理论部分凸集和凸函数凸集定义 1 设集合,nRD? 若对于任意两点
,,Dyx? 及实数,10 都有：
Dyx 1
则称集合 D 为凸集．
注,常见的凸集：空集，整个欧氏空间 nR
超平面,bxaxaxaRxH
nnn2211
半空间,bxaxaxaRxH
nnn2211
例 1,证明超球 rx? 为凸集．
证明,设 yx,为超球中的任意两点，,10
则有, yx 1
yx 1
rrr 1
即点yx 1 属于超球所以超球为凸集．
凸集的性质
（１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集为凸集．
（２） 设 D 是凸集,? 是一实数,则下面的集合是凸集,DxxyyD,
（３） 设 21,DD 是凸集,则 21,DD 的和集
2121,,DzDxzxyyDD 是凸集注,和集和并集有很大的区别，凸集的并集未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例,RxxD T 0,
1 表示
x 轴上的点．
RyyD T,02 表示 y 轴上的点．
则 21 DD? 表示两个轴的所有点,它不是凸集；
221 RDD而 凸集．
推论,?
k
i
ii D
1
设 kiD i,,2,1, 是凸集,则也是凸集,其中 i? 是实数．
定义 2:设,,,2,1,kiRx n
i
实数,0?i?
k
i
i
1
,1? 则?
k
i
ii xx
1
,? 称为,,,2,1,kix i
的凸组合．
注,凸集中任意有限个点的凸组合仍然在该凸集中．
极点定义 1 设 D 为凸集，,Dx? 若 D 中不存在两个相异的点 zy,及某一实数1,0
使得,1 zyx 则称 x 为 D 的极点．
例,,0 aaxRxD n则 ax?
上的点均为极点．
证,设,ax? 若存在 Dzy?,及,1,0
使得,1 zyx 则：
zyzyxa 1,122
zyzy 121 2222
2a?
不等式要取等号，必须,azy
且,,zyzy? 容易证明,xzy
根据定义可知 x 为极点．
凸函数定义 4 设函数xf 定义在凸集 nRD?定义在凸集 上，
若对任意的,,Dyx? 及任意的1,0
都有,yfxfyxf 11
则称函数xf 为凸集 D 上的凸函数．
定义 5 严格凸函数注,将上述定义中的不等式反向，可以得到凹函数的定义．
例 1,设,1 2 xxf 试证明xf 在,
上是严格凸函数．
证明,设,,Ryx? 且1,0,yx 都有：
yfxfyxf 11
222 11111 yxyx
01 2 yx
因此xf 在,上是严格凸函数．
例 2,试证线性函数是
nnT xcxcxcxcxf2211
证明,设,1,0,,Ryx
nR 上的凸函数．
则
yxcyxf T 11
yfxfycxc TT 11
所以 xcT 是凸函数．
类似可以证明 xcT 是凹函数．
凸函数的几何性质对一元函数,xf 在几何上21 1 xfxf
10 表示连接2211,,,xfxxfx 的线段．
21 1 xxf 表示在点 21 1 xx 处的函数值．
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方．
凸函数的性质
（１） 设
（２） 设xfxf 21,
函数，
xf 是凸集 nRD? 上的凸函数，
实数,0?k 则xkf 也是 D 上的凸函数．
是凸集 nRD? 上的凸实数,0, 则xfxf 21
也是 D 上的凸函数．
（３） 设xf 是凸集 nRD? 上的凸函数，
是实数,则水平集,fS
xfDxx,是凸集．
下面的图形给出了凸函数
xyy 2
424 3,yxxyxf
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集凸函数的判定定理 1:设xf 是定义在凸集 nRD? 上，,,Dyx?
令,1,0,1 tyttxft? 则,
(1)xf
是定义在凸集是凸集 D 上的凸函数的充要条件是对任意的,,Dyx? 一元函数t? 为1,0 上的凸函数,
(2)设,,,yxDyx 若t? 在1,0 上为严格凸函数,则xf 在 D 上为严格凸函数．
该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之间的部分是一段向下凸的弧．
一阶条件定理 2.1,设在凸集 nRD? 上xf 可微,则：
xf 在 D 上为凸函数的充要条件是对任意的
,,Dyx? 都有,xyxfxfyf T
定理 2.2,严格凸函数 (充要条件 )
二阶条件定理 3,设在开凸集 nRD? 内xf 二阶可微，则
(1)xf 是 D 内的凸函数的充要条件为,在 D
内任一点 x 处,xf 的海色矩阵xG 半正定,
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
12
2
1
2
21
2
2
1
2
2
nnn
n
n
x
f
xx
f
xx
f
xx
f
x
f
xx
f
xx
f
xx
f
x
f
xfxG
其中：
二阶条件定理 3,设在开凸集 nRD? 内xf 二阶可微，则
(2)若在 D 内xG 正定,则xf 在 D 内二阶可微，则是严格凸函数．
注,反之不成立．
例, 4xxf?
显然是严格凸的,但在点 0?x 处xG 不是正定的凸规划定义 6 设 nRD? 为凸集,xf 为 D 上的凸函数，
则称规划问题xf
Dx?m in
为凸规划问题．
定理 4 (1)凸规划问题的任一局部极小点 x 是整体极小点，全体极小点组成凸集．
(2)若xf 是凸集 nRD? 上的严格凸函数，
且凸规划问题xf
Dx?m in
整体极小点存在，
则整体极小点是唯一的．
,,Dyx? 及实数,10 都有：
Dyx 1
则称集合 D 为凸集．
注,常见的凸集：空集，整个欧氏空间 nR
超平面,bxaxaxaRxH
nnn2211
半空间,bxaxaxaRxH
nnn2211
例 1,证明超球 rx? 为凸集．
证明,设 yx,为超球中的任意两点，,10
则有, yx 1
yx 1
rrr 1
即点yx 1 属于超球所以超球为凸集．
凸集的性质
（１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集为凸集．
（２） 设 D 是凸集,? 是一实数,则下面的集合是凸集,DxxyyD,
（３） 设 21,DD 是凸集,则 21,DD 的和集
2121,,DzDxzxyyDD 是凸集注,和集和并集有很大的区别，凸集的并集未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例,RxxD T 0,
1 表示
x 轴上的点．
RyyD T,02 表示 y 轴上的点．
则 21 DD? 表示两个轴的所有点,它不是凸集；
221 RDD而 凸集．
推论,?
k
i
ii D
1
设 kiD i,,2,1, 是凸集,则也是凸集,其中 i? 是实数．
定义 2:设,,,2,1,kiRx n
i
实数,0?i?
k
i
i
1
,1? 则?
k
i
ii xx
1
,? 称为,,,2,1,kix i
的凸组合．
注,凸集中任意有限个点的凸组合仍然在该凸集中．
极点定义 1 设 D 为凸集，,Dx? 若 D 中不存在两个相异的点 zy,及某一实数1,0
使得,1 zyx 则称 x 为 D 的极点．
例,,0 aaxRxD n则 ax?
上的点均为极点．
证,设,ax? 若存在 Dzy?,及,1,0
使得,1 zyx 则：
zyzyxa 1,122
zyzy 121 2222
2a?
不等式要取等号，必须,azy
且,,zyzy? 容易证明,xzy
根据定义可知 x 为极点．
凸函数定义 4 设函数xf 定义在凸集 nRD?定义在凸集 上，
若对任意的,,Dyx? 及任意的1,0
都有,yfxfyxf 11
则称函数xf 为凸集 D 上的凸函数．
定义 5 严格凸函数注,将上述定义中的不等式反向，可以得到凹函数的定义．
例 1,设,1 2 xxf 试证明xf 在,
上是严格凸函数．
证明,设,,Ryx? 且1,0,yx 都有：
yfxfyxf 11
222 11111 yxyx
01 2 yx
因此xf 在,上是严格凸函数．
例 2,试证线性函数是
nnT xcxcxcxcxf2211
证明,设,1,0,,Ryx
nR 上的凸函数．
则
yxcyxf T 11
yfxfycxc TT 11
所以 xcT 是凸函数．
类似可以证明 xcT 是凹函数．
凸函数的几何性质对一元函数,xf 在几何上21 1 xfxf
10 表示连接2211,,,xfxxfx 的线段．
21 1 xxf 表示在点 21 1 xx 处的函数值．
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方．
凸函数的性质
（１） 设
（２） 设xfxf 21,
函数，
xf 是凸集 nRD? 上的凸函数，
实数,0?k 则xkf 也是 D 上的凸函数．
是凸集 nRD? 上的凸实数,0, 则xfxf 21
也是 D 上的凸函数．
（３） 设xf 是凸集 nRD? 上的凸函数，
是实数,则水平集,fS
xfDxx,是凸集．
下面的图形给出了凸函数
xyy 2
424 3,yxxyxf
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集凸函数的判定定理 1:设xf 是定义在凸集 nRD? 上，,,Dyx?
令,1,0,1 tyttxft? 则,
(1)xf
是定义在凸集是凸集 D 上的凸函数的充要条件是对任意的,,Dyx? 一元函数t? 为1,0 上的凸函数,
(2)设,,,yxDyx 若t? 在1,0 上为严格凸函数,则xf 在 D 上为严格凸函数．
该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之间的部分是一段向下凸的弧．
一阶条件定理 2.1,设在凸集 nRD? 上xf 可微,则：
xf 在 D 上为凸函数的充要条件是对任意的
,,Dyx? 都有,xyxfxfyf T
定理 2.2,严格凸函数 (充要条件 )
二阶条件定理 3,设在开凸集 nRD? 内xf 二阶可微，则
(1)xf 是 D 内的凸函数的充要条件为,在 D
内任一点 x 处,xf 的海色矩阵xG 半正定,
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
12
2
1
2
21
2
2
1
2
2
nnn
n
n
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f
xx
f
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f
xx
f
x
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xx
f
x
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xfxG
其中：
二阶条件定理 3,设在开凸集 nRD? 内xf 二阶可微，则
(2)若在 D 内xG 正定,则xf 在 D 内二阶可微，则是严格凸函数．
注,反之不成立．
例, 4xxf?
显然是严格凸的,但在点 0?x 处xG 不是正定的凸规划定义 6 设 nRD? 为凸集,xf 为 D 上的凸函数，
则称规划问题xf
Dx?m in
为凸规划问题．
定理 4 (1)凸规划问题的任一局部极小点 x 是整体极小点，全体极小点组成凸集．
(2)若xf 是凸集 nRD? 上的严格凸函数，
且凸规划问题xf
Dx?m in
整体极小点存在，
则整体极小点是唯一的．
