IT Education & TrainingDate:30 July 2009
数据结构
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第一部分 数据结构基础知识
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数据结构
数据结构,是一门研究非数值计算的程序设计问题中计算机操作对象以及它们之间的关系和操作等等的学科。
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基本概念
数据：是对客观事物的符号表示，在计算机科学中是指所有能输入到计算机中并被计算机程序处理的符号的总称。
数据元素：是数据的基本单位，在计算机程序中通常作为一个整体进行考虑和处理。
数据结构：是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
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数据的逻辑结构数据的存储结构数据的运算：检索、排序、插入、删除、修改等线性结构非线性结构顺序存储链式存储线性表栈队树形结构图形结构数据结构的三个方面：
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主要内容
1.1 线性表以及其应用
1.2 栈、队列
1.3 排序、查找
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1.1 线性表以及其应用（ 1）
线性表
– 分为静态线性表和动态线性表
– 静态线性表
特征：表中节点的存储是连续的，占用一块连续存储区，一般节点的数量是固定的；
存储表示如下图
数据结构如下图数据 1
后继,2
数据 2
后继,3
数据 3
后继,4
……
……
数据 n-1
后继,n
数据 n
end
typedef struct {
Data_t data; //数据域
int next; //后继域
}Node_t,*PNode_t;
//提供的操作有
：初始化、插入、删除等。
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线性表
顺序存储结构特定：借助元素在存储器中的相对位臵（即，物理位臵相邻）来表示数据元素之间的逻辑关系。
缺点：
插入、删除时，需移动大量数据。
一次性分配内存空间。
表的容量难以扩充。
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图顺序存储结构内存结构示意图
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1.1 线性表以及其应用（ 2）
– 动态线性表
特征：表中节点的存储是不连续的，一般节点的数量是不固定的；
存储表示如下图
数据结构如下图
typedef struct {
Data_t data; //数据域
Node_t* next; //后继域
}Node_t,*PNode_t;
//提供的操作有
：初始化、插入、删除等。
数据 1
后继数据 2
后继数据 3
后继
……
……
数据 n-1
后继数据 n
end
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链式存储结构
链式存储结构是计算机中的另一种最基本和最主要的数据存储结构 。 和顺序存储结构不同,初始时链式存储结构为空链,每当有新的数据元素需要存储时用户向系统动态申请所需的存储空间插入链中 。
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链式存储结构
每个结点有两个域，其中存储数据元素信息的域称为整数域；存储直接后继存储位臵的域称为指针域。
struct Node{
int data;
struct Node *Next;
};
typedef struct Node Node_t;
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链式存储结构存储线性结构数据元素集合的方法是用结 点 （ Node） 构造链 。 线性结构数据元素的特点是：除第一个和最后一个元素外,每个元素只有一个惟一的前驱和一个惟一的后继 。 链式结构中每个结点除数据域外还有一个或一个以上的指针域,
数据域用来存放数据元素,指针域用来构造数据元素之间的关系 。 只有一个指针域的结点结构如图所示 。
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图只有一个指针域的结点结构数据域 指针域 data next或
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根据指针域的不同和结点构造链的方法不同,链式存储 结构存储线性结构数据元素的方法主要有单链、
单循环链和双向循环链等三种。 这三种结构中每一种又有带头结点结构和不带头结点结构两种。 头结点是指头指针所指的不存放数据元素的结点。 其中，
带头结点的链式结构在表的存储中更为常用,不带头结点的链式结构在堆栈和队列的存储中更为常用。
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我们把图中头结点的数据域部分涂上阴影,以明显表示该结点为头结点 。 图 2和图 3中的指针域为指向下一个结点的指针 。 图 4中结点右部的指针域为指向下一个结点的指针,结点左部的指针域为指向上一个结点的指针 。 在以后的图示中,头指针将用
head表示 。
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图 2 带头结点的单链结构
(a)空链； (b)非空链头指针 头指针 a 0 a 1 … a n － 1
( a ) ( b )
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图 3 带头结点的单循环链结构
(a)空链； (b)非空链头指针 头指针 a 0 a 1 … a n － 1
( a ) ( b )
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图 4 带头结点的双循环链结构
(a)空链； (b)非空链头指针 头指针 a 0 a 1 … a n － 1
( a ) ( b )
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图中的符号,∧,表示空指针,空指针在算法描述中用 NULL表示 。 空指针是一个特殊标识,用来标识链的结束 。 NULL在 C中宏定义为 0,因此空指针在 C中也就是 0地址 。 为与顺序表中数据元素从 a0开始相一致,讨论链表时数据元素也从 a0开始 。
链式存储结构也可以方便地存储非线性结构的数据元素 。 链式存储结构存储非线性结构数据元素的最典型的例子是链式结构的二叉树 。
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添加
插入
删除
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图 单链表在第一个位置删除结点过程
h e a d a 0 a 1 … a n － 1
p=a.next;
a.next=a.next.next;
dispose(p);
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图 单链表在第一个位置插入结点过程
（ a）插入前； （ b）插入后
new(s); s.data=x;
s.next=a.next;a.next=s;
head a0 a1 … an￡ 1
xs
( a )
head a0 a1 … an￡ 1
x
( b )
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循环链表 (circular linked list)
– 循环链表是表中最后一个结点的指针指向头结点，使链表构成环状
– 特点：从表中任一结点出发均可找到表中其他结点，提高查找效率
– 操作与单链表基本一致,循环条件不同
单链表 p或 p->next=NULL
循环链表 p或 p->next=Hh
h 空表
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双向链表
– 双向链表 (Double linked list):
– 在单链表的每个结点里再增加一个指向其直接前趋的指针域 prior。这样就形成的链表中有两个方向不同的链，故称为双向链表。
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双向链表（ double linked list）
– 结点定义
Typedet struct DuLNode{
ElemType data;
struct DuLNode *prior;
struct DuLNode *next;
} DuLNode,*DuLinkList;
prior element next
L空双向 循环 链表：
非空双向循环链表,L A Bb ca
p
p->prior->next= p= p->next->proir;
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栈和队列栈和队列是两种特殊的线性表，是 操作受限 的线性表栈（ stack）
一、栈的定义和特点
定义：限定仅在 表尾 进行插入或删除操作的线性表，
表尾 —栈顶,表头 —栈底,不含元素的空表称空栈
特点：先进后出（ FILO） 或后进先出（ LIFO）
an
a1
a2
……...
栈底栈顶
..,出栈进栈栈 s=(a1,a2,……,an)
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栈的表示和实现栈有两种存储表示方法,
顺序栈
链栈
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顺序栈
–实现：
top=0
1
2
3
4
5
0
栈空栈顶指针 top,指向实际栈顶后的空位置，初值为 0
top 1
2
3
4
5
0
进栈
A
top
出栈栈满
B
C
D
E
F
栈的初始空间为 M
top=0,栈空，此时出栈，则 下溢 （ underflow)
top=M,栈满，此时入栈，则 上溢 （ overflow)
top
top
top
top
top
1
2
3
4
5
0A
B
C
D
E
Ftop
top
top
top
top
top
栈空
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链栈栈顶
^…...top data link
栈底
–入栈算法
–出栈算法
^…...
栈底
toptop
xp
top
^…...
栈底
top
q
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栈的应用举例由于栈结构具有的后进先出的固有特性，致使栈成为程序设计中常用的工具。
数制转换十进制 N和其它进制数的转换是计算机实现计算的基本问题,其解决方法很多,其中一个简单算法基于下列原理,
N=(n div d)*d+n mod d
( 其中,div为整除运算,mod为求余运算 )
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例如 (159)10=(237)8,其运算过程如下,
n n div 8 n mod 8
159 19 7
19 2 3
2 0 2
实际情况,
(159)10=(237)8
1598
198
28
0 2 3 7
余 7
余 3
余 2 top
top
7
top
7
3
top
7
3
2
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队列
– 队列的定义及特点
定义：队列是限定只能在表的一端进行插入，在表的另一端进行删除的线性表
–队尾 (rear)——允许插入的一端
–队头 (front)——允许删除的一端
队列特点：先进先出 (FIFO)
a1 a2 a3…………………….an 入队出队
front rear
队列 Q=(a1,a2,……,an)
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– 队列的顺序存储结构
实现：用一维数组实现 sq[M]
front=0
rear=0
1
2
3
4
5
0
队空
1
2
3
4
5
0front
J1,J1,J3入队
J1
J2
J3
rear
rear
1
2
3
4
5
0
J4,J5,J6入队
J4
J5
J6
front
设两个指针 front,rear,约定：
rear指示队尾元素后一位置；
front指示队头元素位置初值 front=rear=0
空队列条件,front==rear
入队列,sq[rear++]=x;
出队列,x=sq[++front];
rear
rear
front
rear
1
2
3
4
5
0
J1,J2,J3出队
J1
J2
J3
front
front
front
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存在问题设数组长度为 M,则：
– 当 front=0,rear=M时，再有元素入队发生溢出 ——真溢出
– 当 front?0,rear=M时，再有元素入队发生溢出 ——假溢出
解决方案
– 队首固定，每次出队剩余元素向下移动 ——浪费时间
– 循环队列
基本思想：把队列 设想成环形,让 sq[0]接在 sq[M-1]之后，若 rear+1==M,则令 rear=0;
0
M-1
1
front
rear
实现：利用“模”运算
入队,rear=(rear+1)%M; sq[rear]=x;
出队,front=(front+1)%M;
x=sq[front];
队满、队空判定条件
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循环队列上的插入操作（进队列）
Status EnQueue(SqQueue &Q,QElemType e) {
if((Q.rear + 1) % MXASIZE = =Q.front) return ERROR; // 队列满
Q.base[Q.rear] = e; // 新元素存放到队尾
Q.rear = (Q.rear+ 1)% MAXQSIZE; // 修改队为指示器
return OK;
}
0 1 0 1 C 0 17 2 7 2 7 2 C
6 3 6 3 6 35 4 5 4 5 4
A B A B
D D
E F E
G
图 3-13 循环队列上的插入
Q.rearQ.rear
Q.rear
Q.frontQ.frontQ.front
满队列空队列
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3）循环队列的删除 把队头元素删除
Status DeQueue(SqQueue &Q,QElemType e){
if (Q.front = = Q.rear) return ERROR; // 队列空
e= Q.base[Q.front]; // 删除当前队头元素
Q.front = (Q.front + 1) % MAXQSIZE; // 修改队头指示器
return OK;
}
G
A B
C C
D G D
F E F E
图 3-14 循环队列的删除过程
Q.rearQ.rearQ.rear
Q.front
（ 1）满 （ 2）删除 A,B后的队列 （ 3） 删除最后一个元素空队列
Q.front
Q.front
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– 链队列
结点定义 typedef struct Qnode
{ QElemType data;
struct Qnode *next;
}Qnode,*QueuePtr;
头结点
^…...front
队头 队尾
rear
设队首、队尾指针 front和 rear,
front指向头结点,rear指向队尾
typedef struct
{ QueuePtr front;
QueuePtr rear;
}LinkQueue;
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front rear
x入 队 ^x
front rear
y入 队 x ^y
front rear
x出 队 x ^y
front rear
空队 ^
front rear
y出 队 ^
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1.1 线性表以及其应用（ 3）
线性表的应用－－ 索引表
– 引出
为便于对数据（线性数据和非线性数据）进行检索和更新 ；
– 定义
对数据进行索引的线性表；
– 分类
索引可以分为单级索引和多级索引
单级索引的图示（如下图）
数据 1 数据 2 数据 3
数据 4
…… 数据 n数据 n-1
数据 1的地址数据 1的 Key值数据 2的地址数据 2的 Key值
……
……
数据 n-1的地址数据 n-1的 Key值数据 n的地址数据 n的 Key值原始数据：
索引表：
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1.1 线性表以及其应用（ 4）
多级索引 (以 2级为例 )的图示数据 1
数据 2
数据 3
数据 4
…… 数据 n-2
数据 n-1
数据 1的地址数据 1的 Key值数据 4的地址数据 4的 Key值数据组 1的地址数据组 1的 key值数据 n-3的地址数据 n-3的 Key值数据 n的地址数据 n的 Key值原始数据：
一级索引表：
数据 n-3
数据 n
… ………
二级索引表,……
……
数据组 2的地址数据组 2的 key值
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1.1 线性表以及其应用（ 5）
– 使用索引表的好处
可以将一些非线性的问题转换为了线性问题加以解决
提高数据检索的效率
便于数据的更新
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1.2 栈、队列
栈
– 栈的数据结构有什么特点
– 栈有什么样的应用
队列
– 队列的数据结构有什么特点
– 队列有什么样的用途
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查找
– 查找 ——也叫检索，是根据给定的某个值，在表中确定一个关键字等于给定值的记录或数据元素
– 关键字 ——是数据元素中某个数据项的值，它可以标识一个数据元素
– 查找方法评价
查找速度
占用存储空间多少
算法本身复杂程度
平均查找长度 ASL(Average Search Length),为确定记录在表中的位臵，需和给定值进行比较的关键字的个数的期望值叫查找算法的 ~
个元素所需比较次数为找到表中第个元素的概率，为查找表中第其中：
个记录的表，对含有
ic
pip
cpA S Ln
i
n
i
ii
n
i
ii
1
1
1
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顺序查找
– 查找过程：从表的一端开始逐个进行记录的关键字和给定值的比较
– 算法描述
Ch7_1.c
i
例 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
找 64
64
监视哨
i i i i
比较次数 =5比较次数：
查找第 n个元素,1
查找第 n-1个元素,2
……….
查找第 1个元素,n
查找第 i个元素,n+1-i
查找失败,n+1
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– 顺序查找方法的 ASL
2
1
2
)1(11
1
11
nnn
n
i
n
cpA S L
n
p
n
i
n
i
ii
i
则概率相等设表中每个元素的查找
n
i
ii cpA S Ln
1
个记录的表，对含有
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折半查找
– 查找过程：每次将待查记录所在区间缩小一半
– 适用条件：采用顺序存储结构的有序表
– 算法实现
设表长为 n,low,high和 mid分别指向待查元素所在区间的上界、下界和中点,k为给定值
初始时，令 low=1,high=n,mid=?(low+high)/2?
让 k与 mid指向的记录比较
–若 k==r[mid].key,查找成功
–若 k<r[mid].key,则 high=mid-1
–若 k>r[mid].key,则 low=mid+1
重复上述操作，直至 low>high时，查找失败
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– 算法描述
low highmid
例 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 115 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
找 21
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
low highmid
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
low highmid
Ch7_2.c
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例 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 115 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
low highmid
找 70
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
low highmid
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
low high
mid
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
low highmid
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
lowhigh
11852
10741
93
6判定树：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
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分块查找
– 查找过程：将表分成几块，块内无序，块间有序；先确定待查记录所在块，再在块内查找
– 适用条件：分块有序表
– 算法实现
用数组存放待查记录,每个数据元素至少含有关键字域
建立索引表，每个索引表结点含有最大关键字域和指向本块第一个结点的指针
– 算法描述
Ch7_3.c
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
22 12 13 8 9 20 33 42 44 38 24 48 60 58 74 57 86 53
22 48 86
1 7 13
索引表查 38
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ASL 最大 最小 两者之间表结构 有序表、无序表 有序表 分块有序表存储结构 顺序存储结构线性链表顺序存储结构 顺序存储结构线性链表查找方法比较顺序查找 折半查找 分块查找
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哈希查找
– 基本思想：在记录的存储地址和它的关键字之间建立一个确定的对应关系；这样，不经过比较，一次存取就能得到所查元素的查找方法
– 定义
哈希函数 ——在记录的关键字与记录的存储地址之间建立的一种对应关系叫 ~
–哈希函数是一种映象，是从关键字空间到存储地址空间的一种映象
–哈希函数可写成,addr(ai)=H(ki)
ai是表中的一个元素
addr(ai)是 ai的存储地址
ki是 ai的关键字关键字集合存储地址集合
hash
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哈希表 ——应用哈希函数，由记录的关键字确定记录在表中的地址，并将记录放入此地址，这样构成的表叫 ~
哈希查找 ——又叫散列查找，利用哈希函数进行查找的过程叫 ~
例 30个地区的各民族人口统计表编号 地区别 总人口 汉族 回族 …...
1 北京
2 上海
…..,…...
以编号作关键字，
构造 哈希函数,H(key)=key
H(1)=1
H(2)=2
以地区别作关键字，取地区名称第一个拼音字母的序号作哈希函数,H(Beijing)=2
H(Shanghai)=19
H(Shenyang)=19
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从例子可见：
–哈希函数只是一种映象，所以哈希函数的设定很灵活，只要使任何关键字的哈希函数值都落在表长允许的范围之内即可
–冲突,key1?key2,但 H(key1)=H(key2)的现象叫 ~
–同义词：具有相同函数值的两个关键字，叫该哈希函数的 ~
–哈希函数通常是一种压缩映象，所以冲突不可避免,只能尽量减少；同时，冲突发生后，应该有处理冲突的方法
– 哈希函数的构造方法
直接定址法
–构造：取关键字或关键字的某个线性函数作哈希地址，即 H(key)=key 或 H(key)=a·key+b
–特点
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数字分析法
–构造：对关键字进行分析，取关键字的若干位或其组合作哈希地址
–适于关键字位数比哈希地址位数大，且可能出现的关键字事先知道的情况例 有 80个记录，关键字为 8位十进制数，哈希地址为 2位十进制数
8 1 3 4 6 5 3 2
8 1 3 7 2 2 4 2
8 1 3 8 7 4 2 2
8 1 3 0 1 3 6 7
8 1 3 2 2 8 1 7
8 1 3 3 8 9 6 7
8 1 3 6 8 5 3 7
8 1 4 1 9 3 5 5
…..
…..
分析,?只取 8
只取 1
只取 3,4
只取 2,7,5
数字分布近乎随机所以：取任意两位或两位与另两位的叠加作哈希地址
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平方取中法
–构造：取关键字平方后中间几位作哈希地址
–适于不知道全部关键字情况
折叠法
–构造：将关键字分割成位数相同的几部分，然后取这几部分的叠加和（舍去进位）做哈希地址
–种类
移位叠加：将分割后的几部分低位对齐相加
间界叠加：从一端沿分割界来回折送，然后对齐相加
–适于关键字位数很多，且每一位上数字分布大致均匀情况例 关键字为,0442205864，哈希地址位数为 4
5 8 6 4
4 2 2 0
0 4
1 0 0 8 8
H(key)=0088
移位叠加
5 8 6 4
0 2 2 4
0 4
6 0 9 2
H(key)=6092
间界叠加
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除留余数法
–构造：取关键字被某个不大于哈希表表长 m的数
p除后所得余数作哈希地址，即 H(key)=key
MOD p,p?m
–特点
简单、常用，可与上述几种方法结合使用
p的选取很重要； p选的不好，容易产生同义词
随机数法
–构造：取关键字的随机函数值作哈希地址，即
H(key)=random(key)
–适于关键字长度不等的情况
选取哈希函数，考虑以下因素：
–计算哈希函数所需时间
–关键字长度
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– 处理冲突的方法
开放定址法
–方法：当冲突发生时，形成一个探查序列；沿此序列逐个地址探查，直到找到一个空位臵（开放的地址），将发生冲突的记录放到该地址中，即
Hi=(H(key)+di)MOD m,i=1,2,……k(k?m-1)
其中,H(key)——哈希函数
m——哈希表表长
di——增量序列
–分类
线性探测再散列,di=1,2,3,……m -1
二次探测再散列,di=12,-12,22,-
22,32,…… ± k2(k?m/2)
伪随机探测再散列,di=伪随机数序列
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例 表长为 11的哈希表中已填有关键字为 17,60,29的记录，
H(key)=key MOD 11,现有第 4个记录，其关键字为 38，
按三种处理冲突的方法，将它填入表中
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
60 17 29
(1) H(38)=38 MOD 11=5 冲突
H1=(5+1) MOD 11=6 冲突
H2=(5+2) MOD 11=7 冲突
H3=(5+3) MOD 11=8 不冲突
38
(2) H(38)=38 MOD 11=5 冲突
H1=(5+12) MOD 11=6 冲突
H2=(5-12) MOD 11=4 不冲突
38
(3) H(38)=38 MOD 11=5 冲突设伪随机数序列为 9，则：
H1=(5+9) MOD 11=3 不冲突
38
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再哈希法
–方法：构造若干个哈希函数，当发生冲突时，计算下一个哈希地址，即,Hi=Rhi(key)
i=1,2,……k
其中,Rhi——不同的哈希函数
–特点：计算时间增加
链地址法
–方法：将所有关键字为同义词的记录存储在一个单链表中，并用一维数组存放头指针
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例 已知一组关键字 (19,14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79)
哈希函数为,H(key)=key MOD 13,
用链地址法处理冲突
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
^
1 27 79
68 55
19 84
20
23 10
11
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
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– 哈希查找过程及分析
哈希查找过程给定 k值计算 H(k)
此地址为空关键字 ==k
查找失败查找成功按处理冲突方法计算 Hi
Y
N
Y
N
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哈希查找分析
–哈希查找过程仍是一个给定值与关键字进行比较的过程
–评价哈希查找效率仍要用 ASL
–哈希查找过程与给定值进行比较的关键字的个数取决于：
哈希函数
处理冲突的方法
哈希表的填满因子?=表中填入的记录数 /哈希表长度
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例 已知一组关键字 (19,14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79)
哈希函数为,H(key)=key MOD 13,哈希表长为 m=16，
设每个记录的查找概率相等
(1) 用线性探测再散列处理冲突，即 Hi=(H(key)+di) MOD m
H(55)=3 冲突,H1=(3+1)MOD16=4
冲突,H2=(3+2)MOD16=5
H(79)=1 冲突,H1=(1+1)MOD16=2
冲突,H2=(1+2)MOD16=3
冲突,H3=(1+3)MOD16=4
冲突,H4=(1+4)MOD16=5
冲突,H5=(1+5)MOD16=6
冲突,H6=(1+6)MOD16=7
冲突,H7=(1+7)MOD16=8
冲突,H8=(1+8)MOD16=9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ASL=(1*6+2+3*3+4+9)/12=2.5
14 1 68 27 55 19 20 84 79 23 11 10
H(19)=6
H(14)=1
H(23)=10
H(1)=1 冲突,H1=(1+1) MOD16=2
H(68)=3
H(20)=7
H(84)=6 冲突,H1=(6+1)MOD16=7
冲突,H2=(6+2)MOD16=8
H(27)=1 冲突,H1=(1+1)MOD16=2
冲突,H2=(1+2)MOD16=3
冲突,H3=(1+3)MOD16=4
H(11)=11
H(10)=10 冲突,H1=(10+1)MOD16=11
冲突,H2=(10+2)MOD16=12
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(2) 用链地址法处理冲突
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
^
1 27 79
68 55
19 84
20
23 10
11
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
ASL=(1*6+2*4+3+4)/12=1.75
关键字 (19,14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79)
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– 哈希查找算法实现
用线性探测再散列法处理冲突
–实现
查找过程：同前
删除：只能作标记，不能真正删除
插入：遇到空位臵或有删除标记的位臵就可以插入
–算法描述：
用外链表处理冲突算法
Ch7_4.c
Ch7_5.c
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排序
– 排序定义 ——将一个数据元素（或记录）的任意序列，重新排列成一个按关键字有序的序列叫 ~
– 排序分类
按待排序记录所在位臵
–内部排序：待排序记录存放在内存
–外部排序：排序过程中需对外存进行访问的排序
按排序依据原则
–插入排序：直接插入排序、折半插入排序、
希尔排序
–交换排序：冒泡排序、快速排序
–选择排序：简单选择排序、堆排序
–归并排序,2-路归并排序
–基数排序
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插入排序
– 直接插入排序
排序过程：整个排序过程为 n-1趟插入，即先将序列中第 1个记录看成是一个有序子序列，
然后从第 2个记录开始，逐个进行插入，直至整个序列有序? 算法描述
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例 49 38 65 97 76 13 27
i=2 38 (38 49) 65 97 76 13 27
i=3 65 (38 49 65) 97 76 13 27
i=4 97 (38 49 65 97) 76 13 27
i=5 76 (38 49 65 76 97) 13 27
i=6 13 (13 38 49 65 76 97) 27
i=1 ( )
i=7 (13 38 49 65 76 97) 2727
jj j jjj
977665493827
(13 27 38 49 65 76 97)排序结果：
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– 折半插入排序
排序过程：用折半查找方法确定插入位臵的排序叫 ~
例 i=1 (30) 13 70 85 39 42 6 20
i=2 13 (13 30) 70 85 39 42 6 20
i=7 6 (6 13 30 39 42 70 85 ) 20
…...
i=8 20 (6 13 30 39 42 70 85 ) 20
s jm
i=8 20 (6 13 30 39 42 70 85 ) 20
s jm
i=8 20 (6 13 30 39 42 70 85 ) 20
s jm
i=8 20 (6 13 30 39 42 70 85 ) 20
sj
i=8 20 (6 13 20 30 39 42 70 85 )
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算法描述
算法评价
–时间复杂度,T(n)=O(n2)
–空间复杂度,S(n)=O(1)
Ch8_2.c
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希尔排序 (缩小增量法 )
排序过程：先取一个正整数 d1<n,把所有相隔
d1的记录放一组，组内进行直接插入排序；然后取 d2<d1,重复上述分组和排序操作；直至
di=1,即所有记录放进一个组中排序为止
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1.3 排序、查找 (1)
排序
– 常用的排序方法－－冒泡排序
– 程序,
void BubbleSort(int a[],n)
{
int i,j;
int x;
for(i=1;i<n;i++) {
for(j=0;j<n-i;j++) { //找到一组中最大的
if(a[j]>a[j+1]) {//进行交换
x = a[j];
a[j] = a[j+1];
a[j+1] = x;
}
};
}
}
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1.3 排序、查找 (2)
– 常用的排序方法－－选择排序
– 程序,
void SelectSort(int a[],int n )
{
int i,j,k;
int x
for (i=1;i<n;i++) { //进行 n-1次选择和交换
k=i-1;
for (j=i;j<n;j++) {
if (a[j]<a[k])
k=j ;
}
x=a[i-1];
a[i-1]=a[k];
a[k]=x ;
}
}
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1.3 排序、查找 (3)
查找
– 常用的查找方法－－折半查找
– 折半查找的前提－－线性表是有序的
– 程序
int BinarySearch(int a[],int N,int x)
{
int low=0,high=N-1; //定义并初始化区间下界和上界变量
int mid; //定义保存中点元素下标的变量
while(low<=high) {
mid=(low+high)/2;
if(x==a[mid])
return mid ;
else if(x<a[mid])
high=mid-1; //在左半侧
else
low=mid+1 ; //在右半侧
}
return -1;
}
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取 d3=1
三趟分组,13 27 48 55 4 49 38 65 97 76
三趟排序,4 13 27 38 48 49 55 65 76 97
例 初始,49 38 65 97 76 13 27 48 55 4
一趟排序,13 27 48 55 4 49 38 65 97 76
二趟排序,13 4 48 38 27 49 55 65 97 76
取 d1=5
一趟分组,49 38 65 97 76 13 27 48 55 4
取 d2=3
二趟分组,13 27 48 55 4 49 38 65 97 76
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算法描述
Ch8_3.c
例 49 38 65 97 76 13 27 48 55 4
#define T 3
int d[]={5,3,1};
j i
4913 3827
一趟排序,13 27 48 55 4 49 38 65 97 76
j ij i
274
j ij i
55
j i
38
j ij ij i
二趟排序,13 4 48 38 27 49 55 65 97 76
j ij i
6548
j i
9755
j i
764
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希尔排序特点
–子序列的构成不是简单的“逐段分割”，而是将相隔某个增量的记录组成一个子序列
–希尔排序可提高排序速度，因为
分组后 n值减小,n2更小，而 T(n)=O(n2),所以
T(n)从总体上看是减小了
关键字较小的记录跳跃式前移，在进行最后一趟增量为 1的插入排序时，序列已基本有序
–增量序列取法
无除 1以外的公因子
最后一个增量值必须为 1
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交换排序
– 冒泡排序
排序过程
–将第一个记录的关键字与第二个记录的关键字进行比较，若为逆序 r[1].key>r[2].key,则交换；然后比较第二个记录与第三个记录；依次类推，直至第 n-1个记录和第 n个记录比较为止 ——第一趟冒泡排序,结果关键字最大的记录被安臵在最后一个记录上
–对前 n-1个记录进行第二趟冒泡排序，结果使关键字次大的记录被安臵在第 n-1个记录位臵
–重复上述过程，直到“在一趟排序过程中没有进行过交换记录的操作”为止
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例 49
38
65
97
76
13
27
30初始关键字
38
49
65
76
13
27
30
97第一趟
38
49
65
13
27
30
76
第二趟
38
49
13
27
30
65
第三趟
38
13
27
30
49
第四趟
13
27
30
38
第五趟
13
27
30
第六趟
38
49
76
9713
9727
9730
97
13
76
76
7627
30
13
6527
6530
65
13
13
49
4930
4927
3827
3830
38
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算法描述
算法评价
–时间复杂度
最好情况（正序）
比较次数,n-1
移动次数,0
最坏情况（逆序）
比较次数：
)(21)( 21
1
nninn
i
移动次数,)(
23)(3 21 nnin
n
i
–空间复杂度,S(n)=O(1)
T(n)=O(n2)
Ch8_4.c
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– 快速排序
基本思想：通过一趟排序，将待排序记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小，则可分别对这两部分记录进行排序，以达到整个序列有序
排序过程：对 r[s……t] 中记录进行一趟快速排序，
附设两个指针 i和 j,设枢轴记录 rp=r[s],x=rp.key
–初始时令 i=s,j=t
–首先从 j所指位臵向前搜索第一个关键字小于 x的记录，并和 rp交换
–再从 i所指位臵起向后搜索，找到第一个关键字大于 x的记录，和 rp交换
–重复上述两步，直至 i==j为止
–再分别对两个子序列进行快速排序，直到每个子序列只含有一个记录为止
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例 初始关键字,49 38 65 97 76 13 27 50
i j
x
ji
完成一趟排序,( 27 38 13) 49 (76 97 65 50)
分别进行快速排序,( 13) 27 (38) 49 (50 65) 76 (97)
快速排序结束,13 27 38 49 50 65 76 97
4927
i i ji j
49 65
j
13 49
i
49 97
i j
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选择排序
– 简单选择排序
排序过程
–首先通过 n-1次关键字比较，从 n个记录中找出关键字最小的记录，将它与第一个记录交换
–再通过 n-2次比较，从剩余的 n-1个记录中找出关键字次小的记录，将它与第二个记录交换
–重复上述操作，共进行 n-1趟排序后，排序结束
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例 初始,[ 49 38 65 97 76 13 27 ]
k
j j j j j j
k k
i=1 13 49
一趟,13 [38 65 97 76 49 27 ]i=2
k k
j j j jj
27 38
二趟,13 27 [65 97 76 49 38 ]
三趟,13 27 38 [97 76 49 65 ]
四趟,13 27 38 49 [76 97 65 ]
五趟,13 27 38 49 65 [97 76 ]
六趟,13 27 38 49 65 76 [97 ]
排序结束,13 27 38 49 65 76 97
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– 堆排序
堆的定义,n个元素的序列 (k1,k2,……kn),当且仅当满足下列关系时，称之为堆或 (i=1,2,…..,?n/2?)ki?k2iki?k2i+1 ki?k2ik
i?k2i+1
例 （ 96,83,27,38,11,9） 例 （ 13,38,27,50,76,65,49,97）
96
27
91138
83
13
2738
49657650
97
可将堆序列看成完全二叉树，则堆顶元素（完全二叉树的根）必为序列中
n个元素的最小值或最大值
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堆排序：将无序序列建成一个堆，得到关键字最小
（或最大）的记录；输出堆顶的最小（大）值后，
使剩余的 n-1个元素重又建成一个堆，则可得到 n个元素的次小值；重复执行，得到一个有序序列，这个过程叫 ~
堆排序需解决的两个问题：
–如何由一个无序序列建成一个堆？
–如何在输出堆顶元素之后，调整剩余元素，使之成为一个新的堆？
第二个问题解决方法 ——筛选
–方法：输出堆顶元素之后，以堆中最后一个元素替代之；然后将根结点值与左、右子树的根结点值进行比较，并与其中小者进行交换；重复上述操作，直至叶子结点，将得到新的堆，称这个从堆顶至叶子的调整过程为“筛选”
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例 13
2738
49657650
97
97
2738
49657650
13
输出,13
27
4938
97657650
13
输出,13
97
4938
27657650
13
输出,13 27
38
4950
27657697
13
输出,13 27
65
4950
27387697
13
输出,13 27 38
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49
6550
27387697
13
输出,13 27 38
76
6550
27384997
13
输出,13 27 38 49
50
6576
27384997
13
输出,13 27 38 49
97
6576
27384950
13
输出,13 27 38 49 50
65
9776
27384950
13
输出,13 27 38 49 50
97
6576
27384950
13
输出,13 27 38 49 50 65
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76
6597
27384950
13
输出,13 27 38 49 50 65
97
6576
27384950
13
输出,13 27 38 49 50 65 76
97
6576
27384950
13
输出,13 27 38 49 50 65 76 97
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第二部分 问题与习题
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问题
Q1,为了描述并解决先进先出特征的问题，我们一般会采用考虑以下哪种数据结构
A,队列 B,栈 C,树 D,二叉树
Q2,为了描述并解决先进后出特征的问题，我们一般会采用考虑以下哪种数据结构（ ）。
A,队列 B,栈 C,树 D,二叉树
Q3.对线性表进行二分法查找，其前提条件是
A,线性表以顺序方式存储，并且按关键码值排好序
B,线性表以顺序方式存储，并且按关键码值的检索频率排好序
C,线性表以链接方式存储，并且按关键码值排好序
D,线性表以链接方式存储，并且按关键码值的检索频率排好序
数据结构
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第一部分 数据结构基础知识
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数据结构
数据结构,是一门研究非数值计算的程序设计问题中计算机操作对象以及它们之间的关系和操作等等的学科。
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基本概念
数据：是对客观事物的符号表示，在计算机科学中是指所有能输入到计算机中并被计算机程序处理的符号的总称。
数据元素：是数据的基本单位，在计算机程序中通常作为一个整体进行考虑和处理。
数据结构：是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
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数据的逻辑结构数据的存储结构数据的运算：检索、排序、插入、删除、修改等线性结构非线性结构顺序存储链式存储线性表栈队树形结构图形结构数据结构的三个方面：
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主要内容
1.1 线性表以及其应用
1.2 栈、队列
1.3 排序、查找
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1.1 线性表以及其应用（ 1）
线性表
– 分为静态线性表和动态线性表
– 静态线性表
特征：表中节点的存储是连续的，占用一块连续存储区，一般节点的数量是固定的；
存储表示如下图
数据结构如下图数据 1
后继,2
数据 2
后继,3
数据 3
后继,4
……
……
数据 n-1
后继,n
数据 n
end
typedef struct {
Data_t data; //数据域
int next; //后继域
}Node_t,*PNode_t;
//提供的操作有
：初始化、插入、删除等。
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线性表
顺序存储结构特定：借助元素在存储器中的相对位臵（即，物理位臵相邻）来表示数据元素之间的逻辑关系。
缺点：
插入、删除时，需移动大量数据。
一次性分配内存空间。
表的容量难以扩充。
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图顺序存储结构内存结构示意图
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1.1 线性表以及其应用（ 2）
– 动态线性表
特征：表中节点的存储是不连续的，一般节点的数量是不固定的；
存储表示如下图
数据结构如下图
typedef struct {
Data_t data; //数据域
Node_t* next; //后继域
}Node_t,*PNode_t;
//提供的操作有
：初始化、插入、删除等。
数据 1
后继数据 2
后继数据 3
后继
……
……
数据 n-1
后继数据 n
end
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链式存储结构
链式存储结构是计算机中的另一种最基本和最主要的数据存储结构 。 和顺序存储结构不同,初始时链式存储结构为空链,每当有新的数据元素需要存储时用户向系统动态申请所需的存储空间插入链中 。
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链式存储结构
每个结点有两个域，其中存储数据元素信息的域称为整数域；存储直接后继存储位臵的域称为指针域。
struct Node{
int data;
struct Node *Next;
};
typedef struct Node Node_t;
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链式存储结构存储线性结构数据元素集合的方法是用结 点 （ Node） 构造链 。 线性结构数据元素的特点是：除第一个和最后一个元素外,每个元素只有一个惟一的前驱和一个惟一的后继 。 链式结构中每个结点除数据域外还有一个或一个以上的指针域,
数据域用来存放数据元素,指针域用来构造数据元素之间的关系 。 只有一个指针域的结点结构如图所示 。
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图只有一个指针域的结点结构数据域 指针域 data next或
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根据指针域的不同和结点构造链的方法不同,链式存储 结构存储线性结构数据元素的方法主要有单链、
单循环链和双向循环链等三种。 这三种结构中每一种又有带头结点结构和不带头结点结构两种。 头结点是指头指针所指的不存放数据元素的结点。 其中，
带头结点的链式结构在表的存储中更为常用,不带头结点的链式结构在堆栈和队列的存储中更为常用。
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我们把图中头结点的数据域部分涂上阴影,以明显表示该结点为头结点 。 图 2和图 3中的指针域为指向下一个结点的指针 。 图 4中结点右部的指针域为指向下一个结点的指针,结点左部的指针域为指向上一个结点的指针 。 在以后的图示中,头指针将用
head表示 。
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图 2 带头结点的单链结构
(a)空链； (b)非空链头指针 头指针 a 0 a 1 … a n － 1
( a ) ( b )
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图 3 带头结点的单循环链结构
(a)空链； (b)非空链头指针 头指针 a 0 a 1 … a n － 1
( a ) ( b )
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图 4 带头结点的双循环链结构
(a)空链； (b)非空链头指针 头指针 a 0 a 1 … a n － 1
( a ) ( b )
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图中的符号,∧,表示空指针,空指针在算法描述中用 NULL表示 。 空指针是一个特殊标识,用来标识链的结束 。 NULL在 C中宏定义为 0,因此空指针在 C中也就是 0地址 。 为与顺序表中数据元素从 a0开始相一致,讨论链表时数据元素也从 a0开始 。
链式存储结构也可以方便地存储非线性结构的数据元素 。 链式存储结构存储非线性结构数据元素的最典型的例子是链式结构的二叉树 。
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添加
插入
删除
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图 单链表在第一个位置删除结点过程
h e a d a 0 a 1 … a n － 1
p=a.next;
a.next=a.next.next;
dispose(p);
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图 单链表在第一个位置插入结点过程
（ a）插入前； （ b）插入后
new(s); s.data=x;
s.next=a.next;a.next=s;
head a0 a1 … an￡ 1
xs
( a )
head a0 a1 … an￡ 1
x
( b )
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循环链表 (circular linked list)
– 循环链表是表中最后一个结点的指针指向头结点，使链表构成环状
– 特点：从表中任一结点出发均可找到表中其他结点，提高查找效率
– 操作与单链表基本一致,循环条件不同
单链表 p或 p->next=NULL
循环链表 p或 p->next=Hh
h 空表
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双向链表
– 双向链表 (Double linked list):
– 在单链表的每个结点里再增加一个指向其直接前趋的指针域 prior。这样就形成的链表中有两个方向不同的链，故称为双向链表。
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双向链表（ double linked list）
– 结点定义
Typedet struct DuLNode{
ElemType data;
struct DuLNode *prior;
struct DuLNode *next;
} DuLNode,*DuLinkList;
prior element next
L空双向 循环 链表：
非空双向循环链表,L A Bb ca
p
p->prior->next= p= p->next->proir;
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栈和队列栈和队列是两种特殊的线性表，是 操作受限 的线性表栈（ stack）
一、栈的定义和特点
定义：限定仅在 表尾 进行插入或删除操作的线性表，
表尾 —栈顶,表头 —栈底,不含元素的空表称空栈
特点：先进后出（ FILO） 或后进先出（ LIFO）
an
a1
a2
……...
栈底栈顶
..,出栈进栈栈 s=(a1,a2,……,an)
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栈的表示和实现栈有两种存储表示方法,
顺序栈
链栈
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顺序栈
–实现：
top=0
1
2
3
4
5
0
栈空栈顶指针 top,指向实际栈顶后的空位置，初值为 0
top 1
2
3
4
5
0
进栈
A
top
出栈栈满
B
C
D
E
F
栈的初始空间为 M
top=0,栈空，此时出栈，则 下溢 （ underflow)
top=M,栈满，此时入栈，则 上溢 （ overflow)
top
top
top
top
top
1
2
3
4
5
0A
B
C
D
E
Ftop
top
top
top
top
top
栈空
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链栈栈顶
^…...top data link
栈底
–入栈算法
–出栈算法
^…...
栈底
toptop
xp
top
^…...
栈底
top
q
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栈的应用举例由于栈结构具有的后进先出的固有特性，致使栈成为程序设计中常用的工具。
数制转换十进制 N和其它进制数的转换是计算机实现计算的基本问题,其解决方法很多,其中一个简单算法基于下列原理,
N=(n div d)*d+n mod d
( 其中,div为整除运算,mod为求余运算 )
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例如 (159)10=(237)8,其运算过程如下,
n n div 8 n mod 8
159 19 7
19 2 3
2 0 2
实际情况,
(159)10=(237)8
1598
198
28
0 2 3 7
余 7
余 3
余 2 top
top
7
top
7
3
top
7
3
2
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队列
– 队列的定义及特点
定义：队列是限定只能在表的一端进行插入，在表的另一端进行删除的线性表
–队尾 (rear)——允许插入的一端
–队头 (front)——允许删除的一端
队列特点：先进先出 (FIFO)
a1 a2 a3…………………….an 入队出队
front rear
队列 Q=(a1,a2,……,an)
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– 队列的顺序存储结构
实现：用一维数组实现 sq[M]
front=0
rear=0
1
2
3
4
5
0
队空
1
2
3
4
5
0front
J1,J1,J3入队
J1
J2
J3
rear
rear
1
2
3
4
5
0
J4,J5,J6入队
J4
J5
J6
front
设两个指针 front,rear,约定：
rear指示队尾元素后一位置；
front指示队头元素位置初值 front=rear=0
空队列条件,front==rear
入队列,sq[rear++]=x;
出队列,x=sq[++front];
rear
rear
front
rear
1
2
3
4
5
0
J1,J2,J3出队
J1
J2
J3
front
front
front
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存在问题设数组长度为 M,则：
– 当 front=0,rear=M时，再有元素入队发生溢出 ——真溢出
– 当 front?0,rear=M时，再有元素入队发生溢出 ——假溢出
解决方案
– 队首固定，每次出队剩余元素向下移动 ——浪费时间
– 循环队列
基本思想：把队列 设想成环形,让 sq[0]接在 sq[M-1]之后，若 rear+1==M,则令 rear=0;
0
M-1
1
front
rear
实现：利用“模”运算
入队,rear=(rear+1)%M; sq[rear]=x;
出队,front=(front+1)%M;
x=sq[front];
队满、队空判定条件
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循环队列上的插入操作（进队列）
Status EnQueue(SqQueue &Q,QElemType e) {
if((Q.rear + 1) % MXASIZE = =Q.front) return ERROR; // 队列满
Q.base[Q.rear] = e; // 新元素存放到队尾
Q.rear = (Q.rear+ 1)% MAXQSIZE; // 修改队为指示器
return OK;
}
0 1 0 1 C 0 17 2 7 2 7 2 C
6 3 6 3 6 35 4 5 4 5 4
A B A B
D D
E F E
G
图 3-13 循环队列上的插入
Q.rearQ.rear
Q.rear
Q.frontQ.frontQ.front
满队列空队列
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3）循环队列的删除 把队头元素删除
Status DeQueue(SqQueue &Q,QElemType e){
if (Q.front = = Q.rear) return ERROR; // 队列空
e= Q.base[Q.front]; // 删除当前队头元素
Q.front = (Q.front + 1) % MAXQSIZE; // 修改队头指示器
return OK;
}
G
A B
C C
D G D
F E F E
图 3-14 循环队列的删除过程
Q.rearQ.rearQ.rear
Q.front
（ 1）满 （ 2）删除 A,B后的队列 （ 3） 删除最后一个元素空队列
Q.front
Q.front
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– 链队列
结点定义 typedef struct Qnode
{ QElemType data;
struct Qnode *next;
}Qnode,*QueuePtr;
头结点
^…...front
队头 队尾
rear
设队首、队尾指针 front和 rear,
front指向头结点,rear指向队尾
typedef struct
{ QueuePtr front;
QueuePtr rear;
}LinkQueue;
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front rear
x入 队 ^x
front rear
y入 队 x ^y
front rear
x出 队 x ^y
front rear
空队 ^
front rear
y出 队 ^
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1.1 线性表以及其应用（ 3）
线性表的应用－－ 索引表
– 引出
为便于对数据（线性数据和非线性数据）进行检索和更新 ；
– 定义
对数据进行索引的线性表；
– 分类
索引可以分为单级索引和多级索引
单级索引的图示（如下图）
数据 1 数据 2 数据 3
数据 4
…… 数据 n数据 n-1
数据 1的地址数据 1的 Key值数据 2的地址数据 2的 Key值
……
……
数据 n-1的地址数据 n-1的 Key值数据 n的地址数据 n的 Key值原始数据：
索引表：
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1.1 线性表以及其应用（ 4）
多级索引 (以 2级为例 )的图示数据 1
数据 2
数据 3
数据 4
…… 数据 n-2
数据 n-1
数据 1的地址数据 1的 Key值数据 4的地址数据 4的 Key值数据组 1的地址数据组 1的 key值数据 n-3的地址数据 n-3的 Key值数据 n的地址数据 n的 Key值原始数据：
一级索引表：
数据 n-3
数据 n
… ………
二级索引表,……
……
数据组 2的地址数据组 2的 key值
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1.1 线性表以及其应用（ 5）
– 使用索引表的好处
可以将一些非线性的问题转换为了线性问题加以解决
提高数据检索的效率
便于数据的更新
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1.2 栈、队列
栈
– 栈的数据结构有什么特点
– 栈有什么样的应用
队列
– 队列的数据结构有什么特点
– 队列有什么样的用途
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查找
– 查找 ——也叫检索，是根据给定的某个值，在表中确定一个关键字等于给定值的记录或数据元素
– 关键字 ——是数据元素中某个数据项的值，它可以标识一个数据元素
– 查找方法评价
查找速度
占用存储空间多少
算法本身复杂程度
平均查找长度 ASL(Average Search Length),为确定记录在表中的位臵，需和给定值进行比较的关键字的个数的期望值叫查找算法的 ~
个元素所需比较次数为找到表中第个元素的概率，为查找表中第其中：
个记录的表，对含有
ic
pip
cpA S Ln
i
n
i
ii
n
i
ii
1
1
1
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顺序查找
– 查找过程：从表的一端开始逐个进行记录的关键字和给定值的比较
– 算法描述
Ch7_1.c
i
例 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
找 64
64
监视哨
i i i i
比较次数 =5比较次数：
查找第 n个元素,1
查找第 n-1个元素,2
……….
查找第 1个元素,n
查找第 i个元素,n+1-i
查找失败,n+1
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– 顺序查找方法的 ASL
2
1
2
)1(11
1
11
nnn
n
i
n
cpA S L
n
p
n
i
n
i
ii
i
则概率相等设表中每个元素的查找
n
i
ii cpA S Ln
1
个记录的表，对含有
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折半查找
– 查找过程：每次将待查记录所在区间缩小一半
– 适用条件：采用顺序存储结构的有序表
– 算法实现
设表长为 n,low,high和 mid分别指向待查元素所在区间的上界、下界和中点,k为给定值
初始时，令 low=1,high=n,mid=?(low+high)/2?
让 k与 mid指向的记录比较
–若 k==r[mid].key,查找成功
–若 k<r[mid].key,则 high=mid-1
–若 k>r[mid].key,则 low=mid+1
重复上述操作，直至 low>high时，查找失败
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– 算法描述
low highmid
例 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 115 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
找 21
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
low highmid
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
low highmid
Ch7_2.c
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例 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 115 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
low highmid
找 70
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
low highmid
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
low high
mid
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
low highmid
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
lowhigh
11852
10741
93
6判定树：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
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分块查找
– 查找过程：将表分成几块，块内无序，块间有序；先确定待查记录所在块，再在块内查找
– 适用条件：分块有序表
– 算法实现
用数组存放待查记录,每个数据元素至少含有关键字域
建立索引表，每个索引表结点含有最大关键字域和指向本块第一个结点的指针
– 算法描述
Ch7_3.c
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
22 12 13 8 9 20 33 42 44 38 24 48 60 58 74 57 86 53
22 48 86
1 7 13
索引表查 38
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ASL 最大 最小 两者之间表结构 有序表、无序表 有序表 分块有序表存储结构 顺序存储结构线性链表顺序存储结构 顺序存储结构线性链表查找方法比较顺序查找 折半查找 分块查找
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哈希查找
– 基本思想：在记录的存储地址和它的关键字之间建立一个确定的对应关系；这样，不经过比较，一次存取就能得到所查元素的查找方法
– 定义
哈希函数 ——在记录的关键字与记录的存储地址之间建立的一种对应关系叫 ~
–哈希函数是一种映象，是从关键字空间到存储地址空间的一种映象
–哈希函数可写成,addr(ai)=H(ki)
ai是表中的一个元素
addr(ai)是 ai的存储地址
ki是 ai的关键字关键字集合存储地址集合
hash
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哈希表 ——应用哈希函数，由记录的关键字确定记录在表中的地址，并将记录放入此地址，这样构成的表叫 ~
哈希查找 ——又叫散列查找，利用哈希函数进行查找的过程叫 ~
例 30个地区的各民族人口统计表编号 地区别 总人口 汉族 回族 …...
1 北京
2 上海
…..,…...
以编号作关键字，
构造 哈希函数,H(key)=key
H(1)=1
H(2)=2
以地区别作关键字，取地区名称第一个拼音字母的序号作哈希函数,H(Beijing)=2
H(Shanghai)=19
H(Shenyang)=19
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从例子可见：
–哈希函数只是一种映象，所以哈希函数的设定很灵活，只要使任何关键字的哈希函数值都落在表长允许的范围之内即可
–冲突,key1?key2,但 H(key1)=H(key2)的现象叫 ~
–同义词：具有相同函数值的两个关键字，叫该哈希函数的 ~
–哈希函数通常是一种压缩映象，所以冲突不可避免,只能尽量减少；同时，冲突发生后，应该有处理冲突的方法
– 哈希函数的构造方法
直接定址法
–构造：取关键字或关键字的某个线性函数作哈希地址，即 H(key)=key 或 H(key)=a·key+b
–特点
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数字分析法
–构造：对关键字进行分析，取关键字的若干位或其组合作哈希地址
–适于关键字位数比哈希地址位数大，且可能出现的关键字事先知道的情况例 有 80个记录，关键字为 8位十进制数，哈希地址为 2位十进制数
8 1 3 4 6 5 3 2
8 1 3 7 2 2 4 2
8 1 3 8 7 4 2 2
8 1 3 0 1 3 6 7
8 1 3 2 2 8 1 7
8 1 3 3 8 9 6 7
8 1 3 6 8 5 3 7
8 1 4 1 9 3 5 5
…..
…..
分析,?只取 8
只取 1
只取 3,4
只取 2,7,5
数字分布近乎随机所以：取任意两位或两位与另两位的叠加作哈希地址
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平方取中法
–构造：取关键字平方后中间几位作哈希地址
–适于不知道全部关键字情况
折叠法
–构造：将关键字分割成位数相同的几部分，然后取这几部分的叠加和（舍去进位）做哈希地址
–种类
移位叠加：将分割后的几部分低位对齐相加
间界叠加：从一端沿分割界来回折送，然后对齐相加
–适于关键字位数很多，且每一位上数字分布大致均匀情况例 关键字为,0442205864，哈希地址位数为 4
5 8 6 4
4 2 2 0
0 4
1 0 0 8 8
H(key)=0088
移位叠加
5 8 6 4
0 2 2 4
0 4
6 0 9 2
H(key)=6092
间界叠加
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除留余数法
–构造：取关键字被某个不大于哈希表表长 m的数
p除后所得余数作哈希地址，即 H(key)=key
MOD p,p?m
–特点
简单、常用，可与上述几种方法结合使用
p的选取很重要； p选的不好，容易产生同义词
随机数法
–构造：取关键字的随机函数值作哈希地址，即
H(key)=random(key)
–适于关键字长度不等的情况
选取哈希函数，考虑以下因素：
–计算哈希函数所需时间
–关键字长度
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– 处理冲突的方法
开放定址法
–方法：当冲突发生时，形成一个探查序列；沿此序列逐个地址探查，直到找到一个空位臵（开放的地址），将发生冲突的记录放到该地址中，即
Hi=(H(key)+di)MOD m,i=1,2,……k(k?m-1)
其中,H(key)——哈希函数
m——哈希表表长
di——增量序列
–分类
线性探测再散列,di=1,2,3,……m -1
二次探测再散列,di=12,-12,22,-
22,32,…… ± k2(k?m/2)
伪随机探测再散列,di=伪随机数序列
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例 表长为 11的哈希表中已填有关键字为 17,60,29的记录，
H(key)=key MOD 11,现有第 4个记录，其关键字为 38，
按三种处理冲突的方法，将它填入表中
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
60 17 29
(1) H(38)=38 MOD 11=5 冲突
H1=(5+1) MOD 11=6 冲突
H2=(5+2) MOD 11=7 冲突
H3=(5+3) MOD 11=8 不冲突
38
(2) H(38)=38 MOD 11=5 冲突
H1=(5+12) MOD 11=6 冲突
H2=(5-12) MOD 11=4 不冲突
38
(3) H(38)=38 MOD 11=5 冲突设伪随机数序列为 9，则：
H1=(5+9) MOD 11=3 不冲突
38
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再哈希法
–方法：构造若干个哈希函数，当发生冲突时，计算下一个哈希地址，即,Hi=Rhi(key)
i=1,2,……k
其中,Rhi——不同的哈希函数
–特点：计算时间增加
链地址法
–方法：将所有关键字为同义词的记录存储在一个单链表中，并用一维数组存放头指针
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例 已知一组关键字 (19,14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79)
哈希函数为,H(key)=key MOD 13,
用链地址法处理冲突
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
^
1 27 79
68 55
19 84
20
23 10
11
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
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– 哈希查找过程及分析
哈希查找过程给定 k值计算 H(k)
此地址为空关键字 ==k
查找失败查找成功按处理冲突方法计算 Hi
Y
N
Y
N
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哈希查找分析
–哈希查找过程仍是一个给定值与关键字进行比较的过程
–评价哈希查找效率仍要用 ASL
–哈希查找过程与给定值进行比较的关键字的个数取决于：
哈希函数
处理冲突的方法
哈希表的填满因子?=表中填入的记录数 /哈希表长度
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例 已知一组关键字 (19,14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79)
哈希函数为,H(key)=key MOD 13,哈希表长为 m=16，
设每个记录的查找概率相等
(1) 用线性探测再散列处理冲突，即 Hi=(H(key)+di) MOD m
H(55)=3 冲突,H1=(3+1)MOD16=4
冲突,H2=(3+2)MOD16=5
H(79)=1 冲突,H1=(1+1)MOD16=2
冲突,H2=(1+2)MOD16=3
冲突,H3=(1+3)MOD16=4
冲突,H4=(1+4)MOD16=5
冲突,H5=(1+5)MOD16=6
冲突,H6=(1+6)MOD16=7
冲突,H7=(1+7)MOD16=8
冲突,H8=(1+8)MOD16=9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ASL=(1*6+2+3*3+4+9)/12=2.5
14 1 68 27 55 19 20 84 79 23 11 10
H(19)=6
H(14)=1
H(23)=10
H(1)=1 冲突,H1=(1+1) MOD16=2
H(68)=3
H(20)=7
H(84)=6 冲突,H1=(6+1)MOD16=7
冲突,H2=(6+2)MOD16=8
H(27)=1 冲突,H1=(1+1)MOD16=2
冲突,H2=(1+2)MOD16=3
冲突,H3=(1+3)MOD16=4
H(11)=11
H(10)=10 冲突,H1=(10+1)MOD16=11
冲突,H2=(10+2)MOD16=12
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(2) 用链地址法处理冲突
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
^
1 27 79
68 55
19 84
20
23 10
11
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
ASL=(1*6+2*4+3+4)/12=1.75
关键字 (19,14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79)
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– 哈希查找算法实现
用线性探测再散列法处理冲突
–实现
查找过程：同前
删除：只能作标记，不能真正删除
插入：遇到空位臵或有删除标记的位臵就可以插入
–算法描述：
用外链表处理冲突算法
Ch7_4.c
Ch7_5.c
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排序
– 排序定义 ——将一个数据元素（或记录）的任意序列，重新排列成一个按关键字有序的序列叫 ~
– 排序分类
按待排序记录所在位臵
–内部排序：待排序记录存放在内存
–外部排序：排序过程中需对外存进行访问的排序
按排序依据原则
–插入排序：直接插入排序、折半插入排序、
希尔排序
–交换排序：冒泡排序、快速排序
–选择排序：简单选择排序、堆排序
–归并排序,2-路归并排序
–基数排序
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插入排序
– 直接插入排序
排序过程：整个排序过程为 n-1趟插入，即先将序列中第 1个记录看成是一个有序子序列，
然后从第 2个记录开始，逐个进行插入，直至整个序列有序? 算法描述
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例 49 38 65 97 76 13 27
i=2 38 (38 49) 65 97 76 13 27
i=3 65 (38 49 65) 97 76 13 27
i=4 97 (38 49 65 97) 76 13 27
i=5 76 (38 49 65 76 97) 13 27
i=6 13 (13 38 49 65 76 97) 27
i=1 ( )
i=7 (13 38 49 65 76 97) 2727
jj j jjj
977665493827
(13 27 38 49 65 76 97)排序结果：
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– 折半插入排序
排序过程：用折半查找方法确定插入位臵的排序叫 ~
例 i=1 (30) 13 70 85 39 42 6 20
i=2 13 (13 30) 70 85 39 42 6 20
i=7 6 (6 13 30 39 42 70 85 ) 20
…...
i=8 20 (6 13 30 39 42 70 85 ) 20
s jm
i=8 20 (6 13 30 39 42 70 85 ) 20
s jm
i=8 20 (6 13 30 39 42 70 85 ) 20
s jm
i=8 20 (6 13 30 39 42 70 85 ) 20
sj
i=8 20 (6 13 20 30 39 42 70 85 )
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算法描述
算法评价
–时间复杂度,T(n)=O(n2)
–空间复杂度,S(n)=O(1)
Ch8_2.c
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希尔排序 (缩小增量法 )
排序过程：先取一个正整数 d1<n,把所有相隔
d1的记录放一组，组内进行直接插入排序；然后取 d2<d1,重复上述分组和排序操作；直至
di=1,即所有记录放进一个组中排序为止
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1.3 排序、查找 (1)
排序
– 常用的排序方法－－冒泡排序
– 程序,
void BubbleSort(int a[],n)
{
int i,j;
int x;
for(i=1;i<n;i++) {
for(j=0;j<n-i;j++) { //找到一组中最大的
if(a[j]>a[j+1]) {//进行交换
x = a[j];
a[j] = a[j+1];
a[j+1] = x;
}
};
}
}
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1.3 排序、查找 (2)
– 常用的排序方法－－选择排序
– 程序,
void SelectSort(int a[],int n )
{
int i,j,k;
int x
for (i=1;i<n;i++) { //进行 n-1次选择和交换
k=i-1;
for (j=i;j<n;j++) {
if (a[j]<a[k])
k=j ;
}
x=a[i-1];
a[i-1]=a[k];
a[k]=x ;
}
}
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1.3 排序、查找 (3)
查找
– 常用的查找方法－－折半查找
– 折半查找的前提－－线性表是有序的
– 程序
int BinarySearch(int a[],int N,int x)
{
int low=0,high=N-1; //定义并初始化区间下界和上界变量
int mid; //定义保存中点元素下标的变量
while(low<=high) {
mid=(low+high)/2;
if(x==a[mid])
return mid ;
else if(x<a[mid])
high=mid-1; //在左半侧
else
low=mid+1 ; //在右半侧
}
return -1;
}
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取 d3=1
三趟分组,13 27 48 55 4 49 38 65 97 76
三趟排序,4 13 27 38 48 49 55 65 76 97
例 初始,49 38 65 97 76 13 27 48 55 4
一趟排序,13 27 48 55 4 49 38 65 97 76
二趟排序,13 4 48 38 27 49 55 65 97 76
取 d1=5
一趟分组,49 38 65 97 76 13 27 48 55 4
取 d2=3
二趟分组,13 27 48 55 4 49 38 65 97 76
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算法描述
Ch8_3.c
例 49 38 65 97 76 13 27 48 55 4
#define T 3
int d[]={5,3,1};
j i
4913 3827
一趟排序,13 27 48 55 4 49 38 65 97 76
j ij i
274
j ij i
55
j i
38
j ij ij i
二趟排序,13 4 48 38 27 49 55 65 97 76
j ij i
6548
j i
9755
j i
764
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希尔排序特点
–子序列的构成不是简单的“逐段分割”，而是将相隔某个增量的记录组成一个子序列
–希尔排序可提高排序速度，因为
分组后 n值减小,n2更小，而 T(n)=O(n2),所以
T(n)从总体上看是减小了
关键字较小的记录跳跃式前移，在进行最后一趟增量为 1的插入排序时，序列已基本有序
–增量序列取法
无除 1以外的公因子
最后一个增量值必须为 1
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交换排序
– 冒泡排序
排序过程
–将第一个记录的关键字与第二个记录的关键字进行比较，若为逆序 r[1].key>r[2].key,则交换；然后比较第二个记录与第三个记录；依次类推，直至第 n-1个记录和第 n个记录比较为止 ——第一趟冒泡排序,结果关键字最大的记录被安臵在最后一个记录上
–对前 n-1个记录进行第二趟冒泡排序，结果使关键字次大的记录被安臵在第 n-1个记录位臵
–重复上述过程，直到“在一趟排序过程中没有进行过交换记录的操作”为止
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例 49
38
65
97
76
13
27
30初始关键字
38
49
65
76
13
27
30
97第一趟
38
49
65
13
27
30
76
第二趟
38
49
13
27
30
65
第三趟
38
13
27
30
49
第四趟
13
27
30
38
第五趟
13
27
30
第六趟
38
49
76
9713
9727
9730
97
13
76
76
7627
30
13
6527
6530
65
13
13
49
4930
4927
3827
3830
38
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算法描述
算法评价
–时间复杂度
最好情况（正序）
比较次数,n-1
移动次数,0
最坏情况（逆序）
比较次数：
)(21)( 21
1
nninn
i
移动次数,)(
23)(3 21 nnin
n
i
–空间复杂度,S(n)=O(1)
T(n)=O(n2)
Ch8_4.c
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– 快速排序
基本思想：通过一趟排序，将待排序记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小，则可分别对这两部分记录进行排序，以达到整个序列有序
排序过程：对 r[s……t] 中记录进行一趟快速排序，
附设两个指针 i和 j,设枢轴记录 rp=r[s],x=rp.key
–初始时令 i=s,j=t
–首先从 j所指位臵向前搜索第一个关键字小于 x的记录，并和 rp交换
–再从 i所指位臵起向后搜索，找到第一个关键字大于 x的记录，和 rp交换
–重复上述两步，直至 i==j为止
–再分别对两个子序列进行快速排序，直到每个子序列只含有一个记录为止
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例 初始关键字,49 38 65 97 76 13 27 50
i j
x
ji
完成一趟排序,( 27 38 13) 49 (76 97 65 50)
分别进行快速排序,( 13) 27 (38) 49 (50 65) 76 (97)
快速排序结束,13 27 38 49 50 65 76 97
4927
i i ji j
49 65
j
13 49
i
49 97
i j
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选择排序
– 简单选择排序
排序过程
–首先通过 n-1次关键字比较，从 n个记录中找出关键字最小的记录，将它与第一个记录交换
–再通过 n-2次比较，从剩余的 n-1个记录中找出关键字次小的记录，将它与第二个记录交换
–重复上述操作，共进行 n-1趟排序后，排序结束
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例 初始,[ 49 38 65 97 76 13 27 ]
k
j j j j j j
k k
i=1 13 49
一趟,13 [38 65 97 76 49 27 ]i=2
k k
j j j jj
27 38
二趟,13 27 [65 97 76 49 38 ]
三趟,13 27 38 [97 76 49 65 ]
四趟,13 27 38 49 [76 97 65 ]
五趟,13 27 38 49 65 [97 76 ]
六趟,13 27 38 49 65 76 [97 ]
排序结束,13 27 38 49 65 76 97
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– 堆排序
堆的定义,n个元素的序列 (k1,k2,……kn),当且仅当满足下列关系时，称之为堆或 (i=1,2,…..,?n/2?)ki?k2iki?k2i+1 ki?k2ik
i?k2i+1
例 （ 96,83,27,38,11,9） 例 （ 13,38,27,50,76,65,49,97）
96
27
91138
83
13
2738
49657650
97
可将堆序列看成完全二叉树，则堆顶元素（完全二叉树的根）必为序列中
n个元素的最小值或最大值
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堆排序：将无序序列建成一个堆，得到关键字最小
（或最大）的记录；输出堆顶的最小（大）值后，
使剩余的 n-1个元素重又建成一个堆，则可得到 n个元素的次小值；重复执行，得到一个有序序列，这个过程叫 ~
堆排序需解决的两个问题：
–如何由一个无序序列建成一个堆？
–如何在输出堆顶元素之后，调整剩余元素，使之成为一个新的堆？
第二个问题解决方法 ——筛选
–方法：输出堆顶元素之后，以堆中最后一个元素替代之；然后将根结点值与左、右子树的根结点值进行比较，并与其中小者进行交换；重复上述操作，直至叶子结点，将得到新的堆，称这个从堆顶至叶子的调整过程为“筛选”
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例 13
2738
49657650
97
97
2738
49657650
13
输出,13
27
4938
97657650
13
输出,13
97
4938
27657650
13
输出,13 27
38
4950
27657697
13
输出,13 27
65
4950
27387697
13
输出,13 27 38
IT Education & TrainingDate:30 July 2009
49
6550
27387697
13
输出,13 27 38
76
6550
27384997
13
输出,13 27 38 49
50
6576
27384997
13
输出,13 27 38 49
97
6576
27384950
13
输出,13 27 38 49 50
65
9776
27384950
13
输出,13 27 38 49 50
97
6576
27384950
13
输出,13 27 38 49 50 65
IT Education & TrainingDate:30 July 2009
76
6597
27384950
13
输出,13 27 38 49 50 65
97
6576
27384950
13
输出,13 27 38 49 50 65 76
97
6576
27384950
13
输出,13 27 38 49 50 65 76 97
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第二部分 问题与习题
IT Education & TrainingDate:30 July 2009
问题
Q1,为了描述并解决先进先出特征的问题，我们一般会采用考虑以下哪种数据结构
A,队列 B,栈 C,树 D,二叉树
Q2,为了描述并解决先进后出特征的问题，我们一般会采用考虑以下哪种数据结构（ ）。
A,队列 B,栈 C,树 D,二叉树
Q3.对线性表进行二分法查找，其前提条件是
A,线性表以顺序方式存储，并且按关键码值排好序
B,线性表以顺序方式存储，并且按关键码值的检索频率排好序
C,线性表以链接方式存储，并且按关键码值排好序
D,线性表以链接方式存储，并且按关键码值的检索频率排好序
