次两两比较 (判断矩阵的上或下三角 )。
当层次很多，因素复杂时，判断量很大，
可能出现某个参与决策的专家对某些判断缺少把握，或不想发表意见，使判断矩阵残缺。
第九章 层次分析
⑴ 可接受的残缺判断矩阵若任一残缺元素都可通过已给出的元素间接获得的残缺判断矩阵。
根据一致性的条件：间接获得的元素指，若 aij缺少可由 aij=aikakj或更一般地
aij=aik ak k ak k …a k j得到。
第九章 层次分析
1 1 2 32 s
⑵ 可接受的残缺矩阵的排序向量计算常用的有特征根方法，对数最小二乘法及最小偏差法等。
特征根法,设 A对应 λmax的特征向量
w =(w1,w2,…,wn)T
由一致性条件知 aij = wi /wj，特征根法即把缺少的的元素用 wi /wj来替代。
第九章 层次分析设原判断矩阵 A=(aij)n× n构造辅助矩阵
C = (cij)n× n
使 cij= aij,aij≠0
wi /wj,aij=0
例：设 1 2 0A=
1／ 2 1 2 是可接受的残缺矩阵
0 1／ 2 1
第九章 层次分析辅助矩阵 1 2 w1／ w3
C= 1/2 1 2
w1／ w3 1/2 1
解特征根问题,cw =?maxw
展开：左 =（ 2w1+2w2,1/2w1+w2+2w3,1/2w2+2w3)T
=?max(w1,w2,w3)T
解得,?max=3 w =(0.5714,0.2857，,0.1429） T
第九章 层次分析
Aw=?maxw与 Cw=?maxw
可以看出,C 的特征值问题等价于
2 2 0
ā= 1/2 1 2
0 1/2 2
的特征值问题（ Aw=?maxw与 Cw=?maxw相同）
第九章 层次分析故只需求下列矩阵的特征值及特征向量
ā = (aij )n× n
aij 当 aij≠0,i≠j
aij = 0 当 aij=0
mi+1 当 i≠j时,mi为第 i行中残缺元素的个数求解 ā w =?maxw 可得不完整信息下的排列向量第九章 层次分析
(3)一致性检验：
max-n
C.I.=
(n-1)-（ ）
当 C.R.=C.I./R.I.<0.1时 认为有满意的一致性。
n
i i
/nm
1
第九章 层次分析
2.群组决策：
为使决策科学化、民主化，一个复杂系统通常是由多个决策者（专家）或决策部门参与决策的。 群组决策问题是指采取一定的方法以使决策者的决策综合成一个较合理的结果的过程。
第九章 层次分析应做好如下工作：
⑴重视并做好专家咨询工作；
ⅰ,合理选择咨询对象；（专长及熟悉的领域）
ⅱ,创造适合于咨询工作的良好环境；
（介绍 AHP方法，提供信息，独立思考）
ⅲ,正确的咨询方法；（通过咨询确定递阶层次结构，设计好表格）
第九章 层次分析
ⅳ,及时分析专家咨询信息，必要时要进行反馈及多轮次咨询
⑵群组决策综合分析方法：两类方法：
Ⅰ,将各专家的判断矩阵综合，得到综合判断矩阵，再计算排序。
第九章 层次分析
Ⅱ,先求各专家判断矩阵的排序向量，
再综合成群组排序向量。
设 S个专家的判断矩阵：
Ak=(aij (k)) k=1,2,…S
分别求出它们各自的排序向量
wk=(w1(k),w2(k) …w n(k))T
(k)
第九章 层次分析再记平均综合向量为 w =(w1,w2,…,w n)T
方法 1.加权几何平均综合排序向量法：
计算
wj= wj / （归一化）
其中,λ k ≥0 且
λk为第 k个决策者的权重,
n
i
iw
1
k
k
k
1
1?
j=1,2…,n
第九章 层次分析
ss
jjjj wwww
)()()( )()2()1( 21
对可采用性的考察：
计算 wj的标准差：
j=
其相应于新的总体判断矩阵 A=(aij)
(aij=wi /wj)的总体标准差：
①
第九章 层次分析
(K) 2
s
k
jj -wws
1
)()1/(1
σ ij=
个体标准差：
σ （ k)=
当总体标准差满足要求时，这组群组判断可采用，当个体标准差 σ (k)满足要求时，认为第 k
个决策者的决策可通过，否则将信息反馈给有关专家，供修改时参考。
②
③
第九章 层次分析
s
k
ijij -aas
1
)()1/(1
(K) 2
n
j
j
k
j -wwn
1
2)( )()1/(1
方法 2.加权算术平均综合向量法：
计算
W=λ1Wj(1)+ λ2Wj(2)+…+λ sWj(s)
λ k≥0,
可类似地根据①，②，③式判断可采用性。
第九章 层次分析
s
1k
k 1?
§ 9.3应用举例一,某工厂有一笔企业留成利润，要决定如何使用。
供选择方案,作奖金，集体福利设施，引入设备技术建立如下层次分析模型：
第九章 层次分析目标层：
准则层 C：
方案层 P：
合理使用留成利润 A
改善职工生活条件 C3
提高技术水平 C2
调动职工积极性 C1
引进设备技术 P3福利 P2奖金 P1
第九章 层次分析
A-C判断矩阵,
A C1 C2 C3 w(2)
C1 1 1/5 1/3 0.105
C2 5 1 2 0.637
C3 3 1/2 1 0.258
λmax=3.038 归一化特征向量 w(2)
C.I.=0.019 C.R.=0.03276<0.1
满意的一致性第九章 层次分析合理使用留成利润 A
改善职工生活条件 C3
提高技术水平 C2
调动职工积极性 C1
C1-P,
C1 P1 P2 U1(3)
P1 1 1/3 0.75
P2 3 1 0.75
λmax=2 C.I.=0
第九章 层次分析
C2-P:
C2 P2 P3 U2(3)
P2 1 1/5 0.167
P3 5 1 0.833
λmax=2 C.I.=0
第九章 层次分析
C3-P:
C3 P1 P3 U3(3)
P1 1 2 0.667
P2 1/2 1 0.333
λmax=2 C.I.=0
第九章 层次分析
0.25 0 0.667
U(3)= 0.75 0.167 0.333
0 0.833 0
w(3)=U(3)w(2)=(0.198,0.27,0.531)T
得到 P3优于 P1又优于 P2，从分配上可以用 53.1%来引进新设备，新技术；
用 19.8%来发奖金；
用 29.1%来改善福利。
第九章 层次分析二,层次分析法对于下面几种情况的优化问题特别适用：
⑴问题中除可计量的量外，还存在不可计量的量时，可用 AHP通过对不可计量的量与可计量的量的相对比较，而获得相对的量测；
⑵当优化问题的结构难以事先确定，而在很大程度上取决于决策者的经验时；
第九章 层次分析
⑶ 各变量不独立，有内部相关性时；
⑷目标与约束，约束与约束之间紧密联系时；
⑸多目标问题；
第九章 层次分析在用 AHP法解决优化问题时，常用的有两种方式：
⑴当模型中涉及不可计量的量时，用 AHP
法的比例标度来确定目标函数，约束函数的权重（系数）
⑵直接采用 AHP模型
AHP法有广泛的应用前景，可以用来决定其它方面的一些问题。下面举一个解决优化问题的例子。
第九章 层次分析例,最佳食品搭配问题！
假设某人有 3种食品可供选择：肉，面包，蔬菜它们所含营养成分及单价如下表：
食品 维生素 A 维生素 B2 热量 单价 搭配量（国际 （毫克 /克） （千卡 /克） （元 /克）
单价 /克）
肉 0.3527 0.0021 2.86 0.0055 X1
面包 0 0.0006 2.76 0.0012 X2
蔬菜 25.0 0.002 0.25 0.0014 X3
第九章 层次分析该人体重 55公斤，每天对各种营养的最小需求为：
维生素 A,7500 国际单位维生素 B2,1.6338 毫克热量,2050 千卡问题：应如何搭配食品？（自然的想法是：使在保证营养的情况下支出最小）
第九章 层次分析容易建立如下线性规划模型：
min Z=0.0055 x1+0.0012 x2+0.0014 x3
s.t,0.3527 x1+25.0 x3≥7500
0.0021 x1+0.0006 x2+0.002x3≥1.6338
2.86 x1+2.76 x2+0.25 x3≥2050
x1,x2,x3≥0
利用单纯形法可得解 x*=(0,689.44,610.67)T
z*<1.67
⑴
第九章 层次分析即，不吃肉，面包 689.44克，蔬菜
610.67克，每日支出 1.67元。显然这个最优方案是行不通的，它没有考虑本人对食品的偏好。我们可根据偏好加约束,x1≥140,x2≤450,x3不限得到线性规划解：
x*=(245.44,450.00 424.19)T
Z*=2.48元
⑵
第九章 层次分析其次，在这里各营养成分被看成同样重要，起决定因素的是支出。但实际上，
营养价值与支出都需考虑，只是地位
（权重）不同。这样无法建立目标函数。
下面用层次分析法来处理问题：
层次结构：
第九章 层次分析每日需求 R
支出 C营养 N
维生素 A 维生素 B2 维生素 Q
肉 me 面包 br 蔬菜 ve
第九章 层次分析对于一个中等收入的人，满足营养要求比支出更重要。
于是：
R N C w(2)
N 1 3 0.75
C 1/3 1 0.25
λmax=2 C.I.=0
第九章 层次分析
N A B2 Q w1(3)
A 1 1 2 0.4
B2 1 1 2 0.4
Q 1/2 1/2 1 0.2
λmax=3 C.I.=0
第九章 层次分析
0.4 0
w(3) = 0.4 0 0.25
0.2 0 0.25 =(0.3,0.3,0.15,0.25)T
0 1
最底层（方案层）对准则层的单排列权重，只需对题目给的数据归一化即可。
由于要支出最小价格倒数，价格倒数归一：
( 181.818,833.333,714.286 )T
于是得到第九章 层次分析
A B2 Q C(价格 )
me 0.0139 0.4468 0.4872 0.1057
U(4) br 0.0000 0.1277 0.4702 0.4819
ve 0.9861 0.4255 0.0426 0.4310
合成权重 w(4) = U(4)w(3) = (0.24,0.23,0.53)T
第九章 层次分析设 x1=0.24k,x2=0.23k,x3=0.53k
则
min Z = 0.002338k
s.t,13.3346k ≥7500
0.0017k ≥1.6338
1.4537k ≥2050
k ≥ 0
解得,k = 1410.20
⑴ 变为第九章 层次分析
x1=338.45克,x2=324.35克,x3=749.41克
Z=3.30元 满足条件⑵
此时各营养成分含量如下：
维生素 A,18804.52国际单位维生素 B2,2.400毫克热量 Q,2050.01千卡若认为总支出太大，可适当降低第二层中营养的权重 。
第九章 层次分析若改为
R N C w(2)
N 1 1 0.5
C 1 1 0.5
λmax=2 C.I.=0
第九章 层次分析其余不变：
0.4 0
w(3) = 0.4 0 0.5 = (0.2,0.2,0.1,0.5)T0.2,0.2 0.5
0 1
.0319,4468,4872,1081 0.2
w(4) =U(4)w(3) =,0000,1277,4702,4819 0.2
.9861,4255,0426,4130 0.1
=(0.193,0.314,0.493) T
第九章 层次分析类似上面可解得：设
x1=0.193k,x2=0.314k,x3=0.493k
min Z=0.0021285k
则 s.t,12.3931k≥7500
0.0016k≥1.6338
1.54187k≥2050
0.193k≥140,
0.314k≤450,k≥0
⑴,⑵变为第九章 层次分析得解 k=1329.56
于是 x1=256.61克,x2=419.48克，
x3=655.47克,Z=2.83元即每日肉 256.61克，面包 419.48克，蔬菜 655.47克，总支出 2.83元第九章 层次分析各营养成分含量如下：
维生素 A,16479.33国际单位维生素 B2,2.100毫克热量 Q,2050.01千卡第九章 层次分析下图为日支出对于营养权重变化的灵敏度曲线。它们基本上位于线性规划
⑴、⑵的可行解目标值 (支出为
1.67~3.80元 )范围内。
10
5
15
支出（元）
1.67
1,3.80
0.5 0.750.25 1
第九章 层次分析灵敏度分析：
判断矩阵经常会受到扰动：矩阵的不一致性可看做是一种扰动；决策者做出的决策差异总是存在的 (同一决策者，
不同时刻，地点对同一问题判断存在差异 )；计算中亦带来误差。
第九章 层次分析灵敏度分析即指由于求解过程中引入误差，而导致问题解的变化。若变化大，则结果一般是靠不住的。
灵敏度分析方法：矩阵摄动法第九章 层次分析
The Analytic Hierarchy
Process (AHP)
第九章 层次分析在管理中,人们常常需要对一些情况作出决策：例如企业的决策者要决定购置哪种设备,上马什么产品；经理要从若干求职者中决定录用哪些人员；地区,部门官员要对人口,交通,经济,环境等领域的发展规划作出决策 。
在日常生活中也常会遇到,在多种类不同特征的商品中选购 。 报考学校选择志愿 。
毕业时选择工作岗位等 。
这一系列的问题,单纯靠构造一个数学模型来求解的方法往往行不通,
而用完全主观的定夺也常常表现为举棋不定,而最终选择不理想,甚至不满意的决策方案 。
面对这样的问题,运筹学者开始了对人们思维决策过程进行分析,研究 。
第九章 层次分析美国运筹学家,T.L.Saaty等人在九十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法,称之为层次分析法 （ AHP法 ）
T.L.Saaty等曾把它用于电力工业计划,运输业研究,美国高等教育事业 1985-2000展望,1985年世界石油价格预测等方面 。
第九章 层次分析这种方法的 特征,定性与定量相结合,把人们的思维过程层次化,数量化 。
AHP法作为一种决策方法是在 1982年 11月召开的中美能源,资源,环境学术会议上,
有 Saaty学生 H.Gholamnezhad首先向中国介绍的 。 以后层次分析法在中国得到很大的发展,很快应用到能源系统分析,城市规划,经济管理科研成果评价的许多领域 。
第九章 层次分析
§ 9.1 层次分析法的基本步骤运用 AHP法进行决策时，大体可以分为 4个步骤进行：
（ 1） 分析系统中各个因素的关系，
建立系统的递阶层次结构；
（ 2） 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵；
第九章 层次分析
（ 3） 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重；
（ 4） 计算各层元素对系统目标的合成权重,并进行排序 。
第九章 层次分析一,建立层次分析的结构模型：
用 AHP分析问题,首先要把问题条理化,层次化,构造层次分析的结构模型 。 这些层次大体上可分为 3类：
1,最高层：在这一层次中只有一个元素,一般是分析问题的预定目标或理想结果,因此又称 目标层 ；
第九章 层次分析
2,中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节,它可由若干个层次组成,包括所需要考虑的准则,子准则,因此又称为 准则层 ；
3,最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施,决策,方案等,因此又称为 措施层 或 方案层 。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素 。
第九章 层次分析决策目标准则 1
方案 1
准则 m1准则 2
子准则 1
方案 2
子准则 2
方案 mr
子准则 m2
…
…
…
…
… ……
第九章 层次分析注,层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。
第九章 层次分析为了避免由于支配的元素过多而给两两 比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素 一般地不要超过 9个,
若多于 9个时，可将该层次再划分为若干子层。
例 1、某顾客选购电冰箱时，对市场上正在出售的四种电冰箱考虑 6项准则作为评价依据，得到如下层次分析模型：
第九章 层次分析目标层：
准则层：
方案层：
信誉T 1
A
型式T2
B
价格T3
C
容量 T4
D
制冷级别 T5 耗电量 T6
选购电冰箱第九章 层次分析例 2、选择科研课题：
某研究单位现有 3个科研课题，限于人力物力，只能承担其中一个课题，如何选择？
考虑下列因素：
成果的贡献大小，对人材培养的作用，
课题可行性。
在成果贡献方面考察：应用价值及科学第九章 层次分析意义（理论价值，对某科技领域的推动作用）；
在课题可行性方面考虑：难易程度
（难易程度与自身的科技力量的一致性），研究周期（预计需要花费的时间），财政支持（所需经费，设备及经费来源，有关单位支持情况等）。
第九章 层次分析目标层 合理选择科研课题 A
成果贡献 B1 人才培养 B2 课题可行性 B3
课题 D1 课题 D2 课题 D3
应用价值
c1
科学意义
c2
难易程度
c3
研究周期
c4
财政支持
c5
第九章 层次分析方案层准则层例 3、设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有轮渡。
此问题中过河方式的确定取决于过河方式的效益与代价（即成本）。通常我们用费效比（效益 /代价）作为选择方案的标准。为此构造以下两个层次分析的结构模型。
第九章 层次分析准则层过河的效益 A
经济效益 B1 社会效益 B2 环境效益 B3
桥梁 D1 隧道 D2 渡船 D3
收入
c2
岸间商业
c3
节省时间
c1
当地商业
c4
建筑就业
c5
安全可靠
c6
交往沟通
c7
自豪感
c8
舒适
c9
进出方便
c10
美化
c11
第九章 层次分析方案层目标层过河的代价 A
经济代价 B1 社会代价 B2 环境代价 B3
桥梁 D1
投入资金
c1
操作维护
c2
冲击渡船业
c3
冲击生活方式c
4
交通拥挤
c5
居民搬迁
c6
汽车排废物
c7
对水的污染
c8
对生态的破坏c
9
隧道 D2 渡船 D3
第九章 层次分析目标层准则层方案层二、构造判断矩阵：
上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素 Z（目标 A或某个准则 Z）
相联系的下层元素（ x1,x2,…,xn)各在上层元素 Z之中所占的比重。
方法,每次取 2个元素，如 xi,xj，以 aij
表示 xi 和 xj 对 Z的影响之比。这里得到的 A=(aij)n× n称为两两比较的判断矩阵。
第九章 层次分析
Saaty建议用 1~9及其倒数做为标度来确定
aij的值,1~9比例标度的含义：
xi比 xj强（重要）的程度
xi/ xj 相等 稍强 强 很强 绝对强
aij 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1~9标度的理由：两两比较的心理习惯，
显然，判断矩阵 A的元素有如下特征：
第九章 层次分析
1° aij>0
2° aji=1/aij
3° aii=1
我们称判断矩阵 A为正 互反 矩阵。
第九章 层次分析例如在例 2中，准则层 B对目标层作因素两两比较，并可建立下面判断矩阵：
B1,B2为 3 B1,B3为 1
认为人才培养比另二项稍 次要,
另二项差不多相同重要。
第九章 层次分析成果贡献 B1 人才培养 B2 课题可行性 B3
判断矩阵
B1 B2 B3
B1 1 3 1
A= B2 1/3 1 1/3
B3 1 3 1
第九章 层次分析合理选择科研课题 A
成果贡献 B1 人才培养 B2 课题可行性 B3
三、单一准则下元素相对排序权重计算及判断矩阵一致性检验：
1、单一准则下元素排序：
求判断矩阵 A的最大特征值 λmax及标准化
（ 归一化 ）的特征向量 W。 W的向量为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权重。有 wi>0，
i,。
n
1i
i 1w
第九章 层次分析在构造判断矩阵时，各层元素间两两比较时,aij应有某种 传递性 质，即若甲比乙重要，乙比 丙重要，合理地应有甲比丙更重要，在数值上表示为 aij·ajk=aik
即 若 xi与 xj相比 aij=3,xj与 xk相比 ajk=2，
那么有传递性的判断应 xj与 xk相比，
ajk=6 。
第九章 层次分析
2、判断矩阵的一致性概念：
判断矩阵是各元素均为正数的矩阵这种正矩阵有下列重要性质。
第九章 层次分析定义：若正互反矩阵 A满足 aij·a jk=aik
i,j,k =1,2,…,n 则称 A为一致阵。
一致阵的重要性质,设 A是一致阵，
1° A的转置亦是一致阵；
2° A的秩为 1。（即只有一个非零特征值，其余 n-1个为 0特征值）
第九章 层次分析
3° A的最大特征根 λmax= n，其余特征根皆为零；
4° 设 u=(u1,u2,…,un)T是 A对应 λmax
的特征向量，则 aij=ui /uj i,j =1,2,…,n
5° 若 A为判断矩阵，那么 A对应于 λmax
=n 的标准化（ 归一化 ） 特征向量 u=(u1，
u2,…,un)T 就是一组排序权向量。
第九章 层次分析
5° 若 A为判断矩阵，那么 A对应于 λmax =n
的标准化（归一化）特征向量 u=(u1，
u2,…,un)T 就是一组排序权向量。
1.2 进一步地有如下定理定理 2,n阶正互反矩阵 A=（ aij)n× n是一致阵的充分必要条件为 λmax=n
n
i
i 1u
1
第九章 层次分析由于客观事物的复杂性与人的认识的多样性，我们得到的判断矩阵常常不具有传递性和一致性，但应该要求这些判断大体是一致的。
当判断矩阵过于偏离一致性时，它的可靠性值得怀疑，为此需对判断矩阵进行一致性检验。
第九章 层次分析一致性检验步骤：
ⅰ,计算一致性指标 C.I.=(λmax-n)/(n-1)
(ConsisTeney Index)
ⅱ,查找相应的平均随机一致性指标 R.I.(Random
Index)
1~15阶正互反矩阵计算 1000次得到的平均随机一致性指标：
矩阵阶数 1 2 3 4 5 6 7 8
R.I,0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41
第九章 层次分析矩阵阶数 9 10 11 12 13 14 15
R.I,1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
计算,R.I.=(λmax-n)/(n-1),λmax为 m次判断矩阵 λmax的平均值。
λmax产生方法：取定阶数 n，随机构造正互反矩阵?=（?ij)n× n,?ij在 1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9
这 17个数中随机抽取，
第九章 层次分析
(只需取 n(n-1)/2个，对角元为 1，其余按正互反性得到 ） 取充分大的子样计算所有?
的最大特征值，然后求平均即为 λmax 。
ⅲ,计算一致性比率 C.R,(consistency ratio)
C.R.= C.I./R.I.
当 C.R.<0.1时 认为判断矩阵的一致性是可接受的。
当 C.R,≥0.1时 应修正判断矩阵。
第九章 层次分析例如 对前面矩阵
1 3 1
A= 1/3 1 1/3
1 3 1
计算出 λmax=3
归一化向量 u=(3/7,1/7,3/7)T
C.I.=(λmax-3)/(3-1)=0∴ C.R.=0 是一致阵。
第九章 层次分析例：
1 2 5
A= 1/2 1 7
1/5 1/7 1
计算出 λmax=3.1189,u=(0.5415,0.3816,0.0761)T
C.I.=（ 3.1189-3） /（ 3-1） =0.05945 查表得 R.I.=0.52
C.R.=0.05945/0.52=0.1143≥0.1,应修正判断矩阵第九章 层次分析矩阵阶数 1 2 3 4 5 6 7 8
R.I,0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41
四、计算各层元素对目标层的总排序权重：
层次总排序过程,计算同一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的排序权值。
从最高层到底层逐层进行：
设已算出第 k-1层上 nk-1个元素相对于总目标的排序为
w(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1),…,w n (k-1))T
第九章 层次分析
K-1
第 k层 nk个元素对于第 k-1层上第 j个元素为准则的单排序向量
uj(k)=(u1j(k),u2j(k),…,un j(k))T j=1,2,… nk-1
其中不受第 j个元素支配的元素权重取零，
于是可得到 nk× nk-1阶矩阵
u11(k) u12(k)… u1n (k)
U(k)= u21(k) u22(k)… u2 n (k)
…… …… ……
un 1(k) un 2(k)… un n (k)
第九章 层次分析
k
kkk k-1
k-1
k-1
第 k层上各元素对总目标的总排序 w(k)为：
w(k)=(w1(k),w2(k),…,wn (k))T
w(k)=U(k)w(k-1)
分量形式,wi(k)= uij(k)wj(k-1) i=1,2,…,n
于是可得到公式,w(k)=U(k)U(k-1) …U(3)w(2)
w(2)为第二层上元素对目标的排序（即是单层排序）
第九章 层次分析
k
1
1
kn
j
各层总排序的一致性检验：
由高层向下，逐层进行检验，设第 k层中某些因素对 k-1层第 j个元素单排序的一致性指标为 C.I.j(k)，平均随机一致性指标为 R.I.j(k),(k层中与 k-1层的第 j个元素无关时，不必考虑 )，那么第 k层的总排序的一致性比率为：
C.R.(k)=[ ]/[ ] )()1(,,k
j
n
1j
k
j IRw
k?
第九章 层次分析
)()1(,,k
j
n
1j
k
j ICw
k?
当 C.R.(k)<0.1时认为第 k层，层次总排序具有满意的一致性。
第九章 层次分析
§ 9.2 几个问题的处理方法一、求正互反矩阵的最大特征值及相应特征向量：
第九章 层次分析和积法：
步骤：
ⅰ,求（每列归一化） bij=aij / akj
i,j=1,2…n
ⅱ,行求和 Mi= bij
i= 1,2,…,n
再归一化,Wi=Mi / Mj i= 1,2,……,n
ⅲ,λmax=(1/n) (AW)i/Wi
n
1k
n
1j
n
1j
n
1i
第九章 层次分析例,1 3 1 ⅰ 3/7 3/7 3/7 ⅱ M1=9/7
A= 1/3 1 1/3 B= 1/7 1/7 1/7 M2=3/7
1 3 1 3/7 3/7 3/7 M3=9/7
Mj=3
w2=1/7 Aw=(9/7,3/7,9/7)T
w3=3/7 λmax=3
显然，当 A是一致阵时,λmax=n，对归一化的 w
aij=wi/wj
第九章 层次分析
∴ w1=3/7 ⅲ?
3
1j
λmax=(1/n) (AW)i/Wi?
n
1i
和积法：
akj= wk/wj
bij=aij/ akj=wi / wk Mi= bij=(nwi)/ wk
归一化后 w即为 (w1,w2,…,wn)T
同理 λmax=n
当 A近似一致阵时，这些量是近似的。
例,1 2 5
A= 1/2 1 3
1/5 1/3 1
n
1j
第九章 层次分析
n
k 1
n
k 1
n
k1
n
k1
n
k1
用和积法：
ⅰ,1 2 5 0.5882 0.6 0.5556
A= 1/2 1 3 B= 0.2941 0.3 0.3333
1/5 1/3 1 0.1177 0.1 0.1111
ⅱ,行求和 M=(1.7438,0.9274,0.3288)T
M1+M2+M3=3
归一化,w=(0.5813,0.3091,0.1096)T
第九章 层次分析列归一化
ⅲ,Aw=(1.7475,0.9286,0.3289)T
1 1.7475 0.9286 0.3289
3 0.5813 0.3091 0.1096
3.0038
第九章 层次分析
max= + +
=
二、残缺判断与群组决策：
1、残缺判断及处理方法：
应用 AHP进行决策时，每个准则应有一个判断矩阵，需进行 [n(n-1)]/2 次两两比较 (判断矩阵的上或下三角 )。
当层次很多，因素复杂时，判断量很大，
可能出现某个参与决策的专家对某些判断缺少把握，或不想发表意见，使判断矩阵残缺。
第九章 层次分析
⑴ 可接受的残缺判断矩阵若任一残缺元素都可通过已给出的元素间接获得的残缺判断矩阵。
根据一致性的条件：间接获得的元素指，若 aij缺少可由 aij=aikakj或更一般地
aij=aik ak k ak k …a k j得到。
第九章 层次分析
1 1 2 32 s
⑵ 可接受的残缺矩阵的排序向量计算常用的有特征根方法，对数最小二乘法及最小偏差法等。
特征根法,设 A对应 λmax的特征向量
w =(w1,w2,…,wn)T
由一致性条件知 aij = wi /wj，特征根法即把缺少的的元素用 wi /wj来替代。
第九章 层次分析设原判断矩阵 A=(aij)n× n构造辅助矩阵
C = (cij)n× n
使 cij= aij,aij≠0
wi /wj,aij=0
例：设 1 2 0A=
1／ 2 1 2 是可接受的残缺矩阵
0 1／ 2 1
第九章 层次分析辅助矩阵 1 2 w1／ w3
C= 1/2 1 2
w1／ w3 1/2 1
解特征根问题,cw =?maxw
展开：左 =（ 2w1+2w2,1/2w1+w2+2w3,1/2w2+2w3)T
=?max(w1,w2,w3)T
解得,?max=3 w =(0.5714,0.2857，,0.1429） T
第九章 层次分析
Aw=?maxw与 Cw=?maxw
可以看出,C 的特征值问题等价于
2 2 0
ā= 1/2 1 2
0 1/2 2
的特征值问题（ Aw=?maxw与 Cw=?maxw相同）
第九章 层次分析故只需求下列矩阵的特征值及特征向量
ā = (aij )n× n
aij 当 aij≠0,i≠j
aij = 0 当 aij=0
mi+1 当 i≠j时,mi为第 i行中残缺元素的个数求解 ā w =?maxw 可得不完整信息下的排列向量第九章 层次分析
(3)一致性检验：
max-n
C.I.=
(n-1)-（ ）
当 C.R.=C.I./R.I.<0.1时 认为有满意的一致性。
n
i i
/nm
1
第九章 层次分析
2.群组决策：
为使决策科学化、民主化，一个复杂系统通常是由多个决策者（专家）或决策部门参与决策的。 群组决策问题是指采取一定的方法以使决策者的决策综合成一个较合理的结果的过程。
第九章 层次分析应做好如下工作：
⑴重视并做好专家咨询工作；
ⅰ,合理选择咨询对象；（专长及熟悉的领域）
ⅱ,创造适合于咨询工作的良好环境；
（介绍 AHP方法，提供信息，独立思考）
ⅲ,正确的咨询方法；（通过咨询确定递阶层次结构，设计好表格）
第九章 层次分析
ⅳ,及时分析专家咨询信息，必要时要进行反馈及多轮次咨询
⑵群组决策综合分析方法：两类方法：
Ⅰ,将各专家的判断矩阵综合，得到综合判断矩阵，再计算排序。
第九章 层次分析
Ⅱ,先求各专家判断矩阵的排序向量，
再综合成群组排序向量。
设 S个专家的判断矩阵：
Ak=(aij (k)) k=1,2,…S
分别求出它们各自的排序向量
wk=(w1(k),w2(k) …w n(k))T
(k)
第九章 层次分析再记平均综合向量为 w =(w1,w2,…,w n)T
方法 1.加权几何平均综合排序向量法：
计算
wj= wj / （归一化）
其中,λ k ≥0 且
λk为第 k个决策者的权重,
n
i
iw
1
k
k
k
1
1?
j=1,2…,n
第九章 层次分析
ss
jjjj wwww
)()()( )()2()1( 21
对可采用性的考察：
计算 wj的标准差：
j=
其相应于新的总体判断矩阵 A=(aij)
(aij=wi /wj)的总体标准差：
①
第九章 层次分析
(K) 2
s
k
jj -wws
1
)()1/(1
σ ij=
个体标准差：
σ （ k)=
当总体标准差满足要求时，这组群组判断可采用，当个体标准差 σ (k)满足要求时，认为第 k
个决策者的决策可通过，否则将信息反馈给有关专家，供修改时参考。
②
③
第九章 层次分析
s
k
ijij -aas
1
)()1/(1
(K) 2
n
j
j
k
j -wwn
1
2)( )()1/(1
方法 2.加权算术平均综合向量法：
计算
W=λ1Wj(1)+ λ2Wj(2)+…+λ sWj(s)
λ k≥0,
可类似地根据①，②，③式判断可采用性。
第九章 层次分析
s
1k
k 1?
§ 9.3应用举例一,某工厂有一笔企业留成利润，要决定如何使用。
供选择方案,作奖金，集体福利设施，引入设备技术建立如下层次分析模型：
第九章 层次分析目标层：
准则层 C：
方案层 P：
合理使用留成利润 A
改善职工生活条件 C3
提高技术水平 C2
调动职工积极性 C1
引进设备技术 P3福利 P2奖金 P1
第九章 层次分析
A-C判断矩阵,
A C1 C2 C3 w(2)
C1 1 1/5 1/3 0.105
C2 5 1 2 0.637
C3 3 1/2 1 0.258
λmax=3.038 归一化特征向量 w(2)
C.I.=0.019 C.R.=0.03276<0.1
满意的一致性第九章 层次分析合理使用留成利润 A
改善职工生活条件 C3
提高技术水平 C2
调动职工积极性 C1
C1-P,
C1 P1 P2 U1(3)
P1 1 1/3 0.75
P2 3 1 0.75
λmax=2 C.I.=0
第九章 层次分析
C2-P:
C2 P2 P3 U2(3)
P2 1 1/5 0.167
P3 5 1 0.833
λmax=2 C.I.=0
第九章 层次分析
C3-P:
C3 P1 P3 U3(3)
P1 1 2 0.667
P2 1/2 1 0.333
λmax=2 C.I.=0
第九章 层次分析
0.25 0 0.667
U(3)= 0.75 0.167 0.333
0 0.833 0
w(3)=U(3)w(2)=(0.198,0.27,0.531)T
得到 P3优于 P1又优于 P2，从分配上可以用 53.1%来引进新设备，新技术；
用 19.8%来发奖金；
用 29.1%来改善福利。
第九章 层次分析二,层次分析法对于下面几种情况的优化问题特别适用：
⑴问题中除可计量的量外，还存在不可计量的量时，可用 AHP通过对不可计量的量与可计量的量的相对比较，而获得相对的量测；
⑵当优化问题的结构难以事先确定，而在很大程度上取决于决策者的经验时；
第九章 层次分析
⑶ 各变量不独立，有内部相关性时；
⑷目标与约束，约束与约束之间紧密联系时；
⑸多目标问题；
第九章 层次分析在用 AHP法解决优化问题时，常用的有两种方式：
⑴当模型中涉及不可计量的量时，用 AHP
法的比例标度来确定目标函数，约束函数的权重（系数）
⑵直接采用 AHP模型
AHP法有广泛的应用前景，可以用来决定其它方面的一些问题。下面举一个解决优化问题的例子。
第九章 层次分析例,最佳食品搭配问题！
假设某人有 3种食品可供选择：肉，面包，蔬菜它们所含营养成分及单价如下表：
食品 维生素 A 维生素 B2 热量 单价 搭配量（国际 （毫克 /克） （千卡 /克） （元 /克）
单价 /克）
肉 0.3527 0.0021 2.86 0.0055 X1
面包 0 0.0006 2.76 0.0012 X2
蔬菜 25.0 0.002 0.25 0.0014 X3
第九章 层次分析该人体重 55公斤，每天对各种营养的最小需求为：
维生素 A,7500 国际单位维生素 B2,1.6338 毫克热量,2050 千卡问题：应如何搭配食品？（自然的想法是：使在保证营养的情况下支出最小）
第九章 层次分析容易建立如下线性规划模型：
min Z=0.0055 x1+0.0012 x2+0.0014 x3
s.t,0.3527 x1+25.0 x3≥7500
0.0021 x1+0.0006 x2+0.002x3≥1.6338
2.86 x1+2.76 x2+0.25 x3≥2050
x1,x2,x3≥0
利用单纯形法可得解 x*=(0,689.44,610.67)T
z*<1.67
⑴
第九章 层次分析即，不吃肉，面包 689.44克，蔬菜
610.67克，每日支出 1.67元。显然这个最优方案是行不通的，它没有考虑本人对食品的偏好。我们可根据偏好加约束,x1≥140,x2≤450,x3不限得到线性规划解：
x*=(245.44,450.00 424.19)T
Z*=2.48元
⑵
第九章 层次分析其次，在这里各营养成分被看成同样重要，起决定因素的是支出。但实际上，
营养价值与支出都需考虑，只是地位
（权重）不同。这样无法建立目标函数。
下面用层次分析法来处理问题：
层次结构：
第九章 层次分析每日需求 R
支出 C营养 N
维生素 A 维生素 B2 维生素 Q
肉 me 面包 br 蔬菜 ve
第九章 层次分析对于一个中等收入的人，满足营养要求比支出更重要。
于是：
R N C w(2)
N 1 3 0.75
C 1/3 1 0.25
λmax=2 C.I.=0
第九章 层次分析
N A B2 Q w1(3)
A 1 1 2 0.4
B2 1 1 2 0.4
Q 1/2 1/2 1 0.2
λmax=3 C.I.=0
第九章 层次分析
0.4 0
w(3) = 0.4 0 0.25
0.2 0 0.25 =(0.3,0.3,0.15,0.25)T
0 1
最底层（方案层）对准则层的单排列权重，只需对题目给的数据归一化即可。
由于要支出最小价格倒数，价格倒数归一：
( 181.818,833.333,714.286 )T
于是得到第九章 层次分析
A B2 Q C(价格 )
me 0.0139 0.4468 0.4872 0.1057
U(4) br 0.0000 0.1277 0.4702 0.4819
ve 0.9861 0.4255 0.0426 0.4310
合成权重 w(4) = U(4)w(3) = (0.24,0.23,0.53)T
第九章 层次分析设 x1=0.24k,x2=0.23k,x3=0.53k
则
min Z = 0.002338k
s.t,13.3346k ≥7500
0.0017k ≥1.6338
1.4537k ≥2050
k ≥ 0
解得,k = 1410.20
⑴ 变为第九章 层次分析
x1=338.45克,x2=324.35克,x3=749.41克
Z=3.30元 满足条件⑵
此时各营养成分含量如下：
维生素 A,18804.52国际单位维生素 B2,2.400毫克热量 Q,2050.01千卡若认为总支出太大，可适当降低第二层中营养的权重 。
第九章 层次分析若改为
R N C w(2)
N 1 1 0.5
C 1 1 0.5
λmax=2 C.I.=0
第九章 层次分析其余不变：
0.4 0
w(3) = 0.4 0 0.5 = (0.2,0.2,0.1,0.5)T0.2,0.2 0.5
0 1
.0319,4468,4872,1081 0.2
w(4) =U(4)w(3) =,0000,1277,4702,4819 0.2
.9861,4255,0426,4130 0.1
=(0.193,0.314,0.493) T
第九章 层次分析类似上面可解得：设
x1=0.193k,x2=0.314k,x3=0.493k
min Z=0.0021285k
则 s.t,12.3931k≥7500
0.0016k≥1.6338
1.54187k≥2050
0.193k≥140,
0.314k≤450,k≥0
⑴,⑵变为第九章 层次分析得解 k=1329.56
于是 x1=256.61克,x2=419.48克，
x3=655.47克,Z=2.83元即每日肉 256.61克，面包 419.48克，蔬菜 655.47克，总支出 2.83元第九章 层次分析各营养成分含量如下：
维生素 A,16479.33国际单位维生素 B2,2.100毫克热量 Q,2050.01千卡第九章 层次分析下图为日支出对于营养权重变化的灵敏度曲线。它们基本上位于线性规划
⑴、⑵的可行解目标值 (支出为
1.67~3.80元 )范围内。
10
5
15
支出（元）
1.67
1,3.80
0.5 0.750.25 1
第九章 层次分析灵敏度分析：
判断矩阵经常会受到扰动：矩阵的不一致性可看做是一种扰动；决策者做出的决策差异总是存在的 (同一决策者，
不同时刻，地点对同一问题判断存在差异 )；计算中亦带来误差。
第九章 层次分析灵敏度分析即指由于求解过程中引入误差，而导致问题解的变化。若变化大，则结果一般是靠不住的。
灵敏度分析方法：矩阵摄动法第九章 层次分析
