第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理
0
r
r' 1 QQ
)(1d '0
0
QQSE
S
EED r0
电位移矢量 （均匀各相同性介质）
0?
0
'
'? + + + + + +
- - - - - -+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
r?
S
电容率
r0
r0
0d
QSE
S
有介质 时的 高斯 定理
i
iS QSD 0d
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理极化电荷面密度
n' P
0rCC r0?EE?
电位移矢量 EPD
0
（ 任何 介质）
ED
（ 均匀 介质）
有介质时的高斯定理
i
iS QSD 0d
电容率
r0
（ 均匀 介质）
有介质时先求 UED注意第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理例 1 把一块相对电容率 的电介质,放在极板间相距 的平行平板电容器的两极板之间,
放入之前,两极板的电势差是,试求两极板间电介质内的电场强度,电极化强度,极板和电介质的电荷面密度,电介质内的电位移,
3r
V1000
E P
D
mm1?d
解
13161
30 mkV10mV10mV10
1 00 0
d
UE
12 mkV1033.3
260r mC1089.5)1( -EP
26000 mC1085.8 E
26 mC1089.5' P?
26000r0 mC1085.8 -EED
r0?EE?
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理
+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
1d
2d
0
0
例 2 一平行平板电容器充满两层厚度各为 和的电介质，它们的相对电容率分别为 和,极板面积为,求（ 1） 电容器的电容； （ 2） 当极板上的自由电荷面密度的值为 时，两介质分界面上的极化电荷面密度,
1d 2d
r1? r2?
S
0?
- - - - - -
+ + + + + +
'1
'1
+ + + + + +
- - - - - -
'2
'2
1S
10d SSDS
0D
1E
2E
1r0
0
r10
1
DE
r20
0
r20
2
DE
解（ 1）
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理
2211d dEdElEU l
)(
2r
2
1r
1
0
dd
S
Q
12r21r
2r1r00
dd
S
U
QC
0
r1
r1
1
1'?
+ + + + +
- - - - -+ + + + + + + + +
- - - - - - - - -
+ + + + + - - - - -1d
2d
0
'1
'1
'2
'2
0
1S
1E
2E
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r2
r2
2
1'?
（ 2）
1r0
0
r10
1
DE
r20
0
r20
2
DE
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理
r
例 3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 的长直圆柱导体和同轴的半径为 的薄导体圆筒组成，
并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 的电介质,设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为和,求（ 1） 电介质中的电场强度、电位移和极化强度； （２） 电介质内、外表面的极化电荷面密度；
（３） 此圆柱形电容器的电容．
1R
2R
r?
1R
2R
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理
lSDS d
解（ 1）
lrlDπ2
r
D
π2
r
DE
r0r0 π2
)( 21 RrR
r
EP
r
r
0r π2
1)1(
1R
2R
r
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理
（２） 由上题可知
1r
r10r1 π2)1()1(' RE?
2r
r20r2 π2)1()1(' RE?
1r0
1 π2 RE
)( 1Rr?
2r0
2 π2 RE
)( 2Rr?
r
DE
r0r0 π2
1R
2R
r
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理真空圆柱形电容器电容
（３） 由（１）可知
r
E
r0π2
)( 21 RrR
2
1 r0π2
dd R
R r
rrEU
1
2
0
lnπ2 RR
r
1
2
r0 lnπ2 R
RlU
QC?
0r C
1
2
r0 lnπ2 R
R
l
C
单位长度电容
1R
2R
r
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理例 4 如图，在一电荷体密度为?的均匀带电介质球体中，挖出一个以 O’ 为球心的球状小空腔。试证：球形空腔内的电场是均匀电场，其表达式为：
证明,用填补法证明。
31
rE介质球?在空腔内任一点的场为：
P点的合场强：
bE3?
O O’
b?
电场强度可看做体电荷密度为?的介质球体 和一个空腔处体电荷密度为 -?的球体 产生的场的叠加。
r?
a?
填补的介质球 -?在空腔内任一点的场为：
32
aE
33321
barEEE
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理例 5 A,B是靠得很近的两块平行的大金属平板，间距为 d，面积为 S。 A,B两板分别带电 QA和 QB，并且 QA>QB：
证明两板内侧电荷密度符号相反，数值相等；外侧的电荷密度符号相同，数值相等。
证明：
02222
0
4
0
3
0
2
0
1
43211
EEEEE
p
A B
1?
d
2?
3? 4?
P1 P2
04321
04321
41
32
静电平衡导体内部场强为零
02222
0
4
0
3
0
2
0
1
43212
EEEEE
p
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理静电场的边界条件研究电介质 界面两侧 的关系及 的关系的 法向 分量 连续
S(底面 )
n
2 D
2
1
2
nD1
n1
D?
D?
E?
s
sdD 0?
02211 snDsnD
nn DD 21? nn EE 2211
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理的 切向 分量 连续
2
1 L
a b
d c?2
E1
E2
1
·
电位移矢量,法向 分量 连续 ； 切向 分量 突变 。
电场强度,切向 分量 连续 ； 法向 分量 突变 。
0
L
ldE
0s i ns i n 2211 cdEabE
tt EE 21?
2
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1
1
tt DD?
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0
r
r' 1 QQ
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S
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电位移矢量 （均匀各相同性介质）
0?
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- - - - - -+ + + + + + + + + + +
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r?
S
电容率
r0
r0
0d
QSE
S
有介质 时的 高斯 定理
i
iS QSD 0d
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理极化电荷面密度
n' P
0rCC r0?EE?
电位移矢量 EPD
0
（ 任何 介质）
ED
（ 均匀 介质）
有介质时的高斯定理
i
iS QSD 0d
电容率
r0
（ 均匀 介质）
有介质时先求 UED注意第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理例 1 把一块相对电容率 的电介质,放在极板间相距 的平行平板电容器的两极板之间,
放入之前,两极板的电势差是,试求两极板间电介质内的电场强度,电极化强度,极板和电介质的电荷面密度,电介质内的电位移,
3r
V1000
E P
D
mm1?d
解
13161
30 mkV10mV10mV10
1 00 0
d
UE
12 mkV1033.3
260r mC1089.5)1( -EP
26000 mC1085.8 E
26 mC1089.5' P?
26000r0 mC1085.8 -EED
r0?EE?
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理
+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
1d
2d
0
0
例 2 一平行平板电容器充满两层厚度各为 和的电介质，它们的相对电容率分别为 和,极板面积为,求（ 1） 电容器的电容； （ 2） 当极板上的自由电荷面密度的值为 时，两介质分界面上的极化电荷面密度,
1d 2d
r1? r2?
S
0?
- - - - - -
+ + + + + +
'1
'1
+ + + + + +
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'2
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1S
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1
DE
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2
DE
解（ 1）
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理
2211d dEdElEU l
)(
2r
2
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1
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S
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12r21r
2r1r00
dd
S
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0
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1
1'?
+ + + + +
- - - - -+ + + + + + + + +
- - - - - - - - -
+ + + + + - - - - -1d
2d
0
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（ 2）
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第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理
r
例 3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 的长直圆柱导体和同轴的半径为 的薄导体圆筒组成，
并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 的电介质,设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为和,求（ 1） 电介质中的电场强度、电位移和极化强度； （２） 电介质内、外表面的极化电荷面密度；
（３） 此圆柱形电容器的电容．
1R
2R
r?
1R
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第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理
lSDS d
解（ 1）
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r
D
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r
DE
r0r0 π2
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r
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1R
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第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理
（２） 由上题可知
1r
r10r1 π2)1()1(' RE?
2r
r20r2 π2)1()1(' RE?
1r0
1 π2 RE
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r
DE
r0r0 π2
1R
2R
r
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理真空圆柱形电容器电容
（３） 由（１）可知
r
E
r0π2
)( 21 RrR
2
1 r0π2
dd R
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1
2
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R
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C
单位长度电容
1R
2R
r
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理例 4 如图，在一电荷体密度为?的均匀带电介质球体中，挖出一个以 O’ 为球心的球状小空腔。试证：球形空腔内的电场是均匀电场，其表达式为：
证明,用填补法证明。
31
rE介质球?在空腔内任一点的场为：
P点的合场强：
bE3?
O O’
b?
电场强度可看做体电荷密度为?的介质球体 和一个空腔处体电荷密度为 -?的球体 产生的场的叠加。
r?
a?
填补的介质球 -?在空腔内任一点的场为：
32
aE
33321
barEEE
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理例 5 A,B是靠得很近的两块平行的大金属平板，间距为 d，面积为 S。 A,B两板分别带电 QA和 QB，并且 QA>QB：
证明两板内侧电荷密度符号相反，数值相等；外侧的电荷密度符号相同，数值相等。
证明：
02222
0
4
0
3
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2
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EEEEE
p
A B
1?
d
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P1 P2
04321
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41
32
静电平衡导体内部场强为零
02222
0
4
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0
1
43212
EEEEE
p
第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理静电场的边界条件研究电介质 界面两侧 的关系及 的关系的 法向 分量 连续
S(底面 )
n
2 D
2
1
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nD1
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D?
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第 6章静电场中的导体和电介质6 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理的 切向 分量 连续
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1 L
a b
d c?2
E1
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1
·
电位移矢量,法向 分量 连续 ； 切向 分量 突变 。
电场强度,切向 分量 连续 ； 法向 分量 突变 。
0
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0s i ns i n 2211 cdEabE
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2
2
1
1
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