微 分 方 程
2
§ 2,人口模型
t ê±?ì μà 3¤?ê ￡o
)(
)(
)(
l i m)(
0 tx
tx
txt
x
tr
t
设 t 时刻 人口 数 为 )( tx,经过 t? 时间后,人 数变为
xtx)(,则从 t 时刻到 tt 时刻的平均增长速度为
t
x
，
相对增长率为 ()
x
xt
t
。
3
基本假设,人口的相对增长率为常数 r.
0( 0 )
x rx
xx
r B D
B,Birth rate D,Death rate
人口函数,0 rtx x e?
Malthus模型
Malthus模型特点,在有限的时间内,在生存空间和食物供应充足的环境下,Malthus人口模型是比较准确的 ; 但是,由于生存空间有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害,以及人为控制人口增长等等原因,Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增长情况,
Logistic阻滞增长模型基本假设,人口的相对增长率随着人口数量的增加而减少,当人数超过某饱和值 N 后,相对增长率为负,
( 1 )xx r x N
5
( i ) 在无捕捞条件下 )( tx 的增长服从 L og is ti c 规律,
t ê±?ì ó? 3D μ? ó? áa )( tx ￡? 2￠?ù éa ￡o
§ 3,捕鱼模型
( ii ) 单位时间的 捕捞量 )( xh 与渔场鱼量成正比,比例系数为 E ( 捕捞强度 ),即,()h x E x?
其中 r 为固有增长率,N 为环境允许的最大鱼量。
)1()()( Nxrxxftx
( ) ( ) ( ) ( 1 )x t f x h x xrx E xN()Fx?
产量模型
( ) ( ) ( ) ( 1 )x t f x h x xrx E xN
7
假设,鱼的销售单价 (p ri c e) 为常数 p,单位捕捞强度 ( 如每条出海渔船 ) 的费用 (c o s t) 为常数 c,
T,单位时间的收入
S,单位时间的支出
R,单位时间的利润
ExNxrxxhxfxFtx )1()()()()(
鱼量方程同产量模型：
效益模型
8
其中 )( tx —— 种群 甲 在 t 时刻的总数 ( 0)(?tx ) ;
)( ty —— 种群 乙 在 t 时 刻的总数 ( 0)(?ty ),
),()(
),()(
222120
121110
yxgyaxaay
dt
dy
yxfyaxaax
dt
dx以两种群为例：A、弱肉强食； B、相互依存； C、相互竞争
Lotka-Volterra 模型：
§ 4,生态数学模型捕食者 (Predator)－食饵 (Prey)系统假设食饵 甲 没有密度限制,独立存在 时显指数 增长，即 ()x t a x?,捕食者使食饵减少；捕食者 乙没有食饵 甲的存在就会死亡 。
(,,,0 )x ax bx y a b c dy c y dx y
(1)
10
模型的延伸应用,杀虫济的影响
1
2
()()
( ) ( )
xx kxa b yx x a b y
y y c d x y y d x kc y
1 0 1 1 1 2 1 1
12
2 0 2 1 2 2 2 2
12
( ) ( 1 )
( ) ( 1 )
d x x y
x a a x a y r x
d t N N
d y x y
y a a x a y r y
d t N N
竞争模型
r1,r2,固有增长率 ; N1,N2:饱和量 ;?1,? 2:竞争力
12
相互依存模型
éa?×?é òà á￠ ′ú ￡? °′ L o g i s t i c 1é 3¤ ￡′ ￡?
óD?ü?è?T￡ òò?a?× ìá 1? ê3 ￡? óD?ú óú?× μ 3¤ ￡?
èo òò óD?× μ? ′ú?í?á?à í? ￡à íê?a
2r
￡×
a òò ìá 1? ê3 ￡? òò μ 3¤ êü?ü?è￡
)1(
)1(
21
22
2
1
1
1
N
y
N
x
yry
N
y
N
x
xrx
实验目的实验内容
2、学会用 Matlab求微分方程的数值解,
1、学会用 Matlab求简单微分方程的解析解,
1,求简单微分方程的解析解,
4、实验作业,
2、求微分方程的数值解,
3,数学建模实例
1、目标跟踪问题一：导弹追踪问题
2、目标跟踪问题二：慢跑者与狗
3、地中海鲨鱼问题返 回数学建模实例导弹追踪问题设位于坐标原点的甲舰向位于 x轴上点 A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰,如果乙舰以最大的速度
v0(是常数 )沿平行于 y轴的直线行驶，导弹的速度是 5v0，求导弹运行的曲线方程,又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？
解法一 （解析法）
假设导弹在 t 时刻的位置为 P ( x ( t ),y ( t ) ),乙舰位于 ),1( 0 tvQ,
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线 PQ
就是导弹的轨迹曲线弧 OP 在点 P 处的切线，
即有
x
ytv
y
1
' 0
即 yyxtv ')1(0 ( 1)
又根据题意，弧 OP 的长度为 AQ 的 5 倍，
即 tvdxy
x
00
2 5'1 ( 2 )
由 (1),(2)消去 t整理得模型,
( 3 ) '151")1( 2yyx
初值条件为,0)0(?y 0)0('?y
解即为导弹的运行轨迹,
24
5)1(
12
5)1(
8
5 5654 xxy
当 1?x 时
24
5
y,即当乙舰航行到点 )
24
5
,1( 处时被导弹击中,
被击中时间为,
00 24
5
vv
y
t,若 v 0 =1,则在 t =0,2 1 处被击中,
解法三 (建立参数方程求数值解 )
设时刻 t乙舰的坐标为 (X(t),Y(t))，导弹的坐标为 (x(t),y(t)).
1,设导弹速度恒为 w,则 222 )()( wdtdydtdx （ 1 ）
2,由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量，
即,
yY
xX
dt
dy
dt
dx
,0 （ 2 ）
消去 λ 得：
)(
)()(
)(
)()(
22
22
yY
yYxX
w
dt
dy
xX
yYxX
w
dt
dx
（ 3 ）
3．因乙舰以速度 v0沿直线 x=1运动，设 v0=1，则 w=5,X=1,Y=t
因此导弹运动轨迹的参数方程为：
0)0(,0)0(
)(
)()1(
5
)1(
)()1(
5
22
22
yx
yt
ytxdt
dy
x
ytxdt
dx
To Matlab(chase2)
慢跑者与狗一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率 v=1跑步,设椭圆方程为,x=10+20cost,y=20+5sint,突然有一只狗攻击他,这只狗从原点出发,以恒定速率 w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者,
分别求出 w=20,w=5时狗的运动轨迹,
1,模型建立设时刻 t慢跑者的坐标为 (X(t),Y(t))，狗的坐标为 (x(t),y(t)).
则 X=10+20cost,Y=20+15sint,狗从 (0,0)出发,与导弹追踪问题类似，建立狗的运动轨迹的参数方程,
0)0(,0)0(
)s i n1520(
)s i n1520()c o s2010(
)c o s2010(
)s i n1520()c o s2010(
22
22
yx
yt
ytxt
w
dt
dy
xt
ytxt
w
dt
dx
地中海鲨鱼问题意大利生物学家 Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降,显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？
他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家 V.Volterra，希望建立一个食饵 — 捕食系统的数学模型，
定量地回答这个问题,
年代 1914 1915 1916 1917 1918
百分比 11,9 2 1,4 2 2,1 2 1,2 3 6,4
年代 1919 1920 1921 1922 1923
百分比 2 7,3 1 6,0 1 5,9 1 4,8 1 9,7
1,符号说明：
)(
1
tx ——食饵在 t 时刻的数量； )(
2
tx ——捕食者在 t 时刻的数量；
1
r ——食饵独立生存时的增长率；
2
r ——捕食者独自存在时的死亡率；
1
——捕食者掠取食饵的能力；
2
——食饵对捕食者的供养能力,
e— 捕获能力系数
2,基本假设：
（ 1 ） 食饵由于捕食者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正比；
（ 2 ）捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长，假定增长的程度与食饵数量成正比。
3,模型建立与求解模型 （一） 不考虑人工捕获
)(
2111
1
xrx
dt
dx
)(
1222
2
xrx
dt
dx
该 模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是 Volterra提出的最简单的模型,
针对一组具体的数据用 M a t l a b 软件进行计算,
设食饵和捕食者的初始数量分别为
101
)0( xx?,
202
)0( xx?
对于数据 2,25,02.0,5.0,1.0,1
20102211
xxrr,
t 的终值经试验后确定为 15,即模型为：
2)0(,25)0(
)02.05.0(
)1.01(
21
12
'
2
21
'
1
xx
xxx
xxx
模型（二） 考虑人工捕获设表示捕获能力的系数为 e,相当于食饵的自然增长率由 r1降为 r1-e,捕食者的死亡率由 r2增为 r2+e
])([
])[(
1222
2
2111
1
xerx
dt
dx
xerx
dt
dx
20,250,02.0,5.0,1.0,1 212211 ）（）（仍取 xxrr
设战前捕获能力系数 e=0.3,战争中降为 e=0.1,则战前与战争中的模型分别为,
2)0(,25)0(
)02.08.0(
)1.07.0(
21
12
2
21
1
xx
xx
dt
dx
xx
dt
dx
2)0(,25)0(
)02.06.0(
)1.09.0(
21
12
2
21
1
xx
xx
dt
dx
xx
dt
dx
实 验 作 业
1,一个小孩借助长度为 a的硬棒，拉或推某玩具,此小孩沿某曲线行走，计算并画出玩具的轨迹,
2,讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系,
（ 1）若国民平均收入 x与按人口平均资金积累 y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率 k大于人口的相对增长率 r时，国民平均收入才是增长的,
（ 2）作出 k(x)和 r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果,
返 回
2
§ 2,人口模型
t ê±?ì μà 3¤?ê ￡o
)(
)(
)(
l i m)(
0 tx
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x
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t
设 t 时刻 人口 数 为 )( tx,经过 t? 时间后,人 数变为
xtx)(,则从 t 时刻到 tt 时刻的平均增长速度为
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x
，
相对增长率为 ()
x
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。
3
基本假设,人口的相对增长率为常数 r.
0( 0 )
x rx
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r B D
B,Birth rate D,Death rate
人口函数,0 rtx x e?
Malthus模型
Malthus模型特点,在有限的时间内,在生存空间和食物供应充足的环境下,Malthus人口模型是比较准确的 ; 但是,由于生存空间有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害,以及人为控制人口增长等等原因,Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增长情况,
Logistic阻滞增长模型基本假设,人口的相对增长率随着人口数量的增加而减少,当人数超过某饱和值 N 后,相对增长率为负,
( 1 )xx r x N
5
( i ) 在无捕捞条件下 )( tx 的增长服从 L og is ti c 规律,
t ê±?ì ó? 3D μ? ó? áa )( tx ￡? 2￠?ù éa ￡o
§ 3,捕鱼模型
( ii ) 单位时间的 捕捞量 )( xh 与渔场鱼量成正比,比例系数为 E ( 捕捞强度 ),即,()h x E x?
其中 r 为固有增长率,N 为环境允许的最大鱼量。
)1()()( Nxrxxftx
( ) ( ) ( ) ( 1 )x t f x h x xrx E xN()Fx?
产量模型
( ) ( ) ( ) ( 1 )x t f x h x xrx E xN
7
假设,鱼的销售单价 (p ri c e) 为常数 p,单位捕捞强度 ( 如每条出海渔船 ) 的费用 (c o s t) 为常数 c,
T,单位时间的收入
S,单位时间的支出
R,单位时间的利润
ExNxrxxhxfxFtx )1()()()()(
鱼量方程同产量模型：
效益模型
8
其中 )( tx —— 种群 甲 在 t 时刻的总数 ( 0)(?tx ) ;
)( ty —— 种群 乙 在 t 时 刻的总数 ( 0)(?ty ),
),()(
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222120
121110
yxgyaxaay
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dt
dx以两种群为例：A、弱肉强食； B、相互依存； C、相互竞争
Lotka-Volterra 模型：
§ 4,生态数学模型捕食者 (Predator)－食饵 (Prey)系统假设食饵 甲 没有密度限制,独立存在 时显指数 增长，即 ()x t a x?,捕食者使食饵减少；捕食者 乙没有食饵 甲的存在就会死亡 。
(,,,0 )x ax bx y a b c dy c y dx y
(1)
10
模型的延伸应用,杀虫济的影响
1
2
()()
( ) ( )
xx kxa b yx x a b y
y y c d x y y d x kc y
1 0 1 1 1 2 1 1
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( ) ( 1 )
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x a a x a y r x
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d y x y
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d t N N
竞争模型
r1,r2,固有增长率 ; N1,N2:饱和量 ;?1,? 2:竞争力
12
相互依存模型
éa?×?é òà á￠ ′ú ￡? °′ L o g i s t i c 1é 3¤ ￡′ ￡?
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实验目的实验内容
2、学会用 Matlab求微分方程的数值解,
1、学会用 Matlab求简单微分方程的解析解,
1,求简单微分方程的解析解,
4、实验作业,
2、求微分方程的数值解,
3,数学建模实例
1、目标跟踪问题一：导弹追踪问题
2、目标跟踪问题二：慢跑者与狗
3、地中海鲨鱼问题返 回数学建模实例导弹追踪问题设位于坐标原点的甲舰向位于 x轴上点 A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰,如果乙舰以最大的速度
v0(是常数 )沿平行于 y轴的直线行驶，导弹的速度是 5v0，求导弹运行的曲线方程,又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？
解法一 （解析法）
假设导弹在 t 时刻的位置为 P ( x ( t ),y ( t ) ),乙舰位于 ),1( 0 tvQ,
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线 PQ
就是导弹的轨迹曲线弧 OP 在点 P 处的切线，
即有
x
ytv
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1
' 0
即 yyxtv ')1(0 ( 1)
又根据题意，弧 OP 的长度为 AQ 的 5 倍，
即 tvdxy
x
00
2 5'1 ( 2 )
由 (1),(2)消去 t整理得模型,
( 3 ) '151")1( 2yyx
初值条件为,0)0(?y 0)0('?y
解即为导弹的运行轨迹,
24
5)1(
12
5)1(
8
5 5654 xxy
当 1?x 时
24
5
y,即当乙舰航行到点 )
24
5
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被击中时间为,
00 24
5
vv
y
t,若 v 0 =1,则在 t =0,2 1 处被击中,
解法三 (建立参数方程求数值解 )
设时刻 t乙舰的坐标为 (X(t),Y(t))，导弹的坐标为 (x(t),y(t)).
1,设导弹速度恒为 w,则 222 )()( wdtdydtdx （ 1 ）
2,由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量，
即,
yY
xX
dt
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dx
,0 （ 2 ）
消去 λ 得：
)(
)()(
)(
)()(
22
22
yY
yYxX
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（ 3 ）
3．因乙舰以速度 v0沿直线 x=1运动，设 v0=1，则 w=5,X=1,Y=t
因此导弹运动轨迹的参数方程为：
0)0(,0)0(
)(
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5
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)()1(
5
22
22
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To Matlab(chase2)
慢跑者与狗一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率 v=1跑步,设椭圆方程为,x=10+20cost,y=20+5sint,突然有一只狗攻击他,这只狗从原点出发,以恒定速率 w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者,
分别求出 w=20,w=5时狗的运动轨迹,
1,模型建立设时刻 t慢跑者的坐标为 (X(t),Y(t))，狗的坐标为 (x(t),y(t)).
则 X=10+20cost,Y=20+15sint,狗从 (0,0)出发,与导弹追踪问题类似，建立狗的运动轨迹的参数方程,
0)0(,0)0(
)s i n1520(
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)c o s2010(
)s i n1520()c o s2010(
22
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地中海鲨鱼问题意大利生物学家 Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降,显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？
他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家 V.Volterra，希望建立一个食饵 — 捕食系统的数学模型，
定量地回答这个问题,
年代 1914 1915 1916 1917 1918
百分比 11,9 2 1,4 2 2,1 2 1,2 3 6,4
年代 1919 1920 1921 1922 1923
百分比 2 7,3 1 6,0 1 5,9 1 4,8 1 9,7
1,符号说明：
)(
1
tx ——食饵在 t 时刻的数量； )(
2
tx ——捕食者在 t 时刻的数量；
1
r ——食饵独立生存时的增长率；
2
r ——捕食者独自存在时的死亡率；
1
——捕食者掠取食饵的能力；
2
——食饵对捕食者的供养能力,
e— 捕获能力系数
2,基本假设：
（ 1 ） 食饵由于捕食者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正比；
（ 2 ）捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长，假定增长的程度与食饵数量成正比。
3,模型建立与求解模型 （一） 不考虑人工捕获
)(
2111
1
xrx
dt
dx
)(
1222
2
xrx
dt
dx
该 模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是 Volterra提出的最简单的模型,
针对一组具体的数据用 M a t l a b 软件进行计算,
设食饵和捕食者的初始数量分别为
101
)0( xx?,
202
)0( xx?
对于数据 2,25,02.0,5.0,1.0,1
20102211
xxrr,
t 的终值经试验后确定为 15,即模型为：
2)0(,25)0(
)02.05.0(
)1.01(
21
12
'
2
21
'
1
xx
xxx
xxx
模型（二） 考虑人工捕获设表示捕获能力的系数为 e,相当于食饵的自然增长率由 r1降为 r1-e,捕食者的死亡率由 r2增为 r2+e
])([
])[(
1222
2
2111
1
xerx
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20,250,02.0,5.0,1.0,1 212211 ）（）（仍取 xxrr
设战前捕获能力系数 e=0.3,战争中降为 e=0.1,则战前与战争中的模型分别为,
2)0(,25)0(
)02.08.0(
)1.07.0(
21
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xx
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dx
实 验 作 业
1,一个小孩借助长度为 a的硬棒，拉或推某玩具,此小孩沿某曲线行走，计算并画出玩具的轨迹,
2,讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系,
（ 1）若国民平均收入 x与按人口平均资金积累 y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率 k大于人口的相对增长率 r时，国民平均收入才是增长的,
（ 2）作出 k(x)和 r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果,
返 回
